HIDRODINAMIKAI PROBLÉMÁK

HIDRODINAMIKAI PROBLÉMÁK 2.1 Egy érdekes paradoxon A következő problémát két úton tárgyaljuk; az első megoldás rossz, de nem a matematikai levezetés miatt, hanem azért, mert nem stacionárius folyamatot stacionárius folyamatokból csak infinitezimális úton tehetünk össze. Jelen esetben ez azt jelenti, hogy a Bernoulli törvény a szokott alakban nem használható. Függőleges helyzetű, H magasságú tartályban víz van. Alul az oldalán vagy a fenekén lévő csapot megnyitva, a víz a Bernoulli-egyenlet szerint v =

2 gH sebességgel áramlik ki – ha utántöltéssel

gondoskodunk az állandó H magasságról. Ha közben a szint csökken, akkor a mindenkori x magasság szabja meg a pillanatnyi sebességet lent a kifolyó csőnél: v =

2 gx . Mennyis idő alatt folyik ki a tartályból a víz? Ha

a tartály keresztmetszete A1, a kifolyócsőé A2, akkor felírhatunk t időről (t+dt) időre vonatkozó összefüggést; a kifolyócsövön dt alatt eltávozott térfogat az A1 keresztmetszetű tartály dx szintcsökkenését eredményezte. E térfogatokat sebesség hosszúságú hasábok térfogatával írhatjuk fel. Adott x-re vonatkozó növekményekre:

2 gx dtA2 = − dxA1

(1)

Differenciálegyenlet alakjában felírva:

x& +

(2)

A2 2g x = 0 A1

ahol

x& =

dx < 0 a lefelé mozgó folyadékszintnek a sebessége, a mindenkori szintsebesség. dt

A változók szétválasztásával ez könnyen megoldható:

∫ A v=

dx A = − 2 2gt + C A1 x

2 gx értelmezése szerint alulról felfelé kell számítanunk a szintet és a tele tartály esetén x=H. Így a

kezdőfeltétel: t=0, x=H. A megoldás figyelembe véve a kezdőfeltételt is: 2

  1 A2 (3) x =  H − 2 g t  2 A1   Legyen c = x& ; így   1 A2 A (3/a) c = − 2 2 g  H − 2 g t  A1 2 A1   A c szintsebesség x-szel is kifejezhető; akár közvetlenül (1)-ből is: (3/b)

c=−

A2 2 gx A1

A c szintsebesség képletét értelmezve mondhatjuk, hogy minél kisebb a folyadékszint magassága, annál kisebb a kiáramlás sebessége, hiszen kisebb a folyadékoszlop nyomása. Még kísérletben is azt látjuk, hogy pl. egy bürettára gondolva, a szint egyre lassabban süllyed. Valóban, az eddigi gondolatmenetet tartalmazza e jelenség leírását – de csak közelítően. Élezzük ki a helyzetet és iktassuk ki a belső súrlódás hatását, amennyire csak lehet, ugyanis a Bernoulli-egyenletből következő eredetileg felírt v =

2 gx kifolyási sebesség képlet ezt nem

tartalmazza. Ezt úgy érhetjük el, hogy A1=A2 feltételt veszünk, azaz a folyadék egy tartályból egyszerűen szabadeséssel kiesik. Világos, hogy ilyenkor a c szintsebességnek növekednie kell, ahogy a szint süllyed. De cnek képlete szerint A1=A2 –re c = − 2 gx . Ez már valóban paradox helyzet, hiszen a folyadéktömbnek H magasságból való szabadesés esetén c = − 2 g (H − x ) összefüggésnek kellene fennállnia. Még van egy ellentmondás; a t=0 pillanatra a szint még nem mozog, tehát c=0 kellene. A (3/a) képlet szerint éppen maximum a sebesség. A Bernoulli-egyenlet stacionárius állapotot ír le, azaz a sebesség nem függvénye az időnek; adott helyen mindig ugyanakkora. Mi most stacionárius állapotokat sorozatával írtuk le a szint mozgását, mintha az egymás utáni t pillanatokban x mindig egy-egy aktuális, de pillanatszerűen állandó érték lenne, holott x=x(t)

folytonos függvénye az időnek. Éppen itt van a paradox helyzet kulcsa; reális-e az eredmény, ha különböző stacionárius állapotsorozattal írjuk le a nem stacionárius jelenséget? A szint gyorsulása a fentiekből: 2

A  &x& =  2  g  A1  Ez most (3)-ból úgy értendő, hogy a szint nem felfelé gyorsuló, hanem lefelé menet lassul. A kifolyás ideje (3)ból: x=0 –ra

t=τ,

τ=

2 H A1 g A2

Az egész gondolatmenet még azért is látszik meggyőzőnek, mert A1=A2 esetben a kifolyási idő τ-val adott képlete várakozásunknak megfelelő, és általában szűk nyílásra nagy érték adódik. Fenti eredményeink többé-kevésbé jó numerikus közelítésnek tekinthetők, de elvileg mégis hibásak. Mint már említettük a levezetésben a hiba ott van, hogy a Bernoulli-egyenlet egy szűkebb érvényű alakját alkalmaztuk, és ennek következménye a v =

2 gx kifolyási sebesség. A stacionárius Bernoulli-egyenletet

alkalmaztuk, amikor is a sebesség nem időfüggő. Most azonban instacionárius jelenséggel állunk szemben. De hiszen mondhatnánk, hogy (2) leírt a sebességre időfüggést. Ez fennáll, de rossz az időfüggés. A (2) differenciál egyenletet úgy állítottuk fel, mintha a gyorsuló folyadék minden pillanatban különböző sebességű, de stacionárius állapotban lett volna. Különböző stacionárius állapotok szuperpozíciójával akartuk leírni a – kiáramlott infinitezimális térfogatokra felírt – (1) egyenlettel az instacionárius állapotot. Már a

v = 2 gx sebesség levezetésben kellett volna infinitezimálisan – végtelen kicsiny időközökre – figyelembe venni, hogy az áramlás nem instacionárius. Ilyenkor a sebesség hely-és időfüggést egyszerre számítjuk. Ekkor a Bernoulli-egyenlet levezetésében a sebességnek, mint kétváltozós függvénynek, c (x,t), vagy c (r,t) már eleve a teljes differenciálját kell írni. E példa is igen szemléletesen mutatja az un. szubsztanciális derivált jelentőségét. A sebességnek végtelen kicsiny időközökre felírt teljes változása – a hely és idő szerint tehát – tartalmazza azt a lehetőséget, hogy ne különböző stacionárius állapotok egymásutánjaként írjuk le az instacionárius folyamatot, hanem magát a folyamatot az egymásutánisággal szemben, mint új minőséget értelmezzük. A matematikai eljárás az, hogy a Bernoulli-egyenletet a sebesség teljes differenciáljával írjuk fel és utána a benn lévő változók szerint kiintegráljuk. Ez esetben végtelen kicsiny mennyiségek addíciója – mint mennyiségi változások felhalmozódása – új minőséget állít elő, pontosabban új minőséget ír le; a folyamatot. Az analízis módszereivel – jelenleg differenciálegyenlet kiintegrálásával – így képesek vagyunk a folyamatot, mint olyat megragadni. Jól látszik e példa kapcsán, hogy a folyamat minőségében új, valami több mint a stacionárius állapotsokaság. Így az állapotsokaság addíciója, amit az (1) egyenlet ír le, nem állítja elő a természetben lejátszódó valóságos folyamatot, hanem valamilyen pszeudofolyamatra jutunk. Tehát itt mennyiségi felhalmozódásból nem jön létre új minőség, olyan, ami valóságos lenne, hanem valamilyen hamis, elgondolt új minőség keletkezik, amit a (2) differenciálegyenlet megoldása ad. Röviden; mennyiségi változás ez esetben nem megy át minőségi változásba. De új fogalomalkotással élve – mintegy a stacionaritást végtelen kicsi időközökre szűkítve le – a sebességnek a hely és idő szerinti változását végtelen kicsiny időléptékben felírva, jó eredményre jutunk, addícióval, itt integrálással előlép az új minőség, a folyamat. Tehát fogalmilag sikerült így megragadni a mennyiségi felhalmozódás új minőséget teremtő erejét. A minőség tehát többlet a mennyiségi felhalmozódáshoz képest, ebből tehát (1)-ből nem vezethető le, ha a végső makroszkopikus állapotot tekintjük, de infinitezimálisan az új minőség születésében ott láthatjuk a mennyiségi változások új minőséget teremtő egyszerű matematikai addícióját, és az ilyen mennyiségi felhalmozódás már valóságos, empirikusan ellenőrizhető, azaz adekvát új minőséget teremt. A helyes megoldás tehát az instacionárius Bernoulli-egyenlettel adható meg, ahogy következik, de még itt is feltételezzük, hogy súrlódásmentes és összenyomhatatlan a folyadék. Ha nem az energia-tételből indulunk ki, hanem egy elemi folyadék térfogatra egy áramvonal mentén felírjuk a Newton-féle mozgásegyenletet, akkor kapunk egy differenciális kifejezést: ρcdc = − dp − ρgdh (4) ahol ρ a folyadék sűrűsége, c a sebessége, dp és dh a helyi sztatikai nyomás-és magasságkülönbség. A változók szerint integrálva: (5)

1 2 ρc + p + ρgh = konst. 2

ami a stacionárius Bernoulli-egyenlet. Ha instacionárius az áramlás, azt már eleve (4)-ben kell figyelembe venni azzal, hogy c adott áramvonal mentén is és az idő szerint is változik, így

(6)

dc =

∂c ∂c ds + dt ∂ρ ∂t

(un. szubsztanciális differenciál), ahol s az áramvonal egy íveleme. Megengedhető formális átalakítással (4) bal oldala így is írható:

ds dc ds   dc = ρ ds c =  dt dt dt   dc Ezután (6)-ból deriváltat előállítva, az előbbieket (4)-ben felhasználva, majd integrálva, jutunk a (5) dt

ρ

egyenletnek megfelelő instacionárius alakra: (7)

s ∂c c2 ρ + ρ ∫ ds + p + ρgh = konst. 0 ∂t 2

Látható, hogy bejött a sebesség parciális deriváltját tartalmazó vonalintegrál. Ezen integrál kiszámítását az edény alakjára vonatkozó integrál számítására vezethetjük vissza. Tekintsük adott helyen a sebességet, így rögzítjük a helyet. Jelöljük itt a sebességet cn-nel. A kontinuitási egyenlet szerint (az összenyomhatatlanságot is feltételezzük) tetszőleges helyen lévő sebesség így adható meg:

cA = cn An ahol A tetszőleges helyen az áramlási keresztmetszet c ugyanitt a sebesség, míg An a rögzített helyen az áramlási keresztmetszet. Ekkor (8)

∂c dc A = n An ∂t dt

mivel cn a rögzített helyen lévő sebesség, így ott az idő szerinti parciális deriváltja egyenlő az idő szerinti totális deriváltjával. A (8) képletből (9)

∂c dcn An = ∂t dt A

Ebben s-től (egy áramvonalon mért hosszúság) csak A függ, mivel az áramvonal mentén az edény alakja változhat: A=A (s). A (7)-beli integrál így (9) segítségével ilyen lesz: (10)

ρ∫

s

0

∂c dc ds = ρAn n ∂t dt

s

ds

∫ A(s ) 0

Ezzel a (7) egyenlet többé nem parciális, hanem közönséges differenciálegyenlet, mely az áramlás időbeli változását írja le. Ehhez a (10) alaki integrált kell kiszámítani, ami általában nem könnyű, de a probléma tárgyalását nagymértékben egyszerűsíti. Térjünk vissza eredeti problémánkhoz, a szint x magasságának x(t) időfüggéséhez. Láthatóan nem a

2 gx képletet módosítjuk, hanem egészen más alapokon, a (7) egyenlet alapján számolunk s így nem a (1) egyenlet módosításáról van szó. Tekintsük a 2.1 ábra szerinti tartályt, melyre nézve a (10) alaki integrál egyszerű:

A 2 hely rögzített hely, az 1 hely változó, hiszen a szint süllyed. Kezdetben x=H.

Írjuk fel a (7) képletet a változó 1 és rögzített 2 helyre. Vegyük figyelembe, hogy most A2/A konstans érték, bárhol is van a folyadékszint, míg pl. változó keresztmetszetű, vagy fokozatosan szűkülő tartály esetén e hányados x-nek függvénye. Jelenleg az x koordináta-differenciál egyenlő az s áramvonalon mért koordinátadifferenciál (-1)-szeresével, dx=-ds, mert s az s=0 –tól lefelé számít. (11)

ρ

c12 c2 dc + p1 + ρxg = ρ 2 + p2 + ρ 2 2 2 dt

2

A2

∫ A(s )ds 1

Általában az integrál áramvonal mentén értendő. Eredetileg (11)-ben (10) alapján a bal oldalon

A2

s1

∫ A(s )ds , a jobb oldalon ∫ 0

s2

0

A2 ds áll. Rendezés után A(s )

kapjuk a (11) egyenletet. p1=p2=p0 , és c2 kifejezhető c1 –gyel a kontinuitás szerint:

c2 =

A1 c1 és c1 = − x& , mivel c1 = s& . A2

Ezeket figyelembe véve (11) ilyen lesz: 2

(12)

 A1    − 1 A gx &x& −  2 2 x& 2 + =0 2 A1 A1 A1 A1 2 ∫ ds ds A2 1 A A2 ∫1 A

Most (12) alaki integrálját így számíthatjuk: Minden t pillanatban, azaz minden x-re ki kell számítani az 2

∫

2

∫

integrált; A1/A=1 lévén 1ds = − dx , s2 − s1 = x1 − x2 . 1

1

2

Mivel s2 − s1 = s és x1 − x2 = x , ezért s = x és

A1

∫ A ds = x . Így (12) az ábrabeli tartályra: 1

2

(13)

 A1    − 1 A A &x& −  2  x& 2 + 2 g = 0 A A1 2 1x A2

Ha most extrém helyzetben A1=A2, akkor (13)-ból (13/a) &x& = − g , vagyis a szint szabadeséssel süllyed, azaz a folyadék kiesik a tartályból. A (13) leírás a helyes és nem a (2), természetesen (13) is tartalmazza a kiesés extrém esetét. Nézzük most már ebből a helyes megoldást, vagyis a (13) egyenlet megoldását. Legyen

(14)

 A1    − 1 A k= 2 , ekkor A1 2 A2

(15)

&x& − k

x& 2 A2 + g =0 x A1

a megoldandó egyenlet. Legyen az új változó: (16) x& = p( x ) ahol p(x) most az x-től függő sebességet jelenti. Ekkor &x& = pp ' és

p 2 A2 + g = 0. x A1 A 2 2 Ezt átalakítva: p ' x − 2kp + 2 2 g = 0 , A1 (17)

pp '−k

mivel pp '=

( )

1 d p2 . 2 dx

Ismét új változó: (16/a)

z = p 2 . Ekkor

(18)

z ' x − 2kz + 2

A2 gx = 0 . A1

Ismét új változót vezetünk be: u(x), melyre

z = x 2k u . 2 k −1 2k Ebből z ' = 2kx u + x u ' . Ezeket (18)-ba helyettesítve kapjuk, hogy A (19) u ' = −2 2 gx −2 k . A1 (16/b)

Felhasználva (16/b), (16/a) és a (16) összefüggéseket, miután (19)-t kiintegráltuk, kapjuk – a B egyelőre szabad konstanssal – a c1 szintsebességre, hogy (20)

c1 = − Bx 2 k − 2

A2 x g . A1 1 − 2k

A kezdőfeltétel az, hogy a csap kinyitása pillanatában a felső szint még éppen nem mozog. Tehát x=H , c=0. Ezt (20) képletbe helyettesítve: B = 2

A2 g H adódik. Így a szint süllyedési sebességének végső A1 1 − 2k H 2 k

formulája az alábbi: 2k

(21)

c1 = − 2

A2 g  x H  − x . A1 1 − 2k H 2k

x  x   − A H H Másképpen: c1 = − 2 2 g H A1 1 − 2k Ez tehát a helyes formula (3/b)-vel szemben. x=H –ra c1 valóban zérus. Ahogy x csökken, a sebesség növekszik, azaz felgyorsul a folyadék. De közben ellentétes hatás kezd érvényre jutni, a csökkenő folyadékszint magasság egyre kisebb nyomást biztosít alul, ezért egy maximum elérése után a sebesség csökken, amint ezt (3/b) is tartalmazza, de kizárólag a sebesség csökkenését, ezért is hibás. Végül x=0 –ra (21)-ből c1=0. Nincs kikötés a tartály és a kifolyócső keresztmetszetére nézve, sőt az a fejezetben alkalmazott meggondolás kell, hogy érvényes legyen A2 > A1 –re is, vagyis amikor pl. egy vékony csőből folyik ki a folyadék egy nagy keresztmetszetű tartályba. Ezért a (14)-ben adott k bármilyen értékre nézve sem lehet (21)ben negatív szám a gyök alatt. Ezt könnyen beláthatjuk, ha a (21) képlet egy részét így írjuk: 2k

(22)

 x H  − x H f (k ) =   1 − 2k Nézzük meg, hogy a (0,H) intervallumon belül mikor pozitív a számláló. Legyen tehát 2k

 x H H   − x > 0 a feltétel. (Mivel x/h < 1), Ez egyenértékű a   H  x

2k

<

H feltétellel. Rögtön látjuk, hogy x

ez az egyenlőtlenség bármilyen lehetséges x-re 2k<1 , azaz k<1/2 esetén teljesül. De ekkor 1-2k>0 ugyancsak fennáll. Hasonló gondolattal f(k) számlálója akkor negatív bármilyen x-re, ha k>1/2, vagyis ugyanakkor a

nevező is negatív. Hátra van még a k=1/2 eset vizsgálata, ami fizikailag érdektelen, de matematikailag nem. A 2k

(22)-t így írjuk most: lim (kÆ1/2)

 x H  − x H . 1 − 2k

A L’ Hospital szabállyal az adódik, hogy ez a határérték: xln(H/x). Az A2/A1 érték k=1/2 esetén 2 / 5 − 1 , így c1 képlete ez esetben: c1 =

4g H x ln . 5 −1 x

Fizikailag az az érdekes, mint extrém eset, mikor a folyadék szabadeséssel kiesik az edényből. Ekkor A1=A2, tehát k=0. Jól látható (21)-ből, hogy ekkor c1 =

2 g (H − x ) , ami pontosan a szabadon eső test – jelen

esetben – a folyadéktömb sebesség képlete, ha H magasságból ejtettük. Ugyanekkor (15)-ből az is látható, hogy k=0 feltétellel &x& = − g , ami szintén a szabadesést fejezi ki. Hátra van még annak megvizsgálása, hogyha szűkítjük a kifolyócső keresztmetszetét (A2Æ0), hogy alakul a szint sebessége. Erről a (21) formula ad felvilágosítást. Ha A2Æ0, akkor (14)-ből következik, hogy kÆ∞. Mivel x/H ≤ 1, azért (21)-ből egyértelműen következik, hogy c1Æ0, amint vártuk is. Ugyanez következik a kevésbé pontos (3/b) képletből is. Nézzük, mekkora a kifolyócsőben a kifolyás sebessége, c2 nagysága, ha 2k

A2Æ0. Mivel c2=(A1/A2)c1 tehát c2 = − A1

2g  x H  − x A1 A2 (1 − 2k ) H

A2Æ0 esetén 2kA2ÆA1,

továbbá x/H < 1 lévén (x/H)2kÆ0, azért lim(A2Æ0) c2 = −

2 gx ,

ami a Bernoulli-törvényből következő kifolyási sebesség. Annyiban érthető ez a hamis eredmény, hogy ebben a határesetben már nincs szó a folyadék felgyorsításáról, tehát egyre inkább stacionárius lesz az áramlás, nem jut szóhoz a (6)-tal adott dc mindkét tagja. Ezzel azonban egy újabb probléma jelentkezik, ami most már mindkét meggondolás hiányosságára utal. Lehetetlenség ugyanis, hogy a kifolyási sebesség határhelyzetben A2Æ0 érzéketlen legyen a kifolyócső keresztmetszetére, hiszen ez ellentmond annak a ténynek, hogy egy csappal elzárhatjuk az áramlást. A2Æ0 egy beiktatott csap hatását modellezi. Itt jön szóba a belső súrlódás szerepe. Ezt egyik esetben sem vettük figyelembe, holott kis áramlási keresztmetszetnél egyre számottevőbb. Az áramlás intenzitása a keresztmetszet négyzetével arányos adott belső súrlódási együtthatójú folyadék esetén. Az áramlás intenzitása viszont a sebesség és a keresztmetszet szorzatával arányos. Végül is az áramlás sebessége a keresztmetszettel arányos. Mind ezek a Hegen-Poiseuille törvény következményei. A v =

2 gx kiömlési sebesség csak az x folyadékmagasság függvénye, azaz a nyomás

függvénye és független a kiömlő nyílás méreteitől. Valójában ez nem igaz, a súrlódásmentesség feltételével adódik csak. A csap hatását egyszerű modellel szemléltethetjük. Illesszünk a tartály aljához egy vízszintes kifolyócsövet, mely elvékonyodik. Ha a szűkület egyre kisebb (cseréljük a csöveket), az egyenértékű azzal, mintha az állandó keresztmetszetű kifolyócsőre egy elzáró csapot szerelnénk, és azt folyamatosan zárnánk el. Úgy lehetne gondolkodni, hogy a kontinuitás miatt a vastagabb szakaszon időegység alatt bemegy, ugyanannyi megy ki a vékonyabbon is. Képletben v1A1=v2A2. Ha tehát A2Æ0, akkor a szűkületen nem megy át semmi, tehát a vastagabb csőszakaszon sem, s így természetes magyarázatát adtuk a csap hatásának a belső súrlódás figyelmen kívül hagyásával. Gondoljuk meg azonban a következőt. A vastagabb szakaszon, amely tehát a tartállyal érintkezik, a vízhozam állandó, azaz az időegység alatt átfolyt víz mennyisége az, mivel a

v = 2 gx sebesség képlet alapján – hacsak x=H kezdeti szintet utántöltéssel tartjuk – a sebesség és így a vA1 szorzat, a vízhozam is állandó. Természetesen a sebességnek ez a képlete csak súrlódásmentes áramlásra igaz. Ezek szerint az előbbi v1A1=v2A2 összefüggés alapján A2 hiába csökken, a v1A1 szorzat változatlan. Ez csak úgy lehet, hogy v2 növekszik, s a csapot hiába forgatjuk, az hatástalan. A valóságos, városi vízhálózatban és a csap állásától független a csőben a víznyomás, így értéke jó közelítéssel állandónak vehető, így ez a modell lényegében modellezi a valóságos helyzetet is. Végül is tehát a csap hatása, azaz a szűkítéssel létrehozott vízhozam csökkentés az elzáráshoz közeli, kritikus helyzetben egyre inkább a belső súrlódás hatásának következménye.

2.2 A Bernoulli törvény néhány elemi, de nem szokványos esetben

Tekintsük a 2.2 ábra szerinti áramlást, ahol a végig állandó keresztmetszetű csőben a 0 szintet hozzáöntéssel mindig tartjuk és az áramlás súrlódásmentes. Milyen magasan áll a folyadék az 1 helyre helyezett manométer csőben? Alkalmazzuk a Bernoulli törvényt a 0-2 helyre (2 hely a kifolyó nyílás), majd a 0 és az 1 helyre. Ekkor

p0 + Hρg = p0 +

1 2 ρv . 2

Ebből az összenyomhatatlanság miatt az egész csőben, v =

2 gH . Továbbá p1 +

1 2 ρv = p0 + Hρg . 2

Felhasználva az előbbit, p1=p0. Azaz az 1 helyen a cső falát is a p0 légnyomással egyenlő nyomás éri belülről, ezért a manométer csőben zérus a vízoszlop magassága, nem emelkedik fel a víz egyáltalán. Az ilyen kísérletekben és a hivatkozott ábrákon a vízszintes csőszakasz mentén mindig lineárisan csökkenő folyadék magasságot láthatunk az egyes manométer csövekben. Természetesen ez a helyes. Hogy a mostani számítás a helye, az azért van, mert feltételeztük a súrlódásmentes áramlást. Ebben a határhelyzetben valóban így lenne. Ennél a jelenségnél a súrlódás igen pregnánsan jelentkezik minden különösebb kísérleti technika nélkül. Határozzuk meg a 3 helyen – a függőleges mentén – az áramló folyadék nyomását.

p0 + Hρg = p3 + hρg +

1 2 ρv 2

A sebesség képletét felhasználva kapjuk, hogy (19) p3 = p0 − hρg Látható, hogy a függőleges csőszakasz mentén a külső nyomásnál kisebb a nyomás. Tekintsük most a 2.3 ábrát. Függőleges helyzetű tartályból alul vékony kifolyó nyíláson áramlik ki súrlódásmentesen a folyadék. A tartály keresztmetszete A0, a kifolyócsőé A. Határozzuk meg a nyomást a tetszőleges 1 helyen, ha a folyadék kezdeti 0 szintje állandó.

Felhasználva a stacionaritást, a sebességre a kifolyócsőben, annak kezdetén érvényes v = tartályban lévő áramlási sebességre kapjuk, hogy u =

A 2 gH . A0

2 gH képletéből a

A Bernoulli törvény a zérus szinten és az 1 helyen, ha most a folyadék magasságokat a kifolyócső kezdetétől, mint alap szinttől számítjuk:

p0 + H 0 ρg = p1 + (H 0 − x )ρg +

1 2 ρu . 2

Felhasználva az u sebesség képletét, végül is (20)

  A 2  p1 = p0 − ρg  H   − x  .   A0  

Ha A=A0, akkor (20) átmegy (19)-be. Ha A=A0 és x=0, akkor p1 a legkisebb. Ha ezen felül a tartály magasságát egyre növeljük, H=10 m esetén (20)ból p1=0 lesz. Ezt ad abszurdum tekintve, úgy lehetne értelmezni, hogy a folyadék mintegy „leszakad” a 0 szintnél. Ha viszont elzárjuk a kifolyócsövet, tehát A=0, akkor (20)-ból p1 = p0 + ρgx , vagyis a szabad felszínű nyugvó folyadék sztatikai nyomását kapjuk. Ez egyben a tanítási alaphelyzet is. Másrészt még p1=p0, ha

x = H ( A / A0 ) ≤ H . A kifolyócső alján (x=H) már p1
A=A0 –val már p1=p0. Elemezzük most a szivornyát! Például hordóból bort akarunk kiszívni. Ha a belehelyezett állandó keresztmetszetű gumicsőhordón kívüli vége lejjebb áll, mint a másik, akkor folyamatosan leszívja a bort a hordóból. A fizikai helyzetet a 2.4 ábra mutatja.

Ismét stacionárius, súrlódásmentes áramlást tekintünk. Először a bal oldali csövön kiáramló folyadék sebességét határozzuk meg. Ha a csőben lévő folyadékot, mint egészet tekintjük, ez egy rendszert képez, bár mindig más-más molekulák alkotják azt. Ha a jobb oldali tartály elég nagy felületű és nem túl nagy a folyadéknak a kiáramlási sebessége a bal csővégen, akkor a jobb oldali tartálynál a beáramlási sebességet zérusnak tekinthetjük, a bal csővégen meghatározott v sebességgel áramlik ki a folyadék. A stacionaritás miatt az egész csőben v az áramlás sebessége csak éppen a jobb oldali bemenetnél zérus, ahol a cső keresztmetszete mintegy a tartály felületévé szélesedik. A két csővégre alkalmazva a Bernoulli törvényt,

p0 + ρg (H − h ) = p0 +

1 2 ρv , amiből 2

(21) v = 2 g (H − h ) , vagyis a két cső csonk magasságkülönbsége szabja meg a kifolyási sebességet. Határozzuk meg a jobb és a bal oldali függőleges csőben tetszőleges x ill. y magasságokban a sztatikus nyomást, miközben tart az áramlás. A szóban forgó hely és a megfelelő csővégre alkalmazva a Bernoulli törvényt: 2

1 2 1 ρv + ρgx = ρv 2 + p0 , 2 2 p x = p0 − ρgx . 1 (22) p y + ρv 2 + ρg ( y + H − h ) = p0 + ρg (H − h ) 2 px +

Felhasználva a (21) összefüggést, (23) p y = p0 − ρg ( y + H − h ) .

Látható, hogy p
[

]

Láthatóan F (∆x ) = 0 . Ugyanezt a számítást elvégezzük a jobb oldali függőleges csőre is.

F (∆y ) = p y A − ρg∆yA − p y ( y + ∆y )A .

Ha (23)-ból py megfelelő értékeit behelyettesítjük, látjuk, hogy F (∆y ) = 0 . Mivel a vízszintes szakaszon végig egyenlő nyomás uralkodik, azért ott sem hat erő a folyadékra.

2.3 Néhány paradox helyzet az impulzus-tétellel kapcsolatban Az előbbi problémában a rendszer kétszeresen megtört csőrendszer. Ha ebben folyadék áramlik, a sebesség irányváltozását a csőfal részéről fellépő erő okozza. Ezt pontosan az impulzus-tétel fejezi ki. Ha áramlás irányú erő nincs, de a sebesség irányát megváltoztató erő van, a sebesség agysága marad állandó. Általában a sebesség nagysága is változhat, és tetszőleges lehet az áramlási tér is, így az impulzus-tétel: (24)

r r r r r ρ = ρ − v v d A g dV pd A ∫ ∫ ∫ , A

V

A

ha nincs súrlódás. A kifelé irányított felületi normális a pozitív, így beáramlás negatív, kiáramlás pozitív járulékot ad a baloldalon, azért ez az áramlási térben tekintett tetszőleges zárt, un. ellenőrző felületen való másodpercenkénti teljes impulzusváltozást adja. A jobb oldalon az elzárt folyadék súlyát látjuk első tagként, a második tag a nyomásból adódó erő, aminek egy része a csőfaltól származó erő. Alkalmazzuk a (24) impulzus-tételt konkrétan a 2.4 ábrabeli elrendezésre úgy, hogy külön-külön a két függőleges csőszakaszra és a vízszintesre. A könyököket tehát kihagyjuk. Láttuk, hogy bármelyik szakaszra az összes erő zérus, azaz (24) jobb oldala zérus. (A vízszintes szakaszon a súlyt a csőfal reakciója kompenzálja.) Tudjuk továbbá, hogy a v sebesség nagysága végig ugyanaz, azért a be-és kilépő impulzusok különbsége is zérus, így (24) bal oldali is zérus. A (24) tétel 0=0 azonosságba megy át, ami nem ellentmondás de a jelen helyzetben nem tudunk belőle következtetni a folyadékáramlás paramétereire, hiszen (24)-ben v és p értékét kívülről kellett vennünk. p értékeihez /(22), (23)/ úgy jutottunk, hogy előzőleg ki kell számolnunk a v sebességet. Az impulzus-tétel tehát nem minden körülmények között ad új információt. Tekintsük most a 2.1 fejezetben a függőleges csőből való kiáramlás esetét; ott a (7) és (11) Bernoulliegyenlet írja le az általános esetet. Vizsgáljuk azt a kritikus helyzetet, mikor a csőből kiesik a folyadék, és alkalmazzuk az impulzus-tételt erre. A (13/a) egyenlet ad számot a folyadék szabadeséséről. Most az esésben lévő folyadék belsejében kiszemelünk egy vékony hengeres oszlopot, és erre írjuk fel a mostani (24) impulzustételt. Ki kell számítanunk tehát a fedő- és alaplapon jelentkező nyomásokat, majd a ∆x magasságú henger súlyát:

Ehhez ismét a 2.1 fejezet (11) egyenletét alkalmazzuk úgy, hogy a 2 index most is a cső alját jelenti, az 1 index viszont az egész eső folyadéktömeg belsejében egy helyet, mely x-re van a 2 indexű helytől. Tehát most az 1 hely nem a 2.1 ábra szerinti felső szint. Figyelembe vesszük továbbá (13/a) értékét a dc2 / dt deriváltban. Vegyük figyelembe végül, hogy c1=c2 minden pillanatban, bár c1 és c2 állandóan növekszik. Viszont a (11) egyenlet mindkét oldala ugyanarra a pillanatra vonatkozik. Ilyen feltételek mellett (11): p( x ) + ρgx = p0 + ρ (− &x&)x ; (13/a) szerint x = -g, tehát a keresett nyomás p ( x ) = p0 .

Arra jutottunk, hogy p(x) független x-től, az egész, szabadon eső folyadékban a sztatikai nyomás a külső p0 nyomás. Ez végül is természetes, mert a folyadék az un. súlytalanság állapotában van. Ha pl. valaki az eső folyadék belsejében tartózkodna, nem hatna rá hidrosztatikai nyomásból származó erő. Ha most az (1,1’) síkokkal határolt ∆x vastagságú folyadékot tekintjük, arra p(x)A erő hat felfelé, p(x+ ∆x )A erő lefelé és ρg∆xA súlyerő lefelé. Az első két erő összege az előbbiek szerint zérus, így (24) jobb oldala ρg∆xA . Viszont (24) bal oldala zérus, hiszen a változó sebesség ugyanabban a pillanatban mindenhol ugyanaz. Ezek szerint ebben a problémában a (24) impulzus-tétel már így nem is igaz. Valóban, nem stacionárius áramlások esetén a (24) alakban adott impulzus-tétel nem is áll. Ilyenkor a határoló felületek közé eső folyadéknak is ki kellene számítani az impulzus-változását; a ∂ / ∂t ( ρv )dVdt mennyiségeket és ezeket a vizsgált folyadékrészt határoló felületek bezárta térfogatra integrálni. Ezzel azonban elvész az impulzus-tételnek az a nagy előnye, hogy az áramlást csak a határoló felületek mentén kell ismernünk.

2.4 Az impulzus-tétel egy alkalmazása

Tekintsük egy szájával lefelé fordított egyenlő szárú, állandó keresztmetszetű (A) U csövet, mely vízzel telt tartályba merül. Szivattyúval a csőben állandó sebességű áramlást tartunk fenn. Az U csövet középen egy rugóval a mennyezethez erősítjük. Oldalirányú mozgásokat nem engedünk meg, az áramlás súrlódásmentes. Mekkora legyen a víz sebessége, hogy a be- és kilépő helyeken – csővégeken – azonos sztatikai nyomás uralkodik – vagyis a kis nyomáskülönbséget elhanyagoljuk – akkor az áramló folyadékra két erő hat; a súlya és a két csőkönyöktől származó erő. Legyen a körülzárt térfogat az egész áramlási cső térfogata, így az ellenőrző felület az U cső belső felülete s csak így érvényes az erőre tett kijelentés. Szemléletesség kedvéért képzeljük el, olyan nagy az áramlási sebesség, hogy a rendszer megemelkedik és a rugó kissé összenyomódik. Az Fr rugóerő nyomja lefelé a csövet, így az áramló folyadékot is, mint a csőfaltól származó erő, azon kívül a folyadékra hat még a saját súlya. Az impulzus-tétel szerint a 2.6 ábra alapján, vagy másképpen, figyelembe véve, hogy a ρAv tömegű folyadék teljes sebességváltozása – vagyis a csőbe való belépéstől annak elhagyásáig – kapjuk, hogy (25)

Fr + G = 2 ρAv 2 ,

ahol G a csőben lévő folyadék súlya. Ha Fr=0, akkor a rugó feszítetlen. Ennek feltétele, hogy 2 ρAv = G , 2

vagyis v =

mg legyen, ahol m a G súlyú folyadék tömege. Mivel m=Alg, ha L a cső hossza, így v 2 ρA gL . 2

egyszerűbben írva: v =

Láthatóan v nem függ a cső alakjától, csak az számít a jelenlegi v képlet érvényességét illetően, hogy be- és kilépéskor a sebességek ellentetten párhuzamosak legyenek. Tehát pl. ilyen cső is:

Ha olyan kicsi kezdetben az áramlási sebesség, hogy a rugó kevéssé megnyúlt, akkor Fr felfelé mutat és (25) ilyen: G − Fr = 2 ρAv . Ekkor v értékét növelni kell, hogy az Fr=0 kritikus helyzetet elérjük. 2