A december 12-i gyakorlat t´ em´ aja A hipot´ezisvizsg´alat fontos probl´em´aja a k¨ovetkez˝o k´et k´erd´es vizsg´alata. a) Egy v´eletlen mennyis´eg v´arhat´o ´ert´ek´enek nagys´ag´ar´ol van b´ızonyos feltev´es¨ unk. Ellen˝orizni akarjuk e feltev´es helyess´eg´et. Ennek ´erdek´eben m´er´eseket v´egz¨ unk, ´es ezek alapj´an k´ıv´anunk d¨onteni. Ez form´alisan azt jelenti, hogy ellen˝orizni akarjuk, X1 , . . . , Xn f¨ uggetlen egyforma eloszl´as´ u val´osz´ın˝ us´egi v´altoz´ok egy sorozata (amit mint´anak is nevez¨ unk), µ v´arhat´o ´ert´ek˝ u val´osz´ın˝ us´egi v´altoz´okb´ol a´ll-e. Felt´etelezz¨ uk, hogy ezek a val´osz´ın˝ us´egi v´altoz´ok norm´alis eloszl´as´ uak. (E felt´etelez´es m¨og¨ott a m˝ uszaki ´eletben hibat¨orv´enynek nevezett jelens´eg van.) b) K´et k¨ ul¨onb¨oz˝o v´eletlen mennyis´eg van, ´es ezek µ1 ´es µ2 v´arhat´o ´ert´ek´et akarjuk o¨sszehasonl´ıtani. Van amikor arra vagyunk kiv´ancsiak, hogy egyenl˝oek-e ezek a v´arhat´o ´ert´ekek, van amikor arra, hogy igaz-e, hogy µ 1 ≥ µ2 . A k´erd´es eld¨ont´ese ´erdek´eben f¨ uggetlen m´er´eseket v´egz¨ unk. Bizonyos X1 , . . . , Xn µ1 v´arhat´o ´ert´ek˝ u, ´es Y1 , . . . , Ym µ2 v´arhat´o ´ert´ek˝ u f¨ uggetlen m´er´eseket v´egz¨ unk, ´es ezek alapj´an k´ıv´anunk d¨ont´est hozni. Most is feltessz¨ uk, hogy a m´ert ´ert´ekek norm´alis eloszl´as´ uak. Mind a k´et feladat vizsg´alat´aban megk¨ ul¨onb¨oztet¨ unk k´et k¨ ul¨on¨oz˝o esetet. Az els˝o (egyszer˝ ubb) eset az, amikor ismerj¨ uk a megfigyelt v´eletlen m´er´esek ingadoz´as´at m´er˝o sz´or´asn´egyzetet, a m´asodik (bonyolultabb) eset az, amikor ezt nem ismerj¨ uk. Az els˝o esetben a centr´alis hat´areloszl´ast´etel seg´ıts´eg´evel tudjuk megadni az elj´ar´ast. Akkor, amikor ismerj¨ uk a megfigyelt val´osz´ın˝ us´egi v´altoz´o sz´or´asn´egyzet´et, az a) k´erd´esre adott elj´ar´ast egymint´as U -pr´ob´anak, a b) k´erd´esre adott elj´ar´ast k´etmint´as U -pr´ob´anak nevezz¨ uk. (Van, ahol ezeket az elj´ar´asokat Z-pr´ob´anak h´ıvj´ak.) Egymint´ as U -pr´ oba. Legyen adva f¨ uggetlen norm´ alis eloszl´ as´ u µ v´ arhat´ o ´ert´ek˝ u ´es 2 (ismert) σ sz´ or´ asn´egyzet˝ u val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ ok X1 , . . . , Xn sorozata. K´esz´ıts¨ uk el e X1 +···+Xn ¯ a ´tlag´ at ´es a val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ ok Xn = n ¯n − µ √ X U (X1 , . . . , Xn ) = n σ pr´ obaf¨ uggv´enyt. Az U (X1 , . . . , Xn ) pr´ obaf¨ uggv´eny a fenti tulajdons´ agok teljes¨ ul´ese eset´en standard norm´ alis eloszl´ as´ u. Ezen o ¨sszef¨ ugg´es alapj´ an tudunk el˝ o´ırt ε els˝ ofaj´ u hib´ aval rendelkez˝ o j´ o d¨ ont´est hozni arr´ ol, hogy elfogadjuk-e az EX1 = µ vagy EX1 ≥ µ feltev´est. K´ etmint´ as U -pr´ oba. Legyen adva f¨ uggetlen norm´ alis eloszl´ as´ u val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ ok 2 X1 , . . . , Xn sorozata µ1 v´ arhat´ o ´ert´ekkel ´es (ismert) σ1 sz´ or´ asn´egyzettel, illetve f¨ uggetlen norm´ alis eloszl´ as´ u val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ ok Y1 , . . . , Ym sorozata µ2 v´ arhat´ o ´ert´ekkel ´es (isor´ asn´egyzettel. Tegy¨ uk fel azt is, hogy az X1 , . . . , Xn ´es Y1 , . . . , Ym val´ omert) σ22 sz´ X1 +···+Xn ¯ sz´ın˝ us´egi v´ altoz´ ok sorozata f¨ uggetlen egym´ ast´ ol. Vezess¨ uk be az Xn = ´es n Y1 +···+Ym ¯ a ´tlagokat valamint az Ym = m ¯ n − Y¯m X U (X1 , . . . , Xn , Y1 , . . . , Ym ) = q 2 σ22 σ1 + n m 1
pr´ obaf¨ uggv´enyt. Az U (X1 , . . . , Xn , Y1 , . . . , Ym ) pr´ obaf¨ uggv´eny a fenti tulajdons´ agok teljes¨ ul´ese eset´en standard norm´ alis eloszl´ as´ u. Ezen o ¨sszef¨ ugg´es alapj´ an tudunk el˝ o´ırt ε els˝ ofaj´ u hib´ aval rendelkez˝ o j´ o d¨ ont´est hozni arr´ ol, hogy elfogadjuk-e a µ 1 = µ2 vagy µ1 ≥ µ2 feltev´est. Ha nem ismerj¨ uk a sz´or´asn´egyzetet, akkor ´erdemes azt j´ol megbecs¨ ulni, ´es a(z ismeretlen) sz´or´asn´egyzet helyett annak becs¨ ult ´ert´ek´evel sz´amolni. Ezen alapul az egy ´es k´etmint´as U -statisztika elj´ar´asa. Ennek kidolgoz´asa ´erdek´eben oldjuk meg el˝osz¨or a k¨ovetkez˝o feladatot. 1.) Legyen adva f¨ uggetlen F (x) eloszl´as´ u val´osz´ın˝ us´egi v´altoz´ok ξ 1 , . . . , ξn sorozata. n n P P 1 ¯ 2 kifejez´es a Legyen ξ¯ = n1 ξk . Mutassuk meg, hogy az Sn2 = n−1 (ξj − ξ) j=1
k=1
sz´or´asn´egyzet torz´ıtatlan becsl´ese, azaz ESn2 = σ 2 . Tov´abb´a µ ¶ n−3 1 4 2 E(ξ1 − Eξ1 ) − (Var ξ1 ) . Var Sn = n n−1
Megold´ as: ´Irjuk a´t az Sn2 kifejez´est sz´amunkra alkalmasabb alakban. Sn2
n n 1 X 1 X 2 ¯2 2 ¯ ¯ j) = (ξj − ξ) = (ξ + ξ − 2ξξ n − 1 j=1 n − 1 j=1 j 2 n n n X X X 1 1 1 ξj2 − nξ¯2 = ξj . = ξj2 − n − 1 j=1 n − 1 j=1 (n − 1)n j=1
Tov´abb´a, E
n P
ξj2 = nEξ12 , E
Ã
n P
ξj
!2
=
n P
Eξj2 + 2
j=1 j=1 2 2 n(n − 1)Eξ1 ξ2 = nEξ1 + n(n − 1)(Eξ1 ) . Innen (Eξ1 )2 = Eξ12 − (Eξ1 )2 = Var ξ1 . j=1
ESn2
P
Eξj ξk = nEξ12 +
1≤j
−
1 2 n−1 Eξ1
−
A Var Sn sz´or´asn´egyzetet sz´amoljuk ki el˝osz¨or abban a speci´alis esetben, amikor Eξ1 = 0. Ekkor µ ¶X n X 1 1 2 Var Sn = Var 1− ξj2 − ξi ξj n−1 n j=1 n(n − 1) 1≤i<j≤n n X X 1 2 ξi ξj , ξj + Var = Var n j=1 n(n − 1) 1≤i<j≤n
mert a
1 n
n P
ξj ´es
P
2 n(n−1) ξi ξj
val´osz´ın˝ us´egi v´altoz´ok korrel´alatlanok. A ! Ã n P ξj = n1 Var ξ12 = n1 (Eξ14 − (Eξ12 )2 ), ´es tov´abbi korrel´alatlans´agok miatt Var n1 j=1
1≤i<j≤n
j=1
2
Var
Ã
P
1≤i<j≤n
2 n(n−1) ξi ξj
!
=
2 2 2 n(n−1) (Eξ1 ) ,
1 Var Sn = n
µ
Eξ14
ahonnan
¶ n−3 2 2 − (Eξ1 ) . n−1
Innen k¨ovetkezik a feladat a´ll´ıt´asa abban a speci´alis esetben, ha Eξ 1 = 0. Az n P a´ltal´anos eset visszavezethet˝o erre a speci´alis esetre a ξ˜j = ξj − Eξj , ξˆ = 1 ξ˜j n
v´altoz´ok bevezet´es´evel az
1 n−1
l´as´aval.
n P
j=1
¯2= (ξj − ξ)
1 n−1
j=1
n P ˆ 2 azonoss´ag felhaszn´a(ξ˜j − ξ)
j=1
Abban az esetben, ha nem ismerj¨ uk a megfigyelt v´eletlen mennyis´egek sz´or´asn´egyzet´et, a sz´or´asn´egyzet helyett annak becsl´es´et, az u ´gynevezett tapasztalati sz´or´asn´egyzetet haszn´aljuk. Ismertetem a tapasztalati sz´or´asn´egyzet definici´oj´at, illetve azt a t´etelt, amely a vizsg´alt k´erd´esek megold´as´ara javasolt m´odszerek h´atter´eben van akkor, ha a a sz´or´asn´egyzetet nem ismerj¨ uk. Ezeket a m´odszereket egymint´as ´es k´etmint´as t-pr´ob´anak h´ıvj´ak. Tapasztalati sz´ or´ asn´ egyzet definici´ oja. Legyen X1 , . . . , Xn f¨ uggetlen egyforma eloszl´ as´ u val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ ok sorozata. Az n
Sn∗ 2
1 X ¯ 2, = (Xj − X) n − 1 j=1
n
X ¯= 1 ahol X Xk n j=1
(A)
k´eplettel megadott kifejez´est e val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ ok tapasztalati sz´ or´ asn´egyzet´enek nevezik. Az el˝oz˝o feladat c´elja annak megmagyar´az´asa volt, hogy mi´ert ´erdemes a tapasztalati sz´or´asn´egyzet fent bevezetett alakj´at haszn´alni. Ez azt mutatja, hogy a tapasztalati sz´or´asn´egyzet a val´odi sz´or´asn´egyzet olyan torz´ıtatlan becsl´ese, amelynek a sz´or´asu. F¨ uggetlen standard norm´alis n´egyzete nagy minta eset´eben kicsi, n1 nagys´agrend˝ val´osz´ın˝ us´egi v´altoz´ok eset´eben tov´abbi tartalmas eredm´enyeket lehet bizony´ıtani a tapasztalati sz´or´asn´egyzet viselked´es´et. Ezt mondja ki a k¨ovetkez˝o t´etel, amely a tstatisztik´ak h´atter´eben van. T´ etel. Legyen X1 , . . . , Xn f¨ uggetlen standard norm´ alis eloszl´ as´ u val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ ok ∗2 sorozata. Ekkor az a ´ltaluk az (A) k´epletben defini´ alt Sn val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ o ´es az n P ˜ n = √1 X Xj val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ ok egym´ ast´ ol f¨ uggetlenek. Tov´ abb´ a az (n − 1)S ∗ 2 n
n
j=1
˜ n val´ val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ o eloszl´ asa az n − 1 szabads´ agfok´ u χ-n´egyzet, az X osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ o eloszl´ asa a standard norm´ alis eloszl´ as. A k´es˝obbi eredm´enyek megfogalmaz´asa ´erdek´eben ´erdemes bevezetni a Student eloszl´as definici´oj´at. 3
Student eloszl´ as definici´ oja. Legyen X ´es Y k´et f¨ uggetlen val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ o, amelyek k¨ oz¨ ul X standard norm´ alis eloszl´ as´ u, Y pedig n szabads´ agfok´ u χ-n´egyzet eloszl´ as´ u. X √ Ekkor az Y h´ anyados eloszl´ asa az n szabads´ agfok´ u Student eloszl´ as. n
Megfogalmazom az egy ´es k´etmint´as t-pr´ob´ak alapj´aul szolg´al´o eredm´enyeket. Egymint´ as t-pr´ oba. Legyen adva f¨ uggetlen norm´ alis eloszl´ as´ u µ v´ arhat´ o ´ert´ek˝ u ´es (ismeretlen) σ 2 sz´ or´ asn´egyzet˝ u val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ ok X1 , . . . , Xn sorozata. K´esz´ıts¨ uk el ¯ n = X1 +···+Xn a ´tlag´ at ´es a e val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ ok X n ¯n − µ √ X tn−1 (X1 , . . . , Xn ) = q n Sn∗ 2 pr´ obaf¨ uggv´enyt, ahol az Sn∗ 2 kifejez´est az (A) k´epletben defini´ altuk. A tn−1 (X1 , . . . , Xn ) pr´ obaf¨ uggv´eny eloszl´ asa a fenti tulajdons´ agok teljes¨ ul´ese eset´en az n − 1 szabads´ agfok´ u Student eloszl´ as. Ezen o ¨sszef¨ ugg´es alapj´ an tudunk el˝ o´ırt ε els˝ ofaj´ u hib´ aval rendelkez˝ o j´ o d¨ ont´est hozni arr´ ol, hogy elfogadjuk-e az EX1 = µ vagy EX1 ≥ µ feltev´est. K´ etmint´ as t-pr´ oba. Legyen adva f¨ uggetlen norm´ alis eloszl´ as´ u val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ ok 2 X1 , . . . , Xn sorozata µ1 v´ arhat´ o ´ert´ekkel ´es (ismeretlen) σ sz´ or´ asn´egyzettel, illetve f¨ uggetlen norm´ alis eloszl´ as´ u val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ ok Y1 , . . . , Ym sorozata µ2 v´ arhat´ o ´ert´ekkel ´es (ismeretlen) σ 2 sz´ or´ asn´egyzettel. (Feltett¨ uk, hogy a k´et sorozat ismeretlen sz´ or´ asn´egyzete megegyezik.) Tegy¨ uk fel azt is, hogy az X 1 , . . . , Xn ´es Y1 , . . . , Ym va¯ n = X1 +···+Xn ´es l´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ ok sorozata f¨ uggetlen egym´ ast´ ol. Vezess¨ uk be az X n m a ´ tlagokat valamint az Y¯m = Y1 +···+Y m tn+m−2 (X1 , . . . , Xn , Y1 , . . . , Ym ) = q
¯ n − Y¯m X
∗ 2 (n − 1)Sn∗ 2 + (m − 1)Sm
r
nm(n + m − 2) n+m
pr´ obaf¨ uggv´enyt, ahol az Sn∗ 2 val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ ot az (A) k´epletben defini´ altuk, ´es az 2 ∗ Sm val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ ot szint´en hasonl´ oan defini´ aljuk az (A) formula seg´ıts´eg´evel azzal a k¨ ul¨ onbs´eggel, hogy az Y1 , . . . , Ym mint´ at haszn´ aljuk az X1 , . . . , Xm minta helyett. A tn+m−2 (X1 , . . . , Xn , Y1 , . . . , Ym ) pr´ obaf¨ uggv´eny eloszl´ asa a fenti tulajdons´ agok teljes¨ ul´ese eset´en az u ´gynevezett n−m−2 szabads´ agfok´ u Student eloszl´ as. Ezen o ¨sszef¨ ugg´es alapj´ an tudunk el˝ o´ırt ε els˝ ofaj´ u hib´ aval rendelkez˝ o j´ o d¨ ont´est hozni arr´ ol, hogy elfogadjuke az µ1 = µ2 vagy µ1 ≥ µ2 feltev´est. ´ k¨onyvt´ar ‘Feladatok a hipot´ezisvizsg´alat t´emak¨or´eb˝ol’ A k¨ovetkez˝o, a MobiDIAK sz´armaz´o 1.2 p´elda az egy ´es k´etmint´as U -pr´ob´ara mutat p´eld´at. 2.) Egy kiterjedt n´epeg´eszs´eg¨ ugyi vizsg´alat sor´an meg´allap´ıtott´ak, hogy az eg´eszs´eges feln˝ott popul´aci´o eset´en a diasztol´es (als´o) v´ernyom´as ´ert´ekek a´tlaga 84.8 higanymillim´eter, sz´or´asa pedig 12.8 higanymillim´eter. Az Als´obezgenyei Atl´etikai Klub hat 4
v´eletlenszer˝ uen kiv´alasztott versenyz˝oj´en´el a klub sportorvosa az al´abbi diasztol´es ´ert´ekeket jegyezte fel: 79.2, 64.6, 86.8, 73.7, 74.9, 62.3. a) A sportorvos ezek alapj´an u ´gy gondolta, hogy az atl´et´ak a´tlagos diasztol´es v´ernyom´asa alacsonyabb, mint 84.8. Felt´etelezve, hogy az atl´et´ak diasztol´es v´ernyom´asa norm´alis eloszl´ast k¨ovet, sz´or´asa pedig megegyezik a teljes popul´aci´ora kapott ´ert´ekkel (12.8 higanymillim´eter), d¨onts¨on 95%-os szinten arr´ol, hogy igaza van-e a doktornak. Az Als´obezgenyei Sakk Klub versenyz˝oi szint´en megl´atogatt´ak a fent eml´ıtett doktort, aki az o˝ eset¨ ukben is feljegyezte hat v´eletlenszer˝ uen kiv´alasztott sportol´o diasztol´es v´ernyom´as ´ert´ek´et, amelyek az al´abbiak: 84.6, 93.2, 104.6, 106.7, 76.3, 78.2. b.) Hipot´eziseit pontosan megfogalmazva d¨onts¨on 95%-os szinten arr´ol, hogy a sakkoz´ok diasztol´es v´ernyom´asa magasabb-e, mint az atl´et´ak´e! A sakkoz´ok diasztol´es v´ernyom´as´ar´ol szint´en feltehetj¨ uk, hogy norm´alis eloszl´ast k¨ovet, sz´or´asa pedig megegyezik a teljes n´epess´eg k¨or´eben m´ert ´ert´ekkel. Megold´ as a) r´esz A feladat ´ıgy fogalmazhat´o meg: H0 : µx = 84.8; H1 : µx < 84.8. α = 0.05.
egyoldali ellenhipot´ezis
Ekkor n = 6, az a´tlag x ¯ = 73.5833, σx = 12.8. √ x ¯−µ 6 = −2.1465. A pr´obastatisztika: U = σxx,0 = 73.5833−84.8 12.8 A kritikus tartom´any U ≤ U (0.05) = −1.645. A kapott ´ert´ek, −2.1465 kisebb enn´el, ez´ert elvetj¨ uk a H0 hipot´ezist. Megold´ as b) r´esz A feladat ´ıgy fogalmazhat´o meg: H0 : µ x = µ y ; H1 : µx < µy . egyoldali ellenhipot´ezis α = 0.05. Ebben az esetben n = m = 6, x ¯ = 73.5833, y¯ = 90.6, σx = σy = 12.8. √ x ¯ −¯ y A pr´obastatisztika: U = q = 73.58.33−90.6 3 = −2.3026. 12.8 2 σx n
+
2 σy m
A kritikus tartom´any U ≤ U (0.05) = −1.645. A kapott ´ert´ek, −2.3026 kisebb enn´el, ez´ert elvetj¨ uk a H0 hipot´ezist.
Az el˝obbi feladatsor 1.5 p´eld´aja az egymint´as t-statisztik´ara mutat p´eld´at. 5
3.) Egy u ¨zem gy´art´osor´an az egyik szerel´esi feladatra megadott szintid˝o 9 perc. Az e ponton dolgoz´o alkalmazottak m´ar t¨obb k´erv´enyben k´ert´ek a szintid˝o felemel´es´et, mivel v´elem´eny¨ uk szerint az nem elegend˝o a feladat elv´egz´es´ere. Az u ¨zem vezet˝os´ege egy ellen˝ort k¨ uld¨ott ki, aki 12 v´eletlenszer˝ uen kiv´alasztott alkalommal megm´erte a feladat elv´egz´es´ehez sz¨ uks´eges id˝ot. Az eredm´enyek az al´abbiak: 9.4, 8.8, 9.3, 9.1, 9.4, 8.9, 9.3, 9.2, 9.6, 9.3, 9.3, 9.1. Hipot´eziseit ´es az adatokra vonatkoz´o felt´eteleit pontosan megfogalmazva d¨onts¨on 99%-os szinten, hogy igazuk van-e a munk´asoknak! Megold´ as: A feladat ´ıgy fogalmazhat´o meg: H0 : µ = 9; H1 : µ > 9.
egyoldali ellenhipot´ezis
α = 0.01. Felt´etelezz¨ uk, hogy a feladat elv´egz´es´ehez sz¨ uks´eges id˝o norm´alis eloszl´as´ u. Ekkor a minta elemsz´ama n = 12, az a´tlag x ¯ = 9.2250, a tapasztalati sz´or´asn´egyzet ∗2 ∗ s = 0.0493, s = 0.221, √ A pr´obastatisztika: t = x¯s−µ 12 = 3.5093. ∗ Ha igaz a H0 null-hipot´ezis, akkor a pr´obastatisztika eloszl´asa t-statisztika ν = 11 szabads´agfokkal, amelynek ´ert´eke t11 (0.99) = 2.718. A m´ert ´ert´ek enn´el nagyobb, ez´ert elvetj¨ uk a null-hipot´ezist. £ ¤ 4.) Legyen ξ ´es η k´et f¨ uggetlen, a − 21 , 21 intervallumban egyenletes eloszl´as´ u val´osz´ın˝ us´egi v´altoz´o, azaz legyen ξ ´es η s˝ ur˝ us´egf¨ uggv´enye f (x) = 1, ha − 12 ≤ x ≤ 12 , ´es f (x) = 0 egy´ebk´ent. Sz´amoljuk ki ξ + η s˝ ur˝ us´egf¨ uggv´eny´et. R Megold´ as: A ξ+η val´o£sz´ın˝ us´e¤gi v´altoz´o s˝ ur˝ us´egf¨ uggv´enye a g(x) = f (y)f (x−y) dy f¨ uggv´eny, ahol f (x) a − 12 , 21 intervallumban egyenletes eloszl´as s˝ ur˝ us´egf¨ uggv´enye. 1 1 1 1 1 Ez´ert f (y)f (x−y) = 1, ha − 2 ≤ y ≤ 2 , ´es − 2 ≤ x−y ≤ 2 , azaz − 2 +x ≤ y ≤ 21 +x, ´es nulla egy´ebk´ent. Ez£azt jelenti, a ξ + η¤o¨sszeg g(x) s˝ ur˝ us´egf¨ uggv´enye az x ¤ £ hogy 1 1 1 1 pontban megegyezik a − 2 , 2 ∩ − 2 + x, 2 + x intervallum hossz´aval. Ha |x| > 1, akkor a fenti£metszet u ¨res, ¤ ez´ert ebben az esetben g(x) = 0. Ha 0 ≤ x ≤ 1, akkor ez ebben a metszet a − 12 + x, 21 intervallum, ´es ennek hossza 1 − x, £ azaz ¤ az esetben 1 1 g(x) = 1 − x. Ha −1 ≤ x ≤ 0, akkor ez a metszet a − 2 , 2 + x intervallum, amelynek hossza 1 + x = 1 − |x|, azaz g(x) = 1 + x = 1 − |x|. Ez azt jelenti, hogy g(x) = 1 − |x|, ha |x| ≤ 1, ´es g(x) = 0, ha x > 1.
5.) Legyen ξ standard norm´alis eloszl´as´ u val´osz´ın˝ us´egi v´altoz´o. Sz´amoljuk ki a ξ val´osz´ın˝ us´egi v´altoz´o negyedik momentum´at. Legyen ξ¯ egy v´arhat´o ´ert´ek˝ u ´es kett˝o sz´or´asn´egyzet˝ u norm´alis eloszl´as´ u val´osz´ın˝ us´egi v´altoz´o. Sz´amoljuk ki ξ¯ s˝ ur˝ us´egf¨ uggv´eny´et ´es negyedik momentum´at. 6
Megold´ as: µ ¶ Z ∞ 1 −x2 /2 1 −x2 /2 3 d √ e dx = −x Eξ = x √ e dx dx 2π 2π −∞ −∞ ¸∞ · Z ∞ 2 1 −x2 /2 3 1 + 3x2 √ e−x /2 dx = −x √ e 2π 2π −∞ −∞ Z ∞ 2 1 x2 √ e−x /2 dx = 3. =3 2π −∞ Z
4
∞
4
√ ¯ ¯ = 2(ξ˜ + 1), √ A ξ˜ = ξ−1 val´ o sz´ ın˝ u s´ e gi v´ a ltoz´ o standard norm´ a lis eloszl´ a s´ u , ´ e s ξ 2 ahol ξ˜ standard norm´alis eloszl´as´ u, ha ξ¯ norm´alis eloszl´as´ u 1 v´arhat´o ´ert´ek˝ u ´es 2 sz´or´asn´egyzet˝ u val´osz´ın˝ us´ ´altoz´o. Ez´ert, mint2 azt az el˝oz˝o o´r´an megt´argyaltuk ³egi v´ 1 x−1 ¯ ξ s˝ ur˝ us´egf¨ uggv´enye √2 ϕ √2 = √12 √12π e−(x−1) /4 . Ez´ert E ξ¯4 = ahonnan u =
x−1 √ 2
Z
∞
2 1 x4 √ e−(x−1) /4 dx, 2 π −∞
helyettes´ıt´essel
Z ∞ √ 2 1 −u2 /4 4 1 ( 2u + 1) √ e u4 √ e−u /4 du du = 4 2π 2π −∞ −∞ Z ∞ √ Z ∞ 3 1 −u2 /4 2 1 +8 2 du + 12 u √ e u2 √ e−u /4 du 2π 2π −∞ −∞ Z ∞ √ Z ∞ 2 2 1 1 √ e−u /4 du u √ e−u /4 du + +4 2 2π 2π −∞ −∞ = 12 + 0 + 12 + 0 + 1 = 25
E ξ¯4 =
Z
∞
Val´oj´aban√az E ξ¯4 negyedik momentumot egyszer˝ √ √ubben is kisz´amolhattuk volna. E ξ¯4 = E( 2ξ˜+1)4 = 4E ξ˜4 +8 2E ξ˜3 +12E ξ˜2 +4 2ξ˜+1 = 4·3+0+12·1+1 = 25.
7
