III. Chyby mˇ eˇ ren´ı a zpracov´ an´ı namˇ eˇ ren´ ych v´ ysledk˚ u 1. Obecn´ eu ´ vahy Pˇri mˇeˇren´ı nˇejak´e fyzik´aln´ı veliˇciny m˚ uˇzeme z´asadnˇe rozliˇsit dva pˇr´ıpady: 1.) nˇekolikr´at po sobˇe mˇeˇr´ıme veliˇcinu, kter´a je konstantn´ı ( v pr˚ ubˇehu mˇeˇren´ı se nemˇen´ı), 2.) mˇeˇren´a veliˇcina sama o sobˇe fluktuuje. Pˇr´ıklady na pˇr´ıpad 1.) najdeme zpravidla v makrosvˇetˇe (mˇeˇren´ı d´elky tyˇce, plochy pr˚ uˇrezu, hmotnosti tˇelesa, doby kmitu fyzick´eho kyvadla (ˇcasov´eho intervalu), intenzity svˇetla), pˇr´ıklady na pˇr´ıpad 2.) zpravidla v mikrosvˇetˇe (poˇcet akt˚ u radioaktivn´ıho rozpadu, poˇcet dopadl´ ych foton˚ u svˇetla na detektor pˇri dan´e intenzitˇe svˇetla, poˇcet ˇsestek, kter´ y padne pˇri jist´em poˇctu hod˚ u kostkou, poˇcet lid´ı proˇsl´ ych dveˇrmi do obchodu za urˇcit´ y ˇcasov´ y interval). I v pˇr´ıpadˇe 1.), kdy se veliˇcina nemˇen´ı, pˇr´ıstroj pracuje st´ale stejnˇe (s jistou neurˇcitost´ı) a pozorovatel pracuje st´ale stejnˇe (s jistou nahodilost´ı odeˇc´ıt´an´ı z pˇr´ıstroje) se jednotliv´a mˇeˇren´ı od sebe ˇ ık´ame, ˇze se dopouˇst´ıme n´ahodn´ych chyb. Vedle toho se m˚ liˇs´ı. R´ uˇzeme dopustit hrub´ych chyb (omyl pˇri odeˇcten´ı nebo zaps´an´ı u ´daje, ˇspatn´a ˇci chybn´a funkce pˇr´ıstroje, nespr´avnˇe nastaven´e nˇekter´e podm´ınky pokusu) nebo systematick´ych chyb (zpoˇzdˇen´ı pˇri spouˇstˇen´ı stopek, nespr´avn´a stupnice pˇr´ıstroje, pouˇzit´ y vztah pro v´ ypoˇcet veliˇciny plat´ı jen pˇribliˇznˇe). Hrub´ych chyb se mus´ıme vyvarovat. Systematick´e chyby m˚ uˇzeme rozpoznat a opravit. U cviˇcen´eho pozorovatele je reakˇcn´ı doba pro spuˇstˇen´ı stopek st´al´a a d´a se zmˇeˇrit, kromˇe toho je stejn´a jako reakˇcn´ı doba pˇri zastaven´ı stopek, takˇze interval je zmˇeˇren pˇresnˇeji. Nespr´avnou stupnici pˇr´ıstroje m˚ uˇzeme pˇrekalibrovat pomoc´ı pˇresnˇejˇs´ıho pˇr´ıstroje a poˇr´ıdit k n´ı korekˇcn´ı tabulku nebo korekˇcn´ı kˇrivku. Chybu vzniklou pouˇzit´ım pˇribliˇzn´eho vztahu se podrobnˇejˇs´ım rozborem snaˇz´ıme odhadnout. M˚ uˇzeme tak´e prov´est mˇeˇren´ı jinou metodou (tˇreba pˇresnˇejˇs´ı a zpravidla n´aroˇcnˇejˇs´ı) a soustavnou chybu odhadnout srovn´an´ım v´ ysledk˚ u. N´ ahodn´e chyby jsou pˇrirozenou souˇc´ast´ı mˇeˇren´ı, nelze je odstranit. V pˇr´ıpadˇe 2.), kdy mˇeˇren´a veliˇcina sama fluktuuje, se snaˇz´ıme takovou veliˇcinu odhadnout (stanovit) s jistou chybou stanoven´ı. Napˇr. mˇeˇren´ım radioaktivn´ıch rozpad˚ u za ˇcasov´ y interval se snaˇz´ıme urˇcit aktivitu radioaktivn´ıho z´aˇriˇce, mˇeˇren´ım poˇctu foton˚ u zaregistrovan´ ych detektorem za ˇcasov´ y interval se snaˇz´ıme urˇcit pr˚ umˇern´ y poˇcet dopadaj´ıc´ıch foton˚ u, opakovan´ ym h´azen´ım kostkou a urˇcov´an´ım poˇctu padl´ ych ˇsestek ku poˇctu pokus˚ u se snaˇz´ıme urˇcit pravdˇepodobnost, s kterou ˇsestka na kostce pˇri vrz´ıch pad´a, stanov´ıme pr˚ umˇern´ y poˇcet lid´ı, kter´e projdou dveˇrmi do obchodu za urˇcit´ y ˇcasov´ y interval. S mˇeˇren´ım veliˇcin, kter´e samy o sobˇe fluktuuj´ı, se setk´ate v laboratorn´ıch cviˇcen´ıch k fyzice II, zde je nebudeme podrobnˇeji rozeb´ırat. Pojedn´ame vˇsak podrobnˇeji o pˇr´ıpadech, kdy mˇeˇren´a veliˇcina je konstantn´ı a chyby jsou n´ahodn´e. N´ ahodnou chybou jednoho mˇeˇren´ı budeme rozumˇet rozd´ıl ∆ai = ai − a ,
i = 1, 2, · · · , N
,
(III.1)
kde ai je hodnota veliˇciny zjiˇstˇen´a pˇri i-t´em mˇeˇren´ı, a je skuteˇcn´a hodnota veliˇciny, N je poˇcet mˇeˇren´ı. Chyba ∆ai m˚ uˇze b´ yt kladn´a nebo z´aporn´a. Relativn´ı chybou se naz´ yv´a pomˇer ∆ai /a, vyj´adˇreno v procentech 100 · ∆ai /a. Chybu ∆ai resp. relativn´ı chybu ∆ai /a nem˚ uˇzeme pˇr´ımo urˇcit, protoˇze skuteˇcnou hodnotu a nezn´ame. M˚ uˇzeme ji vˇsak obvykle dosti dobˇre z namˇeˇren´ ych hodnot odhadnout. V dalˇs´ım v´ ykladu si uk´aˇzeme, jak se tato chyba d´a zjistit pˇred mˇeˇren´ım a jak se jej´ı pravdˇepodobn´a velikost z namˇeˇren´ ych v´ ysledk˚ u stanov´ı. 2. Odhad chyby pˇ red mˇ eˇ ren´ım. 1
U pˇr´ım´eho mˇeˇren´ı veliˇciny y m˚ uˇzeme na z´akladˇe zn´am´e pˇresnosti mˇeˇr´ıc´ıch pˇr´ıstroj˚ u a mˇeˇric´ı metody odhadnout, jak´e chyby ∆y se dopust´ıme. Chyba mˇeˇric´ıch pˇr´ıstroj˚ u ∆yp se u jednoduch´ ych pˇr´ıstroj˚ u odhaduje, u sloˇzitˇejˇs´ıch b´ yv´a uvedena v dokumentaci k pˇr´ıstroji. M˚ uˇzeme napˇr. uv´est, ˇze p´asov´e mˇeˇr´ıtko m´a chybu pˇribliˇznˇe 1 mm, mikrometr 10−2 mm, kontaktn´ı mˇeˇr´ıtko 10−1 mm, mechanick´e stopky 2 · 10−1 s, elektronick´e stopky s automatick´ ym vyp´ın´an´ım 10−4 s a ˇcasto i menˇs´ı, analytick´e v´ahy 1 mg, chyba ruˇckov´ ych elektrick´ ych pˇr´ıstroj˚ u je d´ana jejich tˇr´ıdou pˇresnosti (viz kapitola II., str. 14), chyba odpor˚ u na odporov´ ych dek´ad´ach b´ yv´a uvedena na ˇst´ıtku. Chybu metody ∆ym zjist´ıme statistick´ ymi postupy d´ale popsan´ ymi v ˇcl´anku 3 t´eto kapitoly. Celkov´a chyba ∆y urˇcen´ı veliˇciny y se vypoˇcte bud’ jako souˇcet chyb ∆yp a ∆ym (chyby ∆yp a ∆ym pokl´ad´ame za kladn´e veliˇciny) ∆ y = ∆yp + ∆ym (III.2) nebo podle v´ yrazu ∆y =
q
(∆yp )2 + (∆ym )2
.
(III.3)
V prvn´ım pˇr´ıpadˇe mluv´ıme o maxim´aln´ı celkov´e chybˇe, v druh´em o stˇredn´ı celkov´e chybˇe. Rozd´ıly mezi obˇema odhady nejsou podstatn´e, protoˇze ˇcasto v´ yraznˇ u chyb, bud’ √e pˇrevaˇzuje jeden ze zdroj˚ ∆yp nebo ∆ym a i pˇri stejn´ ych hodnot´ach se hodnoty liˇs´ı o 2-n´asobek, coˇz pˇri pˇribliˇznosti odhad˚ u neb´ yv´a podstatn´e. U nepˇr´ım´eho mˇeˇren´ı hledanou veliˇcinu z´ısk´ame na z´akladˇe pˇr´ım´eho mˇeˇren´ı jin´ ych veliˇcin (napˇr. modul pruˇznosti v tahu z´ısk´ame na z´akladˇe mˇeˇren´ı d´elky a pr˚ uˇrezu dr´atu, hmotnosti z´avaˇz´ı a prodlouˇzen´ı dr´atu, hustotu sklenˇen´ ych kuliˇcek na z´akladˇe zjiˇstˇen´ı jejich hmotnosti a objemu, gravitaˇcn´ı zrychlen´ı na z´akladˇe zmˇeˇren´ı doby kyvu a vzd´alenosti bˇrit˚ u u reverzn´ıho kyvadla, odpor rezistoru na z´akladˇe mˇeˇren´ı napˇet´ı na nˇem a proudu j´ım proch´azej´ıc´ım), kdyˇz zn´ame z´avislost hledan´e veliˇciny na mˇeˇren´ ych veliˇcin´ach. Hledan´a veliˇcina y je tedy funkc´ı n mˇeˇren´ ych veliˇcin x1 , x2 · · · xn . y = f (x1 , x2 , · · · xn ) .
(III.4)
Pro odchylku ∆y 0 (m˚ uˇze b´ yt kladn´a i z´aporn´a) plat´ı v line´arn´ım pˇribl´ıˇzen´ı vztah (podrobnˇe viz teorie diferenci´alu funkce v´ıce promˇenn´ ych) ∂f (x1 , x2 , · · · xn ) ∂f (x1 , x2 , · · · xn ) . ∂f (x1 , x2 , · · · xn ) ∆y 0 = ∆x1 + ∆x2 + · · · + ∆xn ∂x1 ∂x2 ∂xn
, (III.5)
kde ∆x1 , ∆x2 , · · · ∆xn jsou chyby pˇr´ımo mˇeˇren´ ych veliˇcin (tedy vesmˇes kladn´e veliˇciny), v kter´ ych jsou zahrnuty jak chyby uˇzit´ ych mˇeˇric´ıch pˇr´ıstroj˚ u ∆xip , tak chyby metody ∆xim ; v´ ypoˇcet ∆xi se ∂f provede podle (III.2) nebo (III.3). V´ yrazy ∂x jsou parci´aln´ı derivace funkce f podle jednotliv´ ych i promˇenn´ ych xi , tedy m´ıry toho, jak ostˇre veliˇcina y na dan´e veliˇcinˇe xi z´avis´ı. Pˇri odhadu chyby ∆y v´ ysledku mˇeˇren´ı, kter´ y prov´ad´ıme pˇred mˇeˇren´ım, uvaˇzujeme ˇcasto nejnepˇr´ıznivˇejˇs´ı pˇr´ıpad, tj. ˇze vˇsechny chyby stanoven´ı pˇr´ımo mˇeˇren´ ych veliˇcin se sˇc´ıtaj´ı; ∂f ∂f ∂f ∆y = ∆x1 + ∆x2 + · · · + ∆xn ∂x2 ∂xn ∂x1
.
(III.6)
Takov´ y odhad v analogii s (III.2) oznaˇcujeme jako maxim´ aln´ı. Odhad ∆y m˚ uˇzeme t´eˇz udˇelat analogicky s (III.3) podle vzorce ∆y =
v u u t
∂f ∂x1
!2
∂f (∆x1 )2 + ∂x2
!2
∂f (∆x2 )2 + · · · + ∂xn
!2
(∆xn )2
.
(III.7)
Tento m´ırnˇejˇs´ı odhad, kter´ ym z´ısk´ame stˇredn´ı celkovou chybu , je nˇekdy zvl´aˇstˇe pˇri velk´ ych hodnot´ach ˇc´ısla n realistiˇctˇejˇs´ı, je vˇsak podstatnˇe pracnˇejˇs´ı. 2
Jako pˇr´ıklad odhadneme chybu mˇeˇren´ı t´ıhov´eho zrychlen´ı g reverzn´ım kyvadlem. Z u ´lohy ˇc. 4 (Mˇeˇren´ı t´ıhov´eho zrychlen´ı) vypl´ yv´a, ˇze g stanov´ıme ze vzorce g=
4π 2 l = g(l, T ) , T2
(III.8)
kde l je vzd´alenost bˇrit˚ u reverzn´ıho kyvadla a T je doba kmitu, splˇ nuje-li kyvadlo podm´ınku, ˇze kolem obou bˇrit˚ u k´ yv´a se stejnou dobou kmitu. Aplikac´ı vzorce (III.6) dost´av´ame pro chybu ∆g postupnˇe ∂g ∂g ∆g = ∆l + ∆T , ∂l ∂T ∆g = a pro relativn´ı chybu
4 π2 8 π2 l ∆l + ∆T T2 T3
∆g ; g
∆g ∆l ∆T = +2 · g l T V´ ysledek ukazuje, ˇze je vhodn´e mˇeˇrit ˇcas s dvojn´asobnou relativn´ı pˇresnost´ı v porovn´an´ı s mˇeˇren´ım d´elky, a ˇze zmˇeˇr´ıme-li ˇcas s 0,5% relativn´ı chybou a d´elku s 1% relativn´ı chybou, z´ısk´ame v´ ysledek s 2% relativn´ı chybou. I v praktiku je vˇsak moˇzn´e dos´ahnout podstatnˇe lepˇs´ı pˇresnosti mˇeˇren´ı, relativn´ı chybu v´ ysledku lze sn´ıˇzit na hodnotu 0,1%. D´elku l, kter´a je asi 1 m, lze mˇeˇrit i p´asov´ ym mˇeˇr´ıtkem (∆l = 10−3 m, relativn´ı pˇresnost 0,1%). Chyba v tomto pˇr´ıpadˇe je d´ana chybou pˇr´ıstroje ∆lp , chyba metody ∆lm je zanedbateln´a. Doba kmitu T b´ yv´a ˇr´adovˇe sekunda. Pro relativn´ı pˇresnost 0,05% je potom nutno chybu ∆T sn´ıˇzit na hodnotu 5 · 10−4 s. Tuto pˇresnost lze pˇri elektronick´em sn´ım´an´ı doby kmitu dos´ahnout, pˇri ruˇcn´ım mˇeˇren´ı si lze pomoci t´ım, ˇze se mˇeˇr´ı vˇetˇs´ı poˇcet kmit˚ u, ale i pak dos´ahneme nejl´epe hodnoty ∆T /T = 10−3 , tedy 0,1% a chybu v´ ysledku pak m˚ uˇzeme odhadnout na hodnotu asi 0,3%. Pˇri ruˇcn´ım mˇeˇren´ı doby kmitu je pˇrevaˇzuj´ıc´ı v ∆T chyba metody, proto je vhodn´e prov´adˇet vˇetˇs´ı poˇcet mˇeˇren´ı jedn´e doby kmitu. Pˇri elektronick´em sn´ım´an´ı je chyba metody menˇs´ı neˇz chyba pˇri nastaven´ı shodnosti doby kmitu kolem obou os, kter´a zde d´av´a hodnotu ∆T . Pˇri mˇeˇren´ı s pˇresnost´ı 0,1% se t´eˇz do v´ ysledku zaˇcnou prom´ıtat systematick´e chyby zp˚ usoben´e koneˇcn´ ym rozkmitem kyvadla a t´ım, ˇze reverzn´ı kyvadlo v praktiku k´ yv´a ve vzduchu a ne ve vakuu, jako je tomu u reverzn´ıch kyvadel urˇcen´ ych pro vˇedeck´e u ´ˇcely (geofyzik´aln´ı a geologick´a mˇeˇren´ı). S uv´aˇzen´ım tˇechto systematick´ ych chyb se jev´ı pˇresnost asi 0,2% pro stanoven´ı g v podm´ınk´ach praktik jako mezn´ı. Na uveden´em pˇr´ıpadˇe jsme si uk´azali, jak m˚ uˇzeme pˇred mˇeˇren´ım prov´est odhad chyby. M´ame-li zad´any pˇr´ıstroje a urˇceny metody mˇeˇren´ı, m˚ uˇzeme odhadnout chybu v´ ysledku. Odhad chyby n´am ˇr´ık´a, s jakou pˇresnost´ı m´ame mˇeˇrit jednotliv´e veliˇciny a na kolik m´ıst m´ame uv´adˇet hodnoty v meziv´ ypoˇctech a univerz´aln´ı konstanty: v meziv´ ypoˇctech uv´ad´ıme o jedno aˇz dvˇe m´ısta v´ıce, neˇz odpov´ıd´a relativn´ı pˇresnosti mˇeˇren´ı – pˇri mˇeˇren´ı s 1% relativn´ı pˇresnost´ı uv´ad´ıme tedy ˇctyˇri, nejv´ yˇse pˇet, m´ıst. Odhad n´am umoˇzn ˇnuje ˇreˇsit i opaˇcnou u ´lohu: stanovit, s jakou pˇresnost´ı mus´ıme mˇeˇrit veliˇciny xi , kdyˇz si zad´ame, s jakou pˇresnost´ı chceme mˇeˇrit hodnotu y. Tato u ´loha nen´ı urˇcit´a. Dan´e hodnoty ∆y m˚ uˇzeme dos´ahnout pˇri r˚ uzn´ ych hodnot´ach ∆xi na prav´e stranˇe rovnice (III.6), resp. (III.7). Jak postupujeme pˇri ˇreˇsen´ı u ´lohy? Nejmenˇs´ı hodnoty nˇekter´ ych sˇc´ıtanc˚ u jsou d´any naˇsimi mˇeˇric´ımi moˇznostmi. Vzhledem k tˇemto limituj´ıc´ım hodnot´am dopln´ıme ostatn´ı sˇc´ıtance tak, aby souˇcet dal poˇzadovanou hodnotu. Pˇri tom si vˇsak mus´ıme uvˇedomit, ˇze nem´a cenu ne´ umˇernˇe sniˇzovat hodnotu jednoho sˇc´ıtance vzhledem k druh´emu (zvyˇsovat ne´ umˇernˇe pˇresnost mˇeˇren´ı jedn´e veliˇciny v˚ uˇci pˇresnosti mˇeˇren´ı veliˇciny druh´e). Zhruba je moˇzno ˇr´ıci, ˇze jednotliv´e sˇc´ıtance v (III.6) se nemaj´ı liˇsit v´ıce neˇz 10×. Nen´ı-li hodnota ˇz´adn´eho sˇc´ıtance mˇeˇric´ımi moˇznostmi zdola omezena, vol´ıme pˇri dan´e hodnotˇe souˇctu vˇsechny sˇc´ıtance na prav´e stranˇe rovnice (III.6) resp. (III.7) stejnˇe velk´e, a tak 3
z´ısk´ame podm´ınky pro pˇresnost mˇeˇren´ı jednotliv´ ych veliˇcin xi . V probran´em pˇr´ıpadˇe mˇeˇren´ı t´ıhov´eho zrychlen´ı g z t´eto podm´ınky plyne, ˇze relativn´ı pˇresnost mˇeˇren´ı ˇcasu T mus´ı b´ yt dvojn´asobn´a neˇz relativn´ı pˇresnost mˇeˇren´ı d´elky l. Uveden´ y pˇr´ıklad je zvl´aˇstn´ım pˇr´ıpadem ˇcasto se vyskytuj´ıc´ı z´avislosti, kdy mˇeˇren´a hodnota y je funkc´ı xi typu xi1 xj2 xk3 y= l m , (III.9) x4 x5 kde i, j, k, l, m jsou pˇrirozen´a ˇc´ısla. Pak relativn´ı chyba v´ ysledku ∆y ∆x1 ∆x2 ∆x5 =k +j + ··· + m |y| |x1 | |x2 | |x5 |
·
Relativn´ı chyby mˇeˇren´ ych veliˇcin pˇrisp´ıvaj´ı k relativn´ı chybˇe v´ ysledku u ´mˇernˇe mocninˇe, v kter´e se ve v´ yrazu (III.9) vyskytuj´ı. Dalˇs´ım pro rozbor chyb mˇeˇren´ı d˚ uleˇzit´ ym pˇr´ıpadem z´avislosti y = y(xi ) je algebraick´ y souˇcet y = x1 + x2 + · · · + xn
.
(III.10)
Probereme si jej podrobnˇeji pro pˇr´ıpad dvou mˇeˇren´ ych veliˇcin x1 , x2 , pˇriˇcemˇz budeme pˇredpokl´adat, ˇze obˇe jsou kladn´e. Je-li mˇeˇren´a veliˇcina y d´ana souˇctem pˇr´ımo mˇeˇren´ ych veliˇcin y = x1 + x2
,
(III.11)
dost´av´ame podle (III.6) ∂f ∂f ∆y = ∆x1 + ∆x2 = ∆x1 + ∆x2 ∂x2 ∂x1
.
Chyby se sˇc´ıtaj´ı. Pro relativn´ı chybu dost´av´ame ∆y ∆x1 ∆x2 ∆x1 ∆x2 = + ≤ + y x1 + x2 x1 + x2 x1 x2
.
(III.12)
Relativn´ı chyba v´ ysledku mˇeˇren´ı dan´eho souˇctem hodnot pˇr´ımo mˇeˇren´ ych veliˇcin je tedy nejv´ yˇse rovna souˇctu relativn´ıch chyb pˇr´ımo mˇeˇren´ ych veliˇcin. Daleko vˇetˇs´ı opatrnosti je tˇreba, kdyˇz hodnota mˇeˇren´e veliˇciny y je d´ana rozd´ılem pˇr´ımo mˇeˇren´ ych veliˇcin x1 , x2 y = x1 − x2 . (III.13) Potom
∂f ∂f ∆y = ∆x1 + ∆x2 = ∆x1 + ∆x2 ∂x1 ∂x2
,
stejnˇe jako v pˇr´ıpadu souˇctu, ale relativn´ı chyba ∆y ∆x1 + ∆x2 ∆x1 ∆x2 = > + |y| |x1 − x2 | x1 x2
(III.14)
m˚ uˇze b´ yt i podstatnˇe vˇetˇs´ı neˇz souˇcet relativn´ıch chyb pˇr´ımo mˇeˇren´ ych veliˇcin, kdyˇz je rozd´ıl mˇeˇren´ ych veliˇcin mal´ y. Rozd´ılov´a mˇeˇren´ı jsou velmi obvykl´a. V u ´loh´ach, kter´e budete v praktiku mˇeˇrit se ˇcasto vyskytuj´ı. Budete napˇr. zjiˇst’ovat moment setrvaˇcnosti torzn´ıho kyvadla z rozd´ılu dob kmitu kyvadla bez pˇr´ıvaˇzku a s pˇr´ıvaˇzkem, hustotu kapalin pyknometrem, tepelnou kapacitu na z´akladˇe rozd´ılu teplot. Udˇel´ame proto kvantitativn´ı odhad pro chybu mˇeˇren´ı rozd´ılu T1 − T2 dob kmitu torzn´ıho kyvadla. 4
Aby byl rozd´ıl T1 − T2 urˇcen s dostateˇcnou pˇresnost´ı, nestaˇc´ı jen pˇresnˇe mˇeˇrit hodnoty T1 a T2 , ale rozd´ıl moment˚ u setrvaˇcnosti mus´ı b´ yt natolik velk´ y, aby hodnota rozd´ılu |T1 − T2 | nebyla pˇr´ıliˇs mal´a. Jsou-li napˇr. doby kmitu T1 a T2 v okol´ı 1 s a zmˇeˇr´ıme-li je s relativn´ı pˇresnost´ı 1%, dostaneme 1 ∆T1 = ∆T · T1 = 10−2 s = ∆T2 . Kdyby rozd´ıl dob kmit˚ u T1 a T2 byl 0,1 s, dostali bychom z (III.13) T1 pro relativn´ı chybu stanoven´ı rozd´ılu (T1 − T2 ) ∆T1 + ∆T2 2 · 10−2 = = = 2 · 10−1 −1 |T1 − T2 | |T1 − T2 | 10
.
Relativn´ı chyba urˇcen´ı rozd´ılu je 20%, tedy 20 × vˇetˇs´ı neˇz relativn´ı chyba mˇeˇren´ı ˇcas˚ u T1 , T2 . Nejm´enˇe s touto chybou bude urˇcen moment setrvaˇcnosti. Tuto nedostateˇcnou pˇresnost lze v uveden´em pˇr´ıkladˇe dostat na pˇrijatelnou m´ıru zpˇresnˇen´ım mˇeˇren´ı T1 , T2 na 0,1% a zvˇetˇsen´ım rozd´ılu T1 − T2 . Pˇresto ale tento pˇr´ıklad ukazuje rizika rozd´ılov´ ych mˇeˇren´ı. Odhad chyby je vˇzdy prov´adˇen pouze pro urˇcit´e okol´ı hodnot x1 , x2 , · · · xn pˇr´ımo mˇeˇren´ ych ∂f veliˇcin (parci´aln´ı derivace ∂x jsou totiˇ z obecnˇ e funkcemi x , x , · · · x ). Je tedy pˇ r i nˇ e m nutno 1 2 n i pˇrihl´ıˇzet ke konkretn´ımu uspoˇr´ad´an´ı mˇeˇren´ı, k hodnot´am x1 , x2 , · · · xn , kter´e se v tomto uspoˇr´ad´an´ı vyskytuj´ı. Odhad pro jedno uspoˇr´ad´an´ı nelze mechanicky pˇrevz´ıt pro jin´a uspoˇr´ad´an´ı. Pˇrirozenˇe se vyskytne i ot´azka, v jak´em uspoˇr´ad´an´ı – pro jak´e zvolen´e hodnoty x1 , x2 , · · · xn – bude mˇeˇren´ı nejpˇresnˇejˇs´ı. Obecn´e ˇreˇsen´ı ot´azky se m´alokdy dˇel´a u ´pln´ ym matematick´ ym rozborem jako hled´an´ı minima funkce v´ıce promˇenn´ ych, nejen pro jistou obt´ıˇznost, ale t´eˇz pro nutnost zahrnout do v´ ypoˇctu i dalˇs´ı podm´ınky, jak´ ymi jsou napˇr. r˚ uzn´a pˇresnost mˇeˇric´ıch pˇr´ıstroj˚ u v r˚ uzn´ ych oborech promˇenn´ ych x1 , x 2 , · · · xn . Pro objasnˇen´ı problematiky probereme nyn´ı jeden relativnˇe snadno ˇreˇsiteln´ y pˇr´ıklad hled´an´ı optim´aln´ıch podm´ınek mˇeˇren´ı. Najdeme, pro jak´e pomˇery odpor˚ u mˇeˇr´ı Wheatstone˚ uv most nejpˇresnˇeji. Pro v´ ypoˇcet si pˇredstav´ıme element´arn´ı uspoˇr´ad´an´ı Wheatstoneova mostu, kde odpory R1 , R2 se vydˇeluj´ı poj´ıˇzdˇen´ım jezdce po odporov´em dr´atˇe (viz obr. III.1). Mˇeˇren´ y odpor Rx stanov´ıme z rovnice Rx =
R0 R1 R2
.
(III.15)
(Viz u ´loha ˇc. 11 – Mˇeˇren´ı odpor˚ u Wheastoneov´ ym mostem.) V rovnici (III.15) jsou R1 , R2 odpory u ´sek˚ u dr´atu v pˇr´ıpadˇe, kdy se n´am podaˇr´ı posunem jezdce vynulovat proud v amp´ermetru A. Pro chybu mˇeˇren´ı ∆Rx dost´av´ame z (III.6) ∂R ∂R ∂R x x x ∆Rx = ∆R0 + ∆R1 + ∆R2 ∂R0 ∂R1 ∂R2
Obr. III.1. Wheatstone˚ uv most .
V´ ypoˇctem absolutn´ıch hodnot parci´aln´ıch derivac´ı dostaneme ∆Rx =
R1 R0 R0 R1 ∆R0 + ∆R1 + ∆R2 R2 R2 R22
.
Vzhledem k uspoˇr´ad´an´ı pokusu je vˇsak ∆R1 = −∆R2 , a tedy R1 R0 ∆Rx = ∆R0 + R2 R2
R1 1− ∆R1 R2
.
V pˇr´ıpadˇe, ˇze R1 = R2 , pˇr´ıspˇevek k chybˇe z druh´eho sˇc´ıtance odpad´a a chyba ∆Rx bude nejmenˇs´ı. Je-li R1 = R2 , mus´ı vˇsak podle (III.15) platit i R0 = Rx . Nejpˇresnˇeji lze na m˚ ustku mˇeˇrit, kdyˇz vztaˇzn´ y odpor R0 je roven odporu Rx . Optim´aln´ı podm´ınky mˇeˇren´ı na Wheatstoneovˇe mostˇe jsou 5
takov´e, ˇze vztaˇzn´ y odpor R0 m´a hodnoty bl´ızk´e k mˇeˇren´emu odporu Rx . Tutu podm´ınku dodrˇz´ıme t´ım, ˇze v pˇr´ıpadˇe ˇr´adov´eho rozd´ılu mezi Rx a R0 nahrad´ıme odpor R0 odporem R00 tak, aby byla dosaˇzena ˇr´adov´a shoda mezi odpory Rx a R00 . Zpravidla tato u ´prava Wheastoneova mostu je moˇzn´a. Z´avˇerem si jeˇstˇe vˇsimneme zvl´aˇstn´ıho pˇr´ıpadu, kdy relativn´ı chyba mˇeˇren´ı veliˇciny y je stejn´a v cel´em oboru mˇeˇren´e veliˇciny x. Tento pˇr´ıpad nast´av´a, kdyˇz z´avislost je exponenci´aln´ı; y = ek x Potom
.
dy ∆y = ∆x = k ek x ∆x dx
a
∆y = k ∆x . y Relativn´ı chyba y je u ´mˇern´a absolutn´ı chybˇe x. To je specifick´a vlastnost exponenci´aln´ı funkce, zvan´e t´eˇz z´akon pˇrirozen´eho r˚ ustu, kter´a plyne z toho, ˇze u exponenci´aln´ı funkce pˇr´ır˚ ustek funkce je u ´mˇern´ y jej´ı hodnotˇe. 3. Stanoven´ı chyby mˇ eˇ ren´ı jedn´ e fyzik´ aln´ı veliˇ ciny.
Pˇri mˇeˇren´ı ve fyzik´aln´ım praktiku jste nejˇcastˇeji postaveni pˇred u ´kol zmˇeˇrit hodnotu fyzik´aln´ı veliˇciny, jej´ıˇz hodnota je zn´am´a (napˇr. urˇcit t´ıhov´e zrychlen´ı g, urˇcit hustotu lihu), nebo stanovit z´avislost jedn´e fyzik´aln´ı veliˇciny na druh´e (napˇr. stanoven´ı z´avislosti elektrick´eho odporu nˇejak´e l´atky na teplotˇe). Na rozd´ıl od mˇeˇren´ı v bˇeˇzn´em ˇzivotˇe, kdyˇz napˇr. pro v´ ypoˇcet n´ajemn´eho urˇcujete plochu bytu, je na v´as poˇzadov´ano, abyste kromˇe stanoven´ı hodnoty fyzik´aln´ı veliˇciny nebo stanoven´ı z´avislosti jedn´e fyzik´aln´ı veliˇciny na druh´e urˇcili i m´ıru toho, jak se lze na v´ami stanovenou hodnotu spolehnout. Tuto m´ıru, kterou z proveden´ ych mˇeˇren´ı lze jen odhadnout – proto ji uv´ad´ıme vˇzdy jen na jednu platnou ˇc´ıslici 1 – oznaˇcujeme jako chybu mˇeˇren´ı. Mˇeˇren´ı je pˇripraveno tak, aby systematick´e chyby byly potlaˇceny pod m´ıru pˇresnosti mˇeˇren´ı nebo je ud´an postup, jak je sn´ıˇzit pod tuto m´ıru poˇcetn´ı korekc´ı. Vaˇse mˇeˇren´ı by mˇelo b´ yt zat´ıˇzeno jen n´ahodn´ ymi chybami. O tom, zda je to pravda, se pˇresvˇedˇc´ıte po zpracov´an´ı mˇeˇren´ı. Zn´am´ y v´ ysledek (napˇr. hodnota t´ıhov´eho zrychlen´ı g = 9, 81 m · s−2 ) by se mˇel shodovat s v´ami namˇeˇrenou hodnotou v mez´ıch pozorovac´ıch chyb , coˇz znamen´a, ˇze by rozd´ıl obou hodnot mˇel b´ yt menˇs´ı, neˇz je chyba mˇeˇren´ı. Je-li tomu tak, mˇeˇrili jste dobˇre. Nen´ı-li tomu tak, mus´ıte hledat, co bylo udˇel´ano ˇspatnˇe. Pro uk´az´an´ı, jak lze statistick´ ymi metodami zpracovat v´ ysledek mˇeˇren´ı, je nejjednoduˇsˇs´ı pˇr´ıpad, kdy mˇeˇr´ıme hodnotu nˇejak´e veliˇciny pˇr´ıstrojem, jehoˇz pˇresnost je vˇetˇs´ı, neˇz je pˇresnost pouˇzit´e metody. Budeme-li napˇr. mˇeˇrit d´elku 10 m mˇeˇr´ıtkem, kter´e m´a dˇelen´ı po 1 m, namˇeˇr´ıme vˇzdy stejnou hodnotu 10 m. Budeme-li tut´eˇz d´elku mˇeˇrit nˇekolikr´at p´asov´ ym mˇeˇr´ıtkem s dˇelen´ım po 1 mm, budou v´ ysledky mˇeˇren´ı vlivem cel´e ˇrady vnˇejˇs´ıch pˇr´ıˇcin (r˚ uznˇe napnut´e mˇeˇr´ıtko, r˚ uzn´e nastaven´ı znaˇcek k mˇeˇren´e d´elce, zmˇeny teploty) od sebe liˇsit. Dostaneme tak s´erii hodnot namˇeˇren´e d´elky a, jejichˇz statistick´ ym zpracov´an´ım metodami teorie chyb (viz napˇr. [1], [2], [3])stanov´ıme nejpravdˇepodobnˇejˇs´ı hodnotu mˇeˇren´e d´elky a chybu mˇeˇren´ı. Pˇri v´ ypoˇctech v teorii chyb se uˇz´ıv´a pˇredstavy n´ ahodn´ych chyb, tj. chyb, jejichˇz v´ ysledn´a hodnota vznikne spojen´ım velk´eho mnoˇzstv´ı nez´avisl´ ych odchylek od skuteˇcn´e hodnoty mˇeˇren´e veliˇciny, pˇriˇcemˇz element´arn´ı odchylky jsou se stejnou pravdˇepodobnost´ı kladn´e nebo z´aporn´e. Tato pˇredstava vede pˇri koneˇcn´em poˇctu stejnˇe velk´ ych odchylek k binomick´emu z´ akonu rozdˇelen´ı chyb a v limitˇe pˇri nekoneˇcn´em poˇctu nekoneˇcnˇe mal´ ych odchylek k norm´ aln´ımu neboli Gaussovu rozdˇelen´ı. Pˇri standardn´ım zpracov´an´ı v´ ysledk˚ u mˇeˇren´ı se pˇredpokl´ad´a, ˇze rozdˇelen´ı chyb mˇeˇren´ı je d´ano norm´ aln´ım rozdˇelen´ım (x−a)2 dP 1 p(x) = = √ e− 2 σ 2 · (III.16) dx σ 2π 1 V´ yjimku
tvoˇr´ı z´ akladn´ı velmi peˇ cliv´ a mˇ eˇren´ı, kdy se chyby ud´ avaj´ı na dvˇ e m´ısta; takov´ a mˇ eˇren´ı se vˇsak v praktiku neprov´ adˇ ej´ı.
6
V rovnici (III.16) je p(x) hustota pravdˇepodobnosti, tj. pravdˇepodobnost P toho, ˇze mˇeˇren´a hodnota bude v jednotkov´em okol´ı x, e je z´aklad pˇrirozen´ ych logaritm˚ u, a skuteˇcn´ a hodnota mˇeˇren´e veliˇciny ˇıˇrka rozdˇelen´ı je m´ırou toho, jak chyby ovlivˇ a σ konstanta urˇcuj´ıc´ı ˇs´ıˇrku rozdˇelen´ı. S´ nuj´ı mˇeˇren´ı; z hodnoty σ, kter´a se naz´ yv´a smˇerodatn´a odchylka, lze jednoduch´ ym n´asoben´ım r˚ uzn´ ymi konstantami urˇcit vˇsechny dalˇs´ı m´ıry pˇresnosti mˇeˇren´ı, jak´ ymi jsou napˇr. pravdˇepodobn´ a a mezn´ı chyba. Z´akon norm´aln´ıho rozdˇelen´ı z´avis´ı na dvou konstant´ach a a σ. Urˇcen´ı tˇechto dvou konstant z namˇeˇren´ ych hodnot a1 , a2 , · · · , aN je naˇs´ım u ´kolem, tedy u ´kolem stanovit nejpravdˇepodobnˇejˇs´ı hodnotu mˇeˇren´e veliˇciny a odhadnout, jak´a je chyba tohoto stanoven´ı.
Obr.III.2. Norm´aln´ı rozdˇelen´ı Na obr. III.2 jsou zakresleny kˇrivky norm´aln´ıho rozdˇelen´ı pro r˚ uzn´a σ. Namˇeˇren´e hodnoty pˇribliˇznˇe urˇcuj´ı podobu hledan´e kˇrivky norm´aln´ıho rozdˇelen´ı, a to t´ım l´epe ˇc´ım v´ıce jich je. Z teorie chyb plyne, ˇze nejpravdˇepodobnˇejˇs´ı hodnota mˇeˇren´e veliˇciny a je aritmetick´y pr˚ umˇer souboru namˇeˇren´ ych hodnot, tedy veliˇcina a1 + a2 + · · · + ai + · · · + aN a= · (III.17) N Nejpravdˇepodobnˇejˇs´ı hodnotu smˇerodatn´e odchylky σ z namˇeˇren´ ych hodnot ai a z pr´avˇe zjiˇstˇen´e hodnoty a pak urˇc´ıme podle vzorce v u u s=t
N 1 X (ai − a)2 N − 1 i=1
·
(III.18)
Veliˇcina s je z´ısk´ana z koneˇcn´eho poˇctu namˇeˇren´ ych hodnot, a tedy se jen bl´ıˇz´ı skuteˇcn´e hodnotˇe smˇerodatn´e odchylky σ, podobnˇe jako aritmetick´ y pr˚ umˇer a se jen bl´ıˇz´ı skuteˇcn´e hodnotˇe a. Znalost rozdˇelen´ı, kter´emu podl´eh´a mˇeˇren´a veliˇcina, n´am umoˇzn ˇuje pravdˇepodobnostnˇe interpretovat v´ yznam smˇerodatn´e odchylky. Zn´ame-li totiˇz hustotu pravdˇepodobnosti p(x) (viz rovnice (III.16)), m˚ uˇzeme urˇcit pravdˇepodobnost P (x1 , x2 ) toho, ˇze mˇeˇren´a veliˇcina leˇz´ı v intervalu (x1 , x2 ) podle vzorce Zx2 Zx2 (x−a)2 1 √ e− 2 σ2 dx · (III.19) P (x1 , x2 ) = p(x)dx = σ 2π x1 x1 Zvol´ıme-li za interval p´as ˇsirok´ y 2σ symetricky rozloˇzen´ y kolem skuteˇcn´e hodnoty a , tedy interval (a − σ, a + σ), zjist´ıme, ˇze P (a − σ, a + σ) = 0, 683. S pravdˇepodobnost´ı 68,3% padne namˇeˇren´a hodnota veliˇciny ai do tohoto p´asu. Opaˇcnˇe, hled´ame-li p´as, pro kter´ y je stejn´a pravdˇepodobnost, ˇze namˇeˇren´a hodnota do tohoto p´asu padne, jako ˇze do nˇeho nepadne, tj. p´as, pro kter´ y P = 0, 5, vych´az´ı . poloˇs´ıˇrka p´asu 0, 675 σ, tedy interval (a − 0, 675σ, a + 0, 675σ). Hodnota 0, 675σ = (2/3)σ je dalˇs´ı ˇcasto uˇz´ıvanou m´ırou pˇresnosti mˇeˇren´ı, kter´a se oznaˇcuje jako pravdˇepodobn´ a chyba . Hled´ame-li p´as, 7
do kter´eho mˇeˇren´a veliˇcina t´emˇeˇr jistˇe padne, zjist´ıme, ˇze vyhovuje p´as o poloˇs´ıˇrce 3σ. Do intervalu (a − 3σ, a + 3σ) padne namˇeˇren´a veliˇcina s pravdˇepodobnost´ı 0,997. Hodnota 3σ se naz´ yv´a mezn´ı chyba . Na obr. III.3 jsou na grafu norm´aln´ıho rozdˇelen´ı vyznaˇceny p´asy odpov´ıdaj´ıc´ı jednotliv´ ym interval˚ um (a − kσ, a + kσ) pro k = 0, 675; 2; 3 spolu s pˇr´ısluˇsn´ ymi hodnotami pravdˇepodobnosti P . Tyto intervaly se naz´ yvaj´ı intervaly spolehlivosti.
Obr.III.3. Norm´aln´ı rozdˇelen´ı s vyznaˇcen´ ymi intervaly spolehlivosti V´ yznam smˇerodatn´e odchylky je vysvˇetlen a zaveden´ı pravdˇepodobn´e a mezn´ı chyby je provedeno ´ pro skuteˇcnou hodnotu a a smˇerodatnou odchylku σ. Uvahy vˇsak z˚ ust´avaj´ı v dobr´em pˇribl´ıˇzen´ı v platnosti, i kdyˇz nahrad´ıme a a σ z rozboru pokusu z´ıskan´ ymi hodnotami a a s. Jelikoˇz vˇsechny zm´ınˇen´e veliˇciny slouˇz´ı k odhadu chyby, je pˇribl´ıˇzen´ı naprosto dostateˇcn´e jiˇz pˇri relativnˇe mal´em poˇctu mˇeˇren´ı N . Lepˇs´ı neˇz ˇr´adov´ y odhad chyby (i ten ˇcasto pro hrubou orientaci staˇc´ı) lze prov´est pˇri N = 3 a pro rozumn´ y odhad na jednu platnou ˇc´ıslici zpravidla staˇc´ı N ≥ 5, i kdyˇz pro mal´ y poˇcet mˇeˇren´ı neplat´ı norm´aln´ı rozdˇelen´ı (viz Studentovo rozdˇelen´ı napˇr. ve skriptech [3]). Nyn´ı m´ame jiˇz vˇse pˇripraveno pro statistick´e zpracov´an´ı v´ ysledk˚ u mˇeˇren´ı jedn´e fyzik´aln´ı veliˇciny, kdyˇz pˇredpokl´ad´ame, ˇze mˇeˇren´ı je zat´ıˇzeno pouze n´ ahodn´ymi chybami a nepˇresnosti zanesen´e do mˇeˇren´ı mˇeˇric´ımi pˇr´ıstroji (mˇeˇridly) lze zanedbat. V´ ysledkem mˇeˇren´ı je soubor hodnot ai . Z tohoto souboru vypoˇcteme dle (III.17) aritmetick´ y pr˚ umˇer, tedy hodnotu a. V´ ysledek zaokrouhl´ıme tak, aby obsahoval o jednu ˇc´ıslici v´ıce neˇz hodnoty ai . Vypoˇcteme rozd´ıly (ai − a) a hodnoty dosad´ıme do vzorce pro v´ ypoˇcet smˇerodatn´e odchylky . Protoˇze n´am jde o urˇcen´ı pˇresnosti, s jakou jsme stanovili y pokl´ad´ame za v´ ysledek naˇseho mˇeˇren´ı, neuˇz´ıv´ame vzorec hodnotu aritmetick´eho pr˚ umˇeru a, kter´ (III.18), ale uˇzijeme vzorec v u u s=t
N X 1 (ai − a)2 N (N − 1) i=1
(III.20)
pro stanoven´ı smˇerodatn´e odchylky aritmetick´eho pr˚ umˇeru. (Rovnic´ı (III.18) zaveden´a hodnota s se pˇresnˇeji oznaˇcuje jako smˇerodatn´a odchylka jednoho mˇeˇren´ı). V´ ysledek mˇeˇren´ı pak m˚ uˇzeme zapsat v nˇekter´em z tvar˚ u (III.21) a = a ± sa , a=a±
2 sa = a ± ϑ , 3
a = a ± 3 sa
.
(III.22) (III.23)
V rovnici (III.21) je za m´ıru pˇresnosti mˇeˇren´ı uˇzita smˇerodatn´ a odchylka, kter´a se podle zp˚ usobu sv´eho odvozen´ı z mˇeˇren´ ych hodnot oznaˇcuje t´eˇz stˇredn´ı kvadratick´ a chyba aritmetick´eho pr˚ umˇeru. 8
V rovnici (III.22) je za m´ıru pˇresnosti uˇzita pravdˇepodobn´ a chyba ϑ a v rovnici (III.23) mezn´ı chyba 3 sa . D´ale budeme uˇz´ıvat jako m´ıru pˇresnosti stanoven´ı v´ ysledku mˇeˇren´ı zat´ıˇzen´eho pouze n´ahodn´ ymi ysledek tedy budeme zachybami stˇredn´ı kvadratickou chybu aritmetick´eho pr˚ umˇeru (III.10) sa . V´ pisovat ve tvaru (III.21). Jiˇz na z´akladˇe odhadu chyby pˇred mˇeˇren´ım m˚ uˇzeme zhruba urˇcit, na kolik m´ıst budeme ud´avat ˇc´ısla, s kter´ ymi prov´ad´ıme v´ ypoˇcty pˇri zpracov´an´ı v´ ysledk˚ u mˇeˇren´ı. Zde je vhodn´e o jedno aˇz dvˇe m´ısta zv´ yˇsit poˇcet ˇc´ıslic nad odhadnutou hodnotu. Jakmile vypoˇcteme stˇredn´ı kvadratickou chybu aritmetick´eho pr˚ umˇeru sa , definitivnˇe urˇc´ıme, na kolik m´ıst zap´ıˇseme v´ ysledek. Z´apis v´ ysledku konˇc´ıme t´ım m´ıstem, kter´ ym zaˇc´ın´a vypoˇcten´a chyba. Vypoˇctenou chybu ud´av´ame pouze na jedno m´ısto (srov. pozn´amku pod ˇcarou na str.35). Pˇr´ıklad pr´avˇe vyloˇzen´eho postupu zpracov´an´ı v´ ysledk˚ u je naznaˇcen v tabulce 1. a = 0, 994 m a = 0, 994 m 10 X
10 X
(ai − a)2 = 381 · 10−4 m2
i=1
i=1
s
sa =
(ai − a)+ = 0, 226 m
381 · 10−4 = 0, 021 m 10 · 9 ai 1,11 0,99 0,91 1,03 1,00 1,00 0.96 1,05 1,00 0,89
sa = ai − a +0, 016 −0, 004 −0, 084 +0, 036 +0, 006 +0, 006 −0, 034 +0, 056 +0, 006 −0, 104
0, 226 = 0, 0188 m 12
(ai − a)2 135 · 10−4 0, 2 · 10−4 71 · 10−4 13 · 10−4 0, 4 · 10−4 0, 4 · 10−4 12 · 10−4 31 · 10−4 0, 4 · 10−4 118 · 10−4
Tabulka 1: Namˇeˇren´e hodnoty d´elky a [m].
Tam jsme vypoˇcetli, ˇze aritmetick´y pr˚ umˇer namˇeˇren´ ych v´ ysledk˚ u je a = 0, 994 m a jeho stˇredn´ı kvadratick´ a chyba sa = 0, 021 m. V´ ysledek v tabulce zpracovan´eho mˇeˇren´ı tedy zap´ıˇseme v tvaru a = (0, 99 ± 0, 02) m nebo a = (99 ± 2) · 10−2 m . Pˇri ruˇcn´ım zpracov´an´ı v´ ysledk˚ u mˇeˇren´ı je velmi vhodn´ y, a pˇri uv´aˇzen´ı jiˇz nˇekolikr´at zm´ınˇen´e pˇribliˇznosti v´ ypoˇctu chyby dostateˇcnˇe pˇresn´ y, pˇribliˇzn´ y vzorec pro v´ ypoˇcet stˇredn´ı kvadratick´e chyby aritmetick´eho pr˚ umˇeru P + 5 N i=1 (ai − a) √ (III.24) sa = 2 N N −1 uveden´ y v knize [2] na str. 80. V tomto vzorci se sˇc´ıt´a pouze pˇres kladn´e line´arn´ı odchylky (ai − a)+ od aritmetick´eho pr˚ umˇeru a souˇcet se nakonec n´asob´ı jednoduch´ ym ˇc´ıseln´ ym faktorem, kter´ y napˇr. pˇri N = 5 ˇcin´ı 1/12. Postup dle vzorce (III.24) byl tak´e pouˇzit pˇri zpracov´an´ı mˇeˇren´ı z tabulky 1. Pˇri tomto zpracov´an´ı dostaneme pro sa hodnotu 0,0188 m, kter´a po zaokrouhlen´ı d´a stejn´ y v´ ysledek sa = 0, 02 m jako pˇri v´ ypoˇctu podle vzorce (III.20). 9
Doposud jsme v ˇcl. 3 pˇredpokl´adali, ˇze nezn´amou veliˇcinu mˇeˇr´ıme jedn´ım pˇr´ıstrojem, kter´ y ji pˇr´ımo zmˇeˇr´ı. Pˇr´ıkladem bylo mˇeˇren´ı d´elky p´asov´ ym mˇeˇr´ıtkem. Takov´e mˇeˇren´ı oznaˇcujeme jako mˇeˇren´ı pˇr´ım´e. D´ale jsme pˇredpokl´adali, ˇze mˇeˇren´ı je zat´ıˇzeno pouze n´ahodn´ ymi chybami a ˇze nepˇresnost zanesenou do mˇeˇren´ı mˇeˇric´ım pˇr´ıstrojem – mˇeˇridlem – lze zanedbat. Z´ıskali jsme tak chybu mˇeˇren´ı, kterou d´ale budeme oznaˇcovat jako n´ahodnou chybu mˇeˇren´ı. M´ame-li urˇcit celkovou chybu pˇr´ım´eho mˇeˇren´ı, mus´ıme k pr´avˇe stanoven´e n´ahodn´e chybˇe pˇridat vliv chyby mˇeˇridla. Uˇcin´ıme tak obdobnˇe jako v pˇr´ıpadˇe stanoven´ı chyby pˇred mˇeˇren´ım (rovnice (III.2) a (III.3)). Ke stˇredn´ı kvadratick´e chybˇe aritmetick´eho pr˚ umˇeru sa bud’ pˇr´ımo pˇriˇcteme chybu mˇeˇridla ∆yp a pro celkovou chybu mˇeˇren´e veliˇciny tak dostaneme analogicky k (III.2) ua = sa + ∆yp
(III.25)
maxim´ aln´ı celkovou chybu nebo pro v´ ypoˇcet celkov´e chyby uˇzijeme vzorec analogick´ y (III.3) ua =
q
(sa )2 + (∆yp )2
(III.26)
a dostaneme stˇredn´ı celkovou chybu. Vzorec (III.26) je vhodn´e uˇz´ıt pˇri srovnateln´ ych hodnot´ach veliˇcin sa a ∆yp , jinak postaˇc´ı jednoduˇsˇs´ı vzorec (III.25). V pˇr´ıkladˇe z tabulky 1 pˇriˇcten´ı vlivu chyby p´asov´eho mˇeˇr´ıtka ∆yp = 0, 001 m je zanedbateln´e a nahodilost tam mˇeˇren´ ych d´elek plyne z jin´ ych pˇr´ıˇcin, neˇz je nepˇresnost mˇeˇridla. Kdyby vˇsak n´ahodn´a chyba mˇeˇren´ı d´elky byla 0,002 m, pak by chyba p´asov´eho mˇeˇr´ıtka byla srovnateln´a s chybou mˇeˇridla a pˇri uˇzit´ı vzorce (III.25) by celkov´a chyba dala 0,003 m a pˇri uˇzit´ı vzorce (III.26) bychom dostali realistiˇctˇejˇs´ı hodnotu 0,002 m. Shrneme postup pˇri zpracov´an´ı pˇr´ım´eho mˇeˇren´ı veliˇciny a. Postup I. 1. Mˇeˇren´ım z´ısk´ame soubor hodnot a1 , a2 , · · · , aM . 2. Vylouˇc´ıme ojedinˇel´e hodnoty, kter´e se od ostatn´ıch v´ yraznˇe liˇs´ı a o nichˇz lze pˇredpokl´adat, ˇze jsou zat´ıˇzeny hrub´ ymi chybami. 3. Ze zbyl´ ych N hodnot a1 , a2 , · · · , aN vypoˇcteme aritmetick´y pr˚ umˇer (III.17) a=
a1 + a2 + · · · + ai + · · · + aN N
a stˇredn´ı kvadratickou chybu aritmetick´eho pr˚ umˇeru ((III.20) resp. (III.24)) v u u sa = t
N X 1 (ai − a)2 N (N − 1) i=1
·
4. Nen´ı-li chyba mˇeˇridla ∆yp zanedbateln´a v˚ uˇci sa , vypoˇcteme celkovou chybu mˇeˇren´ı dle (III.25) ua = sa + ∆yp
,
pˇr´ıpadnˇe pˇri bl´ızk´ ych hodnot´ach obou chyb dle (III.26), ua =
q
(sa )2 + (∆yp )2
5. V´ ysledek mˇeˇren´ı veliˇciny a zap´ıˇseme ve tvaru a = a ± ua 10
,
.
pˇri ˇcemˇz chybu ud´ame na jedno platn´e m´ısto a ˇr´ad chyby n´am ud´a posledn´ı platn´e m´ısto, kter´e pro a vypisujeme, tedy napˇr. a = (0, 996 ± 0, 003) m nebo t´eˇz a = (996 ± 3) · 10−3 m . K proveden´ı pr´avˇe popsan´eho postupu lze uˇz´ıt elektronick´ y kalkul´ator, kter´ y m´a zabudovan´ y statistick´ y m´od. V tomto m´odu vloˇz´ıme do kalkul´atoru hodnoty a1 , a2 , · · · , aN , tj. namˇeˇren´e hodnoty po vylouˇcen´ı hodnot zat´ıˇzen´ ych hrub´ ymi chybami. Programy kalkul´atoru pak pouh´ ym stisknut´ım pˇr´ısluˇsn´ ych tlaˇc´ıtek n´am udaj´ı aritmetick´y pr˚ umˇer vloˇzen´ ych hodnot a stˇredn´ı kvadratickou chybu jednoho mˇeˇren´ı (III.18). Je moˇzn´e zjistit i dalˇs´ı statistick´e charakteristiky souboru a1 , a2 , · · · , aN . Mezi standardnˇe dostupn´ ymi charakteristikami souboru neb´ yv´a stˇredn´ı kvadratick´ a chyba aritmetick´eho pr˚ umˇeru (III.20); tu je nutno z´ıskat z (III.18), kter´ e na kalkul´ a torech b´ y v´ a oznaˇcov´ano jako √ standard deviation σn−1 , n´asoben´ım faktorem 1/ N . Pˇristoup´ıme ke stanoven´ı chyby nepˇr´ım´ych mˇeˇren´ı. Jako nepˇr´ım´a oznaˇcujeme takov´a mˇeˇren´ı, kdy mˇeˇren´a veliˇcina a z´avis´ı na v´ıce mˇeˇren´ ych veliˇcin´ach xi . Pˇr´ıkladem m˚ uˇze b´ yt stanoven´ı modulu pruˇznosti v tahu (Youngova modulu) E z prodlouˇzen´ı ∆l pˇri dan´em zat´ıˇzen´ı F (viz u ´l. ˇc. 2). Z Hookova z´akona plyne pro E vyj´adˇren´ı Fl , (III.27) S ∆l kde F je s´ıla p˚ usob´ıc´ı na dr´at, l je p˚ uvodn´ı d´elka dr´atu, S plocha pr˚ uˇrezu dr´atu. Tyto veliˇciny spolu s prodlouˇzen´ım dr´atu ∆l jsou pˇr´ımo mˇeˇren´ ymi veliˇcinami a E je z´avisl´a, nepˇr´ımo mˇeˇren´a veliˇcina. Obecnˇe pˇri nepˇr´ım´ych mˇeˇren´ıch je mˇeˇren´a veliˇcina a funkc´ı pˇr´ımo mˇeˇren´ych veliˇcin xi ; E=
a = f (x1 , x2 , · · · , xn )
(III.28)
a jej´ı celkov´a chyba ua souvis´ı s celkovou chybou pˇr´ım´ ych mˇeˇren´ı uxi vztahem analogick´ ym rovnici (III.7) v ! !2 !2 u u ∂f 2 ∂f ∂f t ua = (ux1 )2 + (ux2 )2 + · · · + (uxn )2 . (III.29) ∂x1 ∂x2 ∂xn Celkov´e chyby pˇr´ımo mˇeˇren´ ych veliˇcin uxi stanov´ıme z n´ahodn´ ych chyb mˇeˇren´ı tˇechto veliˇcin a z chyb k pˇr´ım´ ym mˇeˇren´ım pouˇzit´ ych pˇr´ıstroj˚ u (viz rovnice (III.25) resp. (III.26) a bod 4. Postupu I). M´ıry z´avislosti ∂f /∂xi mˇeˇren´e veliˇciny na jednotliv´ ych pˇr´ımo mˇeˇren´ ych veliˇcin´ach lze spoˇc´ıtat, protoˇze funkce (III.28) pˇri nepˇr´ım´ ych mˇeˇren´ıch je ud´ana. Do obecn´eho v´ ysledku lze pak dosadit hodnoty zmˇeˇren´ ych veliˇcin xi . Rovnice (III.7) a pˇr´ıbuzn´a rovnice (III.6) byly pro r˚ uzn´e typy funkc´ı f bl´ıˇze rozebr´any v ˇcl´anku 2. Z´avˇery tam uˇcinˇen´e pro odhad chyby pˇred mˇeˇren´ım lze vˇetˇsinou pˇrev´est i na pr´avˇe prob´ıran´ y odhad chyby nepˇr´ım´ ych mˇeˇren´ı. Napˇr. celkov´a relativn´ı chyba v´ ysledku rozd´ılov´eho mˇeˇren´ı m˚ uˇze b´ yt podstatnˇe vyˇsˇs´ı, neˇz jsou relativn´ı celkov´e chyby pˇr´ımo mˇeˇren´ ych veliˇcin, jejichˇz rozd´ıl se stanovuje. Odhad celkov´e chyby veliˇciny a z´ıskan´e jako v´ ysledek nepˇr´ım´eho mˇeˇren´ı lze prov´est pˇr´ımo dle vzorce (III.29). Jedn´a se vˇsak o velmi pracn´ y v´ ypoˇcet, pˇri jehoˇz proveden´ı je vysok´a pravdˇepodobnost vzniku i ˇr´adov´e chyby. Zpravidla je vˇsak moˇzn´e v´ ypoˇcet podstatnˇe zjednoduˇsit, ˇcasto dokonce pˇrev´est jen na zjiˇstˇen´ı pˇr´ıspˇevku jedn´e nejh˚ uˇre mˇeˇriteln´e veliˇciny k celkov´e chybˇe v´ ysledku. Tento pˇr´ıspˇevek b´ yv´a tak dominantn´ı, ˇze jej lze s celkovou chybou v´ ysledku ztotoˇznit, uv´aˇz´ıme-li pˇribliˇznost odhadu chyby. Prvn´ım zjednoduˇsen´ım je n´ahrada vzorce (III.29) vzorcem analogick´ ym (III.6) ∂f ∂f ∂f ua = u + u + ··· + u ∂x1 x1 ∂x2 x2 ∂xn xn 11
.
(III.30)
r´ıspˇevky k chybˇe od jedOdhad ua dle (III.30) je vyˇsˇs´ı neˇz dle (III.29). Rozd´ıl je nejvˇetˇs´ı, kdyˇz pˇ√ notliv´ ych veliˇcin jsou stejn´e. Pro n veliˇcin je pak odhad dle (III.30) (n/ n) - n´asobkem odhadu dle (III.29), tedy napˇr. pro stejn´e pˇr´ıspˇevky od ˇctyˇr veliˇcin je dvojn´asobkem. Vˇetˇs´ı poˇcet stejn´ ych pˇr´ıspˇevk˚ u pˇri nepˇr´ım´ ych mˇeˇren´ıch se vyskytne m´alokdy, a proto vˇetˇsinou lze pˇri odhadu chyby nahradit vzorec (III.29) jednoduˇsˇs´ım vzorcem (III.30). I kdyˇz tento odhad bude v nepˇr´ızniv´ ych pˇr´ıpadech aˇz o nˇekolik des´ıtek procent vyˇsˇs´ı, bude dostaˇcuj´ıc´ı, protoˇze pˇri odhadu chyby jde pˇredevˇs´ım o jej´ı ˇr´adovou velikost. Na v´ yˇse zm´ınˇen´em pˇr´ıkladu urˇcen´ı modulu pruˇznosti v tahu E z protaˇzen´ı dr´atu v uspoˇr´ad´an´ı odpov´ıdaj´ıc´ımu u ´loze ˇc. 2 tˇechto skript uk´aˇzeme, jak se postupuje pˇri zpracov´an´ı nepˇr´ım´ ych mˇeˇren´ı. Modul pruˇznosti E je d´an vzorcem (III.27). Ten jeˇstˇe uprav´ıme na tvar funkce (III.28) t´ım, ˇze plochu pr˚ uˇrezu dr´atu S vyj´adˇr´ıme pomoc´ı pˇr´ımo mˇeˇren´eho pr˚ umˇeru dr´atu d; S = π d 2 /4. Dostaneme 4F l π d2 ∆l coˇz je pro tento pˇr´ıpad konkr´etn´ı tvar funkce (III.28) E=
,
E = E(F, l, d, ∆l) = f (x1 , x2 , x3 , x4 ) .
(III.31)
(III.32)
Uk´aˇzeme postup pˇri stanoven´ı modulu E a jeho chyby, jestliˇze jsme dostali n´asleduj´ıc´ı v´ ysledky pˇr´ım´ ych mˇeˇren´ı veliˇcin vyskytuj´ıc´ıch se ve vztahu (III.31). S´ıla F byla d´ana hodnotou pouˇzit´ ych z´avaˇz´ı. Ta byla realizov´ana sadou v´aleˇck˚ u s h´aˇcky a jejich hmotnost 100 g je dodrˇzena s chybou ∆yp,m = 0, 5 g. Mˇeˇren´ı bylo zpracov´ano metodou postupn´ ych mˇeˇren´ı (viz napˇr. [1], str. 52–55) a tak byla z´ısk´ana sada hodnot prodlouˇzen´ı ∆l odpov´ıdaj´ıc´ı zat´ıˇzen´ı pˇeti v´aleˇcky, tj. zat´ıˇzq en´ı silou F = 5 N √ s chybou, kter´a v tomto pˇr´ıpadˇe je d´ana jen chybou z´avaˇz´ı . . 2 ym mˇeˇren´ım (pˇr´ıstroje) ∆yp,F = 5 (∆yp,m g) = 5 · 10−6 N = 2 · 10−3 N. Pro s´ılu F tak pˇr´ım´ dost´av´ame vyj´adˇren´ı F = (5, 000 ± 0, 002) N, tedy celkov´a chyba urˇcen´ı F, uF = 2 · 10−3 N .
(III.33)
D´elka dr´atu byla zmˇeˇrena p´asov´ ym mˇeˇr´ıtkem a v´ ysledek mˇeˇren´ı bylo moˇzno zapsat ve tvaru l = (1, 0823 ± 0, 0007) m, tedy celkov´a chyba urˇcen´ı l, ul = 7 · 10−4 m .
(III.34)
K hodnotˇe t´eto chyby se dospˇelo seˇcten´ım chyby pˇr´ıstroje (p´asov´e mˇeˇr´ıtko) ∆p,l = 5 · 10−4 m a stˇredn´ı kvadratick´e chyby mˇeˇren´ı sl = 2 · 10−4 m. Pr˚ umˇer dr´atu byl stanoven mikrometrick´ ym ˇsroubem, pˇriˇcemˇz stˇredn´ı kvadratick´a chyba mˇeˇren´ı −6 sd = 3 · 10 m a chyba pˇr´ıstroje ∆yp,d = 5 · 10−6 m d´avaj´ı dle (III.26) po zaokrouhlen´ı celkovou chybu ud = 6 · 10−6 m. Zde je na m´ıstˇe pˇresnˇejˇs´ı odhad dle (III.26), protoˇze pr´avˇe tato hodnota se uk´aˇze jako rozhoduj´ıc´ı pro pˇresnost cel´eho mˇeˇren´ı modulu E. V´ ysledek mˇeˇren´ı pr˚ umˇeru dr´atu bylo moˇzno zapsat v tvaru d = (212 ± 6) · 10−6 m, tedy celkov´a chyba urˇcen´ı d, ud = 6 · 10−6 m .
(III.35)
Prodlouˇzen´ı dr´atu bylo stanoveno indik´atorov´ ymi hodinkamu (´ uchylkomˇerem) a v´ ysledek bylo moˇzno zapsat ve tvaru ∆l = (792 ± 7) · 10−6 m, tedy celkov´a chyba urˇcen´ı ∆l, u∆l = 7 · 10−6 m .
(III.36)
Tato celkov´a chyba se vypoˇcetla ze zjiˇstˇen´ ych hodnot stˇredn´ı kvadratick´e chyby −6 s∆l = 5 · 10 m a chyby pˇr´ıstroje (indik´atorov´ ych hodinek) ∆yp,∆l = 5 · 10−6 m uˇzit´ım vzorce (III.26), kter´ y zde byl pouˇzit m´ısto pouh´eho seˇcten´ı chyb, protoˇze chyby jsou stejnˇe velk´e. Abychom mohli pouˇz´ıt vzorec (III.29) pro stanoven´ı celkov´e chyby mˇeˇren´ı modulu E, mus´ıme jeˇstˇe stanovit hodnoty parci´aln´ıch derivac´ı funkce (III.29) pro zjiˇstˇen´e hodnoty F , l, d, ∆l. Dostaneme ∂f ∂E 4l ∂f ∂E −8 F l = = = 3, 9 · 1010 m−2 , = = = −1, 8 · 1015 Pa · m−1 2 ∂x1 ∂F π d ∆l ∂x3 ∂d π d3 ∆l 12
(III.37)
∂f ∂E 4F ∂f ∂E −4 F l = = = 1, 8 · 1011 Pa · m−1 , = = = −2, 4 · 1014 Pa · m−1 2 2 2 ∂x2 ∂l π d ∆l ∂x4 ∂(∆l) π d (∆l) Hodnoty z rovnic (III.33) aˇz (III.37) dosad´ıme do rovnice (III.29), abychom dostali celkovou chybu stanoven´ı modulu E; uE = =
v ! u u ∂E 2 t
∂F
(uF
)2
∂E + ∂l
!2
(ul
)2
∂E + ∂d
!2
(ud
)2
∂E + ∂(∆l)
!2
(u∆l )2 =
(III.38)
q
(3, 9.1010 .2.10−3 )2 + (1, 8.1011 .7.10−4 )2 + (1, 8.1015 .6.10−6 )2 + (2, 4.1014 .7.10−6 )2 Pa = =
q
(0, 006 + 0, 016 + 116, 6 + 2, 8) · 1018 Pa = 10, 9 · 109 Pa .
Z hodnot uveden´ ych v (III.33) aˇz (III.36) vypoˇcteme dle (III.31) hodnotu modulu; E=
4F l 4 · 5 · 1, 082 = = 1, 935 · 1011 Pa . 2 π d ∆l 3, 142 · (212 · 10−6 )2 · 792 · 10−6
(III.39)
Tutu hodnotu s uv´aˇzen´ım vypoˇcten´e velikosti jej´ı celkov´e chyby (III.38) zap´ıˇseme jako koneˇcn´ y v´ ysledek u ´lohy v tvaru E = (1, 9 ± 0, 1) · 1011 Pa . (III.40) Pro zv´ yraznˇen´ı je vhodn´e jej podtrhnout. Pohled na v´ ypoˇcet pomˇernˇe znaˇcn´e chyby mˇeˇren´ı, kter´a ˇcin´ı platn´ ymi jen dvˇe ˇc´ıslice ve vyj´adˇren´ı modulu E, ukazuje (viz (III.38)), ˇze naprosto dominantn´ı roli pro pˇresnost mˇeˇren´ı hraje urˇcen´ı pr˚ umˇeru dr´atu, tj. tˇret´ı ˇclen pod odmocninou. Kdybychom do celkov´eho v´ ysledku zapoˇcetli jen tento 15 −8 ˇclen, bude chyba d´ana jeho neumocnˇenou hodnotou, uE = 1, 8 · 10 · 6 · 10 Pa = 10, 8 · 109 Pa, kter´a se liˇs´ı od hodnoty vypoˇcten´e dle (III.38) o 1%, coˇz je pro urˇcen´ı chyby zcela bezv´ yznamn´e. Kdyˇz si tuto skuteˇcnost vˇcas uvˇedom´ıme, m˚ uˇzeme cel´ y v´ yˇse uveden´ y pracn´ y v´ ypoˇcet nahradit jen v´ ypoˇctem pˇr´ıspˇevku |∂E/∂d| ud od mˇeˇren´ı pr˚ umˇeru d k celkov´e chybˇe mˇeˇren´ı E. Systematicky k tomuto z´avˇeru m˚ uˇzeme doj´ıt, nahrad´ıme-li odhad chyby dle vzorce (III.29) odhadem dle (III.30) a uvˇedom´ıme-li si, ˇze vzorec pro v´ ypoˇcet E je typu (III.9) a ˇze tedy pro relativn´ı celkovou chybu E m˚ uˇzeme ps´at vyj´adˇren´ı u u u u uE = F + l + 2 d + ∆l = 4 · 10−4 + 7 · 10−4 + 5, 7 · 10−2 + 8, 8 · 10−3 = 6, 7 · 10−2 E F l d ∆l
. (III.41)
Tento odhad je ponˇekud vyˇsˇs´ı a t´eˇz vliv posledn´ıho ˇclenu se zd´a v´ yzmnˇejˇs´ı neˇz pˇri odhadu dle (III.29), jak odpov´ıd´a vztahu mezi obˇema odhady. Zde vypoˇcten´a relativn´ı chyba 6,7% d´av´a absolutn´ı chybu (viz (III.39)) uE = 13, 0 · 109 Pa, tedy hodnotu o 2, 1 · 109 Pa vyˇsˇs´ı neˇz pˇri v´ ypoˇctu v (III.38), ale ani tento rozd´ıl neovlivn´ı standardn´ı psan´ı z´apisu v´ ysledku (III.40). Pˇritom stanoven´ı celkov´e chyby v´ ysledku postupem dle (III.41) je podstatnˇe m´enˇe pracn´e neˇz jej´ı stanoven´ı dle (III.29). Shrneme nyn´ı postup pˇri zpracov´an´ı nepˇr´ım´eho mˇeˇren´ı veliˇciny a, tj. mˇeˇren´ı, kdy veliˇcina a je zn´amou funkc´ı a = f (x1 , x2 , · · · , xn ) n pˇr´ımo mˇeˇren´ ych veliˇcin x1 , x2 , · · · , xn . Postup II 1. Zjist´ıme hodnoty a celkov´e chyby pˇr´ımo mˇeˇren´ ych veliˇcin dle Postupu I. Z´ısk´ame tak jejich vyj´adˇren´ı ve tvaru x i = x i ± u xi pro i = 1, 2, · · · n, tj. pro vˇsechny pˇr´ımo mˇeˇren´e veliˇciny.
13
2. Zjiˇstˇen´e nejpravdˇepodobnˇejˇs´ı hodnoty (aritmetick´e pr˚ umˇery pˇr´ımo namˇeˇren´ ych hodnot) veliˇcin xi dosad´ıme do zn´am´e funkce f (x1 , x2 , · · · , xn ) a vypoˇcteme nejpravdˇepodobnˇejˇs´ı hodnotu nepˇr´ımo mˇeˇren´e veliˇciny a jako a = f (x1 , x2 , · · · , xn ) . 3. Urˇc´ıme celkovou chybu stanoven´ı veliˇciny a dle vzorce (III.29) ua =
v u u t
∂f ∂x1
!2
(ux1
)2
∂f + ∂x2
!2
(ux2
)2
∂f + ··· + ∂xn
!2
(uxn )2
v pˇr´ıpadˇe, kdy v´ıce v´ yraz˚ u (∂f /∂xi ) uxi m´a bl´ızk´e hodnoty (za bl´ızk´e hodnoty lze povaˇzovat hodnoty, kter´e se liˇs´ı m´enˇe neˇz o 100%). V ostatn´ıch pˇr´ıpadech lze bud’ uˇz´ıt pro v´ ypoˇcet jednoduˇsˇs´ı vzorec (III.30) ∂f ∂f ∂f ua = u + u + ··· + u ∂x1 x1 ∂x2 x2 ∂xn xn nebo, kdyˇz jeden z v´ yraz˚ u |∂f /∂xi | uxi v´ yraznˇe pˇrevyˇsuje ostatn´ı, lze jeho hodnotu jiˇz pˇr´ımo pokl´adat za dostateˇcnˇe dobˇre stanovenou celkovou chybu v´ ysledku ua . (Za v´ yrazn´e pˇrevyˇsov´an´ı lze rozhodnˇe pokl´adat ˇr´adov´e pˇrevyˇsov´an´ı, ˇcasto ale staˇc´ı pˇrev´ yˇsen´ı o nˇekolik set procent.) Kdyˇz funkce f m´a ˇcasto vyskytuj´ıc´ı se tvar (III.9), lze upravit vzorec (III.30)na pro v´ ypoˇcet v´ yhodn´ y tvar: relativn´ı chyba urˇcen´ı mˇeˇren´e veliˇciny se rovn´ a line´ arn´ı kombinaci relativn´ıch chyb mˇeˇren´ych veliˇcin (srovn. (III.41)). 4. V´ ysledek mˇeˇren´ı veliˇciny a zap´ıˇseme ve tvaru a = a ± ua
,
pˇriˇcemˇz chybu ud´ame na jedno platn´e m´ısto a ˇr´ad chyby n´am ud´a posledn´ı platn´e m´ısto, kter´e pro a vypisujeme. Pˇri mˇeˇren´ı ve fyzik´aln´ım praktiku, kde se zpravidla mˇeˇr´ı veliˇciny, jejichˇz spr´avn´a hodnota je zn´am´a, zb´ yv´a jeˇstˇe porovn´an´ı v´ ysledku mˇeˇren´ı z´ıskan´eho Postupem I nebo II se spr´avnou hodnotou veliˇciny, kterou je moˇzn´e naj´ıt ve fyzik´aln´ıch tabulk´ach. Je-li tabelovan´a hodnota v intervalu (a ± ua ), je vˇse v poˇr´adku a v z´avˇeru zpr´avy o mˇeˇren´ı lze konstatovat, ˇze v´ ysledek naˇsich mˇeˇren´ı se s tabulkovou hodnotou shoduje v mez´ıch pozorovac´ıch chyb. V opaˇcn´em pˇr´ıpadˇe je tˇreba hledat pˇr´ıˇcinu neshody. B´ yv´a zp˚ usobena bud’ hrubou nebo systematickou chybou mˇeˇren´ı. Je-li pˇr´ıˇcina takov´e chyby zn´am´a, je vhodn´e ji v z´avˇeru zpr´avy o mˇeˇren´ı uv´est. Velmi ˇcasto vˇsak nev´ıme, proˇc k neshodˇe doˇslo. Potom je vˇzdy l´epe pˇriznat, ˇze d˚ uvod neshody je nezn´am´ y a ˇze mˇeˇren´ı nedopadlo dobˇre, neˇz si vym´ yˇslet d˚ uvody typu ˇspatn´ ych m´ıˇck˚ u a nevhodn´eho vˇetru, kter´ ymi vysvˇetluj´ı r´adi sv´e ne´ uspˇechy hr´aˇci tenisu.
4. Stanoven´ı funkc´ı vystihuj´ıc´ıch z´ avislosti fyzik´ aln´ıch veliˇ cin Pˇristoup´ıme nyn´ı k rozboru druh´e ˇcasto se vyskytuj´ıc´ı mˇern´e u ´lohy, kterou je stanoven´ı z´avislosti jedn´e fyzik´aln´ı veliˇciny na druh´e. Takov´ y charakter m´a napˇr. u ´loha ˇc. 9 (Z´avislost odporu termistoru na teplotˇe) a u ´loha ˇc. 12 (Mˇeˇren´ı voltamp´erov´e charakteristiky polovodiˇcov´e diody). V souladu s obsahem kapitoly III. si budeme vˇs´ımat toho, jak z namˇeˇren´ ych hodnot najdeme pravdˇepodobn´ y pr˚ ubˇeh z´avislosti a jak stanov´ıme m´ıru vˇerohodnosti nalezen´e z´avislosti. Mˇeˇren´ım zjist´ıme N dvojic hodnot nez´avisle promˇenn´e x a z´avisle promˇenn´e y; x 1 , y1 ; x 2 , y2 ; · · · ; x N , yN 14
.
(III.42)
Nez´avisle promˇennou veliˇcinou je ta, kterou pˇri mˇeˇren´ı nastavujeme – ve shora uveden´ ych pˇr´ıkladech teplota, resp. elektrick´e napˇet´ı – a z´avisle promˇennou veliˇcinou ta, jej´ıˇz hodnotu pˇri dan´em nastaven´ı hled´ame – odpor, resp. elektrick´ y proud. Z dvojic (III.42) se snaˇz´ıme naj´ıt pr˚ ubˇeh funkˇcn´ı z´avislosti y = f (x) .
(III.43)
Takov´a u ´loha je nejednoznaˇcn´a, protoˇze z koneˇcn´eho poˇctu N dvojic xi , yi se snaˇz´ıme urˇcit spojitou funkci y = f (x). Pˇri pˇresn´em vysloven´ı nebo i jen tuˇsen´ı dalˇs´ıch podm´ınek se vˇsak stane ˇreˇsitelnou. Pˇresn´e vysloven´ı se t´ yk´a pˇr´ıpadu, kdy pˇredpokl´ad´ame tvar funkˇcn´ı z´avislosti, napˇr. ˇze z´avislost je line´arn´ı, exponenci´aln´ı, dan´a polynomem druh´eho stupnˇe. Funkˇcn´ı z´avislost y = f (x) pak z´avis´ı na nˇekolika m´alo parametrech, zpravidla na podstatnˇe m´enˇe, neˇz je poˇcet zmˇeˇren´ ych dvojic N , a u ´loha ji stanovit se st´av´a statistickou u ´lohou, kde hled´ame nejpravdˇepodobnˇejˇs´ı hodnoty parametr˚ ua urˇcujeme pravdˇepodobn´e chyby jejich stanoven´ı, pˇr´ıpadnˇe jin´e m´ıry kvality toho, jak dobˇre nalezen´a funkce vystihuje soubor dvojic (III.42). Takovou, v tomto pˇr´ıpadˇe nejˇcastˇeji ud´avanou, m´ırou je korelaˇcn´ı koeficient r=q
N [N
PN
PN
i=1
xi yi −
PN
PN
2 i=1 xi − (
i=1
2 i=1 xi ) ][N
xi
PN
PN
i=1
yi PN
2 i=1 yi − (
.
(III.44)
2 i=1 yi ) ]
Definiˇcn´ı rovnice (III.44) je jednoznaˇcn´ ym pˇredpisem, jak z hodnot (III.42) r spoˇc´ıtat. Korelace je m´ırou vz´ajemn´e sv´azanosti dvou n´ahodn´ ych jev˚ u; jsou-li n´ahodn´e jevy zcela nez´avisl´e, je korelaˇcn´ı koeficient nulov´ y, r = 0, jsou-li n´ahodn´e jevy zcela z´avisl´e je korelaˇcn´ı koeficient roven jedn´e; r = 1. V uvaˇzovan´em pˇr´ıpadˇe prokl´ad´an´ı namˇeˇren´ ych bod˚ u (III.42) funkˇcn´ı z´avislost´ı y = f (x) znamen´a hodnota korelaˇcn´ıho koeficientu r = 1, ˇze vˇsechny body [xi , yi ] pˇresnˇe leˇz´ı na kˇrivce odpov´ıdaj´ıc´ı funkci y = f (x). Odchylka r od hodnoty 1 je m´ırou rozptylu bod˚ u kolem funkˇcn´ı kˇrivky. Tuˇsen´ı dalˇs´ıch podm´ınek, kterou se u ´loha naj´ıt tvar funkce (III.43) z namˇeˇren´ ych hodnot (III.42) st´av´a ˇreˇsitelnou, se uˇz´ıv´a pˇri grafick´em zpracov´an´ı u ´lohy. Uˇz´ıv´ame pˇri nˇem zpravidla pravo´ uhl´ y souˇradnicov´ y syst´em, do nˇehoˇz vyneseme N bod˚ u odpov´ıdaj´ıc´ıch dvojic´ım hodnot (III.42). Na vodorovnou osu (osu u ´seˇcek) nan´aˇs´ıme hodnoty xi nez´avisle promˇenn´e veliˇciny a odpov´ıdaj´ıc´ı hodnotu yi vyneseme na svislou osu (osu poˇradnic). Pˇri kreslen´ı graf˚ u je tˇreba dodrˇzet form´aln´ı poˇzadavky uveden´e v ˇc´asti I.D. na str. 9–10 tˇechto skript. Na nakreslen´em grafu (viz obr. III.4) bude soubor bod˚ u v rovinˇe, kter´ ymi zkuˇsen´ y fyzik proloˇz´ı kˇrivku a z´avislost vyj´adˇrenou touto kˇrivkou d´ale diskutuje, pˇriˇcemˇz pˇredevˇs´ım hled´a pˇr´ıˇciny namˇeˇren´eho pr˚ ubˇehu.
Obr. III.4. Kˇrivka proloˇzen´a namˇeˇren´ ymi body D˚ uleˇzit´e je, ˇze proloˇz´ı-li stejn´ ymi body kˇrivku jin´ y zkuˇsen´ y fyzik, obˇe z´ıskan´e kˇrivky se budou velmi m´alo liˇsit. Oba totiˇz intuitivnˇe tuˇs´ı podm´ınky, kter´e je nutno pˇri proloˇzen´ı dodrˇzet, napˇr. ˇze 15
experiment´aln´ı body maj´ı b´ yt vyv´aˇzenˇe rozloˇzeny kolem kˇrivky, ˇze kˇrivka m´a b´ yt pˇrimˇeˇrenˇe hladk´a, ˇze m´a ponˇekud, ale ne mnoho, pˇresahovat obor, kde byla stanovena hodnota nez´avisle promˇenn´e. Kvantifikovat a pˇrev´est tyto intuitivn´ı zkuˇsenosti do matematicky pˇresnˇe formulovan´e u ´lohy, jak nejvhodnˇeji proloˇzit kˇrivku dan´ ymi body, je velmi obt´ıˇzn´e. V d´ale uveden´ ych metod´ach ˇreˇsen´ı t´eto u ´lohy (metoda nejmenˇs´ıch ˇctverc˚ u, metoda skupinov´a, regrese) je totiˇz vˇzdy nutno pˇredpokl´adat, jak´ y funkˇcn´ı tvar (zda je to pˇr´ımka, exponenciela, polynom n-t´eho stupnˇe) m´a hledan´a kˇrivka, coˇz pˇri intuitivn´ım proloˇzen´ı namˇeˇren´ ych bod˚ u nutn´e nen´ı. Proto intuitivn´ı metoda proloˇzen´ı z˚ ustane ˇcasto uˇz´ıvanou metodou prezentace experiment´alnˇe z´ıskan´ ych v´ ysledk˚ u, zvl´aˇstˇe ve f´azi v´ yzkumu, kdy jeˇstˇe nen´ı zn´am teoreticky podloˇzen´ y funkˇcn´ı tvar z´avislosti. I tuto intuitivn´ı metodu poˇc´ıtaˇcov´e programy uˇz´ıvan´e pro kreslen´ı graf˚ u simuluj´ı zav´adˇen´ım r˚ uzn´ ych vyrovn´avac´ıch program˚ u na prokl´ad´an´ı namˇeˇren´ ych bod˚ u kˇrivkami. Tyto programy jsou vˇsak interaktivn´ı a uˇzivatel nakonec podle sv´e intuice – podle toho, jak se mu proloˇzen´ı l´ıb´ı – vybere program a nastav´ı v nˇem parametry. M´ame-li rozumn´ y d˚ uvod pˇredpokl´adat funkˇcn´ı tvar mˇeˇren´e z´avislosti, napˇr. line´arn´ı z´avislost ∆l na F pˇri mˇeˇren´ı modulu pruˇznosti (´ ul. ˇc. 2) nebo exponenci´aln´ı z´avislost odporu termistoru na teplotˇe uvaˇzovanou v u ´l. ˇc. 9, m˚ uˇzeme pˇri zpracov´an´ı souboru namˇeˇren´ ych dvojic hodnot (III.42) uˇz´ıt nˇekterou objektivn´ı metodu (v´ yˇse popsan´a intuitivn´ı metoda je subjektivn´ı) nalezen´ı parametr˚ u pˇredpokl´adan´eho funkˇcn´ıho tvaru z´avislosti. Tyto metody vych´azej´ı z pˇredpokladu, ˇze nejlepˇs´ım proloˇzen´ım je takov´a kˇrivka, pro kterou souˇcet ˇctverc˚ u odchylek ∆yi namˇeˇren´ ych bod˚ u od funkˇcn´ıho pr˚ ubˇehu je nejmenˇs´ı; N X
(∆yi )2 je minim´aln´ı.
(III.49)
i=1
Vyjde-li se pˇr´ımo z tohoto pˇredpokladu, mluv´ıme o metodˇe nejmenˇs´ıch ˇctverc˚ u. Pouˇzijeme-li jist´eho zjednoduˇsen´ı spoˇc´ıvaj´ıc´ıho v tom, ˇze soubor namˇeˇren´ ych dvojic rozloˇz´ıme do nˇekolika skupin, s kter´ ymi potom d´ale hled´ame nejmenˇs´ı odchylky, mluv´ıme o metodˇe skupinov´e. Zpracov´avat z´avislosti je t´eˇz moˇzno metodou postupn´ych mˇeˇren´ı, pˇri kter´ ych lze t´eˇz hledat numericky stupeˇ n derivace, kter´ y je konstantn´ı, a tak z mˇeˇren´ı urˇcit (nejednoznaˇcnˇe) stupeˇ n polynomu, kter´ ym je vhodn´e proloˇzit namˇeˇren´e body. Teorie uveden´ ych metod je obt´ıˇzn´a a jejich aplikace pracn´a. Bl´ıˇze se s nimi lze sezn´amit v knih´ach [1], [2], [3]. Zde pouze naznaˇc´ıme postup metody nejmenˇs´ıch ˇctverc˚ u pˇri prokl´ad´an´ı namˇeˇren´ ych bod˚ u (III.42) [xi , yi ] pˇr´ımkou y = A + B x, tedy postup, kter´ y se naz´ yv´a line´ arn´ı regrese. Pˇri pouˇzit´ı metody nejmenˇs´ıch ˇctverc˚ u na line´arn´ı regresi bod˚ u (III.42) postupujeme n´asledovnˇe. Nejprve urˇc´ıme odchylky ∆yi funkˇcn´ıch hodnot y prokl´adan´e pˇr´ımky y =A+Bx
(III.46)
od namˇeˇren´ ych hodnot yi ; ∆yi = y − yi = A + B xi − yi
.
(III.47) PN
Na souˇcet ˇctverc˚ u odchylek ∆yi aplikujeme podm´ınku (III.45). Souˇcet ˇctverc˚ u odchylek i=1 (∆yi )2 PN je funkc´ı dvou promˇenn´ ych A, B; i=1 (∆yi )2 = f (A, B). Tuto funkci dostaneme, kdyˇz umocn´ıme na druhou rovnice (III.47) a seˇcteme je; N X i=1
2
(∆yi ) = f (A, B) = B
2
N X i=1
2
2
(xi ) +N A +
N X
2
(yi ) +2 A B
i=1
N X
xi −2 B
i=1
Extr´em funkce, zde minimum, nastane, kdyˇz jej´ı parci´aln´ı derivace (III.48) dostaneme X X ∂f = 2N A + 2B xi − 2 yi ∂A X X X ∂f = 2B (xi )2 + 2 A xi − 2 xi yi ∂B 16
N X
xi yi −2 A
i=1 ∂f , ∂f ∂A ∂B
N X
yi
. (III.48)
i=1
budou rovny nule. Z (III.49)
.
Poloˇz´ıme-li tyto parti´aln´ı derivace rovny nule, dostaneme dvˇe rovnice pro dvˇe nezn´am´e A, B a jejich ˇreˇsen´ım z´ısk´ame pro A a B vyj´adˇren´ı (xi )2 yi − xi xi yi = P P N (xi )2 − ( xi )2
P
A=
P
P
P
P
yi − B N
N xi yi − yi xi B= P P N (xi )2 − ( xi )2 P
P
P
xi
,
(III.50)
P
.
Z´ısk´ame tak poˇradnici A a smˇernici B pˇr´ımky y = A + B x (III.26), kter´a nejl´epe prokl´ad´a namˇeˇren´e body (III.42). Vzorce (III.50) jsou uˇzity pˇri line´arn´ı regresi programovan´e v kalkul´atorech a modifikov´any pro dalˇs´ı regrese (logaritmickou, exponenci´aln´ı, mocninnou), kter´e jsou tak´e vlastnˇe line´arn´ımi regresemi v modifikovan´ ych promˇenn´ ych. Z praktick´eho hlediska je d˚ uleˇzit´e, ˇze hlavn´ı metody proloˇzen´ı jednoduch´ ych kˇrivek namˇeˇren´ ymi body – souborem dvojic hodnot (III.42) – patˇr´ı k programov´emu vybaven´ı lepˇs´ıch kalkul´ator˚ u a poˇc´ıtaˇcov´ ych program˚ u pro zpracov´an´ı v´ ysledk˚ u mˇeˇren´ı. Pro metody prokl´ad´an´ı se uˇz´ıv´a oznaˇcen´ı regrese a v kalkul´atorech je najdeme ve statistick´em m´odu. Programy jsou uzp˚ usobeny tak, ˇze do nich vloˇz´ıme dvojice hodnot (III.42) a podle zvolen´eho typu regrese dostaneme hodnoty parametr˚ u funkc´ı, kter´ ymi z´avislost prokl´ad´ame a hodnotu korelaˇcn´ıho koeficientu (III.46), kter´ y vystihuje, jak dobˇre z´ıskan´a funkce experiment´aln´ı body prokl´ad´a. Programy d´avaj´ı i nˇekter´e dalˇs´ı charakteristiky pˇri regresi zpracov´avan´eho statistick´eho souboru, napˇr. kritick´y koeficient (critical coefficient), kter´ y je ˇctvercem hodnoty korelaˇcn´ıho koeficientu r. Kalkul´atory ud´avaj´ı hodnoty vˇsech regresn´ıch konstant na poˇcet m´ıst dan´ y jejich konstrukc´ı. I zde vˇsak samozˇremˇe plat´ı, ˇze smyslupln´ y je pouze poˇcet m´ıst stanoven´ y podle v´ yˇse uveden´ ych pravidel. Proto je nutno pˇri pˇrepisu z kalkul´atoru z´ıskan´e hodnoty vhodnˇe zaokrouhlit. V kalkul´atorech b´ yv´a dostupn´a • line´ arn´ı regrese prokl´adaj´ıc´ı namˇeˇren´e body pˇr´ımkou y = A + B x • logaritmick´a regrese prokl´adaj´ıc´ı namˇeˇren´e body z´avislost´ı y = A + B ln x • exponenci´ aln´ı regrese prokl´adaj´ıc´ı namˇeˇren´e body z´avislost´ı y = A eBx • mocninn´ a regrese prokl´adaj´ıc´ı namˇeˇren´e body z´avislost´ı y = A xB Ve vˇsech vztaz´ıch je A oznaˇcov´an jako konstantn´ı ˇclen (constant term) a B jako regresn´ı koeficient (regression coefficient). Dostupnost regresn´ıch program˚ u ˇcin´ı z dˇr´ıve velmi pracn´eho objektivn´ıho prokl´ad´an´ı namˇeˇren´ ych kˇrivek funkˇcn´ımi z´avislostmi uˇziteˇcnou a rychlou metodu zpracov´an´ı mˇeˇren´ ych z´avislost´ı dvou veliˇcin, lze-li pˇredpokl´adat, ˇze z´avislost m´a podobu nˇekter´e shora uveden´ ych funkc´ı.
Literatura: [1 ] Broˇz, J. a kol.: Z´aklady fyzik´aln´ıch mˇeˇren´ı I., SPN Praha, 1983 [2 ] Hor´ak, Z.: Praktick´a fyzika, SNTL, Praha 1958 ´ [3 ] Spruˇsil, B., Zieleniecov´a, P.: Uvod do teorie fyzik´aln´ıch mˇeˇren´ı, SPN, Praha 1989
17
