Řešené příklady ze stavební fyziky

ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE Fakulta stavební

Řešené příklady ze stavební fyziky Šíření tepla konstrukcí, tepelná bilance prostoru a vlhkostní bilance vzduchu v ustáleném stavu

doc. Dr. Ing. Zbyněk Svoboda Ing. Jiří Novák, Ph.D.

Praha 2014

Evropský sociální fond Praha a EU: Investujeme do vaší budoucnosti

Obsah 1

Šíření tepla konstrukcí v ustáleném stavu ................................................. 3 1.1

Základní teorie ............................................................................................................. 3

1.1.1 1.1.2 1.1.3 1.1.4 1.1.5 1.1.6 1.1.7 1.1.8 1.1.9 1.1.10 1.1.11 1.1.12

1.2 1.3

Základní modelové příklady ...................................................................................... 20 Komplexní modelové příklady .................................................................................. 27

1.3.1 1.3.2 1.3.3 1.3.4

2

Obvodová stěna 1 .............................................................................................................. 27 Obvodová stěna 2 .............................................................................................................. 32 Obvodová stěna 3 .............................................................................................................. 36 Obvodová stěna 4 .............................................................................................................. 41

Tepelná bilance prostoru v ustáleném stavu ........................................... 49 2.1

Základní teorie ........................................................................................................... 50

2.1.1 2.1.2 2.1.3 2.1.4 2.1.5

2.2

3

Šíření tepla vedením ............................................................................................................ 3 Šíření tepla prouděním ........................................................................................................ 4 Šíření tepla sáláním ............................................................................................................. 5 Dlouhovlnné sálání mezi povrchy těles ............................................................................... 7 Dlouhovlnné sálání proti jasné obloze................................................................................. 9 Sluneční záření .................................................................................................................... 9 Šíření tepla v nevětraných vzduchových dutinách ............................................................ 10 Hustota tepelného toku konstrukcí, tepelný odpor a součinitel prostupu tepla ................. 11 Vliv tepelných mostů ......................................................................................................... 13 Teplo procházející konstrukcí ....................................................................................... 13 Rozložení teploty v konstrukci ...................................................................................... 13 Elektrická analogie ........................................................................................................ 15

Měrný tepelný tok prostupem tepla ................................................................................... 50 Měrný tepelný tok větráním .............................................................................................. 51 Průměrný součinitel prostupu tepla budovy ...................................................................... 51 Tepelná bilance prostoru ................................................................................................... 52 Potřeba tepla na vytápění bez vlivu tepelných zisků ......................................................... 53

Modelové příklady .................................................................................................... 54

Vlhkostní bilance vzduchu v ustáleném stavu ......................................... 61 3.1

Základní teorie ........................................................................................................... 61

3.1.1 3.1.2 3.1.3 3.1.4

3.2

Vlastnosti vzduchu nasyceného vodní párou..................................................................... 61 Vlastnosti běžně vlhkého vzduchu .................................................................................... 61 Vlhkostní bilance vzduchu v uzavřeném prostoru............................................................. 62 Teplota rosného bodu a povrchová kondenzace vodní páry .............................................. 62

Modelové příklady .................................................................................................... 63

Přílohy ................................................................................................................ 71 Příloha 1 – Emisivita vybraných materiálů a povrchových úprav (dlouhovlnné tepelné záření) ................................................................................................................................... 71 Příloha 2 – Pohltivost slunečního záření pro vybrané materiály a povrchové úpravy ......... 72

1

Šíření tepla konstrukcí v ustáleném stavu

1.1

Základní teorie

1.1.1

Šíření tepla vedením

Hustota tepelného toku vedením je obecně definována Fourierovým zákonem

      qcd     x , y , z y z   x kde

λ θ

je

[W/m2]

(1.1)

[W/m2]

(1.2)

[W/m2]

(1.3)

součinitel tepelné vodivosti ve W/(m.K) teplota ve ˚C.

Pro jednorozměrné šíření tepla vedením přechází rovnice (1.1) na tvar

qcd  

d dx

přičemž samotnou velikost hustoty tepelného toku lze vyjádřit vztahem

qcd   kde

 d Δθ d

je

rozdíl teplot na obou površích materiálu (Obr. 1-1) ve ˚C tloušťka materiálu ve směru tepelného toku v m.

θ1 směr tepelného toku pro

θ2

θ1 > θ2 d

Obr. 1-1: Tepelný tok materiálem s rozdílnými povrchovými teplotami

Časové a prostorové rozložení teploty je popsáno rovnicí vedení tepla v obecném tvaru

                       Q   c x  x  y  y  z  z  t kde

Q ρ c

je

velikost vnitřního zdroje tepla (produkce tepla v materiálu) ve W/m3 objemová hmotnost materiálu v kg/m3 měrná tepelná kapacita materiálu v J/(kg.K)

(1.4)

čas v s souřadnice bodu, v němž se určuje teplota θ v m.

t x,y,z

Pro nejjednodušší jednorozměrné šíření tepla v ustáleném stavu přechází rovnice (1.4) na tvar



d 2 0 dx 2

(1.5)

který lze vyřešit pro homogenní oblast analyticky a získat rovnici pro lineární průběh teploty v materiálu

 ( x)  1  x kde

θj d x

1   2 

[˚C]

d je

(1.6)

teplota na j-tém povrchu homogenního materiálu (Obr. 1-2) ve ˚C celková tloušťka homogenního materiálu ve směru tepelného toku v m vzdálenost od povrchu s teplotou θ1 v m. θ

θ1

θ2

d

x

Obr. 1-2: Lineární průběh teploty v homogenním materiálu v ustáleném stavu

1.1.2

Šíření tepla prouděním

Pro analýzu šíření tepla stavební konstrukcí je významné především šíření tepla prouděním mezi povrchem konstrukce a okolním vzduchem. Hustotu tepelného toku prouděním z povrchu konstrukce do okolí lze určit vztahem

qc  hc   s   a  kde

hc θs θa

je

[W/m2]

(1.7)

součinitel přestupu tepla prouděním ve W/(m2K) teplota povrchu konstrukce ve ˚C teplota okolního vzduchu ve ˚C.

Rozlišují se dva případy proudění vzduchu při povrchu konstrukce:  přirozené proudění  vynucené proudění Přirozené proudění je vyvoláno rozdílem hustoty vzduchu v důsledku rozdílné teploty. Pokud je např. teplota vzduchu nižší než teplota povrchu, bude se vzduch při povrchu ohřívat, jeho hustota bude klesat a vzduch začne v tenké vrstvě při povrchu proudit směrem vzhůru. K přirozenému proudění do-

chází především na vnitřních površích konstrukcí. Součinitel přestupu tepla prouděním na vnitřním povrchu hci se v technických výpočtech obvykle uvažuje hodnotami 2,5 W/(m2.K) pro vodorovný tepelný tok; 5,0 W/(m2.K) pro tepelný tok nahoru a 0,7 W/(m2.K) pro tepelný tok dolů. V případě potřeby (např. pokud očekáváme neobvyklý rozdíl mezi teplotou povrchu a okolního vzduchu) můžeme pro odhad součinitele přestupu tepla přirozeným prouděním na vnitřním povrchu konstrukcí použít zjednodušený vztah:

hc  2  a   s

1 4

[W/(m2.K)] směr proudění

s

s

(1.8)

a > s

směr tepelného toku

směr tepelného toku

a < s

směr proudění

Obr. 1-3: Přestup tepla přirozeným prouděním. s je teplota povrchu konstrukce a je teplota vzduchu

Vynucené proudění není vyvoláno rozdílem teplot, ale např. větracím zařízením, větrem apod. Pro výpočty ve stavební tepelné technice je důležité proudění větru na vnějším líci konstrukce. Součinitel přestupu tepla pro vnější povrch konstrukce hce je možné vypočítat v závislosti na rychlosti větru takto:

hce  4  4  v kde

v

[W/m2] je

(1.9)

rychlost větru v m/s.

Obvykle se uvažuje rychlost větru v = 4 m/s a součinitel přestupu tepla hce = 20 W/m2.K. K přirozenému proudění na vnějším líci konstrukce by mohlo dojít při úplném bezvětří, takový předpoklad je ovšem pro technickou praxi nereálný.

1.1.3

Šíření tepla sáláním

Hustota tepelného toku sáláním emitovaného (vyzářeného) povrchem tělesa se obecně stanoví ze Stefanova-Boltzmannova zákona

qr      T 4 kde

ε σ T

je

[W/m2]

(1.10)

emisivita povrchu tělesa Stefanova-Boltzmannova konstanta (5,67.10-8 W/(m2K4)) absolutní (termodynamická) teplota povrchu tělesa v K.

Při dopadu na povrch tělesa může být část dopadajícího sálavého toku odražena, část pohlcena a část může tělesem procházet (Obr. 1-4):

qr  qref  qa  qt kde

qr

je

[W/m2] hustota tepelného toku sáláním dopadající na povrch tělesa ve W/m2

(1.11)

odražená složka dopadajícího sálavého toku ve W/m2 pohlcená složka dopadajícího sálavého toku ve W/m2 procházející složka dopadajícího sálavého toku ve W/m2

qref qa qt

Velikost jednotlivých složek závisí na pohltivosti, odrazivosti a propustnosti:

qref    qr

[W/m2]

(1.12)

qa    qr

[W/m2]

(1.13)

qt    qr

[W/m2]

(1.14)

[W/m2]

(1.15)

kde

  

je

odrazivost (bezrozměrná) pohltivost (bezrozměrná) propustnost (bezrozměrná)

Ze vztahu (1.10) vyplývá, že pro odrazivost, pohltivost a propustnost vždy platí:

     1 qr

qref = ·qr povrch qa = ·qr

qt = ·qr

materiál

těleso

Obr. 1-4: Rozklad tepelného toku sáláním při dopadu na povrch tělesa

Emisivita, odrazivost a pohltivost jsou vlastnostmi povrchu tělesa, propustnost je vlastností materiálu. Emisivita a odrazivost závisí na vlnové délce záření (sálání). Povrchy s vysokou teplotou emitují záření s krátkou vlnovou délkou, povrchy s nízkou teplotou emitují záření s delšími vlnovými délkami. Ve stavební tepelné technice proto rozlišujeme:  krátkovlnné sluneční záření (Slunce má teplotu přibližně 5 800 K)  dlouhovlnné sálání, které emitují povrchy při běžných teplotách, které jsou o řád nižší než teplota Slunce (okolo 300 K) Pro dlouhovlnné sálání ve výpočtech stavební tepelné techniky platí:  emisivita povrchu je rovná jeho pohltivosti ( = )  emisivita (tedy i pohltivost) se pro většinu stavebních materiálů uvažuje 0,9 - výjimkou jsou např. leštěné kovy bez povrchové úpravy, jejichž emisivita může být nižší než 0,1  stavební materiály nepropustné pro dlouhovlnné sálání ( = 0) Pro krátkovlnné sluneční záření platí:  s emisivitou se nepracuje (jediným zdrojem slunečního záření je Slunce; intenzita slunečního záření se měří, není potřeba ji počítat pomocí vztahu (1.10)  pohltivost slunečního záření a pohltivost (emisivita) při dlouhovlnném sálání se pro stejný povrch často liší  pohltivost slunečního záření dobře koreluje s barvou povrchu (emisivita ne) - světlejší povrchy mají menší pohltivost slunečního záření než tmavší

Při výpočtech tepelné výměny dlouhovlnným sáláním je potřeba důsledně dávat pozor na to, jaká teplota se má dosadit do výpočetních vztahů – zda teplota v Celsiově stupnici (v této publikaci se značí  a udává se ve °C) nebo tzv. absolutní (termodynamická) teplota (v této publikaci se značí a udává se v K). Pro absolutní teplotu platí:

T    273,15

1.1.4

[K]

(1.16)

Dlouhovlnné sálání mezi povrchy těles

V reálné situaci dochází ke vzájemnému sálání povrchů několika těles. Vzájemná sálavá výměna závisí nejen na teplotě a emisivitě povrchu těles, ale také na jejich prostorovém uspořádání. Výpočet hustoty tepelného toku sáláním je v obecných případech komplikovaný. Pro výměnu tepla sáláním mezi dvěma povrchy platí:

Φ1,2  A1  hr  (T1  T2 ) 1,2 je

kde

A1 hr Tj

[W]

(1.17)

[W/(m2.K)]

(1.18)

[K]

(1.19)

tepelný tok sáláním z povrchu 1 na povrch 2 ve W plocha povrchu 1 v m2 součinitel přestupu tepla sáláním ve W/(m2.K) absolutní teplota j-tého povrchu v K.

Součinitel přestupu tepla sáláním mezi dvěma povrchy se vypočítá takto:

hr 

4    T1,23 1  1 1 1   2 A1    1 F1,2  2 A2

kde

T 1,2 je εj F1,2 Aj

střední absolutní teplota sálajících povrchů v K emisivita j-tého povrchu poměr sálání z povrchu 1 na povrch 2 plocha j-tého povrchu

Střední absolutní teplota sálajících povrchů se vypočítá takto:

T 1,2 

T1  T2 2

Poměr sálání F1,2 vyjadřuje, jaká část sálavého toku vyzářeného z plochy A1 (povrch 1) dopadá přímo (bez odrazů) na plochu A2 (povrch 2). Poměr sálání je geometrická veličina, její hodnota může být nanejvýše rovná 1. Závisí na velikosti, tvaru, vzdálenosti a úhlu, který svírají sálající povrchy. Výpočet poměru sálání pro obecné případy je složitý, v literatuře je však možné nalézt vztahy pro typické situace, které se v praxi často opakují. Např. pro rovinný povrch 1 na Obr. 1-5, který je zcela obklopen povrchem 2, a dohromady s ním vytváří uzavřenou plochu, platí F1,2 = 1 (veškerý sálavý tepelný tok vyzářený povrchem 1 dopadá bez odrazu na povrch 2). Totéž platí pro dva rovnoběžné, rovinné povrchy. Výměna tepla sáláním mezi dvěma rovnoběžnými povrchy je zvláštním a důležitým případem. Tepelný tok sáláním mezi dvěma rovnoběžnými povrchy se stanoví obecně jako

1, 2    1, 2  A  T14  T24  kde

A Tj ε1,2

je

[W]

plocha povrchů v m2 (platí A = A1 = A2) teplota j-tého povrchu v K emisivita vzájemného sálání obou povrchů, která se určí ze vztahu

(1.20)

 1, 2 

1

1 kde



1 1

2

εj

[-]

(1.21)

1 emisivita j-tého povrchu.

je

A2

A2 A1

A1

Obr. 1-5: Zvláštní případy dvou povrchů, pro které je poměr sálání F 1,2 = 1. Vlevo – dva povrchy, které tvoří uzavřenou plochu. Vpravo – dva rovnoběžné povrchy.

V technické praxi se místo obecného vztahu (1.20) používá častěji upravený vztah

1, 2  hr  A  1   2  kde

hr θj

je

[W]

(1.22)

[W/(m2.K)]

(1.23)

součinitel přestupu tepla sáláním ve W/(m2.K) teplota j-tého povrchu ve C.

Součinitel přestupu tepla sáláním hr lze obecně vyjádřit jako

  1, 2  T14  T24  hr  1   2

ale obvykle se v technických výpočtech uvažuje zjednodušeně konstantní hodnotou 4,6 W/(m2.K), která je použitelná pro povrchy s běžnou emisivitou 0,9. Tepelný tok sáláním mezi dvěma rovnoběžnými povrchy se můžeme pochopitelně vypočítat také pomocí vztahů (1.17) a (1.18). Pro dva rovnoběžné povrchy platí:

F1,2  1 A1  A2  A

[-]

(1.24)

[m2]

(1.25)

[W]

(1.26)

Když dosadíme (1.24) a (1.25) postupně do (1.18) a (1.17), dostáváme po úpravách:





Φ1,2  A  hr  (T1  T2 )  A  4    1,2  T 1,2  T1  T2  kde

ε1,2

T 1,2

je

3

emisivita vzájemného sálání obou povrchů podle (1.21) střední absolutní teplota sálajících povrchů v K podle (1.19).

1.1.5

Dlouhovlnné sálání proti jasné obloze

Při jasné, bezoblačné obloze mohou tělesa na zemském povrchu emitovat sálavý tepelný tok proti vrchním vrstvám atmosféry. Jasnou oblohu si tedy můžeme představit jako fiktivní povrch s velmi nízkou teplotou. Zdánlivou teplotu jasné oblohy sky je možné odhadnout v závislosti na teplotě venkovního vzduchu a takto:

sky  1, 2 a  14 sky  1,1a  5

pro vodorovný povrch

pro svislý povrch

[°C]

(1.27)

[°C]

(1.28)

Při zatažené obloze se teplota oblohy uvažuje shodná s teplotou venkovního vzduchu (oblačnost brání sálavé výměně mezi tělesy na zemském povrchu a vrchními vrstvami atmosféry):

 sky  a 1.1.6

[°C]

(1.29)

Sluneční záření

Sluneční záření je rovněž formou sálavého tepelného toku. Hustotu tohoto sálavého toku budeme v této publikaci nazývat intenzitou slunečního záření I [W/m2]. Sluneční záření se skládá z přímé a difuzní složky. Intenzitu obou složek je možné změřit, jejich součet se nazývá celková (globální) intenzita slunečního záření. V této publikaci se pracuje pouze s celkovou intenzitou slunečního záření jako s okrajovou podmínkou převzatou např. z meteorologických záznamů. Sluneční záření se po dopadu na povrch nepropustného tělesa částečně odrazí a zbývající část je na povrchu tělesa pohlcena ve formě tepla ( = 0; stavební materiály kromě skla a průsvitných plastů). Absorbované teplo se může dále šířit:  vedením uvnitř tělesa  prouděním a dlouhovlnným sáláním z povrchu tělesa do okolního prostředí Po dopadu slunečního záření na vnější povrch tělesa z propustného materiálu (sklo, průsvitné plasty) je část sálavého toku odražena, část propuštěna přímo a část pohlcena ve formě tepla. Absorbované teplo se může dále šířit:  prouděním a dlouhovlnným sáláním z vnějšího povrchu tabule do venkovního prostředí  vedením od vnějšího povrchu tabule k vnitřnímu a z vnitřního povrchu dále prouděním a dlouhovlnným sáláním do vnitřního prostředí Energie slunečního záření se tedy skrz skleněnou tabuli šíří (Obr. 1-6):  přímo, ve formě krátkovlnného sálání (propuštěné sluneční záření)  nepřímo, ve formě tepla předaného z vnitřního povrchu tabule I [W/m2] qref = ·qr qae

qa = ·qr qt = ·qr

propustný prvek qai

sálavý tok teplo Obr. 1-6: Rozklad slunečního záření při prostupu propustným prvkem (např. skleněnou tabulí)

Poměr mezi intenzitou slunečního záření dopadajícího na vnější povrch tabule a hustotou tepelného toku předanou přímo i nepřímo do vnitřního prostředí se nazývá celková propustnost slunečního záření g [-]:

g

qt  qai I

kde

g qt qai I

[-] je

(1.30)

celková propustnost slunečního záření hustota tepelného toku sáláním (sluneční záření), které prostupuje přímo hustota tepelného toku, prostupující nepřímo intenzita slunečního záření dopadající na vnější povrch

Stejným způsobem se definuje celková propustnost slunečního záření pro zasklívací jednotky (dvojsklo, trojsklo), rozklad slunečního záření je složitější. Celková propustnost slunečního záření je závislá na vlastnostech skla, jeho povrchu, úhlu dopadu slunečního záření a podmínkách, které ovlivňují přestup tepla z vnitřního povrchu do vnitřního prostředí. Výrobci průsvitných prvků uvádějí hodnoty g stanovené pro standardizované podmínky.

1.1.7

Šíření tepla v nevětraných vzduchových dutinách

V nevětraných vzduchových dutinách se teplo šíří vedením, prouděním i sáláním. Celkovou hustotu tepelného toku z jednoho povrchu ohraničujícího vzduchovou dutinu na druhý lze určit jako součet dílčích hustot tepelných toků

q  qcd  qc  qr

[W/m2]

(1.31)

[W/m2]

(1.32)

qc  hc 1  2 

[W/m2]

(1.33)

qr  hr 1  2 

[W/m2]

(1.34)

kde

qcd qc qr

je

hustota tepelného toku vedením ve W/m2 hustota tepelného toku prouděním ve W/m2 hustota tepelného toku sáláním ve W/m2.

Jednotlivé hustoty tepelných toků jsou definovány jako

qcd 

 d

1   2 

takže celkovou hustotu tepelného toku nevětranou vzduchovou dutinou lze vyjádřit také vztahem

  q    hc  hr 1   2  d   kde

 d θj

je

[W/m2]

(1.35)

součinitel tepelné vodivosti nehybného vzduchu (obvykle se uvažuje hodnotou 0,025 W/(mK)) tloušťka vzduchové dutiny ve směru tepelného toku v m teplota j-tého povrchu ohraničujícího vzduchovou dutinu ve C.

1.1.8

Hustota tepelného toku konstrukcí, tepelný odpor a součinitel prostupu tepla

Prostup tepla konstrukcí standardně zahrnuje jednak šíření tepla vedením samotnou konstrukcí (resp. šíření tepla vedením, sáláním a prouděním v nevětraných vzduchových dutinách v konstrukci) a jednak dvojí přestup tepla mezi povrchem konstrukce a okolním vzduchem (Obr. 1-7).



i

přestup

vedení

přestup

si

se

e

d

x

Obr. 1-7: Průběh teploty v jednovrstvé konstrukci s vyznačením přestupu a vedení tepla

Na vnitřním i vnějším povrchu konstrukce dochází k přestupu tepla prouděním a sáláním. Pro vnitřní povrch lze hustotu tepelného toku prouděním a sáláním vyjádřit jako

qsi  hsi i   si  kde

hsi

i si

je

[W/m2]

(1.36)

součinitel přestupu tepla na vnitřním povrchu konstrukce ve W/(m2.K) teplota vnitřního vzduchu ve C teplota vnitřního povrchu konstrukce ve C.

Pro hustotu tepelného toku na vnějším povrchu se použije analogický vztah

qse  hse  se  e  kde

hse

e se

je

[W/m2]

(1.37)

součinitel přestupu tepla na vnějším povrchu konstrukce ve W/(m2.K) teplota vnějšího vzduchu ve C teplota vnějšího povrchu konstrukce ve C.

Hustotu tepelného toku vedením uvnitř konstrukce lze vyjádřit vztahem

qcd 

 d

 si   se 

[W/m2]

(1.38)

který platí v této formě pro jednovrstvou konstrukci. V ustáleném stavu je hustota tepelného toku ve všech místech konstrukce (tedy i na jejím povrchu) shodná. Platí tedy

qcd  qsi  qse

[W/m2]

(1.39)

Do vztahu (1.38) lze proto dosadit vyjádření povrchových teplot ze vztahů (1.36) a (1.37) a získat vyjádření hustoty tepelného toku konstrukcí ve tvaru

q

i  e 1 d 1   hsi  hse

[W/m2]

(1.40)

Obrácené hodnoty součinitelů přestupu tepla se obvykle nahrazují tepelnými odpory při přestupu tepla na vnitřním a na vnějším povrchu konstrukce:

Rsi 

1 hsi

[m2K/W]

(1.41)

Rse 

1 hse

[m2K/W]

(1.42)

[W/m2]

(1.43)

a vztah (1.40) pak přechází do tvaru

q

i  e d Rsi   Rse 

Tepelné odpory při přestupu tepla Rsi a Rse se v technické praxi uvažují smluvními hodnotami. Pro odpor při přestupu tepla na vnitřním povrchu Rsi se používají hodnoty 0,13 W/(m2.K) pro vodorovný tepelný tok; 0,10 W/(m2.K) pro tepelný tok vzhůru a 0,17 W/(m2.K) pro tepelný tok dolů. Pro odpor při přestupu tepla na vnějším povrchu Rse se používají hodnoty 0,04 W/(m2.K) pro povrchy v kontaktu s venkovním vzduchem; 0,13 W/(m2.K) pro povrchy uvnitř větrané dutiny ve dvouplášťových stěnách; 0,10 W/(m2.K) pro povrchy uvnitř větrané dutiny ve dvouplášťových střechách a 0,0 W/(m2.K) pro povrchy v kontaktu se zeminou. Podíl tloušťky a součinitele tepelné vodivosti definuje tepelný odpor konstrukce, který lze pro obecně vícevrstvou konstrukci vyjádřit jako

d

R



kde

d



[m2K/W] je

(1.44)

tloušťka vrstvy konstrukce v m součinitel tepelné vodivosti vrstvy konstrukce ve W/(m.K).

Součet tepelného odporu a tepelných odporů při přestupu tepla se označuje jako tepelný odpor při prostupu tepla

RT  Rsi  R  Rse

[m2K/W]

(1.45)

Jeho obrácená hodnota vyjadřuje základní tepelně technický parametr stavební konstrukce - součinitel prostupu tepla, pro který se standardně používá vztah

U

1 1  RT Rsi  R  Rse

[W/(m2.K)]

(1.46)

Dosadíme-li odvozené veličiny do vztahu (1.40), můžeme hustotu tepelného toku konstrukcí vyjádřit také jako

q

1.1.9

i  e Rsi  R  Rse



i  e RT

 U   i   e 

[W/m2]

(1.47)

Vliv tepelných mostů

Obsahuje-li konstrukce vrstvy, v nichž se vyskytují pravidelně se opakující (systematické) tepelné mosty, je nutné jejich vliv zohlednit. Pro ruční výpočet je vhodné orientační zohlednění vlivu tepelných mostů s pomocí váženého průměru, kterým se vypočte součinitel prostupu tepla vrstvy s tepelnými mosty

eq 

 A  A j

j

[W/(m.K)]

(1.48)

j

kde

Aj

j

je

průřezová plocha j-tého materiálu v charakteristickém výseku v m2 součinitel tepelné vodivosti j-tého materiálu v charakteristickém výseku ve W/(m.K).

1.1.10 Teplo procházející konstrukcí Množství tepla procházející konstrukcí (tepelná ztráta či zisk) se stanoví ze vztahu

  A  U  i   e  kde

A

je

[W]

(1.49)

[Wh]

(1.50)

plocha konstrukce v m2.

Množství tepla, které projde konstrukcí za určitý časový úsek, se určí jako

Q  A  U  i   e   t    t kde

t

je

délka časového úseku v h.

Zadá-li se délka časového úseku v sekundách, vyjde množství tepla ve Ws, tedy v J.

1.1.11 Rozložení teploty v konstrukci Průběh teploty v konstrukci v ustáleném stavu lze stanovit buď graficky, nebo výpočtem. Grafická metoda vyžaduje vytvoření grafu, na jehož svislou osu se vynášejí teploty a na vodorovnou osu tepelné odpory jednotlivých vrstev konstrukce a tepelné odpory při přestupu tepla. Průběh teploty je reprezentován přímkou spojující známou teplotu vnitřního vzduchu i a známou teplotu venkovního vzduchu e. Teplota v libovolném místě konstrukce se odečte přímo z grafu (Obr. 1-8). Pro analytické řešení se vyjde z již jednou použitého pravidla o shodné hustotě tepelného toku ve všech místech konstrukce. Hustota tepelného toku celou skladbou musí být tedy stejná jako hustota tepelného toku přes část konstrukce od interiéru k bodu x:

q  qx

[W/m2]

(1.51)

[W/m2]

(1.52)

což lze vyjádřit také ve tvaru

i   x Rsi  Rx



i  e Rsi  R  Rse

kde

Rx

je

tepelný odpor od vnitřního povrchu k místu x v m2.K/W. 

i

x e R Rsi

R1

R2

R3

Rse

Rx Obr. 1-8: Grafické stanovení průběhu teploty v konstrukci o 3 vrstvách

Úpravou vztahu (1.52) lze získat rovnici pro průběh teploty v konstrukci v ustáleném stavu

 x  i 

i  e Rsi  R  Rse

Rsi  Rx   i  U i   e Rsi  Rx 

[C]

(1.53)

Rsi   i  U  Rsi   i   e 

[C]

(1.54)

Rsi  R   i  U i   e Rsi  R 

[C]

(1.55)

z níž lze odvodit i vztah pro přímý výpočet vnitřní povrchové teploty

 si   i 

i  e Rsi  R  Rse

a vnější povrchové teploty

 se   i  kde

R

i  e Rsi  R  Rse je

celkový tepelný odpor konstrukce v m2.K/W.

Na závěr zbývá upozornit, že pro výpočty vnitřní povrchové teploty se v technické praxi používá odpor při přestupu tepla na vnitřní straně konstrukce Rsi = 0,13 m2.K/W pro výplně otvorů a Rsi = 0,25 m2.K/W pro ostatní konstrukce.

1.1.12 Elektrická analogie Všimněme si podobnosti mezi vztahy pro výpočet hustoty tepelného toku vedením, prouděním a sáláním:

qcd 

1 1  2  R

[W/m2]

(1.56)

qc 

1 1  2  Rc

[W/m2]

(1.57)

qr 

1 1  2  Rr

[W/m2]

(1.58)

kde

R Rc Rs

je

tepelný odpor vrstvy nebo konstrukce v m2.K/W tepelný odpor při přestupu prouděním v m2.K/W tepelný odpor při přestupu sáláním v m2.K/W

Pro tepelné odpory při přestupu platí:

Rc 

1 hc

[m2.K/W]

(1.59)

Rr 

1 hr

[m2.K/W]

(1.60)

kde

hc hr

je

součinitel přestupu tepla prouděním v W/m2.K součinitel přestupu tepla sáláním v W/m2.K

Vztahy (1.56) až (1.58) jsou podobné Ohmovu zákonu pro elektrický obvod (Obr. 1-9):

I  G U  kde

I G U R

j

U 1   1  2  R R je

[A] (1.61)

intenzita elektrického proudu v A elektrická vodivost v S (Siemens, S = m−2·kg−1·s3·A2 = Ω−1) elektrické napětí (rozdíl elektrických potenciálů) ve V elektrický odpor v Ω elektrický potenciál v uzlu j ve V

I

R



 U

Obr. 1-9: Schéma elektrického obvodu, Ohmův zákon

Analogie mezi elektrickým proudem v elektrickém obvodu a šířením tepla je zřejmá. Intenzita elektrického proudu mezi dvěma uzly elektrického obvodu závisí na odporu a rozdílu potenciálu mezi uzly. Čím větší je rozdíl potenciálu (napětí), tím větší je intenzita elektrického proudu. Se zvyšujícím se odporem intenzita elektrického proudu klesá. To samé platí pro vztah mezi tepelným tokem (nebo hustotou tepelného toku), rozdílem teploty a tepelným odporem (Tab. 1-1).

Tab. 1-1: Elektrická analogie Elektrická veličina elektrický potenciál [V] elektrické napětí U =  1 -  2 [V] elektrický odpor R [Ω]

elektrická vodivost

G

1 [S] R

Tepelná veličina teplota  [°C], T [K] rozdíl teplot  = 1 – 2 [°C], T = T1 – T2 [K] tepelný odpor R [m2.K/W] (tepelný odpor vrstvy, souvrství, konstrukce, odpor při přestupu tepla nebo odpor při prostupu tepla) obrácená hodnota tepelného odporu K [W/(m2.K)]:  obrácená hodnota tepelného odporu vrstvy, souvrství nebo konstrukce 



U 1 I  G U    1  2  [A] R R

1 R

K U 

1 RT

hustota tepelného toku

q 

K h

součinitel prostupu tepla (obrácená hodnota odporu při prostupu tepla)

intenzita elektrického proudu

1 R

součinitel přestupu tepla (obrácená hodnota odporu při přestupu tepla)



K

1 1  2   K  1  2  [W/m2] R

tepelný tok

  A

1 1  2   A  K  1  2  [W] R

Elektrická analogie pomáhá při řešení tepelných problémů. Umožňuje přehledné, schématické zobrazení problému a zápis matematického modelu pro jeho řešení. Tepelný problém si můžeme představit jako elektrický obvod sestavený z větví, které se spojují v uzlech. Větve s tepelnými odpory a dalšími prvky podle Tab. 1-2 se uspořádají tak, že každá reprezentuje určitý způsob šíření tepla nebo „cestu“ pro šíření tepla (např. přestup tepla sáláním na vnitřním povrchu v modelu stěny nebo prostup tepla oknem v modelu budovy – Obr. 1-10). Uzly reprezentují „místa“ se známou (předepsanou) nebo neznámou teplotou - např. povrch konstrukce, rozhraní mezi vrstvami konstrukce nebo teplotu vzduchu v místnosti. Pro uzel v elektrickém obvodu platí, že součet intenzit elektrického proudu, které vstupu jí do uzlu je rovný součtu intenzit vystupujících v uzlu (první Kirchhoffův zákon). To samé platí v ustáleném stavu pro tepelné toky vstupující a vystupující z uzlu – jejich součet je rovný nule a teplota v uzlu se nemění. V neustáleném stavu1 nemusí být součty vstupujících a vystupujících tepelných toků navzájem sobě rovné. V uzlu se akumuluje teplo, což se projeví změnou teploty v čase. Změna teploty je úměrná tepelné kapacitě, kterou je potřeba uzlu přiřadit. Tato pravidla jsou klíčová pro řešení tepelných problémů, protože umožňují sestavit tepelné bilance v jednotlivých uzlech.

Řešení problémů v neustáleném stavu není do této publikace zařazeno. Informace je zde uvedena pro úplnost. 1

4

i

si

se

Qsol

e 3

přestup vedení přestup tepla stěnou tepla

1 2 RT1

i

Rsi

R

si

Qsol

Rse

e

se

RT2

i

e

RT3 RT4

Obr. 1-10: Příklady tepelných problémů zobrazených pomocí elektrické analogie. Vlevo – prostup tepla stěnou. Vpravo – tepelná bilance budovy. Tab. 1-2 Základní prvky elektrické analogie Prvek uzel

Matematický vztah

Φ

j

Grafická značka



0 

j

 uzel s kapacitou (pro výpočty v neustáleném stavu)

Φ

j

C

j

d dt





  C

odpor/vodivost

Φ  A

předepsaná teplota

 = 0

předepsaný tepelný tok (do uzlu)

=0

1 1  2   A  K  1  2  R

 R,K 



0 



 

Složitá schémata tepelných problémů s více odpory zapojenými sériově nebo paralelně je možné postupně zjednodušovat podle pravidel známých z teorie elektrických obvodů (Tab. 1-3). To umožňuje zjednodušit matematický model složitých problémů.

Tab. 1-3: Pravidla pro úpravy obvodů Případ Odpory/vodivosti zapojené sériově

Schéma před úpravou

R1,K1

1

R2,K2

Schéma po úpravě

RN,KN

R,K

N

2

1

N N

R   Rn n

1 1 1 1    ...  K K1 K 2 KN Odpory/vodivosti zapojené paralelně

R1,K1

R,K

1

R2,K2

1

2 RN,KN

2

1 1 1 1    ...  R R1 R2 RN N

K   Kn n

Více předepsaných teplot

R1,K1 R2,K2

 RN,KN

R,K

1

ekv



2

N

K   Kn n

N

ekv  R

1 N    K n n  K n

1 K

1

Více předepsaných tepelných toků do jednoho uzlu

ekv



 N

N

Φekv   Φn n

Předepsaná teplota s vodivostí a předepsaný tok do jednoho uzlu

R0,K0

 0

0

R0,K0



ekv  0 

ekv

Φ0 K0

V tepelných problémech řešených ve stavební tepelné technice je často potřeba vypočítat neznámé teploty. Při výpočtu v ustáleném stavu je možné postupovat např. takto:  určí se známé veličiny  určí se neznámé teploty  analyzuje se tepelné chování řešeného systému a jeho součástí  pokud je to potřeba, zavedou se zjednodušující předpoklady pro řešení problému

   

sestaví se schéma (model) problému pomocí elektrické analogie – je-li to možné, schéma se zjednoduší pomocí známých pravidel, každá neznámá teplota však má mít ve schématu svůj uzel pro každý uzel s neznámou teplotou se sestaví bilance tepelných toků - rovnice, která říká, že součet tepelných toků do uzlu se rovná součtu tepelných toků z uzlu z bilančních rovnic se sestaví soustava rovnic, jejímž řešením jsou neznámé teploty výsledek řešení se zkontroluje dosazením vypočítaných teplot zpět do bilančních rovnic

Podobným způsobem se může postupovat i v případech, kdy neznámá není teplota, ale jiná veličina, např. tepelný tok nebo tepelný odpor nějakého prvku. Bilanční rovnice se sestaví pro vhodně zvolené uzly tak, aby v nich figurovaly všechny neznámé veličiny. Příklad použití elektrické analogie Pro obvodovou stěnu z Obr. 1-10 se mají vypočítat povrchové teploty si a se. Známé veličiny:  vnitřní teplota i = 20°C  odpor při přestupu tepla na vnitřním povrchu Rsi = 0,13 m2.K/W  tepelný odpor stěny R = 3 m2.K/W  odpor při přestupu tepla na vnitřním povrchu Rse = 0,04 m2.K/W  venkovní teplota e = -10°C Neznámé veličiny:  teplota vnitřního povrchu si  teplota vnějšího povrchu se Sestavíme bilanci tepelných toků pro uzly, které reprezentují vnitřní a venkovní povrch stěny. Bilance tepelných toků pro vnitřní povrch – hustota tepelného toku z uzlu i do uzlu si, q1, se musí rovnat hustotě tepelného toku z uzlu si do uzlu se, q2:

q1  q2 

1 1 (i   si )  ( si   se ) Rsi R

Bilance tepelných toků pro venkovní povrch – hustota tepelného toku z uzlu si do uzlu se, q2, se musí rovnat hustotě tepelného toku z uzlu se do uzlu e, q3:

q2  q3 

1 1 ( si   se )  ( se  e ) R Rse

Soustava rovnic:

1 1 (i   si )  ( si   se ) Rsi R 1 1 ( si   se )  ( se  e ) R Rse Soustava rovnic po úpravě:

 Rsi  R  si  Rsi se  R i Rse si   R  Rse  se   R e Soustava rovnic po dosazení číselných hodnot známých veličin:

3,13 si  0,13 se  60

3,13 si  0,13 se  60 Řešení:

si = 18,8 °C, se = -9,6 °C

1.2

Základní modelové příklady

Zadání Uvažujte dvouvrstvou stěnu ze železobetonu tl. 200 mm a tepelné izolace tl. 150 mm (na vnější straně). Tepelná vodivost železobetonu je 1,6 W/(m.K) a tepelné izolace 0,05 W/(m.K). Na konstrukci působí trvale teplota vnitřního vzduchu 30 ºC a teplota venkovního vzduchu 0 C. Vypočtěte teplotu na rozhraní vrstev konstrukce, hustotu tepelného toku tepelnou izolací a množství tepla, které projde celou konstrukcí za 10 h. Použijte přitom hodnoty odporů při přestupu tepla, které se užívají při výpočtu součinitele prostupu tepla konstrukce. Řešení Jedná se o ustálený stav, takže hustota tepelného toku musí být ve všech místech konstrukce konstantní. Tepelný tok od vnitřního povrchu do místa x musí být tedy stejný jako tok od vnitřního povrchu k vnějšímu povrchu, tj. qx = q. Tuto rovnici lze rozepsat do tvaru

i   x Rsi  Rx



i  e Rsi  R  Rse

a z něj pak vyjádřit vztah pro výpočet teploty v libovolném bodě konstrukce (viz také vztah (1.53)):

 x  i 

i  e Rsi  R  Rse

Rsi  Rx   i  U i   e Rsi  Rx  .

Hodnocená konstrukce má tepelný odpor R = 0,2/1,6 + 0,15/0,05 = 0,125 + 3 = 3,125 m2K/W a součinitel prostupu tepla U  1 Rsi  R  Rse   1/(0,13+3,125+,04) = 0,303 W/(m2K). Tepelný odpor od vnitřního povrchu k rozhraní vrstev je Rx = 0,2/1,6 = 0,125 m2K/W. Teplota na rozhraní vrstev je tedy  x  30  0,303  30  00,13  0,125 = 27,7 ºC. Hustota tepelného toku tepelnou izolací se stanoví ze vztahu q   x   se , kde se je teplota vnějšího R2 povrchu konstrukce, x je teplota na rozhraní vrstev a R2 je tepelný odpor tepelné izolace. Dopočítat je třeba teplotu venkovního povrchu ze vztahu  se  30  0,303  30  00,13  3,125 = 0,41 ºC. Tepelný odpor R2 je již známý (3,0 m2K/W). Tepelný tok tepelnou izolací je tedy q 

27,7  0,41 2  9,0 W/m . 3

Alternativně lze přímo dosadit do vztahu q 

i   x 30  27,7   9,0 W/m2 a nebo dokonce do Rsi  Rx 0,13  0,125

vztahu q  U   i   e   0,303  30  0  9,0 W/m2. Ve všech případech musí v daném případě vyjít hustota tepelného toku shodně (drobné rozdíly nicméně asi vzniknou kvůli zaokrouhlování mezivýsledků). Měrné množství tepla procházející konstrukcí za časovou jednotku se stanoví ze vztahu Q  q  t , kde t je čas. Protože v ustáleném stavu je tepelný tok skrz celou konstrukci stejný jako tepelný tok skrz libovolnou její vrstvu, lze množství tepla přímo vypočítat jako Q  9  10 = 90 Wh/m2.

Zadání V laboratorních podmínkách byly v ustáleném stavu uvnitř a v okolí stavební konstrukce naměřeny teploty podle Obr. 1-11. 0,2 m

-10,0 ºC

0,5 ºC

6,5 ºC

20,0 ºC

směr tep. toku Obr. 1-11: Výsledky měření teplot uvnitř a v okolí konstrukce v ustáleném stavu

Tepelná vodivost materiálu stěny byla současně stanovena ve výši 0,35 W/(m.K). Jaký je součinitel prostupu tepla konstrukce? Řešení Ze známých údajů lze určit hustotu tepelného toku vedením uvnitř konstrukce jako

qcd 

 d

 si   se   0,35 6,5  0,5  10,5 W/m2. 0,20

V ustáleném stavu je hustota tepelného toku konstrukcí shodná s hustotou tepelného toku její libovolnou částí. Můžeme proto psát q  U   i   e   qcd . Hledaný součinitel prostupu tepla konstrukce je tedy U 

qcd 10,5   0,35 W/(m2.K).  i   e  20  10

Zadání Uvažujte sendvičovou konstrukci o skladbě (od interiéru): - železobeton tl. 200 mm a tepelné vodivosti 1,5 W/(m.K) - tepelná izolace o tepelné vodivosti 0,05 W/(m.K) - železobeton tl. 50 mm a tepelné vodivosti 1,5 W/(m.K). Jak velká musí být tloušťka tepelné izolace, aby byla teplota na rozhraní mezi železobetonem tl. 200 mm a tepelnou izolací vyšší než 0 ºC, působí-li na konstrukci teplota vnitřního vzduchu 20 ºC a teplota venkovního vzduchu -30 ºC? Uvažujte ustálený stav a použijte hodnoty odporů při přestupu tepla pro výpočet součinitele prostupu tepla konstrukce. Řešení Vyjdeme z rovnice pro průběh teploty v konstrukci  x  i  U i   e Rsi  Rx  , přičemž místo x, pro které se určuje teplota θx, bude rozhraní mezi vnitřní železobetonovou stěnou a tepelnou izolací. Podle zadání musí platit  x  0 ºC.

Nejprve určíme dílčí potřebné hodnoty. Tepelný odpor od vnitřního povrchu k místu x je Rx = 0,2/1,5 = 0,133 m2K/W. Tepelný odpor při přestupu tepla na vnitřní straně je Rsi = 0,13 m2K/W a na vnější straně Rsi = 0,04 m2K/W. Vyřešíme nerovnici

0  20  U 20  300,13  0,133 a dostaneme požadavek pro součinitel pro-

stupu tepla konstrukce ve tvaru U 

20 , a tedy U ≤ 1,52 W/(m2.K). 50  0,263

Ze základního vztahu pro součinitel prostupu tepla pak můžeme určit nejnižší potřebný tepelný odpor konstrukce jako R 

R

1  Rsi  Rse . Po dosazení konkrétních hodnot dostáváme další nerovnici U

1  0,13  0,04 a posléze výsledek R ≥ 0,488 m2K/W. 1,52

Protože souhrnný tepelný odpor vnitřní a vnější železobetonové stěny je známý (Ržb = 0,25/1,5 = 0,167 m2K/W), můžeme již snadno určit minimální potřebný tepelný odpor tepelné izolace jako Rizol ≥ 0,321 m2K/W a následně pak i hledanou nejnižší potřebnou tloušťku tepelné izolace ze vztahu dizol  Rizol  izol , a tedy d ≥ 0,016 m.

Zadání Uvažujte stěnu s povrchem o emisivitě 0,9 a teplotě 20 ºC. Rovnoběžně se stěnou je ve vzdálenosti 100 mm natažená hliníková folie o emisivitě 0,1 a teplotě 40 ºC. Jak velký bude tepelný tok sáláním mezi oběma povrchy? Řešení Hustota tep. toku sáláním z povrchu 1 na povrch 2 se stanoví za předpokladu rovnoběžnosti obou povrchů ze vztahu q1, 2     1, 2  T14  T24 , kde σ = 5,67.10-8 W/(m2K4), T je absolutní teplota po-



vrchu v K a  1, 2 

1

1



1 1

2



, přičemž ε je emisivita povrchu.

1

Po dosazení získáme

 1, 2 

1  0,099 1 1  1 0,1 0,9





a výsledný tepelný tok q1, 2  5,67 10 8  0,099  40  273,15  20  273,15  12,5 W/m2.

Zadání Uvažujte dvouplášťovou stěnu o skladbě (od interiéru): - železobeton tl. 200 mm (tepelná vodivost 1,5 W/(m.K)) - tepelná izolace tl. 100 mm (tepelná vodivost 0,05 W/(m.K)) - větraná vzduchová vrstva tl. 100 mm

4

4

- obklad tl. 10 mm (tepelná vodivost 0,5 W/(m.K)). Předpokládejte ustálený stav s teplotou vnitřního vzduchu 30 ºC, teplotou ve větrané dutině 2 ºC a teplotou venkovního vzduchu 0 ºC. Určete hustotu tepelného toku sáláním mezi povrchy větrané dutiny. Použijte přitom hodnoty odporů při přestupu tepla, které se užívají při výpočtu součinitele prostupu tepla konstrukce. Řešení





Aby bylo možné vypočítat hustotu tepelného toku sáláním ze vztahu q1, 2     1, 2  T14  T24 , je nutné určit teploty povrchů větrané dutiny. Pro teplotu venkovního povrchu tepelné izolace použijeme vztah  se   i 

i  e

Rsi  R  Rse

Rsi  R  ,

do kterého dosadíme tepelný odpor vnitřního pláště kon-

strukce R = 0,2/1,5 + 0,1/0,05 = 2,133 m2K/W. Teplota na vnějším povrchu tepelné izolace pak vyjde

 se  30 

30  2 0,13  2,133  3,52 ºC. Odpor při přestupu tepla na vnější straně Rse 0,13  2,133  0,13

se v tomto případě uvažoval shodně s odporem na vnitřní straně Rsi, protože jde o povrch ve větrané vzduchové vrstvě a nikoli přímo ve venkovním prostředí. Teplotu na vnitřním povrchu obkladu určíme ze vztahu  si   i 

i  e Rsi  R  Rse

Rsi , přičemž tepelný

odpor bude v tomto případě R = 0,01/0,5 = 0,02 m2K/W. V hodnotách odporů při přestupu tepla zohledníme skutečnost, že na jedné straně obkladu je větraná vzduchová vrstva a na druhé straně venkovní prostředí a vypočteme  si  2 

20 0,13  0,63 ºC. 0,13  0,02  0,04

Zbývá vypočítat hustotu tepelného toku sáláním mezi oběma povrchy (pro které předpokládáme ob1

vyklou emisivitu 0,9 a určíme emisivitu vzájemného sáláním jako  1, 2





1  1     1  0,82 ) ze  0,9 0,9 

vztahu q1, 2  5,67  108  0,82  3,52  273,15  0,63  273,15  11,2 W/m2. 4

4

Zadání Uvažujte stěnu v dřevostavbě, jejíž skladba je zachycena na vodorovném řezu na Obr. 1-12. 20

100 100 100 20 600

100

600

100

Obr. 1-12: Vodorovný řez stěnou dřevostavby

600

Šrafovaně je vyznačeno dřevo s tepelnou vodivostí 0,20 W/(m.K), zbylý materiál je tepelná izolace s tepelnou vodivostí 0,04 W/(m.K). Dřevěné sloupky jsou umístěny pouze v první a třetí vrstvě tepelné izolace. Určete množství tepla, které projde 1 m2 konstrukce za 1 h při časově ustáleném teplotním rozdílu 10 C. Řešení Množství tepla za časovou jednotku určíme ze vztahu Q  A  U    t , do kterého je třeba dosadit součinitel prostupu tepla konstrukce. Pro jeho výpočet je nutné nejprve určit charakteristický výsek konstrukce, což je v daném případě osová vzdálenost sloupků, tj. 0,7 m. Následně stanovíme ekvivalentní tepelnou vodivost vrstev s tepelnými mosty, tj. první a třetí vrstvy (druhá vrstva tepelné mosty neobsahuje). Použijeme přibližný výpočet s pomocí váženého průměru



 A  A j

j

j



0,6  0,1 0,04  0,1 0,1 0,2  0,063 W/(m.K). 0,6  0,1  0,1 0,1

Tepelný odpor konstrukce je tedy R = 0,02/0,2 + 0,1/0,063 + 0,1/0,04 + 0,1/0,063 + 0,02/0,2 = 5,875 m2K/W a součinitel prostupu tepla U 

1  0,165 W/(m2.K). 0,13  5,875  0,04

Hledané množství tepla za 1 h při teplotním rozdílu 30 C tedy činí Q  0,165  30  1  4,96 Wh.

Zadání Stěna o součiniteli prostupu tepla U=1,5 W/(m2.K) obsahuje uzavřenou (nevětranou) vzduchovou vrstvu o tloušťce 100 mm. Na stěnu působí z jedné strany teplota vzduchu 20 ºC a z druhé strany teplota vzduchu 0 ºC. Jaká je teplota povrchu vzduchové dutiny blíže k exteriéru, má-li povrch blíže k interiéru teplotu 18 ºC? Při výpočtu uvažujte ustálený stav a běžné technické smluvní hodnoty pro všechny potřebné veličiny. Řešení Známe-li teplotu jednoho z povrchů uzavřené vzduchové dutiny, můžeme stanovit teplotu zbývajícího

   hc  hr 1   2  . d 

povrchu ze vztahu pro hustotu tepelného toku vzduchovou dutinou q  

Nejprve musíme ovšem určit samotnou hustotu tepelného toku, což je ale pro předpoklad ustáleného stavu poměrně jednoduché, protože celková hustota tepelného toku konstrukcí musí být shodná s hustotou tepelného toku v jejím libovolném místě. Platí tedy q  U  i   e   1,5  20  0  30 W/m2. Pro součinitel přestupu tepla sáláním ve vzduchové dutině použijeme běžný technický odhad hr=4,6 W/(m2.K), stejně jako pro součinitel přestupu tepla prouděním (hc=2,5 W/(m2.K)).

 0,025   2,5  4,6 18   2  získáme již snadno hledanou  0,1 

Po dosazení do výchozí rovnice 30  

teplotu povrchu vzduchové dutiny blíže k exteriéru ve výši θ2 = 13,9 ºC.

Zadání Uvažujte stropní konstrukci mezi půdou a interiérem o skladbě podle Chyba! Nenalezen zdroj odkazů.. 100

100 10

20 10 180

200 10

20 ?? 5

900

900 Obr. 1-13: Řez stropem pod půdou

Nosným prvkem jsou ocelové profily (tepelná vodivost 50 W/(m.K)) v osových vzdálenostech 900 mm. Na profilech jsou shora i zdola upevněny OSB desky s tepelnou vodivostí 0,2 W/(m.K). Mezi profily je umístěna tepelná izolace o tepelné vodivosti 0,05 W/(m.K). Stejná tepelná izolace je umístěna pod spodní OSB deskou a je opatřena omítkou s tepelnou vodivostí 1,0 W/(m.K). Jaká musí být minimální tloušťka spodní tepelné izolace, aby byl součinitel prostupu tepla stropu nejvýše 0,15 W/(m2.K)? Uvažujte pouze vliv zadaných tepelných mostů a použijte pro jeho zohlednění orientační manuální výpočet. Řešení Cílem návrhu je konstrukce splňující podmínku U ≤ 0,15 W/(m2.K). Do této podmínky můžeme dosadit za součinitel prostupu tepla konkrétní hodnoty odporů při přestupu tepla (na obou stranách se uplatní hodnota 0,10 m2K/W, protože jde o konstrukci v interiéru s tepelným tokem vzhůru) a získat nerovnici

1  0,15 . 0,10  R  0,10

Z ní pak už snadno získáme podmínku pro tepelný odpor R ≥ 6,47 m2K/W. Dílčí tepelné odpory jednotlivých vrstev sice snadno vypočítáme ze standardního vztahu R 

d



, ale

u hlavní tepelné izolace musíme nejprve zohlednit tepelné mosty s pomocí ekvivalentní tepelné vodivosti této nehomogenní vrstvy. Výpočet musíme začít určením charakteristického výseku, jehož šířka je v tomto případě 900 mm. Dále pak vypočteme průřezové plochy jednotlivých materiálů ve výseku a posléze získáme ekvivalentní tepelnou vodivost hlavní tepelné izolace ze vztahu



 A  A j

j



0,01 0,1 2  0,01 0,2 50  0,9  0,2  0,01 0,1 2  0,01 0,2  0,05 

j

1,16 W/(m.K). Tepelný odpor konstrukce je tedy

0,9  0,2

R

0,02 0,2 0,02 d 0,005 d m2K/W. A protože je známo, že tepelný      0,377  0,2 1,16 0,2 0,05 1,0 0,05

odpor musí být vyšší než 6,47 m2K/W, snadno již odvodíme minimální potřebnou tloušťku spodní tepelné izolace ze vztahu 0,377 

d  6,47 jako d ≥ 0,305 m. 0,05

Zadání Uvažujte stropní konstrukci o skladbě (shora): - dlažba tl. 20 mm s tepelnou vodivostí 1,0 W/(m.K) - beton tl. 100 mm s tepelnou vodivostí 1,2 W/(m.K) - pěnový polystyren tl. 100 mm s tepelnou vodivostí 0,05 W/(m.K) - železobeton tl. 150 mm s tepelnou vodivostí 1,5 W/(m.K), Na rozhraní mezi betonovou mazaninou tl. 100 mm a pěnovým polystyrenem je udržována teplota 35 C (podlahovým vytápěním). Určete hustotu tepelného toku sáláním z povrchu podlahy do interiéru. Při výpočtu předpokládejte ustálený stav s teplotou vzduchu nad podlahou 20 C a s teplotou pod stropem 10 C. . Použijte přitom hodnoty odporů při přestupu tepla, které se užívají při výpočtu součinitele prostupu tepla konstrukce. Řešení Hustota tepelného toku sáláním z povrchu podlahy do interiéru se určí ze vztahu qr      T , do kterého je třeba dosadit absolutní teplotu povrchu podlahy. Při jejím výpočtu je třeba zohlednit známou teplotu uvnitř konstrukce v místě podlahového vytápění. Celková situace je nejlépe zřejmá na grafu průběhu teploty v konstrukci Obr. 1-14. 4



35

20 x 10 R 0,10

0,08

2,00

0,10

0,17

0,02 Obr. 1-14: Grafické stanovení průběhu teploty v podlaze s vytápěním

Na vodorovné ose grafu jsou vyneseny tepelné odpory jednotlivých vrstev podlahy počínaje zleva dlažbou. První hodnotou je ovšem odpor při přestupu tepla na povrchu dlažby Rsi = 0,10 m2K/W (tepelný tok je orientován v daném případě nahoru). Poslední hodnotou je analogicky odpor při přestupu tepla na spodním líci stropu Rse, který v tomto případě činí 0,17 m2K/W (tepelný tok je orientován dolů). Z grafu na Chyba! Nenalezen zdroj odkazů. je patrná nejen hledaná teplota na horním líci dlažby (označeno kroužkem), ale také skutečnost, že pro její stanovení není vůbec podstatná spodní část stropní konstrukce. Ve skutečnosti se uplatní jen roznášecí betonová deska a dlažba a okrajové podmínky přímo na ně působící (tj. teploty 20 ºC a 35 ºC). Hledanou teplotu povrchu podlahy můžeme tedy spočítat ze vztahu  x   i 

i  e

Rsi  R  Rse

Rsi  Rx   20 

20  35 0,10  27,5 0,10  0,02  0,08

ºC. Hledaná hustota tepelného toku sáláním z povrchu podlahu do interiéru je tudíž 4 qr  0,9  5,67 108  27,5  273,15  417 W/m2.

1.3

Komplexní modelové příklady

1.3.1

Obvodová stěna 1

Zadání Uvažujt obvodovou stěnu s touto skladbou (od interiéru):  železobetonová stěna tl. 200 mm, tepelná vodivost 1,6 W/m·K  tepelná izolace tl. 150 mm, tepelná vodivost 0,05 W/m·K  pohledové zdivo z plných cihel tl. 150 mm, tepelná vodivost 1 W/m·K Teplota vnitřního vzduchu je 20 °C a teplota venkovního vzduchu -5°C. Je noc, obloha je zatažená. Fouká vítr o rychlosti 4 m/s. Vypočítejte teploty na vnitřním povrchu, vnějším povrchu a na rozhraní vrstev konstrukce. Vykreslete průběh teploty, vypočítejte tepelnou ztrátu. Řešení Známé veličiny:  tloušťky jednotlivých materiálových vrstev d3 až d3  součinitele tepelné vodivosti pro materiál každé vrstvy 1 až 3  teplota vnitřního vzduchu i = 20°C  teplota venkovního vzduchu e = -5 °C  rychlost větru v = 4 m/s Neznámé veličiny:  teploty na vnitřním a venkovním povrchu konstrukce si, se a teploty na rozhraní materiálových vrstev 1,2 a 2,3  tepelná ztráta obvodové stěny – vyjádříme jí hustotou tepelného toku q [W/m2] Další potřebné informace:  nejsou Analýza problému: Teplo se šíří skrz stěnu z vnitřního prostředí do vnějšího. Z vnitřního prostředí se teplo šíří na povrch konstrukce prouděním a sáláním. Uvnitř konstrukce, mezi vnitřním a vnějším povrchem, se teplo šíří vedením. Z vnějšího povrchu se teplo může do vnějšího prostředí šířit těmito způsoby:  prouděním (vítr)

  

sáláním proti obloze (oblohu si představujeme jako fiktivní povrch, jehož teplota závisí na oblačnosti) sáláním proti povrchu země (terénu) sáláním proti povrchům okolních těles (např. stěny okolních budov)

Kromě toho může výměnu tepla na vnějším povrchu ovlivnit také sluneční záření. Protože uvažujeme noční zataženou oblohu, můžeme rovnou říci, že se slunečním zářením počítat nebudeme. Hustota tepelného toku prouděním z vnějšího povrchu stěny závisí na rychlosti větru. Pro výpočet hustoty každého z výše uvedených tepelných toků sáláním je potřeba dopředu odhadnout teploty sálajících povrchů (včetně teploty vnějšího povrchu řešené stěny) a jejich vzájemné poměry sálání. Poměr sálání Fi,j dvou povrchů přitom závisí na jejich vzájemném prostorovém uspořádání. Schéma problému: zatažená obloha

r = e

qre 1

i

si

qsi

2

3

1,2 2,3 q1

q2

se

qre

r =  e okolní povrchy

q3 qce e

qre povrch země r = e

hce

i

Rsi

R1

si

R2

1,2

R3

2,3

se

hre

e

Obr. 1-15: Schéma problému

Předpoklady řešení:  ustálený stav  předpokládáme, že v hodnotě tepelné vodivosti tepelné izolace 2 = 0,05 W/m·K je již zahrnutý vliv tepelných mostů (kotvení přizdívky k železobetonové stěně)  protože pro vnitřní prostředí nejsou předepsány žádné zvláštní podmínky, vyjádříme přestup tepla z vnitřního prostředí na povrch konstrukce obvyklou hodnotou odporu při přestupu tepla Rsi = 0,13 m2·K/W  přestup tepla z vnějšího povrchu by bylo možné, při zadaných podmínkách, přibližně započítat pomocí běžné hodnoty odporu při přestupu tepla Rse = 0,04 m2·K/W (tato hodnota byla stanovena pro podobné podmínky jako v tomto příkladu. My však pro výpočet přestupu tepla sestavíme podrobnější bilanci tepelných toků pro vnější povrch, ve které budeme odděleně uvažovat přestup tepla prouděním a sáláním  pro odhad součinitele přestupu tepla prouděním použijeme vztah hce = 4 + 4·v (kap. 1.1.2) a budeme předpokládat rychlost větru v = 4 m/s

 





budeme zjednodušeně předpokládat, že teplota zatažené oblohy je stejná, jako teplota venkovního vzduchu (rozumný předpoklad běžně používaný pro podobné případy) teplotu povrchu země a teplotu povrchů okolních těles při zatažené obloze budeme zjednodušeně uvažovat stejnou jako teplota venkovního vzduchu (oblačnost brání sálavé výměně mezi tělesy na zemském povrchu a jasnou oblohou – viz následující příklad). Všechna tělesa, vůči kterým může vnější povrch stěny sálat, můžeme tedy souhrnně chápat jako jediný povrch s jedinou (sálavou) povrchovou teplotou r = e. Problém se zjednodušuje na případ sálání dvou povrchů se vzájemným poměrem sálání F12 = 1 (veškerý sálavý tepelný tok z povrchu 1 (vnější stěna) dopadá přímo, bez odrazů na povrch 2 („náhradní“ povrch), což v tomto případě platí). Navíc, plocha stěny A1 je zanedbatelně malá oproti ploše tohoto „náhradního“ povrchu A2 a jejich vzájemný poměr A1/ A2 můžeme považovat za rovný nule. tento předpoklad nám podstatně zjednoduší výpočet – především proto, že nebudeme muset stanovovat poměry sálání povrchu stěny a každého dalšího sálajícího povrchu. Takový výpočet je obecně komplikovaný a v našem případě nemožný, neboť nemáme informace o poloze okolních těles a povrchu země. pro výpočet součinitele přestupu tepla sáláním z vnějšího povrchu stěny musíme dopředu odhadnout jeho teplotu – budeme zjednodušeně předpokládat, že teplota vnějšího povrchu je rovná teplotě vnějšího vzduchu se = e

Postup řešení:  sestavíme bilanci tepelných toků pro všechna místa v konstrukci, kde chceme zjistit teplotu – pro vnitřní povrch, vnější povrch a obě rozhraní materiálových vrstev  předpokládáme ustálený stav – součet tepelných toků směrem k libovolnému místu v konstrukci a směrem z tohoto místa musí být rovný nule  získáme čtyři rovnice, kde neznámými jsou teploty na vnitřním a vnějším povrchu stěny a na rozhraní vrstev  řešením soustavy rovnic získáme hodnoty si, se, 1,2 a 2,3  správnost výsledku zkontrolujeme  vypočítáme tepelnou ztrátu konstrukce  vykreslíme průběh teploty – protože konstrukce je složena z homogenních materiálových vrstev, bude průběh teploty v každé vrstvě lineární Bilance tepelných toků:  vnitřní povrch: qsi  q1 → qsi  q1  0 

rozhraní vrstev 1, 2: q1  q2 → q1  q2  0



rozhraní vrstev 2, 3: q2  q3 → q2  q3  0



vnější povrch: q3  qce  qre → q3  qce  qre  0

Hustoty tepelných toků:

qsi 

1  (i   si )  hsi  (i   si ) Rsi

q1 

1  ( si  1.2 )  K1  ( si  1,2 ) R1

q2 

1  (1,2  2,3 )  K 2  (1,2  2,3 ) R2

q3 

1  (2,3   se )  K3  (2,3   se ) R3

qce  hce  ( se  e )

qre  hre  (se  e ) Soustava rovnic (neznámé jsou si, 1,2, 2,3 a se, hodnoty ostatních veličin jsou zadané nebo se dopočítají):

hsi  (i  si )  K1  (si  1,2 )  0 K1  (si  1,2 )  K2  (1,2  2,3 )  0 K2  (1,2  2,3 )  K3  (2,3  se )  0

K3  (2,3  se )  hce  (se  e )  hre  (se  e )  0 Po roznásobení:

hsi i  hsi si  K1 si  K1 1,2  0

K1 si  K1 1,2  K2 1,2  K2 2,3  0 K2 1,2  K2 2,3  K3 2,3  K3  se  0

K3 2,3  K3 se  hce se  hcee  hre  se  hree  0 Po úpravách:

(hsi  K1 ) si  K1 1,2  hsi i K1 si  ( K1  K2 ) 1,2  K2 2,3  0 K2 1,2  ( K2  K3 ) 2,3  K3 se  0

K3 2,3  ( K3  hce  hre ) se  (hse  hre ) e Vyčíslení: Výpočet tepelných odporů a tepelných vodivostí jednotlivých vrstev je uspořádán do tabulky: Tab. 1-4: Výpočet tepelných odporů a tepelných vodivostí Vrstva i[-]

Materiál

1 železobeton 2 tepelná izolace 3 zdivo z plných cihel Tepelný odpor konstrukce R = ΣRi

hsi 

Tloušťka di [m] 0,2 0,15 0,15

Tepelná vodivost

i [W/m·K] 1,6 0,05 1

Tepelný odpor Ri = di /i [m2·K/W] 0,125 3 0,15 3,275

Tepelná vodivost Ki = 1/ Ri [W/m2·K] 8 0,333 0,667 0,305

1 1   7,692 W/(m2  K) Rsi 0,13

Součinitel přestupu tepla prouděním na vnějším povrchu vypočítáme z rychlosti větru v = 4 m/s (viz Předpoklady řešení):

hce  4  4  v  4  4  4  20 W/(m2  K) Součinitel přestupu tepla sáláním na vnějším povrchu vypočítáme z obecného vztahu pro sálání mezi dvěma povrchy:

4    T1,23 hre  1  1 1 1   2 A1    1 F1,2  2 A2 Protože uvažujeme F1,2 = 1 a A1/A2 = 0, zjednoduší vztah takto (indexem 1 se značí vnější povrch stěny, indexem 2 souhrnně všechny ostatní sálající povrchy s teplotou r = e – viz Předpoklady výpočtu):

4    T1,23 4    T1,23   4    1  T1,23 1  1 1 1   2 1  1 1   0  0 1 1 2 1 1

hre 

Průměrnou teplotu sálání vypočítáme za předpokladu, že se = e (viz Předpoklady řešení) a r = e:

T1,2 

T1  T2 ( se  273,15)  (r  273,15) (5  273,15)  (5  273,15)    268,15 K 2 2 2

Po dosazení do vztahu pro hre:

hre  4    1  T1,23  4  5, 67 108  0,9  268,153  3,94 W/(m2  K) Soustava rovnic po dosazení číselných hodnot:

15,692 si  8 1,2  153,846

8 si  8,333 1,2  0,333 2,3  0

0,333 1,2  7 2,3  6,667 se  0 0,667 2,3  30,602 se  119,678 Návody na řešení soustavy lineárních rovnic v tabulkovém procesoru lze najít na internetu. Výsledky: Teploty (po zaokrouhlení):

si = 19,1 °C 1,2 = 18,2 °C 2,3 = -3,6 °C se = -4,7 °C Kontrola – výpočet hustot tepelných toků: Do výpočtu je potřeba dosadit teploty zaokrouhlené na větší počet platných čísel nebo zcela bez zaokrouhlení (např. při výpočtu v tabulkovém procesoru). Do zápisu uvedeného níže jsou pro přehlednost dosazeny teploty zaokrouhlené pouze na jedno desetinné místo (což je pro kontrolu správnosti málo!).

qsi 

1  (i   si )  hsi  (i   si )  7,692  (20  19,1)  7, 253 W/m2 Rsi

q1 

1  ( si  1.2 )  K1  ( si  1,2 )  8  (19,1  18, 2)  7, 253 W/m2 R1

q2 

1  (1,2   2,3 )  K2  (1,2  2,3 )  0,333  (18, 2  3,6)  7, 253 W/m2 R2

q3 

1  (2,3   se )  K3  (2,3   se )  6,667  (3,6  4,7)  7, 253 W/m2 R3

qse 

1  ( se  e )  hse  ( se  e )  25  (4,7  5)  7, 257 W/m2 Rse

Hustoty tepelných toků se shodují, což odpovídá předpokladu ustáleného stavu. Podobně můžeme dopočítat i hustotu tepelného toku mezi povrchy konstrukce q:

q

1 1  ( si   se )   (19,1  4,7)  7, 253 W/m2 R1  R2  R3 3, 275

Teploty tedy byly vypočítány správně. Tepelná ztráta obvodové stěny je 7,3 W/m2. Průběh teploty je vynesen do grafu:

Obr. 1-16: Výsledný průběh teploty

1.3.2

Obvodová stěna 2

Zadání Uvažujte stejnou obvodovou stěnu jako v předchozím příkladu. Teplota vnitřního vzduchu je 20 °C a teplota venkovního vzduchu -5°C. Uvažujte jasnou noc a vítr o rychlosti 4 m/s. Vypočítejte teploty na vnitřním povrchu, vnějším povrchu a na rozhraní vrstev konstrukce. Vykreslete průběh teploty, vypočítejte tepelnou ztrátu. Řešení Známé veličiny:  tepelné vlastnosti jednotlivých materiálových vrstev: tepelné odpory R1 až R3, tepelné propustnosti K1 až K3 (z předchozího příkladu)  teplota vnitřního vzduchu i = 20°C  teplota venkovního vzduchu e = -5 °C  rychlost větru v = 4 m/s Neznámé veličiny:  teploty na vnitřním a venkovním povrchu konstrukce si, se a teploty na rozhraní materiálových vrstev 1,2 a 2,3  tepelná ztráta obvodové stěny – vyjádříme jí hustotou tepelného toku q [W/m2] Další potřebné informace:  emisivita vnějšího povrchu obvodové stěny

Pro povrch zdiva z červených cihel můžeme použít hodnotu emisivity  = 0,9 (viz Přílohu 1). Analýza problému: Způsob šíření tepla z vnitřního prostředí až k vnějšímu povrchu stěny je stejný jako v předchozím příkladu. Na vnějším povrchu dochází k přestupu tepla z povrchu do vnějšího prostředí těmito způsoby:  prouděním (vítr)  sáláním proti jasné obloze (obloha není zakryta oblačností, na rozdíl od předchozího příkladu je teplota jasné oblohy výrazně nižší než teplota vnějšího vzduchu)  sáláním proti povrchu země (terénu)  sáláním proti povrchům okolních těles (např. stěny okolních budov) Schéma problému: jasná

obloha

r = sky

qre 1

i

si

qsi

2

3

1,2 2,3 q1

q2

se

qre

r = sky okolní

q3

povrchy qce e

qre povrch země r = sky

hce

i

Rsi

R1

si

R2

1,2

R3

2,3

se

hre

e sky

Obr. 1-17: Schéma problému

Předpoklady řešení:  ustálený stav  předpokládáme, že v hodnotě tepelné vodivosti tepelné izolace 2 = 0,05 W/m·K je již zahrnutý vliv tepelných mostů (kotvení přizdívky k železobetonové stěně)  protože pro vnitřní prostředí nejsou předepsány žádné zvláštní podmínky, vyjádříme přestup tepla z vnitřního prostředí na povrch konstrukce obvyklou hodnotou odporu při přestupu tepla Rsi = 0,13 m2·K/W  přestup tepla z vnějšího povrchu už není možné počítat pomocí běžné hodnoty odporu při přestupu tepla Rse = 0,04 m2·K/W, neboť v ní není zohledněno sálání proti jasné obloze  pro výpočet přestupu tepla sestavíme podrobnější bilanci tepelných toků pro vnější povrch, ve které budeme odděleně uvažovat přestup tepla prouděním a sáláním  součinitel přestupu tepla prouděním hce odhadneme stejným způsobem jako v předchozím příkladu



teplotu jasné oblohy sky [°C] odhadneme v závislosti na teplotě vnějšího vzduchu e [°C] takto (platí pro případ svislého povrchu stěny, kap. 0):

sky  1,1e  5  1,1 (5)  5  10,5 C 

součinitel přestupu tepla sáláním hre s vlivem sálání proti jasné obloze vypočteme podobně jako v předchozím příkladu. Teplotu povrchu země a teplotu povrchů okolních těles budeme opět zjednodušeně uvažovat stejnou jako teplotu oblohy (tentokrát jako teplotu jasné oblohy sky). Teplotu vnějšího povrchu stěny budeme opět zjednodušeně uvažovat stejnou jako teplotu vnějšího vzduchu. Celý postup a jeho výhody jsou podrobněji vysvětleny v předchozím příkladu.

Postup řešení:  sestavíme bilanci tepelných toků pro vnější povrch stěny  předpokládáme ustálený stav – součet tepelných toků směrem k vnějšímu povrchu a směrem z vnějšího povrchu musí být rovný nule  bilance tepelných toků pro vnitřní povrch a pro rozhraní mezi vrstvami konstrukce převezmeme z předchozího příkladu – jejich obecná formulace zůstává platná i pro tento příklad  získáme čtyři rovnice, kde neznámými jsou teploty na vnitřním a vnějším povrchu stěny a na rozhraní vrstev  řešením soustavy rovnic získáme hodnoty si, 1,2, 2,3 a se  správnost výsledku zkontrolujeme  z hodnot si a se vypočítáme hustotu tepelného toku skrz konstrukci q, určíme směr tepelného toku a určíme, zda se jedná o tepelnou ztrátu nebo o tepelný zisk pro vnitřní prostředí  vykreslíme průběh teploty – protože konstrukce je složena z homogenních materiálových vrstev, bude průběh teploty v každé vrstvě lineární Bilance tepelných toků:  vnitřní povrch: qsi  q1 → qsi  q1  0 

rozhraní vrstev 1, 2: q1  q2 → q1  q2  0



rozhraní vrstev 2, 3: q2  q3 → q2  q3  0



vnější povrch: q3  qce  qre → q3  qce  qre  0

Hustoty tepelných toků: Pro výpočet hustot tepelných toků qsi a q1 až q3 platí vztahy uvedené v předchozím příkladu. Pro hustoty tepelných toků z vnějšího povrchu stěny platí:

qce  hce  ( se  e )

qre  hre  (se  sky ) V hustotě tepelného toku qre je souhrnně započítáno sálání vnějšího povrchu stěny proti obloze, okolním povrchům i povrchu země (viz Předpoklady řešení) Soustava rovnic (neznámé jsou si, 1,2, 2,3 a se, hodnoty ostatních veličin jsou zadané nebo se dopočítají):

hsi  (i  si )  K1  (si  1,2 )  0

K1  (si  1,2 )  K2  (1,2  2,3 )  0 K2  (1,2  2,3 )  K3  (2,3  se )  0 K3  (2,3  se )  hce  (se  e )  hre  (se   sky )  0 Po roznásobení:

hsi i  hsi si  K1 si  K1 1,2  0 K1 si  K1 1,2  K2 1,2  K2 2,3  0 K2 1,2  K2 2,3  K3 2,3  K3  se  0 K3 2,3  K3 se  hce se  hce e  hre se  hre sky  0 Po úpravách:

(hsi  K1 ) si  K1 1,2  hsi i K1 si  ( K1  K2 ) 1,2  K2 2,3  0 K2 1,2  ( K2  K3 ) 2,3  K3 se  0 K3 2,3  ( K3  hce  hre ) se  hce e  hre sky Vyčíslení: Tepelné odpory a tepelné propustnosti vrstev konstrukce byly vypočítány v předchozím příkladu a pro tento příklad zůstávají stejné. Stejná zůstávají i hodnoty součinitelů přestupu tepla hsi a hce. Součinitel přestupu tepla sáláním na vnějším povrchu vypočítáme z upraveného vztahu (odvození z obecného vztahu pro sálání mezi dvěma povrchy – viz předchozí příklad):

hre  4    1  T1,23 Průměrnou teplotu sálání vypočítáme za předpokladu, že se = e a sky = -10,5 °C (viz Předpoklady řešení):

T1,23 

T1  T2 ( se  273,15)  ( sky  273,15) (5  273,15)  (10,5  273,15)    265, 43 K 2 2 2

Po dosazení do vztahu pro hre:

hre  4    1  T1,23  4  5, 67 108  0,9  265, 43  3,82 W/(m2  K) Soustava rovnic po dosazení číselných hodnot:

15,692 si  8 1,2  153,846 8 si  8,333 1,2  0,333 2,3  0 0,333 1,2  7 2,3  6,667 se  0 0,667 2,3  30, 482 se  140,066 Návody na řešení soustavy lineárních rovnic v tabulkovém procesoru lze najít na internetu. Výsledky: Teploty (po zaokrouhlení):

si = 19 °C 1,2 = 18,1 °C 2,3 = -4,4 °C se = -5,6 °C Kontrola – výpočet hustot tepelných toků:

Do výpočtu je potřeba dosadit teploty zaokrouhlené na větší počet platných čísel nebo zcela bez zaokrouhlení (např. při výpočtu v tabulkovém procesoru). Do zápisu uvedeného níže jsou pro přehlednost dosazeny teploty zaokrouhlené pouze na jedno desetinné místo (což je pro kontrolu správnosti málo!).

qsi 

1  (i   si )  hsi  (i   si )  7,692  (20  19)  7,508 W/m2 Rsi

q1 

1  ( si  1.2 )  K1  ( si  1,2 )  8  (19  18,1)  7,508 W/m2 R1

q2 

1  (1,2   2,3 )  K2  (1,2  2,3 )  0,333  (18,1  4, 4)  7,508 W/m2 R2

q3 

1  (2,3   se )  K3  (2,3   se )  6,667  (4, 4  5,6)  7,508 W/m2 R3

qse  qce  qre  hce  (se  e )  hre  (se  sky )  20  (5,6  5)  3,816  (5,6  10,5)  7,508 W/m2 Hustoty tepelných toků se shodují, což odpovídá předpokladu ustáleného stavu. Podobně můžeme dopočítat i hustotu tepelného toku mezi povrchy konstrukce:

q

1 1  ( si   se )   (19  5,6)  7,508 W/m2 R1  R2  R3 3, 275

Teploty tedy byly vypočítány správně. Tepelná ztráta obvodové stěny je 7,5 W/m2. Průběh teploty je vynesen do grafu:

Obr. 1-18: Výsledný průběh teploty

1.3.3

Obvodová stěna 3

Zadání Uvažujte stejnou obvodovou stěnu jako v předchozím příkladu. Teplota vnitřního vzduchu je 20 °C a teplota venkovního vzduchu -5°C. Je den, bez oblačnosti, na stěnu dopadá sluneční záření s celkovou intenzitou 400 W/m2 (vztaženo na 1 m2 povrchu stěny). Fouká vítr o rychlosti 4 m/s. Vypočítejte teploty na vnitřním povrchu, vnějším povrchu a na rozhraní vrstev konstrukce. Vykreslete průběh teploty, vypočítejte tepelnou ztrátu. Řešení

Známé veličiny:  tepelné vlastnosti jednotlivých materiálových vrstev: tepelné odpory R1 až R3, tepelné propustnosti K1 až K3 (z předchozích příkladů)  teplota vnitřního vzduchu i = 20°C  teplota venkovního vzduchu e = -5 °C  emisivita vnějšího povrchu obvodové stěny  = 0,9 (z předchozího příkladu)  teplota jasné oblohy pro stěnu při teplotě venkovního vzduchu -5 °C, sky = -10,5 °C (z předchozího příkladu)  celková intenzita slunečního záření vztažená na 1 m2 povrchu stěny Isol = 400 W Neznámé veličiny:  teploty na vnitřním a venkovním povrchu konstrukce si a se, a teploty na rozhraní materiálových vrstev 1,2 a2,3  tepelná ztráta obvodové stěny – vyjádříme jí hustotou tepelného toku q [W/m2] Další potřebné informace:  pohltivost slunečního záření pro vnější povrch sol [ - ] Pro povrch přizdívky z plných cihel můžeme použít hodnotu sol = 0,75 (viz Přílohu 2) Analýza problému: Způsob šíření tepla z vnitřního prostředí až k vnějšímu povrchu stěny je stejný jako v předchozích dvou příkladech. V tomto příkladu je ovšem tepelná bilance vnějšího povrchu navíc ovlivněna slunečním zářením. Část energie slunečního záření dopadajícího na vnější povrch stěny je pohlcena – přemění se na teplo. Povrch stěny se ohřeje, jeho teplota bude vyšší než teplota vnějšího vzduchu. Dochází k šíření (přestupu) tepla z vnějšího povrchu do vnějšího prostředí:  prouděním (vítr)  dlouhovlnným sáláním proti povrchům okolních těles a proti zemskému povrchu  dlouhovlnným sáláním proti jasné obloze (jasnou obloha si představujeme jako povrch s velmi nízkou teplotou) Tyto procesy jsou podrobněji popsány v předchozích dvou příkladech a při jejich výpočtu budeme postupovat obdobně. Teplota vnějšího povrchu bude záviset na vzájemném poměru tepelných zisků (tepelný tok stěnou z vnitřního prostředí a pohlcená energie slunečního záření) a ztrát (tepelný tok prouděním a sáláním do vnějšího prostředí). Pokud bude výsledná teplota vnějšího povrchu vyšší, než teplota vnitřního povrchu (se > si), bude se teplo z vnějšího povrchu šířit také směrem k vnitřnímu povrchu. Pokud bude (se < si), bude se teplo šířit konstrukcí z vnitřního povrchu směrem k vnějšímu – podobně jako v případě bez slunečního záření, který jsme zvyklí uvažovat v běžných výpočtech. Zatím budeme předpokládat, že se < si. Schéma problému: Schéma problému je uvedeno na Obr. 1-19 Předpoklady řešení:  ustálený stav  předpokládáme, že v hodnotě tepelné vodivosti tepelné izolace 2 = 0,05 W/m·K je již zahrnutý vliv tepelných mostů (kotvení přizdívky k železobetonové stěně)  protože pro vnitřní prostředí nejsou předepsány žádné zvláštní podmínky, vyjádříme přestup tepla z vnitřního prostředí na povrch konstrukce obvyklou hodnotou odporu při přestupu tepla Rsi = 0,13 m2·K/W  přestup tepla z vnějšího povrchu už není možné počítat pomocí běžné hodnoty odporu při přestupu tepla Rse = 0,04 m2·K/W, neboť v ní není zohledněno sálání proti jasné obloze ani vliv slunečního záření



 

pro výpočet přestupu tepla sestavíme podrobnější bilanci tepelných toků pro vnější povrch, ve které budeme odděleně uvažovat přestup tepla prouděním, přestup tepla sáláním a vliv slunečního záření součinitel přestupu tepla prouděním hce odhadneme stejně jako v předchozím příkladu (opět budeme předpokládat rychlost větru v = 4 m/s) součinitel přestupu tepla sáláním hre s vlivem sálání proti jasné obloze vypočteme stejně jako v předchozím příkladu. Teplotu povrchu země a teplotu povrchů okolních těles budeme opět zjednodušeně uvažovat stejnou jako teplotu oblohy. Teplotu vnějšího povrchu stěny budeme opět zjednodušeně uvažovat stejnou jako teplotu vnějšího vzduchu. Celý postup a jeho výhody jsou podrobněji vysvětleny v předchozím příkladu.

Předpoklad, že teplota povrchu země a ostatních okolních povrchů se shoduje s teplotou jasné oblohy je konzervativní. V případě jasné oblohy s poměrně intenzivním slunečním zářením bude skutečná povrchová teplota terénu a těles na zemském povrchu pravděpodobně vyšší, možná bližší teplotě venkovního vzduchu. Naší volbou pravděpodobně opět nadhodnotíme tepelnou ztrátu stěny, tentokrát významněji, než v předchozím příkladu. sluneční záření qsol

rsky

qre 1

i

si

qsi

2

1,2 2,3 q1

jasná obloha

3

se

q2

qre

r = sky

q3

okolní povrchy

qce e

qre povrch země r = sky qsol

i

Rsi

R1

si

R2

1,2

R3

2,3

hce

se

hre

e sky

Obr. 1-19: Schéma problému

Postup řešení:  sestavíme bilanci tepelných toků pro vnější povrch stěny  předpokládáme ustálený stav – součet tepelných toků směrem k vnějšímu povrchu a směrem z vnějšího povrchu musí být rovný nule  bilance tepelných toků pro vnitřní povrch a pro rozhraní mezi vrstvami konstrukce převezmeme z předchozích příkladů – jejich obecná formulace zůstává platná i pro tento příklad  získáme čtyři rovnice, kde neznámými jsou teploty na vnitřním a vnějším povrchu stěny a na rozhraní vrstev  řešením soustavy rovnic získáme hodnoty si, 1,2, 2,3 a se  správnost výsledku zkontrolujeme

 

z hodnot si a se vypočítáme hustotu tepelného toku skrz konstrukci q, určíme směr tepelného toku a určíme, zda se jedná o tepelnou ztrátu nebo o tepelný zisk pro vnitřní prostředí vykreslíme průběh teploty

Bilance tepelných toků:  vnitřní povrch: qsi  q1 → qsi  q1  0 

rozhraní vrstev 1, 2: q1  q2 → q1  q2  0



rozhraní vrstev 2, 3: q2  q3 → q2  q3  0



vnější povrch: q3  qsol  qce  qre → q3  qsol  qce  qre  0

Hustoty tepelných toků: Vztahy pro výpočet hustot tepelných toků qsi , q1 až q3, qce a qre a jejich hodnoty jsou shodné jako v předchozím příkladu, proto je vynecháme. Hustota tepelného toku ze slunečního záření se vypočítá takto:

qsol   sol  I sol Soustava rovnic (neznámé jsou si, 1,2, 2,3 a se, hodnoty ostatních veličin jsou zadané nebo se dopočítají):

hsi  (i  si )  K1  (si  1,2 )  0 K1  (si  1,2 )  K2  (1,2  2,3 )  0 K2  (1,2  2,3 )  K3  (2,3  se )  0

K3  (2,3  se )    I sol  hce  (se  e )  hre  ( se   sky )  0 Po roznásobení:

hsi i  hsi si  K1 si  K1 1,2  0 K1 si  K1 1,2  K2 1,2  K2 2,3  0 K2 1,2  K2 2,3  K3 2,3  K3  se  0

K3 2,3    I sol  K3 se  hce se  hce e  hre  se  hre  sky  0 Po úpravách: (hsi  K1)  si  K1  1,2  hsi  i K1  si  (K1  K2 )  1,2  K2  2,3  0 K2  1,2  (K2  K3 )  2,3  K3  se  0 K3  2,3  (K3  hce  hre )  se    Isol  hce  e  hre  sky

Vyčíslení: Tepelné odpory R a tepelné vodivosti K vrstev konstrukce byly vypočítány v předchozím příkladu a pro tento příklad zůstávají stejné. Stejné zůstávají i hodnoty součinitelů přestupu tepla na vnitřním povrchu hsi a na vnějším povrchu hce a hre. Soustava rovnic po dosazení číselných hodnot:

15,692 si  8 1,2  153,846

8 si  8,333 1,2  0,333 2,3  0 0,333 1,2  7 2,3  6,667 se  0 0,667 2,3  30, 482 se  159,934 Návody na řešení soustavy lineárních rovnic v tabulkovém procesoru lze najít na internetu. Výsledky: Teploty (po zaokrouhlení):

si = 19,5 °C 1,2 = 19,0 °C 2,3 = 7,5 °C se = 6,9 °C Průběh teploty je vynesen do grafu:

Obr. 1-20: Výsledný průběh teploty

Kontrola – výpočet hustot tepelných toků: Do výpočtu je potřeba dosadit teploty zaokrouhlené na větší počet platných čísel nebo zcela bez zaokrouhlení (např. při výpočtu v tabulkovém procesoru). Do zápisu uvedeného níže jsou pro přehlednost dosazeny teploty zaokrouhlené pouze na jedno desetinné místo (což je pro kontrolu správnosti málo!).

qsi 

1  (i   si )  hsi  (i   si )  7,692  (20  19,5)  3,854 W/m2 Rsi

q1 

1  ( si  1.2 )  K1  ( si  1,2 )  8  (19,5  19)  3,854 W/m2 R1

q2 

1  (1,2  2,3 )  K2  (1,2  2,3 )  0,333  (19  7,5)  3,854 W/m2 R2

q3 

1  (2,3   se )  K3  (2,3   se )  6,667  (7,5  6,9)  3,854 W/m2 R3

Hustota tepelného toku mezi povrchy konstrukce:

q

1 1  ( si   se )   (19,5  6,9)  3,854 W/m2 R1  R2  R3 3, 275

Hustoty tepelných toků se shodují, což odpovídá předpokladu ustáleného stavu. Liší se ovšem hodnota hustoty tepelného toku z vnějšího povrchu stěny do vnějšího prostředí:

qse  qce  qre  hce  (se  e )  hre  (se  sky )  20  (6,9  5)  3,816  (6,9  10,5)  303,854 W/m2 Rozdíl hustoty tepelného toku qse a hustoty tepelného toku v jiných místech konstrukce je přesně 300 W/m2 = qsol = sol · Isol. Rovnováha tepelných toků na vnějším povrchu je tedy zachována:

q3  qsol  qce  qre  q3  qsol  qse  3,854  300  303,854  0 Teploty tedy byly vypočítány správně. Tepelná ztráta obvodové stěny je 3,9 W/m2.

1.3.4

Obvodová stěna 4

Zadání Uvažujte podobnou obvodovou stěnu jako v předchozím příkladu. Vnější přizdívka z pohledových cihel se však nahradí stejně tlustou neprovětrávanou vzduchovou mezerou. Ta je z vnitřní strany vymezena povrchem tepelné izolace a z vnější strany skleněnou tabulí. Na povrchu tepelné izolace (směrem do vzduchové dutiny) je z výroby nanesena tenká difuzní fólie černé barvy. Skladba konstrukce (od interiéru):  železobetonová stěna tl. 200 mm, tepelná vodivost 1,6 W/m·K  tepelná izolace tl. 150 mm, tepelná vodivost 0,05 W/m·K  difuzní fólie, černá barva, tl. 0,3 mm, tepelná vodivost 0,2 W/m·K  neprovětrávaná vzduchová mezera, tl. 150 mm  čiré sklo, tl. 4 mm, tepelná vodivost 1 W/m·K Teplota vnitřního vzduchu je 20 °C a teplota venkovního vzduchu -5°C. Je den, bez oblačnosti, na stěnu dopadá sluneční záření s celkovou intenzitou 400 W/m2 (vztaženo na 1 m2 povrchu stěny). Fouká vítr o rychlosti 4 m/s. Vypočítejte teploty na vnitřním povrchu, vnějším povrchu a na rozhraní vrstev konstrukce. Vykreslete průběh teploty, vypočítejte tepelnou ztrátu. Řešení Známé veličiny:  tepelné vlastnosti materiálových vrstev 1 a 2: tepelné odpory R1 a R2, tepelné propustnosti K1 a K2 (z předchozích příkladů)  tloušťka vzduchové mezery (vrstva 4): d4  tloušťky materiálových vrstev 3 a 5: d3 a d5  součinitele tepelné vodivosti pro materiál vrstev 3 a 5: 3 a  5  barva vnějšího povrchu vrstvy 3: černá  emisivita vnějšího povrchu obvodové stěny  = 0,9 (z předchozího příkladu)  teplota vnitřního vzduchu i = 20°C  teplota venkovního vzduchu e = -5 °C  rychlost větru v = 4 m/s  teplota jasné oblohy pro stěnu při teplotě venkovního vzduchu -5 °C sky = -10,5 °C (z předchozího příkladu)  celková intenzita slunečního záření vztažená na 1 m2 povrchu stěny Isol = 400 W

Neznámé veličiny:  teploty na vnitřním a venkovním povrchu konstrukce si, se a teploty na rozhraní materiálových vrstev 1,2, 2,3, 3,4 a 4,5  tepelná ztráta obvodové stěny – vyjádříme jí hustotou tepelného toku q [W/m2] Další potřebné informace:  emisivita vnějšího povrchu stěny – povrchu skleněné tabule vymezující vzduchovou vrstvu  pohltivost slunečního záření pro vnější povrch stěny – pro povrch skleněné tabule  propustnost slunečního záření pro skleněnou tabuli  emisivita vnějšího povrchu difuzní fólie  pohltivost slunečního záření pro vnější povrch difuzní fólie Emisivita skla je velmi podobná jako emisivita ostatních stavebních materiálů. Použijeme hodnotu  = 0,92 podle Přílohy 1. Sklo je propustné pro sluneční záření, proto je pohltivost slunečního záření povrchu čirého skla nízká. Použijeme hodnotu sol = 0,05. Propustnost slunečního záření pro sklo tl. 4 mm je při kolmém dopadu slunečních paprsků přibližně 0,85. Propustnost slunečního záření je sice závislá na úhlu dopadu slunečních paprsků, ale v rozmezí 0° (kolmo na povrch) a 45° se příliš nemění. Propustnost slunečního záření pro skleněnou tabuli budeme tedy uvažovat konzervativně  = 0,8. Emisivitu povrchu difuzní fólie odhadneme – použijeme hodnotu pro střešní lepenku  = 0,93. Pro povrch difuzní folie můžeme použít hodnotu pohltivosti slunečního záření sol = 0,92 (černý, nekovový povrch, Příloha 2). Analýza problému: Způsob šíření tepla z vnitřního prostředí až k vnějšímu povrchu difuzní fólie je stejný jako v předchozích dvou příkladech. Vnější povrch difuzní fólie vymezuje vzduchovou mezeru. Z vnějšího povrchu difuzní fólie se teplo šíří skrz vzduchovou mezeru na vnitřní povrch skleněné tabule všemi třemi způsoby:  vedením  prouděním  sáláním. Z vnitřního povrchu skleněné tabule (směrem do vzduchové mezery) se teplo šíří vedením k vnějšímu povrchu tabule (směrem do venkovního prostředí). Na vnějším povrchu skleněné tabule (vnější povrch konstrukce) dochází k přestupu tepla do venkovního prostředí:  prouděním (vítr)  dlouhovlnným sáláním proti povrchům okolních těles a proti zemskému povrchu  dlouhovlnným sáláním proti jasné obloze (jasnou oblohu si představujeme jako povrch s velmi nízkou teplotou) Tyto procesy jsou podrobněji popsány v předchozích dvou příkladech a při jejich výpočtu budeme postupovat obdobně. Tepelné chování stěny je jako v předchozím příkladu ovlivněno slunečním zářením, ovšem tentokrát je situace složitější. Sluneční záření dopadá na vnější povrch skleněné tabule:  část dopadajícího slunečního záření se odráží zpět do venkovního prostředí  malá část je pohlcena skleněnou tabulí a šíří se dále ve formě tepla  největší část prochází skleněnou tabulí Část slunečního záření, která prošla skleněnou tabulí, dopadá na vnější povrch difuzní fólie. Většina tohoto sálavého toku je na povrchu fólie pohlcena a dá se předpokládat, že zvýší jeho teplotu. Uvolněné teplo se šíří z povrchu fólie dále (předpokládejme, že směrem do vzduchové mezery). Zbývající část slunečního záření se od povrchu fólie odrazí (propustnost  = 0) zpět směrem ke skleněné tabuli, na jejímž vnitřním povrchu se opět malá část odrazí zpět, malá část pohltí a většina projde skrz tabuli do venkovního prostředí. Hustota sálavého toku odraženého od difuzní fólie bude velmi malá a její vliv na tepelné chování stěny zanedbáme.

Vraťme se ještě k šíření tepla skrz skleněnou tabuli a difuzní fólii. Skleněná tabule je tenká a má vysokou tepelnou vodivost. To znamená, že rozdíl teploty na vnitřním a vnějším povrchu tabule bude zanedbatelný. Skleněnou tabuli budeme proto uvažovat jako nekonečně tenkou vrstvu s jedinou teplotou. Vlastnosti, které ovlivňují šíření tepla sáláním, zůstanou beze změn (emisivita, propustnost a pohltivost slunečního záření). Podobně budeme uvažovat i v případě difuzní fólie. Její vliv na šíření tepla vedením zanedbáme, to znamená, že s ní ve výpočtu nebudeme vůbec uvažovat a pohltivost slunečního záření vnějšího povrchu fólie budeme chápat jako vlastnost povrchu tepelné izolace. Samostatným problémem je výpočet hustoty tepelného toku vedením, prouděním a sáláním mezi povrchy vzduchové mezery (kap. 1.1.7,). Klíčová je správná volba součinitele přestupu tepla prouděním, a sáláním. Jejich hodnota ve výpočtu ovlivní mimo jiné ztráty tepla ze slunečního záření pohlceného na povrchu difuzní fólie. Chyba v hodnotách těchto veličin proto může mít relativně významný vliv na výsledné rozložení teploty v konstrukci. Součinitel přestupu tepla prouděním závisí na tloušťce mezery a na teplotě povrchů, které dopředu neznáme. Přesný výpočet je příliš složitý, použití obvyklé hodnoty 2,5 W(m2·K) pro součinitel přestupu tepla prouděním na vnitřním povrchu svislých konstrukcí také není příliš vhodné řešení (platí pro relativně malý rozdíl teploty povrchu a teploty vzduchu), proto použijeme zjednodušený vztah z kap. 1.1.2. Pro výpočet potřebujeme znát teplotu povrchů mezery a teplotu vzduchu v mezeře – tyto neznámé teploty odhadneme takto:  vnitřní povrch mezery (povrch difuzní fólie): teplota o 15 °C vyšší než teplota vzduchu (odhad na základě výsledků předchozího příkladu – venkovní povrch stěny vystavený větru se vlivem slunečního záření ohřál o 10°C nad teplotu venkovního vzduchu, povrch chráněný proti větru vzduchovou mezerou a skleněnou tabulí by se měl ohřát o něco více)  vnější povrch mezery (vnitřní povrch skleněné tabule): teplota stejná, jako teplota venkovního vzduchu  teplota vzduchu v mezeře: průměr teplot na vnitřním a vnějším povrchu mezery Takto odhadnuté teploty použijeme i pro výpočet součinitele přestupu tepla sáláním mezi povrchy mezery. Schéma řešení: Schéma řešení je uvedeno až za oddíly Předpoklady řešení a Postup řešení Předpoklady řešení:  ustálený stav  předpokládáme, že v hodnotě tepelné vodivosti tepelné izolace 2 = 0,05 W/m·K je již zahrnutý vliv tepelných mostů (kotvení nosné konstrukce skleněné stěny k železobetonové stěně)  zanedbáme vliv nosné konstrukce (rámu), do které by ve skutečnosti byla zasazena skleněná tabule (rám nepropouští sluneční záření a má jiné tepelné vlastnosti než tabule skla)  difuzní fólii jako materiálovou vrstvu zanedbáme, její sálavé vlastnosti (emisivitu a pohltivost slunečního záření) přiřadíme povrchu tepelné izolace – rozhraní vrstev 2,3  skleněnou tabuli jako materiálovou vrstvu zanedbáme, její sálavé vlastnosti (emisivitu, pohltivost a propustnost slunečního záření) přiřadíme fiktivnímu vnějšímu povrchu vzduchové mezery, který bude současně vnějším povrchem konstrukce  v neprovětrávané vzduchové mezeře budeme uvažovat šíření tepla prouděním, sáláním a vedením  tepelnou vodivost nehybného vzduchu budeme uvažovat hodnotou 3 = 0,025 W/m·K  součinitel přestupu tepla prouděním mezi povrchy mezery stanovíme orientačně z odhadnuté teploty povrchu a teploty vzduchu v mezeře  teploty povrchů vymezujících vzduchovou mezeru pro účely výpočtu součinitele přestupu tepla sáláním budeme uvažovat takto: 2,3 = e +15 = 10 °C, se = e = -5 °C  teplotu vzduchu v mezeře odhadneme jako průměr povrchových teplot: a,3 = (2,3 + se)/2 = (15 – 5)/2 = 5 °C  emisivity povrchů vymezujících vzduchovou mezeru pro účely výpočtu součinitele přestupu tepla sáláním budeme uvažovat hodnotami 2,3 = 0,93 (…) a se = 0,92 (skleněná tabule)



pro vnější povrch konstrukce reprezentující skleněnou tabuli požijeme hodnoty sálavých vlastností pro čiré sklo (se = 0,92, sol,se = 0,05, sol,se = 0,8)  zanedbáme vliv zašpinění povrchu skleněné tabule na jeho sálavé vlastnosti  pohltivost slunečního záření pro rozhraní vrstev 2,3 (reprezentuje difuzní fólii) budeme uvažovat hodnotou sol,2,3 = 0,92 (černý nekovový povrch)  vliv části slunečního záření odraženého na rozhraní vrstev 2,3 zpět do vzduchové mezery zanedbáme  protože pro vnitřní prostředí nejsou předepsány žádné zvláštní podmínky, vyjádříme přestup tepla z vnitřního prostředí na povrch konstrukce obvyklou hodnotou odporu při přestupu tepla Rsi = 0,13 m2·K/W  přestup tepla z vnějšího povrchu už není možné počítat pomocí běžné hodnoty odporu při přestupu tepla Rse = 0,04 m2·K/W, neboť v ní není zohledněno sálání proti jasné obloze ani vliv slunečního záření  pro výpočet přestupu tepla sestavíme podrobnější bilanci tepelných toků pro vnější povrch, ve které budeme odděleně uvažovat přestup tepla prouděním, přestup tepla sáláním a vliv slunečního záření  součinitel přestupu tepla prouděním hce odhadneme z rychlosti větru stejně jako v předchozích příkladech  součinitel přestupu tepla sáláním hre s vlivem sálání proti jasné obloze vypočteme stejně jako v předchozím příkladu. Teplotu povrchu země a teplotu povrchů okolních těles budeme opět zjednodušeně uvažovat stejnou jako teplotu oblohy. Teplotu vnějšího povrchu stěny budeme opět zjednodušeně uvažovat stejnou jako teplotu vnějšího vzduchu. Celý postup a jeho výhody jsou podrobněji vysvětleny v příkladu 1.3.2. Postup řešení  sestavíme bilanci tepelných toků pro vnitřní povrch stěny, pro jednotlivá rozhraní mezi vrstvami konstrukce a pro vnější povrch (bilanční rovnice pro vnitřní povrch a rozhraní vrstev 1 a 2 můžeme převzít z předchozích příkladů)  předpokládáme ustálený stav – součet tepelných toků směrem k vnějšímu povrchu a směrem z vnějšího povrchu musí být rovný nule  získáme čtyři rovnice, kde neznámými jsou teploty na vnitřním a vnějším povrchu stěny a na rozhraní vrstev  řešením soustavy rovnic získáme hodnoty si, se, 1,2 a 2,3  správnost výsledku zkontrolujeme  vypočítáme hustotu tepelného toku na vnitřním povrchu konstrukce, určíme jeho směr a určíme, zda se jedná o tepelnou ztrátu nebo zisk pro vnitřní prostředí  vykreslíme průběh teploty

železobeton tepelná izolace vzduchová mezera

železobeton tepelná izolace difuzní fólie vzduchová mezera skleněná tabule

Schéma problému

si

1

2

3

1

2

3

1,2 2,3

Obr. 1-21: Skladba stěny a její zjednodušení

se

se sol,se sol,se 2,3 sol,2,3

qsol,2,3

Isol

qcd,3

sol·sol·Isol

sol·Isol

sol·Isol

q2

qce

qc,3

qre

qr,3

qsol,2,3

hcd,3

R2

hc,3

2,3 vedení

qsol,se

hr,3

qsol,se hce

se

hre

qsol,2,3 sálání

qsol,se

R2

proudění

hce

h3

se

2,3

vedení

proudění

hre

Obr. 1-22:Tepelné chování neprovětrávané vzduchové mezery a jeho zjednodušení (model)

sluneční záření qsol,2,3 1

si

2

qsol,se qre

3

1,2 2,3

se

rsky jasná obloha

qre qsi

q1

q2

r = sky okolní povrchy

q3 qce e

qre

povrch země r = sky qsol,2,3

i

sky

sálání

vedení

i

e

Rsi

R1

si

R2

1,2

h3

2,3

qsol,se hce

se

hre

Obr. 1-23: Celkové schéma problému

e sky

e sky

Bilance tepelných toků: 

vnitřní povrch: qsi  q1 → qsi  q1  0



rozhraní vrstev 1, 2: q1  q2 → q1  q2  0



rozhraní vrstev 2, 3: q2  qsol ,2,3  q3 → q2  q3  qsol ,2,3  0



vnější povrch: q3  qsol ,se  qce  qre → q3  qsol ,se  qce  qre  0

Hustoty tepelných toků: Vztahy pro výpočet hustot tepelných toků qsi, q1, q2, qce a qre a jejich hodnoty jsou shodné jako v předchozím příkladu, proto je vynecháme. Ostatní hustoty tepelného toku se vypočítá takto:

q3  q3,cd  q3,c  q3,r  h3,cd  2,3  se   h3,c  2,3   se   h3,c  2,3   se 

q3   h3,cd  h3,c  h3,r   2,3   se   h3  2,3   se 

qsol ,se   sol ,se  I sol qsol ,2,3   sol ,2,3  sol , se  I sol Soustava rovnic: Neznámé jsou si, 1,2, 2,3 a se, hodnoty ostatních veličin jsou zadané nebo se dopočítají

hsi  (i  si )  K1  (si  1,2 )  0 K1  (si  1,2 )  K2  (1,2  2,3 )  0 K2  (1,2  2,3 )  h3  (2,3  se )  qsol ,2,3  0 h3  (2,3  se )  qsol ,se  hce  (se  e )  hre  (se  sky )  0 Po roznásobení:

hsi i  hsi si  K1 si  K1 1,2  0 K1 si  K1 1,2  K2 1,2  K2 2,3  0 K2 1,2  K2 2,3  h3 2,3  h3 se  qsol ,2,3  0 h3 2,3  h3 se  qsol , se  hce se  hce e  hre se  hre sky  0 Po úpravách:

(hsi  K1 ) si  K1 1,2  hsi i

K1 si  ( K1  K2 ) 1,2  K2 2,3  0 K2 1,2  ( K2  h3 ) 2,3  h3 se  qsol ,2,3 h3 2,3  (h3  hce  hre ) se  qsol ,se  hce e  hre sky Vyčíslení: Tepelné odpory R a tepelné vodivosti K vrstev konstrukce byly vypočítány v předchozím příkladu a pro tento příklad zůstávají stejné. Stejné zůstávají i hodnoty součinitelů přestupu tepla na vnitřním povrchu hsi a na vnějším povrchu hce a hre.

Soustava rovnic po dosazení číselných hodnot:

15,692 si  8 1,2  153,846 8 si  8,333 1,2  0,333 2,3  0 0,333 1,2  7,897 2,3  7,564 se  294, 4

7,564 2,3  31,379 se  120,066 Návody na řešení soustavy lineárních rovnic v tabulkovém procesoru lze najít na internetu. Výsledky: Teploty (po zaokrouhlení):

si = 21 °C 1,2 = 22 °C 2,3 = 44,9 °C se = 7 °C Kontrola – výpočet hustot tepelných toků: Do výpočtu je potřeba dosadit teploty zaokrouhlené na větší počet platných čísel nebo zcela bez zaokrouhlení (např. při výpočtu v tabulkovém procesoru). Do zápisu uvedeného níže jsou pro přehlednost dosazeny teploty zaokrouhlené pouze na jedno desetinné místo (což je pro kontrolu správnosti málo!).

qsi 

1  (i   si )  hsi  (i   si )  7, 692  (20  21)  7, 653 W/m2 Rsi

q1 

1  ( si  1.2 )  K1  ( si  1,2 )  8  (21  22)  7, 653 W/m2 R1

q2 

1  (1,2  2,3 )  K2  (1,2  2,3 )  0,333  (22  44,9)  7, 653 W/m2 R2

q3  h3  (2,3  se )  7,564  (44,9  7)  286,747 W/m2 qsol ,se   sol ,se  I sol  0,05  400  20 W/m2 qsol ,2,3   sol ,2,3  sol , se  I sol  0,92  0,8  400  294, 4 W/m2 qce  hce  (se  e )  20  (7  5)  239,975 W/m2

qre  hre  (se  sky )  3,816  (7  10,5)  66,772 W/m2 Kontrola – bilance tepelných toků 

vnitřní povrch: qsi  q1  7,653  7,653  0



rozhraní vrstev 1, 2: q1  q2  7,653  7,653  0



rozhraní vrstev 2, 3: q2  q3  qsol ,2,3  7,653  286,747  294, 4  0



vnější povrch: q3  qsol ,se  qce  qre  286,747  20  239,975  66,772  0

Součty tepelných toků na površích konstrukce i na rozhraních mezi vrstvami vycházejí nulové, což odpovídá předpokladu ustáleného stavu. Teploty tedy byly vypočítány správně.

Průběh teploty je vykreslen do grafu:

Obr. 1-24: Výsledný průběh teploty

Průběh teploty ve vzduchové mezeře ve skutečnosti nebude lineární, proto je v grafu pouze naznačen čárkovanou čarou. Použitý způsob výpočtu neumožňuje průběh teploty ve vzduchové mezeře upřesnit. Tepelná ztráta stěny: Za tepelnou ztrátu stěny můžeme považovat hustotu tepelného toku z vnitřního prostředí na vnitřní povrch stěny qsi. Hustota tepelného toku má záporné znaménko, tepelný tok tedy směřuje z povrchu stěny do vnitřního prostředí. Tepelná ztráta stěny je nulová, tepelný zisk obvodové stěny je 7,7 W/m2. Poznámka: Kontrola prokázala, že výsledky výpočtu jsou matematicky správné. Vypočítané teploty 2,3 a se se však významně liší od počátečních odhadů. To znamená, že hodnoty součinitelů přestupu tepla prouděním a sáláním ve vzduchové mezeře ani součinitel přestupu tepla sáláním z vnějšího povrchu nejsou vypočítány správně. Výsledky výpočtu neznámých teplot můžeme zpřesnit tak, že celý výpočet znovu zopakujeme ale místo odhadu teplot 2,3 a se použijeme výsledné hodnoty z předchozího výpočtu. Když budeme tento postup iteračně opakovat, bude se rozdíl mezi „odhadnutými a výslednými hodnotami teplot 2,3 a se postupně zmenšovat, až dosáhneme dobré shody. Výsledky několika prvních iteračních cyklů jsou uvedeny v Tab. 1-5 . Průběhy teplot z původního výpočtu a čtvrtého iteračního cyklu jsou porovnány na Obr. 1-25.

Obr. 1-25: Vliv odhadu 2,3 a se na výsledek výpočtu

Tab. 1-5: Vliv odhadu 2,3 a se na výsledek výpočtu

2,3 [°C] se [°C] hc,3 [W/m2.K] hr,3 [W/m2.K] hr,e [W/m2.K] qsi [W/m2]

původní výpočet počáteč- výsledek ní odhad výpočtu 10 44,9 -5 7,0

1. iterace počáteč- výsledek ní odhad výpočtu 44,9 37,1 7,0 6,9

2. iterace počáteč- výsledek ní odhad výpočtu 37,1 38,5 6,9 6,9

4. iterace počáteč- výsledek ní odhad výpočtu 38,3 38,3 6,9 6,9

3,310

---

4,173

---

3,944

---

3,98

---

4,087

---

5,222

---

5,019

---

5,047

---

3,816

---

4,08

---

4,078

---

4,078

---

---

-7,7

---

-5,267

---

-5,7

---

-5,6

2

Tepelná bilance prostoru v ustáleném stavu

2.1

Základní teorie

2.1.1

Měrný tepelný tok prostupem tepla

Měrný tepelný tok prostupem tepla budovy nebo její části se stanoví obecně ze vztahu

HT  H d  H g  H u kde

Hd Hg Hu

[W/K]

(2.1)

je měrný tepelný tok prostupem tepla konstrukcemi mezi vnitřním a venkovním vzduchem ve W/K měrný tepelný tok prostupem tepla konstrukcemi v kontaktu se zeminou ve W/K měrný tepelný tok prostupem tepla konstrukcemi v kontaktu s nevytápěnými prostory ve W/K.

Hodnota HT vyjadřuje vlastně tepelnou ztrátu prostupem tepla přes konstrukce při jednotkovém teplotním rozdílu mezi vnitřním a venkovním vzduchem. Pro ruční výpočty je vhodnější použít alternativní vyjádření vztahu (2.1) ve tvaru

HT   Aj  U j  b j  U em   Aj

[W/K]

(2.2)

nebo případně (při detailnější znalosti vlastností tepelných vazeb mezi konstrukcemi) ve tvaru

HT   Aj  U j  b j   l j  j  b j    j  b j kde

Aj Uj

je

bj ΔUem lj ψj χj

[W/K]

(2.3)

plocha j-té obalové konstrukce hodnoceného prostoru v m2 součinitel prostupu tepla j-té konstrukce (stanovený včetně vlivu tepelných mostů) ve W/(m2.K) činitel teplotní redukce pro j-tou konstrukci přirážka na vliv tepelných vazeb ve W/(m2.K) délka lineární tepelné vazby v m lineární činitel prostupu tepla lineární tepelné vazby ve W/(m.K) bodový činitel prostupu tepla bodové tepelné vazby ve W/K.

Plochy obalových konstrukcí se standardně stanovují s pomocí vnějších rozměrů (resp. skladebných rozměrů u výplní otvorů). Přirážka na vliv tepelných vazeb ΔUem se obvykle odhaduje v rozmezí 0,02 až 0,1 W/(m2.K) podle předpokládané kvality řešení tepelných vazeb. Bodové činitele prostupu tepla χ se obvykle zanedbávají. Činitel teplotní redukce se pro konstrukce v kontaktu s venkovním vzduchem určí ze vztahu

b kde

i  e  im   e θi θe θim

[-] je

(2.4)

vnitřní teplota působící na danou konstrukci ve ºC venkovní teplota ve ºC převažující vnitřní teplota (vnitřní teplota většiny prostorů v hodnocené budově či její části) ve ºC.

Obvyklou hodnotou činitele teplotní redukce pro konstrukce v kontaktu s venkovním vzduchem je b=1, protože teploty θi a θim jsou většinou shodné (typicky 20 ºC). Činitel teplotní redukce se pro konstrukce v kontaktu se zeminou nebo s nevytápěným prostorem určí ze vztahu

b

i   x  im   e θx

kde

[-] je

(2.5)

odhadnutá teplota v zemině nebo v nevytápěném prostoru ve ºC.

Činitel teplotní redukce pro konstrukce v kontaktu se zeminou nebo s nevytápěným prostorem je obvykle nižší než 1, protože teplota θx je většinou vyšší než teplota θe.

2.1.2

Měrný tepelný tok větráním

Měrný tepelný tok větráním budovy nebo její části se stanoví ze vztahu

H v    c  Vv ρ c Vv

kde

je

[W/K]

(2.6)

hustota vzduchu v kg/m3 (běžně se uvažuje 1,3 kg/m3) měrná tepelná kapacita vzduchu v J/(kg.K) (běžně se uvažuje 1000 J/(kg.K)) objemový tok větracího vzduchu v m3/s.

Objemový tok větracího vzduchu může být buď přímo známý a nebo ho lze pro přirozeně větrané prostory určit jako

Vv 

n  Va 3600

kde

2.1.3

n Va

[m3/s] je

(2.7)

intenzita větrání prostoru v 1/h objem vzduchu v prostoru v m3 (obvykle se uvažuje odhadem jako 0,8 až 0,9 násobek objemu prostoru stanoveného z vnějších rozměrů).

Průměrný součinitel prostupu tepla budovy

Průměrný součinitel prostupu tepla budovy nebo její části se určí ze vztahu

U em  kde

HT A HT A

[W/(m2.K)] je

(2.8)

měrný tepelný tok prostupem tepla budovy nebo její části ve W/K celková plocha všech obalových konstrukcí hodnocené budovy nebo její části v m2.

Při výpočtu průměrného součinitele prostupu tepla se zohledňují pouze tzv. teplosměnné konstrukce, tj. konstrukce, přes které dochází k výměně tepla mezi budovou a okolím (resp. přesněji: přes které uniká teplo z budovy do okolí).

2.1.4

Tepelná bilance prostoru

V ustáleném stavu platí v jakémkoli prostoru tepelná rovnováha mezi zisky a ztrátami:

l   g kde

Φl Φg

je

[W]

(2.9)

[W]

(2.10)

celková tepelná ztráta prostoru ve W celkový tepelný zisk prostoru ve W.

Celkovou tepelnou ztrátu lze vyjádřit jako

 l  HT  HV   i   e  kde

HT

je

HV θi θe

měrný tepelný tok prostupem tepla konstrukcemi mezi hodnoceným prostorem a venkovním prostředím ve W/K měrný tepelný tok větráním hodnoceného prostoru (do venkovního prostředí) ve W/K teplota v hodnoceném prostoru ve ºC teplota v exteriéru ve ºC

Do měrného tepelného toku prostupem tepla HT ve vztahu (2.10) se zahrnou všechny konstrukce mezi vnitřním a venkovním prostředím (včetně konstrukcí v kontaktu se zeminou a nevytápěnými prostory). Měrný tepelný tok větráním HT ve vztahu (2.10) vyjadřuje analogicky vliv výměny vzduchu větráním mezi vnitřním a venkovním prostředím. Mezi tepelné zisky patří obecně vnitřní zisky (spotřebiče, osoby, zdroje tepla) a vnější zisky (sluneční záření a zisky z okolních teplejších prostorů):

 g   i   hs   s   w kde

Φi je Φhs Φs Φw

[W]

(2.11)

[W]

(2.12)

vnitřní zisk od osob a zařízení ve W vnitřní zisk od zdroje tepla (kotel) ve W vnější zisk od slunečního záření ve W vnější zisk z okolních teplejších prostorů ve W.

Vnitřní zisky od osob a zařízení mohou být buď zadány nebo je lze stanovit ze vztahu

 i  n   i ,n  Apodl   i , podl kde

n je Φi,n Apodl Φi,podl

počet osob či spotřebičů jednotkový tepelný zisk vztažený na 1 osobu či na 1 spotřebič ve W podlahová plocha hodnoceného prostoru stanovená z vnitřních rozměrů v m2 jednotkový tepelný zisk vztažený na 1 m2 podlahové plochy ve W/m2.

Zisky od slunečního záření lze určit jako

 s   Aj  1  Ff , j   g j  I j  Fs , j  Fc, j kde

Aj Ff,j gj Ij Fs,j Fc,j

je

[W]

skladebná plocha j-tého okna v m2 korekční činitel rámu j-tého okna (tj. podíl rámu z celkové plochy Aj) propustnost slunečního záření j-tého okna intenzita slunečního záření dopadajícího na j-té okno ve W/m2 korekční činitel stínění okna (vliv pevných stínících prostředků) korekční činitel clonění okna (vliv pohyblivých stínících prostředků).

(2.13)

Korekční činitele stínění a clonění jsou rovny 1, pokud není okno stíněno a cloněno. V opačném případě se mohou pohybovat v rozmezí od 0 do 1 (např. pro venkovní žaluzie se korekční činitel clonění obvykle uvažuje 0,10 až 0,20). Zisky z okolních teplejších prostorů lze stanovit ze vztahu

 w  HTw  HVw    w  i  kde

HTw

je

HVw

w i

[W]

(2.14)

měrný tepelný tok prostupem tepla konstrukcemi mezi hodnoceným prostorem a sousedícím teplejším prostorem ve W/K měrný tepelný tok větráním mezi hodnoceným prostorem a sousedícím teplejším prostorem ve W/K teplota v sousedícím teplejším prostoru ve C teplota v hodnoceném prostoru ve C.

Vztah (2.14) lze použít i pro případy, kdy má sousedící prostor nižší teplotu než prostor hodnocený. Výsledkem výpočtu bude jen tepelná ztráta místo zisku (tj. vyjde záporná hodnota). Po dosazení všech vztahů do výchozí rovnice tepelné bilance prostoru dostáváme rovnici

HT  HV   i  e   i   hs   s   w

[W]

(2.15)

ze které lze pak vyjádřit např. hledanou vnitřní teplotu nebo potřebný výkon zdroje tepla.

2.1.5

Potřeba tepla na vytápění bez vlivu tepelných zisků

Je-li znám výkon zdroje tepla pro určité okrajové podmínky (tj. pro venkovní a vnitřní teplotu), lze určit teoretickou potřebu tepla na vytápění (bez vlivu účinnosti otopného systému a bez vlivu tepelných zisků) za zvolený časový úsek ze vztahu

Qhs   hs kde

 i ,m   e ,m t i   e

Φhs je θi,m θe,m θi θe t

[Wh]

(2.16)

výkon zdroje tepla ve W průměrná teplota v interiéru během časového úseku, pro který se stanovuje potřeba tepla na vytápění, ve ºC průměrná teplota v exteriéru během časového úseku, pro který se stanovuje potřeba tepla na vytápění, ve ºC teplota v interiéru, pro kterou byl stanoven výkon zdroje tepla, ve ºC teplota v exteriéru, pro kterou byl stanoven výkon zdroje tepla, ve ºC délka časového úseku, pro který se stanovuje potřeba tepla na vytápění, v h.

Modelové příklady

2.2 Zadání

Uvažujte samostatně stojící serverovnu o půdorysných rozměrech 10 x 5 m a výšce 4 m (vše vnější rozměry). Tloušťka všech konstrukcí je 0,5 m. Průměrný součinitel prostupu tepla budovy je Uem=0,50 W/(m2.K). Zisk od serverů je 5 kW. Jaká musí být intenzita větrání venkovním vzduchem, aby se v interiéru udržela teplota 20 ºC při venkovní teplotě 10 ºC? Při výpočtu uvažujte ustálený stav. Řešení Vyjdeme z rovnice tepelné bilance ve tvaru H T  HV   i   e    i , přičemž prvotní neznámou hodnotou je měrný tepelný tok větráním. Měrný tepelný tok prostupem tepla určíme z definičního vztahu pro průměrný součinitel prostupu tepla, tj. HT  A  U em  220  0,50  110,0 W/K. Měrný tepelný tok větráním můžeme částečně vyjádřit jako H v    c  Vv  1300  Vv W/K. rovnice získáváme rovnici o jedné neznámé ve tvaru 110,0  1300  Vv   20  10  5000 , ze které určíme objemový tok větracího vzduchu jako Vv=0,3 m3/s = 1080 m3/h. Po

dosazení

do

bilanční

Potřebná intenzita větrání se vypočte ze vztahu n 

Vv 1080 (ve jmenovateli je součin vnitřních  Va 9  4  3

rozměrů budovy) a činí n = 10/h.

Zadání Teoretická potřeba tepla na vytápění rodinného domu za leden činí - bez vlivu tepelných zisků - celkem 1150 kWh. Jaký je výkon kotle při venkovní teplotě -17 ºC? Při výpočtu uvažujte vnitřní teplotu 20 ºC a průměrnou venkovní teplotu během ledna -2,8 ºC. Řešení Vyjdeme ze vztahu pro potřebu tepla na vytápění bez vlivu zisků a účinností Qhs   hs dosadíme a získáme rovnici 1150000   hs

 i ,m   e ,m t , i   e

20  2,8  31  24 . Z ní pak vyjádříme hledaný výkon zdro20  17

je tepla jako Φhs = 2508 W.

Zadání Terárium o půdorysných rozměrech 1,0 x 0,5 m a výšce 0,6 m (vše vnější rozměry) má stěny a dno ze skla tl. 5 mm (tepelná vodivost je 1,0 W/(m.K)) a víko z plastu tl. 3 mm (tepelná vodivost 0,15 W/(m.K)). Lineární činitel prostupu tepla je pro styk skel  = 0,1 W/(m.K) a pro styk sklo-víko  = 0,2 W/(m.K). Intenzitu větrání uvažujte 1/h.

Jaká bude potřeba tepla na vytápění za týden, je-li v teráriu teplota 28 C a v jeho okolí teplota 15 C? Při výpočtu uvažujte ustálený stav a předpokládejte, že je terárium podloženo tak, aby bylo i jeho dno v kontaktu s okolním vzduchem. Vliv zařízení terária zanedbejte. Řešení Prvním krokem výpočtu potřeby tepla na vytápění musí být určení výkonu topného zdroje. Pro tento účel vyjdeme z tepelné bilance ve tvaru H T  HV   i   e    hs . Výpočet začneme stanovením tepelného odporu a součinitele prostupu tepla jednotlivých stran terária. Pro víko je tepelný odpor R = 0,003/0,15 = 0,02 m2K/W a součinitel prostupu tepla U = 1/(0,10+0,02+0,10) = 4,55 W/(m2.K). Pro stěny je tepelný odpor R = 0,005/1,0 = 0,005 m2K/W a součinitel prostupu tepla U = 1/(0,13+0,005+0,13) = 3,77 W/(m2.K) a pro dno je tepelný odpor R = 0,005 m2K/W a součinitel prostupu tepla U = 1/(0,17+0,005+0,17) = 2,90 W/(m2.K). Dále určíme měrný tepelný tok prostupem tepla jako H T  dosazení dává

A

j

 U j  b j   l j  j  b j , což po

HT  1,0  0,5  2,90  1,0  0,5  4,55  2  1,0  0,6  0,5  0,6  3,77  0,6  4  0,1 

 1,0  2  0,1  0,5  2  0,1  1,0  2  0,2  0,5  2  0,2  11,65 W/K. Měrný tepelný tok větráním vychán  Va 1,0  1,0  0,5  0,6  1,3  1000   0,11 W/K. zí H v    c  3600 3600 Po dosazení do tepelné bilance získáváme rovnici pro neznámý výkon topného zdroje 11,65  0,11  28  15   hs , z níž vychází hs = 153 W. Hledanou

potřebu

tepla

na

vytápění

za

  28  15 Qhs   hs i ,m e,m  t  153  7  24  25,7 kWh. i  e 28  15

týden

pak

určíme

ze

vztahu

Zadání Uvažujte jednoduchou jednopodlažní budovu podle Obr. 2-1. V obvodových stěnách budovy jsou umístěna francouzská okna o skladebných rozměrech 1 x 2 m. Vnitřní dělící konstrukce budova nemá. Střecha má součinitel prostupu tepla U = 0,10 W/(m2.K), podlaha U = 0,30 W/(m2.K) a stěna U = 0,15 W/(m2.K). Jaký musí být součinitel prostupu tepla oken, aby byl průměrný součinitel prostupu tepla budovy nejvýše Uem = 0,20 W/(m2.K)?

5m

Sever

10 m

4m

horní líc tepelné izolace ve střeše

spodní líc tepelné izolace v podlaze

Obr. 2-1: Schéma jednoduché jednopodlažní budovy

Při výpočtu uvažujte venkovní teplotu -15 ºC, přirážku na vliv tepelných vazeb Uem = 0,03 W/(m2.K) a teplotu v zemině pod podlahou +5 ºC. Řešení Průměrný

součinitel

prostupu

tepla

je

definován

jako

U em  H T A ,

přičemž

H T   Aj U j  b j  U em   A j . Nejprve je tedy potřebné určit plochy jednotlivých konstrukcí a poté dosadit do nerovnice U em  0,20 a stanovit nejvyšší přípustný součinitel prostupu tepla oken. Plochy a měrné toky prostupem jednotlivými konstrukcemi lze zapsat do tabulky:

Střecha

50

Součinitel prostupu tepla Uj 0,10

Podlaha

50

0,30

20  5  0,43 20  15

6,45

Okna Stěny Součet

12 108 220

Uw 0,15 ---

1 1 ---

12Uw 16,2 27,65+12Uw

Konstrukce

Plocha Aj

Z výsledné nerovnice

Činitel teplotní redukce bj 1

Součin Aj·Uj·bj 5,00

27,65  12 U w  220  0,03  0,20 pak již snadno získáme hledaný nejvyšší 220

možný součinitel prostupu tepla oken Uw ≤ 0,81 W/(m2.K).

Zadání Uvažujte jednopodlažní rodinný dům podle Obr. 2-1. Dům má průměrný součinitel prostupu tepla Uem=0,21 W/(m2.K) a je větrán s intenzitou n = 0,5/h. Okna, která mají propustnost slunečního záření g = 0,5, nejsou nijak stíněna. Plocha jejich rámu činí 20 % z celkové plochy okna. Vypočtěte, jaká bude teplota v interiéru domu, bude-li na jižně orientovaná okna dopadat intenzita slunečního záření I = 500 W/m2. Při výpočtu uvažujte ustálený stav s venkovní teplotou -15 ºC a předpokládejte, že solární zisky procházejí do interiéru jen přes okna orientovaná na jih a lze je v interiéru plně využít. Objem vzduchu v budově uvažujte jako 90 % z objemu budovy stanoveného z vnějších rozměrů. Řešení Vyjdeme z bilanční rovnice prostoru, která bude pro danou situaci formulována jako HT  HV   i  e    s . Dosadit musíme jednotlivé měrné tepelné toky, teplotu v exteriéru a zisk od slunečního záření. Neznámou je teplota v interiéru. Měrný tepelný tok prostupem tepla se určí z definičního vztahu pro průměrný součinitel prostupu tepla, tj. HT  A  U em  220  0,21  46,2 W/K. Měrný tepelný tok větráním se stanoví ze vztahu

Hv    c 

n  Va 0,5  0,9  10  5  4  1,3  1000   32,5 W/K. 3600 3600

Zbývající zisk od slunečního záření vypočteme jako

 s   Aj  1  Ff , j   g j  I j  Fs , j  Fc, j  2  2  1  0,2  0,5  500  1  1  800 W.

Po

dosazení

do

bilanční rovnice získáváme rovnici o jedné neznámé ve 46,2  32,5  i  15  800 , ze které určíme neznámou teplotu v interiéru jako θi = -4,8 ºC.

tvaru

Zadání Uvažujte jednopodlažní rodinný dům podle Obr. 2-1. Dům má průměrný součinitel prostupu tepla Uem=0,30 W/(m2.K) a je větrán s intenzitou n = 0,5/h. Vypočtěte, jaký musí být výkon zdroje tepla, aby byla vnitřní teplota 20 ºC za předpokladu, že v interiéru jsou trvalé vnitřní zisky 400 W.

Při výpočtu uvažujte ustálený stav s venkovní teplotou -15 ºC. Objem vzduchu v budově uvažujte jako 90 % z objemu budovy stanoveného z vnějších rozměrů. Vliv slunečního záření zanedbejte. Řešení Vyjdeme z rovnice tepelné bilance ve tvaru HT  HV   i   e    i   hs , přičemž neznámou hodnotou je výkon zdroje tepla. Měrný tepelný tok prostupem tepla se určí z definičního vztahu pro průměrný součinitel prostupu tepla, tj. HT  A  U em  220  0,30  66,0 W/K. Měrný tepelný tok větráním se stanoví ze vztahu

Hv    c  Po

n  Va 0,5  0,9  10  5  4  1,3  1000   32,5 W/K. 3600 3600

dosazení

do

bilanční

rovnice získáváme rovnici o jedné neznámé ve tvaru 66,0  32,5  20  15  400   hs , ze které určíme potřebný výkon zdroje tepla jako (po zaokrouhlení) Φhs = 3050 W.

Zadání Uvažujte samostatně stojící budovu o půdorysných rozměrech 10 x 5 m a výšce 4 m (vše vnější rozměry). Tloušťka všech konstrukcí je 0,5 m. Potřebný výkon zdroje tepla pro udržení vnitřní teploty 20 ºC při venkovní teplotě -10 ºC je 4 kW pøi zapoèítání tepelného zisku od poèítaèù ve výši 1000 W. Jaký má budova prùmìrný souèinitel prostupu tepla Uem, je-li intenzita větrání 0,1/h? Při výpočtu uvažujte ustálený stav. Řešení Vyjdeme z rovnice tepelné bilance ve tvaru HT  HV   i   e    i   hs , přičemž prvotní neznámou hodnotou bude měrný tepelný tok prostupem tepla. Měrný tepelný tok větráním vyjádříme jako H v    c 

n  Va 0,1  9  4  3  1,3  1000   3,9 W/K 3600 3600

(v čitateli zlomku je součin vnitřních rozměrů budovy). Po dosazení do bilanční rovnice získáváme rovnici o jedné neznámé ve tvaru HT  3,9  20  10  1000  4000 , ze které určíme měrný tepelný tok prostupem tepla jako HT = 162,77 W/K. Hledaný průměrný součinitel prostupu tepla se následně určí z definičního vztahu

U em 

H T 162,77   0,74 W/(m2.K). A 220

Zadání Uvažujte nevytápěnou půdu podle Obr. 2-2. Pod půdou je vytápěný prostor s teplotou 20 C. Teplota venkovního vzduchu je -10 C. Součinitel prostupu tepla stropu pod půdou je U=0,5 W/(m2K), součinitel prostupu tepla střechy je U=5 W/(m2.K) a štítových stěn U=1 W/(m2K). Půda je větraná objemovým tokem větracího vzduchu 100 m3/h přes ventilační okénko do exteriéru. Výměna vzduchu do interiéru je nulová. Určete výslednou teplotu na půdě v daných podmínkách.

3m

6m

4m Obr. 2-2: Schéma sedlové střechy

Při výpočtu uvažujte ustálený stav a vliv tepelných vazeb zanedbejte. Řešení Hledanou teplotu na půdě určíme z tepelné bilance H T  HV   i   e    w . Měrný

tepelný

tok

prostupem

tepla

do

exteriéru

stanovíme

z obecného

vztahu

HT   Aj  U j  b j  U em   Aj , který ovšem můžeme výrazně zjednodušit na tvar

H T   A j U j , protože vliv tepelných vazeb lze podle zadání zanedbat a všechny činitele teplotní redukce

jsou

rovny

1.

Po

dosazení

konkrétních

hodnot

získáme

43 HT  2   1,0  2  6  22  32  5,0  228,3 W/K. Měrný tepelný tok větráním do exteriéru při2 100  36,1 W/K (zadaný objemový tok v m3/h je třeba převést tom činí H v    c  Vv  1,3  1000  3600 na m3/s). Tepelný zisk ze sousedícího vytápěného interiéru získáme ve vztahu  w  HTw  HVw    w  i  , kde H Tw 

 A U  b

(zohledníme přitom jen konstrukce mezi půdou a sousedícím vytápěným

interiérem a b budeme uvažovat 1) a

 w  4  6  0,5  0  20  i   12  20  i  .

HVw  0 (podle zadání). Po dosazení vychází

Po dosazení všech vypočtených hodnot do výchozí tepelné bilance získáváme rovnici o jedné neznámé ve tvaru 228,3  36,1  i  10  12  20  i  , z níž už snadno zjistíme hledanou teplotu na půdě jako i = -8,7 C.

Zadání Uvažujte mrazírenskou buňku o vnějších rozměrech 5,0 x 5,0 x 3,0 m, v níž je trvale teplota -30 ºC. Na všechny obalové konstrukce buňky působí z vnější strany teplota 20 ºC (buňka je umístěna v interiéru). Součinitel prostupu tepla panelů, kterými je buňka oplášťována ze všech stran, je U=0,2 W/(m2.K). Styk panelů má lineární činitel prostupu tepla  = 0,05 W/(m.K). Jaká bude potřeba energie na chlazení za rok, nebude-li buňka větrána a nebude-li do ní zaváženo nové zboží?

Při výpočtu uvažujte ustálený stav. Řešení Nejprve je třeba určit výkon zdroje chladu a následně vypočítat potřebu energie na chlazení. Vzhledem k tomu, že buňka není větrána, bude měrný tepelný tok větráním nulový a výchozí tepelná bilance bude mít tvar H T  i   e    hs , přičemž neznámou hodnotou bude výkon zdroje chlazení hs. Měrný tepelný tok prostupem tepla určíme jako H T 

A

j

 U j  b j   l j  j  b j , což po dosazení

HT  5  5  2  5  3  4  0,2  1,0  5  4  2  3  4  0,05  1,0  24,6 W/K. Potřebný výkon zdroje chlazení je  hs  24,6  50  1230 W. konkrétních hodnot dává

Hledanou potřebu energie na chlazení za rok lze pak již snadno určit ze vztahu

Qhs   hs

 i ,m   e ,m  30  20  t  1230  365  24  10,77 MWh. i  e  30  20

Zadání Jakou tloušťku tepelné izolace z EPS (tepelná vodivost 0,04 W/(m.K)) je třeba umístit do stěn boudy o půdorysných rozměrech 0,7 x 1,0 m a výšce 0,7 m, aby vnitřní teplota v boudě neklesla pod 5 C při venkovní teplotě -10 C, produkuje-li pes 50 W tepla? Při výpočtu uvažujte ustálený stav, intenzitu větrání 0,22 m3/h a součinitel prostupu tepla střechy i podlahy 1,5 W/(m2.K). Vliv tepelných vazeb a dřevěného obkladu stěn zanedbejte. Řešení Pro výpočet použijeme tepelnou bilanci psí boudy H T  HV   i   e    i , z níž vyjádříme nejprve nejvyšší přípustný měrný tepelný tok prostupem tepla HT. Poté určíme potřebnou tloušťku tepelné izolace ve stěnách. Měrný tepelný tok větráním stanovíme jako H v    c  Vv  1,3  1000 

0,22  0,08 W/K a dosadí3600

me do tepelné bilance HT  0,08  5  10  50 . Nejvyšší možný měrný tepelný tok prostupem tepla bude tedy HT = 3,25 W/K. Pro daný případ můžeme vyjádřit měrný tok prostupem tepla jednoduše jako H T 

 A U j

j

(vliv

tepelných vazeb lze zanedbat a činitele teplotní redukce jsou rovny 1). Postačí tedy dosadit plochy a známé součinitele prostupu tepla, získat rovnici o jedné neznámé

3,25  2 1,0  0,7 1,5  0,7  0,7  2  0,7 1,0  2  U a z ní stanovit hledaný nejvyšší přípustný souči-

nitel prostupu tepla stěny jako U  0,483 W/(m2.K). Z definičního vztahu pro součinitel prostupu tepla pak už snadno získáme potřebnou minimální

1   Rsi  Rse  . Po dosazení konkrétních hodnot dostáváme U 

tloušťku tepelné izolace coby d    

 1  d  0,04    0,13  0,04  , takže hledaná minimální tloušťka činí 76 mm.  0,483 

3

Vlhkostní bilance vzduchu v ustáleném stavu

3.1

Základní teorie

3.1.1

Vlastnosti vzduchu nasyceného vodní párou

Koncentrace vodní páry ve vzduchu plně nasyceném vodní párou se stanoví ze vztahu

   a  b    100   462    273,15 n

vsat

[kg/m3]

(3.1)



je teplota vzduchu ve C a = 288,68 Pa, b = 1,098 a n = 8,02 pro teplotu θ od 0 do 30 C a = 4,689 Pa, b = 1,486 a n = 12,3 pro teplotu θ od -20 do 0 C.

kde

Vztah (3.1) vyjadřuje maximální množství vodní páry v kg, které může při určité teplotě  obsahovat 1 m3 vzduchu. Částečný tlak nasycené vodní páry ve vzduchu se pro stejnou situaci stanoví jako

psat  610,5  e

psat  610,5  e 

kde

3.1.2

17, 269 237, 3

21,875 265, 5

je

pro  ≥ 0 C,

[Pa]

(3.2)

pro  < 0 C,

[Pa]

(3.3)

[%]

(3.4)

teplota vzduchu ve C.

Vlastnosti běžně vlhkého vzduchu

Relativní vlhkost vzduchu se určí ze vztahu

  100 kde

p v  100 psat vsat p psat v vsat

je

částečný tlak vodní páry ve vzduchu v Pa částečný tlak nasycené vodní páry ve vzduchu v Pa koncentrace vodní páry ve vzduchu v kg/m3 koncentrace vodní páry ve vzduchu plně nasyceném vodní párou v kg/m3.

Vztah mezi koncentrací vodní páry a částečným tlakem vodní páry ve vzduchu vyjadřuje stavová rovnice

p  v  R  T  v  462    273,15 kde

R T

je

plynová konstanta pro vodní páru (462 J/(kgK)) absolutní teplota vzduchu v K.

Částečný tlak vodní páry ve vzduchu lze samozřejmě vyjádřit i rovnicí

[Pa]

(3.5)

p

3.1.3

  psat 100

.

[Pa]

(3.6)

Vlhkostní bilance vzduchu v uzavřeném prostoru

Koncentraci vodní páry ve vzduchu v uzavřeném prostoru, který je určitým způsobem větraný a který je zatížen určitými zdroji vlhkosti, lze stanovit obecně jako

vi  ve  vi kde

ve

[kg/m3] je

vi

(3.7)

koncentrace vodní páry ve vzduchu, kterým je prostor větrán (obvykle jde tedy o koncentraci vodní páry ve venkovním vzduchu) v kg/m3 přírůstek koncentrace vodní páry vlivem vnitřních zdrojů vlhkosti v kg/m3.

Potřebný přírůstek koncentrace vodní páry vlivem vnitřních zdrojů lze určit ze vztahu

vi 

G n  Va

kde

G n

[kg/m3] je

Va

3.1.4

(3.8)

produkce vodní páry v hodnoceném prostoru v kg/h intenzita větrání hodnoceného prostoru (vzduchem o koncentraci vodní páry ve) v 1/h objem vzduchu v hodnoceném prostoru v m3.

Teplota rosného bodu a povrchová kondenzace vodní páry

Teplotu rosného bodu vzduchu lze určit

w 

236  ln p  1513,867 23,59  ln p

pro p vyšší než 610,75 Pa

[C]

(3.9)

w 

273  ln p  1751,21055 28,9205  ln p

pro p nižší než 610,75 Pa

[C]

(3.10)

kde

p

je

částečný tlak vodní páry ve vzduchu v Pa.

Na vnitřním povrchu konstrukce dochází ke kondenzaci vodní páry tehdy, když je splněna podmínka

 si   w kde

(3.11)

si

je

(nejnižší) teplota vnitřního povrchu konstrukce ve C.

Modelové příklady

3.2 Zadání

V interiéru budovy je trvale teplota vzduchu 25 C a relativní vlhkost 70 %. Jaký musí mít součinitel prostupu tepla obvodová stěna, aby na ní nedocházelo k povrchové kondenzaci při venkovní teplotě -15 C? Uvažujte ustálený stav a odpor při přestupu tepla na vnitřní straně pro výpočet povrchové teploty. Řešení Nejprve je třeba stanovit teplotu rosného bodu, protože na vnitřním povrchu konstrukce dochází ke kondenzaci vodní páry tehdy, když je teplota povrchu konstrukce nižší než teplota rosného bodu okolního vzduchu. Použije se empirický vztah

w 

236  ln pi  1513,867 pro pi vyšší než 610,75 Pa 23,59  ln pi

w 

273  ln pi  1751,21055 pro pi nižší než 610,75 Pa, 28,9205  ln pi

přičemž pi je částečný tlak vodní páry ve vnitřním vzduchu, který lze stanovit ze stavové rovnice plynu pi  vi  R  T  vi  462  i  273,15 . Chybějící koncentrace vodní páry ve vnitřním vzduchu vi se určí ze vztahu vi  i  vi ,sat , kde vi,sat je koncentrace vodní páry ve vzduchu pro stav nasycení. Tu lze stanovit z dalšího empirického vztahu

   a  b   100   , přičemž použijeme a = 288,68 Pa, b = 1,098 a n = 8,02 (teplota θi je  462    273,15 n

vsat

v rozmezí od 0 do 30 C). Po dosazení konkrétních hodnot dostáváme koncentraci vodní páry pro stav nasycení

vi ,sat

25   288,68  1,098   100    462  25  273,15

8, 02

 0,023 kg/m3 a koncentraci pro skutečný stav vi  0,7  0,023 

0,016 kg/m3. Částečný tlak vodní páry ve vnitřním vzduchu je pi  0,016  462  25  273,15  2204 Pa. A z toho již můžeme určit teplotu rosného bodu jako  w 

236  ln( 2204)  1513,867  19,1 ˚C. 23,59  ln( 2204)

Aby na povrchu konstrukce nedocházelo ke kondenzaci, musí být povrchová teplota vyšší než teplota rosného bodu, tj. musí platit:  si   w . Teplota vnitřního povrchu se vypočte se vztahu  si  i  U  Rsi  i  e  , odpor při přestupu tepla na vnitřní straně Rsi se přitom musí podle zadání uvažovat jako Rsi = 0,25 m2K/W. Dosazením dostáváme tedy nerovnici i  U  Rsi  i   e    w , kterou lze upravit na tvar

U

25  19,1 i   w . Po dosazení U  získáváme výsledek U ≤ 0,59 W/(m2K). 0,2525  (15)  Rsi  i   e 

Zadání Zjistěte, zda bude docházet ke kondenzaci vodní páry na horním líci podlahy o skladbě (shora): - beton tl. 100 mm (tepelná vodivost 1,0 W/(m.K)) - polystyren tl. 100 mm (tepelná vodivost 0,04 W/(m.K)) - železobeton tl. 200 mm (tepelná vodivost 1,5 W/(m.K)). V úrovni rozhraní mezi tepelnou izolací a roznášecí deskou (horní betonová vrstva) je chladícím systémem udržována trvale teplota 10 C. V prostoru nad podlahou je současně teplota vzduchu 25 C a relativní vlhkost 60 %, zatímco v prostoru pod stropem je teplota vzduchu 15 C a relativní vlhkost 60 %. Pokud dojde k povrchové kondenzaci, určete nejnižší možnou teplotu v úrovni chladících trubek, při které k povrchové kondenzaci ještě docházet nebude. Při výpočtu předpokládejte ustálený stav a odpor při přestupu tepla na vnitřní straně uvažujte hodnotou pro výpočet povrchové teploty. Řešení Abychom mohli ověřit riziko povrchové kondenzace, musíme nejprve stanovit vnitřní povrchovou teplotu (tedy teplotu na horním líci podlahy). Při jejím výpočtu je třeba zohlednit známou teplotu uvnitř konstrukce v místě systému chlazení. Celková situace je nejlépe zřejmá na grafu průběhu teploty v konstrukci Obr. 3-1.



25

15 10 R 0,25

2,50 0,10

0,10 0,13

Obr. 3-1: Grafické stanovení průběhu teploty v podlaze s chlazením

Na vodorovné ose grafu jsou vyneseny tepelné odpory jednotlivých vrstev podlahy počínaje odporem při přestupu tepla na povrchu roznášecí desky Rsi = 0,25 m2K/W (podle zadání). Následují jednotlivé vrstvy podlahy (roznášecí deska, EPS a železobeton) a odpor při přestupu tepla na spodním líci stropu Rse, který v tomto případě činí 0,10 m2K/W (tepelný tok je orientován nahoru).

V grafu na Obr. 3-1 je patrná jak hledaná teplota na horním líci podlahy (označeno kroužkem), tak skutečnost, že pro její stanovení je důležitá jen roznášecí deska a bezprostředně na ni působící okrajové podmínky (tj. teploty 25 ºC a 10 ºC). Hledanou teplotu povrchu podlahy můžeme tedy spočítat ze vztahu  x   i 

i  e

Rsi  R  Rse

Rsi  Rx   25 

25  10 0,25  14,3 ºC. 0,25  0,1

Vzhledem k tomu, že teplota rosného bodu pro vzduch nad podlahou je w = 16,7 C (postup viz první příklad v této sekci), je zřejmé, že v daných podmínkách ke kondenzaci vodní páry na povrchu podlahy dochází. Nejnižší

 w  i 

možnou

i  e

Rsi  R  Rse

teplotu

v úrovni

chladícího

systému

stanovíme

z nerovnice

Rsi  Rx  , do níž dosadíme konkrétní požadavek a ostatní známé hodnoty a

25   e  0,25 . Z něj už snadno odvodíme nejnižší přípustnou teplotu 0,25  0,1 v úrovni chladícího systému jako e  13,4 C. získáme tvar 16,7  25 

Zadání Uvažujte sendvičovou stěnu o skladbě (od interiéru): železobeton tl. 200 mm, EPS neznámé tloušťky, železobeton tl. 100 mm. Tepelná vodivost železobetonu je 1,5 W/(m.K), tepelná vodivost polystyrenu je 0,04 W/(m.K). Stěna je odděluje interiér s teplotou vzduchu 28 C a relativní vlhkostí 70% a exteriér s teplotou -17 C. Jak velká musí být tloušťka tepelné izolace, aby nedocházelo ke kondenzaci vodní páry na vnitřním povrchu konstrukce? Při výpočtu předpokládejte ustálený stav. Pro odpor při přestupu tepla na vnitřní straně použijte hodnotu pro výpočet povrchové teploty. Řešení Aby nedocházelo k povrchové kondenzaci, musí být teplota vnitřního povrchu konstrukce vyšší než teplota rosného bodu vnitřního vzduchu. Tu stanovíme postupem podrobně popsaným v prvním příkladu této sekce jako w = 22,0 C. Pro určení maximálního přípustného součinitele prostupu tepla použijeme opět postup z prvního příkladu a získáme podmínku U  0,533 W/(m2.K). Minimální potřebný tepelný odpor je tedy R 

1  Rsi  Rse , což dává výsledek R  1,706 m2K/W. U

Vzhledem k tomu, že tepelný odpor obou železobetonových stěn je dohromady Ržb = 0,2 m2K/W, je potřebné, aby měla tepelná izolace tepelný odpor Rizol  1,506 m2K/W. Potřebná minimální tloušťka tepelné izolace je tedy d  60 mm.

Zadání V kanceláři o vnitřním objemu 36 m3 pracují 3 úředníci. Teplota vzduchu v kanceláři je 20 C, teplota venkovního vzduchu je 5 C. Určete relativní vlhkost vnitřního vzduchu, je-li intenzita větrání kanceláře 1/h.

Při výpočtu předpokládejte ustálený stav, produkci vodní páry 1 osobou 50 g/h a relativní vlhkost venkovního vzduchu 80 %. Řešení Relativní vlhkost vnitřního vzduchu určíme ze vztahu i  100

vi vi ,sat

, do kterého dosadíme za koncen-

traci vodní páry ve vnitřním vzduchu ve stavu nasycení hodnotu stanovenou ze vztahu

  20    a  b  288,68  1,098    100  100      462    273,15 462  20  273,15 n

vi ,sat

8, 02

 0,0172 kg/m3.

Chybějící koncentraci vodní páry ve vnitřním vzduchu určíme jako vi  ve  vi . Potřebujeme tedy stanovit koncentraci vodní páry ve venkovním vzduchu, pro což použijeme vztah

ve 

e  ve,sat . Relativní vlhkost venkovního vzduchu známe, takže chybí pouze koncentrace vodní 100

páry ve venkovním vzduchu ve stavu nasycení, která se zjistí ze vztahu 8, 02

5   288,68  1,098   100   ve,sat   0,0068 kg/m3. Koncentrace vodní páry ve venkovním vzduchu je 462  5  273,15 e  ve,sat 80  0,0068   0,0054 kg/m3 (jinými slovy: 1 m3 venkovního vzduchu obsahuje tedy ve  100 100 v uvažovaných podmínkách 5,4 g vodní páry). Pro další výpočet potřebujeme ještě přírůstek koncentrace vodní páry vlivem vnitřních zdrojů vlhkos-

G . Protože celková produkce vodní páry v interiéru je n  Va 0,15 G = 350 = 150 g/h, vychází přírůstek koncentrace vodní páry jako vi   0,0042 kg/m3. 1,0  36 ti, který se stanoví ze vztahu vi 

Výsledná koncentrace vodní páry ve vnitřním vzduchu pak bude vi  ve  vi  0,0054  0,0042  0,0096 kg/m3 (jinými slovy: 1 m3 vnitřního vzduchu bude obsahovat v uvažovaných podmínkách 9,6 g vodní páry). Této koncentraci bude pak odpovídat relativní vlhkost i  100

0,0096  55,8 %. 0,0172

Zadání Na vnitřním povrchu železobetonové stěny tl. 200 mm s vnějším zateplením tl. 100 mm (opatřeném tenkovrstvou omítkou tl. 10 mm) dochází v ustálených teplotních podmínkách (vnitřní teplota 27 C, venkovní teplota -10 C) ke kondenzaci vodní páry. Jakou tepelnou vodivost má tepelná izolace? Při výpočtu předpokládejte ustálený stav, relativní vlhkost vnitřního vzduchu 70 %, tepelnou vodivost železobetonu 1,5 W/(m.K) a tepelnou vodivost omítky 0,5 W/(m.K). Pro odpor při přestupu tepla na vnitřní straně použijte hodnotu pro výpočet povrchové teploty.

Řešení K povrchové kondenzaci dochází tehdy, pokud je teplota vnitřního povrchu nižší nebo rovná teplotě rosného bodu vnitřního vzduchu, což můžeme vyjádřit nerovnicí  w   i  Rsi  U   i   e  . Teplotu rosného bodu určíme postupem detailně popsaným v prvním příkladu této sekce jako

w = 21,1 C. Dosadíme do nerovnice 21,1  27  0,25 U   27  10  a získáme podmínku pro součinitel prostupu tepla konstrukce U  0,637 W/(m2.K). Známe-li nejnižší možný součinitel prostupu tepla konstrukce a tepelné odpory železobetonu (R=0,133 m2K/W) a omítky (R=0,020 m2K/W), lze již určit nejvyšší možný tepelný odpor tepelné izolace z nerovnice

1  0,637 . Rsi  R  Rse

1

Po dosazení dostáváme

0,13  0,153 

0,1



 0,637 , z čehož lze odvodit podmínku pro hleda 0,04

nou tepelnou vodivost tepelné izolace   0,080 W/(m.K). Použitý tepelný izolant je tedy buď poměrně nekvalitní a/nebo obsahuje velké množství tepelných mostů.

Zadání Určete intenzitu větrání, která zajistí, že v místnosti o vnitřním objemu 58 m3 nepřesáhne relativní vlhkost vnitřního vzduchu 50 % . Teplotu vnitřního vzduchu uvažujte 23 C, teplotu venkovního vzduchu -13 C, a relativní vlhkost venkovního vzduchu 80 %. V místnosti je několik akvárií s celkovou plochou volné vodní hladiny 7 m2, z nichž se odpařuje vodní pára v množství 0,01 g/(m2.s). Při výpočtu předpokládejte ustálený stav. Řešení Nejprve určíme nejvyšší možnou koncentraci vodní páry ve vnitřním vzduchu ze vztahu

vi 

i  vi ,sat 100

. Potřebnou koncentraci vodní páry ve vnitřním vzduchu ve stavu nasycení získáme

  23    a  b  288,68  1,098    100  100      462    273,15 462  23  273,15 n

z rovnice vi ,sat

8, 02

jako 0,0205 kg/m3, což znamená,

že koncentrace vodní páry ve vnitřním vzduchu musí splňovat podmínku vi 

50  0,0205 , neboli 100

vi  0,0103 kg/m3 (koncentrace tedy nesmí být vyšší než 10,3 g vodní páry v 1 m3 vzduchu).

Vzhledem k tomu, že koncentrace vodní páry ve vnitřním vzduchu je definována rovnicí vi  ve  vi , lze dále snadno odvodit, jaký může být nejvyšší přírůstek koncentrace vodní páry vlivem vnitřních zdrojů vlhkosti. V našem případě musíme splnit podmínku vi  vi ,max  ve . Potřebujeme tedy ještě koncentraci vodní páry ve venkovním vzduchu, kterou určíme jako

ve 

e  ve,sat . Vypočteme koncentraci vodní páry ve stavu nasycení pro venkovní vzduch ze vztahu 100

 13   4,689  1,486   100   ve,sat   0,0017 kg/m3. Koncentrace vodní páry ve venkovním vzduchu je 462   13  273,15  e  ve,sat 80  0,0017   0,0014 kg/m3 (1 m3 venkovního vzduchu obsahuje tedy tedy ve  100 100 12, 3

v uvažovaných podmínkách 1,4 g vodní páry). Nyní se můžeme vrátit k podmínce pro přírůstek koncentrace vodní páry vlivem vnitřních zdrojů vlhkosti vi  vi ,max  ve . Dosadíme do ní ( vi  0,0103  0,0014 ) a určíme, že přírůstek koncentrace vodní páry vlivem vnitřních zdrojů vlhkosti nesmí být vyšší než 0,0089 kg/m3. Hledanou intenzitu větrání získáme z definičního vztahu pro diskutovaný přírůstek koncentrace vodní páry vlivem vnitřních zdrojů vlhkosti, tj. z rovnice vi 

G . n  Va

Určíme celkovou produkci vodní páry v interiéru jako G = 70,013600/1000 = 0,252 kg/h... a protože objem vzduchu v místnosti známe, můžeme již přímo vyjádřit hledanou intenzitu větrání z nerovnice

n

0,252 . Aby relativní vlhkost vnitřního vzduchu nepřekročila 50 %, musíme tedy v daných 0,0089  58

podmínkách místnost větrat s intenzitou n ≥ 0,49/h.

Zadání Uvažujte místnost o vnitřním objemu 100 m3, která je větraná s intenzitou 0,4/h. Okna této místnosti mají zasklení o součiniteli prostupu tepla Ug = 1,6 W/(m2.K). Určete nejvyšší možnou relativní vlhkost vnitřního vzduchu, při které nebude na vnitřním povrchu zasklení docházet ke kondenzaci vodní páry. Při výpočtu předpokládejte ustálený stav, teplotu vnitřního vzduchu 25 ºC, teplotu venkovního vzduchu -20 ºC a relativní vlhkost venkovního vzduchu 85 %. Odpor při přestupu tepla na vnitřní straně uvažujte hodnotou pro výpočet povrchové teploty. Jaká koncentrace vodní páry ve vzduchu odpovídá vypočtené maximální vnitřní relativní vlhkosti? Kolik osob by mohlo být v interiéru, pokud jedna osoba produkuje 80 g vodní páry za hodinu? Řešení Ke kondenzaci vodní páry na vnitřním povrchu zasklení nebude docházet, pokud bude splněna pod si   w . Vnitřní povrchová teplota si bude v daných podmínkách mínka

 si  i  U  Rsi  i   e   25 1,6  0,13  25  20  15,6 C (odpor při přestupu tepla Rsi se uva-

žuje 0,13 m2K/W, protože se jedná o výplň otvoru). Teplota rosného bodu w musí být tedy nižší než 15,6 C. Z definičního vztahu pro teplotu rosného bodu  w 

236  ln p  1513,867 (budeme předpokládat, 23,59  ln p

že částečný tlak vodní páry ve vzduchu bude vyšší než 610,75 Pa) můžeme odvodit vztah pro částečný tlak vodní páry ve vnitřním vzduchu pi  e x , kde x 

23,59   w  1513,867 . Po dosazení dostává236   w

me hodnotu pi  e 7, 48  1772,2 Pa (předpoklad o velikosti částečného tlaku vodní páry se tím potvrdil). Známe-li nejvyšší přípustný částečný tlak vodní páry ve vzduchu (pi,max = 1772,2 Pa), můžeme již snadno určit nejvyšší přípustnou relativní vlhkost vnitřního vzduchu ze vztahu  i  100 pouze

částečný

pi ,sat  610,5  e

tlak

17, 269i 237, 3i

vodní

páry

 610,5  e

17, 26925 237, 3 25

ve

stavu

nasycení,

který

pi . Schází pi ,sat

určíme

jako

 3165,9 Pa.

Dosadíme do podmínky pro relativní vlhkost i  100

1772,2 a získáme hledanou nejvyšší přípust3165,9

nou relativní vlhkost vnitřního vzduchu i,max = 56 %. Abychom určili, jaká koncentrace vodní páry ve vzduchu odpovídá této relativní vlhkosti, použijeme vztah vi ,max 

i ,max  vi ,sat 100

, do kterého musíme dosadit ještě koncentraci vodní páry ve stavu nasyce-

ní. Tu určíme ze vztahu

vi ,sat

   288,68  1,098  i  100    462   i  273,15

8, 02

25   288,68  1,098   100    462  25  273,15

8, 02

jako

0,0230 kg/m3. Výsledná nejvyšší přípustná koncentrace vodní páry ve vnitřním vzduchu je

vi ,max 

56  0,0230  0,0129 kg/m3. V 1 m3 vnitřního vzduchu může být tedy jen maximálně 12,9 g 100

vodní páry, aby na zasklení nedocházelo v uvažovaných podmínkách k povrchové kondenzaci. Zbývá určit maximální přípustný počet osob. Vyjdeme ze známé nejvyšší přípustné koncentrace vodní páry a ze vztahu vi  ve  vi určíme nejvyšší přípustný přírůstek koncentrace vodní páry ve vnitřním vzduchu jako vi ,max  vi ,max  ve . Nejprve ale musíme určit koncentraci vodní páry ve venkovním vzduchu, k čemuž použijeme vztah

ve 

e  ve,sat . Vypočteme koncentraci vodní páry ve venkovním vzduchu ve stavu nasycení jako 100

 20   4,689  1,486   100   ve,sat   0,0009 kg/m3. Koncentrace vodní páry ve venkovním vzduchu je 462   20  273,15 85  0,0009  0,0008 kg/m3. tedy ve  100 12, 3

Nejvyšší

vi ,max

přípustný

přírůstek koncentrace vodní páry ve vnitřním vzduchu je tudíž  0,0129  0,0008  0,0121 kg/m3. Protože je přírůstek koncentrace definován jako

G a protože známe vnitřní objem místnosti a intenzitu větrání, můžeme rovnou vypočítat n  Va maximální přípustnou produkci vodní páry vnitřními zdroji jako G  vi ,max  n Va . Po dosazení do-

vi 

stáváme G  0,0121 0,4 100 , a tedy G  0,484 kg/h.

Jedna osoba produkuje podle zadání 80 g vodní páry za hodinu, takže v místnosti může být v uvažovaných podmínkách maximálně 6 osob, aby byla vyloučena kondenzace vodní páry na vnitřním povrchu zasklení (6 x 80 = 480 g vodní páry za hodinu).

Přílohy Příloha 1 – Emisivita vybraných materiálů a povrchových úprav (dlouhovlnné tepelné záření) povrch zlato leštěné stříbro leštěné měď leštěná měď oxidovaná hliník leštěný hliník oxidovaný ocel válcovaná ocel zkorodovaná ocel pozinkovaná ocel leštěná olovo oxidované sklo porcelán cihla, omítka dřevo nátěr - černý lak nátěr - olejová barva nátěr - bílá barva mramor leštěný papír voda led, 0 °C

emisivita [ - ] 0.02 0.02 0.02 0.78 0.05 0.3 0.77 0.61 0.26 0.27 0.28 0.92 0.92 0.93 0.9 0.97 0.94 0.85 0.55 0.93 0.95 0.97

zdroj [1] [1] [1] [1] [1] [1] [1] [1] [1] [1] [1] [1] [1] [1] [1] [1] [1] [1] [1] [1] [1] [1]

povrch hliník leštěný hliník drsný hliník oxidovaný litina opracovaná litina oxidovaná chrom - lesklý povrch zlato - pozlacený povrch plech pocínovaný plech pozinkovaný plech oxidovaný ocel jemně opracovaná ocel válcovaná ocel oxidovaná ocel zkorodovaná azbestocementové desky beton břidlice čedič pálené cihly šamotové cihly vápenec dřevo guma měkká guma tvrdá střešní lepenka mramor žula vápenná omítka papír textilní tapety sklo

emisivita [ - ] 0.05 0.07 0.2 - 0.3 0.6 - 0.7 0.93 0.10 0.03 0.09 0.23 0.82 0.24 0.77 0.80 0.85 0.96 0.89 0.66 0.68 0.93 0.85 0.58 0.9 0.86 0.93 0.93 0.93 0.42 0.93 0.9 0.8 - 0.9 0.92

zdroj [2] [2] [2] [2] [2] [2] [2] [2] [2] [2] [2] [2] [2] [2] [2] [2] [2] [2] [2] [2] [2] [2] [2] [2] [2] [2] [2] [2] [2] [2] [2]

Literatura [1] Hagentoft, C.-E. [2] Halahyja, m. a kol.

Introduction to building physics Stavebná tepelná technika

Studentlitteratur 2001 Jaga 1998

Příloha 2 – Pohltivost slunečního záření pro vybrané materiály a povrchové úpravy

sníh bílý nátěr

pohltivost sl. záření zdroj sol[ - ] 0.15 [1] 0.25 [1]

nabílený povrch světlé barvy leštěný hliník cihla žlutá cihla červená beton listy, tráva světlé povrchy podlah tmavé povrchy podlah, koberce vlhká zemina břidlice tmavě šedá bitumen

0.3 0.3 - 0.5 0.3 - 0.6 0.55 0.75 0.6 - 0.7 0.75 0.6 - 0.7 0.8 - 0.9 0.9 0.9 0.93

materiál

[1] [1] [1] [1] [1] [1] [1] [1] [1] [1] [1] [1]

materiál černé nekovové povrchy červená cihla, střešní taška, kámen žlutá a leštěná cihla, kámen okenní sklo matné sklo leštěný hliník ocel bílá barva

pohltivost sl. záření zdroj sol[ - ] 0.92 [2] 0.73 [2] 0.60 0.05 0.50 0.20 0.50 0.20

Literatura [1] Hagentoft, C.-E. [2] Halahyja, m. a kol.

Introduction to building physics Stavebná tepelná technika

Studentlitteratur 2001 Jaga 1998

[2] [2] [2] [2] [2] [2]