Matematika I (Anal´ızis) K´esz´ıtette: Horv´ath G´abor
∙First ∙Prev ∙Next ∙Last ∙Go Back ∙Full Screen ∙Close ∙Quit
K¨otelez˝o irodalom: ´ L´aszl´o, G´asp´ar Csaba: Anal´ızis 1 Acs Oktat´asi seg´edanyagok e´ s a tant´argyi k¨ovetelm´enyrendszer megtal´alhat´o a http://rs1.szif.hu/˜horvathg/horvathg.html webhelyen. A Matematika Tansz´ek honlapja: http://math.sze.hu
∙First ∙Prev ∙Next ∙Last ∙Go Back ∙Full Screen ∙Close ∙Quit
Tervezett tematika ˝ 1. Komplex sz´amok. Muveletek algebrai e´ s trigonometrikus alakban adott komplex sz´amokkal. ¨ ¨ 2. Egyv´altoz´os val´os fuggv´ enyek, tulajdons´agai. Elemi fuggv´ enyek. 3. Sz´amsorozatok. ¨ 4. Egyv´altoz´os val´os fuggv´ enyek hat´ar´ert´eke, folytonoss´aga. ¨ 5. Egyv´altoz´os val´os fuggv´ enyek differenci´al´asa. Alapderiv´altak. 6. Differenci´al´asi szab´alyok, t´etelek. ¨ 7. A L’Hospital-szab´aly. Fuggv´ enyek menet´enek vizsg´alata. 8. Sz´els˝oe´ rt´ek feladatok. 9. Taylor-polinomok, Taylor-sorok. 10. A hat´arozatlan integr´al fogalma, alapintegr´alok, parci´alis integr´al´as. 11. Riemann-integr´al, Newton-Leibniz t´etel. 12. A Riemann-integr´al alkalmaz´asai. 13. K¨oz¨ons´eges differenci´alegyenletek bevezet´ese. 14. K¨oz¨ons´eges differenci´alegyenletek n´eh´any megold´asi m´odszere. ∙First ∙Prev ∙Next ∙Last ∙Go Back ∙Full Screen ∙Close ∙Quit
1. el˝oad´as Komplex sz´amok (1)
∙First ∙Prev ∙Next ∙Last ∙Go Back ∙Full Screen ∙Close ∙Quit
1. Az 𝒂 e´ s 𝒃 val´os sz´amokb´ol alkotott rendezett p´art (𝒂, 𝒃) jel¨oli. A rendezett p´arok egyenl˝os´eg´et ´ıgy defini´aljuk:
(𝒂, 𝒃) = (𝒄, 𝒅) ⇐⇒ 𝒂 = 𝒄 ´ es 𝒃 = 𝒅.
(1)
Teh´at nem csak az sz´am´ıt, hogy milyen sz´amok alkotj´ak a rendezett p´art, a sz´amok sorrendje is fontos. Rendezett p´arokkal m´ar kor´abban is tal´alkoztunk. P´eld´aul a s´ık pontjait a pont koordin´at´aib´ol alkotott rendezett p´arokkal lehet megadni. 2. A komplex sz´amok ℂ halmaza az o¨ sszes (𝒂, 𝒃) val´os sz´amokb´ol alkotott rendezett p´arok halmaza: ℂ = {(𝒂, 𝒃)∣𝒂, 𝒃 ∈ ℝ}.
(2)
¨ a 𝒛 = (𝒂, 𝒃) komplex sz´amot. Az 𝒂 val´os sz´amot a kompTekintsuk ¨ a 𝒃 val´os sz´amot a lex sz´am val´os r´esz´enek h´ıvjuk e´ s 𝑹𝒆(𝒛)-vel jel¨oljuk, ¨ komplex sz´am k´epzetes r´esz´enek h´ıvjuk e´ s 𝑰𝒎(𝒛)-vel jel¨oljuk. 3. A rendezett p´arok egyenl˝os´eg´enek (1) defin´ıci´oj´ab´ol k¨ovetkezik, hogy k´et komplex sz´am csak akkor egyenl˝o, ha egyenl˝ok a val´os e´ s egyenl˝ok a k´epzetes r´eszek is. ∙First ∙Prev ∙Next ∙Last ∙Go Back ∙Full Screen ∙Close ∙Quit
4. A komplex sz´amok halmaz´an a k¨ovetkez˝o m´odon defini´aljuk az ˝ o¨ sszead´as e´ s a szorz´as muvelet´ et: legyen (𝒂, 𝒃), (𝒄, 𝒅) ∈ ℂ, ekkor
(𝒂, 𝒃) + (𝒄, 𝒅) = (𝒂 + 𝒄, 𝒃 + 𝒅),
(3)
(𝒂, 𝒃) ⋅ (𝒄, 𝒅) = (𝒂𝒄 − 𝒃𝒅, 𝒂𝒅 + 𝒃𝒄).
(4)
P´elda 1
(3, −1) + (−2, 4) = (1, 3), (3, −1) ⋅ (−2, 4) = (−2, 14).
∙First ∙Prev ∙Next ∙Last ∙Go Back ∙Full Screen ∙Close ∙Quit
5. Az (𝒂, 0) ←→ 𝒂 k¨olcs¨on¨osen egy´ertelmu˝ megfeleltet´es e´ s az
(𝒂, 0) + (𝒃, 0) = (𝒂 + 𝒃, 0),
(𝒂, 0) ⋅ (𝒃, 0) = (𝒂𝒃, 0)
(5)
azonoss´agok mutatj´ak, hogy a komplex sz´amok halmaz´anak van egy r´eszhalmaza, a nulla k´epzetes r´eszu˝ komplex sz´amok halmaza, amely izomorf a val´os sz´amok halmaz´aval. A komplex sz´amok halmaza a val´os sz´amok halmaz´anak kib˝ov´ıt´ese. Ha a komplex o¨ sszead´ast e´ s szorz´ast val´os sz´amra, mint speci´alis komplex sz´amra alkalmazzuk, akkor visszakapjuk ´ haszn´alni fogjuk az a j´ol ismert val´os o¨ sszead´ast e´ s szorz´ast. Ezentul (𝒂, 0) = 𝒂 jel¨ol´est. 6. Az (𝒂, 𝒃)+(0, 0) = (𝒂, 𝒃) e´ s az (𝒂, 𝒃)⋅(1, 0) = (𝒂, 𝒃) azonoss´agok mutatj´ak, hogy (0, 0) = 0 j´atsza a z´erus, (1, 0) = 1 az egys´eg szerep´et. A (0, 1) ⋅ (0, 1) = (−1, 0) = −1 (6) k´eplet alapj´an a komplex sz´amok k¨oz¨ott van egy olyan sz´am, amelynek a ¨ nagy szerepe van, ezt n´egyzete −1. Ennek a komplex sz´amnak rendk´ıvul ¨ a komplex sz´amot k´epzetes egys´egnek h´ıvjuk e´ s 𝒊-vel jel¨oljuk.
𝒊 = (0, 1),
𝒊2 = −1.
(7)
∙First ∙Prev ∙Next ∙Last ∙Go Back ∙Full Screen ∙Close ∙Quit
¨ a k¨ovetkez˝o fel´ır´ast: 7. Tekintsuk
(𝒂, 𝒃) = (𝒂, 0) + (0, 𝒃) = (𝒂, 0) ⋅ (1, 0) + (𝒃, 0) ⋅ (0, 1) = = 𝒂 ⋅ (1, 0) + 𝒃 ⋅ (0, 1) = 𝒂 ⋅ 1 + 𝒃 ⋅ 𝒊 = 𝒂 + 𝒃𝒊.
(8)
Ezek szerint a komplex sz´amok fel´ırhat´ok 𝒂 + 𝒃𝒊 alakban, ahol 𝒂, 𝒃 ∈ ℝ, 𝒊2 = −1, azaz ℂ = {𝒂 + 𝒃𝒊∣𝒂, 𝒃 ∈ ℝ, 𝒊2 = −1}.
(9)
Az o¨ sszead´as e´ s a szorz´as ebben az alakban:
(𝒂 + 𝒃𝒊) + (𝒄 + 𝒅𝒊) = (𝒂 + 𝒄) + (𝒃 + 𝒅)𝒊,
(10)
(𝒂 + 𝒃𝒊) ⋅ (𝒄 + 𝒅𝒊) = (𝒂𝒄 − 𝒃𝒅) + (𝒂𝒅 + 𝒃𝒄)𝒊
(11)
(2 − 3𝒊) + (−1 + 𝒊) = 1 − 2𝒊,
(12)
(2 − 3𝒊) ⋅ (−1 + 𝒊) = 1 + 5𝒊.
(13)
P´elda 2
∙First ∙Prev ∙Next ∙Last ∙Go Back ∙Full Screen ∙Close ∙Quit
8. A tov´abbiakban ezt a jel¨ol´est fogjuk haszn´alni e´ s a szorz´ast jel¨ol˝o pon¨ a defin´ıci´o alapj´an is, de ugy ´ tot nem rakjuk ki. A szorz´ast elv´egezhetjuk is, hogy a k´ettagu´ algebrai kifejez´esekben minden tagot minden taggal ¨ hogy 𝒊2 = −1, majd o¨ sszevonjuk az megszorzunk, figyelembe vesszuk, azonos t´ıpusu´ tagokat.
(𝒂+𝒃𝒊)(𝒄+𝒅𝒊) = 𝒂𝒄+𝒃𝒄𝒊+𝒂𝒅𝒊+𝒃𝒅𝒊2 = (𝒂𝒄−𝒃𝒅)+(𝒂𝒅+𝒃𝒄)𝒊. Ezt a sz´amol´asi m´odot javasoljuk a szorz´as elv´egz´es´ere, a tapasztalat szerint biztons´agosabb, mint a defin´ıci´o haszn´alata. Abban a speci´alis esetben, ha a szorzat egyik t´enyez˝oje val´os sz´am, kapjuk, hogy (𝒂 + 0𝒊)(𝒄 + 𝒅𝒊) = 𝒂(𝒄 + 𝒅𝒊) = 𝒂𝒄 + 𝒂𝒅𝒊. (14) ´ Teh´at val´os sz´ammal ugy szorzunk meg egy komplex sz´amot, hogy megszorozzuk mind a val´os, mind a k´epzetes r´eszt.
∙First ∙Prev ∙Next ∙Last ∙Go Back ∙Full Screen ∙Close ∙Quit
9. Legyen 𝒛, 𝒗, 𝒘 ∈ ℂ. Az o¨ sszead´asra e´ s a szorz´asra vonatkoz´o legfontosabb azonoss´agok:
𝒛 + 𝒘 = 𝒘 + 𝒛,
(15)
(𝒛 + 𝒗) + 𝒘 = 𝒛 + (𝒗 + 𝒘) = 𝒛 + 𝒗 + 𝒘,
(16)
𝒛𝒘 = 𝒘𝒛,
(17)
(𝒛𝒗)𝒘 = 𝒛(𝒗𝒘) = 𝒛𝒗𝒘,
(18)
𝒛(𝒗 + 𝒘) = 𝒛𝒗 + 𝒛𝒘.
(19)
Teh´at a komplex sz´amok k¨or´eben az o¨ sszead´as´ara e´ s szorz´as´ara ugyanazok az azonoss´agok e´ rv´enyesek, mint a val´os sz´amok k¨or´eben. Be lehet bizony´ıtani, hogy ha 𝒛, 𝒘 ∈ ℂ e´ s 𝒛𝒘 = 0, akkor 𝒛 = 0 vagy 𝒘 = 0.
∙First ∙Prev ∙Next ∙Last ∙Go Back ∙Full Screen ∙Close ∙Quit
10. A kivon´ast a k¨ovetkez˝ok´epp defini´aljuk:
𝒛 − 𝒘 = 𝒛 + (−1)𝒘.
(20)
Ha 𝒛 = 𝒂 + 𝒃𝒊, 𝒘 = 𝒄 + 𝒅𝒊, akkor ezt azt jelenti, hogy
𝒛 − 𝒘 = (𝒂 + 𝒃𝒊) − (𝒄 + 𝒅𝒊) = (𝒂 − 𝒄) + (𝒃 − 𝒅)𝒊.
(21)
P´elda 3
(2 + 3𝒊) − (−1 + 5𝒊) = 3 + (−2)𝒊 = 3 − 2𝒊.
(22)
11. A 𝒛 = 𝒂 + 𝒃𝒊 komplex sz´am konjug´altja a 𝒛 = 𝒂 − 𝒃𝒊 komplex sz´am. A k´es˝obbiekben fontos szerepe lesz annak, hogy ha 𝒛 ∕= 0, akkor 𝒛 ∕= 0, e´ s 𝒛𝒛 = (𝒂 + 𝒃𝒊)(𝒂 − 𝒃𝒊) = 𝒂2 + 𝒃2 ∈ ℝ, (23) Ez alapj´an teh´at 𝒛𝒛 akkor e´ s csak akkor nulla, ha 𝒛 = 0.
∙First ∙Prev ∙Next ∙Last ∙Go Back ∙Full Screen ∙Close ∙Quit
12. Ezut´an az oszt´as defin´ıci´oja a k¨ovetkez˝o. Legyen 𝒛 = 𝒂 + 𝒃𝒊 tetsz˝oleges, 𝒘 = 𝒄 + 𝒅𝒊 ∕= 0 komplex sz´am. Ekkor
𝒛 𝒘 =
=
𝒛
⋅
𝒘
𝒘 𝒘
=
𝒛⋅𝒘 𝒘⋅𝒘
(𝒂 + 𝒃𝒊)(𝒄 − 𝒅𝒊) 𝒄2 + 𝒅2
=
=
(𝒂 + 𝒃𝒊)(𝒄 − 𝒅𝒊) (𝒄 + 𝒅𝒊)(𝒄 − 𝒅𝒊)
=
(𝒂𝒄 + 𝒃𝒅) + (−𝒂𝒅 + 𝒃𝒄)𝒊
𝒄2 + 𝒅2 𝒂𝒄 + 𝒃𝒅 −𝒂𝒅 + 𝒃𝒄 = 2 + 𝒊. 𝒄 + 𝒅2 𝒄2 + 𝒅2
= (24)
M´eg ink´abb, mint a szorz´asn´al, itt sem a (24) k´epletet e´ rdemes meg´ jegyezni, hanem az elj´ar´ast, amivel azt kaptuk. Erre ugy szoktunk ¨ hivatkozni, hogy oszt´askor b˝ov´ıtunk a nevez˝o konjug´altj´aval, majd ¨ a kijel¨olt muveleteket. ˝ elv´egezzuk
∙First ∙Prev ∙Next ∙Last ∙Go Back ∙Full Screen ∙Close ∙Quit
P´elda 4
3−𝒊 1 + 2𝒊
=
(3 − 𝒊)(1 − 2𝒊) (1 + 2𝒊)(1 − 2𝒊)
=
(3 − 𝒊)(1 − 2𝒊) 12 + 22
=
1 − 7𝒊 5
=
1
7 − 𝒊. 5 5
P´elda 5
3 2−𝒊
=
3(2 + 𝒊) (2 − 𝒊)(2 + 𝒊)
=
6 + 3𝒊 22 + 12
=
6 + 3𝒊 5
=
6 5
3
+ 𝒊. 5
P´elda 6
−4 + 2𝒊 −𝒊
=
(−4 + 2𝒊)𝒊 (−𝒊)𝒊
=
−2 − 4𝒊 1
= −2 − 4𝒊.
∙First ∙Prev ∙Next ∙Last ∙Go Back ∙Full Screen ∙Close ∙Quit
13. A konjug´al´asra vonatkoz´o legfontosabb azonoss´agok a k¨ovetkez˝ok. Legyen 𝒛, 𝒘 tetsz˝oleges, ha 𝒘 a nevez˝oben van, akkor 𝒘 ∕= 0.
𝒛 ± 𝒘 = 𝒛 ± 𝒘, 𝒛
(
)
=
𝒘
𝒛 𝒘
,
𝒛 ⋅ 𝒘 = 𝒛 ⋅ 𝒘,
(25)
(𝒛) = 𝒛.
(26)
´ e´ rt´eke 14. Ha 𝒛 = 𝒂 + 𝒃𝒊, akkor a 𝒛 komplex sz´am hossza vagy abszolut √ (27) ∣𝒛∣ = 𝒂2 + 𝒃2. ´ e´ rt´ekre vonatkoz´o azonoss´agok: Az abszolut
𝒛𝒛 = ∣𝒛∣2,
∣𝒛𝒘∣ = ∣𝒛∣∣𝒘∣,
∣𝒛∣ = ∣𝒛∣,
𝒛 ∣𝒛∣ = , 𝒘 ∣𝒘∣
∣𝒛 + 𝒘∣ ≤ ∣𝒛∣ + ∣𝒘∣.
(28) (29)
∙First ∙Prev ∙Next ∙Last ∙Go Back ∙Full Screen ∙Close ∙Quit
Feladat 1 Sz´am´ıtsuk ki az al´abbi kifejez´es e´ rt´ek´et. (
)2
4 − 2𝒊
(2 + 𝒊)(1 − 𝒊) ´ Megold´as: Az ilyen bonyolultabb kifejez´eseket t¨obb uton is ki lehet sz´am´ıtani. Olyan utat kell v´alasztani, hogy lehet˝oleg mindig csak egyszeru˝ ˝ odj¨on. Most dolgot kelljen elv´egezni, e´ s az eredeti kifejez´es m´egis egyszerus¨ ˝ p´eld´aul c´elszerutlen lenne a n´egyzetre emel´es elv´egz´es´evel kezdeni. ¨ a sz´aml´al´oban a konjug´al´ast, eredm´enyul ¨ 4 + 2𝒊-t kaInk´abb elv´egezzuk punk. Ezut´an kisz´amoljuk a nevez˝oben a´ ll´o szorzatot. Kapjuk, hogy
(2 + 𝒊)(1 − 𝒊) = 2 + 𝒊 − 2𝒊 − 𝒊2 = 3 − 𝒊. ¨ teh´at, aminek a n´egyzet´et ki kell sz´amolnunk A t¨ortunk
4 + 2𝒊 3−𝒊
=
(4 + 2𝒊)(3 + 𝒊) (3 − 𝒊)(3 + 𝒊)
=
10 + 10𝒊 10
4 + 2𝒊 3−𝒊
. De
= 1 + 𝒊.
Az eredeti kifejez´es e´ rt´eke teh´at (1 + 𝒊)2 = 1 + 2𝒊 + 𝒊2 = 2𝒊. ∙First ∙Prev ∙Next ∙Last ∙Go Back ∙Full Screen ∙Close ∙Quit
Feladat 2 Oldjuk meg a komplex sz´amok halmaz´an az al´abbi egyenletrendszert.
𝒊𝒛1 + 2𝒛2 = 1 + 2𝒊 (1 − 𝒊)𝒛1 − (3 + 𝒊)𝒛2 = −1 − 3𝒊 Megold´as: Ez egy k´etismeretlenes line´aris egyenletrendszer 𝒛1 -re e´ s 𝒛2 ´ re. Mivel az eddigiek alapj´an a komplex sz´amokkal ugyanugy kell sz´amolni, mint a val´os sz´amokkal, a k¨oz´episkol´aban tanult m´odszerek alkalmazhat´ok. Szorozzuk meg az els˝o egyenletet 1 − 𝒊-vel, a m´asodikat 𝒊-vel. Mivel (1 − 𝒊)𝒊 = 1 + 𝒊, e´ s (1 + 2𝒊)(1 − 𝒊) = 3 + 𝒊
(1 + 𝒊)𝒛1 + (2 − 2𝒊)𝒛2 = 3 + 𝒊 (1 + 𝒊)𝒛1 − (−1 + 3𝒊)𝒛2 = 3 − 𝒊 Ha most a m´asodik egyenletet kivonjuk az els˝ob˝ol kapjuk, hogy
(1 + 𝒊)𝒛2 = 2𝒊, ¨ az els˝o egyenletbe, akkor amib˝ol 𝒛2 = 1 + 𝒊. Ha ezt behelyettes´ıtjuk
𝒊𝒛1 = −1, amib˝ol 𝒛1 = 𝒊.
∙First ∙Prev ∙Next ∙Last ∙Go Back ∙Full Screen ∙Close ∙Quit
Feladat 3 Oldjuk meg a komplex sz´amok halmaz´an az al´abbi egyenletet.
𝒛 2 = 𝒊𝒛 ¨ az egyenletbe, Megold´as: Legyen 𝒛 = 𝒂 + 𝒃𝒊. Ha ezt behelyettes´ıtjuk kapjuk, hogy
𝒂2 − 𝒃2 + 2𝒂𝒃𝒊 = 𝒃 + 𝒂𝒊. ´ K´et komplex sz´am csak ugy lehet egyenl˝o, hogy egyenl˝ok a val´os e´ s a ¨ k´epzetes r´eszeik is. Teh´at teljesulnie kell az
𝒂2 − 𝒃2 = 𝒃 2𝒂𝒃 = 𝒂 val´os sz´amokra vonatkoz´o, igaz nemline´aris egyenletrendszernek. Itt a ¨ ha 𝒂 = 0, ezt be´ırva az els˝o egyenletbe kapjuk, m´asodik egyenlet teljesul, 2 hogy −𝒃 = 𝒃, amib˝ol 𝒃 = 0 vagy 𝒃 = −1. Ha 𝒂 ∕= 0, akkor a m´asodik 2 egyenletb˝ √ol 𝒃 = 1/2, amit az els˝obe be´ırva 𝒂 = 3/4 ad´odik, innen 𝒂 = ± 3/2. N´egy √ √megold´as van teh´at: 0 + 0𝒊 = 0, 0 + (−1)𝒊 = −𝒊, 3/2 + 𝒊/2 e´ s − 3/2 + 𝒊/2. ∙First ∙Prev ∙Next ∙Last ∙Go Back ∙Full Screen ∙Close ∙Quit
Feladat 4 Oldjuk meg a komplex sz´amok halmaz´an az al´abbi egyenletet.
𝒛 2 = 8 + 6𝒊 ¨ az egyenletbe, Megold´as: Legyen 𝒛 = 𝒂 + 𝒃𝒊. Ha ezt behelyettes´ıtjuk kapjuk, hogy
𝒂2 − 𝒃2 + 2𝒂𝒃𝒊 = 8 + 6𝒊. Megint, a val´os e´ s k´epzetes r´eszek egyenl˝os´ege miatt, kapjuk, hogy
𝒂2 − 𝒃2 = 8 2𝒂𝒃 = 6. ´ a m´asodik egyenletb˝ol 𝒃 = 3/𝒂, El˝osz¨or is sem 𝒂, sem 𝒃 nem nulla. Igy ezt be´ırva az els˝o egyenletbe kapjuk, hogy 𝒂2 − 9/𝒂2 = 8. Beszorozva ¨ az 𝒂2 -re m´asodfoku´ (𝒂2 )2 − 8𝒂2 − 9 = 0 𝒂2-el e´ s rendezve nyerjuk egyenletet. Ebb˝ol a megold´ok´eplettel 𝒂2 = 9 vagy 𝒂2 = −1, de mivel 𝒂 val´os sz´am, ez nem lehet. Teh´at 𝒂 = ±3. Ha 𝒂 = 3, akkor 𝒃 = 1, ha 𝒂 = −3, akkor 𝒃 = −1. K´et megold´as van teh´at: 3 + 𝒊, e´ s −3 − 𝒊. ¨ e´ szre, hogy nem csin´altunk m´ast, mint algebrai alakban Vegyuk n´egyzetgy¨ok¨ot vontunk 8 + 6𝒊-b˝ol, ez eddigi ismereteinkel o¨ sszhangban a k´et n´egyzetgy¨ok egym´as m´ınusz egyszerese. ∙First ∙Prev ∙Next ∙Last ∙Go Back ∙Full Screen ∙Close ∙Quit
