Analytické myšlení TSP MU – výroková logika II. Lehký úvod do výrokové logiky pro všechny, kdo se hlásí na Masarykovu univerzitu
Tento materiál vznikl v rámci realizace projektu: Globální vzdělávání pro udržitelný rozvoj v sítí spolupracujících škol, obce a ekologických sdružení. Reg. číslo CZ.1.07/1.1.00/14.0143
Lehký úvod do výrokové logiky (nejen pro ty, kteří se připravují na TSP MU) – část druhá V předchozí část materiálu o výrokové logice jsme se naučili stanovit pravdivostní hodnotu daného složeného výroku v závislosti na pravdivosti elementárních výroků, z nichž je sestaven, resp. zkonstruovat tabulku pravdivostních hodnot (která systematicky ukazuje, jaké jsou pravdivostní hodnoty daného složeného výroku ve všech různých situacích – daných různými kombinacemi pravdivostních hodnot zmíněných elementárních výroků). Zavedli jsme pojem ekvivalence dvou výroků a naučili jsme se zjišťovat, zda dané dva výroky jsou či nejsou ekvivalentní. Ukázali jsme si též několik pravidel, která nám umožňují zkonstruovat k danému složenému výroku, který obsahuje implikaci či disjunkci jako hlavní spojku, výrok ekvivalentní, aniž by bylo nutné připravovat tabulky pravdivostních hodnot. V této části si definujeme, co znamená, že daný (složený) výrok je negací jiného a dále zavedeme pojem vyplývání ve výrokové logice. Naučíme se, jak zjistit, zda daný výrok vyplývá z dané množiny jiných složených výroků a také se naučíme, jak postupovat v úlohách tohoto typu co možná nejjednodušeji.
Negování složeného výroku V TSP MU se stále v analytickém myšlení setkáváme s úlohami typu: „Který z uvedených výroků je negací (popřením) výroku daného?“ V této kapitole si ukážeme dva způsoby, jak se dají úlohy tohoto typu řešit.
Pojem negace výroku Definice: Výroky α a β jsou vzájemnými negacemi, případně že výrok α je negací výroku β, právě když se na každém řádku tabulky pravdivostních hodnot jejich pravdivostní hodnoty liší. Komentář: zhruba řečeno, ekvivalence dvou výroků znamená, že mají stejné pravdivostní hodnoty, negace znamená, že mají (ve všech řádcích) pravdivostní hodnoty opačné. Definice nám poskytuje i první návod, jak zjistit, zda daný výrok je negací jiného výroku. Cvičení Určete (na základě tabulek pravdivostních hodnot), které z následujících výroků jsou vzájemnými negacemi? a) Jestliže přijde Adam, pak Blanka nepřijde. b) Adam přijde a Blanka také přijde. c) Jestliže Adam nepřijde, pak přijde Blanka. d) Přijde Adam nebo přijde Blanka e) Adam ani Blanka nepřijdou. (= Adam nepřijde a Blanka nepřijde.) Řešení Písmenem A označíme výrok Přijede Adam., písmenem B výrok Přijede Blanka. Výroky a) až e) pak mají podobu: a) A → ¬B b) A ∧ B
c) ¬A → B d) A ∨ B e) ¬A ∧ ¬B Nyní vytvoříme tabulku pravdivostních hodnot těchto (složených) výroků (rozepište si případně podrobněji, jak jsme získali hodnoty ve sloupečcích příslušejících těmto složeným výrokům): a)
b)
c)
d)
e)
A
B
A → ¬B
A∧B
¬A → B
A∨B
¬A ∧ ¬B
I.
1
1
0
1
1
1
0
II.
1
0
1
0
1
1
0
III.
0
1
1
0
1
1
0
IV.
0
0
1
0
0
0
1
Okamžitě vidíme, že výroky a) a b) jsou vzájemnými negacemi (čili že výrok a) je negací výroku b) a zároveň samozřejmě jaké výrok b) je negací výroku a)), dále vidíme, že negací výroku c) je výrok e), stejně tak, jako v případě výroku d), který má negaci také e) – totéž „z druhé strany“: negací výroku e) je výrok c) či výrok d). Je tedy zřejmé, že k danému výroku nemusí být negace určená jednoznačně. To však neznamená, že by byla libovolná – pouze to znamená, že všechny negace daného výroku jsou navzájem ekvivalentní (promyslete si to!). Máme-li v testu úlohu typu „Který z následujících výroků je ekvivalentní výroku X“ a možnosti a) až e), lze postupovat tak, že: 1. Určíme jednotlivé elementární výroky, které se vyskytují ve výroku v zadání a v nabídnutých možnostech. 2. Vytvoříme tabulku pravdivostních hodnot pro výrok ze zadání a výroky v nabídnutých možnostech. 3. Nalezneme ten výrok, který má „přesně opačný sloupec v tabulce pravdivostních hodnot než výroku v zadání“.
Pravidla pro vytváření negací některých typických složených výroků Podobně jako v případě určování, který výrok je ekvivalentní výroku danému, není zapotřebí ve všech případech vytvářet tabulky pravdivostních hodnot, což může být někdy náročné na čas, ale lze použít několika pravidel pro negování složených výroků. Podíváme se nyní na jednotlivé logické spojky a ukážeme si, jak lze vytvořit negaci bez pomoci tabulky pravdivostních hodnot. Je dobré si uvědomit, co vlastně děláme, pokud vytváříme negaci výroku danému: hledáme takový výrok, který platí právě v těch (všech) situacích, kdy neplatí výrok daný a naopak.
Negování výroku ve tvaru konjunkce Znegovat konjunkci znamená znegovat oba její členy a spojit je pomocí spojky disjunkce. Symbolicky: negací výroku A ∧ B je výrok ¬A ∨ ¬B. Je to přirozené, neboť tvrdím-li výrok v podobě konjunkce, říkám, že platí obě dvě jeho
části. Pokud bych chtěl toto tvrzení popřít, musel bych říci, že aspoň jeden z výroků A, B neplatí, tj. negace A nebo negace B platí. Čili platí disjunkce ¬A ∨ ¬B. Konkrétní ukázka: tvrdí-li někdo, že umí anglicky a umí německy, tak „při lži ho přistihneme“ ve třech případech: v případě, že dotyčný neumí anglicky, ale umí německy, dále v případě, že umí anglicky, ale neumí německy, a do třetice v případě, že neumí ani jeden z těchto jazyků. Jinými slovy, aspoň jeden (možná oba – jsme v nevylučovacím případě), z výroků umí anglicky, umí německy neplatí. Platí tedy aspoň jeden z výroků neumí anglicky, neumí německy, což je právě inkriminovaná disjunkce: neumí anglicky nebo neumí německy. Poznámka: pokud bychom měli znegovat podle tohoto pravidla výrok např. ¬A ∧ B, pak výsledkem by byl výrok ¬¬A ∨ ¬B. Nicméně víme, že dvojitá negace čehokoliv je totéž, jako výrok samotný, a proto bychom spíše psali A ∨ ¬B. (Kdybychom chtěli být extrakorektní, doplnili bychom, že výroky ¬¬A ∨ ¬B a A ∨ ¬B jsou ekvivalentní). Podobným způsobem budeme postupovat v případě dalších spojek.
Negování výroku ve tvaru disjunkce Znegovat disjunkci znamená znegovat oba její členy a spojit je pomocí spojky konjunkce. Symbolicky: negací výroku A ∨ B je výrok ¬A ∧ ¬B. Opět je to přirozené, neboť tvrdím-li výrok v podobě disjunkce, říkám, že platí aspoň jedna z jeho částí. Pokud bych chtěl toto tvrzení popřít, musel bych říci, že oba dva z výroků A, B neplatí, čili platí současně negace výroků A, B. Čili platí konjunkce ¬A ∧ ¬B. Konkrétní ukázka: tvrdí-li někdo, že umí anglicky nebo umí německy, tak „při lži ho přistihneme“ pouze v případě, že by neuměl ani jeden z těchto jazyků, tj. neuměl anglicky a zároveň neuměl německy.
Negování výroku ve tvaru implikace Znegovat implikaci znamená první člen nechat v původní podobě, druhý člen znegovat a spojit je oba spojkou konjunkce. Symbolicky: negací výroku A → B je výrok A ∧ ¬B. Zde možná není na první pohled úplně jasně vidět, proč tomu tak je, ale pokusíme se to osvětlit: implikace „jestliže A, pak B“ říká, co se má stát, pokud je výrok/podmínka A splněn(a) – má nastat B. Chceme-li toto tvrzení popřít, musíme zachytit situaci, kdy výrok A je splněn, ale výrok B nikoliv. To je ovšem přesně situace, kdy platí konjunkce výroku A a negace výroku B. Konkrétní ukázka: tvrdí-li někdo: „Jestliže umím česky, pak umím také slovensky.“ a my bychom ho chtěl usvědčit ze lži, museli bychom tvrdit, že dotyčný (sice) umí česky, ale slovensky neumí.
Negování výroku ve tvaru ekvivalence Znegovat ekvivalenci znamená jeden ze členů ekvivalence znegovat a „zbytek nechat“. Symbolicky: negací výroku A ↔ B je výrok A ↔ ¬B či výrok ¬A ↔ B (ověřte v tabulce, že jsou ekvivalentní). Vzhledem k tomu, že úlohy na určování negací výroků ve tvaru ekvivalence se v TSP MU prakticky nevyskytují, nebudeme jim věnovat takovou pozornost – pravidlo pro negování ekvivalence jsme uvedli spíše pro úplnost.
Cvičení Pomocí výše zmíněných pravidel pro negování znegujte následující výroky (bez použití tabulky pravdivostních hodnot): a) Jestliže mrzne, pak je kluzko. b) Jestliže je teplo, jdeme se koupat nebo jdeme na zmrzlinu. c) Koupil košťátko, ale nekoupil lopatku. d) Objednáme si myčku nebo si pořídíme služebnou. e) Jestliže nemám svetr, pak mám rolák. f) Není chytrý nebo není bohatý. Řešení a) výrok má podobu implikace, první člen (mrzne) tedy necháme a druhou člen (je kluzko) znegujeme a obě tyto části spojíme pomocí konjunkce –dostáváme tak jako výsledek výrok: Mrzne, a není kluzko. (což je totéž, co Mrzne, ale není kluzko.) b) výrok má podobu implikace, jejíž druhý člen je ovšem opět složený výrok (který má podobu disjunkce). Budeme postupovat analogicky: první člen (je teplo) necháme a druhý člen (jdeme se koupat nebo jdeme na zmrzlinu) znegujeme – musíme tedy znegovat disjunkci, která se neguje tak, že obě části znegujeme a spojíme je konjunkcí. Výsledek má tedy tvar: Je teplo, a nejdeme se koupat a nejdeme na zmrzlinu. c) výrok má podobu konjunkce (spojka ale zde funguje jako spojka a), obě dvě části tedy znegujeme a dáme mezi ně disjunkci. Výsledek je: Nekoupil košťátko nebo koupil lopatku. d) výrok má podobu disjunkce, tedy podle pravidel obě části znegujeme a spojíme konjunkcí: výsledek je tedy: Neobjednáme si myčku a nepořídíme si služebnou. e) výrok má podobu implikace, proto při negování první člen necháme a druhý znegujeme a oba spojíme konjunkcí. Výsledek je: Nemám svetr a nemám rolák. f) výrok má podobu disjunkce, proto při negování znegujeme oba členy a spojíme je konjunkcí. Výsledek je: Je chytrý a je bohatý.
Shrnutí kapitoly o negování složeného výroku Úlohy na negování složeného výroku patří k úlohám, které se v TSP MU vyskytují relativně často. K jejich řešení máme nyní k dispozici dvě metody. První, tabulkovou, která vždy vede k cíli, někdy však může být poněkud zdlouhavá. Druhý způsob se opírá o sadu pravidel, jak znegovat výroky mající konkrétní tvar. Tento způsob je rychlejší – uchazeč, který má tuto látku procvičenou, vyřeší takového úlohy v řádu několika málo desítek sekund. Pozn. Může se stát, že po aplikaci „našich“ pravidel pro negování získáme výrok, který mezi nabídnutými možnostmi není. To znamená, že mezi nabídnutými možnostmi musíme hledat takový výrok, který je námi vytvořené negaci ekvivalentní (což opět můžeme dělat pomocí tabulky nebo pravidel). Tato situace však není v testech příliš obvyklá, je však dobré si ji promyslet. Který z následujících výroků je negací (popřením) výroku daného Neprší a vysvitlo sluníčko. a) Neprší a nevysvitlo sluníčko b) Prší a nevysvitlo sluníčko.
c) Jestliže neprší, pak nevysvitlo sluníčko. d) Jestliže prší, pak nevysvitlo sluníčko. e) Prší nebo vysvitlo sluníčko. Pokud bychom aplikovali naše pravidla, dospěli bychom ke větě: Prší nebo nevysvitlo sluníčko. Tu v nabídnutých možnostech ovšem nemáme. Čili budeme hledat takovou možnost, která obsahuje výrok ekvivalentní tomuto našemu. Ekvivalentní výrok k disjunkci dostaneme třeba tak (viz první díl našeho textu), že první člen znegujeme a implikací připojíme druhý člen původní disjunkce (beze změn). Tím dostaneme výrok Jestliže neprší, pak nevysvitlo sluníčko., který už v nabídnutých možnostech je. Správnou odpovědí je tedy c). V rámci procvičování doporučujeme, abyste si zkusili vyřešit tuto úlohu pomocí tabulek.
Vyplývání/odvozování ve výrokové logice Posledním typem úloh, jimiž se v tomto textu budeme zabývat, jsou úlohy založené na pojmu vyplývání ve výrokové logice. Naučíme se tedy řešit úlohy, jejichž otázka zpravidla zní: který z následujících výroků vyplývá (je logicky korektní jej odvodit) z výroků daných? Jako v předchozích případech si ukážeme dva postupy: pomocí tabulek pravdivostních hodnot a druhý, pomocí pravidel. Nejprve si ale pojem vyplývání definujeme: Definice: Řekneme, že výrok Z vyplývá z výroků P a Q, když platí, že výrok Z je pravdivý ve všech situacích, kdy jsou současně pravdivé výroky P a Q. Definice jinými slovy říká, že se nestane, že by v nějaké situaci byly pravdivé výroky P a Q, ale výrok Z neplatil. (Výrokům P a Q se v tomto kontextu často říká předpoklady a výroku Z závěr – i my se tohoto úzu budeme držet.). Řečeno ještě jinak: kdykoliv platí předpoklady, pak platí i závěr. Na to můžeme v jistém smyslu nahlížet jako na jev, kdy platnost předpokladů již vynucuje platnost závěru.
Tabulková metoda řešení úloh na vyplývání ve výrokové logice Podobně jako v předchozích typech úloh nám poskytuje definice návod, jak postupovat v úlohách tohoto typu. Postup se dá shrnout do těchto čtyř bodů: 1. Určíme elementární výroky ve výrocích v zadání (tj. předpokladech) a v nabídnutých odpovědích (tj. možných závěrech). 2. Vytvoříme tabulku pravdivostních hodnot pro předpoklady a pro možné závěry. 3. Vyškrtneme všechny řádky tabulky, kromě těch, v nichž jsou OBA předpoklady pravdivé. 4. Určíme ten výrok z možných závěrů, který má na všech nevyškrtnutých řádcích tabulky samé jedničky. Stojí za to se zamyslet, že tímto postupem opravdu odhalíme výrok, který z dané sady výroků vyplývá. V bodě 3. vyškrtáváme všechny řádky tabulky kromě těch, které mají u obou předpokladů jedničky. Je jasné, že to, co nám v tabulce zbude, tj. to, co jsme neproškrtli, jsou právě ty řádky (=situace), ve kterých jsou pravdivé naráz oba výroky P a Q. Pokud některý z možných závěrů má na těchto řádcích (pouze) jedničky, znamená to, že je pravdivý ve všech situacích, kdy jsou pravdivé výroky P a Q. A to je přesně to, o čem se hovoří v definici
vyplývání. Předveďme si tento postup na konkrétním příkladě: Příklad Určete, který z následujících výroků vyplývá (je logicky korektní ho odvodit) z výroků daných: Netvoří se náledí nebo je kluzko. (předp. 1) Jestliže mrzne, pak se tvoří náledí. (předp. 2) a) Jestliže se netvoří náledí, pak není kluzko. b) Jestliže nemrzne, pak není kluzko. c) Jestliže není kluzko, pak nemrzne. d) Mrzne nebo není kluzko. e) Mrzne a je kluzko. Řešení Prohlédnutím úlohy zjistíme, že v úloze figurují tyto tři elementární výroky: Tvoří se náledí. (označme si ho N) Je kluzko. (ozn. K) Mrzne (ozn. M) Tím jsme splnili bod 1. Nyní si uděláme tabulku pravdivostních hodnot (bod 2.). Vzhledem k tomu, že máme trojici elementárních výroků, budeme potřebovat tabulku s osmi řádky (plus záhlaví). Vyplněná tabulka tedy vypadá následovně: N K
M
Předp. 1 ¬Ν ∨ K
Předp. 2 a) M → N ¬Ν → ¬Κ
1
1
1
1
1
1
1
0
1
1
1
0
1
0
1
1
0
0
0
1
0
1
1
1
0
0
1
0
1
1
0
0
1
1
0
0
0
0
1
1
b) ¬Μ → ¬Κ
c) ¬K → ¬M
d)
e)
M ∨ ¬Κ M ∧ K
Zdroje [1] Testy studijních předpokladů a logika. Sylvie Kouřilová, Erik Caha, Pavel Caha. Fregment, 2007. [2] PDF soubory TSP MU použité v předchozích letech. Dostupné na http://www.muni.cz/admission/tsp (verze z 30.6.2013) [3] Statistické údaje o TSP. Dostupné na http://www.muni.cz/admission/bachelor_reports (verze z 30.6.2013)
Na tuto elektronickou publikaci navazují další učební materiály vystavené na webu: www.vseweb.cz
Kolektiv autorů, vydáno 30.11.2013, vydavatel Gymnázium Globe, s.r.o.
