KATEDRA INFORMATIKY UNIVERZITA PALACKÉHO LINEÁRNÍ ALGEBRA 1 OLGA KRUPKOVÁ VÝVOJ TOHOTO UČEBNÍHO TEXTU JE SPOLUFINANCOVÁN

KATEDRA INFORMATIKY ˇ I´RODOVEˇDECKA ´ FAKULTA PR UNIVERZITA PALACKE´HO

´ RNI´ ALGEBRA 1 LINEA ´ OLGA KRUPKOVA

´N VY´VOJ TOHOTO UCˇEBNI´HO TEXTU JE SPOLUFINANCOVA ´ LNI´M FONDEM A STA ´ TNI´M ROZPOCˇTEM CˇESKE´ REPUBLIKY EVROPSKY´M SOCIA

Olomouc 2008

Abstrakt

Tento text distancˇnı´ho vzdeˇla´va´nı´ obsahuje u´vodnı´ partie kurzu z linea´rnı´ algebry. Prˇedstavuje za´klady maticove´ho pocˇtu, syste´my linea´rnı´ch rovnic a u´vod do teorie vektorovy´ch prostoru˚.

Cı´lova´ skupina

Text je prima´rneˇ urcˇen studentu˚m prezencˇnı´ho studia informatiky. Jako studijnı´ pomu˚cka je vhodny´ rovneˇzˇ pro studenty vsˇech forem studia oboru˚ matematicky´ch, informaticky´ch a fyzika´lnı´ch.

Obsah 1

2

3

4

5

6

Matice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.1

Cˇ´ıselna´ pole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.2

Cˇ´ıselne´ matice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.3

Operace s maticemi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.4

Symetricke´ a antisymetricke´ matice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

Hodnost matice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12

2.1

Elementa´rnı´ u´pravy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12

2.2

Ekvivalentnı´ matice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

15

2.3

Hodnost matice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

15

2.4

Veˇty o hodnosti matice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

17

2.5

Vy´pocˇet hodnosti matice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

21

Determinanty a inverznı´ matice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

26

3.1

Permutace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

26

3.2

Determinant cˇtvercove´ matice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

27

3.3

Inverznı´ matice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

35

3.4

Metoda vroubenı´ pro vy´pocˇet hodnosti matice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

40

Syste´my linea´rnı´ch rovnic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

42

4.1

Frobeniova veˇta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

43

4.2

Cramerovske´ syste´my . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

47

4.3

Homogennı´ syste´my linea´rnı´ch rovnic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

50

4.4

Nehomogennı´ syste´my linea´rnı´ch rovnic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

53

Vektorove´ prostory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

58

5.1

Komutativnı´ grupy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

58

5.2

Vektorove´ prostory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

59

5.3

Prˇ´ıklady vektorovy´ch prostoru˚ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

61

5.4

Transformacˇnı´ vztahy pro slozˇky vektoru . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

64

Podprostory vektorovy´ch prostoru˚ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

71

6.1

Vektorove´ podprostory, Steinitzova veˇta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

71

6.2

Linea´rnı´ obal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

73

6.3

Parametricke´ a obecne´ rovnice podprostoru . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

73

6.4

Pru˚nik a soucˇet vektorovy´ch podprostoru˚ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

75

1

Matice

Studijnı´ cı´le: V u´vodnı´ch kapitola´ch kurzu z linea´rnı´ algebry se sezna´mı´me s cˇ´ıselny´mi maticemi a naucˇ´ıme se s nimi pocˇ´ıtat. Maticovy´ pocˇet prˇedstavuje za´kladnı´ matematicky´ apara´t, ktery´ umozˇnˇuje prˇehledneˇ formulovat proble´my, prova´deˇt vy´pocˇty a rˇesˇit mnohe´ prakticke´ u´lohy nejen v samotne´ algebrˇe, ale i v dalsˇ´ıch oblastech matematiky, v informatice, ve fyzice, i v technicky´ch a dalsˇ´ıch oborech. Zacˇneme zavedenı´m za´kladnı´ch pojmu˚ a operacı´. Klı´cˇova´ slova: Cˇ´ıselne´ pole, matice, submatice, jednotkova´ matice, nulova´ matice, cˇtvercova´ matice, diagona´lnı´ matice, scˇ´ıta´nı´ matic, na´sobenı´ matice cˇ´ıslem, na´sobenı´ matic, matice opacˇna´, matice komplexneˇ sdruzˇena´, matice transponovana´, matice adjungovana´, symetricka´ matice, antisymetricka´ matice, symetricka´ cˇa´st matice, antisymetricka´ cˇa´st matice, stopa matice. Potrˇebny´ cˇas: 180 minut.

1.1

Cˇ´ıselna´ pole

Uvazˇujme mnozˇinu komplexnı´ch cˇ´ısel C se zna´my´mi operacemi scˇ´ıta´nı´, odcˇ´ıta´nı´, na´sobenı´ komplexnı´ch cˇ´ısel a deˇlenı´ komplexnı´ho cˇ´ısla cˇ´ıslem ru˚zny´m od nuly. Prˇipomenˇme si vlastnosti teˇchto operacı´: scˇ´ıta´nı´ i na´sobenı´ jsou definova´ny pro libovolnou dvojici komplexnı´ch cˇ´ısel, jsou komutativnı´ a asociativnı´ a splnˇujı´ distributivnı´ za´kon; tedy pro libovolna´ cˇ´ısla a, b, c ∈ C platı´ • a + b = b + a,

a.b = b.a

(komutativita)

• (a + b) + c = a + (b + c), • a · (b + c) = a · b + a · c

(a · b) · c = a · (b · c)

(asociativita)

(distributivita)

Odcˇ´ıta´nı´ je inverznı´ operacı´ ke scˇ´ıta´nı´ a je rovneˇzˇ definova´no pro libovolna´ dveˇ komplexnı´ cˇ´ısla. Deˇlenı´ je inverznı´ operacı´ k na´sobenı´ na mnozˇineˇ C − {0}. Rˇ´ıka´me, zˇe mnozˇina C s uvedeny´mi operacemi ma´ algebraickou strukturu pole; nazy´va´ se pole komplexnı´ch cˇ´ısel. Definice 1.1 (Cˇ´ıselne´ pole). Kazˇdou podmnozˇinu mnozˇiny komplexnı´ch cˇ´ısel, ktera´ je uzavrˇena´ vzhledem k operacı´m scˇ´ıta´nı´, odcˇ´ıta´nı´, na´sobenı´ a deˇlenı´ s vy´jimkou deˇlenı´ nulou1 , budeme nazy´vat cˇ´ıselny´m polem, nebo take´ podpolem pole komplexnı´ch cˇ´ısel. ´ mluva. V tomto textu budeme cˇ´ıselne´ pole oznacˇovat pı´smenem P. U Snadno se proveˇrˇ´ı, zˇe rovneˇzˇ mnozˇina rea´lny´ch cˇ´ısel R a mnozˇina raciona´lnı´ch cˇ´ısel Q jsou vzhledem k uvazˇovany´m operacı´m cˇ´ıselna´ pole. Nazy´vajı´ se pole rea´lny´ch cˇ´ısel a pole raciona´lnı´ch cˇ´ısel. Kontrolnı´ u´koly a cvicˇenı´ • Oveˇrˇte si, zˇe mnozˇiny R a Q vzhledem k uvazˇovany´m operacı´m (scˇ´ıta´nı´, odcˇ´ıta´nı´, na´sobenı´ a deˇlenı´ s vy´jimkou deˇlenı´ nulou) skutecˇneˇ jsou cˇ´ıselna´ pole. • Rozhodneˇte, ktere´ z uvedeny´ch podmnozˇin pole komplexnı´ch cˇ´ısel jsou cˇ´ıselny´mi poli: prˇirozena´ cˇ´ısla, cela´ cˇ´ısla, kladna´ cˇ´ısla, neza´porna´ cˇ´ısla, suda´ cˇ´ısla, licha´ cˇ´ısla, iraciona´lnı´ cˇ´ısla, {x + iy | x, y ∈ Q}, {x + iy | x ∈ R, y ∈ Q}. • Dokazˇte, zˇe je-li mnozˇina M cˇ´ıselny´m polem, pak (a) nutneˇ obsahuje cˇ´ısla 0, 1, (b) je-li x ∈ M , pak take´ −x ∈ M (c) je-li x ∈ M a x 6= 0, pak take´

1 x

∈ M.

1 Uzavrˇenostı´ mnozˇiny M vzhledem ke scˇ´ıta´nı´ se rozumı´, zˇe soucˇet libovolny´ch dvou cˇ´ısel z mnozˇiny M lezˇ´ı v mnozˇineˇ M ; pro ostatnı´ operace je tento pojem definova´n zcela analogicky.

1.2

Cˇ´ıselne´ matice

Definice 1.2 (Matice nad cˇ´ıselny´m polem). Necht’P je cˇ´ıselne´ pole, m, n jsou prˇirozena´ cˇ´ısla. Maticı´ typu m × n nad polem P rozumı´me zobrazenı´ karte´zske´ho soucˇinu {1, 2, . . . , m} × {1, 2, . . . , n} do P. Matici A typu m × n nad P, tedy zobrazenı´ A : {1, 2, . . . , m} × {1, 2, . . . , n} 3 (i, j) → aij ∈ P zapisujeme nejcˇasteˇji ve tvaru tabulky   a11 a12 a13 . . . a1n  a21 a22 a23 . . . a2n  , A=   ... am1 am2 am3 . . . amn nebo strucˇneˇ, je-li z kontextu zna´my´ pocˇet rˇa´dku˚ a sloupcu˚ matice A, ve tvaru A = (aij ). Matici typu m × n tedy mu˚zˇeme cha´pat jako indexovany´ syste´m aij cˇ´ısel z pole P takovy´, zˇe i probı´ha´ mnozˇinu {1, 2, . . . , m} a j probı´ha´ mnozˇinu {1, 2, . . . , n}. Prvky mnozˇiny {1, 2, . . . , m}, tj. leve´ indexy, budeme nazy´vat indexy rˇa´dkove´ a prvky mnozˇiny {1, 2, . . . , n}, tj. prave´ indexy, budeme nazy´vat indexy sloupcove´. Pro pevne´ i budeme i-ty´m rˇa´dkem matice A nazy´vat syste´m cˇ´ısel {ai1 , ai2 , . . . , ain }; podobneˇ pro pevne´ j budeme syste´m {a1j , a2j , . . . , amj } nazy´vat j-ty´m sloupcem matice A. Samotna´ cˇ´ısla aij ∈ P, 1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n, nazy´va´me prvky matice A. Matice, pro kterou m = 1, se nazy´va´ rˇa´dkova´ matice. Podobneˇ matice, pro kterou n = 1, se nazy´va´ sloupcova´ matice. Matice, ktera´ ma´ stejny´ pocˇet rˇa´dku˚ jako sloupcu˚, tj. platı´ pro ni m = n, se nazy´va´ cˇtvercova´ matice rˇa´du n. Prvky matice A = (aij ), pro ktere´ i = j (tedy a11 , a22 , . . . , akk , kde k je mensˇ´ı z cˇ´ısel m, n, je-li m 6= n, resp. a11 , a22 , . . . , ann , je-li m = n) se nazy´vajı´ diagona´lnı´, mnozˇina {a11 , a22 , . . . , akk } se pak nazy´va´ hlavnı´ diagona´la matice A. Rˇ´ıka´me, zˇe matice A ma´ diagona´lnı´ tvar, jestlizˇe aij = 0 pro vsˇechny indexy i 6= j. Matice, jejı´zˇ vsˇechny prvky jsou rovny nule, se nazy´va´ nulova´ matice. Oznacˇuje se symbolem 0. Cˇtvercova´ matice, jejı´zˇ vsˇechny diagona´lnı´ prvky jsou rovny 1 a vsˇechny zby´vajı´cı´ jsou rovny 0, se nazy´va´ jednotkova´ matice. Klademe n1 pro i = j δij = 0 pro i 6= j a jednotkovou matici oznacˇujeme E = (δij ). Symbol oznacˇujı´cı´ prvky jednotkove´ matice se nazy´va´ Kroneckeru˚v symbol. Bud’A matice typu m×n, p, q cela´ cˇ´ısla takova´, zˇe 0 ≤ p ≤ m−1, 0 ≤ q ≤ n−1. Vypustı´me-li v matici A p ru˚zny´ch rˇa´dku˚ a q ru˚zny´ch sloupcu˚, dostaneme matici B typu (m − p) × (n − q), ktera´ se nazy´va´ submatice matice A. Rˇekneme, zˇe dveˇ matice A = (aij ), B = (bij ) jsou si rovny, jestlizˇe aij = bij pro vsˇechny hodnoty indexu˚ i, j. Mnozˇinu vsˇech matic typu m × n (resp. mnozˇinu vsˇech cˇtvercovy´ch matic rˇa´du n) nad polem P budeme oznacˇovat Mm×n (P) (resp. Mn (P)).

1.3

Operace s maticemi

Jak vı´me, operace na mnozˇineˇ je specia´lnı´m prˇ´ıpadem zobrazenı´ do uvazˇovane´ mnozˇiny. Konkre´tneˇ, una´rnı´ operacı´ na mnozˇineˇ M rozumı´me zobrazenı´ mnozˇiny M do sebe, tedy zobrazenı´, ktere´ kazˇde´mu prvku mnozˇiny M prˇirˇazuje neˇjaky´ prvek mnozˇiny M . Bina´rnı´ operace na mnozˇineˇ M je definova´na jako zobrazenı´ karte´zske´ho soucˇinu M × M do M , tedy jako zobrazenı´, ktere´ kazˇde´ usporˇa´dane´ dvojici prvku˚ z mnozˇiny M prˇirˇazuje neˇjaky´ prvek mnozˇiny M . Prˇipomenˇme si take´ du˚lezˇitou skutecˇnost, zˇe operace na mnozˇineˇ M nemusı´ indukovat operaci na podmnozˇineˇ mnozˇiny M , tedy zu´zˇenı´ operace na podmnozˇinu nemusı´ by´t operace na te´to podmnozˇineˇ (vy´sledek operace nemusı´ lezˇet ve zvolene´ podmnozˇineˇ!). Jestlizˇe operace na M indukuje na podmnozˇineˇ N ⊂ M operaci, rˇ´ıka´me, zˇe podmnozˇina N je vzhledem k dane´ operaci uzavrˇena´. Prˇ´ıklady. • Scˇ´ıta´nı´ je bina´rnı´ operace na mnozˇineˇ rea´lny´ch cˇ´ısel. Je to operace na mnozˇineˇ sudy´ch cˇ´ısel, ne vsˇak na mnozˇineˇ lichy´ch cˇ´ısel (soucˇtem dvou lichy´ch cˇ´ısel nenı´ liche´ cˇ´ıslo), ani naprˇ. na mnozˇineˇ cˇ´ısel mensˇ´ıch nezˇ 3. • Vytvorˇenı´ komplexneˇ sdruzˇene´ho cˇ´ısla je una´rnı´ operace na mnozˇineˇ komplexnı´ch cˇ´ısel. 2 Vytvorˇenı´ opacˇne´ho cˇ´ısla k dane´mu cˇ´ıslu je una´rnı´ operace na mnozˇineˇ rea´lny´ch cˇ´ısel, a take´ naprˇ. na podmnozˇineˇ cely´ch cˇ´ısel, nenı´ to operace na mnozˇineˇ prˇirozeny´ch cˇ´ısel. • Uved’te dalsˇ´ı prˇ´ıklady. Nynı´ se vra´tı´me k maticı´m. Necht’ 

 a11 a12 a13 . . . a1n  a21 a22 a23 . . . a2n    A= . ..   . am1 am2 am3 . . . amn Definujeme tyto matice:   −a11 −a12 −a13 . . . −a1n  −a21 −a22 −a23 . . . −a2n    −A =   ..   . −am1 −am2 −am3 . . . −amn  a∗11 a∗12 a∗13 . . . a∗1n ∗ ∗ ∗   a∗  21 a22 a23 . . . a2n  ∗ A =  ..   . a∗m1 a∗m2 a∗m3 . . . a∗mn

matice opacˇna´ k matici A,



 a11 a21 a31 . . . am1  a12 a22 a32 . . . am2    AT =   ..   . a1n a2n a3n . . . amn

matice komplexneˇ sdruzˇena´ k matici A,



matice transponovana´ k matici A,

2 V tomto textu oznacˇujeme cˇ´ıslo komplexneˇ sdruzˇene´ k cˇ´ıslu z symbolem z ∗ . Prˇipomenˇte si definici komplexneˇ sdruzˇene´ho cˇ´ısla: je-li z = a + bi, pak z ∗ = a − bi.

 a∗11 a∗21 a∗31 . . . a∗m1  a∗ a∗ a∗ . . . a∗  22 32 m2   12 =  ..   . ∗ ∗ ∗ ∗ a1n a2n a3n . . . amn 

Aadj = A∗T

matice adjungovana´ k matici A.

Lze take´ rˇ´ıci, zˇe matice transponovana´ k A je takova´ matice, pro jejı´zˇ prvky platı´ bij = aji ,

pro vsˇechna i, j.

Vsˇimneˇte si, zˇe zobrazenı´ A → −A a A → A∗ jsou zobrazenı´ mnozˇiny Mm×n (P) na sebe, jsou to tedy una´rnı´ operace na mnozˇineˇ Mm×n (P) (pro P = R nebo Q se komplexnı´ sdruzˇenı´ redukuje na identicke´ zobrazenı´). Naproti tomu, matice transponovana´ i adjungovana´ k matici typu m × n je typu n × m. To znamena´, zˇe pro m = n to jsou una´rnı´ operace na mnozˇineˇ Mn (P), zatı´mco pro m 6= n tato zobrazenı´ nevyhovujı´ definici operace na mnozˇineˇ Mm×n (P). Na mnozˇineˇ Mm×n (P) definujeme bina´rnı´ operaci scˇ´ıta´nı´ matic takto: Soucˇtem matic A = (aij ), B = (bij ) ∈ Mm×n (P) nazy´va´me matici A+B = C = (cij ) ∈ Mm×n (P) definovanou vztahem cij = aij + bij Podle definice je tedy  a11 a12  a21 a22  A+B =  am1 am2  a11 + b11  a21 + b21  =  am1 + bm1

pro vsˇechny hodnoty indexu˚ i, j;

   a1n b11 b12 b13 . . . b1n   a2n    b21 b22 b23 . . . b2n  +  ..    . am3 . . . amn bm1 bm2 bm3 . . . bmn  a12 + b12 a13 + b13 . . . a1n + b1n a22 + b22 a23 + b23 . . . a2n + b2n   . ..  . a13 a23 .. .

... ...

am2 + bm2 am3 + bm3 . . . amn + bmn

K operaci scˇ´ıta´nı´ existuje inverznı´ operace odcˇ´ıta´nı´ matic. Je definova´na vztahem A − B = A + (−B). Dalsˇ´ım du˚lezˇity´m zobrazenı´m je na´sobenı´ matice cˇ´ıslem: Pro matici A = (aij ) ∈ Mm×n (P) definujeme na´sobek matice A cˇ´ıslem c z pole P jako matici cA ∈ Mm×n (P), jejı´zˇ prvky majı´ tvar caij ,

1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n,

tedy 

 ca11 ca12 ca13 . . . ca1n  ca21 ca22 ca23 . . . ca2n   cA =    ... cam1 cam2 cam3 . . . camn Na´sobenı´ matice cˇ´ıslem je zobrazenı´ P × Mm×n (P) → Mm×n (P), nenı´ to tedy operace na mnozˇineˇ Mm×n (P).

Nakonec budeme definovat na´sobenı´ matic. Pro matice A typu m×p a B typu p×n definujeme matici C = AB typu m × n vztahem cij =

p X

aik bkj = ai1 b1j + ai2 b2j + · · · aip bpj ,

1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n.

(1.1)

k=1

Nazy´va´me ji soucˇinem matic A, B. Pro snadneˇjsˇ´ı zapamatova´nı´ tohoto vzorce si uveˇdomme, zˇe prvek matice AB na pozici (i, j) (tedy na pru˚secˇ´ıku i-te´ho rˇa´dku a j-te´ho sloupce) se vypocˇte jako soucˇet soucˇinu˚ postupneˇ po rˇadeˇ kazˇde´ho prvku v i-te´m rˇa´dku matice A s prvkem v j-te´m sloupci matice B (tento soucˇet tvorˇ´ı p scˇ´ıtancu˚):   b1j 
b2j   cij = ai1 ai2 · · · aip ·  .  = ai1 b1j + ai2 b2j + · · · aip bpj .  ..  bpj Celkoveˇ, 

   a11 a12 a13 . . . a1p b11 b12 b13 . . . b1n  a21 a22 a23 . . . a2p  b21 b22 b23 . . . b2n      AB =  ·  .. ..     . . am1 am2 am3 . . . amp bp1 bp2 bp3 . . . bpn  Pp

k=1 a1k bk1

Pp

k=1 a1k bk2

Pp

k=1 a1k bk3

...

Pp

k=1 a1k bkn



   Pp  Pp Pp Pp   ... k=1 a2k bkn  k=1 a2k bk3 k=1 a2k bk2  k=1 a2k bk1   = .   . .   .     Pp Pp Pp Pp k=1 amk bk1 k=1 amk bk2 k=1 amk bk3 . . . k=1 amk bkn Prˇi na´sobenı´ matic musı´me da´t pozor na porˇadı´ matic. Je-li totizˇ pro matice A, B definova´n soucˇin AB, nemusı´ by´t definova´n soucˇin BA; oba soucˇiny jsou zrˇejmeˇ definova´ny, je-li A typu m × p a B typu p × m (tj. m = n); pak ovsˇem AB je cˇtvercova´ matice rˇa´du m a BA je cˇtvercova´ matice rˇa´du p. Je zrˇejme´, zˇe zobrazenı´ na´sobenı´ matic je bina´rnı´ operacı´ pouze na mnozˇineˇ Mn (P). ´ mluva. Sezna´mili jsme se s neˇkolika zobrazenı´mi, ktera´ na´m umozˇnˇujı´ „pocˇ´ıtat“ s maticemi. U Pouze neˇktera´ z nich vsˇak vyhovovujı´ matematicke´ definici operace. I kdyzˇ je to neprˇesne´, je z prakticke´ho hlediska vhodne´ oznacˇovat vsˇechna uvedena´ zobrazenı´ jako „operace s maticemi“. Proto prˇijmeme u´mluvu, zˇe nada´le budeme o teˇchto zobrazenı´ch hovorˇit jako o operacı´ch. Veˇta 1.3 (Du˚lezˇite´ vlastnosti a vzorce). Pro libovolne´ matice A, B, C a libovolna´ cˇ´ısla c, c1 , c2 ∈ P takove´, zˇe uvedene´ operace majı´ smysl, platı´ • A + B = B + A (scˇ´ıta´nı´ matic je komutativnı´) • (A + B) + C = A + (B + C) (scˇ´ıta´nı´ matic je asociativnı´) • (AB)C = A(BC) (na´sobenı´ matic je asociativnı´) • A(B + C) = AB + AC, (A + B)C = AC + BC (pro scˇ´ıta´nı´ a na´sobenı´ matic platı´ distributivnı´ za´kony3 ) 3 Vzhledem k tomu, zˇe na´sobenı´ matic nenı´ komutativnı´, dosta´va´me dva distributivnı´ za´kony - jeden pro na´sobenı´ soucˇtu zleva a druhy´ pro na´sobenı´ soucˇtu zprava.

• (A + B)T = AT + B T • (AB)T = B T AT • (cA)T = cAT • c(AB) = (cA)B = A(cB) • c(A + B) = cA + cB • (c1 + c2 )A = c1 A + c2 A • (c1 c2 )A = c1 (c2 A) • −A = −1A Zdu˚raznˇujeme, zˇe na´sobenı´ matic nenı´ komutativnı´, tj. existujı´ matice A, B, pro ktere´ jsou definova´ny matice AB i BA a platı´ AB 6= BA. Vymyslete prˇ´ıklady takovy´ch matic (a to i takove´, kdy obeˇ matice jsou cˇtercove´ stejne´ho rˇa´du). Pro cˇtvercove´ matice A, B rˇa´du n je definova´n soucˇin AB i BA, prˇicˇemzˇ oba tyto soucˇiny ˇ ´ıka´me, zˇe matice A, B komutujı´, jestlizˇe AB = BA. jsou rovneˇzˇ cˇtvercove´ matice rˇa´du n. R Vsˇimneˇte si, zˇe libovolna´ cˇtvercova´ matice komutuje s jednotkovou maticı´. Poslednı´ „operacı´“, kterou budeme definovat je stopa cˇtvercove´ matice: Na mnozˇineˇ Mn (P) definujeme zobrazenı´ Tr : Mn (P) → P vztahem Tr A = a11 + a22 + · · · ann . Pro cˇtvercovou matici A = (aij ) rˇa´du n je tedy cˇ´ıslo Tr A da´no jako soucˇet jejı´ch diagona´lnı´ch prvku˚. Cˇ´ıslo Tr A se nazy´va´ stopa matice A.4 Pozna´mka 1.4. Matice lze sestavovat nejen z cˇ´ısel: jejich prvky mohou by´t vybı´ra´ny i z neˇjake´ jine´ vhodne´ mnozˇiny (naprˇ. z neˇjake´ mnozˇiny funkcı´). Aby bylo mozˇno i na takove´ mnozˇineˇ matic zave´st scˇ´ıta´nı´ a na´sobenı´, ktere´ jsou definova´ny pomocı´ prvku˚ prˇ´ıslusˇny´ch matic, je trˇeba, aby na mnozˇineˇ, ze ktere´ vybı´ra´me prvky matic, byly definova´ny operace scˇ´ıta´nı´ a na´sobenı´. S maticemi, jejichzˇ prvky jsou funkce, se setka´va´me cˇasto v matematicke´ analy´ze a v geometrii, a tedy i v cˇetny´ch aplikacı´ch v informatice, ve fyzice a v technice. Kontrolnı´ ota´zky a u´koly. • Pro jake´ matice platı´ A = A∗ ? • Platı´ (A + B)∗ = A∗ + B ∗ ? • Urcˇete (AT )T . • Definujte soucˇin matic. • Uved’te prˇ´ıklad dvou nenulovy´ch matic, jejichzˇ soucˇinem je nulova´ matice. • Uved’te prˇ´ıklad nenulove´ matice, jejı´zˇ stopa je rovna nule.

1.4

Symetricke´ a antisymetricke´ matice

Nynı´ prozkouma´me blı´zˇe strukturu mnozˇiny vsˇech cˇtvercovy´ch matic rˇa´du n. Definice 1.5. Cˇtvercova´ matice A se nazy´va´ symetricka´, jestlizˇe A = AT a antisymetricka´, jestlizˇe A = −AT . 4 Anglicky se „stopa“ rˇekne trace. Ve starsˇ´ı literaturˇe je stopa matice A oznacˇova´na symbolem Sp A (z neˇmecke´ho Spur).

Rozepı´sˇeme-li tyto definice pomocı´ prvku˚ matice, dosta´va´me, zˇe matice A = (aij ) je symetricka´ tehdy a jen tehdy, kdyzˇ aij = aji pro vsˇechny hodnoty indexu˚ i, j. Symetricka´ matice je tedy „symetricka´ pode´l hlavnı´ diagona´ly“. Podobneˇ matice A = (aij ) je antisymetricka´ tehdy a jen tehdy, kdyzˇ aij = −aji pro vsˇechny hodnoty indexu˚ i, j. Tedy antisymetricka´ matice je „antisymetricka´ pode´l hlavnı´ diagona´ly“ a prvky jejı´ hlavnı´ diagona´ly jsou vsˇechny rovny 0. Vsˇimneˇme si, zˇe soucˇet dvou symetricky´ch (antisymetricky´ch) matic je symetricka´ (antisymetricka´) matice: skutecˇneˇ pro A = AT a B = B T ma´me (A + B)T = AT + B T = A + B, pro A = −AT a B = −B T platı´ (A + B)T = AT + B T = −A − B = −(A + B). Podobneˇ c-na´sobek symetricke´ (antisymetricke´) matice je opeˇt symetricka´ (antisymetricka´) matice. Jak ukazuje na´sledujı´cı´ veˇta, symetricke´ a antisymetricke´ matice majı´ v mnozˇineˇ Mn (P) vy´znamne´ postavenı´. Veˇta 1.6. Libovolnou cˇtvercovou matici lze jednoznacˇneˇ vyja´drˇit ve tvaru soucˇtu symetricke´ a antisymetricke´ matice. Du˚kaz. Bud’ A cˇvercova´ matice. Polozˇme 1 Asym = (A + AT ), 2 Jelikozˇ 1 (Asym )T = (AT + A) = Asym , 2

1 Aalt = (A − AT ). 2 1 (Aalt )T = (AT − A) = −Aalt , 2

je Asym symetricka´ matice a Aalt antisymetricka´ matice. Dosta´va´me tak rozklad matice A na soucˇet symetricke´ a antisymetricke´ matice. Zby´va´ doka´zat jejich jednoznacˇnost. Prˇedpokla´dejme tedy, zˇe A = M1 + M2 , kde matice M1 je symetricka´ a M2 je antisymetricka´. Pak ovsˇem A + AT = M1 + M2 + M1 T + M2 T = 2M1 , tj. M1 = Asym . Podobneˇ A − AT = M1 + M2 − M1 T − M2 T = 2M2 , tj. M2 = Aalt a tvrzenı´ je doka´za´no. Matice Asym = 12 (A + AT ) se nazy´va´ symetricka´ cˇa´st matice A. Podobneˇ matice Aalt = 1 T ´va´ antisymetricka´ cˇa´st matice A. 2 (A − A ) se nazy Kontrolnı´ ota´zky. • Je matice 

 1 2 −1 −3 −2 2 1 −1  M =  1 −1 0 2 3 1 −2 2 antisymetricka´? • Jaka´ je symetricka´ cˇa´st symetricke´ matice A? Jaka´ je jejı´ antisymericka´ cˇa´st? • Jaka´ je antisymetricka´ cˇa´st antisymetricke´ matice A? Jaka´ je jejı´ symericka´ cˇa´st? • Jakou stopu majı´ antisymetricke´ matice? • Jaky´ je vztah mezi stopou matice a stopou symetricke´ cˇa´sti te´to matice? Cvicˇenı´ 1. Opakova´nı´: • Definujte vsˇechny pojmy uvedene´ v Klı´cˇovy´ch slovech. • Doplnˇte vzorce: c(A + B) = (a + b)C =

A(B + C) = (A + B)C =

(A + B)T = (AB)T =

Asym = Aalt =

• Vyslovte a dokazˇte veˇtu o rozkladu cˇtvercove´ matice na symetrickou a antisymetrickou cˇa´st.

2. Vypocˇteˇte soucˇin matic, ktere´ majı´ tvar    3 4 , 2 5

 1 3  2 −1  .  0 1 −2 2

3. Vypocˇteˇte  3 1 −2 . 3 −4 4. Vypocˇteˇte 

   1 −3 2 2 5 6 3 −4 1 · 1 2 5 2 −5 3 1 3 2 a zjisteˇte, zda tyto matice komutujı´. 5. Jsou da´ny matice  2 − i 1 + 2i 0 −3 1 −1 −1 + i A = −2 − 3i −2 0 3 + 2i 0   2+i −1 i 0 0  −1 1 1 − i 0 , C B = 2 + 2i 0 1 + 2i 0 1 −1

 i 0 , 1   1 0 1 = 2 −2 2 . 0 1 2

Urcˇete ke kazˇde´ z nich matici opacˇnou, transponovanou, komplexneˇ sdruzˇenou a adjungovanou. Vypocˇteˇte A + B, CA, AB T , C 2 , Tr C. 6. Dokazˇte vsˇechna tvrzenı´ Veˇty 1.3. [Na´vod. Rovnosti dokazujte pro prvky matic: ukazˇte, zˇe pro libovolne´ hodnoty indexu˚ i, j se prvek v i-te´m rˇa´dku a j-te´m sloupci matice na leve´ straneˇ rovnosti rovna´ prvku na pozici (i, j) matice na prave´ straneˇ.] 7. Platı´-li pro matice A, B, zˇe AB = 0, plyne z toho, zˇe A = 0 nebo B = 0? 8. Urcˇete kolik prvku˚ je trˇeba zadat k urcˇenı´ symetricke´ matice a kolik prvku˚ je trˇeba k zada´nı´ antisymetricke´ matice rˇa´du n. Urcˇete vsˇechny matice, ktere´ jsou za´rovenˇ symetricke´ a antisymetricke´ (tj. platı´ pro neˇ A = AT ∧ A = −AT ). 9. Ukazˇte, zˇe zobrazenı´ A → Tr A, ktere´ prˇirˇazuje cˇtvercove´ matici rˇa´du n jejı´ stopu, je surjektivnı´, ale nenı´ injektivnı´. [Na´vod: Surjektivnost: pro (libovolne´ pevne´) cˇ´ıslo a ∈ C napisˇte matici, pro kterou Tr A = a. Injektivnost: uvedt’e prˇ´ıklad neˇkolika ru˚zny´ch matic, ktere´ majı´ stejnou stopu.] 10. K matici   1 2 A= 0 −1 najdeˇte vsˇechny matice, ktere´ s nı´ komutujı´. 11. Urcˇete vsˇechny cˇtvercove´ matice rˇa´du 2, pro ktere´ platı´ AAT = E.

12. 13. 14. 15. 16.

[Na´vod: Rozepisˇte si podmı´nku AAT = E pro prvky matice A a rˇesˇte rovnice, ktere´ takto vzniknou.] Rozlozˇte matici C z prˇ´ıkladu 1. na soucˇet symetricke´ a antisymetricke´ matice. Spocˇ´ıtejte antisymetrickou cˇa´st matice M uvedene´ v prvnı´ kontrolnı´ ota´zce. Dokazˇte, zˇe pro matici A typu m × n je matice AAT i matice AT A symetricka´. Platı´ Tr(A + B) = Tr A + Tr B? Platı´ analogicky´ vzorec pro soucˇin matic? Zdu˚vodneˇte. Dokazˇte, zˇe stopa soucˇinu symetricke´ a antisymetricke´ matice je rovna nule.

2

Hodnost matice

Studijnı´ cı´le: Hodnost matice patrˇ´ı mezi za´kladnı´ pojmy v linea´rnı´ algebrˇe. Nynı´ tento pojem zavedeme, uvedeme za´kladnı´ tvrzenı´ o hodnosti matic a naucˇ´ıme se hodnost matice pocˇ´ıtat. Nabyte´ znalosti a dovednosti budeme da´le hojneˇ vyuzˇ´ıvat v linea´rnı´ algebrˇe i jinde v matematice, a ovsˇem take´ v informatice, fyzice a dalsˇ´ıch oblastech, kde se poznatky z linea´rnı´ algebry pouzˇ´ıvajı´. Klı´cˇova´ slova: Elementa´rnı´ rˇa´dkove´ u´pravy matice, elementa´rnı´ sloupcove´ u´pravy matice, elementa´rnı´ matice, inverznı´ elementa´rnı´ u´prava, ekvivalentnı´ rˇa´dkove´ (sloupcove´) u´pravy matice, ekvivalentnı´ matice, linea´rnı´ kombinace rˇa´dku˚ (sloupcu˚) matice, linea´rneˇ neza´visle´ rˇa´dky (sloupce) matice, linea´rneˇ za´visle´ rˇa´dky (sloupce) matice, hodnost matice, regula´rnı´ matice, singula´rnı´ matice, Gaussu˚v kanonicky´ tvar matice, schodovity´ tvar matice, veˇty o hodnosti. Potrˇebny´ cˇas: 220 minut.

2.1

Elementa´rnı´ u´pravy

Uvazˇujme matici A typu m × n nad cˇ´ıselny´m polem P. Definice 2.1. Elementa´rnı´mi rˇa´dkovy´mi u´pravami matice A rozumı´me • vyna´sobenı´ i-te´ho rˇa´dku matice A cˇ´ıslem c ∈ P ru˚zny´m od nuly, • prˇicˇtenı´ c-na´sobku j-te´ho rˇa´dku matice A k jejı´mu i-te´mu rˇa´dku (i 6= j). Elementa´rnı´mi sloupcovy´mi u´pravami matice A rozumı´me • vyna´sobenı´ i-te´ho sloupce matice A prvkem c ∈ P ru˚zny´m od nuly, • prˇicˇtenı´ c-na´sobku j-te´ho sloupce matice A k jejı´mu i-te´mu sloupci (i 6= j). Provedeme-li tedy s maticı´ A prvnı´ uvedenou tvaru  a11 a12    ai−1,1 ai−1,2   cai1 cai2  ai+1,1 ai+1,2    am1 am2

rˇa´dkovou elementa´rnı´ u´pravu, vznikne matice ... .. .



a1n

. . . ai−1,n . . . cain . . . ai+1,n .. . ...

     .     

amn

Provedeme-li s A druhou uvedenou rˇa´dkovou elementa´rnı´ u´pravu, vznikne matice tvaru   a11 a12 ... a1n   ..   .    ai−1,1  ai−1,2 ... ai−1,n   ai1 + caj1 ai2 + caj2 . . . ain + cajn     ai+1,1  ai+1,2 ... ai+1,n  .   ..   .    aj1  aj2 ... ajn     ..   . am1

am2

...

amn

Kontrolnı´ u´kol. • Napisˇte matice, ktere´ vzniknou po provedenı´ prvnı´, resp. druhe´ sloupcove´ elementa´rnı´ u´pravy matice A. Uka´zˇeme si, zˇe prove´st s maticı´ A rˇa´dkovou elementa´rnı´ u´pravu vlastneˇ znamena´ vyna´sobit matici A zleva jistou vhodnou maticı´; podobneˇ prove´st s maticı´ A sloupcovou elementa´rnı´ u´pravu znamena´ vyna´sobit matici A vhodnou maticı´ zprava. Platı´ totizˇ   a11 a12 . . . a1n   ..   .   ai−1,1 ai−1,2 . . . ai−1,n     cai1 cai2 . . . cain   = Q(i, c) · A  ai+1,1 ai+1,2 . . . ai+1,n      ..   . am1

am2

...

amn

a 

 a11 . . . a1,i−1 ca1i a1,i+1 . . . a1n  a21 . . . a2,i−1 ca2i a2,i+1 . . . a2n      = A · Q(i, c), ..   . am1 . . . am,i−1 cami am,i+1 . . . amn kde Q(i, c) je cˇtvercova´ diagona´lnı´ matice (vhodne´ho {1, . . . , 1, c, 1, . . . , 1} (cˇ´ıslo c je na i-te´m mı´steˇ), a podobneˇ  a11 a12 ... a1n  ..  .   ai−1,1 ai−1,2 ... ai−1,n  ai1 + caj1 ai2 + caj2 . . . ain + cajn   ai+1,1 ai+1,2 ... ai+1,n   . ..    aj1 aj2 ... ajn   ..  . am1 am2 ... amn

rˇa´du), jejı´zˇ diagona´la ma´ tvar           = Q(ij, c) · A       

a 

a11 . . . a1,i−1 a1i + ca1j  a21 . . . a2,i−1 a2i + ca2j   ..  . am1 . . . am,i−1 ami + camj

a1,i+1 a2,i+1 am,i+1

 a1n a2n    = A · Q(ij, c),  . . . amn ... ...

kde Q(ij, c) je cˇtvercova´ matice (vhodne´ho rˇa´du), jejı´zˇ diagona´la ma´ tvar {1, . . . , 1}, na pozici (i, j) je cˇ´ıslo c a zby´vajı´cı´ prvky jsou rovny nule. Uvedene´ matice Q(i, c) a Q(ij, c) se nazy´vajı´ elementa´rnı´ matice. Ke kazˇde´ elementa´rnı´ u´praveˇ zrˇejmeˇ existuje u´prava inverznı´, tj. takova´, ktera´ upravenou matici prˇevede na pu˚vodnı´ tvar, a tato u´prava je opeˇt elementa´rnı´. Kontrolnı´ u´koly. • Napisˇte si explicitnı´ tvar elementa´rnı´ch matic. Pro matice Q(ij, c) rozlisˇte prˇ´ıpady i < j a i > j.

• Charakterizujte inverznı´ u´pravy k jednotlivy´m elementa´rnı´m u´prava´m a napisˇte tvar odpovı´dajı´cı´ch elementa´rnı´ch matic. • Oznacˇme Q−1 matici inverznı´ elementa´rnı´ u´pravy k elementa´rnı´ u´praveˇ reprezentovane´ maticı´ Q. Oveˇrˇte, zˇe pro kazˇdou elementa´rnı´ u´pravu jsou obeˇ matice sva´za´ny vztahem QQ−1 = Q−1 Q = E.

(2.1)

Ekvivalentnı´ rˇa´dkovou (resp. sloupcovou) u´pravou matice A budeme rozumeˇt postupnou aplikaci konecˇne´ho pocˇtu rˇa´dkovy´ch (resp. sloupcovy´ch) elementa´rnı´ch u´prav na matici A. Podle vy´sˇe uvedene´ho lze ekvivalentnı´ rˇa´dkovou cˇi sloupcovou u´pravu vyja´drˇit jako soucˇin konecˇne´ho pocˇtu elementa´rnı´ch matic. Vznikla-li tedy matice B z matice A postupnou aplikacı´ rˇa´dkovy´ch elementa´rnı´ch u´prav, ktery´m odpovı´dajı´ matice Q1 , Q2 , . . . , Qk , platı´ B = Qk Qk−1 · · · Q2 Q1 A. Podobneˇ, vznikla-li matice B z matice A postupnou aplikacı´ sloupcovy´ch elementa´rnı´ch u´prav, ktery´m odpovı´dajı´ matice Q1 , Q2 , . . . , Ql , platı´ B = AQ1 Q2 · · · Ql−1 Ql . Je zrˇejme´, zˇe matice ekvivalentnı´ u´pravy je vzˇdy cˇtvercova´. Ke kazˇde´ ekvivalentnı´ rˇa´dkove´ cˇi sloupcove´ u´praveˇ existuje inverznı´ elementa´rnı´ u´prava, prˇi nı´zˇ upravena´ matice B prˇejde zpeˇt na pu˚vodnı´ matici A. Prˇitom kdyzˇ neˇjake´ ekvivalentnı´ u´praveˇ odpovı´da´ matice Q1 Q2 . . . Qk (soucˇin matic prˇ´ıslusˇny´ch elementa´rnı´ch u´prav), pak inverznı´ −1 1 ˇ in inverznı´ch matic elementa´rnı´ch u´prav v u´praveˇ odpovı´da´ matice Q−1 k . . . Q2 Q1 tj. souc opacˇne´m porˇadı´. Pozna´mka 2.2. Vsˇimneˇte si, zˇe provedeme-li s maticı´ ekvivalentnı´ u´pravu a na´sledneˇ u´pravu inverznı´, ma´ vy´sledna´ ekvivalentnı´ u´prava jednotkovou matici. Dosta´va´me totizˇ −1 −1 −1 −1 −1 1 Q1 Q2 . . . (Qk Q−1 k ) . . . Q2 Q1 = Q1 Q2 . . . (Qk−1 Qk−1 ) . . . Q2 Q1 = · · · = Q1 Q1 = E.

Prˇ´ıklad 2.3. Nejjednodusˇsˇ´ım prˇ´ıkladem ekvivalentnı´ u´pravy matice je vza´jemna´ vy´meˇna jejı´ch dvou rˇa´dku˚ nebo sloupcu˚. Abychom uka´zali, zˇe skutecˇneˇ jde o ekvivalentnı´ u´pravu, stacˇ´ı nale´zt ´ vahu provedeme pro neˇjakou posloupnost elementa´rnı´ch u´prav, ktere´ k te´to u´praveˇ vedou. U rˇa´dky - pro sloupce je postup analogicky´. Uvazˇujme tedy matici A typu m × n. Oznacˇ´ıme fi a fj jejı´ i-ty´ a j-ty´ rˇa´dek (tedy fi = (ai1 , . . . , ain ) a analogicky pro fj ) a postupujeme takto: • prˇicˇteme j-ty´ rˇa´dek k i-te´mu rˇa´dku: obdrzˇ´ıme matici A1 ∼ A jejı´zˇ i-ty´ rˇa´dek je fi + fj = (ai1 + aj1 , . . . , ain + ajn ) a j-ty´ rˇa´dek je fj ; • i-ty´ rˇa´dek matice A1 vyna´sobı´me cˇ´ıslem −1: obdrzˇ´ıme matici A2 s i-ty´m rˇa´dkem −fi − fj a j-ty´m rˇa´dkem fj ; • prˇicˇteme i-ty´ ˇra´dek matice A2 k jejı´mu j-te´mu rˇa´dku: vznikne matice A3 , jejı´zˇ i-ty´ rˇa´dek je −fi − fj a j-ty´ rˇa´dek je −fi ; • vyna´sobı´me j-ty´ rˇa´dek matice A3 cˇ´ıslem −1: dostaneme matici A4 s i-ty´m rˇa´dkem −fi − fj a j-ty´m rˇa´dkem fi ; • prˇicˇteme j-ty´ rˇa´dek matice A4 k jejı´mu i-te´mu rˇa´dku: vznikne matice A5 , ktera´ ma´ i-ty´ rˇa´dek −fj a j-ty´ rˇa´dek fi ; • vyna´sobı´me i-ty´ rˇa´dek matice A5 cˇ´ıslem −1 a obdrzˇ´ıme pozˇadovanou matici A0 ∼ A.

Cvicˇenı´ 1. K jednotlivy´m elementa´rnı´m u´prava´m z prˇedchozı´ho prˇ´ıkladu napisˇte elementa´rnı´ matice a najdeˇte matici U , ktera´ odpovı´da´ popsane´ rˇa´dkove´ ekvivalentnı´ u´praveˇ. Prˇesveˇdcˇte se, zˇe skutecˇneˇ platı´ A0 = U A. 2. Nalezneˇte matici ekvivalentnı´ u´pravy, ktera´ odpovı´da´ vy´meˇneˇ dvou sloupcu˚ matice A a vyja´drˇete tuto u´pravu ve tvaru soucˇinu matic.

2.2

Ekvivalentnı´ matice

Definice 2.4. Matice A, B se nazy´vajı´ ekvivalentnı´, jestlizˇe lze prˇeve´st jednu na druhou pomocı´ konecˇne´ho pocˇtu elementa´rnı´ch u´prav. Podle te´to definice matice A, B jsou ekvivalentnı´ pra´veˇ tehdy, kdyzˇ existujı´ matice U , V takove´, zˇe platı´ B = U AV, prˇicˇemzˇ kazˇda´ z matic U, V je soucˇinem konecˇne´ho pocˇtu neˇjaky´ch elementa´rnı´ch matic. Podı´vejme se nynı´ na tuto skutecˇnost podrobneˇji: Uvazˇujme mnozˇinu Mm×n (P) vsˇech matic typu m×n nad polem P. Na te´to mnozˇineˇ uvazˇujme relaci ∼ definovanou takto: „A ∼ B, jestlizˇe existujı´ matice U, V , takove´, zˇe U, V jsou soucˇinem konecˇne´ho pocˇtu elementa´rnı´ch matic a platı´ B = U AV “. Vysˇetrˇ´ıme vlastnosti relace ∼. • Polozˇ´ıme-li U = V = E, vidı´me, zˇe pro libovolnou matici A ∈ Mm×n (P) platı´ A ∼ A. To znamena´, zˇe relace ∼ je reflexivnı´. • Necht’A je v relaci s B, t.j. necht’B = U AV pro jiste´ matice U, V , ktere´ jsou soucˇinem elementa´rnı´ch matic. Prova´dı´me-li s maticı´ B inverznı´ rˇa´dkove´ a sloupcove´ elementa´rnı´ u´pravy postupneˇ v opacˇne´m porˇadı´, dostaneme matici A; je tedy A = U 0 BV 0 pro jiste´ matice U 0 , V 0 pozˇadovany´ch vlastnostı´. To znamena´, zˇe relace ∼ je symetricka´. • Prˇedpokla´dejme, zˇe pro neˇjake´ matice A, B, C ∈ Mm×n (P) platı´ A ∼ B a za´rovenˇ B ∼ C, tj. zˇe B = U1 AV1 a C = U2 BV2 pro jiste´ matice U1 , U2 , V1 , V2 pozˇadovany´ch vlastnostı´. Pak C = U2 U1 AV1 V2 . Polozˇme U = U2 U1 , V = V1 V2 . Matice U, V jsou soucˇinem konecˇne´ho pocˇtu elementa´rnı´ch matic a platı´ C = U AV , tj. A ∼ C. Tedy relace ∼ je tranzitivnı´. Vidı´me, zˇe relace ∼ je reflexivnı´, symetricka´ a tranzitivnı´, je to tedy skutecˇneˇ relace ekvivalence na mnozˇineˇ Mm×n (P) a vy´sˇe definovany´ pojem „ekvivalentnı´ matice“ je zaveden korektneˇ. Pro matici A ∈ Mm×n (P) oznacˇme [A] trˇ´ıdu ekvivalence matice A, tj. mnozˇinu vsˇech matic z Mm×n (P), ekvivalentnı´ch s maticı´ A. Prˇipomenˇme si, zˇe pro libovolne´ dveˇ matice A, B ∈ Mm×n (P) jsou jejich trˇ´ıdy ekvivalence [A], [B] bud’ disjunktnı´ nebo sply´vajı´, tedy, zˇe relace ekvivalence ∼ definuje rozklad mnozˇiny Mm×n (P) na trˇ´ıdy ekvivalence. Ve zbytku te´to kapitoly prozkouma´me blı´zˇe faktorovou mnozˇinu Mm×n (P)/∼ .

2.3

Hodnost matice

Pro strucˇnost za´pisu budeme v dalsˇ´ım textu oznacˇovat fi = (ai1 , . . . , ain ) i-ty´ rˇa´dek matice A, fj0 = (a1j , . . . , anj ) j-ty´ sloupec matice A. Nulovy´ rˇa´dek cˇi sloupec oznacˇ´ıme symbolem o.

Definice 2.5. Linea´rnı´ kombinacı´ rˇa´dku˚ fi1 , . . . , fip matice A s koeficienty c1 , . . . , cp nazy´va´me vy´raz p X

cs fis = c1 fi1 + c2 fi2 + · · · + cp fip ,

c1 , . . . , cp ∈ P.

s=1

Rˇekneme, zˇe rˇa´dky fi1 , . . . , fip matice A jsou linea´rneˇ neza´visle´, jestlizˇe podmı´nka c1 fi1 + · · · + cp fip = o je splneˇna jedineˇ pro c1 = · · · = cp = 0, (t.j. nulovy´ rˇa´dek lze zı´skat linea´rnı´ kombinacı´ dany´ch rˇa´dku˚ jediny´m zpu˚sobem - s nulovy´mi koeficienty). Rˇekneme, zˇe rˇa´dky fi1 , . . . , fip matice A jsou linea´rneˇ za´visle´, jestlizˇe nejsou linea´rneˇ neza´visle´. Definice linea´rneˇ za´visly´ch rˇa´dku˚ matice se da´ zrˇejmeˇ ekvivalentneˇ prˇeformulovat takto: Existujı´ cˇ´ısla c1 · · · cp ∈ P, z nichzˇ alesponˇ jedno je ru˚zne´ od nuly, tak, zˇe c1 fi1 + · · · + ck fik + · · · + cp fip = o . Je -li naprˇ. ck 6= 0, lze ovsˇem psa´t fik = −

1 (c1 fi1 + · · · + ck−1 fik−1 + ck+1 fik+1 + · · · + cp fip ), ck

cozˇ znamena´, zˇe ik -ty´ rˇa´dek lze vyja´drˇit jako linea´rnı´ kombinaci zby´vajı´cı´ch rˇa´dku˚ fi1 , . . . , fik−1 , fik+1 , . . . , fip . Mu˚zˇeme tedy rˇ´ıkat, zˇe rˇa´dky fi1 , . . . , fip matice A jsou linea´rneˇ za´visle´, jestlizˇe alesponˇ jeden z nich lze vyja´drˇit jako linea´rnı´ kombinaci ostatnı´ch rˇa´dku˚. Vsˇimneˇte si, zˇe • syste´m rˇa´dku˚ matice A obsahujı´cı´ nulovy´ rˇa´dek je linea´rneˇ za´visly´, • pro jeden rˇa´dek (tj. p = 1) se definice lina´rnı´ neza´vislosti redukuje na tento tvar: jeden rˇa´dek matice A je linea´rneˇ neza´visly´ pra´veˇ kdyzˇ je nenulovy´; je linea´rneˇ za´visly´ pra´veˇ kdyzˇ je nulovy´, • pro dva rˇa´dky (tj. p = 2) se definice lina´rnı´ za´vislosti redukuje na tuto jednoduchou vlastnost: dva rˇa´dky fi1 , fi2 matice A jsou linea´rneˇ za´visle´, jestlizˇe jeden z nich je (nenulovy´m) na´sobkem druhe´ho (tj. fi2 = cfi2 pro neˇjake´ cˇ´ıslo c 6= 0); podobneˇ • dva rˇa´dky matice A jsou linea´rneˇ neza´visle´, jestlizˇe jsou oba nenulove´ a jeden z nich nenı´ na´sobkem druhe´ho. Rˇekneme, zˇe rˇa´dky fi1 , . . . , fik matice A tvorˇ´ı maxima´lnı´ linea´rneˇ neza´visly´ syste´m rˇa´dku˚, jestlizˇe jsou linea´rneˇ neza´visle´ a pro libovolny´ rˇa´dek fj 6= fi1 , . . . ,fik , matice A jsou rˇa´dky fi1 , . . . , fik , fj linea´rneˇ za´visle´. Tedy linea´rneˇ neza´visly´ syste´m rˇa´dku˚ je maxima´lnı´, jestlizˇe jeho doplneˇnı´m o libovolny´ jiny´ rˇa´dek dane´ matice vznikne linea´rneˇ za´visly´ syste´m rˇa´dku˚. Analogicky se definujı´ pojmy linea´rnı´ kombinace, linea´rnı´ neza´vislost, linea´rnı´ za´vislost a maxima´lnı´ linea´rneˇ neza´visly´ syste´m pro sloupce matice. Kontrolnı´ u´kol. • Rozepisˇte podmı´nky linea´rnı´ neza´vislosti a linea´rnı´ za´vislosti rˇa´dku˚ matice A = (aij ) pomocı´ prvku˚ te´to matice. Tote´zˇ proved’te pro sloupce. Nynı´ jizˇ mu˚zˇeme definovat hodnost matice, cozˇ je jeden z klı´cˇovy´ch pojmu˚ v teorii matic. Definice 2.6 (Hodnost matice). Hodnostı´ matice A rozumı´me pocˇet prvku˚ maxima´lnı´ho linea´rneˇ neza´visle´ho syste´mu rˇa´dku˚ matice A.

Hodnost matice A oznacˇujeme rank A.5 Prˇ´ımo z definice hodnosti matice vyply´va´, zˇe • hodnost nulove´ matice je rovna 0, hodnost nenulove´ matice je ≥ 1, • hodnost diagona´lnı´ matice je rovna pocˇtu jejı´ch nenulovy´ch rˇa´dku˚. Definice 2.7. Cˇtvercova´ matice A rˇa´du n se nazy´va´ regula´rnı´, je-li rank A = n (tedy je tvorˇena linea´rneˇ neza´visly´mi rˇa´dky). Cˇtvercova´ matice A rˇa´du n se nazy´va´ singula´rnı´, jestlizˇe nenı´ regula´rnı´, tj. je-li rank A < n. Kontrolnı´ u´kol. • Vsˇimneˇte si, zˇe vsˇechny elementa´rnı´ matice jsou regula´rnı´.

2.4

Veˇty o hodnosti matice

Doka´zˇeme si veˇty, ktere´ na´m odhalı´ strukturu faktorove´ mnozˇiny Mm×n (P)/∼ a take´ na´m poskytnou techniky k urcˇova´nı´ hodnosti matic. Veˇta 2.8 (Gauss). Elementa´rnı´ u´pravy nemeˇnı´ hodnost matice. Du˚kaz. Necht’ A = (aij ) je matice typu m × n, rank A = k. Oznacˇme fi1 , . . . fik maxima´lnı´ linea´rneˇ neza´visly´ syste´m rˇa´dku˚ matice A. Je trˇeba uka´zat, zˇe po provedenı´ libovolne´ elementa´rnı´ u´pravy bude mı´t matice A¯ ∼ A pra´veˇ k linea´rneˇ neza´visly´ch rˇa´dku˚. Tvrzenı´ doka´zˇeme postupneˇ pro vsˇechny cˇtyrˇi typy elementa´rnı´ch u´prav. • Vyna´sobenı´ p-te´ho rˇa´dku cˇ´ıslem c 6= 0: Jestlizˇe rˇa´dek fp matice A je linea´rneˇ za´visly´, pak take´ f¯p = cfp je linea´rneˇ za´visly´; ostatnı´ rˇa´dky se touto u´pravou nemeˇnı´. Jestlizˇe fp patrˇ´ı linea´rneˇ neza´visle´mu syste´mu rˇa´dku˚ matice A, pak kazˇdy´ dalsˇ´ı rˇa´dek matice A, ¯ jizˇ je linea´rneˇ za´visly´; prˇitom vyna´sobenı´m jednoho z rˇa´dku˚ linea´rneˇ a tedy i matice A, neza´visle´ho syste´mu cˇ´ıslem c 6= 0 vznikne opeˇt linea´rneˇ neza´visly´ syste´m (kdyby cfp byl linea´rnı´ kombinacı´ neˇjaky´ch rˇa´dku˚ uvazˇovane´ho syste´mu, pak by te´zˇ fp musel by´t jejich linea´rnı´ kombinacı´, cozˇ je spor). • Vyna´sobenı´ p-te´ho rˇa´dku cˇ´ıslem c ∈ P a prˇicˇtenı´ ke q-te´mu rˇa´dku, p 6= q: Pro rˇa´dky upravene´ matice A¯ nynı´ platı´, zˇe f¯q = fq + cfp a ostatnı´ rˇa´dky se nezmeˇnı´. Jestlizˇe rˇa´dek fq matice A je linea´rnı´ kombinacı´ maxima´lnı´ho linea´rneˇ neza´visle´ho syste´mu, pak take´ rˇa´dek f¯q je linea´rneˇ za´visly´ (at’ uzˇ rˇa´dek fp je jednı´m z rˇa´dku˚ fi1 , . . . fik , cˇi je jejich linea´rnı´ kombinacı´). Necht’ tedy fq patrˇ´ı linea´rneˇ neza´visle´mu syste´mu rˇa´dku˚ matice A. Jelikozˇ ostatnı´ rˇa´dky matice A¯ jsou stejne´ jako rˇa´dky matice A, stacˇ´ı uka´zat, zˇe rˇa´dky f¯i1 , . . . f¯ik jsou take´ linea´rneˇ neza´visle´. Jestlizˇe rˇa´dek fp patrˇ´ı linea´rneˇ neza´visle´mu syste´mu, platı´ c1 f¯i1 + · · · + cp f¯p + cq f¯q + · · · + ck f¯ik = c1 fi1 + · · · + cp fp + cq (fq + cfp ) + · · · + ck fik = c1 fi1 + · · · + (cp + cq c)fp + cq fq + · · · + ck fik = o, odkud dı´ky linea´rnı´ neza´vislosti rˇa´dku˚ fi1 , . . . fik okamzˇiteˇ vyply´va´, zˇe c1 = · · · = cp = cq = · · · = ck = 0. Je-li naopak rˇa´dek fp linea´rneˇ za´visly´, tj. fp = b1 fi1 + · · · + bq fq + · · · + bk fik , 5

Anglicky se „hodnost“ rˇekne rank.

ma´ vysˇetrˇovana´ podmı´nka tvar c1 f¯i1 + · · · + cq f¯q + · · · + ck f¯ik = c1 fi1 + · · · + cq (fq + cfp ) + · · · + ck fik = c1 fi1 + · · · + cq fq + cq c(b1 fi1 + · · · + bq fq + · · · + bk fik ) · · · + ck fik = (c1 + cq cb1 )fi1 + · · · + cq (1 + cbq )fq + · · · + (ck + cq cbk )fik = o . Protozˇe kazˇdy´ z koeficientu˚ u fi1 , . . . , fq , . . . , fik musı´ by´t roven nule, dosta´va´me cq = 0, a tedy take´ c1 = · · · = cq−1 = cq+1 = ck = 0, cozˇ jsme meˇli uka´zat. ˇ a´dky matice A oznacˇ´ıme fj = (aj1 , . . . , ajn ), • Vyna´sobenı´ p-te´ho sloupce cˇ´ıslem c 6= 0: R ¯ ¯ 1 ≤ j ≤ m, pak rˇa´dky matice A jsou fj = (aj1 , . . . , cajp , . . . ajn ), 1 ≤ j ≤ m. Jestlizˇe X X X X bs ais 1 , . . . , bs ais p , . . . , bs ais n ), bs fis = ( fj = b1 fi1 + · · · + bk fik = pak take´ X X X f¯j = ( bs ais 1 , . . . , c bs ais p , . . . , bs ais n ) X X X =( bs ais 1 , . . . , bs (cais p ), . . . , bs ais n ) = X X = bs (ais 1 , . . . , cais p , . . . , ais n ) = bs f¯is . Je tedy trˇeba zkoumat linea´rnı´ neza´vislost rˇa´dku˚ f¯i1 , . . . , f¯ik : Necht’ X X X X bs f¯is = ( bs ais 1 , . . . , bs (cais p ), . . . , bs ais n ) = (0, . . . , 0). Pak X

bs ais 1 = 0,

...,

c

X

bs ais p = 0,

...,

X

bs ais n = 0.

Jelikozˇ c 6= 0, platı´ o = (0, . . . , 0) = (

X

bs ais 1 , . . . ,

X

bs ais p , . . . ,

X

bs ais n ) =

X

bs fis ,

ˇ a´dky f¯i1 , . . . , f¯ik a z linea´rnı´ neza´vislosti rˇa´dku˚ fi1 , . . . , fik plyne b1 = · · · = bk = 0. R ¯ tedy tvorˇ´ı maxima´lnı´ linea´rneˇ neza´visly´ syste´m rˇa´dku˚ matice A. • Vyna´sobenı´ p-te´ho sloupce cˇ´ıslem c ∈ P a prˇicˇtenı´ ke q-te´mu sloupci, p 6= q: Nynı´ rˇa´dky matice A¯ majı´ tvar f¯j = (aj1 , . . . , ajp , . . . , ajq + cajp , . . . , ajn ), 1 ≤ j ≤ m, kde prˇedpokla´da´me c 6= 0 (prˇ´ıpad, kdy c = 0, je trivia´lnı´). Je-li rˇa´dek fj linea´rnı´ kombinacı´ maxima´lnı´ho linea´rneˇ neza´visle´ho syste´mu rˇa´dku˚ matice A, ma´me: X X X X X fj = bs fis = ( bs ais 1 , . . . , bs ais p , . . . , bs ais q , . . . , bs ais n ), a tedy X X X X X f¯j = ( bs ais 1 , . . . , bs ais p , . . . , bs ais q + c bs ais p , . . . , bs ais n ) X X = bs (ais 1 , . . . , ais p , . . . , ais q + cais p , . . . , ais n ) = bs f¯is . P ¯ Zby´va´ uka´zat, zˇe rˇa´dky f¯i1 , . . . , f¯ik jsou linea´rneˇ neza´visle´. Necht’ tedy bs fis = o. Pak ovsˇem X bs (ais 1 , . . . , ais p , . . . , ais q + cais p , . . . , ais n ) X X X X X =( bs ais 1 , . . . , bs ais p , . . . , bs ais q + c bs ais p , . . . , bs ais n ) = (0, . . . , 0),

odkud dosta´va´me X X X X bs ais 1 = 0, . . . , bs ais p = 0, . . . , bs ais q = 0, . . . , bs ais n = 0, tj. X

bs (ais 1 , . . . , ais p , . . . , ais q , . . . , ais n ) =

X

bs fis = o .

To ovsˇem znamena´, zˇe b1 = · · · = bk = 0. Jak bylo uka´za´no vy´sˇe, dalsˇ´ı rˇa´dky matice A¯ jsou linea´rnı´ kombinacı´ rˇa´dku˚ f¯i1 , . . . , f¯ik . Celkoveˇ tedy rank A¯ = rank A = k.

Veˇta 2.9 (Du˚sledky). (1) Ekvivalentnı´ matice majı´ stejnou hodnost. (2) Hodnost matice se nezmeˇnı´ vyna´sobenı´m konecˇny´m pocˇtem elementa´rnı´ch matic zleva nebo zprava. Veˇta 2.10 (Gauss). Kazˇdou matici A lze konecˇny´m pocˇtem elementa´rnı´ch u´prav prˇeve´st na matici   E 0 , (2.2) 0 0 kde E je jednotkova´ matice rˇa´du k = rank A, a 0 reprezentuje nulove´ matice, jejichzˇ typ je zrˇejmy´ z kontextu. Definice 2.11. Matice tvaru (2.2) popsana´ v prˇedchozı´ veˇteˇ se nazy´va´ Gaussu˚v kanonicky´ tvar matice A. Du˚kaz. Doka´zˇeme druhou Gaussovu veˇtu: Uvazˇujme matici A. Je-li nulova´, ma´ pozˇadovany´ tvar. Necht’tedy A je nenulova´. Pak lze za´meˇnou rˇa´dku˚ a sloupcu˚ (tedy pomocı´ elementa´rnı´ch u´prav) dosa´hnout toho, zˇe a11 6= 0. Vyna´sobı´me prvnı´ rˇa´dek cˇ´ıslem 1/a11 , cˇ´ımzˇ na pozici (1, 1) dostaneme cˇ´ıslo 1. Nynı´ pro kazˇde´ i ≥ 2 prˇicˇteme k i-te´mu rˇa´dku prvnı´ rˇa´dek vyna´sobeny´ cˇ´ıslem −ai1 , dostaneme tak na pozici (i, 1) cˇ´ıslo 0. Po teˇchto u´prava´ch prˇejde tedy matice A na ekvivalentnı´ matici tvaru   1 a0 12 a0 13 a0 14 · · · 0 a0 22 a0 23 · · ·    0 a0 32 a0 33 · · · .   .. .. .. . . . ··· Da´le pro kazˇde´ j ≥ 2 prˇicˇteme k j-te´mu sloupci prvnı´ sloupec vyna´sobeny´ cˇ´ıslem −a01j , takto na pozici v prvnı´m rˇa´dku a j-te´m sloupci obdrzˇ´ıme cˇ´ıslo 0, tedy   1 0 0 0 ··· 0 a0 22 a0 23 · · ·    A ∼ 0 a0 0 . 32 a 33 · · ·   .. .. .. . . . ··· Nynı´ zcela analogicky´ postup aplikujeme na submatici  0  a 22 a0 23 · · · a0 32 a0 33 · · ·  , .. . ktera´ ma´ m − 1 rˇa´dku˚ a n − 1 sloupcu˚. Po konecˇne´m pocˇtu kroku˚ takto dospeˇjeme k matici, ktera´ je ekvivalentnı´ s A a ma´ kanonicky´ tvar. Jelikozˇ jejı´ hodnost je rovna rank A = k, ma´ jejı´ jednotkova´ submatice E rˇa´d k.

Veˇta 2.12 (Du˚sledky). (1) Kazˇda´ matice A je ekvivalentnı´ neˇjake´ diagona´lnı´ matici, prˇicˇemzˇ pocˇet nenulovy´ch rˇa´dku˚ (sloupcu˚) diagona´lnı´ matice je roven hodnosti matice A. (2) Hodnost matice je rovna pocˇtu nenulovy´ch rˇa´dku˚ v diagona´lnı´m tvaru = pocˇtu nenulovy´ch sloupcu˚ v diagona´lnı´m tvaru. (3) Maxima´lnı´ pocˇet linea´rneˇ neza´visly´ch sloupcu˚ matice je roven maxima´lnı´mu pocˇtu jejı´ch linea´rneˇ neza´visly´ch rˇa´dku˚, tj. hodnosti matice. (4) rank A = rank AT . (5) Pro matici A typu m × n je cˇ´ıslo rank A prvkem mnozˇiny {0, 1, 2, . . . , min{m, n}}.6 Pozna´mka 2.13. Prˇedchozı´ veˇta o kanonicke´m tvaru na´m prˇiblizˇuje strukturu faktorove´ mnozˇiny Mm×n (P)/∼ : Faktorova´ mnozˇina je tvorˇena 1 + min{m, n} prvky (trˇ´ıdami ekvivalence). Trˇ´ıda nulove´ matice je jednoprvkova´, ostatnı´ trˇ´ıdy ekvivalence jsou netrivia´lnı´. Kazˇda´ trˇ´ıda obsahuje „kanonicke´ho reprezentanta“ (2.2), kde rˇa´d jednotkove´ matice urcˇuje hodnost prˇ´ıslusˇny´ch ekvivalentnı´ch matic. Veˇta 2.14 (Du˚sledky pro cˇtvercove´ regula´rnı´ matice). (1) Kazˇda´ regula´rnı´ matice je ekvivalentnı´ jednotkove´ matici. (2) Kazˇdou regula´rnı´ matici lze vyja´drˇit ve tvaru soucˇinu jisty´ch elementa´rnı´ch matic (nebot’ kazˇdou regula´rnı´ matici A lze zı´skat konecˇny´m pocˇtem rˇa´dkovy´ch a sloupcovy´ch u´prav jednotkove´ matice, tedy platı´ A = U EV = U V , kde U, V jsou soucˇiny konecˇne´ho pocˇtu elementa´rnı´ch matic). Kromeˇ vy´sˇe uvedeny´ch du˚sledku˚ platı´ pro regula´rnı´ matice i silneˇjsˇ´ı tvrzenı´. Veˇta 2.15. (1) Kazˇdou regula´rnı´ matici lze prˇeve´st na diagona´lnı´ tvar konecˇny´m pocˇtem bud’ pouze rˇa´dkovy´ch nebo pouze sloupcovy´ch elementa´rnı´ch u´prav. (2) Kazˇdou regula´rnı´ matici lze prˇeve´st pouze rˇa´dkovy´mi elementa´rnı´mi u´pravami nebo pouze sloupcovy´mi elementa´rnı´mi u´pravami na jednotkovou matici. Du˚kaz. Stacˇ´ı doka´zat jedno z teˇchto tvrzenı´, druhe´ je jeho du˚sledkem. Doka´zˇeme (2). Du˚kaz provedeme pro rˇa´dkove´ u´pravy; pro sloupcove´ u´pravy se postupuje analogicky. Bud’ A regula´rnı´ matice rˇa´du n. Rˇa´dkovy´mi elementa´rnı´mi u´pravami lze dosa´hnout toho, zˇe a11 6= 0 (prvnı´ sloupec je jisteˇ nenulovy´, a je-li na pozici (1, 1) nula, stacˇ´ı vhodneˇ vymeˇnit rˇa´dky). Nynı´ postupujeme podobneˇ jako v du˚kazu veˇty o kanonicke´m tvaru s tı´m, zˇe prova´dı´me pouze rˇa´dkove´ u´pravy. Matici A tak upravı´me na tvar   1 a0 12 a0 13 a0 14 · · · 0 a0 22 a0 23 · · ·    0 a0 32 a0 33 · · · ,   .. .. .. . . . ··· 6

min{m, n} je standardnı´ oznacˇenı´ pro „mensˇ´ı z cˇ´ısel m, n“.

a stejneˇ upravujeme submatici  0  a 22 a0 23 · · · a0 32 a0 33 · · ·  . .. . Po konecˇne´m pocˇtu kroku˚ dostaneme  1 b12 b13 0 1 b23  0 0 1  A ∼ .  ..  0 0 0 0 0 0

· · · b1,n−1 · · · b2,n−1 · · · b3,n−1 ··· ...

1 0

b1n b2n b3n



    .   bn−1,n  1

Nynı´ pro kazˇde´ i = 1, 2, . . . n − 1 prˇicˇteme k i-te´mu rˇa´dku poslednı´ rˇa´dek vyna´sobeny´ cˇ´ıslem −bin , cˇ´ımzˇ dostaneme na pozici (i, n) v poslednı´m sloupci cˇ´ıslo 0. Analogicky upravujeme submatici tvorˇenou prvnı´mi n − 1 rˇa´dky a prvnı´mi n − 1 sloupci. Po konecˇne´m pocˇtu kroku˚ zı´ska´me jednotkovou matici. Vy´sˇe jsme videˇli, zˇe regula´rnı´ matice vznikajı´ jako soucˇiny elementa´rnı´ch matic. Toto zjisˇteˇnı´ lze vyuzˇ´ıt k du˚kazu du˚lezˇite´ho tvrzenı´ o hodnosti soucˇinu matic. Veˇta 2.16. Vyna´sobenı´m matice regula´rnı´ maticı´ zleva nebo zprava se hodnost nemeˇnı´. Du˚kaz. Bud’ A matice typu m × n. Necht’ U je libovolna´ regula´rnı´ matice rˇa´du m a V je libovolna´ regula´rnı´ matice rˇa´du n. Jak jsme uka´zali vy´sˇe, matice U a V jsou soucˇinem konecˇneˇ mnoha elementa´rnı´ch matic. To ovsˇem znamena´, zˇe matice U A a AV jsou ekvivalentnı´ s A, takzˇe rank U A = rank AV = rank A. Veˇta 2.17 (Du˚sledky). (1) Soucˇin regula´rnı´ch matic je regula´rnı´ matice. (2) Soucˇin konecˇne´ho pocˇtu elementa´rnı´ch matic je regula´rnı´ matice.

2.5

Vy´pocˇet hodnosti matice

Z Gaussovy´ch veˇt vyply´va´, zˇe hodnost matice lze urcˇit tak, zˇe najdeme jejı´ diagona´lnı´ nebo kanonicky´ tvar. Zamyslı´me-li se ale nad du˚kazy Gaussovy´ch veˇt, snadno objevı´me, zˇe prˇi prakticke´m vy´pocˇtu hodnosti matice nenı´ nutno prova´deˇt tolik ekvivalentnı´ch u´prav, a zˇe hodnost matice lze urcˇit jizˇ daleko drˇ´ıve. Dosta´va´me tak efektivnı´ metodu (algoritmus) pro vy´pocˇet hodnosti matice, ktery´ nynı´ podrobneˇ popı´sˇeme. Definice 2.18. Rˇekneme, zˇe matice A ma´ schodovity´ tvar, jestlizˇe je nulova´, nebo pro jejı´ rˇa´dky fi = (ai1 , ai2 , . . . , ain ), kde i = 1, 2, . . . , m, platı´: • aij = 0 pro j < ki , a aiki 6= 0, kde k1 < k2 < · · · < kp ≤ n pro neˇjake´ p ≤ m, • vsˇechny rˇa´dky fp+1 , . . . , fm jsou nulove´. Volneˇ mu˚zˇeme rˇ´ıci, zˇe (nenulova´) matice ve schodovite´m tvaru vypada´ tak, zˇe prvnı´ nenulovy´ prvek kazˇde´ho rˇa´dku je „da´l“, nezˇ prvnı´ nenulovy´ prvek rˇa´dku prˇedcha´zejı´cı´ho. Prakticky okamzˇiteˇ je videˇt, zˇe nenulove´ rˇa´dky matice ve schodovite´m tvaru jsou linea´rneˇ neza´visle´, tedy, zˇe hodnost matice ve schodovite´m tvaru je rovna pocˇtu jejı´ch nenulovy´ch rˇa´dku˚.

Kontrolnı´ u´koly. • Mezi uvedeny´mi maticemi vyberte ty, ktere´ jsou ve schodovite´m tvaru:        1 2 3 1 1 1 1 1 1 1
2 0 2 2 0 2 2 0 4 3       1 2 3 4 , 3 , 0 2 0 , 0 0 0 , 0 0 2 0 0 0 0 0 1 0 0 1 4

 4 2 , 4 0



       0 0 1 0 0 1 0 2 0 0 1 2 0 1 0 0 1 0 , 0 0 0 0 , 0 1 0 0 , 0 0 1 0 . 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 • Urcˇete Gaussu˚v kanonicky´ tvar vy´sˇe uvedeny´ch matic. • Urcˇete, ktere´ z vy´sˇe uvedeny´ch matic jsou navza´jem ekvivalentnı´. • Jak vypada´ schodovity´ tvar regula´rnı´ cˇtvercove´ matice? Slibovana´ metoda vy´pocˇtu hodnosti matice vyply´va´ z te´to veˇty: Veˇta 2.19. (1) Kazˇdou matici lze konecˇny´m pocˇtem rˇa´dkovy´ch elementa´rnı´ch u´prav prˇeve´st na schodovity´ tvar. (2) Kazˇda´ matice A je ekvivalentnı´ neˇjake´ matici ve schodovite´m tvaru, prˇicˇemzˇ pocˇet nenulovy´ch rˇa´dku˚ te´to schodovite´ matice je roven hodnosti matice A. (3) Hodnost matice je rovna pocˇtu nenulovy´ch rˇa´dku˚ ve schodovite´m tvaru. Du˚kaz. Doka´zˇeme prvnı´ tvrzenı´, ostatnı´ dveˇ jsou du˚sledkem prvnı´ho. Uvazˇujme nenulovou matici A o m rˇa´dcı´ch. Vybereme rˇa´dek (jeden z rˇa´dku˚), kde prvnı´ nenulovy´ prvek stojı´ nejvı´ce vlevo a tento rˇa´dek napı´sˇeme jako prvnı´ (prˇesneˇji, vymeˇnı´me jej s prvnı´m rˇa´dkem). Nynı´ mohou nastat dveˇ mozˇnosti: 1) Ve vsˇech zby´vajı´cı´ch rˇa´dcı´ch je prvnı´ nenulovy´ prvek vı´ce vpravo, nezˇ v rˇa´dku prvnı´m, takzˇe vsˇechny prvky v dalsˇ´ıch rˇa´dcı´ch, ktere´ stojı´ pod prvnı´m nenulovy´m prvkem prvnı´ho rˇa´dku, jsou rovny nule. 2) Mezi zby´vajı´cı´mi rˇa´dky je p rˇa´dku˚, jejichzˇ prvnı´ nenulovy´ prvek zleva je ve stejne´m sloupci jako prvnı´ nenulovy´ prvek a1k1 v prvnı´m rˇa´dku. V tomto prˇ´ıpadeˇ takove´ rˇa´dky usporˇa´da´me pod sebe pod prvnı´ rˇa´dek a provedeme tyto ekvivalentnı´ u´pravy: od prvnı´ho rˇa´dku vyna´sobene´ho cˇ´ıslem a2k1 odecˇteme druhy´ rˇa´dek vyna´sobeny´ cˇ´ıslem a1k1 . Na pozici (2, k1 ) tak dostaneme nulu. Pak od prvnı´ho rˇa´dku vyna´sobene´ho cˇ´ıslem a3k1 odecˇteme trˇetı´ rˇa´dek vyna´sobeny´ cˇ´ıslem a1k1 , cˇ´ımzˇ na pozici (3, k1 ) dostaneme nulu. Analogicky postupujeme pro rˇa´dky 3, . . . , p. Po teˇchto u´prava´ch dostaneme stav popsany´ v bodeˇ 1). Stejny´ postup jako vy´sˇe aplikujeme na submatici tvorˇenou rˇa´dky 2, . . . , m. Po konecˇne´m pocˇtu kroku˚ dospeˇjeme zrˇejmeˇ k matici ve schodovite´m tvaru. Metoda prˇeva´deˇnı´ matice na schodovity´, diagona´lnı´ nebo kanonicky´ tvar pomocı´ elementa´rnı´ch u´prav se nazy´va´ Gaussova eliminacˇnı´ metoda. Shrneme-li vy´sledky, mu˚zˇeme vyslovit obecny´ na´vod, jak jednodusˇe hledat hodnost matice: Postupnou aplikacı´ rˇa´dkovy´ch elementa´rnı´ch u´prav najdeme k dane´ matici A neˇjakou s nı´ ekvivalentnı´ schodovitou matici A0 (rˇ´ıka´me, zˇe matici A „prˇevedeme na schodovity´ tvar“). Hodnost matice A je pak rovna pocˇtu nenulovy´ch rˇa´dku˚ schodovite´ matice A0 .

Prˇ´ıklad 2.20. Popsany´ algoritmus pouzˇijeme k urcˇenı´ hodnosti matice   1 1 1 1 0 1 −1 −1 0 0    1 −1 −1 −1 A = 1 . 2 2 0 0 −1 1 1 5 5 2 Zapı´sˇeme rˇa´dkove´ elementa´rnı´ u´pravy krok za krokem:    1 1 1 1 1 1 1 1 0  0 2 1 −1 −1 2 1 0 0      1 1 −1 −1 −1 ∼ 1 1 −1 −1  2 0 0 2 0 0 −1 2 2 1 1 5 5 1 1 5 5 2 

1 0  ∼ 0 0 1

1 2 0 0 1

1 2 2 2 5

1 1 2 2 5

  1 0 0 0    1  ∼ 0  0 1 0 2

1 2 0 0 0

1 2 2 2 4

1 1 2 2 4

  1 0 0 0    1  ∼ 0  0 1 0 2

  1 0 0 0    −1  ∼ 0  2 −1 1 2

1 2 0 0 0

1 2 2 0 4

1 1 2 0 4

1 2 0 2 1

 1 0 1 0  2 1  0 −1 5 2

1 2 2 0 5

  1 0 0 0    1  ∼ 0  0 0 0 2

1 2 0 0 0

1 2 2 0 0

1 1 2 0 0

 0 0  1 . 0 0

Odtud vidı´me, zˇe dana´ matice ma´ hodnost 3. Jednotlive´ kroky nenı´ trˇeba takto podrobneˇ rozepisovat. Ty u´pravy, ktere´ vedou k „vynulova´nı´“ cele´ho sloupce pod uvazˇovany´m rˇa´dkem lze vzˇdy zapsat nara´z do jedne´ matice, takzˇe vy´sledny´ za´pis bude podstatneˇ kratsˇ´ı. V nasˇem prˇ´ıpadeˇ dopadne takto:       1 1 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0     1 −1 −1 0 0  0 2 2 1 0 0 2 2 1 0      1 1 −1 −1 −1 ∼ 0 0 2 2 1 ∼ 0 0 2 2 1 .  2 2 0 0 −1 0 0 2 2 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 4 4 2 1 1 5 5 2 Prˇ´ıklad 2.21. Najdeme Gaussu˚v kanonicky´ tvar matice z prˇedchozı´ho prˇ´ıkladu. Jelikozˇ zna´me hodnost matice, mu˚zˇeme vyuzˇ´ıt Gausovu veˇtu a kanonicky´ tvar napsat okamzˇiteˇ:   1 0 0 0 0 0 1 0 0 0   0 0 1 0 0 .   0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Mu˚zˇeme ovsˇem postupovat i prˇ´ımy´m vy´pocˇtem, prˇicˇemzˇ mu˚zˇeme pouzˇ´ıt algoritmus zalozˇeny´ na kombinaci rˇa´dkovy´ch a sloupcovy´ch u´prav, popsany´ v du˚kazu veˇty o Gaussoveˇ kanonicke´m tvaru matice:       1 1 1 1 0 1 0 0 0 0 1 1 1 1 0     1 −1 −1 0 0   0 2 2 1 0 0 2 2 1 0     1 1 −1 −1 −1   ∼ 0 0 2 2 1 ∼ 0 0 2 2 1   2   0 0 2 2 1 0 0 2 2 1 2 0 0 −1 0 0 4 4 2 0 0 4 4 2 1 1 5 5 2 

1 0  ∼ 0 0 0

0 2 0 0 0

0 0 2 2 4

0 0 2 2 4

  0 1 0 0    1  ∼ 0  0 1 2 0

0 1 0 0 0

0 0 2 0 0

0 0 2 0 0

  0 1 0 0    1  ∼ 0  0 0 0 0

0 1 0 0 0

0 0 1 0 0

0 0 0 0 0

 0 0  0 . 0 0

Cvicˇenı´ 1. Opakova´nı´. • Definujte vsˇechny pojmy uvedene´ v Klı´cˇovy´ch slovech. • Napisˇte, jak vypadajı´ elementa´rnı´ matice. Jaky´ je jejich vy´znam? • Vyslovte Gaussovy veˇty o hodnosti matice. • Jake´ vlastnosti (ty´kajı´cı´ se ekvivalence) majı´ regula´rnı´ matice? • Jak vypadaa´ rozklad mnozˇiny Mm×n (P) na trˇ´ıdy ekvivalence podle hodnosti? 2. Zjisteˇte, zda jsou nı´zˇe uvedene´ rˇa´dky matice linea´rneˇ neza´visle´ a) pomocı´ definice linea´rnı´ neza´vislosti rˇa´dku˚, b) pomocı´ ekvivalentnı´ch u´prav matice. f1 = (1, 2, 0, 0),

f2 = (3, 6, 0, 0),

f3 = (1, 2, 3, 4),

f4 = (0, 1, 2, 3).

3. Zjisteˇte, zda jsou dane´ rˇa´dky matice linea´rneˇ za´visle´ a v kladne´m prˇ´ıpadeˇ tuto za´vislost vyja´drˇete explicitneˇ: f1 = (5, 2, −3, 1, 0),

f2 = (7, 1, −3, 8, −6),

f3 = (1, 1, −1, −2, 2).

4. Nalezneˇte vsˇechny hodnoty parametru α, pro ktere´ se rˇa´dek (7, −2, α) vyjadrˇuje jako linea´rnı´ kombinace rˇa´dku˚ f1 = (2, 3, 5),

f2 = (3, 7, 8),

f3 = (1, −6, 1).

Toto vyja´drˇenı´ zapisˇte. 5. Urcˇete hodnost matice  −1 2 −3  2 3 4   −3 −2 3    4 −3 4 1 1 −1 

a napisˇte jejı´ Gaussu˚v kanonicky´ tvar. 6. Urcˇete hodnost matice   1 α −1 2 2 −1 α 5 1 10 −6 1 v za´vislosti na parametru α. 7. Urcˇete Gaussu˚v kanonicky´ tvar matice z prˇechozı´ho prˇ´ıkladu. 8. Zjisteˇte, zda matice   3 4 −1 2 3 5 −3 5   6 8 −1 5 3 5 −3 7 je regula´rnı´ nebo singula´rnı´. 9. Najdeˇte cˇ´ıslo α, pro ktere´ ma´ matice 

3 α  1 2

nejmensˇ´ı hodnost.

 1 1 4 4 10 1  7 17 3 2 4 3

10. Urcˇete Gaussu˚v kanonicky´ tvar matice z prˇedchozı´ho prˇ´ıkladu a) vy´pocˇtem hodnosti matice a aplikacı´ Gaussovy veˇty o kanonicke´m tvaru matice, b) prˇ´ımy´m vy´pocˇtem pomocı´ kombinace rˇa´dkovy´ch a sloupcovy´ch elementa´rnı´ch u´prav, c) prˇ´ımy´m vy´pocˇtem s vyuzˇitı´m pouze rˇa´dkovy´ch elementa´rnı´ch u´prav, d) prˇ´ımy´m vy´pocˇtem s vyuzˇitı´m pouze sloupcovy´ch elementa´rnı´ch u´prav. V prˇ´ıpadech b), c), d) napisˇte elementa´rnı´ matice odpovı´dajı´cı´ jednotlivy´m u´prava´m a najdeˇte prˇ´ıslusˇne´ matice ekvivalentnı´ch u´prav. Vyja´drˇete nalezenou matici v kanonicke´m tvaru jako soucˇin zadane´ matice a matic ekvivalentnı´ch u´prav. Vyna´sobenı´m prˇ´ıslusˇny´ch matic se prˇesveˇdcˇte o spra´vnosti sve´ho rˇesˇenı´ u´lohy. 11. Urcˇete rank(AB), vı´te-li, zˇe B je regula´rnı´ matice. 12. Dokazˇte, zˇe pro hodnost soucˇinu matic A, B platı´ rank AB ≤ min{rank A, rank B}.

3

Determinanty a inverznı´ matice

Studijnı´ cı´le: V poslednı´ kapitole o maticı´ch se budeme veˇnovat podrobneˇji cˇtvecovy´m maticı´m. Zavedeme si pojem determinantu matice, prozkouma´me jeho vlastnosti a hlavneˇ, naucˇ´ıme se determinaty pocˇ´ıtat. Da´le se budeme veˇnovat pojmu inverznı´ matice. V prvnı´ kapitole jsme se sezna´mili se za´kladnı´mi operacemi na mnozˇineˇ cˇtvercovy´ch matic - scˇ´ıta´nı´m a na´sobenı´m. Zjistili jsme, zˇe ke scˇ´ıta´nı´ lze zave´st inverznı´ operaci - odcˇ´ıta´nı´, zatı´mco inverznı´ operaci k na´sobenı´ matic jsme nezava´deˇli (naopak jsme zjistili, zˇe na´sobenı´ matic nenı´ komutativnı´, takzˇe ani nelze zave´st „deˇlenı´ “, jak je zna´me v cˇ´ıselny´ch polı´ch). V mnozˇineˇ cˇtvercovy´ch matic ovsˇem lze zave´st, podobneˇ jako u cˇ´ısel, pojem „inverznı´ho prvku“ vzhledem k na´sobenı´. Prˇipomenˇme si, zˇe inverznı´m prvkem k cˇ´ıslu x 6= 0 je cˇ´ıslo x−1 = 1/x, tedy takove´, jehozˇ soucˇin s cˇ´ıslem x je 1. V te´to kapitole uvidı´me, zˇe omezı´me-li se na regula´rnı´ matice, pak mu˚zˇeme k dane´ matici A najı´t matici tak, aby jejı´m soucˇinem s maticı´ A (v libovolne´m porˇadı´) byla jednotkova´ matice. Takovou matici pak budeme nazy´vat inverznı´ matice k matici A. Prostudujeme vlastnosti inverznı´ch matic a uvedeme metody jejich vy´pocˇtu. V za´veˇru kapitoly se sezna´mı´me jesˇteˇ s jednou metodou pro vy´pcˇet hodnosti matice - tzv. metodou vroubenı´, ktera´ je zalozˇena na vy´pocˇtech determinantu˚. Klı´cˇova´ slova: Permutace, parita permutace, Levi-Civitu˚v symbol, determinant matice, regula´rnı´ matice, singula´rnı´ matice, Sarrusovo pravidlo, minor, algebraicky´ doplneˇk prvku matice, Laplaceova veˇta, inverznı´ matice. Potrˇebny´ cˇas: 390 minut.

3.1

Permutace

Bud’ {p1 , . . . , pn } usporˇa´dana´ podmnozˇina mnozˇiny prˇirozeny´ch cˇ´ısel (tj. p1 < p2 < · · · < pn ). Permutacı´ mnozˇiny {p1 , . . . , pn } budeme rozumeˇt bijektivnı´ zobrazenı´ te´to mnozˇiny na sebe. Permutaci σ mnozˇiny {p1 , . . . , pn } definovanou vztahem σ(p1 ) = σ1 , σ(p2 ) = σ2 , . . . , σ(pn ) = σn budeme oznacˇovat   p1 p2 · · · pn , σ= σ1 σ2 · · · σn nebo strucˇneˇ σ = (σ1 , σ2 , · · · , σn ). Permutace, ktera´ odpovı´da´ identicke´mu zobrazenı´ mnozˇiny {p1 , . . . , pn } na sebe, se nazy´va´ identicka´; budeme ji oznacˇovat symbolem id. Z definice permutace vyply´va´, zˇe slozˇenı´m dvou permutacı´ mnozˇiny {p1 , . . . , pn } vznika´ opeˇt permutace te´to mnozˇiny, tj. zˇe skla´da´nı´ permutacı´ je bina´rnı´ operace na mnozˇineˇ {p1 , . . . , pn }; tato operace zrˇejmeˇ nenı´ komutativnı´. Operaci skla´da´nı´ permutacı´ budeme oznacˇovat obvykly´m symbolem ◦. Prˇipomenˇme si, zˇe pro permutace σ, π je slozˇena´ permutace σ ◦ π definova´na vztahem (σ ◦ π)(x) = σ(π(x)) pro vsˇechna x ∈ {p1 , . . . , pn }. Analogicky vidı´me, zˇe ke kazˇde´ permutaci σ existuje inverznı´ permutace, oznacˇovana´ σ −1 . Vı´me, zˇe inverznı´ permutace je urcˇena jednoznacˇneˇ a je definova´na vztahem σ ◦ σ −1 = σ −1 ◦ σ = id. Bud’  σ=

p1 p2 · · · pn σ1 σ2 · · · σn



permutace. Usporˇa´danou dvojici (σi , σj ) nazveme inverzı´, jestlizˇe i < j a prˇitom σi > σj . Inverze tedy tvorˇ´ı takove´ dvojice prvku˚ v permutaci, v nichzˇ prvek (cˇ´ıslo) s „nizˇsˇ´ım porˇadovy´m cˇ´ıslem“ je veˇtsˇ´ı nezˇ prvek s „vysˇsˇ´ım porˇadovy´m cˇ´ıslem“. Oznacˇme s pocˇet inverzı´ v permutaci σ. Cˇ´ıslo (−1)s budeme nazy´vat paritou permutace σ. Je-li parita permutace σ rovna 1, tj. je-li

pocˇet inverzı´ v permutaci σ sudy´, nazy´va´ se permutace σ suda´. Je-li parita rovna −1, tj. je-li pocˇet inverzı´ lichy´, nazy´va´ se tato permutace licha´. Abychom si usnadnili za´pis a neˇktere´ vy´pocˇty, zavedeme si nynı´ pomocny´ symbol, nazy´vany´ Levi–Civitu˚v symbol. Prˇedpokla´dejme, zˇe indexy j1 , . . . , jn naby´vajı´ hodnoty v podmnozˇineˇ {p1 , . . . , pn } prˇirozeny´ch cˇ´ısel, p1 < p2 · · · < pn . Klademe   1 tvorˇ´ı-li {j1 , . . . , jn } sudou permutaci mnozˇiny {p1 , . . . , pn } , εj1 ...jn = −1 tvorˇ´ı-li {j1 , . . . , jn } lichou permutaci mnozˇiny {p1 , . . . , pn } ,  0 jsou-li alesponˇ dva z indexu˚ {j1 , . . . , jn } stejne´.

Cvicˇenı´ 1. Kolik je permutacı´ mnozˇiny {1, 2, 3, . . . , n}? 2. Urcˇete paritu na´sledujı´cı´ch permutacı´:     1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 , , 2 3 4 1 6 5 1 3 2 4

  1 2 3 4 5 . 5 4 3 2 1

3. Vypisˇte vsˇechny permutace mnozˇiny {1, 2, 3} a urcˇete jejich paritu. 4. Vypisˇte vsˇechny permutace mnozˇiny {1, 2, 3, 4} a urcˇete jejich paritu. 5. Najdeˇte slozˇenou permutaci:     1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 , ◦ 2 4 6 1 3 5 1 5 4 3 6 2 

   1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 . ◦ 1 5 4 3 6 2 2 4 6 1 3 5

6. Najdeˇte inverznı´ permutace k permutacı´m z prˇ´ıkladu 2.

3.2

Determinant cˇtvercove´ matice

Definice 3.1. Necht’A je cˇtvercova´ matice rˇa´du n nad cˇ´ıselny´m polem P. Cˇ´ıslo det A =

n X

εj1 j2 ...jn a1j1 a2j2 . . . anjn

j1 ,j2 ,...,jn =1

se nazy´va´ determinant matice A. Determinant matice A se take´ cˇasto oznacˇuje symbolem |A|, explicitneˇ pı´sˇeme   a11 a12 . . . a11 a12 . . . a1n a1n  a21 a22 . . . a2n  a2n   a21 a22 . . . det  . = .  .  ..  .. an1 an2 . . . an1 an2 . . . ann ann Zrˇejmeˇ det A ∈ P, tj. det je zobrazenı´ mnozˇiny Mn (P) do pole P. Vsˇimneˇte si, zˇe determinant je soucˇtem cˇlenu˚ a1j1 a2j2 . . . anjn prˇes vsˇechny permutace σ = {j1 , j2 , . . . , jn } mnozˇiny {1, 2, . . . n}, opatrˇeny´ch zname´nkem + pokud jde o sudou a − pokud jde o lichou permutaci. Determinant matice A je tedy soucˇet soucˇinu˚ prvku˚ te´to matice vytvorˇeny´ch tak, zˇe kazˇdy´ scˇ´ıtanec obsahuje pra´veˇ jeden prvek z kazˇde´ho rˇa´dku a sloupce, a opatrˇeny´ch vhodny´m zname´nkem.

Rozepı´sˇeme definici determinantu pro „male´“ matice: • Pro n = 1: V tomto prˇ´ıpadeˇ ma´ matice A jen jeden rˇa´dek a jeden sloupec. Je tedy A = a ∈ P, takzˇe det A = a. • Pro n = 2 ma´me   a11 a12 A= , a21 a22 a pouze dveˇ permutace mnozˇiny {1, 2}: sudou permutaci {1, 2} a lichou permutaci {2, 1}. Je tedy ε12 = 1, ε21 = −1 a ε11 = ε22 = 0, takzˇe det A = a11 a22 − a12 a21 . Tento vzorec si snadno zapamatujete: determinant matice 2 × 2 je soucˇin prvku˚ na diagona´le minus soucˇin zby´vajı´cı´ch prvku˚. • Pro n = 3 ma´me   a11 a12 a13 A = a21 a22 a23  , a31 a32 a33 a 3! = 6 permutacı´ mnozˇiny {1, 2, 3}. Definice determinantu ma´ tedy pro tento prˇ´ıpad tvar det A = a11 a22 a33 − a11 a23 a32 − a12 a21 a33 + a12 a23 a31 + a13 a21 a32 − a13 a22 a31 . Ke snadne´mu zapamatova´nı´ tohoto vzorce slouzˇ´ı na´sledujı´cı´ graficke´ sche´ma, nazy´vane´ Sarrusovo pravidlo: napı´sˇeme si pod sebe do peˇti rˇa´dku˚ prvnı´, druhy´ a trˇetı´ rˇa´dek matice A a znovu jejı´ prvnı´ a druhy´ rˇa´dek: a11 a21 a31 a11 a21

a12 a22 a32 a12 a22

a13 a23 a33 a13 a23

Determinant pak dostaneme jako soucˇet 6 cˇlenu˚, tvorˇeny´ch soucˇiny prvku˚ na trˇech sousedı´cı´ch diagona´la´ch jdoucı´ch zleva doprava se zname´nkem + a na trˇech „proteˇjsˇ´ıch“ sousedı´cı´ch diagona´la´ch jdoucı´ch zprava doleva se zname´nkem −. Je-li n = 4, pak determinant je soucˇtem 4! = 24 cˇlenu˚ a jednoduche´ pravidlo pro jejich zapamatova´nı´ uzˇ nema´me. Pro vy´pocˇet determinantu lze ovsˇem nale´zt jine´ postupy, jejichzˇ pouzˇitı´ je snadneˇjsˇ´ı, nezˇ prˇ´ıme´ dosazenı´ do definicˇnı´ho vztahu. Uvedeme neˇktere´ vlastnosti determinantu˚, ktere´ na´m usnadnı´ jejich vy´pocˇet. Veˇta 3.2. (1) Je-li neˇktery´ rˇa´dek (sloupec) matice A nulovy´, je det A = 0. (2) Determinant matice ve schodovite´m tvaru a determinant diagona´lnı´ matice je roven soucˇinu prvku˚ na hlavnı´ diagona´le, tedy det A = a11 a22 . . . ann . Obeˇ tvrzenı´ ihned plynou z definice determinantu. Nynı´ mu˚zˇeme okamzˇiteˇ urcˇit determinanty elementa´rnı´ch matic: det Q(i, c) = c ,

det Q(ij, c) = 1.

Jelikozˇ podle definice elementa´rnı´ch u´prav je v matici Q(i, c) cˇ´ıslo c ru˚zne´ od nuly, jsou determinanty vsˇech elementa´rnı´ch matic ru˚zne´ od nuly.

Veˇta 3.3. (1) Pro libovolne´ dveˇ cˇtvercove´ matice A, B platı´ det AB = det BA = det A · det B. (2) Pro libovolnou cˇtvercovou matici A platı´ det A = det AT . Du˚kaz. (1) Vzorec doka´zˇeme dosazenı´m do definice determinantu. Oznacˇme A = (aij ), B = P (bij ), AB = (cij ), a prˇipomenˇme si, zˇe cij = aik bkj pro vsˇechny hodnoty indexu˚ i, j. Ma´me tedy n X

det AB =

=

=

εj1 ...jn c1j1 . . . cnjn

j1 ,...,jn =1 n X

n X

j1 ,...,jn =1 k1 ,...,kn =1 n n X X

εj1 ...jn a1k1 bk1 j1 a2k2 bk2 j2 . . . ankn bkn jn εj1 ...jn bk1 j1 . . . bkn jn a1k1 a2k2 . . . ankn .

j1 ,...,jn =1 k1 ,...,kn =1

Vsˇimneˇme si pozorneˇ poslednı´ho vy´razu, v neˇmzˇ vystupuje suma prˇes vsˇechny hodnoty indexu˚ j1 , . . . , jn a k1 . . . , kn . Uvazˇujme nejprve ty cˇleny v uvedene´m soucˇtu, ktere´ majı´ vsˇechny hodnoty indexu˚ k1 , . . . , kn navza´jem ru˚zne´, to znamena´, zˇe (k1 , . . . , kn ) je neˇjaka´ permutace mnozˇiny {1, 2, . . . , n}. V kazˇde´m ze soucˇinu˚ bk1 j1 . . . bkn jn lze tedy prˇeskla´dat cˇinitele tak, aby leve´ (rˇa´dkove´) indexy tvorˇily usporˇa´danou mnozˇinu {1, 2, . . . , n}. Tı´mto prˇeskla´da´nı´m ovsˇem za´rovenˇ zmeˇnı´me porˇadı´ indexu˚ j1 , . . . , jn , cˇ´ımzˇ dostaneme na mı´steˇ sloupcovy´ch indexu˚ jinou permutaci. Zrˇejmeˇ, byla-li (k1 , . . . , kn ) suda´ permutace mnozˇiny {1, 2, . . . , n}, pak vznikne permutace mnozˇiny {1, 2, . . . , n}, ktera´ ma´ stejnou paritu jako permutace (j1 , . . . jn ). Podobneˇ, byla-li (k1 , . . . , kn ) licha´ permutace mnozˇiny {1, 2, . . . , n}, vznikne permutace, ktera´ ma´ opacˇne´ zname´nko. Indexy j1 , . . . , jn jsou ovsˇem scˇ´ıtacı´, to znamena´, zˇe v soucˇtu P ´va´, zˇe j1 ,...,jn εj1 ...jn bk1 j1 . . . bkn jn vystupujı´ vsˇechny permutace (j1 , . . . , jn ). Z toho vyply uvedeny´m prˇeskla´da´nı´m cˇinitelu˚ v kazˇde´m ze scˇ´ıtancu˚ bk1 j1 . . . bkn jn vznikne vy´raz, ktery´ bude bud’ prˇ´ımo roven neˇktere´mu z vy´razu˚ vystupujı´cı´ch v soucˇtu cˇlenu˚ εj1 ...jn bk1 j1 . . . bkn jn (to v prˇ´ıpadeˇ, zˇe permutace (k1 , . . . , kn ) byla suda´), nebo bude roven neˇktere´mu z teˇchto scˇ´ıtancu˚, ale bude mı´t opacˇne´ zname´nko (to nastane tehdy, kdyzˇ permutace (k1 , . . . , kn ) byla licha´). Platı´ tedy pro kazˇdou permutaci (k1 . . . kn ) mnozˇiny {1, 2, . . . , n} n X

εj1 ...jn bk1 j1 . . . bkn jn =

j1 ,...,jn =1

n X

εj1 ...jn εk1 ...kn b1j1 . . . bnjn .

(3.1)

j1 ,...,jn =1

Zby´va´ vysˇetrˇit ty scˇ´ıtance v soucˇtu n X

n X

εj1 ...jn bk1 j1 . . . bkn jn a1k1 a2k2 . . . ankn ,

j1 ,...,jn =1 k1 ,...,kn =1

kde alesponˇ dva zPindexu˚ k1 , . . . , kn jsou stejne´. Uvazˇujme tedy pro pevneˇ zvolene´ indexy k1 , . . . , kn soucˇet j1 ,...,jn εj1 ...jn bk1 j1 . . . bkn jn a prˇedpokla´dejme, zˇe p z teˇchto indexu˚ naby´va´ stejne´ hodnoty. Pak ovsˇem v uvazˇovane´m soucˇtu bude vystupovat (p!)-scˇ´ıtancu˚, ktere´ budou v absolutnı´ hodnoteˇ stejne´, ale se zname´nky takovy´mi, zˇe se navza´jem vyrusˇ´ı. Celkoveˇ tedy

dosta´va´me, zˇe vztah (3.1) platı´ pro libovolne´ hodnoty indexu˚ k1 , . . . , kn . Odtud det AB =

=

=

n X

n X

εj1 ...jn bk1 j1 . . . bkn jn a1k1 a2k2 . . . ankn

j1 ,...,jn =1 k1 ,...,kn =1 n n X X

εj1 ...jn εk1 ...kn b1j1 . . . bnjn a1k1 a2k2 . . . ankn

j1 ,...,jn =1 k1 ,...,kn =1 n  X

  εk1 ...kn a1k1 a2k2 . . . ankn ·

n X

εj1 ...jn b1j1 . . . bnjn



j1 ,...,jn =1

k1 ,...,kn =1

= det A · det B. (2) K du˚kazu druhe´ho tvrzenı´ te´zˇ vyuzˇijeme definici determinantu. Platı´ det AT =

n X

εj1 ...jn aj1 1 aj2 2 . . . ajn n .

(3.2)

j1 ,...,jn =1

Vsˇimneˇme si blı´zˇe nenulovy´ch cˇlenu˚ ve vy´razu pro det AT . Pro pevne´ hodnoty indexu˚ j1 , . . . , jn je (j1 . . . jn ) permutace mnozˇiny {1, 2, . . . , n}. Prˇeskla´da´me-li cˇinitele v soucˇinu aj1 1 . . . ajn n tak, aby leve´ (rˇa´dkove´) indexy byly usporˇa´da´ny v porˇadı´ 1, 2, . . . , n, vytvorˇ´ı prave´ (sloupcove´) indexy permutaci mnozˇiny {1, 2, . . . , n}, jejı´zˇ zname´nko bude stejne´ jako bylo zname´nko permutace (j1 . . . jn ). Z toho a se stejny´mi P je zrˇejme´, zˇe v soucˇtu (3.2) vystupujı´ stejne´ scˇ´ıtance T zname´nky jako v soucˇtu j1 ,...,jn εj1 ...jn a1j1 a2j2 . . . anjn . Pak ovsˇem det A = det A. Veˇta 3.4. Matice A je regula´rnı´ pra´veˇ tehdy, kdyzˇ det A 6= 0 a singula´rnı´ pra´veˇ tehdy, kdyzˇ det A = 0. Du˚kaz. Bud’ A regula´rnı´ matice. Pak A je soucˇinem konecˇne´ho pocˇtu elementa´rnı´ch matic. Jelikozˇ vsˇechny elementa´rnı´ matice majı´ nenulovy´ determinant, a jelikozˇ podle vy´sˇe uvedene´ veˇty je determinant soucˇinu konecˇneˇ mnoha matic roven soucˇinu jejich determinantu˚, dosta´va´me det A 6= 0. Obra´ceneˇ, necht’ det A 6= 0. Prˇevedeme-li matici A elementa´rı´mi u´pravami na diagona´lnı´ tvar A0 , dosta´va´me A0 = U AV pro jiste´ matice U, V , ktere´ jsou soucˇinem konecˇneˇ mnoha elementa´rnı´ch matic, takzˇe det U 6= 0, det V 6= 0. Podle veˇty o soucˇinu determinantu˚ je det A0 = det U · det A · det V 6= 0. Determinant matice A0 je ovsˇem roven soucˇinu jejı´ch diagona´lnı´ch prvku˚, proto musı´ kazˇdy´ z teˇchto prvku˚ by´t ru˚zny´ od 0. Matice A0 tedy nema´ zˇa´dny´ rˇa´dek nulovy´, tudı´zˇ jejı´ hodnost je maxima´lnı´. Matice A ma´ stejnou hodnost jako matice A0 , je tedy rovneˇzˇ regula´rnı´. Druha´ cˇa´st tvrzenı´ je negacı´ jeho pra´veˇ doka´zane´ prvnı´ cˇa´sti. Vysˇetrˇ´ıme jesˇteˇ, co se deˇje s determinantem prˇi elementa´rnı´ch u´prava´ch matice. Veˇta 3.5. (1) Necht’matice A0 vznikne z A vyna´sobenı´m rˇa´dku (sloupce) cˇ´ıslem c 6= 0. Pak det A0 = c det A. (2) Jestlizˇe v matici A k i-te´mu rˇa´dku (sloupci) prˇicˇteme c-na´sobek j-te´ho rˇa´dku (sloupce), jejı´ deteminant se nezmeˇnı´. (3) Vy´meˇna dvou rˇa´dku˚ (sloupcu˚) matice meˇnı´ zname´nko determinantu. Du˚kaz. K du˚kazu prvnı´ch dvou tvrzenı´ si stacˇ´ı uveˇdomit, zˇe pro determinanty elementa´rnı´ch matic platı´ det Q(i, c) = c, det Q(ij, c) = 1 a aplikovat veˇtu o determinantu soucˇinu matic. Vy´meˇna dvou rˇa´dku˚ (sloupcu˚) matice je reprezentova´na soucˇinem U konecˇneˇ mnoha elementa´rnı´ch matic, ktere´ odpovı´dajı´ u´prava´m uvedeny´m v prˇ´ıkladu 2.3. Odtud okamzˇiteˇ vidı´me, zˇe determinant matice U je roven −1. Zbytek opeˇt plyne veˇty o determinantu soucˇinu matic.

´ kol. Cˇtena´rˇe jisteˇ napadlo, zˇe vsˇechna tvrzenı´ prˇedchozı´ veˇty by bylo mozˇno snadno doka´zat U rovneˇzˇ prˇ´ımy´m uzˇitı´m definice determinantu. Doporucˇujeme, aby tyto du˚kazy provedl. Definice 3.6. Necht’ A je (ne nutneˇ cˇtvercova´) matice. Minorem rˇa´du k matice A rozumı´me determinant jejı´ cˇtvercove´ submatice rˇa´du k. Odvodı´me nynı´ z prakticke´ho hlediska velmi du˚lezˇite´ vzorce, vyjadrˇujı´cı´ determinant cˇtvercove´ matice rˇa´du n pomocı´ jejı´ch minoru˚ rˇa´du n − 1. Definice 3.7. Bud’ nynı´ A = (aij ) cˇtvercova´ matice rˇa´du n. Oznacˇme Aij jejı´ submatici rˇa´du n − 1, ktera´ vznikne z A vypusˇteˇnı´m i-te´ho rˇa´dku a j-te´ho sloupce. Cˇ´ıslo Aij = (−1)i+j det Aij nazy´va´me algebraicky´ doplneˇk prvku aij . Spocˇteme explicitneˇ determinant submatice Aij . Podle definice determinantu je X det Aij = εk1 ...ki−1 ki+1 ...kn a1k1 . . . ai−1,ki−1 ai+1,ki+1 . . . ankn k1 ,...,ki−1 ,ki+1 ,...,kn 6=j

(prˇesneˇji, scˇ´ıta´ se prˇes k1 , . . . , ki−1 , ki+1 , . . . , kn ∈ {1, . . . , j − 1, j + 1, . . . , n}). Veˇta 3.8 (Laplaceova veˇta o rozvoji determinantu). Bud’ A = (akl ) cˇtvercova´ matice rˇa´du n, Aij algebraicky´ doplneˇk prvku aij , i, j = 1, 2, . . . , n. Platı´ det A =

n X

a1k A1k =

n X

a2k A2k = · · · =

ak1 Ak1 =

k=1

n X

n X

ank Ank ,

(3.3)

akn Akn .

(3.4)

k=1

k=1

k=1

det A =

n X

ak2 Ak2 = · · · =

k=1

n X k=1

Vsˇimneˇte si, zˇe Laplaceova veˇta prˇedstavuje 2n vzorcu˚ pro vy´pocˇet determinantu. Vzorce (3.3) vyjadrˇujı´ determinant jako sumu soucˇinu˚ prvku˚ (libovolne´ho pevne´ho) rˇa´dku matice A s jejich algebraicky´mi doplnˇky. Podobneˇ vzorce (3.4) vyjadrˇujı´ determinant jako sumu soucˇinu˚ prvku˚ (libovolne´ho pevne´ho) sloupce matice A s jejich algebraicky´mi doplnˇky. Proto vzorec det A =

n X

aik Aik

k=1

nazy´va´me rozvoj determinantu matice podle jejı´ho i-te´ho rˇa´dku a det A =

n X

akj Akj

k=1

nazy´va´me rozvoj determinantu matice podle jejı´ho j-te´ho sloupce. Du˚kaz. K du˚kazu Laplaceovy veˇty uzˇijeme definice determinantu matice. • Nejprve doka´zˇeme prvnı´ sadu vzorcu˚. Zvolme i-ty´ rˇa´dek matice A libovolneˇ, ale pevneˇ. Platı´ n X det A = εj1 ...jn a1j1 . . . anjn =

=

j1 ,...,jn =1 n X j1 ,...,jn =1 n X

aiji

ji =1

aiji εj1 ...ji ...jn a1j1 . . . ai−1,ji−1 ai+1,ji+1 anjn n X

j1 ,...,ji−1 ,ji+1 ,...,jn =1

εj1 ...ji ...jn a1j1 . . . ai−1,ji−1 ai+1,ji+1 . . . anjn .

Poslednı´ sumu rozepı´sˇeme pro ji = 1, 2, . . . , n a jednotlive´ scˇ´ıtance budeme da´le upravovat: Prvnı´ cˇlen te´to sumy ma´ tvar ai1

n X

εj1 ...ji−1 1ji+1 ...jn a1j1 . . . ai−1,ji−1 ai+1,ji+1 . . . anjn .

(3.5)

j1 ,...,ji−1 ,ji+1 ,...,jn =1

Vynecha´me-li v soucˇtu nulove´ cˇleny, vidı´me, zˇe sloupcove´ indexy j1 , . . . , ji−1 , ji+1 , . . . , jn probı´hajı´ vsˇechny permutace mnozˇiny {2, . . . , n}. Da´le zrˇejmeˇ εj1 ...ji−1 1ji+1 ...jn = (−1)i−1 ε1j1 ...ji−1 ji+1 ...jn , a podle definice determinantu je X ε1j1 ...ji−1 ji+1 ...jn a1j1 . . . ai−1,ji−1 ai+1,ji+1 . . . anjn = det Ai1 j1 ,...,ji−1 ,ji+1 ,...,jn =2,3,...,n

determinant matice rˇa´du n − 1, ktera´ je rovna submatici matice A, vznikle´ vypusˇteˇnı´m i-te´ho rˇa´dku a prvnı´ho sloupce. Tedy vy´raz (3.5) je roven ai1 (−1)i−1 det Ai1 = ai1 (−1)i+1 det Ai1 = ai1 Ai1 . Podobneˇ pro druhy´ cˇlen uvazˇovane´ho soucˇtu ma´me: ai2

n X

εj1 ...ji−1 2ji+1 ...jn a1j1 . . . ai−1,ji−1 ai+1,ji+1 . . . anjn .

(3.6)

j1 ,...,ji−1 ,ji+1 ,...,jn =1

Nynı´ sloupcove´ indexy j1 , . . . , ji−1 , ji+1 , . . . , jn probı´hajı´ vsˇechny permutace mnozˇiny {1, 3, . . . , n}. Da´le εj1 ...ji−1 2ji+1 ...jn = (−1)i−1+1 εj1 2j3 ...ji−1 ji+1 ...jn , a podle definice determinantu je X εj1 2j3 ...ji−1 ji+1 ...jn a1j1 . . . ai−1,ji−1 ai+1,ji+1 . . . anjn = det Ai2 j1 ,...,ji−1 ,ji+1 ,...,jn =1,3,...,n

determinant matice rˇa´du n − 1, ktera´ je rovna submatici matice A, vznikle´ vypusˇteˇnı´m i-te´ho rˇa´dku a druhe´ho sloupce. Tedy vy´raz (3.6) je roven ai2 (−1)i det Ai2 = ai2 (−1)i+2 det Ai2 = ai2 Ai2 . Analogicke´ u´vahy vedou k za´veˇru, zˇe pro k-ty´ cˇlen sumy (k = 1, 2, . . . , n) je aik (−1)i−1+k−1 det Aik = aik (−1)i+k−2 det Aik = aik (−1)i+k det Aik = aik Aik . Celkoveˇ tedy ma´me det A =

n X

aik Aik ,

k=1

cozˇ je dokazovany´ vztah. Z libovolnosti indexu i plyne, zˇe vzorec platı´ pro kazˇde´ i = 1, 2, . . . n. • K du˚kazu druhe´ sady vzorcu˚ vyuzˇijeme toho, zˇe determinant matice A se rovna´ determinantu matice k nı´ transponovane´, tedy X det A = det AT = εi1 ...in ai1 1 . . . ain n . i1 ,...,in

Zvolı´me pevneˇ sloupcovy´ index j, tuto sumu rozepı´sˇeme a postupujeme stejneˇ jako vy´sˇe.

Prˇ´ıklad 3.9. Uvedeme prˇ´ıklad na aplikaci Laplaceovy veˇty. Spocˇ´ıta´me determinant matice   1 2 3 A = 2 −2 1 . 0 0 1 Nejvy´hodneˇjsˇ´ı bude vyuzˇ´ıt rozvoj podle 3. rˇa´dku: 2 3 1 2 3+1 3+2 + det A = 0 · (−1) det + 0 · (−1) det −2 1 3 1 1 2 3+3 = −6. + 1 · (−1) det 2 −2 Pro ilustraci metody uvedeme jesˇteˇ vy´pocˇet pomocı´ rozvoje podle 2. sloupce: 1 3 2 1 2+2 1+2 + + (−2) · (−1) det det A = 2 · (−1) det 0 1 0 1 1 3 3+2 = −4 − 2 = −6. + 0 · (−1) det 2 1 Pozna´mka 3.10 (Metody vy´pocˇtu determinantu). Vy´sledky tohoto odstavce poskytujı´ teoreticke´ za´zemı´ pro vy´pocˇet determinantu libovolne´ cˇtvercove´ matice. Prˇi vy´pocˇtu mu˚zˇeme tedy aplikovat tyto metody: • Determinant matice urcˇ´ıme dosazenı´m do definice determinantu. Tento postup je ovsˇem pro matice rˇa´du vysˇsˇ´ıho nezˇ 3 zpravidla velmi zdlouhavy´ a jeho slozˇitost prudce roste s rˇa´dem matice (pro matici rˇa´du n ma´ definicˇnı´ vzorec pro det A n! cˇlenu˚). Definici tedy vyuzˇ´ıva´me nejcˇasteˇji k vy´pocˇtu determinantu˚ matic rˇa´du n = 1, 2, 3. • Pomocı´ elementa´rnı´ch transformacı´ prˇevedeme danou matici na matici ve schodovite´m tvaru, jejı´zˇ determinant mu˚zˇeme snadno urcˇit (je soucˇinem diagona´lnı´ch prvku˚). Prˇi vy´pocˇtu determinantu pu˚vodnı´ matice pak musı´me vzı´t v u´vahu vliv jednotlivy´ch elementa´rnı´ch u´prav na hodnotu determinantu. • Vyuzˇijeme Laplaceovu veˇtu o rozvoji podle neˇktere´ho rˇa´dku nebo sloupce determinantu. Tato metoda je zvla´sˇteˇ vy´hodna´, pokud se v neˇktere´m rˇa´dku cˇi sloupci vyskytujı´ nuly. • Nejcˇasteˇji ovsˇem prˇi vy´pocˇtu determinantu pouzˇ´ıva´me vhodne´ kombinace vsˇech teˇchto metod, s cı´lem co nejvı´ce si vy´pocˇet zjednodusˇit. Kontrolnı´ ota´zky a u´koly. • Definujte determinant. • Popisˇte, co se deˇje s determinantem matice prˇi elementa´rnı´ch u´prava´ch te´to matice. • Co je to Sarrusovo pravidlo? • Jaky´ je determinant matice, ktera´ ma´ nulovy´ jeden nebo vı´ce rˇa´dku˚ cˇi sloupcu˚? • Jaky´ je determinant singula´rnı´ matice? • Napisˇte, jak vypada´ determinant diagona´lnı´ matice a determinant matice ve schodovite´m tvaru. • Jak se zmeˇnı´ determinant matice, kdyzˇ jeden jejı´ rˇa´dek nebo sloupec vyna´sobı´me cˇ´ıslem c? • Jak se zmeˇnı´ determinant matice, kdyzˇ prohodı´me dva jejı´ rˇa´dky nebo sloupce?

• Jak se zmeˇnı´ determinant matice, kdyzˇ a-na´sobek jednoho jejı´ho rˇa´dku (sloupce) prˇicˇteme k b-na´sobku jine´ho jejı´ho rˇa´dku (sloupce)? • Vyslovte Laplaceovu veˇtu. • Rozepisˇte Laplaceovu veˇtu explicitneˇ pro prˇ´ıpad matice rˇa´du 4 a rozvoje podle jejı´ho trˇetı´ho sloupce. • Platı´-li pro cˇtvercove´ matice A, B vztah AB = E, mu˚zˇe by´t det A = 0? • Doplnˇte vzorce: det AT =

det(AB) =

det(AB)T =

• Uved’te prˇ´ıklad matic, pro ktere´ det(A + B) 6= det A + det B. • Co mu˚zˇete rˇ´ıci o matici A vı´te-li, zˇe det A 6= 0? • Mu˚zˇe by´t soucˇinem dvou singula´rnı´ch matic regula´rnı´ matice?

Cvicˇenı´ 1. 2. 3. 4.

Urcˇete det(cA), zna´te-li det A. Vı´te-li, zˇe pro cˇtvercove´ matice A, X platı´ AX = E, urcˇete det X. Urcˇete det A, vı´te-li, zˇe AAT = E. Dokazˇte, zˇe determinant antisymetricke´ matice liche´ho rˇa´du je roven nule. [Na´vod: Vyuzˇijte toho, zˇe platı´ A = −AT a tedy det A = det(−AT ).]

5. Zjisteˇte, ktere´ z nı´zˇe uvedeny´ch matic jsou regula´rnı´ a ktere´ singula´rnı´ a) vy´pocˇtem hodnosti matice, b) vy´pocˇtem determinantu.     4 3 −5 2 3   1 3 5 −1 8 6 −7 4 2 3 4 −5  2 −1 −3  4    8  7 7 −2 ,  , 4 3 −8 2 .  5 1 −1 7 4 3 1 2 −5 2 −1 8 7 7 9 1 8 6 −1 4 −6 6. Vypocˇteˇte determinanty: 0 −2 3  2 0 −5  −3 5 0  4 7 −1 det   −5 −6 4  −3 0 −11 5 7 −8 

 5 4  det  2 2 3

2 0 3 3 0

1 7 7 6 4

3 0 5 4 0



2 0  3 , 5 0

  2 1 0 ··· 0 1 2 1 · · · 0     det 0 1 2 . . . 0 ,  ..  .  0 0 0 ··· 2



 −4 5 3 −5 −7 6 0 −7  1 −4 11 8  0 9 2 −6 , −9 0 1 −1  −2 −1 0 −4 6 1 4 0

 n n  n .   n ··· n n··· n

1 n   det n  .. .

n 2 n

n n 3

··· ··· ···

7. Je zobrazenı´ det : Mn (P) → P, ktere´ prˇirˇazuje cˇtvercove´ matici jejı´ determinant, surjektivnı´? Je toto zobrazenı´ injektivnı´?

8. Uvazˇujme mnozˇinu Mn (R) spolu s operacı´ scˇ´ıta´nı´ matic a mnozˇinu R s operacı´ scˇ´ıta´nı´ rea´lny´ch cˇ´ısel. Vysˇetrˇete, zda zobrazenı´ det je kompatibilnı´ s teˇmito operacemi, tj. zda soucˇet matic zobrazuje na soucˇet jim odpovı´dajı´cı´ch rea´lny´ch cˇ´ısel. Stejnou u´lohu rˇesˇte pro prˇ´ıpad, zˇe mnozˇiny Mn (R) a R uvazˇujeme s operacı´ na´sobenı´. 9. Napisˇte si program pro vy´pocˇet determinantu matice • rˇa´du ≤ 4, zalozˇeny´ na definici determinantu, • zalozˇeny´ na Laplaceoveˇ veˇteˇ a otestujte ho na prˇ´ıkladech.

3.3

Inverznı´ matice

Na mnozˇineˇ cˇtvercovy´ch matic rˇa´du n jsme zatı´m zavedli tyto operace: • una´rnı´ operace - komplexnı´ sdruzˇenı´, transponova´nı´, symetrizaci, antisymetrizaci, prˇirˇazenı´ opacˇne´ matice • bina´rnı´ operace scˇ´ıta´nı´ a na´sobenı´. Prˇitom existence opacˇne´ matice k libovolne´ matici na´m umozˇnila zave´st operaci odcˇ´ıta´nı´, jako inverznı´ operaci ke scˇ´ıta´nı´. Nynı´ se budeme zaby´vat ota´zkou, zda take´ k operaci na´sobenı´ cˇtvercovy´ch matic ma´ smysl hledat neˇjakou inverznı´ operaci. Definice 3.11. Bud’ A cˇtvercova´ matice rˇa´du n. Matice B se nazy´va´ inverznı´ matice k matici A, jestlizˇe AB = BA = E.

(3.7)

Definice na´m nerˇ´ıka´ nic o tom, ke ktery´m maticı´m inverznı´ matice existuje, ani kolik inverznı´ch matic lze k dane´ matici nale´zt. Uvedeme veˇtu, ktera´ rˇesˇ´ı ota´zky existence a jednoznacˇnosti inverznı´ matice. Veˇta 3.12. Necht’ A je cˇtvercova´ matice rˇa´du n nad cˇ´ıselny´m polem P. K matici A existuje inverznı´ matice pra´veˇ tehdy, kdyzˇ A je regula´rnı´. Inverznı´ matice k regula´rnı´ matici A je urcˇena jednoznacˇneˇ. Du˚kaz. Prˇedpokla´dejme nejprve, zˇe k matici A existuje inverznı´ matice B, tedy, zˇe AB = BA = E. Pak det(AB) = det(BA) = det A · det B = 1, odkud vyply´va´, zˇe det A 6= 0, tedy, zˇe A je regula´rnı´. Obra´ceneˇ, necht’A je regula´rnı´ cˇtvercova´ matice. Existujı´ tedy elementa´rnı´ matice Q1 , . . . , Qk , takove´, zˇe A = Q1 . . . Qk . Oznacˇme Q−1 matici inverznı´ elementa´rnı´ u´pravy k u´praveˇ Qi . i Klademe −1 A−1 = Q−1 k . . . Q1 . −1 Platı´ AA−1 = Q1 . . . Qk Q−1 ˇ A−1 A = E. Podle definice je A−1 k . . . Q1 = E a podobne inverznı´ matice k matici A.

Zby´va´ doka´zat jednoznacˇnost inverznı´ matice. Necht’ A je regula´rnı´ matice, B cˇtvercova´ matice, pro nizˇ platı´ AB = BA = E. K matici A existuje inverznı´ matice A−1 zkonstruovana´ vy´sˇe a platı´ B = BE = BAA−1 = ABA−1 = EA−1 = A−1 . Tı´m je du˚kaz ukoncˇen. Inverznı´ matici k regula´rnı´ matici A budeme oznacˇovat symbolem A−1 . Uvedeme nynı´ za´kladnı´ vlastnosti inverznı´ matice.

Veˇta 3.13. (1) Platı´-li pro matice A, B vztah AB = E, pak take´ BA = E, obeˇ matice jsou regula´rnı´, a A = B −1 , B = A−1 . (2) Pro determinant inverznı´ matice k regula´rnı´ matici A platı´ det A−1 =

1 . det A

(3) Bud’A regula´rnı´ matice. Pak A−1 je regula´rnı´ a platı´ (A−1 )−1 = A. (4) Pro libovolne´ regula´rnı´ matice A, B platı´ (AB)−1 = B −1 A−1 . (5) Je-li A regula´rnı´ matice a B matice takova´, zˇe AB = 0, pak B = 0. (6) Je-li A regula´rnı´ matice a B matice takova´, zˇe AB = A nebo BA = A, pak B = E. Du˚kaz. Doka´zˇeme prvnı´ tvrzenı´. Je-li AB = E, pak zrˇejmeˇ det(AB) = det A · det B = 1, takzˇe det A 6= 0, det B 6= 0, cozˇ znamena´, zˇe A, B jsou regula´rnı´. Da´le ma´me BA = BEA = BABA. Jelikozˇ matice BA je regula´rnı´, existuje k nı´ matice inverznı´. Vyna´sobı´me-li tedy tuto rovnici maticı´ (BA)−1 zleva, dostaneme E = BA. Z jednoznacˇnosti inverznı´ matice pak ihned vyply´va´, zˇe B = A−1 a A = B −1 . Tvrzenı´ (2) a (3) vyply´vajı´ prˇ´ımo z definice inverznı´ matice: Platı´ AA−1 = E, tedy take´ det A·det A−1 = 1, odkud ma´me det A−1 = 1/ det A. Jelikozˇ det A 6= 0, je take´ det A−1 6= 0. Urcˇ´ıme inverznı´ matici k matici A−1 : podle definice ma´ by´t A−1 (A−1 )−1 = E, prˇicˇemzˇ (A−1 )−1 je jedina´ matice, splnˇujı´cı´ tuto podmı´nku. Platı´ ovsˇem A−1 A = E, takzˇe (A−1 )−1 = A. 7 Doka´zˇeme tvrzenı´ (4). Podle definice inverznı´ matice k matici AB platı´ (AB)(AB)−1 = E. Vyna´sobı´me-li tuto rovnici postupneˇ maticemi A−1 , B −1 zleva, dostaneme B(AB)−1 = A−1 E = A−1 , (AB)−1 = B −1 A−1 . Poslednı´ dveˇ tvrzenı´ jsou evidentnı´: stacˇ´ı uvedene´ rovnice na´sobit maticı´ A−1 zleva (resp. zprava dle kontextu). Oznacˇme Aalg matici, jejı´mizˇ prvky jsou algebraicke´ doplnˇky prvku˚ matice A, tedy podle jizˇ zavedene´ho oznacˇenı´, Aalg = (Aij ). Veˇta 3.14. Bud’A regula´rnı´ matice. Platı´ A−1 =

1 (Aalg )T det A

Du˚kaz. Stacˇ´ı uka´zat, zˇe (Aalg )T · A = det A · E (cozˇ je diagona´lnı´ matice, ktera´ ma´ na diagona´le cˇ´ısla det A). Oznacˇme (Aalg )T = (bij ), (Aalg )T · A = (cij ). Podle definice transponovane´ matice a matice Aalg je bij = Aji = (−1)i+j det Aji pro vsˇechny hodnoty indexu˚ i, j. Podle definince soucˇinu matic nynı´ dosta´va´me cij =

n X

bil alj =

l=1 7

−1

Jiny´ du˚kaz: Vyna´sobı´me-li rovnici A

−1 −1

(A

)

n X

Ali alj .

l=1

= E maticı´ A zleva, dostaneme (A−1 )−1 = AE = A.

alg T Pocˇ´ıtejme Pn prvky matice (A ) · A stojı´cı´ na diagona´le: Pro (kazˇde´) pevne´ i = j ma´me cii = l=1 Ali ali , cozˇ je rozvoj podle i-te´ho rˇa´dku matice A; aplikujeme-li Laplaceovu veˇtu, dostaneme

1 ≤ i ≤ n.

cii = det A ,

alg T Uka Pn´ zˇeme, zˇe vsˇechny ostatnı´ prvky matice (A ) · A jsou rovny nule. Spocˇ´ıta´me tedy cij = ˇ ijeme definici algebraicke´ho doplnˇku: pro libovolne´ pevne´ hodnoty l=1 Ali alj pro i 6= j. Vyuz indexu˚ i, l platı´ l+1 n Ali = (−1)l+i det Ali = (−1)l+i εk1 ...kl−1 kl+1 ...kn a1k1 . . . al−1 kl−1 akl+1 . . . akn ,

kde {k1 , . . . , kl−1 , kl+1 , . . . , kn } je permutace mnozˇiny {1, . . . , i − 1, i + 1, . . . , n} (tedy neobsahujı´cı´ i). Pak l+1 n Ali alj = alj (−1)l+i εk1 ...kl−1 kl+1 ...kn a1k1 . . . al−1 kl−1 akl+1 . . . akn l l+1 n = (−1)l+i εk1 ...kl−1 kl+1 ...kn a1k1 . . . al−1 kl−1 aj akl+1 . . . akn l l+1 n = (−1)l+i+j εjk1 ...kl−1 kl+1 ...kn a1k1 . . . al−1 kl−1 aj akl+1 . . . akn = 0,

nebot’soucˇet probı´ha´ prˇes vsˇechny prmutace mnozˇiny {1, . . . , i − 1, i + 1, . . . , n} obsahujı´cı´ j. Dosadı´me-li tedy do vy´razu pro cij , dostaneme pro i 6= j cij =

n X

Ali alj = 0 .

l=1

Celkoveˇ dosta´va´me 

det A

0 ..

 (Aalg )T · A =  0

   = det A · E,

. det A

tj. 1 (Aalg )T · A = E . det A Inverznı´ matice k matici A ma´ tedy pozˇadovany´ tvar. Pozna´mka 3.15 (Metody vy´pocˇtu inverznı´ matice). Na za´kladeˇ uvedeny´ch veˇt lze zformulovat prakticke´ metody vy´pocˇtu inverznı´ matice k dane´ regula´rnı´ matici. • Vı´me, zˇe matice A−1 je soucˇinem elementa´rnı´ch matic, ktere´ obdrzˇ´ıme, kdyzˇ danou matici A prˇevedeme rˇa´dkovy´mi elementa´rnı´mi u´pravami na matici jednotkovou. Prˇitom vy´sledna´ matice A−1 neza´visı´ na pocˇtu teˇchto u´prav, ani na jejich konkre´tnı´ volbeˇ, tedy docı´lı´me-li dveˇma ru˚zny´mi posloupnostmi rˇa´dkovy´ch elementa´rnı´ch u´prav, aby A ∼ E, pak obeˇ tyto cesty poskytujı´ stejnou matici A−1 . Prˇi vy´pocˇtu inverznı´ matice pomocı´ Gaussovy eliminacˇnı´ metody tedy postupujeme takto: vedle dane´ matice A napı´sˇeme jednotkovou matici E stejne´ho rˇa´du a rˇa´dkovy´mi elementa´rnı´mi u´pravami upravujeme soucˇasneˇ obeˇ matice s cı´lem prˇeve´st matici A na matici jednotkovou. V okamzˇiku, kdy A prˇejde v E, prˇejde E v A−1 ; tento postup zapisujeme ve tvaru (A|E) ∼ (Q1 A|Q1 E) ∼ (Q2 Q1 A|Q2 Q1 E) ∼ · · · ∼ (E|A−1 ) . Pokud tı´mto postupem dospeˇjeme k matici Q1 . . . Qk A ekvivalentnı´ s A, ktera´ je diagona´lnı´ a na diagona´le ma´ kromeˇ jednicˇek alesponˇ jednu nulu, pak pu˚vodnı´ matice A byla singula´rnı´, tedy matice k nı´ inverznı´ neexistuje. Inverznı´ matici lze obdrzˇet analogicky´m postupem s vyuzˇitı´m pouze sloupcovy´ch elementa´rnch u´prav dane´ matice A.

• Dalsˇ´ı metodu vy´pocˇtu inverznı´ matice poskytuje veˇta 3.14: inverznı´ matici k A vypocˇteme dosazenı´m do vzorce A−1 = (1/ det A) · (Aalg )T . Tato metoda se z hlediska pocˇetnı´ na´rocˇnosti vyuzˇ´ıva´ prˇi „pocˇ´ıta´nı´ na papı´rˇe“ zpravidla pouze pro matice rˇa´du ≤ 4; vsˇimneˇme si, zˇe pro matice rˇa´du 2 poskytuje vy´sledek okamzˇiteˇ. Vhodna´ je take´ prˇi pocˇ´ıta´nı´ s maticemi, ktere´ obsahujı´ parametry, nebo jejichzˇ prvky jsou funkce, nebo prˇi vy´pocˇtech pomocı´ pocˇ´ıtacˇe. Prˇ´ıklad 3.16. Vypocˇteme inverznı´ matici k matici   1 2 2 2 1 −2 . 2 −2 1 ´ lohu vyrˇesˇ´ıme metodou elementa´rnı´ch u´prav i s pouzˇitı´m vzorce pro inverznı´ matici ve veˇteˇ U 3.14. • Rˇesˇenı´ metodou elementa´rnı´ch u´prav:       1 2 2 1 0 0 1 2 2 1 0 0 1 2 2 1 0 0 2 1 −2 0 1 0 ∼ 0 3 6 2 −1 0  ∼ 0 3 6 2 −1 0 2 −2 1 0 0 1 0 6 3 2 0 −1 0 0 9 2 −2 1    4 −2 9 18 0 5 0 0 1 2 2 1 1 −2 1 −2 ∼ 0 9 0 2 ∼ 0 9 0 2 1 0 0 9 2 −2 1 0 0 9 2 −2 

   9 0 0 1 2 2 1 0 0 1 −2 ∼ 0 1 0 ∼ 0 9 0 2 0 0 9 2 −2 1 0 0 1

1 9 2 9 2 9

2 9 1 9 − 29

2 9 − 29  1 9



Hledana´ inverznı´ matice je   1 2 2 1 2 1 −2 . 9 2 −2 1 Provedeme zkousˇku:   1 1 2 2 9 2 1 −2 ·  92 2 2 −2 1 9

2 9 1 9 − 29

2 9 − 29  1 9





 1 0 0 = 0 1 0  . 0 0 1

ˇ esˇenı´ podle vzorce z veˇty 3.14: •R Spocˇ´ıta´me determinant zadane´ matice:   1 2 2 1 −2 = 1 − 4 − 8 − 4 − 8 − 4 = −27. det 2 2 −2 1 Spocˇ´ıta´me matici algebraicky´ch doplnˇku˚: 1 −2 2 −2 2 1 A11 = = −3, A12 = − = −6, A13 = 2 −2 = −6, −2 1 2 1 2 2 1 2 1 2 A21 = − A22 = A23 = − = −6, = −3, = 6, −2 1 2 1 2 −2 2 1 1 2 2 2 A31 = = −6, A = − = 6, A = 32 33 2 −2 2 1 = −3. 1 −2

T

Matice Aalg je symetricka´, takzˇe Aalg = Aalg . Inverznı´ matice k zadane´ matici ma´ tvar  −1     1 2 2 −3 −6 −6 1 2 2 1 1 2 1 −2 = − −6 −3 6  = 2 1 −2 . 27 9 2 −2 1 −6 6 −3 2 −2 1 Kontrolnı´ ota´zky a u´koly • Definujte inverznı´ matici a dokazˇte jejı´ jednoznacˇnost. • Ke ktery´m maticı´m existuje inverznı´ matice? • Jestlizˇe pro matici A platı´ AAT = E, jak vypada´ inverznı´ matice k matici A? • Doplnˇte vzorce: AA−1 =

(AB)−1 =

A−1 =

A−1 B −1 =

(AT )−1 =

(A−1 )−1 =

Aalg = det A−1 =

• Je pravda, zˇe inverznı´ matice k symetricke´ matici je symetricka´ matice a inverznı´ matice k antisymetricke´ matici je antisymetricka´ matice? Cvicˇenı´ 1. Vypocˇteˇte inverznı´ matici k matici     2 2 7 3 a ab 3 9 4  , , ab b2 1 5 3

  1 1 1 1 1 1 −1 −1  , 1 −1 1 −1 1 −1 −1 1

 sin α cos α , − cos α sin α



1√ 2

2

 1√  2 6  2 3

  a b , c d

√  − 12 2  √ √  2 1 . 3 2 6 2   0

− 13

2 3

Vy´pocˇet proved’te metodou elementa´rnı´ch u´prav i pomocı´ matice algebraicky´ch doplnˇku˚. (U matic obsahujı´cı´ch parametry nezapomenˇte na diskusi existence inverznı´ matice.) 2. Oveˇrˇte, zˇe pro matici   1 1 1 1 1 1 1 −1 −1  A=   1 −1 2 1 −1 1 −1 −1 1 platı´ A−1 = A. 8 ˇ esˇte maticove´ rovnice 3. R 

   1 2 −3 1 −3 0 3 2 −4 · X = 10 2 7 , 2 −1 0 10 7 8  2 −3 4 −5 5 −7 8

     1 9 7 6 2 0 −2 2 · X · 1 1 2 = 18 12 9. 3 1 1 1 23 15 11

Matice po ktere´ platı´ A = A−1 , tj. A2 = E se nazy´vajı´ involutivnı´.

4. Dokazˇte, zˇe platı´-li pro matici A vztah AAT = E, pak je take´ AT A = E. 5. Urcˇete determinant matice algebraicky´ch doplnˇku˚ Aalg . [Na´vod: (Aalg )T = (det A) · A−1 , takzˇe det Aalg = det(Aalg )T = (det A)n det A−1 = (det A)n−1 det E = (det A)n−1 .] 6. Napisˇte si program na vy´pocˇet inverznı´ matice zalozˇeny´ na pouzˇitı´ vzorce A−1 = (1/ det A) · (Aalg )T a otestujte ho na prˇ´ıkladech.

3.4

Metoda vroubenı´ pro vy´pocˇet hodnosti matice

Za´veˇrem te´to kapitoly uvedeme veˇtu, ktera´ na´m poskytne dalsˇ´ı metodu pro vy´pocˇet hodnosti matice. Veˇta 3.17. Hodnost nenulove´ matice typu m×n je rovna rˇa´du maxima´lnı´ho nenulove´ho minoru matice. Du˚kaz. Nenulova´ matice A typu m × n ma´ asponˇ jeden nenulovy´ minor. Necht’ tedy M je submatice matice A rˇa´du k takova´, zˇe det M 6= 0, a zˇe vsˇechny minory rˇa´du k + 1 jsou rovny nule. Jelikozˇ hodnost matice A se nezmeˇnı´ prˇi vza´jemne´ vy´meˇneˇ rˇa´dku˚ a sloupcu˚, lze prˇedpokla´dat, zˇe submatice M je tvorˇena prvnı´mi k rˇa´dky a prvnı´mi k sloupci matice A. Jelikozˇ det M 6= 0, je rank M = k, odkud vyply´va´, zˇe prvnı´ch k rˇa´dku˚ matice A je linea´rneˇ neza´visly´ch, tj. rank A ≥ k. Nynı´ stacˇ´ı doka´zat, zˇe libovolny´ i-ty´ rˇa´dek matice A, kde i > k, je linea´rnı´ kombinacı´ jejı´ch prvnı´ch k rˇa´dku˚. Zvolme i > k pevneˇ. Oznacˇme Dij submatici matice A, ktera´ vznikne „ovroubenı´m“ matice M i-ty´m rˇa´dkem a libovolny´m j-ty´m sloupcem matice A, j > k, tedy submatici, ktera´ vznikne z A vypusˇteˇnı´m vsˇech poslednı´ch n − k rˇa´dku˚ a sloupcu˚ s vy´jimkou i-te´ho rˇa´dku a j-te´ho sloupce. Jelikozˇ Dij je rˇa´du k + 1, je podle prˇedpokladu det Dij = 0, tj. matice Dij je singula´rnı´. Z konstrukce te´to submatice ovsˇem vyply´va´, zˇe jejı´ poslednı´ rˇa´dek (cozˇ je rˇa´dek tvaru (ai1 , . . . , aik , aij )) musı´ by´t linea´rnı´ kombinacı´ jejı´ch prvnı´ch k rˇa´dku˚. Oznacˇ´ıme-li (j) (j) (j) koeficienty te´to linea´rnı´ kombinace po rˇadeˇ b1 , b2 . . . , bk , ma´me (j)

(j)

(j)

(j)

(j)

(j)

(j)

(j)

(j)

ai1 = b1 a11 + b2 a21 + · · · + bk ak1 , .. . aik = b1 a1k + b2 a2k + · · · + bk akk , aij = b1 a1j + b2 a2j + · · · + bk akj . Vzhledem k tomu, zˇe tyto vztahy platı´ pro kazˇde´ j > k, ma´me take´ (p)

(p)

(p)

(p)

(p)

(p)

(p)

(p)

(p)

ai1 = b1 a11 + b2 a21 + · · · + bk ak1 , .. . aik = b1 a1k + b2 a2k + · · · + bk akk , aip = b1 a1p + b2 a2p + · · · + bk akp pro vsˇechna p > k, p 6= j. Odtud (j)

(p)

(j)

(p)

(j)

(p)

(j)

(p)

(j)

(p)

(j)

(p)

(b1 − b1 )a11 + (b2 − b2 )a21 + · · · + (bk − bk )ak1 = 0, .. . (b1 − b1 )a1k + (b2 − b2 )a2k + · · · + (bk − bk )akk = 0.

Z podmı´nky, zˇe rˇa´dky (a11 , . . . , a1k ), (a21 , . . . , a2k ), . . . , (ak1 , . . . , akk ) jsou linea´rneˇ neza´visle´ ovsˇem vyply´va´, zˇe pro vsˇechna p > k, p 6= j, (p)

(j)

b1 = b1 , (p)

Oznacˇ´ıme-li bl

...,

(p)

(j)

bk = bk .

= bl , p > k, l = 1, . . . , k, ma´me celkoveˇ ail = b1 a1l + b2 a2l + · · · + bk akl

pro vsˇechna l = 1, . . . , k, . . . n, cozˇ znamena´, zˇe i-ty´ rˇa´dek matice A je linea´rnı´ kombinacı´ jejı´ch prvnı´ch k rˇa´dku˚. Z libovolnosti indexu i > k vyply´va´, zˇe rank A = k, cozˇ jsme chteˇli doka´zat. Veˇta 3.18 (Du˚sledek). Necht’v matici A existuje nenulovy´ minor M rˇa´du k a vsˇechny minory rˇa´du k +1 vznikle´ ovroubenı´m minoru M postupneˇ vsˇemi zby´vajı´cı´mi rˇa´dky a vsˇemi zby´vajı´cı´mi sloupci matice A jsou rovny 0. Pak rank A = k. Pozna´mka 3.19. Uvedena´ veˇta a jejı´ du˚sledek na´m poskytujı´ dalsˇ´ı metodu vy´pocˇtu hodnosti matice, ktera´ se nazy´va´ metoda vroubenı´. Prˇi vy´pocˇtu hodnosti nenulove´ matice touto metodou lze tedy postupovat takto: Nalezneme-li nenulovy´ minor M rˇa´du k, pocˇ´ıta´me postupneˇ minory rˇa´du k + 1, ktere´ vzniknou ovroubenı´m minoru M . Zjistı´me-li, zˇe neˇktery´ z nich je nenulovy´, pokracˇujeme analogicky da´le. Jestlizˇe vsˇechny minory rˇa´du k + 1, ktere´ vzniknou ovroubenı´m minoru M jsou nulove´, je rank A = k. Je zrˇejme´, zˇe vy´pocˇet hodnosti matice metodou vroubenı´ je vhodne´ „rucˇneˇ“ prova´deˇt zpravidla pouze pro matice s maly´m pocˇtem rˇa´dku˚ a sloupcu˚. Na druhe´ straneˇ, tato metoda ma´ charakter algoritmu, takzˇe je vhodna´ pro naprogramova´nı´. Prˇ´ıklad 3.20. Metodou vroubenı´ vypocˇteme hodnost matice   2 −1 3 −2 4 4 −2 5 1 7 . 2 −1 1 8 2 Na prvnı´ pohled je zrˇejme´, zˇe hodnost te´to matice je veˇtsˇ´ı nezˇ 1. Pocˇ´ıtejme postupneˇ minory rˇa´du 2, ktere´ „ovrubujı´“ minor rˇa´du 1 v leve´m hornı´m rohu matice: Ma´me 2 −1 2 3 4 −2 = 0, 4 5 = −2 6= 0, takzˇe nemusı´me da´le pokracˇovat a minor rˇa´du 2 v leve´m hornı´m rohu: 2 −1 3 4 −2 5 = 0, 2 −1 1

mu˚zˇeme prˇejı´t k minoru˚m trˇetı´ho rˇa´du, ktere´ „ovrubujı´“ 2 −1 −2 4 −2 = 0, 1 2 −1 8

2 −1 4 4 −2 7 = 0. 2 −1 2

Jelikozˇ jsou vsˇechny tyto minory nulove´, platı´ rank A = 2. Cvicˇenı´ 1. Vypocˇteˇte hodnost uvedeny´ch matic metodou vroubenı´ i metodou elementa´rnı´ch u´prav:     4 3 −5 2 3 3 −1 3 2 5 8 6 −7 4 2 5 −3   2 3 4   , 4 3 −8 2 7  . 1 −3 −5 0 −7 4 3 1 2 −5 7 −5 1 4 1 8 6 −1 4 −6 2. Naprogramujte si vy´pocˇet hodnosti matice metodou vroubenı´ a svu˚j program otestujte na prˇ´ıkladech.

4

Syste´my linea´rnı´ch rovnic

Studijnı´ cı´le: Na za´kladnı´ a strˇednı´ sˇkole jsme se naucˇili rˇesˇit linea´rnı´ rovnice o jedne´ nezna´me´ x tvaru ax = b, ale take´ syste´my linea´rnı´ch rovnic o dvou, prˇ´ıpadneˇ trˇech nezna´my´ch, tj. rovnice a11 x + a12 y = b1 a21 x + a22 y = b2 , prˇ´ıpadneˇ a11 x + a12 y + a13 z = b1 a21 x + a22 y + a23 z = b2 a31 x + a32 y + a33 z = b3 . kde a11 , . . . , a33 , b1 , . . . , b3 jsou zadana´ rea´lna´ cˇ´ısla. Jisteˇ jste si take´ vsˇimli, zˇe rovnice ax = b, a 6= 0 ma´ jedine´ rˇesˇenı´ x = −b/a, zatı´mco pro a = 0, b 6= 0 nema´ rˇesˇenı´ a pro a = b = 0 jsou rˇesˇenı´m vsˇechna rea´lna´ cˇ´ısla. Podobneˇ syste´m rovnic mu˚zˇe mı´t jedine´ rˇesˇenı´ nebo nekonecˇneˇ mnoho rˇesˇenı´, nebo rˇesˇenı´ nemusı´ vu˚bec existovat. Prˇ´ıkladem mu˚zˇe by´t syste´m linea´rnı´ch rovnic x + 2y = 1 x − y = 4, ktery´ ma´ jedine´ rˇesˇenı´ (x, y) = (3, −1), syste´m x+y+z =2 x + y − z = 0, ktery´ ma´ nekonecˇneˇ mnoho rˇesˇenı´ tvaru (x, y, z) = (2t, 1 − 2t, 1), t ∈ R, nebo syste´m x + 2y = 1 x + 2y = 2, ktery´ nema´ zˇa´dne´ rˇesˇenı´. Prˇitom, cˇ´ım je rovnic a nezna´my´ch vı´ce, tı´m je zpravidla slozˇiteˇjsˇ´ı poznat, zda a kolik rˇesˇenı´ existuje. Je tedy trˇeba zaby´vat se ota´zkou, cˇ´ım se v obecnosti lisˇ´ı uvedene´ typy syste´mu˚, neboli jaka´ obecna´ krite´ria urcˇujı´ existenci, prˇ´ıpadneˇ pocˇet rˇesˇenı´. Za´rovenˇ je take´ mozˇno si vsˇimnout, zˇe naprˇ´ıklad syste´my rovnic x + 2y = 1 x − y = 4,

4x − y = 13 x − 5y = 8

majı´ stejne´ rˇesˇenı´. Vznika´ tedy proble´m, jak je charakterizova´na mnozˇina syste´mu˚ linea´rnı´ch rovnic, ktere´ majı´ prˇedepsane´ rˇesˇenı´; jinak rˇecˇeno, jak poznat, zda dane´ dva ru˚zne´ syste´my linea´rnı´ch rovnic majı´ stejna´ rˇesˇenı´, anizˇ bychom museli tato rˇesˇenı´ nejprve nale´zt. Syste´m linea´rnı´ch rovnic mu˚zˇe by´t tvorˇen libovolny´m (konecˇny´m) pocˇtem rovnic a rovneˇzˇ pocˇet nezna´my´ch v neˇm vystupujı´cı´ch mu˚zˇe by´t libovolny´. V te´to kapitole se budeme zaby´vat obecny´mi syste´my linea´rnı´ch rovnic, tedy syste´my o k rovnicı´ch pro n nezna´my´ch. Budeme studovat, za jaky´ch podmı´nek existuje rˇesˇenı´, i kolik rˇesˇenı´ takovy´ syste´m rovnic mu˚zˇe mı´t. Vysˇetrˇ´ıme rovneˇzˇ strukturu mnozˇiny vsˇech rˇesˇenı´ syste´mu linea´rnı´ch rovnic, cozˇ na´m umozˇnı´ vytva´rˇet dalsˇ´ı rˇesˇenı´ dany´ch rovnic pomocı´ jizˇ zna´my´ch rˇesˇenı´. Uvedeme rovneˇzˇ obecny´ postup hleda´nı´ rˇesˇenı´ libovolne´ho syste´mu linea´rnı´ch rovnic, ktery´ je zalozˇen na Gaussoveˇ eliminacˇnı´ metodeˇ. Tento postup je prˇehledny´ a vede snadno k cı´li pro libovolny´ syste´m rovnic o libovolne´m pocˇtu nezna´my´ch. Klı´cˇova´ slova: syste´m linea´rnı´ch rovnic, matice syste´mu, rozsˇ´ırˇena´ matice syste´mu, rˇesˇenı´, homogennı´ rovnice, nehomogennı´ rovnice, obecne´ rˇesˇenı´, partikula´rnı´ rˇesˇenı´, Frobeniova veˇta, Cramerovo pravidlo, fundamenta´lnı´ syste´m rˇesˇenı´, homogenizovany´ syste´m. Potrˇebny´ cˇas: 280 minut.

4.1

Frobeniova veˇta

Definice 4.1. Syste´m rovnic tvaru a11 x1 + a12 x2 + · · · + a1n xn = b1 a21 x1 + a22 x2 + · · · + a2n xn = b2 .. .

(4.1)

am1 x1 + am2 x2 + · · · + amn xn = bm , kde a11 , . . . , amn , b1 , . . . , bm jsou cˇ´ısla z pole P, se nazy´va´ syste´m m linea´rnı´ch rovnic o n nezna´my´ch x1 , . . . , xn s koeficienty a11 , . . . , amn , nad polem P. Uvedeny´ syste´m linea´rnı´ch rovnic zapisujeme strucˇneˇ takto: n X

aij xj = bi ,

1 ≤ i ≤ m.

 a1n a2n   ,  · · · amn



j=1

Zavedeme-li matice 

a11  a21  A= .  ..

a12 a22

am1 am2

··· ···

 b1  b2    b =  . ,  .. 



 x1  x2    x =  . ,  .. 

bm

xn

mu˚zˇeme syste´m rovnic (4.1) psa´t v maticove´m tvaru Ax = b. Matice A se nazy´va´ matice syste´mu (2.1). Prˇipı´sˇeme-li k n sloupcu˚m matice A jesˇteˇ sloupec b, dostaneme matici typu m × (n + 1), kterou nazy´va´me rozsˇ´ırˇenou maticı´ syste´mu (4.1) a zapisujeme ve tvaru   a11 a12 · · · a1n b1  a21 a22 · · · a2n b2    B = (A|b) =  . .  ..  am1 am2 · · · amn

bm

Vsˇimneˇme si, zˇe ( rank A, rank B = rank A + 1

je-li sloupec b linea´rnı´ kombinacı´ sloupcu˚ matice A, nenı´-li sloupec b linea´rnı´ kombinacı´ sloupcu˚ matice A.

Rˇa´dky rozsˇ´ırˇene´ matice jsou v bijektivnı´ korespondenci s jednotlivy´mi rovnicemi syste´mu, je tedy zrˇejme´, jak bude definova´na linea´rnı´ neza´vislost (za´vislost) rovnic. Je take´ okamzˇiteˇ videˇt, zˇe v syste´mu m linea´rnı´ch rovnic je k rovnic linea´rneˇ neza´visly´ch, pra´veˇ tehdy, kdyzˇ rank(A|b) = k. Da´le je zrˇejmy´ vy´znam rˇa´dkovy´ch ekvivalentnı´ch u´prav rozsˇ´ırˇene´ matice (A|b): dany´ syste´m rovnic se nahradı´ syste´mem, jehozˇ rovnice jsou linea´rnı´mi kombinacemi rovnic pu˚vodnı´ch. V maticove´m za´pisu je syste´m linea´rnı´ch rovnic maticovou rovnicı´. Proto, budeme-li mı´t na mysli maticovy´ za´pis syste´mu linea´rnı´ch rovnic, budeme neˇkdy o syste´mu Ax = b hovorˇit jako o rovnici, o sloupcove´ matici x budeme hovorˇit jako o nezna´me´ a o sloupcove´ matici b jako o prave´ straneˇ uvedene´ rovnice.

Definice 4.2. Syste´m linea´rnı´ch rovnic se nazy´va´ nehomogennı´, jestlizˇe b 6= 0, homogennı´, je-li b = 0. Rˇesˇenı´m syste´mu (4.1) rozumı´me usporˇa´danou mnozˇinu cˇ´ısel x0 = {x01 , . . . , x0n }, takovy´ch, zˇe po jejich dosazenı´ do rovnic na mı´sto nezna´my´ch jsou splneˇny vsˇechny rovnice syste´mu. Prˇi pouzˇitı´ maticove´ho za´pisu je rˇesˇenı´m syste´mu rovnic Ax = b sloupcova´ matice x0 , pro kterou Ax0 = b. Na prˇ´ıkladech jme videˇli, zˇe rozdı´lne´ syste´my linea´rnı´ch rovnic mohou mı´t stejnou mnozˇinu rˇesˇenı´. Tutu skutecˇnost da´le s vy´hodou vyuzˇijeme prˇi studiu vlastnostı´ rovnic a jejich rˇesˇenı´. Definice 4.3. Uvazˇujme dva syste´my linea´rnı´ch rovnic Ax = b, A0 x = b0 . Rˇekneme, zˇe tyto syste´my jsou ekvivalentnı´ a pı´sˇeme Ax = b ∼ A0 x = b0 , jestlizˇe mnozˇina vsˇech rˇesˇenı´ syste´mu Ax = b sply´va´ s mnozˇinou vsˇech rˇesˇenı´ syste´mu A0 x = b0 . Uvedena´ definice je korektnı´, nebot’relace ∼ je evidentneˇ reflexivnı´, symetricka´ a tranzitivnı´. Vsˇimneˇte si, zˇe ekvivalentnı´ syste´my linea´rnı´ch rovnic musı´ mı´t stejny´ pocˇet nezna´my´ch x1 , . . . , xn , mohou se vsˇak lisˇit pocˇtem rovnic. Veˇta 4.4. Ekvivalentnı´mi rˇa´dkovy´mi u´pravami rozsˇ´ırˇene´ matice (A|b) se nemeˇnı´ mnozˇina rˇesˇenı´ syste´mu linea´rnı´ch rovnic Ax = b. Du˚kaz. Uka´zˇeme, zˇe jestlizˇe matice (A0 |b0 ) vznikla konecˇny´m pocˇtem rˇa´dkovy´ch elementa´rnı´ch u´prav z matice (A|b), pak syste´my Ax = b a A0 x = b0 jsou ekvivalentnı´. Necht’tedy Ax = b, A0 x = b0 jsou dva syste´my rovnic takove´, zˇe matice (A0 |b0 ) vznikne z matice (A|b) konecˇny´m pocˇtem rˇa´dkovy´ch elementa´rnı´ch u´prav. Znamena´ to, zˇe existuje regula´rnı´ matice U takova´, zˇe (A0 |b0 ) = U (A|b). Jelikozˇ U (A|b) = (U A|U b), je syste´m rovnic A0 x = b0 totozˇny´ se syste´mem U Ax = U b. Matice U je ovsˇem regula´rnı´, proto take´ syste´m rovnic Ax = b je totozˇny´ se syste´mem U −1 A0 x = U −1 b0 . Odtud vyply´va´, zˇe x je rˇesˇenı´m soustavy A0 x = b0 pra´veˇ tehdy, kdyzˇ je rˇesˇenı´m soustavy Ax = b. Tedy Ax = b ∼ A0 x = b0 . Uvedeme veˇtu, ktera´ poskytuje nutne´ a postacˇujı´cı´ podmı´nky pro existenci rˇesˇenı´ syste´mu linea´rnı´ch rovnic. Svy´m vy´znamem se rˇadı´ k nejdu˚lezˇiteˇjsˇ´ım matematicky´m tvrzenı´m. Veˇta 4.5. (Frobeniova veˇta o existenci rˇesˇenı´ syste´mu˚ linea´rnı´ch algebraicky´ch rovnic). Syste´m m linea´rnı´ch rovnic o n nezna´my´ch Ax = b ma´ rˇesˇenı´ pra´veˇ tehdy, kdyzˇ hodnost matice syste´mu A je rovna hodnosti matice rozsˇ´ırˇene´ (A|b). Du˚kaz. Necht’x0 je rˇesˇenı´ rovnice Ax = b, tedy necht’ a11 x01 + a12 x02 + · · · + a1n x0n = b1 a21 x01 + a22 x02 + · · · + a2n x0n = b2 .. . am1 x01 + am2 x02 + · · · + amn x0n = bm . Platı´ tedy 

       a11 a12 a1n b1  a21   a22   a2n   b2          x01  .  + x02  .  + · · · + x0n  .  =  .  ,  ..   ..   ..   ..  am1

am2

amn

bm

cozˇ znamena´, zˇe sloupec b v matici (A|b) je linea´rnı´ kombinacı´ sloupcu˚ matice A. Odtud rank(A|b) = rank A.

Obra´ceneˇ, necht’ rank(A|b) = rank A = k. Prˇevedeme-li matici (A|b) na schodovity´ tvar ˇra´dkovy´mi elementa´rnı´mi u´pravami, obdrzˇ´ıme soustavu rovnic A0 x = b0 , ekvivalentnı´ se soustavou Ax = b, ktera´ (vypustı´me-li poslednı´ch m − k rovnic tvaru 0 = 0) ma´ tvar a011 x1 + · · · +

a01,k−1 xk−1

+

a01k xk

+ ··· +

a01n xn

= .. .

b01

a0k−1,k−1 xk−1 + a0k−1,k xk + · · · + a0k−1,n xn = b0k−1 a0kk xk + ··· + a0kn xn = b0k . V poslednı´ rovnici je alesponˇ jeden z koeficientu˚ a0kk , . . . , a0kn nenulovy´; necht’ a0kp1 6= 0 (tj. p1 ≥ k). Pak lze z te´to rovnice vyja´drˇit xp1 pomocı´ xk , . . . , xp1 −1 , xp1 +1 , . . . , xn : xp1 =

1 (b0 − a0kk xk − · · · − a0kp1 −1 xp1 −1 − a0kp1 +1 xp1 +1 − a0kn xn ). a0kp1 k

V prˇedposlednı´ rovnici je alesponˇ jeden z koeficientu˚ a0k−1,k−1 , . . . , a0k−1,n nenulovy´. Jelikozˇ matice A0 je ve schodovite´m tvaru, ma´me a0k−1,p2 6= 0, kde p2 < p1 . Mu˚zˇeme tedy vyja´drˇit xp2 pomocı´ xk−1 , . . . , xp2 −1 , xp2 +1 , . . . , xn , a dosadı´me-li za xp1 , zı´ska´me xp2 vyja´drˇene´ pomocı´ xk−1 , . . . , xp2 −1 , xp2 +1 , . . . , xp1 −1 , xp1 +1 , . . . , xn . Takto lze postupovat azˇ k prvnı´ rovnici, z nı´zˇ vyja´drˇ´ıme xpk , kde pk < pk−1 < · · · < p1 , pomocı´ x1 , . . . , xpk −1 , xpk +1 , . . . , xn . Dosadı´me-li za xpk−1 , xpk−2 , . . . , xp1 , dostaneme xpk vyja´drˇene´ pomocı´ vsˇech xi s vy´jimkou xp1 , . . . , xpk−1 . Celkoveˇ tak obdrzˇ´ıme hodnoty k nezna´my´ch xpk , . . . , xp2 , xp1 , vyja´drˇene´ pomocı´ nezna´my´ch xi pro zby´vajı´cı´ hodnoty indexu i z mnozˇiny {1, 2, . . . , n}. Tato xi , ktera´ lze volit zcela libovolneˇ, tedy hrajı´ roli parametru˚ - oznacˇme je po rˇadeˇ t1 , . . . , tn−k . Je zrˇejme´, zˇe zvolı´me-li za t1 , . . . , tn−k neˇjaka´ cˇ´ısla z pole P, a dosadı´me-li tyto hodnoty do zı´skany´ch vy´razu˚ pro xpk , . . . , xp2 , xp1 , dostaneme rˇesˇenı´ syste´mu Ax = b, tj. kazˇda´ konkre´tnı´ volba parametru˚ da´va´ jedno rˇesˇenı´ uvazˇovany´ch rovnic. Vsˇimneˇte si, zˇe pro existenci a pocˇet rˇesˇenı´ syste´mu linea´rnı´ch rovnic o n nezna´my´ch nenı´ podstatny´ pocˇet rovnic, ale hodnost prˇ´ıslusˇny´ch matic (pocˇet linea´rneˇ neza´visly´ch rovnic a jejich kompatibilita). Definice 4.6. Rˇesˇenı´ syste´mu linea´rnı´ch rovnic Ax = b zapsane´ pomocı´ n − k parametru˚ t1 , . . . , tn−k , kde n je pocˇet nezna´my´ch, k je pocˇet linea´rneˇ neza´visly´ch rovnic syste´mu (tedy k = rank(A|b) = rank A), a (t1 , . . . , tn−k ) probı´ha´ mnozˇinu Pn−k , nazy´va´me obecne´ rˇesˇenı´. Obecne´ rˇesˇenı´ x za´visle´ na parametrech t1 , . . . , tn−k budeme oznacˇovat symbolem x(t1 , . . . , tn−k ). Obecne´ rˇesˇenı´ prˇedstavuje mnozˇinu rˇesˇenı´: zvolı´me-li pevneˇ hodnoty parametru˚, dostaneme jedno z rˇesˇenı´ dane´ho syste´mu rovnic; toto rˇesˇenı´ se nazy´va´ partikula´rnı´ rˇesˇenı´. Budeme je zapisovat ve tvaru xP = x(c1 , . . . , cn−k ), kde c1 , . . . , cn−k jsou pevneˇ zvolena´ cˇ´ısla z P. Mnozˇina rˇesˇenı´ reprezentovana´ obecny´m rˇesˇenı´m je zrˇejmeˇ jednoprvkova´ pra´veˇ tehdy, kdyzˇ n − k = 0, tj. kdyzˇ pocˇet nezna´my´ch se rovna´ pocˇtu linea´rneˇ neza´visly´ch rovnic syste´mu. V ostatnı´ch prˇ´ıpadech obecne´ rˇesˇenı´ prˇedstavuje nekonecˇneˇ mnoho rˇesˇenı´. Du˚kaz Frobeniovy veˇty poskytuje na´vod, jak najı´t (neˇjake´) obecne´ rˇesˇenı´ syste´mu linea´rnı´ch rovnic. Za´rovenˇ vsˇak navozuje neˇkolik ota´zek: • Tvar obecne´ho rˇesˇenı´ za´visı´ na postupu, jaky´m bylo obecne´ rˇesˇenı´ zı´ska´no. V jake´m vztahu jsou mnozˇiny M 0 , M 00 rˇesˇenı´ dane´ho syste´mu linea´rnı´ch rovnic, ktere´ odpovı´dajı´ dveˇma obecny´m rˇesˇenı´m? • Existujı´ jesˇteˇ neˇjaka´ dalsˇ´ı rˇesˇenı´ syste´mu linea´rnı´ch rovnic, ktera´ nejsou „zachycena“ obecny´m ˇresˇenı´m?

• Jak najı´t vsˇechna rˇesˇenı´ syste´mu linea´rnı´ch rovnic? Uvedeme nynı´ tvrzenı´, ktere´ na´m poskytne odpoveˇd’ na vsˇechny tyto ota´zky. Veˇta 4.7. Bud’Ax = b syste´m linea´rnı´ch rovnic o n nezna´my´ch, necht’rank(A|b) = rank A = k. Necht’x(t1 , . . . , tn−k ) je obecne´ rˇesˇenı´ tohoto syste´mu linea´rnı´ch rovnic. Pak pro kazˇde´ x0 takove´, zˇe Ax0 = b, existujı´ cˇ´ısla c1 , . . . , cn−k ∈ P takova´, zˇe pro t1 = c1 , . . . , tn−k = cn−k platı´ x0 = x(c1 , . . . , cn−k ). Du˚kaz. Bud’ x0 = {x01 , . . . , x0n } libovolne´ rˇesˇenı´ syste´mu linea´rnı´ch rovnic Ax = b. Pak x0 je take´ rˇesˇenı´m syste´mu A0 x = b0 , kde (A0 |b0 ) je schodovity´ tvar matice (A|b). Najdeme obecne´ rˇesˇenı´ x(t1 , . . . , tn−k ) dane´ho syste´mu linea´rnı´ch rovnic: je to usporˇa´dana´ mnozˇina cˇ´ısel {x1 , . . . , xn }, kde pro jista´ j1 , . . . jn−k = 1, 2, . . . , n je xj1 = t1 , . . . , xjn−k = tn−k , a takova´, zˇe pro vsˇechna t1 , . . . , tn−k ∈ P je a011 x1

+ ··· +

a01n xn

= .. .

b01

a0k−1,k−1 xk−1 + · · · + a0k−1,n xn = b0k−1 a0kk xk + ··· + a0kn xn = b0k ; prˇitom z kazˇde´ rovnice se vyjadrˇuje pra´veˇ jedno xi , i 6= j1 , . . . jn−k , pomocı´ uvazˇovany´ch parametru˚. Polozˇme t1 = x0j1 , . . . , tn−k = x0jn−k , a uvazˇujme partikula´rnı´ rˇesˇenı´ xP = x(x0j1 , . . . , x0jn−k ). Pak pro kazˇde´ i 6= j1 , . . . jn−k splnˇuje xP i partikula´rnı´ho rˇesˇenı´ xP stejne´ rovnice jako x0i , i 6= j1 , . . . , jn−k , cozˇ znamena´, zˇe x0 = xP (x0j1 , . . . , x0jn−k ). Tı´m je du˚kaz ukoncˇen. Veˇta 4.8 (Du˚sledek). Bud’ Ax = b syste´m linea´rnı´ch rovnic, x(t1 , . . . , tn−k ) jeho obecne´ rˇesˇenı´. Oznacˇme M 0 mnozˇinu rˇesˇenı´ urcˇenou tı´mto obecny´m rˇesˇenı´m a M mnozˇinu vsˇech rˇesˇenı´ dane´ho syste´mu linea´rnı´ch rovnic. Pak platı´ M 0 = M . Pozna´mka 4.9. Du˚kaz Frobeniovy veˇty je konstruktivnı´, to znamena´, zˇe je-li zajisˇteˇna existence rˇesˇenı´ syste´mu linea´rnı´ch rovnic, poskytuje take´ metodu, jak nale´zt jeho obecne´ rˇesˇenı´. Za´kladem tohoto postupu je Gaussova eliminacˇnı´ metoda, jı´zˇ prˇevedeme rozsˇ´ırˇenou matici syste´mu na matici ve schodovite´m tvaru; z tohoto ekvivalentnı´ho syste´mu lze uzˇ snadno vhodnou volbou parametru˚ zı´skat obecne´ rˇesˇenı´. Podle vy´sˇe uvedene´ Veˇty reprezentuje toto obecne´ rˇesˇenı´ vsˇechna rˇesˇenı´ uvazˇovane´ho syste´mu linea´rnı´ch rovnic. Prˇ´ıklad 4.10. Najdeme obecne´ rˇesˇenı´ syste´mu nehomogennı´ch linea´rnı´ch rovnic 2x1 − 3x2 + 5x3 + 7x4 = 1 4x1 − 6x2 + 2x3 + 3x4 = 2 2x1 − 3x2 − 11x3 − 15x4 = 1. Napı´sˇeme rozsˇ´ıˇrenou matici syste´mu a prˇevedeme ji rˇa´dkovy´mi ekvivalentnı´mi u´pravami na schodovity´ tvar:       2 −3 5 7 1 2 −3 5 7 1 2 −3 5 7 1 4 −6 2 3 2 ∼ 0 0 8 11 0 ∼ 0 0 8 11 0 . 2 −3 −11 −15 1 0 0 16 22 0 0 0 0 0 0 Hodnost matice syste´mu je stejna´ jako hodnost rozsˇ´ırˇene´ matice, syste´m je tedy rˇesˇitelny´; obecne´ rˇesˇenı´ za´visı´ na 4 − 2 = 2 parametrech. Obecne´ rˇesˇenı´ najdeme ze schodovite´ho tvaru rozsˇ´ırˇene´ matice: zadany´ syste´m linea´rnı´ch rovnic je ekvivalentnı´ syste´mu 2x1 − 3x2 + 5x3 + 7x4 = 1 8x3 + 11x4 = 0.

Zvolı´me x4 = t, pak x3 = − 11 8 t; dosadı´me do prvnı´ rovnice a zvolı´me x2 = s, dostaneme 1 55 1 1 x1 = (1 + 3s + t − 7t) = (3s − t + 1). 2 8 2 8 Nalezli jsme obecne´ rˇesˇenı´ x(s, t) ve tvaru 1 1 x1 = (3s − t + 1), 2 8

x3 = −

x2 = s,

11 t, 8

x4 = t,

s, t ∈ R,

tedy mnozˇina vsˇech rˇesˇenı´ dane´ho syste´mu linea´rnı´ch rovnic je n o 3 1 1 11 M = x = ( s − t + , s, − t, t) | s, t ∈ R ⊂ R4 . 2 16 2 8 Zvolı´me-li konkre´tnı´ cˇ´ısla za paramety s, t, dostaneme jedno partikua´rnı´ rˇesˇenı´ dany´ch rovnic, tj. jeden prvek mnozˇiny M . Naprˇ´ıklad pro t = 0, s = 0 je partikula´rnı´m rˇesˇenı´m usporˇa´dana´ cˇtverˇice x = (1/2, 0, 0, 0), pro t = 0, s = 1 ma´me x = (2, 1, 0, 0), pro t = 8, s = 2 dosta´va´me x = (3, 2, −11, 8), atp. Prˇ´ıklad 4.11. Budeme rˇesˇit syste´m linea´rnı´ch rovnic 3x1 − 5x2 + 2x3 + 4x4 = 2 7x1 − 4x2 + x3 + 3x4 = 5 5x1 + 7x2 − 4x3 − 6x4 = 3. Rozsˇ´ırˇena´ matice je  3 −5 2 4 7 −4 1 3 5 7 −4 −6

  2 3 −5 5 ∼ 0 −23 3 0 −46

2 4 11 19 22 38

  2 3 −5 2 4 −1 ∼ 0 −23 11 19 1 0 0 0 0

 2 −1 . 1

Vidı´me, zˇe rovnice nejsou kompatibilnı´: Hodnost matice syste´mu je 2, rozsˇ´ırˇena´ matice ma´ hodnost 3, takzˇe syste´m nema´ zˇa´dne´ rˇesˇenı´ (mnozˇina rˇesˇenı´ je pra´zdna´).

4.2

Cramerovske´ syste´my

Syste´m linea´rnı´ch rovnic Ax = b se nazy´va´ cramerovsky´, jestlizˇe A je cˇtvercova´ regula´rnı´ matice. Tedy cramerovsky´ syste´m ma´ stejny´ pocˇet rovnic jako nezna´my´ch, prˇicˇemzˇ tyto rovnice jsou kompatibilnı´ a linea´rneˇ neza´visle´. To ovsˇem znamena´, zˇe rank(A|b) = rank A, a tedy podle Frobeniovy veˇty ma´ kazˇdy´ cramerovsky´ syste´m linea´rnı´ch rovnic rˇesˇenı´. Navı´c je zrˇejme´, zˇe obecne´ rˇesˇenı´ cramerovske´ho syste´mu rovnic je tvorˇeno jediny´m rˇesˇenı´m: kazˇdy´ cramerovsky´ syste´m linea´rnı´ch rovnic ma´ jedine´ rˇesˇenı´. Vsˇimneˇme si, cramerovsky´ syste´m homogennı´ch rovnic ma´ jedine´ a to nulove´ rˇesˇenı´. Necht’Ax = b je cramerovsky´ syste´m linea´rnı´ch rovnic. Pro kazˇde´ i = 1, 2, . . . , n oznacˇme Ai matici, ktera´ ma´ sloupce 1, . . . , i − 1, i + 1, . . . , n stejne´ jako matice A a i-ty´ sloupec je tvorˇen sloupcem b; tedy   a11 · · · a1,i−1 b1 a1i+1 · · · a1n   Ai =  ... . an1 · · · ani−1 bn ani+1 · · · ann Veˇta 4.12 (Cramerovo pravidlo). Bud’Ax = b cramerovsky´ syste´m linea´rnı´ch rovnic. Pak jeho rˇesˇenı´ ma´ tvar x = {x1 , . . . , xn }, kde xi =

det Ai , det A

1 ≤ i ≤ n.

(4.2)

Du˚kaz. Je-li syste´m Ax = b cramerovsky´, pak existuje k matici A (jednoznacˇneˇ urcˇena´) inverznı´ matice A−1 . Tedy maticova´ rovnice Ax = b ma´ pra´veˇ jedno rˇesˇenı´ x = A−1 b. Vyja´drˇ´ıme-li tuto rovnost pomocı´ prvku˚ prˇ´ıslusˇny´ch matic, dostaneme vzorec (4.2), ktery´ jsme meˇli doka´zat. Oveˇrˇ´ıme to: Podle vzorce pro inverznı´ matici ma´me x=

1 (Aalg )T · b, det A

kde Aalg je matice tvorˇena´ algebraicky´mi doplnˇky k prvku˚m matice A. Oznacˇme x = (xi ), A = (aij ), Aalg = (Aij ), A−1 = (cij ). Jelikozˇ cij =

1 Aji , det A

dosta´va´me xi =

n X j=1

nebot’

Pn

j j=1 Aji b

n

1 1 X det Ai , Aji bj = cij bj = det A det A j=1

je Laplaceu˚v rozvoj matice Ai podle jejı´ho i-te´ho sloupce, tedy det Ai .

Pozna´mka 4.13. Cramerovsky´ syste´m rovnic mu˚zˇeme rˇesˇit bud’ Gaussovou eliminacˇnı´ metodou, nebo pomocı´ Cramerova pravidla. Cramerovo pravidlo prˇitom s vy´hodou aplikujeme zvla´sˇteˇ v teˇch prˇ´ıpadech, kdyzˇ chceme vy´pocˇet algoritmizovat, nebo kdyzˇ je trˇeba rˇesˇit syste´m linea´rnı´ch rovnic, jehozˇ koeficienty cˇi prave´ strany za´visı´ na parametrech, takzˇe vy´pocˇet determinantu˚ je snadneˇjsˇ´ı, nezˇ aplikace Gaussovy eliminacˇnı´ metody. Prˇ´ıklad 4.14. Cramerovy´m pravidlem vyrˇesˇ´ıme syste´m linea´rnı´ch rovnic 2x1 + 2x2 − x3 + x4 = 4 4x1 + 3x2 − x3 + 2x4 = 6 8x1 + 5x2 − 3x3 + 4x4 = 12 3x1 + 3x2 − 2x3 + 2x4 = 6. Nejprve oveˇrˇ´ıme, zˇe rovnice jsou lina´rneˇ neza´visle´, a tedy zˇe Cramerovo pravidlo lze pouzˇ´ıt:       2 2 −1 1 2 0 0 0 2 0 0 0 4 3 −1 2 4 1  1 2 0 0 0    = 1 det 4 2  = 2 6= 0. det  8 5 −3 4 = − 4 det 8 3   2 0 8 3 2 0 4 3 3 −2 2 3 0 −1 1 3 0 −1 1 Nynı´ spocˇ´ıta´me determinanty matic A1 , A2 , A3 , A4 :    4 2 −1 1 2 0 0  6 3 −1 2 3 0 1 1   det A1 = det  12 5 −3 4 = − 2 det 6 1 0 6 3 −2 2 3 0 −1  2 4 −1 4 6 −1 det A2 = det  8 12 −3 3 6 −2

  1 2   1 2 4 = − det  8 4 2 2 3

0 0 1 2 2 2 0 −1

   0 1 1 0 1  = det 2 0 1 = 2, 2 1 −1 0 1   0 2   0 4 = det  4 0 1 3

0 0 1 0 1 1 0 −1

 0 0  = 2, 0 1



  2 4 1 2 4 3 6 2  = det  8 5 12 4 3 6 2 3

2 4 det A3 = det  8 3  2 4 det A4 = det  8 3

2 3 5 3

  2 −1 4 4 −1 6   = det  8 −3 12 3 −2 6

0 1 3 0

  0 2 4 0  = − det  8 0 1 3

0 1 2 0

0 1 3 0

0 0 1 0

 0 0  = −2, 0 1

   0 0 0 1 −1 0  1 −1 0 1 1 = −2. = 2 det 3 3 1 1 0 1 0 0 1 0

Odtud dostaneme, zˇe dane´ rovnice majı´ jedine´ rˇesˇenı´ x1 =

det A1 = 1, det A

x2 =

det A2 = 1, det A

x3 =

det A3 = −1, det A

x4 =

det A4 = −1. det A

´ kol. Naprogramujte si Cramerovo pravidlo. U Kontrolnı´ ota´zky a u´koly • Definujte syste´m m linea´rnı´ch rovnic o n nezna´my´ch, matici syste´mu, rozsˇ´ırˇenou matici syste´mu, rˇesˇenı´, homogennı´ syste´m, nehomogennı´ syste´m. Co je maticovy´ za´pis syste´mu linea´rnı´ch rovnic? • Definujte pojem „ekvivalentnı´ syste´my linea´rnı´ch rovnic“. • Jsou-li da´ny dva syste´my linea´rnı´ch rovnic, jak pozna´te, zda jsou ekvivalentnı´? • Mu˚zˇe by´t homogennı´ syste´m linea´rnı´ch rovnic ekvivalentnı´ s nehomogennı´m? • Mu˚zˇe mı´t nehomogennı´ syste´m linea´rnı´ch rovnic nulove´ rˇesˇenı´? • Kdy ma´ homogennı´ syste´m rovnic pra´veˇ jedno rˇesˇenı´? • Kdy ma´ homogennı´ syste´m linea´rnı´ch rovnic i nenulove´ rˇesˇenı´? • Mu˚zˇe se sta´t, zˇe homogennı´ syste´m lina´rnı´ch rovnic nema´ zˇa´dne´ rˇesˇenı´? • Kdy ma´ nehomogennı´ syste´m linea´rnı´ch rovnic pra´veˇ jedno rˇesˇenı´? Kdy ma´ vı´ce nezˇ jedno rˇesˇenı´? Kdy nema´ rˇesˇenı´? • Zjisteˇte, zda pro homogennı´ syste´my linea´rnı´ch rovnic platı´: – mnozˇina rˇesˇenı´ obsahuje s kazˇdy´m rˇesˇenı´m x i rˇesˇenı´ −x; – jsou-li x0 , x00 dveˇ rˇesˇenı´, pak x0 + x00 je take´ rˇesˇenı´; – jsou-li x0 , x00 dveˇ rˇesˇenı´, pak x0 − x00 je take´ rˇesˇenı´; – je-li x rˇesˇenı´, pak take´ cx pro libovolne´ c ∈ P je rˇesˇenı´. • Zjisteˇte, zda neˇktera´ z vy´sˇe uvedeny´ch tvrzenı´ platı´ pro nehomogennı´ syste´my linea´rnı´ch rovnic. • Je-li Ax = b syste´m nehomogennı´ch linea´rnı´ch rovnic a jsou-li x0 , x00 dveˇ jeho rˇesˇenı´, co platı´ pro x0 − x00 ? • Co je to obecne´ rˇesˇenı´ syste´mu linea´rnı´ch rovnic, jak se najde a jaky´ je jeho vy´znam? Cˇ´ım je urcˇen pocˇet parametru˚ v obecne´m rˇesˇenı´? Co je to partikula´rnı´ rˇesˇenı´ a jak se najde? • Vyslovte Frobeniovu veˇtu. • Vı´te, zˇe syste´m linea´rnı´ch rovnic ma´ obecne´ rˇesˇenı´ x1 = s,

x2 = t,

x3 = −1 − 8s + 4t,

x4 = 0,

x5 = 1 + 2s − t.

– Zjisteˇte, zda x = {1, 2, −1, 0, 1} je partikula´rnı´ rˇesˇenı´ teˇchto rovnic. – Kolik neza´visly´ch rovnic a o kolika nezna´my´ch ma´ uvazˇovany´ syste´m rovnic? – Je uvazˇovany´ syste´m linea´rnı´ch rovnic homogennı´ nebo nehomogennı´? – Napisˇte, alesponˇ jeden z ekvivalentnı´ch syste´mu˚ lina´rnı´ch rovnic, ktere´ majı´ uvedene´ obecne´ rˇesˇenı´.

4.3

Homogennı´ syste´my linea´rnı´ch rovnic

Nynı´ se budeme podrobneˇ zaby´vat homogennı´mi syste´my linea´rnı´ch rovnic, tj. rovnicemi tvaru Ax = 0. Shrneme si nejprve vlastnosti teˇchto rovnic, ktere´ uzˇ zna´me, nebot’ plynou bezprostrˇedneˇ z Frobeniovy veˇty. Veˇta 4.15. (Du˚sledky Frobeniovy veˇty.) (1) Kazˇdy´ homogennı´ syste´m linea´rnı´ch rovnic je rˇesˇitelny´. (2) Mnozˇina rˇesˇenı´ kazˇde´ho homogennı´ho syste´mu linea´rnı´ch rovnic obsahuje nulove´ rˇesˇenı´. (3) Homogennı´ syste´m n linea´rnı´ch rovnic o n nezna´my´ch ma´ jedine´ rˇesˇenı´ pra´veˇ tehdy, kdyzˇ matice syste´mu je regula´rnı´. (4) Homogennı´ syste´m n linea´rnı´ch rovnic o n nezna´my´ch Ax = 0 ma´ nenulove´ rˇesˇenı´ pra´veˇ tehdy, kdyzˇ det A = 0. (5) Ma´-li homogennı´ syste´m linea´rnı´ch rovnic me´neˇ rovnic nezˇ nezna´my´ch, nutneˇ existuje nenulove´ rˇesˇenı´. Nynı´ budeme studovat, jake´ vlastnosti ma´ mnozˇina vsˇech rˇesˇenı´ homogennı´ho syste´mu linea´rnı´ch rovnic. Snadno zjistı´me, zˇe platı´ na´sledujı´cı´ tvrzenı´: Veˇta 4.16. (Vlastnosti mnozˇiny rˇesˇenı´ homogennı´ch linea´rnı´ch rovnic.) (1) Soucˇet libovolny´ch dvou rˇesˇenı´ syste´mu Ax = 0 je rˇesˇenı´m tohoto syste´mu rovnic. (2) Pro kazˇde´ c ∈ P je c-na´sobek rˇesˇenı´ syste´mu Ax = 0 rˇesˇenı´m tohoto syste´mu rovnic. (3) Libovolna´ linea´rnı´ kombinace rˇesˇenı´ syste´mu Ax = 0 je rˇesˇenı´m tohoto syste´mu rovnic. Du˚kaz. (1) Necht’x0 , x00 jsou rˇesˇenı´ syste´mu linea´rnı´ch rovnic Ax = b, tj. necht’ Ax0 = 0,

Ax00 = 0.

Pak A(x0 + x00 ) = Ax0 + Ax00 = 0 + 0 = 0, tedy x0 + x00 je rˇesˇenı´m syste´mu Ax = 0. (2) Je-li x0 rˇesˇenı´m syste´mu Ax = 0, pak pro kazˇde´ c ∈ P je take´ A(cx0 ) = c(Ax0 ) = c·0 = 0. (3) Jde o jednoduchy´ du˚sledek prˇedchozı´ch dvou tvrzenı´.

Kontrolnı´ u´kol. • Projdeˇte si znovu du˚kaz Frobeniovy veˇty a konstrukci obecne´ho rˇesˇenı´ pro prˇ´ıpad homogennı´ho syste´mu linea´rnı´ch rovnic. Vsˇimneˇte si, zˇe pro obecne´ rˇesˇenı´ x = x(t1 , . . . , tn−k ) = {x1 , . . . , xn } je kazˇde´ xi linea´rnı´ kombinacı´ parametru˚ t1 , . . . , tn−k (prˇitom n − k z teˇchto xi jsou prˇ´ımo rovna parametru˚m: pro jiste´ indexy je xi1 = t1 , . . . , xin−k = tn−k ) . Rˇesˇenı´ syste´mu linea´rnı´ch rovnic o n-nezna´my´ch reprezentujeme jako sloupcove´ matice o n prvcı´ch, pro ktere´ jizˇ ma´me zavedeny pojmy linea´rnı´ za´vislosti a linea´rnı´ neza´vislosti. Podle te´to definice jsou rˇesˇenı´ syste´mu linea´rnı´ch rovnic linea´rneˇ za´visla´, jestlizˇe alesponˇ jedno z nich lze vyja´drˇit ve tvaru linea´rnı´ kombinace ostatnı´ch. Znamena´ to, zˇe matice, sestavena´ z teˇchto r sloupcu˚, ma´ hodnost mensˇ´ı nezˇ r. Odtud take´ vyply´va´, zˇe libovolny´ch r rˇesˇenı´ syste´mu linea´rnı´ch rovnic o n nezna´my´ch, kde r > n, je linea´rneˇ za´visly´ch. Podobneˇ syste´m r rˇesˇenı´ linea´rnı´ch rovnic je linea´rneˇ neza´visly´, jestlizˇe matice, sestavena´ z teˇchto r sloupcu˚, ma´ hodnost r. Opeˇt je zrˇejme´, zˇe nutnou podmı´nkou linea´rnı´ neza´vislosti je podmı´nka r ≤ n. Necht’nynı´ Ax = 0 je homogennı´ syste´m linea´rnı´ch rovnic o n nezna´my´ch, rank A = k < n. Necht’ x(t1 , . . . , tn−k ) je obecne´ rˇesˇenı´ tohoto syste´mu rovnic. Polozˇ´ıme-li t1 = 1, t2 = 0, . . . , tn−k = 0, dostaneme partikula´rnı´ rˇesˇenı´ e1 = x(1, 0, . . . , 0); podobneˇ polozˇ´ıme-li t1 = 0, t2 = 1, t3 = 0, . . . , tn−k = 0, obdrzˇ´ıme dalsˇ´ı partikula´rnı´ rˇesˇenı´ e2 = x(0, 1, 0, . . . , 0). Postupneˇ tı´mto zpu˚sobem mu˚zˇeme zı´skat n − k partikula´rnı´ch rˇesˇenı´ e1 , . . . , en−k dane´ho syste´mu linea´rnı´ch rovnic, tvaru el = x(0, . . . , 0, 1, 0 . . . , 0), kde 1 stojı´ na l-te´ pozici, 1 ≤ l ≤ n − k. Prˇ´ımo z konstrukce teˇchto partikula´rnı´ch rˇesˇenı´ je zrˇejme´, zˇe e1 , . . . , en−k jsou linea´rneˇ neza´visla´, a zˇe obecne´ rˇesˇenı´ x(t1 , . . . , tn−k ) lze vyja´drˇit ve tvaru x(t1 , . . . , tn−k ) = t1 e1 + t2 e2 + · · · + tn−k en−k . To ovsˇem znamena´, zˇe pro homogennı´ syste´m linea´rnı´ch rovnic Ax = 0 jsme zkonstruovali jisty´ syste´m partikula´rnı´ch rˇesˇenı´, ktera´ jsou linea´rneˇ neza´visla´ a platı´, zˇe libovolne´ rˇesˇenı´ dane´ho syste´mu rovnic lze vyja´drˇit ve tvaru jejich linea´rnı´ kombinace. Vsˇimneˇme si da´le, zˇe vy´sˇe zkonstuovany´ syste´m partikula´rnı´ch rˇesˇenı´ e1 , . . . , en−k nenı´ jediny´ s teˇmito vlastnostmi. Rovneˇzˇ naprˇ. syste´m e0l = x(1, 2, . . . , l, 0 . . . , 0), 1 ≤ l ≤ n−k, je linea´rneˇ neza´visly´ a kazˇde´ rˇesˇenı´ rovnic Ax = 0 lze vyja´drˇit jako jeho linea´rnı´ kombinaci. Dokonce kazˇdy´ syste´m n − k partikula´rnı´ch rˇesˇenı´ vytvorˇeny´ z obecne´ho rˇesˇenı´ x(t1 , . . . , tn−k ) tak, zˇe za (t1 , . . . , tn−k ) vezmeme libovolny´ pevny´ syste´m linea´rneˇ neza´visly´ch (n − k)-tic cˇ´ısel z pole P, bude mı´t pozˇadovane´ vlastnosti. Vidı´me, zˇe homogennı´ syste´my linea´rnı´ch rovnic majı´ du˚lezˇitou vlastnost: mnozˇina rˇesˇenı´ je plneˇ urcˇena zada´nı´m jiste´ho konecˇne´ho syste´mu partikula´rnı´ch rˇesˇenı´, prˇicˇemzˇ pocˇet prvku˚ tohoto urcˇujı´cı´ho syste´mu je roven pocˇtu parametru˚, pomocı´ nichzˇ se vyjadrˇuje obecne´ rˇesˇenı´, tj. (n − k). Definice 4.17. Bud’ Ax = 0 homogennı´ syste´m linea´rnı´ch rovnic o n nezna´my´ch, rank A = k. Syste´m {e1 , . . . , en−k } jeho partikula´rnı´ch rˇesˇenı´ nazveme fundamenta´lnı´ syste´m rˇesˇenı´, jestlizˇe • e1 , . . . , en−k jsou linea´rneˇ neza´visla´, • libovolne´ rˇesˇenı´ syste´mu linea´rnı´ch rovnic Ax = 0 lze vyja´drˇit ve tvaru linea´rnı´ kombinace partikula´rnı´ch rˇesˇenı´ e1 , . . . , en−k . Shrneme-li poznatky tohoto odstavce, mu˚zˇeme charakterizovat strukturu mnozˇiny rˇesˇenı´ homogennı´ho syste´mu linea´rnı´ch rovnic takto: Veˇta 4.18 (O strukturˇe mnozˇiny rˇesˇenı´ homogennı´ho syste´mu linea´rnı´ch rovnic). Mnozˇina vsˇech rˇesˇenı´ homogennı´ho syste´mu linea´rnı´ch rovnic je tvorˇena vsˇemi linea´rnı´mi kombinacemi neˇjake´ho jeho fundamenta´lnı´ho syste´mu rˇesˇenı´; ten ma´ n − k prvku˚, kde n je pocˇet nezna´my´ch a k je pocˇet linea´rneˇ neza´visly´ch rovnic.

Prˇ´ıklad 4.19. Je-li da´n syste´m prvku˚ {e1 , . . . , er } mnozˇiny Rn , ktere´ jsou linea´rneˇ neza´visle´ (jako rˇa´dkove´ cˇi sloupcove´ matice), mu˚zˇeme najı´t syste´m homogennı´ch linea´rnı´ch rovnic, pro neˇjzˇ je {e1 , . . . , er } fundamenta´lnı´ syste´m rˇesˇenı´. Vı´me, zˇe takovy´ syste´m rovnic nenı´ urcˇen jednoznacˇneˇ, rˇesˇenı´m u´lohy je nalezenı´ jednoho z mozˇny´ch ekvivalentnı´ch syste´mu˚. Ze zada´nı´ je zrˇejme´, zˇe budeme hledat syste´m homogennı´ch linea´rnı´ch rovnic o n-nezna´my´ch s rea´lny´mi koeficienty, ktery´ bude tvorˇen n − r linea´rneˇ neza´visly´mi rovnicemi, tedy syste´m rovnic tvaru a11 x1 + . . . a1n xn = 0 .. . an−r,1 x1 + . . . an−r,n xn = 0 takovy´, zˇe matice syste´mu A = (aij ) ma´ maxima´lnı´ hodnost. Je tedy trˇeba urcˇit prvky matice A z podmı´nky, zˇe kazˇda´ ze zadany´ch n-tic e1 , . . . , er je rˇesˇenı´m teˇchto rovnic, tedy zˇe Ae1 = 0, . . . , Aer = 0. Dosadı´me-li e1 , . . . , er , dostaneme zrˇejmeˇ syste´m r(n − r) homogennı´ch linea´rnı´ch rovnic pro nezna´me´ aij , 1 ≤ i ≤ n − r, 1 ≤ j ≤ n, ktery´ vyrˇesˇ´ıme zpravidla Gaussovou eliminacˇnı´ metodou. Jak uzˇ bylo rˇecˇeno, stacˇ´ı na´m najı´t jedno vhodne´ nenulove´ rˇesˇenı´ teˇchto rovnic, tedy jednu matici A, takovou, zˇe rank A = n − r. Ze zada´nı´ mu˚zˇeme prˇ´ımo urcˇit obecne´ rˇesˇenı´ (anizˇ bychom museli hledat neˇjaky´ odpovı´dajı´cı´ syste´m linea´rnı´ch rovnic Ax = 0). Vı´me totizˇ, zˇe obecne´ rˇesˇenı´ je linea´rnı´ kombinacı´ fundamenta´lnı´ho syste´mu rˇesˇenı´, takzˇe x(t1 , . . . , tr ) = t1 e1 + · · · + tr er . Jiny´mi slovy, mnozˇina rˇesˇenı´ syste´mu rovnic Ax = 0 je podmnozˇina v Rn , tvorˇena´ usporˇa´dany´mi n-ticemi tvaru t1 e1 + · · · + tr er , kde t1 , . . . , tr probı´hajı´ vsˇechna rea´lna´ cˇ´ısla. Uvedeny´ postup budeme ilustrovat na jednoduche´m prˇ´ıkladeˇ: Najdeme syste´m homogennı´ch linea´rnı´ch rovnic v R3 , jehozˇ fundamenta´lnı´ syste´m rˇesˇenı´ je e1 = (1, 2, 1),

e2 = (1, 1, −1).

Jelikozˇ n = 3, r = 2, hleda´me jednu homogennı´ linea´rnı´ rovnici ax1 + bx2 + cx3 = 0, jejı´mzˇ rˇesˇenı´m jsou obeˇ zadane´ usporˇa´dane´ trojice e1 , e2 , takzˇe platı´ a + 2b + c = 0. a + b − c = 0. Stacˇ´ı na´m najı´t jedno nenulove´ rˇesˇenı´ teˇchto rovnic - vezmeˇme trˇeba a = 3, b = −2, c = 1 . Hledana´ rovnice ma´ pak tvar 3x1 − 2x2 + x3 = 0. Mnozˇina vsˇech rˇesˇenı´ (obecne´ rˇesˇenı´), odpovı´dajı´cı´ zadane´mu fundamenta´lnı´mu syste´mu rˇesˇenı´ je tvorˇena vsˇemi prvky mnozˇiny R3 tvaru (x1 , x2 , x3 ) = t1 e1 + t2 e2 = t1 (1, 2, 1) + t2 (1, 1, −1) = (t1 + t2 , 2t1 + t2 , t1 − t2 ), t1 , t2 ∈ R. Jiny´ za´pis te´zˇe mnozˇiny je naprˇ. x1 = s,

x2 = t,

x3 = −3s + 2t,

s, t, ∈ R.

4.4

Nehomogennı´ syste´my linea´rnı´ch rovnic

Definice 4.20. Necht’ Ax = b je nehomogennı´ syste´m linea´rnı´ch rovnic (tj. b = 6 0). Pak homogennı´ syste´m rovnic Ax = 0 budeme nazy´vat homogenizovany´m syste´mem prˇ´ıslusˇny´m nehomogennı´mu syste´mu Ax = b. Nejprve si prˇipomeneme vlastnosti, ktere´ majı´ nehomogennı´ syste´my linea´rnı´ch rovnic dı´ky platnosti Frobeniovy veˇty: Veˇta 4.21. (Du˚sledky Frobeniovy veˇty) (1) Nehomogennı´ syste´m linea´rnı´ch rovnic je rˇesˇitelny´ ⇔ kdyzˇ hodnost rosˇ´ırˇene´ matice tohoto syste´mu je rovna hodnosti matice syste´mu homogenizovane´ho. (2) Nehomogennı´ syste´m linea´rnı´ch rovnic ma´ pra´veˇ jedno rˇesˇenı´ ⇔ homogenizovany´ syste´m ma´ jedine´ (nulove´) rˇesˇenı´. (3) Nehomogennı´ syste´m linea´rneˇ neza´visly´ch linea´rnı´ch rovnic ma´ pra´veˇ jedno rˇesˇenı´ ⇔ matice homogenizovane´ho syste´mu je cˇtvercova´ a regula´rnı´. (4) Obecne´ rˇesˇenı´ rˇesˇitelne´ho nehomogennı´ho syste´mu linea´rnı´ch rovnic o n nezna´my´ch za´visı´ na n − k parametrech, kde k je pocˇet linea´rneˇ neza´visly´ch rovnic syste´mu (tj. k je hodnost rozsˇ´ırˇene´ matice syste´mu = hodnost matice homogenizovane´ho syste´mu). (5) Nehomogennı´ syste´m rovnic Ax = b, b 6= 0, nema´ nulove´ rˇesˇenı´. Rˇesˇenı´ nehomogennı´ch rovnic uzˇ nelze generovat ze zna´my´ch rˇesˇenı´ tak jednodusˇe, jako tomu bylo u rovnic homogennı´ch. Ma´me-li totizˇ dveˇ rˇesˇenı´ x0 , x00 nehomogennı´ho syste´mu Ax = b, b 6= 0, pak A(x0 + x00 ) = Ax0 + Ax00 = b + b = 2b 6= b, takzˇe soucˇet rˇesˇenı´ nehomogennı´ho syste´mu rovnic nenı´ jeho rˇesˇenı´m. Podobneˇ, je-li x0 rˇesˇenı´, pak pro kazˇde´ c ∈ P ma´me A(cx0 ) = cAx0 = cb, takzˇe s vy´jimkou trivia´lnı´ho prˇ´ıpadu c = 1 na´sobky rˇesˇenı´ nehomogennı´ho syste´mu nejsou jeho rˇesˇenı´m. Pak ovsˇem ani linea´rnı´ kombinace rˇesˇenı´ nehomogennı´ch rovnic neda´vajı´ rˇesˇenı´, takzˇe naprˇ´ıklad nema´ smysl zava´deˇt pojem „fundamenta´lnı´ syste´m rˇesˇenı´“ pro nehomogennı´ rovnice. Vidı´me, zˇe mnozˇina rˇesˇenı´ nehomogennı´ho syste´mu linea´rnı´ch rovnic Ax = b, b 6= 0, ma´ zcela jinou strukturu, nezˇ mnozˇina rˇesˇenı´ homogennı´ho syste´mu rovnic. Veˇta 4.22 (O strukturˇe mnozˇiny rˇesˇenı´ nehomogennı´ho syste´mu linea´rnı´ch rovnic). Necht’Ax = b, b 6= 0, je rˇesˇitelny´ syste´m linea´rnı´ch rovnic, xP jeho libovolne´ pevneˇ zvolene´ partikula´rnı´ rˇesˇenı´. Pak ke kazˇde´mu rˇesˇenı´ x syste´mu Ax = b existuje jedine´ rˇesˇenı´ xH homogenizovane´ho syste´mu Ax = 0 takove´, zˇe x = xP + xH . Obra´ceneˇ, je-li xH libovolne´ rˇesˇenı´ homogenizovane´ho syste´mu, pak x = xP + xH je rˇesˇenı´ syste´mu Ax = b. Du˚kaz. Nejprve uka´zˇeme, zˇe libovolne´ rˇesˇenı´ x syste´mu Ax = b lze vyja´drˇit ve tvaru x = xP + xH , kde xH je neˇjake´ rˇesˇenı´ homogenizovane´ho syste´mu. Polozˇme x0 = x − xP . Pak Ax0 = A(x − xP ) = Ax − AxP = b − b = 0, tedy x0 je rˇesˇenı´ homogenizovane´ho syste´mu. Stacˇ´ı tedy vzı´t xH = x0 . Jednoznacˇnost xH je evidentnı´. Obra´ceneˇ, je-li AxH = 0, pak zrˇejmeˇ Ax = A(xP + xH ) = AxP + AxH = b + 0 = b, cozˇ jsme chteˇli uka´zat. Veˇta 4.23. (Du˚sledek) • Obecne´ rˇesˇenı´ rˇesˇitelne´ho syste´mu nehomogennı´ch linea´rnı´ch rovnic Ax = b o hodnosti k je tvaru x(t1 , . . . , tn−k ) = xH (t1 , . . . , tn−k ) + xP ,

kde xH (t1 , . . . , tn−k ) je obecne´ rˇesˇenı´ homogenizovane´ho syste´mu Ax = 0 a xP je libovolne´, ale pevne´ partikula´rnı´ rˇesˇenı´ nehomogennı´ho syste´mu. • Kazˇde´ rˇesˇenı´ rˇesˇitelne´ho syste´mu nehomogennı´ch linea´rnı´ch rovnic Ax = b o hodnosti k je tvaru x = t1 e1 + . . . tn−k en−k + xP ,

t1 , . . . , tn−k ∈ P

kde {e1 , . . . , en−k } je fundamenta´lnı´ syste´m rˇesˇenı´ homogenizovane´ho syste´mu Ax = 0 a xP je libovolne´, ale pevne´ partikula´rnı´ rˇesˇenı´ nehomogennı´ho syste´mu. • Mnozˇina vsˇech rˇesˇenı´ syste´mu Ax = b je M = {xH + xP }, kde xH probı´ha´ mnozˇinu vsˇech rˇesˇenı´ syste´mu homogenizovane´ho a xP je jedno rˇesˇenı´ rovnic Ax = b. Neprˇehle´dneˇme, zˇe rozdı´l libovolny´ch dvou rˇesˇenı´ nehomogennı´ho syste´mu linea´rnı´ch rovnic je rˇesˇenı´m jeho homogenizovane´ho syste´mu. Na za´kladeˇ uvedene´ veˇty lze vsˇechna rˇesˇenı´ nehomogennı´ho syste´mu Ax = b urcˇit tak, zˇe nalezneme jedno jeho rˇesˇenı´ xP a vyrˇesˇ´ıme homogenizovany´ syste´m Ax = 0. Prˇ´ıklad 4.24. Vy´sˇe popsany´m zpu˚sobem vyrˇesˇ´ıme prˇ´ıklad, ktery´ jsme jizˇ drˇ´ıve vyrˇesˇili Gaussovou eliminacˇnı´ metodou: 2x1 − 3x2 + 5x3 + 7x4 = 1 4x1 − 6x2 + 2x3 + 3x4 = 2 2x1 − 3x2 − 11x3 − 15x4 = 1. Nejprve musı´me najı´t („uhodnout“) neˇjake´ rˇesˇenı´ teˇchto rovnic, naprˇ. xP = (2, 1, 0, 0). Nynı´ budeme rˇesˇit homogenizovany´ syste´m 2x1 − 3x2 + 5x3 + 7x4 = 0 4x1 − 6x2 + 2x3 + 3x4 = 0 2x1 − 3x2 − 11x3 − 15x4 = 0 Gaussovou eliminacˇnı´ metodou. Ma´me     2 −3 5 7 2 −3 5 7 4 −6 2 3  ∼ 0 0 8 11 , 2 −3 −11 −15 0 0 0 0 takzˇe obecne´ rˇesˇenı´ za´visı´ na 4 − 2 = 2 parametrech; Zvolı´me x4 = t, pak x3 = − 11 8 t; dosadı´me do prvnı´ rovnice a zvolı´me x2 = s, dostaneme 1 55 1 1 x1 = (3s + t − 7t) = (3s − t). 2 8 2 8 Obecne´ rˇesˇenı´ homogenizovane´ho syste´mu je tedy xH (s, t) =

3 2

s−

 1 11 t, s, − t, t , 16 8

s, t ∈ R.

Dosta´va´me tak obecne´ rˇesˇenı´ zadany´ch nehomogennı´ch rovnic ve tvaru x = xH (s, t) + xP =

3 2

s−

1 11  t + 2, s + 1, − t, t , 16 8

s, t ∈ R.

Toto rˇesˇenı´ mu˚zˇeme vyja´drˇit i ve tvaru x = t1 e1 + t2 e2 + xP , kde {e1 , e2 } je neˇjaky´ fundamenta´lnı´ syste´m rˇesˇenı´ homogenizovane´ho syste´mu. Vezmeme-li postupneˇ s = 2, t = 0 a s = 0, t = −16, dostaneme e1 = (3, 2, 0, 0),

e2 = (1, 0, 22, −16)

a tedy x = t1 (3, 2, 0, 0) + t2 (1, 0, 22, −16) + xP = (3t1 + t2 + 2, 2t1 + 1, 22t2 , −16t2 ), kde t1 , t2 probı´hajı´ mnozˇinu R. Prˇ´ıklad 4.25. Mu˚zˇeme rˇesˇit i „inverznı´ u´lohu“: najı´t syste´m linea´rnı´ch rovnic, jehozˇ mnozˇina rˇesˇenı´ M ⊂ Rn je zna´ma´ a je zadana´ jako mnozˇina bodu˚ (usporˇa´dany´ch n-tic rea´lny´ch cˇ´ısel) x = t1 e1 + · · · + tr er + xP ,

(4.3)

kde e1 , . . . , er ∈ Rn jsou linea´rneˇ neza´visle´ (jako rˇa´dkove´ matice) a xP ∈ M . Je-li xP 6= 0, pak prˇ´ıslusˇny´ syste´m linea´rnı´ch rovnic (ktery´, jak, vı´me, nenı´ urcˇen jednoznacˇneˇ) je nehomogennı´ a je tvorˇen n − r linea´rneˇ neza´visly´mi rovnicemi o n-nezna´my´ch. Ma´ tedy tvar Ax = b, kde A je matice o n − r rˇa´dcı´ch a n sloupcı´ch, prˇicˇemzˇ rank A = n − r. Je trˇeba najı´t matici A a matici b. Matici A najdeme z podmı´nky, zˇe e1 , . . . , er je fundamenta´lnı´ syste´m rˇesˇenı´ rovnic Ax = 0. Sloupcovou matici b pak dopocˇ´ıta´me s vyuzˇitı´m podmı´nky, zˇe xP ma´ splnˇovat rovnice Ax = b, tj. zˇe pro ni platı´ b = AxP . Uvedeny´ postup budeme opeˇt ilustrovat na prˇ´ıkladeˇ: Najdeme syste´m nehomogennı´ch linea´rnı´ch rovnic v R3 , jehozˇ mnozˇina rˇesˇenı´ je M = {x ∈ R3 | x = se1 + te2 + xP , s, t, ∈ R}, kde e1 = (1, 2, 1),

e2 = (1, 1, −1),

xP = (3, 2, 1).

Jelikozˇ n = 3, r = 2, hleda´me jednu nehomogennı´ linea´rnı´ rovnici a1 x1 + a2 x2 + a3 x3 = b. Nejprve najdeme prˇ´ıslusˇnou homogenizovanou rovnici. Jejı´ fundamenta´lnı´ syste´m rˇesˇenı´ je {e1 , e2 }, takzˇe platı´ a1 + 2a2 + a3 = 0. a1 + a2 − a3 = 0. Stacˇ´ı na´m najı´t jedno nenulove´ rˇesˇenı´ teˇchto rovnic - trˇeba a1 = 3, a2 = −2, a3 = 1 . Hledana´ homogenizovana´ rovnice ma´ pak je 3x1 − 2x2 + x3 = 0. „Pravou stranu“ dopocˇteme z podmı´nky, zˇe xP = (3, 2, 1) je rˇesˇenı´m rovnice 3x1 −2x2 +x3 = b, tedy b = 9 − 4 + 1 = 6. Zadana´ mnozˇina M ⊂ R3 je mnozˇina rˇesˇenı´ nehomogennı´ linea´rnı´ rovnice 3x1 − 2x2 + x3 = 6. Vsˇimneˇte si jesˇteˇ, zˇe toto je rovnice roviny v R3 , ktera´ procha´zı´ bodem (3, 2, 1).

Cvicˇenı´ ˇ esˇte syste´m linea´rnı´ch rovnic 1. R 3x1 − 2x2 + 5x3 + 4x4 = 2 6x1 − 4x2 + 4x3 + 3x4 = 3 9x1 − 6x2 + 3x3 + 2x4 = 4. 2. Najdeˇte obecne´ rˇesˇenı´ a alesponˇ dveˇ ru˚zna´ partikula´rnı´ rˇesˇenı´ syste´mu linea´rnı´ch rovnic 3x1 + 2x2 + 2x3 + 2x4 = 2 2x1 + 3x2 + 2x3 + 5x4 = 3 9x1 + x2 + 4x3 − 5x4 = 1 2x1 + 2x2 + 3x3 + 4x4 = 5 7x1 + x2 + 6x3 − x4 = 7. ˇ esˇte syste´m linea´rnı´ch rovnic v za´vislosti na parametru α: 3. R 5x1 − 3x2 + 2x3 + 4x4 = 3 4x1 − 2x2 + 3x3 + 7x4 = 1 8x1 − 6x2 − x3 − 5x4 = 9 7x1 − 3x2 + 7x3 + 17x4 = α. ˇ esˇte syste´m linea´rnı´ch rovnic v za´vislosti na parametru β: 4. R 2x1 − x2 + 3x3 + 4x4 = 5 4x1 − 2x2 + 5x3 + 6x4 = 7 6x1 − 3x2 + 7x3 + 8x4 = 9 βx1 − 4x2 + 9x3 + 10x4 = 11. 5. Zjisteˇte, zda dany´ syste´m rovnic lze rˇesˇit Cramerovy´m pravidlem a v kladne´m prˇ´ıpadeˇ jej pomocı´ Cramerova pravidla vyrˇesˇte: 3x1 + 4x2 + x3 + 2x4 = −3 3x1 + 5x2 + 3x3 + 5x4 = −6 6x1 + 8x2 + x3 + 5x4 = −8 3x1 + 5x2 + 3x3 + 7x4 = −8. Jake´ rˇesˇenı´ ma´ prˇ´ıslusˇny´ homogenizovany´ syste´m rovnic? 6. Nalezneˇte rˇesˇenı´ syste´mu linea´rnı´ch rovnic x1 + 2x2 + 3x3 + 4x4 + 5x5 = 2 2x1 + 3x2 + 7x3 + 10x4 + 13x5 = 12 3x1 + 5x2 + 11x3 + 16x4 + 21x5 = 17 2x1 − 7x2 + 7x3 + 7x4 + 2x5 = 57 x1 + 4x2 + 5x3 + 3x4 + 10x5 = 7. (a) Gaussovou eliminacˇnı´ metodou, (b) pomocı´ Cramerova pravidla.9 7. Urcˇete obecne´ rˇesˇenı´ a fundamenta´lnı´ syste´m rˇesˇenı´ syste´mu linea´rnı´ch rovnic 2x1 − 4x2 + 5x3 + 3x4 = 0 3x1 − 6x2 + 4x3 + 2x4 = 0 4x1 − 8x2 + 17x3 + 11x4 = 0. 9

Ma´te-li napsany´ progra´mek, pouzˇijte ho.

ˇ esˇte syste´m linea´rnı´ch rovnic s nezna´my´mi x, y, z: 8. R 4bcx + acy − 2abz = 0 5bcx + 3acy − 4abz = −abc 3bcx + 2acy − abz = 4abc. 9. Inverznı´ matici k dane´ cˇtvercove´ matici lze hledat prˇ´ımo z definice, rozepı´sˇeme-li definicˇnı´ vztah AA−1 = E pro prvky uvazˇovany´ch matic. Dostaneme tak zrˇejmeˇ nehomogennı´ syste´m linea´rnı´ch rovnic pro prvky nezna´me´ matice A−1 . Kolik rovnic o kolika nezna´my´ch vznikne? Napisˇte si jej explicitneˇ. S vyuzˇitı´m Frobeniovy veˇty diskutujte jeho rˇesˇitelnost a pocˇet rˇesˇenı´ a porovnejte vy´sledek se zna´my´mi fakty o existenci a jednoznacˇnosti inverznı´ matice. 10. Metodou ˇresˇenı´ syste´mu linea´rnı´ch rovnic popsanou v prˇedchozı´m prˇ´ıkladeˇ najdeˇte inverznı´ matici k matici z Prˇ´ıkladu 3.16. 11. Napisˇte syste´m linea´rnı´ch rovnic, jehozˇ mnozˇina rˇesˇenı´ ma´ tvar (a)

M = {x ∈ R5 | x = t1 e1 + t2 e2 , t1 , t2 ∈ R},

kde e1 = (1, 1, −1, −1, 2), e2 = (3, 1, 0, −2, 3, 0), (b)

M = {x ∈ R4 | x = t1 e1 + t2 e2 + t3 e3 + x0 , t1 , t2 , t3 ∈ R},

kde e1 = (0, 1, 2, 3), e2 = (1, 0, −2, 3), e3 = (1, −1, 0, 1), x0 = (0, 1, 0, 1), (c) M ⊂ R3 je mnozˇina pra´zdna´, (d) M ⊂ R4 je jednoprvkova´ mnozˇina obsahujı´cı´ bod (1, 1, 1, 1), (e) M ⊂ R5 je jednoprvkova´ mnozˇina obsahujı´cı´ pocˇa´tek (0, 0, 0, 0, 0). V prˇ´ıkladech (d), (e) vyberte syste´m rovnic, jehozˇ matice A nenı´ diagona´lnı´. 12. Je da´n syste´m linea´rnı´ch rovnic tvaru Ax = λx, kde A je cˇtvercova´ komplexnı´ matice a λ je komplexnı´ cˇ´ıslo. Urcˇete podmı´nky, kdy ma´ tento syste´m rovnic nenulove´ rˇesˇenı´. [Na´vod: Dany´ syste´m rovnic si zapisˇte ve tvaru (A − λE)x = 0. Co musı´ platit pro matici A − λE?] 13. S vyuzˇitı´m prˇedchozı´ho prˇ´ıkladu urcˇete vsˇechna cˇ´ısla λ ∈ C, pro ktera´ existujı´ nenulova´ rˇesˇenı´ syste´mu rovnic       7 −12 6 x1 x1 10 −19 10 · x2  = λ x2  . 12 −24 13 x3 x3 Pro kazˇde´ z nalezeny´ch cˇ´ısel λ rovnice vyrˇesˇte a nalezneˇte neˇjaky´ fundamenta´lnı´ syste´m rˇesˇenı´.

5

Vektorove´ prostory

Studijnı´ cı´le: Dosta´va´me se ke klı´cˇove´ matematicke´ strukturˇe - vektorovy´m prostoru˚m. S vektory a s prˇ´ıklady vektorovy´ch prostoru˚ jsme se uzˇ setka´vali drˇ´ıve v matematice i ve fyzice - vzpomenˇme trˇeba na zna´me´ fyzika´lnı´ velicˇiny, jako je rychlost, zrychlenı´, sı´la, a dalsˇ´ı. Vektory jsou naprˇ. rea´lna´ cˇ´ısla, uvazˇujeme-li je s operacemi scˇ´ıta´nı´ a na´sobenı´, usporˇa´dane´ dvojice rea´lny´ch cˇ´ısel s operacemi scˇ´ıta´nı´ a na´sobenı´ rea´lny´mi cˇ´ısly, rea´lne´ funkce jedne´ rea´lne´ promeˇnne´ s operacemi scˇ´ıta´nı´ a na´sobenı´ funkcı´ cˇ´ısly, nebo ze strˇednı´ sˇkoly zna´me´ orientovane´ u´secˇky v rovineˇ, umı´steˇne´ v pocˇa´tku R2 , ktere´ jste se naucˇili scˇ´ıtat (doplneˇnı´m na rovnobeˇzˇnı´k) a na´sobit rea´lny´mi cˇ´ısly. Vektorovy´m prostorem je take´ naprˇ. mnozˇina rˇesˇenı´ syste´mu homogennı´ch linea´rnı´ch rovnic, cˇi mnozˇina matic typu m×n s operacemi scˇ´ıta´nı´ matic a na´sobenı´ matic cˇ´ısly. V te´to kapitole se sezna´mı´me se za´kladnı´mi pojmy a prˇ´ıklady, ktere´ jsou pro pochopenı´ vektorove´ struktury za´sadnı´ a musı´me je perfektneˇ zvla´dnout. Uvidı´me take´, zˇe vy´znamny´m pomocnı´kem prˇi vy´pocˇtech ve vektorovy´ch prostorech je maticovy´ pocˇet, ktery´ jsme se naucˇili ovla´dat v prˇedchozı´ch kapitola´ch. Klı´cˇova´ slova: Komutativnı´ grupa, vektorovy´ prostor, komplexnı´ vektorovy´ prostor, rea´lny´ vektorovy´ prostor, vektor, linea´rnı´ kombinace vektoru˚, linea´rneˇ neza´visle´ vektory, linea´rneˇ za´visle´ vektory, konecˇneˇrozmeˇrny´ vektorovy´ prostor, nekonecˇneˇrozmeˇrny´ vektorovy´ prostor, ba´ze, mnozˇina genera´toru˚, slozˇky vektoru vzhledem k ba´zi, matice prˇechodu mezi ba´zemi, transformacˇnı´ vztahy pro slozˇky vektoru. Potrˇebny´ cˇas: 180 minut.

5.1

Komutativnı´ grupy

Uvazˇujme mnozˇinu G s jednou bina´rnı´ operacı´ G × G → G, kterou budeme oznacˇovat ˇ ekneme, zˇe G je komutativnı´ grupa, jestlizˇe operace + je symbolem +. R • komutativnı´, tj. u + v = v + u, ∀ u, v, ∈ G, • asociativnı´, tj. (u + v) + w = u + (v + w), ∀ u, v, w ∈ G, • v mnozˇineˇ G existuje jediny´ prvek, oznacˇovany´ o, takovy´, zˇe u+o = o +u = u, ∀ u ∈ G, • ke kazˇde´mu prvku u ∈ G existuje jediny´ prvek v G, oznacˇovany´ −u takovy´, zˇe u + (−u) = −u + u = o. Prvek o ∈ G se nazy´va´ nulovy´ prvek, neutra´lnı´ prvek, nebo strucˇneˇ nula grupy G. Prvek −u se nazy´va´ opacˇny´ prvek k u. Operace + v komutativnı´ grupeˇ G se zpravidla nazy´va´ scˇ´ıta´nı´. V komutativnı´ grupeˇ ma´me vedle operace scˇ´ıta´nı´ definova´nu i inverznı´ operaci odcˇ´ıta´nı´ takto: klademe pro vsˇechna u, v ∈ V u − v = u + (−v). Pozna´mka 5.1. Mnozˇina s jednou bina´rnı´ operacı´, ktera´ splnˇuje vsˇechny podmı´nky z uvedene´ definice kromeˇ komutativnı´ho za´kona, se nazy´va´ grupa. Komutativnı´ grupy jsou tedy grupy, kde navı´c platı´ komutativnı´ za´kon. Prˇ´ıklady. • Mnozˇina rea´lny´ch cˇ´ısel R s operacı´ scˇ´ıta´nı´ je komutativnı´ grupa. • Mnozˇina rea´lny´ch cˇ´ısel s operacı´ na´sobenı´ nenı´ komutativnı´ grupa. Na´sobenı´ rea´lny´ch cˇ´ısel je komutativnı´ a asociativnı´, podmı´nku neutra´lnı´ho prvku splnˇuje cˇ´ıslo 1 (skutecˇneˇ pro vsˇechna

u ∈ R platı´ u · 1 = 1 · u = u), ale poslednı´ podmı´nka z definice splneˇna nenı´: k cˇ´ıslu 0 neexistuje x ∈ R, pro ktere´ 0 · x = x · 0 = 1. • Mnozˇina R − 0 s operacı´ na´sobenı´ je komutativnı´ grupa. • Mnozˇina cely´ch cˇ´ısel s operacı´ scˇ´ıta´nı´ je komutativnı´ grupa. • Mnozˇina prˇirozeny´ch cˇ´ısel s operacı´ scˇ´ıta´nı´ nenı´ komutativnı´ grupa. • Mnozˇina Rn s operacı´ scˇ´ıta´nı´ je komutativnı´ grupa. • Mnozˇina funkcı´ R → R s operacı´ scˇ´ıta´nı´ je komutativnı´ grupa. • Mnozˇina matic m × n s operacı´ scˇ´ıta´nı´ je komutativnı´ grupa. • Mnozˇina regula´rnı´ch matic rˇa´du n s operacı´ na´sobenı´ splnˇuje vsˇechny podmı´nky z definice kromeˇ komutativnı´ho za´kona. Nenı´ to tedy komutativnı´ grupa, ale je to grupa - nazy´va´ se obecna´ linea´rnı´ grupa rˇa´du n a oznacˇuje se GLn (R) jde-li o rea´lne´ matice a GLn (C), jde -li o komplexnı´ matice.

5.2

Vektorove´ prostory

ˇ ekneme, zˇe V je vektorovy´ prostor nad polem Definice 5.2. Bud’ V mnozˇina, P cˇ´ıselne´ pole. R P, jestlizˇe • na mnozˇineˇ V je da´na bina´rnı´ operace +, vzhledem k nı´zˇ je V komutativnı´ grupa, • je da´no zobrazenı´ P × V → V , ktere´ ma´ tyto vlastnosti: a(u + v) = au + av, ∀ a ∈ P, u, v ∈ V , (a + b)u = au + bu, ∀ a, b ∈ P, u ∈ V , (ab)u = a(bu), ∀ a, b ∈ P, u ∈ V , 1u = u, ∀ u ∈ V . Je-li V vektorovy´ prostor nad polem P, pak prvky mnozˇiny V se nazy´vajı´ vektory a prvky pole P se nazy´vajı´ skala´ry. Nulovy´ prvek o ∈ V se nazy´va´ nulovy´ vektor. O zobrazenı´ P × V 3 (a, u) → au ∈ V hovorˇ´ıme jako o na´sobenı´ vektoru skala´rem. Vektorovy´ prostor nad polem C se nazy´va´ komplexnı´ vektorovy´ prostor, vektorovy´ prostor nad R se nazy´va´ rea´lny´ vektorovy´ prostor. Vsˇimneˇte si, zˇe vektorovy´ prostor nikdy nemu˚zˇe by´t pra´zdna´ mnozˇina - kazˇdy´ vektorovy´ prostor obsahuje nulovy´ vektor. Vektorovy´ prostor, ktery´ je tvorˇen jediny´m vektorem (tedy nulovy´m vektorem), se nazy´va´ trivia´lnı´. Definice 5.3.

10

Necht’ V je vektorovy´ prostor nad polem P. Linea´rnı´ kombinacı´ vektoru˚ u1 , . . . , up ∈ V s koeficienty c1 , . . . , cp nazy´va´me vy´raz p X

ci ui = c1 u1 + c2 u2 + · · · + cp up ,

c1 , . . . , cp ∈ P.

i=1

Rˇekneme, zˇe vektory u1 , . . . , up jsou linea´rneˇ neza´visle´, jestlizˇe podmı´nka c1 u1 + · · · + cp up = o je splneˇna jedineˇ pro c1 = · · · = cp = 0, (t.j. nulovy´ vektor lze zı´skat linea´rnı´ kombinacı´ dany´ch vektoru˚ jediny´m zpu˚sobem - s nulovy´mi koeficienty). Rˇekneme, zˇe vektory u1 , . . . , up ∈ V jsou linea´rneˇ za´visle´, jestlizˇe nejsou linea´rneˇ neza´visle´. 10 Uvedene´ definice porovnejte s drˇ´ıve zavedeny´mi pojmy linea´rneˇ neza´visly´ch a za´visly´ch rˇa´dku˚ cˇi sloupcu˚ matice.

Definice linea´rneˇ za´visly´ch vektoru˚ se da´ zrˇejmeˇ ekvivalentneˇ prˇeformulovat takto: Existujı´ cˇ´ısla c1 · · · cp ∈ P, z nichzˇ alesponˇ jedno je ru˚zne´ od nuly, tak, zˇe c1 u1 + · · · + ck uk + · · · + cp up = o . Je -li naprˇ. ck 6= 0, lze ovsˇem psa´t uk = −

1 (c1 u1 + · · · + ck−1 uk−1 + ck+1 uk+1 + · · · + cp up ), ck

cozˇ znamena´, zˇe k-ty´ vektor lze vyja´drˇit jako linea´rnı´ kombinaci zby´vajı´cı´ch vektoru˚ u1 , . . . , uk−1 , uk+1 , . . . , up . Mu˚zˇeme tedy rˇ´ıkat, zˇe vektory jsou linea´rneˇ za´visle´, jestlizˇe alesponˇ jeden z nich lze vyja´drˇit jako linea´rnı´ kombinaci ostatnı´ch. Vsˇimneˇte si, zˇe • syste´m vektoru˚ obsahujı´cı´ nulovy´ vektor je linea´rneˇ za´visly´, • pro jeden vektor (tj. p = 1) se definice lina´rnı´ (ne)za´vislosti redukuje na tento tvar: jeden vektor je linea´rneˇ neza´visly´ pra´veˇ kdyzˇ je nenulovy´; je linea´rneˇ za´visly´ pra´veˇ kdyzˇ je nulovy´, • dva vektory u, v ∈ V jsou linea´rneˇ za´visle´, jestlizˇe jeden z nich je nenulovy´m na´sobkem druhe´ho (tj. u = cv pro neˇjake´ cˇ´ıslo c 6= 0); podobneˇ • dva vektory jsou linea´rneˇ neza´visle´, jestlizˇe jsou oba nenulove´ a jeden z nich nenı´ na´sobkem druhe´ho. ˇ ekneme, zˇe vektorovy´ prostor V ma´ (konecˇnou) dimenzi n, jestlizˇe v neˇm Definice 5.4. R existuje n linea´rneˇ neza´visly´ch vektoru˚, prˇicˇemzˇ libovony´ch n + 1 vektoru˚ je linea´rneˇ za´visly´ch. Pı´sˇeme dim V = n, a kazˇdy´ syste´m n vektoru˚ s uvedenou vlastnostı´ nazy´va´me ba´ze vektorove´ho prostoru V . Vektorovy´ prostor, ktery´ nema´ konecˇnou dimenzi, se nazy´va´ nekonecˇneˇrozmeˇrny´ 11 . Ekvivalentneˇ, ba´ze vektorove´ho prostoru V (konecˇne´ dimenze) je syste´m linea´rneˇ neza´visly´ch vektoru˚ z V takovy´ch, zˇe kazˇdy´ vektor z V je jejich linea´rnı´ kombinacı´ (ba´ze je tedy maxima´lnı´ linea´rneˇ neza´visly´ syste´m vektoru˚ z V ). To znamena´, zˇe je-li {e1 , . . . , en } ba´ze V , pak libovolny´ vektor u ∈ V se vyjadrˇuje ve tvaru u=

n X

xi ei = x1 e1 + x2 e2 + · · · + xn en ,

i=1

prˇicˇemzˇ cˇ´ısla x1 , . . . , xn ∈ P jsou urcˇena jednoznacˇneˇ. Nazy´vajı´ se slozˇky vektoru u vzhledem k ba´zi {e1 , . . . , en }. Jednoznacˇnost slozˇek vektoru plyne prˇ´ımo z definice ba´ze; uka´zˇeme to: Necht’pro vektor u ∈ V ma´me u = x1 e1 + x2 e2 + · · · + xn en = x01 e1 + x02 e2 + · · · + x0n en . Pak ovsˇem (x1 − x01 )e1 + (x2 − x02 )e2 + · · · + (xn − x0n )en = o . Vektory {e1 , . . . , en } jsou podle prˇedpokladu linea´rneˇ neza´visle´, cozˇ znamena´, zˇe vsˇechny koeficienty v uvedene´ linea´rnı´ kombinaci jsou nulove´. Odtud x01 = x1 , . . . , x0n = xn . 11

V linea´rnı´ algebrˇe budeme pracovat vy´hradneˇ s vektorovy´mi prostory konecˇne´ dimenze. S nekonecˇneˇrozmeˇrny´mi vektorvy´mi prostory se cˇtena´rˇ setka´ naprˇ. ve funkciona´lnı´ analy´ze.

Pozna´mka 5.5 (Vy´znam ba´ze v konecˇneˇrozmeˇrne´m vektorove´m prostoru). Acˇkoli mnozˇina V (pokud V 6= {o}) obsahuje nekonecˇneˇ mnoho prvku˚, ba´ze je mala´ konecˇna´ mnozˇina (obsahuje n = dim V prvku˚), prˇitom ale se z nı´ cely´ vektorovy´ prostor vytva´rˇ´ı (pomocı´ linea´rnı´ch kombinacı´). Navı´c, je-li ve V zvolena ba´ze, je kazˇdy´ vektor jizˇ jednoznacˇneˇ reprezentova´n svy´mi slozˇkami. Slozˇky vektoru v n-rozmeˇrne´m vektorove´m prostoru ovsˇem prˇedstavujı´ usporˇa´danou n-tici cˇ´ısel z pole P, tedy prvek cˇ´ıselne´ mnozˇiny Pn . Vektory z V tak mu˚zˇeme „nahradit“ usporˇa´dany´mi n-ticemi, s nimizˇ je pra´ce zpravidla jednodusˇsˇ´ı i na´zorneˇjsˇ´ı. Neˇkdy je vy´hodne´ ve vektorove´m prostoru pracovat s jinou („veˇtsˇ´ı“) mnozˇinou, nezˇ je ba´ze: Podmnozˇina M ⊂ V se nazy´va´ generujı´cı´ mnozˇina nebo take´ mnozˇina genera´toru˚ vektorove´ho prostoru V , jestlizˇe kazˇdy´ vektor V se vyjadrˇuje ve tvaru neˇjake´ linea´rnı´ kombinace prvku˚ z mnozˇiny M . Z te´to definice vyply´va´, zˇe ba´ze je mnozˇina genera´toru˚ tvorˇena´ linea´rneˇ neza´visly´mi vektory (tedy je to minima´lnı´ generujı´cı´ mnozˇina).

5.3

Prˇ´ıklady vektorovy´ch prostoru˚

Uvedeme neˇkolik prˇ´ıkladu˚ rea´lny´ch a komplexnı´ch vektorovy´ch prostoru˚ modelovany´ch na cˇ´ıselny´ch i necˇ´ıselny´ch mnozˇina´ch. Cˇtena´rˇi doporucˇujeme, aby v kazˇde´m z teˇchto prˇ´ıkladu˚ du˚sledneˇ oveˇrˇil, zˇe uvedena´ mnozˇina s uvazˇovany´mi operacemi skutecˇneˇ splnˇuje vsˇechny pozˇadavky z definice vektorove´ho prostoru. Vektorovy´ prostor R Jedna´ se o nejjednodusˇsˇ´ı prˇ´ıklad vektorove´ho prostoru. Za V vezmeme mnozˇinu rea´lny´ch cˇ´ısel R s operacı´ scˇ´ıta´nı´ (prˇesveˇdcˇte se, zˇe je to komutativnı´ grupa), za P vezmeme pole rea´lny´ch cˇ´ısel (tj. mnozˇinu rea´lny´ch cˇ´ısel s operacemi scˇ´ıta´nı´ a na´sobenı´) a za zobrazenı´ P × V → V na´sobenı´ rea´lny´ch cˇ´ısel. Vznika´ tak vektorovy´ prostor nad polem R. Tento vektorovy´ prostor ma´ dimenzi 1, nebot’celou mnozˇinu R lze dostat jako na´sobky jedine´ho rea´lne´ho cˇ´ısla c 6= 0. Ba´ze vektorove´ho prostoru R je tedy tvorˇena jediny´m rea´lny´m cˇ´ıslem ru˚zny´m od 0. Nejcˇasteˇji za ba´zovy´ vektor bereme cˇ´ıslo 1. Slozˇka (libovolne´ho) vektoru vzhledem k ba´zi je v tomto prˇ´ıpadeˇ jedine´ rea´lne´ cˇ´ıslo. Zvolı´meli za ba´zi cˇ´ıslo c 6= 0, pak vektor x ∈ R je reprezentova´n cˇ´ıslem x/c ∈ R (nebot’ zrˇejmeˇ x = (x/c) · a). Vsˇimneˇte si, zˇe ba´ze tvorˇena´ cˇ´ıslem 1 je „privilegovana´“ tı´m, zˇe slozˇka vektoru x ∈ R v te´to ba´zi je prˇ´ımo cˇ´ıslo x. Vektorovy´ prostor Rn Jde o nejcˇasteˇjsˇ´ı a modelovy´ prˇ´ıklad konecˇneˇrozmeˇrne´ho vektorove´ho prostoru. Za V vezmeme mnozˇinu usporˇa´dany´ch n-tic rea´lny´ch cˇ´ısel Rn s operacı´ scˇ´ıta´nı´. Prˇipomenˇme si definici te´to operace: Je-li x = (x1 , . . . , xn ) a y = (y1 , . . . yn ) definujeme x + y ∈ Rn takto: (x1 , . . . , xn ) + (y1 , . . . yn ) = (x1 + y1 , . . . , xn + yn ). Vzhledem k tomu, zˇe jde „po slozˇka´ch“ o scˇ´ıta´nı´ rea´lny´ch cˇ´ısel, je tato operace evidentneˇ komutativnı´ a asociativnı´; nulovy´m prvkem je n-tice (0, . . . , 0) a ke kazˇde´mu prvku x ∈ Rn existuje cˇ´ıslo opacˇne´, je jı´m −x = (−x1 , . . . , −xn ). Rn s operacı´ + je tedy komutativnı´ grupa. Da´le, za P vezmeme pole rea´lny´ch cˇ´ısel R a za zobrazenı´ P × V → V na´sobenı´ usporˇa´dany´ch n-tic rea´lny´mi cˇ´ısly, tj. zobrazenı´ R × Rn 3 (c, x) → cx ∈ Rn , definovane´ vztahem c(x1 . . . , xn ) = (cx1 , . . . , cxn ).

Vznika´ tak vektorovy´ prostor nad polem R. Urcˇ´ıme jeho dimenzi. K tomu je trˇeba najı´t neˇjakou minima´lnı´ generujı´cı´ mnozˇinu (ba´zi). Vsˇimneˇme si, zˇe kazˇdy´ prvek x = (x1 , . . . , xn ) ∈ Rn lze psa´t ve tvaru linea´rnı´ kombinace (x1 , x2 , . . . , xn ) = x1 (1, 0, . . . , 0) + x2 (0, 1, 0, . . . , 0) + · · · + xn (0, . . . , 0, 1). To znamena´, zˇe e1 = (1, 0, . . . , 0),

e2 = (0, 1, 0, . . . , 0),

··· ,

en = (0, . . . , 0, 1)

(5.1)

je mnozˇina genera´toru˚ vektorove´ho prostoru Rn (takzˇe jisteˇ dim Rn ≤ n). Ovsˇem vektory {e1 , . . . , en } jsou linea´rneˇ neza´visle´, nebot’z podmı´nky c1 (1, 0, . . . , 0) + c2 (0, 1, 0, . . . , 0) + · · · + cn (0, . . . , 0, 1) = (0, . . . , 0) plyne (c1 , c2 , . . . , cn ) = (0, 0, . . . , 0), tj. c1 = c2 = · · · = cn = 0. Celkoveˇ tedy vidı´me, zˇe (5.1) je ba´ze vektorove´ho prostoru Rn - nazy´va´ se kanonicka´ ba´ze. Odtud take´ plyne, zˇe dim Rn = n. Za ba´zi Rn lze vzı´t i libovolnou jinou mnozˇinu n linea´rneˇ neza´visly´ch prvku˚. Kanonicka´ ba´ze je ovsˇem opeˇt „privilegovana´“ tı´m, zˇe slozˇky vektoru x = (x1 , x2 , . . . , xn ) ∈ Rn v te´to ba´zi jsou prˇ´ımo cˇ´ısla x1 , . . . , xn (v uvedene´m porˇadı´). Komplexnı´ vektorovy´ prostor C Nynı´ za V vezmeme mnozˇinu komplexnı´ch cˇ´ısel C s operacı´ scˇ´ıta´nı´, cozˇ je komutativnı´ grupa. Za P vezmeme pole komplexnı´ch cˇ´ısel (tj. mnozˇinu komplexnı´ch cˇ´ısel s operacemi scˇ´ıta´nı´ a na´sobenı´) a za zobrazenı´ P × V → V na´sobenı´ komplexnı´ch cˇ´ısel. Vznika´ vektorovy´ prostor nad polem C. Jeho dimenze je rovna 1, nebot’celou mnozˇinu C lze dostat jako na´sobky jedine´ho komplexnı´ho cˇ´ısla z 6= 0 komplexnı´mi cˇ´ısly. Za ba´zi vektorove´ho prostoru C nad C lze tedy vzı´t jake´koliv komplexnı´ cˇ´ıslo ru˚zne´ od 0. Nejcˇasteˇji za ba´zi volı´me cˇ´ıslo 1. Slozˇka (libovolne´ho) vektoru je v tomto prˇ´ıpadeˇ jedine´ komplexnı´ cˇ´ıslo. Zvolı´me-li za ba´zi cˇ´ıslo z 6= 0, pak vektor u ∈ C je reprezentova´n komplexnı´m cˇ´ıslem u/z. V „kanonicke´“ ba´zi tvorˇene´ cˇ´ıslem 1 je slozˇka vektoru u ∈ C prˇ´ımo cˇ´ıslo u. Rea´lny´ vektorovy´ prostor C Za V zvolı´me opeˇt mnozˇinu komplexnı´ch cˇ´ısel C s operacı´ scˇ´ıta´nı´, ovsˇem za P tentokra´t vezmeme pole rea´lny´ch cˇ´ısel a za zobrazenı´ P × V → V na´sobenı´ komplexnı´ho cˇ´ısla cˇ´ıslem rea´lny´m. Na mnozˇineˇ C tak vznika´ vektorovy´ prostor nad polem R. Urcˇ´ıme jeho dimenzi. Ihned vidı´me, zˇe dimenze je veˇtsˇ´ı nezˇ jedna, nebot’ jedno komplexnı´ cˇ´ıslo z na´m pro vygenerova´nı´ vsˇech vektoru˚ nestacˇ´ı (mnozˇina {cz | c ∈ R} jisteˇ neobsahuje vsˇechna komplexnı´ cˇ´ısla). Na druhe´ straneˇ ale libovolne´ komplexnı´ cˇ´ıslo ma´ tvar z = a + bi, kde a, b jsou rea´lna´ cˇ´ısla, takzˇe z = a · 1 + b · i, tj. z je linea´rnı´ kombinacı´ (s rea´lny´mi koeficienty) komplexnı´ch cˇ´ısel 1, i. Odtud prˇ´ımo plyne, zˇe vektorovy´ prostor C nad R ma´ dimenzi 2 a {1, i} je jeho ba´ze. V tomto vektorove´m prostoru je tedy kazˇde´ komplexnı´ cˇ´ıslo (v libovolne´ ba´zi) reprezentova´no usporˇa´danou dvojicı´ rea´lny´ch cˇ´ısel; v ba´zi e1 = 1, e2 = i jsou slozˇkami vektoru z prˇ´ımo rea´lna´ a imagina´rnı´ cˇa´st cˇ´ısla z. Rea´lny´ vektorovy´ prostor Cn Podobneˇ jako vy´sˇe lze i na mnozˇineˇ Cn usporˇa´dany´ch n-tic komplexnı´ch cˇ´ısel modelovat rea´lny´ vektorovy´ prostor. Zvolı´me V = Cn , P = R a na´sobenı´ vektoru skala´rem definujeme jako na´sobenı´ usporˇa´dane´ n-tice komplexnı´ch cˇ´ısel rea´lny´m cˇ´ıslem. Vznika´ vektorotovy´ prostor

dimenze 2n nad polem R. Za jeho ba´zi lze vzı´t naprˇ. linea´rneˇ neza´vislou mnozˇinu tvorˇenou vektory e1 = (1, 0, . . . , 0), en+1 = (i, 0, . . . , 0),

e2 = (0, 1, 0, . . . , 0), en+2 = (0, i, 0, . . . , 0),

··· , ··· ,

en = (0, . . . , 0, 1), e2n = (0, . . . , 0, i).

(5.2) (5.3)

Vektor z = (a1 + b1 i, . . . , an + bn i) ∈ Cn ma´ v te´to ba´zi 2n slozˇek (a1 , . . . an , b1 , . . . , bn ). Vektorovy´ prostor matic Mm×n (P) nad polem P Mnozˇina vsˇech matic typu m × n s koeficienty z pole P s operacı´ scˇ´ıta´nı´ matic je komutativnı´ grupa (oveˇrˇte). Uvazˇujeme-li navı´c „operaci“ na´sobenı´ matic cˇ´ısly z pole P, vznika´ vektorovy´ prostor nad polem P. Dimenze tohoto vektorove´ho prostoru je rovna mn, za ba´zi lze vzı´t libovolnou mnozˇinu mn linea´rneˇ neza´visly´ch matic z mnozˇiny Mm×n (P). Nejjednodusˇsˇ´ı ba´ze ma´ tvar       1 0 ... 0 0 1 ... 0 0 ... 0 1 0 0 . . . 0 0 0 . . . 0 0 . . . 0 0       e1 =  . , e2 =  . , . . . , en =  .   ,  ..   ..   .. 

en+1

0 0 ... 0   0 0 ... 0 1 0 . . . 0   = . , . .  0 0 ... 0

0 0 ... 0   0 0 ... 0 0 1 . . . 0   en+2 =  . , . .  0 0 ... 0

...,

0 ... 0 0   0 ... 0 0 0 . . . 0 1    e2n =  . , . .  0 ... 0 0

...

e(m−1)n+1

  0 0 ... 0 0 0 . . . 0   = . ,  ..  1 0 ... 0



...,

emn

 0 ... 0 0 0 . . . 0 0    = . ,  ..  0 ... 0 1

v nı´ je kazˇda´ matice A = (aij ) reprezentovana´ prˇ´ımo svy´mi prvky, prˇesneˇji usporˇa´danou mn-ticı´ (a11 , . . . , a1n , a21 , . . . , a2n , . . . , am1 , . . . amn ). Vektorovy´ prostor polynomu˚ Vedle vy´sˇe uvedene´ho vektorove´ho prostoru matic je dalsˇ´ım prˇ´ıkladem necˇ´ıselne´ho vektorove´ho prostoru vektorovy´ protor polynomu˚, ktery´ nynı´ zavedeme. Funkce f : R → R tvaru f (x) = an xn + an−1 xn−1 + · · · + a2 x2 + a1 x + a0

(5.4)

se nazy´va´ (rea´lny´) polynom n-te´ho stupneˇ. Cˇ´ısla an , . . . a0 ∈ R se nazy´vajı´ koeficienty polynomu f . Polynom stupneˇ 3 se take´ nazy´va´ kubicky´, stupneˇ 2 kvadraticky´, stupneˇ 1 linea´rnı´ a stupneˇ 0 konstantnı´. Oznacˇme Pn (R) mnozˇinu rea´lny´ch polynomu˚ stupneˇ ≤ n. Na te´to mnozˇineˇ je definova´na operace scˇ´ıta´nı´ (jde o zu´zˇenı´ standardnı´ operace scˇ´ıta´nı´ funkcı´). Prˇipomenˇme si pro jistotu definici: pro polynomy f, g ∈ Pn (R), f (x) = an xn + an−1 xn−1 + · · · + a2 x2 + a1 x + a0 , g(x) = bn xn + bn−1 xn−1 + · · · + b2 x2 + b1 x + b0 ,

je f + g polynom definovany´ vztahem (f + g)(x) = f (x) + g(x) ∀ x ∈ R, tedy f + g ma´ tvar (f + g)(x) = (an + bn )xn + (an−1 + bn−1 )xn−1 + · · · + (a2 + b2 )x2 + (a1 + b1 )x + a0 + b0 . Mnozˇina Pn (R) s operacı´ scˇ´ıta´nı´ je komutativnı´ grupa: komutativita a asociativita scˇ´ıta´nı´ je zrˇejma´, nulovy´ prvek grupy je nulovy´ polynom (konstantnı´ funkce rovna´ nule) a opacˇny´ prvek k polynomu f s koeficienty an , . . . , a0 je polynom −f s koeficienty −an , . . . , −a0 . Da´le uvazˇujme na´sobenı´ polynomu˚ rea´lny´mi cˇ´ısly, tj. zobrazenı´ R × Pn (R) 3 (c, f ) → cf ∈ Pn (R) definovane´ vztahem (cf )(x) = c · f (x),

∀ x ∈ R.

Polynom cf ma´ tedy koeficienty can , . . . , ca0 . Takto vznika´ vektorovy´ prostor Pn (R) nad polem R. Tento vektorovy´ prostor je konecˇneˇrozmeˇrny´, za jeho ba´zi mu˚zˇeme vzı´t naprˇ. syste´m polynomu˚ {1, x, x2 , x3 , . . . , xn }. Skutecˇneˇ, libovolny´ polynom z Pn (R) se vyjadrˇuje ve tvaru linea´rnı´ kombinace tohoto syste´mu polynomu˚ s koeficienty, ktery´mi jsou prˇ´ımo koeficienty dane´ho polynomu. Tedy v uvazˇovane´ ba´zi ma´ polynom (5.4) slozˇky (a0 , a1 , . . . , an ). odtud take´ inned plyne, zˇe dim Pn (R) = n + 1. Vektorovy´ prostor rea´lny´ch funkcı´ Nakonec uvazˇujme mnozˇinu F(R) vsˇech rea´lny´ch funkcı´ jedne´ rea´lne´ promeˇnne´ s operacı´ scˇ´ıta´nı´ funkcı´ (prˇipomenˇte si, zˇe funkce f + g ∈ F(R) je definova´na vztahem (f + g)(x) = f (x) + g(x), ∀ x ∈ R, tedy jako „scˇ´ıta´nı´ bod po bodu“). F(R) s operacı´ scˇ´ıta´nı´ je komutativnı´ grupa (dokazˇte). (Rea´lny´) vektorovy´ prostor vznikne, uvazˇujeme-li navı´c zobrazenı´ R × F(R) → F(R), (c, f ) → cf , kde (cf )(x) = c · f (x) pro vsˇechna x ∈ R (na´sobenı´ funkce rea´lny´m cˇ´ıslem). Tento vektorovy´ prostor je nekonecˇneˇrozmeˇrny´. Uka´zˇeme to: Kdyby pro neˇjake´ cˇ´ıslo n byl syste´m funkcı´ {f1 , . . . fn } ba´zı´ tohoto vektorove´ho prostoru, musela by pro kazˇdou funkci f ∈ F(R) existovat n-tice rea´lny´ch cˇ´ısel c1 , . . . cn takovy´ch, zˇe f = c1 f1 + c2 f2 + . . . cn fn . Ma´me tedy pro kazˇde´ x ∈ R f (x) = c1 f1 (x) + c2 f2 (x) + . . . cn fn (x). Uvazˇujme funkci g ∈ F(R), pro kterou platı´ g(x) = f (x) pro vsˇechna x 6= 0, a g(0) 6= f (0). Pak zrˇejmeˇ g(x) = c1 f1 (x) + c2 f2 (x) + . . . cn fn (x) v kazˇde´m bodeˇ x 6= 0 a g(0) 6= c1 f1 (0) + c2 f2 (0) + . . . cn fn (0). To ale znamena´, zˇe g 6= c1 f1 + c2 f2 + . . . cn fn . Nasˇli jsme tedy funkci, ktera´ nenı´ linea´rnı´ kombinacı´ vektoru˚ f1 , . . . , fn , tj. mnozˇina {f1 , . . . fn } negeneruje vektorovy´ prostor F(R). Jelikozˇ prˇirozene´ cˇ´ıslo n mu˚zˇe by´t libovolneˇ velke´, nema´ uvazˇovany´ vektorovy´ prostor konecˇnou dimenzi.

5.4

Transformacˇnı´ vztahy pro slozˇky vektoru

Vı´me jizˇ, zˇe zvolı´me-li v n-rozmeˇrne´m vektorove´m prostoru ba´zi, je kazˇdy´ vektor jednoznacˇneˇ urcˇen pomocı´ usporˇa´dane´ n-tice cˇ´ısel (slozˇek vektoru vzhledem ke zvolene´ ba´zi). Za´rovenˇ je zrˇejme´, zˇe volba jine´ ba´ze znamena´, zˇe tenty´zˇ vektor bude reprezentova´m jinou usporˇa´danou n-ticı´(!).

V tomto odstavci vyjasnı´me, jaky´ je vztah mezi reprezentacemi te´hozˇ vektoru v ru˚zny´ch ba´zı´ch vektorove´ho prostoru a najdeme transformacˇnı´ vztahy pro slozˇky vektoru vzhledem k ru˚zny´m ba´zı´m. Necht’tedy V je n-rozmeˇrny´ vektorovy´ prostor nad polem P a {e1 , . . . , en }, {¯ e1 , . . . , e¯n } jsou dveˇ jeho ru˚zne´ ba´ze. Pak ovsˇem kazˇdy´ z vektoru˚ e¯1 , . . . , e¯n ma´ jednoznacˇne´ vyja´drˇenı´ v ba´zi {e1 , . . . , en } ve tvaru e¯1 = a11 e1 + a21 e2 + · · · + an1 en , e¯2 = a12 e1 + a22 e2 + · · · + an2 en , ... e¯n = a1n e1 + a2n e2 + · · · + ann en ,

(5.5)

jinak rˇecˇeno, zna´me slozˇky vsˇech vektoru˚ „pruhovane´ ba´ze“ vzhledem k „nepruhovane´ ba´zi“. Ucˇinı´me dohodu, zˇe tato cˇ´ısla usporˇa´da´me do matice (slozˇky vektoru ei budou zapsa´ny v i-te´m sloupci te´to matice). Definice 5.6. Matice A = (aij ), jejı´zˇ sloupce tvorˇ´ı slozˇky vektoru˚ ba´ze {¯ e1 , . . . , e¯n } vzhledem k ba´zi {e1 , . . . , en }, se nazy´va´ matice prˇechodu od ba´ze {e1 , . . . , en } k ba´zi {¯ e1 , . . . , e¯n }. Necht’ nynı´ u ∈ V je libovolny´ vektor. Vektor u ma´ vzhledem k ba´zi {e1 , . . . , en } slozˇky x1 , . . . , xn a vzhledem k ba´zi {¯ e1 , . . . , e¯n } ma´ slozˇky x ¯1 , . . . , x ¯n . Platı´ tedy u=

n X

xi ei =

i=1

n X

x ¯k e¯k .

k=1

Dosadı´me-li za vektory e¯1 , . . . , e¯n jejich vyja´drˇenı´ (5.5), dostaneme: n X

xi e i =

i=1

n X

x ¯k aik ei ,

i,k=1

tedy, n X n X

 x ¯k aik − xi ei = o .

i=1 k=1

Jelikozˇ vektory e1 , . . . en jsou podle prˇedpokladu linea´rneˇ neza´visle´, jsou vsˇechny koeficienty v te´to linea´rnı´ kombinaci rovny nule; tedy platı´ xi =

n X

aik x ¯k ,

1 ≤ i ≤ n.

(5.6)

k=1

Vzorec (5.6) umozˇnˇuje vypocˇ´ıtat slozˇky x1 , . . . , xn vektoru u vzhledem k ba´zi {e1 , . . . , en }, jsou-li zna´my jeho slozˇky x ¯1 , . . . , x ¯n vzhledem k ba´zi {¯ e1 , . . . e¯n }. Je to tedy hledany´ transformacˇnı´ vztah. Vsˇimneˇte si, zˇe vzorec (5.6) se da´ prˇehledneˇji napsat v maticove´m tvaru: zavedeme-li sloupcove´ matice, tvorˇene´ slozˇkami vektoru u vzhledem k zadany´m ba´zı´m, jedna´ se o maticovou rovnost, na jejı´zˇ prave´ straneˇ vystupuje soucˇin matic, a to matice prˇechodu A = (aij ) a sloupce prˇedstavujı´cı´ho slozˇky vektoru u v „pruhovane´“ ba´zi. Konkre´tneˇ, v maticove´m tvaru ma´ transformacˇnı´ vzorec (5.6) tvar     x1 x ¯1  x2  x     ¯2  (5.7)  ..  = A ·  ..  .  .   .  xn

x ¯n

Z definice matice prˇechodu je zrˇejme´, zˇe je to matice regula´rnı´. Skutecˇneˇ, jelikozˇ vektory e¯1 , . . . e¯n jsou linea´rneˇ neza´visle´, jsou sloupce matice A (tvorˇene´ slozˇkami vektoru˚ e¯1 , . . . , e¯n ) linea´rneˇ neza´visle´. A je tedy cˇtvercova´ matice maxima´lnı´ hodnosti, tj. je regula´rnı´ (jiny´ du˚kaz regularity matice prˇechodu uva´dı´me nı´zˇe). Je zrˇejme´, zˇe zada´nı´ dvou ba´zı´ vektorove´ho prostoru V umozˇnˇuje zkonstruovat matici prˇechodu od ba´ze od ba´ze {e1 , . . . , en } k ba´zi {¯ e1 , . . . , e¯n } (kterou jsme vy´sˇe oznacˇili A = (aij )) a take´ matici prˇechodu od ba´ze {¯ e1 , . . . , e¯n } k ba´zi {e1 , . . . , en }, oznacˇ´ıme ji B = (bij ). Jisteˇ tusˇ´ıme, jaky´ je vztah mezi teˇmito maticemi: Veˇta 5.7. Matice prˇechodu od ba´ze od ba´ze {e1 , . . . , en } k ba´zi {¯ e1 , . . . , e¯n } a matice prˇechodu od ba´ze {¯ e1 , . . . , e¯n } k ba´zi {e1 , . . . , en } jsou navza´jem inverznı´. Du˚kaz. Napisˇme si, jak jsou obeˇ matice definova´ny: Ma´me A = (aij ), kde cˇ´ısla aij , 1 ≤ i, j ≤ n, jsou urcˇena vztahem (5.5) a B = (bij ), kde bij , 1 ≤ i, j ≤ n, splnˇujı´ podmı´nky e1 = b11 e¯1 + b21 e¯2 + · · · + bn1 e¯n , e2 = b12 e¯1 + b22 e¯2 + · · · + bn2 e¯n , ... en = b1n e¯1 + b2n e¯2 + · · · + bnn e¯n . Platı´ tedy pro vsˇechna j ej =

n X

bkj e¯k =

k=1

n X

bkj aik ei

⇒

i,k=1

n X



aik bkj − δij ei

i,k=1

⇒

n X

aik bkj = δij .

k=1

V maticove´m tvaru tato rovnost ovsˇem znı´ AB = E, cozˇ znamena´, zˇe obeˇ matice jsou regula´rnı´ a B = A−1 . Na za´kladeˇ pra´veˇ doka´zane´ veˇty mu˚zˇeme ihned napsat te´zˇ inverznı´ transformacˇnı´ vztah, tedy vzorec, z neˇhozˇ vypocˇteme slozˇky vektoru˚ vzhledem k „pruhovane´“ ba´zi, zna´me-li jejich slozˇky v ba´zi „nepruhovane´“: podle (5.7) ma´me     x ¯1 x1 x     ¯2   x2   ..  = A−1 ·  ..  .  .   .  x ¯n

xn

Pozna´mka 5.8 (Konvence). Videˇli jsme, zˇe pro pocˇ´ıta´nı´ se slozˇkami vektoru˚ lze s vy´hodou vyuzˇ´ıt maticovy´ pocˇet. Prˇi oznacˇenı´, ktere´ v tomto textu pouzˇ´ıva´me, se slozˇky vektoru˚ vzhledem k dane´ ba´zi zapisujı´ do sloupcu˚. Budeme proto i nada´le vzˇdy, kdyzˇ to bude vhodne´, pouzˇ´ıvat pro slozˇky vektoru reprezentaci pomocı´ sloupce matice. Tato reprezentace ma´ mj. vy´hodu, zˇe na´m umozˇnı´ snadno rozlisˇit vektor a jeho slozˇky i v prˇ´ıpadeˇ, kdy uvazˇovany´m vektorovy´m prostorem je Pn . Zde vektor x je usporˇa´dana´ n-tice cˇ´ısel (x1 , . . . , xn ), prˇicˇemzˇ slozˇky c1 , . . . , cn vektoru (x1 , . . . , xn ) vzhledem k neˇjake´ ba´zi budeme zapisovat v maticove´m tvaru   c1  ..   . , cn nebo take´ (abychom sˇetrˇili mı´stem) (c1 , . . . , cn )T . Kontrolnı´ ota´zky. • V trˇ´ırozmeˇrne´m vektorove´m prostoru jsou da´ny vektory x, u, v, w. Lze rˇ´ıci, jestli jsou linea´rneˇ za´visle´ nebo neza´visle´? Procˇ?

• Uved’te prˇ´ıklad polynomu, ktery´ je (netrivia´lnı´) linea´rnı´ kombinacı´ polynomu˚ f (x) = 2x3 + 3x2 − 1,

g(x) = x2 − 5x + 3,

h(x) = x3 + x2 − x − 1.

• Zjisteˇte, zda jsou linea´rneˇ neza´visle´ vektory u = e1 + e2 + e3 ,

v = e1 + e2 + e4 ,

w = e2 + e3 + e4 ,

vı´te-li, zˇe vektory e1 , e2 , e3 , e4 jsou linea´rneˇ neza´visle´. • Jak se zmeˇnı´ slozˇky vektoru x, kdyzˇ prohodı´me i-ty´ a j-ty´ ba´zovy´ vektor (tj. mı´sto ba´ze {e1 , . . . , ei , . . . , ej . . . , en } vezmeme ba´zi {e1 , . . . , ej , . . . , ei . . . , en }? • Jake´ slozˇky ma´ vektor ei , 1 ≤ i ≤ n, vzhledem k ba´zi {e1 , . . . , en }? • V n-rozmeˇrne´m vektorove´m prostoru jsou da´ny linea´rneˇ neza´visle´ vektory x, y. Lze vybrat ba´zi tak, aby vektor x meˇl slozˇky (1, 0, . . . , 0)T a vektor y meˇl slozˇky (0, . . . , 0, 1)T ? Prˇ´ıklad 5.9. Ve cˇtyrˇrozmeˇrne´m vektorove´m prostoru V je da´na ba´ze {e1 , e2 , e3 , e4 } a vektory f1 , f2 , f3 , f4 , ktere´ majı´ vzhledem k ba´zi {e1 , e2 , e3 , e4 } tyto slozˇky:         1 1 0 0 1 −1 0  1  ,  ,  ,  . 0  0 2  2 0 0 3 −1 Ekvivalentneˇ mu˚zˇeme zadat vektory f1 , f2 , f3 , f4 jako linea´rnı´ kombinace ba´ze {e1 , e2 , e3 , e4 }, tj. ve tvaru f1 = e1 + e2 ,

f2 = e1 − e2 ,

f3 = 2e3 + 3e4 ,

f4 = e2 + 2e3 − e4 .

• Doka´zˇeme, zˇe vektory f1 , f2 , f3 , f4 jsou linea´rneˇ neza´visle´. Mu˚zˇeme postupovat ru˚zny´mi zpu˚soby: (a) Definici linea´rnı´ neza´vislosti vektoru˚ aplikujeme prˇ´ımo na vektory f1 , f2 , f3 , f4 : Necht’ c1 f1 + c2 f2 + c3 f3 + c4 f4 = o .

(5.8)

To znamena´, zˇe c1 (e1 + e2 ) + c2 (e1 − e2 ) + c3 (2e3 + 3e4 ) + c4 (e2 + 2e3 − e4 ) = o, (c1 + c2 )e1 + (c1 − c2 + c4 )e2 + (2c3 + 2c4 )e3 + (3c3 − c4 )e4 = o . Jelikozˇ vektory e1 , e2 , e3 , e4 jsou linea´rneˇ neza´visle´, jsou vsˇechny koeficienty v te´to linea´rnı´ kombinaci rovny nule, tedy c1 + c2 = 0,

c1 − c2 + c4 = 0,

2c3 + 2c4 = 0,

3c3 − c4 = 0.

Toto je syste´m 4 homogennı´ch linea´rnı´ch rovnic o 4 nezna´my´ch, jehozˇ matice je   1 1 0 0 1 −1 0 1 . A= 0 0 2 2 0 0 3 −1 Vı´me, zˇe uvedeny´ syste´m linea´rnı´ch rovnic ma´ jedine´, a to nulove´ rˇesˇenı´, pra´veˇ kdyzˇ matice A je regula´rnı´. Je ovsˇem       1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 1 −1 0    1 0   ∼ 1 1 0  ∼ 1 1 0 0 ,     0 0 2 2 0 0 2 2 0 0 2 0 0 0 3 −1 0 0 3 −1 0 0 3 1

cozˇ je evidentneˇ regula´rnı´ matice. Odtud plyne, zˇe podmı´nka (5.8) je splneˇna jedineˇ pro c1 = c2 = c3 = c4 = 0, tj. vektory f1 , f2 , f3 , f4 jsou linea´rneˇ neza´visle´. Vsˇimneˇte si, zˇe matice A je vytvorˇena tak, zˇe v jejı´m i-te´m sloupci jsou prˇ´ımo slozˇky vektoru fi , i = 1, 2, 3, 4 vzhledem ke zvolene´ ba´zi {e1 , e2 , e3 , e4 }. Prova´dı´me-li tedy s maticı´ A sloupcove´ elementa´rnı´ u´pravy, znamena´ to, zˇe prˇi kazˇde´m kroku dosta´va´me syste´m vektoru˚, ktere´ jsou linea´rnı´ kombinacı´ vektoru˚ f1 , f2 , f3 , f4 ; jejich slozˇky vzhledem k ba´zi {e1 , e2 , e3 , e4 } jsou sloupce prˇ´ıslusˇne´ ekvivalentnı´ matice. (b) Vyuzˇijeme skutecˇnosti, zˇe vektory v n-rozmeˇrne´m vektorove´m prostoru nad P jsou linea´rneˇ neza´visle´ pra´veˇ tehdy, kdyzˇ jejich slozˇky (vzhledem k libovolne´ ba´zi) jsou linea´rneˇ neza´visle´ jako sloupcove´ matice, nebo ekvivalentneˇ, jako vektory z Pn . Napı´sˇeme si tedy slozˇky zadany´ch vektoru˚ do matice a zkouma´me jejı´ hodnost. V nasˇem prˇ´ıpadeˇ dostaneme bud’ vy´sˇe uvedenou matici A nebo matici AT , ktera´ je regula´rnı´, takzˇe zadane´ vektory jsou linea´rneˇ neza´visle´. Jelikozˇ vektory f1 , f2 , f3 , f4 jsou linea´rneˇ neza´visle´ a jejich pocˇet je roven dimenzi dane´ho vektorove´ho prostoru V , tvorˇ´ı tyto vektory ba´zi V . • S vyuzˇitı´m jizˇ provedeny´ch vy´pocˇtu˚ mu˚zˇeme ihned napsat i jine´ ba´ze vektorove´ho prostoru V . Prˇi u´prava´ch matice A jsme nasˇli naprˇ. ba´zi tvorˇenou vektory {b1 , b2 , b3 , b4 }, kde b1 = f1 , b2 = e2 , b3 = f3 a b4 = e4 . ´ kol: Napisˇte si slozˇky vektoru˚ b1 , b2 , b3 , b4 vzhledem k ba´zi {e1 , e2 , e3 , e4 } a take´ jejich U slozˇky vzhledem k ba´zi {f1 , f2 , f3 , f4 }. [Na´vod: Ve druhe´m prˇ´ıpadeˇ stacˇ´ı vyuzˇ´ıt sloupcove´ elementa´rnı´ u´pravy s maticı´ A, odkud okamzˇiteˇ plyne, zˇe b2 = (f1 − f2 )/2. Podobneˇ vyja´drˇete b4 .] • Ve V nynı´ uvazˇujme ba´ze {e1 , e2 , e3 , e4 } a {f1 , f2 , f3 , f4 }. Najdeme prˇ´ıslusˇne´ matice prˇechodu. Ze zada´nı´ je mozˇne´ okamzˇiteˇ napsat matici prˇechodu od ba´ze {e1 , e2 , e3 , e4 } k ba´zi {f1 , f2 , f3 , f4 }. Dostaneme vy´sˇe uvedenou matici A. Vı´me, zˇe matice prˇechodu od ba´ze {f1 , f2 , f3 , f4 } k ba´zi {e1 , e2 , e3 , e4 } je matice A−1 . Lze ji nale´zt prˇ´ımo vy´pocˇtem inverznı´ matice k matici A. Mu˚zˇeme vsˇak postupovat i tak, zˇe najdeme vyja´drˇenı´ vektoru˚ {e1 , e2 , e3 , e4 } jako linea´rnı´ kombinace vektoru˚ {f1 , f2 , f3 , f4 }. Vztahy e1 + e2 = f1 ,

e1 − e2 = f2 ,

2e3 + 3e4 = f3 ,

e2 + 2e3 − e4 = f4

je tedy teba rˇesˇit jako syste´m nehomogennı´ch linea´rnı´ch rovnic pro nezna´me´ e1 , e2 , e3 , e4 . Vı´me, zˇe existuje jedine´ rˇesˇenı´ (matice syste´mu je cˇtvercova´ a regula´rnı´). Snadny´m vy´pocˇtem najdeme 1 1 e1 = f1 + f2 , 2 2 1 1 e2 = f1 − f2 , 2 2 3 3 1 3 e3 = − f1 + f2 + f3 + f4 , 16 16 8 8 1 1 1 1 e4 = f1 − f2 + f3 − f4 , 8 8 4 4 takzˇe matice prˇechodu od ba´ze {f1 , f2 , f3 , f4 } k ba´zi {e1 , e2 , e3 , e4 } je   8 8 −3 2 1  3 −2 8 −8  = A−1 .  0 2 4 16 0 0 0 6 −4

• Nakonec jesˇteˇ procvicˇ´ıme transformaci slozˇek vektoru. Uvazˇujme ve V ba´ze {e1 , e2 , e3 , e4 } a {f1 , f2 , f3 , f4 }. Necht’vektor x ma´ vzhledem k ba´zi {f1 , f2 , f3 , f4 } slozˇky   3  0  .  2 −1 Najdeme jeho slozˇky vzhledem k ba´zi {e1 , e2 , e3 , e4 }. (a) Mu˚zˇeme pouzˇ´ıt vzorec pro transformaci slozˇek vektoru. Ma´me           x1 3 1 1 0 0 3 3 x2   0  1 −1 0   0  2 1  =A· =  ·   =  . x3   2  0 0 2 2   2  2 x4 −1 0 0 3 −1 −1 7 (b) Mu˚zˇeme ale zvolit i prˇ´ımy´ vy´pocˇet: potrˇebujeme vyja´drˇit vektor x ve tvaru linea´rnı´ kombinace vektoru˚ {e1 , e2 , e3 , e4 }. Podle zada´nı´ je x = 3f1 + 2f3 − f4 = 3(e1 + e2 ) + 2(2e3 + 3e4 ) − (e2 + 2e3 − e4 ) = 3e1 + 2e2 + 2e3 + 7e4 , takzˇe slozˇky vektoru x vzhledem k ba´zi {e1 , e2 , e3 , e4 } jsou   3 2  . 2 7 Cvicˇenı´ 1. Opakova´nı´: Definujte vsˇechny pojmy uvedene´ v Klı´cˇovy´ch slovech. 2. Uved’te prˇ´ıklady vektorovy´ch prostoru˚. 3. Zjisteˇte, zda vektory (2, 1, 3 − 1),

(7, 4, 3, −3),

(1, 1, −6, 0),

(5, 7, 7, 8)

tvorˇ´ı ba´zi vektorove´ho prostoru R4 . 4. Ve vektorove´m prostoru R2 najdeˇte vsˇechny ba´ze, v nichzˇ ma´ vektor (1, 0) slozˇky   2 . −2 5. Ve vektorove´m prostoru rea´lny´ch matic 2 × 2 jsou da´ny vektory       2 0 1 1 −1 0 A1 = , A2 = , A3 = . −1 1 1 −1 1 1 • Zjisteˇte, zda jsou vektory A1 , A2 , A3 linea´rneˇ neza´visle´. • Napisˇte slozˇky kazˇde´ho z vektoru˚ A1 , A2 , A3 (a) v ba´zi, tvorˇene´ vektory         1 0 0 1 0 0 0 0 , , , 0 0 0 0 1 0 0 1 (b) v ba´zi, tvorˇene´ vektory   0 0 , 0 1 (c) v ba´zi, tvorˇene´ vektory   1 0 , 0 1

  0 −1 , 0 0   1 1 , 1 1



0 0 −1 0

  0 1 1 1



  1 0 , 0 0   1 0 . 1 0

6. Dokazˇte, zˇe vektory e1 = x3 + 2x2 − x − 2,

e2 = 2x3 + 3x2 − 1,

e3 = x3 + 2x2 + x + 4,

e4 = x3 + 3x2 − x

tvorˇ´ı ba´zi vektorove´ho prostoru polynomu˚ stupneˇ ≤ 3 s rea´lny´mi koeficienty. Urcˇete slozˇky vektoru˚ f = 7x3 + 14x2 − x + 2,

g = e1 + e2 + e3 + e4

(a) v ba´zi {1, x, x2 , x3 }, (b) v ba´zi {e1 , e2 , e3 , e4 }. Najdeˇte matici prˇechodu od ba´ze {e1 , e2 , e3 , e4 } k ba´zi {1, x, x2 , x3 }. 7. Zjisteˇte, pro ktera´ cˇ´ısla α se vektor b = (7, −2, α) ∈ R3 vyjadrˇuje jako linea´rnı´ kombinace vektoru˚ (2, 3, 5), (3, 7, 8), (1, −6, 1). 8. Urcˇete dimenzi vektorove´ho prostoru C2 nad polem R a nalezneˇte alesponˇ dveˇ jeho ru˚zne´ ba´ze. Urcˇete slozˇky vektoru (2 + i, 1 − i) vzhledem ke kazˇde´ z teˇchto ba´zı´. Urcˇete obeˇ matice prˇechodu mezi teˇmito ba´zemi. ˇ esˇte stejnou u´lohu pro prˇ´ıpad vektorove´ho prostoru C2 nad polem komplexnı´ch cˇ´ısel. R

6

Podprostory vektorovy´ch prostoru˚

Studijnı´ cı´le: Druhou kapitolu o vektorovy´ch prostorech veˇnujeme vektorovy´m podprostoru˚m. Vı´me jizˇ, zˇe vektory ve vektorove´m prostoru mu˚zˇeme scˇ´ıtat a na´sobit cˇ´ısly. Zvolı´me-li si ve vektorove´m prostoru V nad polem P podmnozˇinu, pak take´ samozrˇejmeˇ jejı´ prvky umı´me scˇ´ıtat a na´sobit cˇ´ısly z pole P. Neˇktere´ podmnozˇiny ovsˇem „nedeˇdı´ “ vektorovou strukturu z V - nejsou vzhledem k uvazˇovane´mu scˇ´ıta´nı´ a na´sobenı´ cˇ´ısly z pole P vektorovy´mi prostory. Podı´va´me-li se podrobneˇji, co je vlastneˇ prˇ´ıcˇinou te´to „komplikace“, zjistı´me, zˇe pro neˇktere´ prvky z dane´ mnozˇiny vy´sledek jejich scˇ´ıta´nı´ nebo na´sobenı´ neˇjaky´m skala´rem nelezˇ´ı v uvazˇovane´ mnozˇineˇ (tedy neˇjake´ vektory v mnozˇineˇ „chybı´“). Jinak rˇecˇeno, operace scˇ´ıta´nı´ vektoru˚ a na´sobenı´ vektoru˚ cˇ´ısly se na takovou podmnozˇinu z V neindukujı´ a vektorova´ struktura na nı´ nevznika´. Prˇ´ıkladem takove´ mnozˇiny je trˇeba prˇ´ımka y = 1 v R2 : pro bod (x, 1) na te´to prˇ´ımce je 2(x, 1) = (2x, 2) cozˇ je bod, ktery´ na te´to prˇ´ımce nelezˇ´ı. Naopak prˇ´ımka y = 2x obsahuje se vsˇemi svy´mi body i jejich soucˇty a na´sobky libovolny´m rea´lny´m cˇ´ıslem a snadno se prˇesveˇdcˇ´ıme, zˇe ma´ vsˇechny vlastnosti vektorove´ho prostoru - je vektorovy´m podprostorem v R2 . Za´rovenˇ docha´zı´me k pojmu linea´rnı´ho obalu mnozˇiny, jako nejmensˇ´ıho vektorove´ho podprostoru, ve ktere´m je uvazˇovana´ mnozˇina obsazˇena. Budeme take´ studovat pru˚nik a sjednocenı´ vektorovy´ch podprostoru˚ a uvidı´me, zˇe sjednocenı´m podprostoru˚ nemusı´ by´t vektorovy´ podprostor. Proto budeme definovat soucˇet vektorovy´ch podprostoru˚ jako linea´rnı´ obal jejich sjednocenı´. Odvodı´me take´ du˚lezˇity´ vztah mezi dimenzemi pru˚niku a soucˇtu vektorovy´ch podprostoru˚. Klı´cˇova´ slova: Podprostor vektorove´ho prostoru, Steinitzova veˇta, linea´rnı´ obal mnozˇiny, paramericke´ rovnice vektorove´ho podprostoru, obcne´ rovnice vektorove´ho podprostoru, pru˚nik vektorovy´ch podprostoru˚, soucˇet vektorovy´ch podprostoru˚, prˇ´ımy´ soucˇet vektorovy´ch podprostoru˚, Veˇta o dimenzı´ch soucˇtu a pru˚niku vektorovy´ch podprostoru˚, rozklad vektoru. Potrˇebny´ cˇas: 180 minut.

6.1

Vektorove´ podprostory, Steinitzova veˇta

Uvazˇujme vektorovy´ prostor V nad polem P, dim V = n. Je-li W podmnozˇina ve vektorove´m prostoru V , lze jejı´ prvky scˇ´ıtat a na´sobit cˇ´ısly z pole P. Prˇitom soucˇet dvou prvku˚ z mnozˇiny W mu˚zˇe, ale nemusı´ lezˇet v mnozˇineˇ W , a podobneˇ na´sobek vektoru z mnozˇiny W nemusı´ lezˇet ve W . Ve vektorovy´ch prostorech budou mı´t velky´ vy´znam podmnozˇiny, ktere´ jsou vzhledem ke scˇ´ıta´nı´ svy´ch prvku˚ a k na´sobenı´ svy´ch prvku˚ (vsˇemi) cˇ´ısly z pole P uzavrˇene´, tedy scˇ´ıta´nı´ a na´sobenı´ skala´rem z P, definovane´ ve V , indukujı´ scˇ´ıta´nı´ a na´sobenı´ skala´rem z pole P v mnozˇineˇ W . Uvidı´me totizˇ, zˇe takove´ podmnozˇiny prˇirozeneˇ „deˇdı´“ vektorovou strukturu z V , tj. samy jsou te´zˇ vektorovy´mi prostory nad polem P. Nejprve pojem vektorove´ho podprostoru prˇesneˇ zavedeme: Definice 6.1. Podmnozˇina W ⊂ V se nazy´va´ podprostor vektorove´ho prostoru V , jestlizˇe je sama vektorovy´m prostorem vzhledem ke scˇ´ıta´nı´ vektoru˚ a na´sobenı´ vektoru˚ cˇ´ısly z pole P, definovany´m ve V . Neprˇehle´dneˇte, zˇe tato definice prˇedevsˇ´ım pozˇaduje, aby zu´zˇenı´ operace scˇ´ıta´nı´ vektoru˚ na podmnozˇinu W bylo operacı´ na W , a aby zu´zˇenı´ zobrazenı´ P × V → V bylo zobrazenı´m P × W → W .12 Je snadne´ uka´zat, zˇe tyto podmı´nky jsou i postacˇujı´cı´: Veˇta 6.2. Nepra´zdna´ podmnozˇina W ⊂ V je podprostor vektorove´ho prostoru V pra´veˇ tehdy, kdyzˇ splnˇuje tyto dveˇ podmı´nky: • pro libovolne´ vektory u, v ∈ W platı´ u + v ∈ W , 12

obecneˇ jsou to pouze zobrazenı´ W × W → V a P × W → V

• pro libovolny´ vektor u ∈ W a libovolne´ cˇ´ıslo c ∈ P platı´ cu ∈ W . Du˚kaz. Nutnost uvedeny´ch podmı´nek je zrˇejma´. Uka´zˇeme, zˇe jejich splneˇnı´ stacˇ´ı k tomu, aby W byl vektorovy´ prostor nad P. Prvnı´ podmı´nka rˇ´ıka´, zˇe scˇ´ıta´nı´ ve V indukuje operaci scˇ´ıta´nı´ v podmnozˇineˇ W . Tato operace je komutativnı´ a asociativnı´, nebot’vznika´ jako zu´zˇenı´ komutativnı´ a asociativnı´ operace na V . Da´le dı´ky druhe´ podmı´nce nulovy´ vektor o ∈ V lezˇ´ı v podmnozˇineˇ W : pro libovolny´ vektor u ∈ W totizˇ take´ 0u = o ∈ W . Ze stejne´ho du˚vodu mnozˇina W obsahuje take´ opacˇne´ vektory ke vsˇem svy´m prvku˚m (pro u ∈ W je take´ −1u = −u ∈ W ). Tı´m je uka´za´no, zˇe W s indukovanou operacı´ scˇ´ıta´nı´ je komutativnı´ grupa. Podle druhe´ podmı´nky se take´ na´sobenı´ vektoru skala´rem ve V indukuje na podmnozˇinu W . Zby´vajı´cı´ podmı´nky z definice vektorove´ho prostoru jsou jizˇ splneˇny automaticky. Vsˇimneˇte si, zˇe k tomu, aby W ⊂ V byl vektorovy´ podprostor ve V je nutne´, aby mnozˇina W obsahovala nulovy´ vektor a opacˇne´ vektory ke vsˇem svy´m prvku˚m. (Tyto podmı´nky ale nestacˇ´ı, jak ukazuje prˇ´ıklad podmnozˇiny v R2 tvaru S 1 ∪ (0, 0) (sjednocenı´ jednotkove´ kruzˇnice se strˇedem v pocˇa´tku a pocˇa´tku)). Da´le si vsˇimneˇte, zˇe kazˇdy´ vektorovy´ prostor V dimenze n ma´ tyto podprostory: • jediny´ podprostor dimenze nula: je jı´m trivia´lnı´ podprostor W = {o}; • podprostory dimenze 1: kazˇdy´ z nich je generovany´ jediny´m nenulovy´m vektorem, tj. jsou to podmnozˇiny ve V tvaru W = {cu | c ∈ P}, kde u ∈ V je libovolny´ pevneˇ zvoleny´ vektor; • podprostory dimenze 2: jsou generova´ny (libovolnou pevneˇ zvolenou) dvojicı´ linea´rneˇ neza´visly´ch vektoru˚ z V ; ... • podprostory dimenze n − 1: jsou generova´ny syste´mem n − 1 linea´rneˇ neza´visly´ch vektoru˚ z V ; • jediny´ podprostor dimenze n: W = V (tj. je to cely´ vektorovy´ prostor V ). Prˇ´ıklad 6.3. Mnozˇina rˇesˇenı´ syste´mu homogennı´ch linea´rnı´ch rovnic je vektorovy´ podprostor. Prˇesneˇji, syste´m k linea´rneˇ neza´visly´ch homogennı´ch rovnic o n nezna´my´ch definuje (n − k)rozmeˇrny´ vektorovy´ podprostor W v n-rozmeˇrne´m vektorove´m prostoru - tı´mto podprostorem je mnozˇina rˇesˇenı´ tohoto syste´mu rovnic. Vı´me totizˇ, zˇe soucˇet libovolny´ch dvou rˇesˇenı´ a kazˇdy´ na´sobek libovolne´ho rˇesˇenı´ je opeˇt rˇesˇenı´m takove´ho syste´mu rovnic. Fundamenta´lnı´ syste´m rˇesˇenı´ je evidentneˇ ba´ze prodprostoru W . Nakonec uvedeme du˚lezˇitou praktickou veˇtu: Veˇta 6.4 (Steinitzova veˇta o vy´meˇneˇ). Necht’W je vektorovy´ podprostor n-rozmeˇrne´ho vektorove´ho prostoru V . Pak libovolnou ba´zi podprostoru W lze doplnit na ba´zi vektorove´ho prostoru V . Du˚kaz. Oznacˇme k = dim W a zvolme ba´zi {f1 , . . . fk } podprostoru W . Bud’ {e1 , . . . , en } neˇjaka´ ba´ze vektorove´ho prostoru V . Uka´zˇeme, zˇe vektory f1 , . . . fk lze doplnit na ba´zi V vhodny´mi vektory z mnozˇiny {e1 , . . . , en } (tedy, zˇe neˇktere´ z vektoru˚ ba´ze {e1 , . . . , en } lze „vymeˇnit“ za Pvektory f1 , . . . fk ). Zrˇejmeˇ syste´m vektoru˚ f1 , e1 , . . . , en je linea´rneˇ za´visly´ a platı´ f1 = ai ei , kde alesponˇ jedno z cˇ´ısel a1 , . . . , an je ru˚zne´ od nuly; necht’ je to cˇ´ıslo ai1 . Pak ale vektor ei1 je linea´rnı´ kombinacı´ vektoru˚ f1 , e1 , . . . ei1 −1 , ei1 +1 , . . . en , a ty jsou linea´rneˇ neza´visle´, tvorˇ´ı tedy ba´zi V . Uvazˇujme da ´ le syste´m f1 , f2 , e1 , . . . ei1 −1 , ei1 +1 , . . . en . P Jelikozˇ f1 , f2 jsou neza´visle´, platı´ f2 = β1 f1 + j6=i1 bj ej , kde alesponˇ jedno z cˇ´ısel bj je ru˚zne´ od nuly. Necht’bi2 6= 0. Pak ovsˇem ei2 je linea´rnı´ kombinacı´ vektoru˚ f1 , f2 a vsˇech ej , kde j 6= i1 , i2 ; tyto vektory jsou linea´rneˇ neza´visle´ a tvorˇ´ı tedy ba´zi V .Takto pokracˇujeme da´le, azˇ dostaneme ba´zi V tvorˇenou vektory f1 , . . . , fk a n − k z vektoru˚ e1 , . . . , en .

6.2

Linea´rnı´ obal

Definice 6.5. Necht’M ⊂ V je podmnozˇina ve vektorove´m prostoru V nad polem P. Linea´rnı´m obalem mnozˇiny M rozumı´me mnozˇinu vsˇech linea´rnı´ch kombinacı´ prvku˚ mnozˇiny M . Linea´rnı´ obal mnozˇiny M oznacˇujeme [[M ]]. Veˇta 6.6. Linea´rnı´ obal mnozˇiny M ⊂ V je vektorovy´ podprostor ve V . Du˚kaz. Stacˇ´ı uka´zat, zˇe soucˇet libovolny´ch dvou vektoru˚ z [[M ]] a na´sobek libovolne´ho vektoru z [[M ]] libovolny´m cˇ´ıslem z P lezˇ´ı v [[M ]]. Pro libovolne´ dva vektory u, v ∈ [[M ]] ma´me podle definice linea´rnı´ho obalu u = a1 x1 + · · · + ak xk a v = b1 y1 + · · · + bl yl , kde x1 , . . . , xk , y1 , . . . yl jsou neˇjake´ prvky mnozˇiny M a a1 , . . . ak , b1 , . . . , bl jsou neˇjaka´ cˇ´ısla z pole P. Vektor u+v je tedy take´ linea´rnı´ kombinacı´ prvku˚ mnozˇiny M , cozˇ znamena´, zˇe lezˇ´ı v [[M ]]. Podobneˇ, je-li u ∈ [[M ]], pak u = a1 x1 +· · ·+ak xk , kde x1 , . . . , xk ∈ M a a1 , . . . ak ∈ P, takzˇe cu = (ca1 )x1 + · · · + (cak )xk ∈ [[M ]]. Vsˇimneˇte si, zˇe • Konecˇneˇrozmeˇrny´ vektorovy´ prostor je linea´rnı´m obalem sve´ (libovolne´) ba´ze. • [[M ]] = V pra´veˇ kdyzˇ M je mnozˇina genera´toru˚ vektorove´ho prostoru V .

6.3

Parametricke´ a obecne´ rovnice podprostoru

Shrneme-li sve´ dosavadnı´ poznatky o vektorovy´ch podprostorech, mu˚zˇeme zodpoveˇdeˇt du˚lezˇitou praktickou ota´zku - jak zadat podprostor ve vektorove´m prostoru: • Podprostor jako linea´rnı´ obal mnozˇiny: Prˇ´ımocˇary´ zpu˚sob jak zadat vektorovy´ podprostor plyne z definice linea´rnı´ho obalu: stacˇ´ı zvolit ve vektorove´m prostoru V neˇjakou podmnozˇinu M a vzı´t jejı´ linea´rnı´ obal (vytvorˇ´ıme tak vektorovy´ podprostor W „natazˇeny´ na mnozˇinu M “); M je tedy generujı´cı´ mnozˇina vektorove´ho prostoru W . Ke zjisˇteˇnı´ dimenze podprostoru W je ovsˇem trˇeba najı´t neˇjakou jeho ba´zi (zrˇejmeˇ ji stacˇ´ı vybrat z generujı´cı´ mnozˇiny M ). • Zada´nı´ podprostoru pomocı´ ba´ze, parametricke´ rovnice podprostoru: k-rozmeˇrny´ podporostor W ve vektorove´m prostoru V je urcˇen zada´nı´m k-tice linea´rneˇ neza´visly´ch vektoru˚ u1 , . . . , uk ve V . Pak W = [[u1 , . . . , uk ]] a {u1 , . . . , uk } je jeho ba´ze, tedy W je mnozˇina vektoru˚ tvaru x = t1 u1 + · · · + tk uk ,

t1 , . . . , tk ∈ P.

(6.1)

Vztah (6.1) se cˇasto nazy´va´ parameticka´ rovice podprostoru W . Koeficienty t1 , . . . tk (slozˇky vektoru x vzhledem k ba´zi {u1 . . . uk }) pak hrajı´ roli parametru˚, ktere´ probı´hajı´ mnozˇinu P. Je-li prostor V konecˇneˇrozmeˇrny´ (dim V = n) a {e1 , . . . en } je jeho ba´ze, pak vektory x, u1 , . . . , uk lze vyja´drˇit pomocı´ jejich slozˇek vzhledem k te´to ba´zi; rovnice (6.1) pak ma´ tvar n n n X X X xi ei = t1 ( ui1 ei ) + · · · + tk ( uik ei ), (6.2) i=1

i=1

i=1

odkud vyply´va´, zˇe pro koeficienty linea´rnı´ kombinace vektoru˚ e1 , . . . en platı´ x1 x2

= u11 t1 + · · · + u1k tk = u21 t1 + · · · + u2k tk .. .

xn = un1 t1 + · · · + unk tk

(6.3)

tedy pro i = 1, 2, . . . , n je i-ta´ slozˇka vektoru x vzhledem k ba´zi {e1 , . . . en } linea´rnı´ kombinacı´ (s koeficienty t1 , . . . , tn ) i-ty´ch slozˇek vektoru˚ u1 , . . . , uk . Tyto vztahy (ktere´ prˇedstavujı´ reprezentaci parametricke´ rovnice (6.1) vzhledem k ba´zi vektorove´ho prostoru V ) rovneˇzˇ nazy´va´me parametricke´ rovnice podprostoru W . Neprˇehle´dneˇte, zˇe (je-li dim V = n), vektor x ∈ W se vyjadrˇuje vzhledem k ba´zi prostoru V jako usporˇa´dana´ n-tice, zatı´mco vzhledem k ba´zi W se tenty´zˇ vektor vyjadrˇuje jako usporˇa´dana´ k-tice (t1 , . . . , tk ). • Zada´nı´ podprostoru pomocı´ syste´mu linea´rnı´ch rovnic, obecne´ rovnice podprostoru: Vı´me jizˇ, zˇe mnozˇina rˇesˇenı´ syste´mu homogennı´ch linea´rnı´ch rovnic ma´ strukturu vektorove´ho prostoru. Tato vlastnost na´m umozˇnˇuje zada´vat podprostory vektorovy´ch prostoru˚ jako rˇesˇenı´ vhodny´ch syste´mu˚ homogennı´ch linea´rnı´ch rovnic. Uvazˇujme n-rozmeˇrny´ vektorovy´ prostor V , necht’ {e1 , . . . , en } je jeho ba´ze; oznacˇme x1 , . . . , xn slozˇky vektoru u ∈ V v te´to ba´zi a prˇipomenˇme si, zˇe je budeme zapisovat jako sloupcovou matici. Uvazˇujme syste´m (n − k)-linea´rneˇ neza´visly´ch homogennı´ch linea´rnı´ch rovnic tvaru   x1  x2    A ·  .  = 0,  ..  xn kde A je matice typu (n − k) × n o hodnosti n − k. Mnozˇina W vsˇech vektoru˚ z V , jejichzˇ slozˇky x1 , . . . , xn splnˇujı´ tento syste´m rovnic, je k-rozmeˇrny´ vektorovy´ podprostor ve V . Skutecˇneˇ, mnozˇina rˇesˇenı´ dane´ho syste´mu rovnic je tvorˇena vsˇemi linea´rnı´mi kombinacemi fundamenta´lnı´ho syste´mu rˇesˇenı´, ktery´ ma´ k prvku˚. Z konstrukce je zrˇejme´, zˇe vektory f1 , . . . fk ∈ V , jejichzˇ slozˇky vzhledem k ba´zi {e1 , . . . , en } jsou sloupcove´ matice tvorˇ´ıcı´ fundamenta´lnı´ syte´m rˇesˇenı´, lezˇ´ı v podprostoru W a jsou jeho ba´zovy´mi vektory. Obra´ceneˇ, je-li W k-rozmeˇrny´ vektorovy´ podprostor ve V , lze snadno najı´t syste´m homogennı´ch linea´rnı´ch rovnic, jejichzˇ rˇesˇenı´m je podprostor W , prˇesneˇji, rˇesˇenı´mi jsou pra´veˇ slozˇky vektoru˚ z W vzhledem k ba´zi {e1 , . . . , en }. Hledany´ syste´m rovnic ma´ fundamenta´lnı´ syste´m rˇesˇenı´ o k prvcı´ch, musı´ by´t tedy tvorˇen n−k linea´rneˇ neza´visly´mi rovnicemi pro n nezna´my´ch. Hleda´me tedy rovnice tvaru Ax = 0, kde A je matice typu (n − k) × n o hodnosti n − k a x je sloupcova´ matice o n rˇa´dcı´ch. Matici A urcˇ´ıme z podmı´nky, zˇe tomuto syste´mu rovnic vyhovujı´ slozˇky vsˇech vektoru˚ ba´ze vektorove´ho prostoru W . Nalezene´ rovnice se nazy´vajı´ obecne´ rovnice podprostoru W . Vsˇimneˇte si, zˇe obecne´ rovnice podprostoru nejsou urcˇeny jednoznacˇneˇ: skutecˇneˇ, jsou-li Ax = 0 rovnice W , pak take´ libovolne´ rovnice s nimi ekvivalentnı´ (tj. A0 x = 0, kde A0 je matice ˇra´dkoveˇ ekvivalentnı´ s A) jsou obecne´ rovnice podprostoru W (vzpomenˇte si, zˇe ekvivalentnı´ syste´my rovnic majı´ stejnou mnozˇinu rˇesˇenı´). Prˇ´ıklad 6.7. (Specia´lnı´ prˇ´ıpady podprostoru˚.) Necht’V je n-rozmeˇrny´ vektorovy´ prostor nad polem R. • Podprostor, ktery´ ma´ parametrickou rovnici x = tu,

t ∈ R,

je jednorozmeˇrny´; je to prˇ´ımka, generovana´ vektorem u. Obecne´ rovnice te´to prˇ´ımky prˇedstavujı´ syste´m n − 1 homogennı´ch linea´rnı´ch rovnic, jejichzˇ obecne´ rˇesˇenı´ je x(t) = tu. • Podprostor, ktery´ ma´ parametrickou rovnici x = su + tv,

s, t ∈ R,

kde u, v jsou linea´rneˇ neza´visle´ vektory z V , je dvourozmeˇrny´; je to rovina, generovana´ vektory u, v. Obecne´ rovnice te´to roviny prˇedstavujı´ syste´m n−2 homogennı´ch linea´rnı´ch rovnic, jejichzˇ obecne´ rˇesˇenı´ je x(s, t) = su + tv, vektory u, v tvorˇ´ı fundamenta´lnı´ syste´m rˇesˇenı´. • (n − 1)-rozmeˇrny´ vektorovy´ podprostor, ma´ parametrickou rovnici x = t1 u1 + t2 u2 + · · · + tn−1 un−1 ,

t1 , . . . , tn−1 ∈ R,

kde u1 , . . . , un−1 jsou linea´rneˇ neza´visle´ vektory. Nazy´va´ se nadrovina generovana´ vektory u1 , . . . , un−1 . Obecne´ rovnice nadroviny jsou tvorˇeny jedinou homogennı´ linea´rnı´ rovnicı´ tvaru a1 x1 + a2 x2 + . . . an xn = 0, kde koeficienty a1 , . . . , an se urcˇ´ı z podmı´nky, zˇe u1 , . . . , un−1 je fundamenta´lnı´ syste´m rˇesˇenı´.

6.4

Pru˚nik a soucˇet vektorovy´ch podprostoru˚

Uvazˇujme dva vektorove´ podprostory W1 , W2 ve vektorove´m prostoru V . Mnozˇiny W1 , W2 jsou podmnozˇiny mnozˇiny V , lze tedy uvazˇovat jejich pru˚nik a sjednocenı´. Vznika´ ota´zka, zda podmnozˇiny W1 ∩ W2 a W1 ∪ W2 jsou vektorove´ podprostory ve V . Uvazˇujme nejprve mnozˇinu W1 ∩ W2 ⊂ V . Vsˇimneˇte si, zˇe tato mnozˇina je vzˇdy nepra´zdna´ - jisteˇ obsahuje vzˇdy alesponˇ nulovy´ vektor. Snadno take´ uka´zˇeme, zˇe tato mnozˇina „deˇdı´“ vektorovou strukturu z V : Veˇta 6.8. Pru˚nik vektorovy´ch podprostoru˚ W1 , W2 ⊂ V je vektorovy´ podprostor ve V . Du˚kaz. Stacˇ´ı doka´zat uzavrˇenost mnozˇiny W1 ∩ W2 vzhledem ke scˇ´ıta´nı´ vektoru˚ a na´sobenı´ vektoru skala´rem. Uvazˇujme dva libovolne´ vektory u, v ∈ W1 ∩ W2 . Platı´ u, v ∈ W1 a W1 je vektorovy´ podprostor ve V , proto take´ u + v ∈ W1 . Jelikozˇ ovsˇem te´zˇ u, v ∈ W2 a W2 je vektorovy´ podprostor ve V , platı´ za´rovenˇ u + v ∈ W2 . Odtud u + v ∈ W1 ∩ W2 . Podobneˇ, je-li u ∈ W1 ∩ W2 , pak pro kazˇde´ c ∈ P je cu ∈ W1 ∧ cu ∈ W2 , tj, cu ∈ W1 ∩ W2 . Naproti tomu, nenı´ teˇzˇke´ na prˇ´ıkladech uka´zat, zˇe sjednocenı´ vektorovy´ch podprostoru˚ nemusı´ by´t vektorovy´ podprostor. Jeden takovy´ prˇ´ıklad uvedeme: Uvazˇujme v R2 dva jednorozmeˇrne´ podprostory, W1 generovany´ vektorem (1, 0) („osa x“) a W2 generovany´ vektorem (0, 1) („osa y“). Pak mnozˇina W1 ∪ W2 je mnozˇina vsˇech vektoru˚ (x, 0), x ∈ R a (0, y), y ∈ R. Tato mnozˇina evidentneˇ nenı´ uzavrˇena´ vzhledem ke scˇ´ıta´nı´ vektoru˚, nebot’ naprˇ. (1, 0) + (0, 1) = (1, 1) ∈ / W1 ∪ W2 . Sjednocenı´ vektorovy´ch prostoru˚ tedy z hlediska teorie vektorovy´ch prostoru˚ nenı´ zajı´mave´. Na druhe´ straneˇ ale vı´me, zˇe pomocı´ mnozˇiny lze vektorovy´ podprostor snadno generovat: stacˇ´ı vzı´t jejı´ linea´rnı´ obal. Jinak rˇecˇeno vı´me, zˇe, jsou-li W1 , W2 vektorove´ podprostory ve V , pak [[W1 ∪ W2 ]] je vektorovy´ pdprostor ve V . Mu˚zˇeme tedy zave´st na´sledujı´cı´ pojem: Definice 6.9. Klademe W1 + W2 = [[W1 ∪ W2 ]] a tento vektorovy´ podprostor nazy´va´me soucˇet vektorovy´ch podprostoru˚ W1 , W2 . Jinak lze rˇ´ıci, zˇe soucˇet vektorovy´ch podprostoru˚ je nejmensˇ´ı vektorovy´ prostor obsahujı´cı´ mnozˇinu W2 ∪ W2 . Nynı´ prostudujeme strukturu vektorove´ho prostoru W1 + W2 podrobneˇji. Veˇta 6.10. Platı´ W1 + W2 = {u ∈ V | u = w1 + w2 , w1 ∈ W1 , w2 ∈ W2 }.

Du˚kaz. Je zrˇejme´, zˇe vektory, ktere´ majı´ tvar w1 +w2 , kde w1 ∈ W1 a w2 ∈ W2 lezˇ´ı v linea´rnı´m obalu mnozˇiny W1 ∪ W2 , tedy ve W1 + W2 . Obra´ceneˇ, necht’ u ∈ W1 + W2 je libovolny´ vektor. Pak existujı´ vektory x1 , . . . , xp ∈ W1 a y1 , . . . , yq ∈ W2 a cˇ´ısla a1 , . . . , ap , b1 , . . . , bq tak, zˇe u = a1 x1 + · · · + ap xp + b1 y1 + · · · + bq yq . Polozˇme w1 = a1 x1 + · · · + ap xp , w2 = b1 y1 + · · · + bq yq . Zrˇejmeˇ w1 ∈ W1 a w2 ∈ W2 a platı´ u = w1 + w2 . Nynı´ blı´zˇe vysˇetrˇ´ıme dimenze pru˚niku a soucˇtu vektorovy´ch prostoru˚. Z definice soucˇtu vektorovy´ch prostoru˚ okamzˇiteˇ vyply´va´, zˇe je-li {e1 , . . . ek } ba´ze vektorove´ho prostoru W1 a {f1 , . . . , fl } je ba´ze W2 , pak sjednocenı´ teˇchto mnozˇin, tj. {e1 , . . . ek , f1 , . . . , fl } je mnozˇina genera´toru˚ vektorove´ho prostoru W1 + W2 . Tyto genera´tory mohou, ale nemusı´ by´t linea´rneˇ neza´visle´, je tedy jisteˇ dim(W1 + W2 ) ≤ dim W1 + dim W2 . Prˇesny´ vztah mezi dimenzemi uva´dı´ na´sledujı´cı´ veˇta: Veˇta 6.11 (Veˇta o dimenzı´ch). Necht’W1 , W2 jsou vektorove´ podprostory n-rozmeˇrne´ho vektorove´ho prostoru V . Platı´ dim(W1 + W2 ) = dim W1 + dim W2 − dim(W1 ∩ W2 ). Du˚kaz. Oznacˇme dim W1 = k, dim W2 = l, dim(W1 ∩ W2 ) = r. Necht’ {e1 , . . . , er } je ba´ze W1 ∩ W2 . Jelikozˇ W1 ∩ W2 ⊂ W1 , lze ji podle Steinitzovy veˇty doplnit na ba´zi vektorove´ho prostoru W1 , oznacˇme ji {e1 , . . . , er , f1 , . . . , fk−r }. Ze stejny´ch du˚vodu˚ lze mnozˇinu {e1 , . . . , er } doplnit na ba´zi {e1 , . . . , er , g1 , . . . , gl−r } vektorove´ho prostoru W2 . Pak ovsˇem {e1 , . . . , er , f1 , . . . , fk−r , g1 , . . . , gl−r } je mnozˇina genera´toru˚ soucˇtu W1 + W2 . Uka´zˇeme, zˇe vektory e1 , . . . , er , f1 , . . . , fk−r , g1 , . . . , gl−r jsou linea´rneˇ neza´visle´. Prˇedpokla´dejme tedy, zˇe a1 e1 + · · · + ar er + b1 f1 + · · · + bk−r fk−r + c1 g1 + · · · + cl−r gl−r = o, a napisˇme si tento vztah ve tvaru a1 e1 + · · · + ar er = −(b1 f1 + · · · + bk−r fk−r + c1 g1 + · · · + cl−r gl−r ). Podle konstrukce ba´ze {e1 , . . . , er , f1 , . . . , fk−r } prostoru W1 zˇa´dny´ z vektoru˚ f1 , . . . , fk−r nelezˇ´ı v pru˚niku W1 ∩ W2 (jinak by totizˇ tento vektor musel by´t linea´rnı´ kombinacı´ vektoru˚ e1 , . . . , er v rozporu se skutecˇnostı´, zˇe e1 , . . . , er , f1 , . . . , fk−r jsou linea´rneˇ neza´visle´). Podobneˇ ani zˇa´dny´ z vektoru˚ g1 , . . . , gl−r nelezˇ´ı ve W1 ∩ W2 . To ovsˇem znamena´, zˇe vektor na prave´ straneˇ mu˚zˇe by´t linea´rnı´ kombinacı´ vektoru˚ e1 , . . . , er jedineˇ tehdy, je-li nulovy´. Ma´me tak a1 e1 + · · · + ar er = o b1 f1 + · · · + bk−r fk−r + c1 g1 + · · · + cl−r gl−r = o . Z prvnı´ rovnosti okamzˇiteˇ plyne a1 = a2 = · · · = ar = 0. Kdyby vektory ve druhe´ rovnosti byly linea´rneˇ za´visle´, musel by neˇktery´ z nich by´t linea´rnı´ kombinacı´ ostatnı´ch. Pak by ovsˇem pro neˇjaky´ index i byl vektor fi (ktery´ lezˇ´ı ve W1 ) linea´rnı´ kombinacı´ vektoru˚ g1 , . . . gl−r (ktere´ lezˇ´ı ve W2 ), cozˇ by znamenalo, zˇe fi ∈ W1 ∩ W2 . To je ale spor s prˇedpokladem, zˇe zˇa´dny´ z vektoru˚ f1 , . . . , fk−r v pru˚niku nelezˇ´ı. Vektory f1 , . . . , fk−r , g1 , . . . , gl−r jsou tedy linea´rneˇ neza´visle´, tj. b1 = · · · = bk−r = c1 = . . . cl−r = 0. Shrneme-li vy´sledek, vidı´me, zˇe {e1 , . . . , er , f1 , . . . , fk−r , g1 , . . . , gl−r } je ba´ze soucˇtu W1 + W2 . Pak ovsˇem platı´ dim(W1 + W2 ) = r + k − r + l − r = k + l − r = dim W1 + dim W2 − dim(W1 ∩ W2 ), cozˇ jsme chteˇli doka´zat. Zajı´mava´ situace nasta´va´, kdyzˇ W1 , W2 jsou vektorove´ podprostory V , pro ktere´ platı´ W1 + W2 = V.

Pak podle Veˇty o dimenzı´ch ma´me dim V = dim W1 + dim W2 − dim(W1 ∩ W2 ). Ihned vidı´me, zˇe vy´znamny´ bude specia´lnı´ prˇ´ıpad, kdy pru˚nikem dany´ch podprostoru˚ je trivia´lnı´ podprostor. Podı´vejme se na tento prˇ´ıpad podrobneˇji: Definice 6.12. Rˇekneme, zˇe vektorovy´ prostor V je prˇ´ımy´m soucˇtem svy´ch podprostoru˚ W1 , W2 , jestlizˇe • je jejich soucˇtem (tj. platı´ W1 + W2 = V ) a • W1 ∩ W2 = {o}. Prˇ´ımy´ soucˇet podprostoru˚ W1 , W2 oznacˇujeme W1 ⊕ W2 . Je zrˇejme´, zˇe v prˇ´ıpadeˇ prˇ´ıme´ho soucˇtu je dim V = dim W1 + dim W2 . Prˇ´ımy´ soucˇet ma´ ale jesˇteˇ dalsˇ´ı fundamenta´lnı´ vlastnost: Veˇta 6.13 (Veˇta o rozkladu vektoru). Necht’ V = W1 ⊕ W2 . Pak kazˇdy´ vektor u ∈ V se jednoznacˇneˇ vyjadrˇuje ve tvaru u = v1 + v2 , kde v1 ∈ W1 a v2 ∈ W2 . Vı´me, zˇe vzˇdy, kdyzˇ V = W1 + W2 , pak kazˇdy´ vektor z V lze rozlozˇit na soucˇet dvou vektoru˚, z nichzˇ jeden lezˇ´ı ve W1 a druhy´ ve W2 . V te´to veˇteˇ je ovsˇem du˚lezˇita´ jednoznacˇnost tohoto rozkladu. Jinak rˇecˇeno, je-li V prˇ´ımy´m soucˇtem svy´ch podprostoru˚ W1 , W2 pak ke kazˇde´mu vektoru u ∈ V existuje jediny´ vektor v1 ∈ W1 a jediny´ vektor v2 ∈ W2 takovy´, zˇe u = v1 + v2 . Vektor v1 se nazy´va´ projekce vektoru u na podprostor W1 a podobneˇ vektor v2 se nazy´va´ projekce vektoru u na podprostor W2 . Vsˇimneˇte si, zˇe tuto situaci lze interpretovat take´ tak, zˇe ma´me zobrazenı´ PW1 : V → W1 , prˇirˇazujı´cı´ kazˇde´mu vektoru z V jeho projekci na podprostor W1 ; toto zobrazenı´ se nazy´va´ projektor na podprostor W1 . Za´rovenˇ vznika´ zobrazenı´ PW2 : V → W2 , prˇirˇazujı´cı´ kazˇde´mu vektoru z V jeho projekci na podprostor W2 ; nazy´va´me je projektor na podprostor W2 . Du˚kaz. Zrˇejmeˇ stacˇ´ı doka´zat jednoznacˇnost rozkladu. Necht’tedy v1 , v¯1 ∈ W1 a v2 , v¯2 ∈ W2 jsou vektory takove´, zˇe u = v1 + v2 = v¯1 + v¯2 . Pak ovsˇem v1 − v¯1 = v¯2 − v2 , kde na leve´ straneˇ je vektor z W1 a na prave´ straneˇ stojı´ vektor z W2 . To znamena´, zˇe oba vektory v1 − v¯1 i v¯2 − v2 lezˇ´ı v pru˚niku W1 ∩ W2 . Jelikozˇ ale pru˚nik obsahuje jediny´, a to nulovy´ vektor, ma´me v1 − v¯1 = v¯2 − v2 = o, tj. v¯1 = v1 , v¯2 = v2 . Prˇ´ıklad 6.14. Z definice pru˚niku vektorovy´ch prostoru˚ ihned vidı´me, zˇe je-li W1 rˇesˇenı´m syste´mu n−l neza´visly´ch linea´rnı´ch rovnic A1 x = 0 a W2 je rˇesˇenı´m syste´mu n−p neza´visly´ch linea´rnı´ch rovnic A2 x = 0, pak W1 ∩ W2 je rˇesˇenı´m obou teˇchto syste´mu˚ rovnic soucˇasneˇ, tj. je urcˇen syste´mem (ne nutneˇ linea´rneˇ neza´visly´ch) homogennı´ch linea´rnı´ch rovnic s maticı´ A typu (n − l + n − p) × n, ktera´ je tvorˇena submaticemi A1 a A2 . Tato matice ma´ hodnost ≤ 2n − l − p, cozˇ znamena´, zˇe dim(W1 ∩ W2 ) ≥ l + p − n = dim W1 + dim W2 − dim V .

Cvicˇenı´ 1. Opakova´nı´: Definujte pojmy uvedene´ v Klı´cˇovy´ch slovech. Vyslovte Steinitzovu veˇtu a Veˇtu o dimenzı´ch. 2. Urcˇete dimenzi a ba´zi vektorovy´ch podprostoru˚ W1 = [[(1, 2, 1), (1, 1, −1), (1, 3, 3)]],

W2 = [[(2, 3, −1), (1, 2, 2, ), (1, 1, −3)]],

napisˇte jejich parameticke´ a obecne´ rovnice.

3. Najdeˇte parameticke´ a obecne´ rovnice vektorove´ho podprostoru L = [[(1, 1, −1, −2), (5, 8, −2, −3), (3, 9, 3, 8)]]. 4. Urcˇete parametricke´ rovnice vektorove´ho podprostoru, ktery´ ma´ obecne´ rovnice x1 + x2 − x3 − 2x4 = 0 5x1 + 8x2 − 2x3 − 3x4 = 0 3x1 + 9x2 + 3x3 + 8x4 = 0. 5. Urcˇete dimenzi a ba´zi vektorove´ho podprostoru, ktery´ je da´n syste´mem linea´rnı´ch rovnic 5x1 + 6x2 − 2x3 + 7x4 + 4x5 = 0 2x1 + 3x2 − x3 + 4x4 + 2x5 = 0 7x1 + 9x2 − 3x3 + 5x4 + 6x5 = 0 5x1 + 9x2 − 3x3 + x4 + 6x5 = 0. 6. Ve vektorove´m prostoru R4 uvazˇujte vektory v1 = (2, 0, −1, 1),

v2 = (1, 1, 1, −1),

v3 = (−1, 0, 2, 1)

a vektorovy´ podprostor W = [[v1 , v2 , v3 ]]. • Urcˇete dimenzi podprostoru W . • Napisˇte parametricke´ rovnice podprostoru W . • Napisˇte obecne´ rovnice podprostoru W . • Zjisteˇte, zda vektor u = (1, −1, −2, 1) lezˇ´ı ve W a v kladne´m prˇ´ıpadeˇ urcˇete jeho slozˇky vzhledem k ba´zi {v1 , v2 , v3 }. 7. Najdeˇte ba´zi soucˇtu a pru˚niku vektorovy´ch podprostoru˚ W1 = [[(1, 2, 1), (1, 1, −1), (1, 3, 3)]],

W2 = [[(2, 3, −1), (1, 2, 2, ), (1, 1, −3)]].

8. Ve vektorove´m prostoru polynomu˚ s rea´lny´mi koeficienty stupneˇ ≤ 3 uvazˇujme podprostory L1 = [[f1 , f2 , f3 ]],

L2 = [[g1 , g2 , g3 ]],

kde f1 = x3 + 2x2 + x + 1, g1 = 2x3 + 3x2 − x − 2,

f2 = x3 + x2 − x − 1, g2 = x3 + 2x2 + 2x + 1,

f3 = x3 + 3x2 + 3x, g3 = x3 + x2 − 3x + 1.

• Najdeˇte ba´zi podprostoru L1 + L2 a urcˇete jeho parametricke´ rovnice. • Urcˇete obecne´ rovnice podprostoru L1 i L2 . • Urcˇete dim(L1 ∩ L2 ). • Napisˇte obecne´ rovnice podprostoru L1 ∩ L2 a najdeˇte neˇjakou jeho ba´zi. 9. Ve vektorove´m prostoru rea´lny´ch matic rˇa´du 2 uvazˇujte podprostor W generovany´ maticemi     2 0 1 1 A1 = , A2 = . −1 1 1 −1 Zjisteˇte, zda vektor  B=

 1 −1 −2 2

lezˇ´ı ve W a v kladne´m prˇ´ıpadeˇ urcˇete jeho slozˇky vzhledem k ba´zi {A1 , A2 }. 10. V nekonecˇneˇrozmeˇrne´m vektorove´m prostoru F(R) vsˇech funkcı´ R → R uved’te prˇ´ıklad vektorove´ho podprostoru dimenze n. 13 Da´le ve vektorove´m prostoru F(R) uvazˇujte podprostor L = [[sin2 x, cos2 x]]. Urcˇete dimenzi a napisˇte parametricke´ rovnice podprostoru L. Zjisteˇte, zda konstantnı´ funkce f (x) = 1 lezˇ´ı v podprostoru L; pokud ano, najdeˇte jejı´ slozˇky vzhledem k zadane´ ba´zi. 13

[Na´vod: Vzpomenˇte na vektorovy´ prostor polynomu˚.]

Reference [1]

Bican, L., Linea´rnı´ algebra. SNTL, Praha, 1979.

[2]

Bican, L., Linea´rnı´ algebra a geometrie. Academia, Praha, 2004.

[3]

Halmos, P.R., Linear Algebra Problem Book. Cambridge University Press, Cambridge, 1995.

[4]

Hort, D., Rachu˚nek, J., Algebra 1. VUP, Olomouc, 2003.

[5]

Jukl, M., Linea´rnı´ algebra. Univerzita Palacke´ho, Olomouc, 2006.

[6]

Krupka, D., Musilova´, J., Linea´rnı´ a multilinea´rnı´ algebra. SPN, Praha, 1989.

[7]

Kurosˇ, A.G., Kurz vysˇsˇ´ı algebry. Nauka, Moskva, 1968 (Rusky).

[8]

Proskurjakov, I.V., Sbı´rka u´loh z linea´rnı´ algebry. Nauka, Moskva, 1978 (Rusky).