FYZIKA – 2. ROČNÍK Příklady na obvody střídavého proudu A1. Určete induktanci cívky o indukčnosti 500 mH v obvodu střídavého proudu o frekvenci 50 Hz. Řešení: L = 500 ⋅ 10– 3 H f = 50 Hz XL = ?
.
XL = ω ⋅ L = 2π ⋅ f ⋅ L = 157 Ω Cívka má induktanci o velikosti 157 Ω . A2. Jakou kapacitu musí mít kondenzátor, aby při jeho sériovém zapojení s cívkou v obvodu z předcházející úlohy nastala rezonance? Řešení: L = 500 ⋅ 10– 3 H f = 50 Hz I = Imax C =?
.
1 Z = R + ωL − ωC
2
2
14243 X =X −X L C ... reaktance
C=
X = 0 ⇒ ωL =
1 1 ⇒ ω2 = LC ωC Vlivy indukčnosti a kapacity na napětí v obvodu se vyruší, obvod má vlastnosti rezistence ⇒ frekvence střídavého proudu se shoduje s frekvencí vlastního kmitání obvodu.
1
= 20, 3 ⋅10 −6 F = 20,3 µF
Lω
2
=
1 L ⋅ 4π f 2
2
Kondenzátor musí mít kapacitu 20,3 µ F .
Obvody střídavého proudu www.e-fyzika.cz
FYZIKA – 2. ROČNÍK A3. Nakreslete fázorový diagram obvodu RLC v sérii, jestliže XL = 0,5 XC = R = 1 Ω a obvodem prochází proud 1 A. Určete impedanci a fázové posunutí napětí a proudu v obvodu. Řešení: XL = 0,5 XC = R = 1 Ω I=1A Z = ?, ϕ = ?
.
UL
UL = XL ⋅ I = 1 V UC = XC ⋅ I = 2 V UR = R ⋅ I = 1 V
UR 45°
U R2 + (U L − U C ) Um Z= = = Im Im 2
=
Im ⋅ R2 + ( X L − X C )
2
= R2 + ( X L − X C ) = 2
Im
UC
= 1 + 1 Ω = 2Ω X − XC π tg ϕ = L = −1 ⇒ ϕ = − rad R 4 Impedance obvodu je 1,4 Ω a fázový posun napětí a proudu v obvodu je −
π 4
rad .
B1. Určete kapacitanci kondenzátoru o kapacitě 20 µ F v obvodu střídavého proudu o frekvenci 50 Hz. Řešení: C = 20 ⋅ 10– 6 F f = 50 Hz XC = ? XC =
.
1 1 = = 159 Ω ω ⋅ C 2π f ⋅ C
Kapacitance kondenzátoru je 159 Ω .
B2. Jakou indukčnost musí mít cívka, aby při jejím sériovém zapojení s kondenzátorem v obvodu z předcházející úlohy nastala rezonance? Řešení: C = 20 ⋅ 10– 6 F f = 50 Hz
Obvody střídavého proudu www.e-fyzika.cz
FYZIKA – 2. ROČNÍK I = Imax L=?
.
1 = ωL ωC 1 1 L= 2 = 2 2 = ω C 4π f ⋅ C 1 = 2 H = 0,5 H 2 4π ⋅ 50 ⋅ 20 ⋅10−6 Cívka musí mít indukčnost 0,5 H. B3. Nakreslete fázorový diagram obvodu RLC v sérii, jestliže XC = 0,5 XL = R = 1 Ω a obvodem prochází proud 1 A. Určete impedanci a fázové posunutí napětí a proudu obvodu. Řešení: XC = 0,5XL = R = 1 Ω I=1A Z = ?, ϕ = ?
.
Um
UL
XC = 1 Ω, XL = 2 Ω, R = 1 Ω Z = R2 + ( X L − X C ) = 2 Ω 2
ϕ
UR I
X − XC π tg ϕ = L =1⇒ ϕ = R 4
UC
Impedance obvodu je 1,4 Ω a fázový posun mezi napětím a proudem v obvodu je
π 4
rad .
4. Cívkou v obvodu stejnosměrného proudu prochází při napětí 4 V proud 0,5 A. V obvodu střídavého proudu o amplitudě napětí 9 V jí prochází proud o amplitudě 180 mA. Frekvence střídavého napětí je 50 Hz. Určete indukčnost cívky. U = 4 V, I = 0,5 A Um = 9 V, Im = 0,180 A f = 50 Hz L=?
.
Z 2 = X L2 + R 2 ⇒ X L2 = Z 2 − R 2
Obvody střídavého proudu www.e-fyzika.cz
FYZIKA – 2. ROČNÍK U = R =8 Ω I Um = 50 Ω = Z Im
X L = 2π fL = Z 2 − R 2 ⇒ L =
Z 2 − R2 = 0,16 H 2π f
Indukčnost cívky je 0,16 H.
5. Cívka má odpor 15 Ω a indukčnost 63 mH. Určete impedanci cívky v obvodu střídavého proudu o frekvenci 50 Hz. Řešení: R = 15 Ω L = 63 ⋅10−3 H f = 50 Hz . Z = ?_________________-___ X L = ωL Z = R 2 + X L2 = R 2 + 4π 2 f 2 L2 Z = 24,8 Ω Impedance cívky je 24,8 Ω .
6. Tlumivka o indukčnosti 2 H a odporu vinutí 20 Ω je připojena nejprve ke zdroji stejnosměrného napětí 20 V a potom ke zdroji střídavého napětí o stejné hodnotě a frekvenci 50 Hz. Určete proud v obvodu v obou případech. Řešení: L=2H R = 20 Ω U = 20 V f = 50 Hz I = ?_____________________ U jednou U = 20 V ⇒ I = = 1A R podruhé U = 20 V ∼ f = 50 Hz U I= = 0, 0318 A 2π fL V případě připojení tlumivky ke zdroji stejnosměrného napětí protéká obvodem proud 1A, v případě zapojení tlumivky do obvodu střídavého proudu protéká obvodem proud 32 mA.
7. Kondenzátor je zařazen do obvodu střídavého proudu o efektivním napětí 220 V Obvody střídavého proudu www.e-fyzika.cz
FYZIKA – 2. ROČNÍK a frekvenci 50 Hz. Obvodem prochází proud 2,5 A. Určete kapacitu kondenzátoru.
Řešení: U = 220 V f = 50 Hz I = 2,5 A C=?
.
U I 1 XC = ωC XC =
⇒C =
I = 0, 000036 F 2π f ⋅ U
Kapacita kondenzátoru je 3,6 ⋅10 −5 F . 8. Kondenzátor o kapacitě 2 µ F je sériově spojen s cívkou o indukčnosti 40 mH (odpor cívky neuvažujeme). Obvod je připojen ke zdroji střídavého napětí měnitelné frekvence. Určete, v jakém poměru jsou napětí na obou prvcích při frekvencích 200 Hz a 800 Hz. Ve kterém případě má obvod vlastnosti induktance a ve kterém případě má obvod vlastnosti kapacitance? Řešení: C = 2 ⋅ 10– 6 F L = 40 ⋅ 10– 3 H f = 200, 800 Hz UC / UL = ? . 1 ωC XL = ωL XC =
pro 200 Hz … XC = 396 Ω XL = 50 Ω UC X C = =8 UL X L U C > U L ⇒ ϕ < 0 ⇒ obvod má vlastnost kapacitance
XC = 99,5 Ω, XL = 200 Ω UC 1 = UL 2 U C < U L ⇒ ϕ > 0 ⇒ obvod má vlastnost induktance
pro 800 Hz
9. Do obvodu střídavého proudu o efektivním napětí 200 V a frekvenci 50 Hz je připojen obvod tvořený sériovým spojením kondenzátoru o kapacitě 16 µ F a rezistoru Obvody střídavého proudu www.e-fyzika.cz
FYZIKA – 2. ROČNÍK o odporu 150 Ω . Určete impedanci obvodu, proud v obvodu a napětí na kondenzátoru a rezistoru. Řešení: U = 200 V f = 50 Hz C = 16 ⋅ 10– 6 F R = 150 Ω Z = ?, I = ?, UC = ?, UR = ?
.
2
1 Z = R + = 249 Ω 2π f C U I = = 0,8 A Z 1 UC = I ⋅ = 160 V U R = I ⋅ R = 120 V 2π f C 2
Impedance obvodu je 249 Ω , proud v obvodu je 0,8 A, napětí na kondenzátoru je 160 V a na rezistoru 120 V.
10. Pomocí fázorového diagramu odvoďte vztah pro impedanci obvodu RC s prvky spojenými paralelně. Určete impedanci obvodu RC s prvky spojenými paralelně, jestliže kondenzátor má kapacitu 1 µ F a rezistor má odpor 3 kΩ . Frekvence střídavého proudu je 50 Hz. Poznámka: Při sestavování fázorového diagramu vycházejte z poznatku, že na obou prvcích je stejné napětí, ale proudy jsou fázově posunuté. Řešení: C = 10– 6 F R = 3 000 Ω f = 50 Hz Z=?
Im .
IC
U m2 U m2 1 1 + 2 = Um + 2 2 2 XC R XC R U Um 1 Z= m = = = 2183 Ω Im 2 2 1 4π 2 f 2C 2 + 1 Um ω C + 2 R2 R I m = I C2 + I R2 =
Impedance obvodu je 2183 Ω .
U
11. Oscilační obvod je tvořen cívkou o indukčnosti 0,1 mH a kondenzátorem s měnitelnou kapacitou od 100 pF do 500 pF. Určete rozsah vlastních frekvencí oscilátoru. Obvody střídavého proudu www.e-fyzika.cz
IR
FYZIKA – 2. ROČNÍK
Řešení: L = 0,1 ⋅ 10– 3 H C = 100 ⋅ 10– 12 F – 500 ⋅ 10– 12 F f=? __________________ .
ω 2 = 4π 2 f 2 =
1 1 ⇒ f1 = LC 2π
1 = 1 591kHz LC1
⇒ f 2 = 711kHz Rozsah vlastních frekvencí oscilátoru je 1591 kHz až 711 kHz.
12. Ke zdroji střídavého napětí o frekvenci 1 kHz je připojen kondenzátor kapacity 0,1 µ F spojený sériově s cívkou o indukčnosti 0,5 H. Určete reaktanci obvodu. Při jaké frekvenci bude reaktance nulová? Řešení: f = 103 Hz C = 0,1 ⋅ 10– 6 F L = 0,5 H X = ?, f = ?, X = 0____________ X = X L − X C = 2π f L −
1 = 1550 Ω 2π f C
1 X = 0 ⇔ X L = XC ⇔ f = 2π
.X
1 ⇒ f = 712 Hz LC
Reaktance obvodu je 1550 Ω a nulová bude při frekvenci 712 Hz.
13. Do obvodu střídavého proudu o frekvenci 400 Hz je zařazena cívka o indukčnosti 0,1 H. Jaká musí být kapacita kondenzátoru připojeného do obvodu, aby nastala rezonance? Řešení: L = 0,1 H f = 400 Hz I = Imax C=? C
.
Obvody střídavého proudu www.e-fyzika.cz
FYZIKA – 2. ROČNÍK 1 = LC 1 1 C= = = 1, 58 µF 2 Lω L ⋅ 4π 2 ⋅ f 2
ω2 =
Kapacita kondenzátoru musí být 1,58 µ F .
14. V obvodu střídavého proudu o frekvenci 50 Hz je sériově spojena žárovka, kondenzátor o kapacitě 20 µ F a cívka, která má bez jádra indukčnost 0,1 H a se zasunutým jádrem 1 H. Jak se bude měnit svítivost vlákna žárovky? Při které indukčnosti bude svítivost největší? Řešení: f = 50 Hz C = 20 ⋅10−6 F L = 0,1 H – 1 H Lmax = ?
Z = R2 + ( X )
.
2
1 ωC svítivost bude maximální ⇔ X = 0 Ω 1 ⇒ Lmax = 2 2 = 0, 51H 4π f C
X = ωL −
Při zasouvání jádra do cívky se svítivost žárovky bude zvětšovat, a to do hodnoty indukčnosti cívky 0,51 H. Po překročení této hodnoty se bude svítivost žárovky zmenšovat. Má-li cívka indukčnost 0,51 H, je svítivost žárovky maximální.
15. Obvod RLC v sérii je tvořen rezistorem o odporu 200 Ω , cívkou o indukčnosti 0,5 H a kondenzátorem o kapacitě 4 µ F . Obvodem prochází střídavý proud 0,5 A o frekvenci 100 Hz. Určete celkové napětí na obvodu a fázový posun napětí a proudu v obvodu. Řešení: R = 200 Ω L = 0,5 H C = 4 ⋅ 10– 6 F I = 0,5 A f = 100 Hz U = ?, φ = ?
.
Obvody střídavého proudu www.e-fyzika.cz
FYZIKA – 2. ROČNÍK 2
1 Z = R + ωL − = 217 Ω ωC 14243 X U = Z ⋅ I = 108 V 2
tg ϕ =
X , ϕ = −22°43´ R
Celkové napětí na obvodu je 108 V, fázový posun napětí a proudu v obvodu je -22°43´.
Obvody střídavého proudu www.e-fyzika.cz
