Golden Ratio (Rasio Emas) Rasio emas yang juga disebut sebagai proporsi Tuhan, telah diketemukan oleh para Phytagorean pada tahun 500 SM. Rasio ini memiliki banyak aplikasi menarik dalam geometri. Rasio emas dapat ditemukan menggunakan barisan Fibonacci, 1, 1, 2, 3, 5, 8, …, an , dimana an diperoleh dari menjumlahkan dua bilangan sebelumnya. Misal, 1 + 1 = 2, 1 + 2 = 3, 2 + 3 = 5, dan seterusnya. Hasil bagi dari dua bilangan yang berurutan berbentuk . Bilangan-bilangan yang terbentuk akan menghasilkan barisan baru, yaitu: 1, 2, 1.5, 1.66…, 1.6, 1.625, 1.61538…, 1.61904…, … . bilangan-bilangan ini mendekati suatu bilangan desimal yaitu 1.61803…, yang disebut dengan rasio emas, disimbolkan dengan nilainya adalah
√
.
Berikut beberapa hal unik tentang rasio emas. 1. Aesthetics. Suatu persegi panjang emas, karena perbandingan dari panjang dan lebarnya membentu rasio emas. Persegi panjang ini dianggap oleh orang Yunani sebagai bentuk yang nyaman dipandang.
Sepanjang garis ini, memperlihatkan bahwa kartu indeksnya berdimensi 3 × 5 dan 5 × 8, dua pasang bilangan tersebut dalam barisan Fibonacci menghasilkan hasil bagi yang mendekati nilai . 2. Geometri Fallacy (kesalahan geometri). Jika kita memotong persegi sebagaimana yang ditunjukkan pada gambar di sebelah kiri dan disusun kembali seperti pada gaambar persegipanjang sebelah kanan, daerah yang dihasilkan sungguh unik.
Perhatikan hawa bilangan 5, 8, 13, 21 yang terbentuk. Jika bilangan-bilangan dari barisan Fibonacci diganti dengan 8, 13, 21, 34, masing-masing membentuk hasil yang unik. Keunikan ini berlanjut terus sepertihalnya pada barisan Fibonacci. Bagaimanapun, jika keempat bilangan tersebut diganti dengan 1, dan 2 + 1, masing-masing sangatlah serasi. 3. Tempat-tempat yang unik. Perhatikan bagian dari segitiga Pascal berikut.
1
Jika disusun secara cermat, maka akan terbentuk barisan Fibonacci.
Tiga hal tersebut ada beberapa dari sekian banyak hubungan yang menarik antara rasio emas dengan bilangan Fibonacci. STRETEGI 12 Work Backward Normalnya, untuk memecahkan suatu soal kita akan memulai dari awal dan bekerja maju hingga mendapatkan jawaban. Untuk kali ini, akan lebih efektif ketika kita memecahkan suatu masalah dari akhir kemudian bekerja mundur. Berikut ini contoh masalah yang tepat untuk diselesaikan dengan strategi ini. Masalah awal Seorang PKL memiliki sekeranjang apel. Merasa dermawan suatu hari, ia membagi-bagikan setengah dari apel nya ditambah satu untuk orang asing pertama yang ia temui, setengah dari apel yang tersisa ditambah satu untuk orang asing berikutnya yg ia temui, dan setengah dari apel yang tersisa ditambah satu untuk orang asing ketiga yang ia temui. Jika penjual memiliki sisa satu untuk dirinya sendiri, Berapa banyak apel mula-mula yang ia miliki?
PETUNJUK Strategi Work Backward baik diterapkan ketika: a. Hasil akhir yang jelas dan bagian awal dari masalah tidak jelas. b. Masalah berlangsung dari yang kompleks di awal kemudian menjadi sederhana di akhir. c. Pendekatan langsung melibatkan persamaan rumit. d. Masalah melibatkan suatu urutan tindakan berbalik. PENDAHULUAN Pada Bab 6, himpunan pecahan telah diperkenalkan untuk menunjukkan bagian-bagian dari keseluruhan. Dalam bab ini kami memperkenalkan desimal, yang merupakan sistem penomoran yang mudah untuk pecahan, dan persen, yang merupakan representasi dari pecahan yang biasa digunakan untuk perdagangan. Kemudian konsep rasio dan proporsi yang dikembangkan karena pentingnya mereka dalam aplikasi matematika secara menyeluruh.
2
7.1 DESIMAL Standar NCTM Semua siswa harus memahami struktur nilai tempat dari sistem bilangan basis 10, dapat menyatakan dan membandingkan bilangan cacah dan desimal.
Bilangan .1, .10, dan .100 semuanya adalah sama, namun dapat dinyatakan secara berbeda. Dengan menggunakan Balok Basis Sepuluhan, bilangan .1, .10, dan .100 dapat ditampilkan sebagai berikut.
Desimal Desimal digunakan untuk menyatakan pecahan dalam notasi nilai tempat basis 10 yang biasa kita gunakan. Untuk lebih jelasnya, kita dapat melihat pecahan pada gambar 7.1 berikut. 1000 Ribuan : 10
=
100
Ratusan
: 10
=
10
Puluhan
: 10
=
1
Satuan
: 10
=
Persepuluhan
: 10
=
Perseratusan
: 10
=
Perseribuan
Gambar 7.1
Refleksi dari Penelitian Siswa sering memiliki kesalahpahaman tentang notasi bilangan desimal. Beberapa siswa melihat titik desimal sebagai sesuatu yang memisahkan dua bilangan cacah (Greer, 1987)
3
(
)
(
)
(
)
( )
(
)
(
)
(
)
, dibaca “Tiga ribu
Bentuk di atas dapat dipandang sebagai 3457.968 =
empat ratus lima puluh tujuh dan sembilan ratus enam puluh delapan perseribu”. Kata “dan” pada kalimat baca tersebut harus digunakan sebagai pemisah pada notasi desimal. Gambar 7.2 berikut suatu persegi ratusan dapat digunakan untuk menunjukkan persepuluhan dan perseratusan. Perhatikan bahwa persegi besar (keseluruhan persegi) mewakili bilangan 1, satu strip vertikal mewakili bilangan 0.1, dan masing-masing persegi kecil mewakili bilangan 0.01.
0,4 atau 4 persepuluhan
0,07 atau 7 perseratusan
Gambar 7.2
Selain dengan persegi satuan dapat juga menggunakan garis bilangan untuk menggambarkan suatu desimal. Lihat Gambar 7.3 berikut.
Gambar 7.3
Desimal yang telah kita pelajari sejauh ini dinamakan dengan Terminating Decimal (Desimal Berakhir), karena dapat dituliskan dengan sejumlah angka tidak nol tertentu di sebelah kanan titik desimal. TEOREMA Misalkan adalah suatu pecahan sederhana. Kemudian
adalah suatu desimal berakhir
jika dan hanya jika b hanya memiliki faktor prima 2 dan/atau 5. ( karena b dapat dijabarkan dalam bentuk pangkat dari 10).
Refleksi dari Penelitian Siswa harus didorong untuk mengekspresikan pecahan desimal dengan bahasa bermakna (daripada menggunakan "titik"). Hal ini kadang-kadang membantu siswa memecah bentuk pecahan ke dalam komposisi persepuluh, misalnya, 0,35 akan dibaca tiga persepuluh ditambah 5/100 bukannya 35/100 (Resnick, Nesher, Leonard, Magone, Omanson, & Peled, 1989).
4
Desimal Berurut Desimal berakhir dapat dibandingkan menggunakan persegi ratusan, dengan menggunakan garis bilangan, dengan membandingkan mereka dalam bentuk pecahan mereka, atau dengan membandingkan nilai tempat satu per satu dari kiri ke kanan seperti kita membandingkan bilangan cacah. Refleksi dari Penelitian Kesalahan siswa mengidentifikasi suatu bilangan missal 0,1814 adalah lebih besar dari 0,3 karena karena 0,1814 memiliki angka yang lebih banyak (Hiabert & Wearne, 1986) Mental Matematika dan Perkiraan Operasi-operasi pennambahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian yang melibatkan desimal mirip dengan operasi pada bilangan cacah. Secara khusus, nilai tempat memiliki peran penting. Sebagai contoh, untuk menemukan jumlah 3.2 + 5.7, Seseorang bisa menambahkan bilangan cacahnya terlebih dahulu, 3 + 5 = 8, kemudian persepuluh, 0.2 + 0.7 = 0.9, kemudian didapatkan 8.9. Amati bahwa bilangan cacahnya ditambahkan terlebih dahulu, baru kemudian persepuluh, penambahan dilakukan dari kiri ke kanan. Dalam hal menemukan jumlah 7.6 + 2.5, orang bisa menambahkan persepuluh pertama, 0.6 + 0.5 = 1.1, kemudian menggabungkan jumlah ini dengan 7 + 2 = 9 untuk mendapatkan jumlah 9 + 1.1 = 10.1. Dengan demikian, seperti dengan bilangan cacah, desimal dapat ditambahkan dari kiri ke kanan atau kanan ke kiri. Standar NCTM Siswa harus menggunakan model, patokan, dan bentuk senilai untuk memperkirakan nilai pecahan. Refleksi dari Penelitian Siswa sering mengalami kesulitan memahami kesenilaian antara desimal dan pecahan (misalnya, bahwa 0,4 adalah sama dengan 2/5). Penelitian telah menemukan bahwa pemahaman ini dapat ditingkatkan dengan mengajarkan keduanya secara bersamaan dengan menggunakan desimal dan pecahan untuk menggambarkan situasi yang sama (Owens, 1990).
5
TEOREMA Mengali/Membagi Desimal dengan Pangkat dari 10 Misalkan n suatu desimal dan m suatu bilangan cacah bukan nol. Mengalikan n dengan 10m senilai dengan membentuk bilangan baru dengan memindahkan titik desimal n sebanyak m angka ke kanan. Membagi n dengan 10m adalah senilai dengan membentuk bilangan baru dengan memindahkan titik desimal n sebanyak m angka ke kiri. Mengalikan/membagi dengan pangkat dari 10 dapat digunakan mempermudah mengalikan suatu desimal. Sebagai contoh, untuk menemukan hasil kali 0.003 × 41,000, kita dapat mengaalikan 0.003 dengan 1000 (menghasilkan 3) dan kemudian membagi 41,000 dengan 1000 (menghasilkan 41) mka hasil kali 3 × 41 = 123.
SEPOTONG MATEMATIKA Notasi Desimal telah berkembang selama bertahun-tahun tanpa kesepakatan universal. Simak daftar berikut ekspresi desimal untuk pecahan . Notasi Tahun Muncul 3 142 1522, Adam Riese (Jerman) 3|142 & 3,142 1579, Francois Fieta (Prancis) 0 1 2 3 3 1 4 2 1585, Simon Stevin (Belanda) 3 · 142 1614, John Napier (Skotlandia) Sekarang, orang Amerika menggunakan "titik desimal" versi notasi Napier (3.142, di mana titiknya terletak pada baris), Inggris mempertahankan versi asli (3 · 142, di mana titiknya terletak di tengah-tengah baris), sedangkan Perancis dan Jerman mempertahankan notasi "koma desimal" Vieta (3,142). Oleh karena itu, hingga sekarang belum ada kesepakatan universal tentang pemakaina notasi decimal ini.
7.2 OPERASI PADA DESIMAL Para peneliti telah menciptakan istilah "perkalian membuat lebih besar" untuk menggambarkan kesalahpahaman siswa bahwa dalam setiap masalah perkalian, hasil kali selalu lebih besar dari masing-masing faktor. Situasi bagaimana "Perkalian membuat besar" tidak terjadi? Demikian pula, "pembagian membuat lebih kecil" digunakan untuk menggambarkan kesalahpahaman siswa bahwa dalam masalah pembagian, hasil bagi selalu lebih kecil dari yang dibagi. Kapan situasi ini tidak berlaku? Diskusikan di mana kesalahpahaman "perkalian membuat lebih besar, perkalian membuat lebih kecil". Algoritma Operasi Desimal Algoritma sederhana untuk desimal, yaitu: penambahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian.
6
1. Penambahan Misal: a. 3.56 + 7.95 b. 0.0094 + 80.183 SOLUSI: Kita bisa menemukan jumlahnya dengan dua cara: (1) pendekatan pecahan, dan (2) pendekatan algoritma desimal. (1) Pendekatan pecahan
(2) Pendekatan desimal
Gambar 7.9
Pendekatan desimal seperti halnya pada penambahan bilangan cacah, mengatur angka di kolom sesuai dengan nilai-nilai tempatnya dan menjumlahkan angkaangka dalam setiap kolom, jika selesai bisa dikelompokkan kembali. LIhat Gambar 7.9 2. Pengurangan Misal: a. 14.793 – 8.95 b. 7.56 – 0.0008 SOLUSI: Pada soal seperti ini juga bisa digunakan pendekatan pecahan seperti halnya pada saat soal penjumlahan. Namun, pada soal pengurangan lebih efektif menggunakan algoritma pengurangan. a. Langkah 2 Langkah 3 Langkah 1 Luruskan titik desimal
Kurangkan seperti pada bilangan cacah
Sisipkan titik desimal pada jawaban
7
Catatan: Langkah 2 menunjukkan mental desimal, dimana tidak perlu menuliskan titik desimalnya. b. Tulis kembali 7.56 sebagai 7.5600
3. Perkalian Misal: 437.09 × 3.8. SOLUSI: Mengacu pada perkalian pecahan.
Perkalian Lattice dengan Desimal Misal: 34.5 × 2.05
Jadi hasilnya adalah 70,725. Tahukah kamu? Metode Perkalian Lattice telah digunakan oleh Sekolah di Iran sejak tahun 1010. Matode ini sering juga disebut metode “Kisi”
Langkah 1: Buat suatu praduga sementara hasil kali 34,5 × 2,05 ≈ 35 × 2 = 70 Hasil kalinya dalam puluhan. Langkah 2: Gambarlah Tabel Lattice dan tuliskan angka-angka pembentuk bilangan, termasuk titik desimalnya. Posisi titik lurus dengan dengan angka pembentuknya. Langkah 3: Tuliskan hasil kalinya ke dalam Lattice. Langkah 4: Buat perpanjangan diagonal dari kanan ke kiri. Langkah 5: Letakkan titik desimal pada jawaban. Cara meletakkan titik desimal: Tarik garis bantu horizoltal ke kiri terhadap yang di samping, dan garis bantu vertikal ke bawah terhadap titik yang di atas hingga bertemu pada suatu titik. Arahkah titik pertemuan tersebut secara diagonal ke kiri bawah hingga berakhir pada jawaban.
8
4. Pembagian Misal: 154.63 : 4.7 SOLUSI: Pertama, mari menduka hasil sementara 155 : 5 = 31, tentu hasilnya nanti akan mendekati 31. Selanjutnya kita menggunakan pecahan untuk membagi.
Perhatikan bahwa pada metode pecahan, kita mengganti bentuk desimal sesungguhnya menjadi pecehana senilai yang terdiri atas bilangan cacah. 154.63 : 4.7 15463 : 470 Demikian pula, masalah 1546.3 : 47 juga manghasilkan jawaban 32.9 dengan metode Pendekatan Faktor Hilang. Dengan demikian, sebagaimana contoh ini, berbagai masalah pembagian pada desimal dapat diganti dengan pembagi bilangan cacah yang senilai. Teknik ini biasanya digunakan saat melakukan algoritma pembagian desimal yang panjang. Berikut penjelasan teknik "memindahkan titik desimal" untuk mendapatkan pembagi bilangan cacah. Misal: a dan b adalah suatu desimal Jika a : b = c , maka a = bc, Kemudian a . 10n = bc . 10n = (b . 10n) c untuk setiap n. n n Sedemikian hingga (a . 10 ) : (b . 10 ) = c Dari persamaan terakhir ini menunjukkan bahwa kita dapat mengalikan a dan b (yang dibagi dan pembagi) dengan pangkatan 10 yang sama untuk membuat pembagi bilangan cacah. Teknik ini mirip dengan pengurangan dan penjumlahan yang sama kecuali bahwa pembagian dan perkalian yang terlibat di sini. NOTASI ILMIAH Perkalian dan pembagian suatu bilangan yang besar terkadang akan lebih mudah dengan terlebih dahulu menyatakannya dalam notasi ilmiah. Suatu bilangan dikatakan dalam notasi ilmiah jika dinyatakan dalam bentuk a x 10n, di mana 1 ≤ a ≤ 10 dan n adalah bilangan cacah. a disebut mantissa sedangkan n disebut karakteristik dari a x 10n. Tabel berikut memberikan beberapa contoh dari bilangan yang dinyatakan dalam notasi ilmiah.
9
Berikut contoh permasalahan yang diselesaikan dengan mengubah bilangan menjadi notasi ilmiah.
DESIMAL BERULANG Pada contoh sebelumnya telah kita lihat bahwa pecahan dalam bentuk sederhana adalah pecahan yang penyebutnya adalah 2m . 5n memiliki representasi decimal berakhir. Pecahan jenis ini juga dapat dikonversi menjadi desimal menggunakan kalkulator atau algoritma pembagian bersusun untuk menjadikannya bentuk desimal. Misal
dapat ditampilkan dalam bentuk desimal sebagai berikut.
Jadi, Skarang bagaimana jika bilangan dinyatakan dalam bentuk desimal? Meskipun dengan kalkulator manghasilkan suatu desimal yang berakhir, yaitu 0,333333333. Hal ini dikarenakan keterbatasan tempilan pada kalkulator, nilai sebenarnya lebih panjang dari itu. Dengan menggunakan algoritma pembagian bersusun pun, tidak akan menghasilkan bilangan decimal berakhir, karena sisa pembagiannya selalu 1. Demikian juga dengan bilangan
. Sebagai pengganti titik-titik, ditulis
dengan garis horisontal di atas repetend (digit yang berulang). Berikut beberapa contoh:
10
Bilangan desimal yang memiliki repetend disebut desimal berulang. Banyaknya digit yang berulang tersebut dinamakan periode dari desimal tersebut. Misalnya, mempunyai periode 2 karena digit yang berulang adalah 0 dan 9. Ketika suatu bilangan cacah dibagi oleh 7, maka sisa yang mungkin adalah 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6. Pada desimal berakhir, digit 0 mungkin juga akan muncul sebagai sisa pembagian (dan desimal berakhir), atau ketika, sisa bukan nol muncul kembali sebagi sisa pembagian. Pada kondisi ini, desimal tersebut akan mulai berulang. Perhatikan bahwa sisa hasil bagi 6 muncul sebanyak dua kali, maka desimal tersebut akan mulai berulang tepat pada digit ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅. Demikian pula , akan mulai berulang tidak tersebut. Oleh karena itu lebih dari sisa ke-13,
akan mulai berulang tidak lebih dari sisa ke-23, dan seterusnya.
Dengan memperhatikan beberapa contoh di mana penyebut memiliki faktor-faktor lain selain 2 atau 5, pernyataan berikut akan menjadi jelas. TEOREMA Pecahan dengan Pengulangan, Representasi Desimal Tak berakhir Misalkan suatu pecahan sederhana. Kemudian memiliki representasi desimal berulang yang tidak berakhir jika dan hanya jika b memiliki faktor prima selain 2 atau 5.
Sebelumnya telah dibahas bahwa mudah untuk mengungkapkan suatu desimal berakhir sebagai pecahan. Tapi misalkan suatu bilangan memiliki representasi pengulangan, desimal tak berakhir. Dapatkah kita menemukan representasi pecahan untuk bilangan tersebut? Misal kita akan menyatakan decimal ̅̅̅̅ sebagai suatu pecahan. SOLUSI: ̅̅̅̅ Misalkan n = ̅̅̅̅. maka 100n = Kemudian
100n = 34.343434… n = 0.343434… 99n = 34 n=
Cara ini dapat diterapkan untuk sebarang desimal berulang yang tak berakhir, tidak semua decimal n dikalikan dengan 100. Untuk kasus umum, kita bisa mengalikan decimal berulang tak berakhir n dengan 10m , dimana m adalah banyaknyadigit pada repetend. Misal, untuk ̅̅̅̅̅ menjadi bentuk pecahan, andaikan n = ̅̅̅̅̅ dan kalikan keduanya n menyatakan ̅̅̅̅̅ dengan 103 , karena digit yang berulang adalah ̅̅̅̅̅ mempunyai 3 digit. dan ̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅ Kemudian 103n – n = dari sini kita menemukan hasil bahwa n =
.
11
TEOREMA Setiap pecahan mempunyai representasi desimal berulang, dan setiap desimal berulang memiliki representasi pecahan.
Untuk lebih jelasnya perhatikan diagram di bawah ini.
Pecahan (bentuk sederhana)
Desimal berulang
Penyebut dengan faktor hanya 2 dan/atau 5
Desimal berakhir (salah satu sisanya adalah 0)
Penyebut dengan minimal satu faktornya bukan bukan 2 atau 5
Desimal tak brakhir (repetend-nya bukan 0)
Math Morsel Debugging adalah istilah yang digunakan untuk menggambarkan proses pemeriksaan suatu program komputer untuk kesalahan dan kemudian memperbaiki kesalahan. Menurut cerita dahulu, proses debugging diadopsi oleh Grace Hopper, yang merancang bahasa komputer COBOL. Ketika salah satu programnya tidak berjalan sebagaimana mestinya, kemudian ditemukan bahwa salah satu komponen komputer telah tidak berfungsi dikarenakan serangga (bug) sebenarnya yang ditemukan di antara komponennya. Sejak saat itu, jika suatu program tidak berjalan seperti yang dirancang semestinya maka dikatakan memiliki "bug" di dalamnya. Oleh karena itu harus "didebug."
7.3 RASIO DAN PROPORSI Untuk proyek pembangunannya, Jose perlu untuk memotong beberapa papan menjadi dua 1 bagian A dan B sehingga bagian A sebesar kali bagian B. untuk situasi ini, diskusikan 3 pertanyaan-pertanyaan berikut: 1. Bagian A seberapa besar dari papan tersebut? 2. Bagian B berapa kali besar bagian A? 3. Apa/bagaimana rasio dari bagian A dengan bagian B? Ulangi untuk dua situasi berikut: 3 2 Bagian A sebesar kali bagian B; bagian A sebesar kali bagian B 4 5
12
Rasio Konsep rasio muncul di banyak tempat di matematika dan di kehidupan sehari-hari, seperti ilustrasi contoh berikut. Contoh 7.19 a. Di Washington School, rasio dari murid dengan guru adalah 17 : 1, dibaca “17 banding 1”. b. Di Smithville, rasio cewek dengan cowok adalah 3 : 2. c. Suatu campuran cat memiliki rasio 5 : 3 untuk cat biru dengan cat merah. d. Rasio centimeter dengan inci adalah 2.54 : 1. Pada bab ini, bilangan yang digunakan dalam rasio adalah bilangan cacah, pecahan, atau desimal yang menyatakan pecahan. Dalam bahasa Inggris, kata per berarti “untuk setiap” dan menyatakan rasio. Contohnya, angka-angka seperti mil per galon (jarak mil bensin), kilometer per jam (kecepatan), dollar per jam (upah), sen per ons (harga satuan), orang per mil persegi (kepadatan populasi), dan persen semuanya adalah rasio. DEFINISI Rasio adalah suatu pasangan terurut dari bilangan, ditulis a : b, dengan b ≠ 0.
Tidak seperti pecahan, ada hal-hal dari rasio ketika b dapat berupa nol. Contohnya, rasio dari pria dengan wanita pada permulaan tim basket liga utama dapat dilaporkan sebagai 9 : 0. Bagaimanapun, karena penerapan tersebut jarang terjadi, definisi dari rasio a : b tidak memuat kasus b = 0. Rasio mengijinkan kita untuk membandingkan ukuran relatif dari dua kuantitas. a Perbandingan ini dapat dinyatakan dengan simbol rasio a : b atau sebagai hasil bagi . b 1 Hasil bagi muncul secara alami ketika kita menyatakan rasio. Pada contoh 7.19(a), ada 17 3 banyak guru dan murid di Washington School. Pada bagian (b) ada banyak cewek dan 2 2 cowok di Smithville. Kita juga dapat mengatakan ada banyak cowok dan cewek, atau 3 bahwa rasio dari cowok dengan cewek adalah 2 : 3. Hal ini diilustrasikan pada gambar 7.10.
Gambar 7.10 Refleksi dari Penelitian Anak-anak memahami efek perubahan manjadi bagian-bagian pada keseluruhan yang tak terhitung sebelum mereka mulai sekolah, dan pemahaman ini tidak dimanfaatkan selama 2 tahun berikutnya di sekolah (Irwin, 1996)
13
Perhatikan bahwa ada beberapa rasio yang dapat kita bentuk ketika membandingkan populasi dari cowok dan cewek di Smithville, misalkan 2 : 3 (cowok dengan cewek), 3 : 2 (cewek dengan cowok), 2 : 5 (cowok dengan anak-anak), 5 : 3 (anak-anak dengan cewek, dan lainnya. Beberapa rasio memberi suatu perbandingan sebagian dengan sebagian, seperti Contoh 7.19(c). Pada campuran cat, kita akan menggunakan 5 satuan cat biru dan 3 satuan cat merah. (Suatu satuan dapat berupa sebarang ukuran – milimeter, sendok teh, cangkir, dan lainnya) Rasio dapat juga menyatakan perbandingan dari sebagian dengan keseluruhan atau keseluruhan dengan sebagian. Pada Contoh 7.19(b) rasio cowok (sebagian) dengan anakanak (keseluruhan) adalah 2 : 5. Perhatikan bahwa rasio sebagian dengan keseluruhan, 2 : 5, 2 adalah konsep yang sama dengan pecahan dari anak-anak, yaitu cowok, dinamakan . 5 Perbandingan dari semua anak-anak dengan cowok dapat dinyatakan dengan rasio 5 keseluruhan dengan sebagian yaitu 5 : 2, atau sebagai pecahan . 2 Pada Contoh 7.19(b), rasio cewek dengan cowok menyatakan hanya ukuran relatif dari populasi dari cewek dan cowok di Smithville. Itu bisa 30 cewek dan 20 cowok, 300 cewek dan 200 cowok, atau beberapa pasangan bilangan lain dengan rasio yang ekivalen/sama. Penting untuk dicatat bahwa rasio selalu menyatakan jumlah (banyak) relatif, daripada mutlak. Pada beberapa penerapan, ini berguna untuk mengetahui rasio mana yang menyatakan jumlah (banyak) yang relatif sama. Pertimbangkan contoh berikut. Contoh 7.20 Di kelas 1, rasio dari cewek dengan cowok adalah 8 : 6. Di kelas 2, rasionya adalah 4 : 3. Misalkan tiap kelas memiliki 28 murid. Apakah rasio-rasio tersebut menyatakan jumlah (banyak) relatif yang sama? Solusi. Perhatikan bahwa kelas-kelas dapat dikelompokkan dalam cara-cara berbeda (Gambar 7.11) Kelas 1: GGGG GGGG GGGG GGGG BBB BBB BBB BBB Rasio 8 : 6 Kelas 2: GGGG GGGG GGGG GGGG BBB BBB BBB BBB Rasio 4 : 3 Gambar 7.11 Pengelompokan yang ditunjukkan di Gambar 7.11 tidak mengubah jumlah (banyak) relatif dari cewek dengan cowok dalam kelompoknya. Kita katakan bahwa di kedua kelas ada 4 cewek untuk setiap 3 cowok. Karena itu kita katakan bahwa, sebagai pasangan terurut, rasio 4 : 3 dan 8 : 6 adalah ekivalen/sama, karena mereka menyatakan jumlah (banyak) relatif yang sama. Mereka ekivalen dengan rasio 16 : 12. Dari Contoh 7.20 seharusnya jelas bahwa rasio a : b dan ar : br, dimana r ≠ 0, menyatakan jumlah (banyak) relatif yang sama. Dengan menggunakan argumen yang sama dengan yang digunakan oleh pecahan, kita dapat menunjukkan bahwa rasio a : b dan c : d
14
menyatakan jumlah (banyak) relatif yang sama jika dan hanya jika ad = bc. Jadi kita mempunyai definisi berikut. DEFINISI Kesamaan dari rasio a a c c Misalkan dan sebarang dua rasio. Maka jika dan hanya jika ad = bc. b b d d
Seperti pecahan, definisi ini dapat digunakan untuk menunjukkan bahwa jika n adalah an a a c suatu bilangan tak nol, maka , atau an : bn = a : b. Di persamaan , a dan d bn b b d disebut ekstrim, karena a dan d adalah di posisi ekstrim dari persamaan a : b = c : d, sedangkan b dan c disebut means. Jadi kesamaan dari rasio menyatakan bahwa dua rasio adalah sama jika dan hanya jika hasil kali means sama dengan hasil kali ekstrim. Proporsi Konsep dari proporsi berguna dalam menyelesaikan masalah yang memuat rasio. DEFINISI Proporsi adalah suatu pernyataan bahwa dua rasio yang diketahui adalah sama.
10 5 10 5.2 5 adalah proporsi karena . Dan juga, persamaan 12 6 12 6.2 6 14 22 a c adalah suatu contoh proporsi, karena 14.33 = 21.22. Secara umum, adalah 21 33 b d proporsi jika dan hanya jika ad = bc. Contoh berikut menunjukkan bagaimana proporsi digunakan untuk menyelesaikan permasalahan sehari-hari.
Persamaan
Contoh 7.21 Sekolah Adam memesan 3 karton susu coklat untuk setiap 7 murid. Jika ada 581 murid di sekolah, berapa banyak karton susu coklat yang harus dipesan? Solusi. Buat proporsi menggunakan rasio dari karton dengan murid. Misalkan n adalah banyak karton yang belum diketahui. Maka 3 (karton) n (karton) 7 (murid ) 581 (murid ) Dengan menggunakan sifat perkalian-silang dari rasio, kita peroleh bahwa 3 × 581 = 7 × n 3 581 Jadi n 249 7 Sekolah harus memesan 249 karton susu coklat.
15
Di contoh 7.21, banyaknya karton susu dibandingkan dengan banyaknya murid. Rasio memuat satuan berbeda ( di sini karton dengan murid) disebut rates. Rates digunakan secara bersamaan seperti mil per galon, sen per ons, dan lainnya. Ketika menyelesaikan proporsi seperti pada Contoh 7.21, penting untuk menyusun rasio secara konsisten sesuai satuan yang berhubungan dengan jumlah (banyak). Pada solusi kita, rasio 3 : 7 dan n : 581 menyatakan rasio dari karton susu coklat dengan murid di sekolah. Proporsi berikut dapat juga digunakan. 3(karton rasio) 7(murid rasio) n(karton sekolah) 581(murid sekolah) 3 581 Di sini pembilang menunjukkan rasio asli. (Perhatikan bahwa proporsi tidak tepat n 7 untuk menyatakan permasalahan, karena satuan pembilang dan penyebut tidak bersesuaian.) Secara umum, proporsi berikut adalah ekivalen (dengan kata lain, mempunyai solusi yang sama). Ini dapat dibuktikan dengan perkalian-silang. a c a b b d c d b d c d a c a b Jadi ada beberapa kemungkinan proporsi yang tepat yang dapat diperoleh ketika menyamakan rasio.
Refleksi dari Penelitian Murid kelas 6 “kelihatannya mampu meggeneralisasikan penghitungan yang mereka tahu dengan baik, tetapi mereka mendapatkan kesulitan menggeneralisasi penghitungan dengan sesuatu yang kurang familier bagi mereka. Di sisi lain, sekolah menengah murid akan mendapatkan keuntungan dari pengalaman yang lebih banyak dengan banyak macam situasi perkalian, termasuk keproporsionalan,variasi invers dan perpangkatan” (Swafford & Langrall, 2000) Standar NCTM Semua murid harus mengembangkan, menganalisis, dan menjelaskan metode untuk menyelesaikan masalah yang memuat proporsi seperti penskalaan dan penemuan rasio ekivalen. Refleksi dari Penelitian Ketika ditanya untuk menyelesaikan macam-macam tugas rasio dan proporsi, murid mengakui keperluan bilangan bukan bulat dan akan mengembangkan pemahaman dari konsep perkalian di konsep penambahan rasio dan proporsi. (Lo & Watanabe, 1997)
16
7.4 PERSEN Harga grosir dari jaket yang ditandai naik 40% untuk mendapatkan harga eceran dan harga eceran kemudian ditandai turun 40% untuk harga jual, apakah harga grosir dan harga jual sama? Jika tidak, jelaskan mengapa tidak dan tentukan mana yang lebih besar. Standar NCTM Semua murid harus mengenal dan membangun bentuk ekivalen dari penggunaan pecahan, desimal, dan persen secara bersamaan.
Mengubah persen Persen menyediakan jalan bersama dalam menyatakan pecahan. Kata “persen” 25 memiliki arti kata Latin yang berarti “per seratus”. Jadi 25 persen berarti 25 per seratus, , 100 420 atau 0.25. Simbol % diguunakan untuk menyatakan persen. Jadi 420% berarti , 4.20, 100 n atau 420 per seratus. Umumnya, n% menyatakan rasio . 100 Karena persen adalah pernyataan alternatif dari pecahan dan desimal, penting untuk bisa mengubah ke semua tiga bentuk tersebut, seperti pada Gambar 7.12. Karena kita telah belajar mengubah pecahan ke desimal, dan sebaliknya, ada hanya 4 kasus pengubahan tersisa untuk dipertimbangkan pada Gambar 7.12. Pecahan
Desimal berulang
Persen
Gambar 7.12 Kasus 1: Persen ke Pecahan Gunakan definisi dari persen. Contohnya, 63% =
63 dalam arti persen. 100
Kasus2: Persen ke Desimal Karena kita tahu bagaimana mengubah pecahan ke desimal, kita dapat menggunakan kemampuan ini untuk mengubah persen ke pecahan dan kemudian ke desimal. Contohnya, 63 27 63% = = 0.63 dan 27% = = 0.27. Dua contoh ini menyarankan ke jalan pintas 100 100 berikut, dengan menghilangkan pengubahan ke pecahan. Dengan kata lain, untuk mengubah persen secara langsung ke desimal, “hilangkan simbol % dan pindahkan titik desimal dua tempat ke kiri”. Jadi 31% = 0.31, 213% = 2.31, 0.5% = 0.005, dan lainnya.
17
Kasus 3: Desimal ke Persen Disini kita hanya membalik jalan pintas di kasus 2. Contohnya, 0.83 = 83%, 5.1 = 510%, dan 0.0001 = 0.01% dimana persen diperoleh dari desimal dengan “memindah titik desimal dua tempat ke kanan dan menulis simbol % di sebelah kanan”. Kasus 4: Pecahan ke Persen Beberapa pecahan yang memiliki desimal terakhir dapat diubah ke persen dengan menuliskan 17 2 40 12 3 pecahan dengan penyebut 100. Contohnya, = 17%, = = 40%, = = 100 5 100 100 25 12%, dan lainnya. Juga, pecahan dapat diubah ke desimal (menggunakan kalkutator atau pembagian panjang), dan kemudian kasus 3 dapat diterapkan. Standar NCTM Semua murid harus bekerja fleksibel dengan pecahan, desimal, dan persen untuk menyelesaikan masalah.. Refleksi dari Penelitian Murid yang bekerja pada masalah desimal yang diberikan secara familier, konteks setiap hari meningkatkan pengetahuan mereka lebih signifikan daripada yang bekerja pada masalah non-kontekstual. (Irwin,2001)
Mental Matematika dan Penghitungan Menggunakan Ekivalensi Pecahan Karena banyak penggunaan persen secara bersamaan mempunyai ekivalensi pecahan yang baik sekali, hal ini sering lebih mudah untuk menemukan persen dari suatu bilangan secara mental, menggunakan pecahan. Dan juga, seperti kasus dengan proporsi, persentase dari bilangan dapat dihitung dengan memilih pecahan yang cocok. Contoh 7.27 Temukan persen berikut secara mental, gunakan ekuivalensi pecahan.
Solusi
Menyelesaikan Masalah Persen Pertanyaan berikut menggambarkan 3 tipe berbeda dari masalah yang memuat persen. 1. Suatu mobil dibeli seharga $13,000 dengan uang muka 20%. Berapa uang mukanya?
18
2. Seratus enam puluh dua senior, 90% dari kelas senior, akan mengikuti perjalanan kelas. Berapa banyak senior di sana? 3. Susan mendapat skor 48 poin dari tes 60 poin. Berapa persen jawabannya yang tepat? Ada 3 pendekatan untuk menyelesaikan masalah persen seperti 3 masalah terdahulu. Yang pertama dari 3 pendekatan adalah pendekatan petak dan menyandarkan pada petak 10 × 10 yang diperkenalkan pada awal bagian ini. Pendekatan ini lebih konkrit dan bertujuan untuk memahamkan konsep dasar dari persen. Pendekatan bersama yang lain, proporsi dan persamaan, lebih kuat dan dapat digunakan untuk menyelesaikan masalah berjangkauan luas. Pendekatan Petak Karena persen berarti per seratus, menyelesaikan masalah untuk menemukan persen yang hilang dapat divisualisasikan dengan penggunaan petak 10 × 10 yang diperkenalkan pada awal bagian ini. Contoh 7.29 Jawab 3 masalah sebelumnya dengan pendekatan petak. Solusi 1. Suatu mobil dibeli seharga $13,000 dengan uang muka 20%. Berapa uang mukanya? Misalkan petak pada Gambar 7.14 menyatakan total harga mobil, atau $13,000. Karena uang mukanya adalah 20%, bayangi 20 dari 100 persegi. Solusi dapat ditemukan dengan alasan bahwa 100 persegi menyatakan $13,000, maka 1 persegi menyatakan 13,000/100 = $130 dan oleh karena itu 20 persegi menyatakan uang muka 20 × $130 = $2600.
Gambar 7.14 2. Seratus enam puluh dua senior, 90% dari kelas senior, akan mengikuti perjalanan kelas. Berapa banyak senior di sana? Misalkan petak pada Gambar 7.15 menyatakan total ukuran kelas. Karena 90% dari murid akan pergi ke perjalanan kelas, bayangi 90 dari 100 persegi. Alasan yang digunakan untuk menyeesaikan masalah ini adalah bahwa karena 90 persegi menyatakan 162 murid, maka 1 persegi menyatakan 162/90 = 1.8 murid. Jadi 100 persegi, banyak keseluruhan, adalah 100 × 1.8 = 180 murid.
Gambar 7.15 3. Susan mendapat skor 48 poin dari tes 60 poin. Berapa persen jawabannya yang tepat?
19
Misalkan petak pada gambar 7.16 menyatakan semua 60 poin pada tes. Dalam kasus ini, persen tidak deketahui, jadi penentuan berapa banyak persegi yang harus dibayangi untuk menyatakan skor Susan dari 58 poin menjadi fokus masalahnya. Alasan dengan petak, itu dapat dilihat bahwa karena 100 persegi menyatakan 60 poin, maka 1 persegi menyatakan 0.6 poin. Jadi 10 persegi adalah 6 poin dan 80 persegi adalah skor Susan 6 × 8 = 48 poin. Jadi dia mendapatkan 80% jawaban tepat.
Gambar 7.16 Pendekatan Proporsi Karena persen dapat dituliskan sebagai rasio, masalah penyelesaian persen mungkin bisa selesai menggunakan proporsi. Untuk masalah yang memuat persen antara 0 dan 100, mungkin dapat terbantu untuk berpikir suatu indikator bahan bakar dari kosong (0%) sampai penuh (100%) (Gambar 7.17)
Gambar 7.17 Contoh 7.30 Jawab 3 masalah sebelumnya dengan pendekatan proporsi. Solusi 1. Suatu mobil dibeli seharga $13,000 dengan uang muka 20%. Berapa uang mukanya (Gambar 7.18)? Jadi
13, 000 x 20 , atau x $2600. 5 13, 000 100
Gambar 7.18 2. Seratus enam puluh dua senior, 90% dari kelas senior, akan mengikuti perjalanan kelas. Berapa banyak senior di sana (Gambar 7.19)?
20
Jadi
162 90 10 , atau x 162 180. x 100 9
Gambar 7.19 3. Susan mendapat skor 48 poin dari tes 60 poin. Berapa persen jawabannya yang tepat (Gambar 7.20)? Jadi
48 x 4 , atau x 100. 80. 60 100 5
Gambar 7.20 Perhatikan bagaimana (1), (2), dan (3) membawa ke perumuman berikut: Sebagian persen Keseluruhan 100
Pendekatan Persamaan Suatu persamaan dapat digunakan untuk menyatakan masing-masing masalah di Contoh 7.30 sebagai berikut: 1. 20% . 13,000 = x 2. 90% . x = 162 3. x% . 60 = 48 Faktanya, banyak masalah persen dapat diselesaikan dengan mudah dengan menyatakan masalah dalam suatu persamaan dari salah satu dari ketiga bentuk sebelumnya dan kemudian menyelesaikan persamaannya.
21
