Indexszámítás során megválaszolandó kérdések. Hogyan változott a termelés értéke, az értékesítés árbevétele, az értékesítési forgalom?

Index-számítás

Indexszámítás során megválaszolandó kérdések  Hogyan változott

a termelés értéke, az értékesítés árbevétele, az értékesítési forgalom ?

 Hogyan változott

a termelés, értékesítés mennyisége ?

 Hogyan változott

árszínvonal ?

a termékek ára, az

Alapfogalmak 

A termékek kisebb-nagyobb körére vonatkozó összesített értékadatokat aggregátumoknak, magát az értékben való összesítést aggregálásnak nevezzük.



Indexszám: Közvetlenül nem összesíthető adatok összetett összehasonlító viszonyszáma



Az indexszámítás keretén belül az egyes cikkekre vonatkozó viszonyszámokat egyedi indexeknek nevezik.

Indexek típusai Lehet n

 Időbeli

I q* 

 Területi

 Egyedi  Összetett

(aggregát)

 Pl.: tárgyidőszaki

q

p*i

q

p*i

i 1 n

i 1

1i

0i

és bázisidőszaki mennyiségek hányadosa

Jelölések: v: érték, árbevétel, forgalom  p: egységár  q: mennyiség 

Egyedi indexek: iv; ip; iq  Összetett indexek: Iv; Ip; Iq 

Értékindex A termékek összességét tekintve a termelési érték (árbevétel, forgalom) együttes, átlagos változását mutatja. n

Iv 

v

1i

i 1 n

v i 1

Iv

v   v

1 0

n



0i

q

1i

p1i

q

0i

p 0i

i 1 n

i 1

q p   q p 1

1

0

0

v i   v 0

0

v

v   v i

1 1

v

Árindex 

Az árindex különböző termékek, árucikkek árainak együttes, átlagos változását, röviden: az árszínvonal változását mutatja.



Az árindex arra a kérdésre válaszol, hogy egy különböző termékek meghatározott mennyiségeiből álló termékhalmaz ára – a különböző mértékű, esetleg különböző irányú árváltozások együttes eredményeképpen – hogyan változott?

Árindex Attól függően, hogy bázisidőszaki vagy tárgyidőszaki mennyiségi adatokat használunk az árindex kiszámításához, a következő formulákat kapjuk: n

n

I p0 

q i 1 n

q i 1

0i

p1i ,

0i

p0i

I 1p 

q i 1 n

1i

q i 1

1i

p1i . p0i

Bázisidőszaki súlyozású árindex (Laspeyres-féle árindex)

I

0 p

q p   q p 0

1

0

0

v i   v 0

0

p

Tárgyidőszaki súlyozású árindex (Paasche-féle árindex)

I

1 p

qp   q p 1

1

1

0

v   v i

1 1

p

Volumenindex 

Különböző termékek, árucikkek termelt, (eladott, fogyasztott) mennyiségeinek együttes átlagos változását mutatja.



A volumenindex arra ad választ: Hogyan változott volna az aggregátum, ha az egyes termékeknél az érték két tényezője közül csak a termelt mennyiség változott volna?

Volumenindex Attól függően, hogy tárgyidőszaki, vagy bázisidőszaki árakat használunk a volumenindex meghatározásához kétféle formulát különböztetünk meg: n

I

0 q



q i 1 n

1i

n

p 0i

 q 0i p 0i i 1

I q1 

q

1i

p1i

q

0i

p1i

i 1 n

i 1

Bázisidőszaki súlyozású volumenindex (Laspeyres-féle volumenindex)

I

0 q

q p v i    q p v 1

0

0

0

0

q

0

Tárgyidőszaki súlyozású volumenindex (Paasche-féle volumenindex)

I

1 q

q   q

1

p1

0

p1

v   v i

1 1

q

Aggregát-indexek tulajdonságai 

Az egyedi indexek számtani, vagy harmonikus átlaga, amely körül az egyedi indexek szóródnak.



Mindaz, amit (a számtani és a harmonikus) átlagról tudunk, az aggregát-indexekre is igaz.



Számszerű értéke nem eshet kívül a legkisebb és legnagyobb egyedi index által meghatározott intervallumon.



Az egyes cikkek egyedi indexe annál jobban közelít az aggregát-indexhez, minél nagyobb súllyal szerepel az adott cikk az összértéken belül.



Súlyként az értékadatok helyett a belőlük számított megoszlási viszonyszámokat is használhatjuk.

Indexpróbák összemérhetőségi próba;  időpróba,  tényezőpróba,  arányossági vagy átlagpróba,  láncpróba. 

Indexpróbák 

Az összemérhetőségi próba azt a követelményt támasztja az indexformulával szemben, hogy a vele kiszámított index értéke ne függjön az alapadatok mértékegységétől.



Az időpróba azt a követelményt támasztja az indexformulával szemben, hogy az időszakok felcserélésével számított indexek között reciprok viszony álljon fenn. A Laspeyres- és a Paasche-formula megbukik ezen a próbán.

Indexpróbák 

A tényezőpróba szerint az értékindexnek egyenlőnek kell lennie a tényezők indexeinek szorzatával. (Sem a Laspeyres-, sem a Paasche-formula nem elégíti ki ezt a követelményt).



Az arányossági próba elvárja a formulától, hogy abban az esetben, ha minden cikk ára (mennyisége) azonos arányban változik, akkor az árindex (volumenindex) legyen egyenlő ezzel az aránnyal.

Fisher-féle indexek 

A Laspeyres –, és a Paasche formulák átlagolásával új indexformulát alkotott, mely eleget tesz a tényezőpróba és az időpróba követelményeinek.



A gyakorlati alkalmazás előnyben részesíti a Laspeyres- és Paasche-féle formulákat.



Hazánkban pl. Laspeyres formulával számítják a fogyasztói árindexet.

Fisher-féle árindex (keresztezett formula) n

I  I I  F p

0 1 p p

p i 1 n

p i 1

n

q

1i 0

* q

0i 0

p

q

p

q

i 1 n

i 1

1i 1

0i 1

Fisher-féle volumen-index keresztezett formula n

I  I I  F q

0 1 q q

n

pq i 1 n

p q i 1

pq

0 1i

0 0i

*

i 1 n

1 1i

pq i 1

1 0i

Index-összefüggések i v = iq  i p

Iv  I p * Iq F

Iv  I * I

1 q

Iv  I * I

0 q

0 p

1 p

v1 q1 p1   v0 q0 p0 F

Aggregátumok különbsége

q p  q 1

1

0

p0  K v

q p  q p

 Kq

q p  q p

 K p.

1

1

0

1

0

1

0

0

Összefüggés: Kv = Kq + Kp.

Mintapélda Termék

Kenyér Tej

Virsli Vaj

Cukor

Mértékegység

Kg Liter

Pár Doboz

Kg

Értékesített mennyiség

Eladási ár (Ft/ egység)

2001 December

2002 Január

2001 December

2002 Január

80 95 60 20 45

86 106 55 27 57

155 130 120 240 180

175 125 140 255 185

•Számítsa ki az egyedi ár-, érték-, és volumenindexeket! •Számítsa ki az együttes árindexet a tanult formákban! •Határozza meg a termékek együttes volumenindexét bázis- és tárgyidőszaki súlyozással! •Számítsa ki az együttes értékindexet a lehetséges formákban! •Az értékesítés bevételének változását bontsa fel az ár és a volumenváltozás hatására!

Egyedi indexek Termék Kenyér Tej Virsli Vaj Cukor Összesen

ip 

p1 p0

112,90% 96,15% 116,67% 106,25% 102,78% -

iq 

q1 q0

107,50% 111,58% 91,67% 135,00% 126,67% -

iv 

v1 v0

121,37% 107,29% 106,94% 143,44% 130,19% 119,13%

Mellékszámítás Termék Kenyér Tej Virsli Vaj Cukor

Összesen

q0 * p0

q1 * p1

q0 * p1

q1 * p0

124.000 123.500 72.000 48.000

150.500 132.500 77.000 68.850

140.000 118.750 84.000 51.000

133.300 137.800 66.000 64.800

81.000

105.450

83.250

102.600

448.500

534.300

477.000 504.500

Bázisidőszaki súlyozású árindex Ip

Ip 0 

q p   q p

0

0

1

0

0

477.000   106,35% 448.500

124 1,129  123,5  0,9615  72 1,1667  48 1,0625  811,0278  106,35% 448,5 Ip

0

q p   q p  ip Ip1 

0

1

0

1

 q p ip q p

477000  106,35% 140000 118750 84000 51000 83250     1,129 0,9615 1,1667 1,0625 1,0278

0

1

1

Ip1 



 q p  534300  105,91%  q p 504500

0

Ip1 

133300  1,129  137800  0,9615  66000  1,1667  64800  1,0625  102600  1,0278  105,91% 504500

1 1

1 0

Ip 1 

q p q p  ip 1

1

1

1



534300  105,91% 150500 132500 77000 68850 105450     1,129 0,9615 1,1667 1,0625 1,0278

Tárgyidőszaki súlyozású árindex Ip

1

Ip

q p   q p

1

v   v i

1 1

p

Ip1 

1

1

0

534300   105,91% 504500

534,3   105,91% 150,5 132,5 77 68,85 105,45     1,129 0,9615 1,1667 1,0625 1,0278

 q p ip q p 0

1

1

Ip1 

1

0

133,3 1,129  137,8  0,9615  66 1,1667  64,8 1,0625  102,6 1,0278  105,91% 504,5

Volumenindexek Iq

Iq

0

1

q p   q p 1

0

0

0

q p   q p 1

1

0

1

504500   112,49% 448500

534300   112,01% 477000

Értékindex q p  Iv  q p Iv 

1

1

0

0

534300   119,13% 448500

v i v

0 v 0

124 1,2137  123,5 1,0729  72,1,0694  48 1,4344  811,3019 Iv   119,13% 448,5

v  Iv  v i

1 1

v



477000  119,13% 140000 118750 84000 51000 83250     1,2137 1,0729 1,0694 1,4344 1,3019

Különbségfelbontás Kv   q1 p1   q0 p0  534300  448500  85800

Kp   q1 p1   q1 p0  534300  504500  29800 Kq   q1 p0   q0 p0  504500  448500  56000

Indexsorok 

Kettőnél több időszakra vonatkozó indexek sorozata

Indexsorok csoportosítása 

Tartalma szerint: ◦ érték ◦ ár ◦ volumen



Az időszakok összehasonlítási rendje szerint: ◦ bázis ◦ lánc



A súlyozás módja szerint: ◦ állanó súlyozású ◦ változó súlyozású

Területi indexek 

A területi volumenindex arra ad választ, hogy bizonyos termékek összességére nézve, az összehasonlítandó területeken a termelés, értékesítés mennyisége hányszorosa, hányadrésze (hány százaléka) az összehasonlítás alapjául szolgáló terület termelésének, értékesítésének.



A területi árindex azt mutatja meg, hogy az egyik területen kialakult árszínvonal milyen arányban áll a másik egység árszínvonalával. Ha az összehasonlított egységek (eltérő valutájú) országok, akkor a területi árindex a két valuta egy egysége értékének (vásárlóerejének) arányát jelzi.

Indexek a gyakorlatban 

Fogyasztói árindex: A lakosság által vásárolt termékek és szolgáltatások átlagos árváltozását méri.



Agrárolló: A mezőgazdasági termékek értékesítési árindexének, és a mezőgazdaságban felhasznált iparcikkek beszerzési árindexének a hányadosa.



Cserearányindex: Az ország által exportált, és importált termékek árindexeinek a hányadosa.

Indexek a gyakorlatban Reálkereset-index  GDP volumen-indexe  Külkereskedelem volumenindexei 

Egy piaci árusnál a kiemelt zöldségfélék forgalmáról az alábbiakat ismerjük:

Zöldségféle Paprika Paradicsom Uborka Összesen

Eladott mennyiség q0 8200 db 1220 kg 380 kg -

Március Egységár (Ft/ mértékegység) p0 70 510 400 -

Forgalom (Ft) q0p0=v0 574000 622000 152000 1348200

Eladott mennyiség q1 9500 db 2340 kg 550 kg -

Április Egységár (Ft /mértékegység) p1 40 350 310 -

Forgalom (Ft) q1p1=v1 380000 819000 170500 1369500

Az egyes zöldségfélék árváltozása:

p1 ip  p0 40 paprika :  0,5714  57,1% 70 350 paradicsom :  0,6862  68,6% 510 310 uborka :  0,775  77,5% 400

Együttes árindex a bázisidőszak mennyiségével súlyozva: Ip

0

q p   q p 0

1

0

0

8200  40  1220  350  380  310 872800    0,6473 8200  70  1220  510  380  400 1348200

Együttes árindex a tárgyidőszak mennyiségével súlyozva: Ip

1

qp   q p

1 1

1

0



9500  40  2340  350  550  310 1369500   0,689 9500  70  2340  510  550  400 2078400

A tárgyidőszaki mennyiséggel súlyozva az árváltozás miatt a forgalom csökkent: Kp=∑q1p1-∑q1p0=1369500-20784000=-708900 Ft

paprika paradicsom uborka Együtt

Cikkenkénti forgalomcsökkenés 9500•(40-70)=9500•(-30)= 2340•(350-510)=2340•(-160)= 550•(310-400)=550•(-90)=

–285000 Ft –374400 Ft –49500 Ft –708900 Ft

A kétféle súlyozású index átlaga:

I p  0,647  0,659  0,426373  0,6529  65,3% F

Az egyes zöldségfélék eladott mennyiségének alakulása:

q1 iq  q0 9500 paprika :  1,158  115,8% 8200 2340 paradicsom :  1,918  191,8% 1220 550 uborka :  1,447  144,7% 380

Együttes árindex a bázisidőszak mennyiségével súlyozva: Iq

0

qp   q p 1

0

0

0

9500  70  2340  510  550  400 2078400    1,542  154,2% 8200  70  1220  510  380  400 1348200

Együttes volumenindex a tárgyidőszak mennyiségével súlyozva: Iq

1

qp   q p

1 1 0

1



9500  40  2340  350  550  310 1369500   1,569  156,9% 8200  40  1220  350  380  310 872800

A bázisidőszaki árakkal súlyozva a mennyiségváltozás miatt a forgalomcsökkenés: Kq=∑q1p0-∑q0p0=20784000-1348200=730200 Ft paprika paradicsom uborka Együtt

Cikkenkénti forgalomcsökkenés 70•(9500-8200)= 510•(2340-1220)= 400•(550-380)=

A Fisher-féle volumenindex: I q  1,542 1,569  1,555  155,5% F

91000 Ft 571200 Ft 68000 Ft 730200 Ft

Köszönöm a figyelmet!