Jednoduché rezonanční obvody Jednoduché rezonanční obvody vzniknou spojením činného odporu, cívky a kondenzátoru jedním ze způsobů uvedených na obr. 1. Činný odpor nemusí být bezpodmínečně připojen jako externí fyzická součástka, ale může se jednat o parazitní odpor reálné cívky nebo reálného kondenzátoru. Je zřejmé, že se jedná o komplexní dvojpól, avšak při jednom, tzv. rezonančním kmitočtu se v obvodu navzájem vyrovná působení indukční a kapacitní reaktance na fázový posuv mezi celkovým proudem obvodem a napětím na obvodu a celý obvod se chová pouze jako činný odpor – tento stav nazýváme rezonance.
Obr. 1. Rezonanční obvody: sériový, paralelní a paralelní se ztrátovým odporem v indukční větvi
Prvním z jednoduchých rezonančních obvodů, kterými se zde budeme zabývat je sériový rezonanční obvod Celková impedance sériového rezonančního obvodu je
Z = R + j ωL −
1 ωC
Podle definice rezonance musí být impedance na rezonančním kmitočtu čistě reálná a tak pro zjištění rezonančního kmitočtu položíme její imaginární část rovnu nule. Dostaneme tzv. Thompsonův zákon 1 =0 ω0 C 1 ω0 L = ω0 C
ω0 L −
ω02 LC = 1 1 LC 1 1 ω0 = √ ⇒ f0 = √ LC 2π LC ω02 =
V součástkách reálného rezonančního obvodu vznikají ztráty. Ztráty vyjadřujeme připojením ztrátového odporu Rso = RL + RC , pomocí nějž definujeme činitel jakosti naprázdno Q0 Q0 =
ω0 L 1 = Rso ω0 CRso 1
Kdybychom znali pro kmitočet f0 činitele jakosti kondenzátoru QC a cívky QL , mohli bychom pomocí nich Q0 rovněž získat Q0 =
QL QC QL + QC
V provozních podmínkách, kdy je obvod napájen ze zdroje s vnitřním odporem Ri , popřípadě je v sérii s cívkou a kondenzátorem připojen další odpor, tvoří všechny tyto odpory společně s Rso odpor Rs = Rso + R + Ri , pomocí nějž definujeme provozní činitel jakosti Q Q=
ω0 L 1 = Rs ω0 CRs
Obr. 2. Sériový rezonanční obvod naprázdno a v provozních podmínkách
V rezonanci, kdy Z0 = Rs , působí na obvod v rezonanci celkové napětí U , je proud obvodem I=
U U = Z0 Rs
a napětí na jednotlivých reaktancích jsou U = QU Rs 1 1 U UC = I= = QU ωC ωC Rs UL = ωLI = ωL
Z toho plyne, že v rezonanci se na obou reaktancích nakmitá Q-krát větší napětí, než je napětí na celém obvodu. S tím je třeba počítat při výběru součástek (především kondenzátoru) pro sestavení obvodu. Zakreslíme-li kmitočtovou závislost absolutní hodnoty impedance v u u |Z| = tR2 +
1 ωL − ωC
!2
2
získáme rezonanční křivku sériového rezonančního obvodu. Jak je naznačeno na obr. 3, není tato křivka symetrická a obvody není možno mezi sebou porovnávat. Ještě než popíšeme, jak poměrně vyjádřit rezonanční křivku, povšimněme si šířky pásma B. Je to kmitočtový rozdíl f2 − f1 , odpovídající určité domluvené změně impedance, vzhledem k impedanci Z0 . Velmi často se definuje pro změnu o 3 dB, √ tedy Z = Z0 2.
Obr. 3. Rezonanční křivky tří různých sériových rezonančních obvodů
Obr. 4. Rezonanční křivka sériového rezonančního obvodu s vyznačeným kmitočtovým pásmem pro pokles impedance o 3 dB od Z0
Abychom mohli mezi sebou obvody porovnávat, znázorňujeme jejich rezonanční křivky v poměrném Z f měřítku, tzn. vynášíme poměry a , obě osy jsou lineární. Z0 f0
Obr. 5. Poměrné znázornění rezonančních křivek sériových rezonančních obvodů
Často se rovněž používá vyjádření pomocí poměrného rozladění F F =
ω ω0 f f0 − = − ω0 ω f0 f
3
Nejprve vyjádříme poměrnou impedanci (Z0 = Rs ) Z 1 1 =1+j ωL − Z0 Rs ωC
imaginární část vynásobíme výrazem
ω0 a vytkneme ω0 L ω0
1 Z ω0 L ω 1 ωC = 1 + j ω0 L ω − =1+j − Z0 Rs ω0 ω0 L Rs ω0 ωω0 LC Protože
ω0 L 1 =Qa = ω02 Rs LC ω ω2 Z = 1 + jQ − 0 Z0 ω0 ωω0
!
ω ω0 = 1 + jQ − ω0 ω
= 1 + jQF
Absolutní hodnota poměrné impedance Z Z
0
q = 1 + Q2 F 2
Fázová charakteristika QF = arctg QF 1
ϕ = arctg
Obr. 6. Poměrné vyjádření rezonanční křivky sériových rezonančních obvodů pomocí poměrného rozladění F a fázová charakteristika 4
Zabývejme se nyní paralelním rezonančním obvodem. Admitance obvodu je 1 1 Y = + j ωC − R ωL
Činitel jakosti naprázdno Q0 =
Rpo QL QC = Rpo ω0 C = ω0 L Q L + QC
V provozních podmínkách je obvod připojen ke zdroji s odporem Ri a k zátěži Rz . Tyto odpory tvoří tlumící odpor Rtl = Ri kRz , který paralelně s Rpo tvoří odpor Rp , pomocí nějž definujeme provozní činitel jakosti
ω0 L = Rp ω0 C Rp
Q=
Obr. 7. Paralelní rezonanční obvod naprázdno a v provozních podmínkách
Pro snížení tlumení se často zátěž připojuje na odbočku v indukční nebo kapacitní větvi. Takto připojený odpor se chová jako odpor připojený paralelně k celému rezonančnímu obvodu o hodnotě R p2
R0 =
kde p je napěťový převod příslušné odbočky pN N
C1 C2 + C1
pL =
pC =
Obr. 8. Připojení zátěže k odbočce paralelního rezonančního obvodu 5
V rezonanci je celkový proud U Rp
I=
indukční větví prochází proud IL =
U IRp = = QI ωL ωL
a kapacitní větví IC =
U = U ωC = IRp ωC = QI 1 ωC
Jak vidíme, teče oběma větvemi Q-krát větší proud. Oba proudy mají navzájem opačné směry, cirkulují mezi cívkou a kondenzátorem a během jedné periody oscilací, vyměňují energii magnetického pole cívky za energii elektrického pole kondenzátoru. Při návrhu je třeba počítat s tím, že proudy mají Q-krát větší amplitudu, především tam, kde obvody přenášejí značné výkony (např. ve vysílačích). Analogicky se sériovým rezonančním obvodem znázorňujeme rezonanční křivku paralelního rezonančního obvodu buď jako závislost impedance na kmitočtu, častěji však jako závislost poměrné impedance na poměrném rozladění F . Poměrná admitance Y 1 = 1 + jRp ωC − Y0 ωL
protože je rezonanční admitance ω0 1 , vytkneme ω0 C a použitím vztahu = ω 2 získáme ω0 LC 1 ω Y ω ω0 ωL = 1 + jRp ω0 C − = 1 + jRp ω0 C − = 1 + jQF Y0 ω0 ω0 C ω0 ω
Člen v závorce vynásobíme výrazem
převrácená hodnota Z 1 = Z0 1 + jQF a tedy Z Z
0
= q
1 1 + Q2 F 2
a ϕ = −arctg QF
6
Obr. 9. Rezonanční křivky různých paralelních rezonančních obvodů
Obr. 10. Poměrné vyjádření rezonanční křivky pomocí poměrného rozladění F , fázová charakteristika
Použitá literatura [MF81]
Maťátko, J. – Foitová, E.: Elektronika pro 3. ročník SPŠ elektrotechnických. SNTL, Praha, 1981.
7
