BUDAPESTI MŐSZAKI ÉS GAZDASÁGTUDOMÁNYI EGYETEM
LEMEZ KIHAJLÁS VIZSGÁLATA -Matlab programozása házifeladat 2007/2008 tavaszi félév-
STUMPF PÉTER PÁL (GÉK)
1., Feladat A feladat lemezek stabilitásvesztésének, kihajlásának vizsgálata. Ennek kapcsán grafikus kezelıi felülettel rendelkezı program létrehozása MatLab-os környezetben.
2., Lemez kihajlás elméleti háttere A lemez kihajlás számítására közelítı módszert nyújt a potenciális energia minimumának meghatározása, mindaddig, amíg a lemez még elasztikus állapotváltozást szenved. A potenciál energiát hajlítás okozta U 1 és a belsı erık okozta U 2 alakváltozási energia összegeként kapjuk.
1. ábra
Tekintsük az 1.ábrán látható téglalap alakú, kerülete mentén megtámasztott lemezt melyet y = b mentén egyenletes erıvel terhelünk. Tegyük fel, hogy a lemez nem tökéletes, a kezdeti deformációját πx πy z 0 = q 0 cos cos 2a 2b alakban írhatjuk fel, ahol q0 egy adott kezdeti érték. A lemez alakváltozásából származó energiaegyenletek: D a b U 1 = ∫ ∫ ([( w − z 0 ) , xx + ( w − z 0 ) , yy ] 2 + 2(1 − υ )[( w − z 0 ) ,2xy − ( w − z 0 ) , xx ( w − z 0 ) , yy ])dydx , 2 − a −b Eh 3 az úgynevezett lemezhajlító merevség, w( x, y ) a lemez pontjainak ahol D = 12(1 − υ 2 ) függıleges (z írányú) irányú elmozdulása, υ a Poisson tényezı, E a rugalmassági modulus, 2a a lemez x irányú, 2b a lemez y irányú kiterjedése és h a lemez vastagsága. A w,ij jelölés jelentése w,ij =
∂2w . ∂x∂y
a b 1−υ 2 Eh ⋅ ∫ ∫ (ε xx2 +ε yy2 + 2 ⋅ υ ⋅ ε xx ε yy + γ xy )dydx , 2 2 2(1 − υ ) − a −b az x irányú és ε yy az y irányú alakváltozás. Az alakváltozási összefüggések
U2 =
ahol ε xx
ε xx = u , x + 1 / 2 ⋅ w,2x + 1 / 2 z 02, x ε yy = v, y + 1 / 2 ⋅ w,2y + 1 / 2 z 02, y γ xy = u , x + v, y + wx w y + z 0, x z 0, y
2
ahol u ( x, y ) és v( x, y ) a lemez középsíkjának elmozdulása. A Ritz módszer segítségével, a peremfeltételek kielégítı w( x, y ) , u ( x, y ) és v( x, y ) próbafüggvényeket felírva az U 1 + U 2 teljes potenciális energia a fenti egyenletekbıl meghatározható. Az U 1 + U 2 összefüggés az ismeretlen paraméterek szerinti deriváltja a kihajlás, a stabilitásvesztés pillanatában zérussal egyenlı. Az így nyert nemlineáris algebrai egyenletekbıl a paraméterek meghatározhatók. Az 1.ábrán látható példán a y = b menti terhelés y irányban v = −2be elmozdulást hoz létre. e paraméter jellemzi a terhelés mértékét. A megtámasztás miatt x = a és x = − a mentén a nincs elmozdulás. Ezekben a pontokban a peremfeltétel w = 0 és wxx = 0 . Ezek alapján a lemez elmozdulását leíró kifejezéseket ebben az alakban kereshetjük πx πy w( x, y ) = q1 cos cos 2a 2b πx πy u ( x, y ) = q 2 sin cos 2a a πx πy v( x, y ) = q 2 cos sin − e( y + b) 2a b A kifejezéseket behelyettesítve megkapjuk az U 1 + U 2 teljes potenciális energiát. A ∂ (U 1 + U 2 ) / ∂q1 = 0 és ∂ (U 1 + U 2 ) / ∂q 2 = 0 egyenlet rendszerben 3 ismeretlen q1 , q 2 és e illetve a kezdeti deformáció mértéke q 0 szerepel. Az utóbbi egyenletbıl q 2 -t kifejezve, és azt az elıbbi egyenletbe behelyettesítve e -re egy összefüggést kapunk ami q 0 és q1 -tıl függ. A kritikus terhelés meghatározásához tegyük fel, hogy a lemez kezdeti deformációja zérus. A stabilitás vesztés, a kihajlás elıtti pillanatban a kritikus terhelés fellépésénél q1 = 0 . Ebbıl a két feltevésbıl ekr meghatározható. Ennek felhasználásával a Hooke törvénybıl a kritikus erıt megkaphatjuk: Eh N ykr = ekr . 1−υ 2 Tetszıleges e = nekr terhelés és q 0 kezdeti deformáció értékhez tartozó q1 és q2 meghatározható az energia minimum egyenletébıl, ezáltal a kihajolt lemez alak megrajzolható. Vegyük észre, amennyiben q 0 = 0 , csak n > 1 terheléshez tartozik q1 > 0 , ahogy ezt a 2.ábra szemlélteti.
2. ábra
Különbözı peremfeltételekhez különbözı próbafüggvények tartoznak. A továbbiakban további három esethez tartozó elmozdulást leíró függvények próbafüggvényét ebben a formában keressük:
3
Egyik szélénalátámasztott, másik szélén szabad lemez (3.a ábra): π ( x − a) πy w( x, y ) = q1 cos cos − 4a 2b π ( x − a) πy cos z 0 ( x , y ) = q0 − 4a 2b πx πy u ( x, y ) = q2 sin cos a 2b πx πy w( x, y ) = q2 cos sin − e( y + b) 2a b Mindkét szélén szabad lemez (3.b ábra): w( x, y ) = q1 cos
πy
2b πy z0 ( x, y ) = q0 cos 2b πy u ( x, y ) = q2 cos 2b πy w( x, y ) = q2 sin − e( y + b) b
A kerülete mentén egyenletes erıvel terhelt lemez (3.c ábra): πx πy w( x, y ) = q1 cos cos 2a 2b πx πy z0 ( x, y ) = q0 cos cos 2a 2b πx πy u ( x, y ) = q2 sin cos − e( x + a ) a 2b πx πy v( x, y ) = q2 cos sin − e( y + b) 2a b
3. ábra
4
3., A számítógépes algoritmus kidolgozása, a program használata A számítógépes program bemenı adatai a lemez geometriai méretei ( a, b, h ), anyagjellemzıi ( E , v ) , a kezdeti deformáció mértéke ( q 0 ), a túlterhelés mértéke ( n ). Az elızı fejezetben leírt egyenletek 2a és 2b mérető lemezre voltak igazak, így elsı lépésként a program bemeneteként megadott geometriai méretek felét vesszük. Az algoritmus elején a syms utasítással megadjuk az egyenletek során alkalmazott változókat ( x, y, q 0 , q1 , q 2 , e ). Ezek után a négy különbözı terhelési módnak megfelelı elmozdulási egyenleteket ( w, u , v, z 0 ) egy if logikai függvény alkalmazásával az elızı fejezetben tárgyaltak szerint megadjuk. Az energiaegyenletekben szereplı deriváltakat a diff utasítás használatával kapjuk meg, majd az int utasítással a két energiaegyenletet ( U 1 , U 2 ) megkaphatjuk. A tárgyalt módon elıször kifejezzük solve utasítással q 2 -t az összenergia q 2 szerinti deriváltjából, majd azt a subs utasítással az összenergia q1 szerinti deriváltjának egyenletébe helyettesítjük. Ezt az egyenletet e -re rendezve, az elızıekben tárgyaltak szerint q1 = q 0 = 0 -ra megkapjuk a kritikus terhelés mértékét ekr -t. A bemenetkor megadott túlterhelés mértékének értékébıl megkapjuk a terhelés mértékét, majd q 0 értékének felhasználásával q1 és q 2 kiszámítható. A kapott paraméter értékeket a w egyenletébe visszahelyettesítve surf utasítással a lemez kihajlási alakja kirajzoltatható. A program forráskódja a mellékletben megtalálható. A programhoz készült grafikus felület (4. ábra) egyszerőbb kezelhetıséget nyújt. A baloldalon a legördülı menüsorból kilehet választani a megfelelı terhelési módot, illetve a bemenı paramétereket meglehet adni. A program ezután elvégzi a számításokat és kirajzolja a megadott terhelés mértékéhez tartozó lemez alakot és megadja a kritikus erı és a legnagyobb deformáció értékét. Amennyiben a lemez kezdeti deformációjának mértéke zérus annyiban a terhelés mértékét kifejezı szorzó értékét egynél nagyobbra vegyük (lásd 2.ábra).
4. ábra
5
4., Eredmények Az alábbiakban egy négyzet alakú lemez kihajlás számításának eredményeit közöljük. A lemez adatai: a = b = 0.5[m] , h = 0.01[m] , E = 200[GPa] , v = 0.3 , q0 = 0[m] A kritikus erı értéke és az n = 2 túlterheléshez tartozó maximális deformáció értéke és a kihajolt lemez alak: Mindkét szélén alátámasztott lemez
Kritikus erı max. deformáció lemez alak
Kritikus erı max. deformáció (n = 2) A kihajolt lemez alak
F = 2224.8[kN ] q = 0.084[m]
Egyik szélén szabad, másik szélén alátámasztott lemez F = 1050.9[kN ] q = 0.066[m]
Mindkét szélén szabad lemez F = 723[kN ] q = 0.057[m]
Minden oldaláról terhelt lemez F = 1124[kN ] q = 0.084[m]
A [1.] hivatkozásban ugyanezt a módszert alkalmazva csak a mindkét szélén alátámasztott lemezre szerepelnek számítási eredmények, összefüggések. Ezek megegyeznek a program által számoltakkal. Emellett a 2.ábrán szereplı diagram, mely a program alapján lett elkészítve megegyezik a [1.]-ben szereplıvel. Az egyik szélén szabad, másik szélén alátámasztott lemezt egy másik módszer alkalmazásával tárgyalja az [1.] hivatkozás. A kritikus erıre kapott eredmény alig 1%-al tér el a másik módszer által számított értéktıl.
6
A másik két terhelési módra kapott eredményeket egyenlıre nem tudtam alátámasztani mérési vagy szakirodalomban szereplı eredményekkel.
5., Konklúzió A program elsısorban a kritikus terhelés meghatározására alkalmas, illetve a kritikus erınél nem sokkal nagyobb terheléshez tartozó lemez alak megrajzolásához. Minél nagyobb a túlterhelés, annál nagyobb az eltérés a számított és a valódi, tényleges lemez alak között. A peremfeltételeket kielégítı próbafüggvényeket trigonometrikus alakban kerestük. Természetesen a próbafüggvény változtatásával, a valóságos kihajolt lemez alakot jobban közelítı (például polinomos) függvényekkel a számítás tovább pontosítható.
6., Irodalomjegyzék [1] Zdeněk P. Bažant, Luigi Cedolin: Stability of Structures, 7th chapter, Oxford University Press, 1991, ISBN 0-19-505529-2 [2] Dr. Kovács Ádám: Szilárdsági méretezés, órai jegyzet
7
