Kölcsönható részecskerendszerek hidrodinamikai viselkedése Tóth István, V. évfolyam, matematika szak Konzulens: Tóth Bálint, Sztochasztika tanszék 2004. október Kivonat Bevezetést adunk a kölcsönható részecskerendszerek nemegyensúlyi hidrodinamikai viselkedésének világába. Mutatunk egy konkrét példát arra, hogy a sztochasztikus részecskemodellhez tartozó parciális hidrodinamikai differenciálegyenletben (Euler-egyenletben) szerepl˝o fluxus függvény deriváltja nem monoton. Ez min˝oségileg új megoldásokat ad a az ún. Riemann-problémára, ezt a véletlen modell számítógépes szimulációja segítségével is szemléltetjük.
Tartalomjegyzék 1. Bevezetés
2
2. Általános leírás 2.1. A részecskemodell . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2. Stacionárius eloszlás . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.1. Feltételek a rátákra szorzatmérték esetén 2.2.2. A mértékcsalád kiszámítása . . . . . . . 2.2.3. Paraméterezés a s˝ur˝uséggel . . . . . . . . 2.3. Parciális differenciálegyenlet . . . . . . . . . . . 2.3.1. Karakterisztikus görbék . . . . . . . . . 2.3.2. Riemann-probléma . . . . . . . . . . . . 2.3.3. Rankine-Hugoniot feltétel . . . . . . . . 2.4. Példák konkrét modellekre . . . . . . . . . . . . 2.4.1. A legegyszer˝ubb modell . . . . . . . . . 2.4.2. Legfeljebb két részecske egy rácsponton .
. . . . . . . . . . . .
2 2 3 3 7 8 9 9 10 10 11 11 12
3. A konkrét modell jellemz˝oinek kiszámítása 3.1. Stacionárius eloszlás . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2. Fluxus a differenciálegyenlethez . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12 12 13
4. A Riemann-probléma megoldása a modellen 4.1. Konkáv (vagy konvex) fluxus . . . . . . . 4.2. Nemkonvex fluxus . . . . . . . . . . . . 4.2.1. Segédszámítások a fázisképhez . 4.2.2. A fáziskép egyszer˝u részei . . . . 4.2.3. A fáziskép öszetett részei . . . . .
17 17 18 19 20 21
1
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . . . . . . . . .
. . . . .
. . . . . . . . . . . .
. . . . .
. . . . . . . . . . . .
. . . . .
. . . . . . . . . . . .
. . . . .
. . . . . . . . . . . .
. . . . .
. . . . . . . . . . . .
. . . . .
. . . . . . . . . . . .
. . . . .
. . . . . . . . . . . .
. . . . .
. . . . . . . . . . . .
. . . . .
. . . . . . . . . . . .
. . . . .
. . . . .
4.3. További kutatási lehet˝oségek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
23
1. Bevezetés A kölcsönható részecskerendszerek mikroszkopikus viselkedését a sztochasztikus folyamatok elmélete írja le. Az ún. hidrodinamikai határátmenet segítségével, az id˝ot és a teret megfelel˝oen átskálázva, megfigyelhet˝o a folyamat egy id˝oben változó nagy számok törvénye-szer˝u viselkedése, amely parciális differenciálegyenletekkel tárgyalható. Ezek az egyenletek nem-lineárisak, és már a legegyszer˝ubb esetben is el˝ofordul, hogy egy sima kezdeti feltételb˝ol kiindulva véges id˝on belül a megoldásban szakadás alakul ki. Emiatt általánosított megoldásokat kell értelmeznünk. A dolgozatban egy konkrét folyamatot vizsgálunk. A modell röviden: egy egydimenziós diszkrét tóruszon ugrálnak részecskék egy irányban, az egy rácsponton lév˝o részecskék száma (alulról és felülr˝ol) korlátozott: a részecskeszám 0, 1 vagy 2 lehet. A dinamika a következ˝o: minden részecskéhez képzeljünk el egy véletlen exponenciális id˝oközönként megcsörren˝o órát, óracsörgéskor a részecske egyet ugrik el˝ore, ha a részecskeszám korlátja megengedi. Az órák egymástól függetlenek, de nem azonos paraméter˝uek. A paraméterek megválaszthatóak úgy, hogy a stacionárius mérték szorzat alakú legyen (más esetben nagyon elbonyolódna a modell vizsgálata). Azonban ilyen esetben is van valamekkora szabadság a paraméterek, vagyis az ugrási ráták megválasztásában. Az ugrási ráták meghatározzák a mikroszkopikus modellhez tartozó makroszkopikus parciális differenciálegyenletet. Eddig többnyire olyan modelleket vizsgáltak, ahol a differenciálegyenletben szerepl˝o fluxus függvény mindig konvex (vagy konkáv). A dolgozatban megmutatjuk, hogy ebben a viszonylag egyszer˝u modellben a ráták megválaszthatók úgy, hogy a fluxus függvény nemkonvex (olyan értelemben, hogy egyes szakaszokon konvex, egyeseken pedig konkáv). Vannak más mikroszkopikus modellek, ahol fluxus nemkonvex, de ennél sokkal bonyolultabbak. A nemkonvex fluxus függvény új jelenségeket generál. Az eddigi tételek nagy része kihasználja, hogy a fluxus konvex. Mi a dolgozatban a Riemann-probléma (nemegyensúlyi) megoldását térképezzük fel, megvizsgáljuk, hogy milyen min˝oségileg különböz˝o esetek lehetségesek. A Riemann-probléma egy speciális kezdeti feltételt jelent: az origótól jobbra és balra a s˝ur˝uség konstans, de két különböz˝o konstans. Konvex fluxus esetén összesen két lehet˝oség van: vagy ritkulási hullám, vagy lökéshullám alakul ki. Nemkonvex esetben viszont egy sokkal gazdagabb világot fedezhetünk fel. A Riemann-probléma részletes analitikus vizsgálatát a differenciálegyenlet segítségével végezzük el, és a különböz˝o esetekre numerikus példát mutatunk a mikroszkopikus modellen, a sztochasztikus folyamat számítógépes szimulációja segítségével.
2. Általános leírás 2.1. A részecskemodell Képzeljünk el egy N diszkrét helyb˝ol álló egydimenziós tóruszt. A diszkrét helyeken (vagy rácspontokon) legkevesebb zmin és legfeljebb zmax számú részecske állhat. Minden egyes rácsponthoz tartozik egy véletlen id˝oközönként megcsörren˝o óra. Az órák egymástól független exponenciális eloszlású id˝onként szólalnak meg. A dinamika a következ˝o: ha megcsörren egy óra, akkor az órához tartozó helyr˝ol egy részecske a
2
következ˝o, szomszédos helyre ugrik. Az óracsörgések exponenciális eloszlásainak paramétere függ az adott helyen, és a következ˝o helyen álló részecskék számától (pl. 0, ha az adott helyen zmin vagy a következ˝o, szomszédos helyen zmax részecske van). Vezessünk be jelöléseket a modell pontos leírásához! Legyen TN az N hosszú tórusz, továbbá S := [zmin , zmax ] ∩ Z, ahol zmin , zmax ∈ Z, |S| < ∞. Így a fenti folyamat állapottere N ΩN := ST (negatív „részecskemennyiséget” is megengedünk). Ha a j index˝u rácsponton lév˝o részecskék száma z j , akkor az állapottér egy eleme z = (z j ) j∈TN ∈ ΩN vektor. A c ugrási ráták (azaz a fenti exponenciális eloszlás paraméterei) függnek z j -t˝ol és z j+1 -t˝ol, de az egész tóruszon homogének ( j-t˝ol nem függnek), tehát c : S × S → [0, ∞) . A folyamat LN infinitezimális generátora a következ˝oképpen hat az állapottér egy tetsz˝oleges f : ΩN → ΩN függvényére: ¡ N ¢ L f (z) = ∑ Lz,N z0 f (z), z0 ∈ΩN
¯ ¯ ahol Lz,N z0 négyzetes mátrix, ¯ΩN ¯ sorral és oszloppal. A mátrix (nem-átlós) elemei a z 7→ z0 állapotátmenetnek megfelel˝o ráták, az elemi állapotváltozás: (z j , z j+1 ) 7→ (z j − 1, z j+1 + 1), c(z j , z j+1 ) rátával. Ha bevezetjük a Θ j : ΩN → ΩN állapotátmeneteket leíró függvénycsaládot a következ˝oképpen: Θ j z = (z1 , . . . , z j − 1, z j+1 + 1, . . . , zN ) , akkor az infinitezimális generátor hatása egy tetsz˝oleges függvényen így írható: ¡ N ¢ L f (z) =
N
∑ c(z j , z j+1 )( f (Θ j z) − f (z)).
j=1
Természetesen a z-k indexelése a TN tóruszon történik, azaz zN+1 azonos z1 -gyel.
2.2. Stacionárius eloszlás Egy Markov folyamat vizsgálatakor fontos feladat a stacionárius mérték megkeresése. Egyszer˝usíti a dolgunkat, ha ez a mérték szorzat alakú. A ráták megfelel˝o megválasztása esetén ez elérhet˝o. 2.2.1. Feltételek a rátákra szorzatmérték esetén 1. Lemma. A stacionárius mérték szorzat alakú, ha a rátákra a következ˝o feltételek teljesülnek: • Tetsz˝oleges x, y ∈ S esetén c(zmin , y) = 0 = c(x, zmax ). 3
Ez a feltétel biztosítja a részecskeszám alsó és fels˝o korlátozását az egyes rácspontokon, 1 valószín˝uséggel. Feltesszük továbbá, hogy minden más állapotváltozás lehetséges, azaz minden zmin < x ≤ zmax és minden zmin ≤ y < zmax esetén c(x, y) > 0. • Tetsz˝oleges x, y, z ∈ S esetén c(x, y) + c(y, z) + c(z, x) = c(y, x) + c(z, y) + c(x, z).
(1)
• Bármely x, y, z ∈ S \ {zmin } esetén c(x, y − 1) c(y, z − 1) c(z, x − 1) = c(y, x − 1) c(z, y − 1) c(x, z − 1).
(2)
2. Megjegyzés. Az (1) egyenl˝oség nem csak három elemre igaz, hanem akármennyire, indukcióval. Ugyanis ha c(z1 , z2 ) + c(z2 , z3 ) + . . . + c(zN−1 , z1 ) = c(z2 , z1 ) + c(z3 , z2 ) + . . . + c(z1 , zN−1 ), akkor (zN+1 = z1 jelöléssel) N
N
j=1
j=1
∑ c(z j , z j+1 ) = ∑ c(z j+1 , z j ).
(3)
Az egyenl˝oséget visszavezethetjük az eredeti (1) esetre: c(z1 , z2 ) + . . . + c(zN−1 , zN ) + c(zN , z1 ) + c(zN−1 , z1 ) − c(zN−1 , z1 ) = c(z2 , z1 ) + . . . + c(zN , zN−1 ) + c(z1 , zN ) + c(z1 , zN−1 ) − c(z1 , zN−1 ). Felhasználva az N − 1 pontra vonatkozó állítást: c(z1 , zN−1 ) + c(zN−1 , zN ) + c(zN , z1 ) = c(zN−1 , z1 ) + c(zN , zN−1 ) + c(z1 , zN ) Ez pedig a kiinduló, (1) állítás. 3. Megjegyzés. A (2) feltétel ekvivalens azzal, hogy létezik egy r : S → [0, ∞) függvény, amelyre r(zmin ) = 0, és minden x, y ∈ S \ {zmin } esetén c(x, y − 1) r(x) = . c(y, x − 1) r(y)
(4)
Ha ez igaz, akkor (2) teljesül, mert: 1=
r(x) r(y) r(z) c(x, y − 1) c(y, z − 1) c(z, x − 1) · · = · · . r(y) r(z) r(x) c(y, x − 1) c(z, y − 1) c(x, z − 1)
Fordítva pedig az állítás arra vezethet˝o vissza, hogy egy örvénymentes vektormez˝oben van potenciálfüggvény. Ugyanis legyen W (x, y) := ln c(x, y − 1) − ln c(y, x − 1). Ekkor W (x, y) = −W (y, x), és a (2) egyenl˝oség azt mondja, hogy bármely x, y, z esetén (zmin kivételével): W (x, y) +W (y, z) +W (z, x) = 0,
4
vagyis az x → y → z → x zárt út mentén a W -k összege 0. Ez nyilván igaz bármilyen hosszú tetsz˝oleges zárt útra is, indukcióval. Legyen x−1
u(x) := −
∑
W (z, z + 1),
z=zmin
ha x > zmin , és legyen u(zmin ) := −∞. Ekkor (x > y esetén): x−1
u(x) − u(y) = − ∑ W (z, z + 1) = W (x, y), z=y
az el˝obbiek miatt. Így már definiálhatjuk a (4)-ben szerepl˝o r függvényt: r(x) := exp(u(x)). Visszatérve a rátákra, valóban: r(x) c(x, y − 1) = eu(x)−u(y) = eW (x,y) = , r(y) c(y, x − 1) ha x, y > zmin , és r(zmin ) = exp(u(zmin )) = exp(−∞) = 0. Most pedig kiszámoljuk a stacionárius mértéket, és a számolás során megmutatjuk, hogy ha az el˝obbi lemma szerint választjuk a rátákat, akkor szorzatmértéket kapunk. πN : ΩN → [0, 1] . π : S → [0, 1] jelöléssel: N
πN (z) = ∏ π(z j ). j=1
πN
akkor stacionárius, ha minden f függvényre teljesül, hogy NA N ®mérték pontosan π , L f = 0. Az LN adjungáltjára áttérve N N ® D N∗ N E π ,L f = L π , f =0 minden f -re, amib˝ol következik, hogy ∗
L N πN = 0 kell. Ennek az egyenletrendszernek a megoldása során kapunk feltételeket a c rátákra. ∗ Próbáljuk meg kiszámolni az LN adjungáltat! (El˝oször beírjuk az infinitezimális generátor definícióját, majd felcseréljük az összegzés sorrendjét.) N N ® π , L f = ∑ πN (z) (LN f )(z) = z∈ΩN
N
=
∑N πN (z) ∑ c(z j , z j+1 )( f (Θ j z) − f (z)) = j=1
z∈Ω N
=
∑ ∑
πN (z) c(z j , z j+1 ) f (Θ j z)−
j=1 z∈ΩN N
−∑
∑
πN (z) c(z j , z j+1 ) f (z)
j=1 z∈ΩN
5
Hajtsuk végre a következ˝o változócserét az els˝o kett˝os összeg bels˝o részében (minden j-re külön-külön): w := Θ j z. Ekkor w j = z j − 1, w j+1 = z j+1 + 1, és wk = zk minden k 6= j, j + 1 esetén. Felhasználva, hogy πN szorzatmérték: N πN (z) = πN (Θ−1 j w) = π (w)
π(w j + 1) π(w j+1 − 1) . π(w j ) π(w j+1 )
Így az els˝o kett˝os összeg bels˝o részének j-edik tagja a következ˝oképpen alakul:
∑N πN (z) c(z j , z j+1 ) f (Θ j z) =
z∈Ω
∑
=
N Θ−1 j w∈Ω
=
πN (Θ−1 j w) c(w j + 1, w j+1 − 1) f (w) =
∑N πN (w)
w∈Ω
π(w j + 1) π(w j+1 − 1) c(w j + 1, w j+1 − 1) f (w). π(w j ) π(w j+1 )
Az utolsó lépéshez c(zmax +1, ·) = c(·, ® zmin − 1) ≡ 0 definícióval kell élnünk. Visszatérve, a változócsere után a πN , LN f skalárszorzat így alakul: N
∑ ∑N πN (w)
j=1 w∈Ω N
−∑
π(w j + 1) π(w j+1 − 1) c(w j + 1, w j+1 − 1) f (w)− π(w j ) π(w j+1 )
∑N πN (z) c(z j , z j+1 ) f (z).
j=1 z∈Ω
Mindkét kett˝os összeg ugyanazokon az elemeken fut, ezért összevonható (w := z): N N ® π , L f = ∑ f (z) π(z)· z∈ΩN
N
·∑
µ
j=1
¶ π(z j + 1) π(z j+1 − 1) c(z j + 1, z j+1 − 1) − c(z j , z j+1 ) π(z j ) π(z j+1 ) ∗
Ebb˝ol az alakból leolvasható az LN adjungált: ³ ´ ∗ LN π (z) =
N
∑
j=1
µ
¶ π(z j + 1) π(z j+1 − 1) c(z j + 1, z j+1 − 1) − c(z j , z j+1 ) · π(z j ) π(z j+1 )
· π(z). ∗
Az LN π = 0 feltétel: π(z j + 1) π(z j+1 − 1) c(z j + 1, z j+1 − 1) = π(z j ) π(z j+1 ) j=1 N
∑
N
∑ c(z j , z j+1 ).
j=1
A lemma (1) feltételéb˝ol következik, hogy a jobb oldalon szerepl˝o összegben a c(z j , z j+1 ) ráták kicserélhet˝oek c(z j+1 , z j )-re (3): π(z j + 1) π(z j+1 − 1) c(z j + 1, z j+1 − 1) = π(z j ) π(z j+1 ) j=1 N
∑
6
N
∑ c(z j+1 , z j ).
j=1
Próbáljuk meg elérni, hogy az összegben szerepl˝o összeadandókra tagonként teljesüljön az egyenl˝oség, azaz minden 1 ≤ j ≤ N esetén: π(z j + 1) π(z j+1 − 1) c(z j + 1, z j+1 − 1) = c(z j+1 , z j ). π(z j ) π(z j+1 ) Átrendezve: c(z j+1 , z j ) = c(z j + 1, z j+1 − 1) ahol x ∈ S \ {zmin } esetén r(x) =
π(z j+1 − 1) π(z j+1 ) r(z j+1 ) , = π(z j ) r(z j + 1) π(z j + 1) π(x − 1) , π(x)
(5)
és r(zmin ) = 0, mert c(zmin , z j ) = 0. Ez az r : S → [0, ∞) függvény a lemmánál szerepl˝o (4) feltételnél szerepl˝o függvény. 2.2.2. A mértékcsalád kiszámítása Az (5) összefüggés alapján, és felhasználva, hogy ∑x∈S π(x) = 1, a stacionárius mérték az r függvénnyel kifejezve a következ˝o: x
x
π(x) = π(zmin ) ·
∏
k=zmin
1 = r(k) +1
∏
1 +1 r(k)
k=zmin y
1 ∑ ∏ r(l) y∈S l=z +1
.
(6)
min
A Markov-folyamatnak több irreducibilis komponense van, ugyanis van egy id˝oben megmaradó mennyiség, az összrészecskeszám. Tehát több stacionárius mérték van, minden irreducibilis komponenshez tartozik egy. Ezt az el˝obbi számolás is igazolja, hiszen az r függvény rátákkal való kapcsolata csak hányadosokon meghatározott (4). Ha r eleget tesz a (4) feltételnek, akkor ennek valamilyen pozitív konstansszorosa is megfelel˝o, tehát pl. r · exp(−θ) is (θ ∈ R): c(x, y − 1) r(x) r(x) · exp(−θ) = = . c(y, x − 1) r(y) r(y) · exp(−θ) Így, ha (6) formulába r helyébe r · exp(−θ)-t helyettesítünk, akkor a különböz˝o irreducibilis komponensekhez tartozó stacionárius mértékek családját kapjuk: eθ ∏ r(k) k=z +1 x
πθ (x) =
min
eθ ∑ ∏ r(l) y∈S l=z +1 y
min
=
e
θx−θzmin
=
1 ∏xk=zmin +1 r(k) 1 ∑u∈S ∏uv=zmin +1 r(v) y
∑e
θy−θzmin
y∈S
Ã
1 ∏l=zmin +1 r(l)
1 ∑u∈S ∏uv=zmin +1 r(v) Ã !!
eθx π(x) = π(x) · exp θx − log ∑y∈S eθy π(y)
7
=
∑ eθy π(y)
y∈S
,
vagyis
Ã
!
∑ eθy π(y)
F(θ) = log
y∈S
jelöléssel πθ (x) = π(x) · exp (θx − F(θ)) = Ekkor a
eθx π(x) . ∑y∈S eθy π(y)
(7)
∏ πθ
πNθ :=
j∈TN
mérték stacionárius a tóruszon. 2.2.3. Paraméterezés a sur ˝ uséggel ˝ A stacionárius mértékeket nem csak az el˝obbi θ paraméterrel lehet jellemezni, hanem más, szemléletesebb paraméterrel is, az átlagos s˝ur˝uséggel. A θ paraméter melletti v(θ) átlagos s˝ur˝uség a πθ stacionárius mérték szerinti várható értéke az egy rácsponton lév˝o részecskék számának. Az el˝obbi jelölések mellett jelentse z j a j rácsponton álló részecskék (véletlen) mennyiségét, Eθ pedig a πθ mérték szerinti, és E pedig a π mérték szerinti várható értéket. Így felhasználva az el˝obbi eredményt πθ -ra (7): v(θ) = Eθ (z j ) =
∑ x · πθ (x) =
x∈S
∑x∈S x · eθx · π(x) E(z j eθz j ) = ∑y∈S eθy · π(y) E(eθz j )
Ahhoz, hogy a θ paraméter helyett használhassuk a v átlagos s˝ur˝uséget, a v : R → [zmin , zmax ] függvénynek bijektívnek kell lenni. Megmutatjuk, hogy ez így van, ugyanis v szigorúan monoton növekv˝o függvénye θ-nak. Emlékeztet˝oül: F(θ) = log ∑ eθy π(y) = log E(eθz j ) y∈S
Derviálva θ szerint megkapjuk az átlagos s˝ur˝uséget: F 0 (θ) = =
0
00
v (θ) = F (θ) = =
d d 1 1 E(eθz j ) = ∑ eθx π(x) = E(eθz j ) dθ E(eθz j ) dθ x∈S E(z j eθz j ) 1 x · eθx π(x) = = Eθ (z j ) = v(θ) ∑ θz E(e j ) x∈S E(eθz j ) d2 E(eθz j ) dθ2 E(eθz j )
à −
d θz j dθ E(e ) θz E(e j )
!2 =
d2 1 ∑ x2 · eθx · π(x) eθz j π(x) − (Eθ (z j ))2 = x∈S θy − ∑ 2 θx E(e ) dθ x∈S ∑y∈S e · π(y)
− (Eθ (z j ))2 =
∑ x2 πθ (x) − (Eθ (z j ))2 = Eθ (z2j ) − (Eθ (z j ))2 = Varθ (z j )
x∈S
Tehát v0 (θ) = Varθ (z j ) > 0, azaz v szigorúan monoton növekv˝o, ezért bijektív, és így v : θ 7→ v(θ) invertálható. Az inverzet jelöljük θ : v 7→ θ(v) módon.
8
t
6 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · x · · · · · · · · · · · · 1. ábra. Karakterisztikus görbék lineáris Φ esetén
2.3. Parciális differenciálegyenlet Legyen Φ(v) a c(z j+1 , z j ) rátafüggvény várható értéke a s˝ur˝uséggel paraméterezett πθ(v) stacionárius mérték szerint: Φ(v) = Eθ(v) (c(z j+1 , z j )) =
∑
c(x, y)πθ(v) (x)πθ(v) (y).
x,y∈S
F. Rezakhanlou bizonyította, hogy attraktív esetben a teret és az id˝ot egyaránt 1/Nnel átskálázva a rendszer makroszkopikus leírását (az átlagos viselkedést megfigyelve) az Euler-egyenlet írja le, az fenti fluxussal. S˝ot, az egyenlet érvényes marad a kés˝obb tárgyalt lökéshullámok megjelenése után is. [4] Az attraktív tulajdonság egyfajta monotonitást jelent a rátákra: c(x + 1, y) > c(x, y) és c(x, y + 1) < c(x, y). ∂t v + ∂x Φ(v) = 0,
(8)
ahol t az id˝o, x a helykoordináta, Φ az el˝obb kiszámolt függvény, amit fluxusnak hívunk, v = v(t, x) pedig a s˝ur˝uség, ami az id˝o és hely függvénye. A mikroszkopikus folyamat kezdeti eloszlásából adódik a differenciálegyenlethez egy kezdeti feltétel: v(0, x) = v0 (x). Az egyenlet és a kezdeti feltétel rövid elnevezése a Cauchy-probléma. 2.3.1. Karakterisztikus görbék A fenti (8) egyenletet (feltéve, hogy Φ és u deriválható) így is írhatjuk: ∂t v + Φ0 (v)∂x v = 0.
(9)
Ha a fluxus lineáris, azaz Φ(v) = c v + d, akkor a differenciálegyenlet ∂t v + c · ∂x v = 0 alakú. Könnyen ellen˝orizhet˝o, hogy a Cauchy-probléma megoldása ebben az esetben v(t, x) = v0 (x − ct), vagyis a kezdeti profil c sebességgel eltolódik az id˝oben. Az 1. ábrán a vízszintes tengely a teret, a függ˝oleges az id˝ot jelenti, a ferde egyenesek pedig a v = konstans vonalak. Nem lineáris esetben a helyzet jóval bonyolultabb. A karakterisztikus sebességeket a fluxus Φ0 deriváltja adja, ami nem lineáris Φ esetén nem konstans, függ a v s˝ur˝uségt˝ol. 9
t
6 %
¡ ¡
· ¶ ££ ¢ · ¶ £ ¢ % ¡ · ¶ £ ¢ · % ¡ · ¶ £u ¢ · % ¡ ¶ ¶¢ · ´´ · % ¡ ´¶ ¢ · ¶ ´ ¶ ¢ · ¶ · % ¡ ´ · % ¡ ¶ ¢ · ¶ ´ · % ¡ ´´ ¶ ¢ · ¶ x · % ¡ ´ ¶ ¢ · ¶ · · ·
%
¡
2. ábra. Karakterisztikus egyenesek találkozása nem lineáris Φ esetén
Emiatt el˝ofordulhat, hogy a konstans s˝ur˝uségeket jelent˝o karakterisztikus egyenesek találkoznak, ami azt jelenti, hogy (véges id˝on belül) szakadás alakul ki a megoldásban (bármilyen sima kezdeti feltétel esetén is!) (2. ábra). Az így létrejött szakadást lökéshullámnak nevezik. Ha létrejön a szakadás, akkor a megoldás már nem differenciálható, és így a fenti (8) egyenletnek már nincs értelme (és ekkor az el˝obbi (9) felírás sem érvényes). A mikroszkopikus modellben azonban a folyamat a lökéshullám kialakulása után is tovább fejl˝odik. Ezért – ha a lökéshullámot is követni szeretnénk a differenciálegyenlettel – általánosított (gyenge) megoldásokat kell definiálnunk. 2.3.2. Riemann-probléma Mi azt a speciális kezdeti feltételt fogjuk vizsgálni, ahol a s˝ur˝uség a t = 0 id˝opontban két különböz˝o konstans értéket vesz fel az origótól balra, illetve jobbra: ½ vb ha x < 0 v(0, x) = vj ha x ≥ 0. Ez a Riemann-probléma. Ebben az esetben már kezdetben is egy szakadással van dolgunk, tehát a megoldásokat rögtön gyenge értelemben kell értelmeznünk [5]. 2.3.3. Rankine-Hugoniot feltétel Az általánosított megoldásokat a szokásos módon definiáljuk: az eredeti (8) egyenletet tetsz˝oleges kompakt tartójú tesztfüggvénnyel beszorozzuk, majd integrálunk, és az így kapott egyenletet vizsgáljuk (amiben már nem szerepel szakadásos függvény deriválása). Jelöljük ϕ-vel a tesztfüggvényt: Z ∞Z ∞ 0
−∞
ϕ(t, x) (∂t v(t, x) + ∂x Φ(v(t, x))) dx dt = 0.
Parciális integrálással kapjuk, hogy Z ∞Z ∞ 0
−∞
∂t ϕ · u + ∂x ϕ · Φ(u) dx dt +
Z ∞ −∞
ϕ(0, x) · u0 (x)dx = 0.
Ennek az egyenletnek egy u megoldása (minden ϕ kompakt tartójú, sima függvény esetén) az eredeti Cauchy-probléma egy gyenge megoldása. 10
Folytonos, differenciálható esetekben az „igazi” megoldás egyúttal gyenge megoldás is. A probléma a gyenge megoldásokkal az, hogy elveszik az unicitás, ezért valahogyan ki kell választani a gyenge megoldások közül azt, ami a mikroszkopikus modellnek megfelel [5]. Az általánosított megoldások segítségével, kiszámolhatjuk egy diszkontinuitás (lökéshullám) haladási sebességét: s=
Φ(vj ) − Φ(vb ) , vj − vb
(10)
ahol vb a szakadás bal oldalán lév˝o s˝ur˝uség, vj pedig a jobb oldali s˝ur˝uség. Ezt nevezik Rankine-Hugoniot feltételnek. (Azért „feltétel”, mert általánosabb, többkomponens˝u modelleknél ez megkötést ad a lökéshullámok lehetséges sebességére.)
2.4. Példák konkrét modellekre 2.4.1. A legegyszerubb ˝ modell A legegyszer˝ubb példa az egyszer˝u kizárásos modell („simple exclusion”): egy rácsponton legfeljebb egy részecske lehet, azaz zmin = 0, zmax = 1, S = {0, 1}. Ekkor a ráták így alakulnak: c(0, 0) = c(0, 1) = c(1, 1) = 0 a részecskeszám korlátozás miatt, és c(1, 0) = a tetsz˝oleges pozitív szám. Nyilvánvaló, hogy ha az összes rátát ugyanazzal a számmal megszorozzuk, akkor lényegében semmi sem változik, csak az id˝oskála módosul. Tehát c(1, 0) = 1 az általánosság megszorítása nélkül választható. Táblázatosan (a sorok a c függvény els˝o változóját, az oszlopok a második változóját jelentik): c 0 1
0 0 1
1 0 0
Ebben a modellben nincsen szabadon változtatható paraméter. A szorzatmérték létezésének feltételei automatikusan teljesülnek: a (1) és (2) feltételek üresek. A stacionárius eloszlást felírhatjuk egyb˝ol a s˝ur˝uséggel paraméterezve: πθ(v) (1) = 1 − πθ(v) (0) = v, ugyanis ebben az esetben z j várható értéke éppen v. Eθ(v) (z j ) = 1 · v + 0 · (1 − v) = v. A rátafüggvény várható értéke, vagyis a fluxus: Φ(v) = Eθ(v) (c(z j+1 , z j )) = c(1, 0) · πθ(v) (1) · πθ(v) (0) = v(1 − v). Az így adódó parciális differenciálegyenlet: ∂t v + ∂x v(1 − v) = 0. Ez a jól ismert Burgers-egyenlet, hiszen u := 1 − 2v helyettesítéssel: µ 2¶ u ∂t u + ∂x = 0. 2
11
A Rankine-Hugoniot feltétel, vagyis a lökéshullámok sebessége (10): s=
vb (1 − vb ) − vj (1 − vj ) = 1 − (vb + vj ). vb − vj
Megjegyezzük, hogy ennél a modellnél kapott fluxus függvény konkáv, vagyis Φ0 monoton, továbbá a modell attraktív. 2.4.2. Legfeljebb két részecske egy rácsponton Ennél egy lépéssel bonyolultabb modell, ha nem egy, hanem legfeljebb két részecske lehet egy rácsponton. A szimmetria kedvéért az egy rácsponton lév˝o részecskék „száma” ne 0, 1 vagy 2 legyen, hanem −1, 0 vagy 1, azaz zmin = −1, zmax = 1, és S = {−1, 0, 1}. A részecskeszám alsó és fels˝o korlátozása miatt c(−1, −1) = c(−1, 0) = c(−1, 1) = c(0, 1) = c(1, 1) = 0. Marad még négy szabadon választható ráta. Ebb˝ol az egyiket nyugodtan választhatjuk 1-nek, ezzel csak az id˝oskálát rögzítjük, pl. c(1, −1) = 1. Vizsgáljuk meg, milyen feltételeknek kell teljesülnie ahhoz, hogy az egyensúlyi mérték szorzatmérték legyen. Az els˝o (1) feltétel szerint c(−1, 0) + c(0, 1) + c(1, −1) = c(0, −1) + c(1, 0) + c(−1, 1), azaz 0+0+1 = c(0, −1)+c(1, 0)+0, vagyis c(0, −1)+c(1, 0) = 1. Legyen pl. c(0, −1) = (1 − a)/2 és c(1, 0) = (1 + a)/2, ahol |a| < 1. A második (2) feltétel nem mond semmit, mert nincs három különböz˝o eleme S \ {zmin }-nek. Így marad az el˝obbi a-n kívül még egy szabadon választható paraméter, jelöljük ezt b-vel: c(0, 0) = b > 0. Táblázatos formában: c −1 0 1
−1 0 1−a 2
1
0 0 b 1+a 2
1 0 0 0
A továbbiakban ezzel modellel foglalkozunk, attraktív esetben. A modell akkor attraktív, ha b < 1−|a| 2 , az a = 0 esetben b < 1/2.
3. A konkrét modell jellemz˝oinek kiszámítása Az el˝oz˝o fejezet végén látott modellel foglalkozunk. Emlékeztet˝oül a paraméterek a következ˝ok: zmin = −1, zmax = 1, S = {−1, 0, 1}. A rátákat táblázatos formában az el˝oz˝o fejezetben láttuk, röviden: c(−1, −1) = c(−1, 0) = c(−1, 1) = c(0, 1) = c(1, 1) = 0, c(0, −1) = (1 − a)/2, c(1, 0) = (1 + a)/2, c(1, −1) = 1 és c(0, 0) = b. A szabad paraméterek: |a| < 1, b > 0. Kiszámoljuk a stacionárius eloszlást, megpróbáljuk a s˝ur˝uséggel paraméterezni, majd kiszámoljuk a fluxus függvényt.
3.1. Stacionárius eloszlás Az el˝oz˝oekben láttuk, hogy teljesülnek a szorzat alakú stacionárius mérték létezésének feltételei. Egy speciális egyensúlyi mérték: πN (z) = ∏Nj=1 π(z j ). Legyen π = (π(−1), π(0), π(1)) = (p, 1 − 2p, p) , 12
ahol 0 < p < 1/2. Az r függvényt felhasználva (5) alapján: r(0) =
π(−1) p = π(0) 1 − 2p
és r(1) =
π(0) 1 − 2p = . π(1) p
Az r függvényt definiáló (4) egyenl˝oség szerint r(0) c(0, 0) = =b r(1) c(1, −1)
µ vagyis
p 1 − 2p
¶2 = b.
Innen p kifejezhet˝o b-vel: p=
1 , 1 √ +2 b
tehát a p paraméter és a b ráta között bijekció van (p(b) egyébként szigorúan monoton növ˝o), a rövidség kedvéért a p-t használjuk a további számolás során. Az összes lehetséges egyensúlyi mértéket a θ paraméter bevezetésével adhatjuk meg: πNθ (z) = ∏Nj=1 πθ (z j ), ahol (7) alapján µ πθ = (πθ (−1), πθ (0), πθ (1)) =
¶ p e−θ 1 − 2p p eθ , , , Z(θ) Z(θ) Z(θ)
ahol Z(θ) = e−θ p + 1 − 2p + p eθ = 1 + 2p(ch θ − 1) normálófaktor. Próbáljunk meg áttérni a θ paraméter helyett a s˝ur˝uség szerinti paraméterezésre. Az átlagos s˝ur˝uség: v(θ) = Eθ (z j ) = −1 ·
p e−θ 1 − 2p p eθ 2p sh θ +0· +1· = . Z(θ) Z(θ) Z(θ) 1 + 2p(ch θ − 1)
Láttuk, hogy ebb˝ol az egyenletb˝ol mindig kifejezhet˝o θ, mint v függvénye. És most ez gyakorlatilag is lehetséges, ugyanis eθ -ra kapunk egy másodfokú egyenletet, amit megoldva: p v(1 − 2p) + 4p2 + v2 − 4pv2 θ(v) = ln . (11) 2p(1 − v)
3.2. Fluxus a differenciálegyenlethez A fluxus a rátafüggvény stacionárius mérték szerinti várható értéke. A s˝ur˝uséggel paraméterezve (a rövidség kedvéért θ(v) helyett csak v-t írunk): Φ(v) = Ev (c(z j+1 , z j )) =
∑
c(x, y) · πv (x) · πv (y)
x,y∈S
=
1+a 1−a πv (1)πv (0) + πv (0)πv (−1) + b · πv (0)πv (0) + 1 · πv (1)πv (−1) 2 2
Behelyettesítve a πθ mértéket a fluxus rövid számolás után: Φ(v) =
p(1 − 2p)(ch θ(v) + a sh θ(v)) + 2p2 . (1 + 2p(ch θ(v) − 1))2
13
A Φ függvény páros, ha a = 0. Ebben a dolgozatban csak ezzel a szimmetrikus esettel foglalkozunk. Az a 6= 0 esetben jóval bonyolultabbak a formulák, és szinte minden kés˝obbiekben megfogalmazott eredmény csak numerikusan számolható. Kicsit hosszabb, elemi számolással adódik, p −v2 4p2 + (2p − 1) v2 + 4p2 − 4pv2 + , Φ(v) = 2 −2 + 8p θ(v) el˝obbi, (11) formuláját felhasználva. Másképpen (megszüntetve Φ(v)-nek p = 1/4-nél lév˝o szakadását): Φ(v) =
4p2 + v2 − 4pv2 + 4p2 v2 −v2 p + 2 2 (4p2 + (1 − 2p) v2 + 4p2 − 4pv2 )
Vizsgáljuk meg a fluxus függvény konvexitását! Φ második deriváltja hosszú elemi számolással: 2p2 (1 − 2p) Φ00 (v) = −1 + 2 (v + 4p2 − 4pv2 )3/2 A Φ00 függvény folytonos, mert a nevez˝oben szerepl˝o gyök alatti kifejezés: v2 + 4p2 − 4pv2 = (2p − v)2 + 4pv(1 − v) > 0, mert v ∈ [0, 1] és p ∈ (0, 1/2). Mivel Φ0 is folytonos, ezért a [−1, 1] intervallumon pontosan akkor szigorúan monoton (azaz Φ vagy konvex vagy konkáv), ha a deriváltja, azaz Φ00 ott sehol sem 0. Keressük meg a Φ00 (v) = 0 egyenlet megoldásait: −1 +
2p2 (1 − 2p) (v2 + 4p2 − 4pv2 )3/2
= 0,
azaz (2p2 (1 − 2p))2 = (v2 + 4p2 − 4pv2 )3 . Innen p 6= 1/4 esetén v2 =
(2p2 (1 − 2p))2/3 − 4p2 . (1 − 4p)
Ha p = 1/4, akkor Φ00 (v) = −1/2 < 0, azaz Φ szigorúan konkáv (Φ(v) = (1 − v2 )/4). Ha p > 1/4, akkor v2 el˝obbi kifejezésében a nevez˝o negatív. A számláló is negatív, mert (2p2 (1−2p))2/3 −4p2 < 0 átrendezve, és 3/2-ik hatványra emelve (minden pozitív) azt kapjuk, hogy 2p2 (1 − 2p) < (4p2 )3/2 , azaz p > 1/6, ami teljesül, mert p > 1/4. Ebb˝ol következik, hogy v2 kifejezésében a jobb oldal pozitív, tehát van megoldás v-re. Mi olyan megoldást keresünk v-re, ami benne van a (−1, 1) intervallumban. Ugyanis ha v2 ≥ 1, akkor az inflexiós pont nincs benne az értelmezési tartomány belsejében, a Φ fluxus vagy konvex, vagy konkáv. A v2 < 1 pontosan akkor teljesül, ha: (2p2 (1 − 2p))2/3 − 4p2 < 1. (1 − 4p) Átalakítva (a nevez˝o negatív, mert p > 1/4): (2p2 (1 − 2p))2/3 > (1 − 2p)2 . 14
p < 1/2 miatt 3/2-ik hatvány és átalakítások után: p> √
1 . 2+2
√ Összefoglalva p > 1/( 2+2) esetén a Φ00 (v) = 0 egyenletnek van megoldása a (−1, 1) intervallumban, tehát a fluxus nemkonvex. Nézzük meg most a p < 1/4 esetet. Ekkor v2 kifejezésében a jobb oldalon a nevez˝o pozitív. Ha a számláló negatív, akkor nincs megoldás. Vagyis ha (2p2 (1 − 2p))2/3 − 4p2 < 0, azaz átrendezés és gyökvonás után 2p2 (1 − 2p) < 8p3 , és innen p > 1/6. Tehát 1/6 < p < 1/4 esetén nincs megoldás, azaz Φ0 szigorúan monoton. Ezzel szemben p ≤ 1/6 esetén a számláló is pozitív, tehát van v-re valós megoldás. Minket a v2 < 1 megoldások érdekelnek, azaz: (2p2 (1 − 2p))2/3 − 4p2 < 1. (1 − 4p) Most a nevez˝o pozitív, ezért: (2p2 (1 − 2p))2/3 < (1 − 2p)2 , és innen gyökvonás után (p < 1/2) azt kapjuk, hogy p< √
1 . 2+2
√ Ez automatikusan teljesülh ebben az esetben, mert p ≤ 1/6, és 1/6 < 1/( 2 + 2). i √ Összegezve, ha p ∈ 1/6, 1/( 2 + 2) , akkor a fluxus konkáv, egyébként pedig nemkonvex (se nem konvex, se nem konkáv, van a (−1, 1) intervallumon inflexió). Ugyanezt megfogalmazhatjuk a b ráta segítségével is, ugyanis · ¸ ¸ · 1 1 1 1 p∈ ,√ , . ⇐⇒ b ∈ 6 2+2 16 2 A következ˝o állítást fogalmazhatjuk meg: 4. Lemma. A vizsgált mikroszkopikus modellhez tartozó Φ : [−1, 1] → R fluxus a következ˝o: Φ(v) =
v(a − v) (1 − av)(4p2 + v2 − 4pv2 + 4p2 v2 ) p + , 2 2 (4p2 + (1 − 2p) v2 + 4p2 − 4pv2 )
p=
√1 b
1 . +2
Az a = 0 szimmetrikus esetben: Φ(v) = −
4p2 + v2 − 4pv2 + 4p2 v2 v2 p + , 2 2(4p2 + (1 − 2p) v2 + 4p2 − 4pv2 )
Ez konkáv, ha
¸ 1 1 , . b∈ 16 2
p=
√1 b
1 . +2
(12)
·
(13)
Egyébként, vagyis ha ¶ µ 1 b ∈ 0, 16
µ vagy b ∈
15
¶ 1 ,∞ , 2
(14)
fi(v)
0.2 0.15 0.1 0.05 0 -1
-0.5
0
0.5
0.14
1 fi(v)
0.12 0.1 0.08 0.06 0.04 0.02 0 -1
-0.5
0
0.5
0.14
1 fi(v)
0.12 0.1 0.08 0.06 0.04 0.02 0 -1
-0.5
0
0.5
3. ábra. Nemkonvex fluxus, p = 0.15, p = 0.105, p = 0.02
16
1
akkor nemkonvex, azaz van inflexiós pontja a (−1, 1) intervallumon. Az inflexiós pontok helye: s vinfl = ±
(2p2 (1 − 2p))2/3 − 4p2 . 1 − 4p
(15)
Az egyszer˝uség kedvéért vezessük be a következ˝o jelöléseket: • Legyen λ(v) a v s˝ur˝uséghez tartozó karakterisztikus sebesség, azaz λ(v) := Φ0 (v).
(16)
• Legyen s(vb , vj ) a Rankine-Hugoniot feltételnél szerepl˝o lökéshullám terjedési sebesség: Φ(vb ) − Φ(vj ) s(vb , vj ) := . (17) vb − vj
4. A Riemann-probléma megoldása a modellen A Riemann-probléma a (8) parciális differenciálegyenlet egy speciális kezdeti feltétel melletti megoldását jelenti. A differenciálegyenlet: ∂t v(t, x) + ∂x Φ(v(t, x)) = 0, ahol v(t, x) a s˝ur˝uség t id˝oben, az x helyen. A speciális kezdeti feltétel: ½ vb ha x < 0 v(0, x) = vj ha x ≥ 0, azaz kezdetben egy adott konstans (vb ) a s˝ur˝uség az origótól balra, és egy másik adott konstans (vj ) a s˝ur˝uség az origótól jobbra. A mikroszkopikus véletlen modellben ugyanez azt jelenti, hogy az N hosszú tórusz egyik felén a s˝ur˝uség várható értéke minden rácsponton vb , a másik felén pedig a várható érték minden rácsponton vj . Ha a részecskék elhelyezkedése a két oldalon a külön-külön vett egyensúlyi mérték szerinti, akkor: ( Eπvb (zk ) = vb ha k < N/2 Eπk (zk ) = Eπvj (zk ) = vj ha k ≥ N/2. A továbbiakban megnézzük, hogy milyen megoldásai lehetnek a Riemann-problémának, a két paraméter, vb és vj függvényében. Ha elindítjuk a rendszert, akkor el˝ofordulhat, hogy a szakadás az id˝o el˝orehaladtával megmarad, lehetséges, hogy rögtön elkezd elt˝unni, azaz egy ritkulási hullám alakul ki, és lehetséges, hogy ezek kombinációi jönnek létre. Látni fogjuk, hogy ha a fluxus deriváltja nem monoton, akkor sokkal több a lehet˝oség, mint monoton esetben. Ezeket a variációkat vizsgáljuk. Most csak a b ≤ 1/2, attraktív esettel foglalkozunk.
4.1. Konkáv (vagy konvex) fluxus Konkáv a most tárgyalt folyamat fluxusa az (13) feltétel melletti ráták esetén. (Vagy konkáv pl. az el˝obbiekben látott egyszer˝u kizárásos modell fluxusfüggvénye is.) Ekkor csak két különböz˝o eset fordul el˝o, attól függ˝oen, hogy vb és vj közül melyik a nagyobb. (Az egyenl˝oség az egyensúly.) 17
Φ(v)
v −1
vb
vj
1
4. ábra. Konkáv fluxus
• vb < vj . Mivel a bal oldalon a s˝ur˝uség kisebb, mint a jobb oldalon, és a bal oldali karakterisztikus sebesség nagyobb, mint a jobb oldali (λ(vb ) > λ(vj )), ezért ez egy stabil lökéshullám. Másképpen, ha egy kicsit kimozdítjuk a rendszert ebb˝ol az állapotból, vagyis a szakadásba közbeiktatunk egy közbens˝o, tetsz˝oleges v s˝ur˝uség˝u részt (vb < v < vj ), akkor a fluxus grafikonján a megfelel˝o szel˝ok meredeksége közötti relációk miatt (s(vb , v) > s(v, vj ): 4. ábra) a mesterségesen beiktatott két szakadás egymás felé (visszafele) mozdul el. Tehát a vb < vj esetén a szakadás stabil. • vb > vj . Ebben az esetben λ(vb ) > λ(vj ), és bármilyen közbens˝o v s˝ur˝uségre λ(vb ) > λ(v) > λ(vj ), ugyanis Φ(v) konkáv, vagyis λ = Φ0 monoton csökken˝o. Emiatt ilyen kezdeti feltételb˝ol egy ritkulási hullám alakul ki. Másképpen, ha közbeiktatunk a kezdeti állapotban a szakadásba egy közbens˝o, tetsz˝oleges v s˝ur˝uség˝u részt, akkor az így kialakult két szakadás egymástól távolodik, mert s(vj , v) > s(v, vb ). Tehát az eredeti szakadás instabil, ha vb > vj . Az eredményeket összefoglalva, a Riemann-probléma kvantitatív megoldásának fázisképét felrajzolhatjuk: legyen a vízszintes tengely a kezdeti bal oldali s˝ur˝uség, a függ˝oleges tengely pedig a kezdeti jobb oldali s˝ur˝uség. Ekkor a vj = vb egyenes feletti részen stabil lökéshullám, alatta pedig ritkulási hullám alakul ki (5). Megjegyezzük, hogy ha a fluxus nem konkáv, hanem konvex lenne, akkor ugyanígy érvelve minden érvényes, csak éppen pont fordítva (ritkulási hullám vb < vj esetben, és lökéshullám vb > vj esetben). Az itt alkalmazott kétféle gondolatot használjuk a bonyolultabb, nemkonvex esetben is, vagyis azt vizsgáljuk, hogy a karakterisztikus sebességek hogyan alakulhatnak ki, és azt, hogy egy szakadás kicsit megváltoztatva hogyan viselkedik, vagyis azt, hogy stabil-e.
4.2. Nemkonvex fluxus A fluxus (12) konvexitást vált, ha b ∈ (0, 1/16), vagy ami ugyanez: p ∈ (0, 1/6) (14). Mégpedig két helyen, szimmetrikusan az origóra, ugyanis Φ páros függvény.
18
vjobb
lö
ké
sh
ul lá m
1
vbal −1
rit
ku
lá
si
hu
llá
m
1
−1
5. ábra. Fáziskép konkáv esetben
4.2.1. Segédszámítások a fázisképhez Az origótól jobbra es˝o inflexiós pont legyen vinfl , a balra es˝o pedig −vinfl . Ezeket már ki is számítottuk (15). A kés˝obbiek folyamán szükség lesz a Φ görbéjének további jellegzetes pontjaira. A 0-ban az érint˝o vízszintes, lokális minimuma van Φ-nek: Φ0 (0) = 0, a lokális minimum értéke pedig Φ(0) = p. Ezen a (0, p) ponton keresztül húzott vízszintes érint˝o a Φ görbét két helyen metszi, az origóra szimmetrikusan. A metszéspontok vízszintes koordinátáit a Φ(v) = p egyenlet 0-tól különböz˝o megoldásai adják. A pozitív gyököt v0 -lal jelölve: s v0 =
(1 − 2p)(1 − 6p) . 1 − 4p
A másik metszéspont −v0 -nál van. A szimmetrikusan elhelyezked˝o két lokális maximumhelyet a Φ0 (v) = 0 egyenlet további, 0-tól különböz˝o megoldásai adják. Az egyenletet megoldva a pozitív gyök: s 1 (1 + 2p)(1 − 6p) vmax = 2 1 − 4p A másik lokális maximumhely pedig −vmax . A maximum értéke Φ(vmax ) = Φ(−vmax ) = (1 − 2p)2 /(8 − 32p). Fontos lesz a továbbiakban, hogy a Φ görbe egy adott (v, Φ(v)) pontjából húzott érint˝o (amelyik az adott pontban nem érinti Φ-t), hol érinti a görbét, és hol metszi (máshol). Adott v-hez a ve érintési pont a következ˝o egyenlet megoldása: Φ(v) − Φ(ve ) = Φ0 (ve )(v − ve ). Ha ezt adott v esetén megoldjuk ve -re, akkor megkapjuk a v-hez tartozó ve (v) érintési − pontot. Ha több megoldás is van, akkor legyen v+ e (v) és ve (v) a v-hez távolabbi illetve − + közelebbi megoldások: |ve (v) − v| < |ve (v) − v|. Ha nem jelezzük külön, akkor a ve (v) 19
Φ
−1
−v0 v− m (ve )
0 −vmax
−vinfl
ve
vinfl
vmax
v0 v+ m (ve )
1
v
6. ábra. A fluxus nemkonvex esetben
a v-hez közelebbi megoldás, vagyis ve (v) := v− e . Ha adott ve esetén oldjuk meg az egyenletet v-re, akkor megkapjuk az érint˝o és a Φ görbe metszéspontjait. Legyenek + ezek v− m (ve ) < ve < vm (ve ) (ha vannak), és ha több metszéspont is van, akkor legyen vm a ve érintési ponthoz a legközelebbi. Jelölje értelemszer˝uen v+ (v) := v+ m (ve (v)) illetve v− (v) := v− (v (v)) a v-b˝ o l húzott érint˝ o k metszéspontjait a Φ görbével (nem biztos, m e hogy léteznek). Nyilván ve (v) = −ve (−v), és ha v > 0, akkor v− (v) = −v+ (−v), s˝ot −1 v+ = v− , a Φ párossága miatt. (6. ábra) 4.2.2. A fáziskép egyszeru˝ részei Vizsgáljuk meg a Riemann-probléma fázisképét, az egyszer˝ubb, könnyen látható esetekben. Ha mindkét oldali kezdeti s˝ur˝uség a Φ görbe ugyanazon görbületi szakaszára esik (vagyis ±vinfl nincs vb és vj között), akkor alkalmazhatjuk a konkáv (vagy konvex) esetre vonatkozó eredményeket, hiszen csak azokra a v s˝ur˝uségekre érdekes a Φ(v) viselkedése, amelyekre v a vb és vj közé esik. Itt pedig Φ konkáv (vagy konvex). Vagyis ha vb , vj ∈ [−1, −vinfl ] vagy vb , vj ∈ [vinfl , 1] vagy vb , vj ∈ [−vinfl , vinfl ], akkor vagy lökéshullám vagy pedig ritkulási hullám alakul ki: Lökéshullám alakul ki, ha −1 ≤ vb < vj ≤ −vinfl vagy vinfl ≤ vb < vj ≤ 1 vagy −vinfl ≤ vb > vj ≤ vinfl . Ritkulási hullám alakul ki, ha −1 ≤ vb > vj ≤ −vinfl vagy vinfl ≤ vb > vj ≤ 1 vagy −vinfl ≤ vb < vj ≤ vinfl . Ha vb < −v0 és vj > v0 , akkor egy stabil lökéshullám alakul ki, stabilitási megfontolásból. Ugyanis a Φ görbe a vb -t˝ol vj -ig terjed˝o szakaszon a (vb , Φ(vb )) és (vj , Φ(vj )) pontokat összeköt˝o húr felett van, tehát s(vb , v) > s(v, vj ), ha vb < v < vj , ami azt jelenti, hogy a szakadás stabil (kis perturbációra a keletkez˝o két szakadás egymás felé mozdulna el). £ ¤ Általában igaz, hogy ha vb < vj , akkor lökéshullám alakul ki, ha a vb , vj a szakaszon végig a húr felett van a Φ görbe. Vagyis tetsz˝oleges −1 ≤ vb ≤ v− (1) esetén ha vj ≥ v+ (vb ), akkor stabil lökéshullám alakul ki. Ez természetesen igaz fordítva is: v+ (−1) ≤ vj ≤ 1 esetén ha vb ≤ v− (vj ), akkor stabil lökéshullám alakul ki. (Ez az eset tartalmazza az el˝oz˝o bekezdésben leírtakat is.) Ugyanilyen megfontolásból, hogy ha továbbra is vb < vj , és tetsz˝oleges −1 ≤ vb ≤
20
Φ
−1
1
0 vb
v
ve (vb )
ve (vj )
v
vj
7. ábra. lökéshullám – ritkulási hullám – lökéshullám
−vinfl esetén ha vj ≤ ve (vb ), akkor szintén stabil lökéshullám jön létre. Fordítva: tetsz˝oleges vinfl ≤ vj ≤ 1 esetén ha vb ≥ ve (vj ), akkor stabil lökéshullám alakul ki. Legyen mostantól vb > vj . Legyen vinfl ≤ vb ≤ vmax tetsz˝oleges. Ha most v+ e (vb ) ≤ vj ≤ v− (v ), akkor stabil lökéshullám jön létre, ugyanis ilyen v és v értékek esetén b j m b a Φ görbe két pontját összeköt˝o húr alatt marad végig a görbe, tehát tetsz˝oleges vj < v < vb esetén s(vb , v) > s(v, vj ), azaz tetsz˝oleges közbens˝o v s˝ur˝uség˝u helyet beiktatva a mesterségesen létrehozott két lökéshullám egymás felé mozdulna el, vagyis a szakadás stabil. Hasonló érvelés igaz akkor is, ha a vj -t választjuk tetsz˝olegesen −vmax ≤ vj ≤ −vinfl + feltétel mellett, és ehhez vb -t úgy, hogy v+ m (vj ) ≤ vj ≤ ve (vj ). Ekkor szintén egy stabil lökéshullám alakul ki, hiszen ugyanazok az egyenl˝otlenségek igazak, mint el˝obb. (Az el˝obbi két esetben van átfedés.) 4.2.3. A fáziskép öszetett részei
£ ¤ Foglalkozzunk most azzal az esettel, amikor vb < vj , de a vb , vj szakaszon a Φ görbe elmetszi a húrt, és a két inflexiós pont is ezen a szakaszon van. Ez azt jelenti, hogy adott −1 ≤ vb < −vinfl esetén vinfl < vj < v+ (vb ), vagy ami ugyanez, szimmetrikusan, adott vinfl < vj ≤ 1 esetén v− (vj ) < vb < −vinfl . Ekkor vb és vj pontokból húzott két olyan érint˝ore, amire vb < ve (vb ) és ve (vj ) < vj , mindig teljesül, hogy ve (vb ) < ve (vj ). Így a következ˝o kép alakul ki balról jobbra: lökéshullám – ritkulási hullám – lökéshullám. A két lökéshullám stabil, mert Φ a nekik megfelel˝o húr felett van, egymástól távolodnak, mert s(vb , ve (vb )) < s(ve (vj ), vj ), és a kett˝o között ritkulási hullám alakul ki, ami pontosan csatlakozik a lökéshullámokhoz, ugyanis: s(vb , ve (vb )) = λ(ve (vb )) < λ(ve (vj )) = s(ve (vj ), vj ), és λ monoton n˝o a két érintési pont között. (7. ábra) A bal oldali lökéshullám bal oldalán vb a s˝ur˝uség, a jobb oldalán pedig ve (vb ), a jobb oldali lökéshullám jobb oldalán vj a s˝ur˝uség, a bal oldalán pedig ve (vj ). Középen a ritkulási hullám két szélén ennek megfelel˝oen ve (vb ) és ve (vj ) a s˝ur˝uség. A lökéshullámok sebessége s(vb , ve (vb ) illetve s(ve (vj ), vj ). A vb < vj feltétel mellett még két esetr˝ol nem volt szó. Az egyik, amikor rögzített vinfl ≤ vj ≤ 1 esetén −vinfl ≤ vb ≤ ve (vj ). Az ilyenkor kialakuló megoldás: ritkulási hullám – lökéshullám. Ugyanis ekkor a ve (vj )-t˝ol vj -ig terjed˝o szakaszon a Φ görbe végig
21
Φ
−vinfl
−1
0 ve (vj )
vb
vinfl v
1
v
1
v
vj
8. ábra. ritkulási hullám – lökéshullám
Φ
−1
0 vj
−vmax
v
vmax
vb
9. ábra. ritkulási hullám – lökéshullám – ritkulási hullám
a húr felett van (stabil lökéshullám), és vb ≤ v ≤ ve (vj ) esetén pedig a λ(v) karakterisztikus sebességek monoton növekednek, a határon pedig λ(ve (vj )) = s(ve (vj ), vj ). A ritkulási hullám bal oldalán a s˝ur˝uség vb , a jobb oldalán ve (vj ), a szakadás bal oldalán ve (vj ), a jobb oldalán pedig vj a s˝ur˝uség. A lökéshullám sebessége s(ve (vj ), vj ). (8. ábra) A másik – eddig kimaradt – eset a következ˝o: rögzített −1 ≤ vb ≤ −vinfl esetén legyen ve (vb ) ≤ vj ≤ vinfl (szimmetrikusan az el˝obbire). Az ilyenkor kialakuló megoldás: lökéshullám – ritkulási hullám, mint el˝obb, csak éppen fordítva. Az indoklás teljesen hasonló az el˝oz˝o esethez. A vb -t˝ol a ve (vb )-ig terjed˝o szakaszon a húr felett van a Φ görbe, ezért stabil lökéshullám keletkezik, majd utána ve (vb ) ≤ v ≤ vj esetén λ(v) monoton növekszik, ezért ennek megfelel˝oen egy ritkulási hullám alakul ki, a határon pedig a sebességek kompatibilisak: az érintés miatt s( vb , ve (vb )) = λ(ve (vb )). A szakadás bal oldalán a s˝ur˝usége vb , jobb oldalán pedig ve (vb ). A ritkulás bal oldalán ve (vb ) a s˝ur˝uség, a jobb oldalán pedig vj . A lökéshullám sebessége s(vb , ve (vb )). Ezzel a vb < vj esetet lezártuk. Most a vb > vj eseteket vizsgáljuk (vb = vj ép22
pen egyensúly), azokat, amelyek még nem fordultak el˝o. Ilyen eset, ha vb > vmax és vj < −vmax . Ebben az esetben a megoldás: ritkulási hullám – lökéshullám – ritkulási hullám. A bal oldali ritkulási hullám bal oldalán a s˝ur˝uség vb , a jobb oldalán vmax , a jobb oldali ritkulási hullám jobb oldalán a s˝ur˝uség vj , a bal oldalán pedig −vmax . A középen megmaradó szakadás bal illetve jobb oldalán a s˝ur˝uség ±vmax . Ugyanis ekkor a ritkulási hullámokra: vb ≥ v ≥ vmax esetén λ(v) monoton csökken, és −vmax ≥ v ≥ vj esetén λ(v) szintén monoton csökken. A lökéshullám sebessége s(−vmax , vmax ) = 0, és ez illeszkedik a ritkulási hullámok sebességéhez, ugyanis λ(−vmax ) = λ(vmax ) = 0. (9. ábra) Már majdnem az összes lehetséges vb , vj kezdeti értéket megvizsgáltuk, még két tartomány maradt ki. Az egyik, amikor −vinfl < vb ≤ vmax tetsz˝oleges, és −1 ≤ vj < v+ e (vb ). Ekkor a megoldás: lökéshullám – ritkulási hullám. A lökéshullám bal oldalán a s˝ur˝uség vb , a jobb oldalán v+ ur˝uség a ritkulás bal szélén, a jobb e (vb ). Ugyanez a s˝ szélén pedig vj . A szakadás stabil, mert a húr alatt van végig a Φ görbe, azaz tetsz˝oleges + + v+ e (vb ) < v < vb esetén s(ve (vb ), v) < s(v, vb ). A vj és ve (vb ) közötti szakaszra pedig λ monoton csökken, tehát ritkulási hullám alakul ki. A sebességek a kapcsolódási ponton + pedig megegyeznek: λ(v+ e (vb )) = s(ve (vb ), vj ). Teljesen hasonlóan, a másik kimaradt lehet˝oség: −vmax ≤ vj < vinfl tetsz˝oleges, és v+ (v oz˝o fordítottja: ritkulási hullám – lökéshullám. j ) < vb ≤ 1. Ekkor a megoldás az el˝ e Összefoglalásképpen érdemes kirajzolni a kapott fázisképet. (10. ábra) Az ábrán vízszintesen a bal oldali kezdeti s˝ur˝uség (vb ), függ˝olegesen a jobb oldali kezdeti s˝ur˝uség (vj ) szerepel. Az S bet˝u jelöli a lökéshullámot (sokk), az R pedig a ritkulási hullámot, balról jobbra haladva. A p paraméter értéke p = 0.105 (és ekkor b ≈ 0.0176654).
4.3. További kutatási lehet˝oségek A fázisképet megismertük ezen a modellen abban az esetben, ha a fluxus nemkonvex, de szimmetrikus. Megvizsgálhatjuk a kés˝obbiekben, hogy hogyan változik a fáziskép, ha a 6= 0. Az is nyitott kérdés, hogy mi a helyzet nem attraktív esetben, vagyis amikor b ≥ 1/2, illetve nem szimmetrikus esetben b ≥ (1 − |a|)/2. Ekkor a fluxus szintén nemkonvex, de a Rezakhanlou-féle hidrodinamikai határátmenet levezetése nem érvényes.
Hivatkozások [1] C. Bahadoran, H. Guiol, K. Ravishankar, E. Saada: A constructive approach to Euler hydrodynamics for attractive processes. Application to k-step exclusion. [2] Fritz, J.: An Introduction to the Theory of Hydrodynamic Linits. Lectures in Mathematical Sciences 18. Graduate School of Mathematics, Univ. Tokyo, 2001 [3] Kipnis, C., Landim, C.: Scaling Limits of Interacting Particle Systems. Berlin: Springer, 1999 [4] Rezakhanlou, F.: Hydrodynamic limit for attractive particle systems on Zd . Commun. Math. Phys. 140, 417-448 (1991) [5] Joel Smoller: Shock Waves and Reaction-Diffusion Equations, Ch. 15-16. Springer-Verlag, New York, Heidelberg, Berlin, 1983.
23
10. ábra. Fáziskép nemkonvex esetben (S: lökéshullám, R: ritkulási hullám)
24
[6] Bálint Tóth, Benedek Valkó: Between Equilibrium Fluctuations and Eulerian Scaling: Perturbation of Equilibrium for a Class of Deposition Models. Journal of Statistical Physics, Vol. 109, Nos. 1/2, October 2002., 177-205. [7] Tóth, B., Valkó, B.: Onsager relations and Eulerian hydrodynamic limit for systems of two conservation laws. J. Stat. Phys. 112, 497-521 (2003)
25
