KETUNGGALAN TITIK TETAP UNTUK PEMETAAN PADA RUANG METRIK-G LENGKAP

UNIVERSITAS INDONESIA

KETUNGGALAN TITIK TETAP UNTUK PEMETAAN PADA RUANG METRIK- LENGKAP

Tesis

NURUL HUDA 1006734565

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

PROGRAM MAGISTER MATEMATIKA DEPOK JANUARI 2012

Ketunggalan titik, Nurul Huda, FMIPA UI, 2012

UNIVERSITAS INDONESIA

KETUNGGALAN TITIK TETAP UNTUK PEMETAAN PADA RUANG METRIK- LENGKAP

Tesis diajukan sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Magister Sains

NURUL HUDA 1006734565

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM PROGRAM MAGISTER MATEMATIKA DEPOK JANUARI 2012


HALAMAN PERNYATAAN ORISINALITAS

Tesis ini adalah hasil karya sendiri, dan semua sumber baik yang dikutip maupun dirujuk telah saya nyatakan dengan benar.

ii


HALAMAN PENGESAHAN

Tesis ini diajukan oleh : Nama

: Nurul Huda

NPM

: 1006734565

Program Studi

: Magister Matematika

Judul Tesis

: KETUNGGALAN TITIK TETAP UNTUK PEMETAAN PADA RUANG METRIK-

LENGKAP

Telah berhasil dipertahankan dihadapan Dewan Penguji dan diterima sebagai bagian persyaratan yang diperlukan untuk memperoleh gelar Magister Sains pada Program Studi Magister Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Indonesia.

DEWAN PENGUJI

Pembimbing

: Prof. Dr. Belawati H. Widjaja

Penguji

: Prof. Dr. Djati Kerami

Penguji

: Dr. Hengki Tasman, M.Si.

Penguji

: Dr. Kiki Ariyanti Sugeng

Ditetapkan di

: Depok

Tanggal

: 13 Januari 2012 iii


KATA PENGANTAR

Alhamdulillah, segala puji hanya bagi Allah SWT Tuhan yang Maha Kuasa, yang telah melimpahkan segala rahmat dan karunia-NYA sehingga penulis dapat menyelesaikan tesis ini. Penulisan tesis ini dilakukan dalam rangka memenuhi syarat untuk mencapai gelar Magister Sains Program Studi Magister Matematika pada Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Indonesia. Saya sadar bahwa penyelesaian tesis ini tidak terlepas dari bantuan dan dukungan dari berbagai pihak. Oleh karena itu, pada kesempatan ini penulis ingin mengucapkan terima kasih kepada pihak-pihak yang telah berjasa dalam penulisan tesis ini maupun selama penulis kuliah. Ucapan terima kasih tercurah kepada; (1) Ibu Prof. Dr. Belawati Widjaja, selaku dosen pembimbing tesis yang teramat banyak memberikan nasihat, bantuan, masukan dan dorongan semangat kepada penulis dalam menyelesaikan tesis ini; (2) Bapak Prof. Dr. Djati Kerami, selaku Ketua Program Studi Magister Matematika dan Ibu Bevina D Handari, P.HD selaku Sekretaris Program Studi Magister Matematika; (3) Bapak Dr. Hengki Tasman, M.Si., selaku Dosen Pembimbing Akademik yang selalu memberi nasihat dan dorongan kepada penulis; (4) Bapak Dr. Yudi Satria, M.T, selaku ketua Departemen Matematika FMIPA UI dan Ibu Rahmi Rusin S.Si, M.Sc.Tech, selaku Sekretaris Departemen Matematika FMIPA UI; (5) Seluruh Staf Pengajar di Program Studi Magister Matematika FMIPA UI, atas arahan, bimbingan, dan

ilmu pengetahuan yang telah diberikan selama

perkuliahan; (6) Pemerintah melalui DIKTI yang telah memberikan beasiswa kepada penulis berupa beasiswa BPPS selama penulis melaksanakan pendidikan di Universitas Indonesia (7) Bapak Drs. Heri Budi Santoso, M.Si, selaku Dekan FMIPA Unlam; (8) Bapak Drs. Faisal, M.Si, selaku Ketua Prodi Matematika FMIPA Unlam dan Ibu Naimah Hjriati, S.Si, M.Si, selaku Sekretaris Prodi Matematika FMIPA Unlam iv


yang telah memberi izin melanjutkan program Magister Matematika di FMIPA UI; (9) Orangtua tercinta (H. Abdullah Idris dan Hj. Muchyati) dan Orangtua istri tercinta (Wiranto & Mardiyah Yuli T.) yang telah memberikan dukungan moral, materiil, serta doa yang tidak pernah berhenti; (10) Istriku tercinta Agustin Eka Widyayanti, A.Md dan anak-anakku tersayang Annur Zahra Fuadiyah, Muhammad Shaquille Gibran, atas segala cinta, perhatian, dukungan, kesabaran, semangat, dan doa; (11) Kakak-kakakku Mba Maisaroh, Mba Siti Mufidah, Mas Nur Hidayat, Mas Sobihan serta Adikku Novel Saputra Dwi Fuadillah yang senantiasa memberi semangat dan dukungan; (12) Teman teman seperjuangan Muzayyin Ahmad, Zulfi Amri, M. Haryono, Subian Saidi, M. Aziz Abdillah, Supriadi, Sigit Supriadi, Setiawan yang senantiasa memberi semangat dan dorongan; (13) Kepada semua teman-teman yang telah memberi semangat terutama temanteman magister angkatan 2010 di Matematika UI. (14) Kepada semua pihak yang telah membantu penulis dalam pengerjaan tesis ini, yang namanya tidak bisa disebutkan satu-persatu, penulis ucapkan terima kasih.

Akhir kata, saya berharap kepada Alloh Yang Maha Kuasa berkenan membalas segala kebaikan semua pihak yang telah membantu. Semoga tesis ini dapat bermanfaat

bagi

yang membacanya, terutama untuk pengembangan ilmu

pengetahuan.

Penulis 2012

v


HALAMAN PERNYATAAN PERSETUJUAN PUBLIKASI TUGAS AKHIR UNTUK KEPENTINGAN AKADEMIK

Sebagai civitas akademik Universitas Indonesia, saya yang bertanda tangan di bawah ini:

Nama

:

Nurul Huda

NPM

:

1006734565

Program Studi

:

Magister Matematika

Departeman

:

Matematika

Fakultas

:

Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam

Jenis Karya

:

Tesis

demi pengembangan ilmu pengetahuan, menyetujui untuk memberikan kepada Universitas Indonesia, Hak Bebas Royalti Noneksklusif (Non-exclusive Royalti Free Right) atas karya ilmiah saya berjudul : “KETUNGGALAN TITIK TETAP UNTUK PEMETAAN PADA RUANG METRIK- LENGKAP” beserta perangkat yang ada (jika diperlukan). Dengan Hak Bebas Royalti Non eksklusif

ini

Universitas

Indonesia

berhak

untuk

menyimpan,

mengalih

media/formatkan, mengelola dalam bentuk data (database), merawat, dan mempublikasikan tugas akhir saya selama tetap mencantumkan nama saya sebagai penulis/pencipta dan sebagai Hak Cipta.

Demikian pernyataan ini saya buat dengan sebenarnya.

vi


ABSTRAK

Nama Program Studi Judul Tesis

: Nurul Huda : Magister Matematika : Ketunggalan Titik Tetap Untuk Pemetaan Pada Ruang Metrik- Lengkap

Titik disebut titik tetap dari pemetaan jika dan hanya jika ( ) = , sebagai contoh jika pemetaan didefinisikan dengan ( ) = − 3 + 4, maka 2 adalah titik tetap dari karena (2) = 2. Ruang Metrik- adalah pasangan ( , ) dengan adalah himpunan tak kosong dan adalah metrik (jarak) pada (didefinisikan pada × × ) dengan : × × → sedemikian hingga untuk setiap , , , ∈ , memenuhi syarat berikut: (G1) ( , , ) = 0 jika = = , (G2) 0 < ( , , ) dengan ≠ , (G3) ( , , ) ≤ ( , , ) dengan ≠ ,(G4) ( , , ) = ( , , ) = ( , , ) = ( , , ) = ( , , ) = ( , , ), (G5) ( , , ) ≤ ( , , ) + ( , , ). Ruang Metrik− ( , ) adalah Ruang Metrik- lengkap jika setiap barisan -Cauchy di ( , )adalah -konvergen di ( , ). Suatu pemetaan : → pada Ruang Metrik- lengkap disebut pemetaan kontraktif jika terdapat konstanta , 0 ≤ < 1 sedemikian hingga ( ( ), ( ), ( ) ≤ ( , , ). Tidak semua pemetaan memiliki titik tetap. Dari hasil penelitian diperoleh sifat-sifat dari Ruang Metrik- lengkap dan syarat cukup agar diperoleh ketunggalan titik tetap untuk pemetaan kontraktif pada Ruang Metrik- lengkap. Kata kunci : Ketunggalan, titik tetap, kontraktif, Ruang Metrik- lengkap ix+78 halaman; Daftar Pustaka : 7 (1999-2011)

vii


ABSTRACT Name Study Program Judul Tesis

: Nurul Huda : Magister Of Mathematics : The Uniqueness of Fixed Point for Mapping On Complete Metric- Space

Point is called a fixed point of the mapping if and only if ( ) = , for example if the mapping defined by ( ) = − 3 + 4, then 2 is a fixed point of because (2) = 2. Metric- Space is a pair ( , ) where is a nonempty set and is a metric (distance) on (defined on × × ) with : × × → such that for every , , , ∈ , satisfy the following requirement:(G1) ( , , ) = 0 if = = , (G2) 0 < ( , , ) for ≠ , (G3) ( , , ) ≤ ( , , ) for ≠ ,(G4) ( , , ) = ( , , ) = ( , , ) = ( , , ) = ( , , ) = ( , , ), (G5) ( , , ) ≤ ( , , ) + ( , , ). Metric- Space ( , ) is a complete Metric- Space if every -Cauchy sequence in ( , ) is -convergent in ( , ). A mapping : → on a complete MetricSpace is called contractive mapping if there are constants , 0 ≤ < 1, such that ( , , ). Not every mapping has a fixed point, from the ( ( ), ( ), ( )) ≤ research results obtained by the properties of the complete Metric- Space and sufficient condition in order to obtain uniqueness of fixed point for contractive mapping in complete Metric- Space.

Key words : Uniqueness, Fixed Point, Contractive, Complete Metric- Space ix+78 pages; Bibliography : 7 (1999-2011)

viii


DAFTAR ISI

HALAMAN JUDUL ......................................................................................... i HALAMAN PERNYATAAN ORISINALITAS ................................................ ii LEMBAR PENGESAHAN ................................................................................ iii KATA PENGANTAR ....................................................................................... iv LEMBAR PERSETUJUAN PUBLIKASI ILMIAH ........................................... vi ABSTRAK ........................................................................................................ vii ABSTRACT.......................................................................................................... viii DAFTAR ISI ..................................................................................................... ix 1.

PENDAHULUAN ..................................................................................... 1.1 Latar Belakang ..................................................................................... 1.2 Perumusan Masalah.............................................................................. 1.3 Tujuan Penelitian .................................................................................. 1.4 Manfaat Penelitian.................................................................................... 1.5 Batasan Penelitian ................................................................................ 1.6 Metode Penelitian.................................................................................

2.

TINJAUAN PUSTAKA ............................................................................. 2.1 Ruang Metrik ..................................................................................... 2.2 Ruang Metrik-2 .................................................................................. 2.3 Ruang Metrik- ................................................................................. 2.4 Ruang Metrik- .................................................................................. 2.5 Tipe-tipe Pemetaan................................................................................... 2.5.1 Pemetaan Kontraktif....................................................................... 2.5.2 Pemetaan Ekspansif........................................................................ 2.6 Titik Tetap.................................................................................................

4 4 5 6 8 16 16 16 17

3.

PEMBAHASAN ....................................................................................... 3.1 Sifat-Sifat Ruang Metrik- Lengkap .................................................. 3.2 Ketunggalan Titik Tetap untuk Pemetaan Pada Ruang MetrikLengkap ...............................................................................................

18 18 25

KESIMPULAN DAN SARAN .................................................................. 4.1 Kesimpulan .......................................................................................... 4.2 Saran ...................................................................................................

74 74 77

DAFTAR REFERENSI ...................................................................................

78

4.

ix


1 1 3 3 3 3 3

BAB 1 PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Seiring dengan perkembangan teknologi dalam era globalisasi saat ini, konsep-konsep matematika juga mengalami perkembangan. Hal ini dikarenakan munculnya berbagai masalah dan fenomena baik dunia nyata maupun abstrak yang semakin komplek, sehingga dibutuhkan pengembangan konsep-konsep matematis untuk menangani masalah-masalah tersebut. Sebagai contoh adalah ∈

teorema titik tetap. Titik jika :

disebut titik tetap dari pemetaan

dengan ( ) = . Sebagai contoh jika pemetaan :

→

didefinisikan dengan ( ) = dari

jika dan hanya

− 3 + 4, maka 2 ∈

→

adalah sebuah titik tetap

karena (2) = 2. Tidak semua pemetaan memiliki titik tetap, sebagai

contoh jika :

→

dengan ( ) =

+ 1, maka

tidak memiliki titik tetap.

Penggunaan teorema titik tetap diantaranya untuk menentukan solusi dari sistem persamaan linear aljabar dan untuk menentukan solusi khusus persamaan differensial. Sejarah teorema titik tetap berawal dari masa kira-kira tahun 1500 SM di Mesopotamia. Pertama kali muncul adalah masalah bagaimana menentukan nilai

= , untuk suatu

yang memenuhi persamaan

contoh jika

= 4 maka

bilangan asli. Sebagai

= 2. Setelah itu muncul masalah lain yaitu untuk nilai

bilangan riil. Untuk memudahkan dalam penyelesaian, persamaan tersebut diubah dalam bentuk lain yaitu +

−

−

= 0 yang selanjutnya ditulis menjadi

= . Masalah terakhir tersebut yang kemudian melatarbelakangi

munculnya masalah yang dikenal dengan Fixed Point Problem (FPP). Langkah-langkah untuk mendapatkan titik tetap adalah sebagai berikut: diambil sebarang titik pendekatan

=

, kemudian untuk mendapatkan nilai +

digunakan

− , langkah akan berakhir jika nilai

konvergen

ke suatu titik . Pada perkembangan selanjutnya muncul masalah yang lebih abstrak yaitu ( ) =

untuk sebarang ( ) pemetaan dalam , untuk

menyelesaikan masalah tersebut lahirlah teorema titik tetap (fixed point theorem). Pada abad XIX seorang Matematikawan asal Prancis yang bernama H. Poincare (1854-1912) menemukan pendekatan titik tetap. Pada perkembangannya, 1


Universitas Indonesia

2

L.E.Y. Brouwer (1881-1966) seorang Matematikawan asal Belanda berhasil membuktikan titik tetap untuk pemetaan dengan domain dan kodomain berupa interval, persegi, piringan, bola, dan titik tetap dalam dimensi-n. Pada masa berikutnya Spencer (1906-1980) berhasil membuktikan lemma kombinatorial pada penguraian segitiga yang sangat berguna dalam teorema titik tetap. Teorema ini telah banyak dikembangkan dalam analisis fungsional untuk menyelidiki ketunggalan titik tetap dari pemetaan-pemetaan dengan domain Ruang Metrik, Ruang hasil kali dalam, Ruang Bernorm, Ruang Hilbert, Ruang Banach serta perluasan pada masing-masing konsep ruang tersebut. (Suwarno, 2011) Pada awalnya diperkenalkan Metrik

pada sebuah himpunan tidak

kosong , dan pasangan ( , ) disebut Ruang Metrik (Metric Space). Pada tahun enampuluhan Gahler memperkenalkan Metrik baru tidak kosong

∗

pada sebuah himpunan

yang disebut Metrik-2 ( 2-Metric) dan pasangan ( ,

∗)

disebut

Ruang Metrik-2 (2-Metric Space) . Pada tahun 1992 Led Baphure Dhage pada disertasinya memperkenalkan Metrik baru disebut Metrik-

pada himpunan tidak kosong

yang

( − Metric) dan pasangan ( , ) disebut Ruang Metrik-

( -Metric Space). Pada tahun 2006 Zead Mustafa dan Brailey Sims memperkenalkan Metrik yang lebih baru lagi pada himpunan tidak kosong yang disebut Metrik- ( − Metric ) dan pasangan ( , )disebut Ruang Metrik- ( - Metric Space). Dengan adanya pengertian jarak (metrik), maka dalam Ruang Metrik ( , ), ( ,

∗ ), (

, ), maupun ( , ) dapat ditinjau pengertian kekonvergenan

suatu barisan dalam masing-masing Ruang Metrik tersebut. Kemudian akan diperhatikan Ruang-ruang Metrik yang khusus, yaitu Ruang Metrik yang memiliki sifat istimewa yaitu Ruang Metrik yang lengkap. Selanjutnya akan diperhatikan pemetaan dari Ruang Metrik ke dirinya sendiri, maka timbul masalah keberadaannya titik tetap. Titik tetap adalah sebuah pemetaan dari Ruang Metrik ke dirinya sendiri, bisa ada atau tidak ada. Bila ada, bisa tunggal atau lebih dari satu.



3

1.2 Perumusan Masalah Masalah yang akan diteliti dalam penelitian tugas akhir ini adalah sebagai berikut: 1. Bagaimana sifat-sifat dari Ruang Metrik- lengkap 2. Apabila diberikan suatu pemetaan

pada Ruang Metrik- lengkap, syarat

cukup apa yang harus dipenuhi agar pemetaan itu memiliki titik tetap tunggal pada Ruang Metrik- lengkap.

1.3 Tujuan Penelitian Adapun tujuan dari penelitian tugas akhir ini adalah : 1. Membahas/ mengkaji sifat-sifat dari dari Ruang Metrik- lengkap 2. Membahas/ mengkaji syarat cukup agar suatu pemetaan

pada Ruang

Metrik- lengkap memiliki ketunggalan titik tetap pada Ruang Metriklengkap.

1.4 Manfaat Penelitian Penelitian ini diharapkan dapat memberikan kontribusi dalam perkembangan matematika dibidang matematika analisis terutama dalam penyelesaian masalah ketunggalan titik tetap.

1.5 Batasan Penelitian Dalam penelitian tugas akhir ini, masalah yang akan diteliti dibatasi hanya pada konsep titik tetap dan pemetaan kontraktif pada Ruang Metrik- lengkap.

1.6 Metode Penelitian Penelitian ini dilakukan dengan mempelajari karya-karya ilmiah yang disajikan dalam bentuk buku, jurnal, makalah, tesis, disertasi ataupun artikel yang relevan dengan topik penelitian, kemudian berdasar konsep-konsep yang ada dilakukan pengembangan dari hasil yang sudah ada untuk pembuktikan teorema ketunggalan titik tetap pada Ruang Metrik- lengkap.



BAB 2 TINJAUAN PUSTAKA

Dalam bab ini disajikan definisi-definisi tentang Ruang Metrik, Ruang Metrik-2, Ruang Metrik- , Ruang Metrik- , dan Pemetaan Kontraktif dan Pemetaan Ekspansif pada Ruang Metrik- , serta definisi Titik Tetap. 2.1 Ruang Metrik ( , ) Disini akan diberikan definisi dan contoh dari Ruang Metrik ( , ) Definisi 2.1 (V.S. Pugachev and I.N. Sinitsyn, 1999) Ruang Metrik adalah pasangan ( , ) dengan :

kosong dan

×

→

adalah himpunan yang tidak

adalah Metrik (jarak) pada

sedemikian

sehingga untuk setiap , , ∈ , terpenuhi: (M1) ( , ) ≥ 0 dan (M2) ( , ) = ( , )

( , )=0 ⟺

=

(Sifat Non Negatif)

(Sifat Simetri)

(M3) ( , ) ≤ ( , ) + ( , ) (Sifat Ketaksamaan Segitiga). Contoh: (1) :

×

dengan ( , ) = | − |

→

Maka dapat dibuktikan bahwa ( , ) adalah Ruang Metrik, karena memenuhi sifat (M1), (M2) dan (M3). (M1) Jelas

( , ) = | − | ≥ 0 ,∀ ,

∈

( , ) = | − | = | 0| = 0 ⟺

=

(Sifat non negatif)

(M2) Karena ( , ) = | − | = |−( − )| = | − | = ( , ) (Berdasarkan sifat Nilai Mutlak) Maka ( , ) = ( , ) (Sifat Simetri) (M3) ( , ) ≤ ( , ) + ( , ) ( , )= | − | ≤| − |+| − | = ( , )+ ( , ) Maka ( , ) ≤ ( , ) + ( , ) (Sifat Ketaksamaan Segitiga) (2) :

×

( , )= ∀ ∈

→ (

dengan −

dan ∀ ∈

) +(

−

dengan

)

+ ⋯+(

= ( ,

,…,

−

)

)

4



5

=( ,

dan Maka (

)

, ) adalah sebuah Ruang Metrik.

himpunan tak kosong, :

(3)

,…,

( , )=

dengan

×

→

0 ; = 1 ; ≠

∀ ,

∈

Maka ( , ) adalah sebuah Ruang Metrik yang disebut Ruang Metrik Diskrit.

2.2 Ruang Metrik-2 Disini akan diberikan definisi dan contoh dari Ruang Metrik-2 Definisi 2.2 (Z. Mustafa and B. Sims, 2006) Misal

adalah sebuah himpunan tak kosong, pemetaan

yang bersifat bahwa untuk semua , , , (A1) Untuk ∗

,

∈ , dengan

∗(

, , ) = 0 jika

(A3)

∗(

, , )=

×

×

→

berlaku:

∈ , sedemikian sehingga

∗(

=

, , )=

=

atau

atau

=

∗(

, , )=

∗(

, , )=

∗(

, , )+

∗(

, , )

∗(

, , )=

( , , ) (Sifat Simetri)

∗(

(A4)

≠ , terdapat

:

( , , )≠0

(A2)

∗

∈

∗

∗(

, , )≤ ∗

Maka pemetaan

, , )+

disebut Metrik-2 pada , dan pasangan ( ,

∗

) disebut

Ruang Metrik-2. Contoh: ={ ,

Ambil ∗:

×

×

→

∈ ,

∈

definisikan

∗(

Bila

,

} dan sebagai berikut:

dan

∈

maka akan terbentuk segitiga

, , ) = luas ⊿

.

Maka dapat dibuktikan bahwa pemetaan ( ,

∗

, dan

∗

merupakan sebuah Metrik-2 dan

) adalah sebuah Ruang Metrik-2 .

Bukti: Untuk menunjukkan bahwa pemetaan

∗

adalah sebuah Metrik-2 maka harus

memenuhi 4 sifat yaitu (A1), (A2), (A3) dan (A4) .



6

(A1) Untuk

∈ ,

∈

∗

sedemikian sehingga =

(A2)Jika (A3)

∗( ∗

∗(

, , )=

∈ ,

( , , )≠0 ∗(

, , )=0

atau

=

maka

, , )=

∗(

, , )=

∗(

, , )=

∗(

, , )+

∗(

, , ) untuk sembarang

∗(

, , )=

( , , ) (Sifat Simetri)

∗(

(A4)

=

atau

≠ , maka pasti terdapat

dengan

∗(

, , )≤

, , )+

∈ . Karena Sifat (A1), (A2), (A3) dan (A4) maka pemetaan sebuah Metrik-2 dan ( ,

∗

∗

merupakan

) adalah sebuah Ruang Metrik-2

2.3 Ruang MetrikDisini akan diberikan definisi dan contoh dari Ruang MetrikDefinisi 2.3 (Z. Mustafa and B. Sims, 2006) adalah sebuah himpunan tidak kosong, pemetaan :

Bila

yang bersifat bahwa untuk semua , , , (D1) ( , , ) = 0 jika dan hanya jika

=

∈

×

×

→

berlaku:

=

(D2) ( , , ) = ( , , ) = ( , , ) = ( , , ) = ( , , ) = ( , , ) (Sifat Simetri) (D3) ( , , ) ≤ ( , , ) + ( , , ) + ( , , ) (D4) ( , , ) ≤ ( , , ) + ( , , ). Maka pemetaan

disebut Metrik-

pada , dan pasangan ( , ) disebut

Ruang Metrik- . Contoh: (1) Misal ( , ) adalah sebuah Ruang Metrik dan :

×

dengan ( , , ) = max{ ( , ), ( , ), ( , )} untuk ∈

× ∈ ,

→ ∈ ,

.

Maka dapat dibuktikan bahwa ( , ) adalah Ruang Metrik- . Bukti: Untuk menunjukkan bahwa

adalah sebuah Metrik- , maka harus

memenuhi 4 sifat yaitu (D1), (D2), (D3) dan (D4). (D1) ( , , ) = 0 ⟺ ( , )= ( , )= ( , )=0 Universitas Indonesia


7

⟺

=

=

(berdasarkan sifat (M1)

(D2) ( , , ) = max { ( , ), ( , ), ( , )} ( , , ) = max { ( , ), ( , ), ( , )} ( , , ) = max { ( , ), ( , ), ( , )} ( , , ) = max { ( , ), ( , ), ( , )} ( , , ) = max { ( , ), ( , ), ( , )} ( , , ) = max { ( , ), ( , ), ( , )} Maka berdasarkan sifat (M2) ( , , ) = ( , , ) = ( , , ) = ( , , )=

( , , )= ( , , )

(Sifat Simetri) (D3) ( , , ) = max { ( , ), ( , ), ( , )} ( , , ) = max { ( , ), ( , ), ( , )} ( , , ) = max { ( , ), ( , ), ( , )} ( , , ) = max { ( , ), ( , ), ( , )} Kemungkinan nilai ( , , ) adalah (i)

( , , )= ( , )

(ii)

( , , )= ( , )

(iii)

( , , )= ( , )

Untuk (i) Berdasarkan sifat (M3) ( , ) ≤ 2 ( , ) = ( , ) + ( ( , ) + ( , )) ≤ ( , , )+ ( , , )+ ( , , ) Dengan cara serupa dapat pula dibuktikan (D3) untuk (ii) dan (iii). Maka ( , , ) ≤ ( , , ) + ( , , ) + ( , , ). Maka (D3) terbukti. (D4) Berdasarkan sifat (M1) dan (M2) diperoleh: ( , , ) = max { ( , ), ( , ), ( , )} = ( , ) ( , , ) = max { ( , ), ( , ), ( , )} = ( , ) ( , , ) = max { ( , ), ( , ), ( , )} = ( , ) Berdasarkan sifat (M3) diperoleh: ( , )≤ ( , )+ ( , ) Maka ( , , ) ≤ ( , , ) + ( , , ). Maka (D4) terbukti. Universitas Indonesia


8

Karena Sifat (D1), (D2), (D3) dan (D4) terpenuhi, maka

merupakan

Metrik- , dan ( , ) adalah sebuah Ruang Metrik- . (2)

himpunan tak kosong, dengan 0 ; = 1 ; ≠

( , , )=

= ≠

, , ∈

untuk

Maka ( , ) adalah Ruang Metrik-

2.4 Ruang MetrikDefinisi 2.4 (H. Obiedat and Z. Mustafa, 2010) Bila

adalah himpunan tak kosong, dan

syarat berikut, untuk semua , , , (G1) ( , , ) = 0 jika

=

:

×

×

→

memenuhi

∈ :

=

(G2) ( , , ) = ( , , ) = ( , , ) = ( , , ) = ( , , ) = ( , , ) (Sifat Simetri) (G3) ( , , ) > 0 untuk

≠

(G4) ( , , ) ≤ ( , , ) untuk

≠

(G5) ( , , ) ≤ ( , , ) + ( , , ) untuk semua , , ,

∈

(Sifat Ketaksamaan Segiempat) disebut Metrik- pada , dan pasangan ( , ) di sebut

Maka pemetaan Ruang Metrik- . Contoh:

(1) Misalkan ( , ) adalah sebuah Ruang Metrik, dan :

×

×

→

dengan ( , , ) = ( , ) + ( , ) + ( , ), untuk , , ∈ , maka dapat dibuktikan bahwa ( , ) adalah sebuah Ruang Metrik- . Bukti: Untuk menunjukkan ( , ) adalah sebuah Ruang Metrik- , maka akan ditunjukkan bahwa :

×

×

→

memenuhi lima sifat yaitu (G1),

(G2), (G3), (G4), dan (G5) (G1) Akan ditunjukkan bahwa ( , , ) = 0 jika =

Jika

=

=

=

maka ( , , ) = ( , ) + ( , ) + ( , ) = 0

(Berdasarkan (M1)) Maka

( , , ) = 0 jika

=

= . Universitas Indonesia


9

Maka (G1) terpenuhi. G2) Akan ditunjukkan bahwa Sifat Simetri berlaku pada ( , ) ( , , ) = ( , )+ ( , )+ ( , ) ( , , )= ( , )+ ( , )+ ( , ) ( , , ) = ( , )+ ( , )+ ( , ) ( , , )= ( , )+ ( , )+ ( , ) ( , , ) = ( , )+ ( , )+ ( , ) ( , , )= ( , )+ ( , )+ ( , ) Berdasarkan sifat (M2) ( , ) = ( , ), ( , ) = ( , ) dan ( , )= ( , ) Maka diperoleh

( , , )= ( , , )= ( , , )= ( , , ) = ( , , )= ( , , ).

Jadi Sifat Simetri berlaku pada( , ). Jadi (G2) terpenuhi. (G3) Akan ditunjukkan ( , , ) > 0 untuk

≠

( , , ) = ( , )+ ( , )+ ( , ) = 2 ( , ) Berdasarkan sifat (M1) dan (M2), maka 2 ( , ) > 0, bila Maka ( , , ) > 0, bila

≠

≠

Jadi (G3) terpenuhi. (G4) Akan ditunjukkan ( , , ) ≤ ( , , ) untuk Berdasarkan sifat (M2) dan (M3) untuk

≠

≠

diperoleh:

( , , ) = ( , )+ ( , )+ ( , ) = 2 ( , )= ( , )+ ( , )≤ ( , )+

( , ) + ( , ) = ( , , ).

Maka ( , , ) ≤ ( , , ) untuk

≠ .

Jadi (G4) terpenuhi. (G5) Akan ditunjukkan bahwa Sifat Ketaksamaan Segiempat berlaku pada ( , ) ( , , ) = ( , )+ ( , )+ ( , ) ( , , ) = ( , ) + ( , ) + ( , ) = 2 ( , ) sifat (M2) ( , , ) = ( , )+ ( , )+ ( , ) Berdasarkan sifat (M3) ( , ) ≤ ( , ) + ( , ) dan ( , ) ≤ ( , )+ ( , ) Universitas Indonesia


10

Maka ( , , ) = ( , ) + ( , ) + ( , ) ≤

( , )+

( , ) + ( , )+( ( , )+ ( , )=2 ( , )+ ( , )+ ( , )+ ( , ) ≤ ( , , )+ ( , , ). Maka ( , , ) ≤ ( , , ) + ( , , ) Maka Sifat Ketaksamaan Segiempat berlaku pada ( , ) Maka (G5) terpenuhi. Karena sifat (G1), (G2), (G3), (G4) dan (G5) terpenuhi, maka : →

×

×

adalah sebuah Metrik- dan ( , ) merupakan Ruang Metrik- .

(2) Misalkan ( , ) ruang sebuah Ruang Metrik, dan :

×

×

→

dengan ( , , ) = max { ( , ), ( , ), ( , )} untuk , , ∈ . Maka dapat dibuktikan bahwa ( , ) adalah Ruang Metrik- . Bukti: Untuk menunjukkan ( , ) adalah sebuah Ruang Metrik- , maka akan ditunjukkan bahwa :

×

×

→


(G2), (G3), (G4), dan (G5) (G1) Akan ditunjukkan bahwa ( , , ) = 0 jika =

Jika

=

=

=

maka ( , , ) = max{ ( , ), ( , ), ( , )} = 0

(Berdasarkan (M1)) Maka

( , , ) = 0 jika

=

= .

Maka (G1) terpenuhi. (G2) Akan ditunjukkan bahwa Sifat Simetri berlaku pada ( , ) ( , , ) = max{ ( , ), ( , ), ( , )} ( , , ) = max{ ( , ), ( , ), ( , )} ( , , ) = max{ ( , ), ( , ), ( , )} ( , , ) = max{ ( , ), ( , ), ( , )} ( , , ) = max{ ( , ), ( , ), ( , )} ( , , ) = max{ ( , ), ( , ), ( , )} Berdasarkan sifat (M2) ( , ) = ( , ), ( , ) = ( , ) dan ( , )= ( , ) Maka diperoleh

( , , )= ( , , )= ( , , )= ( , , ) Universitas Indonesia


11

= ( , , )= ( , , ). Jadi Sifat Simetri berlaku pada( , ). Jadi (G2) terpenuhi. (G3) Akan ditunjukkan ( , , ) > 0 untuk

≠

( , , ) = max{ ( , ), ( , ), ( , )} = ( , ) Berdasarkan sifat (M1) dan (M2), maka ( , ) > 0, bila Maka ( , , ) > 0, bila

≠

≠

Jadi (G3) terpenuhi. (G4) Akan ditunjukkan ( , , ) ≤ ( , , ) untuk Berdasarkan sifat (M2) dan (M3) untuk

≠

≠

diperoleh:

( , , ) = max{ ( , ), ( , ), ( , )} = ( , ) ( , , ) = max{ ( , ), ( , ), ( , )} Untuk

≠

kemungkinan nilai ( , , ) adalah:

(i) max{ ( , ), ( , ), ( , )} = ( , ) (ii) max{ ( , ), ( , ), ( , )} = ( , ) (iii) max{ ( , ), ( , ), ( , )} = ( , ) Untuk (i) ( , , ) = ( , ) ( , , )= ( , ) Maka ( , ) ≤ ( , ) Maka ( , , ) ≤ ( , , ) Untuk (ii) Karena

≠

maka ( , ) ≠ 0

( , , )= ( , ) ( , , )= ( , ) Maka ( , ) ≤ ( , ) Maka ( , , ) ≤ ( , , ) Untuk (iii) ( , , ) = ( , ) ( , , )= ( , ) Maka ( , ) ≤ ( , ) Maka ( , , ) ≤ ( , , ). Maka (G4) terpenuhi. (G5) Akan ditunjukkan bahwa Sifat Ketaksamaan Segiempat berlaku pada ( , ) Universitas Indonesia


12

( , , ) = max{ ( , ), ( , ), ( , )} ( , , ) = max{ ( , ), ( , ), ( , )} = ( , ) sifat (M2) ( , , ) = max{ ( , ), ( , ), ( , )} Kemungkinan nilai ( , , ) adalah: (i) max{ ( , ), ( , ), ( , )} = ( , ) (ii) max{ ( , ), ( , ), ( , )} = ( , ) (iii) max{ ( , ), ( , ), ( , )} = ( , ) Kemungkinan nilai ( , , ) adalah: (iv) max{ ( , ), ( , ), ( , )} = ( , ) (v) max{ ( , ), ( , ), ( , )} = ( , ) (vi) max{ ( , ), ( , ), ( , )} = ( , ) Untuk (i) dan (iv) Berdasarkan sifat (M3) ( , )≤ ( , )+ ( , ) Diperoleh ( , , ) ≤ ( , , ) + ( , , ) Untuk (i) dan (v) Berdasarkan sifat (M3) ( , )≤ ( , )+ ( , ) Maka ( , ) ≤ ( , ) + ( , ) , karena ( , ) ≤ ( , ) Diperoleh ( , , ) ≤ ( , , ) + ( , , ) Untuk (i) dan (vi) Berdasarkan sifat (M3) ( , )≤ ( , )+ ( , ) Maka ( , ) ≤ ( , ) + ( , ) , karena ( , ) ≤ ( , ) Diperoleh ( , , ) ≤ ( , , ) + ( , , ). Untuk (ii) dan (iv) Berdasarkan sifat (M3) ( , )≤ ( , )+ ( , ) Maka ( , ) ≤ ( , ) + ( , ) , karena ( , ) ≤ ( , ) Diperoleh ( , , ) ≤ ( , , ) + ( , , ) Untuk (ii) dan (v) Berdasarkan sifat (M3) ( , )≤ ( , )+ ( , ) Maka ( , ) ≤ ( , ) + ( , ) , karena ( , ) ≤ ( , ) dan ( , ) ≤ ( , ) Diperoleh ( , , ) ≤ ( , , ) + ( , , ) Untuk (ii) dan (vi) Berdasarkan sifat (M3) Universitas Indonesia


13

( , )≤ ( , )+ ( , ) Maka ( , ) ≤ ( , ) + ( , ), karena ( , ) ≤ ( , ) dan ( , ) ≤ ( , ) Diperoleh ( , , ) ≤ ( , , ) + ( , , ). Untuk (iii) dan (iv) Berdasarkan sifat (M3) ( , )≤ ( , )+ ( , ) Maka ( , ) ≤ ( , ) + ( , ) , karena ( , ) ≤ ( , ) Diperoleh ( , , ) ≤ ( , , ) + ( , , ) Untuk (iii) dan (v) Berdasarkan sifat (M3) ( , )≤ ( , )+ ( , ) Maka ( , ) ≤ ( , ) + ( , ) , karena ( , ) ≤ ( , ) Diperoleh ( , , ) ≤ ( , , ) + ( , , ) Untuk (iii) dan (vi) Berdasarkan sifat (M3) ( , )≤ ( , )+ ( , ) Diperoleh ( , , ) ≤ ( , , ) + ( , , ). Maka (G5) terpenuhi. Karena sifat (G1), (G2), (G3), (G4) dan (G5) terpenuhi, maka : →

×

adalah sebuah Metrik- dan ( , ) merupakan Ruang Metrik- .

(3) Misal :

×

×

={ , , } ×

→

dengan ( , , ) = 0 jika

=

=

( , , )= ( , , )= ( , , )= ( , , ) = ( , , ) = ( , , ) = 22, ( , , )= ( , , )= ( , , )= ( , , ) = ( , , ) = ( , , ) = 27, ( , , )= ( , , )= ( , , )= ( , , ) = ( , , ) = ( , , ) = 30, ( , , )= ( , , )= ( , , )= ( , , ) = ( , , ) = ( , , ) = 35, Maka dapat dibuktikan bahwa ( , ) adalah sebuah Ruang Metrik- .



14

Bukti: Untuk menunjukkan ( , ) adalah sebuah Ruang Metrik- , maka akan ditunjukkan bahwa :

×

×

→


(G2), (G3), (G4), dan (G5) (G1) Akan ditunjukkan jika =

Jika

=

=

=

maka ( , , ) = 0

, maka ( , , ) = 0 jika (diketahui)

Maka (G1) terpenuhi. (G2) Akan ditunjukkan bahwa Sifat Simetri berlaku pada ( , ) ( , , )= ( , , )= ( , , )= ( , , )= ( , , ) = ( , , ) = 35 Maka ( , , ) = ( , , ) = ( , , ) = ( , , ) = ( , , ) = ( , , ) Maka Sifat Simetri berlaku pada ( , ) Jadi (G2) terpenuhi. (G3) Akan ditunjukkan ( , , ) > 0 untuk Untuk

≠ .

≠ , diperoleh:

( , , ) = 22 > 0 ( , , ) = 27 > 0 ( , , ) = 22 > 0 ( , , ) = 30 > 0 ( , , ) = 27 > 0 ( , , ) = 30 > 0 Maka ( , , ) > 0 , untuk

≠

Maka (G3) terpenuhi. (G4) Akan ditunjukkan ( , , ) ≤ ( , , ) untuk Untuk

≠

≠ , diperoleh:

( , , ) = 22 ≤ ( , , ) = 35 ( , , ) = 22 ≤ ( , , ) = 22 ( , , ) = 27 ≤ ( , , ) = 27 ( , , ) = 27 ≤ ( , , ) = 35 ( , , ) = 22 ≤ ( , , ) = 35 ( , , ) = 22 ≤ ( , , ) = 22 Universitas Indonesia


15

( , , ) = 30 ≤ ( , , ) = 35 ( , , ) = 30 ≤ ( , , ) = 30 ( , , ) = 27 ≤ ( , , ) = 35 ( , , ) = 27 ≤ ( , , ) = 27 ( , , ) = 30 ≤ ( , , ) = 35 ( , , ) = 30 ≤ ( , , ) = 30 Maka ( , , ) ≤ ( , , ) untuk

≠

Maka (G4) terpenuhi. (G5) Akan ditunjukkan Sifat Ketaksamaan Segiempat berlaku pada ( , ) ( , , ) = 35 ≤ ( , , ) + ( , , ) = 35 ( , , ) = 35 ≤ ( , , ) + ( , , ) = 22 + 30 = 52 ( , , ) = 35 ≤ ( , , ) + ( , , ) = 27 + 30 = 57 ( , , ) = 35 ≤ ( , , ) + ( , , ) = 35 ( , , ) = 35 ≤ ( , , ) + ( , , ) = 22 + 30 = 52 ( , , ) = 35 ≤ ( , , ) + ( , , ) = 27 + 30 = 57 ( , , ) = 35 ≤ ( , , ) + ( , , ) = 22 + 27 = 49 ( , , ) = 35 ≤ ( , , ) + ( , , ) = 35 ( , , ) = 35 ≤ ( , , ) + ( , , ) = 30 + 27 = 57 ( , , ) = 35 ≤ ( , , ) + ( , , ) = 22 + 27 = 49 ( , , ) = 35 ≤ ( , , ) + ( , , ) = 35 ( , , ) = 35 ≤ ( , , ) + ( , , ) = 30 + 27 = 57 ( , , ) = 35 ≤ ( , , ) + ( , , ) = 27 + 22 = 49 ( , , ) = 35 ≤ ( , , ) + ( , , ) = 30 + 22 = 52 ( , , ) = 35 ≤ ( , , ) + ( , , ) = 35 ( , , ) = 35 ≤ ( , , ) + ( , , ) = 27 + 22 = 49 ( , , ) = 35 ≤ ( , , ) + ( , , ) = 30 + 22 = 52 ( , , ) = 35 ≤ ( , , ) + ( , , ) = 35 Maka ( , , ) ≤ ( , , ) + ( , , ) untuk semua , , ,

∈

Maka Sifat Ketaksamaan Segiempat berlaku pada ( , ) Jadi (G5) terpenuhi. Karena sifat (G1), (G2), (G3), (G4) dan (G5) terpenuhi, maka : →

×

×

adalah sebuah Metrik- dan ( , ) merupakan Ruang Metrik- . Universitas Indonesia


16

Definisi 2.5 (Z. Mustafa, H. Obiedat and F. Awawdeh, 2008) Misal ( , ) adalah Ruang Metrik- , maka ( , ) disebut Simetri jika ( , , ) = ( , , ) untuk setiap ,

∈ .

2.5 Pemetaan Kontraktif dan Pemetaan Ekspansif 2.5.1 Pemetaan Kontraktif Definisi 2.6 (Suwarno, 2011) Bila( , ) adalah Ruang Metrik- dan :

→

adalah pemetaan. Maka

disebut Pemetaan Kontraktif jika terdapat konstanta , 0 ≤ ( ( ), ( ), ( )) ≤

< 1 sehingga

( , , ).

Secara geometri, hal ini berarti bahwa jarak antara peta dari , jaraknya lebih dekat dari jarak antara ,

dan

dan ,

itu sendiri.

Contoh: Misal pada Ruang Metrik- ( , ), didefinisikan pemetaan ( , , ) = max{| − |, | − |, | − |} dan : ( , ) → ( , ) ;0 ≤

<

; ≤

≤1

dengan

( )=

untuk

= [0,1]

Maka

adalah Pemetaan Kontraktif pada Ruang Metrik- ( , ).

2.5.1 Pemetaan Ekspansif Definisi 2.7 (Z. Mustafa, F. Awawdeh and W. Shatanawi, 2010) Misal( , ) adalah Ruang Metrik- dan :

→

adalah pemetaan. Maka

disebut Pemetaan Ekspansif jika terdapat konstanta , hingga ( ( ), ( ), ( )) ≥

≥ 1 sedemikian

( , , ).

Contoh: Misal pada Ruang Metrik- ( , ), didefinisikan Pemetaan ( , , ) = max{| − |, | − |, | − |} dan : ( , ) → ( , ) Universitas Indonesia


17

dengan Maka

( )=

5 ; ≤3 5 +2; > 3

adalah Pemetaan Ekspansif pada Ruang Metrik- ( , ).

2.6 Titik Tetap Definisi 2.8 (Suwarno, 2011) Pemetaan :

→

disebut mempunyai Titik Tetap

jika ( ) = .

Contoh: ( )=

− 3 + 4,

Maka 2 adalah Titik Tetap dari ( ) karena (2) = 2.



BAB 3 PEMBAHASAN 3.1 Sifat-Sifat Ruang Metrik- Lengkap Berikut akan dijabarkan sifat-sifat dari Ruang Metrik- lengkap Proposisi 3.1.1 (Z. Mustafa and B. Sims, 2006) Misal ( , ) adalah Ruang Metrik- , maka untuk semua , , , (1)

Jika ( , , ) = 0 maka

=

∈

berlaku:

=

(2)

( , , )≤ ( , , )+ ( , , )

(3)

( , , )≤2 ( , , )

(4)

( , , ) ≤ ( , , )+ ( , , )

(5)

( , , ) ≤ ( ( , , ) + ( , , ) + ( , , ))

(6)

( , , ) ≤ ( , , )+ ( , , )+ ( , , )

(7)

| ( , , ) − ( , , )| ≤ max { ( , , ), ( , , )}

(8)

| ( , , ) − ( , , )| ≤ ( , , )

(9)

| ( , , ) − ( , , )| ≤ max { ( , , ), ( , , )}

(10) | ( , , ) − ( , , )| ≤ max { ( , , ), ( , , )} . Bukti: (1)

Akan dibuktikan jika ( , , ) = 0 maka

=

= .

Bukti: Misalkan

=

=

tidak benar.

Maka kemungkinan yang ada adalah: (i)

≠ ,

= , dan

≠

(ii)

≠ ,

≠ , dan

=

(iii)

≠ ,

≠ , dan

≠

(iv)

= ,

≠ , dan

≠

Jika (i) atau (iii) yang terjadi, maka berdasarkan sifat (G3)

≠

berdasarkan sifat (G4)

≠

→ ( , , )>0 → ( , , )≤ ( , , )

Jadi ( , , ) > 0 Ini bertentangan dengan ( , , ) = 0 Maka (i) dan (iii) tidak mungkin terjadi. 18


Universtas Indonesia

19

Jika (ii) yang terjadi, maka berdasarkan sifat (G3)

≠

→ ( , , )>0


≠

→ ( , , )≤ ( , , )

berdasarkan sifat (G2) ( , , ) = ( , , ) Maka ( , , ) > 0 Ini bertentangan dengan ( , , ) = 0 Maka (ii) tidak mungkin terjadi. Jika (iv) yang terjadi, maka berdasarkan sifat (G3)

≠

→ ( , , )>0


≠

→ ( , , )≤ ( , , )

berdasarkan sifat (G2) ( , , ) = ( , , ) Maka ( , , ) > 0 Ini bertentangan dengan ( , , ) = 0 Maka (iv) tidak mungkin terjadi. =

Jadi terbukti bahwa yang mungkin terjadi adalah

= .

Terbukti. (2)

Akan dibuktikan ( , , ) ≤ ( , , ) + ( , , ) Bukti: Berdasarkan sifat (G5) untuk sembarang , , dan

di

berlaku ( , , ) ≤ ( , , ) + ( , , ) Maka dengan mengambil

sebagai

dan ,

sebagai , dan

tetap,

diperoleh: ( , , ) ≤ ( , , ) + ( , , ) Dan berdasarkan sifat (G2) diperoleh: ( , , ) ≤ ( , , ) + ( , , ). Terbukti. (3)

Akan dibuktikan

( , , )=2 ( , , )

Bukti: Berdasarkan sifat (G5) untuk sembarang , , dan

di

berlaku

( , , ) ≤ ( , , )+ ( , , ) Maka dengan mengambil diperoleh:

sebagai dan , dan

sebagai

dan ,

( , , )≤ ( , , )+ ( , , )

Dan berdasarkan sifat (G2) diperoleh:

( , , ) ≤ 2 ( , , ).

Terbukti. Universitas Indonesia


20

(4)

Akan dibuktikan

( , , )≤ ( , , )+ ( , , )


di

berlaku ( , , ) ≤ ( , , ) + ( , , ) Sedangkan dari (G2) ( , , ) = ( , , ) Dan berdasarkan sifat (G4) diperoleh:

( , , ) ≤ ( , , ) untuk

Maka ( , , ) ≤ ( , , ) + ( , , ) untuk Bila

≠

≠

.

= , ( , , ) ≤ ( , , ) + ( , , ).

Terbukti. (5)

Akan dibuktikan

( , , )≤

( , , )+ ( , , )+ ( , , )

Bukti: Berdasarkan sifat (4) diperoleh: ( , , )≤ ( , , )+ ( , , ) ( , , )≤ ( , , )+ ( , , ) ( , , ) ≤ ( , , )+ ( , , ) Berdasarkan sifat (G2) diperoleh: ( , , )= ( , , )= ( , , ) ( , , ) = ( , , ) dan ( , , ) Maka 3 ( , , ) ≤ 2( ( , , ) + ( , , ) + ( , , )) Jadi ( , , ) ≤

( , , )+ ( , , )+ ( , , ) .

Terbukti. (6)

Akan dibuktikan

( , , )≤ ( , , )+ ( , , )+ ( , , )


di

berlaku ( , , ) ≤ ( , , ) + ( , , ) Berdasarkan sifat (G2) diperoleh: ( , , ) = ( , , ) Berdasarkan sifat (G5) diperoleh:

( , , )≤ ( , , )+ ( , , )

Berdasarkan sifat (G2) diperoleh:

( , , )= ( , , )

Maka ( , , ) ≤ ( , , ) + ( , , ) + ( , , ) Terbukti.



21

(7)

Akan dibuktikan | ( , , ) − ( , , )| ≤ max { ( , , ), ( , , )} Bukti: Berdasarkan sifat nilai mutlak yang akan dibuktikan akan terbukti bila dapat dibuktikan: − max { ( , , ), ( , , )} ≤

( , , )− ( , , )

≤ max { ( , , ), ( , , )} Atau ( , , ) − max { ( , , ), ( , , )} ≤ ( , , ) ≤ ( , , ) + max { ( , , ), ( , , )} Sedangkan disini terdapat 2 kasus: (i) max { ( , , ), ( , , )} = ( , , ) (ii) max { ( , , ), ( , , )} = ( , , ) Untuk kasus (i) harus dibuktikan: (ia) ( , , ) ≤ ( , , ) + ( , , ) dan (ib) ( , , ) ≤ ( , , ) + ( , , ) Untuk (ia) harus dibuktikan ( , , ) ≤ ( , , ) + ( , , ) Berdasarkan sifat (G5) ( , , ) ≤ ( , , ) + ( , , ) Berdasarkan sifat (G2) dapat diperoleh: ( , , ) ≤ ( , , ) + ( , , ) Sedangkan untuk kasus (i) ( , , ) ≤ ( , , ) Jadi ( , , ) ≤ ( , , ) + ( , , ) atau ( , , )≤ ( , , )+ ( , , ) Jadi (ia) terbukti. Untuk (ib) gunakan sifat (G5) ( , , ) ≤ ( , , ) + ( , , ) Maka berdasarkan sifat (G2) diperoleh: ( , , ) ≤ ( , , ) + ( , , ) atau ( , , ) ≤ ( , , ) + ( , , ) Jadi (ib) terbukti. Dengan demikian kasus (i) telah terbukti. Untuk kasus (ii) harus dibuktikan: (iia) ( , , ) ≤ ( , , ) + ( , , ) dan (iib) ( , , ) ≤ ( , , ) + ( , , ) Untuk (iia) gunakan sifat (G5) pula ( , , ) ≤ ( , , ) + ( , , ) Maka berdasarkan sifat (G2) diperoleh: ( , , ) ≤ ( , , ) + ( , , ) Jadi (iia) terbukti. Universitas Indonesia


22

Untuk (iib), gunakan sifat (G5) pula, ( , , ) ≤ ( , , ) + ( , , ) Maka berdasarkan sifat (G2) diperoleh: ( , , ) ≤ ( , , ) + ( , , ) Sedangkan pada kasus (ii), berlaku ( , , ) ≤ ( , , ) Maka ( , , ) ≤ ( , , ) + ( , , ) Maka (iib) terbukti. Dengan demikian kasus (ii) juga telah terbukti. (8)

Akan dibuktikan | ( , , ) − ( , , )| ≤ ( , , ) Bukti: Berdasarkan (7) | ( , , ) − ( , , )| ≤ max { ( , , ), ( , , )} Berdasarkan sifat (G4) diperoleh: ( , , ) = ( , , ) ≤ ( , , ) untuk

≠

( , , ) = ( , , ) ≤ ( , , ) untuk

≠

Maka max { ( , , ), ( , , )} ≤ ( , , ) Maka | ( , , ) − ( , , )| ≤ ( , , ) Terbukti. (9)

Akan dibuktikan | ( , , ) − ( , , )| ≤ max { ( , , ), ( , , )} Bukti: Berdasarkan (7) | ( , , ) − ( , , )| ≤ max { ( , , ), ( , , )} Dengan mengganti

dengan ,

dengan ,

dengan , dan

dengan ,

maka diperoleh: | ( , , ) − ( , , )| ≤ max { ( , , ), ( , , )} Jadi | ( , , ) − ( , , )| ≤ max { ( , , ), ( , , )} Terbukti. (10) Akan dibuktikan | ( , , ) − ( , , )| ≤ max { ( , , ), ( , , )} Bukti: Berdasarkan (7) | ( , , ) − ( , , )| ≤ max { ( , , ), ( , , )} Dengan mengganti dengan , dan

dengan ,

maka diperoleh: | ( , , ) − ( , , )| ≤ max { ( , , ), ( , , )} atau | ( , , ) − ( , , )| ≤ max { ( , , ), ( , , )} Terbukti.



23

Definisi 3.1.2 (Z. Mustafa and B. Sims, 2009) )⊆

Misal ( , ) adalah Ruang Metrik- , maka barisan ( > 0, terdapat

jika untuk setiap untuk setiap ,

, ≥

∈

jika

disebut G-Cauchy

sedemikian hingga (

( , , )→

(

,

,

,

, )< ,

) = 0.

Definisi 3.1.3 (Z. Mustafa and B. Sims, 2009) Misal ( , ) adalah Ruang Metrik− , misal ( pada , (

) dikatakan G-konvergen ke > 0, terdapat

artinya untuk setiap untuk setiap , ( ) →

≥

∈

) adalah barisan dari titik-titik

jika

, →

( ,

)=0

,

sedemikian hingga ( ,

,

disebut titik limit dari barisan (

. Selanjutnya

)< ) ditulis

.

Proposisi 3.1.4 (Z. Mustafa and B. Sims, 2006) Misal ( , ) adalah Ruang Metrik- , maka pernyataan berikut equivalen; (1) (

) adalah G-konvergen ke

(2)

→

(

,

, )=0

(3)

→

(

, , )=0

Bukti: (1) ⟶ (2) Dari definisi 3.1.2 karena ( , →

( ,

,

) = 0 maka

) adalah G-konvergen ke →

(

,

(2) ⟶ (3) dengan menggunakan sifat (G4) maka (3) ⟶ (1) karena

(

→

, , ) = 0 maka (

maka

, )=0 →

(

, , )=0

) adalah G-konvergen ke .

Terbukti.

Proposisi 3.1.5 (Z. Mustafa and B. Sims, 2009) Misal ( , ) adalah Ruang Metrik- , maka pernyataan berikut equivalen; (1) Barisan(

) adalah G-Cauchy.

(2) Untuk setiap untuk setiap ,

> 0, terdapat ≥

∈

sedemikian hingga (

,

,

)<

.



24

Bukti: (1) → (2)Barisan (

) adalah G-Cauchy, jika untuk setiap

sedemikian hingga ( (

( , , )→

,

,

)<

,

untuk setiap ,

) = 0. Menurut (G3) (

,

> 0 terdapat

, ≥

,

,

∈

jika )≤ (

,

, )<

Definisi 3.1.6 (Z. Mustafa and B. Sims, 2009) Misal ( , ) dan ( ,

) adalah Ruang Metrik- dan misal : ( , ) →

) suatu pemetaan, maka

( ,

dikatakan G-kontinu pada titik

( ( ), ( ), ( )) < .

∈ , mengakibatkan

Pemetaan

jika

> 0 sedemikian sehingga ( , , ) <

diberikan sebarang > 0 terdapat ∀ ,

∈

dikatakan G-kontinu pada

jika dan hanya jika G-kontinu pada

∈ .

setiap

Teorema 3.1.7 Suatu pemetaan kontraktif pada Ruang Metrik- adalah pemetaan kontinu. Bukti: Misal ( , ) adalah Ruang MetrikMisal :

→

adalah suatu pemetaan kontraktif.

Maka untuk setiap , , ∈ ( ( ), ( ), ( )) ≤ Ambil sembarang Pilih

berlaku:

( , , ) untuk 0 ≤

<1

>0

= >0

Jika ( , , ) < =

mak

( ), ( ), ( ) ≤

Jadi jika ( , , ) <

maka

( ), ( ), ( ) ≤ .

Maka

( , , )= . ≤

kontinu.

Terbukti.

Proposisi 3.1.8 (Z. Mustafa and B. Sims, 2009) Misal ( , ) dan ( , G-kontinu pada titik konvergen ke , maka

) adalah Ruang Metrik- dan misal : ∈

jika dan hanya jika kapanpun ( (

→

adalah

) adalah G-

) adalah G-konvergen ke ( ). Universitas Indonesia


25

Proposisi 3.1.9 (Z. Mustafa and B. Sims, 2006) Misal ( , ) adalah Ruang Metrik- , maka pemetaan ( , , ) adalah kontinu bersama (Joinly continuous) di semua 3 variabel. Bukti: Misal (

), (

), ( ) adalah G-konvergen ke ,

dan

secara bersamaan

(respectively) Berdasarkan sifat (G5) diperoleh: ( , , )≤ ( , ( , ,

,

)≤ ( ,

dan ( ,

, , )

)+ (

,

)≤ ( ,

,

Jadi ( , , ) − ( Dan (

,

)+ (

,

,

,

, ,

, )

)+ ( ,

,

)≤ ( ,

)− ( , , )≤ (

,

), )+ ( ,

, , )+ (

)+ ( ,

,

,

)

, , )+ ( , , )

Dengan mengkombinasi (3) dari Proposisi 3.1.5 , diperoleh | ( ,

,

) − ( , , )| ≤ 2( ( ,

Jadi (

,

,

,

) → ( , , )sepanjang ,

)+ ( , ,

)+ ( ,

,

,

))

→ ∞ (proposisi 3.1.8)

Terbukti.

Definisi 3.1.10 (Z. Mustafa and B. Sims, 2009) Sebuah Ruang Metrik- ( , ) dikatakan Ruang Metrik- lengkap jika setiap barisan G-Cauchy di ( , ) adalah G-konvergen di ( , ).

3.2 Ketunggalan Titik Tetap Untuk Pemetaan Pada Ruang MetrikLengkap Teorema 3.2.1 (Z. Mustafa,F. Awawdeh and W. Shatanawi, 2010) Misal( , ) adalah Ruang Metrik− lengkap dan misal : pemetaan. Jika

( ( ), ( ), ( )) ≤

pada

adalah suatu

memenuhi syarat berikut:

Untuk setiap , , ∈ ∈ [0, 1), maka

dengan

→

berlaku: ( , , ) mempunyai titik tetap tunggal

(3.2.1) ∈

dan

G-kontinu

.



26

Bukti: Misal

∈

memenuhi syarat (3.2.1) dan misal

= 1,2, … didefinisikan barisan (

adalah sebarang titik,untuk

) dengan

= ( ) = ( )=

)

(

⋮ = (

)=

Maka untuk

( ).

=

,

( )=

=

,

( )=

=

,

( )=

Maka menurut (3.2.1) (

,

)≤

,

,

,

atau ( (

, ,

)≤

(

,

)≤

,

)

,

,

(3.2.2)

(

,

)

,

(

)

,

,

)≤

,

)

, (

)≤

,

atau (

,

= 1,2,3, … ,

Berarti untuk (

(

,

)

,

⋮ dst ),

(

,

≤

atau (

,

,

)≤

Jadi (

,

,

)≤

Maka, untuk semua ,

, , ( ,

∈

,

<

(

,

),

( ),

( (

) )

)

(3.2.3)

, dengan menggunakan ketaksamaan

segiempat dan (3.2.3) maka diperoleh (

,

dan ( (

,

,

,

, ,

,

,

,

,

)≤ (

)≤ (

,

dan ( (

)≤ (

,

,

, ,

)≤ (

)≤ ( + (

,

, ,

,

,

)+ (

,

,

)+ (

)+ (

,

,

)+ (

)+ (

,

)

,

,

)

)+ (

, , ,

,

,

,

)

,

)

)+ (

,

,

)

) Universitas Indonesia


27

dan (

,

)≤ (

,

,

)+ (

)+ (

,

,

,

)

,

⋮ dst (

,

)≤ (

,

,

,

+⋯+ ( dan (

,

Maka (

)≤ (

,

,

,

,

,

,

,

)≤ (

Jadi (

,

)≤ (

,

≤(

+

≤

Maka lim

= 0 untuk 0 <

→

, )→

Untuk ,

, ∈

,

Maka lim(

( ,

) +⋯+

, ,

( ,

,

)

)

, ,

) ( ,

)

,

)

, )

,

). <1

)=0

,

berdasarkan (G5) diperoleh: ,

)+ (

,

, )→

(

,

,

, , )→

(

,

,

Karena lim(

Jadi (

(

, )≤ (

,

)

,

=0

→

Maka lim( (

,

)

,

,

+⋯+

( ,

,

) +⋯+ (

,

)

,

,

)+ (

, ,

)

,

)

,

) + ⋯+ (

)+

,

,

+ (

Karena lim

,

( ,

,

)+ (

, ,

,

) + ⋯+ (

,

,

+ ( ≤

)+ (

,

+ ( Maka (

)+ (

,

,

,

)

, ,

)≤ (

)+ (

,

,

,

)

) = 0 dan lim(

, )→

(

,

,

)=0

)=0

) adalah barisan G-Cauchy.

Dengan menggunakan sifat lengkap dari ( , ), maka terdapat hingga (

∈

sedemikian

) merupakan G-konvergen ke .

Misalkan ( ) ≠

maka:

, ( ), ( ) ≤

(

, , )

dengan mengambil limit sepanjang

→ ∞ dan kenyataan bahwa pemetaan G

kontinu pada semua variabelnya, maka diperoleh:

, ( ), ( ) ≤

( , , ). Ini kontradiksi jika 0 ≤

< 1. Maka

= ( ). Universitas Indonesia


28

Jadi

adalah titik tetap untuk pemetaan .

Untuk membuktikan ketunggalan, Andaikan terdapat hingga ( ) =

sedemikian

maka menurut (3.2.1) mengakibatkan ( , , ) ≤

Jadi ( , , ) ≤ Jadi

≠

dengan

( , , )mengakibatkan

=

jika 0 ≤

( , , )

< 1.

tunggal.

Untuk melihat bahwa Misal ( ) ⊆

adalah G-kontinu pada ,

barisan, sedemikian hingga lim ( ) = , maka:

( ), ( ), ( ) ≤

( , ,

Dengan mengganti ( ) = ( ), , ( ) ≤ diperoleh lim

)

, diperoleh

( , ,

)

(3.2.4)

( ( ), , ( )) = 0

→

Sesuai proposisi(3.1.4 ) maka barisan Sesuai proposisi (3.1.8 ) mengakibatkan

( ) adalah G-konvergen ke

= ( ).

adalah G-kontinu pada .

Teorema Akibat 3.2.2 (Penelitian) Misal( , ) adalah Ruang Metrik- lengkap dan misal : pemetaan. Jika ( ),

dengan

adalah

memenuhi syarat: ∈

Untuk suatu (

→

dan untuk setiap , , ∈

( ),

( )) ≤

∈ [0, 1), maka

G-kontinu pada

berlaku:

( , , )

(3.2.5) ∈

mempunyai titik tetap tunggal

dan

.

Bukti: Dari teorema 3.2.1, diperoleh sedemikian hingga


( ) = . Tetapi ( ) =

( ) =

( ) . Jadi ( ) adalah titik tetap yang lain untuk

∈ , ( )=

dan karena

ketunggalan ( ) = . Dari teorema 3.1.7, bahwa suatu pemetaan kontraktif pada Ruang Metrikadalah pemetaan kontinu, maka

G-kontinu pada .



29

Teorema 3.2.3 (Z. Mustafa,F. Awawdeh and W. Shatanawi, 2010) Misal( , ) adalah Ruang Metrik- lengkap dan misal : pemetaan. Jika

berlaku:

( ( ), ( ), ( ) ≤

pada

adalah suatu


Untuk setiap , , ∈

( , , )

∈ [0, 1), maka

dengan

→

(3.2.6)


∈

dan

G-kontinu

.

Bukti: Misal

∈



adalah sebarang titik, untuk

) dengan

= ( ) = ( )=

)

(

⋮ = (

)=

Maka untuk

( ).

=

,

( )=

=

,

( )=

=

,

( )=


,

)≤

,

,

atau ( (

, ,

,

atau (

)≤

(

,

)≤

)

,

,

(3.2.7)

,

( (

)

,

,

)≤

,

)

, (

)≤

, ,

,

= 1,2,3, … ,

Berarti untuk (

(

)

, ,

)

,

⋮ dst ),

(

,

≤

atau (

,

,

)≤

Jadi (

,

,

)≤

Maka, untuk semua ,

,

(

, ( , ∈

,

<

,

(

), ),

( (

) )

)

(3.2.8)


segiempat dan (3.2.8) maka diperoleh Universitas Indonesia


30

(

,

)≤ (

,

dan ( (

,

,

)≤ ( ,

,

,

)≤ (

,

,

,

)+ (

)+ (

,

,

)+ (

)+ (

,

,

)+ (

)+ (

,

, ,

)

,

,

)

,

)+ (

, ,

,

)

,

)+ (

,

)

,

,

,

)

,

,

)

)

,

)≤ (

,

,

,

,

+ ( dan (

)+ ( ,

)≤ (

,

,

,

)≤ (

,

,

dan ( (

,

,

,

)

,

⋮ dst (

,

)≤ (

,

,

,

+⋯+ ( dan (

,

Maka (

)≤ (

,

,

,

,

,

,

Jadi (

,

)≤ (

,

,

≤(

+

Maka lim

, )→

Untuk ,

, ∈

,

Maka lim(

) +⋯+

, ,

( ,

,

)

)

, ,

) ( ,

)

,

)

, )

,

). <1

)=0

,


)+ (

,

, )→

(

,

,

, , )→

(

,

,

Karena lim(

Jadi (

(

, )≤ (

,

)

,

=0

→

Maka lim( (

,

= 0 untuk 0 <

→

,

)

,

( ,

+⋯+

( ,

≤

,

) +⋯+ (

,

)

,

,

)+ (

,

)

,

) + ⋯+ (

)+

,

,

+ (

Karena lim

,

( ,

,

)+ (

, ,

,

) + ⋯+ (

,

,

+ ( ≤

)+ (

, ,

)≤ (

)+ (

,

,

+ ( Maka (

)

, ,

)≤ (

)+ (

,

,

,

)

) = 0 dan lim(

, )→

(

,

,

)=0

)=0



∈

sedemikian

) merupakan G-konvergen ke . Universitas Indonesia


31

Misalkan ( ) ≠

maka:

, ( ), ( ) ≤

G(

, , ) → ∞ dan kenyataan bahwa pemetaan G


, ( ), ( ) ≤

kontinu pada semua variabelnya, maka diperoleh: ( , , ). Ini kontradiksi jika 0 ≤ Jadi

< 1. Maka

= ( ).


Untuk membuktikan ketunggalan, Andaikan terdapat hingga ( ) =

sedemikian


Jadi ( , , ) ≤ Jadi

≠

dengan

( , , ) mengakibatkan

=

jika 0 ≤

( , , )

< 1.

tunggal.




( ), ( ), ( ) ≤

( , ,

)

Dengan mengganti ( ) = , diperoleh: ( ), , ( ) ≤ diperoleh lim

( , ,

)

(3.2.9)

( ( ), , ( )) = 0

→

Sesuai proposisi(3.1.4 ) maka barisan


Sesuai proposisi (3.1.8 ) mengakibatkan

= ( ).


Teorema Akibat 3.2.4 (Penelitian) Misal( , ) adalah Ruang Metrik- lengkap dan misal : pemetaan. Jika ( ),

dengan

adalah

memenuhi syarat berikut: ∈

Untuk suatu (

→

dan untuk setiap ,

( ),

( )) ≤

∈ [0, 1), maka

G-kontinu pada

∈

berlaku:

( , , )

(3.2.10)


∈

dan

adalah

.

Bukti: Dari teorema 3.2.3, diperoleh sedemikian hingga


( ) = . Tetapi ( ) =

( ) =

∈ , ( )=



32


dan karena


G-kontinu pada .

Teorema 3.2.5 (Z. Mustafa and B. Sims, 2009) Misal( , ) adalah Ruang Metrik- lengkap dan misal : pemetaan. Jika

berlaku:

( ), ( ), ( ) ≤

pada

adalah suatu



∈ 0,

dengan

→

max

, maka

( , , ),

, ( ), ( ) , ⎫ ⎪ , ( ), ( ) , , ( ), ( ) , , ( ), ( ) ,⎬ ⎪ , ( ), ( ) , , ( ), ( ) ⎭

⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩


∈

dan

(3.2.11)

G-kontinu

.

Bukti: Misal

∈



adalah sebarang titik, untuk

) dengan

= ( ) = ( )=

)

(

⋮ = (

)=

Maka untuk

( ).

=

,

( )=

=

,

( )=

=

,

( )=

Maka menurut (3.2.11) ⎧ (

,

,

)≤

max

⎨ ( ⎩

( , (

), ( , , ), ⎫ ( , ), , ), ( ),⎬ , , , ), ( , , ) , , ⎭ ,

,



33

Maka (

,

)≤

, { (

Maka (

,

), (

,

,

, max { (

)≤

,

), (

,

Berdasarkan sifat (G5), (

,

,

,

)≤ (

,

,

)}

), (

,

,

)+ (

,

), (

, ,

)}(3.2.12)

, ,

)

,

Maka (3.2.12) menjadi (

,

)

,

max { (

≤ Sedangkan ( Maka (

,

,

,

)+ (

)≤ (

,

,

)+ (

,

,

)

)≤

{ (

,

,

)+ (

,

,

)}

,

,

)≤

,

,

Ini mengakibatkan ( =

Misal 0≤

,

∈ 0,

, karena

,

(

,

)

,

,

,

)}

(3.2.13)

,

<

1− <1− < 1−

≤1−0

≤1

Karena 0 ≤

< dan < 1 −

Maka <

<

Maka 0 <

<1

maka 0 <

≤1

< 1.

Dan pertaksamaan (3.2.14) menjadi (

,

)≤

,

,

atau ( (

, ,

,

atau (

)≤

(

,

)≤ )≤

, ,

,

)

,

= 1,2,3, … ,

Berarti untuk (

(

, ( (

)≤

,

)

, , , (

)

, )

, ,

)

,

⋮ dst (

),

,

≤

,

(

),

(

)



34

atau (

,

,

)≤

Jadi (

,

,

)≤

Maka, untuk semua ,

, ( , ∈

,

(

)

)

,

<

),

(

(3.2.15)



,

)≤ (

,

dan ( (

,

,

)≤ (

,

,

,

)≤ (

,

,

)+ (

)+ (

,

,

)+ (

)+ (

,

,

)+ (

)+ (

,

, ,

)

,

,

)

,

)+ (

, ,

,

)

,

)+ (

,

)

,

,

,

)

,

,

)

)

,

)≤ (

,

,

,

,

,

+ ( dan (

)+ ( ,

)≤ (

,

,

,

)≤ (

,

,

dan ( (

,

,

,

)

,

⋮ dst (

,

)≤ (

,

,

,

+⋯+ ( dan (

,

Maka (

)≤ (

,

,

,

,

,

,

Jadi (

,

)≤ (

,

,

≤(

+

≤

Maka lim

= 0 untuk 0 <

→

, )→

Untuk ,

, ∈

,

(

,

) +⋯+

,

) ( ,

( ,

,

)

)

, ,

)

,

,

)

(

,

). <1

)=0

,

berdasarkan (G5) diperoleh:

, )≤ (

Karena lim(

( ,

)

,

=0

→

Maka lim( (

,

)

,

,

)

,

,

+⋯+

( ,

,

) +⋯+ (

,

)

,

,

)+ (

,

)

,

) + ⋯+ (

)+

,

,

+ (

Karena lim

,

( ,

,

)+ (

, ,

,

) + ⋯+ (

,

,

+ ( ≤

)+ (

, ,

)≤ (

)+ (

,

,

+ ( Maka (

)

, ,

)≤ (

)+ (

,

, )→

, (

)+ (

, ,

,

,

,

)

) = 0 dan lim(

, )→

,

)=0



35

Maka lim( Jadi (

(

, , )→

,

)=0

,



∈

sedemikian


Misalkan ( ) ≠

maka:

, ( ), ( ) ≤

(

, , ), ( , , ), , ( ), ( ) , ( ), ( ) , , ( ), ( ) , , ( ), ( ) , ( , , )

(

, , ), (

max

Maka , ( ), ( ) ≤

max


, ), , ( ), ( ) , ( ), ( ) , ( , , ) ,


kontinu pada semua variabelnya, maka diperoleh: , ( ), ( ) ≤ Maka

max

, ( ), ( ) ≤

Ini kontradiksi jika 0 ≤ Jadi

( , , ), ( , , ), , ( ), ( ) , ( ), ( ) , ( , , ) ( , ( ), ( )).

< . Maka

= ( ).


Untuk membuktikan ketunggalan, andaikan terdapat hingga ( ) = max

sedemikian


( , , ), ( , , ), ( , , ), ( , , ), ( , , ), ( , , ), ( , , ),

Maka ( , , ) ≤ maka ( , , ) ≤

max{ ( , , ), ( , , )} ( , , ).

dengan cara yang sama diperoleh ( , , ) ≤ Jadi ( , , ) ≤ Jadi

≠

dengan


( , , ) =

jika 0 ≤

< .

tunggal.






36

( ), ( ), ( ) ≤

max

( , , ), ( , ( ), ( )), ⎫ , ( ), ( ) , , ( ), ( ) ⎪ , ( ), ( ) , ⎬ ⎪ , ( ), ( ) , , ( ), ( ) ⎭

⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩

Maka ( ), ( ), ( ) ≤

( , , ), ( , ( ), ( )), , ( ), ( ) , , ( ), ( ) , ( , ( ), ( ))

max

Dengan mengganti ( ) = , diperoleh ( ), , ( ) ≤

Maka

( ), , ( ) ≤

Menurut sifat (G2) Maka

max

( , , ), , ( ), ( ) , ( , , ), ( , ( ), ( ))

( ), , ( ) =

( ), , ( ) ≤

Berdasarkan (G5) Maka

max

( , , ), ( , ( ), ( )), ( , , ), ( , , ), ( , ( ), ( ))

max

( , ( ), ( ))

( , ,

), (

, ( ), ( ) , , , )

, ( ), ( ) ≤ ( , , ) + ( , ( ), ( ))

( ), , ( ) ≤

( , , ), ( , , ) + ( , ( ), ( )) ( , , )

max

Sedangkan ( , , ) ≤ ( , , ) + ( , ( ), ( )) Maka

( ), , ( ) ≤

max

( , , ), ( , , ) + ( , ( ), ( ))

(3.2.16)

Dan (3.2.16) mengakibatkan beberapa kasus: (1)

( ), , ( ) ≤

(2) ( ( ), , ( ) ≤ (3) ( ( ), , ( )) ≤

( , ,

),

( , , ), ( , , )

Untuk masing-masing kasus diperoleh lim Sesuai proposisi(3.1.4) maka barisan Sesuai proposisi (3.1.8) mengakibatkan

→

( ( ), , ( )) = 0


= ( ).


Teorema Akibat 3.2.6 (Z. Mustafa and B. Sims, 2009)



37

Misal ( , ) adalah Ruang Metrik- lengkap dan misal : pemetaan. Jika

( ),

( ),

( ), ( ) , ( ) ,

( ),

,

( ),

,

, ,

berlaku:

( ) ≤

( , , ),

∈ 0,

dengan


( ),

⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩

adalah


Untuk suatu

→

, maka

( )

( ) , ( ), , ( ), ,

⎫ ⎪ (3.2.17)

( ) , ⎬ ( ) ⎪ ⎭ ∈


dan

G-

kontinu pada . Bukti: Dari teorema 3.2.5, diperoleh sedemikian hingga


( ) = . Tetapi ( ) =

( ) =

( ) . Jadi ( )adalah titik tetap yang lain untuk

∈ , ( )=

dan karena


G-kontinu pada .

Teorema 3.2.7 (Penelitian) Misal( , ) adalah Ruang Metrik- lengkap dan misal : pemetaan. Jika

( ), ( ), ( ) ≤

∈ 0,

pada

adalah



dengan

→

, maka

berlaku:

max

⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩

( , , ),

, ( ), ( ) , ⎫ ⎪ , ( ), ( ) , (3.2.18) , ( ), ( ) , , ( ), ( ) , ⎬ ⎪ , ( ), ( ) , , ( ), ( ) .⎭


∈

dan

G-kontinu

.

Bukti: Misal

memenuhi kondisi (3.2.18) dan misal

didefinisikan barisan (

∈

adalah sebarang titik, dan

)dengan Universitas Indonesia


38

= ( ) = ( )=

)

(

⋮ = (

)=

Maka untuk

( ).

=

,

( )=

=

,

( )=

=

,

( )=


⎧ (

,

)≤

,

max

), ( ( , , ), ( , , , ), ( , ,

⎨ ( , ( ⎩

,

),

, , ), ,

⎫ ),⎬ ⎭

, ),

,

Maka (

,

)≤

, { (

Maka (

,

), (

,

,

, max { (

)≤

,

Menurut (G5), (

,

), (

, ,

)≤ (

,

, ,

,

)}

), (

,

,

)+ (

,

)}(3.2.19)

,

,

)

,


,

)

,

max { (

≤ Sedangkan ( Maka (

,

,

,

,

)+ (

)≤ (

,

,

)+ (

,

,

)

)≤

{ (

,

,

)+ (

,

,

)}

,

,

)≤

,


Misal 0≤

, karena

,

∈ 0,

(

,

), (

,

,

,

)

,

,

)}

(3.2.20)

,

<

1− <1− < 1−

≤1−0

≤1

Karena 0 ≤

< dan < 1 −

Maka <

<

Maka 0 <

<1

≤1



39

maka 0 <

< 1.


,

)≤

,

,

,

atau ( (

, ,

)≤

(

,

)≤

,

)

,

, (

,

)

,

(

)

,

,

)≤

,

)

, (

)≤

,

atau (

,

= 1,2,3, … ,

Berarti untuk (

(

,

)

,

⋮ dst ),

(

,

≤

atau (

,

,

)≤

Jadi (

,

,

)≤

Maka, untuk semua ,

, , ( ,

∈

,

(

(

),

)

(

)

)

,

<

),

(

(3.2.21)



,

dan ( (

,

,

,

,

,

,

)≤ ( ,

+ ( dan (

,

,

,

,

,

,

)+ (

)+ (

,

,

)+ (

)+ (

,

,

)+ (

)+ (

,

, ,

,

)+ ( ,

)≤ (

)≤ (

,

,

,

)≤ (

,

dan ( (

)≤ (

,

,

)

,

)+ (

, ,

,

)

,

)+ (

,

)

,

,

,

)

,

,

)

)

,

)≤ (

)

,

,

,

)

,

⋮ dst (

,

)≤ (

,

,

,

+⋯+ ( dan ( Maka (

, ,

, ,

,

)≤ ( )≤ ( + (

Maka (

,

,

)≤ ( + (

,

,

,

,

, ,

,

) + ⋯+ (

)

, )

,

) + ⋯+ ( )+ (

, ,

)+ ( )+ (

, ,

)+ (

)

, ,

,

,

,

,

)

)

, ,

,

)



40

( ,

≤ Jadi (

,

)≤ (

,

, ,

≤(

Maka lim

, )→

Untuk ,

, ∈

,

Maka lim(

)

,

)

,

,

)

(

,

). <1

)=0

,


)+ (

,

, )→

(

,

,

, , )→

(

,

,

Karena lim(

Jadi (

(

, )≤ (

,

,

)

,

) ( ,

( ,

=0

→

Maka lim( (

,

= 0 untuk 0 <

→

,

+⋯+

( ,

≤

) +⋯+

,

) +⋯+ (

,

+

( ,

)+ (

,

+ (

Karena lim

)+

,

,

,

)

) = 0 dan lim(

, )→

,

)=0

)=0



∈

sedemikian


Misalkan ( ) ≠

maka:

, ( ), ( ) ≤

(

, , ), ( , , ( ), ( ) , ( , , ),

(

, , ), (

max

,

),

, ( ), ( ) , ( ), ( ) , , ( ), ( )

Maka , ( ), ( ) ≤

max


, ), , ( ), ( ) , ( ), ( ) , ( , , ) ,



max

, ( ), ( ) ≤


( , , ), ( , , ), , ( ), ( ) , ( ), ( ) , ( , , ) ( , ( ), ( )).

< . Maka

= ( ).




41

Untuk membuktikan ketunggalan, Andaikan terdapat hingga ( ) = ( , , )≤

sedemikian

maka menurut (3.2.18) diperoleh: ( , , ), ( , , ), ( , , ), ( , , ), ( , , ), ( , , ), ( , , )

max

Maka ( , , ) ≤

max{ ( , , ), ( , , )}

Maka ( , , ) ≤

( , , ).


≠

dengan


( , , ) =

jika 0 ≤

< .

tunggal.




( ), ( ), ( ) ≤

max

⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩

( , , ), ( , ( ), ( )), ⎫ , ( ), ( ) , , ( ), ( ) ⎪ , ( ), ( ) , ⎬ ⎪ , ( ), ( ) , , ( ), ( ) ⎭

Maka ( ), ( ), ( ) ≤

( , , ), ( , ( ), ( )), , ( ), ( ) , , ( ), ( ) , , ( ), ( ) ,

max


Maka

( ), , ( ) ≤


( , , ), ( , ( ), ( )), ( , , ), ( , ( ), ( )) ( , , ) max

( , , ), , ( ), ( ) , , ( ), ( ) , ( , , )

( ), , ( ) =

( ), , ( ) ≤


max

max

( , ( ), ( ))

( , ,

), (

, ( ), ( ) , , , )

, ( ), ( ) ≤ ( , , ) + ( , ( ), ( ))

( ), , ( ) ≤

max

( , , ), ( , , ) + ( , ( ), ( )) ( , , )

Sedangkan ( , , ) ≤ ( , , ) + ( , ( ), ( )) Universitas Indonesia


42

( ), , ( ) ≤

Maka

( , , ), ( , , ) + ( , ( ), ( ))

max

(3.2.22)

Dan (3.2.22) mengakibatkan beberapa kasus: ( ), , ( ) ≤

(1)

(2) ( ( ), , ( ) ≤

( , ,

),

( , , ),

(3) ( ( ), , ( )) ≤

( , , )

Untuk masing-masing kasus diperoleh lim Sesuai proposisi(3.1.4) maka barisan

→

( ( ), , ( )) = 0


Sesuai proposisi (3.1.8) mengakibatkan

= ( ).


Teorema Akibat 3.2.8 (Penelitian) Misal ( , ) adalah Ruang Metrik- lengkap dan misal : pemetaan. Jika

( ), ⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩ dengan

adalah


Untuk suatu

→


( ),

( ) ≤

( , , ), , ( ), ( ) ,

,

( ),

,

∈ 0,

berlaku:

( ) , ( ), ,

, maka

( ),

( )

,

( ),

,

( ), ( )

⎫ ( ) ,⎪ ( ) ,⎬ ⎪ ⎭

(3.2.23)

∈


dan

G-



( ) = . Tetapi ( ) =

( ) =


∈ , ( )=

dan karena


G-kontinu pada .

Teorema 3.2.9 (Penelitian) Misal( , ) adalah Ruang Metrik- lengkap dan misal : pemetaan. Jika

→

adalah

memenuhi syarat berikut: Universitas Indonesia


43


berlaku:

( ), ( ), ( ) ≤ ( , , ),

, ( ), ( ) , , ( ), , ( ), ( ) , , ( ), ( ) max ⎨ , ( ), ( ) , , ( ), ( ) ⎪ ⎩ ( , ( ), ( ), ( , ( ), ( ), ( , ( ⎧ ⎪

∈ 0,

dengan pada

, maka

( ) , ⎫ ⎪ ,

(3.2.24)

, ⎬ ⎪ ), ( ))⎭


∈

dan

G-kontinu

.

Bukti: Misal

∈



adalah sebarang titik, dan

) dengan

= ( ) = ( )=

)

(

⋮ = (

)=

Maka untuk

( ).

=

,

( )=

=

,

( )=

=

,

( )=

Maka menurut (3.2.24) ⎧ ⎪ ⎪ (

,

)≤

,

max

( (

⎨ ⎪ ⎪ ⎩

), ( , , ), ⎫ ( , ), , ⎪ ⎪ ), ( ), , , , ), ( , , ) ⎬ , , ), ( , , ) ⎪ , , ⎪ ( , ) ⎭ , ,

, ( (

,

Maka (

,

)≤

,

max{ ( Maka (

, ,

,

), (

,

Menurut (G5), (

,

), (

max { (

)≤

,

,

,

,

)≤{ (

,

,

)}

), (

, ,

,

)+ (

)+ (

,

,

, ,

)} (3.2.25)

,

)}

,


,

)

, ≤

max { (

,

,

), (

,

,

)}



44

Sedangkan (

,

)≤ (

,

Maka (

,

,

,

)≤

{ (

,

,

,

)≤


Misal 0≤

)+ (

,

)

,

)+ (

,

(

)}

,

,

)

,

(3.2.26)

,

∈ 0,

, karena

,

,

<

1− <1− < 1−

≤1−0

≤1

Karena 0 ≤

< dan < 1 −

Maka <

<

Maka 0 <

<1

maka 0 <

≤1

< 1.


,

)≤

,

,

,

atau ( (

, ,

)≤

(

,

)≤

,

)

,

, (

,

(

)

,

,

)≤

,

)

, (

)≤

,

atau (

,

= 1,2,3, … ,

Berarti untuk (

(

)

, ,

)

,

⋮ dst ),

(

,

≤

atau (

,

,

)≤

Jadi (

,

,

)≤

Maka, untuk semua ,

, , ( ,

∈

,

<

),

( (

(

),

)

(

)

)

,

(3.2.27)



,

dan ( (

,

)≤ (

, , ,

,

,

,

)≤ (

)≤ (

,

, ,

)+ (

,

,

)+ (

)+ (

,

)

,

, ,

,

)

)+ (

,

,

)



45

dan ( (

,

,

)≤ (

,

)≤ (

,

,

,

+ ( dan (

,

,

)+ (

)+ (

,

,

)+ (

)+ (

,

,

)

,

)+ (

,

,

,

)

,

,

)

)

,

)≤ (

,

,

,

,

,

)

,

⋮ dst (

,

)≤ (

,

,

,

+⋯+ ( dan (

,

Maka (

)≤ (

,

,

,

,

,

,

Jadi (

,

)≤ (

,

,

≤(

+

≤

Maka lim

= 0 untuk 0 <

→

, )→

Untuk ,

, ∈

,

Maka lim(

) +⋯+

,

) ( ,

( ,

,

)

)

, ,

)

,

,

)

(

,

). <1

)=0

,


)+ (

,

, )→

(

,

,

, , )→

(

,

,

Karena lim(

Jadi (

(

, )≤ (

,

( ,

)

,

=0

→

Maka lim( (

,

)

,

,

)

,

,

+⋯+

( ,

,

) +⋯+ (

,

)

,

,

)+ (

,

)

,

) + ⋯+ (

)+

,

,

+ (

Karena lim

,

( ,

,

)+ (

, ,

,

) + ⋯+ (

,

,

+ ( ≤

)+ (

, ,

)≤ (

)+ (

,

,

+ ( Maka (

)

, ,

)≤ (

)+ (

,

,

,

)

) = 0 dan lim(

, )→

,

)=0

)=0



∈

sedemikian


Misalkan ( ) ≠

maka:



46

⎧ ⎪ ⎪ , ( ), ( ) ≤

max

(

, , ), ( , , ), , ( ), ( ) , ⎫ , ( ), ( ) , , ( ), ( ) , ⎪ ⎪ , ( ), ( ) , ( , , ), ⎬ , ( ), ( ) , ( , , ), ⎪ ⎪ ( ), ( ) , ⎭

(

, , ), (

⎨ ⎪ ⎪ ⎩

Maka , ( ), ( ) ≤

max


, ), , ( ), ( ) , ( ), ( ) , ( , , ) ,



max

, ( ), ( ) ≤


( , , ), ( , , ), , ( ), ( ) , ( ), ( ) , ( , , ) ( , ( ), ( )).

< . Maka

= ( ).


Untuk membuktikan ketunggalan, andaikan terdapat hingga ( ) =

max

sedemikian


( , , ), ( , ( , ( , , ),

( , , , ), ( , ), ( ( , ,

Maka ( , , ) ≤ maka ( , , ) ≤

), , , ),

( , , ), , ), , ), ( , , )

max{ ( , , ), ( , , )} ( , , ).


≠

dengan


( , , ) =

jika 0 ≤

< .

tunggal.






47

( ), ( ), ( ) ≤

max

⎧ ⎪ ⎪

( , , ), ( , ( ), ( )), ⎫ , ( ), ( ) , , ( ), ( ) , ⎪ ⎪ , ( ), ( ) ,

⎨ ⎪ ⎪ ⎩

, ( ), ( ) , , ( ), ( ) ,⎬ , ( ), ( ) , , ( ), ( ) ,⎪ ⎪ , ( ), ( ) ⎭

Maka ( ), ( ), ( ) ≤

( , , ), ( , ( ), ( )), , ( ), ( ) , , ( ), ( ) , ( , ( ), ( ))

max


Maka

( ), , ( ) ≤


max

( , , ), , ( ), ( ) , ( , , ), ( , ( ), ( ))

( ), , ( ) =

( ), , ( ) ≤


max

( , , ), ( , ( ), ( )), ( , , ), ( , , ), ( , ( ), ( ))

max

( , ( ), ( ))

( , ,

), (

, ( ), ( ) , , , )

, ( ), ( ) ≤ ( , , ) + ( , ( ), ( ))

( ), , ( ) ≤

( , , ), ( , , ) + ( , ( ), ( )) ( , , )

max

Sedangkan ( , , ) ≤ ( , , ) + ( , ( ), ( )) Maka

( ), , ( ) ≤

max

( , , ), ( , , ) + ( , ( ), ( ))

(3.2.28)

Dan (3.2.28) mengakibatkan beberapa kasus: (1)

( ), , ( ) ≤

(2) ( ( ), , ( ) ≤ (3) ( ( ), , ( )) ≤

( , ,

),

( , , ), ( , , )

Untuk masing-masing kasus diperoleh lim Sesuai proposisi(3.1.4) maka barisan Sesuai proposisi (3.1.8) mengakibatkan

→

( ( ), , ( )) = 0


= ( ).




48


( ), ⎧ ⎪ ⎪ max

dengan

⎨ ⎪ ⎪ ⎩

adalah


Untuk suatu

→


( ),

berlaku:

( ) ≤

( , , ), , ( ), ( ) ,

( ),

( )

⎫ ( ) ,⎪ ⎪ ( ), ( ) , ( ), ( ) , , , ⎬ ( ), ( ) , ( ), ( ) , ⎪ , , ⎪ ( ), ( ) , ( , ( ), ( )) ⎭ , ,

∈ 0,

, maka

,

( ),

(3.2.29)

∈


dan

G-



( ) = . Tetapi ( ) =

( ) =


∈ , ( )=

dan karena


G-kontinu pada .

Teorema 3.2.11 (Z. Mustafa and B. Sims, 2009) Misal( , ) adalah Ruang Metrik- lengkap, dan misal : pemetaan. Jika

→

adalah


Untuk setiap , , ∈ ( ), ( ), ( ) ≤

berlaku: max

, ( ), ( ) + , ( ), ( ) , , ( ), ( ) + , ( ), ( ) , , ( ), ( ) + ( , ( ), ( )) (3.2.30)

dengan

∈ 0,

, maka


∈ , dan

G-kontinu

pada .



49

Bukti: Misalkan

∈


didefinisikan (

sebarang titik, dan

) dengan

= ( ) = ( )=

)

(

⋮ = (

)=

Maka untuk

( ).

=

,

( )=

=

,

( )=

=

,

( )=


,

)≤

,

=

[ ( )+ ( , , )+ ( , , max [ ( , [ ( , , )+ ( , max{ (

,

max{ (

,

), 2 (

,

,

Maka (

,

Jika 0 ≤

< , maka ini jadi kasus khusus bahwa

(

,

,

)≤

)≤

,

Menurut (G5), (

( ,

,

,

,

,

)}

), 2 (

,

,

, ,

)

)≤ (

,

,

)], )], )]

,

)}

(3.2.31) ,

)+ (

,

,

,

)

Jadi (3.2.31) menjadi (

,

)≤

,

{ (


Misal 0≤

, karena

,

,

)≤

,

∈ 0,

)+ (

,

, (

)}

, ,

,

)

(3.2.32)

,

<

1− <1− < 1−

≤1−0

≤1

Karena 0 ≤

< dan < 1 −

Maka <

<

Maka 0 <

<1

≤1



50

maka 0 <

< 1.


,

)≤

,

,

,

atau ( (

, ,

)≤

(

,

)≤

,

)

,

, (

,

)

,

(

)

,

,

)≤

,

)

, (

)≤

,

atau (

,

= 1,2,3, … ,

Berarti untuk (

(

,

)

,

⋮ dst ),

(

,

≤

atau (

,

,

)≤

Jadi (

,

,

)≤

Maka, untuk semua ,

, , ( ,

∈

,

(

(

),

)

(

)

)

,

<

),

(

(3.2.33)



,

dan ( (

,

,

,

,

,

,

)≤ ( ,

+ ( dan (

,

,

,

,

,

,

)+ (

)+ (

,

,

)+ (

)+ (

,

,

)+ (

)+ (

,

, ,

,

)+ ( ,

)≤ (

)≤ (

,

,

,

)≤ (

,

dan ( (

)≤ (

,

,

)

,

)+ (

, ,

,

)

,

)+ (

,

)

,

,

,

)

,

,

)

)

,

)≤ (

)

,

,

,

)

,

⋮ dst (

,

)≤ (

,

,

,

+⋯+ ( dan ( Maka (

, ,

, ,

,

)≤ ( )≤ ( + (

Maka (

,

,

)≤ ( + (

,

,

,

,

, ,

,

) + ⋯+ (

)

, )

,

) + ⋯+ ( )+ (

, ,

)+ ( )+ (

, ,

)+ (

)

, ,

,

,

,

,

)

)

, ,

,

)



51

( ,

≤ Jadi (

,

)≤ (

,

, ,

≤(

Maka lim

, )→

Untuk ,

, ∈

,

Maka lim(

) ( ,

( ,

,

)

)

, ,

)

,

,

)

(

,

). <1

)=0

,


)+ (

,

, )→

(

,

,

, , )→

(

,

,

Karena lim(

Jadi (

(

, )≤ (

,

) +⋯+

=0

→

Maka lim( (

,

= 0 untuk 0 <

→

,

+⋯+

( ,

,

) +⋯+ (

,

+

≤

( ,

)+ (

,

+ (

Karena lim

)+

,

,

,

)

) = 0 dan lim(

, )→

,

)=0

)=0



∈

sedemikian


Misal ( ) ≠ , maka: [ ( , ( ), ( ) ≤

max

, ( ), ( )) + ( , , )], , ( ), ( ) + , ( ), ( ) , ( , , )+ , ( ), ( )

→ ∞, dengan menggunakan fakta bahwa G kontinu di

Ambil limit sepanjang

semua variabelnya, diperoleh: , ( ), ( ) ≤

max

[ ( , ( ), ( )) + ( , , )], , ( ), ( ) + , ( ), ( ) , ( , , )+ , ( ), ( )

, ( ), ( ) ≤

max 2

, ( ), ( ) , ( , ( ), ( ))

Maka

, ( ), ( ) ≤ 2

Ini kontradiksi jika 0 ≤

, ( ), ( )

< . Maka

= ( )

Untuk membuktikan ketunggalan, andaikan terdapat titik tetap yang lain, misal dengan

≠

,

sedemikian hingga ( ) = .



52

Maka ( , , ) ≤

[ ( , , ) + ( , , )], [ ( , , ) + ( , , )], [ ( , , ) + ( , , )]

max

Maka diperoleh ( , , ) ≤ [ ( , , ) + ( , , )]. ( , , )

Ini mengakibatkan ( , , ) ≤

Dan dengan argumen yang sama diperoleh ( , , ) ≤ Maka ( , , ) ≤

( , , ) jika 0 ≤

Ini kontradiksi , mengakibatkan Untuk menunjukkan bahwa

( , , ).

< 1,

=

adalah G-kontinu pada , misal ( ) ⊆

barisan sedemikian hingga lim ( ) =

adalah

di ( , )

Maka ( ), ( ), ( ) ≤

max

, ( ), ( ) + , ( ), ( ) ,

, ( ), ( ) , , ( ), ( ) , , ( ), ( ) + ( , ( ), ( )) (3.2.34)

Dengan mengganti ( ) = , diperoleh ( ( ), , ) ≤

max

( , , )+ , ( ), ( ) , [ ( , , ), ( , , )], , ( ), ( ) + ( , , )

Maka ( ( ), , ) ≤ [ ( , , ) + ( , ( ), ( ))] (3.2.35) Berdasarkan sifat (G5) Maka

, ( ), ( ) ≤ ( , ( ), ) + ( , , ( ))

( , ( ), ( )) ≤ 2 ( ( ), , )

Maka pertaksamaan (3.2.35) menjadi ( ( ), , ) ≤ [ ( , , ) + 2 ( ( ), , )] ( ( ), , ) ≤

( , , )+2

Maka ( ( ), , ) ≤ Maka diperoleh lim

→

( ( ), , )

( , , )

(3.2.36)

( ( ), , ) = 0

Sesuai proposisi(3.1.4) maka barisan Sesuai proposisi (3.1.8) mengakibatkan


= ( ).




53

Teorema Akibat 3.2.12 (Z. Mustafa and B. Sims, 2009) Misal ( , ) adalah Ruang Metrik- lengkap, dan misal : pemetaan. Jika

max

dimana

adalah


Untuk suatu ( ),

→

dan untuk semua , , ∈

( ),

berlaku:

( ) ≤

,

( ),

,

( ),

( ) + ( ) +

,

( ),

( ) +

∈ 0, ), maka

,

( ),

,

( ),

( ) , ( ) ,

( ),

( )

,

(3.2.37)

∈ , dan


G-



( ) = . Tetapi ( ) =

( ) =


∈ , ( )=

dan karena


G-kontinu pada .

Teorema 3.2.13 (Penelitian) Misal( , ) adalah Ruang Metrik- lengkap, dan misal : pemetaan. Jika

→

adalah



berlaku:

( ), ( ), ( ) ≤

max

, ( ), ( ) + , ( ), ( ) , , ( ), ( ) + , ( ), ( ) , , ( ), ( ) + ( , ( ), ( )) (3.2.38)

dimana

∈ 0,

, maka


∈ , dan

G-

kontinu pada . Bukti: Misalkan


didefinisikan (

∈

sebarang titik, dan

) dengan Universitas Indonesia


54

= ( ) = ( )=

)

(

⋮ = (

)=

Maka untuk

( )

=

,

( )=

=

,

( )=

=

,

( )=


,

[ ( [ ( , max [ (

)≤

,

,

, ,

,

,

) + ( , , )], )+ ( )], , , )+ ( , )] , (

Maka (

,

Sedangkan ( dan (

,

Maka (

,

)≤

, ,

,

,

)≤

(

,

,

(

)≤

,

[ (

max

{(

)≤

,

, ,

, )

)+ (

, )+ (

)

, )

, ,

)],

,

,

,

)+ (

,

),

, , )+ ( , ( , ,

)}

,

(3.2.39)

Berdasarkan sifat (G5), (

,

)≤ (

,

,

)+ (

,

,

).

,

Maka (3.2.39) menjadi ,

)≤ { (

Jadi (

,

,

)≤ { (

Jadi (

,

,

)≤

(

,

Misal 0≤

=

, karena

,

, (

∈ 0,

)+ (

,

)+2 (

, ,

,

,

, ,

)+ ( ,

)

,

,

)}

)} (3.2.40)

,

<

0≤2 < 1− <1−2 ≤1−0 < 1−2 ≤1 Karena 0 ≤ Maka <

< dan < 1 − 2 ≤ 1 < Universitas Indonesia


55

Maka 0 <

<1

maka 0 <

< 1.


,

)≤

, ,

,

atau ( (

, ,

)≤

(

,

)≤

,

)

,

,

(

,

)

,

(

)

,

,

)≤

,

)

, (

)≤

,

atau (

,

= 1,2,3, … ,

Berarti untuk (

(

,

)

,

⋮ dst ),

(

,

≤

atau (

,

,

)≤

Jadi (

,

,

)≤

Maka, untuk semua ,

, , ( ,

∈

,

(

(

),

)

(

)

)

,

<

),

(

(3.2.41)



,

dan ( (

,

,

,

,

,

,

)≤ ( ,

+ ( dan (

,

,

,

,

,

,

)+ (

)+ (

,

,

)+ (

)+ (

,

,

)+ (

)+ (

,

, ,

,

)+ ( ,

)≤ (

)≤ (

,

,

,

)≤ (

,

dan ( (

)≤ (

,

,

)

,

)+ (

, ,

,

)

,

)+ (

,

)

,

,

,

)

,

,

)

)

,

)≤ (

)

,

,

,

)

,

⋮ dst (

,

)≤ (

,

,

,

+⋯+ ( dan ( Maka (

, ,

, ,

,

)≤ ( )≤ ( + (

Maka (

,

,

)≤ (

,

,

, ,

)+ ( )+ (

, ,

)+ (

)

, ,

,

,

, ,

,

)

,

) + ⋯+ ( )+ (

)

,

, ,

,

)



56

+ (

,

)≤ (

,

≤

Maka lim

, )→

Untuk ,

, ∈

,

Maka lim(

,

) ( ,

,

( ,

,

)

)

, ,

)

,

,

)

(

,

). <1

)=0

,


)+ (

,

, )→

(

,

,

, , )→

(

,

,

Karena lim(

Jadi (

(

, )≤ (

,

( ,

,

)

,

=0

→

Maka lim( (

) +⋯+

+⋯+

= 0 untuk 0 <

→

( ,

) +⋯+ (

,

+

,

)+ (

, ,

≤(

) + ⋯+ (

)+

,

,

+ (

Karena lim

,

( ,

≤ Jadi (

,

,

,

)

) = 0 dan lim(

, )→

,

)=0

)=0



∈

sedemikian


Misal ( ) ≠ , maka: (

, ( ), ( ) ≤

[ ( , ( ), ( )) + ( , , )], [ ( , ( ), ( )) + ( , ( ), ( ))], [ ( , , ) + ( , ( ), ( ))]

max

Ambil limit sepanjang

→ ∞, dengan menggunakan fakta bahwa G kontinu di

semua variabelnya, diperoleh: ( , ( ), ( ) ≤

[ ( , ( ), ( )) + ( , , )], max [ ( , ( ), ( )) + ( , ( ), ( ))], [ ( , , ) + ( , ( ), ( ))]

Maka ( , ( ), ( ) ≤ Maka

max

, ( ), ( ) ≤

( , ( ), ( )), 2( ( , ( ), ( ))), ( , ( ), ( ))

max 2

, ( ), ( ) , ( , ( ), ( ))

Sedangkan ( , ( ), ( )) ≤ 2 ( , ( ), ( )) Maka

, ( ), ( ) ≤ 2


( , ( ), ( ))

< . Maka

= ( ). Universitas Indonesia


57

Untuk membuktikan ketunggalan, andaikan terdapat titik tetap yang lain, misal dengan

≠

,

sedemikian hingga ( ) = .

Maka ( , , ) ≤

max

[ ( , , ) + ( , , )], [ ( , , ) + ( , , )], [ ( , , ) + ( , , )]

Maka ( , , ) ≤

max

[ ( , , ) + ( , , )], ( , , ), ( , , )

Sedangkan ( , , ) ≤ ( , , ) + ( , , ) dan ( , , ) ≤ ( , , ) + ( , , ) Maka diperoleh ( , , ) ≤ [ ( , , ) + ( , , )]. ( , , )

Ini mengakibatkan ( , , ) ≤

Dan dengan argumen yang sama diperoleh ( , , ) ≤ Maka ( , , ) ≤

( , , ) jika 0 ≤

Ini kontradiksi , mengakibatkan Untuk menunjukkan bahwa

( , , ).

< 1,

=

adalah G-kontinu pada , misal ( ) ⊆

barisan sedemikian hingga lim ( ) =

adalah

di ( , )

Maka ( ), ( ), ( ) ≤

max

, ( ), ( ) + , ( ), ( ) , , ( ), ( ) + , ( ), ( ) , , ( ), ( ) + ( , ( ), ( )) (3.2.42)

Dengan mengganti ( ) = , diperoleh: ( ( ), , ) ≤

( ( ), , ) ≤

max

( , , )+ , ( ), ( ) , [ ( , , ) + ( , , )], , ( ), ( ) + ( , , )

max

( , , )+ , ( ), ( ) , ( , , ), , ( ), ( )

Sedangkan ( , , ) ≤ dan

, ( ), ( ) ≤

( , , )+ ( , , )+

, ( ), ( ) , ( ), ( )



58

Maka diperoleh ( ( ), , ) ≤ [ ( , , ) + ( , ( ), ( ))] (3.2.43) , ( ), ( ) ≤ ( , ( ), ) + ( , , ( ))

Berdasarkan sifat (G5)

Maka ( , ( ), ( )) ≤ 2 ( ( ), , )

(3.2.44)

Maka pertaksamaan (3.2.43) menjadi ( ( ), , ) ≤ [ ( , , ) + 2 ( ( ), , )] ( ( ), , ) ≤

( , , )+2

Maka ( ( ), , ) ≤ Maka diperoleh lim

( ( ), , )

( , , )

(3.2.45)

( ( ), , ) = 0

→


Sesuai proposisi(3.1.4) maka barisan Sesuai proposisi (3.1.8) mengakibatkan

= ( ).


Teorema Akibat 3.2.14 (Penelitian) Misal ( , ) adalah Ruang Metrik- lengkap, dan misal : pemetaan. Jika

dengan

adalah


Untuk suatu ( ),

→

( ),

dan untuk semua , , ∈

berlaku:

( ) ≤

,

( ),

,

( ),

( ),

( ) + ( ) +

,

( ),

( ) , ( ) ,

, ,

( ),

( ) +

,

( ),

( )

∈ 0, ), maka

(3.2.46)

∈ , dan


G-



( ) = . Tetapi ( ) =

( ) =


∈ , ( )=

dan karena


G-kontinu pada .



59

Teorema 3.2.15 (Z. Mustafa and B. Sims, 2009) Misal ( , ) adalah Ruang Metrik- lengkap, dan misal : pemetaan. Jika


Untuk semua ,

∈

∈ 0,

adalah

berlaku:

( ), ( ), ( ) ≤ dengan

→

, ( ), ( ) + , ( ), ( ) , (3.2.47 ) 2 ( , ( ), ( ))

max

, maka

∈


dan

G-kontinu

pada . Bukti: Misal

∈

memenuhi kondisi (3.2.47 ) dan misal


sebarang titik, dan

) dengan

= ( ) = ( )=

(

)

⋮ = (

)=

Maka untuk

( ).

=

,

( )=

=

,

( )=

=

,

( )=


,

,

Maka (

,

)≤

max

,

)≤

Berdasarkan sifat (G5) ( ,

,

)≤

Maka (

,

,

)≤

Maka (

,

,

)≤

0≤

=

, karena

,

)+ ( 2 ( , ,

,

{ (

,

,

Maka (

Misal

[ (

(

)+ (

, )≤ (

, ,

∈ 0,

,

, (

,

,

)+2 ( ,

)],

, ,

,

)+ ( , ,

, + (

{ (

, )

)}

,

)+ ( ,

,

,

,

)

)

) ,

)

,

)} (3.2.48)

,

<

0≤2 < 1− <1−2 ≤1−0 Universitas Indonesia


60

< 1−2 ≤1 Karena 0 ≤

< dan < 1 − 2 ≤ 1

Maka <

<

Maka 0 <

<1

maka 0 <

< 1.


,

)≤

,

,

,

atau ( (

, ,

)≤

(

,

)≤

,

)

,

, (

,

)

,

(

)

,

,

)≤

,

)

, (

)≤

,

atau (

,

= 1,2,3, … ,

Berarti untuk (

(

,

)

,

⋮ dst ),

(

,

≤

atau (

,

,

)≤

Jadi (

,

,

)≤

Maka, untuk semua ,

, , ( ,

∈

,

(

(

),

)

(

)

)

,

<

),

(

(3.2.49)



,

dan ( (

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

)+ (

)+ (

,

,

)+ (

)+ (

,

,

)+ (

)+ (

,

, ,

,

)+ ( ,

,

,

+ ( dan (

,

)≤ (

)≤ (

,

,

)≤ (

)≤ (

,

dan ( (

)≤ (

,

,

,

)

)+ (

, ,

,

)

,

)

)+ (

,

,

,

,

)

,

,

)

)

,

)≤ (

)

,

,

,

,

)

⋮ dst (

,

,

)≤ (

,

+⋯+ (

, ,

,

,

)+ (



61

dan (

,

Maka (

)≤ (

,

,

,

,

)≤ (

,

Maka (

,

,

,

)≤ (

Jadi (

,

)≤ (

,

,

≤(

+

Maka lim

= 0 untuk 0 <

→

, )→

Untuk ,

, ∈

,

Maka lim(

) +⋯+

,

,

)

)

, ,

) ( ,

( , )

,

,

)

(

,

). <1

)=0

,


)+ (

,

, )→

(

,

,

, , )→

(

,

,

Karena lim(

Jadi (

(

, )≤ (

,

( ,

)

,

=0

→

Maka lim( (

,

)

,

,

)

,

,

+⋯+

( ,

≤

,

) +⋯+ (

,

)

,

,

)+ (

,

)

,

) + ⋯+ (

)+

,

,

+ (

Karena lim

,

( ,

,

)+ (

, ,

,

) + ⋯+ (

,

,

+ ( ≤

)+ (

,

+ (

)+ (

,

,

,

)

) = 0 dan lim(

, )→

)=0

,

)=0


Dengan menggunakan sifat lengkap pada ( , ), maka terdapat hingga (


∈

sedemikian

.

Misalkan ( ) ≠ , maka , ( ), ( ) ≤

, ( ), ( ) + 2 ( ,

max

Dengan mengambil limit sepanjang

, ( ), ( ) , ,

)

→ ∞ dan dengan menggunakan fakta

bahwa G kontinu di setiap variabelnya, diperoleh: , ( ), ( ) ≤ Maka

max

, ( ), ( ) ≤ 2


, ( ), ( ) + , ( ), ( ) , 2 ( , , ) , ( ), ( ) .

< . Maka

= ( ).



62

Untuk membuktikan ketunggalan, andaikan terdapat , ( )=

≠

sedemikian hingga

maka menurut (3.2.47)

( , , )≤

max

[ ( , , ) + ( , , )], 2 ( , , ) ( , , ), 2 ( , , )

Maka ( , , ) ≤

max

Maka ( , , ) ≤

max { ( , , ), 2 ( , , )}

Maka ( , , ) ≤ 2

( , , )

Dengan argumen yang sama diperoleh: ( , , )≤2

( , , )

Sehingga ( , , ) ≤ 4

( , , ).


< ⇒0≤4

Maka

<1

= .

Untuk menunjukkan bahwa T adalah G-kontinu ke

adalah

= , maka:

barisan sedemikian hingga lim ( ), ( ), ( ) ≤

, misal ( ) ⊆

, ( ), ( ) + , ( ), ( ) , 2 ( , ( ), ( ))

max

(3.2.50) Dengan mengganti ( ) = , diperoleh: , ( ), ( ) ≤

, ( ), ( ) ≤ ( , , ) + ( , ( ), ( ))

Berdasarkan sifat (G5) Maka

, ( ), ( ) ≤ max

Maka

, ( ), ( ) + , ( ), ( ) , 2 ( , , )

max

( , , ) + ( , ( ), ( )) + 2 ( , , )

, ( ), ( ) ≤

max

, ( ), ( ) ,

[ ( , , ) + 2 ( , ( ), ( ))], 2 ( , , )

Maka ini mengakibatkan 2 kasus: (kasus 1)

, ( ), ( ) ≤ 2

(kasus 2)

, ( ), ( ) ≤

( , , ) ( , , )=

Maka untuk masing-masing kasus diperoleh lim Sesuai proposisi(3.1.4) maka barisan

→

( , , ) ( , ( ), T( )) = 0


= ( ).



63



Teorema Akibat 3.2.16 (Z. Mustafa and B. Sims, 2009) Misal( , ) adalah Ruang Metrik- lengkap, dan misal : pemetaan. Jika

∈

( ),

∈ 0,

∈

berlaku:

( )≤

( ), ( ) + ( ), 2 ( ,

,

dengan

dan untuk semua ,

( ),

max

adalah

memenuhi syarat:

Untuk suatu (

→

, maka

,

( ), ( ))

( ) ,

(3.2.51) ∈ , dan


G-



( ) = . Tetapi ( ) =

( ) =


∈ , ( )=

dan karena


G-kontinu pada .

Teorema 3.2.17 (Z. Mustafa and B. Sims, 2009) Misal ( , ) adalah Ruang Metrik- lengkap dan misal : pemetaan. Jika

→

suatu

memenuhi syarat:

Untuk semua , , ∈ ( ), ( ), ( ) ≤

berlaku: max

, ( ), ( ) + ( , ( ), ( )) , , ( ), ( ) + , ( ), ( ) , , ( ), ( ) + , ( ), ( ) (3.2.52)

∈ 0,

dimana pada

, maka


∈

dan

G-kontinu

.

Bukti: Ambil

=

dari pertaksamaan (3.2.52) Universitas Indonesia


64

Maka pertaksamaan (3.2.52) menjadi ( ), ( ), ( ) ≤

, ( ), ( ) + ( , ( ), ( )) , , ( ), ( ) + , ( ), ( ) , , ( ), ( ) + , ( ), ( )

max

(3.2.53) Maka (3.2.53) menjadi ( ), ( ), ( ) ≤

, ( ), ( ) + , ( ), ( ) , (3.2.54) 2 , ( ), ( )

max

Maka (3.2.54) sama dengan pertaksamaan (3.2.47) Misal

∈



sebarang titik, dan

) dengan

= ( ) = ( )=

(

)

⋮ = (

)=

Maka untuk

( ).

=

,

( )=

=

,

( )=

=

,

( )=


,

,

Maka (

,

)≤

max

,

)≤

Berdasarkan sifat (G5) ( ,

,

)≤

Maka (

,

,

)≤

Maka (

,

,

)≤

0≤

=

, karena

,

)+ ( 2 ( , ,

,

{ (

,

,

Maka (

Misal

[ (

(

)+ (

, )≤ (

, ,

∈ 0,

, (

, ,

,

)+2 ( ,

)],

, ,

,

)+ ( , ,

, + (

{ (

, )

,

)}

)+ ( ,

,

,

,

)

)

) ,

)

,

)} (3.2.55)

,

<

0≤2 < 1− <1−2 ≤1−0 Universitas Indonesia


65

< 1−2 ≤1 Karena 0 ≤

< dan < 1 − 2 ≤ 1

Maka <

<

Maka 0 <

<1

maka 0 <

< 1.


,

)≤

,

,

,

atau ( (

, ,

)≤

(

,

)≤

,

)

,

, (

,

)

,

(

)

,

,

)≤

,

)

, (

)≤

,

atau (

,

= 1,2,3, … ,

Berarti untuk (

(

,

)

,

⋮ dst ),

(

,

≤

atau (

,

,

)≤

Jadi (

,

,

)≤

Maka, untuk semua ,

, , ( ,

∈

,

(

(

),

)

(

)

)

,

<

),

(

(3.2.56)


segiempat dan (3.2.56) maka diperoleh: (

,

dan ( (

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

)+ (

)+ (

,

,

)+ (

)+ (

,

,

)+ (

)+ (

,

, ,

,

)+ ( ,

,

,

+ ( dan (

,

)≤ (

)≤ (

,

,

)≤ (

)≤ (

,

dan ( (

)≤ (

,

,

,

)

)+ (

, ,

,

)

,

)

)+ (

,

,

,

,

)

,

,

)

)

,

)≤ (

)

,

,

,

,

)

⋮ dst (

,

,

)≤ (

,

+⋯+ (

, ,

,

,

)+ (



66

dan (

,

Maka (

)≤ (

,

,

,

,

)≤ (

,

Maka (

,

,

,

)≤ (

Jadi (

,

)≤ (

,

,

≤(

+

Maka lim

= 0 untuk 0 <

→

, )→

Untuk ,

, ∈

,

Maka lim(

) +⋯+

,

,

)

)

, ,

) ( ,

( , )

,

,

)

(

,

). <1

)=0

,


)+ (

,

, )→

(

,

,

, , )→

(

,

,

Karena lim(

Jadi (

(

, )≤ (

,

( ,

)

,

=0

→

Maka lim( (

,

)

,

,

)

,

,

+⋯+

( ,

≤

,

) +⋯+ (

,

)

,

,

)+ (

,

)

,

) + ⋯+ (

)+

,

,

+ (

Karena lim

,

( ,

,

)+ (

, ,

,

) + ⋯+ (

,

,

+ ( ≤

)+ (

,

+ (

)+ (

,

,

,

)

) = 0 dan lim(

, )→

)=0

,

)=0


Dengan menggunakan sifat lengkap pada ( , ), maka terdapat hingga (


∈

sedemikian

.

Misalkan ( ) ≠ , maka , ( ), ( ) ≤

, ( ), ( ) + 2 ( ,

max

Dengan mengambil limit sepanjang

, ( ), ( ) , ,

)


bahwa G kontinu di setiap variabelnya, diperoleh: , ( ), ( ) ≤ Maka

max

, ( ), ( ) ≤ 2


, ( ), ( ) + , ( ), ( ) , 2 ( , , ) , ( ), ( ) .

< . Maka

= ( ).



67


≠

sedemikian hingga

maka menurut (3.2.54)

( , , )≤

max

[ ( , , ) + ( , , )], 2 ( , , ) ( , , ), 2 ( , , )

Maka ( , , ) ≤

max

Maka ( , , ) ≤

max { ( , , ), 2 ( , , )}

Maka ( , , ) ≤ 2

( , , )

Dengan argumen yang sama diperoleh: ( , , )≤2

( , , )

Sehingga ( , , ) ≤ 4

( , , ).


< ⇒0≤4

Maka

<1

= .

Untuk menunjukkan bahwa T adalah G-kontinu ke

adalah

= , maka:


, misal ( ) ⊆

, ( ), ( ) + , ( ), ( ) , 2 ( , ( ), ( ))

max


, ( ), ( ) ≤ ( , , ) + ( , ( ), ( ))

Berdasarkan sifat (G5) Maka

, ( ), ( ) ≤ max

Maka

, ( ), ( ) + , ( ), ( ) , 2 ( , , )

max

( , , ) + ( , ( ), ( )) + 2 ( , , )

, ( ), ( ) ≤

, ( ), ( ) ,

[ ( , , ) + 2 ( , ( ), ( ))], 2 ( , , )

max


, ( ), ( ) ≤ 2

(kasus 2)

, ( ), ( ) ≤

( , , ) ( , , )=

Maka untuk masing-masing kasus diperoleh lim Sesuai proposisi (3.1.4) maka barisan

→

( , , ) ( , ( ), T( )) = 0


= ( ).



68




( ),

berlaku:

( ) ≤

,

( ),

,

( ),

,

( ),

∈ 0,

dengan

dan semua , , ∈

( ),

max

suatu


Untuk suatu

→

( ) + ( , ( ) + , ( ) + ,

, maka

( ), ( ),

( )) , ( ) ,

( ),

( )

(3.2.58)

∈


dan

G-

kontinu pada . Bukti: Ambil

=

dari pertaksamaan (3.2.58)

Maka pertaksamaan (3.2.58) menjadi ( ),

≤

( ),

max

( )

,

( ),

,

( ),

,

( ),

( ) + ( , ( ) + , ( ) + ,

( ), ( ),

( )) , ( ) ,

( ),

( )

(3.2.59)


( ),

max

( ), ,

( )≤

( ) + ( ), [2 ( , ( ),

,

( ), ( ))]

( ) ,

(3.2.60)

Maka (3.2.60) sama dengan pertaksamaan (3.2.51) pada teorema akibat 3.2.16 Dari teorema akibat 3.2.16, diperoleh sedemikian hingga


( ) = . Tetapi ( ) =

( ) =


∈ ,

( )=

dan karena


G-kontinu pada .



69

Teorema 3.2.19 (Penelitian) Misal ( , ) adalah Ruang Metrik- lengkap, dan misal : pemetaan. Jika


Untuk semua ,

∈

∈ 0,

adalah

berlaku:

( ), ( ), ( ) ≤ dengan

→

, ( ), ( ) + , ( ), ( ) , (3.2.61) 2 ( , ( ), ( ))

max

, maka


∈

dan

G-kontinu

pada . Bukti: Misal

∈



sebarang titik, dan

) dengan

= ( ) = ( )=

(

)

⋮ = (

)=

Maka untuk

( ).

=

,

( )=

=

,

( )=

=

,

( )=

Maka menurut (3.2.61) [ (

Maka (

,

,

)≤

Maka (

,

,

)≤

Berdasarkan (G5) (

(

,

,

,

,

)≤ { (

Maka (

,

,

)≤

=

0≤

, karena

∈ 0,

,

)+ ( , 2 ( , , )

, (

,

, )+ (

, ,

,

)],

)

, )≤ (

,

Maka (

Misal

,

)+ (

, ,

,

,

,

)

)}

)

,

<

1− <1− < 1−

≤1−0

≤1

Karena 0 ≤

< dan < 1 −

≤1 Universitas Indonesia


70

Maka <

<

Maka 0 <

<1

maka 0 <

< 1.


,

)≤

,

,

,

atau ( (

, ,

)≤

(

,

)≤

,

)

,

, (

,

)

,

(

)

,

,

)≤

,

)

, (

)≤

,

atau (

,

= 1,2,3, … ,

Berarti untuk (

(

,

)

,

⋮ dst ),

(

,

≤

atau (

,

,

)≤

Jadi (

,

,

)≤

Maka, untuk semua ,

, , ( ,

∈

,

(

(

),

)

(

)

)

,

<

),

(

(3.2.62)



,

dan ( (

,

,

,

,

,

,

,

,

+ ( dan (

,

,

,

,

,

,

)+ (

)+ (

,

,

)+ (

)+ (

,

,

)+ (

)+ (

,

, ,

,

)+ ( ,

)≤ (

)≤ (

,

,

)≤ (

)≤ (

,

dan ( (

)≤ (

,

,

)

,

)+ (

, ,

,

)

,

)+ (

,

)

,

,

,

)

,

,

)

)

,

)≤ (

)

,

,

,

)

,

⋮ dst (

,

)≤ (

,

,

,

+⋯+ ( dan ( Maka (

, ,

, ,

,

)≤ ( )≤ ( + (

,

)+ ( )+ (

, ,

)+ (

)

, ,

,

,

,

, ,

) + ⋯+ (

)

, )

, ,

,

)



71

Maka (

,

)≤ (

,

,

+ ( Jadi (

,

)≤ (

,

,

+

Maka lim

, )→

Untuk ,

, ∈

,

Maka lim( Jadi (

(

,

,

,

)

)

,

) ( ,

( ,

,

)

,

,

)

(

,

). <1

)=0

,

berdasarkan (G5) diperoleh:

, )≤ (

,

)+ (

,

, )→

(

,

,

, , )→

(

,

,

Karena lim(

,

)

,

=0

→

Maka lim( (

,

= 0 untuk 0 <

→

) +⋯+

+⋯+

( ,

≤

( ,

) +⋯+ (

,

)

, ,

)+ (

, ,

≤(

,

) + ⋯+ (

)+

,

,

+ (

Karena lim

,

( ,

≤

)+ (

,

,

,

)

) = 0 dan lim(

, )→

,

)=0

)=0


Dengan menggunakan sifat lengkap pada ( , ), maka terdapat sedemikian hingga (


∈

.

Misalkan ( ) ≠ , maka , ( ), ( ) ≤

max

( ,

Dengan mengambil limit sepanjang bahwa

,

)+ 2 ( ,

, ( ), ( ) , , ))


kontinu di setiap variabelnya, diperoleh:

, ( ), ( ) ≤

max

, ( ), ( ) ≤

( , , )+ , ( ), ( ) , 2 ( , , )

, ( ), ( ) .


< . Maka

= ( ).


≠

sedemikian hingga

maka

( , , )≤

max

[ ( , , ) + ( , , )], 2 ( , , )

Maka ini mengakibatkan 2 kasus: Universitas Indonesia


72

(kasus 1) ( , , ) ≤ { ( , , ) + ( , , )} (kasus 2) ( , , ) ≤ 2 ( , , ) Karena 0 ≤

< , maka (kasus 2) terpenuhi

Untuk ( kasus 1) ( , , ) ≤ { ( , , ) + ( , , )} Dengan argumen yang sama, diperoleh: ( , , ) ≤ { ( , , ) + ( , , )} Maka ( , , ) ≤ Atau ( , , ) ≤

( , , )+ ( , , ) + ( , , ) ( , , )+

Maka ( , , ) ≤

( , , )+

( , , )+

( , , )

< ⇒0≤


Untuk menunjukkan bahwa

< 1. Maka

adalah G-kontinu ke


( , , )

= . , misal ( ) ⊆

adalah

= , maka: , ( ), ( ) + , ( ), ( ) , 2 ( , ( ), ( ))

max


max

( , , )+ , ( ), ( ) , 2 ( , , )


, ( ), ( ) ≤ 2

(kasus 2)

, ( ), ( ) ≤

( , , ) ( , , )=

Maka untuk masing-masing kasus diperoleh lim Sesuai proposisi (3.1.4) maka barisan Sesuai proposisi (3.1.8) mengakibatkan

→

( , , ) ( , ( ), T( )) = 0


= ( ).


Teorema Akibat 3.2.20 (Penelitian) Misal ( , ) adalah Ruang Metrik- lengkap, dan misal : pemetaan. Jika Untuk suatu

→

adalah


dan untuk semua ,

∈

berlaku:



73

( ), max dengan

( ), ,

∈ 0,

( ) ≤ ( ), ( ) + ( ), 2 ( ,

, maka

,

( ), ( ))

( ) ,


(3.2.64) ∈

dan

G-kontinu

pada . Bukti: Dari teorema 3.2.19, diperoleh sedemikian hingga


( ) = . Tetapi ( ) =

( ) =


∈ , ( )=

dan karena


G-kontinu pada .



BAB 4 KESIMPULAN DAN SARAN 4.1. Kesimpulan Dari hasil pembahasan di Bab 3 diperoleh beberapa kesimpulan, yaitu: 1. Sifat- sifat dari Ruang Metrik- lengkap antara lain: a. Jika ( , , ) = 0 maka

=

=

b.

( , , )≤ ( , , )+ ( , , )

c.

( , , )≤2 ( , , )

d.

( , , )≤ ( , , )+ ( , , )

e.

( , , )≤ ( ( , , )+ ( , , )+ ( , , )

f.

( , , )≤ ( ( , , )+ ( , , )+ ( , , )

g. | ( , , ) − ( , , )| ≤ max{ ( , , ), ( , , )} h. | ( , , ) − ( , , )| ≤ ( , , ) i. | ( , , ) − ( , , )| ≤ max{ ( , , ), ( , , )} j. | ( , , ) − ( , , )| ≤ max{ ( , , ), ( , , )}

2. Syarat cukup agar diperoleh ketunggalan titik tetap untuk pemetaan kontraktif pada Ruang Metrik- lengkap adalah suatu pemetaan pemetaan


lengkap ( , ) untuk : a.

( ( ), ( ), ( )) ≤ dengan

b.

(

c.

d.

( ),

(

( , , )

∈ [0, 1), untuk suatu

∈

( ),

dan untuk setiap , , ∈ .

( , , )

∈ [0, 1), untuk setiap ,

( ),

dengan

jika salah satu dipenuhi;

( , , )

( )) ≤

( ( ), ( ), ( )) ≤ dengan

pada Ruang Metrik-

∈ [0, 1), untuk setiap , , ∈ .

( ),

dengan

→

∈

atau

( )) ≤

∈ [0, 1), untuk suatu

∈ .

( , , ) ∈

dan untuk setiap ,

74


∈ .


75

e.

( ), ( ), ( ) ≤ ( , , ),

, ( ), ( ) , , ( ), ( ) , , ( ), ( ) , , ( ), ( ) , , ( ), ( ) , , ( ), ( ) .

max

∈ 0,

dengan f.

( ),

, ,

⎨ ⎪ ⎩

( ) ≤

( , , ), , ( ), ( ) , ( ), ( ) ,

( ),

, untuk suatu

( ) ( ), ( ),

, ,

( ),

, ∈ 0,

dengan g.

( ),

⎧ ⎪

max

, dan untuk setiap , , ∈ .

( ) ∈

⎫ ( ) ,⎪ ( ) ,⎬ ⎪ ⎭

dan untuk setiap , , ∈ .

( ), ( ), ( ) ≤ ( , , ),

, ( ), ( ) , , ( ), ( ) , , ( ), ( ) , , ( ), ( ) , , ( ), ( ) , , ( ), ( ) .

max

∈ 0,

dengan h.

( ), ⎧ ⎪

max

⎨ ⎪ ⎩

i.

( ), , ,

( ) ≤

( , , ), , ( ), ( ) , ( ), ( ) , ,

∈ 0,

dengan

, untuk setiap , , ∈ .

( ), , ,

( ),

, untuk suatu

( ) ( ), ( ),

( ) , ∈

⎫ ( ) ,⎪ ( ) ,⎬ ⎪ ⎭

dan setiap , , ∈ .

( ), ( ), ( ) ≤ , ( ), ( ) , , ( ), ( ) , ⎫ ⎪ , ( ), ( ) , , ( ), ( ) , max ⎨ ⎬ , ( ), ( ) , , ( ), ( ) , ⎪ ⎪ ⎩ ( , ( ), ( )), ( , ( ), ( )), ( , ( ), ( ))⎭ ⎧ ⎪

dengan

( , , ),

∈ 0,

, dan untuk setiap , , ∈ .



76

j.

( ), ⎧ ⎪ ⎪ max

dengan

k.

⎨ ⎪ ⎪ ⎩

∈ 0,

∈ 0,

( ),

dengan

, untuk suatu

∈

dan untuk setiap , , ∈ . , ( ), ( ) + , ( ), ( ) + , ( ), ( ) +

, ( ), ( ) , , ( ), ( ) , , ( ), ( )

( ) ≤

,

( ),

,

( ),

( ) + ( ) +

,

( ),

( ) +

,

( ),

,

( ), ( ),

, ∈

( ) , ( ) , ( )

dan untuk semua , , ∈ . , ( ), ( ) + , ( ), ( ) + , ( ), ( ) +

max

, ( ), ( ) , , ( ), ( ) , , ( ), ( )

∈ 0, ), untuk semua , , ∈ . ( ),

( ) ≤

,

( ),

,

( ), ( ),

∈ 0,

∈ 0,

( ) + ( ) +

,

( ),

,

( ),

( ) , ( ) ,

( ),

( )

( ) +

, untuk suatu

( ), ( ), ( ) ≤ dengan

( ),

, untuk setiap , , ∈ .

( ),

, dengan

( )

,

max

∈ 0, ), untuk suatu

( ), max

o.

( ),

( ), ( ), ( ) ≤

dengan n.

( , , ), , ( ), ( ) , ( ), ( ) ,

⎫ ( ) ,⎪ ⎪ ( ), ( ) , , , ⎬ ( ), ( ) , ( ), ( ) , ⎪ , , ⎪ ( ), ( ) , ( , ( ), ( )) ⎭ , ,

max

m.

( ) ≤

( ), ( ), ( ) ≤

dengan l.

( ),

max

, ∈

dan setiap , , ∈ . , ( ), ( ) + , ( ), ( ) , 2 ( , ( ), ( ))

, dan untuk semua ,

∈ .



77

p.

(

( ),

( )≤

( ), ( ) + ( ), 2 ( ,

,

max dengan

( ),

∈ 0,

, untuk suatu

( ), ( ), ( ) ≤

q.

dengan

∈ 0,

( ),

r.

dengan

dengan

,

( ),

,

( ),

,

( ),

∈ 0,

∈ 0,

( ),

t.

dengan

∈ .

, ( ), ( ) + ( , ( , ( ), ( ) + , ( , ( ), ( ) + , (

max

∈

), ( )) , ), ( ) , ), ( )

( ), ( ),

( )) , ( ) ,

( ),

( )

dan untuk semua , , ∈ . , ( ), ( ) + , ( ), ( ) , 2 , ( ), ( )

max

, untuk semua ,

∈ .

( ) ≤ ( ), 2

∈ 0,

( ) + ( , ( ) + , ( ) + ,

, untuk suatu

( ), ,

max

dan untuk semua ,

( ) ≤

( ), ( ), ( ) ≤

s.

∈

( ) ,

, untuk semua , , ∈ .

( ),

max

( ), ( ))

,

( ) + ( ), ,

, untuk suatu

∈

,

( ),

( ) ,

( ) dan untuk semua ,

∈ .

4.2. Saran Dari beberapa kesimpulan diatas, perlu adanya penelitian untuk menyelidiki ketunggalan titik tetap pada tipe pemetaan yang lain yaitu pemetaan ekspansif ataupun pada ruang yang lain seperti Ruang Quazy Metrik, Ruang Fuzzy Metrik, dll.



78

DAFTAR REFERENSI H. Obiedat and Z. Mustafa. (2010). Fixed Point Result On A Nonsymmetric GMetric Spaces. Jordan Journal of Mathematics and Statistics (JJMS) (vol.3, no.2, pp. 65-79). Suwarno. (2011). “Teorema Titik Tetap Bersama Dari Pemetaan-Pemetaan Pada Ruang Seragam”. Tesis. Universitas Gajah Mada Yogyakarta. V.S. Pugachev and I.N. Sinitsyn. (1999). Lectures on Functional Analysis and Applications. World Scientific Publishing Co. Pte. Ltd. Singapore. Z. Mustafa and B. Sims. (2006). A New Approach to Generalized Metric Space. Journal of Non Linier and Convex Analysis (vol.7, no. 2,pp.289-297). Z. Mustafa, H. Obiedat and F. Awawdeh. (2008). Some fixed Point Theorem for Mapping on Complete G-Metric Space. Research Article: Fixed Point Theory and Applications (vol. 2008). Hindawi Publishing Corporation. Z. Mustafa and B. Sims. (2009). Fixed Point Theorem for Contractive Mappings in Complete G-Metric Spaces. Research Article: Fixed Point Theory and Applications (vol.2009). Hindawi Publishing Corporation. Z. Mustafa, F. Awawdeh and W. Shatanawi.(2010). Fixed Point Theorem for Expansive Mappings in G-Metric Spaces. Math. Sciences (vol. 5, no. 50, pp.2463 – 2472). Int. J. Contemp.



KETUNGGALAN TITIK TETAP UNTUK PEMETAAN PADA RUANG METRIK-G LENGKAP

Recommend Documents