Járműpark üzemeltetési rendszere vizsgálatának Markov típusú folyamatmodellje

Széchenyi István Egyetem

Közlekedési Tanszék

Járműpark üzemeltetési rendszere vizsgálatának Markov típusú folyamatmodellje

Dr. Zvikli Sándor f. tanár

Széchenyi István Egyetem, Győr Közlekedési Tanszék Közlekedéstudományi konferencia

Győr, 2011 március 24-25


Bevezetés

Markov folyamatmodell


Szemi Markov modell

Következtetések

Bonyolult, hosszú élettartartamú, magas használati értékű technikai rendszerek üzemeltetésével kapcsolatosan néhány olyan fontos kérdés fogalmazható meg, melynek megválaszolása elméleti megfontolásokat és következtetéseket igényel. Ilyen kérdés lehet például: milyen legyen az alkalmazott üzemeltetési rendszer szerkezete, adott üzemviteli szerkezetben milyen tényezőváltozóktól függ és hogyan számítható a rendelkezésre állási tényező, milyen módon lehet a fenntartási rendszer szerkezetét elvárt célfüggvények szerint megválasztani, ill. a leghatékonyabban átalakítani. Ezen felvetett kérdésekre a lehetséges válaszok megfogalmazása adott eszközpark (járműpark) és üzemviteli környezet esetében az üzemeltetési folyamat, mint sztochasztikus eseményfolyamat általános matematikai modelljének vizsgálatával történhet. Jelen előadás kísérletet tesz egy olyan általános modell és algoritmus bemutatására, amely lehetővé teszi exponenciálistól eltérő időeloszlások esetén is az üzemeltetési szerkezet kvalitatív és kvantitatív vizsgálatát. Közlekedéstudományi konferencia



Bevezetés



Szemi Markov modell

Következtetések

Üzemeltetési folyamat: a technikai eszköz (jármű) első üzembe-helyezése és selejtezése közötti időszakban a rajta végbement sztochasztikus dominanciájú állapotváltozások sorozata. A sztochasztikus folyamatot egy T x Ω halmazon definiált ξ(ω,t) ξ(ω ) [kszí omega té] kétváltozós függvénynek tekintjük, ahol T ⊆ (−∞, +∞) megszámlálhatóan végtelen paraméterhalmaz [esetünkben: T ⊆ (0, +∞) idő változó], Ω{0,1} pedig a hozzájuk rendelhető valószínűségek halmaza. ξ(ω,t)

ξ(ω,t0 T Ω

t A

ω0∈Ω

ω

ξ(ω0,t

t0∈T

Közlekedéstudományi konferencia

A sztochasztikus folyamat úgy is felfogható, hogy az a ξ(ωi,t) realizációs függvények sokasága, amelyeket rendre az ωi∈Ω index különbözteti meg.

TxΩ



Bevezetés



Szemi Markov modell

Következtetések

Peremfeltételek időterében folytonos, állapotterében diszkrét folyamat esetén: lim

∆t→ 0

P {ξ t + ∆ t (ω ) − ξ t (ω ) > 1 / ξ t (ω ) = i t ∆t

}= 0

(a képletben meghibásodás esetén it működőképes, általánosságban pedig „t” időpontbeli állapotot jelöl.)

P{ξ(ω, tn+1) = in+1/ ξ(ω, t1) = i1, ξ(ω, t2) = i2, … ξ(ω, tn) = in} = P{ξ(ω, tn+1) = in+1/ ξ(ω, tn) = in} (a képletben „t” időpontot, „i” az ehhez rendelt állapotot jelöli.)

P{ξt + ∆t (ω) - ξt(ω) < X} = P{ξv + ∆t (ω) - ξv(ω) < X} minden t, (t + ∆t), v, (v + ∆t) ∈ T, ω ∈ Ω , v ≠ t, X valós szám esetén.

Alapegyenletek:

dP(t ) = P(t ) Q dt


t→∞

0= PQ   N  1 = ∑ Pi  i =1  

P(t) – állapotvalószínűségi függvény, P – állapotvalószínűség, Q- generátor mátrix, N – a teljes eseményrendszert képező diszkrét állapotok száma.



Bevezetés


Vizsgálatunkban diszkrét üzemeltetési állapot legyen: a rendeltetésszerű használat, a karbantartás, a javítás és a felsoroltak bármelyikére történő várakozás. A folyamat eseménysűrűségeit definiáljuk a következő általános összefüggés szerint:


Szemi Markov modell

f(t) f(t)

λ4.1 ∆t

∆t →0

P{ξ t + ∆t (ω) − ξ t (ω) = 1 / ξ t (ω) = i t } ∆t

Üzemeltetési állapot-átmeneti gráf Közlekedéstudományi konferencia

f λ ( t ) = λ ⋅ e − λt

λ6.1 ∆t

λ

t f(t)

t

λ t

4. Tervszerű javítás 1 – λ4.1 ∆t

6. Szükségjavítás 1 – λ6.1 ∆t

f(t)

λ3.4 ∆t

f(t)

λ5.6 ∆t

λ

λ

t

t

3. Tervszerű javításra vár 1 – λ3.4 ∆t

5. Szükségjavításra vár 1 – λ5.6 ∆t

f(t)

λ1.3 ∆t

λ (t ) = lim

Következtetések

λ1.5 ∆t

λ

f(t)

f(t)

λ t t

1. Üzemképes állapot 1 – (λ1.3+λ1.2+λ1.5.) ∆t λ2.1 ∆t

t

2. Hibaelhárítás 1 – λ2.1 ∆t



Bevezetés − (λ1.2 + λ1.3 + λ1.5 ) Q=

λ 2.1 0 λ 4.1

Markov folyamatmodell λ1.2

λ1.3

0

− λ 2.1 0 0 0 − λ 3.4 λ 3.4 − λ 4.1 0 0

0

0 0

λ 6.1

P1 =


0 0

1 λ λ λ λ 1 + λ1.2 + λ1.3 + λ1.3 + λ1.5 2.1 3.4 4.1 5.6

λ + λ1.5 6.1

0

0 0 0

0 0 0

1 T

T

T

T

T

1 + T2.1 + T3.4 + T4.1 + T5.6 + T6.1


1.2

1.3

1.3

Következtetések

P&1(t) = − (λ1.2 +λ1.3 + λ1.5 ) P1(t) + λ2.1P2(t) + λ4.1P4(t) +λ6.1P6(t)  P&2(t) = −λ2.1P2(t) +λ1.2 P1(t)   P&3(t) = −λ3.4P3(t) +λ1.3P1(t)   P&4(t) = −λ4.1P4(t) +λ3.4 P3(t)   P&5(t) = −λ5.6P5(t) +λ1.5P1(t)   P&6(t) = −λ6.1P6(t) +λ5.6 P5(t)

− λ 5.6 λ 5.6 − λ 6 .1 0

0 0

=

λ1.5

Szemi Markov modell

1.5

1.5

0 = − (λ1.2 +λ1.3 + λ1.5 ) P1 + λ2.1P2 + λ4.1P4 + λ6.1P6   0 = − λ2.1P2 + λ1.2 P1   0 = − λ3.4P3 + λ1.3 P1  0 = − λ4.1P4 + λ3.4 P3   0 = − λ5.6P5 + λ1.5 P1   0 = − λ6.1P6 + λ5.6 P5  1 = P1 + P2 + P3 + P4 + P5 + P6 



Bevezetés



Szemi Markov modell

Következtetések

Állapot-átmeneti gráf felrajzolása Esemény időtartamok tapasztalati értékeinek előállítása, eloszlásuk típusának meghatározása f(t)

f(t) λ

Az eloszlás exponenciális

t

NEM k = 1 ciklusváltozó bevezetése

t

IGEN

λi.j eseménysűrűség meghatározása

F(t)

(k)

Ti.j esemény élettartam véletlen generálása ismert eloszlásfüggvénye alapján súlyozva

k=k+1

1

Q generátor mátrix felírása

k[vél(0,1] 0

λi.j(k) eseménysűrűség kisorsolt realizációjának meghatározása

Q(k) generátor mátrix felírása Kolmogorov egyenletrendszer felírása és megoldása


T(k)

t

k > 30

nem

igen Pi(k) határeloszlás realizációk matematikai statisztikai értékelése (szignifikancia-szint, várható érték, szóródás, konfidencia intervallum meghatározása)

Kolmogorov egyenletrendszer felírása és megoldása

Szimulációs ellaszticitás vizsgálat elvégzése

Eredmények értékelése, javaslattok megfogalmazása



Bevezetés



Szemi Markov modell

Következtetések

Vizsgálatunk keretében fogadjuk el, hogy a bemutatott működési szerkezetben H = 100 megfigyelést végezve a következő, exponenciális időeloszlásból származtatható várható értékek [óra] voltak előállíthatók: T1.2

T2.1

T1.3

T3.4

T4.1

T5.6

2880

0,5

8760

6

150

120

0,35

relatív előfordulási gyakoriság

relatív előfordulási gyakoriság

t1.5 és t6.1 időeloszlása esetében exponenciálistól eltérő eloszlástípusok érvényesültek: 0,3 0,25

fˆ ( t )

0,2 0,15 0,1 0,05 0 1

2

3

4

5

6

t(1.5) osztályköz sorszáma


7

8

0,4 0,35 0,3 0,25

fˆ ( t )

0,2 0,15 0,1 0,05 0 1

2

3

4

5

6

7

8

9

t (6.1) osztálykozök sorszáma



Bevezetés



Szemi Markov modell

Következtetések

tapasztalati eloszlásfüggvény érték

t1.5 tapasztalati eloszlásfüggvénye: 1,20 2

1,00

k

0,80 0,60

2

Fˆ ( t )

1 k

0,40 0,20

1

0,00 3500 3600 3700 3800 3900 4000 4100 4200 4300 4400 t(1.5) időtartam, óra




Bevezetés



Szemi Markov modell

Következtetések

tapasztalati eloszlásfüggvény érték

t6.1 tapasztalati eloszlásfüggvénye: 1,20 1,00

2

0,80

k

Fˆ ( t )

k

0,60

1

0,40 1

2

0,20 0,00 200

220


240

260 280 300 320 t(6.1) időtartam [óra]

340

360

380



Bevezetés



Szemi Markov modell

Következtetések

T1.5(k) várható érték realizáció generálása: k

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

vél(0,1)

0,41

0,92

0,75

0,48

0,22

0,77

0,43

0,25

0,74

0,05

T1.5(k)

3800

4175

3930

3825

3720

3950

3820

3725

3950

3600

k

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

vél(0,1)

0,86

0,97

0,98

0,17

0,96

0,09

0,36

0,18

0,36

0,21

T1.5(k)

4075

4225

4230

3675

4220

3625

3775

3675

3775

3700

k

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

vél(0,1)

0,44

0,01

0,29

0,50

0,26

0,65

0,72

0,81

0,43

0,69

T1.5(k)

3825

3525

3750

3845

3725

3875

3925

4000

3825

3900

[T1.5(k) várható értékek átlaga: 3855,5 óra]




Bevezetés



Szemi Markov modell

Következtetések

T6.1(k) várható érték realizáció generálása: k

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

vél(0,1)

0,38

0,85

0,93

0,51

0,93

0,69

0,78

0,96

0,43

0,31

T6.1(k)

273

300

330

278

330

290

295

335

275

270

k

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

vél(0,1)

0,27

0,61

0,97

0,41

0,34

0,69

0,67

0,59

0,05

0,16

T6.1(k)

265

285

340

275

270

290

285

280

230

260

k

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

vél(0,1)

0,70

0,07

0,07

0,88

0,97

0,54

0,91

0,09

0,77

0,20

T6.1(k)

290

205

235

305

335

280

320

235

295

285

[T6.1(k) várható értékek átlaga: 284,7 óra]




Bevezetés



Szemi Markov modell

Következtetések

P1(k) rendelkezésre állási mutató realizációk generálása: k

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

P1(k)

0,8917

0,8934

0,883

0,8913

0,878

0,8914

0,8876

0,8771

0,8897

0,8878

K

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

P1(k)

0,8989

0,8978

0,8875

0,8885

0.9005

0,8841

0,8887

0,8874

0,9003

0,8939

K

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

P1(k)

0,8887

0,9007

0,8987

0,8861

0,8771

0,8919

0,8849

0,9036

0,8877

0,8914

σ σ Pˆ1 − u P1 ≤ Pˆ1 ≤ Pˆ1 + u P1 K K 88,75 % ≤ P1 ≤ 89,23 % (α=0,05; u=1,96; k=30) Közlekedéstudományi konferencia



Bevezetés



Szemi Markov modell

Következtetések

P1 rendelkezésre állási mutató paraméter érzékenysége:

∂P1 / P1 εi.j = ∂λ i.j/ λ i.j Ellaszticitás

ε1.2

ε1.3

ε1.5

ε2.1

ε3.4

ε4.1

ε5.6

ε6.1

∆P1

0,000013

0,001282

0,008

-0,000014

-0,000054

-0,001352

-0,002191

-0,005

∆P1 %

0,0013%

0,1282%

0,89%

-0,0014%

-0,0054%

-0,1352%

-0,2191%

-0,56%

8

5

1

7

6

4

3

2

Rangsor

(Ti.j időtartamok rendre +10%-os változása esetén)




Bevezetés


Markov folyamatmodell f(t)

Szemi Markov modell

f λ (t ) = λ ⋅ e − λt

λ6.1 ∆t

λ

Következtetések

f(t)

t t

4. Tervszerű javítás 1 – λ4.1 ∆t

6. Szükségjavítás 1 – λ6.1 ∆t 6.m

f(t)

6.1

6.2

λ

f(t)

λ5.6 ∆t

t

3. Tervszerű javításra vár 1 – λ3.4 ∆t

λ5.6 t

5. Szükségjavításra vár 1 – λ5.6 ∆t

5.n

f(t)

5.2

5.1

λ t

λ1.5.∆t

f(t)

t

1. Üzemképes állapot 1 – (λ1.3+λ1.2+λ1.5.) ∆t

1.5s


1.52

2. Hibaelhárítás 1 – λ2.1 ∆t

1.51



Bevezetés



Szemi Markov modell

Következtetések

Előzőekben kísérletet tettünk a járművek (mint technikai rendszerek) több-állapotú üzemeltetési folyamatának sztochasztikus alapú modellel történő leírására azzal a céllal, hogy az üzemviteli szerkezet kellő mélységben és megalapozottsággal elemezhető és optimalizálható lehessen. Az üzemviteli szerkezet leírásához az ismert homogén Poisson folyamatmodell peremfeltételeit feloldva egy olyan általános algoritmust javasoltunk alkalmazni, amely valós, exponenciálistól eltérő paraméter-eloszlások esetén is alkalmas a rendelkezésre állási tényező számértékének és függőségi viszonyainak meghatározására és ezen keresztül egy rendelkezésre állás alapú járműüzemeltetési stratégia gyakorlati megalapozására.

KÖSZÖNÖM A MEGTISZTELŐ FIGYELMET!



Járműpark üzemeltetési rendszere vizsgálatának Markov típusú folyamatmodellje

Recommend Documents