MAT 1 Mnohočleny a racionální lomená funkce

MAT 1 — Mnohočleny a racionální lomená funkce Studijní materiály

Pro listování dokumentem NEpoužívejte kolečko myši nebo zvolte možnost Full Screen. Brno 2012

RNDr. Rudolf Schwarz, CSc. •First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Obsah 1 Mnohočleny — polynomy 1.1 Rozklad mnohočlenu na součin . . . . . . 1.2 Nalezení kořenů mnohočlenu . . . . . . . . Lineární rovnice . . . . . . . . . . . . . Kvadratické rovnice . . . . . . . . . . . . Rovnice třetího a čtvrtého stupně . . . . Rovnice pátého stupně a vyšších stupňů Mnohočleny s celočíselnými koeficienty . Hornerovo schéma . . . . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

4 5 6 6 6 7 7 9 10

2 Racionální lomená funkce 2.1 Parciální zlomky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Typy rozkladů na parciální zlomky . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Postup rozkladu racionální lomené funkce na parciální zlomky Reálné jednonásobné kořeny jmenovatele . . . . . . . . . . Reálné vícenásobné kořeny jmenovatele . . . . . . . . . . . Jednonásobné komplexně sdružené kořeny jmenovatele . . . Vícenásobné komplexně sdružené kořeny jmenovatele . . . . 2.4 Příklad – Ryze lomená racionální funkce . . . . . . . . . . . . Hornerovo schéma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Rozklad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5 Příklad – Neryze lomená racionální funkce . . . . . . . . . . . Dělení mnohočlenu mnohočlenem . . . . . . . . . . . . . . Hornerovo schéma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

45 46 47 48 50 57 64 71 78 83 106 109 112 115

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

2.6

Rozklad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124 Výsledek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126 Závěrečná poznámka k rozkladu na parciální zlomky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127


1.

Mnohočleny — polynomy Mějme nezáporné celé číslo n (n ∈ N0 ) a reálná čísla a0 , a1 , . . . , an−1 a nenulové reálné číslo an 6= 0. Funkci Pn : y = an xn + an−1 xn−1 + . . . + a1 x + a0 , x∈R, nazýváme (reálný) mnohočlen (polynom). Čísla a0 , a1 , a2 , . . . , an−1 , an nazýváme koeficienty mnohočlenu a číslo n nazýváme stupeň mnohočlenu (píšeme st P = n).

Stupeň mnohočlenu je tedy nejvyšší mocnina neznámé (proměnné) s nenulovým koeficientem. Někdy také mnohočleny nazýváme funkcemi celistvými. Poznámka: Mezi mnohočleny počítáme i tzv. nulový mnohočlen P : y = 0, který nemá žádné nenulové koeficienty. Nulový mnohočlen nemá přiřazen žádný stupeň. Je nutné důsledně rozlišovat mezi mnohočlenem stupně nula , což je vlastně nenulová konstantní funkce, jejímž grafem je rovnoběžka s osou x různá od této osy a nulovým mnohočlenem , což je nulová konstantní funkce, jejímž grafem je právě osa x. Například: Mnohočlen R : y = x3 má stupeň 3. Přitom a3 = 1, a2 = a1 = a0 = 0. Mnohočlen P : y = 3x2 − 4x + 2 má stupeň 2. Přitom a2 = 3, a1 = −4, a0 = 2. •First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Mnohočlen S : y = 2x − 3 má stupeň 1. Přitom a1 = 2, a0 = −3. Mnohočlen T : y = 3 má stupeň 0. Přitom a0 = 3. Mnohočleny jsou funkce: lze je tedy sčítat (sečteme koeficienty u stejných mocnin), odčítat (odečteme koeficienty u stejných mocnin) a násobit (násobíme každý člen jednoho mnohočlenu s každým členem druhého mnohočlenu a sloučíme členy se stejnými mocninami) a výsledkem je opět mnohočlen. Dělením dvou mnohočlenů nemusíme dostat mnohočlen. Výsledkem tohoto dělení je většinou obecnější funkce, kterou zavedeme v kapitole 2 Racionální (lomená) funkce.

1.1.

Rozklad mnohočlenu na součin

Smyslem rozkladu je napsat daný mnohočlen jako součin co nejjednodušších mnohočlenů. V reálném oboru jsou činitelé v rozkladu • buď lineární — tvaru: x − α (α je potom kořen daného mnohočlenu) • nebo kvadratické — tvaru: x2 + px + q, kde p2 − 4q < 0. Pro zopakování uvedeme následující vzorce (známé ze střední školy), které využíváme při rozkladu mnohočlenu na součin. a2 + 2ab + b2 = (a + b)2 a3 + 3a2 b + 3ab2 + b3 = (a − b)3 (a + b) · (a2 − ab + b2 ) = a3 + b3

(a − b)2 = a2 − 2ab + b2 (a − b)3 = a3 − 3a2 b + 3ab2 − b3 a2 − b2 = (a + b) · (a − b) a3 − b3 = (a − b) · (a2 + ab + b2 )


1.2.

Nalezení kořenů mnohočlenu

Nalézt (reálné) kořeny mnohočlenu Pn (x) = an xn + an−1 xn−1 + . . . + a1 x + a0 s reálnými koeficienty ai , kde n ≥ 1, znamená vyřešit algebraickou rovnici P (x) = 0, tedy an xn + an−1 xn−1 + . . . + a1 x + a0 = 0

(1)

Hledání kořenů mnohočlenu převádíme na (řešení rovnice) hledání kořenů rovnice (1). Všimněme si, jak lze pro malá n algebraické rovnice řešit.

Lineární rovnice Pro n = 1 jde o lineární 1 rovnici

ax + b = 0, a 6= 0, jejíž jediný kořen je b x1 = − . a

Kvadratické rovnice Pro n = 2 jde o kvadratickou 2 rovnici ax2 + bx + c = 0, a 6= 0, pro jejíž kořeny se na střední škole odvozuje (doplněním na čtverec) vzorec √ −b ± b2 − 4ac x1;2 = . 2a 1

Lineární funkcí f : y = ax + b jsou vyjádřeny četné závislosti, například obvod kružnice na jejím poloměru (o = 2πr), dráha rovnoměrně (přímočaře s konstantní rychlostí v) se pohybujícího tělesa na čase (s = v.t), měrná hustota roztoku na jeho koncentraci, atd.

2

Kvadratickou funkcí f : y = ax2 + bx + c je vyjádřena například závislost plošného obsahu kruhu nebo povrch koule na poloměru (P = πr2 , P = 4πr2 ), dráha pohybu rovnoměrně zrychleného na čase (s = 21 at2 ) a pod.


O povaze kořenů rozhoduje diskriminant kvadratické rovnice D = b2 − 4ac. Je-li D > 0, má rovnice dva reálné různé kořeny, je-li D = 0, má jeden dvojnásobný reálný kořen, a je-li D < 0, má dvojici komplexně sdružených kořenů.

Rovnice třetího (kubické) a čtvrtého stupně Pro n = 3 jde o kubickou 3 rovnici ax3 + bx2 + cx + d = 0, a 6= 0, pro jejíž kořeny sice existují tzv. Cardanovy vzorce 4 , které však vyjadřují reálné kořeny pomocí třetích odmocnin z komplexních čísel. Pro rovnice čtvrtého stupně existují také obecné vztahy k výpočtu kořenů (stejně jako Cardanovy vzorce byly nalezeny v první polovině 16. století). Jejich řešení je však ještě obtížnější než řešení rovnic třetího stupně.

Rovnice pátého stupně a vyšších stupňů Norský matematik Abel 5 dokázal, že pro kořeny rovnic pátého stupně (a tudíž ani vyšších stupňů) neexistuje univerzální vzorec. To však v žádném případě neznamená, že rovnice vyšších stupňů nemají kořeny. Tento Abelův výsledek pouze říká, že tyo kořeny nelze vyjádřit jistým vzorcem přesně popsaného typu.

3

Kubická funkce f : y = ax3 + bx2 + cx + d například vyjadřuje závislost objemu krychle na délce její hrany (V = a3 ) a pod.

4

Girolamo Cardano (1501–1576) — italský matematik, mechanik a lékař. Zabýval se algebrou.

5

Niels Henrik Abel (1802–1829) přes svůj krátký život významně ovlivnil řadu matematických disciplín.


Na počátku 19. století Gauss 6 poprvé přesně dokázal větu, která je vzhledem k velkému významu pro tehdejší matematiku nazývána základní větou algebry. Tato věta říká: Libovolný polynom (s reálnými nebo komplexními koeficienty) stupně alespoň jedna má v množině komplexních čísel alespoň jeden kořen. Důsledky základní věty algebry: 1. Každý polynom stupně n má v komplexním oboru právě n kořenů, počítáme-li každý kořen tolikrát, kolik činí jeho násobnost. 2. Má-li mnohočlen s reálnými koeficienty komplexní kořen, potom má i kořen komplexně sdružený, přičemž jejich násobnosti jsou stejné. Poznámka: Z předchozího textu je jasné, že neexistuje žádný univerzální postup, kterým bychom byli schopni zjistit všechny kořeny daného polynomu. Existuje sice celá řada numerických metod, kterými lze kořeny přibližně vyjádřit, ale to není náplní tohoto kurzu.

6

Carl Friedrich Gauss (1777–1855) — německý matematik, astronom a kartograf. Je považován za jednoho z největších matematiků všech dob.


Mnohočleny s celočíselnými koeficienty Mějme mnohočlen R s celočíselnými koeficienty: Rn (x) = an xn + an−1 xn−1 + . . . + a1 x + a0 ,

x∈R,

(2)

kde n je přirozené číslo (1 ≤ n ∈ N), a0 , a1 , . . . , an−1 , an jsou celá čísla, kdy an 6= 0, a0 6= 0. p Pokud je α = (kde p, q jsou nesoudělná celá čísla) kořenem mnohočlenu R, pak p dělí beze q zbytku koeficient a0 (píšeme p | a0 ) a q dělí beze zbytku koeficient an (q | an ). Při hledání racionálních kořenů mnohočlenu (2) postupujeme tak, že vypíšeme všechna možná racionální čísla pq (p, q nesoudělná) splňující podmínky p | a0 , q | an a dosazením do mnohočlenu zjistíme, zda se jedná, či nejedná o kořeny. Pokud mezi těmito čísly kořen není, pak daný mnohočlen vůbec racionální kořen nemá. Poznámka: Uvědomte si, že předchozí postup lze použít i pro mnohočleny s racionálními koeficienty. Stačí totiž vytknout společný jmenovatel všech koeficientů a0 , . . . ,an . Příklad: Najděte (racionální) kořeny mnohočlenu P3 (x) = 3x3 − 5x2 + 8x − 4. Řešení: Koeficienty mnohočlenu jsou celočíselné, stejně jako v případě (2). Proto lze využít zde uvedený postup. Zkusíme najít kořen ve tvaru pq . Číslo p musí dělit bezezbytku koeficient a0 = −4. Může to tedy být některé z čísel ±1, ±2, ±4. Číslo q musí dělit bezezbytku koeficient an = 3, což splňují •First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

následující čísla ±1, ±3. Kandidáty na kořeny jsou čísla ± 11 (= ±1), ± 12 (= ±2), ± 14 (= ±4), ± 13 , ± 23 , ± 43 . Zbývá ověřit, které z nich je skutečně kořenem. Podle důsledků základní věty algebry má daný mnohočlen právě tři kořeny v komplexním oboru, tedy z našich kandidátů mohou vyhovovat nejvýše tři čísla (přesněji: buď jedno, nebo tři). Ověření provedeme dosazením, přičemž pro kořen mnohočlenu platí: P (kořen) = 0. P (1) = 2, P (−1) = −20, P (2) = 16, P (−2) = −64, P (4) = 140, P (−4) = −308, . . P ( 31 ) = 1,778, P (− 13 ) = −7,333, P ( 23 ) = 0 ⇒ x1 = 23 je kořen. Tady můžeme dosazování ukončit, protože jsme našli jeden kořen. Protože se každý mnohočlen dá vyjádřit jako součin svých kořenových činitelů, provedeme dělení (3x3 − 5x2 + 8x − 4) : (x − 32 ) = (3x2 − 3x + 6) 0 − 3x2 + 8x 0 + 6x − 4 0 0 a po rozkladu: 3x3 − 5x2 + 8x − 4 = (x − 23 ) · (3x2 − 3x + 6) nám zbývá najít kořeny druhé závorky, což je mnohočlen druhého stupně. Takže vlastně hledáme řešení kvadratické rovnice 3x2 − 3x + 6 = 0, která má komplexně sdružené kořeny. Zadaný mnohočlen

P3 (x) = 3x3 − 5x2 + 8x − 4

má jediný reálný kořen

x1 = 23 .

Pro výpočet funkční hodnoty mnohočlenu můžeme využít následujícího schématu, které se nazývá Hornerovo schéma


Najděte kořeny mnohočlenu HS

x4 1

1

1

x3 −1 1 · (1) + (−1) 0

x4 − x3 − 7x2 + x + 6 . Zkoušíme postupně

x2 −7 1 · (0) + (−7) −7

Nyní hledáme kořeny mnohočlenu

x1 1 1 · (−7) + (1) −6

x0 6 1 · (−6) + (6) 0

±1; ±2; ±3; ±6.

Zkoušíme ±1; ±2; ±3; ±6 je kořen ⇒ x1 = 1

x3 − 7x − 6.



x4 1

1

1

x3 −1 1 · (1) + (−1) 0


x2 −7 1 · (0) + (−7) −7


x1 1 1 · (−7) + (1) −6

x0 6 1 · (−6) + (6) 0

±1; ±2; ±3; ±6.


x3 − 7x − 6.



x4 1

1

1

x3 −1 1 · (1) + (−1) 0


x2 −7 1 · (0) + (−7) −7


x1 1 1 · (−7) + (1) −6

x0 6 1 · (−6) + (6) 0

±1; ±2; ±3; ±6.


x3 − 7x − 6.



x4 1

1

1

x3 −1 1 · (1) + (−1) 0


x2 −7 1 · (0) + (−7) −7


x1 1 1 · (−7) + (1) −6

x0 6 1 · (−6) + (6) 0

±1; ±2; ±3; ±6.


x3 − 7x − 6.



x4 1

1

1

x3 −1 1 · (1) + (−1) 0


x2 −7 1 · (0) + (−7) −7


x1 1 1 · (−7) + (1) −6

x0 6 1 · (−6) + (6) 0

±1; ±2; ±3; ±6.


x3 − 7x − 6.



x4 1

1

1

x3 −1 1 · (1) + (−1) 0


x2 −7 1 · (0) + (−7) −7


x1 1 1 · (−7) + (1) −6

x0 6 1 · (−6) + (6) 0

±1; ±2; ±3; ±6.


x3 − 7x − 6.



x4 1

1

1

x3 −1 1 · (1) + (−1) 0


x2 −7 1 · (0) + (−7) −7


x1 1 1 · (−7) + (1) −6

x0 6 1 · (−6) + (6) 0

±1; ±2; ±3; ±6.


x3 − 7x − 6.



x4 1

1

1

x3 −1 1 · (1) + (−1) 0


x2 −7 1 · (0) + (−7) −7


x1 1 1 · (−7) + (1) −6

x0 6 1 · (−6) + (6) 0

±1; ±2; ±3; ±6.


x3 − 7x − 6.



x4 1

1

1

x3 −1 1 · (1) + (−1) 0


x2 −7 1 · (0) + (−7) −7


x1 1 1 · (−7) + (1) −6

x0 6 1 · (−6) + (6) 0

±1; ±2; ±3; ±6.


x3 − 7x − 6.



x4 1

1

1

x3 −1 1 · (1) + (−1) 0


x2 −7 1 · (0) + (−7) −7


x1 1 1 · (−7) + (1) −6

x0 6 1 · (−6) + (6) 0

±1; ±2; ±3; ±6.


x3 − 7x − 6.



x4 1

1

1

x3 −1 1 · (1) + (−1) 0


x2 −7 1 · (0) + (−7) −7


x1 1 1 · (−7) + (1) −6

x0 6 1 · (−6) + (6) 0

±1; ±2; ±3; ±6.


x3 − 7x − 6.



x4 1

1

1

x3 −1 1 · (1) + (−1) 0


x2 −7 1 · (0) + (−7) −7


x1 1 1 · (−7) + (1) −6

x0 6 1 · (−6) + (6) 0

±1; ±2; ±3; ±6.


x3 − 7x − 6.



x4 1

1

1

x3 −1 1 · (1) + (−1) 0


x2 −7 1 · (0) + (−7) −7


x1 1 1 · (−7) + (1) −6

x0 6 1 · (−6) + (6) 0

±1; ±2; ±3; ±6.


x3 − 7x − 6.



x4 1

1

1

x3 −1 1 · (1) + (−1) 0


x2 −7 1 · (0) + (−7) −7

Nyní hledáme kořeny mnohočlenu HS

1

0

1 −1

1 1 1 −1

−7

−6

x1 1 1 · (−7) + (1) −6

x0 6 1 · (−6) + (6) 0

±1; ±2; ±3; ±6.


x3 − 7x − 6.

Zkoušíme ±1; ±2; ±3; ±6

−6 −12 není kořen −6 0 je kořen ⇒ x2 = −1

Opět hledáme kořeny, nyní mnohočlenu

x2 − x − 6.

HS

1 −1

−6 Zkoušíme −1; ±2; ±3; ±6

−1 2 −2

1 −2 1 1 1 −3

−4 není kořen −4 není kořen 0 je kořen ⇒ x3 = −2 , x4 = 3



x4 1

1

1

x3 −1 1 · (1) + (−1) 0


x2 −7 1 · (0) + (−7) −7


1

0

1 −1

1 1 1 −1

−7

−6

x1 1 1 · (−7) + (1) −6

x0 6 1 · (−6) + (6) 0

±1; ±2; ±3; ±6.


x3 − 7x − 6.

Zkoušíme ±1; ±2; ±3; ±6



x2 − x − 6.

HS

1 −1

−6 Zkoušíme −1; ±2; ±3; ±6

−1 2 −2

1 −2 1 1 1 −3




x4 1

1

1

x3 −1 1 · (1) + (−1) 0


x2 −7 1 · (0) + (−7) −7


1

0

1 −1

1 1 1 −1

−7

−6

x1 1 1 · (−7) + (1) −6

x0 6 1 · (−6) + (6) 0

±1; ±2; ±3; ±6.


x3 − 7x − 6.

Zkoušíme ±1; ±2; ±3; ±6



x2 − x − 6.

HS

1 −1

−6 Zkoušíme −1; ±2; ±3; ±6

−1 2 −2

1 −2 1 1 1 −3




x4 1

1

1

x3 −1 1 · (1) + (−1) 0


x2 −7 1 · (0) + (−7) −7


1

0

1 −1

1 1 1 −1

−7

−6

x1 1 1 · (−7) + (1) −6

x0 6 1 · (−6) + (6) 0

±1; ±2; ±3; ±6.


x3 − 7x − 6.

Zkoušíme ±1; ±2; ±3; ±6



x2 − x − 6.

HS

1 −1

−6 Zkoušíme −1; ±2; ±3; ±6

−1 2 −2

1 −2 1 1 1 −3




x4 1

1

1

x3 −1 1 · (1) + (−1) 0


x2 −7 1 · (0) + (−7) −7


1

0

1 −1

1 1 1 −1

−7

−6

x1 1 1 · (−7) + (1) −6

x0 6 1 · (−6) + (6) 0

±1; ±2; ±3; ±6.


x3 − 7x − 6.

Zkoušíme ±1; ±2; ±3; ±6



x2 − x − 6.

HS

1 −1

−6 Zkoušíme −1; ±2; ±3; ±6

−1 2 −2

1 −2 1 1 1 −3




x4 1

1

1

x3 −1 1 · (1) + (−1) 0


x2 −7 1 · (0) + (−7) −7


1

0

1 −1

1 1 1 −1

−7

−6

x1 1 1 · (−7) + (1) −6

x0 6 1 · (−6) + (6) 0

±1; ±2; ±3; ±6.


x3 − 7x − 6.

Zkoušíme ±1; ±2; ±3; ±6



x2 − x − 6.

HS

1 −1

−6 Zkoušíme −1; ±2; ±3; ±6

−1 2 −2

1 −2 1 1 1 −3




x4 1

1

1

x3 −1 1 · (1) + (−1) 0


x2 −7 1 · (0) + (−7) −7


1

0

1 −1

1 1 1 −1

−7

−6

x1 1 1 · (−7) + (1) −6

x0 6 1 · (−6) + (6) 0

±1; ±2; ±3; ±6.


x3 − 7x − 6.

Zkoušíme ±1; ±2; ±3; ±6



x2 − x − 6.

HS

1 −1

−6 Zkoušíme −1; ±2; ±3; ±6

−1 2 −2

1 −2 1 1 1 −3




x4 1

1

1

x3 −1 1 · (1) + (−1) 0


x2 −7 1 · (0) + (−7) −7


1

0

1 −1

1 1 1 −1

−7

−6

x1 1 1 · (−7) + (1) −6

x0 6 1 · (−6) + (6) 0

±1; ±2; ±3; ±6.


x3 − 7x − 6.

Zkoušíme ±1; ±2; ±3; ±6



x2 − x − 6.

HS

1 −1

−6 Zkoušíme −1; ±2; ±3; ±6

−1 2 −2

1 −2 1 1 1 −3




x4 1

1

1

x3 −1 1 · (1) + (−1) 0


x2 −7 1 · (0) + (−7) −7


1

0

1 −1

1 1 1 −1

−7

−6

x1 1 1 · (−7) + (1) −6

x0 6 1 · (−6) + (6) 0

±1; ±2; ±3; ±6.


x3 − 7x − 6.

Zkoušíme ±1; ±2; ±3; ±6



x2 − x − 6.

HS

1 −1

−6 Zkoušíme −1; ±2; ±3; ±6

−1 2 −2

1 −2 1 1 1 −3




x4 1

1

1

x3 −1 1 · (1) + (−1) 0


x2 −7 1 · (0) + (−7) −7


1

0

1 −1

1 1 1 −1

−7

−6

x1 1 1 · (−7) + (1) −6

x0 6 1 · (−6) + (6) 0

±1; ±2; ±3; ±6.


x3 − 7x − 6.

Zkoušíme ±1; ±2; ±3; ±6



x2 − x − 6.

HS

1 −1

−6 Zkoušíme −1; ±2; ±3; ±6

−1 2 −2

1 −2 1 1 1 −3




x4 1

1

1

x3 −1 1 · (1) + (−1) 0


x2 −7 1 · (0) + (−7) −7


1

0

1 −1

1 1 1 −1

−7

−6

x1 1 1 · (−7) + (1) −6

x0 6 1 · (−6) + (6) 0

±1; ±2; ±3; ±6.


x3 − 7x − 6.

Zkoušíme ±1; ±2; ±3; ±6



x2 − x − 6.

HS

1 −1

−6 Zkoušíme −1; ±2; ±3; ±6

−1 2 −2

1 −2 1 1 1 −3




x4 1

1

1

x3 −1 1 · (1) + (−1) 0


x2 −7 1 · (0) + (−7) −7


1

0

1 −1

1 1 1 −1

−7

−6

x1 1 1 · (−7) + (1) −6

x0 6 1 · (−6) + (6) 0

±1; ±2; ±3; ±6.


x3 − 7x − 6.

Zkoušíme ±1; ±2; ±3; ±6



x2 − x − 6.

HS

1 −1

−6 Zkoušíme −1; ±2; ±3; ±6

−1 2 −2

1 −2 1 1 1 −3


Rozklad mnohočlenu

x4 − x3 − 7x2 + x + 6 = (x − 1) · (x + 1) · (x + 2) · (x − 3)


Najděte kořeny mnohočlenu

2x3 − 7x2 + x + 10

Zkoušíme postupně: ± 11 (= ±1), ± 12 (= ±2), ± 51 (= ±5), ± 10 (= ±10), ± 21 , ( 22 = 1), ± 52 , ( 10 = 5) 1 2 HS 1 −1

x3 2 2 2 2

x2 −7 1 · (2) + (−7) −5 −9

x1 1 1 · (−5) + (1) −4 10

x0 10 1 · (−4) + (10) 6 0

není kořen x1 = −1 je kořen



2x3 − 7x2 + x + 10


x3 2 2 2 2

x2 −7 1 · (2) + (−7) −5 −9

x1 1 1 · (−5) + (1) −4 10

x0 10 1 · (−4) + (10) 6 0




2x3 − 7x2 + x + 10


x3 2 2 2 2

x2 −7 1 · (2) + (−7) −5 −9

x1 1 1 · (−5) + (1) −4 10

x0 10 1 · (−4) + (10) 6 0




2x3 − 7x2 + x + 10


x3 2 2 2 2

x2 −7 1 · (2) + (−7) −5 −9

x1 1 1 · (−5) + (1) −4 10

x0 10 1 · (−4) + (10) 6 0




2x3 − 7x2 + x + 10


x3 2 2 2 2

x2 −7 1 · (2) + (−7) −5 −9

x1 1 1 · (−5) + (1) −4 10

x0 10 1 · (−4) + (10) 6 0




2x3 − 7x2 + x + 10


x3 2 2 2 2

x2 −7 1 · (2) + (−7) −5 −9

x1 1 1 · (−5) + (1) −4 10

Hledáme kořeny mnohočlenu

x0 10 1 · (−4) + (10) 6 0


2x2 − 9x + 10

Zkoušíme postupně: −1, ±2, ±5, ±10, ± 21 , ± 52 , HS

x2 2

x1 −9

x0 10

−1 2

2 2

−11 −5

21 již není kořen 0 x2 = 2 je kořen



2x3 − 7x2 + x + 10


x3 2 2 2 2

x2 −7 1 · (2) + (−7) −5 −9

x1 1 1 · (−5) + (1) −4 10


x0 10 1 · (−4) + (10) 6 0


2x2 − 9x + 10


x2 2

x1 −9

x0 10

−1 2

2 2

−11 −5




2x3 − 7x2 + x + 10


x3 2 2 2 2

x2 −7 1 · (2) + (−7) −5 −9

x1 1 1 · (−5) + (1) −4 10


x0 10 1 · (−4) + (10) 6 0


2x2 − 9x + 10


x2 2

x1 −9

x0 10

−1 2

2 2

−11 −5




2x3 − 7x2 + x + 10


x3 2 2 2 2

x2 −7 1 · (2) + (−7) −5 −9

x1 1 1 · (−5) + (1) −4 10


x0 10 1 · (−4) + (10) 6 0


2x2 − 9x + 10


x2 2

x1 −9

x0 10

−1 2

2 2

−11 −5


Rozklad mnohočlenu

2x3 − 7x2 + x + 10 = (x + 1) · (x − 2) · (2x − 5)


2.

Racionální lomená funkce Funkci danou předpisem R(x) =

P (x) , Q(x)

kde P , Q jsou mnohočleny a Q je navíc nenulový mnohočlen nazýváme racionální (lomenou) funkcí. Říkáme, že funkce R je ryze lomená jestliže st P < st Q a neryze lomená jestliže st P ≥ st Q. Například 3x2 + 2 1. R1 : y = x−2 2. R2 : y =

je neryze lomená racionální funkce;

2x 5x3 + 7x2 + x − 2

je ryze lomená racionální funkce.

Je-li R neryze lomená racionální funkce, pak lze provést dělení mnohočlenu mnohočlenem. Při dělení P (x) : Q(x) dostaneme podíl S(x) a zbytek T(x). Přitom platí st T < st Q (dělíme prostě tak dlouho, dokud to jde), tedy R(x) =

P (x) T (x) = S(x) + . Q(x) Q(x)

(3)

U mnohočlenů (v předchozí kapitole) hrál důležitou roli rozklad na součin (lineárních či kvadratických činitelů). Podobně u racionálních lomených funkcí je v řadě aplikací důležité něco podobného. Na rozdíl od mnohočlenů, kde jde o rozklad na součin, půjde zde o rozklad na součet jednodušších racionálních •First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

lomených funkcí, které nazýváme parciální zlomky. Vlastně jde o opačný postup, kterým je sčítání zlomků po převodu na společného jmenovatele.

2.1.

Parciální zlomky

jsou speciální racionální komené funkce. Rozlišujeme dva typy parciálních zlomků: A (x − α)k

kde k je přirozené číslo, α, A jsou reálná čísla

a Mx + N + px + q)k

(x2

kde k je přirozené číslo, M, N, p, q jsou reálná čísla a navíc p2 − 4q < 0 .

U prvního typu je ve jmenovateli nějaká mocnina (třeba i první) lineárního dvojčlenu tvaru x − α a v čitateli je konstanta. U druhého typu je jmenovateli nějaká mocnina (třeba i první) kvadratického trojčlenu tvaru x2 + pxq majícího komplexní kořeny (záporný diskriminant) a v čitateli je lineární dvojčlen (nebo konstanta, pokud je M rovno nule). Parciální zlomky jsou vždy ryze lomené. A protože součet ryze lomených racionálních funkcí (parciálních zlomků) nemůže být neryze lomená racionální funkce, můžeme na parciální zlomky rozkládat pouze ryzí racionální funkce. V případě neryzí T (x) racionální funkce ji nejprve dělením převedeme na tvar (3) a rozkládáme funkci Q(x) .


2.2.

Typy rozkladů na parciální zlomky

Nyní si ukážeme, jak lze napsat v konkrétních případech rozklady ryze lomené racionální funkce R(x) =

P (x) . Q(x)

Reálný jednonásobný kořen jmenovatele Q(x), pak:

R(x) =

A x−a

kde a je kořen jmenovatele dané racionální lomené funkce, x − a (x mínus kořen) je příslušný kořenový činitel a A je číslo (parametr), který hledáme. Reálný n násobný kořen jmenovatele Q(x), pak: R(x) =

A B C D + + ... + + 2 n−1 x − a (x − a) (x − a) (x − a)n

kde a je násobný kořen jmenovatele (s násobností n) dané racionální lomené funkce, x − a (x mínus kořen) je příslušný kořenový činitel a A, B, C a D jsou čísla (parametry), která hledáme. Dvojice jednonásobných komplexně sdružených kořenů jmenovatele Q(x), pak: R(x) =

Ax + B a · x2 + b · x + c

kde a, b, c jsou koefecienty kvadratického dvojčlenu takové, že a 6= 0 a b2 − 4ac < 0. A a B jsou čísla (parametry), která hledáme. •First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Dvojice n násobných komplexně sdružených kořenů jmenovatele Q(x), pak: Ax + B Cx + D Ex + F Gx + H R(x) = + + ... + + 2 2 2 2 n−1 2 a · x + b · x + c (a · x + b · x + c) (a · x + b · x + c) (a · x + b · x + c)n kde a, b, c jsou koefecienty kvadratického dvojčlenu takové, že a 6= 0 a b2 − 4ac < 0. A, B, C, D, E, G a H jsou čísla (parametry), která hledáme.

2.3.

Postup rozkladu racionální lomené funkce na parciální zlomky

1. Ověříme, zda zadaná racionální lomená funkce je ryzí. Pokud NE (v čitateli „nahoře“ zadané racionální lomené funkce je mnohočlen stejného či vyššího řádu jako má mnohočlen jmenovatele „dole“) provedeme zlomkovou čarou naznačené dělení. Případný zbytek po tomto dělení je již ryzí racionální lomená funkce. Pokud ANO (ve jmenovateli zadané funkce je mnohočlen vyššího řádu, jak v čitateli) pokračujeme dalším bodem.

2. Najdeme všechny (včetně násobnosti) kořeny jmenovatele. Například Hornerovým schématem. Kořeny hledáme pouze reálné. Komplexně sdružené nevyčíslujeme, ale nahradíme je kvadratickým dvojčlenem. Přitom využíváme následující vlastnost.


Celočíselný kořen mnohočlenu s celočíselnými koeficienty (2) Rn (x) = an xn + an−1 xn−1 + . . . + a1 x + a0 ,

x∈R,

kde n je přirozené číslo (1 ≤ n ∈ N), a0 , a1 , . . . , an−1 , an jsou celá čísla, kdy an 6= 0, a0 6= 0. musí bezezbytku dělit (být dělitelem) jeho absolutní člen (koeficient a0 u proměnné x0 – která tam není!) p (kde p, q jsou nesoudělná celá čísla) mnohočlenu R, platí, že q p dělí beze zbytku koeficient a0 a q dělí beze zbytku koeficient an . Pro racionální kořen α =

3. Stanovíme typy parciálních zlomků a určíme jednotlivé parametry. Počet parametrů musí být roven stupni jmenovatele. Při určování parametrů využíváme následující dvě metody (případně je vhodně kombinujeme) poté, co rovnici vynásobíme společným jmenovatelem (abychom se zbavili zlomků) a tím dostaneme rovnost dvou mnohočlenů. Dosazujeme za x vhodná čísla, nejlépe kořeny jmenovatele. Protože mají-li se dva mnohočleny rovnat, musejí mít stejné funkční hodnoty ve všech bodech. Porovnáme koeficienty u odpovídajících si mocnin proměnné x. Protože mají-li se dva mnohočleny rovnat, jejich příslušné koeficienty musejí být stejné.


Reálné jednonásobné kořeny jmenovatele Rozložte na parciální zlomky racionální lomenou funkci R(x) =

x2 + 2x − 1 . x3 − x



x2 + 2x − 1 . x3 − x




x2 + 2x − 1 . x3 − x

1. Ověříme, zda zadaná racionální lomená funkce je ryzí. ANO, je ryzí Stupeň čitatele (2) je menší než stupeň jmenovatele (3). 2. Najdeme všechny (včetně násobnosti) kořeny jmenovatele. Například Hornerovým schématem. Kořeny hledáme pouze reálné. Komplexně sdružené nevyčíslujeme, ale nahradíme je kvadratickým dvojčlenem.



x2 + 2x − 1 . x3 − x

1. Ověříme, zda zadaná racionální lomená funkce je ryzí. ANO, je ryzí Stupeň čitatele (2) je menší než stupeň jmenovatele (3). 2. Najdeme všechny (včetně násobnosti) kořeny jmenovatele. Například Hornerovým schématem. Kořeny hledáme pouze reálné. Komplexně sdružené nevyčíslujeme, ale nahradíme je kvadratickým dvojčlenem. Součin kořenových činitelů x3 − x = x · (x2 − 1) = x · (x + 1) · (x − 1)



x2 + 2x − 1 . x3 − x

1. Ověříme, zda zadaná racionální lomená funkce je ryzí. ANO, je ryzí Stupeň čitatele (2) je menší než stupeň jmenovatele (3). 2. Najdeme všechny (včetně násobnosti) kořeny jmenovatele. Například Hornerovým schématem. Součin kořenových činitelů x3 − x = x · (x2 − 1) = x · (x + 1) · (x − 1) 3. Stanovíme typy parciálních zlomků a určíme jednotlivé parametry. Počet parametrů musí být roven stupni jmenovatele. x2 + 2x − 1 A B C = + + | x · (x + 1) · (x − 1) x3 − x x x+1 x−1 Při určování parametrů využíváme následující dvě metody (případně je vhodně kombinujeme) poté, co rovnici vynásobíme společným jmenovatelem (abychom se zbavili zlomků) a tím dostaneme rovnost dvou mnohočlenů. Typy parciálních zlomků R(x) =

Dosazujeme za x vhodná čísla, nejlépe kořeny jmenovatele. Protože mají-li se dva mnohočleny rovnat, musejí mít stejné funkční hodnoty ve všech bodech. Porovnáme koeficienty u odpovídajících si mocnin proměnné x. Protože mají-li se dva mnohočleny rovnat, jejich příslušné koeficienty musejí být stejné. •First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit


x2 + 2x − 1 . x3 − x

1. Ověříme, zda zadaná racionální lomená funkce je ryzí. ANO, je ryzí Stupeň čitatele (2) je menší než stupeň jmenovatele (3). 2. Najdeme všechny (včetně násobnosti) kořeny jmenovatele. Například Hornerovým schématem. Součin kořenových činitelů x3 − x = x · (x2 − 1) = x · (x + 1) · (x − 1) 3. Stanovíme typy parciálních zlomků a určíme jednotlivé parametry. Počet parametrů musí být roven stupni jmenovatele. Typy parciálních zlomků R(x) =

x2 + 2x − 1 A B C = + + 3 x −x x x+1 x−1

| x · (x + 1) · (x − 1)

Určení parametrů x2 + 2x − 1 = A · (x + 1) · (x − 1) + B · x · (x − 1) + C · x · (x + 1) x=0

=⇒

02 + 2 · 0 − 1 = A · (0 + 1) · (0 − 1) + 0 + 0 =⇒ −1 = −A

x=1

=⇒

12 + 2 · 1 − 1 = 0 + 0 + C · 1 · (1 + 1) =⇒ 2 = 2C

x = −1

=⇒

=⇒

(−1)2 + 2 · (−1) − 1 = 0 + B · (−1) · [(−1) − 1] + 0 =⇒ −2 = 2B

=⇒

A=1

C=1 =⇒

B = −1



x2 + 2x − 1 . x3 − x

1. Ověříme, zda zadaná racionální lomená funkce je ryzí. ANO, je ryzí Stupeň čitatele (2) je menší než stupeň jmenovatele (3). 2. Najdeme všechny (včetně násobnosti) kořeny jmenovatele. Například Hornerovým schématem. Součin kořenových činitelů x3 − x = x · (x2 − 1) = x · (x + 1) · (x − 1) 3. Stanovíme typy parciálních zlomků a určíme jednotlivé parametry. Počet parametrů musí být roven stupni jmenovatele. Typy parciálních zlomků R(x) =

Výsledek R(x) =

x2 + 2x − 1 A B C = + + 3 x −x x x+1 x−1

| x · (x + 1) · (x − 1)

x2 + 2x − 1 1 −1 1 = + + x3 − x x x+1 x−1

Správnost výpočtu můžeme ověřit tak, že všechny tři zlomky opět sečteme (převedeme je nedříve na společného jmenovatele) a musíme dostat opět zadání.


Reálné vícenásobné kořeny jmenovatele Rozložte na parciální zlomky racionální lomenou funkci R(x) =

x2 + x − 1 . x3 − x2



x2 + x − 1 . x3 − x2




x2 + x − 1 . x3 − x2




x2 + x − 1 . x3 − x2

1. Ověříme, zda zadaná racionální lomená funkce je ryzí. ANO, je ryzí Stupeň čitatele (2) je menší než stupeň jmenovatele (3). 2. Najdeme všechny (včetně násobnosti) kořeny jmenovatele. Například Hornerovým schématem. Kořeny hledáme pouze reálné. Komplexně sdružené nevyčíslujeme, ale nahradíme je kvadratickým dvojčlenem. Součin kořenových činitelů x3 − x2 = x2 · (x − 1)



x2 + x − 1 . x3 − x2

1. Ověříme, zda zadaná racionální lomená funkce je ryzí. ANO, je ryzí Stupeň čitatele (2) je menší než stupeň jmenovatele (3). 2. Najdeme všechny (včetně násobnosti) kořeny jmenovatele. Například Hornerovým schématem. Součin kořenových činitelů x3 − x2 = x2 · (x − 1) 3. Stanovíme typy parciálních zlomků a určíme jednotlivé parametry. Počet parametrů musí být roven stupni jmenovatele. x2 + x − 1 A B C = | x2 · (x − 1) + + x3 − x2 x−1 x x2 Při určování parametrů využíváme následující dvě metody (případně je vhodně kombinujeme) poté, co rovnici vynásobíme společným jmenovatelem (abychom se zbavili zlomků) a tím dostaneme rovnost dvou mnohočlenů.

Typy parciálních zlomků R(x) =



x2 + x − 1 . x3 − x2

1. Ověříme, zda zadaná racionální lomená funkce je ryzí. ANO, je ryzí Stupeň čitatele (2) je menší než stupeň jmenovatele (3). 2. Najdeme všechny (včetně násobnosti) kořeny jmenovatele. Například Hornerovým schématem. Součin kořenových činitelů x3 − x2 = x2 · (x − 1) 3. Stanovíme typy parciálních zlomků a určíme jednotlivé parametry. Počet parametrů musí být roven stupni jmenovatele. Typy parciálních zlomků R(x) =

A x2 + x − 1 B C = + + 2 3 2 x −x x−1 x x

| x2 · (x − 1)

Určení parametrů x2 + x − 1 = A · x2 + B · x · (x − 1) + C · (x − 1) x=0

=⇒

02 + 0 − 1 = 0 + 0 + C · (0 − 1) =⇒ −1 = −C

=⇒

x=1

=⇒

12 + 1 − 1 = A · 12 + 0 + 0 =⇒ 1 = A

A=1

x2 :

=⇒

A=1

1 = A + B =⇒ 1 = 1 + B

=⇒

=⇒

C=1

B=0



x2 + x − 1 . x3 − x2

1. Ověříme, zda zadaná racionální lomená funkce je ryzí. ANO, je ryzí Stupeň čitatele (2) je menší než stupeň jmenovatele (3). 2. Najdeme všechny (včetně násobnosti) kořeny jmenovatele. Například Hornerovým schématem. Součin kořenových činitelů x3 − x2 = x2 · (x − 1) 3. Stanovíme typy parciálních zlomků a určíme jednotlivé parametry. Počet parametrů musí být roven stupni jmenovatele. Typy parciálních zlomků R(x) =

Výsledek R(x) =

x2 + x − 1 A B C = + + 2 3 2 x −x x−1 x x

| x2 · (x − 1)

x2 + x − 1 1 0 1 1 1 = + + = + x3 − x2 x − 1 x x2 x − 1 x2



Jednonásobné komplexně sdružené kořeny jmenovatele Rozložte na parciální zlomky racionální lomenou funkci R(x) =

x2 + x + 1 . x3 + x



x2 + x + 1 . x3 + x




x2 + x + 1 . x3 + x




x2 + x + 1 . x3 + x

1. Ověříme, zda zadaná racionální lomená funkce je ryzí. ANO, je ryzí Stupeň čitatele (2) je menší než stupeň jmenovatele (3). 2. Najdeme všechny (včetně násobnosti) kořeny jmenovatele. Například Hornerovým schématem. Kořeny hledáme pouze reálné. Komplexně sdružené nevyčíslujeme, ale nahradíme je kvadratickým dvojčlenem. Součin kořenových činitelů x3 + x = x · (x2 + 1) x2 6= −1, pro každé reálné číslo x.

Kořeny závorky jsou komplexní, protože



x2 + x + 1 . x3 + x

1. Ověříme, zda zadaná racionální lomená funkce je ryzí. ANO, je ryzí Stupeň čitatele (2) je menší než stupeň jmenovatele (3). 2. Najdeme všechny (včetně násobnosti) kořeny jmenovatele. Například Hornerovým schématem. Součin kořenových činitelů x3 + x = x · (x2 + 1)

Kořeny závorky jsou komplexní,

3. Stanovíme typy parciálních zlomků a určíme jednotlivé parametry. Počet parametrů musí být roven stupni jmenovatele. x2 + x + 1 A B·x+C = + | x · (x2 + 1) x3 + x x x2 + 1 Při určování parametrů využíváme následující dvě metody (případně je vhodně kombinujeme) poté, co rovnici vynásobíme společným jmenovatelem (abychom se zbavili zlomků) a tím dostaneme rovnost dvou mnohočlenů. Typy parciálních zlomků R(x) =



x2 + x + 1 . x3 + x



3. Stanovíme typy parciálních zlomků a určíme jednotlivé parametry. Počet parametrů musí být roven stupni jmenovatele. Typy parciálních zlomků R(x) =

x2 + x + 1 A B·x+C = + 3 x +x x x2 + 1

| x · (x2 + 1)

Určení parametrů x2 + x + 1 = A · (x2 + 1) + (B · x + C) · x x=0

=⇒

02 + 0 + 1 = A · (02 + 1) + (B · 0 + C) · 0 =⇒ 1 = A + 0

x2 :

=⇒

1 = A + B =⇒ 1 = 1 + B

x:

=⇒

1=C

A=1

=⇒

=⇒

=⇒

A=1

B=0

C=1 •First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit


x2 + x + 1 . x3 + x




Výsledek R(x) =

x2 + x + 1 A B·x+C = + 3 x +x x x2 + 1

| x · (x2 + 1)

x2 + x + 1 1 0·x+1 1 1 = + = + x3 + x x x2 + 1 x x2 + 1



Vícenásobné komplexně sdružené kořeny jmenovatele Rozložte na parciální zlomky racionální lomenou funkci R(x) =

x4 + x3 + 2x2 + 1 . x7 + 2x5 + x3



x4 + x3 + 2x2 + 1 . x7 + 2x5 + x3




x4 + x3 + 2x2 + 1 . x7 + 2x5 + x3




x4 + x3 + 2x2 + 1 . x7 + 2x5 + x3

1. Ověříme, zda zadaná racionální lomená funkce je ryzí. ANO, je ryzí Stupeň čitatele (4) je menší než stupeň jmenovatele (7). 2. Najdeme všechny (včetně násobnosti) kořeny jmenovatele. Například Hornerovým schématem. Kořeny hledáme pouze reálné. Komplexně sdružené nevyčíslujeme, ale nahradíme je kvadratickým dvojčlenem. Součin kořenových činitelů x7 + 2x5 + x3 = x3 · (x2 + 1)2 protože x2 6= −1, pro každé reálné číslo x.




x4 + x3 + 2x2 + 1 . x7 + 2x5 + x3

1. Ověříme, zda zadaná racionální lomená funkce je ryzí. ANO, je ryzí Stupeň čitatele (4) je menší než stupeň jmenovatele (7). 2. Najdeme všechny (včetně násobnosti) kořeny jmenovatele. Například Hornerovým schématem. Součin kořenových činitelů x7 + 2x5 + x3 = x3 · (x2 + 1)2


3. Stanovíme typy parciálních zlomků a určíme jednotlivé parametry. Počet parametrů musí být roven stupni jmenovatele. A B C D·x+E F ·x+G + 2+ 3+ + 2 | x3 · (x2 + 1)2 x x x x2 + 1 (x + 1)2 Při určování parametrů využíváme následující dvě metody (případně je vhodně kombinujeme) poté, co rovnici vynásobíme společným jmenovatelem (abychom se zbavili zlomků) a tím dostaneme rovnost dvou mnohočlenů. Typy parciálních zlomků R(x) =



x4 + x3 + 2x2 + 1 . x7 + 2x5 + x3

ANO, je ryzí Stupeň čitatele (4) je menší než stupeň jmenovatele (7). Součin kořenových činitelů x7 + 2x5 + x3 = x3 · (x2 + 1)2 Typy parciálních zlomků R(x) =


A B C D·x+E F ·x+G + 2+ 3+ + 2 x x x x2 + 1 (x + 1)2

| x3 · (x2 + 1)2

Určení parametrů x4 + x3 + 2x2 + 1 = = A · x2 · (x2 + 1)2 + B · x · (x2 + 1)2 + C · (x2 + 1)2 + (D · x + E) · x3 · (x2 + 1) + (F · x + G) · x3 = = A · (x6 + 2x4 + x2 ) + B · (x5 + 2x3 + x) + C · (x4 + 2x2 + 1) + D · (x6 + x4 ) + E · (x5 + x3 ) + F · x4 + G · x3 x = 0 =⇒ 1 = C x: =⇒ 0 = B x2 : =⇒ 2 = A + 2C

C=1

=⇒

2=A+2

=⇒

C=1

=⇒

B=0

=⇒

A=0 E=0

5

B=0

=⇒

0=0+E

=⇒

6

A=0

0=0+D

=⇒ D = 0

x : =⇒ 0 = B + E x : =⇒ 0 = A + D

=⇒

x4 : =⇒ 1 = 2A + C + D + F x3 : =⇒ 1 = 2B + E + G

B,E

=⇒

A,C,D

=⇒

1=0+1+0+F

1=0+0+G

=⇒

F =0

=⇒

G=1



x4 + x3 + 2x2 + 1 . x7 + 2x5 + x3

1. Ověříme, zda zadaná racionální lomená funkce je ryzí. ANO, je ryzí Stupeň čitatele (4) je menší než stupeň jmenovatele (7). 2. Najdeme všechny (včetně násobnosti) kořeny jmenovatele. Například Hornerovým schématem. Součin kořenových činitelů x7 + 2x5 + x3 = x3 · (x2 + 1)2



Výsledek R(x) =

A B C D·x+E F ·x+G + 2+ 3+ + 2 x x x x2 + 1 (x + 1)2

| x3 · (x2 + 1)2

0 0 1 0·x+0 0·x+1 1 1 x4 + x3 + 2x2 + 1 = + 2+ 3+ 2 + 2 = 3+ 2 7 5 3 2 x + 2x + x x x x x +1 (x + 1) x (x + 1)2



Příklad 1. Rozložte na parciální zlomky racionální lomenou funkci R(x) =

x3 + 14x2 − 3x − 24 x4 − x3 − 7x2 + x + 6



x3 + 14x2 − 3x − 24 x4 − x3 − 7x2 + x + 6




x3 + 14x2 − 3x − 24 x4 − x3 − 7x2 + x + 6

1. Ověříme, zda zadaná racionální lomená funkce je ryzí. ANO, je ryzí Stupeň čitatele (3) je menší než stupeň jmenovatele (4).



x3 + 14x2 − 3x − 24 x4 − x3 − 7x2 + x + 6

1. Ověříme, zda zadaná racionální lomená funkce je ryzí. ANO, je ryzí Stupeň čitatele (3) je menší než stupeň jmenovatele (4). 2. Najdeme všechny (včetně násobnosti) kořeny jmenovatele. Například Hornerovým schématem. Kořeny hledáme pouze reálné. Komplexně sdružené nevyčíslujeme, ale nahradíme je kvadratickým dvojčlenem. Přitom využíváme následující vlastnost. Celočíselný kořen mnohočlenu s celočíselnými koeficienty (2) Rn (x) = an xn + an−1 xn−1 + . . . + a1 x + a0 ,

x∈R,

kde n je přirozené číslo (1 ≤ n ∈ N), a0 , a1 , . . . , an−1 , an jsou celá čísla, kdy an 6= 0, a0 6= 0. musí bezezbytku dělit (být dělitelem) jeho absolutní člen (koeficient a0 u proměnné x0 – která tam není!) p (kde p, q jsou nesoudělná celá čísla) mnohočlenu R, platí, že q p dělí beze zbytku koeficient a0 a q dělí beze zbytku koeficient an . Pro racionální kořen α =

V našem případě celočíselným kořenem mohou být pouze některá z čísel: ±1; ±2; ±3; ±6, což vyzkoušíme Hornerovým schématem.



x4 − x3 − 7x2 + x + 6.



x4 1

1

1

x3 −1 1 · (1) + (−1) 0


x2 −7 1 · (0) + (−7) −7


x1 1 1 · (−7) + (1) −6

x0 6 1 · (−6) + (6) 0

±1; ±2; ±3; ±6.


x3 − 7x − 6.



x4 1

1

1

x3 −1 1 · (1) + (−1) 0


x2 −7 1 · (0) + (−7) −7


x1 1 1 · (−7) + (1) −6

x0 6 1 · (−6) + (6) 0

±1; ±2; ±3; ±6.


x3 − 7x − 6.



x4 1

1

1

x3 −1 1 · (1) + (−1) 0


x2 −7 1 · (0) + (−7) −7


x1 1 1 · (−7) + (1) −6

x0 6 1 · (−6) + (6) 0

±1; ±2; ±3; ±6.


x3 − 7x − 6.



x4 1

1

1

x3 −1 1 · (1) + (−1) 0


x2 −7 1 · (0) + (−7) −7


x1 1 1 · (−7) + (1) −6

x0 6 1 · (−6) + (6) 0

±1; ±2; ±3; ±6.


x3 − 7x − 6.



x4 1

1

1

x3 −1 1 · (1) + (−1) 0


x2 −7 1 · (0) + (−7) −7


x1 1 1 · (−7) + (1) −6

x0 6 1 · (−6) + (6) 0

±1; ±2; ±3; ±6.


x3 − 7x − 6.



x4 1

1

1

x3 −1 1 · (1) + (−1) 0


x2 −7 1 · (0) + (−7) −7


x1 1 1 · (−7) + (1) −6

x0 6 1 · (−6) + (6) 0

±1; ±2; ±3; ±6.


x3 − 7x − 6.



x4 1

1

1

x3 −1 1 · (1) + (−1) 0


x2 −7 1 · (0) + (−7) −7


x1 1 1 · (−7) + (1) −6

x0 6 1 · (−6) + (6) 0

±1; ±2; ±3; ±6.


x3 − 7x − 6.



x4 1

1

1

x3 −1 1 · (1) + (−1) 0


x2 −7 1 · (0) + (−7) −7


x1 1 1 · (−7) + (1) −6

x0 6 1 · (−6) + (6) 0

±1; ±2; ±3; ±6.


x3 − 7x − 6.



x4 1

1

1

x3 −1 1 · (1) + (−1) 0


x2 −7 1 · (0) + (−7) −7


x1 1 1 · (−7) + (1) −6

x0 6 1 · (−6) + (6) 0

±1; ±2; ±3; ±6.


x3 − 7x − 6.



x4 1

1

1

x3 −1 1 · (1) + (−1) 0


x2 −7 1 · (0) + (−7) −7


x1 1 1 · (−7) + (1) −6

x0 6 1 · (−6) + (6) 0

±1; ±2; ±3; ±6.


x3 − 7x − 6.



x4 1

1

1

x3 −1 1 · (1) + (−1) 0


x2 −7 1 · (0) + (−7) −7


x1 1 1 · (−7) + (1) −6

x0 6 1 · (−6) + (6) 0

±1; ±2; ±3; ±6.


x3 − 7x − 6.



x4 1

1

1

x3 −1 1 · (1) + (−1) 0


x2 −7 1 · (0) + (−7) −7


x1 1 1 · (−7) + (1) −6

x0 6 1 · (−6) + (6) 0

±1; ±2; ±3; ±6.


x3 − 7x − 6.



x4 1

1

1

x3 −1 1 · (1) + (−1) 0


x2 −7 1 · (0) + (−7) −7


1

0

1 −1

1 1 1 −1

−7

−6

x1 1 1 · (−7) + (1) −6

x0 6 1 · (−6) + (6) 0

±1; ±2; ±3; ±6.


x3 − 7x − 6.

Zkoušíme ±1; ±2; ±3; ±6



x2 − x − 6.

HS

1 −1

−6 Zkoušíme −1; ±2; ±3; ±6

−1 2 −2

1 −2 1 1 1 −3




x4 1

1

1

x3 −1 1 · (1) + (−1) 0


x2 −7 1 · (0) + (−7) −7


1

0

1 −1

1 1 1 −1

−7

−6

x1 1 1 · (−7) + (1) −6

x0 6 1 · (−6) + (6) 0

±1; ±2; ±3; ±6.


x3 − 7x − 6.

Zkoušíme ±1; ±2; ±3; ±6



x2 − x − 6.

HS

1 −1

−6 Zkoušíme −1; ±2; ±3; ±6

−1 2 −2

1 −2 1 1 1 −3




x4 1

1

1

x3 −1 1 · (1) + (−1) 0


x2 −7 1 · (0) + (−7) −7


1

0

1 −1

1 1 1 −1

−7

−6

x1 1 1 · (−7) + (1) −6

x0 6 1 · (−6) + (6) 0

±1; ±2; ±3; ±6.


x3 − 7x − 6.

Zkoušíme ±1; ±2; ±3; ±6



x2 − x − 6.

HS

1 −1

−6 Zkoušíme −1; ±2; ±3; ±6

−1 2 −2

1 −2 1 1 1 −3




x4 1

1

1

x3 −1 1 · (1) + (−1) 0


x2 −7 1 · (0) + (−7) −7


1

0

1 −1

1 1 1 −1

−7

−6

x1 1 1 · (−7) + (1) −6

x0 6 1 · (−6) + (6) 0

±1; ±2; ±3; ±6.


x3 − 7x − 6.

Zkoušíme ±1; ±2; ±3; ±6



x2 − x − 6.

HS

1 −1

−6 Zkoušíme −1; ±2; ±3; ±6

−1 2 −2

1 −2 1 1 1 −3




x4 1

1

1

x3 −1 1 · (1) + (−1) 0


x2 −7 1 · (0) + (−7) −7


1

0

1 −1

1 1 1 −1

−7

−6

x1 1 1 · (−7) + (1) −6

x0 6 1 · (−6) + (6) 0

±1; ±2; ±3; ±6.


x3 − 7x − 6.

Zkoušíme ±1; ±2; ±3; ±6



x2 − x − 6.

HS

1 −1

−6 Zkoušíme −1; ±2; ±3; ±6

−1 2 −2

1 −2 1 1 1 −3




x4 1

1

1

x3 −1 1 · (1) + (−1) 0


x2 −7 1 · (0) + (−7) −7


1

0

1 −1

1 1 1 −1

−7

−6

x1 1 1 · (−7) + (1) −6

x0 6 1 · (−6) + (6) 0

±1; ±2; ±3; ±6.


x3 − 7x − 6.

Zkoušíme ±1; ±2; ±3; ±6



x2 − x − 6.

HS

1 −1

−6 Zkoušíme −1; ±2; ±3; ±6

−1 2 −2

1 −2 1 1 1 −3




x4 1

1

1

x3 −1 1 · (1) + (−1) 0


x2 −7 1 · (0) + (−7) −7


1

0

1 −1

1 1 1 −1

−7

−6

x1 1 1 · (−7) + (1) −6

x0 6 1 · (−6) + (6) 0

±1; ±2; ±3; ±6.


x3 − 7x − 6.

Zkoušíme ±1; ±2; ±3; ±6



x2 − x − 6.

HS

1 −1

−6 Zkoušíme −1; ±2; ±3; ±6

−1 2 −2

1 −2 1 1 1 −3




x4 1

1

1

x3 −1 1 · (1) + (−1) 0


x2 −7 1 · (0) + (−7) −7


1

0

1 −1

1 1 1 −1

−7

−6

x1 1 1 · (−7) + (1) −6

x0 6 1 · (−6) + (6) 0

±1; ±2; ±3; ±6.


x3 − 7x − 6.

Zkoušíme ±1; ±2; ±3; ±6



x2 − x − 6.

HS

1 −1

−6 Zkoušíme −1; ±2; ±3; ±6

−1 2 −2

1 −2 1 1 1 −3




x4 1

1

1

x3 −1 1 · (1) + (−1) 0


x2 −7 1 · (0) + (−7) −7


1

0

1 −1

1 1 1 −1

−7

−6

x1 1 1 · (−7) + (1) −6

x0 6 1 · (−6) + (6) 0

±1; ±2; ±3; ±6.


x3 − 7x − 6.

Zkoušíme ±1; ±2; ±3; ±6



x2 − x − 6.

HS

1 −1

−6 Zkoušíme −1; ±2; ±3; ±6

−1 2 −2

1 −2 1 1 1 −3




x4 1

1

1

x3 −1 1 · (1) + (−1) 0


x2 −7 1 · (0) + (−7) −7


1

0

1 −1

1 1 1 −1

−7

−6

x1 1 1 · (−7) + (1) −6

x0 6 1 · (−6) + (6) 0

±1; ±2; ±3; ±6.


x3 − 7x − 6.

Zkoušíme ±1; ±2; ±3; ±6



x2 − x − 6.

HS

1 −1

−6 Zkoušíme −1; ±2; ±3; ±6

−1 2 −2

1 −2 1 1 1 −3




x4 1

1

1

x3 −1 1 · (1) + (−1) 0


x2 −7 1 · (0) + (−7) −7


1

0

1 −1

1 1 1 −1

−7

−6

x1 1 1 · (−7) + (1) −6

x0 6 1 · (−6) + (6) 0

±1; ±2; ±3; ±6.


x3 − 7x − 6.

Zkoušíme ±1; ±2; ±3; ±6



x2 − x − 6.

HS

1 −1

−6 Zkoušíme −1; ±2; ±3; ±6

−1 2 −2

1 −2 1 1 1 −3


Rozklad mnohočlenu

x4 − x3 − 7x2 + x + 6 = (x − 1) · (x + 1) · (x + 2) · (x − 3)



x3 + 14x2 − 3x − 24 x4 − x3 − 7x2 + x + 6

ANO, je ryzí Stupeň čitatele (3) je menší než stupeň jmenovatele (4). 2. Najdeme všechny (včetně násobnosti) kořeny jmenovatele. Například Hornerovým schématem. x4 − x3 − 7x2 + x + 6 = (x − 1) · (x + 1) · (x + 2) · (x − 3) 3. Stanovíme typy parciálních zlomků a určíme jednotlivé parametry. Počet parametrů musí být roven stupni jmenovatele. A B C D x3 + 14x2 − 3x − 24 = + + + 4 3 2 x − x − 7x + x + 6 x−1 x+1 x+2 x−3 Při určování parametrů využíváme následující dvě metody (případně je vhodně kombinujeme) poté, co rovnici vynásobíme společným jmenovatelem (abychom se zbavili zlomků) a tím dostaneme rovnost dvou mnohočlenů.

Typy parciálních zlomků

Dosazujeme za x vhodná čísla, nejlépe kořeny jmenovatele. Protože mají-li se dva mnohočleny rovnat, musejí mít stejné funkční hodnoty ve všech bodech. Porovnáme koeficienty u odpovídajících si mocnin proměnné x. Protože mají-li se dva mnohočleny rovnat, jejich příslušné koeficienty musejí být stejné.



x3 + 14x2 − 3x − 24 x4 − x3 − 7x2 + x + 6

ANO, je ryzí Stupeň čitatele (3) je menší než stupeň jmenovatele (4). 2. Najdeme všechny (včetně násobnosti) kořeny jmenovatele. Například Hornerovým schématem. x4 − x3 − 7x2 + x + 6 = (x − 1) · (x + 1) · (x + 2) · (x − 3) 3. Stanovíme typy parciálních zlomků a určíme jednotlivé parametry. Počet parametrů musí být roven stupni jmenovatele. Typy parciálních zlomků

A B C D x3 + 14x2 − 3x − 24 = + + + 4 3 2 x − x − 7x + x + 6 x−1 x+1 x+2 x−3

Určení parametrů po vynásobení společným jmenovatelem x3 + 14x2 − 3x − 24 = = A·(x+1)·(x+2)·(x−3)+B·(x−1)·(x+2)·(x−3)+C ·(x−1)·(x+1)·(x−3)+D·(x−1)·(x+1)·(x+2) x = 1 : (1)3 + 14 · (1)2 − 3 · (1) − 24 = A · [(1) + 1] · [(1) + 2] · [(1) − 3] + 0 + 0 + 0 =⇒ −12 = −12A : A = 1 x = −1 : (−1)3 + 14 · (−1)2 − 3 · (−1) − 24 = 0 + B · [(−1) − 1] · [(−1) + 2] · [(−1) − 3] + 0 + 0 : B = −1 x = −2 : (−2)3 + 14 · (−2)2 − 3 · (−2) − 24 = 0 + 0 + C · [(−2) − 1] · [(−2) + 1] · [(−2) − 3] + 0 : C = −2 x = 3 : (3)3 + 14 · (3)2 − 3 · (3) − 24 = 0 + 0 + 0 + D · [(3) − 1] · [(3) + 1] · [(3) + 2] =⇒ 120 = 40D : D = 3



x3 + 14x2 − 3x − 24 x4 − x3 − 7x2 + x + 6

ANO, je ryzí Stupeň čitatele (3) je menší než stupeň jmenovatele (4). 2. Najdeme všechny (včetně násobnosti) kořeny jmenovatele. Například Hornerovým schématem. x4 − x3 − 7x2 + x + 6 = (x − 1) · (x + 1) · (x + 2) · (x − 3) 3. Stanovíme typy parciálních zlomků a určíme jednotlivé parametry. Počet parametrů musí být roven stupni jmenovatele. Typy parciálních zlomků

A B C D x3 + 14x2 − 3x − 24 = + + + 4 3 2 x − x − 7x + x + 6 x−1 x+1 x+2 x−3

Určení parametrů A = 1 ;

B = −1 ;

C = −2 ;

D=3 ;

Výsledek R(x) =

x3 + 14x2 − 3x − 24 1 −1 −2 3 = + + + 4 3 2 x − x − 7x + x + 6 x−1 x+1 x+2 x−3


Př. 2. Rozložte na parc. zlomky racionální lomenou funkci R(x) =

2x5 − 7x4 − x3 + 20x2 − 23x + 28 2x3 − 7x2 + x + 10



2x5 − 7x4 − x3 + 20x2 − 23x + 28 2x3 − 7x2 + x + 10




2x5 − 7x4 − x3 + 20x2 − 23x + 28 2x3 − 7x2 + x + 10

1. Ověříme, zda zadaná racionální lomená funkce je ryzí. Pokud NE (v čitateli „nahoře“ zadané racionální lomené funkce je mnohočlen stejného či vyššího řádu jako má mnohočlen jmenovatele „dole“) provedeme zlomkovou čarou naznačené dělení. Případný zbytek po tomto dělení je již ryzí racionální lomená funkce. Pokud ANO (ve jmenovateli zadané funkce je mnohočlen vyššího řádu, jak v čitateli) pokračujeme dalším bodem. NE, není ryzí Stupeň čitatele (5) je větší než stupeň jmenovatele (3). Zadaná funkce se dá rozložit R(x) = P (x) + Q(x), kde Q(x) =

zbytek po dělení . 2x3 − 7x2 + x + 10

Podělíme tedy čitatel jmenovatelem.



2x5 − 7x4 − x3 + 20x2 − 23x + 28 2x3 − 7x2 + x + 10

1. Ověříme, zda zadaná racionální lomená funkce je ryzí. Pokud NE (v čitateli „nahoře“ zadané racionální lomené funkce je mnohočlen stejného či vyššího řádu jako má mnohočlen jmenovatele „dole“) provedeme zlomkovou čarou naznačené dělení. Případný zbytek po tomto dělení je již ryzí racionální lomená funkce. Pokud ANO (ve jmenovateli zadané funkce je mnohočlen vyššího řádu, jak v čitateli) pokračujeme dalším bodem. NE, není ryzí Stupeň čitatele (5) je větší než stupeň jmenovatele (3). Zadaná funkce se dá rozložit R(x) = P (x) + Q(x), kde Q(x) =

zbytek po dělení . 2x3 − 7x2 + x + 10

Podělíme tedy čitatel jmenovatelem.

(2x5 −7x4 − x3 +20x2 −23x+28) : (2x3 − 7x2 + x + 10) = x2 − 1 + −(2x5 −7x4 + x3 +10x2 )

3x2 − 22x + 38 2x3 − 7x2 + x + 10

−2x3 +10x2 −23x+28 −(−2x3 + 7x2 − x−10) 3x2 −22x+38 Nebo jinak R(x) = P (x)+Q(x), kde P (x) = x2 −1 a Q(x) =

3x2 − 22x + 38 . 2x3 − 7x2 + x + 10

Na parciální

zlomky budeme rozkládat racionální lomenou funkci Q(x).



2x5 − 7x4 − x3 + 20x2 − 23x + 28 2x3 − 7x2 + x + 10

1. Ověříme, zda zadaná racionální lomená funkce je ryzí. NE, není ryzí Stupeň čitatele (5) je větší než stupeň jmenovatele (3). Zadaná funkce se dá rozložit R(x) = P (x) + Q(x), kde P (x) = x2 − 1 a Q(x) =

3x2 − 22x + 38 . 2x3 − 7x2 + x + 10

Na parciální zlomky

budeme rozkládat racionální lomenou funkci Q(x). 2. Najdeme všechny (včetně násobnosti) kořeny jmenovatele. Například Hornerovým schématem. Kořeny hledáme pouze reálné. Komplexně sdružené nevyčíslujeme, ale nahradíme je kvadratickým dvojčlenem. Přitom využíváme následující vlastnost. Celočíselný kořen mnohočlenu s celočíselnými koeficienty (2) Rn (x) = an xn + an−1 xn−1 + . . . + a1 x + a0 ,

x∈R,

kde n je přirozené číslo (1 ≤ n ∈ N), a0 , a1 , . . . , an−1 , an jsou celá čísla, kdy an 6= 0, a0 6= 0. musí bezezbytku dělit (být dělitelem) jeho absolutní člen (koeficient a0 u proměnné x0 – která tam není!) Pro racionální kořen α =

p (kde p, q jsou nesoudělná celá čísla) mnohočlenu R, platí, že q


p dělí beze zbytku koeficient a0 a q dělí beze zbytku koeficient an . Hledáme kořeny mnohočlenu

2x3 − 7x2 + x + 10.

V našem případě celočíselným kořenem mohou být pouze některá z čísel: ±1; ±2; ±5; ±10. A protože dvojka (člen u x3 ) je kromě jedničky dělitelná pouze ještě dvojkou, připadají jako kandidáti v úvahu ještě racionální kořeny ± 12 a ± 52 . Zlomky, které nejsou tvořeny nesoudělnými čísly napřed zkrátíme a zjistíme, že jejich tvary po = 5. zkrácení jsme již do našich úvah zahranuli: 22 = 1, 10 2 Který ze všech uvedených kandidátů na kořen jse skutečně kořenem, ověříme Hornerovým schématem. Z předchozího víme (důsledky základní věty algebry), že můžeme mít buď jeden reálný kořen nebo tři reálné kořeny, protože stupeň rozkládaného mnohočlenu je tři.



2x3 − 7x2 + x + 10

Zkoušíme postupně: ±1, ±2, ±5,±10, ± 12 , ± 25 . HS 1 −1

x3 2 2 2 2

x2 −7 1 · (2) + (−7) −5 −9

x1 1 1 · (−5) + (1) −4 10

x0 10 1 · (−4) + (10) 6 0




2x3 − 7x2 + x + 10


x3 2 2 2 2

x2 −7 1 · (2) + (−7) −5 −9

x1 1 1 · (−5) + (1) −4 10

x0 10 1 · (−4) + (10) 6 0




2x3 − 7x2 + x + 10


x3 2 2 2 2

x2 −7 1 · (2) + (−7) −5 −9

x1 1 1 · (−5) + (1) −4 10

x0 10 1 · (−4) + (10) 6 0




2x3 − 7x2 + x + 10


x3 2 2 2 2

x2 −7 1 · (2) + (−7) −5 −9

x1 1 1 · (−5) + (1) −4 10

x0 10 1 · (−4) + (10) 6 0




2x3 − 7x2 + x + 10


x3 2 2 2 2

x2 −7 1 · (2) + (−7) −5 −9

x1 1 1 · (−5) + (1) −4 10

x0 10 1 · (−4) + (10) 6 0




2x3 − 7x2 + x + 10


x3 2 2 2 2

x2 −7 1 · (2) + (−7) −5 −9

x1 1 1 · (−5) + (1) −4 10


x0 10 1 · (−4) + (10) 6 0


2x2 − 9x + 10


x2 2

x1 −9

x0 10

−1 2

2 2

−11 −5




2x3 − 7x2 + x + 10


x3 2 2 2 2

x2 −7 1 · (2) + (−7) −5 −9

x1 1 1 · (−5) + (1) −4 10


x0 10 1 · (−4) + (10) 6 0


2x2 − 9x + 10


x2 2

x1 −9

x0 10

−1 2

2 2

−11 −5




2x3 − 7x2 + x + 10


x3 2 2 2 2

x2 −7 1 · (2) + (−7) −5 −9

x1 1 1 · (−5) + (1) −4 10


x0 10 1 · (−4) + (10) 6 0


2x2 − 9x + 10


x2 2

x1 −9

x0 10

−1 2

2 2

−11 −5




2x3 − 7x2 + x + 10


x3 2 2 2 2

x2 −7 1 · (2) + (−7) −5 −9

x1 1 1 · (−5) + (1) −4 10


x0 10 1 · (−4) + (10) 6 0


2x2 − 9x + 10


x2 2

x1 −9

x0 10

−1 2

2 2

−11 −5


Rozklad mnohočlenu

2x3 − 7x2 + x + 10 = (x + 1) · (x − 2) · (2x − 5)



2x5 − 7x4 − x3 + 20x2 − 23x + 28 2x3 − 7x2 + x + 10

NE, není ryzí Stupeň čitatele (5) je větší než stupeň jmenovatele (3). Zadaná funkce se dá rozložit R(x) = P (x) + Q(x), kde P (x) = x2 − 1 a Q(x) =

3x2 − 22x + 38 . 2x3 − 7x2 + x + 10


budeme rozkládat racionální lomenou funkci Q(x). 2. Najdeme všechny (včetně násobnosti) kořeny jmenovatele. Například Hornerovým schématem. 2x3 − 7x2 + x + 10 = (x + 1) · (x − 2) · (2x − 5) 3. Stanovíme typy parciálních zlomků a určíme jednotlivé parametry. Počet parametrů musí být roven stupni jmenovatele. 3x2 − 22x + 38 A B C = + + | (x+1)·(x−2)·(2x−5) 3 2 2x − 7x + x + 10 x + 1 x − 2 2x − 5 Při určování parametrů využíváme následující dvě metody (případně je vhodně kombinujeme) poté, co rovnici vynásobíme společným jmenovatelem (abychom se zbavili zlomků) a tím dostaneme rovnost dvou mnohočlenů. Typy parciálních zlomků

Dosazujeme za x vhodná čísla, nejlépe kořeny jmenovatele. Protože mají-li se dva mnohočleny rovnat, musejí mít stejné funkční hodnoty ve všech bodech. Porovnáme koeficienty u odpovídajících si mocnin proměnné x. Protože mají-li se dva mnohočleny rovnat, jejich příslušné koeficienty musejí být stejné.



2x5 − 7x4 − x3 + 20x2 − 23x + 28 2x3 − 7x2 + x + 10


3x2 − 22x + 38 . 2x3 − 7x2 + x + 10


budeme rozkládat racionální lomenou funkci Q(x). 2. Najdeme všechny (včetně násobnosti) kořeny jmenovatele. Například Hornerovým schématem. 2x3 − 7x2 + x + 10 = (x + 1) · (x − 2) · (2x − 5) 3. Stanovíme typy parciálních zlomků a určíme jednotlivé parametry. Počet parametrů musí být roven stupni jmenovatele. Typy parciálních zlomků

3x2 − 22x + 38 A B C = + + 2x3 − 7x2 + x + 10 x + 1 x − 2 2x − 5

| (x+1)·(x−2)·(2x−5)

Určení parametrů 3x2 − 22x + 38 = A · (x − 2) · (2x − 5) + B · (x + 1) · (2x − 5) + C · (x + 1) · (x − 2) x = −1

=⇒

3·(−1)2 −22·(−1)+38 = A·[(−1)−2]·[2·(−1)−5]+0+0 =⇒ 63 = 21A

x=2

=⇒

3·(2)2 −22·(2)+38 = 0+B·[(2)+1]·[2·(2)−5]+0 =⇒ 6 = −3B

=⇒

=⇒

A=3 B = −2

x = 2,5 =⇒ 3 · (2,5)2 − 22 · (2,5) + 38 = 0 + 0 + C · [(2,5) + 1] · [(2,5) − 2] =⇒ 1,75 = 1,75C =⇒ C = 1



2x5 − 7x4 − x3 + 20x2 − 23x + 28 2x3 − 7x2 + x + 10


3x2 − 22x + 38 . 2x3 − 7x2 + x + 10


budeme rozkládat racionální lomenou funkci Q(x). 2. Najdeme všechny (včetně násobnosti) kořeny jmenovatele. Například Hornerovým schématem. 2x3 − 7x2 + x + 10 = (x + 1) · (x − 2) · (2x − 5) 3. Stanovíme typy parciálních zlomků a určíme jednotlivé parametry. Počet parametrů musí být roven stupni jmenovatele. Typy parciálních zlomků

3x2 − 22x + 38 A B C = + + 3 2 2x − 7x + x + 10 x + 1 x − 2 2x − 5

Určení parametrů A = 3 ;

B = −2 ;

| (x+1)·(x−2)·(2x−5)

C=1 ;

Výsledek R(x) =

2x5 − 7x4 − x3 + 20x2 − 23x + 28 3 −2 1 = x2 − 1 + + + 3 2 2x − 7x + x + 10 x + 1 x − 2 2x − 5


2.6.

Závěrečná poznámka k rozkladu na parciální zlomky

V příkladu, kdy jsme měli rozložit NEryze lomenou racionální funkci, jsme jako odhadovaný rozklad na parciální zlomky uvedli A B C 3x2 − 22x + 38 = + + 2x3 − 7x2 + x + 10 x + 1 x − 2 2x − 5 kde třetí parciální zlomek má ve jmenovateli lineární dvojčlen 2x − 5. Tedy třetí kořen je x3 = 52 . Přitom v kapitole 2.1 jsme říkali, že parciální zlomek pro reálný kořen jmenovatele může mít pouze tvar A (x − α)k Neměli bychom odhadovaný rozklad psát 3x2 − 22x + 38 A∗ B∗ C∗ ? = + + 2x3 − 7x2 + x + 10 x + 1 x − 2 x − 52

(4)

Pokusme se najít, pokud existuje, vztah mezi parametry C ∗ a C. C C C = 2 = 2x − 5 2(x − 52 ) x−

5 2

=

C∗ x − 52

Dříve nám vyšlo C = 1 (A = 3, B = −2), pak by mělo být C ∗ =

1 . 2

3x2 − 22x + 38 3 2 x − 11x + 19 3x − 22x + 38 3x − 22x + 38 2 2 = = = 7 2 1 7 2 1 3 2 3 3 2x − 7x + x + 10 2(x − 2 x + 2 x + 5) x − 2x + 2x + 5 (x + 1) · (x − 2) · x − 25 2

2


Odhadneme parciální zlomky takto upraveného zlomku podle (4) a (známým způsobem) najdeme neznámé parametry. • Nejprve obě dvě strany rovnice vynásobíme společným jmenovatelem a tím v rovnici odstraníme zlomky. • Pak budeme postupně do rovnice dosazovat hodnoty jednotlivých kořenů. 3 2 x 2

− 11x + 19

(x + 1) · (x − 2) · x − Určení parametrů =⇒

x=2

=⇒

x=

5 2

=⇒

3 2

B∗ C∗ A∗ + + = x + 1 x − 2 x − 25

3 2 x − 11x + 19 2 2

3 ·(−1) 2

x = −1

5 2

| · (x + 1) · (x − 2) · x −

= A∗ · (x − 2) · (x − 52 ) + B ∗ · (x + 1) · (x − 25 ) + C ∗ · (x + 1) · (x − 2)

−11·(−1)+19 = A∗ ·[(−1)−2]·[(−1)− 52 ]+0+0 =⇒

3 ·(2)2 −11·(2)+19 2

5 2

63 2

=

21 ∗ A 2

= 0+B ∗ ·[(2)+1]·[(2)− 25 ]+0 =⇒ 3 = − 32 B ∗

· ( 52 )2 − 11 · ( 52 ) + 19 = 0 + 0 + C ∗ · [( 52 ) + 1] · [( 52 ) − 2] =⇒

7 8

=

14 ∗ C 8

=⇒

=⇒

A∗ = 3 B ∗ = −2

=⇒ C ∗ =

1 2

Vidíme, že nám vyšel stejný rozklad jako předtím, jenom jinak zapsaný: 3 2 1 x − 11x + 19 3x2 − 22x + 38 3 −2 2 2 = = + + 2x3 − 7x2 + x + 10 x+1 x−2 x− x3 − 72 x2 + 12 x + 5

5 2

=

3 −2 1 + + x+1 x−2 2 x− 5 2

To nás opravňuje odhadovat parciální zlomky i ve tvaru A (βx − α)k

nebo

Mx + N , (βx2 + px + q)k

kde β 6= 0 .


Literatura [1] Kuben, J., Šarmanová, P. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné. Ostrava : Vysoká škola báňská – Technická univerzita Ostrava, 2006, 351 s. ISBN 80–248–1192–8. [on line] hhttp://homel.vsb.cz/~s1a64/cd/pdf/dp/dp_obr.pdfi [2] Rychnovský, R. Úvod do vyšší matematiky. Praha : Státní zemědělské nakladatelství, Praha. 1968, vydání třetí, rozšířené. 518 stran.


MAT 1 Mnohočleny a racionální lomená funkce

Recommend Documents