LAMPIRAN 1 PEMBENTUKAN FUNGSI PERIODIZER

LAMPIRAN

LAMPIRAN 1 PEMBENTUKAN FUNGSI PERIODIZER Fungsi 𝑝𝑐 𝑥 = 𝑥, merupakan fungsi garis lurus simetris dengan variabel bebas x, menjadi fungsi dasar pembentukan gelombang sawtooth. Fungsi 𝑝𝑐 𝑥 ini yang akan disubstitusi pada deret Fourier, untuk mendapatkan kurva periodik tak terbatas. Gambar berikut adalah kurva gelombang sawtooth yang diperoleh dari perintah SawtoothWave pada software Mathematica. 1.0 0.8 0.6 0.4 0.2 2

1

1

2

Fungsi periodik dari 𝑝𝑐 yang bergantung pada x, berperiode T, yang dituliskan 𝑝𝑐 𝑥 + 𝑛𝑇 = 𝑝𝑐 𝑥 dengan n adalah bilangan bulat positif, menginterpretasikan bahwa kurva garis lurus 𝑝𝑐 akan berulang tak terhingga dengan selang awal fungsi periodik [0, T]. Koefisien Fourier untuk fungsi periodik gelombang sawtooth 𝑝𝑐 : 2 𝑐0 𝑥 = 𝑇 2 𝑐𝑗 𝑥 = 𝑇

𝑇

0 𝑇

0

2 𝑝𝑐 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑇

𝑇

𝑥 𝑑𝑥 = 0

1 2 1 2𝑇 1 = 𝑇 2 − 0 = 𝑇 2 = 𝑇; 𝑥 0 𝑇 2 𝑇 𝑇

2𝑗𝜋𝑥 2 𝑝𝑐 𝑥 cos 𝑑𝑥 = 𝑇 𝑇 2𝑗𝜋𝑥 2 𝑥𝑇 sin = 𝑇 𝑇 2𝑗𝜋

𝑇

𝑥 cos 0

𝑇

𝑇

− 0

0

𝑇 2𝑗𝜋𝑥 sin 𝑑𝑥 2𝑗𝜋 𝑇

2 𝑇2 𝑇 = sin 2𝑗𝜋 − 0 − 𝑇 2𝑗𝜋 2𝑗𝜋 2 = 𝑇 2 = 𝑇 2 = 𝑇

2𝑗𝜋𝑥 𝑑𝑥 𝑇

𝑇

sin 0

2𝑗𝜋𝑥 𝑑𝑥 𝑇 𝑇

𝑇2 𝑇 2 2𝑗𝜋𝑥 sin 2𝑗𝜋 + cos 2𝑗𝜋 𝑇 2𝑗𝜋 0 2 2 𝑇 𝑇 sin 2𝑗𝜋 + 2 2 cos 2𝑗𝜋 − cos 0 2𝑗𝜋 4𝑗 𝜋 2 𝑇2 0+ 2 2 1−1 = 0+0 =0 𝑇 4𝑗 𝜋

diketahui j = 0, 1, 2, 3, ... , maka: cos 2𝑗𝜋 = cos 0 = cos 2𝜋 = 1, sin 2𝑗𝜋 = sin 0 = sin 2𝜋 = 0.

2 𝑠𝑗 𝑥 = 𝑇

𝑇

0

2 2𝑗𝜋𝑥 𝑑𝑥 = 𝑝𝑐 𝑥 sin 𝑇 𝑇

𝑇

2𝑗𝜋𝑥 𝑑𝑥 𝑇

𝑥 sin 0

2 𝑥𝑇 2𝑗𝜋𝑥 = − cos 𝑇 2𝑗𝜋 𝑇

𝑇

𝑇

𝑇 2𝑗𝜋𝑥 cos 𝑑𝑥 2𝑗𝜋 𝑇

+ 0

0

2

2 𝑇 𝑇 = − cos 2𝑗𝜋 + 0 + 2𝑗𝜋 𝑇 2𝑗𝜋 2

𝑇

cos 0

2𝑗𝜋𝑥 𝑑𝑥 𝑇 𝑇

2

2 𝑇 𝑇 2𝑗𝜋𝑥 = − cos 2𝑗𝜋 + sin 𝑇 2𝑗𝜋 2𝑗𝜋 𝑇 0 2 𝑇2 𝑇2 = − cos 2𝑗𝜋 + 2 2 sin 2𝑗𝜋 − sin 0 4𝑗 𝜋 𝑇 2𝑗𝜋 2 𝑇2 𝑇2 2 𝑇2 = − + 2 2 (0 − 0) = − +0 𝑇 2𝑗𝜋 4𝑗 𝜋 𝑇 2𝑗𝜋 𝑇 =− 𝑗𝜋 Selanjutnya, deret Fourier untuk fungsi periodik gelombang sawtooth 𝑝𝑐 didefinisikan sebagai berikut: 𝑐0 𝑝𝑐 𝑥 = + 2

∞

𝑗 =1 ∞

𝑇 𝑇 = − 2 𝜋

𝑇 2𝑗𝜋𝑥 2𝑗𝜋𝑥 = + 𝑐𝑗 cos + 𝑠𝑗 sin 2 𝑇 𝑇

𝑗 =1

1 2𝑗𝜋𝑥 sin , 𝑗 𝑇

∞

0+ − 𝑗 =1

𝑇 2𝑗𝜋𝑥 sin 𝑗𝜋 𝑇

𝑗 = 1,2, …

Fungsi 𝑝𝑐 ini yang dikenal sebagai fungsi periodizer, yaitu fungsi gelombang sawtooth dengan variabel periode T.

Lampiran 2 Program Mathematica 8.0 Aplikasi pada Kurva Komposit Contoh 1 Aplikasi2:=Module[{H1,H2,f,f1,f2,f3,f4}, "Kurva Komposit"; f1[x_]:=-5x/2-5; f2[x_]:=3x/2+3; f3[x_]:=-3x/2+3; f4[x_]:=5x/2-5; "Fungsi Tangga Satuan Heaviside"; H1[i_]:=If[xi,0,1]; H2[i_]:=If[x
4

2

2

4

x

Contoh 2 Aplikasi3:=Module[{H1,H2,g,g1,g2,g3,g4}, "Kurva Komposit"; g1[_]:=4Sqrt[Cos[]]Cos[]; g2[_]:=-4Sqrt[-Cos[]]Cos[]; g3[_]:=(2 Cos[]+2 g4[_]:=(-2 Cos[]+2

Cos2  4 Sin2 Cos2  4 Sin2

"Fungsi Tangga Satuan Heaviside"; H1[i_]:=If[i,0,1];

)/Sin[]2; )/Sin[]2;

H2[i_]:=If[
4

2

2

4

1

2

3

4

Aplikasi pada Kurva Poligon Tak Teratur Persamaan Umum IRegPol[x_,y_]:= Module[{s,xIP,yIP,xIPol,yIPol,H,n,u}, "Persamaan Panjang Sisi Poligon";

 Sqrtxj  xj  12  yj  yj  12  i

s[i_]:= j2 s[1]=0;

;

"Persamaan Parametrik Setiap Segmen Garis"; xIP[i_]:=(x[[i+1]]-x[[i]])/(s[i+1]-s[i]) u+(x[[i]]s[i+1]-x[[i+1]]s[i])/(s[i+1]-s[i]); yIP[i_]:=(y[[i+1]]-y[[i]])/(s[i+1]-s[i]) u+(y[[i]]s[i+1]-y[[i+1]]s[i])/(s[i+1]-s[i]); "Fungsi Tangga Satuan Heaviside"; H[i_]:=If[us[i],0,1]; "Persamaan Parametrik Poligon";

 Hk xIPk  xIPk  1 i1

xIPol[i_]:=xIP[1]+ k2

+H[i](-xIP[i-1]);

 Hk yIPk  yIPk  1 i1

yIPol[i_]:=yIP[1]+ k2 n=Length[x];

+H[i](-yIP[i-1]);

ParametricPlot[{xIPol[n],yIPol[n]},{u,s[1],s[n]},PlotStyleDirective[Black,Thick]] ]

Contoh 3 IRegPol[{4,8,9,7,3,4},{3,2,7,9,6,3}] 9 8 7 6 5 4 3

4

5

6

7

8

9

Kurva Poligon Teratur Persamaan Umum RegPol[R_,n_,0_,x0_,y0_]:= Module[{xRP,yRP,x=x0,y=y0,,Per}, "Fungsi Periodizer kutub"; Per[_,N_,o_]:=/N-2/N

 

1

i1

i

SinN i   o

;

"Persamaan Parametrik Poligon"; xRP[r_,m_,0_,x_]:=x+(r Tan[/2-/m])/(Sin[Per[,n,0]]+Tan[/2-/m] Cos[Per[,n,0]]) Cos[]; yRP[r_,m_,0_,y_]:=y+(r Tan[/2-/m])/(Sin[Per[,n,0]]+Tan[/2-/m] Cos[Per[,n,0]]) Sin[]; ParametricPlot[{xRP[R,n,0,x0],yRP[R,n,0,y0]},{,0,2},PlotStyleDirective[Black, Thick]] ] Contoh 4 RegPol[1,4,0,0,0] RegPol[1,5,0,0,0] RegPol[1,9,0,0,0] 1.0

0.5

 1.0

 0.5

0.5

 0.5

 1.0

1.0

0.5

 0.5

0.5

1.0

 0.5

1.0

0.5

 0.5

0.5

1.0

 0.5

 1.0

Contoh 5 RegPol[2,6,0,1,2] RegPol[2,6,0,-2,2] RegPol[2,6,0,0,7] 3.5 3.0 2.5 2.0 1.5 1.0 0.5 1

1

2

3

3.5 3.0 2.5 2.0 1.5 1.0 0.5 4

3

2

1

8.5 8.0 7.5 7.0 6.5 6.0 2

1

1

2

Contoh 6 RegPol[4,5,0,6,5] RegPol[4,5,/4,6,5] RegPol[4,5,/2,6,5] 8 7 6 5 4 3 4

5

6

7

8

9

10

8

6

4

2

3

4

5

6

7

8

9

9 8 7 6 5 4 3 4

5

6

7

8

9

LAMPIRAN 3 PERHITUNGAN SOLUSI CONTOH 3 Langkah penyelesaian kasus: 1. Verteks pentagon dapat dituliskan sebagai berikut: Verteks ke-

Koordinat x

Koordinat y

0 1 2 3 4 5

4 8 9 7 3 4

3 2 7 9 6 3

2. persamaan untuk mencari kumulatif panjang sisi poligon adalah: 𝑖

𝑠𝑖 =

𝑥𝑗 − 𝑥𝑗 −1

2

+ 𝑦𝑗 − 𝑦𝑗 −1

2

𝑗 =1

𝑠0 = 0, ketika di verteks 𝑃1 panjang sisi poligon masih nol, karena koordinat verteks-verteks pentagon telah diketahui, panjang sisi pentagon dapat ditentukan sebagai berikut: 1

𝑠1 =

𝑥𝑗 − 𝑥𝑗−1

2

+ 𝑦𝑗 − 𝑦𝑗 −1

2

=

𝑥1 − 𝑥0

2

+ 𝑦1 − 𝑦0

2

𝑗 =1

=

8−4

2

+ 2−3

2

= 17 = 4.1231

2

𝑠2 =

𝑥𝑗 − 𝑥𝑗 −1

2

+ 𝑦𝑗 − 𝑦𝑗 −1

2

𝑗 =1

= 𝑥1 − 𝑥0 2 + 𝑦1 − 𝑦0 2 + 𝑥2 − 𝑥1 2 + 𝑦2 − 𝑦1 2 = 17 + 9 − 8 2 + 7 − 2 2 = 17 + 26 = 9.2221 3

𝑠3 =

𝑥𝑗 − 𝑥𝑗 −1

2

+ 𝑦𝑗 − 𝑦𝑗 −1

2

=

𝑗 =2

= 𝑥1 − 𝑥0 2 + 𝑦1 − 𝑦0 2 + 𝑥2 − 𝑥1 2 + 𝑦2 − 𝑦1 2 + 𝑥3 − 𝑥2 2 + 𝑦3 − 𝑦2 2 = 17 + 26 + 7 − 9 2 + 9 − 7 = 17 + 26 + 8 = 12.0506

2

4

𝑠4 =

𝑥𝑗 − 𝑥𝑗 −1

2

+ 𝑦𝑗 − 𝑦𝑗 −1

2

=

𝑗 =2

= 𝑥1 − 𝑥0 2 + 𝑦1 − 𝑦0 2 + + 𝑥3 − 𝑥2 2 + 𝑦3 − 𝑦2 2 + = 17 + 26 + 8 + 3 − 7 = 17.0506

𝑥2 − 𝑥1 2 + 𝑦2 − 𝑦1 2 𝑥4 − 𝑥3 2 + 𝑦4 − 𝑦3 2 2 + 6 − 9 2 = 17 + 26 + 8 + 25

5

𝑠5 =

𝑥𝑗 − 𝑥𝑗 −1

2

+ 𝑦𝑗 − 𝑦𝑗 −1

2

=

𝑗 =2

= 𝑥1 − 𝑥0 2 + + 𝑥3 − 𝑥2 2 + + 𝑥5 − 𝑥4 2 + = 17 + 26 + = 17 + 26 + 9

P3

8 7 6

P2

P5

5

s0

4 3

P1 5

9

9

8

8

7

7

6

6

5

5

4

P0 4

𝑦1 − 𝑦0 2 + 𝑥2 − 𝑥1 2 + 𝑦2 − 𝑦1 𝑦3 − 𝑦2 2 + 𝑥4 − 𝑥3 2 + 𝑦4 − 𝑦3 𝑦5 − 𝑦4 2 8 + 25 + 4 − 3 2 + 3 − 6 2 8 + 25 + 10 = 20.2128

6

7

8

9

4

5

6

3

7

8

9

4

9

9

9

8

8

8

7

7

s3

6

6

6

5

5

4

4

4

3

3

3

5

6

7

8

9

4

5

6

5

6

7

8

9

7

8

9

7

s4

5

4

2

s2

4

s1

3

2

7

8

9

s5

4

5

6

3. Persamaan parametrik untuk setiap segmen garis 𝑃𝑖 𝑃𝑖+1 , 𝑖 = 0,1 … ,4; pada pentagon dapat dituliskan sebagai berikut: 𝑥𝑖,𝑖+1 (𝑠) =

𝑥𝑖+1 − 𝑥𝑖 𝑥𝑖 𝑠𝑖+1 − 𝑥𝑖+1 𝑠𝑖 𝑦𝑖+1 − 𝑦𝑖 𝑦𝑖 𝑠𝑖+1 − 𝑦𝑖+1 𝑠𝑖 𝑠+ dan 𝑦𝑖,𝑖+1 (𝑠) = 𝑠+ 𝑠𝑖+1 − 𝑠𝑖 𝑠𝑖+1 − 𝑠𝑖 𝑠𝑖+1 − 𝑠𝑖 𝑠𝑖+1 − 𝑠𝑖

karena koordinat verteks-verteks dan panjang sisi pentagon telah diketahui, persamaan parametrik setiap segmen garis dapat dituliskan sebagai berikut: 𝑥01 𝑢 =

𝑥0 𝑠1 − 𝑥1 𝑠0 8−4 4 4.1231 − 8 0 𝑥1 − 𝑥0 𝑢+ = 𝑢+ = 0.970 𝑢 + 4 𝑠1 − 𝑠0 𝑠1 − 𝑠0 4.1231 − 0 4.1231 − 0

𝑥12 𝑢 =

𝑥2 − 𝑥1 𝑥1 𝑠2 − 𝑥2 𝑠1 9−8 8 9.2221 − 9(4.1231) 𝑢+ = 𝑢+ 𝑠2 − 𝑠1 𝑠2 − 𝑠1 9.2221 − 4.1231 9.2221 − 4.1231 = 0.196 𝑢 + 7.191

𝑥23 𝑢 =

𝑥3 − 𝑥2 𝑥2 𝑠3 − 𝑥3 𝑠2 7−9 9 12.0506 − 7(9.2221) 𝑢+ = 𝑢+ 𝑠3 − 𝑠2 𝑠3 − 𝑠2 12.0506 − 9.2221 12.0506 − 9.2221 = −0.707𝑢 + 15.521

𝑥34 𝑢 =

𝑥4 − 𝑥3 𝑥3 𝑠4 − 𝑥4 𝑠3 3−7 7 17.0506 − 3(12.0506) 𝑢+ = 𝑢+ 𝑠4 − 𝑠3 𝑠4 − 𝑠3 17.0506 − 12.0506 17.0506 − 12.0506 = −0.8 𝑢 + 16.640

𝑥45 𝑢 =

𝑥5 − 𝑥4 𝑥4 𝑠5 − 𝑥5 𝑠4 4−3 3 20.2128 − 4(17.0506) 𝑢+ = 𝑢+ 𝑠5 − 𝑠4 𝑠5 − 𝑠4 20.2128 − 17.0506 20.2128 − 17.0506 = 0.316 𝑢 − 2.392

𝑦01 𝑢 =

𝑦1 − 𝑦0 𝑦0 𝑠1 − 𝑦1 𝑠0 2−3 3 4.1231 − 2 0 𝑢+ = 𝑢+ = −0.243 𝑢 + 3 4.1231 − 0 𝑠1 − 𝑠0 𝑠1 − 𝑠0 4.1231 − 0

𝑦12 𝑢 =

𝑦2 − 𝑦1 𝑦1 𝑠2 − 𝑦2 𝑠1 7−2 2 9.2221 − 7(4.1231) 𝑢+ = 𝑢+ 𝑠2 − 𝑠1 𝑠2 − 𝑠1 9.2221 − 4.1231 9.2221 − 4.1231 = 0.981 𝑢 − 2.043

𝑦23 𝑢 =

𝑦3 − 𝑦2 𝑦2 𝑠3 − 𝑦3 𝑠2 9−7 7 12.0506 − 9(9.2221) 𝑢+ = 𝑢+ 𝑠3 − 𝑠2 𝑠3 − 𝑠2 12.0506 − 9.2221 12.0506 − 9.2221 = 0.707 𝑢 + 0.479

𝑦34 𝑢 =

𝑦4 − 𝑦3 𝑦3 𝑠4 − 𝑦4 𝑠3 6−9 9 17.0506 − 6(12.0506) 𝑢+ = 𝑢+ 𝑠4 − 𝑠3 𝑠4 − 𝑠3 17.0506 − 12.0506 17.0506 − 12.0506 = −0.6 𝑢 + 16.230

𝑦45 𝑢 =

𝑦5 − 𝑦4 𝑦4 𝑠5 − 𝑦5 𝑠4 3−6 6 20.2128 − 3(17.0506) 𝑢+ = 𝑢+ 𝑠5 − 𝑠4 𝑠5 − 𝑠4 20.2128 − 17.0506 20.2128 − 17.0506 = −0.949 𝑢 + 22.176

atau dapat dituliskan dalam fungsi sesepenggal sebagai berikut: 0.970 𝑢 + 4, 0 < 𝑢 ≤ 4.1231 0.196 𝑢 + 7.191, 4.1231 < 𝑢 ≤ 9.2221 𝑥 𝑢 = −0.707𝑢 + 15.521, 9.2221 < 𝑢 ≤ 12.0506 −0.8 𝑢 + 16.640, 12.0506 < 𝑢 ≤ 17.0506 0.316 𝑢 − 2.392, 17.0506 < 𝑢 ≤ 20.2128 −0.243 𝑢 + 3, 0.981 𝑢 − 2.043, 𝑦 𝑢 = 0.707 𝑢 + 0.479, −0.6 𝑢 + 16.230, −0.949 𝑢 + 22.176.

0 < 𝑢 ≤ 4.1231 4.1231 < 𝑢 ≤ 9.2221 9.2221 < 𝑢 ≤ 12.0506 12.0506 < 𝑢 ≤ 17.0506 17.0506 < 𝑢 ≤ 20.2128

4. Fungsi tangga satuan Heaviside yang digunakan adalah 𝐻1 , dengan: 𝐻1 𝑢, 𝑠𝑖 =

0 1

𝑢 ≤ 𝑠𝑖 𝑢 > 𝑠𝑖

i = 0, 1, 2, 3, 4; u = variabel bebas yang terdefinisi pada [s0,s5]; 5. Setelah diketahui fungsi sesepenggal yang mendefinisikan persamaan parametrik untuk segmen garis pentagon, persamaan parametrik tunggal pentagon tak teratur dibentuk dengan menggunakan fungsi tangga satuan Heaviside. Persamaan parametrik pentagon:

4

𝑥 𝑢 =

𝑥𝑖,𝑖+1 𝑢 𝐻1 𝑢, 𝑠𝑖 − 𝐻1 𝑢, 𝑠𝑖+1 𝑖=0

= 𝑥01 + 𝑥23 + 𝑥34 + 𝑥45

𝐻1 𝐻1 𝐻1 𝐻1

𝑢, 0 − 𝐻1 𝑢, 4.1231 + 𝑥12 𝐻1 𝑢, 4.1231 − 𝐻1 𝑢, 9.2221 𝑢, 9.2221 − 𝐻1 𝑢, 12.0506 𝑢, 12.0506 − 𝐻1 𝑢, 17.0506 𝑢, 17.0506 − 𝐻1 𝑢, 20.2128

4

𝑦 𝑢 =

𝑦𝑖,𝑖+1 𝑢 𝐻1 𝑢, 𝑠𝑖 − 𝐻1 𝑢, 𝑠𝑖+1 𝑖=0

= 𝑦01 + 𝑦23 + 𝑦34 + 𝑦45

𝐻1 𝐻1 𝐻1 𝐻1

𝑢, 0 − 𝐻1 𝑢, 4.1231 + 𝑦12 𝐻1 𝑢, 4.1231 − 𝐻1 𝑢, 9.2221 𝑢, 9.2221 − 𝐻1 𝑢, 12.0506 𝑢, 12.0506 − 𝐻1 𝑢, 17.0506 𝑢, 17.0506 − 𝐻1 𝑢, 20.2128

LAMPIRAN 4 KURVA POLIGON TERATUR Persamaan parametrik poligon tak teratur untuk: Gambar 19 (a)

𝜋 tan 4 cos 𝜃 𝑥 𝜃, 1, 4, 0 = 0 + 𝜋 2 1 𝜋 𝜋 2 sin 4 − 4 ∞ + tan 4 cos 4 − 4 𝑛=1 𝑛 sin 4𝑛𝜃

∞ 1 𝑛 =1 𝑛 sin

4𝑛𝜃

𝜋 tan 4 sin 𝜃 1 𝜋 2 𝜋 𝜋 2 sin 4 − 4 ∞ + tan 4 cos 4 − 4 𝑛 =1 𝑛 sin 4𝑛𝜃

∞ 1 𝑛=1 𝑛 sin

4𝑛𝜃

𝑦 𝜃, 1, 4, 0 = 0 +

Gambar 19 (b) 3𝜋 tan 10 cos 𝜃 𝑥 𝜃, 1, 5, 0 = 0 + 1 𝜋 2 3𝜋 𝜋 2 sin 5 − 5 ∞ + tan 10 cos 5 − 5 𝑛=1 𝑛 sin 5𝑛𝜃

∞ 1 𝑛=1 𝑛 sin

5𝑛𝜃

3𝜋 tan 10 sin 𝜃 𝑦 𝜃, 1, 5, 0 = 0 + 𝜋 2 3𝜋 𝜋 2 1 sin 5 − 5 ∞ + tan 10 cos 5 − 5 𝑛 =1 𝑛 sin 5𝑛𝜃

∞ 1 𝑛 =1 𝑛 sin

5𝑛𝜃

7𝜋 tan 18 cos 𝜃 𝑥 𝜃, 1, 9, 0 = 0 + 𝜋 2 1 7𝜋 𝜋 2 sin 9 − 9 ∞ + tan 18 cos 9 − 9 𝑛=1 𝑛 sin 9𝑛𝜃

∞ 1 𝑛=1 𝑛 sin

9𝑛𝜃

7𝜋 tan 18 sin 𝜃 𝑦 𝜃, 1, 9, 0 = 0 + 𝜋 2 1 7𝜋 𝜋 2 sin 9 − 9 ∞ + tan 18 cos 9 − 9 𝑛 =1 𝑛 sin 9𝑛𝜃

∞ 1 𝑛 =1 𝑛 sin

9𝑛𝜃

Gambar 19 (c)

Gambar 20 (a) 𝑥 𝜃, 2, 6, 0 = 1 +

𝑦 𝜃, 2, 6, 0 = 2 +

𝜋 2 sin 6 − 6 𝜋 2 sin 6 − 6

1 2 tan 3 𝜋 cos 𝜃 1 ∞ 1 + tan 3 𝜋 cos 𝑛=1 𝑛 sin 6𝑛 𝜃 1 2 tan 3 𝜋 sin 𝜃 1 ∞ 1 + tan 3 𝜋 cos 𝑛 =1 𝑛 sin 6𝑛 𝜃

𝜋 2 6−6

∞ 1 𝑛 =1 𝑛 sin

6𝑛 𝜃

𝜋 2 6−6

∞ 1 𝑛 =1 𝑛 sin

6𝑛 𝜃

Gambar 20 (b) 1 3 𝜋 cos 𝜃 𝑥 𝜃, 2, 6, 0 = −2 + 𝜋 2 ∞ 1 1 𝜋 2 1 sin 6 − 6 𝑛 =1 𝑛 sin 6𝑛 𝜃 + tan 3 𝜋 cos 6 − 6 ∞ 𝑛 =1 𝑛 sin 6𝑛 𝜃 1 2 tan 3 𝜋 sin 𝜃 𝑦 𝜃, 2, 6, 0 = 2 + 𝜋 2 1 1 𝜋 2 1 sin 6 − 6 ∞ + tan 3 𝜋 cos 6 − 6 ∞ 𝑛 =1 𝑛 sin 6𝑛 𝜃 𝑛 =1 𝑛 sin 6𝑛 𝜃 2 tan

Gambar 20 (c) 𝑥 𝜃, 2, 6, 0 = 0 +

𝑦 𝜃, 2, 6, 0 = 7 +

𝜋 2 sin 6 − 6 𝜋 2 sin 6 − 6

1 2 tan 3 𝜋 cos 𝜃 1 ∞ 1 + tan 3 𝜋 cos 𝑛=1 𝑛 sin 6𝑛 𝜃 1 2 tan 3 𝜋 sin 𝜃 1 ∞ 1 + tan 3 𝜋 cos 𝑛 =1 𝑛 sin 6𝑛 𝜃

𝜋 2 6−6

∞ 1 𝑛 =1 𝑛 sin

6𝑛 𝜃

𝜋 2 6−6

∞ 1 𝑛 =1 𝑛 sin

6𝑛 𝜃

Gambar 21 (a) 3 4 tan 10 𝜋 cos 𝜃 𝑥 𝜃, 4, 5, 0 = 6 + 1 𝜋 2 3 𝜋 2 sin 5 − 5 ∞ + tan 10 𝜋 cos 5 − 5 𝑛=1 𝑛 sin 5𝑛𝜃

∞ 1 𝑛=1 𝑛 sin

5𝑛𝜃

3 𝜋 sin 𝜃 10 3 𝜋 2 + tan 10 𝜋 cos 5 − 5

∞ 1 𝑛 =1 𝑛 sin

5𝑛𝜃

𝑦 𝜃, 4, 5, 0 = 5 +

4 tan 𝜋 2 sin 5 − 5

∞ 1 𝑛 =1 𝑛 sin

5𝑛𝜃

Gambar 21 (b) 𝜋 𝑥 𝜃, 4, 5, =6+ 𝜋 2 4 sin 5 − 5

3 4 tan 10 𝜋 cos 𝜃 𝜋 3 𝜋 2 ∞ 1 + tan 10 𝜋 cos 5 − 5 𝑛=1 𝑛 sin 5𝑛 𝜃 − 4

∞ 1 𝑛 =1 𝑛 sin

𝜋 5𝑛 𝜃 − 4

𝜋 𝑦 𝜃, 4, 5, =5+ 𝜋 2 4 sin 5 − 5

3 4 tan 10 𝜋 sin 𝜃 𝜋 3 𝜋 2 ∞ 1 + tan 10 𝜋 cos 5 − 5 𝑛 =1 𝑛 sin 5𝑛 𝜃 − 4

∞ 1 𝑛 =1 𝑛 sin

𝜋 5𝑛 𝜃 − 4

𝜋 𝑥 𝜃, 4, 5, =6+ 𝜋 2 2 sin 5 − 5

3 4 tan 10 𝜋 cos 𝜃 𝜋 3 𝜋 2 ∞ 1 + tan 10 𝜋 cos 5 − 5 𝑛=1 𝑛 sin 5𝑛 𝜃 − 2

∞ 1 𝑛 =1 𝑛 sin

𝜋 5𝑛 𝜃 − 2

𝜋 𝑦 𝜃, 4, 5, =5+ 𝜋 2 2 sin 5 − 5

3 4 tan 10 𝜋 sin 𝜃 𝜋 3 𝜋 2 ∞ 1 + tan 10 𝜋 cos 5 − 5 𝑛 =1 𝑛 sin 5𝑛 𝜃 − 2

∞ 1 𝑛 =1 𝑛 sin

𝜋 5𝑛 𝜃 − 2

Gambar 21 (c)