Sz´amsorozatok (1)
∙First ∙Prev ∙Next ∙Last ∙Go Back ∙Full Screen ∙Close ∙Quit
1. Val´os sz´amsorozaton val´os sz´amok meghat´arozott sorrendu˝ v´egtelen ¨ ´ az egym´asut´an k¨ovetkez´es rendj´en van. A list´aj´at e´ rtjuk. A hangsuly sorozatnak van els˝o, m´asodik, harmadik, stb. eleme. Minden sorozat¨ ¨ hoz term´eszetes m´odon hozz´atartozik egy fuggv´ eny. Ez a fuggv´ eny a term´eszetes sz´amok halmaz´an van e´ rtelmezve, az 1-hez a sorozat els˝o elem´et rendeli, a 2-h¨oz a sorozat m´asodik elem´et, e´ s ´ıgy tov´abb. Ha ezt ¨ ¨ a sorozatunkat egy a fuggv´ enyt 𝒂 jel¨oli, akkor tekinthetjuk
𝒂:ℕ→ℝ
(1)
¨ fuggv´ enynek. Az 𝒂(𝒏) jel¨ol´es helyett hagyom´anyosan az 𝒂𝒏 jel¨ol´est haszn´aljuk, e´ s 𝒂𝒏 -et a sorozat 𝒏. elem´enek h´ıvjuk. Sorozatot is leggyakrabban az 𝒂𝒏 kisz´amol´as´at lehet˝ov´e t´ev˝o formula megad´as´aval defini´alunk. P´elda 1 Az 𝒂𝒏 = 𝒏2 − 2𝒏 sorozat els˝o n´eh´any eleme: −1, 0, 3, 8, 15, . . . ¨ sorrendjukkel ¨ Mag´at a sorozatot, teh´at az o¨ sszes elem´et a sorozaton beluli ¨ (𝒂𝒏 ) jel¨oli. Az 𝒂𝒏 jel¨ol´esben az 𝒏 sz´amot a sorozatelem index´enek egyutt, h´ıvjuk. ∙First ∙Prev ∙Next ∙Last ∙Go Back ∙Full Screen ∙Close ∙Quit
¨ elhagyunk v´eges sokat vagy v´egtelen sokat, 2. Ha egy sorozat elemei k¨ozul ´ de ugy, hogy az´ert v´egtelen sok elem megmaradjon, akkor megmaradt ¨ sorrendjuket ¨ sorozatelemek, az eredeti sorozaton beluli megtartva, az eredeti sorozat egy r´eszsorozat´at adj´ak. Minden sorozatnak v´egtelen sok r´eszsorozata van. P´elda 2 Az 𝒂𝒏 = 𝒏 sorozatnak r´eszsorozata a 𝒃𝒏 = 3𝒏 sorozat. Enn´el a r´eszsorozatn´al minden harmadik elemet tarottunk meg. P´elda 3 Az 𝒂𝒏 = 𝒏 sorozatnak r´eszsorozata a 𝒃𝒏 = 𝒏 + 3 sorozat. Ezt a ´ r´eszsorozatot ugy kaptuk, hogy eldobtuk az eredeti sorozat els˝o h´arom elem´et, az eredeti 4. elem lett a r´eszsorozat els˝o eleme, az eredeti 5. elem a r´eszsorozat m´asodik eleme, e´ s ´ıgy tov´abb. P´elda 4
√
Az 𝒂𝒏 = 𝒏 sorozatnak r´eszsorozata a 𝒃𝒏 = 𝒏 sorozat. Itt azokat az elemeket tartottuk meg, amelyek indexe n´egyzetsz´am. ∙First ∙Prev ∙Next ∙Last ∙Go Back ∙Full Screen ∙Close ∙Quit
3. Az (𝒂𝒏 ) sorozat hat´ar´ert´eke vagy limesze az 𝑨 ∈ ℝ sz´am, ha minden ´ 𝜺 > 0 sz´amhoz megadhat´o egy 𝑵 (𝜺) pozit´ıv eg´esz sz´am, az ugynevezett ¨ obindex, ugy, ´ kusz¨ hogy
∣𝒂𝒏 − 𝑨∣ < 𝜺 minden olyan 𝒏 − re, amelyre 𝒏 > 𝑵 (𝜺).
(2)
¨ 𝒂𝒏 → 𝑨. Azt, hogy az (𝒂𝒏 ) sorozat hat´ar´ert´eke az 𝑨 sz´am ´ıgy jel¨oljuk: ¨ obindexn´el 4. Ha 𝒂𝒏 → 𝑨, akkor minden 𝜺 eset´en a sorozat 𝑵 (𝜺) kusz¨ nagyobb indexu˝ elemei az 𝑨 h´at´ar´ert´ekhez 𝜺-n´al k¨ozelebb vannak, azaz ¨ 𝜺 sugaru, ´ szimmetrikus (𝑨 − 𝜺, 𝑨 + 𝜺) beleesnek az 𝑨 hat´ar´ert´ek k¨oruli ny´ılt intervallumba, ugyanis ha 𝒏 > 𝑵 (𝜺), akkor
∣𝒂𝒏 − 𝑨∣ < 𝜺
(3)
− 𝜺 < 𝒂𝒏 − 𝑨 < 𝜺,
(4)
eset´en azaz
𝑨 − 𝜺 < 𝒂𝒏 < 𝑨 + 𝜺,
teh´at
𝒂𝒏 ∈ (𝑨 − 𝜺, 𝑨 + 𝜺). (5) ∙First ∙Prev ∙Next ∙Last ∙Go Back ∙Full Screen ∙Close ∙Quit
P´elda 5 Az 𝒂𝒏 = 𝒏1 sorozat limesze 0, a 𝒃𝒏 = 1 + 𝒏1 sorozat eset´en 𝒃𝒏 → 1, m´ıg a 𝒄𝒏 = (−1)𝒏 + 𝒏1 sorozatnak nincs hat´ar´ert´eke. 5. Minden sorozatnak legfeljebb egy hat´ar´ert´eke lehet, teh´at ha van limesz, ˝ akkor az egy´ertelmu. Ha egy sorozatnak van hat´ar´ert´eke, akkor minden r´eszsorozat´anak is van, e´ s mindnek ugyanaz a sz´am a hat´ar´ert´eke. Nem szabad azt hinni, hogy minden sorozatnak van hat´ar´ert´eke, a legt¨obbnek nincs.
∙First ∙Prev ∙Next ∙Last ∙Go Back ∙Full Screen ∙Close ∙Quit
6. Feladat 1 Legyen 𝒂𝒏 =
𝒏−5 1 − 2𝒏
. Fogadjuk el, hogy ennek a sorozatnak 𝑨 = − 12 a
¨ obindexet. hat´ar´ert´eke, e´ s hat´arozzuk meg az 𝜺 = 0.01-hez tartoz´o kusz¨ ´ e´ rt´ekes egyenl˝otlens´eget kell Megold´as: Az ∣𝒂𝒏 − 𝑨∣ < 𝜺 abszolut megoldanunk 𝒏-re. Be´ırva ebbe 𝒂𝒏 k´eplet´et, 𝑨 e´ s 𝜺 e´ rt´ek´et, kapjuk, hogy 𝒏−5 1 < 0.01. + 1 − 2𝒏 2 Az els˝o a´ talak´ıt´as az, hogy keresztbeszorz´assal k¨oz¨os nevez˝ore hozunk az ´ e´ rt´eken belul: ¨ abszolut 2𝒏 − 10 + 1 − 2𝒏 < 0.01, 2(1 − 2𝒏) −9 < 0.01. 2(1 − 2𝒏) ´ e´ rt´eket tartalmaz´o egyenl˝otlens´eg megold´asakor az Minden ilyen abszolut ´ e´ rt´ekt˝ol. Az eddigi a kulcs l´ep´es az, amikor megszabadulunk az abszolut a´ talak´ıt´asok azt c´elozt´ak meg, hogy ezt biztons´aggal meg tudjuk tenni. ∙First ∙Prev ∙Next ∙Last ∙Go Back ∙Full Screen ∙Close ∙Quit
A
−9 2(1 − 2𝒏)
t¨ortben mind a sz´aml´al´o, mind a nevez˝o minden pozit´ıv 𝒏-re
´ e´ rt´eke o¨ nmaga. negat´ıv, teh´at a t¨ort e´ rt´eke pozit´ıv, ´ıgy az abszolut
−9 2(1 − 2𝒏)
< 0.01.
Ha most mindk´et oldalt elosztjuk a pozit´ıv 0.01-el nem fordul meg az egyenl˝otlens´eg ir´anya.
−900
2(1 − 2𝒏)
< 1.
˝ ıtve, e´ s megszorozva mindk´et oldalt a negat´ıv 1 − 2𝒏-el megforEgyszerus´ dul az egyenl˝otlens´eg ir´anya. Rendezve:
−450 > 1 − 2𝒏 ⇐⇒ −451 > −2𝒏 ⇐⇒ 225.5 < 𝒏. ¨ Mivel ekvivalens a´ talak´ıt´asokat v´egeztunk, az utols´o egyenl˝otlens´egb˝ol leolvashat´o, hogy 𝑵 (0.01) = 225. ´ Erdemes kipr´ob´alni, hogy ∣𝒂225 +1/2∣ ∕< 0.01, de ∣𝒂226 +1/2∣ < 0.01, e´ s 226-n´al nagyobb sorozatindexre ez m´egink´abb ´ıgy van. ∙First ∙Prev ∙Next ∙Last ∙Go Back ∙Full Screen ∙Close ∙Quit
¨ ol korl´atos, ha van olyan 𝑲 sz´am, hogy 𝒂𝒏 ≤ 𝑲 7. Az (𝒂𝒏 ) sorozat felulr˝ ¨ minden 𝒏-re. Az (𝒂𝒏 ) sorozat alulr´ol korl´atos, ha van olyan 𝒌 teljesul ¨ minden 𝒏-re. Az (𝒂𝒏 ) sorozat korl´atos, ha sz´am, hogy 𝒌 ≤ 𝒂𝒏 teljesul ¨ ol is korl´atos. A sorozat korl´atoss´aga azt jelenti, hogy van alulr´ol e´ s felulr˝ olyan 𝒌 als´o, e´ s 𝑲 fels˝o korl´at, hogy 𝒌 ≤ 𝒂𝒏 ≤ 𝑲 . ¨ a legnagyobb, a fels˝o korl´atok k¨ozul ¨ a legkisebb a Az als´o korl´atok k¨ozul leginformat´ıvabb. P´elda 6 ¨ ol nem; a Az 𝒂𝒏 = 𝒏2 sorozat alulr´ol korl´atos, mert 𝒌 = 1 j´o, de felulr˝ ¨ ol korl´atos, mert 𝑲 = −2 j´o, de alulr´ol nem. 𝒃𝒏 = −2𝒏 sorozat felulr˝ P´elda 7 A 𝒄𝒏 = 𝒏1 sorozat korl´atos, hiszen 0 < 𝒄𝒏 ≤ 1 miatt 𝒌 = 0 e´ s 𝑲 = 1 megfelel˝o. Ezek egy´ebbk´ent 𝒄𝒏 legjobb korl´atai is egyben. P´elda 8 ¨ ol nem korl´atos. A 𝒅𝒏 = (−1)𝒏 ⋅ 𝒏 sorozat sem alulr´ol sem felulr˝ ∙First ∙Prev ∙Next ∙Last ∙Go Back ∙Full Screen ∙Close ∙Quit
8. Megmutathat´o, hogy ha az (𝒂𝒏 ) sorozatnak van v´eges hat´ar´ert´eke, akkor a sorozat korl´atos, de ford´ıtva ez nem igaz. Az (𝒂𝒏 ) sorozat monoton n¨ov˝o, ha 𝒂𝒏 ≤ 𝒂𝒏+1 minden 𝒏-re, monoton cs¨okken˝o, ha 𝒂𝒏 ≥ 𝒂𝒏+1 minden 𝒏-re. Szok´as az el˝obbi egyenl˝otlens´egeket nem minden 𝒏-re, hanem csak minden 𝒏 > 𝑲 -ra megk¨ovetelni, ahol 𝑲 pozit´ıv eg´esz, e´ s a sorozatot ilyenkor is a megfelel˝o e´ rtelemben monotonnak h´ıvni. Mi is haszn´alni fogjuk ezt. ¨ ol korl´atos, akkor van hat´ar´ert´eke 9. Ha egy sorozat monoton n¨ov˝o e´ s felulr˝ is, hasonl´oan, ha egy sorozat monoton cs¨okken˝o e´ s alulr´ol korl´atos, akkor van hat´ar´ert´eke.
∙First ∙Prev ∙Next ∙Last ∙Go Back ∙Full Screen ∙Close ∙Quit
10. Feladat 2 Monoton-e valamilyen e´ rtelemben az 𝒂𝒏 =
𝒏2 𝒏+1
sorozat?
Megold´as: A taj´ekoz´od´as kedv´ee´ rt kisz´amoljuk a sorozat n´eh´any elem´et. ¨ 𝒂1 = 0.5, 𝒂18 ≈ 17, 𝒂170 ≈ 169. Ez alapj´an az a sejt´esunk, hogy 𝒂𝒏 monoton n¨ovekv˝o. Azt pr´ob´aljuk teh´at bebizony´ıtani, hogy
𝒂𝒏 ≤ 𝒂𝒏+1. ¨ ebbe 𝒂𝒏 e´ s 𝒂𝒏+1 k´eplet´et, az ut´obbit ugy ´ kapjuk, hogy a Behelyettes´ıtjuk ¨ 𝒏 + 1-et ´ırunk. sorozatot defini´al´o k´epletben az 𝒏 helyett mindenutt
𝒏2 𝒏+1 𝒏2 𝒏+1
≤ ≤
(𝒏 + 1)2 (𝒏 + 1) + 1
.
𝒏2 + 2𝒏 + 1 𝒏+2
.
Megszabadulunk a nevez˝okt˝ol, mindk´et nevez˝o minden 𝒏-re pozit´ıv, ¨ nem fordul meg egyik esetben sem az teh´at amikor a´ tszorzunk veluk, egyenl˝otlens´eg ir´anya. ∙First ∙Prev ∙Next ∙Last ∙Go Back ∙Full Screen ∙Close ∙Quit
𝒏2(𝒏 + 2) ≤ (𝒏2 + 2𝒏 + 1)(𝒏 + 1). Minden tagot minden taggal megszorozva a bal e´ s a jobb oldalon is, kapjuk, hogy
𝒏3 + 2𝒏2 ≤ 𝒏3 + 2𝒏2 + 𝒏 + 𝒏2 + 2𝒏 + 1. Rendezve
0 ≤ 𝒏2 + 3𝒏 + 1. Ez egy minden 𝒏-re igaz egyenl˝otlens´eg, (sorozatok eset´en 𝒏 pozit´ıv eg´esz). Minden a´ talak´ıt´as ekvivalens a´ talak´ıt´as volt, teh´at az utols´o egyenl˝otlens´egb˝ol megkaphatjuk az eggyel el˝otte l´ev˝ot, abb´ol az az ¨ eljutunk a bizony´ıtand´o 𝒂𝒏 ≤ 𝒂𝒏+1 el˝ott l´ev˝ot, e´ s ´ıgy tov´abb, v´egul ¨ minden 𝒏-re, egyenl˝otlens´eghez. Ezzel bel´attuk, hogy 𝒂𝒏 ≤ 𝒂𝒏+1 teljesul teh´at a sorozat monoton n¨ov˝o.
∙First ∙Prev ∙Next ∙Last ∙Go Back ∙Full Screen ∙Close ∙Quit
˝ ¨ az a l´enyeg, 11. Az algebrai muveleteket sorozatokra is e´ rtelmezhetjuk, ˝ hogy a sz´obanforg´o muveletet az azonos indexu˝ elemekkel kell elv´egezni. P´eld´aul k´et sorozat szorzata az a sorozat, amelynek els˝o eleme az els˝o elemek szorzata, m´asodik eleme a m´asodik elemek szorzata, e´ s ´ıgy tov´abb. Alapvet˝o jelent˝os´egu˝ a k¨ovetkez˝o t´etel. ¨ fel, hogy 𝒂𝒏 → 𝑨, 𝒃𝒏 → 𝑩 , e´ s legyen 𝒄 ∈ ℝ tetsz˝oleges. Ekkor Tegyuk
𝒂𝒏 + 𝒃𝒏 → 𝑨 + 𝑩,
(6)
𝒂𝒏 − 𝒃𝒏 → 𝑨 − 𝑩,
(7)
𝒂𝒏 ⋅ 𝒃𝒏 → 𝑨 ⋅ 𝑩,
(8)
𝒄 ⋅ 𝒂𝒏 → 𝒄 ⋅ 𝑨,
(9)
𝒂𝒏
→
𝑨
,
(10)
𝒃𝒏 𝑩 ¨ hogy 𝒃𝒏 ∕= 0 teljesul ¨ minden 𝒏-re, e´ s 𝑩 ∕= 0. a (10) k´epletben feltesszuk,
∙First ∙Prev ∙Next ∙Last ∙Go Back ∙Full Screen ∙Close ∙Quit
¨ fel, hogy 𝒂𝒏 → 𝑨 e´ s 𝒄𝒏 → 𝑨 is teljesul, ¨ tov´ab´a a (𝒃𝒏 ) 12. Tegyuk sorozatra fenn´all, hogy 𝒂𝒏 ≤ 𝒃𝒏 ≤ 𝒄𝒏 minden 𝒏-re vagy valahonnant´ol ¨ Ezt a t´etelt rend˝or elvnek kezdve minden 𝒏-re. Ekkor 𝒃𝒏 → 𝑨 is teljesul. is szokt´ak h´ıvni e´ s gyakran j´ol haszn´alhat´o. Feladat 3 Sz´amoljuk ki az 𝒂𝒏 =
𝒏 cos2(𝒏2 − 3𝒏) + sin 𝒏 𝒏2 + 1
sorozat hat´ar´ert´ek´et.
Megold´as: Tudjuk, hogy minden sz´am koszinusza −1 e´ s 1 k¨oz´e esik, teh´at
−1 ≤ cos(𝒏2 − 3𝒏) ≤ 1, innen n´egyzetre emel´essel, majd 𝒏-el val´o szorz´assal
0 ≤ cos2(𝒏2 − 3𝒏) ≤ 1, 0 ≤ 𝒏 cos2(𝒏2 − 3𝒏) ≤ 𝒏. Ha a k¨oz´eps˝o taghoz hozz´aadunk sin 𝒏-et, akkor legal´abb −1-et e´ s legfeljebb 1-et adunk hozz´a, teh´at a k¨oz´eps˝o tag enn´el a hozz´aad´asn´al nem cs¨okken egyn´el t¨obbel e´ s nem n¨ovekszik egyn´el t¨obbel, azaz
−1 ≤ 𝒏 cos2(𝒏2 − 3𝒏) + sin 𝒏 ≤ 𝒏 + 1. ∙First ∙Prev ∙Next ∙Last ∙Go Back ∙Full Screen ∙Close ∙Quit
V´egigosztva ezt a pozit´ıv 𝒏2 + 1-el
−1 𝒏2 + 1
≤
𝒏 cos2(𝒏2 − 3𝒏) + sin 𝒏 𝒏2 + 1
≤
𝒏+1 𝒏2 + 1
.
´ A jobb sz´elen all´o mennyis´egn´el nagyob az, amit ugy kapunk, hogy ¨ az eredeti sz´aml´al´ot, e´ s lecs¨okkentjuk ¨ a nevez˝ot, p´eld´aul 𝒏𝒏+1 megn¨oveljuk 2 +1 2 2𝒏 helyett 𝒏2 = 𝒏 -et ´ırunk. Teh´at fenn´all, hogy
−1 𝒏2 + 1
≤
𝒏 cos2(𝒏2 − 3𝒏) + sin 𝒏 𝒏2 + 1
≤
2 𝒏
.
Itt a bal sz´elen a´ ll´o 𝒏−1 ahoz tart, mert a null´ahoz tart´o 1/𝒏 2 +1 sorozat null´ sorozat egy r´eszsorozat´anak sz´amszorosa, ugyanez igaz a jobb sz´elen a´ ll´o ¨ l´ev˝o 𝒂𝒏 sorozat limesze is nulla. sorozatra is. Teh´at a k¨oz¨ottuk
∙First ∙Prev ∙Next ∙Last ∙Go Back ∙Full Screen ∙Close ∙Quit
13. Azt mondjuk, hogy az (𝒂𝒏 ) sorozat hat´ar´ert´eke a plusz v´egtelen, ha ¨ o tetsz˝olegesen nagy pozit´ıv 𝑪 sz´amhoz is tal´alhat´o olyan, a 𝑪 -t˝ol fugg˝ ¨ hogy 𝑵 (𝑪) pozit´ıv eg´esz sz´am, amelyre teljesul,
𝒂𝒏 > 𝑪, ha 𝒏 > 𝑵 (𝑪).
(11)
¨ 𝒂𝒏 → +∞. Ezt ´ıgy jel¨oljuk: Azt mondjuk, hogy az (𝒂𝒏 ) sorozat hat´ar´ert´eke a m´ınusz v´egtelen, ha ¨ o tetsz˝olegesen nagy pozit´ıv 𝑪 sz´amhoz is tal´alhat´o olyan, a 𝑪 -t˝ol fugg˝ ¨ hogy 𝑵 (𝑪) pozit´ıv eg´esz sz´am, amelyre teljesul,
𝒂𝒏 < −𝑪, ha 𝒏 > 𝑵 (𝑪).
(12)
¨ 𝒂𝒏 → −∞. Ezt ´ıgy jel¨oljuk: 14. Sz´amos t´etel sz´ol v´egtelenbe tart´o sorozatok hat´ar´ert´ek´er˝ol. ¨ fel, hogy 𝒂𝒏 → +∞, 𝒃𝒏 → 𝑩 ∈ ℝ. Ekkor Tegyuk
𝒂𝒏 + 𝒃𝒏 → +∞,
(13)
𝒂𝒏 − 𝒃𝒏 → +∞.
(14)
∙First ∙Prev ∙Next ∙Last ∙Go Back ∙Full Screen ∙Close ∙Quit
Ha 𝒂𝒏 → −∞, 𝒃𝒏 → 𝑩 ∈ ℝ, akkor
𝒂𝒏 + 𝒃𝒏 → −∞,
(15)
𝒂𝒏 − 𝒃𝒏 → −∞.
(16)
Ha 𝒂𝒏 → +∞, 𝒃𝒏 → 𝑩 ∈ ℝ e´ s 𝑩 > 0, akkor
𝒂𝒏 ⋅ 𝒃𝒏 → +∞,
(17)
𝒂𝒏 ⋅ 𝒃𝒏 → −∞.
(18)
de 𝑩 < 0 eset´en
Az el˝obbihez hasonl´oan, ha 𝒂𝒏 → −∞, 𝒃𝒏 → 𝑩 ∈ ℝ e´ s 𝑩 > 0, akkor
𝒂𝒏 ⋅ 𝒃𝒏 → −∞,
(19)
𝒂𝒏 ⋅ 𝒃𝒏 → +∞.
(20)
de 𝑩 < 0 eset´en
∙First ∙Prev ∙Next ∙Last ∙Go Back ∙Full Screen ∙Close ∙Quit
Ha (𝒂𝒏 ) e´ s (𝒃𝒏 ) is valamelyik v´egtelenbe tart, akkor a szorzatuk is v´egtelenbe tart, m´egpedig plusz v´egtelenbe, ha (𝒂𝒏 ) e´ s (𝒃𝒏 ) azonos el˝ojelu˝ ¨ onb¨oz˝o v´egtelenekhez tartanak, e´ s m´ınusz v´egtelenbe, ha (𝒂𝒏 ) e´ s (𝒃𝒏 ) kul¨ el˝ojelu˝ v´egtelenekhez tartanak. Azonos el˝ojelu˝ v´egtelenbe tart´o sorozatok o¨ sszege is ilyen el˝ojelu˝ v´egtelenbe ¨ onb¨oz˝o el˝ojelu˝ v´egtelenbe tart´o sorozatok kul¨ ¨ onbs´ege olyan el˝ojelu˝ tart, kul¨ v´egtelenbe tart, mint a kisebb´ıtend˝o sorozat. Ha 𝒂𝒏 → ±∞, akkor 𝒂1 → 0. 𝒏
Feladat 4 Mi a limesze az 𝒂𝒏 = −2𝒏3 + 𝒏2 − 3𝒏 + 8 sorozatnak? ´ ¨ a Megold´as: Minden polinom limesze kisz´amolhat´o ugy, hogy kiemeljuk legmagasabb foku´ taj´at. ) ( 3
𝒂𝒏 = 𝒏
−2 +
1
𝒏
−
3
𝒏2
+
8
𝒏3
.
A z´ar´ojelben a´ ll´o t´enyez˝o −2-h¨oz tart, egy +∞-be tart´o m´ınusz k´etszerese pedig −∞-be tart. Teh´at 𝒂𝒏 → −∞. ∙First ∙Prev ∙Next ∙Last ∙Go Back ∙Full Screen ∙Close ∙Quit
15. A nevezetes hat´ar´ert´ekek elm´eleti e´ s gyakorlati szempontb´ol fontos sorozatok hat´ar´ert´ek´er˝ol sz´olnak. A legfontosabbak az al´abbiak.
𝒂𝒏 =
1
→ 0.
(21)
𝒂 → 1.
(22)
𝒏 → 1.
(23)
𝒏
Legyen 𝒂 > 0. Ekkor
𝒂𝒏 = 𝒂𝒏 =
√ 𝒏 √ 𝒏
⎧ ⎨ +∞ ha 𝜶 1 ha 𝒂𝒏 = 𝒏 → ⎩ 0 ha ⎧ ⎨ +∞ ha 𝒏 1 ha 𝒂𝒏 = 𝒒 → ⎩ 0 ha
𝜶 > 0, 𝜶 = 0, 𝜶 < 0.
(24)
𝒒 > 1, 𝒒 = 1, ∣𝒒∣ < 1,
(25)
e´ s ennek a sorozatnak nincs hat´ar´ert´eke, ha 𝒒 ≤ −1. ∙First ∙Prev ∙Next ∙Last ∙Go Back ∙Full Screen ∙Close ∙Quit
Legyen 𝒂 > 1 e´ s 𝜶 > 0. Ekkor
𝒂𝒏 =
𝒂𝒏 𝒏𝜶
→ +∞,
ez´ert 𝒂𝒏 =
𝒏𝜶 𝒂𝒏
→ 0.
(26)
Tetsz˝oleges 𝒂 ∈ ℝ eset´en
𝒂𝒏 = 𝒂𝒏 =
𝒂𝒏 𝒏! 𝒏! 𝒏𝒏
(
→ 0.
(27)
→ 0.
(28)
1
)𝒏
→ 𝒆. 𝒏 ¨ fel, hogy 𝒓𝒏 → +∞ e´ s legyen 𝒌 ∈ ℤ. Ekkor Tegyuk 𝒂𝒏 =
1+
(
𝒂𝒏 =
1+
𝒌 𝒓𝒏
)𝒓𝒏
→ 𝒆𝒌 .
(29)
(30)
∙First ∙Prev ∙Next ∙Last ∙Go Back ∙Full Screen ∙Close ∙Quit
Ha 𝒂𝒏 → 𝑨 ∈ ℝ, 𝑨 > 0 e´ s 𝒃𝒏 → 𝑩 ∈ ℝ, akkor
(𝒂𝒏)𝒃𝒏 → 𝑨𝑩 ,
(31)
ha az itt szerepl˝o hatv´anyoz´asok mind e´ rtelmesek. Ha 𝒃𝒏 → +∞, akkor 0 < 𝑨 < 1 eset´en
(𝒂𝒏)𝒃𝒏 → 0,
(32)
(𝒂𝒏)𝒃𝒏 → +∞.
(33)
𝑨 > 1 eset´en ¨ ha 𝒃𝒏 → −∞, akkor 0 < 𝑨 < 1 eset´en V´egul
(𝒂𝒏)𝒃𝒏 → +∞,
(34)
(𝒂𝒏)𝒃𝒏 → 0.
(35)
𝑨 > 1 eset´en
∙First ∙Prev ∙Next ∙Last ∙Go Back ∙Full Screen ∙Close ∙Quit
