Fizika 112 9. és 10. Előadás
A termodinamika főtételei 0. főtétel: • bármely magára hagyott termodinamikai rendszer egy idő után egyensúlyi állapotba kerül amelyből önmagától nem mozdulhat ki • a két testből álló magára hagyott termodinamikai rendszer egyensúlyban van ha a testek között fellépő kölcsönhatásokat jellemző intenzív állapothatározóik egyenlők • az egyensúly tranzitív A C B
I. főtétel: Energia-megmaradás törvénye Zárt rendszer: ∆U = W + Q Ha Q> 0: a rendszer hőt vesz fel Ha W > 0: a környezet munkát végez a rendszeren Ha ∆U > 0: a belső energia nő (T nő)
A környezet által a gázon végzett munka 2
Ideális gáz:
Ideális gáz p∝T
• alkotórésznek nincs saját alakja, • kitölti a rendelkezésre álló teret, • kölcsönhatás a részecskék között nincs
(V = const.)
V∝T
(P = const.)
(m = const.)
pV ∝ T
P [Pa ]
Ideális gáz állapotegyenlete
[ ]
V m3
pV = nRT
T [K ] mólok száma egyetemes gázállandó:
1 mólban :
R = 8.31
J mol ⋅ K
N A = L A = 6,022 ⋅1023
a gáz tömege
m n= M moláris tömeg
kB =
R LA
pV = Nk BT
Reális gáz Van der Waals egyenlet:
2 N p + a (V-Nb) = nkT V
a → 0 és b → 0: pV = Nk BT
A víz hármaspontja
Munka, hőmennyiség A hőmérséklet emelésének lehetőségei:
hő közlés
munkavégzés (Joule kísérlet) 5
Melegítés, hűtés
Q ∝ ∆T Q∝m
Q = cm∆T
c = fajlagos hőkapacitás (fajhő) [J/kg·K] Víz c = 4.18 kJ/kg·K
Q = Cn∆T C = moláris hőkapacitás (mólhő) [J/kg·K] 6
m2 T2
m1
Tközös = ?
c2 T1
c1
T1>T2
leadott hőmennyiség:
Q1 = c1m1 (T1 − Tközös )
felvett hőmennyiség:
Q 2 = c 2 m 2 (Tközös − T2 ) Tközös =
Q1 = Q 2
c1m1T1 + c 2 m 2 T2 c1m1 + c 2 m 2
7
Látens hő A fázisváltozáshoz szükséges energiamennyiség mértéke: Q = mL
Qf = mLf
Qv = mLv
Lf = 3.3*105 J/kg
Lv = 2.2*166 J/kg
olvadás
forrás
Ideális gáz kétféle mólhő (fajhő) : Cp és Cv
C p > Cv
mert állandó nyomáson végzett melegítéskor kiterjed a gáz, és térfogati munkát végez
dQv = dU
dQ p = dU + pdV
1 dQv 1 dU Cv = = ⋅ nRdT n dT n dT 1 dQ p 1 d 1 dU (U + nRT ) = + nR Cp = = ⋅ n dT n dT n dT
C p − Cv = R 9
Tökéletes (ideális) gázok állapotváltozásai (izobár, izochor, izoterm) Reverzibilis állapotváltozásokat tárgyalunk. Kvázisztatikus!!! P 1 2
1 - 2: izobár 3 - 4: izochor 2 - 3: izotherm
3
4
V
10
Izobár állapotváltozás
(p állandó)
Térfogati munka: V2
Wg = ∫ pdV = p ∫ dV = p(V2 − V1 ) = nR(T2 − T1 ) V1
(a gáz végzett munkát)
V1 V2 = T1 T2
Hő
Q p = nC p ∆T = c p m∆T (a gáz felvett hőt)
Belsőenergia-változás: T2
T2
T2
T2
T1
T1
T1
T1
∆U = −Wg + Q = − nR ∫ dT + n ∫ C p dT = n ∫ (C p − R )dT = n ∫ Cv dT 11
Izochor állapotváltozás
(V=állandó)
∆U = Wk + Q Térfogati munka:
p1 p2 = T1 T2
W=0 Hő (belsőenergia-változás):
Qv = ∆U = nCv ∆T = cv m∆T (a gáz felvett hőt) 12
Izoterm állapotváltozás (T állandó)
∆U = 0 ⇒ Q = Wg p1V1 = p2V2
Térfogati munka:
Wg =
V2
∫ pdV
V1 V2
dV V2 Wg = nRT ∫ = nRT ln V V1 V1
V2 Q = Wg = nRT ln V1 13
Adiabatikus állapotváltozás (Q = 0)
Q = 0 ⇒ ∆U = Wk = −Wg Adiabatikus folyamatban mindhárom állapotjelző (p, T, V) változik.
Cp
TV κ −1 = állandó κ
p1V1 = p2V2
Cv
=κ
κ
∆U = cv m∆T = nCv ∆T 14
Kinetikus gázelmélet
Avogadro
Brown mozgás: Az anyag atomokból, molekulákból áll.
Magyarázat: Einstein 1905
Leukipposz, Demokritos, Dalton
A kinetikus gázelmélet alapfeltevései: • az ideális gázok pontszerű atomokból/molekulákból állnak • nagyszámú részecske (1024) • a gázrészecskék egymással és az edény falával ütköznek, más kölcsönhatás nincs • egyensúlyban a gázrészecskék egyenletesen töltik ki a teret 15
Dunoyer-kísérlet: ha a gáz részecskéi egymással nem ütköznek, egyenes vonalban haladnak.
Eldridge-Lammert-féle berendezés A részecskék sebessége kísérletileg meghatározható
Az egyes részecskék sebessége nem azonos Az események leírása statisztikai függvényekkel lehetséges
16
Maxwell eloszlás
négyzetes középsebesség:
egy részecske átlagos energiája:
v max
v átlag = v
2 v átlag = vk = v 2
a hőmérséklet statisztikai értelmezése:
17
Kinetikus gázelmélet alapjai ∆p x = −mv x − (mv x ) = -2mv x Fx ∆t = ∆p x = 2mv x 2mv x 2mv x mv 2x Fx = = = ∆t 2d/v x d
(
)
m 2 Fx = v1x + v 22x + ... d 2 2 v + ... + v Nx v 2x = 1x N
v 2 = 3v 2x
Fx =
Nm 2 vx d
N Fx = m v 2 3d
F F p= = 2 A d p=
2 N1 2 mv 3 V2 18
pV =
R 2 1 N T = Nk BT N m v 2 = nRT = RT = N 3 2 NA NA
1 1 2 m v = 3 ⋅ k BT 2 2
v rms
f =3
Az ekvipartícó elve:
1 E k = f ⋅ k BT 2
3k BT 3RT = v = = m M 2
belső energia:
3 3 1 2 E k = N m v = N k BT = n RT 2 2 2
19
Izochor állapotváltozás p
V = const. W=0
p2
(2)
p1
(1) V V
p1V1=nRT1 p2V2=nRT2
CV =
f R 2
∆U = ∆Q + Wk
V∆p=nR∆T
=0 f=3
3 3 U = n RT → ∆Q = ∆U = n R ∆T = nC V ∆T 2 2 f U = nC V T = n RT 2
20
Izobár állapotváltozás
p
P P
(1)
(2)
p W
V1
pV1=nRT1 pV2=nRT2
V2
v
p(V2-V1)=nR(T2-T1) W=p∆V=nR∆T
∆U = ∆Q − Wg
f f f +2 ∆Q = ∆U + Wg = n R∆T + p∆V = n R∆T + nR∆T = n R ∆T 2 2 2 f +2 ∆Q = nC P ∆T CP = R 21 2
Izoterm állapotváltozás
∆T=0
T
hőtartály
V2 Wg = nRTln V1
∆U = ∆Q − Wg
∆U = nC V ∆T = 0
Wg = ∆Q
22
Adiabatikus állapotváltozás
∆Q=0
∆U = ∆Q − Wg ∆U = − Wg
pV κ = const. CP f + 2 κ= = CV f
p1V1κ = p 2 V2κ 23
A Carnot-féle körfolyamat A körfolyamat részei: Izotermikus tágulás (1-2) Adiabatikus tágulás (2-3) Izotermikus összenyomás (3-4) Adiabatikus összenyomás (4-1)
I. Ad.2.
Ad.1.
V2 I. Wg1 = Q1 = nRT1 ln V1
II. V1 V4
V2
Tágulás:
V3
Kompresszió:
V3 V4 II. Wg2 = Q 2 = nRT2ln = −nRT2ln V3 V4 Ad.2. WAd.2. = nC v (T2 − T1 )
Ad.1. WAd.1. = nC v (T1 − T2 ) A körfolyamat során végzett munka:
V2 Wg = nR(T1 − T2 ) ln V1
Hőerőgép
Hűtőgép vagy hőpumpa
Wg > 0
A végzett munka:
Wg = Q1 + Q2
Hatásfok (ideális, reverzibilis körfolyamat esetén):
Wg < 0 !!!
V2 V3 = V1 V4
V2 − nRT ln V3 nRT ln T −T 1 2 Wg Q1 + Q2 V V 1 4 η= = = = 1 2 Qbe Q1 T1 nRT1ln V2 V1 A redukált hők összege: 25
T1 − T2 η= = ??? T1
Coefficient of performance:
Hőpumpa:
Q1 T1 C.O.P. = = W T1 − T2
Hűtőgép:
Q2 T2 C.O.P. = = W T1 − T2
Reverzibilis és irreverzibilis folyamatok Az I. főtétel számos folyamatot megenged Reverzibilis folyamatok: mindkét irányba lejátszódnak Valóság: számos folyamat csak egy irányba valósul meg önként: súrlódási munka - hő környezetnél melegebb testek lehűlése víz + só – feloldódás Számos folyamat irreverzibilis külső beavatkozás nélkül végbemennek egyensúly (intenzív paraméterek kiegyenlítődése) fordított irányba nem játszódnak le
28
A termodinamika második főtétele
Clausius-féle megfogalmazás: nem létezhet olyan folyamat (gép), amelyben a hő önként, munkavégzés nélkül egy hidegebb testről egy melegebb testbe menne át Kelvin-Planck-féle megfogalmazás: nem létezhet olyan folyamat (gép), melyben egy test hőt veszít, és az teljes egészében (100 % hatásfokkal) munkává alakulna át Nem létezik másodfajú örökmozgó: olyan gép, amely a környezetből felvett hőenergiát veszteségek nélkül munkavégzésre fordítja
29
Reverzibilis és irreverzibilis Carnot-féle körfolyamat
Reverzibilis Carnot-féle körfolyamat esetén: A hatásfok független az anyagi minőségtől. A redukált hők összege 0. Clausius-féle egyenlőség:
Irreverzibilis Carnot-féle körfolyamat: veszteségek lépnek fel
30
Transzportfolyamatok Transzportfolyamat: anyag, energia vagy más mennyiség az egyik helyről egymásikra jut Kiváltja: adott X intenzív mennyiség térbeli változása Pl. koncentrációkülönbség, elektromos potenciál, hőmérséklet Hatására ∆Y extenzív mennyiség ∆τ idő alatt áthalad Y : anyagmennyiség, tömeg, töltés, energia Áramsűrűség:
Termikus energia transzport Intenzív mennyiség: hőmérséklet Extenzív mennyiség: energia (hő)
Típusai: hővezetés hőáramlás hősugárzás 31
Hővezetés
Hőellenállás
A hővezetést leíró egyenlet:
∆Q ∆T = −λ A ∆t ∆x λ : hővezetési együttható
32
Hőterjedés sugárzással Közvetítő anyag illetve közeg nélküli hőterjedési jelenség. (elektromágneses sugárzás) Elektromágneses hullámokat egy test részben: •
átengedi (átengedési tényező D≤1),
•
visszaveri (visszaverődési tényező R≤1),
•
elnyeli (abszorpciós, elnyelési tényező a≤1).
a+R+D=1
Abszolút fekete test (a=1). Planck törvény
I oλ
3,74 ⋅10 −16 ⋅ λ−5 W = m3 1, 44⋅10 −2 e λ ⋅T − 1
λI
= o max
2,896 −3 ⋅10 (m) T
Wien-féle eltolódási törvény
Stefan-Boltzmann törvény
∆Q = eσAT4 ∆t
33
Hőerőgépek Otto körfolyamat
Diesel körfolyamat adiabata
adiabata
A-D: sűrítés (VA/VB: kompresszió viszony) D-C: égés, C-B: izoterm expanzió B-A: munkaütem
hasznos munka 1 = 1− κ −1 befektetet t hő VA VB
B: befecskendezett olaj meggyullad B-C-D: égés magasabb kompresszió viszony
Peltier effektus
Seebeck effektus
∆Q = α∆TI = ΠABI = (ΠB − ΠA )I ∆t
U = α∆T hőmérséklet mérés 35
Az elérhető legnagyobb hatásfok
feltételezés:
W' W ' > Q2 javasolt Q2 Carnot Mivel W’=W ezért Q2>Q’2
Az I. főtételből: ' 2 1
W = Q − Q és W = Q2' − Q1'
Q1 > Q
' 1 36
Az entrópia I. főtétel: energiamegmaradás tétele. Nem mond semmit a folyamatok irányáról. II. főtétel: természetben lejátszódó folyamatok irányára ad felvilágosítást.
Clausius
Hő önként nem megy az alacsonyabb hőmérsékletű testről a magasabb hőmérsékletű testre. A természeti folyamatokra jellemző az energia szétszóródása.
Rendezett
Rendezetlen
Definiálunk egy függvényt, amely számszerűen kifejezi a rendezetlenség mértékét. Entrópiának fogjuk nevezni: S Legfontosabb jellemzője: Önként végbemenő folyamatokban (elszigetelt rendszerben) mindig nő.
dU= δW + δQ Érvényes reverzibilis és irreverzibilis folyamatokra is.
Reverzibilis folyamatokra: dU= δWrev + δQrev Térfogati munka: δWrev = -p·dV hasonlóan: δQrev = T·dS
dS =
δ Qrev T
intenzív extenzív B
∆S = ∫ A
δ Qrev T
J/K
Az entrópia-változás számítása B
∆S = ∫
δ Qrev
A
Izobár melegítés, hűtés: T2
δ Qrev = nC p dT
Cp
T2 dT = nC p ln ∆S = n ∫ T T1 T1
Izochor melegítés, hűtés: T2
T
melegítéskor nő, hűtéskor csökken
δ Qrev = nCv dT
Cv T2 ∆S = n ∫ dT = nCv ln T T1 T1
melegítéskor nő, hűtéskor csökken
B
Izoterm folyamat:
Qrev 1 ∆S = ∫ δ Qrev = T A T
Tökéletes gáz izoterm reverzibilis változása p2 ∆U = 0, Q = -W, W = nRT ln p 1
p2 V2 ∆S = −nR ln = nR ln p1 V1
p2 Q = − nRT ln p1
kiterjedéskor nő összenyomáskor csökken
p2 V1 = p1 V2
Állapotváltozások (izoterm-izobár folyamatok) ∆H pár ∆H olv ∆S olv = ∆S pár = Tolv T pár
olvadáskor, párolgáskor nő fagyáskor, lecsapódáskor csökken
S változása zárt rendszerben S nő
S csökken
melegítés olvadás párolgás kiterjedés (elegyedés) (oldódás)
hűtés fagyás kondenzálás összenyomás (szételegyedés) (kicsapódás)
RENDEZETLENSÉG NŐ
RENDEZETLENSÉG CSÖKKEN
Entrópia – irreverzibilis folyamatok Irreverzibilis folyamatokban hogyan változik az entrópia?
dU = -pdV +TdS
1. Két különböző hőmérsékletű test (pl. fém) érintkezik. Hő megy át a magasabb hőmérsékletű testről az alacsonyabb hőmérsékletűre.
2. Két test (gáz) hőmérséklete azonos, de nyomása különbözik. Nyomás-kiegyenlítési folyamat indul el.
szigetelés
1. U1 T1 S1
U2 T2 S2
A két test termikus kölcsönhatásban van egymással, de együtt elszigetelt rendszert alkotnak.
Hanyagoljuk el a térfogatváltozást: dV1 = dV2 = 0 I. főtétel: dU = dU1 + dU2 = 0
dU2 = -dU1
dU1 = T1dS1 dU2 = T2dS2 A teljes entrópia-változás: dU 1 dU 2 dU 1 dU 1 1 1 dS = dS1 + dS 2 = + = − = − ⋅ dU 1 T1 T2 T1 T2 T1 T2 T2 − T1 dS = ⋅ dU 1 T1 ⋅ T2
T2 − T1 dS = ⋅ dU 1 T1 ⋅ T2
A tapasztalat szerint hő önként csak a melegebb testről megy a hidegebbre. a) Ha a 2-es test melegebb: T2-T1 > 0 dU1 > 0 (mert az 1-es test veszi fel a hőt) dS > 0 b) Ha az 1-es test melegebb: T2-T1 < 0 dU1 < 0 (mert az 1-es test adja le a hőt) dS > 0 Mindkét esetben:
dS > 0
A II. főtétel:
∆S ≥ 0
(elszigetelt rendszerben)
Ha a rendszer nem elszigetelt, akkor a rendszer és a környezet együttes entrópiájára érvényes:
∆Srendszer + ∆Skörnyezet ≥ 0 Makroszkópikus folyamatok mindig az entrópia növekedésével járnak együtt.
Entrópia – mikroszkópikus szempontból egy molekulára:
Wk =
Vk V N
Vk N molekulára: Wk = V N Vv más térfogatra: Wk = V N Vv N Wv V Vv = = N Wk Vk Vk V W V Vv k ln v = nN A k ln v k ln Wv − k ln Wk = nR ln W V k k Vk
V S v − S k = nR ln v Vk
S = k ln W 47
Maxwell démon Démon: szelektálás
zárt rendszer entrópiája csökken
paradoxon feloldása: II. főtétel Szilárd Leó (démon entrópia növekedése) Rolf William Landauer (véges memóriakapacitás - irreverzibilis)
Mennyibe kerül egy bit?
Miért eszünk?
48
Élet a Földön ↔ termodinamikai egyensúly???
A légnyomás magasságfügése (energia eloszlás) Tegyük fel: T=áll. P(h+∆h) h+∆h
∆h
F = A[P ( h) − P ( h + ∆h)] ( + )
h
P(h)
F = mgnA ∆h m: molekula tömeg
( ++ )
n: részecske sűrűség
P = nkT (+) és (++)
Energia-eloszlás:
n = no e
− E pot / kT
dn mg =− n dh kT ált. A megoldás:
n = no e − mgh / kT p = po e − mgh / kT
