ŘEŠENÉ ÚLOHY Z TSP MU

ŘEŠENÉ ÚLOHY Z TSP MU Výklady, vysvětlení, komentáře

Tento materiál vznikl v rámci realizace projektu: Globální vzdělávání pro udržitelný rozvoj v sítí spolupracujících škol, obce a ekologických sdružení. Reg. číslo CZ.1.07/1.1.00/14.0143

Předmluva Základem přípravy na testy studijních předpokladů Masarykovy univerzity v Brně (TSP MU), stejně jako v případě dalších podobných testů, je práce s testovými sadami – řešení úloh, které byly dříve použity v rámci přijímacích řízení. Tato elektronická publikace poskytuje všem zájemcům desítky a desítky detailně vyřešených úloh z předchozích přijímacích řízení. V případě mnoha subtestů (numerické myšlení, symbolické myšlení, …) je tato publikace v podstatě učebnicí, v případě analytického myšlení se jedná o „praktický výklad“, který je rozšířením naší publikace o výrokové logice v TSP MU. Úlohy, jejichž řešení zde prezentujeme, pocházejí z variant č. 01. Doporučujeme všem, kteří se chtějí připravovat skutečně systematicky, aby po přečtení a důkladném promyšlení námi vyřešených úloh, zkusili vyřešit ještě „klony úloh“ v dalších variantách. Z autorskoprávních důvodů není součástí této publikace zadání – ta jsou k dispozici bezplatně ke stažení ze stránek Masarykovy univerzity v Brně: www.muni.cz/tsp. Hodně štěstí (nejen) při přípravě na TSP MU přejí autoři.

Úloha č. 11, varianta 01, ročník 2012 Úloha zaměřená na úpravy výrazů. Hledáme mezi nabízenými odpovědmi hodnotu, která je RŮZNÁ od X. Jaké znalosti a dovednosti jsou zapotřebí k řešení této úlohy? 

Převod „procent na zlomek“



Krácení zlomků

Postup řešení

Vyjádříme X v podobě zlomku, rovněž tak jednotlivé nabízené odpovědi. X = 5 % ze 4. Víme, že pět procent je jedna dvacetina, čili X = 1/20 ze 4, což je rovno 4/20 = 1/5. Nyní upravíme nabízené odpovědi do podoby zlomků: a) šedesát procent jsou tři pětiny (to je dobré si pamatovat), tedy hodnota a) je (1/3) . (3/5) = 1/5. b) dvacet pět procent je čtvrtina, tedy hodnota b) je (1/4) . (4/5) = 1/5. c) osmdesát procent jsou čtyři pětiny (to je opět vhodné si pamatovat), tedy c) má hodnotu (4/5) . (1/4) = 1/5. d) má hodnotu (1/4) . (1/2) = 1/8, což je samozřejmě hodnota různá od X. Možnost e) není již zapotřebí prozkoumávat. Správná odpověď je tedy d).

Úloha č. 12, varianta 01, ročník 2012 Úloha zaměřená na úpravy a porovnávání výrazů Jaké znalosti a dovednosti jsou zapotřebí k řešení této úlohy? 

Porovnávání záporných čísel



Úpravy zlomků s odmocninou ve jmenovateli

Postup řešení

V prvním vztahu máme na levé straně -0,3, čili -3/10. 3/10 jsou méně než 3/9. V záporné části číselné osy tedy musí platit -3/10 > -3/9. Správnou odpověď tudíž budeme vybírat z možností b) a c). Ve druhém vztahu bude zapotřebí upravit výraz na pravé straně – především zbavit se odmocniny ve jmenovateli. Čitatele i jmenovatele tohoto zlomku proto vynásobíme √3 (vynásobením čitatele i jmenovatele se hodnota zlomku nezmění). V čitateli tudíž budeme mít 3√2√3, což je rovno 3√6. Ve jmenovateli dostaneme √3√3, což je rovno právě 3. Trojky v čitateli a jmenovateli se pochopitelně zkrátí (napište si na papír pořádně), a dostaneme tak hodnotu √6. Výrazy vpravo a vlevo se tudíž rovnají. Správná odpověď je tedy b).

Úloha č. 13, varianta 01, ročník 2012 V úloze jde o pochopení principu práce s výrazy obsahujícími symboly operací, které jsou zadány tabulkami. Jaké znalosti a dovednosti jsou zapotřebí k řešení této úlohy?



Porozumění pojmu operace



Schopnost práce s operací zadanou pomocí tabulky

Postup řešení

Nejprve je zapotřebí uvědomit si, jak „fungují“ operace dané tabulkami. Ukažme si to na příkladu: potřebujeme zjistit, jaká je hodnota výrazu např. 2 ʘ 1. Jak budeme postupovat? Podíváme se v tabulce operace ʘ do řádku s číslem dvě a sloupečku s číslem jedna – výsledek bude na průsečíku, jak vidíme v tabulce níže.

Hodnota výrazu 2 ʘ 1 je tedy rovna číslu 2. Podobně funguje operace plus v kolečku, kterou pro pohodlnost budeme značit pouhým symbolem +. (Raději si ji ale při prohlížení vytištěného materiálu „okroužkujte“, aby se výrazy shodovaly s tím, co je v originálním zadání.) Nejprve se pokusme najít hodnotu výrazu {(2 ʘ 1) + [(1 + 1) ʘ 1]} ʘ 1 čili výrazu, který máme v zadání. Budeme postupovat tak, že určíme hodnoty v „nejvnitřnějších“ závorkách, čili {(2 ʘ 1) + [(1 + 1) ʘ 1]} ʘ 1 = {2 + [2 ʘ 1]} ʘ 1 (protože 2 ʘ 1 = 2, a dále, 1 + 1 = 2. To vše je vidět z tabulek operací, prozkoumejte podrobně!) Vzniklý výraz dále upravujme (žlutě jsou vždy označeny části výrazu, které upravujeme v následujícím kroku): {2 + [2 ʘ 1]} ʘ 1 = {2 + 2} ʘ 1 = 1 ʘ 1 = 1. Správnou odpověď budeme tedy hledat mezi možnostmi b) a c). Podívejme se nyní na druhou část úlohy. Vzhledem k tomu, že se rozhodujeme mezi dvěma variantami, stačí zjistit hodnotu výrazu (1 + 1) ʘ {1 ʘ [(2 ʘ ?) + 2]} v případě, že za otazník dosadíme 2 (čili odpověď b). Pokud by výsledná hodnota tohoto výrazu byla rovna jedné, jak je v zadání, budeme mít správnou odpověď b), jinak to bude c). Zkusme to! Žlutě ukazujeme ty výrazy, s nimiž pracujeme: (1 + 1) ʘ {1 ʘ [(2 ʘ 2) + 2]} = 2 ʘ {1 ʘ [1 + 2]} = 2 ʘ {1 ʘ 0} = 2 ʘ 0 = 0. Vidíme, že výsledek by v tomto případě byl nula, nicméně podle zadání musí být výsledek jedna. Proto bude správnou odpovědí c), ale pro úplnost si to ještě ukážeme (v reálném testu bychom se samozřejmě s touto věcí nezdržovali): (1 + 1) ʘ {1 ʘ [(2 ʘ 0) + 2]} = 2 ʘ {1 ʘ [0 + 2]} = 2 ʘ {1 ʘ 2} = 2 ʘ 2 = 1. Správná odpověď je tedy c).

Úloha č. 14, varianta 01, ročník 2012 Odhalení vztahů v „pyramidovém“ schématu. Jaké znalosti a dovednosti jsou zapotřebí k řešení této úlohy? 

Schopnost odhalit jednoduché vztahy mezi čísly

Postup řešení

V zadání úlohy máme jakési pyramidové schéma (samozřejmě nevadí, že „pyramida míří špičkou doprava, nikoliv vzhůru“). V číselných pyramidách jde typicky o to, že dané číslo vzniká jakýmsi způsobem ze sousedních čísel. Podíváme-li se ke špičce naší pyramidy, vidíme, že 22 = 11 + 11, dále 19 = 11 + 8. Vztah je tedy jasný. Je zřejmé, že na místě nejhornějšího otazníku musí být číslo 5, neboť 5 = 3 + 2. Tím je vlastně už automaticky určen výsledek. Pro kontrolu ještě můžeme určit třeba nejspodnější otazník: 3 = 1 + 2. Správná odpověď je tedy a).

5. (úloha č. 15, varianta 01, ročník 2012) V úloze jde o sestavení rovnice na základě číselného diagramu. Jaké znalosti a dovednosti jsou zapotřebí k řešení této úlohy? 

Schopnost porozumět číselnému diagramu a zapsat vztahy v diagramu pomocí rovnic



Úpravy rovnic

Postup řešení

Soustřeďme se v tuto chvíli na čtverec:

Předpokládejme, že v levém horním rohu je hodnota x. Diagram říká, že vynásobíme-li x dvěma a od tohoto mezivýsledku odečteme trojku, dostaneme se na stejné místo jako v případě, že od x nejprve odečteme trojku a tento mezivýsledek poté vynásobíme pěti. Pokud tedy je v levém horním rohu x, pak v pravém horním rohu je výraz 2x a v levém dolním rohu výraz (x – 3). Pokud od 2x odečteme trojku, dostáváme se na pravý dolní roh. Ten ale musí být stejný jako když (x – 3) vynásobíme pěti. A to je klíč k řešení celé úlohy: 2x – 3 = 5(x – 3). Tuto rovnici upravíme do podoby 2x – 3 = 5x – 15, a dále do podoby 15 – 3 = 5x – 2x, čili 12 = 3x, tedy x = 4. V levém horním rohu námi vyříznutého čtverce tedy musí být číslo 4, v pravém dolním rohu tedy bude pětka. Abychom zjistili hodnotu B, vynásobíme pětku dvojkou a od výsledku odečteme čtyřku. Je zřejmé, že hodnota B je rovna 6. Nyní nám zbývá ještě vyjádřit určit hodnotu A. Postupujeme tedy „proti srsti“ z levého

horního rohu vyříznutého čtverce, kde je, jak víme, čtyřka. Pro které číslo platí, že přičteme-li k němu dvojku, dostaneme čtyřku? Odpověď je triviální, musí to být dvojka. Které číslo po vydělení trojkou dává dvojku? Samozřejmě, že šestka. A je tedy také rovno šesti. V úloze ovšem určujeme hodnotu součtu A + B, což je 6 + 6 = 12. Správná odpověď je tedy e).

Úloha č. 16, varianta 01, ročník 2012 V úloze vybíráme vhodná čísla na místa otazníků v číselném obrazci. Jaké znalosti a dovednosti jsou zapotřebí k řešení této úlohy? 

Znalost elementárních početních operací



Schopnost všimnout si jednoduchých zákonitostí v číselné posloupnosti

Postup řešení

Přestože zadání má podobu číselného obrazce, ve skutečnosti hraje „grafika“ jen malou roli. Jde v podstatě jen o to, že v diagramu jsou zapsány postupně dvě číselné posloupnosti. První z nich má podobu: 1

2

?

7

11

16

22.

První věc, kterou vždy s číselnou posloupností zkoušíme (neroste-li „příliš rychle“), je určení diferencí – rozdílů sousedních členů (tj. kolik musíme k danému členu posloupnosti přičíst, abychom se dostali hodnotou k členu bezprostředně následujícímu). V mnoha případech bývá tato posloupnost již „pravidelná“: 1

+1

2

+?

?

+?

7

+4

11

+5

16

+6

22

Je zřejmé, že posloupnost diferencí (podbarvená posloupnost) se vždy zvyšuje o jedničku. Na místě otazníku tedy musí být číslo čtyři, neboť 2 + 2 = 4, což „sedí“ i v druhém vztahu 4 + 3 = 7. Vidíme, že budeme volit mezi odpověďmi a) a d). Druhá posloupnost vypadá následovně: 1

2

?

24

120.

Diference tentokrát patrně nepřicházejí v úvahu, protože posloupnost roste „relativně rychle“. Vyzkoušejme proto součiny (přesněji řečeno kvocienty): 1

.2

2

.?

?

.?

24

.5

120.

Posloupnost je relativně krátká, ale vzhledem ke zkušenosti s předchozí částí úlohy nás napadne, že činitelé rostou vždy o jedničku: 1

.2

2

.3

?

.4

24

.5

120.

Na místě tohoto otazníku tedy musí být číslo 6, neboť 2 . 3 = 6, což vyhovuje i druhé části: 6 . 4 = 24. Správná odpověď je tedy d).

Úloha č. 17, varianta 01, ročník 2012 V úloze nejprve určíme, jaké cifry vyhovují podmínkám výpočtu v zadání a následně určíme hodnotu požadovaného součinu. Jaké znalosti a dovednosti jsou zapotřebí k řešení této úlohy? 

Znalost postupu písemného násobení

Postup řešení

Úlohu si převedeme na situaci: X87 .5 ––––– 2XY5 Postupujeme podle pravidel násobení pod sebou: 7 krát 5 je 35, ve výsledku je sepsána pětka, což je správně, trojku si „pamatujeme“, a postupujeme dále. 8 krát 5 je čtyřicet, 40 + 3 = 43, trojku sepíšeme (tj. víme, kolik je Y), a pamatujeme si čtyřku. Vzhledem k tomu, že druhým činitelem v součinu je pětka a výsledek je „dva tisíce a něco“, vidíme, že na místě X bude čtyřka či pětka. Vzhledem k tomu, že si z předchozího řádu „pamatujeme“ čtyřku, je jasné, že na místě X musí být číslice čtyři. 4 . 5 = 20; 20 + 4 = 24, výsledek tedy začíná na 24, čtyřka je na druhém místě výsledku, což je správně. Součin X . Y = 12. Správná odpověď je tedy b).

Úloha č. 18, varianta 01, ročník 2012 V úloze máme určit, která čísla se NEHODÍ na místa otazníků Jaké znalosti a dovednosti jsou zapotřebí k řešení této úlohy? 

Schopnost všímat si jednoduchých vztahů mezi čísly



Schopnost všímat si „indicií“, které autor poskytl v grafické podobě úlohy

Postup řešení

Nejprve si všimneme, jakým způsobem napovídá forma: čísla nalevo od trojúhelníku jsou ve stejných útvarech, sousedí spolu – autor tím pravděpodobně chtěl naznačit, že jistým způsobem patří k sobě. Postupujeme metodou nejmenšího odporu: „patří k sobě – zkusíme je sečíst“. Hned u prvního schématu je vše jasné: 6 + 4 + 8 = 18. Číslo 18 je ovšem také součinem čísel 9 a 2, které s osmnáctkou sousedí. V úloze hledáme taková čísla, která se nehodí na místa otazníků. Vzhledem k tomu, že v pravém horním trojúhelníku v posledním schématu je dvojka, je jasné, že „výsledek“, tj. číslo v největším trojúhelníku je dvojnásobkem čísla, které se skrývá za nejpravějším otazníkem. Správnou odpovědí tedy musí být hned možnost a), neboť 11 není dvojnásobkem čísla 9. U ostatních doplnění naznačené vztahy (součet čísel ve čtverečcích je roven číslu ve velkém trojúhelníku, které je zároveň součinem čísel v pravých trojúhelnících). Správná odpověď je tedy a).

Úloha č. 19, varianta 01, ročník 2012 Tento typ úloh (definování nové operace) patří k nejméně oblíbeným. Ve skutečnosti se jedná o úlohy poměrně jednoduché, v nichž jde prakticky jen o dosazování. Jaké znalosti a dovednosti jsou zapotřebí k řešení této úlohy? 

Znalost pojmu operace



Znalost úprav výrazů a rovnic.

Postup řešení

Na operaci se můžeme dívat jako na předpis, který nám říká, jakým způsobem ze vstupních čísel (argumentů) dospějeme k výsledné hodnotě (do černé skříňky hodím argumenty, vypadne mi výsledek). Jaký je onen předpis (čili jak funguje černá skříňka), je popsáno v definici dané operace. Jak tedy přečíst a pochopit zápis v zadání: a ⊗ b = (a + b)/2? Zápis říká: „použijeme-li operaci ⊗ na argumenty a a b, dostaneme jako výsledek (a + b)/2“. Jinými slovy, výraz a ⊗ b je zkratkou za výraz (a + b)/2. A to obecně, pro libovolné hodnoty argumentů a a b. Budeme-li chtít např. zjistit, čemu se rovná 5 ⊗ 7, budeme vědět, že je to podle definice totéž, co (5 + 7)/2, což je 6. V definici jsme zkrátka všude přepsali na místo áčka pětku, na místo béčka sedmičku. Pro lepší pochopení vše demonstrujme ještě graficky: ⊗

je totéž, co ( + )/2

Budeme-li potřebovat zjistit, jaká je hodnota nějakého výrazu, v němž se vyskytuje symbol operace ⊗, jednoduše na modrá místa vyplníme všude stejné číslo (neznámou, proměnnou, …), na zelená totéž. Nyní by nám již nemělo činit problém řešení zmíněné úlohy. Nejprve budeme zjišťovat, jaká je hodnota x. To se dozvíme, vyřešíme-li rovnici (8 ⊗ x) ⊗ x = 11. Jak budeme při řešení postupovat? Nejprve zjistíme, čemu je rovno (8 ⊗ x). To je snadné, vzhledem k naší grafické podobě definice: 8 ⊗ x je totéž, co ( 8 + x )/2. Rovnici tedy upravíme do podoby ((8 + x)/2) ⊗ x = 11. (Nahradili jsme „stejné stejným“.) Pro přehlednost doporučujeme, abyste si napsali tuto rovnici na papír s vodorovnou zlomkovou čarou a zbavili se tím vnitřních závorek. Nyní tedy potřebujeme zjistit, čemu je rovno ((8 + x)/2) ⊗ x. Opět použijeme naší grafickou podobu definice: (8 + x)/2 ⊗ x je totéž, co ( (8 + x)/2 + x )/2. Zase zde doporučíme, abyste si přepsali tuto rovnici do podoby složeného zlomku. Víme tedy, že ((8 + x)/2) ⊗ x je rovno ( (8 + x)/2 + x )/2, čili místo rovnice (8 ⊗ x) ⊗ x = 11 budeme řešit rovnici ((8 + x)/2 + x)/2 = 11, což už je přímočaré, jak uvidíme níže. Tato rovnice totiž obsahuje už jen nám dobře známé operace sčítání a dělení. Rovnici vynásobíme dvěma, čímž se zbavíme dvojky ve jmenovateli, a dostaneme: (8 + x)/2 + x = 22, což můžeme dále upravit na tvar (8 + x)/2 = 22 – x, a opět vynásobíme dvěma, abychom se zbavili druhého jmenovatele, takže nyní máme: 8 + x = 44 – 2x. Nyní jsou úpravy již jednoduché, x + 2x = 44 – 8. Vidíme tedy, že 3x = 36. x je tedy rovno 12. Nyní nám již zbývá jediné, zjistit hodnotu 2 ⊗ x, kde x je rovno 12, čili zjistit hodnotu výrazu

2 ⊗ 12. To už je ale jednoduché vzhledem k tomu, co víme. 2 ⊗ 12 je totiž ( 2 + 12 )/2 a to je 7. Správná odpověď je tedy b).

Úloha č. 20, varianta 01, ročník 2012 V úloze hledáme čísla na místa otazníků, která doplní tabulku tak, aby byl zachován „systém“. Jaké znalosti a dovednosti jsou zapotřebí k řešení této úlohy? 

Schopnost všímat si „charakteristických“ čísel



Schopnost všímat si jednoduchých vztahů mezi čísly



Pravidla pro práci s mocninami

Postup řešení

Nejprve si všimneme „charakteristických čísel“ číslo 9 je vlastně 3 na druhou, 25 je 5 na druhou, 8 je dvě na třetí, 64 je čtyři na třetí. To indikuje, že v úloze půjde pravděpodobně o počítání s mocninami. Je dobré si připomenout pravidla pro počítání s mocninami, které známe ze (základní) školy. 1) kterékoliv přirozené číslo na nultou je rovno jedné. 2) a-k = 1/ak, kde a, k jsou libovolná přirozená čísla větší než nula, tedy např. 2-1 = 1/21 = 0,5 Poté, co jsme si připomněli tato jednoduchá pravidla, můžeme na tabulku hledět poněkud jinýma očima: 0,5 = 2-1

? 0,1 = 3-2

8 = 23 1 = 30 ?

0,008 = 5-3

9 = 32 4 = 41

0,2 = 5-1

64 = 43 25 = 52

?

Z takto upravené tabulky už je zřejmé, jaké zákonitosti se v ní objevují. Každý sloupec tabulky přísluší stejné mocnině, shora dolů se základy zvyšují postupně o jedničku, začíná se se základem dva (v námi ukázané části tabulky). V jednotlivých řádcích jsou postupně vzrůstající mocniny (v naší ukázce od -3 do 3) od stejného základu. Na místě nejlevějšího otazníku tedy bude číslo 2 -3 = 0,125, na místě prostředního 40 = 1 a na místě nejpravějšího 53 = 125. Kompletní tabulka by tedy vypadala takto: 2-3

2-2

2-1

20

21

22

23

3-3

3-2

3-1

30

31

32

33

4-3

4-2

4-1

40

41

42

43

5-3

5-2

5-1

50

51

52

53

Správná odpověď je tedy e).

Úloha č. 21, varianta 01, ročník 2012) Úloha zaměřená na schopnost identifikovat zákonitosti v symbolických objektech. Jaké znalosti a dovednosti jsou zapotřebí k řešení této úlohy? 

Schopnost všímat si relevantních vlastností objektů.

Postup řešení

V úloze jde o „počítání“: budeme se zabývat čísly, která jsou v levých horních rozích karet, dále počty vrcholů velkých obrazců uvnitř karet, dále počty malých černě vyplněných útvarů a počty vrcholů malých černě vyplněných útvarů. Zákonitost je (pravděpodobně) následující: číslo v levém horním rohu + číslo udávající počet vrcholů velkého obrazce uvnitř karty = počet malých černých útvarů + počet vrcholů (libovolného) malého černého útvaru v rámci jedné karty. V případě první karty tedy jde o rovnost: 0 (číslo v levém horním rohu) + 6 (počet vrcholů šestiúhelníku) = 2 (dva malé černé čtverce) + 4 (počet vrcholů čtverce). V případě druhé karty máme rovnost: 4 + 3 = 4 + 3, v případě třetí: 6 + 5 = 5 + 6, v případě čtvrté: 4 + 4 = 3 + 5. Pouze v případě karty č. 5 nelze podobný postup aplikovat. Správná odpověď je tedy e). (Za pomoc při sestavování odpovědi děkujeme kol. Pavlu Ficalovi.)

Úloha č. 22, varianta 01, ročník 2012 Úloha zaměřená na doplňování členů symbolických posloupností. Jaké znalosti a dovednosti jsou zapotřebí k řešení této úlohy? 

Schopnost hledat zákonitosti v řadách symbolů



Znalost práce s pyramidovými schématy

Postup řešení

Jednotlivé obrazce si myšlenkově rozdělíme „na poloviny podle svislé osy“. Všimneme si, že pravé strany jsou shodné vždy v liniích „od jihozápadu na severovýchod“, levé strany jsou shodné vždy po liniích „od jihovýchodu na severozápad“. Pravá strana hledaného obrazce tedy musí být obdélníková, čili již nyní víme, že to bude některá z možností a) až c). Podobným způsobem budeme přistupovat k levé straně hledaného obrazce. Ta musí být půlkruhová, aby byla shodná se všemi „jihovýchodními“ sousedy, čili vylučujeme možnost b). Nyní se budeme věnovat barevným plochám. V pyramidových schématech jde často o to, že daný obrazec (s výjimkou těch v nejspodnějších řadách) vznikl nějakým způsobem ze svého levého dolního a pravého dolního souseda. V našem případě levá část daného obrazce v pyramidě pochází barevně (a rozvržením barevných ploch) z levého spodního souseda, pravá z pravého. Konkrétně tedy hledaný obrazec bude mít levou horní část černou, levou dolní bílou, pravou horní i dolní bílou. Správná odpověď je tedy c).

Úloha č. 23, varianta 01, ročník 2012 V úloze jde o pochopení symbolického zápisu – kódování času. Jaké znalosti a dovednosti jsou zapotřebí k řešení této úlohy? 

Schopnost identifikovat pravidelnost v symbolickém zápisu



Schopnost odhalit způsob kódování nějaké veličiny.

Postup řešení

Symboly před dvojtečkou kódují hodiny, symboly za dvojtečkou kódují minuty. „Hlavní symboly“ (hvězda, kosočtverec, srdce, půlkruh) kódují – v případě, že jsme před dvojtečkou – po řadě 12, 3, 6, 9 hodin, v případě, že jsme za dvojtečkou po řadě 0, 15, 30, 45 minut. Tečka za „hlavním symbolem“ v případě hodin znamená posun dopředu o hodinu, tečka před „hlavním symbolem“ posun o hodinu zpět. Jedná-li se o určení minut, znamená tečka za „hlavním symbolem“ posun o 5 min dopředu, tečka před „hlavním symbolem“ posun o 5 min zpět. Hledaný čas tedy bude mít v hodinách dvanáctku (před dvojtečkou je hvězdička, nic jiného), čili volíme mezi odpovědí d) a e), v minutách 50, neboť půlkruh určuje 45 min, a vzhledem k tomu, že tečka je za „hlavním symbolem“, musíme čas posunout o 5 min dopředu, čili výsledný čas je 12:50. Správná odpověď je tedy e).

Úloha č. 24, varianta 01, ročník 2012 Úloha založená na ověřování podmínek, které se týkají symbolického zápisu. Jaké znalosti a dovednosti jsou zapotřebí k řešení této úlohy? 

Bezchybné čtení zadání a symbolických řetězců v nabízených odpovědích.

Postup řešení

V úloze jde o ověřování platnosti/neplatnosti podmínek ze zadání v řadách symbolů, které jsou nabízenými odpověďmi. Postupujeme vylučovací metodou. V těchto úlohách se vyplatí začínat podmínkami, které se rychle a snadno ověřují, v našem případě třeba podmínkou „modrý čtverec ani zelený kruh nesmějí být na začátku ani na konci řady“. Na základě tohoto pravidla vylučujeme možnosti b) a c). Dále: vzhledem k tomu, že dva červené trojúhelníky nemohou být bezprostředně za sebou, vyloučíme možnost e). Podíváme se nyní na podmínku „mezi modrým kruhem a zeleným čtvercem musí být aspoň dva symboly nebo modrý trojúhelník“ – ta není splněna v možnosti a), kde ve druhé polovině řady je mezi modrým kruhem a zeleným čtvercem je pouze červený kruh. Zůstala nám tedy jen jedna jediná možnost. Správná odpověď je tedy d).

Úloha č. 25, varianta 01, ročník 2012 V úloze jde o vyjadřování hodnoty symbolického zápisu. Jaké znalosti a dovednosti jsou zapotřebí k řešení této úlohy? 

Schopnost přesné práce

Postup řešení

Hodnotu všech kusů zařízení si převedeme na „židle“ (prohlédneme-li si legendu, zjistíme, že židle má ze všech kusů zařízení nejnižší hodnotu, a tudíž se hodí jako vhodná jednotka na přepočítávání). Dvojskříň má stejnou hodnotu jako 8 židlí, stůl jako 3 židle, samostatná skříň 4 židle, televize 6 židlí. Vzhledem k uvedenému budeme už jen sčítat hodnoty zařízení v jednotlivých bytech. Byt č. 1 – hodnota 29 židlí Byt č. 2 – hodnota 31 židlí Byt č. 3 – hodnota 27 židlí Byt č. 4 – hodnota 29 židlí Nejvyšší hodnotu má tedy byt č. 2. Správná odpověď je tedy a).

Úloha č. 26, varianta 01, ročník 2012 Úloha zaměřená na ověřování splněnosti (slovně popsaných) podmínek. Jaké znalosti a dovednosti jsou zapotřebí k řešení této úlohy? 

Pozorné čtení



Vylučovací metoda

Postup řešení

Nejprve si povšimneme faktu, že pořadí znaků v zápise nemusí odpovídat pořadí písmen v kódu. Můžeme tedy operovat jen s počty symbolů v zašifrovaném zápise a s počty samohlásek/souhlásek v kódu. Kód musí obsahovat právě dvě samohlásky, nikoliv více (v šifrovaném zápise jsou dva prázdné/bílé znaky), tyto dvě samohlásky jsou navíc stejné (protože po zašifrování mají stejné symboly). Vyřazujeme tedy c) (obsahuje tři samohlásky), d) obsahuje sice dvě samohlásky, ale ty se neshodují, totéž v případě e). Z podoby zašifrovaného zápisu také vidíme, že všechny souhlásky v kódu jsou navzájem různé (protože všechny černé symboly jsou navzájem různé). Musíme tedy vyškrtnout b), neboť písmeno S se tam vyskytuje dvakrát. Správná odpověď je tedy a).

Úloha č. 27, varianta 01, ročník 2012 Úloha je založená na kódování písmen pomocí grafických symbolů. Jaké znalosti a dovednosti jsou zapotřebí k řešení této úlohy? 

Pozorné čtení a aplikování vylučovací metody

Postup řešení

Podíváme se na symboly, které příslušejí jednotlivým písmenům v přeložené části. Vidíme, že křížek/plus je kód písmena A, srdíčko je kódem písmena P, půlelipsa je kódem písmena O. V nabízených odpovědích tedy budeme hledat takový kód, jehož prostřední písmena jsou PAO. Zjevně tedy musíme vyřadit možnosti a) a e). Dále vyřadíme možnost b), protože F je zakódováno jako „naklopený křížek“, ale poslední symbol v kódu je kolečko. Z podobného důvodu vyřazujeme též odpověď c) – první symbol neznámého kódu je „sluníčko“, kdežto písmeno C je zakódováno jako „čtvereček postavený na vrchol“.

Správná odpověď je tedy d).

Úloha č. 28, varianta 01, ročník 2012 Úloha, jejímž hlavním principem je doplňování dalších členů v symbolické posloupnosti Jaké znalosti a dovednosti jsou zapotřebí k řešení této úlohy? 

Schopnost všímat si zákonitostí v symbolických posloupnostech.

Postup řešení

Vidíme, že v řetězci symbolických slov se pravidelně střídají slova s pěti symboly a čtyřmi symboly. Na základě známé části řetězce se snažíme zjistit co nejvíce pravidel, která se v řetězci uplatňují. Následně budeme postupovat vylučovací metodou nad nabízenými odpověďmi. Jakých zákonitostí si můžeme všimnout: •

Druhý a čtvrtý symbol v pětici jsou shodné a určují poslední symbol v následné čtveřici – to, co je v pětici na druhém a čtvrtém místě, je v následující čtveřici na místě posledním. (Zákonitost první)

•

Prostředním symbolem pětice začíná následující čtveřice – tj. symbol na třetím místě pětice je prvním symbolem následující čtveřice. (Zákonitost druhá)

•

První a poslední symbol pětice se shodují. (Zákonitost třetí)

•

Předposledním symbolem ve čtveřici je symbol, který začíná následující pětice. (Zákonitost čtvrtá)

Nyní se podívejme na nabízené možnosti. Protože v poslední známé čtveřici (před otazníkem) je předposledním symbolem hvězdička, musí následující pětice začínat právě touto hvězdičkou (Zákonitost čtvrtá). Vyřazujeme proto možnost e), která začíná jiným symbolem. V možnosti a) není splněna Zákonitost první, stejně tak v případě d). V odpovědi c) není splněna Zákonitost druhá. (Zákonitost třetí je splněna všude.) Správná odpověď je tedy b).

Úloha č. 29, varianta 01, ročník 2012 Jiná úloha, jejímž hlavním principem je doplňování dalších členů v symbolické posloupnosti. Jaké znalosti a dovednosti jsou zapotřebí k řešení této úlohy? 

Schopnost všímat si zákonitostí v symbolických posloupnostech.

Postup řešení

Princip vývoje je relativně jednoduchý: při přechodu z jedné růstové fáze do následující se: •

černý pupen změní na bílý,

•

bílý pupen rozvětví na dvě části – na „levou“ část s bílým pupenem a „pravou“ část s černým pupenem.

Keř v zadání má 6 černých a 5 bílých pupenů. Jak bude vypadat po první růstové fázi? Namísto zmíněných 6 černých bude mít 6 bílých, místo zmiňovaných 5 bílých bude mít 5 bílých a 5 černých, čili dohromady 11 bílých a 5 černých. Po druhé fázi se 11 bílých změní na 11 bílých a 11 černých, 5 černých se smění na 5 bílých. Ve výsledku tedy budeme mít 16 bílých a 11 černých. Správná odpověď je tedy d).

Úloha č. 30, varianta 01, ročník 2012 Úloha je založena na využití vylučovací metody. Jaké znalosti a dovednosti jsou zapotřebí k řešení této úlohy? 

Pozorné čtení při ověřování podmínek

Postup řešení

Procházíme jednotlivé podmínky v zadání a nabídnuté odpovědi. Vylučujeme ty možnosti, které některou z podmínek nesplňují. Podmínka „první tón byl vyšší než druhý tón“ byla splněna ve všech nabídnutých odpovědích. Podmínka „druhý tón byl nejnižší“ není splněna v možnosti d), neboť číslice 4 se v ní vyskytuje ještě na jednom místě (posledním). Podmínka „třetí a čtvrtý tón byly vyšší než zbylé čtyři tóny“ není splněna v možnosti e), neboť v možnosti e) je nejvyšším tónem ten první. Vyloučili jsme tedy zatím odpovědi d) a e). Podmínka „pátý tón byl nižší než šestý tón“ není splněna v c), takže jej rovněž vylučujeme. Poslední podmínka, „šestý tón byl nižší než první tón“ není splněna v b), a tak zbývá jako jediná možnost a). Správná odpověď je tedy a).

Úloha č. 42, varianta 01, ročník 2012 Úloha je zaměřena na usuzování v predikátové logice. Jaké znalosti a dovednosti jsou zapotřebí k řešení této úlohy? 

Porozumění větám, které obsahují kvantifikátory („každý, žádný, někdo, nikdo, …“)

Postup řešení

Vzhledem k tomu, že každý z předmětů má právě jednu z vlastností: světlá/tmavá a právě jednu z vlastností velký/malý/střední, existuje (před tím, než vezmeme v úvahu podmínky 1. a 2. ze zadání) právě šest možností, „jaké mohou být vlastnosti předmětů v bedýnce“: světlý-velký, světlý-malý, světlý-střední, tmavý-velký, tmavý-malý, tmavý-střední. Nyní budeme analyzovat podmínky ze zadání. Nejprve si objasněme jejich význam. Věta „Každý malý i každý velký předmět je tmavý.“ říká, že neexistuje malý ani velký předmět, který by nebyl tmavý, jinými slovy, ať si vezmeme jakýkoliv předmět, který je malý nebo velký, tak už musí být tmavý. Když tato podmínka platí, znamená to, že malý předmět nemůže být světlý a zároveň také to, že velký předmět nemůže být světlý. Pokračujme dále. Věta „Žádný tmavý předmět v bedýnce není ani střední, ani velký.“ říká, že neexistuje tmavý předmět, který by byl střední a neexistuje tmavý předmět by byl velký. Tyto informace si přehledně zaznamenáme do tabulky: světlý

velký

malý

neexistuje (věta 1.)

neexistuje (věta 1.)

střední

tmavý

neexistuje (věta 2.)

neexistuje (věta 2.)

V bedýnce tedy mohou být pouze předměty, které mohou být v zelených polích, zbylá pole jsme vyřadili. Vidíme např., že každý tmavý předmět v bedýnce je malý, dále že každý světlý předmět v bedýnce je střední, všechny střední předměty v bedýnce jsou světlé, v bedýnce nemohou být žádné velké předměty, všechny střední předměty jsou světlé atp. V úloze ovšem určujeme tvrzení, které nevyplývá z uvedených informací. Je zřejmé, že tvrzení „Všechny předměty v bedýnce jsou střední nebo velké.“ ze zadání nevyplývá, neboť podle zadání mohou v bedýnce být malé tmavé věci. Čili na základě zadání není pravda, že by všechny předměty v bedýnce musely být střední nebo velké. Správná odpověď je tedy a).

Úloha č. 43, varianta 01, ročník 2012 Myšlenka úlohy odpovídá ideji používané v sudoku. Jaké znalosti a dovednosti jsou zapotřebí k řešení této úlohy? 

Schopnost používat metodu rozboru případů

Postup řešení

Podívejme se nejprve na nejlevější otazník. Na jeho místo vybíráme některé z písmen X, Y, Z, V. Z nich budeme postupně vylučovat možnosti, které neodpovídají pravidlům popsaným v zadání. Vzhledem k tomu, že nejlevější otazník je v tučně vyznačené oblasti (čtverci 2x2) spolu s písmenem Z, určitě na místě otazníku Z být nemůže (ve čtverci 2x2 je každé písmeno právě jednou). V řádku s tímto otazníkem je X, ve sloupci s tímto otazníkem je písmeno Y, obě písmena tedy také musíme vyloučit. Jediné písmeno, které nám pro tuto pozici zbývá, je V. Prohlédnutím nabídnutých možností zjistíme, že existuje pouze jediná nabídnutá odpověď, která má na první pozici V – ta tedy musí být správnou odpovědí. (Toto je patrně nejrychlejší řešení – v případě, že bychom začali řešit od nejhornějšího otazníku, dospěli bychom taktéž ke stejnému řešení, ale trochu delší cestou.) Obecná poznámka: v případě, že se řešení skládá z několika částí (např. určujeme čísla či písmena na místa několika otazníků, vždy po získání částečného řešení prohlížíme nabízené možnosti, abychom případně řešení ukončili v první chvíli, kdy je to jen možné). Správná odpověď je tedy c).

Úloha č. 44, varianta 01, ročník 2012 V úloze jde o to uvědomit si, která tvrzení na základě zadání platí nutně (tedy vyplývají) a která nikoliv. Jaké znalosti a dovednosti jsou zapotřebí k řešení této úlohy? 

Schopnost analyzovat zadání a odvozovat z něj další nutně pravdivé závěry.



Pochopení pojmu protipříklad.

Postup řešení

V úloze určujeme tvrzení, které nevyplývá z uvedených informací. Budeme tedy brát jedno tvrzení po druhém a zjišťovat, zda ze zadání vyplývá či nikoliv. Jakmile narazíme na první, které nevyplývá, ukončíme práci. Podívejme se na tvrzení a). Tvrzení se týká biologického kroužku, a podílu chlapců a dívek.

Pětinu studentů 2.A tvoří chlapci, jinými slovy, chlapců je ve 2.A právě 20 procent. I kdyby všichni chlapci z 2.A chodili do biologického kroužku (do něhož chodí 80 procent všech studentů 2.A), zbývalo by v něm ještě stále dost dívek, aby tvrzení a) ze zadání vyplývalo. Proč? Předpokládáme totiž, že počet chlapců v biologickém kroužku je právě 20 procent celkového počtu studentů ve třídě a vzhledem k tomu, že počet studentů, kteří navštěvují biologický kroužek je 80 procent celkového počtu studentů, je zřejmé, že počet dívek v biologickém kroužku musí být přesně 60 procent celkového počtu studentů ve třídě 2.A. Tedy i v krajním případě, kdy jsou všichni chlapci v biologickém kroužku, je počet dívek v tomto kroužku 3x vyšší než chlapců. Tvrzení a) tedy vyplývá. Pokračujme analýzou tvrzení b). Toto tvrzení se dotýká jak matematického, tak biologického kroužku. Zadání ovšem neříká nic o tom, kolik studentů navštěvuje oba a kolik právě jeden z nich – nevíme, „jaký je překryv mezi těmito dvěma kroužky“. Je možné, že překryv je minimální, tj. 30 procent (80 + 50 = 130, čili 30 procent jsou „procenta nad stovku“, která tvoří překryv). Zadání ale nevylučuje ani možnost, že by všichni, kteří chodí na matematický kroužek, byli zároveň i členy biologického kroužku. Čili studenti v matematickém kroužku by byli podmnožinou studentů v biologickém kroužku. V takovém případě by ovšem platilo, že by 50 procent studentů 2.A navštěvovalo jak matematický, tak biologický kroužek. Nelze tedy tvrdit, že by jich nutně muselo být právě 30 procent, jak nabízí odpověď b). Mohlo by jich být totiž maximálně až 50 procent. Tato situace by byla protipříkladem, který dokazuje, že b) nevyplývá ze zadání. Obecná poznámka: to, že nějaké tvrzení nevyplývá ze zadání znamená, že existuje situace, kterou zadání připouští (tj. nevylučuje), ve které ovšem dané tvrzení neplatí. Správná odpověď je tedy b).

Úloha č. 45, varianta 01, ročník 2012 Hlavní ideou úlohy je pojem tranzitivity v grafu. Jaké znalosti a dovednosti jsou zapotřebí k řešení této úlohy? 

Schopnost pochopit podmínku zapsanou „formálnějším způsobem“



Schopnost systematické práce

Postup řešení

Pokusme se objasnit, co znamená pojem tranzitivity. Nejvhodnější je, pokud si na kraj papíru nakreslíte tři body X, Y a Z a dvě šipky z X do Y a dále z Y do Z. Máme-li v celém diagramu pouze tyto tři body a dvě šipky, není samozřejmě pravidlo tranzitivity splněno. Museli bychom doplnit šipku vedoucí z X přímo do Z. Tranzitivita vlastně znamená: „dostanu-li se po šipkách z nějakého startu do nějakého cíle přes něco, musím tam mít i šipku přímou, ze startu do cíle“. Pojďme tedy doplňovat chybějící šipky do grafu v zadání. Postupujme systematicky. Vezměme si bod A: z A se dostaneme po šipkách do E (tu tam máme rovnou, cesta z A do E nevede přes jiný bod), z A se ale po šipkách dostanu do F, ale šipku z A do F nemám, tedy musím jí doplnit, aby tranzitivita byla v této situaci splněna – pro konkrétní body A, E, F použijeme definici „Jestliže směřuje šipka z A do E a současně směřuje šipka z E do F, pak také směřuje šipka z A do F.“ Podobným způsobem postupuji dále: z A se dostanu do C přes F, čili z A se musím dostat do C i přímo. Doplňuji tedy šipku z A do C. Úplně stejným způsobem doplním šipku z A do D. Z bodu A se již jinam po šipkách nedostanu, tudíž mohu přejít na další bod, čili např. k B. Z B se dostanu po šipkách do E (šipka do A tam již byla), doplňuji tedy B → E, atp.

Následující seznam ukazuje, které šipky jsme museli doplnit: A → F, A → C, A → D, B → E, B → F, B → D, E → C, E → D, F→D Správná odpověď je tedy e).

Úloha č. 46, varianta 01, ročník 2012 Jedná se u úlohu typu zebra. Jaké znalosti a dovednosti jsou zapotřebí k řešení této úlohy? 

Schopnost zorientovat se sadě provázaných podmínek



Schopnost postupovat metodou rozboru případů

Postup řešení

Začneme od poslední podmínky: Monika nemá v pokoji bonsaj. Musí ji tedy mít v pokoji Míša. Nyní se podívejme na fikus: kdyby jej měla v pokoji Monika, pak by kaktus a orchideu musela mít v pokoji Míša (která už má bonsaj). Tím bychom se ovšem dostali do sporu se zadáním, neboť víme, že Míša má v pokoji nejvýše dvě rostliny. Tudíž fikus musí mít v pokoji Míša. Tím je plně vyčerpána její kapacita, protože Míša může mít v pokoji rostliny pouze dvě. Výsledné rozdělení tedy je: Míša – bonsaj, fikus; Monika – kaktus, orchidea, pelargonie. V úloze hledáme tvrzení, jehož nepravdivost vyplývá z uvedených informací, jinými slovy to, které je určitě nepravdivé na základě zadání. Vidíme, že to je tvrzení „Míša má v pokoji kaktus“. Správná odpověď je tedy d).

Úloha č. 41, varianta 01, ročník 2012 Úloha patří mezi „lhářské“ úlohy, které byly v TSP dříve velmi oblíbené, potom se na několik let přestaly vyskytovat, a následně se opět objevily. Jaké znalosti a dovednosti jsou zapotřebí k řešení této úlohy? 

Základy výrokové logiky



Schopnost použít metodu rozboru případů.

Postup řešení

Nejprve si uvědomíme, co říká Patova věta „Jsem poctivec právě tehdy, když je jím i Mat.“. Jedná se o ekvivalenci, která tvrdí totéž, jako kdyby řekl Jsme oba poctivci, anebo oba padouši, jinými slovy, Máme stejnou povahu. Jde tedy o situaci, kdy Pat říká: „Máme stejnou povahu.“ a Mat říká „Pat je poctivec.“. V těchto úlohách typicky postupujeme metodou rozboru případů. Rozebereme tedy dvě možnosti: 1. Věta, kterou pronesl Pat, je pravdivá. Pokud věta, kterou pronesl Pat je pravdivá, pak Pat musel být poctivec – protože pouze poctivci pronášejí pravdivé věty. Předpoklad pravdivosti této věty ovšem znamená, že platí

to, co říká, tj. Oba mají stejnou povahu. A je-li Pat poctivec, pak musí být poctivec i Mat, což znamená, že i Matova věta musí platit. Matova věta ovšem říká, že Pat je poctivec a vše tedy sedí, k žádnému rozporu jsme se nedostali – tudíž tato situace (Patova věta je pravdivá a také fakt, že oba jsou poctivci) nastat může. Zajímavější je ovšem druhý případ: 2. Věta, kterou pronesl Pat, je nepravdivá. Kdyby byla Patova věta nepravdivá, musel by Pat být padouch (protože pouze padouši mohou pronášet nepravdivé věty). Předpoklad nepravdivosti Patem pronesené věty ovšem také znamená, platí opak toho, co Pat říkal. To znamená, že platí, že oba mají různou povahu. Za dané situace je Pat padouchem, a protože oba jsou různých povah, musí být Mat poctivcem. Je-li Mat poctivcem, musí platit to, co říká, tedy musí platit, že Pat je poctivec. To je ovšem spor! Tudíž tento předpoklad (Patova věta je nepravdivá) vede ke sporu, takže situace nastat nemůže. Závěr: jediná situace, která může nastat je ta, že oba jsou poctivci a oba řekli pravdivé věty. Správná odpověď je tedy a). 2. (úloha č. 47, varianta 01, ročník 2012) Úloha testující pochopení základů výrokové logiky. Jaké znalosti a dovednosti jsou zapotřebí k řešení této úlohy? 

Základy výrokové logiky



Znalost postupu vytvoření tabulek pravdivostních hodnot

Postup řešení

Máme před sebou dva složené výroky, které vznikly aplikací výrokových spojek na elementární výroky Půjdu do kina., označme jej K, a výrok Půjdu do školy., označme jej S. Výroky 1. a 2. nabývají různých pravdivostních hodnot v závislosti na pravdivostních hodnotách těchto elementárních výroků. Nás zajímají ovšem pouze takové situace (dané pravdivostními hodnotami elementárních výroků), ve kterých je první tvrzení pravdivé a druhé tvrzení nepravdivé. Proto si utvoříme tabulku pravdivostních hodnot. Výrok Jestliže půjdu do školy, nepůjdu do kina. je implikace, má tvar S → ¬K, výrok Do školy nepůjdu a půjdu do kina. je konjunkce, má tvar ¬S ∧ K. S

K

S → ¬K

¬S ∧ K

I.

1

1

0

0

II.

1

0

1

0

III.

0

1

1

1

IV.

0

0

1

0

Nevíte-li, jak sestrojovat tabulky pravdivostních hodnot, podívejte se do zmiňovaného materiálu. Žlutě jsme označili řádky, ve kterých je první výrok pravdivý a druhý nepravdivý, jak žádá zadání. Jsou to situace II. a IV., tj. situace, kdy elementární výrok Jdu do školy. je pravdivý a elementární výrok Jdu do kina. nepravdivý (II.) a situace, kdy jsou oba tyto elementární výroky nepravdivé (IV). Vidíme tedy, že v obou situacích je výrok K (Jdu do kina.) nepravdivý, tedy v obou situacích platí, že Nejdu do kina. je výrok pravdivý. Protože je pravdivý ve všech situacích, které odpovídají

zadání, tak pravdivost tohoto výroku ze zadání vyplývá. Správná odpověď je tedy a).

Úloha č. 48, varianta 01, ročník 2012 Úloha zaměřená na základní pojmy výrokové logiky. Jaké znalosti a dovednosti jsou zapotřebí k řešení této úlohy? 

Znalost pojmu „být ekvivalentním výrokem“



Schopnost konstruovat tabulky pravdivostních hodnot

Postup řešení

Pro začátek budeme postupovat tabulkovou metodou. Identifikujeme ve výrocích v zadání elementární výroky: Výrok A: Učím se anglicky. Výrok I: Učím se italsky. Výrok X ze zadání má podobu implikace, Jestliže se učím anglicky, neučím se italsky., tj. symbolicky A → ¬I. Výrok 1. má podobu disjunkce, ¬A ∨ ¬I. Výrok 2. má podobu implikace, I → ¬A. Výrok 3. má podobu implikace, ¬A → I. Podívejme se nyní na tabulku pravdivostních hodnot jednotlivých výroků a připomeňme si, co znamená, že dva výroky jsou ekvivalentní: znamená to, že mají stejné sloupce v tabulce pravdivostních hodnot. Budeme tedy v tabulce hledat takové sloupce, které jsou shodné se sloupcem výroku X. A

I

A → ¬I

¬A ∨ ¬I

I → ¬A

¬A → I

I.

1

1

0

0

0

1

II.

1

0

1

1

1

1

III.

0

1

1

1

1

1

IV.

0

0

1

1

1

0

Okamžitě vidíme, že sloupec výroku v zadání (šedivě podbarvený) je shodný se sloupcem výroku 1. a 2. (modře podbarvené), nikoliv 3. Správná odpověď je tedy d).

Úloha č. 49, varianta 01, ročník 2012 Úloha zaměřená na otestování schopnosti korektně usuzovat v predikátové logice. Jaké znalosti a dovednosti jsou zapotřebí k řešení této úlohy? 

Pochopení významu výroku s kvantifikátory



Pochopení pojmu protipříklad

Postup řešení

Při řešení úlohy si nejprve vyjasníme význam jak výroku X, tak výroků 1.–5. Věta „Někteří studenti matematiky nejsou chytří.“ říká, že existuje alespoň jeden student matematiky, který chytrý není. (V predikátové logice, kam tato úloha spadá, se nedělá rozdíl mezi jednotným a množným číslem, „někteří jsou“ říká totéž, co „některý je“.) Výrok „Všichni chytří studenti jsou studenty medicíny“ říká, že každý student, který je chytrý, je zároveň studentem medicíny. Jinými slovy, chytří studenti jsou podmnožinou studentů medicíny. Věta ovšem neříká, zda existují studenti medicíny kteří by chytří nebyli (možná existují, možná ne – věta to nepopírá). Výrok „Někteří studenti matematiky jsou studenty fyziky“ říká, že existuje někdo, kdo studuje zároveň jak matematiku, tak fyziku. Výrok „Někeří studenti fyziky nejsou chytří.“ říká, že existuje někdo, kdo jednak studuje fyziku a zároveň není chytrý. Výrok „Žádný student fyziky není chytrý“ říká, že neexistuje nikdo, kdo by studoval fyziku a zároveň byl chytrý. Věta mimochodem neříká, zda vůbec existují nějací studenti fyziky – jen oznamuje, že pokud existují, tak nejsou chytří. Výrok „Někteří chytří nejsou studenty matematiky.“ říká, že existuje někdo, kdo je chytrý, ale zároveň není studentem matematiky. Teď trochu zabrousíme do teorie. Klíčové je uvědomit si, co znamená, že výrok X vyplývá z nějaké sady výroků S: znamená to, že v KAŽDÉ situaci, kdy jsou splněny všechny výroky ze sady S, je splněn i výrok X. To znamená, že platnost výroků z S už „vynucuje“ platnost výroku X. Jinými slovy že nemůže nastat situace, kdy by výroky ze sady S platily, avšak samotný výrok X nikoliv, čili X na základě S nutně platí. Naopak to, že výrok X ze sady S NEVYPLÝVÁ znamená, že může nastat situace, kdy platí všechny výroky z S, ale výrok X nikoliv. (Takovéto situaci se říká protipříklad.) Je zřejmé, že pokud výrok X mluví o něčem, o čem se výroky v sadě S vůbec nezmiňují, pak samozřejmě výrok X z S nevyplývá. Jedná se možná o trochu abstraktnější fakta, nicméně je důležité promyslet si, co vlastně říkají. Bude se nám to v mnoha dalších situacích hodit. Nyní budeme postupovat vylučovací metodou: budeme postupně procházet jednotlivé nabízené odpovědi a určovat, zda z nich výrok X vyplývá či nikoliv. a) Výroky 3. a 4. hovoří o vztahu chytrosti a studia fyziky, ale o vztahu chytrosti a studia matematiky neříkají nic. Výrok X z nich tedy vyplývat nemůže. b) Ze samotného výroku 1. výrok X vyplývat nemůže – argument je podobný, jako v předchozím případě. Výrok 1. totiž hovoří pouze o vztahu chytrosti a studia medicíny, ale neříká nic o vztahu chytrosti a matematiky. c) Z věty 2. víme, že musí existovat někdo, kdo studuje matematiku a zároveň studuje fyziku. Z věty 3. víme, že musí existovat někdo, kdo studuje fyziku, a není chytrý. V těchto případech ale nemusí jít o tutéž osobu, čili nemůžeme tvrdit s jistotou, že bychom museli mít studenta, který studuje matematiku a zároveň není chytrý. Z této dvojice tedy výrok X také nevyplývá. d) Díky větě 2. víme, že existuje někdo, kdo studuje jak matematiku, tak fyziku. Na tohoto studenta ovšem můžeme aplikovat tvrzení 4., totiž že „Žádný student fyziky není chytrý.“ Tudíž, tento student, o jehož existenci víme z věty 2., se vyznačuje tím, že studuje matematiku i fyziku, a zároveň není chytrý. Máme tedy studenta matematiky, který není chytrý – tudíž nutně platí, že někteří studenti matematiky nejsou chytří, což je právě

tvrzení X. Správná odpověď je tedy d).

Úloha č. 50, varianta 01, ročník 2012 Opět úloha zaměřená na otestování schopnosti korektně usuzovat v predikátové logice. Jaké znalosti a dovednosti jsou zapotřebí k řešení této úlohy? 

Pochopení významu výroku s kvantifikátory

Postup řešení

Nejprve si vyjasníme význam jednotlivých výroků v zadání a následně si jejich významy znázorníme graficky. Výrok „Všechny knihy jsou krásné.“ znamená, že ať si vezmu jakoukoliv knihu, pak s jistotou vím, že je krásná. Jinými slovy, knihy jsou podmnožinou krásných věcí. (Možná, že existují ještě jiné krásné objekty než knihy, o nich ale tento výrok nevypovídá nic.)

Výrok "Některé krásné objekty nejsou knihy." říká, že existuje alespoň jeden krásný objekt, který není knihou. Čili „uvnitř krásných objektů a zároveň mimo knih cosi je“. Přidáme-li tuto informaci k té předchozí, dostáváme se do situace znázorněné takto:

Výrok „Vše, co je krásné, je užitečné.“ říká, že ať si vezmu jakýkoliv krásný objekt, pak s jistotou vím, že je užitečný. Tedy, krásné objekty jsou podmnožinou užitečných věcí. Dáme-li uvedené informace dohromady, dostáváme se k situaci, kterou znázorníme takto:

Naším úkolem je určit, které z uvedených výroků vyplývají z těchto tří výroků v zadání. Napřed si objasníme, co výroky 1.–3. říkají. 1. Výrok „Něco, co je užitečné, není kniha.“ odpovídá tomu, že existuje nějaký užitečný předmět, který není knihou. V řeči diagramů to znamená, že existuje objekt uvnitř užitečných objektů, který je ovšem mimo knihy. Otázka tedy zní, zda platnost tří výroků v zadání (Všechny knihy jsou krásné., ...) již zaručuje platnost výroku 1. Ano, objekt, o kterém se hovoří v 1. existuje – v diagramu jej máme označený křížkem. Čili výrok 1. vyplývá z dané trojice. Jiné zdůvodnění by bylo: Některé krásné objekty nejsou knihy, ale tento krásný objekt musí být (díky větě „Vše, co je krásné, je užitečné.“) zároveň užitečný. Tedy víme, že existuje něco, co není knihou a zároveň je to užitečné, čili něco, co je užitečné, není kniha. Výrok 2. ze zadání jistě nebude vyplývat: O vztahu „užitečnosti a krásy“ se vyjadřuje pouze výrok „Vše, co je krásné, je užitečné“, ale ten netvrdí, že by užitečné věci musely být krásné – připouští, že by mohly naopak existovat věci, které by sice byly užitečné, ale nebyly krásné. Tedy připouští, že by výrok 2. neplatil. Tudíž výrok 2. nevyplývá. Výrok 3. naopak ze trojice v zadání určitě vyplývá: dáme-li dohromady výroky „Všechny knihy jsou krásné." a „Vše, co je krásné, je užitečné“, získáme fakt, že „Všechny knihy jsou užitečné.“. V řeči diagramů to znamená, že na základě toho, že knihy jsou podmnožinou krásných objektů a také toho, že krásné objekty jsou podmnožinou užitečných objektů, můžeme korektně tvrdit, že knihy jsou podmnožinou užitečných objektů, což je právě význam tvrzení 3. Správná odpověď je tedy d).

Úloha č. 61, varianta 01, ročník 2012 Úloha zaměřená na hledání hlavní myšlenky textu Jaké znalosti a dovednosti jsou zapotřebí k řešení této úlohy? 

Schopnost uvažovat o textu jako celku



Schopnost vystihnout to podstatné

Postup řešení

Otázka zní, jakou hlavní otázku si autor textu pokládá. Jedná-li se o hlavní otázku, pak se text musí z větší části obsahovat pasáže, které na tuto otázku nějakým způsobem

odpovídají nebo vyjadřují nějakým způsobem postoj autora k této otázce. Při řešení budeme postupovat vylučovací metodou. Možnost a): v textu je sice několikrát zmíněn útlý věk a rané dětství, nicméně o tom, že by nějaký věk byl kritický pro rozvoj hudebního nadání, se v textu nedočteme. Text pojednává především o absolutním sluchu, nikoliv o hudebním nadání. Tato možnost tedy není správná. U těchto úloh je někdy šikovné, pokusíme-li postupovat „obráceně“ – tj. klást si otázku, jak by text musel vypadat v momentě, kdy by a) bylo správnou odpovědí. V takovém případě by se zajisté v textu objevovaly informace o tom, „…že do určitého věku je třeba pro hudební nadání udělat cosi, a po tomto určitém věku už to nemá takový učinek atp.“, čemuž se text v zadání ani nepřibližuje. Odpověď b) správná je: první část textu řeší souvislost hudebního prostředí a absolutního sluchu, je zmíněna i otázka genetických dispozic. Ve druhé části se píše o korelaci určitého jazykového prostředí a absolutního sluchu. (Víte, co znamená korelace? Podívejte se do Wikipedie!) Pro úplnost projděme ještě ostatní možnosti. c): kdyby tato možnost byla správným řešením, pak by se text musel jednak zabývat převážně nevidomými (ti se v textu objevují, nicméně zdaleka ne v „dostatečně významném měřítku“) a dále navrhovat, co se má pro daný účel udělat a jakým způsobem (otázka v c) začíná „Jak zajistit...?“). Možnost d) také nepřipadá v úvahu, neboť se nevěnuje příčinám a důvodům, proč je absolutní sluch běžnější u hudebníků, než u široké veřejnosti – nepátrá po příčinách. Druhá část textu se pak nevěnuje hudebníkům vůbec. Ještě rozebereme variantu e): vliv jazykového prostředí na absolutní sluch je zmíněn až v závěru textu, rozhodně se tedy nejedná o hlavní téma. Navíc zde jde o vliv na absolutní sluch, nikoliv na hudební nadání. Na základě samotného textu nelze nic říci o tom, zda absolutní sluch je předpokladem pro hudební nadání – čili nelze usuzovat, že lidé z určitého jazykového prostředí mají rozvinutější absolutní sluch, a tudíž větší hudební nadání než ostatní lidé. Správná odpověď je tedy b). 2. (úloha č. 62, varianta 01, ročník 2012) Úloha zaměřená na shrnutí východisek autora Jaké znalosti a dovednosti jsou zapotřebí k řešení této úlohy? 

Schopnost najít a zformulovat východiska autora



Posouzení obsahu textu jako celku

Postup řešení

V úloze hledáme v podstatě shrnutí východisek autora textu, čili jakousi hlavní myšlenku, ke které se z různých stran autor v textu věnuje. Je zřejmé, že toto tvrzení musí být v souladu s textem, resp. s jeho celkovým vyzněním. Opět budeme postupovat vylučovací metodou a kriticky hodnotit nabízené možnosti. Hned možnost a) se zdá být správnou odpovědí. Předně, tvrzení a) je v souladu s textem jako celkem. Autor rozebírá tento fakt (že někteří mají rozvinutý absolutní sluch, jiní ne) v různých kontextech: absolutní sluch a hudebníci/nehudebníci, raná nevidomost a dále jazykové prostředí. Čili lze říci, že toto tvrzení skutečně stojí na pozadí autorových úvah. Ostatní možnosti lze relativně rychle vyloučit, ve stručnosti si shrňme argumenty:

Možnost b): o genetických faktorech se s textu sice píše, ale text rozhodně nevypadá tak, jako by autor vycházel z toho, že tento podíl je značný. Pokud by b) bylo správnou odpovědí, musel by text vypadat zcela odlišně. Možnost c): v textu se píše, že „U mnoha nadaných hudebníků se navzdory intenzivnímu tréninku od útlého dětství absolutní sluch nerozvinul“, což je v rozporu s tvrzením c). Možnost d): pokud by na pozadí autorových úvah stálo toto tvrzení, musel by text (přinejmenším) alespoň zmínit potřebu či nutnost uspořádání závěrů. Z textu by též muselo být jasné, že autor se také domnívá, že relevantní studie již byly provedeny – což zjevně neplatí. Možnost e) je, podobně jako c), v rozporu s tím, co text říká („…odhaduje se, že kolem padesáti procent dětí, které se rodí nevidomé…“), kdežto e) tvrdí, že je vrozený. Správná odpověď je tedy a).

Úloha č. 63, varianta 01, ročník 2012 Úloha zaměřená korektní interpretaci textu z hlediska odvozování/vyplývání Jaké znalosti a dovednosti jsou zapotřebí k řešení této úlohy? 

Schopnost určit, co na základě textu musí platit nutně, tj. co se dá korektně odvodit

Postup řešení

Opět využijeme vylučovací metodu a budeme procházet jednotlivé nabídnuté možnosti a zdůvodňovat, zda je možné je z textu odvodit či nikoliv. Možnost a): problém se slovy téměř vždy. Z textu sice víme, že kolem padesáti procent dětí, které se rodí nevidomé nebo přijdou o zrak v raném dětstvím má absolutní sluch, nicméně na základě toho nelze tvrdit, že by to bylo téměř vždy. Možnost b): z textu víme, že „Mezi hudebníky mají absolutní sluch častěji ti, kteří se začali věnovat hudbě v raném věku.“, čili hudební trénink v raném věku přispívá k rozvoji absolutního sluchu, což je přesně obsah tvrzení b). Čili máme správnou odpověď. Někdo by sice mohl namítat, že v textu pak hned následuje věta „Ovšem tato korelace vždy neplatí: u mnoha nadaných hudebníků se navzdory intenzivnímu hudebnímu tréninku od útlého dětství absolutní sluch nerozvinul.“, která by mohla být s naší úvahou v rozporu, nicméně v b) se neříká, že by hudební trénink v raném věku zajistil absolutní sluch, pouze to, že k němu přispívá, což z textu vyplývá. Možnost c): toto tvrzení nelze z textu odvodit, neboť v textu se píše jen tolik, že hudební trénink přispívá k rozvoji absolutního sluchu, nicméně není tam psáno, že by k absolutnímu sluchu bylo možné dospět pouze touto cestou. Naopak v závěru naznačuje, že k absolutním sluchem se vyznačují i lidé, kteří nemusí mít nutně něco společného s raným hudebním tréninkem. Možnost d): v textu se zmiňují geny i prostředí, ale nelze z ničeho odvodit, jaký je jejich podíl. Možnost e): v závěru textu se dozvíme, že rodilí mluvčí těchto jazyků mají velmi přesný absolutní sluch, ale z toho ještě nelze vydedukovat, že by tím pádem byli hudebně nadaní – v textu není žádná opora pro tvrzení, že absolutní sluch vede k hudebnímu nadání. Závěr tedy je, že ani jedna z možností c) až e) nemůže být správnou odpovědí. Pozn. V úlohách tohoto typu je nutné postupovat pouze na základě toho, co je psáno v textu, nikoliv na základě našich znalostí a reálně pravdivých faktů. Správná odpověď je tedy b).

Úloha č. 64, varianta 01, ročník 2012 Úloha testující naši schopnost porozumět struktuře textu a důvodům přítomnosti jednotlivých částí textu. Jaké znalosti a dovednosti jsou zapotřebí k řešení této úlohy? 

Schopnost orientovat se ve struktuře textu

Postup řešení

Úlohu budeme opět řešit vylučovací metodou, probírejme jednotlivé možnosti a zdůvodňujme, zda mohou či nemohou být správnými odpověďmi. Možnost a) nebude správným řešením. Autor patrně chtěl pouze na základě tohoto zmiňovaného výzkumu ukázat jiné, nehudební souvislosti absolutního sluchu. Mimochodem, problematická by byla již první část tohoto tvrzení „aby svůj výzkum obohatil…“ nic nenasvědčuje tomu, že by autor prováděl nějaký svůj výzkum – pouze shrnuje jakési výsledky. Možnost b) vypadá vhodně. Napovídá tomu i obsah a struktura předchozích částí – nejprve se věnuje hudebním aspektům, pak nevidomosti a následně by tedy bylo logické, aby ukázal, zda to jsou či nejsou jediné způsoby, jak získat absolutní sluch. To je nejspíše důvodem pro přidání textu o výsledcích Deutschové. Možnost c) nepřipadá v úvahu, neboť autor nedělá rozlišení mezi těmito dvěma druhy hudebního sluchu, podobně nepřipadá v úvahu možnost d): tvrzení d) je totiž v rozporu s tím, co se v textu říká. Možnost e) nakonec také vyloučíme, neboť se nezdá, že by text chtěl něco podpořit, autor pouze konstatuje výsledky výzkumů. Správná odpověď je tedy b).

Úloha č. 65, varianta 01, ročník 2012 Úloha zaměřená na kritickou argumentaci. Jaké znalosti a dovednosti jsou zapotřebí k řešení této úlohy? 

Schopnost precizně zformulovat argument/protiargument k nějakému tvrzení.

Postup řešení

Text v zadání konstatuje, že za první tři měsíce roku 2012 se prodalo 12 procent celkového množství prodaných knih v roce 2011 (a je doplněn absolutní počet). Aniž bychom se dívali na možné odpovědi, pokusme se zformulovat argument proti závěru, že počet prodaných knih za rok 2012 bude výrazně nižší než v roce 2011. Argument by patrně říkal něco v tom smyslu, že pokles (nastane-li), tak výrazný nebude. Čili že za zbylé měsíce se podaří prodeje „dohnat“. Kdybychom si nyní prohlédli nabízené možnosti, zjistíme, že tomuto tvrzení se nejvíce blíží možnost c). Podívejme se nyní ještě na ostatní možnosti. Možnost a) v podstatě není argumentem proti meziročnímu poklesu, podobně u b) a ostatních zbylých možností – tyto možnosti by spíše podporovaly uvedené tvrzení, a ne jej oslabovaly. Správná odpověď je tedy c).

Úloha č. 66, varianta 01, ročník 2012 Úloha zaměřená na otázku odlišení příčiny a následku Jaké znalosti a dovednosti jsou zapotřebí k řešení této úlohy? 

Schopnost najít argument ve prospěch nějakého tvrzení

Postup řešení

Přečteme-li si text v zadání a shrneme-li jeho hlavní myšlenku, zjistíme, že psychologové z Masarykovy univerzity zastávají stanovisko, že násilné hry vedou k agresivnímu chování, čili násilné hry jsou příčinou agresivního chování, kdežto psychologové z Karlovy univerzity tvrdí, že hraní násilných her je důsledkem agresivity. Pokud bychom chtěli podpořit závěr vědců z MU (a zpochybnit závěr vědců z KU), musíme v zásadě ukázat, že hraní násilných her skupinu lidí „zkazí“, kdežto hraní her bez násilí s agresivitou skupiny nic neudělá. Jinými slovy, máme dvě skupiny, které se na počátku neliší. Jedné z nich dáme hrát násilné hry a tato skupina se stane agresivnější. Druhé skupině dáme hrát hry bez násilí a této skupině se „nestane nic“. Pak můžeme tvrdit, že hraní násilných her je pravděpodobně příčinou vedoucí k agresivnímu chování. To je v zásadě obsah tvrzení e). Pro úplnost ještě okomentujme ostatní nabízené možnosti. Možnost a): teze zastávané oběma vědeckými týmy nemají souvislost s pohlavím, proto tvrzení a) není samo o sobě podporou ani jedné ze stran. (Jiné by to bylo, kdybychom v zadání měli navíc informace např. o tom, že dívky vykazují nižší míru agresivních sklonů.) Možnost b): to, že by adolescenti věděli, že výzkumníci sledují jejich agresivitu, opět není podpora ani jedné ze stran. Možnost c): toto tvrzení by podporovalo závěr, že intenzita agresivního chování není ovlivněna dobou, po kterou adolescenti hrají dané hry, ale nikoliv závěr o rozhodování o příčině a následku. („… pokud už hrajou, je jedno, jestli mají za sebou dva roky násilných her, nebo jeden, stejně už jsou agresivní…“) Možnost d): podobně jako u c), toto tvrzení by podporovalo hypotézu, že agresivní chování není ovlivněno časem, který adolescenti věnují hraní agresivních her. („…pokud hrajou, je jedno, jestli hrajou hodinu nebo dvě, už jsou stejně agresivní…“) Správná odpověď je tedy e).

Úloha č. 67, varianta 01, ročník 2012 Úloha zaměřená na korektní interpretaci textů obsahujících kvantitativní informace Jaké znalosti a dovednosti jsou zapotřebí k řešení této úlohy? 

Schopnost správně porozumět obsahu textu, který se zabývá kvantitativními charakteristikami nějakého jevu či děje

Postup řešení

Nejprve si uvědomíme, co daný text říká. Je zřejmé, že v letošním*) roce se zvýší množství zeleniny spotřebované v ČR, a to jak importované, tak tuzemské. Je ale také vidět, že k tomu, aby v roce 2012 množství spotřebované tuzemské zeleniny převýšilo množství spotřebované importované zeleniny, bude potřeba, aby množství spotřebované tuzemské zeleniny „hodně narostlo“ – zvláště, když i množství spotřebované importované zeleniny vzroste: tvořila-li tuzemská v roce 2011 třetinu, pak musela importovaná tvořit dvě třetiny. I kdyby množství spotřebované importované zeleniny v roce 2012 bylo stejné jako v předchozím roce, muselo by se k „převýšení“

zvýšit množství spotřebované tuzemské zeleniny alespoň dvojnásobně. A vzhledem k tomu, že podle předpokladu dojde i k nárůstu množství spotřebované importované zeleniny, musí v roce 2012 podle předpovědi množství spotřebované tuzemské zeleniny vzrůst opravdu více než dvakrát. To vede k odpovědi c). Pro úplnost ještě okomentujme ostatní nesprávné odpovědi. Možnosti a) a b) zavrhujeme, neboť předpoklad ministerstva nikde neobsahuje informace o „stropu“, jak moc se může zvýšit spotřeba zeleniny: informace v zadání nevylučují, že by došlo třeba k dvojnásobnému nárůstu spotřeby importované a šestinásobnému nárůstu spotřeby tuzemské zeleniny. Tudíž vše, co hovoří o maximální míře růstu spotřeby zeleniny, nemůže být správnou odpovědí. Možnosti d) a e) jsou v rozporu s tím, že celkové množství spotřebované zeleniny bude v roce 2012 vyšší. *) Pozn.: Úloha je zasazena do kontextu roku 2012. Správná odpověď je tedy c).

Úloha č. 68, varianta 01, ročník 2012 Úloha zaměřená na správné pochopení pojmu nezávislost jevů Jaké znalosti a dovednosti jsou zapotřebí k řešení této úlohy? 

Elementární znalost „fungování“ pravděpodobnosti

Postup řešení

Pravděpodobnost toho, že padne červená, resp. černá, barva je v každém hodu stejná, bez ohledu na to, co se dělo předtím – „kulička nemá paměť“. Jev „padne černá v sedmém hodu“ je nezávislý na výsledku libovolného předchozího hodu (resp. jejich předchozí posloupnosti). Tomu odpovídá možnost c). Ostatní nabízené možnosti jsou vzhledem k uvedenému konstatování nesprávné. Správná odpověď je tedy c).

Úloha č. 69, varianta 01, ročník 2012 Úloha zaměřená na argumentaci Jaké znalosti a dovednosti jsou zapotřebí k řešení této úlohy? 

Schopnost zpochybnit argument

Postup řešení

Charakteristiky souboru – např. jeho velikost či zastoupení jednotlivých pohlaví – mohou mít samozřejmě vliv na platnost výsledku, nicméně v úloze nám jde o určení té informace, která výsledek testu nejvíce zpochybňuje. Pokud se do vzorku respondentů budou primárně dostávat ti, kteří „hodně zhubli“, bude výsledek zpochybněn výrazně (byť agentura byla nezávislá). Tomu odpovídá možnost b) – největší (finanční) motivaci zúčastnit se průzkumu mají ti, kteří nejvíce zhubli. Správná odpověď je tedy b).

Úloha č. 70, varianta 01, ročník 2012 Úloha zaměřená na kritickou argumentaci. Jaké znalosti a dovednosti jsou zapotřebí k řešení této úlohy? 

Schopnost precizně zformulovat argument k nějakému tvrzení.

Postup řešení

Závěr, o kterém se v zadání hovoří, říká: omezilo se plýtvání a zneužívání zdravotních služeb. Co znamená plýtvání a zneužívání? Znamená to, že byla čerpána péče, která čerpána být nemusela či dokonce neměla. Jaký může být předpoklad dané věty (tedy to, na co se nás v úloze ptají)? Podíváme-li se na nabízené možnosti, je zřejmé, že tomu nejlépe odpovídá možnost c): pokud regulační poplatek odradí někoho, kdo k lékaři reálně nemusel, pak nedojde ke zbytečnému čerpání lékařské péče a tedy i plýtvání, což je přesně to, o co nám jde. Ostatní nabízené možnosti nesouvisejí s tím, že by se omezilo plýtvání a zneužívání lékařských služeb. Správná odpověď je tedy c).

ROČNÍK 2011

Úloha č. 21, varianta 01, ročník 2011 Úloha zaměřená na „překlad“ slovního zadání do matematické podoby Jaké znalosti a dovednosti jsou zapotřebí k řešení této úlohy? 

Schopnost převést slovní zadání do podoby rovnice



Znalost úprav/řešení jednoduchých rovnic

Postup řešení

Myšlené číslo si označím symbolem X. Z druhé věty zadání vím, že 5X/4 + X/2 = 140, neboť pětinásobek čísla X zapíšeme jako 5X, máme-li z něj udělat čtvrtinu, získáme 5X/4. Polovina čísla X je samozřejmě X/2. (Pro přehlednost doporučujeme, abyste si rovnici zapsali „hezky“, s vodorovnou zlomkovou čárou.) Tuto rovnici dále upravujeme: nejprve zlomky na levé straně převedeme na společného jmenovatele. (5X + 2X)/4 = 140, tj. 7X/4 = 140. Obě strany rovnice můžeme vydělit sedmi, čímž dostaneme X/4 = 20, tedy X = 80. Pozor, v úloze se nás ovšem neptají na hodnotu původně myšleného čísla (která mezi nabídnutými možnostmi samozřejmě je!), nýbrž na tři poloviny tohoto čísla. Tři poloviny z 80 je 120. Správná odpověď je tedy e).

Úloha č. 22, varianta 01, ročník 2011 Úloha založená na pojmu definování nové operace Jaké znalosti a dovednosti jsou zapotřebí k řešení této úlohy? 

Znalost pojmu operace a jejího definování

Postup řešení

Operace • je definována takto: •a = (2a − 1) : (a − 2). Tento typ úloh bývá většinou strašákem uchazečů, ale pokud člověk pochopí princip, jedná se o úlohu relativně jednoduchou. Klíčové je pochopit význam slova operace. (Číselná) operace je „cosi“, co z nějakému číslu (vstupu), kterému říkáme argument, přiřadí nějaké číslo jako výsledek. Příkladem takové operace je třeba umocňování na druhou, které dvojce přiřadí čtyřku, trojce devítku atp. Jiným příkladem takové operace je třeba faktoriál – ten dvojce přiřadí dvojku, trojce šestku, čtyřce číslo 24 atd. Dalším příkladem může být např. druhá odmocnina, kosinus atd. Každá operace má svůj symbol: v případě umocňování na druhou je to malá dvojka vpravo nahoře od argumentu, v případě faktoriálu vykřičník za argumentem, tvar odmocniny známe, kosinus má symbol cos před argumentem. Zde je symbolem pro operaci •. Tento „puntík“ není neznámá, nezastupuje žádné číslo, „nic se za ní neskrývá“, není ničím, „co bychom měli počítat“! Každá operace má nějakou svoji definici. Např. v případě umocňování na druhou je definice dobře známa: x2 = x . x. Jak této definice použijeme při zjišťování, kolik je např. 92? Jednoduše! V definici přepíšeme všechny výskyty symbolu x devítkou, a dostaneme 92 = 9 . 9. Na zápis 92 se tedy můžeme dívat jako na zkratku za 9 . 9. Obecně, x2 je zkratkou za x . x, přičemž za x můžeme dosadit libovolné číslo. Jak to souvisí s naší úlohou? V ní je definována operace • tímto předpisem: •a = (2a − 1) : (a − 2).

Budeme-li chtít určit, kolik je např. •11, dosadíme v definici prostě za a jedenáctku. Dostaneme tedy •11 = (2 . 11 – 1) : (11 – 2), což je 21 : 7 = 3. Podobně jako v předchozí ukázce s umocňováním na druhou můžeme •11 brát jako zkratku za (2 . 11 – 1) : (11 – 2), obecně •a lze považovat za zkratku za (2a − 1) : (a − 2), přičemž za a můžeme dosazovat libovolné výrazy. Nyní jsme si operaci • trochu „osahali“ a můžeme se tedy vrátit se k naší původní úloze.

Jaká bude strategie našeho řešení? Nejprve si z rovnice •(x + 1) = 5 určíme, jaká je hodnota x. To je ovšem snadné, neboť víme, že •(x + 1) je zkratkou za (2(x + 1) − 1) : ((x + 1) − 2), protože platí, že •(x + 1) = (2(x + 1) − 1) : ((x + 1) − 2) (V definici jsme přepsali a výrazem (x + 1) podobně jako jsme to udělali v případě naší ukázky s druhou mocninou devítky.) Máme tedy už „obyčejnou“ rovnici (2(x + 1) − 1) : ((x + 1) − 2) = 5. Tuto rovnici už běžným způsobem upravujeme: (2x + 2 – 1) : (x – 1) = 5. Dále vynásobíme celou rovnici výrazem (x – 1), čímž dostaneme 2x + 1 = 5(x – 1), což dále upravíme na 2x + 1 = 5x – 5, tedy na rovnici 6 = 3x. Vidíme, že x se musí rovnat číslu 2. Naší úlohou je ovšem zjistit, čemu je rovno •(x – 1). My ovšem už víme, že x = 2, čili nám jde o určení, čemu je rovno •(2 – 1) = •1. To budeme opět řešit nahlédnutím do definice: •a = (2a − 1) : (a − 2) tedy •1 = (2 . 1 − 1) : (1 − 2), neboť v definici pouze přepisujeme proměnnou a číslem 1. Nyní už jen upravíme výraz na pravé straně (2 – 1) : (-1) = -1. Správná odpověď je tedy e).

Úloha č. 23, varianta 01, ročník 2011 Úloha na porovnávání hodnot výrazů a odhady Jaké znalosti a dovednosti jsou zapotřebí k řešení této úlohy? 

Znalost práce se zlomky



Odhady

Postup řešení

Nejprve si uvědomíme poučku: dělit zlomkem znamená násobit převrácenou jeho převrácenou hodnotou. Dále si uvědomíme, že odmocnina z pěti je číslo, které je určitě větší než 2, protože odmocnina ze čtyřky je větší rovna dvěma a my zde počítáme odmocninu z většího čísla. Čemu je rovno A . B? Pěti čtvrtinám odmocniny z pěti. A/B je pak odmocnina z pěti vydělená pěti čtvrtinami, čili vynásobená čtyřmi pětinami. Vzhledem k tomu, že čtyři pětiny jsou méně než pět čtvrtin a číslo, které jimi násobíme (tedy odmocninu z pěti), je číslo kladné, je zřejmé, že A . B > A/B. Nyní ještě provedeme úvahu o hodnotě výrazu B/A: Číslo B, tedy pět čtvrtin je totéž co 1,25. Dělíme-li toto číslo číslem větším než dvě (odmocninou z pěti), dostaneme zcela jistě číslo menší než jedna. Jaký je vztah čísla jedna a čísla A/B, čili odmocniny z pěti krát čtyři pětiny? Čtyři pětiny jsou 0,8. Toto číslo (0,8) vynásobíme odmocninou z pěti, čili víc než dvojkou, takže dostaneme o něco více, než 1,6. Tedy především více než jedna. Tudíž B/A < A/B a tím pádem je také B/A < A/B < A . B. Správná odpověď je tedy b).

Úloha č. 24, varianta 01, ročník 2011 Úloha na práci s ciframi (algebrogram) Jaké znalosti a dovednosti jsou zapotřebí k řešení této úlohy? 

Schopnost řešit úlohu metodou rozboru případů

Postup řešení

Uvědomíme si, že na levé straně předložené rovnice je násobení dvou jednociferných čísel, na pravé straně je číslo dvojciferné. Budeme postupovat metodou rozboru případů. Budeme tedy systematicky zkoušet, jaká může být hodnota A. Předně, A nemůže být 0 (neboť nulou číslo začínat nemůže), A ale nemůže být ani 1, 2 nebo 3, protože ani 3 . 3 není dvojciferné číslo. Pokud by A byla čtyřka, měli bychom 4 . 4 = 16, což nemůže být, neboť druhá cifra výsledku musí být shodná s čísly, které násobíme na levé straně. Dále zkusíme pětku: 5 . 5 = 25: zde je vše v pořádku. A je pětka, B je dvojka. Je to jediná dvojice čísel splňující zadání? Nikoliv, zadání vyhovují ještě cifry (A) šest, (B) tři. Jiné už ne. Vidíme tedy, že cifry A a B nejsou určeny jednoznačně. V tomto případě to ale nevadí, jelikož naším cílem není zjistit hodnotu některé z těchto cifer, ale jejich rozdíl. Rozdíl A – B je v obou případech roven 3. Správná odpověď je tedy e).

Úloha č. 25, varianta 01, ročník 2011 Úloha zaměřená na elementární úpravy rovnic Jaké znalosti a dovednosti jsou zapotřebí k řešení této úlohy? 

Znalost ekvivalentních úprav rovnic

Postup řešení

Úloha je řešitelná velmi rychle. Pouhým převáděním výrazů z jedné strany rovnice na druhou a sčítáním členů, které obsahují stejnou neznámou můžeme upravit rovnice v možnostech a), b) a e) do podoby x + 3y = 0. Rovnici v možnosti d) vydělíme dvěma a opět dostáváme x + 3y = 0. Pouze rovnice v možnosti c) nelze na tento tvar převést. Správná odpověď je tedy c).

Úloha č. 26, varianta 01, ročník 2011 Úloha založená na ciferných součtech. Jaké znalosti a dovednosti jsou zapotřebí k řešení této úlohy? 

Schopnost všimnout si, co mají čísla v dané množině společného.

Postup řešení

Nejprve se podíváme, co naznačuje forma: tím, že autor umístil určitou sadu čísel kruhu, naznačil, že daná čísla mají něco společného. V této úloze se nejedná o nějak „nápadná čísla“ (typu mocniny dvojky, druhé mocniny přirozených čísel, …), ale čísla velmi různorodá, dvojciferná, trojciferná. Při bližším prozkoumání zjistíme, že všechna čísla uvnitř jednoho kruhu mají stejné ciferné součty. V tom prvním je ciferný součet každého z čísel 11 (= 7 + 3 + 1, = 4 + 0 + 7, …). V tom druhém je ciferný součet vždy 10. Pozor, úkol v úloze je postaven negativně: které číslo se nehodí na místo otazníku? Určujeme tedy číslo, které nemá ciferný součet 10. Takovým je číslo 155, které má ciferný součet 11. Správná odpověď je tedy b).

Úloha č. 27, varianta 01, ročník 2011 Úloha založená na doplňování do posloupnosti čísel. Jaké znalosti a dovednosti jsou zapotřebí k řešení této úlohy? 

Schopnost nacházet vztahy v posloupnostech čísel



Schopnost identifikovat významné číselné posloupnosti (mocniny dvojky)

Postup řešení

Forma zadání (grafické ztvárnění) naznačuje, že se v dané úloze bude jednat o dvě číselné posloupnosti – jedna posloupnost je zaznamanána „v kolečkách“, druhá „ve čtverečcích“. Jde tedy o doplnění do posloupnosti: 8

5,5

3,5

?

1

1

0,5

0,5

a do posloupnosti: 8

4

?

V té první si doplníme diference (rozdíl daného členu a členu bezprostředně předcházejícího), čili dostaneme: 8

-2,5

5,5

-2

3,5

-?

?

-?

1

-0,5

0,5

Vidíme, že diference se pravidelně mění, vždy rostou o 0,5 oproti předchozí. 8

-2,5

5,5

-2

3,5

-1,5

?

-1

1

-0,5

0,5

Na místě tohoto otazníku tedy musí být číslo 2. Druhá posloupnost je vlastně posloupností mocnin dvojky, neboť 23 = 8, 22 = 4, 20 = 1, 2-1 = 0,5. Na místě otazníku v této posloupnosti tedy bude číslo 21 = 2. Jiný postup: 8

:2

4

:2

2

:2

1

:2

0,5

Na místě obou otazníků tedy musí být dvojky. Správná odpověď je tedy e).

Úloha č. 28, varianta 01, ročník 2011 Úloha zaměřená na hledání vztahů v číselných obrazcích Jaké znalosti a dovednosti jsou zapotřebí k řešení této úlohy? 

Schopnost nalézat vztahy mezi čísly

Postup řešení

Nejprve se podíváme, jaké indicie jsou obsaženy v grafickém ztvárnění dané úlohy. Číslo úplně vlevo daného obrazce, ve čtverečku, bude patrně výsledkem nějakých výpočtů, které budeme provádět s čísly, které jsou nad čarou a pod čarou. Vodorovná čára dělí čísla na dvě skupinky. Uvnitř těchto skupinek mají čísla k sobě „trochu blíž“. V takovýchto úlohách zpravidla postupujeme cestou nejmenšího odporu, což znamená, že zkoušíme nejprve nejjednodušší postupy a pak případně se dostáváme k náročnějším. Mají-li čísla k sobě blízko, první co vyzkoušíme, je sečíst je. V případě prvního schématu máme nad čarou součet 8 (= -1 + 5 + 4), pod čarou součet -1 (= -3 + 2). Jakým způsobem dostaneme z osmičky a mínus jedné číslo devět? Snadno, uděláme rozdíl.

Ověříme tento systém ve druhém schématu: nad čárou je součet -2 (= 2 + (-5) + 1), pod čarou 0 (= (-4) + 4). A výsledek ve čtverečku je skutečně -2, neboť (-2) – 0 = -2. Podívejme se tedy na třetí schéma – s otazníkem. Pod čarou je součet (-3), výsledek má být nula, tj. Nad čarou musí být součet čísel (-3), protože (-3) – (-3) = 0. Jaké číslo doplníme na místo otazníku, aby součet všech čísel nad čarou byl (-3)? Je to číslo nula, protože (-9) + 0 + 6 = (-3) Správná odpověď je tedy a).

Úloha č. 29, varianta 01, ročník 2011 Úloha zaměřená na „matematickou všímavost“. Jaké znalosti a dovednosti jsou zapotřebí k řešení této úlohy? 

Schopnost všimnout si vztahů mezi geometrickými útvary a čísly

Postup řešení

Na první pohled úloha s nepříliš jasným postupem řešení. Všimneme si ale, že čím větší je útvar v zadání, tím větší je číslo uvnitř tohoto útvaru. To by nás mohlo přivést k myšlence, že číslo uvnitř obrazce nějakým způsobem vyjadřuje obsah útvaru. Nyní zbývá tuto myšlenku dopracovat. Jak spolu souvisí dvojka a čtverec? Čtverec se skládá ze dvou trojúhelníků – nakreslete si v něm úhlopříčku, která jej rozdělí na dva stejné trojúhelníky. Hned vidíme, že následující útvar, který v sobě obsahuje trojku, se dá složit ze tří takovýchto trojúhelníků a tak dále. Myšlenka je dopracovaná! Úloha je ale zadána negativně: který obrazec se nehodí na místo otazníku. Odpověď: takový, který se neskládá ze čtyř zmiňovaných trojúhelníků. Je to obrazec, který je v c), který se ve skutečnosti skládá z pěti těchto trojúhelníků. Správná odpověď je tedy c).

Úloha č. 30, varianta 01, ročník 2011 Úloha na počítání s aritmetickým průměrem. Jaké znalosti a dovednosti jsou zapotřebí k řešení této úlohy? 

„Matematická všímavost“



Znalost pojmu aritmetického průměru.

Postup řešení

Nejprve se opět podíváme na formu: uprostřed schémat je jakési centrální číslo, které bude patrně výsledkem nějaké operace, kterou provedeme na „okolní čísla ve čtverečcích“. Čísla ve čtverečcích jsou v jistém smyslu rovnocenná a „patří k sobě“: zkusíme je tedy sečíst. Vidíme, že součty jsou vždy násobky čísla čtyři – a jde o takový násobek čtyřky, který odpovídá počtu čísel ve čtverečcích. Jinými slovy, sečteme-li čísla ve čtverečcích a vydělíme tento součet jejich počtem, dostaneme číslo čtyři. Udělali jsme tedy aritmetický průměr. Na místo otazníku tedy musíme doplnit číslo tak, aby průměr všech čísel dohromady (0, 6, 1, ?, 8) byl právě 4, jinými slovy, součet 0 + 6 + 1 + ? + 8 má být 20. Toho docílíme tak, že na místě otazníku je číslo 5.

Správná odpověď je tedy b).

Úloha č. 31, varianta 01, ročník 2011 Doplňování členů symbolické posloupnosti Jaké znalosti a dovednosti jsou zapotřebí k řešení této úlohy? 

Schopnost všímat si pravidelností v posloupnosti určitých objektů

Postup řešení

Na základě informací ze zadání víme, že počet bílých baněk mezi dvěma černými se mění a že tento počet závisí na tom, jaké symboly jsou na černých baňkách. Aby lépe vynikla myšlenka úlohy, přepíšeme si řadu baněk následovně: místo skupin bílých baněk pišme pouze jejich počet, místo černých baněk se šipkou nahoru pišme jen šipku nahoru, místo černých se šipkou dolů pišme pouze šipku dolů. Máme tedy posloupnost: ↑1↑2↓1↓0↑ Okamžitě vidíme, že směřuje-li šipka nahoru, je číslo za ní (čili počet bílých za ní) o jedna vyšší než před ní. Je tedy zřejmé, že posloupnost bude pokračovat jednou bílou baňkou, za kterou bude černá. Další černá baňka se tedy objeví na pozici B. Správná odpověď je tedy c).

Úloha č. 32, varianta 01, ročník 2011 Ověřování podmínek týkajících se symbolické reprezentace Jaké znalosti a dovednosti jsou zapotřebí k řešení této úlohy? 

Schopnost zorientovat se v symbolickém zaznamenání dané situace

Postup řešení

Při řešení budeme postupovat vylučovací metodou. Budeme „zkoušet jednotlivé časy“ z nabídnutých možností a testovat zda podmínky ze zadání jsou splněny. Hned na první pohled ovšem vidíme, že hodiny, byť pootočené, nemohou znázorňovat žádnou „celou“. Proč? Protože v takovém případě by malá ručička hodin musela ukazovat přesně na některou z cifer (resp. symbolů na ciferníku), což neplatí. Okamžitě tedy vyloučíme možnost e). Postupujme dále třeba od konce. Mohl by čas na hodinách být 6:15? Pokud ano, tak malá ručička by ukazovala kamsi mezi šestku a sedmičku – šesticípá hvězda by tedy reprezentovala šestku. V takovém případě by ovšem kolečko byla pětka, pětiúhelník čtyřka a srdíčko trojka. Ale podle podmínky v zadání víme, že srdíčko má reprezentovat sudé číslo. Proto d) není správná odpověď. Prozkoumejme tedy možnost c), 7:20. V takovémto případě by šesticípá hvězda musela být sedmičkou (v 7:20 ukazuje malá ručička někam mezi sedmičku a osmičku). Trojúhelník by pak byl osmička, čtverec devítka a vyplněný půlkruh desítka. Ale podle podmínky v zadání víme, že trojúhelník má reprezentovat číslo větší než vyplněný půlkruh, což zjevně nenastává. Možnost c) tedy vylučujeme. Stejným způsobem bychom vyloučili možnost b), 9:30. Zbývá tedy jen možnost a), která musí tudíž být správnou odpovědí. Pokud by bylo 11:40, pak všechny podmínky v zadání jsou splněny: šesticípá hvězda je 11, trojúhelník 12, vyplněný půlkruh 2, sluníčko 3, křížek 4, srdíčko 8. Správná odpověď je tedy a).

Úloha č. 33, varianta 01, ročník 2011 Doplňování do symbolické řady Jaké znalosti a dovednosti jsou zapotřebí k řešení této úlohy? 

Schopnost všimnout si pravidelností v symbolických posloupnostech

Postup řešení

Úloha pro mnohé uchazeče poměrně obtížná, na jejím řešení jsou ovšem vidět některé myšlenky, které se objevují u řady dalších úloh. Typickým postupem v situaci, kdy se pracuje s posloupností dvojic, je nezávislá analýza toho, co se „děje“ v prvních složkách a toho, co se „děje“ ve druhých složkách. Podívejme se nejprve na posloupnost symbolů v prvních složkách dvojic. Máme posloupnost:

Vezměme nyní do úvahy kruh se symboly, které máme v zadání a podívejme se do této naší posloupnosti: k tomu, abych se dostal od pětiúhelníku k vyplněnému půlkruhu, musím udělat pět kroků po směru hodinových ručiček. Od vyplněného půlkruhu k vyplněnému, na špičce stojícímu čtverci jsou to čtyři kroky po směru hodinových ručiček, od tohoto čtverce k pětiúhelníku už jen tři kroky po směru a proto nás už nepřekvapí, že od pětiúhelníku uděláme dva kroky po směru hodinových ručiček, čímž se dostaneme k šesticípé hvězdě. Víme tedy, že hledaná dvojice bude začínat šesticípou hvězdou. Jelikož takováto dvojice je v nabízených možnostech jen jedna, můžeme s řešením skončit. (Vždy, když se řešení skládá z více „složek“ a my určíme některou z nich, je vhodné podívat se do nabízených možností, zda už nejsme u konce). Pro úplnost bychom se mohli ještě podívat na posloupnost druhých složek dvojic: tam je pravidelnost ještě jednodušší – postupujme vždy o dva kroky po směru hodinových ručiček. Správná odpověď je tedy e).

Úloha č. 29, varianta 01, ročník 2011 Doplňování do symbolické řady Jaké znalosti a dovednosti jsou zapotřebí k řešení této úlohy? 

Schopnost všimnout si pravidelností v symbolických posloupnostech

Postup řešení

Budeme prozkoumávat, co se děje při přechodu od jednoho členu (od jedné vločky) k bezprostředně následujícímu. Linie, která ukazuje na severovýchod, v následujícím kroku ukazuje na sever, přičemž jí přibude pár „větviček“. Linie, která směřovala na východ, v následujícím kroku směřuje na severovýchod a počet párů větviček se o jedničku zvýší. (Ukažte si, co to znamená na obrázku.) Vločky se tedy v jistém smyslu otáčejí proti směru hodinových ručiček a některým liniím přibývají páry větviček. Správná odpověď je tedy a).

Úloha č. 34, varianta 01, ročník 2011 Doplňování do symbolické řady

Jaké znalosti a dovednosti jsou zapotřebí k řešení této úlohy? 

Schopnost všimnout si pravidelností v symbolických posloupnostech

Postup řešení

Podobně jako v úloze 3. se budeme dívat ne na velké čtverečky jako celky, ale na jejich části, v našem případě řádky, které se skládají ze tří malých čtverečků (vyplněných a nevyplněných). Podívejme se nyní na horní řadu: dva nevyplněné, jeden vyplněný → dva vyplněné, jeden nevyplněný → dva nevyplněné, jeden vyplněný → dva vyplněné, jeden nevyplněný → dva nevyplněné, jeden vyplněný → dva vyplněné, jeden nevyplněný → ? Je zřejmé, že čtvereček na místě otazníku bude mít dva nevyplněné a jeden vyplněný čtvereček v tomto pořadí. Takový je však mezi nabízenými možnostmi jen jeden, tudíž pravidelnost v ostatních řadách už ani nemusíme hledat. Správná odpověď je tedy d).

Úloha č. 36, varianta 01, ročník 2011 Doplňování do symbolické posloupnosti Jaké znalosti a dovednosti jsou zapotřebí k řešení této úlohy? 

Schopnost všímat si zákonitostí v symbolických posloupnostech

Postup řešení

U jednotlivých členů posloupnosti si všímáme, jak se mění následující znaky: velikost písmene, podtržení, písmeno (a/b) a uzávorkování. Tyto znaky posuzujeme nezávisle na ostatních. Podívejme se nejprve na velikost písmen. Vidíme, že v posloupnosti se pravidelně střídají velká a malá písmena. Dvanáctý prvek řady tedy musí být malé písmeno (možnost b) tudíž nepřichází v úvahu). Podtržení se střídá vždy po dvou symbolech: dvě nepodtržená písmena, dvě podtržená, dvě nepodržená, dvě podtržená, … Je tudíž jasné, že dvanácté písmeno v řadě musí být podtržené písmeno. V posloupnosti se střídá vždy dvojice „béček“ a jedno „áčko“. Dvanáctým písmenem bude proto „áčko“. Co se závorek týče, v posloupnosti je vždy jedno uzávorkované písmeno, poté tři neuzávorkovaná, jedno uzávorkované, tři neuzávorkovaná. Posledním členem posloupnosti tedy musí být neuzávorkované písmeno. Správná odpověď je tedy d).

Úloha č. 37, varianta 01, ročník 2011 Úloha založená na úpravách rovnic Jaké znalosti a dovednosti jsou zapotřebí k řešení této úlohy? 

Znalost práce s rovnicemi

Postup řešení

Symboly (kosočtvereček, lísteček, srdíčko) v této úloze hrají stejnou roli jako proměnné X, Y, Z v „běžných rovnicích“. První rovnice v zadání dává do vztahu kosočtvereček a lísteček, druhá lísteček a srdíčko. Naším cílem je vytvořit rovnici, která bude vyjadřovat vztah mezi srdíčkem a kosočtverečkem. Postup bude přímočarý: z první rovnice si „vyjádříme lísteček v kosočvercích“ a následně dosadíme do druhé rovnice za lísteček:

Z první rovnice víme, že ◊/8 = ♠ (první rovnici jsme vydělili dvěma). Protože víme, že srdíčko je rovno lísteček lomeno dvěma, tak zároveň víme, že srdíčko musí být rovno ◊/16. Na místě otazníku tedy musí být 1/16. Správná odpověď je tedy e).

Úloha č. 38, varianta 01, ročník 2011 Srovnávání a hledání společných vlastností symbolických kódů Jaké znalosti a dovednosti jsou zapotřebí k řešení této úlohy? 

Schopnost systematické práce

Postup řešení

Ze zadání usoudíme, že symboly na jednotlivých pevných pozicích kódu vyjadřují nějaké charakteristiky daného letu. Vezměme si například to, že daný let je osobní/nákladní: DHLV2 – nákladní DHLT2 – nákladní CHKT1 – osobní CGLV1 – osobní DHLT1 – nákladní Které písmeno/číslo na které pozici vyjadřuje tuto vlastnost? Hledáme tedy takovou pozici, na které bude platit, že symbol na ní bude v případě 1., 2. a posledního letu stejný, a bude se lišit od letu třetího a čtvrtého. Je zřejmé, že se jedná o první pozici: nákladní lety mají na prvním místě kódu písmeno D, osobní C. Vzhledem k tomu, že v úloze hledáme let osobní, budeme volit mezi možnostmi a), c) nebo d). Prohlédneme-li si kódy, vidíme, že první dva lety mají na poslední pozici dvojku, poslední tři mají na poslední pozici jedničku. Které z vlastností letu by to mohlo odpovídat? Při pohledu do zadání je zřejmé, že se jedná o rozdělení jednosměrný/obousměrný let. Dvojka na konci značí jednosměrný, jednička obousměrný. Podle zadání máme najít správný kód jednosměrného letu, musíme tedy hledat kód, který končí dvojkou. Z těch, které bereme v úvahu, je to již pouze jediný. Správná odpověď je tedy c).

Úloha č. 39, varianta 01, ročník 2011 Hledání zákonitostí v symbolické posloupnosti Jaké znalosti a dovednosti jsou zapotřebí k řešení této úlohy? 

Schopnost všimnout si zákonitostí v posloupnosti symbolů

Postup řešení

Prohlédneme-li si první část posloupnosti, vidíme, že nejprve je kniha s určitým počtem krátkých šikmých proužků nahoře, pak s tímtéž počtem krátkých šikmých proužků dole. Pak následuje „oddělovací“ kniha, poté počet krátkých šikmých proužků se o jednu zvýší oproti předchozí sadě, opět se objeví nejprve nahoře, pak dole. Aby bylo zachováno toto pravidlo, musí být kniha se čtyřmi šikmými proužky nahoře za „oddělovací“ knihou a zároveň před knihou, která má čtyři krátké šikmé proužky dole, tj. na pozici č. 2. Správná odpověď je tedy b).

Úloha č. 40, varianta 01, ročník 2011

Hledání zákonitostí v symbolické posloupnosti Jaké znalosti a dovednosti jsou zapotřebí k řešení této úlohy? 

Schopnost všimnout si zákonitostí v posloupnosti symbolů

Postup řešení

V úloze budeme posuzovat vývoj každé z planet zvlášť, bez ohledu na vývoj ostatních. (Je to podobné, jako např. v úloze 35 této varianty, kde jsme nezávisle zkoumali to, co se děje v prvním řádku čtverce atp.). Podívejme se tedy nejprve na nejvnitřnější planetu: ta putuje o 45 stupňů po směru hodinových ručiček. V další, tj. čtvrté fázi tedy bude v jedné ze situací a), d) nebo e). Nyní vezměme v úvahu „prostřední“ planetu. Ta se posouvá o 90 stupňů po směru hodinových ručiček, čili zbývají jen možnosti a) či e). Nejvíce vnější planeta se posouvá o 135 stupňů („90 + 45“) po směru hodinových ručiček. Správná odpověď je tedy a).

Úloha č. 51, varianta 01, ročník 2011 Slovní úloha na práci s měřítky (poměry) Jaké znalosti a dovednosti jsou zapotřebí k řešení této úlohy? 

Znalost přímé a nepřímé úměrnosti



Znalost práce s měřítky (poměry)

Postup řešení

Víme, že dvě třetiny trasy z A do B na mapě s měřítkem 1 : 750 000 měří 4 cm. Mapa s měřítkem 1 : 250 000 je „třikrát podrobnější“, tedy dvě třetiny trasy z A do B na této „podrobnější mapě“ měří třikrát více než na mapě s měřítkem 1 : 750 000, čili měří 12 cm. Dvě třetiny trasy z A do B měří........ na mapě s měřítkem 1 : 250 000........12 cm Jedna třetina trasy z A do B měří...... na mapě s měřítkem 1 : 250 000........6 cm („polovina toho, co dvě třetiny“) (Celá) trasa z A do B měří.................na mapě s měřítkem 1 : 250 000........18 cm („třikrát tolik co třetina“) V úloze se nás ovšem neptají, kolik měří celá trasa z A do B na „podrobnější mapě“, ale kolik měří polovina této trasy, a to je 90 mm. Správná odpověď je tedy c).

Úloha č. 52, varianta 01, ročník 2011 Slovní úloha zaměřená na porozumění slovnímu zadání a jednoduché kalkulace Jaké znalosti a dovednosti jsou zapotřebí k řešení této úlohy? 

Schopnost zorientovat se ve slovním zadání

Postup řešení

Na začátku měli oba dva dohromady 200 Kč, na konci měli dohromady 40 Kč (20 Kč každý z nich). Museli tedy utratit dohromady celkem 160 Kč. Víme, že Mirek utratil o 40 Kč více než Matěj, čili

hledáme takovou dvojici čísel, jejichž součet je roven 160 a rozdíl 40 (Kč). Takovou dvojicí je 100 Kč a 60 Kč. Protože jim každému zbylo na konci 20 Kč, museli mít na začátku 120 Kč (Mirek) a 80 Kč (Matěj). Poměr těchto částek je 120 : 80, tj. 3 : 2 – a máme správnou odpověď. Pokud bychom nechtěli hádat, že takovou dvojicí je 100 Kč a 60 Kč, mohli bychom použít řešení pomocí soustavy dvou rovnic – postupovali bychom následovně: Mi…množství peněz, které utratil Mirek Ma...množství peněz, které utratil Matěj Mi + Ma = 160 Mi – Ma = 40 (Milan utratil o 40 Kč více než Matěj, tj. odečteme-li od Mirkovy útraty Matějovu, musí to být rovno právě 40 Kč.) Sečtu-li obě rovnice, dostanu: 2Mi = 200, tj. Mi = 100 a z kterékoliv z těchto dvou rovnic následně dostanu Ma = 60. Další postup je podobný jako v případě předchozího postupu. Správná odpověď je tedy a).

Úloha č. 53, varianta 01, ročník 2011 Úloha na rozbor případů ve výrokové logice Jaké znalosti a dovednosti jsou zapotřebí k řešení této úlohy? 

Znalost výrokové logiky – pravdivostní hodnota složeného výroku: konkrétně implikace.



Schopnost řešit úlohy metodou rozboru případů

Postup řešení

Víme, že poklad je právě v jedné ze čtyř skříněk. Úlohu budeme řešit metodou rozboru případů: nejprve budeme předpokládat, že poklad je v první skříňce, pak budeme předpokládat, že je ve druhé atp. – a budeme zkoumat důsledky těchto předpokladů (nezávisle). Zhruba řečeno, každý předpoklad něco „udělá“ s pravdivostními hodnotami nápisů na skříňkách – tj. „umístíme-li někam poklad, pak některé výroky se stanou pravdivými, jiné nepravdivými“. V zadání ovšem máme podmínku, že alespoň dva z nápisů na skříňkách jsou pravdivé. To nám umožní daný předpoklad prohlásit za možný, pokud je podmínka splněna, nebo za nemožný, pokud podmínka by splněna nebyla. Podívejme se tedy již na konkrétní postup: I. Předpokládejme, že poklad je v první skříňce. V takovém případě je: •

výrok na 1. skříňce pravdivý (protože poklad je v první skříňce – to předpokládáme)

•

výrok na 2. skříňce nepravdivý

•

výrok na 3. skříňce pravdivý (protože první člen implikace „není v této skříňce“ je pravdivý a zadní člen implikace „je v první“ je také pravdivý, a implikace v případě, že oba její členy jsou pravdivé, je celá pravdivá)

•

výrok na 4. skříňce pravdivý

Vzhledem k tomu, že alespoň dva výroky na skříňkách mají být pravdivé, vidíme, že tato

situace nastat může. Poklad tedy může být v první skříňce. Postoupíme tedy dále: II. Předpokládejme, že poklad je ve druhé skříňce. V takovém případě je: •

výrok na 1. skříňce nepravdivý (protože předpokládáme, že je ve druhé a žádné jiné)

•

výrok na 2. skříňce pravdivý

•

výrok na 3. skříňce nepravdivý (protože první člen implikace „není v této skříňce“ je pravdivý a zadní člen implikace „je v první“ je nepravdivý, a implikace v případě, že její přední člen je pravdivý a zadní nepravdivý, je celá nepravdivá)

•

výrok na 4. skříňce nepravdivý

Vzhledem k tomu, že z nápisů na skříňkách mají aspoň dva pravdivé, vidíme, že tato situace nastat nemůže. III. Předpokládejme, že poklad je ve třetí skříňce. V takovém případě je: •

výrok na 1. skříňce nepravdivý

•

výrok na 2. skříňce nepravdivý

•

výrok na 3. skříňce pravdivý (protože první člen implikace „není v této skříňce“ je nepravdivý a zadní člen implikace „je v první“ je také nepravdivý, tak implikace jako celek je pravdivá – je-li první člen implikace nepravdivý, pak bez ohledu na pravdivostní hodnotu druhého členu je celá implikace pravdivá – to je dobré si zapamatovat).

•

Výrok na 4. skříňce nepravdivý

Opět není splněna podmínka, že alespoň dva výroky jsou pravdivé. Tato situace tudíž nastat nemůže. IV. Předpokládejme, že poklad je ve čtvrté skříňce. V takovém případě je: •

výrok na 1. skříňce nepravdivý

•

výrok na 2. skříňce nepravdivý

•

výrok na 3. skříňce nepravdivý (protože první člen implikace je pravdivý, druhý nepravdivý, tudíž implikace jako celek je nepravdivá)

•

výrok na 4. skříňce nepravdivý

Tato situace vzhledem k podmínce ze zadání opět nemůže nastat. Závěr zní: poklad může být pouze v první skříňce. Možná Vám v tomto momentě připadá řešení příliš komplikované, nicméně idea je vlastně poměrně jednoduchá: rozebírají se jednotlivé možnosti a určuje se, zda mohou či nemohou nastat. Samotné určení, zda konkrétní výrok je pravdivý při daném uložení pokladu, je velmi jednoduché a rychlé – pokud člověk má pár příkladů tohoto typu za sebou :-) Správná odpověď je tedy a).

Zdroje [1] Testy studijních předpokladů a logika. Sylvie Kouřilová, Erik Caha, Pavel Caha. Fregment, 2007. [2] PDF soubory TSP MU použité v předchozích letech. Dostupné na http://www.muni.cz/admission/tsp (verze z 30.6.2013) [3] Statistické údaje o TSP. Dostupné na http://www.muni.cz/admission/bachelor_reports (verze z 30.6.2013)

Na tuto elektronickou publikaci navazují další učební materiály vystavené na webu: www.vseweb.cz

Kolektiv autorů, vydáno 30.11.2013, vydavatel Gymnázium Globe, s.r.o.