ESTIMASI PARAMETER UNTUK DATA TERSENSOR TIPE II YANG BERDISTRIBUSI WEIBULL PADA ANALISIS DATA UJI HIDUP SKRIPSI
Untuk memenuhi sebagian persyaratan mencapai derajat sarjana (S - 1)
HERDIANA F1A1 12 092
PROGRAM STUDI MATEMATIKA JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS HALU OLEO KENDARI 2016 i
ii
KATA PENGANTAR
Segala puji bagi Allah S.W.T atas segala rahmat, taufik, karunia dan hidayah-Nya sehingga penulis dapat menyelesaikan skripsi ini dengan judul “ESTIMASI PARAMETER UNTUK DATA TERSENSOR TIPE II YANG BERDISTRIBUSI WEIBULL PADA ANALISIS DATA UJI HIDUP” serta salawat dan salam penulis haturkan atas Nabi Muhammad Shallallahu Alaihi Wasallam, keluarga, sahabat dan para pengikutnya. Penulis menyadari bahwa dalam penulisan skripsi ini tidak dapat terselesaikan tanpa bimbingan dan arahan dari Bapak Dr. Gusti Ngurah Adhi Wibawa, S.Si., M.Si. selaku pembimbing I dan Bapak Rasas Raya, S.Si., M.Si. selaku pembimbing II yang telah banyak meluangkan waktunya untuk membimbing dan mengarahkan penulis sejak dari perencanaan hingga terselesaikannya skripsi ini serta memberikan dorongan dan motivasi kepada penulis. Oleh karena itu penulis mengucapkan banyak terima kasih. Ucapan terima kasih juga disampaikan kepada yang tersayang Ayahanda La Hamili dan Ibunda Wa Hamida yang telah membesarkan dan membimbing serta memberi dukungan dan doa yang tulus ikhlas serta kasih sayangnya kepada penulis dalam menyelesaikan studi hingga skripsi ini selesai, saudara-saudaraku Herman Sugianto, Hersiban, Hasna wati, Herlin, kakak iparku Gebi,dan keponakanku: Aqiilah Ishmah Fauziyyah yang tiada hentinya memberikan motivasi, dukungan, doa, dan semangat. iii
Suatu hal yang tidak terlupakan atas dorongan dan bimbingannya, serta arahan dan bantuan kepada penulis, maka patutlah kiranya penulis menyampaikan ucapan terima kasih dan penghargaan kepada semua pihak khususnya: 1.
Rektor Universitas Halu Oleo Kendari, Bapak Prof. Dr. Ir. H. Usman Rianse, M.S.
2.
Dekan F-MIPA Universitas Halu Oleo, Bapak Dr. Muh. Zamrun F., S.Si., M.Si.
3.
Ketua Jurusan Matematika dan sekretaris jurusan F-MIPA Universitas Halu Oleo, Bapak La Gubu, S.Si., M.Si., dan Bapak Rasas Raya, S.Si., M.Si.
4.
Kepala Laboratorium Matematika F-MIPA Universitas Halu Oleo, Ibu Norma Muchtar, S.Si., M.Si.
5.
Kepala Perpustakaan F-MIPA Universitas Halu Oleo, Ibu Dra. Hj. Indrawati, M.Si.
6.
Dr.rer.nat Wayan Somayasa, S.Si. M.Si. selaku penasehat akademik yang
telah
memberikan
pengarahan
dan
bimbingan
dalam
memprogramkan mata kuliah. 7.
La Gubu, S.Si., M.Si., Dr.rer.nat Wayan Somayasa, S.Si. M.Si., dan Agusrawati S.Si,.M.Si. selaku dewan penguji.
8.
Bapak dan Ibu Dosen Jurusan Matematika serta seluruh staf lingkungan F-MIPA UHO.
9.
Sahabat-sahabat Chingu dan sahabat seperjuanganku yang selalu ada selama studi hingga penyelesaian skripsi ini: (Desi Astuty, Eka Fitriah iv
Maladewi, Ekawati Sulistia Ningsih, Wiwin Narni, Nur Yassin, Hesty Yuspita, Kadek Ayu Puspita Sari, Nur Sadijah, Ece Almunjiat, Darmina) tiada henti memberi semangat dan doa kepada penulis. 10. Rekan seperjuangan Matematika Angkatan 2012: Dkk (Bertin, Ella, Obil, Astrid, Igo, Dani, Windi, Fuad, Sandi), Ld. Hajar, Muliawati, Ratni, Suriana, Sarwiati S.Mat., Rosni S.Mat., Risma, Yuliana, Sarfia, Virda, Ila, Hanisar, Gede, Rajab, Ayu Ningsih, Risma dan seluruh mahasiswa seangkatan 012 kelas A dan B yang telah memberikan semangat kebersamaan yang tidak terlupakan selama menyelesaikan studi. 11. Keluargaku: Bibi Abe, Bibi Haruna, Om Mandeno, Bibi Naba,Bibi Ifa, Om Mbali, Om Dari, Bibi Malimu, Nenek Wa Kambeso, Nenek Wa Unte, Kakek La Te, Dan Sepupu-Sepupuku :Andi Rahman, Rita Purnama Sari, Nurnia, Abu Bakar, Heri Setiawan, Darman Wahid, Endang Satria Ningsih, Neni Salcia Ningsih, Rahmat Doni, Hariono, Novi, Muliadin, Umar, Hamundu, Nila, Heri Setiawan dan masih banyak lagi, terimah kasih atas doa, dukungan dan motivasi yang telah di berikan. 12. Teman-teman anak BTN astata: Purianto, Upo, Sahrul, Tagor, Didin, Mirat, Via, Dan Hasra. 13. Teman-teman KKNku: Julianty (Komunikasi FISIP’12), Kak gunawan (Tehnik Elektro’11), Abdullah Rahman (Administrasi FISIP’12), Destifa Hidayahni (PGSD’12), dan Andi Annisa Rusli (Agrobisnis Perikanan’12). 14. Guru dan rekan alumni SMA NEG. 1 KABANGKA: Pak Mustari, Pak Kariawan, Pak Hasini, Pak Rudi, Ibu Sumiati, Ibu Safaria, Ibu Darma, Ibu v
Sumarni, dan guru-guru lain yang tidak bisa saya sebutkan satu persatu, serta teman-teman IPA I dan IPA II: Eceng, Mirna, Via, Multi, Eva, Linda, inci, selvi, Rina, Nelfi, Epi, Wiwin, Hera,Santi, Ossyn, Rita, jeli, Arma, Bele, Tagor, Ipul, Rahman, yamin, Ending, Suhardin, dan masih banyak lagi yang tidak dapat disebutkan satu persatu. 15. Guru-guru SD 4 Kabangka , Guru-guru SMPN 2 Kabawo dan rekan alumni. 16. Teman-teman, kakak-kakak, dan adik-adik di lorong Kandeli: Adan, Aji, Julius, Sukur, Samsir, Juma, Taco, Darlin, ucung, Tamrin, Heri, Jufri, Andi, parman, ali, Igo, Rafah, Tia, La Faruju, Ganu, bidan Dewi, bidan Harly, Yani, Sari, Fatma, Sukma, Darman, Krismon, Dadang, Endang, Salcia, Osi, Rosma, Murni, ono, Novi, doni, jeli,tati, finci, nila,ulfa, fitri, dan lain-lain yang tidak dapat saya sebutkan satu persatu. 17. Sahabatku Urik Boiz yang telah menjadi penyemangat buat penulis. Selanjutnya penulis menyadari bahwa penulisan skripsi ini masih jauh dari kesempurnaan. Sehingga dengan senang hati dan segala kerendahan hati penulis menerima segala saran yang sifatnya membangun demi penyempurnaannya. Akhir kata penulis berharap semoga skripsi ini dapat bermanfaat bagi semua pihak yang membutuhkan.
Kendari,
13 April 2016
Penulis
vi
DAFTAR ISI Halaman HALAMAN JUDUL ......................................................................................
i
HALAMAN PENGESAHAN .........................................................................
ii
KATA PENGANTAR .................................................................................... iii DAFTAR ISI .................................................................................................. vii DAFTAR GAMBAR ...................................................................................... ix DAFTAR TABEL ..........................................................................................
x
DAFTAR LAMPIRAN ................................................................................... xi ABSTRAK ..................................................................................................... xii ABSTRACT ................................................................................................... xiii BAB I PENDAHULAN 1.1 1.2 1.3 1.4
Latar Belakang .................................................................................. Rumusan Masalah ............................................................................. Tujuan Penelitian .............................................................................. Manfaat Penelitian ............................................................................
1 3 3 3
BAB II LANDASAN TEORI 2.1 Konsep Dasar Peluang ....................................................................... 2.2 Variable Acak .................................................................................. 2.3 Analisis daya tahan hidup .................................................................. 2.3.1 Fungsi tahan hidup...................................................................... 2.3.2 Fungsi kegagalan ........................................................................ 2.3 Data Tersensor .................................................................................. 2.4 Statistik Terurut................................................................................. 2.5 Distribusi Weibull ............................................................................. 2.6 Metode Maksimun Likelihood ........................................................... 2.7 Metode Newton-Raphson ..................................................................
5 6 8 10 11 14 16 17 19 20
vii
BAB III METODOLOGI PENELITIAN 3.1 Waktu dan Tempat Penelitian ........................................................... 21 3.2 Jenis dan Sumber Data ..................................................................... 21 3.3 Prosedur Penelitian ........................................................................... 21 BAB IV HASIL DAN PEMBAHASAN 4.1 Menentukkan fungsi kepadatan peluang bersama pada Data Tersensor Tipe II ............................................................................................. 23 4.2 Penaksiran Parameter menggukan metode Kemungkinan Maksimun 27 4.3 Contoh Penerapan ........................................................................... 34 BAB V PENUTUP 5.1 Kesimpulan ..................................................................................... 44 5.2 Saran ............................................................................................... 45 DAFTAR PUSTAKA Lampiran
viii
DAFTAR GAMBAR Halaman Gambar 1 Kurva fungsi kepadatan peluang ...................................................... 9 Gambar 2 Kurva fungsi kepadatan peluang dari distribusi Weibull ...................18 Gambar 3 Ilustrasi Data Tersensor Tipe II ........................................................26 Gambar 4 Kurva fungsi kepadatan peluang dari data lampu I ...........................39 Gambar 5 Kurva fungsi daya tahan data lampu I ...............................................40 Gambar 6 Kurva fungsi kegagalan dari data lampu I .......................................40 Gambar 7 Kurva fungsi kepadatan peluang dari data lampu II ........................42 Gambar 8 Kurva fungsi daya tahan data lampu II .............................................43 Gambar 9 Kurva fungsi kegagalan dari data Lampu I .......................................43
ix
DAFTAR TABEL Halaman Tabel 4.1 Data Waktu Hidup Lampu (lampu 1 dan lampu 2) ..........................34 Tabel 4.2 Proses Perhitungan Untuk Data Waktu Hidup Tersensor Tipe II Lampu Jenis 1 Dan Lampu Jenis 2 ....................................................43
x
DAFTAR LAMPIRAN
Lampiran 1. Data bangkitan untuk lampu 1 dengan ballast jenis rangkaian flyback inferter ........................................................................ 48 Lampiran 2. Data bangkitan untuk lampu 2 dengan ballast jenis rangkaian voltage source resonant............................................................ 49 Lampiran 3. Output Hasil Analisis Survival Menggunakan Minitab 14 untuk lampu 1 .................................................................................... 50 Lampiran 4. Output Hasil Analisis Survival Menggunakan Minitab 14 untuk lampu 2 .................................................................................... 51
xi
ESTIMASI PARAMETER UNTUK DATA TERSENSOR TIPE II YANG BERDISTRIBUSI WEIBULL PADA ANALISIS DATA UJI HIDUP
Oleh:
HERDIANA F1A1 12 092
ABSTRAK Penelitian ini membahas tentang Estimasi Parameter Untuk Data Tersensor Tipe II Pada Analisis Data Uji Hidup Yang Berdistribusi Weibull, dimana uji hidup suatu obyek penelitian adalah penyelidikan tentang daya tahan hidup atau keandalan, yang menghasilkan data waktu hidup (survival). Data tersensor tipe II merupakan data yang didapatkan dari penelitian waktu hidup dari sejumlah 𝑛 penelitian akan tetapi karena keterbatasan waktu dan biaya, hanya diambil sejumlah 𝑟 acak dari 𝑛 dengan 𝑟 < 𝑛 dimana terdapat sejumlah 𝑛 − 𝑟 data tersensor atau masih bertahan hidup. Dari estimasi parameter data tersensor tipe II berdistribusi Weibull, diperoleh nilai duga 𝜇 dan nilai duga 𝛽 yang kemudian digunakan untuk mencari nilai fungsi daya tahan (survival), laju kerusakan (fungsi hazard). Pada hasil dan pembahasan menggunakan data bangkitan dari contoh pemilihan lampu TL 75 watt jenis 1 dan jenis 2 dengan 𝑡 = 0, 250,500 𝑑𝑎𝑛 700 (jam), di peroleh nilai duga 𝜇 = 5.6256 𝑥 10−11 dan nilai duga 𝛽 = 3.80091. untuk lampu jenis I. Nilai duga 𝜇 = 2.31082 𝑥 10−9 dan nilai duga 𝛽 = 3.24946 untuk lampu jenis 2. Kata Kunci: Estimasi parameter, data tersensor tipe II, distribusi Weibull.
xii
ESTIMATION PARAMETERS FOR DATA TYPE II CENSORED WEIBULL DISTRIBUTION TEST DATA ANALYSIS ON LIFE
By:
HERDIANA F1A1 12 092
ABSTRACT This study discusses the estimation parameters for data type II censored weibull distribution test data analysis on life, where life test on object of research is inquiry about of the survival or reliability,which generated time data (survival).type II censored data is the data obtained from the study the life time of a number 𝑛 of research, but then because of limitation time and cost, only take a number 𝑟 random from 𝑛 with 𝑟 < 𝑛 where have a namber 𝑛 − 𝑟 data censored or live defendable. The estimation parameters for data type II censored weibull distribution, obtained value estimate 𝜇 and value estimate 𝛽 which is then used to find the value of the survival function and hazard function.In the results and discussion of examples using the data generation lamp selection TL 75 watt type 1 and type 2 with 𝑡 = 0, 250, 500, 700 (𝑜′ 𝑐𝑙𝑜𝑐𝑘)),obtained value estimaate 𝜇 = 5.6256 𝑥 10−11 and value estimate 𝛽 = 3.80091 for lamp type 1. value estimate 𝜇 = 2.31082𝑥10−9 and value estimate 𝛽 = 3.2496 for lamp type 2. Key words: Estimation Parameters, The data type II Censored, Weibull Distribution.
xiii
BAB I PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang Statistika merupakan salah satu bidang ilmu yang sudah berkembang begitu jauh dengan adanya penemuan berbagai alat analisis untuk berbagai keperluan inferensi, estimasi, pengujian dan metode peramalan. Uji hidup adalah penyelidikan tentang daya tahan hidup suatu unit atau komponen pada keadaan operasional tertentu. Ruang lingkup penggunaan uji hidup diantaranya adalah dalam bidang teknik, biologi, rekayasa dan kedokteran. Berbagai penelitian di bidang Biologi, Fisika, Pertanian dan Kedokteran tersebut biasanya akan menghasilkan data yang berhubungan dengan waktu hidup dari suatu individu. Data waktu hidup merupakan variabel acak non negatif. Analisis statistika yang digunakan untuk menganalisis data waktu hidup tersebut disebut analisis tahan hidup (Survival). Analisis tahan hidup (survival) mencakup berbagai teknik statistik yang berguna untuk menganalisis berbagai macam variabel acak. Variabel acak pada analisis tahan hidup (survival) berupa waktu tahan hidup (survival time) atau waktu kegagalan (failure time) (Collet, 1997). Data waktu hidup yang diperoleh dari percobaan uji hidup dapat berbentuk data lengkap, data tersensor tipe I, dan data tersensor tipe II. Data tersebut lengkap jika data diamati secara utuh. Data dikatakan tersensor tipe I jika data uji hidup dihasilkan setelah percobaan berjalan selama waktu yang ditentukan, sedangkan data dikatakan tersensor tipe II jika observasi diakhiri setelah sejumlah kematian 1
atau kegagalan tertentu telah terjadi (Lawless, 1982: 43). Data tersensor tipe II adalah suatu data waktu kematian atau kegagalan yang hanya terdapat r buah pengamatan terkecil dalam sampel acak yang berukuran n dengan 1 ≤ 𝑟 ≤ 𝑛 . Eksperimen menggunakan penyensoran tipe II lebih sering digunakan, misalnya dalam uji hidup dari total observasi sebanyak n, tetapi uji akan berhenti pada waktu observasi sampel mempunyai waktu kematian atau kegagalan ke-r untuk 1≤𝑟≤𝑛. Fungsi distribusi tahan hidup yang didasarkan pada pengetahuan atau asumsi tertentu tentang distribusi populasinya termasuk dalam fungsi parametrik. Beberapa distribusi yang dapat digunakan untuk menggambarkan waktu hidup antara lain Distribusi Eksponensial, Distribusi Weibull, Distribusi Gamma, Distribusi Rayleigh, dan lain-lain (Lawless, 1982: 26). Diantara beberapa distribusi yang ada, dalam skripsi ini hanya mengkaji fungsi survival Berdistribusi Weibull atau data waktu hidup yang di asumsikan dengan menggunakan distribusi Weibull. Misalnya dalam bidang kesehatan untuk meneliti tahan hidup pasien yang terserang penyakit kronis, atau di bidang industri juga untuk meneliti tahan hidup komponen dari suatu produk. Untuk mengetahui apakah distribusi dari data dalam fungsi tahan hidup yang diasumsikan telah menggambarkan keadaan yang sesungguhnya, diperlukan suatu analisis terhadap data waktu hidup. Langkah untuk menganalisis terhadap fungsi distribusi dari data waktu hidup adalah dengan mengestimasi harga parameter distribusinya .Oleh karena itu penulis
2
mengangkat judul tentang“Estimasi Parameter untuk Data Tersensor Tipe II yang Berdistribusi Weibull pada Analisis Data Uji Hidup” 1.2 Rumusan Masalah Berdasarkan uraian dari latar belakang, ada beberapa permasalahn yang akan di bahas diantaranya : a. Bagaimana model fungsi kepadatan peluang bersama untuk data tersensor tipe II yang berdistribusi Weibull ? b. Bagaimana estimasi parameter model fungsi kepadatan peluang bersama untuk data tersensor tipe II dari model distribusi Weibull ? c. Bagaiman penerapan model fungsi daya tahan untuk data tersensor tipe II berdasarkan model distribusi Weibull ? 1.2 Tujuan Penelitian Tujuan yang ingin di capai dalam penelitian ini adalah sebagai berikut : a. Untuk mengetahui model fungsi kepadatan peluang bersama untuk data tersensor tipe II yang berdistribusi Weibull. b. Dapat menentukan estimator parameter fungsi kepadatan peluang bersama untuk data tersensor tipe II dari model distribusi Weibull. c. Menjelaskan penerapan model daya tahan untuk data tersensor tipe II berdasarkan model distribusi Weibull. 1.3 Manfaat Penelitian a. Secara teoritis akan memberikan tambahan wawasan terhadap ilmu statistika terutama tentang fungsi tahan hidup untuk data waktu hidup yang berdistribusi Weibull. 3
b. Karena bersifat aplikatif maka dapat diterapkan pada ilmu lain di luar statistika misalnya ilmu biologi, kedokteran dan teknik.
4
BAB II TINJAUAN PUSTAKA
2.1 Konsep Dasar Peluang Pada dasarnya statistika berkaitan dengan penyajian dan penafsiran hasil yang berkemungkinan (hasil yang belum dapat ditentukan sebelumnya) yang muncul dalam penelitian yang dirancang sebelumnya atau yang muncul dalam penelitian ilmiah. Para statistisi berurusan dengan pencacahan atau pengukuran karakteristik suatu objek kajian yang hasilnya berbentuk bilangan. Pekerjaan seperti ini biasa disebut percobaan acak (Abadyo dan Hendro permadi, 2005). Himpunan semua hasil (outcome) yang mungkin muncul pada suatu percobaan acak disebut ruang sampel yang dinotasikan dengan S ( Bain, L.J, 1992: 2). Tiap – tiap hasil yang mungkin dalam ruang sampel disebut unsur atau anggota ruang sampel tersebut atau disebut juga dengan istilah titik sampel. Misalnya
Pada
percobaan
melempar
dua
mata
uang,
diperoleh
𝑆 = 𝐴𝐴, 𝐴𝐺, 𝐺𝐴, 𝐺𝐺 dengan AA adalah kejadian muncul angka pada lemparan pertama, dan muncul angka pada lemparan kedua; AG adalah kejadian muncul angka pada lemparan pertama, dan muncul gambar pada lemparan kedua; GA adalah kejadian muncul gambar pada lemparan pertama, dan muncul angka pada lemparan kedua; GG adalah kejadian muncul gambar pada lemparan pertama, dan muncul gambar pada lemparan kedua. Titik sampelnya adalah AA, AG, GA, dan GG. Kejadian atau peristiwa adalah himpunan bagian dari ruang sampel ((Bain, L.J, 1992:4). Misalnya Suatu percobaan yang dilakukan dengan melantunkan 5
sebuah dadu, maka ruang sampelnya: 𝑆 = 1, 2, 3, 4, 5, 6 . Misalkan A menyatakan suatu kejadian bahwa bilangan genap muncul, maka kejadian 𝐴 = 2, 4, 6 , sehingga A merupakan himpunan bagian ruang sampel S, atau dinotasikan sebagai 𝐴 ⊂ 𝑆. Ruang nol atau ruang kosong atau himpunan kosong ialah himpunan bagian ruang sampel yang tidak mengandung unsur atau anggota. Kejadian seperti ini dinyatakan dengan lambang ∅ (Walpole, 1995). Menurut Bain dan Engelhardt (1992), untuk sebuah percobaan, S merupakan ruang sampel dan 𝐴, 𝐴1 , 𝐴2 , … merepresentasikan kejadian-kejadian yang mungkin. Himpunan fungsi yang menghubungkan nilai P(A) dengan setiap kejadian A disebut himpunan fungsi peluang, dan P(A) merupakan peluang dari A, jika memenuhi keadaan sebagai berikut: 1. 0 ≤ 𝑃 𝐴 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑠𝑒𝑡𝑖𝑎𝑝 𝐴 2. 𝑃 𝑆 = 1 3. 𝑃
∞ 𝑖=1 𝐴𝑖
=
∞ 𝑖=1 𝑃(𝐴𝑖 )
dan jika 𝐴1 , 𝐴2 , … merupakan kejadian-kejadian yang saling asing. 2.2 Variable Acak Variabel acak X merupakan fungsi yang memetakan setiap hasil yang mungkin e pada ruang sampel S dengan suatu bilangan real x, sedemikian sehingga 𝑋 𝑒 = 𝑥
dengan 𝑒 ∈ 𝑆 𝑑𝑎𝑛 𝑥 ∈ ℜ (Bain dan Engelhardt, 1992). Ada
dua macam variabel acak, yaitu variabel acak diskret dan variabel acak kontinu. Jika semua himpunan nilai yang mungkin dari suatu variabel acak X merupakan himpunan terbilang (countable set), yaitu 6
𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 𝑎𝑡𝑎𝑢 {𝑥1 , 𝑥2 , … }
, maka X disebut variabel acak diskret.
Sedangkan Jika himpunan semua nilai yang mungkin dari suatu variabel acak X merupakan selang bilangan real, maka X disebut variabel acak kontinu. Misalkan A ruang dari variabel acak diskrit X dan A terbilang. Fungsi f dari A ke dalam R yang memenuhi: 𝑎. 𝑓(𝑥) ≥ 0 untuk setiap x di A 𝑏.
𝑓 𝑥 =1 𝑥 𝑑𝑖 𝐴
dinamakan fungsi kepadatan peluang (fdp) dari variabel acak diskrit X, Jika variabel acak diskrit X dengan fdp f(x), maka peluang suatu kejadian A diberikan oleh : 𝑃 𝐴 =
𝑓(𝑥) 𝑥 𝑑𝑖 𝐴
(Djauhari, 1990:41). Fungsi distribusi kumulatif F(x) dari variabel acak diskrit X didefinisikan untuk sembarang bilangan real x oleh : 𝐹 𝑥 = 𝑃(𝑋 ≤ 𝑥)
(1)
(Bain, L.J, 1992:53). Misalkan A ruang variabel acak kontinu X. Fungsi f dari A ke dalam R yang memenuhi: 1. 𝑓 𝑥 ≥ 0, 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑠𝑒𝑚𝑢𝑎 𝑥 𝑑𝑖 𝐴 𝑥
2.
𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 1 −∞
7
dinamakan fungsi kepadatan peluang (fdp) dari variabel acak kontinu X. Jika variabel acak kontinu X memiliki fdp f(x), maka peluang suatu kejadian atau peristiwa A, diberikan oleh : 𝑃 𝐴 =
𝑓 𝑥 𝑑𝑥 , 𝑑𝑒𝑛𝑔𝑎𝑛 𝑥 𝑑𝑖 𝐴
(2)
(Djauhari, 1990:43). Suatu fungsi f(x) yang didefinisikan pada selang nilai variabel acak X disebut fungsi kepadatn peluang (fdp kontinu), sehingga fungsi distribusi kumulatifnya dapat dinyatakan sebagai 𝐹 𝑥 =
𝑥 −∞
𝑓 𝑡 𝑑𝑡
(3)
(Bain, L.J, 1992:64). 2.3 Analisis Daya Tahan Hidup (Survival) Analisis tahan adalah suatu metode yang berhubungan dengan waktu, mulai dari time origin atau start point sampai dengan terjadinya suatu kejadian khusus atau end point. Data yang diperoleh di bidang kesehatan merupakan pengamatan terhadap pasien yang diamati dan dicatat waktu terjadinya kegagalan dari setiap individu (Collet, 1994). Analisis tahan hidup (survival analysis) atau analisis kelangsungan hidup bertujuan untuk menduga probabilitas kelangsungan hidup, kekambuhan, kematian, dan peristiwa-peristiwa lainnya sampai pada periode waktu tertentu. Perbedaan antara analisis tahan hidup dengan analisis statistik lainnya adalah adanya data tersensor. data dikatakan tersensor jika pengamatan waktu tahan hidup hanya sebagian, tidak sampai waktu kejadian.
8
Analisis tahan hidup digunakan untuk menganalisis data yang bertujuan untuk mengetahui hasil dari variabel yang mempengaruhi suatu awal kejadian sampai akhir kejadian, contohnya waktu yang dicatat dalam hari, minggu, bulan, atau tahun. Untuk kejadian awal contohnya awal pasien terjangkit penyakit dan untuk kejadian akhir contohnya kematian pasien dan kesembuhan pasien (Kleinbaum & Klein, 2011: 4). Menurut Lawless (1982) Fungsi kepadatan peluang pada analisis tahan hidup adalah peluang suatu individu mati atau gagal dalam interval waktu 𝑡 sampai 𝑡 + ∆𝑡 , dengan waktu 𝑇 merupakan variabel acak. Fungsi densitas peluang dari 𝑇 dapat dinyatakan sebagai f(t), 𝑓 𝑡 = lim∆𝑡→0
𝑃(𝑡≤𝑇< 𝑡+∆𝑡 ) ∆𝑡
(4)
Yang mempunyai sifat sebagai berikut : a. 𝑓 𝑡 ≥ 0, 𝑡 ≥ 0 ∞ 0
b.
𝑓 𝑡 𝑑𝑡 = 1
Fungsi f disebut fungsi kepadatan peluang bagi variabel acak kontinu T bila luas daerah di bawah kurva dan di atas sumbu −𝑡 sama dengan 1, dan bila luas daerah di bawah kurva antara 𝑡 = 𝑎 dan 𝑡 = 𝑏 menyatakan peluang T terletak antara 𝑎 dan 𝑏 (Walpole, 1995), sebagaimana diilustrasikan dalam gambar berikut :
Gambar 1. kurva fungsi kepadatan peluang 9
2.3.1 Fungsi Daya Tahan Menurut Lawless (1982) fungsi daya tahan (Survival) adalah peluang suatu individu yang masih dapat bertahan hidup sampai dengan waktu 𝑡(𝑡 > 0). Jika T merupakan variabel acak dari waktu hidup suatu individu dalam interval[0, ∞)), maka fungsi distribusi kumulatif F(t) untuk distribusi kontinu dengan fungsi kepadatan peluang f(t) dinyatakan sebagai berikut : 𝐹 𝑡 =𝑃 𝑇≤𝑡 Atau 𝑡
𝐹 𝑡 =
𝑓 𝑥 𝑑𝑥,
𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑡 > 0
0
Oleh karena itu diperoleh fungsi tahan hidup (Survival) yang didefinisikan dengan 𝑆 𝑡 = 𝑃 𝑇≥𝑡 = 1−𝑃 𝑇 ≤𝑡 = 1 − 𝐹 (𝑡)
(5)
Dalam beberapa hal, khususnya yang mencakup tahan hidup dari komponen-komponen industri, S(t) ditentukan sebagai fungsi tahan hidup (Surviva)l. Jadi hubungan fungsi kepadatan peluang dengan fungsi tahan hidup (Survival) adalah
𝑓 𝑡 = lim
∆𝑡→0
= lim∆𝑡→0
𝐹 𝑡+∆𝑡 −𝐹 𝑡 ∆𝑡
𝑃 𝑡 ≤ 𝑇 < 𝑡 + ∆𝑡 ∆𝑡 = 𝐹′ (𝑡)
(6)
10
Persamaan (5) di turunkan terhadap t sehingga di peroleh : 𝑑𝑆(𝑡) 𝑑 1 𝐹 𝑡 + ∆𝑡 − 𝐹 𝑡 = − lim 𝑑𝑡 𝑑𝑡 ∆𝑡→0 ∆𝑡 𝑆′ 𝑡 = 0 − 𝐹′ 𝑡 𝐹 ′ 𝑡 = −𝑆 ′ 𝑡 −𝐹 ′ 𝑡 = 𝑆 ′ 𝑡 𝐹 ′ 𝑡 = −𝑆 ′ (𝑡) Jadi hubungan fungsi kepadatan peluang dan fungsi tahan hidup adalah 𝑓 𝑡 = −𝑆 ′ (𝑡)
(7)
Dalam hal ini fungsi tahan hidup S(t) merupakan fungsi monoton turun yang mempunyai sifat : a. 𝑆 0 = 1, artinya peluang suatu individu bertahan hidup lebih lama dari waktu nol adalah 1. b. 𝑆 ∞ = 0, artinya peluang suatu individu bertahan hidup pada waktu yang tak terhingga adalah 0. 2.3.2 Fungsi Kegagalan (Hazard) Fungsi kegagalan menyatakan peluang kegagalan suatu individu pada waktu t, sedangkan Menurut Lawless (1982) fungsi kegagalan adalah peluang suatu individu mati dalam interval waktu t sampai t + Δt , jika diketahui individu tersebut masih dapat bertahan hidup sampai dengan waktu t, Fungsi kegagalan dari waktu tahan hidup T dinotasikan dengan:
𝑡 = lim∆𝑡→0
𝑃(𝑡≤𝑇<𝑡+∆𝑡 𝑇≥𝑡) ∆𝑡
(8)
jika 𝑓 𝑡 adalah fungsi kepadatan peluang pada waktu t, maka diperoleh: 11
𝑃(𝑡 ≤ 𝑇 < 𝑡 + ∆𝑡 𝑇 ≥ 𝑡) ∆𝑡
𝑡 = lim
∆𝑡→0
= lim
𝑃 𝑡 ≤ 𝑇 < 𝑡 + ∆𝑡 ∪ 𝑇 ≥ 𝑡 𝑃 𝑇 ≥ 𝑡 . ∆𝑡
= lim
𝑃 𝑡 ≤ 𝑇 < 𝑡 + ∆𝑡 𝑃 𝑇 ≥ 𝑡 . ∆𝑡
∆𝑡→0
∆𝑡→0
= lim
∆𝑡→0
= lim
∆𝑡→0
=
1 𝐹 𝑡 + ∆𝑡 − 𝐹(𝑡) . ∆𝑡 1 − 𝐹(𝑡) 𝐹 𝑡 + ∆𝑡 − 𝐹 𝑡 1 . ∆𝑡 𝑆 𝑡
𝐹 ′ (𝑡) 𝑆(𝑡)
Jadi fungsi densitas peluang pada waktu t adalah
𝑡 =
𝑓(𝑡)
(9)
𝑆(𝑡)
Dari persamaan (7) dan (9) diperoleh h(t) sebagai berikut : 𝑆′ 𝑡 𝑡 =− 𝑆 𝑡 𝑑 ln 𝑆 ′ 𝑡 = −𝑆 𝑡 . 𝑑𝑆 𝑡 ′
𝑑𝑆 𝑡 𝑑 ln 𝑆 ′ 𝑡 =− . 𝑑𝑡 𝑑𝑆 𝑡
𝑡 =−
𝑑 ln 𝑆(𝑡) 𝑑𝑡
(10)
dari persamaan (10) di peroleh: 𝑡
𝑡
(𝑥 ) 𝑑𝑥 = 0
− 0
𝑑 ln 𝑆 𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑥
12
𝑡
⟺−
𝑡
𝑥 𝑑𝑥 = 0
0
𝑑 ln 𝑆 𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑥
𝑡
⇔−
𝑥 𝑑𝑥 = ln 𝑆(𝑥) 0
𝑡 0
Karena S(0) = 1, maka diperoleh 𝑡
−
𝑥 𝑑𝑥 = ln 𝑆 𝑡 0 𝑡
⇔ 𝑆 𝑡 = exp[−
(𝑥 ) 𝑑𝑥] 0
Dari uraian di atas diperoleh hubungan antara f(t), S(t) dan h(t) sebagai berikut : a. 𝑓 𝑡 = −𝑆 ′ (𝑡) b.
𝑡 =
(11)
𝑓(𝑡) 𝑆(𝑡)
c. 𝑆 𝑡 = exp[ −
𝑡 0
(𝑥 ) 𝑑𝑥].
dari persamaan (9) dan persamaan (11) di peroleh : 𝑡 = 𝑡 =
𝑓 𝑡 𝑆 𝑡 𝑓(𝑡) exp[ −
𝑡 0
(𝑥 ) 𝑑𝑥]
maka : 𝑓 𝑡 = 𝑡 exp[ −
𝑡 0
(𝑥) 𝑑𝑥]
(12)
13
2.4 Data Tersensor Dalam pengumpulan data sering terjadi individu yang diamati tersensor. Masalah pengumpulan data ini merupakan suatu hal yang membedakan antara uji hidup dengan bidang ilmu statistik yang lain. Data tersensor adalah data yang diperoleh sebelum semua data teramati waktu hidupnya, sementara waktu pengamatan telah berakhir, atau oleh sebab lain. Sementara data tidak tersensor adalah waktu tahan hidup yang dicatat dari individu yang mati selama waktu percobaan, yaitu waktu dari awal hingga mengalami kematian. Data yang mengalami penyensoran hanya memuat sebagian informasi mengenai variabel acak yang diperhatikan, namun berpengaruh terhadap pengertian-pengertian dan perhitungan statistik. Penyensoran dilakukan untuk memperpendek waktu percobaan karena dalam mengukur waktu kegagalan atau kematian individu kadang-kadang diperlukan waktu yang lama dan biaya yang besar. Menurut Lee dan Wang (2003), ada tiga tipe penyensoran yang sering digunakan dalam pengamatan uji hidup yaitu sebagai berikut: a. Sensor Tipe I, merupakan tipe penyensoran dimana percobaan akan dihentikan setelah mencapai waktu T yang telah ditentukan untuk mengakhiri semua n individu yang masuk pada waktu yang sama. Berakhirnya waktu uji T menjelaskan waktu sensor uji. Dengan kata lain, jika terdapat individu yang hilang secara tiba-tiba maka waktu daya tahan (survival) pengamatan tersensor sama dengan lama waktu pengamatan
14
b. Sensor Tipe II, merupakan tipe penyensoran dimana sampel ke-r merupakan observasi terkecil dalam sampel acak berukuran 𝑛 1 ≤ 𝑟 ≤ 𝑛 . Dari total sampel berukuran n, pengamatan akan dihentikan ketika diperoleh sebanyak r individu yang mengalami kegagalan, dimana 𝑟 < 𝑛. sehingga dapat menghemat waktu dan biaya. Dalam penyensoran ini, r ditentukan terlebih dahulu sebelum data dikumpulkan. c. sensor tipe III merupakan individu atau unit uji masuk ke dalam percobaan pada waktu yang berlainan selama periode waktu tertentu. Beberapa unit uji mungkin gagal/mati sebelum pengamatan berakhir sehingga waktu tahan hidupnya dapat diketahui dengan pasti. Kemungkinan kedua adalah unit uji keluar sebelum pengamatan berakhir, atau kemungkinan ketiga adalah unit uji tetap hidup sampai batas waktu terakhir pengamatan. Untuk objek yang hilang, waktu tahan hidupnya adalah sejak masuk dalam pengamatan sampai dengan waktu terakhir sebelum hilang. Untuk unit uji yang tetap hidup, waktu tahan hidupnya adalah dari mulai masuk pengamatan sampai waktu pengamatan berakhir.
Lawless (1982) menyatakan bahwa data tersensor tipe II merupakan data kematian atau kegagalan yang tidak lengkap (incomplete mortality data) yaitu data waktu kematian atau kegagalan dari r observasi terkecil dalam sampel acak yang berukuran n dengan 1 ≤ 𝑟 ≤ 𝑛. Dalam pengamatan menunjukkan penyensoran tipe II lebih sering digunakan sebagai contoh dalam uji hidup dari total observasi sebanyak n, tetapi uji hidup akan berhenti pada waktu observasi sampel mempunyai waktu kematian atau kegagalan ke-r. Oleh karena itu uji hidup ini dapat menghemat waktu dan biaya, karena uji hidup memakan waktu yang lama untuk penyensoran terhadap kegagalan dari observasi. Data tersensor tipe II 15
diperoleh dari penyelidikan terhadap n observasi, sehingga penyensoran berhenti sampai observasi sampel yang mempunyai waktu kematian atau kegagalan ke−𝑟. Oleh karena itu dalam penyensoran tipe II umumnya data terdiri dari r waktu hidup terkecil 𝑡1 ≤ 𝑡2 ≤ ⋯ ≤ 𝑡𝑟 dari sampel acak berukuran n. Bila 𝑡1 , 𝑡2 , … , 𝑡𝑟 i.i.d dan berdistribusi kontinu dengan fungsi kepadatan peluang f(t) dan fungsi daya tahan S(t) maka fungsi kepadatan peluang (fdp) bersama dari 𝑡1 , 𝑡2 , … , 𝑡𝑟 adalah 𝑔 𝑡1 , 𝑡2 , … , 𝑡𝑟 = 2.5
𝑛! 𝑛 −𝑟 !
𝑛! = [ 𝑛−𝑟 !
𝑟
𝑓(𝑡𝑖 )] [1 − 𝐹(𝑡𝑟 )]𝑛−𝑟 𝑖=1
𝑓(𝑡 1 ) … 𝑓 𝑡𝑟 𝑆(𝑡 𝑟 )𝑛−𝑟
(13)
Statistik Terurut Misalkan himpunan variabel acak 𝑋1 , 𝑋2 , … , 𝑋𝑛 merupakan sampel acak
yang berukuran n dari suatu populasi dengan fungsi kepadatan f(x) maka fungsi kepadatan peluang bersama dari variabel acak independennya adalah sebagai berikut (Bain dan Engelhardt, 1992): 𝑓 𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 = 𝑓 𝑥1 , 𝑓 𝑥2 , … , 𝑓(𝑥𝑛 ) Jika sampel acak yang berukuran n tersebut diurutkan dalam suatu urutan naik maka disebut statistik terurut atau order statistik dari 𝑋1 , 𝑋2 , … , 𝑋𝑛 dan dinyatakan dengan 𝑋1:𝑛 , 𝑋2:𝑛 , … , 𝑋𝑛 :𝑛
atau 𝑌1 , 𝑌2 , … , 𝑌𝑛 dengan 𝑋𝑖:𝑛 = 𝑌𝑖 , 𝑖 =
1, 2, … , 𝑛. Misalkan 𝑋1 , 𝑋2 , … , 𝑋𝑛 adalah sampel acak yang berukuran n dari fungsi densitas peluang 𝑓(𝑥), dimana untuk 𝑓 𝑥 kontinu dan 𝑓 𝑥 > 0, 𝑎 < 𝑥 < 𝑏 ,
16
maka fungsi densitas peluang dari statistik terurut ke−𝑘, 𝑌𝑘
untuk 𝑘 =
1,2, … , 𝑛 − 1 adalah 𝑛
𝑔𝑘 𝑦𝑘 = 𝑖=𝑘 𝑛
= 𝑖=𝑘
𝑛 𝑘+1
𝑛 𝑘
𝑑((𝐹(𝑦𝑘 ))𝑘 (1 − 𝐹 𝑦𝑘 )𝑛−𝑘 ) 𝑛−𝑘 𝑑𝑦 𝑛
𝑘 + 1 𝑘(𝐹 𝑦𝑘 )
𝑘−1
(1 − 𝐹 𝑦𝑘 )
𝑛−𝑘
𝑓 𝑦𝑘
− 𝑖=𝑘
𝑛 𝑘+1
𝑘
+ 1 𝑛 − 𝑘 (𝐹(𝑦𝑘 )𝑘 (1 − 𝐹(𝑦𝑘 ))𝑛−𝑘−1 𝑓(𝑦𝑘 ) =
𝑛! [𝐹(𝑦𝑘 )]𝑘−1 [1 − 𝐹(𝑦𝑘 )]𝑛−𝑘 𝑓(𝑦𝑘 ) 𝑘! 𝑛 − 𝑘 − 1 ! Maka fungsi kepadatan peluang untuk statistik terurut 𝑌𝑘 , 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑘 =
1,2, … , 𝑛 − 1 𝑎𝑑𝑎𝑙𝑎 𝑔𝑘 𝑦𝑘 =
𝑛! 𝑘−1 ! 𝑛−𝑘 !
[𝐹 𝑦𝑘 ]𝑘−1 1 − 𝐹 𝑦𝑘
𝑛−𝑘
𝑓 𝑦𝑘 , jika 𝑎 < 𝑦𝑘 < 𝑏
(14)
2.6 Distribusi Weibull Distribusi Weibull dikembangkan oleh W. Weibull pada awal tahun 1950. Distribusi Weibull merupakan salah satu jenis distribusi kontinu yang sering digunakan, khususnya dalam bidang keandalan dan statistik karena kemampuannya untuk mendekati berbagai jenis sebaran data. Distribusi Weibull sering digunakan untuk memodelkan waktu kegagalan dari banyak sistem fisik. Parameter dalam distribusi memungkinkan fleksibilitas untuk memodelkan sistem dengan jumlah kegagalan bertambah terhadap waktu, berkuran terhadap waktu atau tetap konstan terhadap waktu.
Menurut Lawless(1982), distribusi Weibull merupakan distribusi yang menggambarkan kejadian ekstrim seperti waktu hidup dari makhluk hidup. Distribusi Weibull paling banyak digunakan dalam model distribusi waktu hidup. 17
Misalkan variabel acak kontinu T berdistribusi Weibull, dengan parameter 𝜇 dan parameter shape 𝛽, jika mempunyai fungsi kepadatan peluang: 𝛽
𝑓 𝑡 = 𝜇𝛽𝑡 𝛽−1 𝑒 −𝜇 𝑡 , 𝑡 > 0; 𝜇 > 0; 𝑑𝑎𝑛 𝛽 > 0
(15)
(Department of Mathematics and Statistics, Lahijan Branch Islamic Azad University, Lahijan, Iran) Persamaan (15) di katakana fungsi kepadatan peluang jika : 1. 𝑓 𝑡 ≥ 0, 𝑡 ∈ ℛ 2.
∞ 0
𝑓 𝑡 𝑑𝑡 = 1
Untuk selanjutnya di notasikan sebagai 𝑇~𝑊𝐸𝐼(𝜇, 𝛽). Nilai parameter shape yaitu 𝛽 menyatakan suatu bentuk yang bermacam-macam dari kurva fungsi densitas yaitu naik, turun, atau mendatar, sehingga kondisi ini sangat cocok digunakan untuk berbagai model data survival.
Gambar 2. Kurva fungsi kepadatan peluang dari distribusi Weibull Grafik
distribusi Weibull (gambar 2) untuk 𝛼 = 1 ,jika 𝛽 = 1 maka
distribusi Weibull menjadi distribusi eksponensial, serta jika 𝛽 > 1 maka kurvanya mirip lonceng dan menyerupai kurva normal tetapi agak miring. Semakin besar nilai 𝛽 puncak dari kurva fungsi densitas peluangnya semakin runcing dan bentuknya semakin simetris, sedangkan semakin besar nilai 𝛼 maka model kurvanya semakin turun dan lebar.
18
2.7 Metode Kemungkinan Maksimun Metode kemungkinan maksimum adalah salah satu metode yang paling sering digunakan untuk mencari nilai estimasi dari suatu parameter. Fungsi kepadatan bersama (joint density function) dari n variabel acak X1, X2, ..., Xn pada x1, x2, ..., xn adalah f(x1, x2, ..., xn; θ) disebut sebagai fungsi kemungkinan. Untuk 𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 yang tetap, fungsi likelihood adalah fungsi dari 𝜃 dan sering di notasikan sebagai 𝐿 𝜃 . jika 𝑋1 , 𝑋2 , … , 𝑋𝑛 menyatakan sampel acak dengan fungsi peluang 𝑓(𝑥; 𝜃) maka : 𝐿 𝜃 = 𝑓 𝑥1 ; 𝜃 … 𝑓 𝑥𝑛 ; 𝜃 =
𝑛 𝑖=1 𝑓(𝑥𝑖 ; 𝜃)
Misalkan 𝐿 𝜃 = 𝑓 𝑥1 ; 𝜃 … 𝑓 𝑥𝑛 ; 𝜃 , 𝜃 𝜖 Ω
(16) adalah fungsi kepadatan
bersama dari 𝑋1 , 𝑋2 , … , 𝑋𝑛 . Untuk sekumpulan pengamatan yang di berikan (𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 ), suatu nilai 𝜃 dalam Ω sedemikian hingga 𝐿 𝜃 maksimun, di sebut estimasi kemungkinan maksimun (MLE) dari 𝜃. Nilai 𝜃 adalah nilai 𝜃 yang memenuhi: 𝑓(𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 ; 𝜃 ) = max𝜃𝜖Ω 𝑓(𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 ; 𝜃) Apabila Ω adalah interval terbuka, dan jika 𝐿 𝜃 adalah differensiabel dan di asumsikan maksimun pada Ω maka MLE adalah solusi dari persamaan : 𝑑 𝑑𝜃
𝐿 𝜃 =0
Hal yang perlu diperhatikan, jika ternyata terdapat lebih dari satu solusi untuk persamaan
𝑑 𝑑𝜃
𝐿 𝜃 = 0, maka harus dilakukan perhitungan terhadap
masing-masing solusi untuk memperoleh solusi yang memaksimumkan
19
𝐿 𝜃 . Hal ini dilakukan dengan mencari nilai turunan kedua dari 𝐿 𝜃 bila nilainya negatif maka solusi tersebut adalah solusi yang maksimum. Definisi tentang fungsi kemungkinan dan estimasi kemungkinan maksimum dapat diterapkan dalam parameter-parameter tak diketahui yang lebih dari satu. Bila 𝜃 adalah parameter, katakan = 𝜃1 , 𝜃2 , … , 𝜃𝑘 , maka estimasi kemungkinan maksimumnya akan berupa persamaan simultan dengan penurunan parsial tiap-tiap parameternya. 𝜕 𝜕 𝜃𝑗
𝐿𝑛 𝜃1 , 𝜃2 , … , 𝜃𝑘 = 0, 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑗 = 1,2, … , 𝑘
(17)
Persamaan di atas disebut persamaan kemungkinan maksimum (Maximum Likelihood Equations). Nilai 𝜃1 , 𝜃2 , … , 𝜃𝑘 merupakan estimasi bila persamaan kemungkinan
maksimumnya
memberikan
nilai
maksimum
terhadap
L(𝜃1 , 𝜃2 , … , 𝜃𝑘 ). 2.8 Metode Newton-Raphson Apabila langkah menaksir parameter menggunakan metode metode kemungkinan maksimun menghasilkan fungsi log-likelihood yang non-linier maka penyelesaian fungsi tersebut di lanjutkan dengan menggunakan metode iterasi Newton-Rhapson. Fungsi log-likelihood dengan parameter 𝑥 dapat diselesaikan sehingga diperoleh taksiran 𝑥 dengan menggunakan metode Newton Rhapson. Rumus penaksir parameter 𝑥 pada iterasi 𝑛 = (0,1,2, … , 𝑛) adalah sebagai berikut: 𝑓(𝑥 )
𝑥𝑛+1 = 𝑥𝑛 − 𝑓 ′ (𝑥𝑛 ) 𝑛
(18)
20
BAB III METODE PENELITIAN 3.1 Waktu Dan Tempat Penelitian Penelitian ini di lakukan pada bulan Desember 2015 hingga bulan Februari tahun 2016 yang bertempat di Laboratorium komputasi Matematika Universitas Halu Oleo. 3.2 Jenis Dan Sumber Data Data yang digunakan pada skripsi ini didapatkan dari metode simulasi pembangkitan data dengan bantuan software Minitab 14, dimana dibangkitkan 2 data berdistribusi Weibull yang masing- masing berjumlah 18 data. Data bangkitan yang telah didapatkan diberikan informasi berupa variabel acak data tersensor tipe II dengan r = 18 dari n = 40, yang misalnya penelitian waktu hidup 2 jenis yaitu lampu jenis 1 dan lampu jenis 2. Pada skripsi ini akan dicari estimasi parameter data tersensor tipe 2 yang berdistribusi Weibull yaitu 𝜇 dan β menggunakan metode kemungkinan maksimun. Setelah diketahui parameternya, kemudian menghitung fungsi daya tahan (Survival) dan laju kerusakan (fungsi hazard). Data diolah dan dianalisis menggunakan software Excel 2007 dan software minitab 14.
3.3 Prosedur Penelitian 1. Menentukan model fungsi kepadatan peluang bersama untuk data tersensor tipe II berdasarkan model distribusi Weibull ! 2. Penaksiran parameter dengan menggunakan metode Kemungkinan maksimun!
21
3. Contoh penerapan model daya tahan hidup untuk data tersensor tipe II berdasarkan model distribusi Weibull dari pembangkitan data sebanyak 𝑛, dengan cara : 1. Membuat model tersensor tipe II 2. Menentukkan nilai parameter 𝜇, 𝛽 dan nilai banyaknya kegagalan 𝑟 3. Membangkitkan data sebanyak 𝑛
22
BAB IV HASIL DAN PEMBAHASAN
4.1
Model Fungsi Kepadatan Peluang Bersama Untuk Data Tersensor Tipe II Yang Berdistribusi Weibull Menurut Lawless(1982), distribusi Weibull merupakan distribusi yang
menggambarkan kejadian ekstrim seperti waktu hidup dari makhluk hidup. Distribusi Weibull paling banyak digunakan dalam model distribusi waktu hidup. Misalkan variabel acak kontinu T berdistribusi Weibull, dengan parameter 𝜇 dan 𝛽, dengan fungsi kepadatan yaitu 𝛽
𝑓 𝑡 = 𝜇𝛽𝑡 𝛽−1 𝑒 −𝜇 𝑡 , 𝑡 > 0; 𝜇, 𝛽 > 0 … … … … ….
(19)
Dan Fungsi distribusi kumulatifnya di defenisikan sebagai berikut : 𝑡
𝐹 𝑡 =
𝑓 𝑥 𝑑𝑥 0
𝑡 𝛽
𝜇𝛽𝑥 𝛽 −1 𝑒 −𝜇 𝑥 𝑑𝑥
𝐹 𝑡 = 0
𝑚𝑖𝑠𝑎𝑙 𝑢 = −𝜇𝑥 𝛽 𝑑𝑢 = −𝜇𝛽𝑥 𝛽−1 𝑑𝑦 𝑑𝑦 =
𝑑𝑢 −𝜇𝛽𝑥 𝛽 −1
𝑡
−𝜇𝛽𝑥 𝛽 −1
𝐹 𝑡 = 0
𝑑𝑢 −𝜇𝛽𝑥 𝛽 −1
𝑡
𝑒 𝑢 𝑑𝑢
=− 0
23
= −𝑒 𝑢
𝑡 0
= −𝑒 −𝜇 𝑥 𝐹 𝑡 = −𝑒 −𝜇 𝑡
𝛽
𝛽
𝑡 0 𝑡
— (−𝑒 −𝜇 0 )
𝛽
𝐹 𝑡 = −𝑒 −𝜇 𝑡 + 1 Jadi fungsi kumulatifnya adalah 𝐹 𝑡 = 1 − 𝑒 −𝜇 𝑡
𝛽
(20)
Fungsi tahan hidup dari 𝑇~𝑊𝑒𝑖𝑏𝑢𝑙𝑙(𝜇, 𝛽) didefinisikan sebagai peluang suatu individu dapat bertahan hidup sampai waktu t, (berdasarkan persamaan 5) yaitu 𝑆 𝑡 =1−𝐹 𝑡 = 1 − 1 − 𝑒 −𝜇 𝑡 = 1 − 1 + 𝑒 −𝜇 𝑡
𝛽
𝛽
Jadi fungsi tahan hidupnya adalah 𝑆 𝑡
= 𝑒 −𝜇𝑡
𝛽
(21)
Fungsi kegagalan (𝑡) (berdasarkan persamaan 9) menyatakan peluang suatu komponen mengalami kegagalan pada waktu t. 𝑡 =
=
𝑓 𝑡 𝑆 𝑡
𝜇 𝛽 𝑡 𝛽−1 𝑒 −𝜇 𝑡 𝑒 −𝜇 𝑡
𝛽
𝛽
jadi fungsi kegagalannya yaitu: 𝑡 = 𝜇 𝛽 𝑡 𝛽−1
(22) 24
Dalam data tersensor tipe II, terdapat 𝑟 pengamatan dari 𝑛 sampel yang diamati, dan eksperimen akan dihentikan setelah kegagalan ke-r yang terjadi sebelum waktu 𝑡𝑖 . Data terdiri dari r tahan hidup terkecil 𝑇(1) ≤ 𝑇(2) ≤ 𝑇 3 ≤ ⋯ ≤ 𝑇(𝑟) dari sampel acak yang terdiri dari n tahan hidup 𝑇1 , 𝑇2 , 𝑇3 , … , 𝑇𝑟 seperti di ilustrassikan pada gambar berikut : 𝑇(1)
𝑇(2)
𝑇(𝑟)
𝑇(𝑟+1)
𝑇(𝑟+2)
𝑇(𝑛)
0 Data tersensor Gambar 3. Ilustrasi Data Tersensor Tipe II Misalkan T merupakan variabel acak dari n individu yang diamati, 𝑓(𝑡1 ) merupakan fungsi kepadatan peluang dari variabel acak individu ke-1, 𝑓(𝑡2 ) merupakan fungsi kepadatan peluang dari variabel acak individu ke-2, dan seterusnya hingga 𝑓(𝑡𝑟 ) untuk variabel acak individu ke-r. Individu yang gagal, yaitu individu ke-1 sampai individu ke-r masingmasing sebanyak satu komponen. Sedangkan individu yang masih bertahan melebihi kegagalan dari individu ke−𝑟 dituliskan dengan 𝑇𝑟+1 , 𝑇𝑟+2 , 𝑇𝑟+3 , … , 𝑇𝑟 sebanyak 𝑛 − 𝑟. SampeL acak berukuran 𝑛 dengan kegagalan r ini mengikuti distribusi multinomial, sehingga terdapat
𝑛! 𝑛−𝑟 !
urutan yang mungkin terjadi dari 𝑛
pengamatan.
25
Fungsi kepadatan peluang bersama dari 𝑇1 , 𝑇2 , 𝑇3 , … , 𝑇𝑟 dari data yang diamati dapat ditulis sebagai berikut:
𝑔(𝑡1 , 𝑡2 , … , 𝑡𝑟 ) =
𝑛! 𝑓 𝑡1 𝑓 𝑡2 … 𝑓(𝑡𝑟 ) 𝑃 𝑇𝑟+1 ≥ 𝑡𝑟 … 𝑃(𝑇𝑛 ≥ 𝑡𝑟 ) 𝑛−𝑟 !
𝑛! = 𝑛−𝑟 !
𝑛! = 𝑛−𝑟 !
𝑟
𝑓(𝑡𝑖 )
… (1 − 𝑃 𝑇𝑛 < 𝑡𝑟 )
𝑖=1 𝑟
𝑓(𝑡𝑖 )
1 − 𝐹 𝑡𝑟
… (1 − 𝐹 𝑡𝑟 )
𝑖=1 𝑟
𝑛! = 𝑛−𝑟 !
𝑔(𝑡1 , 𝑡2 , … , 𝑡𝑟 ) =
1 − 𝑃 𝑇𝑟+1 < 𝑡𝑟
𝑛!
𝑓(𝑡𝑖 ) 1 − 𝐹(𝑡𝑟 ) 𝑖=1
𝑟 𝑖=1 𝑓(𝑡𝑖 )
𝑛−𝑟 !
𝑛−𝑟
𝑆(𝑡𝑟 )
𝑛−𝑟
(23)
Fungsi densitas peluang bersama data tersensor tipe II dari 𝑡1 , 𝑡2 , … , 𝑡𝑟 untuk 𝑟 < 𝑛 adalah 𝑔(𝑡1 , 𝑡2 , … , 𝑡𝑟 ) = ketahui bahwa 𝑓 𝑡𝑖 = 𝜇𝛽𝑡𝑖 𝛽 −1 𝑒 −𝜇 𝑡
𝑛!
𝑟 𝑖=1 𝑓(𝑡𝑖 )
𝑛 −𝑟 !
𝛽
dan 𝑆 𝑡𝑟
𝑆(𝑡𝑟 )
𝑛−𝑟
karena di
𝛽
= 𝑒 −𝜇 𝑡𝑟 , maka fungsi
likelihoodnya adalah sebagai berikut 𝑛! 𝑔(𝑡1 , 𝑡2 , … , 𝑡𝑟 ) = 𝑛−𝑟 !
𝑛! = 𝑛−𝑟 !
𝑟
𝑓 𝑡𝑖
𝑆 𝑡𝑟
𝑛−𝑟
𝑖=1
𝑟
𝜇𝛽𝑡𝑖 𝛽 −1 𝑒 −𝜇 𝑡𝑖
𝛽
𝑒 −𝜇 𝑡𝑟
𝛽
𝑛 −𝑟
𝑖=1
26
𝑛! = (𝜇𝛽)𝑟 𝑛−𝑟 !
𝑛!
𝑔(𝑡1 , 𝑡2 , … , 𝑡𝑟 ) =
4.2
𝑛−𝑟 !
𝜇𝛽)𝑟
𝑟
𝑡𝑖 𝛽 −1 𝑒 −𝜇 𝑡𝑖
𝛽
𝑒 −𝜇 𝑡𝑟
𝛽
𝑛 −𝑟
𝑖=1
𝑟 𝛽 −1 𝑖=1 𝑡𝑖
𝑟 −𝜇 𝑡 𝑖 𝛽 𝑖=1 𝑒
𝑒 −𝜇 𝑡𝑟
𝛽
𝑛−𝑟
(24)
Penaksiran Parameter Menggunakan Metode Kemungkinan Maksimun Fungsi
likelihood dari distribusi Weibull untuk data tersensor tipe II
memiliki bentuk : 𝐿𝐿 𝜇, 𝛽 =
𝑛! 𝑛−𝑟 !
(𝜇𝛽)𝑟
𝑟 𝛽 −1 𝑖=1 𝑡𝑖
𝑟 −𝜇 𝑡 𝑖 𝛽 𝑖=1 𝑒
𝑒 −𝜇 𝑡𝑟
𝛽
𝑛 −𝑟
(25)
Metode kemungkinan maksimun menggunakan nilai dalam ruang parameter 𝛺 yang bersesuaian dengan nilai kemungkinan maksimun dari data pengamatan sebagai estimasi dari parameter yang tidak diketahui. Dalam aplikasinya 𝐿𝐿 𝜇, 𝛽
menunjukkan fungsi kepadatan peluang
bersama dari sampel acak . Jika 𝛺 ruang parameter yang merupakan interval terbuka dan 𝐿𝐿 𝜇, 𝛽 merupakan fungsi yang dapat diturunkan serta diasumsikan maksimum pada 𝛺, maka persamaan kemungkinan maksimunnya adalah 𝜕𝐿𝐿 𝜇 ,𝛽 𝜕𝜇
= 0 𝑑𝑎𝑛
𝜕 𝐿𝐿 𝜇 ,𝛽 𝜕𝛽
=0
(26)
Jika penyelesaian dari persamaan (26) ada, maka nilai maksimum dari 𝐿𝐿 𝜇, 𝛽 dapat terpenuhi. Tetapi jika penyelesaian dari persamaan (26) sulit untuk diselesaikan maka fungsi 𝐿𝐿 𝜇, 𝛽
dapat ditransformasi ke logaritma
naturalnya. Agar fungsi bernilai maksimun, maka nilai parameternya harus memiliki persamaan:
27
𝜕ln 𝐿𝐿 𝜇, 𝛽 𝜕 ln 𝐿𝐿 𝜇, 𝛽 = 0 𝑑𝑎𝑛 =0 𝜕𝜇 𝜕𝛽 Sehingga di peroleh fungsi
log-likelihood dari distribusi Weibull
sebagai berikut: 𝑟
ln 𝐿𝐿 𝜇, 𝛽 =
𝑟 𝛽
ln 𝑡𝑖 𝛽 −1 +
ln 𝑛! − ln 𝑛 − 𝑟 ! + ln 𝜇 𝑟 + ln 𝛽𝑟 + 𝑖=1
ln 𝐿𝐿 𝜇, 𝛽 = ln 𝑛! − ln 𝑛 − 𝑟 ! + 𝑟 ln 𝜇 + 𝑟 ln 𝛽 + (𝛽 − 1)
ln 𝑒 −𝜇 𝑡 𝑖 + ln 𝑒 −𝜇𝑡 𝑟
𝛽
𝑛−𝑟
𝑖=1 𝑟 𝑖=1 ln 𝑡𝑖
−𝜇
𝑟 𝛽 𝑖=1 𝑡𝑖
− 𝑛 − 𝑟 𝜇𝑡𝑟 𝛽 )
(27)
memperoleh estimasi 𝜇 dan 𝛽 , persamaan (26) diturunkan parsial
Untuk
masing-masing terhadap 𝜇 maupun 𝛽 dan disama dengankan 0 dengan tujuan memaksimumkan fungsi likelihood. Penduga untuk 𝜇 𝑑𝑎𝑛 𝛽 diuraikan sebagai berikut: 4.2.1 Penaksir Untuk 𝝁 Penduga parameter 𝜇 dari distribusi Weibull dapat diperoleh dari memaksimumkan logaritma natural fungsi kemungkinan dari distribusi Weibull yaitu dengan turunan pertama 𝜇 dari logaritma natural fungsi kemungkinannya yang sama dengan nol. Yaitu sebagai berikut: 𝜕ln 𝐿𝐿 𝜇 ,𝛽 𝜕𝜇
=0
(28)
Persamaan (26) di subtitusikan ke persamaan (27), sehingga di peroleh : 𝜕ln 𝐿𝐿 𝜇, 𝛽 𝜕 = ln 𝑛! − ln 𝑛 − 𝑟 ! + 𝑟 ln 𝜇 + 𝑟 ln 𝛽 + 𝛽 − 1 𝜕𝜇 𝜕𝛼 𝑟 𝜇
−
𝑟 𝛽 𝑖=1 𝑡𝑖
𝑟
𝑟
𝑡𝑖 𝛽 − 𝑛 − 𝑟 𝜇𝑡𝑟 𝛽 ) = 0
ln 𝑡𝑖 − 𝜇 𝑖=1
− 𝑛 − 𝑟 𝑡𝑟 𝛽 = 0
𝑖=1
(29) 𝑟 = 𝜇
𝑟
𝑡𝑖 𝛽 + 𝑛 − 𝑟 𝑡𝑟 𝛽 𝑖=1
28
𝜇=
𝑟 𝑟 𝛽 𝑖=1 𝑡𝑖
+ 𝑛 − 𝑟 𝑡𝑟 𝛽
Jadi diperoleh penduga parameter 𝜇 adalah sebagai berikut : 𝜇=
𝑟 𝑟 𝛽 𝑖=1 𝑡𝑖 +
(30)
𝑛−𝑟 𝑡𝑟 𝛽
Untuk melihat apakah 𝜇 =
𝑟 𝑟 𝛽 𝑖=1 𝑡𝑖 +
𝑛−𝑟 𝑡𝑟 𝛽
merupakan titik maksimun dari 𝜇 maka di
buktikan turunan ke dua dari 𝜇 kurang dari nol yaitu : 𝜕 2 ln 𝐿𝐿 𝜇 ,𝛽 𝜕2𝜇
<0
(31) Persamaan (28) di subtitusikan ke persamaan (30),sehingga di peroleh : 𝜕 2 ln 𝐿𝐿 𝜇, 𝛽 𝜕2 𝑟 = 2 − 𝜕2 𝜇 𝜕 𝜇 𝜇 =
𝑟
𝑡𝑖 𝛽 − 𝑛 − 𝑟 𝑡𝑟 𝛽
<0
𝑖=1
−𝑟 <0 𝜇2
Karena turunan kedua 𝜇 dari logaritma natural fungsi kemungkinan kurang dari nol, maka terbukti bahwa 𝜇 =
𝑟 𝑟 𝛽 𝑖=1 𝑡𝑖 +
𝑛−𝑟 𝑡𝑟 𝛽
penduga yang maksimun pada 𝜇.
4.2.2 Penaksir untuk 𝜷 Penduga parameter 𝛽
dari distribusi Weibull dapat diperoleh dari
memaksimumkan logaritma natural fungsi kemungkinan dari distribusi Weibull yaitu dengan turunan pertama 𝛽 dari logaritma natural fungsi kemungkinannya yang sama dengan nol. Yaitu sebagai berikut: 29
𝜕 ln 𝐿𝐿 𝜇 ,𝛽
=0
𝜕𝛽
(32)
Persamaan (26) di subtitusikan ke persamaan (31), sehingga di peroleh : 𝜕 ln 𝐿𝐿 𝜇, 𝛽 𝜕 = 𝜕𝛽 𝜕𝛽
ln 𝑛! − ln 𝑛 − 𝑟 ! + 𝑟 ln 𝜇
𝑟
+ 𝑟 ln 𝛽 + (𝛽 − 1)
𝑟
𝑡𝑖 𝛽 − 𝑛 − 𝑟 𝜇𝑡𝑟 𝛽 )
ln𝑡𝑖 − 𝜇 𝑖=1
=0
𝑖=1
Karena untuk menurunkan persamaan di atas tidak mudah maka digunakan permisalan sebagai berikut :
𝑢 = 𝑡𝑖 𝛽
𝑣 = 𝑡𝑟 𝛽
ln 𝑢 = ln 𝑡𝑖 𝛽
ln 𝑣 = ln 𝑡𝑟 𝛽
ln 𝑢 = 𝛽 ln 𝑡𝑖
ln 𝑣 = 𝛽 ln 𝑡𝑟
1 𝑑𝑢 = ln 𝑡𝑖 𝑑𝛽 𝑢
1 𝑑𝑣 = ln 𝑡𝑟 𝑑𝛽 𝑣
𝑑𝑢 = 𝑡𝑖 𝛽 ln 𝑡𝑖 𝑑𝛽
𝑑𝑣 = 𝑡𝑟 𝛽 ln 𝑡𝑟 𝑑𝛽
Sehingga di peroleh : 𝑟 𝛽
+
𝑟 𝑖=1 ln𝑡𝑖
−𝜇
𝑟 𝛽 𝑖=1 𝑡𝑖
(ln 𝑡𝑖 ) − (𝑛 − 𝑟)𝜇𝑡𝑟 𝛽 (ln 𝑡𝑟 ) = 0
(33)
Subtitusi persamaan (29) ke persamaan (32), sehingga di peroleh : 𝑟 𝛽
−
𝑟 𝑖=1 ln 𝑡𝑖
−
𝑟 𝑟 𝑡 𝛽+ 𝑖=1 𝑖
𝑛−𝑟 𝑡 𝑟 𝛽
𝑟 𝛽 𝑖=1 𝑡𝑖
(ln 𝑡𝑖 ) − (𝑛 − 𝑟)
𝛽
𝑟 𝑟 𝑡 𝛽− 𝑖=1 𝑖
𝑛−𝑟 𝑡 𝑟 𝛽
𝑡𝑟 (ln 𝑡𝑟 ) = 0
(34)
Persamaan (33) adalah persamaan non linear, sehingga nilai dugaan bagi 𝛽 di peroleh melalui pendekatan Metode iterasi Newton-Raphson dengan menganggap bahwa : 𝑓 𝛽 =
𝜕 ln 𝐿𝐿 𝜇, 𝛽 =0 𝜕𝛽 30
Adapun langkah-langkah metode Newton- Raphson untuk mencari dugaan parameter adalah sebagai berikut : 1. Menentukkan nilai awal 𝛽0 2. Menentukkan persamaan 𝑓 𝛽 𝑟
𝑓 𝛽 =𝛽−
𝑟 𝑖=1 ln 𝑡𝑖
−
𝑟 𝑟 𝛽 𝑖=1 𝑡𝑖 +
𝑛−𝑟 𝑡𝑟
𝑟 𝛽 𝑖=1 𝑡𝑖
𝛽
(ln 𝑡𝑖 ) − (𝑛 − 𝑟)
𝑟 𝑟 𝛽 𝑖=1 𝑡𝑖 −
𝑛−𝑟 𝑡𝑟
𝛽
𝑡 𝑟
𝛽
(ln 𝑡𝑟 )
(35)
dan turunan pertama dari 𝑓 𝛽 adalah 𝑑𝑓(𝛽) 𝑑𝛽
𝑓′ 𝛽 = 𝑟
𝑑 𝑟 𝑓 𝛽 = − ln 𝑡𝑖 − 𝑑𝛽 𝛽 𝑖=1 − 𝑛−𝑟 𝑑 𝑟 𝑓 𝛽 = − 𝑑𝛽 𝛽
𝑟 𝛽 𝑖=1 𝑡𝑖
ln 𝑡𝑖 − 𝑖=1
+ 𝑛 − 𝑟 𝑡𝑟 𝑟
𝑟 𝛽 𝑖=1 𝑡𝑖
𝑟
′
𝑟
𝑟
′
𝑡𝑖 𝛽 (ln 𝑡𝑖 ) 𝑖=1 𝛽
− 𝑛 − 𝑟 𝑡𝑟 𝛽
𝑡𝑟 (ln 𝑡𝑟 ) 𝑟
𝑟 𝑟 𝛽 𝑖=1 𝑡𝑖
𝛽
+ 𝑛 − 𝑟 𝑡𝑟 𝛽
𝑡𝑖 𝛽 (ln 𝑡𝑖 ) + ( 𝑛 − 𝑟 𝑡𝑟 𝛽 (ln 𝑡𝑟 ) 𝑖=1
Karena untuk menurunkan persamaan di atas tidak mudah maka digunakan permisalan: 1. 2.
𝑑
𝑟
𝑟
= − 𝛽2
𝑑𝛽 𝛽 𝑑 𝑑𝛽
𝑟 𝑟 𝛽 𝛽 𝑖=1 𝑡𝑖 + 𝑛−𝑟 𝑡𝑟
Missal 𝑢 =
𝑟 𝛽 𝑖=1 𝑡𝑖
(ln 𝑡𝑖 ) + ( 𝑛 − 𝑟 𝑡𝑟 𝛽 (ln 𝑡𝑟 )
𝑟 𝑟 𝑡 𝛽 + 𝑛−𝑟 𝑡 𝛽 𝑟 𝑖=1 𝑖
𝑑𝑢 =− 𝑑𝛽 (
𝑟
𝑟 𝑟 𝛽 𝑖=1 𝑡𝑖
𝛽
𝑡𝑖 𝛽 (ln 𝑡𝑖 ) + ( 𝑛 − 𝑟 𝑡𝑟 𝛽 (ln 𝑡𝑟 )
2
+ 𝑛 − 𝑟 𝑡𝑟 )
𝑖=1
Dan
31
𝑟
𝑡𝑖 𝛽 (ln 𝑡𝑖 ) + ( 𝑛 − 𝑟 𝑡𝑟 𝛽 (ln 𝑡𝑟 )
𝑣= 𝑖=1
Misalkan : 𝑢 = 𝑡𝑖 𝛽
𝑣 = 𝑡𝑟 𝛽
ln 𝑢 = ln 𝑡𝑖 𝛽
ln 𝑣 = ln 𝑡𝑟 𝛽
ln 𝑢 = 𝛽 ln 𝑡𝑖
ln 𝑣 = 𝛽 ln 𝑡𝑟
1 𝑑𝑢 = ln 𝑡𝑖 𝑑𝛽 𝑢
1 𝑑𝑣 = ln 𝑡𝑟 𝑑𝛽 𝑣
𝑑𝑢 = 𝑡𝑖 𝛽 ln 𝑡𝑖 𝑑𝛽
𝑑𝑣 = 𝑡𝑟 𝛽 ln 𝑡𝑟 𝑑𝛽
Maka : 𝑑𝑣 = 𝑑𝛽 𝑑
Jadi 𝑑𝛽 = −
𝑟 𝑟 𝛽 𝛽 𝑖=1 𝑡𝑖 + 𝑛−𝑟 𝑡𝑟
𝑟 𝑟 𝛽 𝛽 𝑖=1 𝑡𝑖 + 𝑛−𝑟 𝑡𝑟
𝑛 − 𝑟 𝑡𝑟 𝛽 ln 𝑡𝑟
2
+
𝑟
𝑡𝑖 𝛽 (ln 𝑡𝑖 )2 + ( 𝑛 − 𝑟 𝑡𝑟 𝛽 (ln 𝑡𝑟 )2 𝑖=1
𝑟 𝛽 𝑖=1 𝑡𝑖
𝑟 𝛽 𝑖=1 𝑡𝑖
𝑟 𝛽 𝑖=1 𝑡𝑖
(ln 𝑡𝑖 ) + ( 𝑛 − 𝑟 𝑡𝑟 𝛽 (ln 𝑡𝑟 )
(ln 𝑡𝑖 ) + ( 𝑛 − 𝑟 𝑡𝑟 𝛽 (ln 𝑡𝑟 )
(ln 𝑡𝑖 )2 + ( 𝑛 − 𝑟 𝑡𝑟 𝛽 (ln 𝑡𝑟 )2
= 𝑢′ 𝑣 + 𝑣 ′ 𝑢 𝑟 𝛽 𝑖=1 𝑡𝑖
(ln 𝑡𝑖 ) +
𝑟 𝑟 𝛽 𝛽 𝑖=1 𝑡𝑖 + 𝑛−𝑟 𝑡𝑟
(36)
Misalkan di ketahui : 𝑆1,𝑓 =
𝑟 𝑖=1 ln 𝑡𝑖 ,
𝑆2,𝑓 =
𝑟 𝛽 𝑖=1 𝑡𝑖 ,
𝑆2,𝑠 = (𝑛 − 𝑟)𝑡𝑟 𝛽 ,
𝑆3,𝑓 =
𝑟 𝛽 𝑖=1 𝑡𝑖 (ln 𝑡𝑖 ),
𝑆3,𝑠 = 𝑛 − 𝑟 𝑡𝑟 𝛽 ln 𝑡𝑟
𝑆4,𝑓 =
𝑟 𝛽 2, 𝑖=1 𝑡𝑖 (ln 𝑡𝑖 )
𝑆4,𝑠 = 𝑛 − 𝑟 𝑡𝑟 𝛽 ln 𝑡𝑟
2
Sehingga di peroleh persamaan (29) sebagai berikut 𝜇=
𝑆1,𝑓
𝑟 + 𝑆2,𝑓 32
Dan diperoleh persamaan (35) sebagai berikut: 𝑑
𝑟
𝑑𝛽 𝑆2,𝑓 +𝑆2 ,𝑠
(𝑆3,𝑓 + 𝑆3,𝑠 ) = − (𝑆
𝑟 2 2,𝑓 +𝑆2,𝑠 )
2
𝑆3,𝑓 + 𝑆3,𝑠
+ (𝑆
𝑟 2,𝑓 +𝑆2,𝑠 )
(𝑆4,𝑓 + 𝑆4,𝑠 )
Jadi di peroleh : 𝑟
𝑓′ 𝛽 = − 2 − −
𝛽
𝑓′ 𝛽 = −
𝑟 𝛽
2
+
𝑟 (𝑆2,𝑓 + 𝑆2,𝑠 )
𝑟 (𝑆2,𝑓 +𝑆2,𝑠 )
2
𝑆3,𝑓 + 𝑆3,𝑠
2
2
𝑆3,𝑓 + 𝑆3,𝑠 − (𝑆
𝑟 2,𝑓 +𝑆2,𝑠)
2
+
𝑟 𝑆 + 𝑆4,𝑠 (𝑆2,𝑓 + 𝑆2,𝑠 ) 4,𝑓
𝑆4,𝑓 + 𝑆4,𝑠
(37)
3. Masukkan persamaan (34) dan persamaan (36) kedalam rumus newtonRaphson sebagai berikut : 𝑥𝑛+1 = 𝑥𝑛 −
𝑓(𝑥𝑛 ) 𝑓′(𝑥𝑛 )
Dan di peroleh nilai dugaan parameter bagi 𝛽 sebagai berikut : 𝛽𝑛+1 = 𝛽𝑛 −
𝛽𝑛+1 = 𝛽𝑛 −
𝛽𝑛+1 = 𝛽𝑛 −
𝛽𝑛+1 = 𝛽𝑛 +
𝑓 𝛽𝑛 𝑓 ′ 𝛽𝑛
−
𝑟 𝛽𝑛
2
+
(𝑆2,𝑓
𝑟 −( 2 − (𝑆2,𝑓 𝛽𝑛
𝑟 ( 2− (𝑆2,𝑓 𝛽𝑛
𝑟 𝑟 + 𝑆1,𝑓 − 𝑆 + 𝑆3,𝑠 𝑆2,𝑓 + 𝑆2,𝑠 3,𝑓 𝛽𝑛 2 𝑟 𝑟 𝑆 + 𝑆3,𝑠 − (𝑆 + 𝑆 ) 𝑆4,𝑓 + 𝑆4,𝑠 + 𝑆2,𝑠 )2 3,𝑓 2,𝑓 2,𝑠
𝑟 𝑟 + 𝑆1,𝑓 − 𝑆 + 𝑆 𝑆3,𝑓 + 𝑆3,𝑠 𝛽𝑛 2,𝑓 2,𝑠 2 𝑟 𝑟 𝑆 + 𝑆3,𝑠 + (𝑆 + 𝑆 ) 𝑆4,𝑓 + 𝑆4,𝑠 + 𝑆2,𝑠 )2 3,𝑓 2,𝑓 2,𝑠
𝑟 𝑟 + 𝑆1,𝑓 − 𝑆 + 𝑆 𝑆3,𝑓 + 𝑆3,𝑠 𝛽𝑛 2,𝑓 2,𝑠 2 𝑟 𝑟 𝑆 + 𝑆3,𝑠 + (𝑆 + 𝑆 ) 𝑆4,𝑓 + 𝑆4,𝑠 + 𝑆2,𝑠 )2 3,𝑓 2,𝑓 2,𝑠
(38)
33
4.3 Contoh Penerapan Berikut ini adalah misalnya data contoh pemilihan lampu jenis 1 dan lampu jenis 2 masing-masing terdapat 18 data dari 40 lampu dengan jenis yang berbeda. Data berasal dari hasil metode simulasi pembangkitan data dengan bantuan software Minitab 14 yang berdistribusi Weibull. Tabel 4.1 data waktu hidup lampu Lampu jenis 1
Lampu jenis II
Waktu hidup (jam)
Waktu hidup (jam)
413.739
389.881
394.767
447.5
329.725
308.78
311.159
374.266
404.653
289.923
420.933
277.532
399.516
452.183
391.136
370.979
382.819
335.026
253.481
368.435
456.871
412.864
416.2
244.231
426.269
372.729
432.673
287.608
391.021
298.819
260.136
486.35
417.851
388.719
297.471
381.032
Dari 40 pengamatan yang ada, hanya diambil 18 hasil pengamatan pertama. Banyaknya pengamatan yang diambil telah ditentukan sebelum penelitian dilakukan. Pada data ini hanya di ambil 18 pengamatan pada masingmasing lampu, sehingga terdapat 22 pengamatan yang tersensor pada setiap jenis lampu. Akan dicari nilai dari penduga kemungkinan maksimun untuk 𝜇 dan , dan menghitung peluang hidup lampu selama 0, 250 , 500 dan 700 jam berdasarkan fungsi daya tahan dan fungsi kegagalan. Untuk
mempermudah perhitungan dalam
mencari
nilai
estimasi
kemungkinan maksimun, dapat menggunakan software Minitab. Dalam skripsi ini 34
menggunakan software Minitab 14. Dalam software ini, fungsi kepadatan peluang yang digunakan adalah 𝛽
𝑓 𝑡 = 𝛼𝛽 (𝑡)𝛽−1 exp −
𝑡 𝛽
(39)
𝛼
Dengan : 𝛽 = 𝑠𝑎𝑝𝑒 𝑝𝑎𝑟𝑎𝑚𝑒𝑡𝑒𝑟 𝛼 = 𝑠𝑐𝑎𝑙𝑒 𝑝𝑎𝑟𝑎𝑚𝑒𝑡𝑒𝑟 Fungsi densitas peluang pada persamaan (39) merupakan merupakan hasil transformasi dari kepadatan peluang dari : 𝛽
𝑓 𝑡 = 𝜇𝛽𝑡 𝛽−1 𝑒 −𝜇 𝑡 , dimana 𝜇 = 𝛼 −𝛽 A. Lampu 1 Dari hasil output software Minitab 14 (lampiran 3), diperoleh nilai shape parameter dari data
adalah 3.80091
dan nilai dari scale parameter adalah
497.369 , sehingga diperoleh : 𝜇 = 497.369−3.80091 𝜇=
1 497.3693.80091
𝜇 = 5.6256 𝑥 10−11 Berikut ini adalah bentuk fungsi kepadatan peluang dari data lampu I, sedangkan bentuk kurvanya ditunjukkan pada gambar 4. 𝑓 𝑡𝑖 = 𝜇𝛽𝑡𝑖 𝛽 −1 𝑒 −𝜇 𝑡𝑖
𝛽
𝑓 𝑡𝑖 = 5.6256 𝑥 10−11 × 3.80091 × 𝑡𝑖 3.80091 −1 × 𝑒 5.6256 𝑥 10
−11 ×𝑡 3.80091 𝑖
(40)
35
Gambar 4. Kurva fungsi kepadatan peluang dari data lampu I Bentuk fungsi daya tahan ditunjukkan pada persamaan (41) dan kurva fungsi daya tahan dari data pada gambar 5. 𝑆 𝑡𝑖 𝑆 𝑡𝑖 = 𝑒 −5.6256 𝑥 10
= 𝑒 −𝜇 𝑡𝑖
𝛽
−11 ×𝑡 3.80091 𝑖
(41)
Gambar 5. Kurva fungsi daya tahan dari data lampu I Bentuk fungsi kegagalan ditunjukkan pada persamaan (42) dan kurva fungsi kegagalan dari data pada gambar 6.
36
𝑡𝑖 = 𝜇𝛽𝑡𝑖 𝛽 −1 𝑡𝑖 = 5.6256 𝑥 10−11 × 3.80091 × 𝑡𝑖 3.80091 −1
(42)
Gambar 6. Kurva fungsi kegagalan dari data Lampu I Jika fungsi daya tahan dan fungsi kegagalan telah didapatkan, maka dapat dihitung peluang hidup lampu (lampu 1) selama 0, 250 , 500 dan 700 jam sebagai berikut :
𝑡𝑖 = 0 𝑆 0 = 𝑒 −5.6256 𝑥 10
−11 ×𝑡 3.80091 𝑖
𝑆 0 = 𝑒 −5.6256 𝑥 10
−11 ×
0 3.80091
𝑠 0 =1 Jadi fungsi daya tahan lampu pada saat 𝑡𝑖 = 0 adalah 1 dan fungsi kegagalannya adalah 0 = 5.6256 𝑥 10−11 × 3.80091 × 0
3.80091 −1
0 =0 37
𝑡𝑖 = 250 𝑆 250 = 𝑒 −5.6256 𝑥 10
−11 ×𝑡 3.80091 𝑖
𝑆 250 = 𝑒 −5.6256 𝑥 10 𝑠 250 = 0.929413
−11 ×
250 3.80091
Jadi fungsi daya tahan lampu pada saat 𝑡𝑖 = 250 adalah 0.929413 dan fungsi kegagalannya adalah 250 = 5.6256 𝑥 10−11 × 3.80091 × 250
3.80091 −1
250 = 0.001113
𝑡𝑖 = 500 𝑆 500 = 𝑒 −5.6256 𝑥 10
−11 ×𝑡 3.80091 𝑖
𝑆 500 = 𝑒 −5.6256 𝑥 10 𝑠 500 = 0.360501
−11 ×
500 3.80091
Jadi fungsi daya tahan lampu pada saat 𝑡𝑖 = 500 adalah 0.360501 dan fungsi kegagalannya adalah 500 = 5.6256 𝑥 10−11 × 3.80091 × 500
3.80091 −1
500 = 0.007756
𝑡𝑖 = 700 𝑆 700 = 𝑒 −5.6256 𝑥 10
−11 ×𝑡 3.80091 𝑖
𝑆 700 = 𝑒 −5.6256 𝑥 10 𝑠 700 = 0.025592
−11 ×
700 3.80091
Jadi fungsi daya tahan lampu pada saat 𝑡𝑖 = 700 adalah 0.025592 dan fungsi kegagalannya adalah 700 = 5.6256 𝑥 10−11 × 3.80091 × 700
3.80091 −1
700 = 0.019903
38
B. Lampu 2 Dari hasil output software Minitab 14 (lampiran 4), diperoleh nilai shape parameter dari data
adalah 3.24946
dan nilai dari scale parameter adalah
454.720, sehingga diperoleh : 𝜇 = 𝛼 −𝛽 𝜇 = 454.720−3.24946 𝜇=
1 454.7203.24946
𝜇 = 2.31082 𝑥 10−9 Berikut ini adalah bentuk fungsi kepadatan peluang dari data lampu I, sedangkan bentuk kurvanya ditunjukkan pada gambar 4. 𝑓 𝑡𝑖 = 𝜇𝛽𝑡𝑖 𝛽 −1 𝑒 −𝜇 𝑡𝑖
𝛽
𝑓 𝑡𝑖 = 2.31082 𝑥 10−9 × 3.24946 × 𝑡𝑖 3.24946 −1 × 𝑒 2.31082 𝑥 10
−9 ×𝑡 3.24946 𝑖
Gambar 7. Kurva fungsi kepadatan peluang dari data lampu 2 Bentuk fungsi daya tahan ditunjukkan pada persamaan (43) dan kurva fungsi daya tahan dari data pada gambar 8. 39
𝑆 𝑡𝑖
= 𝑒 −𝜇 𝑡𝑖
𝛽
𝑆 𝑡𝑖 = 𝑒 −2.31082 𝑥 10
−9 ×𝑡 3.24946 𝑖
(43)
Gambar 8. Kurva fungsi daya tahan dari data lampu 2 Bentuk fungsi kegagalan ditunjukkan pada persamaan (44) dan kurva fungsi kegagalan dari data pada gambar 9. 𝑡𝑖 = 𝜇𝛽𝑡𝑖 𝛽 −1 𝑡𝑖 = 2.31082 𝑥 10−9 × 3.24946 × 𝑡𝑖 3.24946 −1
(44)
Gambar 9 Kurva fungsi kegagalan dari data Lampu 2
40
Jika fungsi daya tahan dan fungsi kegagalan telah didapatkan, maka dapat dihitung peluang hidup lampu (lampu 2) selama 0, 250 , 500 dan 700 jam sebagai berikut :
𝑡𝑖 = 0 𝑆 0 = 𝑒 −2.31082 𝑥 10
−9 ×𝑡 3.24946 𝑖
𝑆 0 = 𝑒 −2.31082 𝑥 10
−9 ×
0 3.249461
𝑠 0 =1 Jadi fungsi daya tahan lampu pada saat 𝑡𝑖 = 0 adalah 1 dan fungsi kegagalannya adalah 0 = 2.31082 𝑥 10−9 × 3.24946 × 0
3.24946 −1
0 =0
𝑡𝑖 = 250 𝑆 250 = 𝑒 −2.31082
𝑥 10 −9 ×𝑡 𝑖 3.24946
𝑆 250 = 𝑒 −2.31082 𝑥 10 𝑠 250 = 0.866628
−9 ×
250 3.24946
Jadi fungsi daya tahan lampu pada saat 𝑡𝑖 = 250 adalah 0.866628 dan fungsi kegagalannya adalah 250 = 2.31082 𝑥 10−9 × 3.24946 × 250
3.24946 −1
250 = 0.001861
𝑡𝑖 = 500 𝑆 500 = 𝑒 −2.31082
𝑥 10 −9 ×𝑡 𝑖 3.24946
41
𝑆 500 = 𝑒 −2.31082 𝑥 10 𝑠 500 = 0.256321
−9 ×(500 )3.24946
Jadi fungsi daya tahan lampu pada saat 𝑡𝑖 = 500 adalah 0.256321 dan fungsi kegagalannya adalah 500 = 2.31082 𝑥 10−9 × 3.24946 × 500
3.24946 −1
500 = 0.008847
𝑡𝑖 = 700 𝑆 700 = 𝑒 −2.31082
𝑥 10 −9 ×𝑡 𝑖 3.24946
𝑆 700 = 𝑒 −2.31082 𝑥 10 𝑠 700 = 0.017205
−9 ×(500 )3.24946
Jadi fungsi daya tahan lampu pada saat 𝑡𝑖 = 700 adalah 0.017205 dan fungsi kegagalannya adalah 700 = 2.31082 𝑥 10−9 × 3.24946 × 700
3.24946 −1
700 = 0.01885
42
Dari proses perhitungan data waktu hidup tersensor tipe II lampu jenis 1 dan lampu jenis 2 tersebut diperoleh, (𝛼, 𝛽)
Jenis lampu Lampu I
𝑆(𝑡𝑖 )
(𝑡𝑖 )
0
1
0
250
0.929413
0.001113
500
0.360501
0.007756
700
0.025592
0.019903
0
1
0
250
0.866628
0.001861
500
0.256321
0.008847
700
0.017205
0.018859
𝑡𝑖 (jam)
5.6256 𝑥 10−11 , 3.80091
Lampu 2 2.31082 𝑥 10−9 , 3.24946
Tabel 4.2 Perhitungan Untuk Data Waktu Hidup Tersensor Tipe II Lampu Jenis 1 dan Lampu Jenis 2 Dari data hasil perhitungan waktu hidup lampu jenis 1 dan lampu jenis 2 pada tabel (4.2) , dipilih lampu jenis 1
karena lampu jenis 1 memiliki fungsi
daya tahan (S(t)) dan dan fungsi kegagalan (h(t)) lebih baik di banding lampu jenis 2. Dan Pada data hasil perhitungan dapat dilihat bahwa semakin besar atau semakin lama waktu uji hidup lampu maka peluang hidup lampu semakin kecil (mendekati nol) sedangkan Pada laju kerusakan h(t) semakin besar atau semakin lama waktu hidup lampu maka laju kerusakannya semakin besar.
43
BAB V PENUTUP 5.1 Kesimpulan Dari pembahasan, diperoleh beberapa kesimpulan mengenai data tahan hidup tersensor tipe II yang berdistribusi Weibull, yaitu sebagai berikut: a. Model
fungsi kepadatan peluang bersama untuk data tersensor tipe II
berdasarkan model distribusi Weibull adalah 𝑛! 𝑔(𝑡1 , 𝑡2 , … , 𝑡𝑟 ) = 𝑛−𝑟 !
𝑟
𝑓 𝑡𝑖
𝑆 𝑡𝑟
𝑛−𝑟
𝑖=1
Model fungsi kepadatan peluang bersama ini diperoleh dengan mencari fungsi kemungkinan maksimun dari data tersensor tipe II yang berdistribusi Weibull. Fungsi likelihood untuk data tersensor tipe II tersebut adalah 𝑛! 𝐿𝐿 𝜇, 𝛽 = (𝜇𝛽)𝑟 𝑛−𝑟 !
𝑟
𝑟
𝑡𝑖
𝛽 −1
𝑖 =1
𝑒 −𝜇 𝑡𝑖
𝛽
𝑒 −𝜇 𝑡𝑟
𝛽
𝑛−𝑟
𝑖=1
b. Menentukan nilai estimasi kemungkinan maksimun untuk 𝜇 dan 𝛽 yaitu 𝜇 dan 𝛽 . Dari fungsi kemungkinan untuk data tersensor tipe II, dapat diperoleh estimasi kemungkinan maksimun untuk 𝜇 dan 𝛽 yaitu
𝜇=
𝑟 𝑟 𝛽 𝑖=1 𝑡𝑖
+ 𝑛 − 𝑟 𝑡𝑟 𝛽
dan
44
𝛽𝑛+1 = 𝛽𝑛 + 𝑟 ( 2− (𝑆2,𝑓 𝛽
𝑟 𝑟 + 𝑆1,𝑓 − 𝑆 + 𝑆 𝑆3,𝑓 + 𝑆3,𝑠 𝛽𝑛 2,𝑓 2,𝑠 2 𝑟 𝑟 𝑆 + 𝑆3,𝑠 + 𝑆 + 𝑆4,𝑠 (𝑆2,𝑓 + 𝑆2,𝑠 ) 4,𝑓 + 𝑆2,𝑠 )2 3,𝑓
c. Hasil pengolahan dari data tersensor tipe II diperoleh untuk lampu 1 nilai estimasi untuk 𝜇 = 5.6256 𝑥 10−11 , dan estimasi untuk 𝛽 = 3.80091 sedangkan untuk lampu 2 nilai estimasi untuk 𝜇 = 2.31082 𝑥 10−9 dan estimasi untuk 𝛽 = 3.24946 . Pada data hasil perhitungan dapat dilihat bahwa semakin besar atau semakin lama waktu uji hidup lampu maka peluang hidup lampu semakin kecil (mendekati nol) sedangkan pada laju kerusakan h(t) semakin besar atau semakin lama waktu uji hidup lampu maka laju kerusakannya semakin besar. 5.2 Saran Skripsi ini membahas tentang model waktu hidup dengan menentukan estimasi kemungkinan maksimun untuk 𝜇 dan 𝛽 yang merupakan parameterparameter dari distribusi Weibull. Dalam penulisan ini hanya membahas model waktu hidup untuk data tersensor tipe II. Oleh karena itu disarankan adanya penelitian lebih lanjut mengenai model tahan hidup dengan menggunakan distribusi Weibull untuk data tersensor tipe I dan untuk data tersensor tipe III dan juga untuk distribusi-distribusi lain pada data berkelompok.
45
DAFTAR PUSTAKA
Abadyo dan Permadi, H. 2005. Metode Statistika Praktis. Malang: UM Press. Bain, L.J and Engelhardt. 1992. Introduction to Probability and Mathematical Statistics. 2𝑛𝑑 𝑒𝑑. California: Duxbury Press. Collett, D. 2004. Modelling Survival Data in Medical Research. 2𝑛𝑑 𝑒𝑑. London: Chapman and Hall. Djauhari, M. A. 1990. Statistik Matematik. Bandung: Institut Teknologi Bandung. Lawless, J.F. 1982. Statistical Model and Methods for Lifetime Data. New York: John Wiley and Sons, Inc. Lawless, J.F. 2003. Statistical Model and Methods for Lifetime Data. 2𝑛𝑑 𝑒𝑑. New Jersey: John Wiley and Sons Inc. Walpole, R. E. 1993. Pengantar Statistika Edisi ke-3. Jakarta: Gramedia Pustaka Utama. Walpole, R. E dan Myers, R. H. 1986. Ilmu Peluang dan Statistika Untuk Insinyur dan Ilmuwan. Terjemahan. Bandung: Institut Teknologi Bandung.
46
47
Lampiran I. data bangkitan untuk lampu 1 sebanyak 𝑛 = 40, 𝛼 = 500, 𝛽 = 4
413.739
452.183
432.673
499.023
267.893
311.159
368.435
417.851
453.564
298.870
399.516
372.729
427.234
271.168
465.065
253.481
486.350
400.655
414.635
207.975
426.269
394.767
356.577
450.734
378.965
260.136
404.653
297.654
382.689
388.088
389.881
391.136
472.976
456.765
479.008
374.266
456.871
397.345
370.435
365.934
Dan dipilih 𝑟 = 18 sebagai berikut : 413.739
389.881
394.767
311.159
374.266
404.653
399.516
452.183
391.136
253.481
368.435
456.871
426.269
372.729
432.673
260.136
486.35
417.851
48
Lampiran 2. Data bangkitan untuk lampu 2 sebanyak 𝑛 = 40, 𝛼 = 3 , 𝛽 = 450 447.500
391.021
289.364
436.136
289.923
297.471
256.478
253.069
370.979
308.780
374.932
346.473
412.864
277.532
237.453
456.417
287.608
335.026
253.135
253.231
388.719
244.231
300.417
367.159
329.725
298.819
450.953
243.350
420.933
381.032
258.673
299.818
382.819
412.350
362.891
388.851
416.200
399.476
378.729
375.265
Dan di pilih 𝑟 = 18 447.5
329.725
308.78
289.923
420.933
277.532
370.979
382.819
335.026
412.864
416.2
244.231
287.608
391.021
298.819
388.719
297.471
381.032
49
Lampiran 3. Output Hasil Analisis Survival Menggunakan Minitab 14 untuk lampu 1 Variable: lampu 1 Censoring Information Uncensored value Right censored value
Count 18 22
Type 2 (Failure) Censored at 19 Estimation Method: Maximum Likelihood Distribution:
Weibull
Parameter Estimates Parameter Shape Scale
Estimate 3.80091 497.369
Standard Error 0.803264 35.4948
95.0% Normal CI Lower Upper 2.51188 5.75143 432.447 572.038
Log-Likelihood = -127.424 Goodness-of-Fit Anderson-Darling (adjusted) = 146.581
50
Lampiran 4.Output Hasil Analisis Survival Menggunakan Minitab 14 untuk lampu 2 Variable: lampu 2 Censoring Information Uncensored value Right censored value
Count 18 22
Type 2 (Failure) Censored at 19 Estimation Method: Maximum Likelihood Distribution:
Weibull
Parameter Estimates Parameter Shape Scale
Estimate 3.24946 454.720
Standard Error 0.675158 37.7254
95.0% Normal CI Lower Upper 2.16248 4.88281 386.478 535.012
Log-Likelihood = -127.250 Goodness-of-Fit Anderson-Darling (adjusted) = 146.869
51
