¨ Val´os fuggv´ enyek (3) (Deriv´alt)
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
1. Legyen a bels˝o pontja Df -nek. Ha l´etezik e´ s v´eges a
lim x→a
f (x) − f (a) x−a
= f 0(a)
(1)
hat´ar´ert´ek, akkor f differenci´alhat´o a-ban. Az f 0 (a) sz´am az f a-beli differenci´alh´anyadosa. 2. Ha minden olyan Df -beli a-hoz, ahol f differenci´alhat´o, ¨ a differenci´alh´anyados f 0 (a) e´ rt´ek´et, akkor egy uj ´ hozz´arendeljuk ¨ ¨ fuggv´ enyt defini´altunk, ez az f deriv´alt fuggv´ enye vagy deriv´altja, amit 0 ¨ f -vel jel¨olunk. ¨ 3. Ha az f fuggv´ eny differenci´alhat´o a-ban, akkor folytonos is a-ban. ¨ ¨ 4. Egy fuggv´ eny differenci´alhat´os´aga azt jelenti, hogy a fuggv´ eny nem ´ hirtelen, a fuggv´ ¨ v´altozik tul eny grafikonja ”sima”. ¨ El˝osz¨or arra fogunk t¨orekedni, hogy min´el t¨obb fuggv´ eny deriv´alt ¨ ¨ fuggv´ eny´et meghat´arozzuk. A deriv´alt fuggv´ eny nagyon hat´ekony eszk¨oz a ¨ f˝o c´el, az eredeti fuggv´ eny tulajdons´againak felder´ıt´es´eben. •First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
5. Feladat 1 ¨ Hat´arozzuk meg az f (x) = x1 , Df = (−∞, 0) ∪ (0, +∞) fuggv´ eny ¨ deriv´alt fuggv´ eny´et. Megold´as: El˝osz¨or egy konkr´et a 6= 0 helyen sz´amoljuk ki a differenci´alh´anyados e´ rt´ek´et. Legyen pl. a = 3. Ekkor
lim x→a
f (x) − f (a) x−a
= lim x→3
1 x
1 3
−
x−3
= lim
−1
= lim x→3
=−
3−x 3x
x−3
= lim x→3
−(x − 3) 3x(x − 3)
=
1
1 = − . 2 3 9
3x De ez a sz´amol´as tetsz˝oleges a 6= 0 sz´amra ugyan´ıgy megism´etelhet˝o: x→3
lim x→a
f (x) − f (a) x−a
= lim x→a
1 x
−
1 a
x−a
= lim x→a
= lim
−1 ax
x→a
a−x ax
x−a
=−
1 a2
= lim x→a
−(x − a) ax(x − a)
=
,
¨ onb¨oz˝o a-ra egy v´eges e´ rt´ek. ami persze minden null´at´ol kul¨ Teh´at f a Df minden pontj´aban differenci´alhat´o, f 0 (x) = − x12 e´ s Df 0 = Df = (−∞, 0) ∪ (0, +∞).
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
¨ 6. Az elemi fuggv´ enyek deriv´altjai az efv2.pdf f´ajlban megtal´alhat´ok. Ezek ´ az ugynevezett alapderiv´altak. ¨ ¨ ¨ fel a Minden a´ ltalunk vizsg´alt fuggv´ eny az elemi fuggv´ enyekb˝ol e´ pul ¨ onb¨oz˝o fuggv´ ¨ ˝ ¨ kul¨ enymuveletek seg´ıts´eg´evel. Ez´ert van az elemi fuggv´ enyek ¨ ¨ ¨o olyan nagy jelent˝os´eguk. Ahhoz, hogy az elemi fuggv´ enyekb˝ol fel´epul˝ ¨ ¨ egunk ¨ ”bonyolult” fuggv´ enyek deriv´altjait el tudjuk k´esz´ıteni szuks´ lesz ¨ ˝ arra, hogy mi a kapcsolat a fuggv´ enymuveletek e´ s a deriv´al´as k¨oz¨ott, azaz hogyan kell o¨ sszeget, szorzatot, t¨ortet, stb. deriv´alni, ha a tagok, t´enyz˝ok ¨ Ezeket adj´ak meg a deriv´al´asi szab´alyok. stb. deriv´altjait ismerjuk. A tov´abbiakban az alapderiv´altak e´ s a deriv´al´asi szab´alyok biztos ismerete elengedhetetlen lesz!
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
¨ fel, hogy f e´ s g differenci´alhat´o x-ben. Ekkor f + g , f · g e´ s 7. Tegyuk
f g
is differenci´alhat´o x-ben e´ s
(f (x) + g(x))0 = f 0(x) + g 0(x),
(2)
(f (x) · g(x))0 = f 0(x) · g(x) + f (x) · g 0(x),
(3)
f (x) g(x)
!0
=
f 0(x) · g(x) − f (x) · g 0(x) g 2(x)
, ha g(x) 6= 0.
(4)
A (3) e´ s (2) deriv´al´asi szab´alyokb´ol k¨ovetkezik, hogy az el˝obbi felt´etelek mellett (f (x) − g(x))0 = f 0(x) − g 0(x), (5)
(c · f (x))0 = c · f 0(x), ahol c ∈ R tetsz˝oleges.
(6)
Ha f differenci´alhat´o x-ben e´ s g differenci´alhat´o f (x)-ben, akkor a h = ¨ g ◦ f o¨ sszetett fuggv´ eny is differenci´alhat´o x-ben, e´ s
h0(x) = (g(f (x)))0 = g 0(f (x)) · f 0(x).
(7)
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
8. Feladat 2 ¨ Hat´arozzuk meg az f (x) = 2 cos x − 3 ln x fuggv´ eny deriv´alt ¨ fuggv´ eny´et. ¨ Megold´as: Az ilyen sz¨ovegez´esu˝ feladatokban csak a deriv´alt fuggv´ eny ¨ k´eplet´enek a meghat´aroz´asa a c´el, a deriv´alt fuggv´ eny e´ rtelmez´esi tar¨ tom´any´anak meghat´aroz´as´at´ol eltekintunk. Ez egy´ebbk´ent leggyakrabban ¨ ¨ a k´et formula - az eredeti fuggv´ eny k´eplete, e´ s a deriv´alt fuggv´ eny k´eplete - lehets´eges legb˝ovebb e´ rtelmez´esi tartom´anyainak metszete. ¨ ¨ onbs´eg, amit az (5) deriv´al´asi szab´aly szerint Az f fuggv´ eny egy kul¨ tagonk´ent deriv´alhatunk:
f 0(x) = (2 cos x)0 − (3 ln x)0. A (6) deriv´al´asi szab´aly szerint deriv´al´askor a konstans szorz´o kiemelhet˝o, teh´at
f 0(x) = (2 cos x)0 − (3 ln x)0 = 2(cos x)0 − 3(ln x)0. Az ut´obbi formul´aban csak alapderiv´altak szerepelnek, amelyeket is´ ¨ merunk. Igy 0
1
f (x) = −2 sin x − 3 . x •First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
9. Feladat 3
√
¨ ¨ eny deriv´alt fuggv´ eny´et. Hat´arozzuk meg az f (x) = x · arctg x fuggv´ ¨ ¨ Megold´as: Ez a fuggv´ eny egy szorzat fuggv´ eny. A (3) deriv´al´asi szab´aly alapj´an √ √ f 0(x) = ( x)0 · arctg x + x · (arctg x)0. Deriv´al´askor a gy¨okvon´ast c´elszeru˝ hatv´anyoz´ask´ent felfogni, azaz 1 0 √ 0 f (x) = x 2 · arctg x + x · (arctg x)0. Ebben a k´epletben m´ar csak alapderiv´altak szerepelnek, teh´at
f 0(x) =
1 2
1
x− 2 · arctg x +
=
arctg x
√
2 x
√
√ +
x·
x
1+
x2
1 1 + x2
=
.
¨ on is megjegyezni, hogy Nagyon el˝ofordul, ez´ert e´ rdemes kul¨ √ 0 gyakran 1 ( x) = 2√x . •First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
10. Feladat 4 Hat´arozzuk meg az f (x) =
lg x
¨ ¨ fuggv´ eny deriv´alt fuggv´ eny´et. tg x ¨ ¨ Megold´as: Mivel a fuggv´ eny egy t¨ortfuggv´ eny, a (4) deriv´al´asi szab´alyt kell alkalmazni. 0
f (x) =
(lg x)0 · tg x − lg x · (tg x)0 (tg x)2
=
1 x ln 10
· tg x − lg x · (tg x)2
1 cos2 x
.
˝ ıteni, pl. ugy, ´ ¨ ¨ A legutols´o t¨ortet persze lehetne egyszerus´ hogy eltuntetj uk ¨ az emeletes t¨ortet. Amikor csak a deriv´alt fuggv´ eny meghat´aroz´asa a c´el, ˝ ıt´eseket elv´egezni. nem fogjuk a lehets´eges egyszerus´
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
11. Feladat 5 ¨ ¨ Hat´arozzuk meg a h(t) = cos(t2 +3t−1) fuggv´ eny deriv´alt fuggv´ eny´et. ¨ ¨ att´ol, Megold´as: A fuggv´ enyek argumentum´at nem csak x-el jel¨olhetjuk, hogy milyen szimb´olumot haszn´alunk a deriv´al´asi szab´alyok persze nem ¨ ¨ ennyel van dolgunk, h = g ◦ f , ha fuggnek. Most egy o¨ sszetett fugv´ 2 f (t) = t + 3t − 1, e´ s g(t) = cos t. Mivel
f 0(t) = 2t + 3,
g 0(t) = − sin t,
a (7) deriv´al´asi szab´aly alapj´an
h0(t) = (g(f (t)))0 = g 0(f (t)) · f 0(t) = = − sin(t2 + 3t − 1) · (2t + 3).
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
12. Feladat 6 Hat´arozzuk meg az f (x)
x3arctg (2x + 1) ¨ fuggv´ eny deriv´alt 1 + sh (2x) x
=
¨ fuggv´ eny´et. ¨ t¨obb Megold´as: Term´eszetesen az a leggyakoribb, hogy egy feladaton belul deriv´al´asi szab´alyt is alkalmazni kell. f 0 (x) =
(x3 arctg(2x + 1))0
1 x
+ sh(2x) − x3 arctg(2x + 1)
1
+ sh(2x)
x
=
(x3 )0 arctg(2x + 1) + x3 (arctg(2x + 1))0
1 x
h =
2 3x2 arctg(2x + 1) + x3 1+(2x+1) 2
i
1 x
1 x
1 x
1 x
0
+ sh(2x)
=
2
+ sh(2x) − x3 arctg(2x + 1)
1 x
+ sh(2x)
2
0 =
+ sh(2x)
+ sh(2x) − x3 arctg(2x + 1) − x12 + 2ch(2x)
+ sh(2x)
2
.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
13. Ha f folytonos az [a, b] z´art intervallumon e´ s differenci´alhat´o az (a, b) ny´ılt intervallumon, tov´abb´a f (a) = f (b), akkor van olyan c ∈ (a, b), hogy f 0(c) = 0. (Rolle t´etel.) Ha f folytonos az [a, b] z´art intervallumon e´ s differenci´alhat´o az (a, b) f (b)−f (a) ny´ılt intervallumon, akkor van olyan c ∈ (a, b), hogy f 0 (c) = b−a . (Lagrange k¨oz´ep´ert´ekt´etel.) Ha f e´ s g folytonos az [a, b] z´art intervallumon e´ s differenci´alhat´o az (a, b) ny´ılt intervallumon, g 0-nek nincs z´erushelye (a, b)-ben, akkor van f 0 (c) f (b)−f (a) olyan c ∈ (a, b), hogy g0 (c) = g(b)−g(a) . (Chauchy k¨oz´ep´ert´ekt´etel.) ¨ ¨ 14. Ha az f fuggv´ eny differenci´alhat´o a-ban e´ s az f 0 fuggv´ eny is differenci´alhat´o a-ban, akkor f k´etszer differenci´alhat´o a-ban. Ilyenkor f 0 (x)−f 0 (a) a lim = f 00(a) v´eges hat´ar´ert´eket az f a-beli m´asodrendu˝ x−a x→a
¨ differenci´alh´anyados´anak h´ıvjuk. f m´asodrendu˝ deriv´alt fuggv´ enye vagy ¨ m´asodik deriv´altja az a fuggv´ eny, amely azokra az x-ekre van e´ rtelmezve, ahol f k´etszer differenci´alhat´o, e´ s minden ilyen x-hez az f x-beli ¨ m´asodrendu˝ differenci´alh´anyados´at rendeli. Ezt a fuggv´ enyt f 00 jel¨oli. •First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
15. Feladat 7 ¨ Hat´arozzuk meg az f (x) = xex fuggv´ eny m´asodik deriv´altj´at. ¨ deriv´alhat´o e´ s Megold´as: f mindenutt
f 0(x) = ex + xex. ¨ deriv´alhat´o e´ s f 0 is mindenutt
f 00(x) = (f 0(x))0 = ex + ex + xex = 2ex + xex. 16. Legyen f differenci´alhat´o az a helyen. Ekkor f grafikonj´ahoz az ´ (a, f (a)) koordin´at´aju´ pontban huzhat´ o e´ rint˝o egyenes egyenlete a
y − f (a) x−a
= f 0(a)
(8)
formul´ab´ol hat´arozhat´o meg. A
g(x) = f 0(a)(x − a) + f (a)
(9)
¨ line´aris fuggv´ enyt az f a-beli linariz´altj´anak h´ıvjuk. Ennek legfontosabb tulajdons´aga, hogy az e´ rint´esi pont k¨ozel´eben nagyon j´ol k¨ozel´ıti f -et. •First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
17. Feladat 8 √ ´ ¨ Irjuk fel az f (x) = x2 − x fuggv´ eny a = 41 -beli e´ rint˝oj´enek egyenlet´et. ¨ Megold´as: Az f fuggv´ eny minden pozit´ıv a-ra differenci´ alhat´ o. Kisz´amoljuk a (8) formul´aban szerepl˝o sz´amokat. f (a) = f 14 = 1 16
−
1 2
7 = − 16 .
1 0 f (x) = 2x − √ , 2 x
0
f (a) = f
0
1
=
4
1 2
−
1 2·
1
1 2
=− . 2
¨ a (8) k´epletbe: Ezut´an behelyettes´ıthetunk
y − f (a)
= f 0(a),
x−a 7 16 − 41
y+ x y+
7 16
=−
1
=− , 2
x−
y=−
2 x 2
1 4
−
=− 5
x
1 + , 2 8
. 16 •First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
18. Feladat 9 Alkalmas lineariz´altat haszn´alva sz´amoljuk ki k¨ozel´ıt˝oen ln(0.97) e´ rt´ek´et. ¨ Megold´as: Mivel 0.97 k¨ozel van 1-hez, az f (x) = ln x fuggv´ eny 1-beli lineariz´altj´at fogjuk felhaszn´alni a k¨ozel´ıt˝o e´ rt´ek kisz´amol´as´ara.
f (1) = 0,
f 0(x) =
1 x
,
f 0(1) = 1.
Az 1-beli lineariz´alt teh´at a (9) formula alapj´an
g(x) = f 0(1)(x − 1) + f (1) = x − 1. Ennek helyettes´ıt´esi e´ rt´eke 0.97-ben g(0.97) = −0.03. Ezt fogadjuk el ln(0.97) k¨ozel´ıt´es´enek:
ln(0.97) ≈ −0.03. Kalkul´atorral sz´amolva ln(0.97) ≈ −0.03045920748, ami azt mu¨ el´eg j´o volt. tatja, hogy a k¨ozel´ıt´esunk •First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
¨ fel, hogy f e´ s g differenci´alhat´o az (a, p) ∪ (p, b) halma19. Tegyuk zon, ahol −∞ ≤ a < b ≤ ∞, g -nek e´ s g 0 -nek nincs gy¨oke ebben a ¨ fel, hogy halmazban. Tegyuk
lim f (x) = lim g(x) = 0,
x→p∗
x→p∗
vagy
lim f (x) = ±∞ e´ s lim g(x) = ±∞,
x→p∗
x→p∗
(10)
ahol p∗ lehet p, p+ vagy p− is. Ha L ∈ R ∪ {−∞, ∞}, e´ s
lim
x→p∗
f 0(x) g 0(x)
= L, akkor lim
x→p∗
f (x) g(x)
= L.
(11)
¨ onbs´eggel, hogy ekkor A t´etel p = ±∞ eset´en is e´ rv´enyes, azzal a kul¨ 0 g -nek e´ s g -nek a megfelel˝o v´egtelen egy k¨ornyezet´eben ne legyen gy¨oke. Ez a l’Hospital szab´aly. Fontos, hogy a l’Hospital szab´alyt csak ” 00 ” vagy ” ±∞ ” t´ıpusu´ limeszek ±∞ ¨ onben hib´as eredm´enyt kapunk. kisz´amol´as´ara haszn´aljuk, kul¨ •First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
20. Feladat 10 ln(1+x) hat´ar´ert´eket. x→0 sin x ´ e´ s teljesulnek ¨ limesz ” 00 ” t´ıpusu,
Sz´am´ıtsuk ki a lim
a l’Hospital szab´aly alkalMegold´as: A mazhat´os´ag´anak felt´etelei. A deriv´altak h´anyados´anak limesze
lim x→0
(ln(1 + x))0 (sin x)0
= lim x→0
= lim x→0
1 (1 + x) cos x
1 1+x
cos x
=
= 1.
Teh´at a l’Hospital szab´aly alapj´an
lim x→0
ln(1 + x) sin x
= 1.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
21. Feladat 11 x ln x hat´ar´ert´eket. x+ln x x→+∞ ´ e´ s teljesulnek ¨ limesz ” ±∞ ” t´ıpusu, ±∞
Sz´am´ıtsuk ki a lim
Megold´as: A a l’Hospital szab´aly alkalmazhat´os´ag´anak felt´etelei. A deriv´altak h´anyados´anak limesze most
lim
x→+∞
(x ln x)0 (x + ln x)0
= lim
ln x + 1
x→+∞
1+
1 x
= +∞,
teh´at a l’Hospital szab´aly alapj´an
lim
x→+∞
x ln x x + ln x
= +∞.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
22. Feladat 12 x −1−x
Sz´am´ıtsuk ki a lim e x→0
x2 ” 00 ”
hat´ar´ert´eket.
´ e´ s teljesulnek ¨ Megold´as: A limesz t´ıpusu, a l’Hospital szab´aly alkal¨ a deriv´altak h´anyados´anak limesz´et: mazhat´os´ag´anak felt´etelei. Tekintjuk
lim
(ex − 1 − x)0
x→0
(x2)0
ex − 1
= lim
2x
x→0
.
´ e´ s erre a limeszre is teljesulnek ¨ Ez m´eg mindig ” 00 ” t´ıpusu, a l’Hospital szab´aly alkalmazhat´os´ag´anak felt´etelei, teh´at azt alkalmazzuk ¨ a deriv´altak h´anyados´anak limesz´et: a kisz´amol´as´ara, azaz ism´et vesszuk
lim x→0
(ex − 1)0 (2x)0
= lim x→0
ex 2
=
1 2
.
´ k´etszer alkalmazva a l’Hospital szab´alyt Igy
lim x→0
ex − 1 − x x2
=
1 2
.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
23. Feladat 13 Sz´am´ıtsuk ki a lim tgx · ln x hat´ar´ert´eket. x→0+
´ Hogy alkalmazhassuk a l’Hospital Megold´as: A limesz ”0 · ±∞” t´ıpusu. szab´alyt, fel´ırjuk a t¨ortet szorzatk´ent. Erre k´et lehet˝os´eg is van, e´ s a´ ltal´aban csak az egyik vezet eredm´enyre. Sajnos nem lehet szigoru´ szab´alyt megfogalmazni arra, hogy melyik a´ t´ır´as vezet c´elhoz. Meg kell ˝ ˝ ot, de ha a depr´ob´alni a deriv´al´as szempontj´ab´ol egyszerubbnek tun˝ riv´altak h´anyados´anak a limesze az eredetin´el is komplik´altabb, akkor a ¨ most a k¨ovetkez˝o a´ t´ır´ast: m´asik a´ t´ır´as vezet c´elhoz. Tekintsuk
lim tgx · ln x = lim
x→0+
ln x
x→0+
1 tgx
= lim
ln x
x→0+
ctgx
.
±∞ ¨ Ez egy ” ±∞ ” t´ıpusu´ limesz, e´ s teljesulnek a l’Hospital szab´aly alkalmazhat´os´ag´anak felt´etelei. 1 0
lim
x→0+
(ln x)
(ctgx)0
= lim
x→0+
x
− sin12 x
sin x
= lim
x→0+
|
x {z
→1
· (− sin x) = 0. | }
{z
→0
}
Ez´ert lim tgx · ln x = 0. x→0+
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
24. Feladat 14
1 x
1 ex −1
Sz´am´ıtsuk ki a lim − hat´ar´ert´eket. x→0 Megold´as: Az x e´ s az ex − 1 azonos el˝ojelu˝ mennyis´eg minden x-re, itt ¨ onb´eg´er˝ol van sz´o, ak´arhogy tart is az x teh´at azonos el˝ojelu˝ v´egtelenek kul¨ ¨ onbs´eget k¨onnyen null´aba. Most azonban ezt a ”±∞ − ±∞ ” t´ıpusu´ kxul¨ a´ t´ırhatjuk t¨ort alakba: lim x1 − ex1−1 = lim ex(e−1−x Ez a limesz x −1) . x→0
” 00 ”
x→0
´ e´ s teljesulnek ¨ t´ıpusu, r´a a l’Hospital szab´aly alkalmazhat´os´ag´anak felt´etelei. x 0 x
lim x→0
(e − 1 − x) (x(ex − 1))0
= lim x→0
e −1
ex − 1 + xex
.
´ e´ s teljesulnek ¨ Ez m´eg mindig ” 00 ” t´ıpusu, r´a a l’Hospital szab´aly alkal¨ a deriv´altak h´anyados´anak mazhat´os´ag´anak felt´etelei, teh´at tekintjuk limesz´et:
lim x→0
Ez´ert lim x→0
1 x
(ex − 1)0 (ex − 1 + xex)0 −
1 ex −1
= lim x→0
ex ex + ex + xex
=
1 2
.
= 12 . •First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
25. Feladat 15 Sz´am´ıtsuk ki a lim (x − ln(x2 + 1)) hat´ar´ert´eket. x→+∞
´ e´ s mivel nem t¨ortek Megold´as: A limesz ”±∞ − ±∞” t´ıpusu, ¨ onbs´eg´er˝ol van sz´o, nem nyilv´anval´o, hogy hogyan alak´ıtsuk a´ t ugy ´ kul¨ ¨ onbs´eget, hogy a l’Hospital szab´aly alkalmazhat´o legyen. Ilyenkor a kul¨ ¨ azt a tagot, amelyik a leggyorsaba´ ltal´aban az vezet c´elhoz, ha kiemeljuk ban tart a v´egtelenbe, ez a tag most az x. (Az ln(x2 + 1) nagy x-re l´enyeg´eben 2 ln x, az ln x grafikonja egyre laposabb, egyre jobban elhaj¨ az al´abbi a´ t´ır´ast: lik az x grafikonj´at´ol.) Ez alapj´an tekintsuk
2
lim (x − ln(x + 1)) =
x→+∞
lim x 1 −
ln(x2 + 1) x
x→+∞
.
¨ Mivel tejlesulnek az alkalmazhat´os´ag felt´etelei, kisz´amoljuk a l’Hospital ln(x2 +1) szab´aly seg´ıts´eg´evel a lim limeszt. x x→+∞
lim
x→+∞
(ln(x2 + 1))0 (x)0
2x
= lim
x2 +1
1
x→+∞
= 0, teh´at
lim (x − ln(x2 + 1)) =
x→+∞
lim x 1 −
ln(x2 + 1)
x→+∞
|
x {z
→0
= +∞. }
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
26. Feladat 16 1
Sz´am´ıtsuk ki a lim (ex + x) x hat´ar´ert´eket. x→0+
´ Az ilyen hatv´any alaku´ limeszeket Megold´as: A limesz ”1+∞ ” t´ıpusu. ´ lehet kezelni, hogy el˝osz¨or kisz´amoljuk az eredeti hatv´any term´eszetes ugy alapu´ logaritmus´anak a limesz´et. Ha az A, akkor az eredeti limesz eA , ¨ ha az −∞, akkor az eredeti ha az +∞, akkor az eredeti is annyi, v´egul, ¨ a limesz nulla. Most teh´ at tekintjuk x 1 lim ln (ex + x) x = lim x1 · ln(ex + x) = lim ln(ex+x) limeszt. x→0+ Ez ” 00 ”
x→0+
x→0+
´ e´ s a l’Hospital szab´aly alkalmazhat´o. t´ıpusu,
lim
x→0+
(ln(ex + x))0 (x)0
= lim
x→0+
ex +1 ex +x
1
= 2.
Az eredeti limesz term´eszetes alapu´ logaritmusa teh´at 2, ez´ert az eredeti limesz e2 , vagyis 1
lim (ex + x) x = e2.
x→0+
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
