KATEDRA INFORMATIKY ˇ I´RODOVEˇDECKA ´ FAKULTA PR UNIVERZITA PALACKE´HO
´ RNI´ ALGEBRA LINEA ´ DAGMAR SKALSKA
´N VY´VOJ TOHOTO UCˇEBNI´HO TEXTU JE SPOLUFINANCOVA ´ LNI´M FONDEM A STA ´ TNI´M ROZPOCˇTEM CˇESKE´ REPUBLIKY EVROPSKY´M SOCIA
Olomouc 2006
Abstrakt
Tento text distancˇnı´ho vzdeˇla´va´nı´ navazuje na text Algebra a seznamuje se za´kladnı´mi pojmy linea´rnı´ algebry. Studujı´cı´ se sezna´mı´ s pojmy matice a determinant, s metodami vy´pocˇtu determinantu˚ a inverznı´ch matic. Poslednı´ kapitoly se ty´kajı´ soustav linea´rnı´ch rovnic a jejich rˇesˇenı´
Cı´lova´ skupina
Text je prima´rneˇ urcˇen pro posluchacˇe prvnı´ho rocˇnı´ku bakala´rˇske´ho studijnı´ho programu Aplikovana´ informatika na Prˇ´ırodoveˇdecke´ fakulteˇ Univerzity Palacke´ho v Olomouci. Mu˚zˇe vsˇak slouzˇit komukoliv se za´jmem o linea´rnı´ algebru. Text prˇedpokla´da´ znalosti strˇedosˇkolske´ matematiky a prostudova´nı´ textu Algebra
Obsah Porˇadı´ a permutace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
1.1
Porˇadı´ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
1.2
Permutace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
2
Matice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10
3
Determinanty . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13
4
Vy´pocˇet determinantu pouzˇitı´m Laplaceovy veˇty . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19
5
Algebra matic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
24
5.1
Algebraicke´ operace s maticemi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
24
5.2
Inverznı´ matice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
28
6
Hodnost matice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
7
Vy´pocˇet inverznı´ matice pomocı´ elementa´rnı´ch rˇa´dkovy´ch u´prav . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
40
8
Soustavy linea´rnı´ch rovnic a jejich rˇesˇenı´ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
46
8.1
Soustavy linea´rnı´ch rovnic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
46
8.2
Gaussova eliminacˇnı´ metoda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
49
Za´kladnı´ vlastnosti soustav linea´rnı´ch rovnic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
54
9.1
Frobeniova veˇta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
54
9.2
Cramerovo pravidlo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
56
10 Homogennı´ soustavy linea´rnı´ch rovnic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
60
1
9
Pouzˇita´ oznacˇenı´ N Z S Q R C ∨ ∧ ⇒ ⇔ ∃ ∀
mnozˇina vsˇech prˇirozeny´ch cˇ´ısel mnozˇina vsˇech cely´ch cˇ´ısel mnozˇina vsˇech cely´ch sudy´ch cˇ´ısel mnozˇina vsˇech raciona´lnı´ch cˇ´ısel mnozˇina vsˇech rea´lny´ch cˇ´ısel mnozˇina vsˇech komplexnı´ch cˇ´ısel disjunkce (logicky´ soucˇet), cˇteme „nebo“ konjunkce (logicky´ soucˇin), cˇteme „a soucˇasneˇ“ implikace, cˇteme „jestlizˇe, pak“ ekvivalence, cˇteme „pra´veˇ kdyzˇ“ existencˇnı´ kvantifika´tor, cˇteme „existuje“ vsˇeobecny´ kvantifika´tor, cˇteme „pro vsˇechna“
1
Porˇadı´ a permutace
Studijnı´ cı´le: Po prostudova´nı´ te´to kapitoly se studujı´cı´ sezna´mı´ s pojmy porˇadı´ a permutace, ktery´ch se v dalsˇ´ıch kapitola´ch bude pouzˇ´ıvat Klı´cˇova´ slova: porˇadı´, parita porˇadı´, transpozice, permutace, parita permutace Pru˚vodce studiem Porˇadı´ a permutace majı´ sˇiroke´ uplatneˇnı´ v teorii pravdeˇpodobnosti a ve statistice. Protozˇe permutace na´m budou slouzˇit pouze jako pomocny´ na´stroj ke studiu dalsˇ´ıch algebraicky´ch pojmu˚, omezı´me se pouze na vy´klad nejza´kladneˇjsˇ´ıch vlastnostı´ permutacı´ konecˇne´ mnozˇiny M . Pro zjednodusˇenı´ prˇedpokla´da´me, zˇe mnozˇina M se skla´da´ z prvnı´ch n prˇirozeny´ch cˇ´ısel, M = {1, 2, ..., n}.
1.1
Porˇadı´
Definice 1.1. Necht’ M = {1, 2, ... , n}. Pak libovolna´ usporˇa´dana´ n–tice utvorˇena´ z prvku˚ mnozˇiny M se nazy´va´ porˇadı´ z n prvku˚ 1, 2, ... , n nebo strucˇneˇ porˇadı´. Necht’ R = ˇ ekneme, zˇe dvojice ri , rj je inverze v porˇadı´ R, jestlizˇe (r1 , r2 , ..., rn ) je libovolne´ porˇadı´. R i < j, ri > rj . Porˇadı´, v neˇmzˇ celkovy´ pocˇet inverzı´ je cˇ´ıslo sude´, se nazy´va´ sude´ porˇadı´. Porˇadı´, ve ktere´m je celkovy´ pocˇet inverzı´ cˇ´ıslo liche´, se nazy´va´ liche´ porˇadı´. Hovorˇ´ıme potom o pariteˇ porˇadı´.
inverze veˇtsˇ´ı cˇ´ıslo prˇed mensˇ´ım
Pru˚vodce studiem Pocˇet inverzı´ v dane´m konkre´tnı´m porˇadı´ nejrychleji zjistı´me tak, zˇe bereme odleva jedno cˇ´ıslo po druhe´m a pro kazˇde´ z nich spocˇ´ıta´me, kolik mensˇ´ıch cˇ´ısel stojı´ za nı´m. Secˇtenı´m teˇchto hodnot pak dostaneme celkovy´ pocˇet inverzı´ v dane´m porˇadı´.
Prˇ´ıklad 1.2. Necht’n = 9, potom porˇadı´ (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) je sude´, pocˇet inverzı´ je 0,
sude´ porˇadı´
porˇadı´ (6, 3, 1, 9, 4, 5, 2, 8, 7) je liche´, pocˇet inverzı´ je 15.
liche´ porˇadı´
Definice 1.3. Necht’ R = (r1 , r2 , ..., rn ), S = (s1 , s2 , ..., sn ) jsou dveˇ porˇadı´ a necht’ existujı´ indexy i 6= j tak, zˇe si = rj , sj = ri a da´le sk = rk pro k 6= i, j. Potom rˇekneme, zˇe porˇadı´ S vzniklo z porˇadı´ R provedenı´m jedne´ transpozice. Pru˚vodce studiem Provedenı´ jedne´ transpozice tedy znamena´ za´meˇnu dvou ru˚zny´ch prvku˚ v jednom porˇadı´, prˇicˇemzˇ vsˇechny ostatnı´ prvky zu˚sta´vajı´ na pu˚vodnı´m mı´steˇ.
Prˇ´ıklad 1.4. Porˇadı´ S = (2, 3, 5, 4, 1) vznikla z porˇadı´ R = (2, 5, 3, 4, 1) provedenı´m jedne´ transpozice.
Veˇta 1.5. Necht’n je pevne´ prˇirozene´ cˇ´ıslo, pak platı´: 1. z n prvku˚ lze vytvorˇit celkem n! ru˚zny´ch porˇadı´ 2. vsˇech n! porˇadı´ z n prvku˚ lze serˇadit tak, zˇe kazˇde´ na´sledujı´cı´ porˇadı´ obdrzˇ´ıme z prˇedcha´zejı´cı´ho provedenı´m jedne´ transpozice, lze vyjı´t od libovolne´ho porˇadı´. Du˚kaz. Dokazovat budeme matematickou indukcı´ obeˇ cˇa´sti najednou: Pro n = 1 obeˇ tvrzenı´ trivia´lneˇ platı´. Prˇedpokla´da´me, zˇe obeˇ tvrzenı´ platı´ pro 1, 2, ... ,n − 1 a budeme dokazovat, zˇe platı´ rovneˇzˇ pro n. Necht’(r1 , r2 , ..., rn ) je libovolne´ porˇadı´ z n prvku˚. Podle indukcˇnı´ho prˇedpokladu vsˇech porˇadı´, ktera´ majı´ na poslednı´m mı´steˇ prvek rn je (n − 1)! a lze je serˇadit tak, zˇe na´sledujı´cı´ vznikne z prˇedchozı´ho provedenı´m jedne´ transpozice. V poslednı´m z teˇchto porˇadı´ provedeme transpozici prvku˚ rn a ri (1 ≤ i ≤ n − 1) a stejnou u´vahou jako vy´sˇe dostaneme (n − 1)! porˇadı´ s prvkem ri na poslednı´m mı´steˇ. Takto vystrˇ´ıda´me na poslednı´m mı´steˇ vsˇech n prvku˚, takzˇe dostaneme vsˇechna ru˚zna´ porˇadı´ z n prvku˚, ktery´ch je tedy n(n − 1)! = n!, prˇitom kazˇde´ na´sledujı´cı´ porˇadı´ vzniklo z prˇedchozı´ho provedenı´m jedne´ transpozice. Prˇ´ıklad 1.6. Necht’ n = 3, pak ma´me 3! = 6 porˇadı´ R1 = (1, 2, 3), R2 = (1, 3, 2), R3 = (3, 1, 2), R4 = (3, 2, 1), R5 = (2, 3, 1), R6 = (2, 1, 3) serˇazeny´ch tak, zˇe kazˇde´ na´sledujı´cı´ vzniklo z prˇedchozı´ho provedenı´m jedne´ transpozice. Veˇta 1.7. Provedenı´ jedne´ transpozice zmeˇnı´ paritu porˇadı´. Du˚kaz. Provedeme ve dvou krocı´ch, nejprve pro transpozici sousednı´ch prvku˚ a potom pro transpozici libovolny´ch dvou prvku˚ dane´ho porˇadı´. 1. Necht’ v porˇadı´ R = (r1 , r2 , ..., ri , ri+1 , ..., rn ) je t inverzı´. Provedenı´m transpozice 0 sousednı´ch prvku˚ ri , ri+1 dostaneme porˇadı´ R = (r1 , r2 , ..., ri+1 , ri , ..., rn ), v neˇmzˇ je 0 bud’ t − 1 nebo t + 1 inverzı´, tedy R ma´ opacˇnou paritu nezˇ R. 2. Necht’R = (r1 , r2 , ..., ri , ..., rj , ..., rn ) je dane´ porˇadı´. Provedenı´m transpozice prvku˚ ri 0 a rj dostaneme porˇadı´ R = (r1 , r2 , ..., rj , ..., ri , ..., rn ). Tuto transpozici lze realizovat postupny´m prova´deˇnı´m (j − i) + (j − i − 1) = 2(j − i) − 1 transpozic sousednı´ch prvku˚. 0 Cˇ´ıslo 2(j − i) − 1 je liche´. To znamena´, zˇe porˇadı´ R ma´ opacˇnou paritu nezˇ porˇadı´ R.
Veˇta 1.8. Necht’ n ≥ 2. Potom z celkove´ho pocˇtu n! ru˚zny´ch porˇadı´ z n prvku˚ je a n! ´ ch. 2 lichy
n! 2
sudy´ch
Du˚kaz. Tvrzenı´ plyne z prˇedcha´zejı´cı´ch veˇt. Prˇ´ıklad 1.9. Pro n = 3 jsou porˇadı´ R1 , R3 , R5 suda´ a porˇadı´ R2 , R4 , R6 jsou licha´.
1.2
Permutace
Definice 1.10. Necht’ M = {1, 2, ..., n} je konecˇna´ mnozˇina o n prvcı´ch. Pak bijektivnı´ zobrazenı´ P mnozˇiny M na sebe se nazy´va´ permutace mnozˇiny M nebo kra´tce permutace. Permutaci P definovanou P (it ) = jt pro t = 1, 2, ..., n budeme zapisovat ve formeˇ dvourˇa´dkove´ tabulky tvaru i1 i2 ... in P = j1 j2 ... jn
Pru˚vodce studiem Permutace mnozˇiny M je tedy bijekce M → M , kterou zapisujeme ve tvaru dvourˇa´dkove´ tabulky. To znamena´, zˇe v hornı´m i dolnı´m rˇa´dku te´to tabulky je vzˇdy neˇjake´ porˇadı´ z n prvku˚. Zrˇejmeˇ lze tute´zˇ permutaci P zapsat v uvedene´m tvaru celkem n! forma´lneˇ ru˚zny´mi zpu˚soby, zameˇnı´me-li porˇadı´ sloupcu˚ v tabulce. Vsˇech teˇchto n! za´pisu˚ permutace P je zcela rovnoceny´ch, ale my budeme nejcˇasteˇji pouzˇ´ıvat za´pisu permutace P v za´kladnı´m tvaru 1 2 ... n . i1 i2 ... in
Prˇ´ıklad 1.11. Trˇi forma´lneˇ ru˚zne´ za´pisy te´zˇe permutace mnozˇiny M pro n = 6 1 2 3 4 5 6 2 4 6 1 3 5 6 3 2 4 1 5 , , . 6 5 4 3 2 1 5 3 1 6 4 2 1 4 5 3 6 2 Teˇchto ru˚zny´ch za´pisu˚ stejne´ permutace mu˚zˇe by´t 720. Veˇta 1.12. Pocˇet ru˚zny´ch permutacı´ n–prvkove´ mnozˇiny je roven n! Du˚kaz. Kdyzˇ zapı´sˇeme kazˇdou permutaci v za´kladnı´m tvaru 1 2 ... n , k1 k2 ... kn
permutace v za´kladnı´m tvaru
pak ru˚zny´ch permutacı´ bude prˇesneˇ tolik, kolik je ru˚zny´ch porˇadı´ v dolnı´m rˇa´dku. Teˇch je vsˇak pra´veˇ n!. Prˇ´ıklad 1.13. Ru˚zne´ permutace trˇ´ıprvkove´ mnozˇiny 1 2 3 1 2 3 1 2 3 P3 = P2 = P1 = 2 3 1 2 1 3 1 2 3 P4 =
1 2 3 3 2 1
P5 =
1 2 3 3 1 2
P6 =
1 2 3 1 3 2
parita permutace
Definice 1.14. Permutace P se nazy´va´ suda´ permutace, jestlizˇe soucˇet pocˇtu inverzı´ v hornı´m a dolnı´m ˇra´dku je sude´ cˇ´ıslo. Pokud je soucˇet pocˇtu inverzı´ v hornı´m a dolnı´m rˇa´dku liche´ cˇ´ıslo, nazy´va´ se licha´ permutace. Hovorˇ´ıme potom o pariteˇ permutace. Prˇ´ıklad 1.15. Permutace P1 , P3 , P5 jsou sude´, permutace P2 , P4 , P6 jsou liche´. Pru˚vodce studiem I kdyzˇ danou permutaci P mu˚zˇeme zapsat n! forma´lneˇ ru˚zny´mi tabulkami, je prˇedchozı´ definice korektnı´, protozˇe prˇi libovolne´m za´pisu permutace P je parita hornı´ho a dolnı´ho rˇa´dku bud’ vzˇdy stejna´ nebo vzˇdy rozdı´lna´. Prˇi prˇechodu od jednoho za´pisu permutace P k druhe´mu prova´dı´me vzˇdy jisty´ pocˇet transpozic soucˇasneˇ v hornı´m i dolnı´m rˇa´dku.
Veˇta 1.16. Necht’n ≥ 2, potom z celkove´ho pocˇtu n! ru˚zny´ch permutacı´ n–prvkove´ mnozˇiny je n! ´ ch permutacı´ a n! ´ ch permutacı´. 2 sudy 2 lichy
Du˚kaz. Kazˇdou permutaci zapı´sˇeme v za´kladnı´m tvaru 1 2 ... n k1 k2 ... kn Parita permutace je pak shodna´ s paritou porˇadı´ v dolnı´m rˇa´dku a tvrzenı´ plyne z veˇty 1.8 Shrnutı´ Porˇadı´ je libovolna´ usporˇa´dana´ n-tice utvorˇena´ z n prvkove´ mnozˇiny M = {1, 2, ..., n}. Dvojice prvku˚ v porˇadı´ tvorˇ´ı inverzi, pokud veˇtsˇ´ı z obou cˇ´ısel prˇedcha´zı´ v dane´m porˇadı´ mensˇ´ı. Transpozice je za´meˇna dvou ru˚zny´ch prvku˚ v dane´m porˇadı´. Permutace mnozˇiny M je bijekce mnozˇiny M na mnozˇinu M . Permutaci zapisujeme ve tvaru dvourˇa´dkove´ tabulky. Paritu permutace urcˇ´ıme z parit porˇadı´ v hornı´m a dolnı´m rˇa´dku. Pojmy k zapamatova´nı´ • • • • • •
porˇadı´ parita porˇadı´ inverze transpozice permutace parita permutace
Kontrolnı´ ota´zky 1. Dane´ porˇadı´ je sude´. Jaka´ bude parita porˇadı´, ktere´ dostaneme z dane´ho porˇadı´ provedenı´m trˇ´ı transpozic? 2. Je da´na permutace P . V te´to permutaci provedeme stejnou transpozici v hornı´m i dolnı´m rˇa´dku. Zmeˇnı´ se parita? 3. Je da´na permutace P . V te´to permutaci necha´me hornı´ rˇa´dek beze zmeˇny a provedeme jednu transpozici v dolnı´m rˇa´dku. Zmeˇnı´ se parita permutace? Cvicˇenı´ 1. Urcˇete pocˇet inverzı´ v dane´m porˇadı´ z 9-ti prvku˚ (4,3,5,6,8,9,7,1,2). 2. Urcˇete x a y tak, aby porˇadı´ (9,x,6,5,y,4,7,2,1) bylo liche´. 3. Urcˇete paritu dane´ permutace 1 3 5 2 4 6 . 2 4 6 1 3 5 4. Urcˇete x a y tak, aby permutace
1 2 3 4 5 6 7 2 x 4 6 y 1 7
byla suda´.
´ koly k textu U 1. Utvorˇte vsˇechna porˇadı´ ze 4 prvku˚ tak, zˇe kazˇde´ porˇadı´ obdrzˇ´ıte z prˇedchozı´ho porˇadı´ provedenı´m jedne´ transpozice. Porˇadı´ (1,3,4,2) bude zapsa´no jako prvnı´.
2. Vypisˇte vsˇechny forma´lneˇ ru˚zne´ za´pisy permutace 1 2 3 4 . 1 3 4 2 3. Vypisˇte vsˇechny forma´lneˇ stejne´ za´pisy permutace 1 2 3 4 . 1 3 4 2
ˇ esˇenı´ R 1. 2. 3. 4.
15 x = 8, y = 3 licha´ x = 3, y = 5
2
Matice
Studijnı´ cı´le: Prˇi studiu te´to kapitoly se studujı´cı´ sezna´mı´ s pojmem matice. S maticemi budeme pracovat i v dalsˇ´ıch kapitola´ch. Klı´cˇova´ slova: matice typu m/n, prvky matice, nulova´ matice, cˇtvercova´ matice, matice transponovana´ k dane´ matici Pru˚vodce studiem Jednı´m ze za´kladnı´ch pojmu˚ linea´rnı´ algebry je pojem matice. Matice pouzˇ´ıva´me prˇi rˇesˇenı´ soustav linea´rnı´ch rovnic, prˇi studiu vektorovy´ch prostoru˚ a v cele´ rˇadeˇ dalsˇ´ıch odveˇtvı´ nejen matematiky. Matice majı´ i bohate´ uplatneˇnı´ v informatice. Setka´me se s nimi v algoritmicke´ matematice. Jedna z reprezentacı´ grafu˚ je maticova´ reprezentace.
Definice 2.1. Necht’T je cˇ´ıselne´ teˇleso, m, n prˇirozena´ cˇ´ısla. Pak obde´lnı´kove´ schema tvaru a11 a12 ... a1n a21 a22 ... a2n , A= ... ... ... ... am1 am2 ... amn kde aij ∈ T pro i = 1, 2, ..., m, j = 1, 2, ..., n , se nazy´va´ matice typu m/n nad teˇlesem T . Oznacˇenı´: A = (aij ) typu m/n . Cˇ´ısla aij ∈ T se nazy´vajı´ prvky matice A. Matice A = (aij ) typu m/n a matice B = (bij ) typu p/q jsou si rovny, jestlizˇe jsou stejne´ho typu (p = m ∧ q = n) a je-li aij = bij pro ∀i, j. Pru˚vodce studiem Kazˇdy´ jednotlivy´ rˇa´dek matice A typu m/n nad teˇlesem T mu˚zˇeme uvazˇovat jako usporˇa´danou n–tici prvku˚ (cˇ´ısel) z teˇlesa T , tedy jako vektor vektorove´ho prostoru T n . Ma´ tedy smysl mluvit o scˇ´ıta´nı´ rˇa´dku˚ matice, na´sobenı´ rˇa´dku matice cˇ´ıslem z T , linea´rnı´ kombinaci a linea´rnı´ za´vislosti a neza´vislosti rˇa´dku˚ matice atd. a to ve smyslu operacı´ a pojmu˚ jak byly definova´ny ve vektorove´m prostoru T n . Podobneˇ mu˚zˇeme sloupce matice A typu m/n cha´pat jako vektory vektorove´ho prostoru m T a pracovat s nimi jako s vektory, scˇ´ıtat je, na´sobit cˇ´ıslem, vytva´rˇet jejich linea´rnı´ kombinace, studovat jejich linea´rnı´ za´vislost a neza´vislost.
Prˇ´ıklad 2.2.
1. Matice
2 −1 1 2 1 A = −3 1 0 2
je matice typu 3/3. 2. Matice
B=
je matice typu 5/2.
1 2 5 6 9
3 4 7 8 0
m rˇa´dku˚, n sloupcu˚
Definice 2.3. Necht’A je matice typu m/n nad cˇ´ıselny´m teˇlesem T . Potom 1. je-li aij = 0 pro ∀i, j, matice se nazy´va´ nulova´ matice typu m/n a oznacˇuje se O, 2. je-li m = n, matice A se nazy´va´ cˇtvercova´ matice rˇa´du n, 0
3. matice A typu n/m, ktera´ vznikne z matice A za´meˇnou rˇa´dku˚ za sloupce a11 a21 ... am1 a12 a22 ... am2 0 A = ... ... ... ... a1n a2n ... amn se nazy´va´ transponovana´ matice k matici A. Prˇ´ıklad 2.4.
1. Matice A z prˇ´ıkladu 2.2 je cˇtvercova´ matice rˇa´du 3.
2. Matice transponovana´ k matici A je matice 2 −3 1 0 2 0 . A = −1 1 1 2 3. Matice transponovana´ k matici B je matice 0 1 2 5 6 9 . B = 3 4 7 8 0
Shrnutı´ Matice typu m/n je obde´lnı´kove´ schema s m rˇa´dky a n sloupci. Nulova´ matice je matice, jejı´zˇ prvky jsou same´ nuly. Cˇtvercova´ matice je matice, ktera´ ma´ stejny´ pocˇet rˇa´dku˚ a sloupcu˚. Transponovanou matici k dane´ matici dostaneme za´meˇnou rˇa´dku˚ a sloupcu˚. Pojmy k zapamatova´nı´ • • • •
matice typu m/n nulova´ matice cˇtvercova´ matice matice transponovana´ k dane´ matici
Kontrolnı´ ota´zky 1. Kolik ma´ rˇa´dku˚ a kolik sloupcu˚ matice P typu p/q? 2. Kolik ma´ rˇa´dku˚ a kolik sloupcu˚ matice transponovana´ k matici P typu p/q? Cvicˇenı´ 1.
(a) Urcˇete typ matice
2 3 5 0 A = −1 0 2 1 . 1 1 0 1 0
(b) Urcˇete matici A a jejı´ typ. 2. Zapisˇte matici B typu 5/6, pro jejı´zˇ prvky platı´ bij = i2 − j
stejny´ pocˇet rˇa´dku˚ a sloupcu˚ n rˇa´dku˚ a m sloupcu˚
3. Zapisˇte cˇtvercovou matici C rˇa´du 4, pro jejı´zˇ prvky platı´ vztah cij = i2 − j 2 . Urcˇete matici transponovanou k matici C. 4. Urcˇete a, b, c, d, tak aby platilo a−b−1 a+b+1 a + 2c + 2 2b − d = . c+a d−b c−2 d+1
´ koly k textu U 1. Udejte prˇ´ıklad matice nad R typu 8/3. 2. Udejte prˇ´ıklad cˇtvercove´ matice nad R rˇa´du 4.
ˇ esˇenı´ R
2 −1 1 3 0 1 0 , 4/3 b) A = 5 2 0 0 1 1
1. a) 3/4 2.
B=
3.
0 −1 −2 −3 −4 −5 3 2 1 0 −1 −2 8 7 6 5 4 3 15 14 13 12 11 10 24 23 22 21 20 19
0 3 8 15 0 −3 −8 −15 3 0 5 12 0 −5 −12 , C 0 = −3 C= 8 −8 −5 0 7 5 0 −7 −15 −12 −7 0 15 12 7 0
4. b = −1, d = 0, c = −1, a = −2
3
Determinanty
Studijnı´ cı´le: Ve studovane´ kapitole je zaveden pojem determinant a studujı´cı´ se sezna´mı´ se zpu˚sobem vy´pocˇtu determinantu˚ nizˇsˇ´ıch rˇa´du˚ a jednı´m ze zpu˚sobu˚ vy´pocˇtu determinantu˚ vysˇsˇ´ıch ˇra´du˚. Klı´cˇova´ slova: determinant, cˇlen determinantu Nynı´ se budeme zaby´vat pouze cˇtvercovy´mi maticemi nad pevny´m cˇ´ıselny´m teˇlesem T . Pro tyto matice zavedeme na´sledujı´cı´ pojem: Definice 3.1. Necht’ A = (aij ) je cˇtvercova´ matice rˇa´du n nad cˇ´ıselny´m teˇlesem T . Pak determinant matice A je cˇ´ıslo z teˇlesa T , ktere´ znacˇ´ıme det A, definovane´ vztahem X (−1)I(j1 ,j2 ,...,jn ) a1j1 a2j2 ...anjn , det A =
determinant
(j1 ,j2 ,...,jn )
kde I(j1 , j2 , ..., jn ) znamena´ celkovy´ pocˇet inverzı´ v permutacı´ch 1 2 ... n j1 j2 ... jn
permutace rˇa´dkovy´ch a sloupcovy´ch indexu˚
pouzˇity´ch rˇa´dkovy´ch a sloupcovy´ch indexu˚. Scˇ´ıta´nı´ se prova´dı´ prˇes vsˇechna ru˚zna´ porˇadı´ (j1 , j2 , ..., jn ) sloupcovy´ch indexu˚. Soucˇin (−1)I(j1 ,j2 ,...,jn ) a1j1 a2j2 ...anjn se nazy´va´ cˇlen determinantu . cˇlen determinantu Pru˚vodce studiem Z definice determinantu vyply´va´, zˇe determinant je cˇ´ıslo, ktere´ dostaneme secˇtenı´m n! cˇlenu˚ determinantu. Kazˇdy´ cˇlen determinantu je soucˇin n prvku˚ matice A, prˇitom z kazˇde´ho rˇa´dku a kazˇde´ho sloupce je vybra´n pra´veˇ jeden prvek. Kazˇdy´ cˇlen ma´ zname´nko + nebo - podle toho, jestli permutace vytvorˇena´ z rˇa´dkovy´ch a sloupcovy´ch indexu˚ je suda´ nebo licha´. Musı´me si uveˇdomit za´sadnı´ rozdı´l mezi maticı´ a determinantem. Matice je obde´lnı´kove´ nebo cˇtvercove´ schema, determinant je cˇ´ıslo.
Pozna´mka 3.2. Determinant matice
a11 a12 a21 a22 A= ... ... an1 an2
... a1n ... a2n ... ... ... ann
budeme rovneˇzˇ znacˇit symbolem |A| =
a11 a12 a21 a22 ... ... an1 an2
... a1n ... a2n ... ... ... ann
.
Rozepı´sˇeme si prˇedchozı´ definici pro nejjednodusˇsˇ´ı prˇ´ıpady n = 1, 2, 3. n=1 |a11 | = a11 n=2
a11 a12 a21 a22
= a11 a22 − a12 a21
determinant matice 1.rˇa´du determinant matice 2.rˇa´du
n=3
a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33
= a11 a22 a33 + a21 a32 a13 + a31 a12 a23 −
determinant matice 3.rˇa´du
−a13 a22 a31 − a23 a32 a11 − a33 a12 a21
4 5 = 20 − 15 = 5. Prˇ´ıklad 3.3. 1. det C = 3 5 2 −1 1 2 1 = 8 + 0 − 1 − 2 − 0 − 6 = −1. 2. det A = −3 1 0 2 Pru˚vodce studiem Vy´pocˇet determinantu˚ vysˇsˇ´ıch rˇa´du˚ jen na za´kladeˇ definice determinantu by byl prˇ´ılisˇ zdlouhavy´ a pracny´. V na´sledujı´cı´m textu si uka´zˇeme metody, jak determinanty vysˇsˇ´ıch rˇa´du˚ pocˇ´ıtat. Nejdrˇ´ıve si uvedeme neˇkolik veˇt, ktere´ popisujı´ vlastnosti determinantu˚ a mohou na´m usnadnit jejich vy´pocˇet.
0
Veˇta 3.4. Transponova´nı´m matice A se hodnota determinantu nezmeˇnı´, det A = det A. Du˚kaz. Necht’(j1 , j2 , ..., jn ) je libovolne´ porˇadı´ z n prvku˚. Pak soucˇin a1j1 a2j2 ...anjn se vysky0 tuje pra´veˇ jednou v determinantu det A i v determinantu det A . Tento souc ˇ in je v determinantu 1 2 ... n r . det A vyna´soben cˇ´ıslem (−1) , kde r je pocˇet inverzı´ v permutaci j1 j2 ... jn 0 s V determinantu det A je soucˇin vyna´soben cˇ´ıslem (−1) , kde s je pocˇet inverzı´ v permutaci j1 j2 ... jn . Zrˇejmeˇ r = s a platı´ tedy tvrzenı´ veˇty. 1 2 ... n Veˇta 3.5. Necht’prvky k–te´ho rˇa´dku matice A majı´ tvar ak1 = bk1 + ck1 , ak2 = bk2 + ck2 , ..., akn = bkn + ckn a necht’matice B a C se lisˇ´ı od matice A pouze v prvcı´ch k–te´ho rˇa´dku, prˇicˇemzˇ bk1 , bk2 , ..., bkn je k–ty´ rˇa´dek matice B a ck1 , ck2 , ..., ckn je k–ty´ rˇa´dek matice C, potom det A = det B + det C. Schematicky zapsa´no platı´ a11 ... a1n a11 ... a1n a ... a 11 1n a21 ... a2n a21 ... a2n a21 ... a2n ... ... ... ... ... ... ... ... ... + = bk1 + ck1 ... bkn + ckn bk1 ... bkn ck1 ... ckn ... ... ... ... ... ... ... ... ... a a an1 ... ann n1 ... ann n1 ... ann Du˚kaz. Tvrzenı´ plyne prˇ´ımo z definice determinantu, protozˇe pro kazˇdy´ cˇlen determinantu det A platı´: (−1)I(j1 ,j2 ,...,jn ) · a1j1 · a2j2 · ... · (bkjk + ckjk ) · ... · anjn = = (−1)I(j1 ,j2 ,...,jn ) ·a1j1 ·a2j2 ·...·bkjk ·...·anjn +(−1)I(j1 ,j2 ,...,jn ) ·a1j1 ·a2j2 ·...·ckjk ·...·anjn .
Veˇta 3.6. Necht’matice B vznikne z matice A 1. za´meˇnou dvou ru˚zny´ch rˇa´dku˚, potom je det B = −det A 2. vyna´sobenı´m jednoho rˇa´dku pevny´m cˇ´ıslem t ∈ T , potom det B = t · det A Du˚kaz. 1. Pokud v matici A zameˇnı´me k-ty´ rˇa´dek s r-ty´m rˇa´dkem, kde k 6= r, pak soucˇiny, ktere´ se vyskytujı´ v det A a det B zu˚stanou stejne´. Tyto soucˇiny vsˇak majı´ ru˚zna´ zname´nka, protozˇe permutace 1 ... k ... r ... n 1 ... k ... r ... n , j1 ... jk ... jr ... jn j1 ... jr ... jk ... jn majı´ ru˚znou paritu. Proto platı´ det B = -det A. 2. Plyne prˇ´ımo z definice determinantu, protozˇe vyna´sobenı´m k-te´ho rˇa´dku cˇ´ıslem t ∈ T v matici A dostaneme X det B = (−1)I(j1 ,j2 ,...,jn ) · a1j1 · a2j2 · ... · t · akjk · ... · anjn = =t·
X
(−1)I(j1 ,j2 ,...,jn ) · a1j1 · a2j2 · ... · akjk · ... · anjn = t · det A
Veˇta 3.7. Necht’v matici A 1. jeden rˇa´dek se skla´da´ ze samy´ch nul, potom je det A = 0, 2. dva ru˚zne´ rˇa´dky jsou shodne´, potom je det A = 0, 3. jeden rˇa´dek je t–na´sobkem jine´ho rˇa´dku (t ∈ T libovolne´), potom je det A = 0, 4. jeden rˇa´dek je linea´rnı´ kombinacı´ ostatnı´ch rˇa´dku˚, potom je det A = 0. Du˚kaz. 1. Plyne prˇ´ımo z definice determinantu, protozˇe kazˇdy´ cˇlen determinantu obsahuje nulu. 2. Zameˇnı´me-li ty dva rˇa´dky matice A, ktere´ jsou shodne´, matice A se nezmeˇnı´. Musı´ tedy by´t det A = −det A ⇒ 2 · det A = 0 ⇒ det A = 0 3. Plyne z druhe´ cˇa´sti veˇty 3.6 a druhe´ cˇa´sti veˇty 3.7 4. Kdyzˇ je naprˇ. k-ty´ rˇa´dek linea´rnı´ kombinacı´ ostatnı´ch rˇa´dku˚, mu˚zˇeme det A vyja´drˇit jako soucˇet (n − 1) determinantu˚, ve ktery´ch je k-ty´ rˇa´dek na´sobkem neˇjake´ho jine´ho rˇa´dku. Podle trˇetı´ cˇa´sti veˇty 3.7 je kazˇdy´ z teˇchto determinantu˚ roven nule a det A = 0.
Prˇ´ıklad 3.8. Determinant matice
2 4 5 K = 2 −1 −2 −2 6 9 je nulovy´, protozˇe trˇetı´ rˇa´dek je linea´rnı´ kombinacı´ prvnı´ch dvou.
r3 = r1 − 2.r2
Veˇta 3.9. Hodnota determinantu matice A se nezmeˇnı´, jestlizˇe 1. k jednomu rˇa´dku matice A prˇicˇteme libovolny´ na´sobek jine´ho rˇa´dku, 2. k jednomu rˇa´dku matice A prˇicˇteme libovolnou linea´rnı´ kombinaci ostatnı´ch rˇa´dku˚, 3. jeden rˇa´dek matice A necha´me beze zmeˇny a k ostatnı´m rˇa´dku˚m prˇicˇteme jeho libovolne´ na´sobky. Du˚kaz. Plyne z prˇedcha´zejı´cı´ch veˇt. Pozna´mka 3.10. Z veˇty 3.4 plyne, zˇe k veˇta´m 3.5, 3.6, 3.7 a 3.9 platı´ analogicke´ veˇty, ktere´ dostaneme, kdyzˇ slovo „rˇa´dek“ nahradı´me slovem „sloupec“. Toto lze uplatnit na vsˇechna tvrzenı´ o determinantech matice, ktera´ se ty´kajı´ rˇa´dku˚ matice. Dostaneme tak stejna´ tvrzenı´, ktera´ se ty´kajı´ sloupcu˚. Stejneˇ z tvrzenı´ o determinantech matice, ktera´ se ty´kajı´ sloupcu˚, dostaneme platna´ tvrzenı´, ktera´ se ty´kajı´ rˇa´dku˚. Pru˚vodce studiem Veˇtu 3.9 pouzˇ´ıva´me prˇi konke´tnı´m vy´pocˇtu determinantu. Prˇicˇ´ıta´nı´m vhodny´ch na´sobku˚ jedneˇch rˇa´dku˚ k jiny´m rˇa´dku˚m se snazˇ´ıme upravit matici na takovy´ tvar, ze ktere´ho determinant snadno vypocˇ´ıta´me. Prˇevedeme-li matici na troju´helnı´kovy´ tvar a1 1 a1 2 a1 3 ... a1 n−1 a1 n 0 a2 2 a2 3 ... a2 n−1 a2 n 0 0 a3 3 ... a3 n−1 a3 n , A= ... ... ... ... ... ... 0 0 0 ... an−1 n−1 an−1 n 0 0 0 ... 0 an n je determinant roven soucˇinu prvku˚ na hlavnı´ diagona´le det A = a11 · a22 · ... · ann .
Prˇ´ıklad 3.11. Ma´me vypocˇ´ıtat determinant matice 2 −1 0 3 1 2 A= 3 −3 0 4 2 6 2 −1 0 1 2 −1 0 3 3 1 2 1 2 0 ˇ = 3 · Resˇenı´: det A = 1 −1 0 3 −3 0 3 4 4 2 6 2 6 5 = −3 · = 3 ·
1 −1 0 1 0 4 2 −3 = 3 · 0 1 0 −1 0 6 6 1
1 0 3 5 1 0 = −3 · 1 5
1 −1 0 1 0 1 0 −1 = 3 · 0 4 2 −3 0 6 6 1
1 −1 0 1 0 1 0 −1 = 3 · 1 · 1 · 2 · 4 = 24. 0 0 2 1 0 0 0 4
1 −1 0 1 3 1 2 0 = 2 −1 0 1 4 2 6 5
1 −1 0 1 0 1 0 −1 = 0 0 2 1 0 0 6 7
Postup vy´pocˇtu: 1. ze 3. rˇa´dku jsme vytkli cˇ´ıslo 3 2. zameˇnili jsme 1. a 3. rˇa´dek, tı´m se zmeˇnilo zname´nko determinantu 3. od 2. rˇa´dku jsme odecˇetli trˇ´ına´sobek 1. rˇa´dku od 3. rˇa´dku jsme odecˇetli dvojna´sobek 1. rˇa´dku od 4. rˇa´dku jsme odecˇetli cˇtyrˇna´sobek 1. rˇa´dku 4. zameˇnili jsme 2. a 3.rˇa´dek, zmeˇnilo se zname´nko determinantu 5. od 3. rˇa´dku jsme odecˇetli cˇtyrˇna´sobek 2. rˇa´dku od 4. rˇa´dku jsme odecˇetli sˇestina´sobek 2. rˇa´dku 6. od 4. rˇa´dku jsme odecˇetli trˇ´ına´sobek 3. rˇa´dku 7. vypocˇ´ıtali jsme determinant jako soucˇin prvku˚ v hlavnı´ diagona´le Podobneˇ mu˚zˇeme vypocˇ´ıtat determinant prˇevedenı´m na troju´helnı´kovy´ tvar pouzˇitı´m sloupcovy´ch u´prav Shrnutı´ Cˇlen determinantu je soucˇin n prvku˚ matice, kdyzˇ z kazˇde´ho rˇa´dku a kazˇde´ho sloupce je vybra´n pra´veˇ jeden prvek; zname´nko cˇlenu urcˇ´ıme podle parity permutace sestavene´ z rˇa´dkovy´ch a sloupcovy´ch indexu˚. Determinant je soucˇet n! cˇlenu˚ determinantu. Jeden ze zpu˚sobu˚ vy´pocˇtu determinantu je prˇevedenı´ matice pomocı´ rˇa´dkovy´ch nebo sloupcovy´ch u´prav na troju´helnı´kovy´ tvar a vypocˇtenı´ soucˇinu prvku˚ v hlavnı´ diagona´le. Pojmy k zapamatova´nı´ • determinant • cˇlen determinantu Kontrolnı´ ota´zky 1. Matici B dostaneme z matice A za´meˇnou 1. a 3. rˇa´dku a 2. a 4. rˇa´dku. Jaky´ je vztah mezi det B a det A? 2. Pro rˇa´dky matice C platı´, zˇe 4. rˇa´dek je rozdı´l druhe´ho a pa´te´ho rˇa´dku. Cˇemu je roven determinant matice C? 3. Jak znı´ veˇty 3.5, 3.6, 3.7 a 3.9 pro sloupce? 4. Mu˚zˇe mı´t determinant cˇtvercove´ matice A (nad R) pra´veˇ 16 cˇlenu˚? Cvicˇenı´ 1. Rozhodneˇte, zda se soucˇin a31 · a43 · a14 · a52 · a66 · a25 vyskytuje v determinantu matice A = (aij ) rˇa´du 6 a s jaky´m zname´nkem. 2. Uved’te vsˇechny cˇleny determinantu dane´ matice A = (aij ) rˇa´du 4, ktere´ obsahujı´ prvky a12 · a34 . 3. Vypocˇ´ıtejte determinant matice 2 −2 3 1 −1 . A= 3 1 2 1
4. Urcˇete x, pro ktere´ platı´ det Q = 2, kde Q je matice 1 x 0 Q = −2 x 1 . −1 2 x 5. Vypocˇteˇte determinant cos (φ) sin (ψ) −r sin (φ) sin (ψ) r cos (φ) cos (ψ) J(r, φ, ψ) = sin (φ) sin (ψ) r cos (φ) sin (ψ) r sin (φ) cos (ψ) cos (ψ) 0 −r sin (ψ)
6. Vypocˇ´ıtejte determinant matice
1 3 2 4 a) A = 1 2 1 0
5 6 0 2
7 8 3 1
b) B =
1 2 −1 1 2
3 5 −3 −1 5 6 −4 −2 2 −3 5 1 0 −6 0 1 1 0 2 2
´ koly k textu U 1. Uved’te prˇ´ıklad cˇtvercove´ matice A nad R takove´, zˇe det A ma´ pra´veˇ 24 cˇlenu˚. 2. Uved’te prˇ´ıklad cˇtvercove´ matice rˇa´du 4 nad R, jejı´zˇ vsˇechny prvky jsou nenulove´, ale det A = 0. √ 3. Necht’A je matice rˇa´du 5 nad R a necht’det A =√ 3. Necht’matice B vznikne z matice A tak, zˇe kazˇdy´ jejı´ prvek vyna´sobı´me cˇ´ıslem − 5. Uved’te, cˇemu se rovna´ det B.
ˇ esˇenı´ R 1. 2. 3. 4. 5. 6.
ano, dveˇ rˇesˇenı´: +a12 · a34 · a21 · a43 , −a12 · a34 · a23 · a41 det A = 29 dveˇ rˇesˇenı´ x1 = 43 , x2 = −1 − sin (ψ) r2 a) det A = 12 b) det B = -336
4
Vy´pocˇet determinantu pouzˇitı´m Laplaceovy veˇty
Studijnı´ cı´le: V te´to kapitole se studujı´cı´ sezna´mı´ s dalsˇ´ım zpu˚sobem vy´pocˇtu hodnoty determinantu a porˇebny´mi pojmy submatice, minor a algebraicky´ doplneˇk. Klı´cˇova´ slova: submatice, minor, doplnˇkova´ submatice, doplneˇk minoru, algebraicky´ doplneˇk minoru a algebraicky´ doplneˇk prvku Definice 4.1. Necht’ A = (aij ) je cˇtvercova´ matice rˇa´du n, necht’ je zvoleno k jejı´ch rˇa´dku˚ a sloupcu˚ (k < n) a to 1 ≤ i1 < i2 < ... < ik ≤ n, 1 ≤ j1 < j2 < ... < jk ≤ n. Pak matice ai1 j1 ai1 j2 ... ai1 jk ai2 j1 ai2 j2 ... ai2 j k M = ... ... ... ... aik j1 aik j2 ... aik jk se nazy´va´ submatice matice A urcˇena´ rˇa´dky i1 , i2 , ..., ik a sloupci j1 , j2 , ..., jk . Jejı´ determinant det M se nazy´va´ minor nebo subdeterminant rˇa´du k matice A. Zby´vajı´cı´mi n − k rˇa´dky a n − k sloupci je urcˇena submatice M matice A, ktera´ se nazy´va´ doplnˇkova´ submatice k matici M a jejı´ minor det M se nazy´va´ doplneˇk minoru det M . Oznacˇme sM = i1 + i2 + ... + ik + j1 + j2 + ... + jk . Pak cˇ´ıslo (−1)sM · det M se nazy´va´ algebraicky´ doplneˇk minoru det M . Prˇ´ıklad 4.2. Je da´na cˇtvercova´ matice A rˇa´du 5 nad teˇlesem R 1 4 6 9 −1 2 3 0 −2 −3 0 1 A= 1 0 −1 . 0 1 2 −3 4 −1 2 0 5 2 Zvolı´me i1 = 1, i2 = 3, i3 = 5, j1 = 2, j2 = 3, j3 = 5, pak submatice urcˇena´ prvnı´m, trˇetı´m a pa´ty´m rˇa´dkem a druhy´m, trˇetı´m a pa´ty´m sloupcem ma´ tvar
4 6 −1 1 , minor je det M = 2. M = 0 −1 2 0 2 Doplnˇ kova´ submatice k submatici M je 2 −2 M= , doplneˇk je det M = −6. 0 −3 sM = 1 + 3 + 5 + 2 + 3 + 5 = 19 , algebraicky´ doplneˇk minoru det M je det M = (−1) · (−6) = 6. Veˇta 4.3. Necht’A je cˇtvercova´ matice rˇa´du n, necht’det M je minor rˇa´du k matice A (k < n). Pak soucˇin libovolne´ho cˇlenu minoru det M s libovolny´m cˇlenem jeho algebraicke´ho doplnˇku je cˇlenem determinantu det A. Du˚kaz. Najdete v literaturˇe, naprˇ.[Hor91] Veˇta 4.4 (Laplaceova). Necht’A = (aij ) je cˇtvercova´ matice rˇa´du n, necht’jepevne ˇ zvoleno n k rˇa´dku˚ matice A, kde 0 < k < n. Pak determinant det A je roven soucˇtu vsˇech soucˇinu˚ k minoru˚ rˇa´du k vybrany´ch ze zvoleny´ch k rˇa´dku˚ s jejich algebraicky´mi doplnˇky. n Du˚kaz. Ze zvoleny´ch rˇa´dku˚ lze vybrat minor ru˚zny´mi zpu˚soby. Podle prˇedchozı´ veˇty k je soucˇin cˇlenu takove´ho minoru s cˇlenem jeho algebraicke´ho doplnˇku cˇlenem determinantu
k rˇa´dku˚, k sloupcu˚
det A. Takto zı´ska´me zrˇejmeˇ navza´jem ru˚zne´ cˇleny. Stacˇ´ı nynı´ doka´zat, zˇe tı´mto zpu˚sobem dostaneme vsˇechny cˇleny determinantu det A, ktery´ch je n!. Kaz ˇ dy´ minor rˇa´du k ma´ k! cˇlenu˚, n kazˇdy´ jeho algebraicky´ doplneˇk ma´ (n − k)! cˇlenu˚ a minoru˚ je . Odtud dostaneme k n! n k!(n − k)! = k!(n − k)! = n! k k!(n − k)!
Pozna´mka 4.5. 1. Laplaceova veˇta se take´ neˇkdy nazy´va´ „Veˇta o rozvoji determinantu podle zvoleny´ch rˇa´dku˚ “. 2. Podle veˇty 3.4 z prˇedcha´zejı´cı´ kapitoly platı´ analogicka´ veˇta k Laplaceoveˇ veˇteˇ zformulovana´ pro sloupce. Pru˚vodce studiem Prakticky´ vy´znam Laplaceovy veˇty spocˇ´ıva´ v tom, zˇe vy´pocˇet determinantu urcˇite´ho rˇa´du n se prˇevede na vy´pocˇet jiste´ho pocˇtu determinantu˚ matic rˇa´du mensˇ´ıho nezˇ n.
Prˇ´ıklad 4.6. Pouzˇitı´m Laplaceovy veˇty vypocˇ´ıta´me determinant matice 2 −1 0 1 3 1 2 0 A= 3 −3 0 3 . 4 2 6 5 Rˇesˇenı´:Vy´pocˇet provedeme rozvinutı´m podle 1. a 3. rˇa´dku (prˇi prakticke´m vy´pocˇtu je vy´hodne´ volit ˇra´dky, ve ktery´ch se vyskytuje pokud mozˇno hodneˇ nul). 2 −1 0 1 3 1 2 0 2 −1 2 0 1+3+1+2 det A = + = 3 −3 · 6 5 · (−1) 3 −3 0 3 4 2 6 5 2 0 1 0 2 1 1 2 1+3+1+3 · (−1)1+3+1+4 + + · · (−1) + · 3 0 2 5 3 3 2 6 −1 1 3 2 −1 0 3 0 1+3+2+3 · (−1)1+3+2+4 + · · (−1) + + · −3 3 4 6 −3 0 4 5 0 1 3 1 · (−1)1+3+3+4 = −3 · 10 · (−1) + 0 · 5 · 1 + 3 · 2 · (−1) + 0 · 15 · (−1)+ + · 0 3 4 2 +0 · 10 · 1 + 0 · 2 · (−1) = 30 + 0 − 6 + 0 + 0 + 0 = 24 Definice 4.7. Necht’A = (aij ) je cˇtvercova´ matice rˇa´du n. Pak algebraicky´ doplneˇk jednoprvkove´ submatice, ktera´ se skla´da´ z prvku aij se nazy´va´ algebraicky´ doplneˇk prvku aij a oznacˇuje se Aij . Prˇ´ıklad 4.8. V matici
2 −1 0 1 3 1 2 0 A= 3 −3 0 3 4 2 6 5
je algebraicky´m doplnˇkem prvku a43 = 6 hodnota 2 −1 1 1 0 = −(6 − 9 + 0 − 3 − 0 + 9) = −3. A43 = (−1)4+3 · 3 3 −3 3 Veˇta 4.9. Necht’ A = (aij ) je cˇtvercova´ matice rˇa´du n, necht’ i je pevneˇ zvoleny´ rˇa´dkovy´ a j sloupcovy´ index. Pak platı´
rozvoj podle i–te´ho rˇa´dku
det A = ai1 · Ai1 + ai2 · Ai2 + ... + ain · Ain rozvoj podle j–te´ho sloupce
det A = a1j · A1j + a2j · A2j + ... + anj · Anj Du˚kaz. Jedna´ se vlastneˇ o tvrzenı´ Laplaceovy veˇty pro k = 1. Prˇ´ıklad 4.10. Vypocˇ´ıta´me determinant matice 2 −1 3 1 A= 3 −3 4 2 1. rozvojem podle 1.rˇa´dku det A = 3 2 0 1+2 −1 · (−1) · 3 0 3 4 6 5
0 2 0 6
1 0 3 5
2 −1 0 1 1 2 0 3 1 2 0 = 2 · (−1)1+1 · −3 0 3 − 3 −3 0 3 2 6 5 4 2 6 5 3 1 0 1+3 + 0 · (−1) 3 −3 3 · 4 2 5
3 1 2 1+4 + 1 · (−1) 3 −3 0 · 4 2 6
=
= 2 · 24 + 1 · (−60) + 0 · (−66) − 1 · (−36) = 48 − 60 + 36 = 24 2. rozvojem podle 3.sloupce 2 −1 0 1 3 1 0 3 1 2 0 1+3 = 0 · (−1) 3 −3 3 det A = · 3 −3 0 3 4 2 5 4 2 6 5
2 −1 1 2+3 + 2 · (−1) · 3 −3 3 4 2 5
+
2 −1 1 2 −1 1 1 0 + 6 · (−1)4+3 · 3 1 0 = −2 · (−21) − 6 · 3 = 24 +0 · (−1)3+3 · 3 3 −3 3 4 2 5
Shrnutı´ Submatice M k-te´ho rˇa´du matice A je matice tvorˇena´ k rˇa´dky a k sloupci matice A. Minor rˇa´du k matice A je determinant submatice k-te´ho rˇa´du matice A. Algebraicky´ doplneˇk je determinant submatice vytvorˇene´ zby´vajı´cı´mi n − k rˇa´dky a n − k sloupci matice A s prˇ´ıslusˇny´m zname´nkem. Laplaceova veˇta na´m rˇ´ıka´, jak vypocˇ´ıtat determinant pomocı´ minoru˚ k-te´ho rˇa´du a prˇ´ıslusˇny´ch algebraicky´ch doplnˇku˚.
Pojmy k zapamatova´nı´ • • • • • • • •
submatice rˇa´du k minor rˇa´du k doplnˇkova´ submatice doplneˇk minoru algebraicky´ doplneˇk minoru algebraicky´ doplneˇk prvku rozvoj podle i-te´ho rˇa´dku rozvoj podle j-te´ho sloupce
Kontrolnı´ ota´zky 1. 2. 3. 4.
Jak si odpovı´dajı´ pojmy submatice matice A a doplnˇkova´ submatice matice A? Je doplneˇk minoru matice nebo cˇ´ıslo? Procˇ se Laplaceoveˇ veˇteˇ rˇ´ıka´ rovneˇzˇ veˇta o rozvoji determinantu podle zvoleny´ch rˇa´dku˚? Mu˚zˇeme najı´t matici A rˇa´du 3 (nad R) takovou, zˇe det A6= 0 a vsˇechny minory 2.rˇa´du v matici A jsou nulove´?
Cvicˇenı´ 1. Je da´na matice
A=
1 3 −2 4 5 2 −1 0 −2 1 3 1 0 −1 −3 . 1 −1 0 −1 1 4 1 2 1 3
Urcˇete submatici te´to matice urcˇenou 1., 3.a 4. rˇa´dkem a 2., 4.a 5.sloupcem, prˇ´ıslusˇny´ minor, doplnˇkovou submatici, doplneˇk a algebraicky´ doplneˇk. 2. Rozvojem podle 2. rˇa´dku vypocˇ´ıtejte determinant matice 1 3 0 −1 x y z w . A= 2 4 1 0 3 0 1 2 3. Rozvojem podle 3. sloupce vypocˇ´ıtejte determinant matice 1 2 x −1 2 0 y 1 B= 0 3 z −2 . 3 2 w 1 4. Rozvojem podle 2. a 3. rˇa´dku vypocˇ´ıtejte determinant matice 1 3 −1 2 1 a 0 b 0 c 0 e 0 C= 0 d . 3 2 1 1 2 −1 1 0 1 −1 5. Vypocˇ´ıtejte determinant matice K=
2 1 0 0 0
3 2 1 0 0
0 3 2 1 0
0 0 3 2 1
0 0 0 3 2
´ koly k textu U 1. Necht’A je matice rˇa´du 6 nad R a necht’jsou pevneˇ zvoleny 3 jejı´ sloupce. Uved’te, kolik submatic ˇra´du 3 lze ze zvoleny´ch sloupcu˚ vybrat. Ukazˇte na prˇ´ıkladeˇ. 2. Uved’te prˇ´ıklad matice A rˇa´du 3 nad R takove´, zˇe det A = 0 a vsˇechny minory rˇa´du 2 matice A jsou nenulove´ 3. Necht’A je cˇtvercova´ matice rˇa´du 7 (nad R). Sestrojte vsˇechny submatice rˇa´du 5, ktere´ obsahujı´ 1., 2., 5., 6. a 7. rˇa´dek matice A. Kolik jich je?
ˇ esˇenı´ R
3 4 5 1. submatice: 1 −1 −3 , minor: -14, −1 −1 1 2 0 doplnˇkova´ submatice: , doplneˇk: 4, algebraicky´ doplneˇk: -4 4 2 2. det A = −8z + 7w − 2x + 3y 3. det B = −4y + w − 4z + 5x 4. det C = −3bd − 7dc + 4be + 9ce − 8ae + 6ad 5. det K = −10
5
Algebra matic
Studijnı´ cı´le: V te´to kapitole se vra´tı´me k obde´lnı´kovy´m maticı´m typu m/n nad pevny´m cˇ´ıselny´m teˇlesem T . Definujeme operace scˇ´ıta´nı´ matic, na´sobenı´ matice cˇ´ıslem z teˇlesa T a na´sobenı´ matic. Studujı´cı´ se rovneˇzˇ sezna´mı´ s pojmem jednotkova´ matice a inverznı´ matice a jednı´m ze zpu˚sobu˚ vy´pocˇtu inverznı´ matice. Klı´cˇova´ slova: soucˇet matic, soucˇin cˇ´ısla a matice, soucˇin matic, jednotkova´ matice, regula´rnı´ matice, singula´rnı´ matice, matice inverznı´, matice adjungovana´
5.1
Algebraicke´ operace s maticemi
Definice 5.1. Necht’A = (aij ), B = (bij ) jsou matice typu m/n, t ∈ T libovolne´. Pak platı´: 1. Matice A + B = (cij ) typu m/n definovana´ cij = aij + bij
pro
i = 1, 2, ..., m,
j = 1, 2, ..., n
se nazy´va´ soucˇet matic A, B. 2. matice t · A = (dij ) typu m/n definovana´ dij = t · aij
pro
i = 1, 2, ..., m,
j = 1, 2, ..., n
se nazy´va´ soucˇin cˇ´ısla t s maticı´ A. Pru˚vodce studiem Soucˇet matic je definova´n pouze pro matice stejne´ho typu, prˇicˇemzˇ scˇ´ıta´me odpovı´dajı´cı´ si prvky obou matic. Prˇi soucˇinu cˇ´ısla a matice na´sobı´me tı´mto cˇ´ıslem kazˇdy´ prvek dane´ matice.
Prˇ´ıklad 5.2. Jsou da´ny matice
2 4 −2 −3 0 2 0 −1 , B = −5 3 4 A= 3 5 −3 1 −1 1 6
Ma´me vypocˇ´ıtat matici 4 · A + 3 · B. Rˇesˇenı´:
8 16 −8 −9 0 6 −1 16 −2 0 −4 + −15 9 12 = −3 9 8 4 · A + 3 · B = 12 20 −12 4 −3 3 18 17 −9 22 Veˇta 5.3. Secˇ´ıta´nı´ matic je komutativnı´ A+B =B+A a asociativnı´ A + (B + C) = (A + B) + C.
matice musı´ by´t stejne´ho typu
Du˚kaz. Obeˇ tvrzenı´ plynou prˇ´ımo z komutativnosti a asociativnosti scˇ´ıta´nı´ cˇ´ısel cˇ´ıselne´ho teˇlesa T . Definice 5.4. Necht’ A = (aij ) je matice typu m/n, B = (bij ) je matice typu n/p, obeˇ nad cˇ´ıselny´m teˇlesem T . Pak matice A · B = (cij ) typu m/p, kde cij =
n P
aik · bkj
pro
i = 1, ..., m,
j = 1, ..., p
k=1
se nazy´va´ soucˇin matic A, B (v tomto porˇadı´). Pru˚vodce studiem Soucˇin matic je definova´n pro matice, ve ktery´ch druha´ matice ma´ stejny´ pocˇet rˇa´dku˚ jako prvnı´ sloupcu˚. Prvky vy´sledne´ matice dostaneme jako soucˇet soucˇinu˚ prvku˚ na prˇ´ıslusˇne´m ˇra´dku prvnı´ matice s prvky v odpovı´dajı´cı´m sloupci druhe´ matice.
Prˇ´ıklad 5.5. Jsou da´ny matice 1 2 3 0 2 1 −1 3 . 2 1 −2 0 , B = A= 0 4 1 −1 0 2 1 −1
Ma´me vypocˇ´ıtat jejich soucˇin A · B. Rˇesˇenı´: Matice B ma´ tolik rˇa´dku˚ jako matice A sloupcu˚. Soucˇin matic A · B je tedy definova´n. Vy´sledna´ matice bude matice typu 3/2. 3 · 1 + 0 · (−1) + 2 · 0 + 1 · 1 3 · 2 + 0 · 3 + 2 · 4 + 1 · (−1) 4 13 A·B = 2 · 1 + 1 · (−1) + (−2) · 0 + 0 · 1 2 · 2 + 1 · 3 + (−2) · 4 + 0 · (−1) = 1 −1 1 · 1 + (−1) · (−1) + 0 · 0 + 2 · 1 1 · 2 + (−1) · 3 + 0 · 4 + 2 · (−1) 4 −3 Pru˚vodce studiem Prˇi na´sobenı´ matic za´lezˇ´ı na jejich porˇadı´. Na prˇedcha´zejı´cı´m prˇ´ıkladeˇ je videˇt, zˇe soucˇin A · B je definova´n, ale soucˇin B · A definova´n nenı´. Ale i v prˇ´ıpadeˇ, zˇe je definova´no A · B i B · A (cˇtvercove´ matice te´hozˇ rˇa´du), tak obecneˇ neplatı´ A · B = B · A. Na´sobenı´ matic tedy nenı´ obecneˇ komutativnı´.
Prˇ´ıklad 5.6. Jsou da´ny cˇtvercove´ matice 3. rˇa´du 1 0 −1 1 3 2 0 , B = −1 0 2 A= 3 1 0 2 4 1 −1 0
0 4 2 10 7 7 9 8 6= −1 4 9 =B·A A·B = 2 2 −4 4 −2 −1 −1 Veˇta 5.7. Na´sobenı´ matic je asociativnı´, tj. necht’matice A je typu m/n, B je typu n/p a C je typu p/q. Pak platı´ A · (B · C) = (A · B) · C
A · B 6= B · A
Du˚kaz. Necht’ platı´ prˇedpoklady veˇty, prˇicˇemzˇ A = (aij ), B = (bij ), C = (cij ). Potom matice A · B = (dij ) je typu m/p, kde n X dij = aik · bkj . k=1
Matice (A · B) · C = (fij ) je typu m/q, kde fij =
p X
div · cvj =
p X n X
aiu · buv · cvj .
v=1 u=1
v=1
Soucˇin za sumacˇnı´mi znaky nemusı´me za´vorkovat, protozˇe se jedna´ o na´sobenı´ cˇ´ısel z cˇ´ıselne´ho teˇlesa T , pro ktere´ platı´ asociativnı´ za´kon. Podobneˇ B · C = (gij ) je typu n/q, kde gij =
p X
biv · cvj .
v=1
Matice A · (B · C) = (hij ) je matice typu m/q, kde hij =
n X
aiu · guj =
u=1
n X
aiu ·
u=1
p X
buv · cvj =
v=1
p X n X
aiu · buv · cvj = fij .
v=1 u=1
Odtud jizˇ plyne dokazovana´ rovnost. Veˇta 5.8. Na´sobenı´ matic je distributivnı´ vzhledem ke scˇ´ıta´nı´ matic, to je: 1. Necht’matice A je typu m/n, matice B a C jsou typu n/p, potom platı´ A · (B + C) = A · B + A · C. 2. Necht’matice F a G jsou typu m/n a matice H je typu n/p, potom platı´ (F + G) · H = F · H + G · H.
distributivnı´ za´kon pro na´sobenı´ zleva distributivnı´ za´kon pro na´sobenı´ zprava
Du˚kaz. 1. Necht’A = (aij ) je typu m/n, B = (bij ) a C =(cij ) jsou matice typu n/p. Potom matice A · (B + C) = (dij ) je matice typu m/p, kde dij =
n X
aik · (bkj + ckj ).
k=1
Matice A · B + A · C = (fij ) je matice typu m/p a platı´ fij =
n X
aik · bkj +
k=1
n X k=1
aik · ckj =
n X
aik · (bkj + ckj ) = dij .
k=1
Dohromady platı´ 1. 2. Doka´zˇeme podobneˇ jako 1.
Definice 5.9. Cˇtvercova´ matice rˇa´du n nad teˇlesem T tvaru 1 0 0 ... 0 0 0 1 0 ... 0 0 0 0 1 ... 0 0 En = ... ... ... ... ... ... 0 0 0 ... 1 0 0 0 0 ... 0 1 se nazy´va´ jednotkova´ matice rˇa´du n.
jednicˇky v hlavnı´ diagona´le, jinde same´ nuly
Prˇ´ıklad 5.10.
1 0 0 E3 = 0 1 0 0 0 1
Veˇta 5.11. Necht’A = (aij ) je matice typu m/n, B = (bij ) je matice typu n/p. Pak platı´ 0
0
(A · B) = B · A
0
0
Du˚kaz. Matice (A · B) = (cij ) je typu p/m, kde cij =
n X
ajk · bki .
k=1 0
0
Matice B · A = (dij ) je typu p/m, kde dij =
n X k=1
bki · ajk =
n X
ajk · bki = cij .
k=1
Tedy platı´ dokazovana´ rovnost. Veˇta 5.12 (Cauchyho). Necht’A = (aij ), B = (bij ) jsou cˇtvercove´ matice rˇa´du n. Pak platı´ det (A · B) = det A · det B Du˚kaz. Uvazˇujeme cˇtvercovou matici H rˇa´du 2n tvaru a11 a12 ... a1n 0 ... ... ... ... ... an1 an2 ... ann 0 H= −1 0 ... 0 b11 0 −1 ... 0 b21 ... ... ... ... ... 0 0 ... −1 bn1
0 ... 0 b12 b22 ... bn2
... 0 ... ... ... 0 ... b1n ... b2n ... ... ... bnn
Uzˇitı´m Laplaceovy veˇty rozvinutı´m podle prvnı´ch n rˇa´dku˚ dostaneme det H = det A · det B Nynı´ k (n + j)-te´mu sloupci matice H prˇicˇteme b1j -kra´t 1. sloupec + b2j -kra´t 2. sloupec + ... + bnj -kra´t n-ty´ sloupec, j = 1, 2, ..n. Dostaneme tak matici a11 a12 ... a1n c11 c12 ... c1n ... ... ... ... ... ... ... ... an1 an2 ... ann cn1 cn2 ... cnn 0 0 ... 0 K= −1 0 ... 0 , 0 −1 ... 0 0 0 ... 0 ... ... ... ... ... ... ... ... 0 0 ... −1 0 0 ... 0 ve ktere´ cij = ai1 · b1j + ai2 · b2j + ... + ain · bnj =
n X
aik · bkj ,
i, j = 1, 2, ..., n.
k=1
Tedy (cij ) = A · B. Rozvinutı´m podle poslednı´ch n sloupcu˚ matice K dostaneme det K = det(A·B)·(−1)n ·(−1)1+...+n+(n+1)+...+2n = det(A·B)·(−1)2·n·(n+1) = det(A·B). ´ pravy, ktery´mi jsme prˇevedli matici H na matici K, nemeˇnı´ hodnotu determinantu a tedy U det H = det K. Odtud dostaneme det A· det B =det(A · B).
determinant soucˇinu matic je roven soucˇinu determinantu˚ teˇchto matic
Definice 5.13. Cˇtvercova´ matice A se nazy´va´ regula´rnı´ matice, je-li det A 6= 0, singula´rnı´ matice, je-li det A = 0. Prˇ´ıklad 5.14. Matice
2 0 1 R = −1 2 0 0 1 1
je regula´rnı´, protozˇe det R = 3 6= 0. Veˇta 5.15. Necht’A, B jsou cˇtvercove´ matice stejne´ho rˇa´du n. Pak platı´: matice A · B je regula´rnı´ ⇐⇒ obeˇ matice A i B jsou regula´rnı´. Du˚kaz. Plyne prˇ´ımo z definice regula´rnı´ matice a veˇty 5.12.
5.2
Inverznı´ matice
Definice 5.16. Necht’A je cˇtvercova´ matice rˇa´du n. Matice X s vlastnostı´ A · X = En ∧ X · A = En (pokud takova´ existuje) se nazy´va´ inverznı´ matice k matici A a oznacˇuje se A−1 Pru˚vodce studiem Je-li matice A rˇa´du n, je matice A−1 rovneˇzˇ rˇa´du n.
Definice 5.17. Necht’A = (aij ) je cˇtvercova´ matice rˇa´du n. Matice
A11 A21 A12 A22 A∗ = ... ... A1n A2n
... An1 ... An2 . ... ... ... Ann
se nazy´va´ adjungovana´ matice k matici A. Pru˚vodce studiem Vsˇimneˇme si, zˇe v matici A∗ je v i-te´m rˇa´dku a j-te´m sloupci algebraicky´ doplneˇk Aji prvku aji , ktery´ je v j-te´m rˇa´dku a i-te´m sloupci matice A.
Veˇta 5.18. Necht’A = (aij ) je cˇtvercova´ matice rˇa´du n. Potom k matici A existuje matice A−1 pra´veˇ tehdy, je-li matice A regula´rnı´ a platı´ A−1 =
1 · A∗ . det A
Du˚kaz. „⇒“ Necht’ k A existuje inverznı´ matice A−1 a doka´zˇeme, zˇe A je regula´rnı´ matice. Podle definice inverznı´ matice je En = A · A−1 a odtud dostaneme 1 = det En = det(A · A−1 ) = det A · det A−1 ⇒ det A 6= 0.
„⇐“ Necht’A je regula´rnı´ matice, det A 6= 0. Uka´zˇeme, zˇe matice X = k matici A. Necht’A · X = (cij ), to znamena´
A∗ det A
je inverznı´ maticı´
n X 1 cij = · aik · Ajk . det A k=1
Potom vsˇak pro i = j je cii =
n X 1 1 · · det A = 1. aik · Aik = det A det A k=1
Pro i 6= j je cij =
n X 1 1 · · 0 = 0. aik · Ajk = det A det A k=1
Pn
Vy´raz k=1 aik · Ajk = 0, protozˇe se jedna´ o determinant matice, ve ktere´ jsou i-ty´ a j-ty´ rˇa´dek stejne´. Vidı´me tedy, zˇe A · X = (cij ) = En . Podobneˇ doka´zˇeme X · A = En . Veˇta 5.19. Necht’A, B jsou regula´rnı´ matice rˇa´du n. Pak platı´ 1. (A−1 )−1 = A,
matice inverznı´ k inverznı´ matici je matice pu˚vodnı´
2. (A · B)−1 = B −1 · A−1 , 3. det (A−1 ) = 4. (A Du˚kaz.
0
)−1
=
1 det A ,
0 (A−1 ) .
1. Plyne ihned z definice
2. (B −1 · A−1 ) · (A · B) = B −1 · (A−1 · A) · B = B −1 · B = En A · B · (B −1 · A−1 ) = A · (B · B −1 ) · A−1 = A · A−1 = En Z toho vidı´me, zˇe matice B −1 · A−1 je inverznı´ maticı´ k matici A · B. 3. Platı´ A · A−1 = En a podle Cauchyho veˇty 5.12 dostaneme det A · det A−1 = det En = 1 ⇒ det A−1 =
1 det A
4. Podle veˇty 5.11 platı´: 0 0 0 0 (A−1 ) · A = (A · A−1 ) = En = En 0 0 0 0 (A ) · (A−1 ) = (A−1 · A) = En = En 0 0 To znamena´, zˇe (A−1 ) je inverznı´ maticı´ k matici A .
Prˇ´ıklad 5.20. Je da´na matice
2 0 1 R = −1 2 0 . 0 1 1
Ma´me vypocˇ´ıtat inverznı´ matici R−1 . Rˇesˇenı´: V prˇedcha´zejı´cı´m prˇ´ıkladeˇ jsme zjistili, zˇe matice R je regula´rnı´, det R = 3. Matice R−1 je tedy definovana´. Vypocˇ´ıta´me nejdrˇ´ıve algebraicke´ doplnˇky prvku˚ matice R.
inverznı´ matice k soucˇinu matic je soucˇin inverznı´ch matic v opacˇne´m porˇadı´ determinant inverznı´ matice je prˇevra´cena´ hodnota determinantu pu˚vodnı´ matice matice inverznı´ k transponovane´ matici je transponovana´ matice k inverznı´ matici
−1 0 2 0 3 =1 =2 R12 = (−1) · R11 = · 0 1 1 1 0 1 −1 2 4 3 =1 R13 = (−1) · = −1 R21 = (−1) · 0 1 1 1 2 1 2 0 4 5 = −2 R22 = (−1) · =2 R23 = (−1) · 0 1 0 1 2 1 0 1 5 4 = −1 = −2 R32 = (−1) · R31 = (−1) · −1 0 2 0 2 0 6 =4 R33 = (−1) · −1 2 Z algebraicky´ch doplnˇku˚ sestavı´me adjungovanou matici R11 R21 R31 2 1 −2 2 −1 R∗ = R12 R22 R32 = 1 R13 R23 R33 −1 −2 4 (−1)2
vy´pocˇet algebraicky´ch doplnˇku˚
adjungovana´ matice
a z te´ dostaneme matici inverznı´ R
−1
1 1 · R∗ = · = det R 3
.
2 1 −2 1 2 −1 = −1 −2 4
2 3 1 3 1 −3
1 3 2 3 2 −3
− 32
− 31 4 3
Podle definice inverznı´ matice oveˇrˇ´ıme, zˇe se skutecˇneˇ jedna´ o inverznı´ matici. 2 1 2 3 3 −3 2 0 1 1 0 0 2 1 1 0 1 0 = E3 R · R−1 = −1 2 0 · 3 −3 = 3 0 1 1 0 0 1 4 − 31 − 23 3 Pru˚vodce studiem Prˇi prakticke´m oveˇrˇova´nı´, zda matice X je inverznı´ maticı´ matice A, stacˇ´ı oveˇrˇit pouze jednu z rovnostı´ A · X = En , X · A = En . Druha´ rovnost je jizˇ vynucena. V dalsˇ´ım si uka´zˇeme jiny´, jednodusˇsˇ´ı zpu˚sob, jak k dane´ matici vypocˇ´ıtat inverznı´ matici.
Shrnutı´ Soucˇet matic je definova´n pouze pro matice stejne´ho typu. Soucˇin matic je definova´n pouze pro matice, ve ktery´ch druha´ matice ma´ tolik rˇa´dku˚, kolik ma´ prvnı´ matice sloupcu˚. Regula´rnı´ matice je matice, jejı´zˇ determinant je ru˚zny´ od nuly. Inverznı´ matice je cˇtvercova´ matice, ktera´ v soucˇinu s pu˚vodnı´ cˇtvercovou maticı´ da´va´ jednotkovou matici. Adjungovana´ matice je sestavena´ z algebraicky´ch doplnˇku˚ prvku˚ pu˚vodnı´ matice. Pojmy k zapamatova´nı´ • soucˇet matic • soucˇin cˇ´ısla a matice • soucˇin matic
inverznı´ matice
zkousˇka spra´vnosti vy´pocˇtu
• • • • •
jednotkova´ matice regula´rnı´ matice singula´rnı´ matice inverznı´ matice adjungovana´ matice
Kontrolnı´ ota´zky 1. Matice A je typu 5/4 a matice B typu 4/3. Mu˚zˇeme najı´t soucˇet a soucˇin teˇchto matic? Jake´ho jsou typu? 2. Matice A je typu u/v, matice B typu v/w a matice C je typu w/t. Jake´ho typu je matice A · (B · C)? 3. det A je roven nule. Mu˚zˇeme najı´t matici inverznı´ k matici A? 4. Jak spolu souvisı´ matice A−1 a A∗ ? 5. Mu˚zˇeme najı´t dveˇ regula´rnı´ cˇtvercove´ matice rˇa´du 3 takove´, zˇe jejich soucˇin je nulova´ matice? Cvicˇenı´ 1. Vypocˇ´ıtejte matici A · B − B · A, kde 1 0 2 1 2 3 1 0 A = 3 2 1 ,B = 0 1 −1 2 0 1 2 2. K matici
0 1 0 A = 0 −1 0 . 0 1 0
nalezneˇte vsˇechny matice X, pro ktere´ platı´ A · X = O. 3. Je da´na matice 2 1 1 A= 3 1 2 1 −1 0 urcˇete matici A3 − A2 − 3 · A + 4 · E, kde E je jednotkova´ matice. 4. Zjisteˇte, pro ktera´ rea´lna´ cˇ´ısla c je na´sledujı´cı´ matice regula´rnı´: c 2 3 −2 c 2 c −c 3 5. Necht’ A, B, C jsou cˇtvercove´ matice te´hozˇ rˇa´du, det A = 5, det B = 2, det C = 3. Vypocˇteˇte: 0 (a) det(A2 · B · C · B −1 ) 0
(b) det(B 2 · C −1 · A · B −1 · C ) 6. Ke cˇtvercove´ matici
2 −1 0 −2 0 1 1 2 A= 2 −1 0 −1 0 2 1 2
nalezneˇte adjungovanou matici A∗ .
7. K dany´m maticı´m
1 −1 −1 1 2 a) A = 1 −1 1 0
3 4 2 b) B = −1 2 −2 7 16 2
nalezneˇte pomocı´ adjungovane´ matice inverznı´ matici.
´ koly k textu U 1. Udejte prˇ´ıklad matic A, B nad R, ktere´ nejsou cˇtvercove´ a prˇitom existujı´ oba soucˇiny A · B i B · A. 2. Udejte prˇ´ıklad matice X typu m/n nad T , aby X · A = t · A, kde matice A je typu m/n nad T a t je cˇ´ıslo z cˇ´ıselne´ho teˇlesa T . 3. Udejte prˇ´ıklad nenulove´ cˇtvercove´ matice rˇa´du 4, ke ktere´ neexistuje matice inverznı´.
ˇ esˇenı´ R 3 −5 1 7 A · B − B · A = 1 −1 4 −3 −2 p q r 0 0 0 , kde p, q, r, x, y, z jsou libovolna´ cˇ´ısla z R X= x y z 16 1 5 A3 − A2 − 3 · A + 4 · E = 13 7 4 −5 3 4 vsˇechna rea´lna´ cˇ´ısla ru˚zna´ od cˇ´ısel -2 a -3 a) 75 b) 10 −1 −1 2 1 0 −2 0 2 A∗ = 4 4 −4 −2 −2 0 2 0 1 1 1 2 2 1 3 −1 A = 1 2 ´ 2 b) nenı´ definovana −1 0 −1
1.
2.
3. 4. 5. 6.
7.
6
Hodnost matice
Studijnı´ cı´le: V te´to kapitole se studujı´cı´ sezna´mı´ s pojmem hodnost matice a s tı´m, jak tento pojem souvisı´ s pojmem dimenze vektorove´ho prostoru. Klı´cˇova´ slova: hodnost matice, elementa´rnı´ rˇa´dkova´ u´prava, matice ve schodovite´m tvaru Pru˚vodce studiem V te´to kapitole opeˇt uvazˇujeme matici A typu m/n nad cˇ´ıselny´m teˇlesem T tvaru a11 a12 ... a1n a21 a22 ... a2n , aij ∈ T. A= ... ... ... ... am1 am2 ... amn Jak jsme si jizˇ drˇ´ıve rˇekli, rˇa´dky matice A mu˚zˇeme cha´pat jako vektory z vektorove´ho prostoru T n . Rˇa´dky (vektory) matice A tedy generujı´ jisty´ podprostor W vektorove´ho prostoru T n a na´s zajı´ma´ dimenze tohoto podprostoru. Sloupce matice A jsou vektory z vektorove´ho prostoru T m , generujı´ v T m podprostor H. T n , T m jsou ru˚zne´ vektorove´ prostory, W a H tedy musı´ by´t rozdı´lne´ podprostory a na´s zajı´ma´, jestli dim W = dim H.
Definice 6.1. Necht’ A = (aij ) je matice typu m/n nad cˇ´ıselny´m teˇlesem T . Pak dimenze vektorove´ho podprostoru v T n generovane´ho rˇa´dky matice A se nazy´va´ hodnost matice A a oznacˇuje se h(A). Veˇta 6.2. Hodnost matice je rovna maxima´lnı´mu pocˇtu jejı´ch linea´rneˇ neza´visly´ch rˇa´dku˚. Du˚kaz. Tvrzenı´ plyne ihned z definice hodnosti matice, definice dimenze a definice ba´ze. Veˇta 6.3. Necht’A je nenulova´ matice typu m/n. Pak hodnost matice A je rovna maxima´lnı´mu z rˇa´du˚ nenulovy´ch minoru˚ matice A. Du˚kaz. Viz literatura [Hor91] 0
Veˇta 6.4. Transponova´nı´m matice se jejı´ hodnost nezmeˇnı´, h(A) = h(A ) . 0
Du˚kaz. Je-li A nulova´ matice, potom je A rovneˇzˇ nulova´ matice a tvrzenı´ platı´. Necht’ je A nenulova´ matice a h(A) = k. Potom podle prˇedchozı´ veˇty existuje v A nenulovy´ minor rˇa´du k a vsˇechny minory veˇtsˇ´ıho rˇa´du nezˇ k jsou nulove´. Transponova´nı´m se hodnoty minoru˚ nemeˇnı´, 0 proto v matici A existuje nenulovy´ minor rˇa´du k a vsˇechny minory veˇtsˇ´ıho rˇa´du nezˇ k jsou 0 0 nulove´. To znamena´, zˇe h(A ) = k a tedy h(A )=h(A). Veˇta 6.5. Hodnost matice je rovna maxima´lnı´mu pocˇtu jejı´ch linea´rneˇ neza´visly´ch sloupcu˚. 0
Du˚kaz. h(A )=h(A) a hodnost matice A je tedy rovna maxima´lnı´mu pocˇtu linea´rneˇ neza´vis0 ly´ch ˇra´dku˚ transponovane´ matice h(A ), to znamena´ maxima´lnı´mu pocˇtu linea´rneˇ neza´visly´ch sloupcu˚ matice A. Pru˚vodce studiem Dosˇli jsme tedy k za´veˇru, zˇe dim W = dim H kde W je podprostor generovany´ rˇa´dky matice A a H je podprostor generovany´ sloupci matice A. Cˇili dimenze podprostoru generovane´ho rˇa´dky matice A je rovna dimenzi podprostoru generovane´ho sloupci matice A.
Na´sledujı´cı´ veˇta charakterizuje cˇtvercovou regula´rnı´ matici Veˇta 6.6. Necht’A je cˇtvercova´ matice rˇa´du n. Pak na´sledujı´cı´ vy´roky jsou ekvivalentnı´: 1. Matice A je regula´rnı´. 2. h(A) = n. 3. Rˇa´dky matice A jsou linea´rneˇ neza´visle´.
charakteristika regula´rnı´ matice
4. Sloupce matice A jsou linea´rneˇ neza´visle´. Du˚kaz. „1 ⇒ 2“ matice A je regula´rnı´, to znamena´ det A 6= 0 . To vsˇak znamena´, zˇe h(A) = n, protozˇe maxima´lnı´ z rˇa´du˚ nenulovy´ch minoru˚ je n. „2 ⇒3“ h(A) = n, tedy matice A ma´ n linea´rneˇ neza´visly´ch rˇa´dku˚ 0 „3 ⇒4“ matice A ma´ n linea´rneˇ neza´visly´ch ˇra´dku˚, platı´ tedy h(A) = n. h(A )=h(A) = n, ma´ tedy matice A rovneˇrˇ n linea´rneˇ neza´visly´ch sloupcu˚. „4 ⇒1“ sloupce matice A jsou linea´rneˇ neza´visle´, to znamena´, zˇe h(A) = n. Maxima´lnı´ rˇa´d nenulovy´ch minoru˚ je tedy n, to znamena´, zˇe det A 6= 0 a matice A je regula´rnı´. Pozna´mka 6.7. Podobneˇ mu˚zˇeme charakterizovat singula´rnı´ matici. Ekvivalentnı´ jsou vy´roky: 1. Matice A je singula´rnı´. 2. h(A) < n. ˇ a´dky matice A jsou linea´rneˇ za´visle´. 3. R 4. Sloupce matice A jsou linea´rneˇ za´visle´. Definice 6.8. Necht’A je matice typu m/n nad cˇ´ıselny´m teˇlesem T . Pak kazˇda´ z na´sledujı´cı´ch u´prav matice A se nazy´va´ elementa´rnı´ rˇa´dkova´ u´prava matice A: 1. libovolna´ za´meˇna porˇadı´ rˇa´dku˚, 2. vyna´sobenı´ libovolne´ho rˇa´dku nenulovy´m cˇ´ıslem z T , 3. k jednomu rˇa´dku prˇicˇtenı´ jine´ho rˇa´dku vyna´sobene´ho libovolny´m cˇ´ıslem z T . Pru˚vodce studiem Elementa´rnı´ rˇa´dkove´ u´pravy matice A cha´peme jako vy´sˇe popsane´ manipulace s vektory z T n.
Veˇta 6.9. Necht’A je matice typu m/n nad T a necht’B vznikne z A provedenı´m elementa´rnı´ rˇa´dkove´ u´pravy. Pak podprostor (ve vektorove´m prostoru T n ) generovany´ rˇa´dky matice A je roven podprostoru generovane´mu rˇa´dky matice B. Du˚kaz. Rˇa´dky matice A cha´peme jako vektory vektorove´ho prostoru T n a oznacˇ´ıme je u1 , u2 , ..., um . Vı´me, zˇe podprostor generovany´ vektory u1 , u2 , ..., um je roven mnozˇineˇ vsˇech linea´rnı´ch kombinacı´ teˇchto vektoru˚, to je [u1 , u2 , ..., um ] = L(u1 , u2 , ..., um ) Podprostor [u1 , u2 , ..., um ] se nezmeˇnı´, kdyzˇ
charakteristika singula´rnı´ matice
1. zameˇnı´me porˇadı´ rˇa´dku˚ matice A, protozˇe L(u1 , u2 , ..., um ) = L(ui1 , ui2 , ..., uim ), kde (i1 , i2 , ..., im ) je libovolne´ porˇadı´ indexu˚ 1,2, ... ,m 2. vyna´sobenı´m i-te´ho rˇa´dku matice A cˇ´ıslem t 6= 0 ∈ T , protozˇe L(u1 , u2 , ..., um ) = L(u1 , u2 , ..., t.ui , ..., um ) 3. prˇicˇtenı´m k i-te´mu rˇa´dku matice A t-na´sobku j-te´ho rˇa´dku (i 6= j), protozˇe L(u1 , u2 , ..., um ) = L(u1 , u2 , ..., ui + t.uj , ..., um ) Tı´m jsme doka´zali, provedenı´m libovolne´ elementa´rnı´ rˇa´dkove´ u´pravy matice A se nezmeˇnı´ podprostor [u1 , u2 , ..., um ] v T n . Veˇta 6.10. Provedenı´m libovolne´ elementa´rnı´ rˇa´dkove´ u´pravy matice A se nezmeˇnı´ hodnost matice A. Du˚kaz. Plyne prˇ´ımo z veˇty 6.9. Pru˚vodce studiem Z prˇedchozı´ch u´vah je zrˇejme´, zˇe pro prakticke´ zjisˇt’ova´nı´ hodnosti dane´ matice A bude vy´hodne´ elementa´rnı´mi rˇa´dkovy´mi u´pravami prˇeve´st matici A na jednoduchy´ tvar, ze ktere´ho jizˇ hodnost snadno urcˇ´ıme.
ˇ ekneme, zˇe A je matice ve schodovite´m tvaru, Definice 6.11. Necht’A je matice typu m/n. R jestlizˇe v matici A kazˇdy´ nenulovy´ rˇa´dek zacˇ´ına´ veˇtsˇ´ım pocˇtem nul nezˇ rˇa´dek nad nı´m. Veˇta 6.12. Kazˇdou matici lze konecˇny´m pocˇtem elementa´rnı´ch rˇa´dkovy´ch u´prav prˇeve´st na schodovity´ tvar. Du˚kaz. Necht’A = (aij ) je matice typu m/n. Je-li A nulova´ matice, pak je jizˇ ve schodovite´m tvaru a tvrzenı´ veˇty platı´. Prˇedpokla´da´me tedy, zˇe A je nenulova´ matice. Du˚kaz nynı´ provedeme matematickou indukcı´ vzhledem k pocˇtu rˇa´dku˚ m. 1. Pro m = 1 je jizˇ matice ve schodovite´m tvaru. 2. Prˇedpokla´da´me, zˇe kazˇdou matici o 1,2,...,m rˇa´dcı´ch lze konecˇny´m pocˇtem elementa´rnı´ch u´prav prˇeve´st na schodovity´ tvar. Necht’A je matice, ktera´ ma´ m + 1 rˇa´dku˚. Necht’s-ty´ sloupec je prvnı´ nenulovy´ sloupec matice A. Pak prˇ´ımou vy´meˇnou rˇa´dku˚ dostaneme z matice A matici B = (bij ), ktera´ ma´ v 1.rˇa´dku a s-te´m sloupci nenulovy´ prvek b1s 6= 0. is Nynı´ k i-te´mu rˇa´dku matice B prˇicˇteme (- bb1s )-na´sobek 1.rˇa´dku pro i = 2, 3, ..., m + 1. Dostaneme tak matici C = (cij ), ktera´ ma´ v prvnı´ch s sloupcı´ch same´ nuly kromeˇ c1s 6= 0. Aplikujeme-li nynı´ na matici, ktera´ se skla´da´ z poslednı´ch m rˇa´dku˚ matice C indukcˇnı´ prˇedpoklad, dostaneme tvrzenı´ pro m + 1.
Veˇta 6.13. Hodnost matice ve schodovite´m tvaru je rovna pocˇtu jejı´ch nenulovy´ch rˇa´dku˚. Du˚kaz. Necht’A je matice typu m/n ve schodovite´m tvaru. Je-li A nulova´ matice, pak h(A) = 0 a tvrzenı´ platı´. Je-li A nenulova´ matice, ktera´ obsahuje k nenulovy´ch rˇa´dku˚, tak teˇchto k rˇa´dku˚ je linea´rneˇ neza´visly´ch a vsˇechny ostatnı´ rˇa´dky jsou nulove´. To znamena´, zˇe maxima´lnı´ pocˇet linea´rneˇ neza´visly´ch rˇa´dku˚ je k a tedy h(A) = k.
Pru˚vodce studiem Poslednı´ch trˇ´ı veˇt pouzˇ´ıva´me pro zjisˇt’ova´nı´ hodnosti matic. Matici pomocı´ elementa´rnı´ch ˇra´dkovy´ch u´prav prˇevedeme na schodovity´ tvar a pak zjistı´me jejı´ hodnost. Popsany´ postup si uka´zˇeme na prˇ´ıkladeˇ.
Prˇ´ıklad 6.14. Urcˇete hodnost matice A nad cˇ´ıselny´m teˇlesem R, kdyzˇ 2 3 0 1 −1 2 3 0 6 3 −6 9 . A= 1 6 −6 −1 4 −5 2 9 −8 −1 5 −6 Rˇesˇenı´: Druhy´ rˇa´dek vyna´sobı´me cˇ´ıslem
1 2 1 2
1 3
a zameˇnı´me prvnı´ a druhy´ rˇa´dek, dostaneme matici
0 2 1 −2 3 3 0 1 −1 2 . 6 −6 −1 4 −5 9 −8 −1 5 −6
Od druhe´ho ˇra´dku odecˇteme dvojna´sobek prvnı´ho rˇa´dku, od trˇetı´ho rˇa´dku odecˇteme prvnı´ a od cˇtvrte´ho rˇa´dku dvojna´sobek prvnı´ho 1 0 2 1 −2 3 0 3 −4 −1 3 −4 . 0 6 −8 −2 6 −8 0 9 −12 −3 9 −12 Od trˇetı´ho rˇa´dku odecˇteme dvojna´sobek a od cˇtvrte´ho trojna´sobek druhe´ho rˇa´dku a dostaneme matici 1 0 2 1 −2 3 0 3 −4 −1 3 −4 . 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Vidı´me, zˇe hodnost matice A je h(A) = 2. Pru˚vodce studiem Prˇedchozı´ metodu mu˚zˇeme s vy´hodou pouzˇ´ıt prˇi rˇesˇenı´ u´loh o vektorove´m prostoru T n . Pokud chceme ve vektorove´m prostoru T n zjistit dimenzi a ba´zi neˇjake´ho podprostoru W , ktery´ je generovany´ konecˇny´m pocˇtem zadany´ch vektoru˚, pak tyto vektory napı´sˇeme jako rˇa´dky do matice, kterou elementa´rnı´mi rˇa´dkovy´mi u´pravami prˇevedeme na schodovity´ tvar. Hodnost matice je dimenze podprostoru W a nenulove´ rˇa´dky matice ve schodovite´m tvaru jsou pak ba´zı´ podprostoru W .
Prˇ´ıklad 6.15. Ve vektorove´m prostoru R4 je da´n podprostor W = [u1 , u2 , u3 , u4 , u5 ],
kde u1 = (1, 0, −1, 2), u2 = (2, 3, 1, 0), u3 = (1, −3, −4, 6), u4 = (3, 2, 1, −1), u5 = (−1, 1, 0, 1). Urcˇete dimenzi a ba´zi tohoto podprostoru. Rˇesˇenı´: 1 0 −1 2 2 3 1 0 1 −3 −4 6 3 2 1 −1 −1 1 0 1 Matici prˇevedeme na schodovity´ tvar.
1 0 −1 2 0 3 3 −4 0 −3 −3 4 0 2 4 −7 0 1 −1 3
1 0 −1 2 0 1 −1 3 0 −3 −3 4 0 2 4 −7 0 3 3 −4
0 −1 2 1 −1 3 0 −6 13 0 6 −13 0 6 −13
1 0 0 0 0 1 0 0 0 0
0 −1 2 1 −1 3 0 −6 13 0 0 0 0 0 0
Vidı´me, zˇe dim W = 3 a ba´zi W tvorˇ´ı vektory (1, 0, −1, 2), (0, 1, −1, 3), (0, 0, −6, 13)
Shrnutı´ Hodnost matice je dimenze vektorove´ho prostoru generovane´ho rˇa´dky dane´ matice. Hodnost matice zjistı´me, kdyzˇ ji elementa´rnı´mi rˇa´dkovy´mi u´pravami prˇevedeme na schodovity´ tvar a spocˇ´ıta´me pocˇet nenulovy´ch rˇa´dku˚. Pojmy k zapamatova´nı´ • hodnost matice • elementa´rnı´ rˇa´dkove´ u´pravy • matice ve schodovite´m tvaru Kontrolnı´ ota´zky 1. Je dimenze podprostoru generovane´ho sloupci dane´ matice stejna´ jako dimenze podprostoru generovane´ho rˇa´dky te´to matice?
z vektoru˚ u1 , u 2 , u 3 , u 4 , u 5 sestavı´me matici
od 2.rˇa´dku odecˇteme dvojna´sobek 1., od 3.rˇa´dku odecˇteme 1., od 4.odecˇteme trojna´sobek 1. a k pa´te´mu 1.rˇa´dek prˇicˇteme Zameˇnı´me druhy´ a pa´ty´ rˇa´dek k 3.rˇa´dku prˇicˇteme trojna´sobek 2.od 4.rˇa´dku odecˇteme dvojna´sobek a od 5. trojna´sobek druhe´ho ke 4.a 5. rˇa´dku prˇicˇteme 3.rˇa´dek
2. 3. 4. 5.
Jsou rˇa´dky singula´rnı´ matice linea´rneˇ neza´visle´? Je hodnost regula´rnı´ matice mensˇ´ı nezˇ jejı´ rˇa´d? Kdyzˇ libovolny´ rˇa´dek vyna´sobı´me cˇ´ıslem 0, jedna´ se o elementa´rnı´ rˇa´dkovou u´pravu? Matice A je typu 5/6. Vsˇechny minory rˇa´du 5 jsou nulove´ a existuje minor rˇa´du 4, ktery´ je nenulovy´. Jaka´ je hodnost matice A?
Cvicˇenı´ 1. Urcˇete hodnost matice A= nad R. 2. Urcˇete hodnost matice
1 4 −5 −6 4 1
3 a B= 1 2
−1 0 1 −3 3 2 3 −2 1 3 −1 4 −3 5 3 −4 3 13
2 21 4 4 10 4 3 4 3 2 4 −6
v za´vislosti na parametru a z R. 3. Urcˇete ba´zi a dimenzi podprostoru W vektorove´ho prostoru R4 generovane´ho vektory u1 = (1, 1, 2, 2), u2 = (1, 2, −1, 2), u3 = (1, 2, −2, 3), u4 = (2, 3, 5, 0). 4. Nalezneˇte ty hodnoty parametru a z R, pro ktere´ ma´ podprostor W = [u1 , u2 , u3 ] vektorove´ho prostoru R4 nejmensˇ´ı dimenzi a urcˇete tuto dimenzi, je-li u1 = (2, 7, a, 2), u2 = (1, 3, −4, 1), u3 = (1, a, −14, 1). 5. Jsou da´ny matice
1 3 1 2 3 1 2 2 0 2 , A= 2 5 4 −1 7
B=
−1 −9 −1 −1 0 1 2 5 1 2 3 1 0 0 −1
.
Urcˇete h(A), h(B), h(A · B)
´ koly k textu U 1. Uved’te prˇ´ıklad matice A nad R takove´, zˇe rˇa´dky matice A jsou linea´rneˇ neza´visle´ a sloupce matice A jsou linea´rneˇ za´visle´. 2. Uved’te prˇ´ıklad matice A nad R takove´, zˇe sloupce matice A jsou linea´rneˇ neza´visle´ a ˇra´dky matice A jsou linea´rneˇ za´visle´. 3. Uved’te prˇ´ıklad cˇtvercovy´ch matic 3. rˇa´du A a B takovy´ch, zˇe h(A · B) 6= h(B · A). 4. Uved’te prˇ´ıklad matice A typu 7/5, ve ktere´ jsou vsˇechny minory 4. rˇa´du nulove´.
ˇ esˇenı´ R 1. 2. 3. 4. 5.
h(A) = 3 pokud a = 2, h(B) = 3, pokud a 6= 2, h(B) = 4 dim(W ) = 3, ba´ze W je (1,1,2,2), (0,1,-3,0), (0,0,-1,1) pokud a = −7 nebo a = 2 je dim(W ) = 2 h(A) = 3, h(B) = 3, h(A · B) = 1
7
Vy´pocˇet inverznı´ matice pomocı´ elementa´rnı´ch rˇa´dkovy´ch u´prav
Studijnı´ cı´le: V te´to kapitole se studujı´cı´ sezna´mı´ s jednodusˇsˇ´ım zpu˚sobem vy´pocˇtu inverznı´ matice a s rˇesˇenı´m maticovy´ch rovnic. Klı´cˇova´ slova: inverznı´ matice, maticova´ rovnice Pru˚vodce studiem Jizˇ vı´me, zˇe jednou ze za´kladnı´ch u´loh linea´rnı´ algebry je hleda´nı´ inverznı´ matice k dane´ cˇtvercove´ matici A rˇa´du n. My uzˇ jsme si jeden zpu˚sob vy´pocˇtu ukazovali, pouzˇitı´m adjungovane´ matice A∗ k matici A. Pocˇ´ıtali jsme inverznı´ matici matice 3. rˇa´du. Videˇli jsme, zˇe i pro tak malou matici byl vy´pocˇet dost pracny´. Museli jsme vypocˇ´ıtat jeden determinant matice 3. rˇa´du a deveˇt determinantu˚ matic 2. rˇa´du. Obecneˇ pro matici rˇa´du n musı´me spocˇ´ıtat jeden determinant matice rˇa´du n a n2 determinantu˚ matic rˇa´du n − 1. Nynı´ si odvodı´me jednu pomeˇrneˇ jednoduchou a pro vy´pocˇet vhodnou metodu nalezenı´ inverznı´ matice, ktera´ je zalozˇena´ na pouzˇitı´ elementa´rnı´ch rˇa´dkovy´ch u´prav.
Veˇta 7.1. Necht’A je regula´rnı´ matice rˇa´du n nad cˇ´ıselny´m teˇlesem R. Pak platı´: 1. Matici A lze konecˇny´m pocˇtem elementa´rnı´ch rˇa´dkovy´ch u´prav prˇeve´st na jednotkovou matici En . 2. Provedenı´ rˇa´dkove´ elementa´rnı´ u´pravy matice A je ekvivalentnı´ vyna´sobenı´ matice A zleva jistou regula´rnı´ maticı´ rˇa´du n. Du˚kaz. 1. Podle prˇedpokladu je h(A) = n a je mozˇne´ tedy matici A konecˇny´m pocˇtem elementa´rnı´ch rˇa´dkovy´ch u´prav prˇeve´st na tvar, ve ktere´m jsou v hlavnı´ diagona´le same´ nenulove´ prvky a pod hlavnı´ diagona´lou jsou same´ nuly. Vyna´sobenı´m jednotlivy´ch rˇa´dku˚ vhodny´mi nenulovy´mi cˇ´ısly z T dostaneme v hlavnı´ diagona´le same´ jednicˇky. Nakonec konecˇny´m pocˇtem elementa´rnı´ch rˇa´dkovy´ch u´prav dostaneme nad hlavnı´ diagona´lou same´ nuly. Dostaneme tak jednotkovou matici. 2. Rozepsa´nı´m se snadno oveˇrˇ´ı, zˇe: (a) Za´meˇna dvou rˇa´dku˚ (i-te´ho a j-te´ho) matice A je ekvivalentnı´ vyna´sobenı´ matice A zleva maticı´ i j 1 ... 0 ... 0 ... 0 ... ... ... ... ... ... ... 0 ... 0 ... 1 ... 0 i F = ... ... ... ... ... ... ... 0 ... 1 ... 0 ... 0 j ... ... ... ... ... ... ... 0 ... 0 ... 0 ... 1 det F = −1 6= 0. (b) Vyna´sobenı´ i-te´ho rˇa´dku matice A nenulovy´m cˇ´ıslem t ∈ T je ekvivalentnı´ vyna´sobenı´ matice A zleva maticı´
za´meˇna i-te´ho a j-te´ho rˇa´dku
vyna´sobenı´ i-te´ho rˇa´dku cˇ´ıslem t
i G=
1 ... 0 ... 0
... 0 ... 0 ... ... ... ... ... t ... 0 ... ... ... ... ... 0 ... 1
i
det G = t 6= 0. (c) prˇicˇtenı´ t-na´sobku j-te´ho rˇa´dku k i-te´mu rˇa´dku matice A (i 6= j, t ∈ T libovolne´) je ekvivalentnı´ vyna´sobenı´ zleva matice A maticı´ i H=
1 ... 0 ... 0 ... 0
j
... 0 ... 0 ... 0 ... ... ... ... ... ... ... 1 ... t ... 0 ... ... ... ... ... ... ... 0 ... 1 ... 0 ... ... ... ... ... ... ... 0 ... 0 ... 1
i j
det H = 1 6= 0.
Pru˚vodce studiem Z prˇedcha´zejı´cı´ veˇty plyne metoda vy´pocˇtu inverznı´ matice k matici A. Spocˇ´ıva´ v tom, zˇe elementa´rnı´mi rˇa´dkovy´mi u´pravami prˇevedeme matici A na jednotkovou matici En . To podle druhe´ cˇa´sti prˇedchozı´ veˇty znamena´, zˇe existujı´ jiste´ regula´rnı´ matice R1 , R2 , ..., Rs , ktery´mi zleva na´sobı´me matici A tak, zˇe platı´ (Rs · ... · R2 · R1 ) · A = En . To znamena´, zˇe (Rs · ... · R2 · R1 ) = A−1 . Soucˇasneˇ platı´ (Rs · ... · R2 · R1 ) · En = (Rs · ... · R2 · R1 ) = A−1 . Z poslednı´ho vztahu je videˇt, zˇe kdyzˇ stejne´ elementa´rnı´ rˇa´dkove´ u´pravy, ktere´ prova´dı´me na matici A budeme soucˇasneˇ prova´deˇt na jednotkovou matici En , dostaneme matici inverznı´ A−1 . Prakticky prova´dı´me vy´pocˇet tak, zˇe obeˇ matice A a En napı´sˇeme vedle sebe a oddeˇlı´me je svislou cˇarou. Pak prova´dı´me zvolene´ elementa´rnı´ rˇa´dkove´ u´pravy a to pro obeˇ matice najednou. Jednotlive´ matice prˇi u´prava´ch oddeˇlujeme symbolem ∼ . (A|En ) ∼ En |A−1
Prˇ´ıklad 7.2. Je da´na matice
1 −1 0 1 2 −1 1 0 . A= −1 0 1 1 1 1 0 −1 Urcˇete matici k nı´ inverznı´.
prˇicˇtenı´ t-na´sobku j-te´ho rˇa´dku k i-te´mu
Rˇesˇenı´: Z matice A a jednotkove´ matice vytvorˇ´ıme jednu velkou matici 1 −1 0 1 1 0 0 0 2 −1 1 0 0 1 0 0 . −1 0 1 1 0 0 1 0 1 1 0 −1 0 0 0 1
Na tuto matici budeme prova´deˇt byly same´ nuly 1 −1 0 1 1 0 0 1 1 −2 −2 1 0 −1 1 2 1 0 0 2 0 −2 −1 0
elementa´rnı´ rˇa´dkove´ u´pravy tak, aby pod hlavnı´ diagona´lou
0 0 1 0
1 −1 0 1 1 0 0 1 1 −2 −2 1 0 0 ∼ 0 2 0 −1 1 0 0 0 0 −2 2 3 −2 1
0 1 −1 0 1 1 0 1 1 1 −2 −2 ∼ 0 1 0 2 0 −1 0 0 0 2 2 −1
0 0 1 0
0 0 ∼ 0 1 prˇevedenı´ matice na troju´helnı´kovy´ tvar
0 0 . 0 1
0 0 1 1
Nynı´ provedeme elementa´rnı´ rˇa´dkove´ u´pravy tak, aby v hlavnı´ diagona´le byly same´ jednicˇky – 3. a 4. rˇa´dek vydeˇlı´ma dveˇma 1 −1 0 1 1 0 0 0 0 1 1 −2 −2 1 0 0 1 . 1 1 0 0 1 0 −2 0 2 2 1 1 1 0 0 0 1 1 −2 2 2
Nynı´ se snazˇ´ıme elementa´rnı´mi rˇa´dkovy´mi u´pravami dostat nuly nad hlavnı´ diagona´lu 1 1 1 1 1 1 0 1 −1 0 0 1 −1 0 0 0 − − 2 2 2 2 −2 −2 1 1 0 1 0 0 2 − 12 1 1 0 0 0 1 1 1 2 0 ∼ 1 1 1 1 1 0 0 1 0 − 2 0 1 0 − 21 0 0 2 2 2 2 0 1 1 1 1 1 1 0 0 0 1 1 −2 0 0 0 1 1 −2 2 2 2 2 ∼
1 0 0 0 12 0 1 0 1 0 0 2 − 12 1 0 0 1 0 − 21 2 0 0 0 1 1 − 12
0
1 2
1 2 1 2 1 2
1 . 0 1 2
v hlavnı´ diagona´le same´ jednicˇky
∼ prˇevedenı´ matice na jednotkovou matici
Hledana´ inverznı´ matice k matici A je tedy matice 1 0 2 1 1 2 −2 A−1 = 1 1 − 2 2
inverznı´ matice
1 − 12
0
1 2
1 2 1 2 1 2
1 . 0
1 2
Pru˚vodce studiem Nynı´ uzˇ umı´me matice scˇ´ıtat, odecˇ´ıtat, na´sobit cˇ´ıslem i mezi sebou a umı´me najı´t k dane´ cˇtvercove´ matici matici inverznı´. Mu˚zˇeme tedy rˇesˇit maticove´ rovnice.
Prˇ´ıklad 7.3. Rˇesˇte maticovou rovnici (X + A) · B = C, kde 1 −1 0 1 −3 5 −1 1 0 2 2 2 4 4 −6 . , B = 1 −1 2 ,C = A= 3 2 0 4 5 −7 0 1 −1 4 6 2 −4 6 8
Rˇesˇenı´: (X + A) · B · B
−1
=C ·B
Rovnici vyna´sobı´me zprava maticı´ inverznı´ k matici B
−1
X + A = C · B −1 X = C · B −1 − A Vypocˇ´ıta´me matici inverznı´ k matici B. Sestavı´me matici z matice B a jednotkove´ matice E3 a prova´dı´me potrˇebne´ elementa´rnı´ rˇa´dkove´ u´pravy. −1 1 0 1 0 0 −1 1 0 1 0 0 1 −1 2 1 1 0 ∼ 2 0 1 0 ∼ 0 0 0 1 −1 0 0 1 0 1 −1 0 0 1
0 1 0 1 −1 0 0 0 2 1 1 −1 0 −1 1 0 21 0 1 1
−1 1
∼
0 0
1 ∼ 0 0
2
0
1 −1
1 1 ∼ 0 0 0 0 1 0 0 0 1 2 1 ∼ 0 1 1 0 0 2 0
0 −1 −1 0 1 12 0 − 21 0 12 1 1
Inverznı´ maticı´ k matici B je matice
− 12
B −1 =
1 2 1 2
1 2 1 2 1 2
1
1 . 0
2
0 0
0 1 ∼ 1 2 0 1 1 2 1 . 1 2 1 0 2
Od obou stran rovnice odecˇteme matici A
prˇevedenı´ matice na troju´helnı´kovy´ tvar s jednicˇkou v hlavnı´ diagona´le prˇevedenı´ na jednotkovou matici
matice inverznı´ k matici B
Nynı´ jizˇ mu˚zˇeme dorˇesˇit nasˇi rovnici 1 −1 2 2 X = C · B −1 − A = 2 0 4 6
−1 2 = 1 2
1 0 −2 1 4 · 4 2 1 2 2
1 2 1 2 1 2
1 −3 5 2 4 −6 = 1 − 3 5 −7 0 −4 6 8 1
0 0 1 −3 5 −2 3 −5 4 4 4 −6 0 10 − 2 = 0 3 2 3 5 −7 −2 −2 9 6 10 −4 6 8 6 0 2
Hledany´m rˇesˇenı´m dane´ maticove´ rovnice je tedy matice −2 3 −5 0 0 10 . X= −2 −2 9 6 0 2
Dosazenı´m do dane´ rovnice se mu˚zˇeme prˇesveˇdcˇit, zˇe toto rˇesˇenı´ je spra´vne´.
Shrnutı´ Provedeme-li stejne´ elementa´rnı´ rˇa´dkove´ u´pravy, ktery´mi matici A prˇevedeme na jednotkovou matici, s jednotkovou maticı´, dostaneme matici inverznı´ k matici A Pojmy k zapamatova´nı´ • inverznı´ matice • elementa´rnı´ rˇa´dkove´ u´pravy • maticova´ rovnice Kontrolnı´ ota´zky 1. Jakou matici obdrzˇ´ıme, kdyzˇ provedeme stejne´ elementa´rnı´ rˇa´dkove´ u´pravy, ktery´mi jsme prˇevedli jednotkovou matici na matici A−1 , na matici A? 2. Vyna´sobenı´m matice E zleva maticemi R1 , R2 , ..., Rs jsme dostali matici A−1 . Jakou matici dostaneme, kdyzˇ vyna´sobı´me zleva matici A maticemi R1 , R2 , ..., Rs ? Cvicˇenı´ 1. K dane´ matici pomocı´ elementa´rnı´ch rˇa´dkovy´ch u´prav najdeˇte matici inverznı´ 1 −1 1 −1 1 1 0 −1 0 0 2 0 −1 1 −2 1 2 0 −1 0 0 −1 0 1 b) B = 2 0 −2 0 −1 a) A = 1 . 1 −1 1 −1 1 −1 2 0 −2 1 0 1 0 −1 0 1 1 −1 0 1
postupny´ vy´pocˇet matice X
rˇesˇenı´
ˇ esˇte maticovou rovnici (X + K) · L − M = N , kde 2. R 4 3 2 1 1 0 0 1 2 −2 −1 1 1 −1 1 −1 ,L = 1 1 0 0 ,M = 3 2 1 0 , K= 2 1 0 9 0 1 1 0 0 1 0 −1 1 0 9 8 0 1 1 1 2 2 0 0 −3 −2 −1 0 −1 −1 0 1 . N = 1 1 2 −7 2 1 −7 −6 3. Pomocı´ inverznı´ matice urcˇete matici X, pro kterou platı´ A · X · B = C, kde 2 −3 1 9 7 6 2 0 −2 9 A = 4 −5 2 , B = 1 1 2 , C = 18 12 5 −7 3 1 1 1 23 15 11
´ koly k textu U 1. Uved’te prˇ´ıklad nenulove´ cˇtvercove´ matice A rˇa´du 5, kterou nelze konecˇny´m pocˇtem elementa´rnı´ch rˇa´dkovy´ch u´prav prˇeve´st na jednotkovou matici. 2. Uved’te prˇ´ıklad cˇtvercove´ matice A rˇa´du 6, kterou lze konecˇny´m pocˇtem elementa´rnı´ch rˇa´dkovy´ch u´prav prˇeve´st na jednotkovou matici. 3. Uved’te prˇ´ıklad matice H tak, aby H · A byla matice, ktera´ vznikne ze zadane´ cˇtvercove´ matice A ˇra´du 5 prˇicˇtenı´m dvojna´sobku 2. rˇa´dku ke 4. rˇa´dku. 4. Uved’te prˇ´ıklad matice G tak, aby G · A byla matice, ktera´ vznikne ze zadane´ cˇtvercove´ matice A ˇra´du 5 za´meˇnou 3. a 5. rˇa´dku.
ˇ esˇenı´ R 1 2
0
0 1 = 2 0 0
1 2 1 2 1 2 1 2
1. a)
A−1
0
1 2
0
−10 2 3 −1 4 −1 0 −3 0 1 0 1 −1 − 32 0 0 2 3 −1 4 b) B = −11 3 −1 −1 0 −1 1 −1 0 −2 2 0 −1 0 0 − 12 − 12 0
−1 2 2 −1 1 1 1 0 2. X = 3 −1 3 0 2 −3 4 −2 1 1 1 3. X = 1 2 3 2 3 1
1 2
8
Soustavy linea´rnı´ch rovnic a jejich rˇesˇenı´
Studijnı´ cı´le: V te´to kapitole se studujı´cı´ sezna´mı´ se soustavami k linea´rnı´ch rovnic o n nezna´my´ch a nejpouzˇ´ıvaneˇjsˇ´ı metodou jejich rˇesˇenı´ – Gaussovou eliminacˇnı´ metodou. Klı´cˇova´ slova: soustava k linea´rnı´ch rovnic o n nezna´my´ch, rˇesˇenı´ soustavy, koeficient, absolutnı´ cˇlen, matice soustavy, rozsˇ´ırˇena´ matice soustavy, ekvivalentnı´ soustavy, ekvivalentnı´ u´prava, Gaussova eliminacˇnı´ metoda V na´sledujı´cı´ch kapitola´ch se budeme zaby´vat rˇesˇenı´m soustavy algebraicky´ch rovnic nad cˇ´ıselny´m teˇleˇsem T . Tento proble´m ma´ sˇiroke´ uplatneˇnı´ v matematice, veˇdeˇ a technice.
8.1
Soustavy linea´rnı´ch rovnic
Pru˚vodce studiem Se soustavami linea´rnı´ch rovnic jsme se setkali jizˇ na strˇednı´ sˇkole. Rˇesˇili jsme jednoduche´ soustavy se dveˇma a trˇemi nezna´my´mi. Nynı´ se sezna´mı´me se soustavami obecneˇji. Uka´zˇeme si jednu z mnoha metod rˇesˇenı´ obecny´ch soustav linea´rnı´ch rovnic – Gaussovu eliminacˇnı´ metodu.
Definice 8.1. Necht’T je cˇ´ıselne´ teˇleso. Pak soustava rovnic a11 · x1 + a12 · x2 + ... + a1n · xn = b1 a21 · x1 + a22 · x2 + ... + a2n · xn = b2
(8.1)
......... ak1 · x1 + ak2 · x2 + ... + akn · xn = bk , kde aij ∈ T, bi ∈ T , i = 1, 2, ..., k, j = 1, 2, ..., n, se nazy´va´ soustava k linea´rnı´ch rovnic o n nezna´my´ch nad teˇlesem T . Rˇesˇenı´ soustavy (8.1) je kazˇda´ usporˇa´dana´ n-tice (t1 , t2 , ..., tn ) prvku˚ z T takova´, zˇe po dosazenı´ ti za xi (i = 1, 2, ..., n) vsˇechny rovnice v (8.1) prˇejdou v identity. Pozna´mka 8.2. 1. Cˇ´ıslo aij v soustaveˇ (8.1) nazy´va´me koeficient v i-te´ rovnici u j-te´ nezna´me´, cˇ´ıslo bi v soustaveˇ (8.1) nazy´va´me absolutnı´ cˇlen i-te´ rovnice. Matici a11 a12 ... a1n a21 a22 ... a2n A= ... ... ... ... ak1 ak2 ... akn nazy´va´me matice soustavy (8.1). Matici
a11 a12 a21 a22 A= ... ... ak1 ak2
... a1n ... a2n ... ... ... akn
b1 b2 ... bk
nazy´va´me rozsˇ´ırˇena´ matice soustavy (8.1). 2. Kazˇde´ rˇesˇenı´ soustavy (8.1) mu˚zˇe by´t povazˇova´no za vektor z vektorove´ho prostoru T n . Mnozˇinu vsˇech rˇesˇenı´ soustavy (8.1) mu˚zˇeme cha´pat jako jistou podmnozˇinu prostoru T n , ktera´ mu˚zˇe by´t i pra´zdna´, pokud soustava nema´ zˇa´dne´ rˇesˇenı´.
k rˇa´dku˚, n sloupcu˚
k rˇa´dku˚, n+1 sloupcu˚
3. Kdyzˇ oznacˇ´ıme x1 x2 X= ... , xn
b1 b2 B= ... , bk
pak mu˚zˇeme soustavu (8.1) zapsat kra´tce maticovou rovnicı´ A · X = B. Pru˚vodce studiem Prˇi rˇesˇenı´ soustavy linea´rnı´ch rovnic nastane vzˇdy pra´veˇ jeden z na´sledujı´cı´ch trˇ´ı prˇ´ıpadu˚: 1. soustava nema´ zˇa´dne´ rˇesˇenı´ (je nerˇesˇitelna´), 2. soustava ma´ jedine´ rˇesˇenı´, 3. soustava ma´ vı´ce nezˇ jedno rˇesˇenı´ (nekonecˇneˇ mnoho).
Definice 8.3. Dveˇ soustavy linea´rnı´ch rovnic o n nezna´my´ch (nad ty´mzˇ cˇ´ıselny´m teˇlesem T ) se nazy´vajı´ ekvivalentnı´ soustavy, jestlizˇe mnozˇiny jejich rˇesˇenı´ jsou si rovny. Jaka´koliv u´prava dane´ soustavy linea´rnı´ch rovnic, po ktere´ vznikne soustava ekvivalentnı´, se nazy´va´ ekvivalentnı´ u´prava dane´ soustavy linea´rnı´ch rovnic. Veˇta 8.4. Necht’je da´na soustava linea´rnı´ch rovnic (8.1). Pak na´sledujı´cı´ u´pravy jsou ekvivalentnı´mi u´pravami soustavy (8.1): 1. libovolna´ za´meˇna porˇadı´ rovnic, 2. vyna´sobenı´ libovolne´ rovnice nenulovy´m cˇ´ıslem z T, 3. k jedne´ rovnici prˇicˇtenı´ jine´ rovnice vyna´sobene´ libovolny´m cˇ´ıslem z T, 4. vypusˇteˇnı´ z (8.1) rovnice, ktera´ je linea´rnı´ kombinacı´ ostatnı´ch rovnic. Pru˚vodce studiem ˇ ekneme, zˇe i-ta´ rovnice soustavy (8.1) je linea´rnı´ kombinacı´ ostatnı´ch rovnic te´to R soustavy, kdyzˇ existujı´ takova´ cˇ´ısla p1 , p2 , ..., pi−1 , pi+1 , ..., pk ∈ T , z nichzˇ asponˇ jedno je ru˚zne´ od nuly, zˇe platı´ ai1 · x1 + ai2 · x2 + ... + ain · xn = p1 · (a11 · x1 + a12 · x2 + ... + a1n · xn )+ +p2 ·(a21 ·x1 +a22 ·x2 +...+a2n ·xn )+...+pi−1 ·(a(i−1)1 ·x1 +a(i−1)2 ·x2 +...+a(i−1)n ·xn )+ +pi+1 ·(a(i+1)1 ·x1 +a(i+1)2 ·x2 +...+a(i+1)n ·xn )+...+pk ·(ak1 ·x1 +ak2 ·x2 +...+akn ·xn ).
Du˚kaz.
1. Tvrzenı´ je zrˇejme´.
2. Tvrzenı´ je zrˇejme´.
vektor nezna´my´ch X, vektor absolutnı´ch cˇlenu˚ B maticovy´ za´pis dane´ soustavy
3. Vzhledem k 1. mu˚zˇeme prˇedpokla´dat, zˇe k prvnı´ rovnici prˇicˇteme druhou rovnici vyna´sobenou cˇ´ıslem p. Dostaneme soustavu a11 · x1 + a12 · x2 + ... + a1n · xn + p · (a21 · x1 + a22 · x2 + ... + a2n · xn ) = b1 + p · b2 a21 · x1 + a22 · x2 + ... + a2n · xn = b2 .........
(8.2)
ak1 · x1 + ak2 · x2 + ... + akn · xn = bk . Je-li (t1 , t2 , ..., tn ) rˇesˇenı´m soustavy (8.1), potom je zrˇejmeˇ take´ rˇesˇenı´m soustavy (8.2). Naopak, kdyzˇ (t1 , t2 , ..., tn ) je rˇesˇenı´m soustavy (8.2), pak po dosazenı´ do prvnı´ rovnice soustavy (8.2) dostaneme a11 · t1 + a12 · t2 + ... + a1n · tn + p · (a21 · t1 + a22 · t2 + ... + a2n · tn ) = b1 + p · b2 , ale a21 · t1 + a22 · t2 + ... + a2n · tn = b2 , po dosazenı´ dostaneme a11 · t1 + a12 · t2 + ... + a1n · tn + p · b2 = b1 + p · b2 . Po odecˇtenı´ ma´me a11 · t1 + a12 · t2 + ... + a1n · tn = b1 . To znamena´, zˇe vektor (t1 , t2 , ..., tn ) je rˇesˇenı´m soustavy (8.1). Soustavy (8.1) a (8.2) jsou ekvivalentnı´. 4. Vzhledem k 1. prˇedpokla´da´me, zˇe v soustaveˇ (8.1) je prvnı´ rovnice linea´rnı´ kombinacı´ ostatnı´ch rovnic. To znamena´, zˇe soustava (8.1) ma´ tvar p2 · (a21 · x1 + a22 · x2 + ... + a2n · xn ) + +p3 · (a31 · x1 + a32 · x2 + ... + a3n · xn ) + +... + pk · (ak1 · x1 + ak2 · x2 + ... + akn · xn ) = p2 · b2 + p3 · b3 + ... + pk · bk a21 · x1 + a22 · x2 + ... + a2n · xn = b2
(8.3)
......... ak1 · x1 + ak2 · x2 + ... + akn · xn = bk , kde p2 , p3 , ..., pk ∈ T . Uvazˇujeme soustavu, ktera´ vznikla z prˇedchozı´ soustavy vypusˇteˇnı´m 1. rovnice. Nynı´ je prˇ´ımo videˇt, zˇe (t1 , t2 , ..., tn ) je rˇesˇenı´m soustavy (8.1) pra´veˇ tehdy, kdyzˇ je rˇesˇenı´m soustavy (8.3). Tedy soustavy (8.1) a (8.3) jsou ekvivalentnı´.
Pru˚vodce studiem Prˇi prova´deˇnı´ ekvivalentnı´ch u´prav dane´ soustavy linea´rnı´ch rovnic nenı´ nutne´ sta´le opisovat celou soustavu i s nezna´my´mi, stacˇ´ı pracovat s rozsˇ´ırˇenou maticı´ dane´ soustavy. Prova´deˇnı´ ekvivalentnı´ch u´prav na dane´ soustaveˇ je ekvivalentnı´ prova´deˇnı´ elementa´rnı´ch rˇa´dkovy´ch u´prav na rozsˇ´ırˇene´ matici dane´ soustavy doplneˇne´mu o vypousˇteˇnı´ rˇa´dku˚ matice, ktere´ jsou linea´rnı´mi kombinacemi ostatnı´ch rˇa´dku˚. Na te´to u´vaze je zalozˇena Gaussova eliminacˇnı´ metoda rˇesˇenı´ soustav linea´rnı´ch rovnic. Jejı´ princip spocˇ´ıva´ v tom, zˇe danou soustavu rovnic prˇevedeme na jednodusˇsˇ´ı ekvivalentnı´ soustavu, kterou snadno vyrˇesˇ´ıme.
8.2
Gaussova eliminacˇnı´ metoda
Je da´na soustava linea´rnı´ch rovnic (8.1). Prˇevedeme soustavu (8.1) ekvivalentnı´mi u´pravami na soustavu, jejı´zˇ rozsˇ´ırˇena´ matice soustavy je ve schodovite´m tvaru, prˇicˇemzˇ vypustı´me kazˇdou rovnici, ktera´ je linea´rnı´ kombinacı´ ostatnı´ch rovnic. 0
0
0
0
a11 · x1 + a12 · x2 + ... + a1n · xn = b1 ......... 0
0
0
(8.4) 0
asr · xr + asr+1 · xr+1 + ... + asn · xn = bs , Soustava (8.4) ma´ s rovnic. Mohou nastat trˇi prˇ´ıpady: 1. Pokud se v (8.4) vyskytne rovnice, ve ktere´ jsou vsˇechny koeficienty nulove´ a absolutnı´ cˇlen je ru˚zny´ od nuly, nema´ soustava (8.4) a tı´m ani soustava (8.1) rˇesˇenı´. Prˇ´ıklad 8.5. Je da´na soustava rovnic nad cˇ´ıselny´m teˇlesem R
dana´ soustava rovnic
2x1 + 3x2 + 4x3 − x4 = 3 x1 + 3x2 − x3 = 4 −x1 + x3 + 2.x4 = 5 3x1 + x3 = 0 −2x1 − 6x2 + x4 = 2 Rozsˇ´ırˇena´ matice te´to soustavy je A=
rozsˇ´ırˇena´ matice dane´ soustavy
2 3 4 −1 3 1 3 −1 0 4 −1 0 1 2 5 3 0 1 0 0 −2 −6 0 1 2
Rozsˇ´ırˇenou matici soustavy elementa´rnı´mi rˇa´dkovy´mi u´pravami prˇevedeme na schodovity´ tvar 4 1 3 −1 0 1 3 −1 0 4 2 6 −1 −5 3 4 −1 3 0 −3 −1 3 0 2 9 0 1 2 5 ∼ 0 ∼ 3 0 −9 4 0 −12 0 1 0 0 0 0 −2 1 10 −2 −6 0 1 2
∼
∼
1 3 −1 0 4 0 −3 6 −1 −5 0 0 6 1 4 0 0 −14 3 3 0 0 −2 1 10
∼
1 3 −1 0 4 0 −3 6 −1 −5 0 0 −2 1 10 ∼ 0 0 −14 3 3 0 0 6 1 4
1 3 −1 0 4 1 3 −1 0 4 0 −3 6 −1 −5 0 −3 6 −1 −5 0 0 0 −2 1 10 0 −2 1 10 ∼ 0 0 0 −4 −67 0 0 0 −4 −67 0 0 0 4 34 0 0 0 0 −33
.
prˇevedenı´ rozsˇ´ırˇene´ matice soustavy na schodovity´ tvar
Poslednı´ matice je rozsˇ´ırˇenou maticı´ soustavy
soustava ekvivalentnı´ s danou soustavou
x1 + 3.x2 − x3 = 4 −3x2 + 6x3 − x4 = −5 −2x3 + x4 = 10 −4x4 = −67 0 = −33 Tato soustava nema´ rˇesˇenı´, tedy ani dana´ soustava nema´ rˇesˇenı´.
nerˇesˇitelna´ soustava
Pokud takovy´ prˇ´ıpad nenastane, soustava je rˇesˇitelna´. 2. Soustava ma´ jedine´ rˇesˇenı´, je-li s = n. Toto rˇesˇenı´ spocˇ´ıta´me postupny´m dosazova´nı´m ze soustavy (8.4) Prˇ´ıklad 8.6. Je da´na soustava rovnic nad cˇ´ıselny´m teˇlesem R
dana´ soustava rovnic
x1 − x3 + x4 = 1 −x1 + x2 + 2x3 + x4 = −1 2x1 + 2x2 + x3 + 3x4 = −2 3x1 + 2x2 + 2x3 + 3x4 = 1 −2x1 − 2x2 + x3 + 3x4 = 18 Rozsˇ´ırˇena´ matice te´to soustavy je A=
rozsˇ´ırˇena´ matice dane´ soustavy
1 0 −1 1 1 −1 1 2 1 −1 2 2 1 3 −2 3 2 2 3 1 −2 −2 1 3 18
Rozsˇ´ırˇenou matici soustavy elementa´rnı´mi rˇa´dkovy´mi u´pravami prˇevedeme na schodovity´ tvar 1 0 −1 1 1 1 0 −1 1 1 0 1 2 0 1 1 2 0 0 1 0 1 −3 −4 2 3 1 −4 ∼ ∼ 0 0 0 0 0 3 −4 −2 2 5 0 −2 0 0 1 9 20 0 −2 −1 5 20
∼
1 0 0 0 0
0 −1 1 1 1 1 2 0 0 1 −3 −4 0 0 5 10 0 0 12 24
∼
1 0 0 0 0
0 −1 1 1 1 1 2 0 0 1 −3 −4 0 0 5 10 0 0 0 0
Poslednı´ matice je rozsˇ´ırˇenou maticı´ soustavy x1 − x3 + x4 = 1 x2 + x3 + 2x4 = 0 x3 − 3x4 = −4 5x4 = 10. Nynı´ jizˇ snadno spocˇ´ıta´me rˇesˇenı´ x4 = 2,
prˇevedenı´ rozsˇ´ırˇene´ matice soustavy na schodovity´ tvar
. soustava ekvivalentnı´ s danou soustavou
x3 = −4 + 3x4 = −4 + 6 = 2, x2 = −x3 − 2x4 = −2 − 4 = −6, x1 = 1 + x3 − x4 = 1 + 2 − 2 = 1. ˇ esˇenı´m dane´ soustavy je tedy vektor (1, −6, 2, 2). R
rˇesˇenı´ soustavy
3. Soustava ma´ nekonecˇneˇ mnoho rˇesˇenı´, pokud je s < n. Postupny´m dosazova´nı´m z (8.4) vyja´drˇ´ıme s nezna´my´ch pomocı´ zby´vajı´cı´ch (n − s) nezna´my´ch. Teˇchto (n − s) nezna´my´ch nazy´va´me volne´ nezna´me´ . Dosazujeme-li za volne´ nezna´me´ libovolneˇ cˇ´ısla z T , ktery´ch je nekonecˇneˇ mnoho, dostaneme pak jednotliva´ konkre´tnı´ rˇesˇenı´ soustavy (8.1), ktery´ch je tedy take´ nekonecˇneˇ mnoho. Prˇ´ıklad 8.7. Je da´na soustava rovnic nad cˇ´ıselny´m teˇlesem R x1 − x2 + 2x3 = 3
dana´ soustava rovnic
−x1 + 2x2 + 3x4 = 2 x2 + 2x3 + 3x4 = 5 3x1 − 4x2 + 4x3 − 3x4 = 4 2x1 − x2 + 6x3 + 3x4 = 11 Rozsˇ´ırˇena´ matice te´to soustavy je
1 −1 −1 2 1 A= 0 3 −4 2 −1
2 0 0 3 2 3 4 −3 6 3
3 2 5 4 11
rozsˇ´ırˇena´ matice te´to soustavy
Elementa´rnı´mi rˇa´dkovy´mi u´pravami prˇevedeme rozsˇ´ırˇenou matici dane´ soustavy na schodovity´ tvar 1 −1 2 0 3 1 −1 2 0 3 0 1 2 3 5 1 2 3 5 0 5 ∼ 0 0 0 0 0 0 1 2 3 . 0 −1 −2 −3 −5 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 5 0 1 2 3 Poslednı´ matice je rozsˇ´ırˇenou maticı´ soustavy x1 − x2 + 2x3 = 3 x2 + 2x3 + 3x4 = 5,
prˇevedenı´ rozsˇ´ırˇene´ matice soustavy na schodovity´ tvar
soustava ekvivalentnı´ s danou soustavou
ktera´ ma´ dveˇ rovnice a cˇtyrˇi nezna´me´. Dveˇ nezna´me´ volı´me jako volne´ nezna´me´. Zvolı´me naprˇ. za volne´ nezna´me´ x3 , x4 a dosadı´me za neˇ libovolna´ cˇ´ısla r, s ∈ R a vypocˇ´ıta´me x2 a x1 . Pak x3 = r, x4 = s, x2 = 5 − 2x3 − 3x4 = 5 − 2r − 3s, x1 = 3 + x2 − 2x3 = 3 + 5 − 2r − 3s − 2r = 8 − 4r − 3s. ˇ esˇenı´m dane´ soustavy je vektor (8 − 4r − 3s, 5 − 2r − 3s, r, s), r, s ∈ R libovolne´. R Pozna´mka 8.8. Jestlizˇe ma´ soustava linea´rnı´ch rovnic nekonecˇneˇ mnoho rˇesˇenı´, pak z Gaussovy metody vyply´va´ pouze to, kolik nezna´my´ch volı´me za volne´ nezna´me´, ale ne, ktere´ nezna´me´ to jsou. V nasˇem prˇ´ıkladeˇ jsme za volne´ nezna´me´ mohli volit kteroukoli dvojici z nezna´my´ch x1 , x2 , x3 , x4 . Mu˚zˇe se vsˇak sta´t, zˇe neˇkterou nezna´mou nesmı´me volit za volnou nezna´mou a naopak, neˇkterou nezna´mou musı´me volit za volnou nezna´mou. Naprˇ´ıklad v na´sledujı´cı´ soustaveˇ za jednu volnou nezna´mou musı´me zvolit x2 . x1 + 2x3 + x4 = 1 x3 − x4 = 0
rˇesˇenı´ soustavy
Shrnutı´ Matice soustavy je matice sestavena´ z koeficientu˚ dane´ soustavy linea´rnı´ch rovnic. Rozsˇ´ırˇena´ matice soustavy je matice, kterou dostaneme z matice soustavy prˇida´nı´m sloupce absolutnı´ch cˇlenu˚. Ekvivalentnı´ soustavy jsou soustavy, ktere´ majı´ stejne´ mnozˇiny rˇesˇenı´. Ekvivalentnı´ u´prava je u´prava, kterou prˇevedeme soustavu na soustavu s nı´ ekvivalentnı´. Gaussova eliminacˇnı´ metoda spocˇ´ıva´ v prˇevedenı´ rozsˇ´ırˇene´ matice dane´ soustavy elementa´rnı´mi rˇa´dkovy´mi u´pravami na schodovity´ tvar. Pojmy k zapamatova´nı´ • • • • • • •
soustava k linea´rnı´ch rovnic o n nezna´my´ch rˇesˇenı´ soustavy matice soustavy rozsˇ´ırˇena´ matice soustavy ekvivalentnı´ soustavy ekvivalentnı´ u´pravy Gaussova eliminacˇnı´ metoda
Kontrolnı´ ota´zky 1. Mu˚zˇe mı´t soustava linea´rnı´ch rovnic pra´veˇ dveˇ rˇesˇenı´? 2. Soustavu rovnic dostaneme z pu˚vodnı´ soustavy za´meˇnou prvnı´ a druhe´ rovnice, kterou jsme vyna´sobili peˇti. Co mu˚zˇeme rˇ´ıci o rˇesˇenı´ch teˇchto dvou soustav? 3. Jak pozna´me prˇi rˇesˇenı´ soustavy Gaussovou eliminacˇnı´ metodou, zˇe je soustava rˇesˇitelna´? Cvicˇenı´ 1. Gaussovou eliminacˇnı´ metodou rˇesˇte soustavu linea´rnı´ch rovnic nad R 2x1 + x3 + 4x4 = 1 x1 + 2x2 − x3 = 1 −x1 + 2x2 + x3 = −1 x2 − x3 = −1 3x1 + 2x2 + x3 = 7 2. Gaussovou eliminacˇnı´ metodou rˇesˇte soustavu linea´rnı´ch rovnic nad R 2x1 − 2x3 = 1 x1 + 2x2 − x3 − 2x4 = 2 x2 − x4 = −1 2x1 + x2 + 2x3 − x4 = 0 −x1 − 2x2 + x3 + 2x4 = 2 3. Gaussovou eliminacˇnı´ metodou rˇesˇte soustavu linea´rnı´ch rovnic nad R x1 − x3 = −1 2x1 + 4x2 − 2x3 − 4x4 = 2 3x2 − 3x4 = 3 4x1 + 2x2 − 2x3 − 2x4 = 0 x1 + 2x2 − x3 − 2x4 = 1
4. Nalezneˇte vsˇechna rˇesˇenı´ soustay linea´rnı´ch rovnic zadane´ rozsˇ´ırˇenou maticı´ soustavy 1 1 2 3 5 4 3 3 1 8 3 4 8 8 15 7 4 5 2 13
´ koly k textu U 1. Uved’te prˇ´ıklad dvou ekvivalentnı´ch soustav linea´rnı´ch rovnic nad R, ktere´ sesta´vajı´ z ru˚zne´ho pocˇtu rovnic. 2. Uved’te prˇ´ıklad soustavy dvou linea´rnı´ch rovnic o dvou nezna´my´ch nad Q, ktera´ ma´ pra´veˇ jedno rˇesˇenı´ 3. Uved’te prˇ´ıklad cˇtyrˇ linea´rnı´ch rovnic o trˇech nezna´my´ch nad R, ktera´ ma´ pra´veˇ jedno rˇesˇenı´. 4. Uved’te prˇ´ıklad rˇesˇitelne´ soustavy 3 linea´rnı´ch rovnic o 4 nezna´my´ch x1 , x2 , x3 , x4 nad Q tak, zˇe nezna´me´ x1 , x2 , x3 musı´ by´t voleny za volne´ nezna´me´. 5. Uved’te prˇ´ıklad rˇesˇitelne´ soustavy 3 linea´rnı´ch rovnic o 4 nezna´my´ch x1 , x2 , x3 , x4 nad Q tak, zˇe nezna´me´ x2 , x4 nelze volit za volne´ nezna´me´.
ˇ esˇenı´ R 1. 2. 3. 4.
(2, 0, 1, -1) nema´ rˇesˇenı´ (0, 1 + r, 1, r), r ∈ R libovolne´ (1, 1, 0, 1)
9
Za´kladnı´ vlastnosti soustav linea´rnı´ch rovnic
Studijnı´ cı´le: V te´to kapitole se studujı´cı´ sezna´mı´ s tı´m, jak lze podle hodnosti matice a podle hodnosti rozsˇ´ırˇene´ matice soustavy rozhodnout o rˇesˇitelnosti dane´ soustavy. Da´le se sezna´mı´ s metodou rˇesˇenı´ soustavy, ve ktere´ je pocˇet rovnic stejny´ jako pocˇet nezna´my´ch. Klı´cˇova´ slova: Frobeniova veˇta, Cramerovo pravidlo
9.1
Frobeniova veˇta
Pru˚vodce studiem Meˇjme da´nu soustavu k linea´rnı´ch rovnic o n nezna´my´ch nad cˇ´ıselny´m teˇlesem T , to je soustavu a11 · x1 + a12 · x2 + ... + a1n · xn = b1 a21 · x1 + a22 · x2 + ... + a2n · xn = b2
(9.1)
......... ak1 · x1 + ak2 · x2 + ... + akn · xn = bk , kde A je matice te´to soustvy a A je rozsˇ´ırˇena´ matice te´to soustavy. Zajı´ma´me se o hodnosti matic A a A. Je zrˇejme´, zˇe mohou nastat dva prˇ´ıpady, bud’ je h(A) = h(A) nebo je h(A) = h(A) + 1. Prˇ´ıpad h(A) = h(A) nastane pra´veˇ tehdy, kdyzˇ sloupec absolutnı´ch cˇlenu˚ je linea´rnı´ kombinacı´ sloupcu˚ matice A.
Uvedeme si nynı´ du˚lezˇitou veˇtu, ktera´ na´m umozˇnı´ rozhodnout o rˇesˇitelnosti cˇi nerˇesˇitelnosti soustavy linea´rnı´ch rovnic bez hleda´nı´ tohoto rˇesˇenı´. Veˇta 9.1 (Frobeniova). Soustava linea´rnı´ch rovnic nad cˇ´ıselny´m teˇlesem T je rˇesˇitelna´ pra´veˇ tehdy, kdyzˇ hodnost matice te´to soustavy je rovna hodnosti rozsˇ´ırˇene´ matice te´to soustavy. Du˚kaz. Uvazˇujeme soustavu (9.1), A je matice te´to soustavy a A rozsˇ´ırˇena´ matice „⇒“ necht’(9.1) je rˇesˇitelna´ soustava a (t1 , t2 , ..., tn ) je rˇesˇenı´ soustavy (9.1). To znamena´, zˇe platı´ a11 · t1 + a12 · t2 + ... + a1n · tn = b1 a21 · t1 + a22 · t2 + ... + a2n · tn = b2 ......... ak1 · t1 + ak2 · t2 + ... + akn · tn = bk . Tento vztah mu˚zˇeme zapsat ve tvaru a11 a21 t1 · ... + t2 · ak1
a12 a22 + ... + tn · ... ak2
a1n b1 a2n b2 = ... ... akn bk
.
To vsˇak znamena´, zˇe sloupec absolutnı´ch cˇlenu˚ je linea´rnı´ kombinacı´ sloupcu˚ matice A ⇒ h(A) = h(A). „⇐“ Necht’h(A) = h(A) ⇒ sloupec absolutnı´ch cˇlenu˚ je linea´rnı´ kombinacı´ sloupcu˚ matice A. Oznacˇ´ıme-li koeficienty te´to linea´rnı´ kombinace (t1 , t2 , ..., tn ) ⇒ (t1 , t2 , ..., tn ) je rˇesˇenı´m soustavy (9.1)
Pru˚vodce studiem Frobeniova veˇta je jednoduchy´m kriteriem rˇesˇitelnosti soustav linea´rnı´ch rovnic, ale v prˇ´ıpadeˇ ˇresˇitelne´ soustavy nerˇ´ıka´ nic o pocˇtu rˇesˇenı´, jestli soustava ma´ jedine´ rˇesˇenı´ nebo nekonecˇneˇ mnoho rˇesˇenı´. Podle hodnostı´ matic A a A se vsˇak da´ rozhodnout i o pocˇtu rˇesˇenı´. Da´ se doka´zat, zˇe 1. soustava (9.1) ma´ jedine´ rˇesˇenı´ ⇐⇒ h(A) = h(A) = n, 2. soustava (9.1) ma´ nekonecˇneˇ mnoho rˇesˇenı´ ⇐⇒ h(A) = h(A) < n
Prˇ´ıklad 9.2. V za´vislosti na parametru a rozhodneˇte o rˇesˇitelnosti a o pocˇtu rˇesˇenı´ (bez hleda´nı´ teˇchto ˇresˇenı´) soustavy linea´rnı´ch rovnic nad cˇ´ıselny´m teˇlesem R, ktera´ je zadana´ rozsˇ´ırˇenou maticı´ soustavy 1 1 1 a 1 1 1 a 1 1 A= 1 a 1 1 1 . a 1 1 1 1 Rˇesˇenı´: Matici prˇevedeme elementa´rnı´mi rˇa´dkovy´mi u´pravami na schodovity´ tvar 1 1 1 a 1 0 0 −1 + a −a + 1 0 ∼ 0 −1 + a 0 −a + 1 0 2 0 −a + 1 −a + 1 −a + 1 −a + 1
1 1 1 a 0 −1 + a 0 −a + 1 ∼ 0 0 −1 + a −a + 1 0 −a + 1 −a + 1 −a2 + 1
1 0 0 −a + 1
1 1 1 a 0 −1 + a 0 −a +1 ∼ 0 0 −1 + a −a + 1 0 0 −a + 1 −a2 − a + 2
prˇevod rozsˇ´ırˇene´ matice soustavy na schodovity´ tvar
∼
1 0 0 −a + 1
1 1 1 a 0 −1 + a 0 −a +1 ∼ 0 0 −1 + a −a + 1 0 0 0 −a2 − 2 a + 3
rozsˇ´ırˇena´ matice soustavy
∼
1 0 0 −a + 1
.
Protozˇe −a2 − 2 a + 3 = −(a + 3)(a − 1), budeme diskutovat hodnoty parametru a = −3 a a = 1. 1 1 1 −3 1 0 −4 0 4 0 0 0 −4 4 0 0 0 0 0 4 Je videˇt, zˇe v prˇ´ıpadeˇ a = −3 je h(A) = 4 6= h(A) = 5 a soustava nema´ rˇesˇenı´.
rozsˇ´ırˇena´ matice ve schodovite´m tvaru pro a = −3
1 1 0 0 0 0 0 0
1 0 0 0
1 0 0 0
rozsˇ´ırˇena´ matice ve schodovite´m tvaru pro a = 1
1 0 0 0
V prˇ´ıpadeˇ a = 1 je h(A) = h(A) = 1 < 4 a soustava ma´ nekonecˇneˇ mnoho rˇesˇenı´. Pokud je a 6= −3 ∧ a 6= 1 , platı´ h(A) = h(A) = 4 a soustava ma´ pra´veˇ jedno rˇesˇenı´.
9.2
Cramerovo pravidlo
Pru˚vodce studiem Nynı´ se budeme zaby´vat specia´lnı´m prˇ´ıpadem soustavy (9.1), kdy rovnic je tolik, kolik je nezna´my´ch (k = n) a navı´c matice soustavy je regula´rnı´.
Veˇta 9.3 (Cramerovo pravidlo). Necht’je da´na soustava n linea´rnı´ch rovnic o n nezna´my´ch, jejı´zˇ matice soustavy A je regula´rnı´. Pak soustava ma´ jedine´ rˇesˇenı´ (x1 , x2 , ..., xn ), prˇicˇemzˇ xj =
det Aj , det A
j = 1, 2, ..., n,
kde Aj je matice vznikla´ z matice A nahrazenı´m j-te´ho sloupce sloupcem absolutnı´ch cˇlenu˚. Du˚kaz. Matice soustavy A je podle prˇedpokladu regula´rnı´, existuje tedy matice k nı´ inverznı´ A−1 . Soustavu (9.1) mu˚zˇeme maticoveˇ zapsat ve tvaru A · X = B. Vyna´sobenı´m zleva maticı´ A−1 dostaneme A−1 · A · X = A−1 · B ⇒ X = A−1 · B. Snazˇ´ıme se nynı´ toto rˇesˇenı´, ktere´ je jedine´, vyja´drˇit. Vı´me, zˇe A11 A21 ... An1 1 A 12 A22 ... An2 A−1 = · ... ... ... ... det A A1n A2n ... Ann
,
kde Aij je algebraicky´ doplneˇk prvku aij . Kdyzˇ takto vyja´drˇenou matici A−1 dosadı´me do vztahu X = A−1 · B, dostaneme 1 · (A1j · b1 + A2j · b2 + ... + Anj · bn ) = det A ... a1j−1 b1 a1j+1 ... a1n ... a2j−1 b2 a2j+1 ... a2n det Aj = , j = 1, 2, ..., n. ... ... ... ... ... ... det A ... anj−1 bn anj+1 ... ann
xj = 1 · = det A
a11 a21 ... an1
Prˇ´ıklad 9.4. Danou soustavu linea´rnı´ch rovnic rˇesˇte pomocı´ Cramerova pravidla (pokud je to mozˇne´) x1 + 2x2 − x3 = 3 −x1 + x2 + 2x3 = 2 2x1 − x2 − 3x3 = −1.
Rˇesˇenı´: Nejdrˇ´ıve se prˇesveˇdcˇ´ıme, zˇe danou soustavu mu˚zˇeme rˇesˇit pomocı´ Cramerova pravidla. 1 2 −1 1 2 A = −1 2 −1 −3 1 2 −1 1 2 = 2 6= 0 det A = −1 2 −1 −3 Matice soustavy je regula´rnı´, mu˚zˇeme tedy soustavu rˇesˇit Cramerovy´m pravidlem. Vypocˇ´ıta´me nynı´ det A1 , det A2 , det A3 3 2 −1 1 2 = 6 det A1 = 2 −1 −1 −3
x2 =
det A2 = 1, det A
x3 =
det A3 = 2. det A
Rˇesˇenı´m dane´ soustavy je tedy vektor (3, 1, 2). Pru˚vodce studiem Na nasˇem prˇ´ıkladeˇ jsme videˇli, zˇe pokud chceme vypocˇ´ıtat hodnotu vsˇech nezna´my´ch soustavy trˇ´ı rovnic o trˇech nezna´my´ch, musı´me vypocˇ´ıtat cˇtyrˇi determinanty trˇetı´ho rˇa´du. Pro veˇtsˇ´ı soustavy je pouzˇitı´ Cramerova pravidla numericky velmi na´rocˇne´. Cramerovo pravidlo na´m vsˇak umozˇnˇuje prˇ´ımy´ vy´pocˇet jednotlivy´ch nezna´my´ch, cozˇ mu˚zˇe by´t vy´hodne´ v situacı´ch, kdy na´s zajı´ma´ pouze hodnota jedne´ nezna´me´.
Shrnutı´ Soustava linea´rnı´ch rovnic je rˇesˇitelna´ pra´veˇ tehdy, kdyzˇ hodnost matice soustavy je rovna hodnosti rozsˇ´ırˇene´ matice soustavy. Soustava linea´rnı´ch rovnic ma´ pra´veˇ jedno rˇesˇenı´ pra´veˇ, kdyzˇ hodnost matice soustavy i rozsˇ´ırˇene´ matice soustavy je rovna pocˇtu nezna´my´ch. Podud je matice soustavy regula´rnı´ cˇtvercova´ matice, mu˚zˇeme rˇesˇenı´ pocˇ´ıtat pouzˇitı´m Cramerova pravidla. Pojmy k zapamatova´nı´ • Frobeniova veˇta • Cramerovo pravidlo
nahradı´me 1.sloupec sloupcem absolutnı´ch cˇlenu˚
nahradı´me 3.sloupec sloupcem absolutnı´ch cˇlenu˚
Nynı´ jizˇ mu˚zˇeme vypocˇ´ıtat nezna´me´ x1 , x2 , x3 det A1 = 3, det A
determinat matice soustavy
nahradı´me 2.sloupec sloupcem absolutnı´ch cˇlenu˚
1 3 −1 2 2 = 2 det A2 = −1 2 −1 −3 1 2 3 1 2 = 4 det A3 = −1 2 −1 −1
x1 =
matice soustavy
vy´pocˇet rˇesˇenı´ x1 , x2 , x3
Kontrolnı´ ota´zky 1. Mu˚zˇe mı´t soustava trˇ´ı linea´rnı´ch rovnic o cˇtyrˇech nezna´my´ch (nad R) pra´veˇ jedno rˇesˇenı´? 2. Je da´na soustava cˇtyrˇ linea´rnı´ch rovnic o trˇech nezna´my´ch (nad R), jejı´zˇ rozsˇ´ırˇena´ matice soustavy je regula´rnı´. Uved’te, co vsˇechno lze rˇ´ıci o pocˇtu rˇesˇenı´ te´to soustavy. 3. Mu˚zˇeme rˇesˇit soustavu cˇtyrˇ linea´rnı´ch rovnic o trˇech nezna´my´ch pomocı´ Cramerova pravidla?
Cvicˇenı´ 1. V za´vislosti na parametru a rozhodneˇte o rˇesˇitelnosti, prˇ´ıpadneˇ o pocˇtu rˇesˇenı´, bez hleda´nı´ teˇchto rˇesˇenı´, soustavy linea´rnı´ch rovnic, ktera´ je zadana´ rozsˇ´ırˇenou maticı´ soustavy (nad R) 1 1 1 a a3 1 1 a 1 a2 1 a 1 1 a a 1 1 1 1 2. Urcˇete vsˇechny hodnoty parametru a ∈ R, pro ktere´ je dana´ soustava linea´rnı´ch rovnic nad R ˇresˇitelna´ x1 − x2 + 2x3 = 1 −x1 + 2x2 − 4x3 + 2x4 = a 2x1 + 2x2 − 4x3 + 8x4 = 7 3. Danou soustavu linea´rnı´ch rovnic rˇesˇte pouzˇitı´m Cramerova pravidla (pokud je to mozˇne´). (a) 3x1 + x2 − x3 = 10 5x1 − x2 − 2x3 = 29 −4x1 − x2 − 2x3 = 2 (b) 2x1 + 3x2 + x3 = 1 3x1 + 2x2 + x3 = 5 −x1 + 6x2 + x3 = 7
´ koly k textu U 1. Uved’te prˇ´ıklad rˇesˇitelne´ soustavy trˇ´ı linea´rnı´ch rovnic o trˇech nezna´my´ch (nad R), jejı´zˇ matice soustavy je singula´rnı´. 2. Uved’te prˇ´ıklad nerˇesˇitelne´ soustavy trˇ´ı linea´rnı´ch rovnic o trˇech nezna´my´ch (nad R), jejı´zˇ matice soustavy je singula´rnı´. 3. Uved’te prˇ´ıklad soustavy cˇtyrˇ linea´rnı´ch rovnic o cˇtyrˇech nezna´my´ch nad R, kterou nemu˚zˇeme rˇesˇit pouzˇitı´m Cramerova pravidla.
ˇ esˇenı´ R 1. pro a = −3 nema´ soustava rˇesˇenı´, pro a = 1 ma´ soustava nekonecˇneˇ mnoho rˇesˇenı´, pro a 6= −3 ∧ a 6= 1 ma´ soustava pra´veˇ jedno rˇesˇenı´ 2. pro a = 14 3. a) (3, −4, −5), b) nemu˚zˇeme rˇesˇit pouzˇitı´m Cramerova pravidla
10
Homogennı´ soustavy linea´rnı´ch rovnic
Studijnı´ cı´le: V te´to kapitole se studujı´cı´ sezna´mı´ s homogennı´mi soustavami linea´rnı´ch rovnic, obecny´m ˇresˇenı´m a fundamenta´lnı´m syste´mem rˇesˇenı´ homogennı´ch soustav linea´rnı´ch rovnic a vztahem mezi ˇresˇenı´mi homogennı´ a nehomogennı´ soustavy s ty´mizˇ koeficienty Klı´cˇova´ slova: homogennı´ soustva linea´rnı´ch rovnic, nulove´ rˇesˇenı´, fundamenta´lnı´ syste´m rˇesˇenı´, zhomogenizovana´ soustava Definice 10.1. Soustava
n nezna´my´ch, k rovnic a11 · x1 + a12 · x2 + ... + a1n · xn = 0 a21 · x1 + a22 · x2 + ... + a2n · xn = 0
(10.1)
......... ak1 · x1 + ak2 · x2 + ... + akn · xn = 0, kde aij ∈ T , i = 1, 2, ..., k, j = 1, 2, ..., n, se nazy´va´ homogennı´ soustava k linea´rnı´ch rovnic o n nezna´my´ch nad cˇ´ıselny´m teˇlesem T . Pozna´mka 10.2. Matici soustavy (10.1) opeˇt znacˇ´ıme A a rozsˇ´ırˇenou matici soustavy (10.1) znacˇ´ıme A. Rozsˇ´ırˇena´ matice A vznikne z matice soustavy A prˇida´nı´m sloupce, ktery´ se skla´da´ ze samy´ch nul, platı´ tedy vzˇdy h(A) = h(A) a podle Frobeniovy veˇty je homogennı´ soustava vzˇdy rˇesˇitelna´. Usporˇa´dana´ n-tice (0,0,...,0) je vzˇdy rˇesˇenı´m homogennı´ soustavy (10.1). Toto rˇesˇenı´ se nazy´va´ nulove´ rˇesˇenı´. Homogennı´ soustava ma´ tedy bud’ jedine´ rˇesˇenı´, a to rˇesˇenı´ nulove´, nebo ma´ nekonecˇneˇ mnoho rˇesˇenı´ – nulove´ rˇesˇenı´ a nenulova´ rˇesˇenı´. Krite´rium pro oba prˇ´ıpady uda´va´ na´sledujı´cı´ veˇta. Veˇta 10.3. Necht’(10.1) je homogennı´ soustava s maticı´ soustavy A. Potom 1. soustava (10.1) ma´ pouze nulove´ rˇesˇenı´ ⇐⇒ h(A) = n, 2. soustava (10.1) ma´ i nenulova´ rˇesˇenı´ ⇐⇒ h(A) < n. Du˚kaz. Obeˇ tvrzenı´ plynou z prˇedchozı´ch u´vah. Pru˚vodce studiem V prˇ´ıpadeˇ, kdy pocˇet rovnic je roven pocˇtu nezna´my´ch (k = n) ma´ homogennı´ soustava pouze nulove´ ˇresˇenı´ pra´veˇ tehdy, kdyzˇ det A 6= 0 a ma´ i nenulova´ rˇesˇenı´ pra´veˇ tehdy, kdyzˇ det A = 0.
Pozna´mka 10.4. Jizˇ drˇ´ıve jsme si rˇekli, zˇe rˇesˇenı´ soustavy linea´rnı´ch rovnic o n nezna´my´ch nad cˇ´ıselny´m teˇlesem T mu˚zˇeme povazˇovat za vektor z vektorove´ho prostoru T n . Mnozˇina W vsˇech rˇesˇenı´ te´to soustavy je potom podmnozˇinou vektorove´ho prostoru T n . V prˇ´ıpadeˇ nehomogennı´ soustavy nenı´ nikdy podprostorem vektorove´ho prostoru T n , protozˇe neobsahuje nulovy´ vektor. Nulovy´ vektor nikdy nemu˚zˇe by´t rˇesˇenı´m nehomogennı´ soustavy. V prˇ´ıpadeˇ homogennı´ soustavy mnozˇina rˇesˇenı´ W vzˇdy nulovy´ vektor obsahuje a je podprostorem vektorove´ho prostoru T n , jak ukazuje na´sledujı´cı´ veˇta.
Veˇta 10.5. Mnozˇina W vsˇech rˇesˇenı´ homogennı´ soustavy (10.1) je podprostorem ve vektorove´m prostoru T n a platı´ dim W = n - h(A). Du˚kaz. V literaturˇe [Hor91] Definice 10.6. Ba´ze podprostoru W prostoru T n vsˇech rˇesˇenı´ homogennı´ soustavy (10.1) se nazy´va´ fundamenta´lnı´ syste´m rˇesˇenı´ soustavy (10.1).
dimenze podprostoru rˇesˇenı´ dane´ homogennı´ soustavy je rovna pocˇtu volny´ch nezna´my´ch v te´to soustaveˇ
Pru˚vodce studiem Prˇi ˇresˇenı´ homogennı´ soustavy linea´rnı´ch rovnic hleda´me obecne´ rˇesˇenı´ dane´ soustavy, tedy mnozˇinu vsˇech rˇesˇenı´ dane´ soustavy, a fundamenta´lnı´ syste´m rˇesˇenı´ dane´ soustavy. Pro urcˇenı´ fundamenta´lnı´ho syste´mu rˇesˇenı´ dane´ soustavy je nutne´ podle definice najı´t ba´zi podprostoru rˇesˇenı´ dane´ soustavy. Prˇi prakticke´m hleda´nı´ ba´ze podprostoru rˇesˇenı´ W je nejvy´hodneˇjsˇ´ı postupovat tak, zˇe 1. obecneˇ vyja´drˇ´ıme rˇesˇenı´ dane´ soustavy, 2. (n−r) volny´ch nezna´my´ch zvolı´me (n−r) linea´rneˇ neza´visly´mi zpu˚soby a spocˇ´ıta´me vektory ba´ze podprostoru W . Je zrˇejme´, zˇe ba´zı´ W je nekonecˇneˇ mnoho.
Prˇ´ıklad 10.7. Nalezneˇte dva fundamenta´lnı´ syste´my rˇesˇenı´ homogennı´ soustavy linea´rnı´ch rovnic nad R 2x1 + x2 − x3 + 4x4 = 0
homogennı´ soustava rovnic
−2x1 + x2 + 3x3 + 4x4 = 0 6x1 − x2 − 7x3 − 4x4 = 0 6x1 + x2 − 5x3 + 4x4 = 0. Rˇesˇenı´: Hleda´me nejdrˇ´ıve obecne´ rˇesˇenı´ dane´ soustavy. 2 1 −1 4 −2 1 3 4 6 −1 −7 −4 6 1 −5 4 Matici prˇevedeme na schodovity´ tvar 2 1 −1 4 0 2 2 8 0 −4 −4 −16 0 −2 −2 −8
2 0 ∼ 0 0
matice dane´ soustavy rovnic
1 −1 4 2 2 8 . 0 0 0 0 0 0
Dimenze podprostoru rˇesˇenı´ W dane´ soustavy je dim W = 2. Za dveˇ volne´ nezna´me´ tedy mu˚zˇeme zvolit parametry. Zvolı´me x3 = r, x4 = s a vypocˇ´ıta´me 1 x2 = (−2x3 − 8x4 ) = −r − 4s, 2 1 1 x1 = (−x2 + x3 − 4x4 ) = (r + 4s + r − 4s) = r. 2 2
prˇevedenı´ matice soustavy na schodovity´ tvar
vy´pocˇet obecne´ho rˇesˇenı´
Obecne´ rˇesˇenı´ dane´ soustavy je vektor
obecne´ rˇesˇenı´
(r, −r − 4s, r, s),
r, s ∈ R.
Kdyzˇ zvolı´me r = 1, s = 0 a r = 0, s = 1, dostaneme jeden fundamenta´lnı´ syste´m rˇesˇenı´ (1, −1, 1, 0),
1.fundamenta´lnı´ syste´m rˇesˇenı´
(0, −4, 0, 1)
Kdyzˇ zvolı´me r = 0, s = 1 a r = 1, s = 1, dostaneme druhy´ fundamenta´lnı´ syste´m rˇesˇenı´ (0, −4, 0, 1),
2.fundamenta´lnı´ syste´m rˇesˇenı´
(1, −5, 1, 1)
Nynı´ se vra´tı´me k obecny´m soustava´m linea´rnı´ch rovnic nad cˇ´ıselny´m teˇlesem T a rˇekneme si neˇco vı´ce o mnozˇineˇ rˇesˇenı´ takove´ soustavy. Definice 10.8. Necht’je da´na soustava linea´rnı´ch rovnic nad cˇ´ıselny´m teˇlesem T
nehomogennı´ soustava
a11 · x1 + a12 · x2 + ... + a1n · xn = b1 a21 · x1 + a22 · x2 + ... + a2n · xn = b2
(10.2)
......... ak1 · x1 + ak2 · x2 + ... + akn · xn = bk . Pak homogennı´ soustava linea´rnı´ch rovnic s ty´mizˇ koeficienty u nezna´my´ch, tj.
homogennı´ soustava
a11 · x1 + a12 · x2 + ... + a1n · xn = 0 a21 · x1 + a22 · x2 + ... + a2n · xn = 0
(10.3)
......... ak1 · x1 + ak2 · x2 + ... + akn · xn = 0 se nazy´va´ zhomogenizovana´ soustava k soustaveˇ (10.2). Veˇta 10.9. Necht’je da´na soustava linea´rnı´ch rovnic (10.2). Pak platı´ 1. soucˇet libovolne´ho rˇesˇenı´ soustavy (10.2) s libovolny´m rˇesˇenı´m k nı´ zhomogenizovane´ soustavy je rˇesˇenı´m soustavy (10.2), 2. rozdı´l libovolny´ch dvou rˇesˇenı´ soustavy (10.2) je rˇesˇenı´m k nı´ zhomogenizovane´ soustavy. Du˚kaz.
1. Necht’u = (u1 , u2 , ..., un ) je rˇesˇenı´m soustavy (10.2). To znamena´, zˇe platı´ n X
aij · uj = bi ,
i = 1, 2, ..., k.
j=1
Necht’v = (v1 , v2 , ..., vk ) je rˇesˇenı´m soustavy (10.3). To znamena´, zˇe platı´ n X
aij · vj = 0,
i = 1, 2, ..., k.
j=1
Potom pro u + v = (u1 + v1 , u2 + v2 , ..., un + vn ) platı´ n X j=1
aij · (uj + vj ) =
n X j=1
aij · uj +
n X
aij · vj = bi + 0 = bi ,
j=1
To znamena´, zˇe u + v je rˇesˇenı´m soustavy (10.2).
i = 1, 2, ..., k.
2. Necht’ u = (u1 , u2 , ..., un ), w = (w1 , w2 , ..., wn ) jsou dveˇ rˇesˇenı´ soustavy (10.2). To znamena´, zˇe platı´ n X
aij · uj = bi ,
j=1
n X
aij · wj = bi ,
i = 1, 2, ..., k.
j=1
Potom pro u − w = (u1 − w1 , u2 − w2 , ..., un − wn ) platı´ n X
aij · (uj − wj ) =
j=1
n X j=1
aij · uj −
n X
aij · wj = bi − bi = 0,
i = 1, 2, ...k.
j=1
u − w je tedy rˇesˇenı´m zhomogenizovane´ soustavy (10.3).
Veˇta 10.10. Necht’ (10.2) je rˇesˇitelna´ soustava linea´rnı´ch rovnic. Pak vsˇechna rˇesˇenı´ soustavy (10.2) obdrzˇ´ıme prˇicˇtenı´m vsˇech rˇesˇenı´ zhomogenizovane´ soustavy (10.3) k jednomu pevne´mu rˇesˇenı´ soustavy (10.2). Du˚kaz. Oznacˇme M mnozˇinu vsˇech rˇesˇenı´ soustavy (10.2). Podle prˇedpokladu je M 6= ∅. Necht’je u0 ∈ M pevne´ rˇesˇenı´ soustavy (10.2). Oznacˇme M = {u0 + v| v je pevne´ rˇesˇenı´ soustavy (10.3)}. Doka´zˇeme, zˇe M = M . „ ⊆“ Necht’ u ∈ M je libovolne´ rˇesˇenı´ soustavy (10.2) ⇒ u − u0 je rˇesˇenı´m soustavy (10.3) ⇒ u = u0 + (u − u0 ) ∈ M . „⊇“ Plyne z 1.cˇa´sti prˇedchozı´ veˇty. Prˇ´ıklad 10.11. Rozhodneˇte, zda vektor u = (2, 3, 1, −1, 0) je rˇesˇenı´m soustavy linea´rnı´ch rovnic
dana´ nehomogennı´ soustava
x1 + 3x2 − x4 + 2x5 = 12 −x1 − 2x2 − 2x3 + x5 = −10 3x1 + 8x2 + 2x3 − 2x4 + 3x5 = 34 2x1 + 5x2 + 2x3 − x4 + x5 = 22. Pokud ano, pak pomocı´ vektoru u vyja´drˇete vsˇechna rˇesˇenı´ x te´to soustavy. Rˇesˇenı´: Prˇesveˇdcˇ´ıme se nejdrˇ´ıve, zˇe vektor u je rˇesˇenı´m dane´ soustavy. 1 3 0 −1 2 −1 −2 −2 0 1 A= 3 8 2 −2 3 2 5 2 −1 1
matice soustavy
b = (12, −10, 34, 22)
vektor absolutnı´ch cˇlenu˚
1 3 0 −1 2 −1 −2 −2 0 1 A·u= · 3 8 2 −2 3 2 5 2 −1 1
2 3 1 −1 0
12 −10 = 34 = b 22
vektor u je rˇesˇenı´m dane´ soustavy
x1 + 3x2 − x4 + 2x5 = 0
prˇ´ıslusˇna´ zhomogenizovana´ soustava
−x1 − 2x2 − 2x3 + x5 = 0 3x1 + 8x2 + 2x3 − 2x4 + 3x5 = 0 2x1 + 5x2 + 2x3 − x4 + x5 = 0 Tuto soustavu nynı´ vyrˇesˇ´ıme. 1 3 0 −1 2 −1 −2 −2 0 1 ∼ 3 8 2 −2 3 2 5 2 −1 1
1 3 0 −1 2 1 3 0 −1 2 0 1 −2 −1 3 ∼ 0 1 −2 −1 3 0 0 0 0 0 0 −1 2 1 −3 0 0 0 0 0 0 −1 2 1 −3
(−6r − 2s + 7t, 2r + s − 3t, r, s, t) Fundamenta´lnı´ syste´m rˇesˇenı´ zhomogenizovane´ soustavy jsou naprˇ. vektory (−6, 2, 1, 0, 0), (−2, 1, 0, 1, 0), (7, −3, 0, 0, 1) Rˇesˇenı´ dane´ soustavy tedy mu˚zˇeme vyja´drˇit ve tvaru
prˇevedeme matici soustavy na schodovity´ tvar
obecne´ rˇesˇenı´ zhomogenizovane´ soustavy fundamenta´lnı´ syste´m rˇesˇenı´ zhomogenizovane´ soustavy
x = u + r · (−6, 2, 1, 0, 0) + s · (−2, 1, 0, 1, 0) + t · (7, −3, 0, 0, 1). rˇesˇenı´ dane´ soustavy Shrnutı´ Homogennı´ soustava linea´rnı´ch rovnic je soustava s nulovy´m vektorem absolutnı´ch cˇlenu˚. Homogennı´ soustava linea´rnı´ch rovnic je vzˇdy rˇesˇitelna´. Nulovy´ vektor je rˇesˇenı´m kazˇde´ homogennı´ soustavy linea´rnı´ch rovnic. Dimenze podprostoru rˇesˇenı´ dane´ homogennı´ soustavy je rovna pocˇtu volny´ch nezna´my´ch v te´to soustaveˇ. Fundamenta´lnı´ syste´m rˇesˇenı´ homogennı´ soustavy je ba´ze podprostoru rˇesˇenı´ te´to soustavy. Zhomogenizovana´ soustava k dane´ soustaveˇ linea´rnı´ch rovnic je homogennı´ soustava, ktera´ ma´ stejne´ koeficienty jako dana´ soustava. Pojmy k zapamatova´nı´ • • • • •
homogennı´ soustava linea´rnı´ch rovnic nulove´ rˇesˇenı´ obecne´ rˇesˇenı´ homogennı´ soustavy fundamenta´lnı´ syste´m rˇesˇenı´ homogennı´ soustavy zhomogenizovana´ soustava k dane´ soustaveˇ
Kontrolnı´ ota´zky 1. Je mozˇne´, aby podprostor rˇesˇenı´ homogennı´ soustavy dvou linea´rnı´ch rovnic o peˇti nezna´my´ch (nad Q) meˇl dimenzi 2? 2. Je mozˇne´, aby podprostor rˇesˇenı´ homogennı´ soustavy trˇech linea´rnı´ch rovnic o cˇtyrˇech nezna´my´ch (nad Q) nemeˇl zˇa´dnou ba´zi? 3. Necht’W je podprostor rˇesˇenı´ homogennı´ soustavy cˇtyrˇ linea´rnı´ch rovnic o sˇesti nezna´my´ch (nad R). Udejte, jaky´ch vsˇech hodnot mu˚zˇe naby´vat dim W.
Cvicˇenı´ 1. Nalezneˇte obecne´ rˇesˇenı´ a fundamenta´lnı´ syste´m rˇesˇenı´ zadane´ homogennı´ soustavy linea´rnı´ch rovnic nad R. x1 + 2x2 + 5x3 + 3x4 = 0 2x1 + 2x2 + 4x3 + 4x4 = 0 3x1 − 4x2 + 3x3 + 8x4 = 0 3x1 + 16x2 + 25x3 + 9x4 = 0 2. Nalezneˇte obecne´ rˇesˇenı´ a fundamenta´lnı´ syste´m rˇesˇenı´ zadane´ homogennı´ soustavy linea´rnı´ch rovnic nad R. 2x1 + x2 + x4 + 2x5 = 0 x1 + x2 − x3 + 2x5 = 0 −x1 + 2x2 − 3x3 − x4 = 0 −x1 + x2 − x3 − 2x5 = 0 3. V za´vislosti na parametru a rˇesˇte homogennı´ soustavu linea´rnı´ch rovnic nad R x1 + 2x2 − x3 − 2x4 = 0 2x1 + 3x2 − x3 − 2x4 = 0 x2 + 2x4 = 0 x1 + 2x3 + 6x4 = 0 x1 − x2 − 3x3 − a · x4 = 0 4. Rozhodneˇte, zda vektor u = (1,-1,1,1) je rˇesˇenı´m soustavy linea´rnı´ch rovnic x1 − 2x2 + 3x3 − 4x4 = 2 x2 − x3 + x4 = −1 2x1 + 2x2 − 2x4 = −2 x1 − 4x2 + 5x3 − 6x4 = 4. Pokud ano, pak pomocı´ vektoru u vyja´drˇete vsˇechna rˇesˇenı´ x te´to soustavy.
´ koly k textu U 1. Udejte prˇ´ıklad homogennı´ soustavy trˇ´ı linea´rnı´ch rovnic o peˇti nezna´my´ch (nad Q) tak, zˇe jejı´ podprostor rˇesˇenı´ ma´ dimenzi 4. 2. Udejte prˇ´ıklad homogennı´ soustavy linea´rnı´ch rovnic nad R tak, aby ba´zı´ jejı´ho podprostoru rˇesˇenı´ byl vektor (1,1,1,1) 3. Udejte prˇ´ıklad homogennı´ soustavy cˇtyrˇ linea´rnı´ch rovnic o cˇtyrˇech nezna´my´ch (nad Q) tak, aby jejı´ podprostor rˇesˇenı´ nemeˇl ba´zi. 4. Udejte prˇ´ıklad homogennı´ soustavy trˇ´ı rovnic o cˇtyrˇech nezna´my´ch x1 , x2 , x3 , x4 nad R tak, zˇe za volne´ nezna´me´ nutno volit pra´veˇ nezna´me´ x2 , x3
ˇ esˇenı´ R 1. obecne´ rˇesˇenı´: (−3r, r, −r, 2r), r ∈ R, fundamenta´lnı´ syste´m rˇesˇenı´: naprˇ. vektor (−3, 1, −1, 2) 2. obecne´ rˇesˇenı´: (−2s, −r + 2s, −r + 2s, r, s), r, s ∈ R, fundamenta´lnı´ syste´m rˇesˇenı´: (0, −1, −1, 1, 0), (−2, 2, 2, 0, 1) 3. pro a 6= 16 soustava ma´ pouze nulove´ ˇresˇenı´, pro a = 16 ma´ rˇesˇenı´ (2r, −2r, −4r, r) 4. ano, x = u + r · (−1, 1, 1, 0) + s · (2, −1, 0, 1), r, s ∈ R
Reference [Bec05]
Becˇva´rˇ J.: Linea´rnı´ algebra. matfyzpress, Praha, 2005
[Bic00]
Bican L.: Linea´rnı´ algebra a geometrie. Academia, Praha, 2000
[EmKu07] Emanovsky´ P., Ku¨hr J.: Cvicˇenı´ z algebry pro 1.rocˇnı´k I. Universita Palacke´ho, Olomouc, 2007 [GaTa88] Garding L.,Tambour T.: Algebra for computer science. Springer, New York, 1988 [Hor91]
Hora´k P.: Algebra a teoreticka´ aritmetika. Masarykova univerzita, Brno, 1991
[Hor06]
Hora´k P.: Cvicˇenı´ z algebry a teoreticke´ aritmetiky. Masarykova univerzita, Brno, 2006
[HoRa03] Hort D., Rachu˚nek J.: Algebra I. Universita Palacke´ho, Olomouc, 2003 [Chaj03] Chajda I.: Okruhy a moduly. Universita Palacke´ho, Olomouc, 2003 [Chaj05] Chajda I.: U´vod do algebry (grupoidy a grupy). Universita Palacke´ho, Olomouc, 2005 [MoZa02] Motl L.,Zahradnı´k M.: Peˇstujeme linea´rnı´ algebru. Universita Karlova, Praha, 2002 [Rach05] Rachu˚nek J.: Grupy a okruhy. Universita Palacke´ho, Olomouc, 2005 [SzMo02] Szidarovszky F., Molna´r S.: Introduction to Matrix Theory with Applications to Business and Economics. World Scientific, New Jersey, 2002
