M - Příprava na čtvrtletní písemnou práci

M - Příprava na čtvrtletní písemnou práci

Určeno pro třídu 1ODK.

VARIACE

1 Tento dokument byl kompletně vytvořen, sestaven a vytištěn v programu doSystem - EduBase. Více informací o programu naleznete na www.dosli.cz.


1

± Algebraické výrazy Mezi zápisy s číselnými proměnnými patří: l výrazy l výrokové formy l výroky s kvantifikátory Po l l l

dosazení přípustných proměnných hodnot do: výrazu ... dostaneme číslo výrokové formy ... dostaneme výrok do výroků s kvantifikátory ... nemá smysl dosazovat číselné hodnoty

Rovnost a úpravy výrazů Výrazem budeme rozumět každý zápis, který je správně formulován podle úmluv o zápise čísel, proměnných, výsledků operací. Ke každému výrazu obsahujícím proměnné přísluší zápis, jaký je obor jednotlivých proměnných - tzv. definiční obor výrazů. O dvou výrazech s týmiž proměnnými říkáme, že jsou si rovny v dané množině, platí-li: a) do obou výrazů lze na místo proměnných dosadit symboly všech prvků množiny M b) oba výrazy dávají pro stejné hodnoty proměnných stejné výsledky Přehled důležitých vzorců: 2 2 2 (A + B) = A + 2AB + B 2 2 2 (A - B) = A - 2AB + B 2 2 (A - B).(A + B) = A - B 3 3 2 2 3 (A + B) = A + 3A B + 3AB + B 3 3 2 2 3 (A - B) = A - 3A B + 3AB - B 3 3 2 2 A - B = (A - B).(A + AB + B ) 3 3 2 2 A + B = (A + B).(A - AB + B )

± Úpravy celistvých výrazů - procvičovací příklady 1.

2

Výraz -(-2x + 1) se po úpravě rovná čemu?

405

Výsledek:

2.

2 3 3 2

Upravte: [(a b ) ]

393

Výsledek:

3.

2

2

Doplňte: (? - 3) = 16x - ? + ?

400

Výsledek:

17.12.2005 21:40:45

Vytištěno v programu doSystem - EduBase (www.dosli.cz)

1 z 16

M - Příprava na čtvrtletní písemnou práci 4.

1

Vypočtěte bez použití kalkulátoru:

410

é 14 - 22 - ( - 3 ) 2 + 6 , 4 : ( - 0 , 8 ) - ê ë

ù 1 æ 1ö : ç - ÷ - (1, 8 - 2 , 9 ) ú 4 è 2ø û

Výsledek:

5.

2

4 2

Výraz K = 16a – a x rozložte na součin aspoň tří činitelů

408

Výsledek:

6.

2.

2.

2 3.

Upravte: a 3b ab.2b a 4b

4

396

Výsledek:

7.

2

2

2

2

2

Upravte daný výraz 3x y-{xyz-(2yz-x z)-4x z+[3x y-(4xyz-5x z)]}. Výsledek ověřte dosazením pro x=1, y=-1, z=0

402

Výsledek:

8.

2 2

2 2

2 2

2 2

Rozložte v součin výraz: 9s v - 4r v - 9u s + 4u r Správnost ověřte dosazením u=-1, v=2, s=1, r=0

398

Výsledek:

9.

2

2

Rozložte na součin: a + 2ab + b – c

2

409

Výsledek:

10.

Rozložte na součin: 4 – x

2

389

Výsledek:

11.

Zjednodušte a ověřte dosazením za x = -2 2 2 8x - [2x – 6.(x - 1) + 2] - (3x - 5x).2

407

Výsledek:

12.

Vypočtěte:

2

3 2 2

(4a b + 5a b ) =

381

Výsledek:

13.

Vypočtěte rozdíl výrazů x+2 a x-1

391

Výsledek:

14.

2

Upravte: (2x-5) - (2x-3).(5x+2)

401

Výsledek:

15.

2

2

Výraz 4k - (2k + 1) - 4k + 8 zjednodušte a správnost výpočtu ověřte dosazením za k = 3

385

Výsledek:

17.12.2005 21:40:45


2 z 16


1

Vypočtěte:

406

15 ,1 - ( - 2 ) 3 + 6 ,3 : ( - 0 ,7 ) - [( 2 ,5 - 3, 7 ) :

4 + 15 ,1] 625

Výsledek:

17.

Vypočtěte součin výrazů x+2 a x-1

392

Výsledek:

18.

Doplňte chybějící údaje tak, aby platila rovnost 2 2 (... + 3y) = 4x + ... + ...

384

Výsledek:

19.

Rozložte na součin výrazy:

2

a) 2x -4xy+2y

2

b) 5t-2tm-10m+25

404

Výsledek:

20.

Vypočtěte a) rozdíl b) součin výrazů x+2 a x-1

386

Výsledek:

21.

2

Výraz (3k - 2) - 4k(2k - 1) + 8k - 6 zjednodušte a správnost výpočtu ověřte dosazením k = 3

397

Výsledek:

22.

2

2

Rozložte na součin výraz: 18xy - 21x y

383

Výsledek:

23.

2

2

Vypočítejte: (3 - x) - 3(x - 3) + (-2x)

2

403

Výsledek:

24.

2

2

Rozložte na součin: x - 2xy + y - x + y

399

Výsledek:

25.

2

Upravte: (1,2x - 0,3y)

2

394

Výsledek:

26.

Upravte: (2x - 0,2y) . (2x + 0,2y)

395

Výsledek:

27.

2

2

2

2

2

2

Rozložte na součin: 4x (y – z ) + 25v (z – y )

382

Výsledek:

28.

Umocněte: (10 - 2a)

2

388

Výsledek:

17.12.2005 21:40:45


3 z 16


1

Zjednodušte výraz: (2h - 5s)(2h + 5s) - (2h + 5s)

2

387

Výsledek:

30.

Zjednodušte výraz 2x - [5x - 2(x - 4) + 1] - 3(x + 1) a správnost výpočtu ověřte dosazením za x = -3

380

Výsledek:

31.

Rozložte na součin: (2m - 1).5x – 8.(2m - 1)

390

Výsledek:

± Lomené výrazy Lomený algebraický výraz je takový výraz, který má ve jmenovateli proměnnou. U každého lomeného výrazu musíme stanovit jeho definiční obor, neboli určit tzv. podmínku řešitelnosti (tj. podmínku, při jejímž splnění má výraz smysl).

Př.:

ax + b cx + d

Jedná se o lomený výraz, který je definován pro všechna reálná čísla, s výjimkou x = -d/c (v tom případě by totiž byl jmenovatel roven nule a nulou nemůžeme dělit). Zapisujeme tedy: x ¹ -d/c Lomené výrazy můžeme rozšiřovat nebo krátit. Rozšířit lomený výraz znamená vynásobit jeho čitatele i jmenovatele stejným výrazem různým od nuly. Krátit lomený výraz znamená dělit jeho čitatele i jmenovatele stejným výrazem různým od nuly. Lomené výrazy též můžeme pomocí rozšíření nebo krácení upravit tak, aby měly zadaného jmenovatele, příp. výjimečně používáme i takovou úpravu, aby měly zadaného čitatele. Lomený výraz je v základním tvaru, jestliže už ho dále nelze krátit. Lomený výraz je roven nule, jestliže je roven nule jeho čitatel. Lomené výrazy sčítáme tak, že je převedeme na společného jmenovatele a součet čitatelů takto vzniklých lomených výrazů lomíme společným jmenovatelem. Pozn.: Analogické je odčítání lomených výrazů Lomené výrazy násobíme tak, že součin čitatelů lomíme součinem jmenovatelů. Výsledek uvedeme do základního tvaru. Pozn.: Krátit můžeme i před vynásobením zadaných výrazů, a to tak, že krátíme kteréhokoliv čitatele proti kterémukoliv jmenovateli. Lomený výraz násobíme celistvým výrazem tak, že násobíme tímto celistvým výrazem čitatele výrazu lomeného.

17.12.2005 21:40:45


4 z 16


1

Lomený výraz dělíme lomeným výrazem tak, že první lomený výraz násobíme převrácenou hodnotou lomeného výrazu druhého. Pozn.: Převrácenou hodnotu lomeného výrazu vytvoříme tak, že zaměníme jeho čitatele se jmenovatelem. Pozn.: Opačný výraz k lomenému výrazu vytvoříme tak, že před zlomkem změníme znaménko. Složený lomený výraz je takový výraz, kde základní lomený výraz má v čitateli nebo ve jmenovateli nebo i v čitateli i ve jmenovateli další lomený výraz. Složený lomený výraz řešíme tak, že součin vnějších členů lomíme součinem členů vnitřních. Pozn.: Vnitřní členy jsou ty, které jsou blíže k hlavní zlomkové čáře; vnější členy jsou od ní naopak dále. Pozn.: Složený lomený výraz můžeme řešit i tak, že hlavní zlomkovou čáru nahradíme dělením a celý příklad poté řešíme jako podíl dvou lomených výrazů.

± Úpravy lomených výrazů - procvičovací příklady 1.

416

Výsledek:

2.

417

Výsledek:

3.

419

Výsledek:

17.12.2005 21:40:45


5 z 16


1

4.

423

Výsledek:

5.

421

Výsledek:

6.

418

Výsledek:

-1,7

7.

422

Výsledek:

17.12.2005 21:40:45


6 z 16


1

8.

425

Výsledek:

9.

420

Výsledek:

10.

424

Výsledek:

± Mocniny a odmocniny Obor přirozených čísel: b Def.: Mocninou a nazýváme přirozené číslo, které je součinem b činitelů rovných číslu a. b Zapisujeme: a = a . a . a . ... . a b-krát Pro čísla a, b, r, s platí: r s r+s a .a =a r r r (a.b) = a . b r r r (a:b) = a : b r s rs (a ) = a r s r-s a :a =a Obor celých čísel: Pro čísla a, n platí: -n n a = 1/a Obor racionálních čísel: Sčítat a odčítat můžeme pouze stejné mocniny, tj. musí mít stejný základ i stejný exponent. 2 2 Př.: 2x + 3x ... sečíst lze 4 3 3x - 2x ... odečíst nelze

17.12.2005 21:40:45


7 z 16


1

Násobit můžeme mocniny se stejným základem. 4 5 9 r s r+s Př.: a .a =a ... obecně a .a =a Násobit můžeme také mocniny se stejným exponentem a různým základem. 5 5 5 n n n Př.: 2 . 7 = 14 ... obecně a . b = (ab) Pozn.: Analogická pravidla jako pro násobení platí i pro dělení. n Často při výpočtech používáme zápis čísla ve tvaru c.10 , kde číslo c je větší nebo rovno jedné a menší než 10. Pak platí následující pravidla: n 1. Násobení čísel ve tvaru c.10 m n m+n (a.10 ).(b.10 )=(ab).10 5. 4 5+4 9 9 Př.: 3,4.10 2,1.10 = (3,4.2,1).10 = 7,14.10 = 7,1.10 (po zaokrouhlení) 8 5 8+5 13 14 14 2,6.10 . 7,3.10 = (2,6.7,3).10 = 18,98.10 = 1,898.10 = 1,9.10 (zaokr.) n 2. Dělení čísel ve tvaru c.10 m n m-n (a.10 ):(b.10 )=(a/b).10 5 4 5-4 1 Př.: 3,4.10 : 2,1.10 = (3,4:2,1).10 = 1,6.10 (po zaokrouhlení) 8 5 8-5 3 2 2,6.10 : 7,3.10 = (2,6:7,3).10 = 0,36.10 = 3,6.10 (po zaokrouhlení) n 3. Umocňování čísel ve tvaru c.10 n m m mn (c.10 ) = c .10 15 4 4 15.4 60 62 Př.: (5,6.10 ) = 5,6 .10 = 983,4496.10 = 9,8.10 (po zaokrouhlení) n 4. Sčítání nebo odečítání čísel ve tvaru c.10 V tomto případě postupujeme tak, že z jednotlivých členů výrazu vytkneme nejnižší použitou mocninu čísla 10. Vzniklou závorku sloučíme a výsledek upravíme. 8 5 7 5 3 0 2 Př.: 2,5.10 + 5,6.10 + 9,4.10 = 10 .(2,5.10 + 5,6.10 + 9,4.10 ) = 5 5 8 = 10 .(2 500 + 5,6 + 940) = 10 . 3 445,6 = 3,4.10 (po zaokrouhlení) n Pozn.: Jak převést snadno číslo ve tvaru c.10 na číslo klasické: a) kladné číslo v exponentu: 8 př.: 2,3.10 ... znamená posunout desetinnou čárku o 8 míst vpravo b) záporné číslo v exponentu: -8 př.: 2,3.10 ... znamená posunout desetinnou čárku o 8 míst vlevo Obor reálných čísel: Odmocnina z nezáporného reálného čísla je definována opět jako nezáporné číslo. Druhou odmocninou nezáporného reálného čísla a nazýváme to nezáporné reálné x, pro které platí 2 x =a Symbolicky zapisujeme Öa. Index odmocniny u druhé odmocniny vynecháváme. Pro odmocniny platí obdobná pravidla jako pro mocniny. Sudé odmocniny lze počítat pouze z nezáporných čísel. Pokud se nám tedy ve výpočtu vyskytují sudé mocniny, musíme opět provádět podmínky řešitelnosti. Sčítání a odčítání odmocnin:

2 x 3 + 3 2 x3 = 4 2 x3 u odmocnin nehraje roli koeficient před proměnnou - ten může být odlišný, protože ho lze vždy dostat před odmocninu Příklad 1:

2x3 + 3x3 = 2. x3 + 3. x3 =

(

)

2 + 3 . x3

Pozn.: Nelze ale sčítat nebo odčítat např. druhou odmocninu s odmocninou třetí! Obdobná pravidla platí i pro násobení, resp. dělení, odmocnin. Odmocniny můžeme násobit (resp. dělit) tehdy, pokud mají stejný základ. Pak musíme ale nejprve všechny činitele převést na stejnou odmocninu. Příklad 2:

17.12.2005 21:40:45


8 z 16


3

a .4 a =

1

12

a 4 .12 a 3 =

12

a 4 .a 3 =

12

a7

Pokud mají činitelé stejnou odmocninu, pak můžeme násobit odmocniny, které mají odlišný základ. Příklad 3:

8. 5 =

40

(1) Každou odmocninu můžeme převést na mocninu podle následujícího pravidla: b a b a

x

= x

Zjednodušování odmocnin Příklad 4: Řešení:

Příklad 5: Řešení:

Při zjednodušování součinu (resp. podílu) odmocnin se snažíme nejprve vše převést na stejnou odmocninu. Výsledek pak často musíme převést do základního tvaru, případně i částečně odmocnit. Převedení odmocniny do základního tvaru - provádí se tehdy, jestliže exponent pod odmocninou a index u odmocnítka jsou čísla soudělná (tj. mají kromě jedničky společného dělitele). Postupujeme obdobně jako při krácení zlomků. Příklad 6:

16

210 = 8 25

Příklad 7: 40

2 20 = 2

Částečné odmocnění - provádí se tehdy, jestliže exponent pod odmocninou je větší než index odmocnítka. Částečně odmocníme tak, že číslo pod odmocninou nejprve převedeme na součin, kde první činitel bude mít v exponentu nejbližší nižší násobek indexu odmocnítka k exponentu původní mocniny. Pak použijeme vzorec (1) a prvního činitele převedeme do základního tvaru. Příklad 8:

8

330 = 8 3 24.36 = 8 3 24 .8 36 = 33.4 33

Příklad 9:

17.12.2005 21:40:45


9 z 16


6

1

2 40 = 3 2 20 = 3 218.2 2 = 3 218 .3 2 2 = 2 6.3 2 2

Pokud potřebujeme zjednodušit součet nebo rozdíl odmocnin, snažíme se převést výpočet pomocí částečného odmocnění na odmocniny se stejným základem i stejným indexem. Příklad 10:

6 + 12 + 2 3 + 4 24 = 6 + 2 3 + 2 3 + 8 6 = 9 6 + 4 3 Usměrňování odmocnin - provádí se tehdy, pokud se odmocnina vyskytuje ve jmenovateli. Je-li ve jmenovateli jednočlen, provádíme jednoduché rozšíření zlomku členem, který se vyskytuje ve jmenovateli. Je-li ve jmenovateli dvojčlen, provádíme usměrnění tak, že rozšíříme zlomek tak, abychom ve jmenovateli mohli použít vzorec pro rozdíl čtverců. Vzniklý výraz pak zpravidla ještě dále zjednodušíme. Příklad 11:

3+ 2 = 3 Příklad 12:

3+

2

3- 2

=

(

( (

)

3 + 2 . 3 3+ 6 = 3 3. 3

)( 2 )( .

)= 3+ 2 6 + 2 = 5+ 2 3-2 2)

3+ 2. 3+ 2 3-

3+

6

± Výpočty s čísly ve tvaru c.10n - procvičovací příklady 1.

Vypočti: 5 45 2,4.10 . 6,5.10 Výsledek: 1,56.1051

516

2.

Vypočti: -5 6 (4,5.10 ) Výsledek: 8,3.10-27

530

3.

(7,8.10 )

4 12

531

Výsledek:

5,1.10

58

4.

Vypočti: 15 14 15 14 7,4.10 + 2,8.10 + 5,6.10 - 3,9.10 Výsledek: 1,3.1016

526

5.

Vypočti: 15 18 6,4.10 : (2,1.10 ) Výsledek: 3,0.10-3

520

17.12.2005 21:40:45


10 z 16


1

6.

Vypočti: 5 14 6,8.10 . 4,8.10 Výsledek: 3,3.1020

517

7.

Vypočti: -26 65 2,6.10 . 1,8.10 39 Výsledek: 4,7.10

518

8.

Vypočti: -43 56 7,1.10 . 2,9.10 Výsledek: 2,1.1014

519

9.

Vypočti: 15 -2 (4,5.10 ) Výsledek: 4,9.10-32

529

10.

Vypočti: 25 23 22 24 2,4.10 + 1,5.10 - 1,5.10 + 4,5.10 Výsledek: 2,9.1025

525

11.

Vypočti: -26 -45 1,8.10 : (3,6.10 ) Výsledek: 5,1.1018

523

12.

Vypočti: 12 16 13 2,4.10 + 3,5.10 + 4,5.10 Výsledek: 3,5.1016

524

13.

Vypočti: -9 15 6,7.10 : (1,6.10 ) Výsledek: 4,2.10-24

522

14.

Vypočti: 8 -5 (2,6.10 ) Výsledek: 8,4.10-43

528

15.

Vypočti: 14 12 2,9.10 : (3,8.10 ) Výsledek: 7,6.101

521

16.

Vypočti: -4 -5 -6 -5 -4 2,8.10 + 4,6.10 + 5,4.10 + 5,8.10 - 1,5.10 Výsledek: 2,4.10-4

527

17.12.2005 21:40:45


11 z 16


1

± Zjednodušování odmocnin - procvičovací příklady 1.

Zjednodušte a určete podmínky, při kterých má výraz smysl:

537

27a 9b11c 21 .3 8a 7b8 .3 ab10 Výsledek:

2.

6a6b11c10. 3abc.3 a2 , a ³ 0, b ³ 0, c ³ 0

Vyjádřete jako jedinou odmocninu:

539

3 2 .2 3.5 5 .4 0,125 Výsledek:

3.

Zjednodušte a určete podmínky, při kterých má výraz smysl: 3

5 ab : 3c 2

Výsledek:

4.

54000 3

541

9 cd 2 25 a 2 b

5a 3 b 2 . , a > 0, b > 0, c > 0, d > 0 3c d 2

Zjednodušte a určete podmínky, při kterých má výraz smysl:

536

2a . 3b . a . ab Výsledek:

5.

ab. 6a , a ³ 0, b ³ 0

Proveďte:

(3+3 2 -2 3 - 6): ( 3 - 2)

Výsledek:

6.

3+ 6

Proveďte:

(6- 2 3 + 4 6 -7 15):

Výsledek:

17.12.2005 21:40:45

543

542

3

2 3 -2+4 2 -7 5


12 z 16


Vyjádři jedinou odmocninou a urči podmínky řešitelnosti: 3

9

540

7 9

Výsledek:

4/3

Vyjádři jedinou odmocninou:

3

544

5

Výsledek:

10.

x4 ,y¹0 y4

Zjednodušte:

1

9.

545

x x .3 y y

Výsledek:

8.

1

6

5

Zjednodušte:

538

3 12 - 63 3 + 63 34 -13 3 Výsledek:

63 3 - 7 3

± Usměrňování odmocnin - procvičovací příklady 1.

577

Výsledek:

2.

578

Výsledek:

17.12.2005 21:40:45


13 z 16


1

3.

583

Výsledek:

4.

585

Výsledek:

5.

589

Výsledek:

6.

581

Výsledek:

7.

591

Výsledek:

8.

579

Výsledek:

17.12.2005 21:40:45


14 z 16


1

9.

580

Výsledek:

10.

584

Výsledek:

11.

576

Výsledek:

12.

587

Výsledek:

10

13.

586

Výsledek:

14.

582

Výsledek:

17.12.2005 21:40:45


15 z 16


1

15.

588

Výsledek:

16.

590

Výsledek:

17.

592

Výsledek:

17.12.2005 21:40:45


16 z 16


1

Obsah Algebraické výrazy Úpravy celistvých výrazů - procvičovací příklady Lomené výrazy Úpravy lomených výrazů - procvičovací příklady Mocniny a odmocniny Výpočty s čísly ve tvaru c.10n - procvičovací příklady Zjednodušování odmocnin - procvičovací příklady Usměrňování odmocnin - procvičovací příklady

17.12.2005 21:40:45


1 1 4 5 7 10 12 13

M - Příprava na čtvrtletní písemnou práci

Recommend Documents