SBÍRKA PŘÍKLADŮ ZE ZÁKLADŮ FYZIKY

VYSOKÁ ŠKOLA CHEMICKO-TECHNOLOGICKÁ V PRAZE FAKULTA CHEMICKO-INŽENÝRSKÁ

SBÍRKA PŘÍKLADŮ ZE ZÁKLADŮ FYZIKY

Doc. Ing. Jaroslav Hofmann, CSc.

PRAHA 2009

Hofmann J.: Sbírka příkladů ze Základů fyziky

VŠCHT Praha 2009

1. Kinematika hmotného bodu Probrané pojmy Hmotný bod, poloha, polohový vektor, okamžitá rychlost, průměrná rychlost, okamžité zrychlení, tečné a normálové zrychlení. Pohyb přímočarý rovnoměrný, pohyb přímočarý rovnoměrně zrychlený. Příklady k semináři a samostudiu

1.1 Přímočarý rovnoměrně zrychlený pohyb 1/1 Letadlo urazí při startu rozběhovou dráhu s = 700 m za dobu t = 14 s rovnoměrně zrychleným pohybem. Jakou hodnotu a má zrychlení a jaká je rychlost v letadla na konci rozběhové dráhy s? [a = 7, 14 m s-2 ; v = 100 m s-1] 1/2 Auto má v určitém bodě své trajektorie okamžitou rychlost v1 = 40 km h-1 a o dráhu s = 100 m dále okamžitou rychlost v2 = 60 km h-1. Jaká je hodnota zrychlení a za předpokladu, že auto se pohybuje přímočaře rovnoměrně zrychleně. Řešení: Při přímočarém rovnoměrně zrychleném pohybu rychlost auta rovnoměrně narůstá a za čas t se z hodnoty v1 zvýší na hodnotu v2: v2 = v1 + a t Během zvyšování rychlosti urazí auto za čas t dráhu s 1 s = v1 t + a t 2 2 v −v Dosazením času t = 2 1 z první rovnice dostaneme vztah a v −v 1 v −v s = v1 2 1 + a ( 2 1 ) 2 2 a a a odtud je hodnota zrychlení 1 1 v1 (v 2 − v1) + (v 2 − v1 ) 2 11,1(16,7 − 11,1) + (16,7 − 11,1) 2 2 2 a= = m s −2 = 0,78 m s −2 s 100 1/3 Automobil jede po přímé silnici rychlostí v1 = 72 km h-1. V určitém okamžiku začne řidič brzdit a za dobu t = 5 s automobil zastaví. Za předpokladu, že brždění probíhá rovnoměrně zpomaleně určete: a) velikost zrychlení (zpomalení) a b) dráhu s, kterou ujede automobil během brždění [a) a = 4 m s-2 b) s = 50 m] 1/4 Těleso proběhlo při přímočarém rovnoměrně zrychleném pohybu dráhu s = 18 000 m za čas t = 2 min. Určete dráhu s1, kterou urazí těleso za první sekundu svého pohybu, je-li počáteční rychlost tělesa nulová. [s1 = 1,25 m]

2


VŠCHT Praha 2009

1/5 Traktor jede po přímé silnici rychlostí v1 = 36 km h-1. Řidič začne brzdit s konstantním zrychlením (zpomalením) a = 2 m s-2. Určete: a) Hodnotu rychlosti v2 v čase t2 = 2 s od okamžiku, kdy řidič začal brzdit. b) Dráhu s2, kterou urazí traktor za čas t2 = 2 s od okamžiku, kdy řidič začal brzdit. c) Dráhu s, kterou urazí traktor, než se zastaví. [a) v2 = 6 m s-1 b) s2 = 16 m c) s = 25 m] 1/6 Závislost rychlosti v na čase t u přímočarého pohybu tělesa je zakreslena na obrázku. Určete: a) Zrychlení a rovnoměrně zrychleného pohybu, který těleso koná do 2. sekundy. b) Dráhu s1, kterou těleso urazí za první dvě sekundy pohybu. c) Dráhu s2, kterou těleso urazí za prvých 10 s pohybu. v m s −1

8

2

[a) a = 4 m s-2

10

b) s1 = 8 m

t s

c) s2 = 72 m]

2. Dynamika hmotného bodu Probrané pojmy Síla, druhy sil. Newtonovy pohybové zákony a jejich aplikace pro pohyb v homogenním tíhovém poli, po vodorovné podložce s uvažováním vlečného tření, po nakloněné rovině. Pohyb po kružnici. Práce, výkon, kinetická a potenciální energie, mechanická energie, věta o kinetické energii, zákon zachování mechanické energie. Hmotný střed soustavy hmotných bodů, zákon zachování hybnosti. Příklady k semináři a samostudiu

2.1 Pohyb v homogenním tíhovém poli 2/1 Těleso je vrženo svisle vzhůru počáteční rychlostí v0 = 20 m s-1. Za jednu sekundu po vyhození tělesa je vrženo stejným směrem druhé těleso stejnou počáteční rychlostí. Za předpokladu, že jedinou působící silou je síla tíhová, určete

3


VŠCHT Praha 2009

a) Čas t, ve kterém se setkají obě tělesa měřený od okamžiku vyhození prvého tělesa. b) Výšku h, ve které se obě tělesa setkají. c) Maximální výšku hmax, kterou tělesa při pohybu dosáhnou. Řešení: Jedná se o vrh svislý v homogenním tíhovém poli. Tento pohyb je přímočarý a rovnoměrně zpomalený. Poloha tělesa může být určena y-ovou souřadnicí, která je v místě vržení tělesa a na počátku pohybu v čase t = 0 s nulová, tj. y(0) = 0.

Rychlost prvního tělesa klesá s časem podle vztahu v1 = v0 − g t Poloha prvního tělesa daná jeho y-ovou souřadnicí se mění s časem 1 y1 = v0 t − g t 2 2 Obdobně pro druhé těleso, které je ve vzduchu do okamžiku setkání o 1 s méně platí v 2 = v0 − g ( t − 1) 1 y 2 = v 0 (t − 1) − g (t − 1) 2 2 V okamžiku setkání ts jsou obě souřadnice stejné y1 = y2 v0 t s −

1 1 g t s 2 = v0 (t s − 1) − g (t s − 1) 2 2 2

a) Úpravou dostaneme čas setkání těles počítaný od vyhození prvního tělesa 1 v0 + g 2 = 2,54 s ts = g

b) Výška setkání je dána y-ovou souřadnicí v čase setkání, např. y1 = v 0 t s −

1 1 g t s 2 = 20 ⋅ 2,54 − 9,81 ⋅ 2,54 2 = 19,2 m 2 2

c) Maximální výška, které dosáhne těleso vržené svisle vzhůru počáteční rychlostí v0, se určí ze vztahu pro y-ovou souřadnici v čase tm, kdy je rychlost tělesa rovna nule. Pro vržené těleso platí v = v0 − g t m = 0 Odtud doba dosažení vrcholu je v tm = 0 g Maximální výška je potom

4


hmax = v0 t m −

VŠCHT Praha 2009

v2 1 20 2 g tm 2 = 0 = = 20,4 m 2 2 g 2 ⋅ 9,81

2/2 Z balónu, který se nachází ve výšce h = 300 m byla uvolněna zátěž. Za jakou dobu dopadne zátěž na zem, jestliže zanedbáme odpor vzduchu a a) Balón je v uvedené výšce v klidu. b) Balón se pohybuje rychlostí v0 = 5 m s-1 svisle vzhůru. c) Balón se pohybuje rychlostí v0 = 5 m s-1 svisle dolů. Pomůcka: Počáteční rychlost pohybu zátěže je dána rychlostí balónu [a) t1 = 7,8 s b) t2 = 8,3 s c) t3 = 7,3 s] 2/3 Z věže o výšce h = 25 m je vodorovně vržen kámen počáteční rychlostí v0 = 15 m s-1 (viz obr). Odpor vzduchu zanedbejte a určete: y a) Vztahy pro závislost x-ové a y-ové složky rychlosti vx a vy kamene na čase t. v0 b) Vztahy pro závislost x-ové a y-ové h souřadnice kamene na čase t. c) Dobu td, za kterou kámen dopadne na zem. [ a) vx = v0 ; vy = – g t b) x = v0 t ; y = h – ½ g t2 c) td = 2,3 s ]

x

2/4 Určete, jakou počáteční rychlostí v0 tryská voda z trubice vodotrysku směrem svisle vzhůru, jestliže vystupuje do výšky h = 5 m. Odpor vzduchu zanedbejte. [ v0 = 10 m s-1 ] 2/5 Míč spadl volným pádem z výšky h = 5 m na zem. Při zanedbání odporu vzduchu určete: a) Dobu t, za kterou dopadl míč na zem. b) Rychlost v1, se kterou dopadl míč na zem. c) Rychlost v2, se kterou se musí míč odrazit od země, aby dosáhl výšky h2 = 2 m. [ a) t = 1 s b) v1 = 9,8 m s-1 c) v2 = 6,3 m s-1] 2/6 Těleso vrženo svisle vzhůru se vrátilo na zem v čase t = 4 s od počátku pohybu. Bez uvážení odporu vzduchu určete: a) Maximální výšku h nad zemí, do které těleso vystoupilo. b) Počáteční rychlost v0, se kterou bylo těleso vrženo. c) Rychlost v tělesa v čase t = 1 s od počátku pohybu. [ a) h = 19,6 m b) v0 = 19,6 m s-1 c) v = 9,8 m s-1 ]

2.2 Pohyb po vodorovné rovině 2/7 Konstantní síla o velikosti F = 50 N začne působit v horizontálním směru na těleso. Těleso se vlivem této síly uvede do pohybu po hladké vodorovné rovině tak, že za dobu t = 5 s od počátku působení síly urazí dráhu s = 84 m. a) Jaké je zrychlení a tělesa? b) Jaká je hmotnost m tělesa? c) Jaká je rychlost v tělesa v čase t = 5 s od počátku působení síly?

5

Hofmann J.: Sbírka příkladů ze Základů fyziky [ a) a = 6,7 m s-2

VŠCHT Praha 2009

c) v = 33,5 m s-1]

b) m = 7,4 kg

2/8 Těleso hmotnosti m = 52 kg je taženo po vodorovné podložce silou o velikosti F = 208 N působící v horizontálním směru. Pohyb tělesa je přímočarý a rovnoměrný. Určete a) Velikost síly dynamického tření Ft . b) Hodnotu dynamického součinitele tření f. c) Velikost tažné síly F1 působící v horizontálním směru na uvažované těleso, aby pohyb tělesa byl přímočarý rovnoměrně zrychlený se zrychlením a = 1 m s-2. [ a) Ft = 208 N b) f = 0,4 c) F1 = 260 N ] 2/9 Osobní automobil o hmotnosti m = 1 200 kg zvýší rovnoměrně svoji rychlost z hodnoty v1 = 72 km h-1 na hodnotu v2 = 90 km h-1 za dobu t = 10 s. Určete: a) Zrychlení a automobilu, kterého bylo dosaženo při zvyšování rychlosti b) Velikost síly F, která změnu rychlosti vyvolala. c) Dráhu s, kterou urazil automobil při zvyšování rychlosti [ a) a = 0,5 m s-2 b) F = 600 N c) s = 225 m ]

2.3 Pohyb po nakloněné rovině 2/10 Na nakloněné rovině, která svírá s vodorovnou rovinou úhel α = 30° sjíždí těleso se zrychlením a = 1,5 m s-2. a) Nakreslete obrázek a do něj všechny síly působící na těleso. b) Určete dynamický součinitel tření f mezi tělesem a nakloněnou rovinou. c) Určete, při jakém úhlu α1 nakloněné roviny s vodorovnou rovinou by se těleso při daném dynamickém součiniteli tření pohybovalo rovnoměrně.

Řešení: a) Na těleso působí tíhová síla FG, normálová síla (kolmá reakce podložky) FN a síla vlečného tření mezi tělesem a nakloněnou rovinou Ft. Tíhovou sílu rozložíme na složku rovnoběžnou s nakloněnou rovinou F1= m g sin α a na složku kolmou k nakloněné rovině F2 = m g cos α. FN Ft F1

α

FG

F2

b) Pohyb tělesa ovlivňují síly působící ve směru nakloněné roviny, tj. F1 a Ft. Síla tření působí proti pohybu, proto pohybová rovnice má tvar F1 − Ft = m a

6


VŠCHT Praha 2009

Odtud Ft = m g sin α − m a Ve směru kolmém k nakloněné rovině se těleso nepohybuje, síly F2 a FN jsou v rovnováze F2 = FN = m g cos α Síla dynamického tření závisí na normálové síle a dynamickém koeficientu tření Ft = f FN = f m g cos α Porovnáním vztahů pro sílu dynamického tření dostaneme m g sin α − m a = f m g cos α Dynamický součinitel tření f a 1,5 f = tg α − = tg 30 o − = 0,4 g cos α 9,81 ⋅ cos 30 o c) Má-li se těleso při uvedeném součiniteli tření pohybovat rovnoměrně, musí být zrychlení a = 0 a pro sklon nakloněné roviny platí tg α1 = f

α1 = arctg f = arctg 0,4 = 21,8o 2/11 Těleso o hmotnosti m = 5 kg je taženo vzhůru po nakloněné rovině konstantní silou o velikosti F = 100 N a pohybuje se konstantní rychlostí. Nakloněná rovina svírá s vodorovnou rovinou úhel α = 30° . Tažná síla působí ve směru nakloněné roviny. Určete a) Velikost síly dynamického tření Ft. b) Dynamický součinitel tření f mezi tělesem a nakloněnou rovinou. c) Velikost tažné síly F1, vlivem které by se těleso pohybovalo vzhůru po nakloněné rovině se zrychlením a = 1 m s-2. [ a) Ft = 75,5 N b) f = 1,78 c) F1 = 105 N ]

2.4 Rovnoměrný pohyb po kružnici 2/12 Kulička hmotnosti m = 0,1 kg je upevněna na niti délky l = 0,5 m a pohybuje se rovnoměrně po kružnici ve vodorovné rovině. Nit přitom opisuje plášť kužele a svírá se svislým směrem úhel α = 30°. a) Nakreslete obrázek a vyznačte působící síly na kuličku. b) Určete velikost dostředivé síly Fd , která působí na kuličku. c) Určete dobu oběhu T kuličky,

Řešení: Na kuličku působí tíhová síla FG a tah závěsu FT. Výslednice těchto sil směřuje do středu kružnice (dostředivá síla), po které se pohybuje kulička, a má velikost Fd.

7


VŠCHT Praha 2009

l FT

Fd

α

FG

b) Velikost dostředivé síly určíme z pravoúhlého trojúhelníku, kde FG a Fd jsou odvěsny Fd = m g tg α = 0,1 ⋅ 9,81 ⋅ tg 30 o = 0,57 N c) Dobu oběhu T stanovíme z pohybové rovnice pro rovnoměrný pohyb po kružnici

Fd = m

4π 2 T2

r

kde r = l sin α je poloměr kružnice, po které se kulička pohybuje 0,1 ⋅ 0,5 ⋅ sin 30 o m l sin α = 2π = 1,32 s T = 2π 0,57 Fd

2/13 Těleso o hmotnosti m = 20 g opisuje kružnici o poloměru r = 0,5 m s úhlovou rychlostí ω = 30 rad s-1. Určete: a) Velikost dostředivé síly Fd , která působí na těleso. b) Určete velikost rychlosti v, se kterou se těleso pohybuje. c) Určete frekvenci f pohybu tělesa. [ a) Fd = 9 N b) v = 15 m s-1 c) f = 4,8 Hz ] 2/14 Kolotoč je roztočen tak, že závěs sedačky kolotoče svírá se svislým směrem úhel α = 30°. Vzdálenost upevnění závěsu od osy kolotoče d = 2 m a délka závěsu l = 4 m. Určete a) Velikost rychlosti v , se kterou se pohybuje sedačka kolotoče. b) Velikost úhlové rychlosti ω sedačky kolotoče. c) Dobu jedné otáčky T sedačky kolotoče. [ a) v = 4,8 m s-1 b) ω = 1,2 rad s-1 c) T = 5,2 s ]

8


VŠCHT Praha 2009

2.5 Práce a výkon 2/15 Po vodorovné silnici táhne traktor konstantní rychlostí kmen stromu o hmotnosti m = 1,5 t do vzdálenosti s = 2 km. Dynamický koeficient tření f = 0,6. Určete a) Tažnou sílu F traktoru. b) Vykonanou práci W [ a) F = 8 829 N b) W = 17,7 MJ ] 2/16 Po vodorovné trati se rozjíždí vlak se zrychlením a = 0,5 m s-2. Tažná síla lokomotivy F = 40 kN, odporové síly neuvažujeme. Určete a) Dráhu s, kterou urazí vlak za dobu t = 1 min. b) Práci W, kterou vykoná lokomotiva za dobu t = 1 min. c) Okamžitý výkon P lokomotivy v čase t = 1 min. [ a) s = 900 m b) W = 36 MJ c) P = 1,2 MW ] 2/17 Výtah o hmotnosti m = 0,5 t se rozjíždí vlivem konstantní tažné síly F lana a za dobu t = 5 s dosáhne rychlosti v = 10 m s-1. Určete a) Zrychlení a výtahu. b) Velikost tažné síly F lana. c) Okamžitý výkon P motoru výtahu v čase t = 5 s. [ a) a = 2 m s-2 b) F = 5 905 N c) P = 59 050 W ] 2/18 Těleso o hmotnosti m = 5 kg se pohybuje vzhůru po nakloněné rovině konstantní rychlostí a urazí vzdálenost s = 2 m. Nakloněná rovina svírá s vodorovnou rovinou úhel α = 30°. Dynamický koeficient tření f = 0,2. Určete a) Velikost tažné síly F, která působí ve směru nakloněné roviny. b) Práci W, kterou vykoná tažná síla F během pohybu tělesa po dráze s = 2 m. c) Práci W1, kterou by vykonala tažná síla po dráze s = 2 m, pokud by se těleso pohybovalo rovnoměrně na nakloněné rovině bez tření.

Řešení: a) Na těleso působí tíhová síla FG, normálová síla (kolmá reakce podložky) FN , síla vlečného tření mezi tělesem a nakloněnou rovinou Ft. a tažná síla F. Tíhovou sílu rozložíme na složku rovnoběžnou s nakloněnou rovinou F1= m g sin α a na složku kolmou k nakloněné rovině F2 = m g cos α. FN F F1 Ft

α

FG

F2

9


VŠCHT Praha 2009

Pro rovnoměrný pohyb ve směru nakloněné roviny platí F − F1 − Ft = 0 Síla dynamického tření na nakloněné rovině Ft = f FN = f m g cos α Odtud tažná síla F F = m g sin α + f m g cos α = 5 ⋅ 9,81(sin 30 o + 0,2 ⋅ cos 30 o ) = 33 N b) Práce W tažné síly W = F s = 33 ⋅ 2 = 66 J c) Práce W1 tažné síly při rovnoměrném pohybu bez tření se určí podobným postupem Tažná síla F má nyní jinou velikost F = m g sin α = 5 ⋅ 9,81sin 30 o = 24,5 N Její práce W1 = F s = 24,5 ⋅ 2 = 49 J 2/19 Na vodní kolo padá voda o hustotě ρ = 1 000 kg m-3 z výšky h = 10 m tak, že každou sekundu dopadne objem V = 150 litrů. Určete a) Objemový tok Q dopadající vody. b) Maximálně možný výkon P vodního kola. [ a) Q = 150. 10-3 m3 s-1 b) P = 14,7 kW ] 2/20 Čerpadlo o výkonu P = 300 kW čerpá vodu z hloubky h = 180 m. Jaká je hmotnost m vody, kterou vyčerpá za dobu t = 1 h? [ m = 6.105 kg ] 2/21 Motor výtahu pracuje s účinností η = 80% a zvedá konstantní rychlostí náklad o hmotnosti m = 750 kg do výšky h = 24 m za dobu t = 0,5 min. Určete a) Rychlost v pohybu výtahu. b) Tažnou sílu F motoru výtahu. c) Příkon Pp motoru výtahu. [ a) v = 0,8 m s-1 b) F = 7 358 N c) Pp = 7,358 kW ]

2.6 Kinetická energie, věta o kinetické energii 2/22 Auto hmotnosti m = 2 t jedoucí konstantní rychlostí v1 = 72 km h-1 se při sešlápnutí brzd zastavilo za dobu tz = 8 s. Určete: a) Průměrnou brzdící sílu F, která by vůz v daném časovém intervalu zastavila. b) Dráhu s, kterou auto urazilo během brždění. c) Práci W brzdící síly vykonanou v průběhu brždění.

Řešení: a) Pro výpočet průměrné brzdící síly uvažujeme brždění auta za pohyb rovnoměrně zpomalený, při kterém rychlost auta rovnoměrně klesá. V čase zastavení tz je rychlost rovna nule, proto platí 10


VŠCHT Praha 2009

v1 − a t z = 0 Odtud můžeme získat zpomalení auta a a z pohybového zákona požadovanou průměrnou brzdící sílu F v 72 F = m a = m 1 = 2000 = 5000 N tz 3,6 ⋅ 8 b) Dráhu s určíme z věty o kinetické energii. Změna kinetické energie auta (rozdíl kinetické energie při zastavení auta a počáteční kinetické energie) je způsobena prací průměrné brzdící síly vykonané na dráze s. Tato síla působí proti pohybu, proto je práce záporná. 1 0 − m v12 = − F s 2 m v12 2000 ⋅ 72 2 = = 80 m s= 2F 2 ⋅ 3,6 2 ⋅ 5000

c) Práce průměrné brzdící síly je dána odpovídající změnou kinetické energie 1 1 72 2 W = m v12 = 2000 2 = 400000 J 2 2 3,6 2/23 Střela o hmotnosti m = 10 g pohybující se rychlostí v1 = 200 m s-1 prorazila dřevěnou desku do hloubky l = 4 cm. Určete a) Střední sílu odporu desky F b) Dobu t, po kterou se střela pohybovala v desce c) Rychlost v2, se kterou vyletí střela, bude-li deska silná pouze l/2= 2 cm. [ a) F = 5 000 N

b) t = 4.10-4 s

c) v2 = 141 m s-1 ]

2/24 Dynamický součinitel tření mezi tělesem a nakloněnou rovinou f = 0,2. Nakloněná rovina svírá s vodorovnou rovinou úhel α = 45°. Použitím věty o kinetické energii určete a) Vzdálenost l, do které vystoupí těleso po nakloněné rovině, mělo-li počáteční rychlost ve směru nakloněné roviny v1 = 10 m s-1. b) Rychlost v2, se kterou se těleso vrátí do původní polohy. c) Celkovou práci W, kterou vykoná tíhová síla působící na těleso při jeho pohybu po nakloněné rovině vzhůru a zpět. [ a) l = 6 m b) v2 = 8,2 m s-1 c) W = 0 J ]

2.7 Potenciální energie, mechanická energie, zákon zachování mechanické energie 2/25 Těleso hmotnosti m = 0,8 kg je vrženo svisle vzhůru a má ve výšce h = 10 m kinetickou energii Ek = 196,2 J. Jaké maximální výšky hmax těleso dosáhne, je-li odpor prostředí zanedbán. [ hmax = 35 m ] 2/26 Těleso hmotnosti m = 0,2 kg je vrženo z povrchu země svisle vzhůru počáteční rychlostí v0 = 10 m s-1. Zanedbáte-li odpor prostředí určete

11


VŠCHT Praha 2009

a) Mechanickou energii E tělesa b) Kinetickou energii Ek1 a potenciální energii Ep1 v nejvyšším bodě trajektorie. c) Kinetickou energii Ek2 a potenciální energii Ep2 v čase t = 0,5 s od počátku pohybu. Řešení: a) Mechanická energie tělesa se za uvedených podmínek zachovává, tj. v každém okamžiku pohybu je součet kinetické energie a potenciální energie tělesa neměnný. Na povrchu země se volí potenciální energie nulová, proto mechanická energie je dána kinetickou energií 1 1 E = m v02 = 0,2 ⋅ 10 2 = 10 J 2 2 b) V nejvyšším bodě je kinetická energie Ek1 = 0 J a potenciální energie Ep1 rovna mechanické energii E E p1 = 10 J c) Rychlost při vrhu svislém vzhůru klesá podle vztahu v = v0 − g t Kinetická energie Ek2 je dána 1 1 E k 2 = m (v0 − g t ) 2 = 0,2 (10 − 9,81 ⋅ 0,5) 2 = 2,6 J 2 2 Potenciální energii můžeme určit z rozdílu mechanické a kinetické energie v daném čase E p 2 = E − E k 2 = 10 − 2,6 = 7,4 J

3. Mechanika tuhého tělesa Probrané pojmy Úhel otočení, úhlová rychlost, úhlové zrychlení. Moment síly, moment setrvačnosti tělesa. Druhy pohybu tuhého tělesa. Práce, výkon, kinetická energie, mechanická energie, věta o kinetické energii, zákon zachování mechanické energie při rotačním pohybu a při valení těles. Příklady k semináři a samostudiu

3.1 Úhlová rychlost, úhlové zrychlení 3/1 Turbina se roztočila tak, že počet otáček dosažených za jednu sekundu rovnoměrně vzrůstal a v čase t = 10 s od začátku pohybu byla frekvence otáčení f = 120 min-1. Určete a) Úhlové zrychlení ε tělesa b) Počet otáček n, které turbina vykoná za dobu prvých 10 s. c) Rychlost v bodu na obvodu turbiny v čase t = 10 s od začátku pohybu, je-li průměr turbiny d = 4 m.

Řešení: a) Turbina koná rovnoměrně zrychlený rotační pohyb kolem pevné osy rotace. Úhlová rychlost přitom rovnoměrně narůstá a platí (počáteční úhlová rychlost je rovna nule) ω =εt 12


VŠCHT Praha 2009

Odtud úhlové zrychlení ε ω 2 π f 2 π ⋅120 ε= = = = 0,4 π s-2 t t 60 ⋅ 10 b) Úhel otočení φ závisí na čase kvadraticky podle vztahu 1 ϕ = ε t2 2 Počet otáček n získáme tak, že úhel otočení podělíme úhlem otočení při jedné otáčce (2π) ε t 2 0,4 π ⋅ 10 2 = = 10 n= 4π 4π c) Při rotaci konají jednotlivé body turbiny pohyb po kružnici. Obvodová rychlost bodu je tím větší, čím je při dané úhlové rychlosti bod dále od středu kružnice. Pro bod na obvodu turbiny (ve vzdálenosti d/2) platí d d 120 v = ω = 2π f = π 4 = 8 π m s-1 2 2 60 3/2 Setrvačník rotující s frekvencí f0 = 25 s-1 se při brždění začne zpomalovat a zastaví se za dobu t = 30 s. Za předpokladu rovnoměrně zpomalené rotace určete a) Velikost úhlového zrychlení (zpomalení) ε. b) Velikost úhlové rychlosti ω1 v čase t1 = 10 s od počátku brždění c) Počet otáček n vykonaných v průběhu brždění Pomůcka: Pro rovnoměrně zpomalenou rotaci platí, že úhlová rychlost se snižuje podle vztahu ω = ω0 – ε t a změna úhlu otočení s časem je dána závislostí φ = ω0 t – 1/2 ε t2. [ a) ε = 5,24 s-2 b) ω1 = 104,7 s-1 c) n = 375 ] 3/3 Jakou rychlostí v se pohybuje cyklista, má-li kolo jeho velocipedu průměr d = 80 cm a koná-li rotační pohyb s frekvencí f = 120 min-1. [ v = 5 m s-1 ]

3.2 Moment setrvačnosti 3/4 Určete moment setrvačnosti tuhé soustavy dvou hmotných bodů o hmotnostech m1 = 1 kg a m2 = 5 kg, které jsou ve vzdálenosti l = 2 m od sebe. a) Vzhledem k ose, která prochází hmotným středem T soustavy kolmo na spojnici bodů. b) Vzhledem k ose, která prochází bodem o hmotnosti m1 = 1 kg kolmo na spojnici bodů. c) Vzhledem k ose, která prochází bodem o hmotnosti m2 = 5 kg kolmo na spojnici bodů.

Řešení:

13


VŠCHT Praha 2009

y

T m1

x m2

a) Zvolíme souřadnicový systém podle obrázku tak, aby hmotné body ležely na ose x, a určíme x-ovou souřadnici hmotného středu T xT =

1 1 m2 l = 5 ⋅ 2 = 1,67 m m1 + m2 6

Moment setrvačnosti JT vzhledem k ose, která prochází hmotným středem T soustavy kolmo na spojnici bodů, je dán vztahem: J = m1 xT2 + m2 (l − xT ) 2 = 1,67 2 + 5(2 − 1,67) 2 = 3,33 kg m2 b) Moment setrvačnosti J1 vzhledem k ose, která prochází bodem o hmotnosti m1 = 1 kg kolmo na spojnici bodů (k ose y) J = m2 l 2 = 5 ⋅ 2 2 = 20 kg m2 c) Moment setrvačnosti J2 vzhledem k ose, která prochází bodem o hmotnosti m2 = 5 kg kolmo na spojnici bodů J = m1l 2 = 2 2 = 4 kg m2 Poznámka: V případech b) a c) jsme mohli využít Steinerovu větu 3/5 Vzdálenost jader vodíku a chlóru v molekule HCl je l = 0,127.10-9 m Hmotnosti jsou mH = 1,01 u a mCl = 35 u, kde u je atomová hmotnostní jednotka u = 1,66.10-27 kg. Určete a) x-ovou souřadnici xT hmotného středu T molekuly (jádro vodíku je v poloze x = 0) b) Moment setrvačnosti JT vzhledem k ose, která prochází hmotným středem T soustavy kolmo na spojnici jader. [ a) xT = 0,123.10-9 m b) JT = 2,63.10-47 kg m2 ] 3/6 Určete moment setrvačnosti J tenké válcové trubky o průměru d = 160 mm a hmotnosti m = 4 kg vzhledem k její podélné ose. [ J = 0,0256 kg m2 ] 3/7 Určete moment setrvačnosti J homogenního válce o průměru d = 160 mm a hmotnosti m = 4 kg vzhledem k jeho podélné ose. [ J = 0,0128 kg m2 ]

14


VŠCHT Praha 2009

3/8 Pomocí Steinerovy věty vypočtěte moment setrvačnosti J homogenního válce o průměru d = 160 mm a hmotnosti m = 4 kg vzhledem k jeho povrchové přímce. [ J = 0,0384 kg m2 ]

3.3 Moment síly, rovinná rotace tuhého tělesa 3/9 Na obvodu kola o poloměru r = 0,4 m působí ve směru tečny síla o velikosti F = 20 N. Určete moment této síly M vzhledem k ose kola. [M=8Nm] 3/10 Určete momenty sil M1 a M2 vzhledem k ose jdoucí středem čtvercové desky o straně a = 30 cm kolmo na její rovinu. Velikosti sil jsou stejné F1 = F2 = 100 N, síla F2 je kolmá na úhlopříčku čtvercové desky F1 F2

a

a [ a) M1 = 15 N m

b) M2 = 21,2 N m ]

3/11 Setrvačník o momentu setrvačnosti J = 20 kg m2 se roztočí vlivem konstantního momentu sil M = 12 N m s úhlovým zrychlením ε = 0,2 s-2. Určete a) Velikost momentu odporových sil Mt. b) Velikost úhlového zrychlení ε1, které by získal setrvačník vlivem momentu sil M = 12 N m, kdyby moment odporových sil byl nulový. [ a) Mt = 8 N m b) ε1 = 0,6 s-2 ] 3/12 Kolo se otáčelo rovnoměrně zpomaleně tak, že frekvence otáčení ze za dobu t = 1 min zmenšila z hodnoty f1 = 5 s-1 na f2 = 3 s-1. Moment setrvačnosti kola vzhledem k rotační ose je J = 2 kg m2. Určete a) Velikost úhlového zrychlení (zpomalení) ε b) Velikost momentu odporových sil Mt c) Dobu tz, po kterou působí brzdné síly, než se kolo zastaví.

Řešení: a) Úhlová rychlost kola při rovnoměrně zpomalené rotaci se mění s časem podle vztahu ω 2 = ω1 − ε t Odtud velikost úhlového zrychlení (zpomalení) ε ω − ω2 f − f2 5−3 ε= 1 = 2π 1 = 2π = 0,21 s-2 60 t t

15


VŠCHT Praha 2009

b) Velikost momentu odporových sil Mt M t = J ε = 2 ⋅ 0,21 = 0,42 N m c) Z rovnice pro úhlovou rychlost určíme dobu do zastavení kola (ω2 = 0 s-1) ω 2 π f1 2 π ⋅ 5 tz = 1 = = = 150 s 0,21 ε ε

3.4 Práce, výkon při rotaci tuhého tělesa, věta o kinetické energii 3/13 Kolo o momentu setrvačnosti J = 20 kg m2 rotuje kolem pevné osy rotace úhlovou rychlostí ω0 = 3 s-1. Určete a) Velikost stálého momentu M brzdných sil, jejichž účinkem se kolo zastaví po n = 40 otáčkách. b) Velikost úhlového zrychlení (zpomalení) ε. c) Dobu tz, po kterou se kolo zastavuje.

Řešení: a) Velikost stálého momentu M brzdných sil stanovíme z věty o kinetické energii. Změna kinetické energie rotujícího tělesa (rozdíl kinetické energie při zastavení tělesa a původní kinetické energie před zastavováním) je rovna práci momentu brzdných sil. Tato práce je záporná, protože moment sil působí proti pohybu: 1 0 − Jω 02 = − M ϕ = − M 2 π n 2 M =

J ω 02 20 ⋅ 3 2 = = 0,358 N m 4 π n 4 π ⋅ 40

b) Velikost úhlového zrychlení (zpomalení) ε určíme ze vztahu M 0,358 ε= = = 0,0179 s-2 20 J c) Při rovnoměrně zpomalené rotaci klesá úhlová rychlost podle vztahu: ω = ω0 − ε t V čase zastavení tz je úhlová rychlost ω = 0 ω 3 tz = 0 = = 168 s 0,0179 ε 3/14 Ventilátor se otáčí s frekvencí f = 15 s-1. Po vypnutí se rovnoměrně zpomaluje a do zastavení vykoná n = 75 otáček. Práce brzdných sil při zastavování je W = - 44,4 J. Určete a) Moment setrvačnosti J ventilátoru. b) Velikost momentu M brzdných sil. c) Velikost úhlového zrychlení (zpomalení) ε. [ a) J = 0,01 kg m2 b) M = 9,4.10-2 N m c) ε = 9,4 s-2 ] 3/15 Určete kroutící moment M motoru, je-li frekvence otáčení f = 2 888 min-1 při příkonu motoru Pp = 5 kW a účinnosti motoru η = 80 %. [ M = 13,2 N m ]

16


VŠCHT Praha 2009

3/16 Kotouč o momentu setrvačnosti J = 0,02 kg m2 se roztáčí z klidu působením konstantního momentu sil M. Za dobu t = 5 s získá kinetickou energii Ek = 4 J. Určete a) Úhlovou rychlost ω v čase t = 5 s. b) Velikost momentu sil M. c) Okamžitý výkon P v čase t = 5 s. [ a) ω = 20 s-1 b) M = 0,08 N m c) P = 1,6 W ] 3/17 Rotující těleso o momentu setrvačnosti J = 10 kg m2 má kinetickou energii Ek = 9 J. Určete a) Úhlovou rychlost ω. b) Frekvenci f rotačního pohybu. [ a) ω = 1,34 s-1 b) f = 0,21 s-1 ]

3.5 Valení těles po vodorovné a nakloněné rovině 3/18 Po vodorovné rovině se rychlostí v = 0,2 m s-1 valí tenkostěnná homogenní trubka hmotnosti m = 1 kg a průměru d = 30 cm. Určete a) Moment setrvačnosti J trubky vzhledem k ose rotace b) Kinetickou energii Ek valící se trubky c) Práci W potřebnou pro zastavení trubky [ a) J = 0,0225 kg m2 b) Ek = 0,04 J c) W = Ek ] 3/19 Po nakloněné rovině se z výšky h = 2 m valí válec o hmotnosti m = 10 kg a poloměru r = 30 cm. Určete a) Moment setrvačnosti J válce vzhledem k rotační ose. b) Kinetickou energii Ek, kterou získal válec na úpatí nakloněné roviny. c) Rychlost v, kterou získal válec na úpatí nakloněné roviny.

Řešení: a) Moment setrvačnosti válce vzhledem k jeho podélné ose 1 1 J = m r 2 = 10 ⋅ 0,3 2 = 0,45 kg m2 2 2 b) Kinetická energie válce na konci nakloněné roviny je dána potenciální energii válce na počátku pohybu E k = m g h = 10 ⋅ 9,81 ⋅ 2 = 196,2 J c) Rychlost válce na konci nakloněné roviny určíme ze zákona zachování mechanické energie 1 1 m g h = J ω 2 + m v2 2 2 v =ωr Odtud rychlost v 4 4 v= gh = ⋅ 9,81 ⋅ 2 = 5,1 m s-1 3 3

17


VŠCHT Praha 2009

3/20 Po nakloněné rovině se z výšky h = 2 m valí válcová trubka o hmotnosti m = 10 kg a poloměru r = 30 cm. Určete a) Moment setrvačnosti J válcové trubky vzhledem k rotační ose. b) Kinetickou energii Ek, kterou získala válcová trubka na úpatí nakloněné roviny. c) Rychlost v, kterou získala válcová trubka na úpatí nakloněné roviny. [ a) J = 0,9 kg m2

c) v = 4,4 m s-1 ]

b) Ek = 196,2 J

4. Hydromechanika Probrané pojmy Ideální a reálná kapalina, hydrostatický tlak, tlaková síla, Archimédův zákon. Proudění ideální kapaliny, rovnice kontinuity, Bernoulliova rovnice a její aplikace. Příklady k semináři a samostudiu

4.1 Archimedův zákon 4/1 Jakou silou F udržíme ve vodě kámen, který má hmotnost m = 100 kg a hustotu ρ = 2 500 kg m-3 ? [ F = 589 N ] 4/2 Těleso bylo vyváženo ve vzduchu závažím o hmotnosti z1 = 52,0 g , ve vodě závažím o hmotnosti z2 = 32,0 g a v alkoholu závažím o hmotnosti z3 = 36,1 g. Určete a) Hustotu tělesa ρ1. b) Hustotu alkoholu ρ2. [ a) ρ1 = 2 600 kg m-3 b) ρ2 = 795 kg m-3 ] 4/3 Ponoříme-li těleso o hmotnosti m = 10 kg do kapaliny o hustotě ρ = 800 kg m-3 , působí na ně výsledná síla F = 40 N směrem dolů. Určete a) Objem V tělesa b) Hustotu ρ1 kapaliny, ve které by byla výsledná síla na těleso nulová

Řešení: a) Na těleso ponořené do kapaliny působí tíhová síla FG a vztlaková síla Fvz. V uvažovaném případě je tíhová síla větší než vztlaková a rozdíl těchto sil je roven velikosti výsledné síly F. F = FG − Fvz F = mg − V ρ g Odtud objem tělesa V mg − F 10 ⋅ 9,81 − 40 = = 7,4 ⋅ 10 −3 m3 V = 800 ⋅ 9,81 ρg b) Má-li být výsledná síla na ponořené těleso v kapalině o hustotě ρ1 nulová, musí být velikost tíhové síly rovna velikosti vztlakové síly FG = Fvz

mg = Vρ1 g Odtud hustota ρ1

18


ρ1 =

VŠCHT Praha 2009

m 10 = = 1351 kg m-3 V 7,4 ⋅ 10 −3

4.2 Hydrostatický tlak 4/4 Normální atmosférický tlak je pa= 1013, 25 hPa. Určete a) Výšku vodního sloupce hv, který vyvolá normální atmosférický tlak. b) Výšku sloupce rtuti hHg, který vyvolá normální atmosférický tlak. Hustota vody ρv = 1000 kg m-3, hustota rtuti ρHg = 13 600 kg m-3 [ a) hv = 10,3 m b) hHg = 760 mm ] 4/5 V otevřené U-trubici se nacházejí dvě nemísitelné kapaliny v rovnováze: voda hustoty ρ H 2 O = 1,00 ⋅ 103 kg m −3 a olej

neznámé hustoty ρ x v levém rameni. Měření poskytla hodnoty l = 135 mm , d = 12,3 mm ,

L

h = 150 mm , atmosférický tlak je p a = 101⋅ 10 3 Pa . Určete a) Hydrostatický tlak p P v pravém rameni ve výšce, která je určena výškou rozhraní olejvoda. b) Neznámou hustotu oleje ρ x .

P

d = 12,3 mm l = 135 mm

h = 150 mm

Řešení: a) Nad rozhraním olej –voda je v pravém rameni vodní sloupec výšky l , proto hydrostatický tlak pp

p p = ρ H 2O l g = 1000 ⋅ 0,135 ⋅ 9,81 = 1,32 kPa b) Hustotu oleje určíme porovnáním vztahů pro hydrostatický tlak v levém a pravém rameni ve výšce dané rozhraním olej-voda

ρ x g ( l + d ) = ρ H 2O l g ρx =

l 0,135 ρ H 2O = 1000 = 916 kg m −3 0,135 + 0,0123 l+d

4.3 Proudění ideální kapaliny 4/6 Vodorovnou trubicí nestejného průřezu protéká voda o hustotě ρ = 1000 kg m-3. Průřez užší části je S1 = 10 cm2, průměr širší části d2 = 5 cm. Objemový tok Q = 3.10-3 m3 s-1. Určete a) Rychlost v1 proudění kapaliny v užší části trubice. b) Rychlost v2 proudění kapaliny v širší části trubice. c) Rozdíl tlaků Δp v širší a užší části trubice.

Řešení: a) Pro proudění ideální kapaliny platí rovnice kontinuity (zákon zachování hmotnosti)

19


VŠCHT Praha 2009

S1v1 = S 2 v 2 = Q Odtud Q 3 ⋅ 10 −3 = = 3 m s-1 v1 = −4 S1 10 ⋅ 10 b) Analogicky určíme rychlost v2 Q 4Q 4 ⋅ 3 ⋅ 10 −3 v2 = = = = 1,5 m s-1 2 S 2 π d 22 π ⋅ 0,05 c) Rozdíl tlaků stanovíme z Bernoulliovy rovnice pro vodorovnou trubku 1 1 2 ρ v1 + p1 = ρ v 22 + p 2 2 2 Odtud Δp = p2 – p1 Δp =

1 1 ρ (v12 − v 22 ) = 1000 (3 2 − 1,5 2 ) = 3,38 kPa 2 2

4/7 Potrubím protéká voda o objemovém toku Q = 0, 002 m3 s-1. V místě A o průměru potrubí d1 = 0,06 m je tlak vody p1 = 1,4.105 Pa. V místě B, které je o Δh = 10 m níže, je průřez potrubí S2 = 100 mm2. Určete a) Rychlost v2 v místě B. b) Tlak p2 v místě B. c) Čas t, za který se uvedeným potrubím naplní zásobník o objemu V= 5 000 litrů. [ a) v2 = 20 m s-1 b) p2 = 38,4 kPa c) t = 2500 s] 4/8 Průřez vodorovného potrubí se snižuje z hodnoty S1 = 50 cm2 na hodnotu S2 = 15 cm2. V širší části potrubí je rychlost proudící vody v1 = 3 m s-1 a tlak p1 = 85 kPa. Určete a) Rychlost v2 proudění vody v užší části potrubí. b) Tlak p2 v užší části potrubí. [ a) v2 = 10 m s-1 b) p2 = 40 kPa ] 4/9 Do nádoby přitéká každou sekundu objem V = 150 cm3 vody. U dna nádoby je otvor o průřezu S2 = 0,5 cm2. Určete a) Rychlost v2, se kterou voda vytéká z nádoby. b) Výšku h, ve které se ustálí hladina vody v nádobě.

Řešení: a) Použijeme rovnici kontinuity S 2 v2 = Q Odtud Q 150 ⋅ 10 −6 v2 = = = 3 m s-1 S 2 0,5 ⋅ 10 −4 b) Výšku h určíme z Bernoulliovy rovnice

20


VŠCHT Praha 2009

1 2 1 ρ v1 + p1 + ρ g h = ρ v 22 + p 2 2 2

Tlaky u hladiny a v místě otvoru jsou stejné p1 = p2 a rychlost v1 vody u hladiny je nulová, tedy v2 32 = 0,459 m h= 2 = 2 g 2 ⋅ 9,81 4/10 Čerpadlo o účinnosti η1 = 75% je poháněno elektromotorem o účinnosti η2 = 96%. Elektromotor odebírá z elektrické sítě příkon Pp2 = 4 kW. Čerpadlo čerpá vodu při objemovém toku Q = 50 m3 h-1. Určete a) Výkon P2 elektromotoru. b) Výkon P1 čerpadla. c) Výšku h, do které čerpá čerpadlo vodu.

Řešení: a) Výkon elektromotoru P2 určíme ze vztahu pro účinnost P η2 = 2 Pp 2

P2 = Pp 2 η 2 = 4000 ⋅ 0,96 = 3840 W b) Obdobně výkon čerpadla, uvědomíme-li si, že výkon motoru je příkonem čerpadla: P1 = P2η1 = 3840 ⋅ 0,75 = 2880 W c) Výkon čerpadla je dán prací čerpadla vykonanou za jednotku času: mgh V ρ gh P1 = = = Qρ gh t t Odtud P 2880 ⋅ 3600 = 21,1 m h= 1 = Q ρ g 50 ⋅ 1000 ⋅ 9,81

5. Kmity Probrané pojmy Harmonický oscilátor, návratná síla, frekvence, doba kmitu. Potenciální a mechanická energie harmonického oscilátoru. Netlumené, tlumené a vynucené kmity. Znázornění kmitů pomocí fázorů, skládání kmitů. Příklady k semináři a samostudiu

5.1 Netlumené kmity harmonického oscilátoru 5/1 Výchylka netlumeného harmonického oscilátoru se mění s časem podle vztahu x = 0,2 cos (300 t + 2) . Určete a) Amplitudu A, frekvenci f, a počáteční fázi φ b) Výchylku x v čase t = 10 s

21


VŠCHT Praha 2009

c) Čas t0 > 0, ve kterém je výchylka oscilátoru rovna nule Řešení: a) Výchylka netlumeného harmonického oscilátoru se mění s časem podle obecného vztahu x = A cos (ω t + ϕ ) Porovnáním snadno dostaneme: A = 0,2 m ω 300 f = = = 47,8 Hz 2π 2π φ = 2 rad b) x = 0,2 cos (300 ⋅ 10 + 2) = 4,1 cm c) Nulovou hodnotu výchylky získáme z podmínky, za které je kosinus úhlu roven nule. Pro π/2 by čas vyšel záporný, proto položíme argument kosinu roven 3π/2 0 = 0,2 cos(300 t 0 + 2) 300t 0 + 2 =

3π 2

3π −2 t0 = 2 = 9.10 −3 s 300 5/2 Hmotný bod kmitá tak, že jeho poloha se mění s časem podle vztahu π x = 0,04 sin (10π t + ). Určete 2 a) Frekvenci f a dobu kmitu T. b) Okamžitou výchylku x1 v čase t1 =T/4. c) Čas t2, ve kterém je výchylka x2 = 0,02 m. [ a) f = 5 Hz, T = 0,2 s b) x1 = 0 m c) t2 = 1/30 s ] 5/3 Těleso zavěšené na pružině koná netlumený harmonický pohyb. Maximální kinetická energie je Ekmax = 1 J, amplituda kmitů A = 5 cm. Určete a) Mechanickou energii E tělesa. b) Tuhost pružiny k. c) Maximální hodnoty návratné síly Fmax.

Řešení: a) Mechanická energie se v tomto případě zachovává, tj. součet kinetické a potenciální energie tělesa na pružině se při pohybu nemění. Maximální kinetické energie dosáhne těleso při průchodu rovnovážnou polohou, ve které se volí potenciální energie rovna nule. Proto E = Ekmax = 1 J b) Potenciální energie tělesa na pružině je dána vztahem Ep = 1/2 k x2, při maximální výchylce tělesa je jeho kinetická energie rovna nule, proto 1 E = k A2 2 2E 2 ⋅1 = 800 N m −1 k= 2 = 2 A 0,05

22


VŠCHT Praha 2009

c) Lineární návratná síla má velikost přímo úměrnou výchylce tělesa z rovnovážné polohy, její maximální velikost je Fmax = k A = 800 ⋅ 0,05 = 40 N

5.2 Skládání stejnosměrných kmitů o stejné frekvenci 5/4 Určete amplitudu A kmitu, který vznikne složením dvou stejnosměrných kmitů o stejné π frekvenci. Kmity jsou fázově posunuty o Δϕ = , jeden má amplitudu A1 a druhý 2 A1. 3 Řešení:

Kmity znázorníme schematicky pomocí fázorů o velikosti A1 a 2 A1. Výsledná amplituda bude dána velikostí výsledného fázoru. Určíme ji pomocí kosinové věty: A 2 = A12 + (2 A1 ) 2 − 2 A1 2 A1 cos(180 o − Δϕ )

2 A1 A

Δφ

A = 7 A1

A1 5/5 Dva stejnosměrné kmity jsou popsány vztahy: x1 = 0,02 cos100π t π x 2 = 0,02 cos(100π t + ) 2 Určete a) Frekvenci f kmitů b) Amplitudu A výsledného kmitu, který vznikne složením těchto kmitů c) Fázové posunutí kmitů Δφ, aby jejich složením byla amplituda výsledného kmitu rovna nule.

Řešení: a) Frekvence kmitů je ω 100π f = = = 50 Hz 2π 2π b) Kmity znázorníme schematicky pomocí fázorů Výslednou amplitudu určíme z Pythagorovy věty A = 0,02 + 0,02 2

2

2

A = 2 ⋅ 0,02 = 0,028 m c) Fázové posunutí kmitů Δφ dvou stejnosměrných kmitů o stejné amplitudě musí být rovno Δϕ = (2k + 1)π k = 0, ± 1, ± 2 atd

23

A


VŠCHT Praha 2009

5/6 Dva stejnosměrné kmity jsou popsány funkcemi x1 = 1,5 cos10π t x2 = 0,5 cos(10π t + π ) Určete a) Periodu T kmitů. b) Amplitudu A kmitu, který vznikne jejich složením. c) Fázové posunutí Δφ kmitů, aby amplituda kmitu, který vznikne jejich složením, byla maximální. [ a) T = 0,2 s b) A = 1,0 m c) Δφ = k 2π, k = 0, ± 1, ± 2 atd ]

6. Vlnění Probrané pojmy Podélné, příčné, postupné, stojaté, mechanické, elektromagnetické vlnění, vlnová délka, rychlost šíření vlnění. Intenzita vlnění, interference vlnění, podmínky konstruktivní a destruktivní interference. Odraz a lom vlnění, ohyb vlnění. Příklady k semináři a samostudiu

6.1 Popis vlnění, rychlost šíření vlnění 6/1 Vlnění, které se šíří ve směru osy x, je popsané funkcí x u ( x, t ) = 0,001 cos 50π (t − ) 300 Určete a) Amplitudu A vlnění b) Rychlost šíření v vlnění c) Vlnovou délku λ

Řešení: a) Vlnovou funkci ze zadání porovnáme s obecným zápisem vlnové funkce pro vlnění šířící se ve směru osy x x u ( x, t ) = Acos ω (t − ) v Odtud je tedy amplituda A = 0,001 m. b) Rychlost šíření určíme analogicky porovnáním obou zápisů vlnové funkce v = 300 m s-1 c) Pro vlnovou délku platí 2π 2π λ = vT = v = 300 ⋅ = 12 m 50π ω 6/2 Vlnění o frekvenci f = 100 Hz se šíří ve směru osy x rychlostí v = 5000 m s-1. Určete a) Jaká je nejmenší vzdálenost dvou bodů na ose x, které kmitají ve stejné fázi? b) Jaká je nejmenší vzdálenost dvou bodů na ose x, které kmitají v opačné fázi? [ a) λ = 50 m b) λ/2 = 25 m]

24


VŠCHT Praha 2009

6/3 Ze zdroje, který kmitá s periodou T = 1,0 ms, se šíří vlnění ve směru osy x. Dva body na ose x ležící ve vzdálenosti x1 = 12,0 m a x2 = 14,7 m kmitají s fázovým rozdílem Δφ = 3π/2. Určete a) Frekvenci zdroje f. b) Vlnovou délku λ vlnění c) Rychlost šíření vlnění v

Řešení: a) Frekvence zdroje f 1 1 f = = = 1000 Hz T 1,0 ⋅ 10 −3 b) Vzdálenosti bodů Δx odpovídá fázový rozdíl Δφ, vzdálenosti bodů rovné vlnové délce λ odpovídá fázový rozdíl 2π. Proto 2π 2π λ= 2,7 = 3,6 m Δx = 3π Δϕ 2 3,6 λ = 3,6 ⋅ 10 3 m s-1 c) v = = T 0,001

6.2 Interference vlnění 6/4 Dva zdroje příčného vlnění kmitají s periodou T = 0,1 s a jsou ve fázi. Ze zdrojů se šíří vlnění rychlostí v = 1000 m s-1 stejným směrem podél osy x. Určete dráhový rozdíl Δx bodů ležících na ose x tak, aby v nich byla splněna podmínka pro a) interferenční maximum b) interferenční minimum

Řešení: a) Podmínka pro konstruktivní interferenci, tj. pro vytvoření interferenčního maxima je, aby dráhový rozdíl Δx byl roven celistvému násobku vlnové délky λ, tj. Δx = kλ = k vT = k ⋅ 1000 ⋅ 0,1 = k ⋅ 100 m b) Obdobně podmínka pro destruktivní interferenci vyžaduje, aby dráhový rozdíl Δx byl roven lichým násobkům polovin vlnové délky, tj.: λ Δx = (2k + 1) = (2k + 1) ⋅ 50 m 2

7. Vlnová optika Probrané pojmy Povaha světla, Huygensův princip šíření světla, kulová a rovinná vlnoplocha, paprsek Zákon odrazu, Snellův zákon lomu, index lomu disperze světla, závislost vlnové délky na prostředí. Ohyb světla za štěrbinou, optické děje na ohybové mřížce. Polohy interferenčních maxim a minim intenzity světla, řád maxima, řád spektra.

25


VŠCHT Praha 2009

Příklady k semináři a samostudiu

7.1 Zákon lomu světla, disperze světla 7/1 Index lomu skla pro červené světlo je nc = 1,505, pro fialové nf = 1,524. Určete a) Rychlost světla v uvedených barev ve skle b) Mezní úhly dopadu λm paprsků světla obou barev při lomu ze skla do vakua c) Nakreslete chod paprsků pro mezní úhly dopadu podle bodu b)

Řešení: a) rychlost světla červené barvy ve skle c 3 ⋅ 10 8 vc = = = 1,993 ⋅ 10 8 m s-1 nc 1,505 Obdobně pro fialovou barvu c 3 ⋅ 10 8 vf = = = 1,969 ⋅ 10 8 m s-1 nf 1,524 b) Při chodu paprsku ze skla do vakua dochází k lomu od kolmice, při mezním případě je úhel lomu β = 90º. Mezní úhel dopadu pro tento případ pro červenou barvu vypočteme ze zákona lomu 1 1 sin α mc = = nc 1,505

α mc = 41,64 o Obdobně mezní úhel dopadu pro fialovou barvu 1 1 sin α mf = = n f 1,524

α mc = 41,00 o c) Chod paprsků ze skla do vakua pro mezní úhly dopadu je na obrázku

sklo

vakuum

7/2 Světlo se láme na rovinném rozhraní z prostředí o indexu lomu n1 do prostředí o indexu lomu n2 podle obrázku:

26


VŠCHT Praha 2009

n1

α

n2

β Určete a) Znaménkem nerovnosti vztah mezi indexy lomu b) Rychlost světla v2 ve druhém prostředí, je-li index lomu n2 = 1,5 c) Nakreslete chod paprsků pro mezní případ lomu [ a) n2 > n1

b) v2 = 2.108 m s-1 ]

7/3 Světlo se láme na rovinném rozhraní ze skla do vakua. Index lomu skla n1 = 1,5. Určete: a) Rychlost světla v1 ve skle. b) Úhel lomu β, je-li úhel dopadu α = 30º. c) Mezní úhel dopadu αm. [ a) v1 = 2.108 m s-1 b) β = 48,6º c) αm = 41,8º ] 7/4 Vlnová délka spektrální čáry ve vakuu λ = 656,4 nm. Určete a) Frekvenci f příslušného zdroje světla. b) Odpovídající vlnovou délku λv ve vodě, je-li index lomu vody nv = 1,33. c) Rychlost světla vv ve vodě. [ a) f = 4,57.1014 Hz b) λv = 493,5 nm c) vv = 2,26.108 m s-1 ]

7.2 Optická mřížka 7/5 Na optickou mřížku dopadá kolmo monochromatické světlo o vlnové délce λ = 589 nm. Mřížková konstanta d = 17 μm. Na stínítku, které je od mřížky vzdálené L = 0,8 m, je rozložení intenzity světla odpovídající interferenci a ohybu světla. Určete a) Úhel α1 vzhledem k vodorovnému směru, pod kterým je vidět maximum 1. řádu. b) Vzdálenost maxima y2 2. řádu od maxima 0. řádu pozorovaného na stínítku. c) Maximálně možný řád kmax maxima intenzity pozorovatelný na stínítku.

27


VŠCHT Praha 2009

Řešení: Mřížková rovnice pro maximum 1. řádu je ve tvaru d sinα1 = λ odtud sin α1 =

λ

=

d

589 ⋅ 10 −9 17 ⋅ 10 −6

α1 = 1,99 o b) Maximum 2. řádu je na stínítku ve vzdálenosti y 2 = L tgα 2 Úhel α2, pod kterým je vidět maximum 2. řádu, určíme z mřížkové rovnice 2λ 2 ⋅ 589 ⋅ 10 −9 = sin α 2 = d 17 ⋅ 10 −6

α 2 = 3,97 o y 2 = L tgα 2 = 0,8 ⋅ tg 3,97 o = 0,056 m c) Maximálně možný řád maxima intenzity určíme z mřížkové rovnice, dosadíme-li α = 90º d sin 90 o = k max λ k max =

d

λ

=

17.10 −6 589 ⋅ 10 −9

= 28

7/6 Na ohybovou mřížku dopadá kolmo světlo o vlnové délce λ = 589 nm. Úhel vzhledem k vodorovnému směru, pod kterým vidíme maximum intenzity 3. řádu α3 = 10º11´. Určete a) Mřížkovou konstantu d. b) Vzdálenost y1 maxima 1. řádu od maxima 0. řádu na stínítku, které je od mřížky vzdáleno L = 1 m. c) Maximální pozorovatelný řád kmax maxima. [a) d = 1.10-5 m b) y1 = 0,059 m c) kmax = 16] 7/7 Maximum 1. řádu pro monochromatické světlo o vlnové délce λ = 546,1 nm bylo pozorováno pod úhlem θ max,1 = 19º 10´ (obr.). Určete

[ a) d = 1,67.10-6 m

ymax,1

L

d

a) Mřížkovou konstantu d. b) Vzdálenost ymax1 maxima 1. řádu od maxima 0. řádu na stínítku vzdáleném L = 0,75 m od mřížky. c) Maximální pozorovatelný řád kmax maxima.

θmax,1

b) ymax1 = 0,26 m c) kmax = 3 ] Intenzita

28


VŠCHT Praha 2009

7.3 Ohyb na štěrbině 7/8 Na štěrbinu šířky a1 = 0,1 mm dopadá kolmo světlo o vlnové délce λ = 640 nm. Určete a) Úhel α1 vzhledem k vodorovnému směru, pod kterým vidíme minimum 1. řádu b) Vzdálenost y1 minima intenzity 1. řádu od hlavního maxima na stínítku ve vzdálenosti L = 0,8 m od štěrbiny. c) Vzdálenost y1′ minima intenzity 1. řádu od hlavního maxima na stínítku ve vzdálenosti L = 0,8 m od štěrbiny v případě, že zmenšíme šířku štěrbiny na a/ = 0,05 mm.

Řešení: a) Pro polohy minim intenzity k-tého řádu platí podmínka a sin α k = k λ k = 1,2, ….. Úhel α1 vzhledem k vodorovnému směru, pod kterým vidíme minimum 1. řádu, dostaneme ze vztahu λ 640 ⋅ 10 −9 sin α1 = = a 1 ⋅ 10 − 4

α1 = 0,37 o b) y1 = L tgα1 = 0,8 tg 0,37 o = 5.10 −3 m c) y1′ = L tgα1′ sin α1′ =

λ a′

=

640 ⋅ 10 −9 0,05 ⋅ 10 −3

α1′ = 0,73o y1′ = L tgα1′ = 0,8 tg 0,73o = 1,02 ⋅ 10 −2 m

8. Elektrostatické pole Probrané pojmy Elektrický náboj, Coulombův zákon, intenzita elektrostatického pole, princip superpozice, elektrostatické pole el. dipólu. Potenciál elektrostatického pole, napětí, potenciální energie. Pohyb nabité částice v homogenním elektrickém poli. Polarizace dielektrika, kondenzátor, kapacita kondenzátoru, řazení kondenzátorů, energie elektrostatického pole

29


VŠCHT Praha 2009

Příklady k semináři a samostudiu

8.1 Coulombův zákon 8/1 Dva stejné kladné bodové náboje Q jsou vzdálené od sebe r = 10 cm. Určete hodnotu náboje Q, odpuzují-li se náboje ve vakuu silou F = 4,9.10-6 N. [ Q = 2,3 . 10-9 C ] 8/2 Rádium se rozpadá na radon (protonové číslo 86) a vysílá přitom α částici. Určete a) Velikost F odpudivé síly mezi α částicí a radonovým jádrem ve vzdálenosti r = 5.10-13 m. b) Zrychlení a, kterého nabývá α částice v této vzdálenosti. [ a) F = 0,158 N b) a = 2,36.1025 m s-2 ]

8.2 Intenzita elektrostatického pole bodových nábojů 8/3 Vypočtěte intenzitu elektrostatického pole vytvořeného bodovými náboji Q1 = - 4.10-7 C a Q2 = 5.10-7 C v bodě, který je od prvého náboje vzdálen r1 = 0,4 m a od druhého náboje vzdálen r2 = 0,3 m. Vzájemná vzdálenost nábojů je r = 0,5 m. -

E2

r1

r2 E1

Q1

r

Q2

Řešení: Výslednou intenzitu elektrostatického pole dvou bodových nábojů stanovíme pomocí principu superpozice r r r E = E1 + E2 Velikost intenzity E1 vytvořené v daném bodě nábojem Q1 1 Q1 E1 = 4π ε 0 r12 Obdobně velikost intenzity E2 vytvořené v daném bodě nábojem Q2 1 Q2 E2 = 4π ε 0 r22 Oba vektory jsou v daném případě na sebe kolmé, protože strany r1 ,r2 a r tvoří pravoúhlý trojúhelník. Proto výsledná intenzita elektrostatického pole se určí pomocí Pythagorovy věty

30


E = E12 + E 22 =

1 4πε 0

(

Q1

Q2

r1

r22

)2 + ( 2

) 2 = 9.10 9 (

VŠCHT Praha 2009

4.10 −7 0,4

2

)2 + (

5.10 −7 0,3

2

) 2 = 54 829 N C-1

8/4 Elektrický dipól je tvořen dvěma náboji Q1 = -Q2 = 3,2.10-19 C. Náboje jsou ve vzájemné vzdálenosti l = 200 nm ve vakuu. Určete a) Velikost dipólového momentu p. b) Velikost intenzity elektrostatického pole E dipólu na spojnici obou nábojů uprostřed mezi nimi. c) Hodnotu náboje Q2´ tak, aby intenzita elektrostatického pole dipólu byla v uvedeném bodě nulová.

Řešení: a) Velikost dipólového momentu p = Ql = 3,2.10 −19.200.10 −9 = 640.10 −28 C m b) Velikost intenzity určíme pomocí principu superpozice. Směry vektorů intenzit vytvořených každým nábojem jsou na obrázku. Velikosti obou vektorů jsou stejné. Pro velikost výsledné intenzity proto platí E = E1 + E 2 = 2E1 E=2

Q1

l 4πε 0 ( ) 2 2

= 2.9.10 9.

3,2.10 −19 (100.10 −9 ) 2

E2 l

Q1

E1

Q2

-1 = 576.10 3 N C

c) Potřebná hodnota náboje Q2´ = Q1 Směry vektorů intenzity vytvořených každým nábojem jsou pak opačné, velikosti vektorů jsou stejné (viz obrázek. Výsledná intenzita má velikost rovnu nule. E2´

Q1

l

E1

8.5 Dva bodové náboje Q1 = 1 μC a Q2 = 5 μC jsou ve vakuu ve vzdálenosti l = 20 cm od sebe. Určete a) Velikost výsledné intenzity E ve středu úsečky spojující náboje. b) Nakreslete směr výsledné intenzity v tomto bodě. [ a) E = 3,6.106 N C-1

b) Vektor směřuje na spojnici nábojů k náboji Q1 ]

31

Q2´


VŠCHT Praha 2009

8.3 Práce, potenciál, napětí v elektrostatickém poli 8/6 Dva kladné bodové náboje Q1 = 8 μC a Q2 = 5 μC jsou ve vakuu od sebe vzdáleny l = 20 cm. Určete, ve kterém bodě na jejich spojnici jsou potenciály buzené oběma náboji stejné. [ v bodě vzdáleném 0,123 m od náboje Q1 ] 8/7 Ve dvou vrcholech rovnostranného trojúhelníka o straně a = 5 m jsou ve vakuu umístěné stejné náboje Q1 = Q2 = 2,5.10-8 C. Určete a) Potenciál VC ve třetím vrcholu trojúhelníka. b) Potenciál VD ve středu strany spojující vrcholy trojúhelníka obsazené náboji. c) Napětí mezi uvedenými body v úkolu a) a b).

Řešení: a) Potenciál V ve třetím vrcholu trojúhelníka vypočteme pomocí superpozice. Potenciál je skalární veličina, proto sčítáme podle vztahu VC = V1 + V2 Q Q1 Q 2,5.10 −8 + k 2 = 2k 1 = 2.9.10 9 = 90 V 5 a a a b) Potenciál VD určíme obdobně −8 Q1 Q2 Q1 9 2,5.10 VD = k +k = 4k = 4.9.10 = 180 V a a a 5 2 2 VC = k

c) Napětí mezi uvedenými body je dáno rozdílem potenciálů U DC = V D − VC = 90 V 8/8 Ve vrcholech čtverce o straně a = 10 cm jsou ve vakuu umístěny stejné náboje Q = 4 μC. Určete a) Intenzitu elektrostatického pole E ve středu čtverce. b) Potenciál elektrostatického pole V ve středu čtverce c) Potenciál elektrostatického pole V / ve středu čtverce, změní-li se náboje ve vrcholech čtverce tak, že dva z nich změní znaménko na záporné. [ a) E = 0 V m-1 b) V = 2,04 MV c) V / = 0 V ] 8/9 V elektrostatickém poli je potenciál v bodě A VA = 1200 V a v bodě B VB = 300 V. Určete a) Napětí UAB b) Práci WAB, kterou vykonají síly elektrostatického pole při přemístění náboje Q = 3.10-8 C z bodu A do bodu B [ a) UAB = 900 V b) WAB = 27.10-6 J ] B

8/10 V homogenním elektrostatickém poli mezi dvěma velkými opačně nabitými deskami je intenzita pole o velikosti E = 2 kV cm-1. Desky jsou vzdálené od sebe d = 10 cm. Určete a) Napětí U mezi deskami b) Velikost síly F, kterou působí pole na náboj Q = 8 μC vložený mezi desky. [ a) U = 20 kV b) F = 1,6 N ]

32


VŠCHT Praha 2009

8/11 Mezi dvěma opačně nabitými horizontálními deskami je v rovnováze nabitá kapka hmotnosti m = 0,1 g, která má náboj Q = 3 nC. Desky jsou ve vzdálenosti d = 10 cm od sebe. Určete a) Intenzitu E homogenního elektrického pole mezi deskami. b) Napětí U mezi elektrodami. c) Polaritu horní nabité desky. [ a) U = 32,7 kV b) E = 327 kV m-1 c) záporná ]

8.4 Kondenzátory, kapacita kondenzátoru, energie el. pole 8/12 Rovinný deskový kondenzátor se skleněným dielektrikem o tloušťce d = 1 mm má kapacitu C = 500 pF. Relativní permitivita skla je εr = 7. Určete a) Plošný obsah desek S kondenzátoru. b) Energii elektrostatického pole W mezi deskami, je-li mezi nimi napětí U = 50 V. c) Kapacitu C0 tohoto kondenzátoru, je-li dielektrikem vakuum.

Řešení: a) Kapacita deskového kondenzátoru je dána vztahem S C = ε 0ε r d Odtud S =C

d

ε 0ε r

b) W =

= 500.10 −12

10 −3 8,85.10

−12

⋅7

= 8,1.10 −3

m2

1 1 CU 2 = 500.10 −12.50 2 = 6,25.10 −7 J 2 2

c) C 0 =

C

εr

=

500 −12 10 = 71,4 pF 7

8/13 Deskový kondenzátor se slídovým dielektrikem má desky o plošném obsahu S = 100 cm2 ve vzdálenosti d = 5 mm. Kondenzátor je nabit nábojem Q = 3,2 μC. Relativní permitivita dielektrika εr = 6. Určete a) Kapacitu C kondenzátoru. b) Napětí U mezi deskami kondenzátoru. c) Energii W elektrostatického pole mezi deskami kondenzátoru [ a) C =106 pF

b) U = 30,1 kV

c) W = 0,048 J ]

8/14 Kondenzátory o kapacitách C1 = 5 μF a C2 = 10 μF jsou zapojeny do série a připojeny k napětí U = 200 V. Určete a) Výslednou kapacitu C sériového zapojení kondenzátorů. b) Napětí U1 a U2 na kondenzátorech. c) Energie W1 a W2 pole v kondenzátorech.

Řešení: a) Výsledná kapacita C

33


VŠCHT Praha 2009

C1C 2 50 = = 3,33 μF C1 + C 2 15 b) Při sériovém zapojení kondenzátorů je náboj na každém kondenzátoru stejný a je roven náboji na výsledné kapacitě zapojení Q = CU = Q1 = Q2 C=

Napětí na jednotlivých kondenzátorech Q1 CU 3,33.10 −6 ⋅ 200 = = = 133,3 V C1 C1 5.10 −6 U 2 = U − U1 = 200 − 133,3 = 66,7 V U1 =

c) Energie pole kondenzátorů 1 1 W1 = C1U 12 = 5.10 −6 ⋅ 133,3 2 = 0,044 J 2 2 1 1 W2 = C 2U 22 = 10.10 −6 ⋅ 66,7 2 = 0,022 J 2 2

8.5 Pohyb nabité částice v homogenním elektrickém poli 8/15 Elektron má počáteční rychlost v0 = 1 000 km s-1 ve směru siločar homogenního elektrického pole o intenzitě E = 0,1 kV m-1. Určete a) Velikost síly F, kterou působí elektrické pole na elektron. b) Vzdálenost d, kterou elektron proběhne, než se zastaví. c) Potenciální rozdíl U, kterým elektron proběhne.

Řešení: a) Síla, kterou působí elektrické pole na elektron F = eE = 1,6.10 −19 ⋅ 100 = 1,6.10 −17 N b) Elektron se pohybuje rovnoměrně zpomaleně, vzdálenost d snadnou určíme z věty o kinetické energii ΔE k = W W = eU = eEd 1 2 mv0 = eEd 2 odtud mv02 9,1.10 −31 ⋅ 1.1012 d= = 2,8 cm = 2e E 2 ⋅ 1,6.10 −19 ⋅ 100 c) Potenciální rozdíl v homogenním elektrickém poli U = E d = 100 ⋅ 0,028 = 2,8 V

34

r E r F

r v0


VŠCHT Praha 2009

9. Stejnosměrné proudy Probrané pojmy Elektrický proud, proudová hustota, Ohmův zákon v diferenciálním a v integrálním tvaru, elektrický odpor a jeho řazení. Teplotní závislost elektrického odporu kovů. Zdroj elektromotorického napětí, svorkové napětí, vnitřní odpor zdroje. Kirchhoffovy zákony, Jouleův zákon, výkon stejnosměrného proudu. Příklady k semináři a samostudiu

9.1 Ohmův zákon, elektrický odpor, teplotní závislost el. odporu 9/1 Vodič má délku l = 500 m a průřez S = 6 mm2. Při průchodu elektrického proudu I = 6 A naměříme napětí mezi konci vodiče U = 14 V. Určete a) Elektrický odpor R vodiče. b) Měrný elektrický odpor vodiče (rezistivitu) ρ. c) Velikost proudové hustoty J vodičem.

Řešení: U 14 a) R = = = 2,33 Ω I 6 b) Pro elektrický odpor vodiče platí l R=ρ S

ρ=

R S 2,33 ⋅ 6.10 −6 = = 2,8.10 −8 Ω m 500 l

c) Velikost proudové hustoty I 6 J = = = 1 A mm − 2 S 6 9/2 Vodič dlouhý l = 4 m o průměru d = 6 mm má elektrický odpor R = 15 mΩ. Mezi konci vodiče je elektrické napětí U = 23 V. Určete a) Elektrický proud I vodičem. b) Rezistivitu ρ vodiče. c) Velikost proudové hustoty J vodičem. [ a) I = 1,53 kA b) ρ = 10,6.10-8 Ω m c) J = 54,1 MA m-2 ] 9/3 Žárovka je připojena na stejnosměrné napětí U = 230 V a při teplotě vlákna θ1 = 20º C jí protéká elektrický proud I1 = 3 A. Určete a) Elektrický odpor R1 žárovky při teplotě θ1. b) Elektrický odpor žárovky R2 při teplotě θ2 = 2 500º C, je-li teplotní součinitel elektrického odporu vlákna žárovky α = 0,0041 K-1. c) Proud I2 žárovkou při teplotě θ2.

Řešení: U 230 = = 76,7 Ω I1 3 b) R2 = R1[1 + α (θ 2 − θ1 )] = 76,7[1 + 0,0041(2500 − 20)] = 857 Ω

a) R1 =

35

Hofmann J.: Sbírka příkladů ze Základů fyziky c)

I2 =

VŠCHT Praha 2009

U 230 = = 0,27 A R2 857

9/4 Elektrický odpor vlákna nerozsvícené žárovky je R1 = 60 Ω. Při svícení se elektrický odpor vlákna zvýšil na R2 = 636 Ω. Určete změnu teploty Δθ, je-li teplotní součinitel elektrického odporu vlákna α = 0,005 K-1. [Δθ = 1920º C] 9/5 K ideálnímu stejnosměrnému zdroji o svorkovém napětí U = 230 V je připojena kombinace tří rezistorů, každý o hodnotě elektrického odporu R = 50 Ω. Rezistory jsou zapojeny podle obrázku. Určete

a) Výslednou hodnotu elektrického odporu RV. b) Elektrický proud I, který teče výsledným elektrickým odporem RV. [ a) RV = 75 Ω b) I = 3,07 A ]

9.2 Elektromotorické napětí, jednoduchý stejnosměrný obvod 9/6 Galvanický článek (obr.) má elektromotorické napětí ε = 1,5 V. Vnitřní elektrický odpor článku je Ri = 1,2 Ω. Článek je zatížen spotřebičem o elektrickém odporu R = 3 Ω. Určete a) Elektrický proud I článkem. b) Svorkové napětí U galvanického článku. I

Řešení: a) Pro jednoduchý elektrický obvod platí ε = U + Ri I

Ri

U = RI

ε = RI + Ri I ε

R

ε

1,5 = = 0,36 A I= R + Ri 3 + 1,2

A

b) U = R I = 3 ⋅ 0,36 = 1,08 V 9/7 Teče-li akumulátorem elektrický proud I1 = 3 A, je jeho svorkové napětí U1 = 24 V. Tečeli akumulátorem elektrický proud I2 = 4 A, je jeho svorkové napětí U2 = 20 V. Určete a) Zatěžovací elektrické odpory R1 a R2 spotřebičů. b) Vnitřní elektrický odpor Ri akumulátoru. c) Elektromotorické napětí ε akumulátoru. [ a) R1 = 8 Ω a R2 = 5 Ω

b) Ri = 4 Ω

36

c) ε = 36 V ]


VŠCHT Praha 2009

9.3 Výkon stejnosměrného proudu. Jouleův zákon 9/8 Elektrický ohřívač vody za dobu t = 6 h ohřeje objem V = 516 l vody z teploty θ1 = 12 ºC na teplotu θ2 = 42 ºC. Tepelná účinnost ohřívače je η = 75%, měrná tepelná kapacita vody c = 4186 J kg-1 K-1, hustota vody ρ = 1 000 kg m-3 . Určete a) Množství tepla Q potřebné pro ohřátí vody. b) Výkon P elektrického ohřívače. c) Příkon Pp elektrického ohřívače.

Řešení: a) Množství tepla Q potřebné pro ohřátí vody je dáno vztahem Q = mc(θ 2 − θ1 ) = V ρ c(θ 2 − θ1 ) = 516.10 −3 ⋅ 1000 ⋅ 4186 ⋅ (42 − 12) = 64,8 MJ

b) Výkon P elektrického ohřívače Q 64,8.10 6 P= = = 3 kW t 6 ⋅ 3600 c) Příkon Pp elektrického ohřívače P 3.10 3 Pp = = = 4 kW 0,75 η 9/9 Na žárovce jsou údaje o napětí U = 230 V a příkonu P = 60 W. Určete z uvedených hodnot a) Elektrický proud I žárovkou. b) Elektrický odpor R žárovky. c) Odebranou energii W za dobu t = 3 h v joulech a kilowatthodinách. [ a) I = 0,26 A b) R = 882 Ω c) W = 0,18 kWh = 648 kJ ] 9/10 Elektrický stroj má výkon P = 3,8 kW a pracuje s účinností η = 75%. Určete a) Příkon Pp stroje. b) Spotřebu W elektrické energie za dobu t = 8 h. [ a) Pp = 5,07 kW b) W = 40,5 kWh = 146 MJ ]

10. Magnetické pole Probrané pojmy Zdroje magnetického pole, znázornění magnetického pole, vektor magnetické indukce. Silové účinky magnetického pole na proudovodič, proudovou smyčku a pohybující se nabitou částici. Biotův –Savartův zákon, magnetická indukce v okolí přímého dlouhého proudovodiče, síly mezi dvěma proudovodiči, definice ampéru. Magnetické pole v látkách. Příklady k semináři a samostudiu

37


VŠCHT Praha 2009

10.1 Silové účinky magnetického pole 10/1 Vodič délky l = 20 cm, kterým protéká proud I = 10 A je umístěn v homogenním magnetickém poli o indukci B = 15 mT. Určete a) Velikost síly magnetického pole F1, která působí na vodič, svírá-li vodič se směrem r vektoru magnetické indukce úhel α = 30º B (obr.) b) Směr vektoru síly magnetického pole, která působí na vodič. α I c) Velikost síly magnetického pole F2, která působí na vodič, svírá-li vodič se směrem vektoru magnetické indukce úhel α = 90º .

[ a) F1 = 0,015 N

b) za nákresnu

c) F2 = 0,03 N ]

10/2 Přímým vodičem délky l = 50 cm prochází elektrický proud I = 2 A. Vodič se nachází v homogenním magnetickém poli o magnetické indukci B = 0,1 T , které na něj působí silou o velikosti F = 0,05 N. Určete úhel α, který svírá vodič se směrem vektoru magnetické indukce. [α = 30º ] 10/3 Elektron vlétne do homogenního magnetického pole kolmo k indukčním čarám a koná zde pohyb po kružnici s dobou oběhu T = 10-8 s. Počáteční rychlost v získá elektron v elektrickém poli průchodem potenciálním rozdílem U = 3 000 V. Určete a) Velikost počáteční rychlosti v elektronu po urychlení v elektrickém poli. b) Velikost vektoru magnetické indukce B. c) Poloměr kružnice r, po které se pohybuje elektron v magnetickém poli.

Řešení: a) Elektron se urychlí v elektrickém poli (není na obr.) a vletí rychlostí v do magnetického pole. Rychlost po urychlení elektronu získáme z věty o kinetické energii

ΔE k = W

2QU = m

r v

r F

1 2 mv = QU 2 Odtud rychlost v=

r B

2.1,6.10 −19 ⋅ 3000 9,1.10

−31

= 3,25.10 7 m s-1

b) Po vlétnutí do magnetického pole kolmo k indukčním čarám se elektron pohybuje po kružnici, síla magnetického pole je dostředivou silou. Velikost rychlosti se nemění, mění se pouze její směr. Píšeme pohybový zákon pro rovnoměrný pohyb po kružnici:

38


VŠCHT Praha 2009

v2 F = ma n = m r v2 QvB = m r mv B= Qr Rychlost v vyjádříme v závislosti na době oběhu T 2π v= r T Velikost magnetické indukce pak určíme ze vztahu mv m 2π 9,1.10 −31 2π B= = = −8 = 3,6.10 −3 T −19 Qr TQ 10 ⋅ 1,6.10

c) Poloměr kružnice vyjádříme např. pomocí doby oběhu T a rychlosti v vT 3,25.10 7 ⋅ 10 −8 = = 5,2.10 − 2 m r= 2π 2π

10/4 Trajektorií svazku elektronů v homogenním magnetickém poli o indukci B = 0,007 T je kružnice o poloměru r = 3 cm. Určete a) Rychlost v elektronu. b) Směr síly, kterou působí magnetické pole na elektron. r v 7 -1 [ a) v = 3,7.10 m s b) např. v tomto obrázku působí síla r B směrem před nákresnu ] 10/5 Proton byl urychlen v elektrickém poli průchodem potenciálním rozdílem U = 600 V a vletí získanou rychlostí v do homogenního magnetického pole o indukci B = 0,33 T kolmo k indukčním čarám. Hmotnost protonu 1,67.10-27 kg. Určete a) Rychlost v, kterou získá proton po urychlení v elektrickém poli. b) Kinetickou energii protonu Ek odpovídající rychlosti v. c) Poloměr trajektorie r protonu v magnetickém poli. [ a) v = 3,4.105 m s-1

b) Ek = 9,6.10-17 J

c) r = 1,08.10-2 m ]

10.2 Magnetické pole přímého proudovodiče 10/6 Velmi dlouhým přímým vodičem prochází elektrický proud I = 20 A. Určete magnetickou indukci B ve vzdálenosti a = 2 cm od vodiče ve vakuu.

Řešení: Magnetická indukce B je pro takový vodič ve vakuu dána vztahem μ 4π .10 −7 B= 0 I = 20 = 2.10 − 4 T 2π a 2π ⋅ 0,02

39

I

a

r B


VŠCHT Praha 2009

Směr vektoru magnetické indukce určíme pravidlem pravé ruky- palec ukazuje směr proudu, r sevřené prsty směr magnetické indukce. Podle obr. míří vektor B za nákresnu. 10/7 Dvěma dlouhými přímými rovnoběžnými vodiči procházejí ve vakuu souhlasně proudy I1 = 3 A a I2 = 4 A. Vzdálenost vodičů je a = 5 cm. Určete a) Magnetickou indukci B1, kterou v místě vodiče s proudem I2 vytváří vodič protékaný proudem I1. F b) Sílu na jednotku délky vodiče 2 , kterou magnetické pole prvého vodiče působí na vodič l protékaný proudem I2. c) Označte, zda se vodiče přitahují nebo odpuzují B

Řešení:

a) Magnetická indukce B1 je vytvořena proudem I1 a ve vzdálenosti a od vodiče je dána vztahem B

B1 =

I1

4π .10−7 μ0 I1 = 3 = 1,2.10−5 T 2π a 2π ⋅ 0,05

I2

r F2

r B1

Směr určíme pravidlem pravé ruky, v našem případě má směr za nákresnu.

F2 , která působí na druhý vodič s l proudem I2, určíme ze vztahu b) Sílu

F2 = B1 I 2 = 1,2.10 −5 ⋅ 4 = 4,8.10 −5 N m −1 l c) Směr síly F2 a tedy charakter vzájemného silového působení vodičů určíme rovněž pravidlem pravé ruky podle vztahu r r r F2 = I 2 l × B1 r Palec pravé ruky míří ve směru proudu I2, ukazovák ve směru B1 a prostředník ukazuje směr r síly F2 . Vodiče protékané souhlasně proudem se tedy přitahují.

10/8 Dva přímé rovnoběžné vodiče jsou ve vakuu protékány souhlasně proudy I1 = I2 = 1 A. Vodiče jsou ve vzdálenosti a = 1 m. Určete a) Výslednou magnetickou indukci B uprostřed mezi vodiči. F b) Sílu vzájemného působení vodičů vztaženou na jednotku délky vodičů. l F [ a) B = 0 T b) = 2.10 −7 N m-1 ] l

40


VŠCHT Praha 2009

11. Elektromagnetické pole Probrané pojmy Magnetický indukční tok, elektromagnetická indukce, Faradayův zákon, Lenzovo pravidlo, vlastní a vzájemná indukčnost. Příklady k semináři a samostudiu

11.1 Elektromagnetická indukce 11/1 Kruhový závit o ploše S = 0,01 m2 je v čase t1 = 0 s umístěn v homogenním magnetickém poli kolmo ke směru vektoru magnetické indukce o velikosti B = 1 T. Určete a) Magnetický indukční tok Φ1 kruhovým závitem v čase t1 = 0 s. b) Střední hodnotu indukovaného napětí εi v závitu, víte-li, že magnetické pole po vypnutí budícího proudu zanikne za dobu t = 10 ms od okamžiku vypnutí. c) Zakreslete směr indukovaného proudu, který teče závitem.

Řešení: a) Magnetický indukční tok závitem, který je v poloze kolmé ke směru vektoru magnetické indukce (obr.) určíme ze vztahu:

Směr indukovaného proudu

r B

a) t1 = 0 s

b) t2 = 10 ms (mg. pole zaniklo, Φ2 = 0 Wb)

Φ1 = B S = 0,01 Wb b) Indukované napětí vzniká v důsledku časové změny magnetického indukčního toku. Střední hodnota tohoto napětí je dána vztahem Φ − Φ1 0 − BS BS ΔΦ εi = − =− = = 1V =− 2 t t Δt t 2 − t1 c) Směr indukovaného proudu určíme podle Lenzova pravidla. Proud působí proti změně, která vznik proudu vyvolala. V tomto případě vznik indukovaného proudu závitem vyvolal pokles magnetického indukčního toku. Indukovaný proud se svými účinky snaží zachovat původní magnetický indukční tok. Proto teče takovým směrem, aby vyvolal magnetické pole směrem za nákresnu. Prsty pravé ruky ukazují směr indukovaného proudu, palec míří směrem za nákresnu. 11/2 V obvodu tvořeném vodivou smyčkou se za dobu t = 0,3 s zvětšil magnetický indukční tok o ΔΦ = 0,06 Wb. Určete střední hodnotu indukovaného napětí εi. [εi = 0,2 V]

41


VŠCHT Praha 2009

11.2 Vlastní indukčnost cívky 11/3 Elektrický proud cívkou s časem rovnoměrně roste tak, že za dobu Δt = 0,25 s se zvýší o Δi = 2 A. V důsledku této změny se za dobu Δt = 0,25 s naindukuje do cívky napětí ε i = 20

mV. Určete vlastní indukčnost L cívky. Řešení: Indukované napětí vzniká v cívce v důsledku časové změny magnetického indukčního toku cívkou. Magnetický indukční tok Φ je buzen elektrickým proudem tekoucím cívkou a platí Φ = Li Časová změna ΔΦ magnetického indukčního toku tady souvisí s časovou změnou elektrického proudu Δi ΔΦ = LΔi

Podle Faradayova zákona je indukované elektromotorické napětí dáno výrazem Δi ΔΦ = −L εi = − Δt Δt Jeho nezáporná hodnota je Δi ΔΦ =L εi = Δt Δt Odtud vlastní indukčnost cívky L Δt 0,25 L = εi = 20.10 −3 = 2,5 mH Δi 2 11/4 Za dobu Δt = 0,6 s se do cívky o vlastní indukčnosti L = 0,12 H naindukovalo napětí Δi ε i = 0,3 V. Určete odpovídající časovou změnu elektrického proudu cívkou. Δt Δi [ = 2,5 A s-1] Δt

12. Obvody střídavého proudu Probrané pojmy Okamžitá, střední a efektivní hodnota střídavých obvodových veličin. Impedance, induktance, kapacitance, Ohmův zákon pro střídavé proudy. Obvod RLC, rezonance. Činný, jalový a zdánlivý výkon střídavého proudu. Příklady k semináři a samostudiu

12.1 Okamžitá a efektivní hodnota střídavého proudu a napětí 12/1 Střídavé napětí sinusového průběhu má frekvenci f = 50 Hz a efektivní hodnotu U = 230 V. Určete: a) Maximální hodnotu napětí Um. b) Periodu T napěťového průběhu. c) Rovnici pro okamžité hodnoty napětí u(t)

42


VŠCHT Praha 2009

Řešení: a) Vztah mezi efektivní U a vrcholovou (maximální) Um hodnotou střídavého harmonického napětí je U m = 2U = 2 ⋅ 230 = 325 V

b) T =

1 1 = = 20 ms f 50

c) u (t ) = U m sin ω t = 325 sin 2π ⋅ 50 t 12/2 Střídavé napětí má průběh popsaný rovnicí u (t ) = 12 sin ω t při frekvenci f = 100 Hz. Určete: a) Úhlovou frekvenci ω. b) Efektivní hodnotu napětí U. c) Okamžitou hodnotu u v čase t = 5 ms. [ a) ω = 628 s-1 b) U = 8,5 V c) u = 0 V ]

12.2 Obvod RLC, rezonance 12/3 Rezistor o elektrickém odporu R = 50 Ω je zapojen do série s cívkou o vlastní indukčnosti L = 100 mH (odpor vinutí zanedbatelný) a kondenzátorem o kapacitě C = 1 μF. Obvod je připojen ke zdroji proměnné frekvence při napětí U = 12 V. Určete: a) Frekvenci fr zdroje, při které je obvod v rezonanci. b) Proud Ir, který teče obvodem ve stavu rezonance. c) Proud I, který teče obvodem při frekvenci zdroje f = 50 Hz.

Řešení: a) Schéma obvodu RLC je na obrázku. Podmínku rezonance v obvodu určíme z extrémní hodnoty impedance obvodu: L C R Pro fázory napětí platí vztah ) ) ) ) U = U R +U L +UC Napětí na odporu UR je ve fázi s proudem I, i napětí na vlastní indukčnosti UL předchází u proud o π/2, napětí na kapacitě UC se zpožďuje za proudem o π/2. Tuto skutečnost nejlépe znázorníme názorovým diagramem. ) Výsledné napětí U je na diagramu znázorněno velikostí fázoru U a platí U 2 = U R2 + (U L − U C ) 2 U UC

L

U

Napětí na odporu U R = RI Napětí na vlastní indukčnosti U L = X L I = ω LI Napětí na kapacitě 1 UC = XC I = I ωC X L = ω L je induktance cívky

ϕ UC

43

I

UR


VŠCHT Praha 2009

1 je kapacitance kondenzátoru ωC Po dosazení do vztahu pro celkové napětí obvodu dostaneme U 2 = R2 I 2 + ( X L − X C )2 I 2 Dále využijeme Ohmův zákon pro střídavý proud XC =

U = Z I , kde Z je impedance obvodu Potom po dosazení a odmocnění dostaneme

U = Z I = I R2 + ( X L − X C )2

Odtud impedance obvodu

1 2 ) ωC Impedance obvodu má minimální hodnotu ve stavu rezonance, je-li ω = ωr, pro které platí 1 ωr L − =0 ωr C Z = R 2 + ( X L − X C ) 2 = R 2 + (ω L −

ωr = fr =

1 LC 1

2π LC Odtud rezonanční frekvence fr 1 1 = = 503 Hz fr = 2π LC 2π 100 .10 −3 ⋅1.10 −6

b) Proud, který teče obvodem ve stavu rezonance, určíme z Ohmova zákona pro střídavý proud U U 12 Ir = = 0,24 A = = Zr R 50

Z r = R je impedance obvodu ve stavu rezonance. c) Proud, který teče obvodem při jiné frekvenci než rezonanční, bude nižší než v rezonanci. Vypočteme ho z Ohmova zákona pro střídavé obvody U U U U I= = = = Z 1 2 1 R 2 + ( X L − X C )2 ) R 2 + (2π f L − )2 R 2 + (ω L − ωC 2π f C 12 = 3,8 mA I= 1 50 2 + (2π ⋅ 50 ⋅ 100.10 −3 − )2 −6 2π ⋅ 50 ⋅ 1.10 12/4 Cívka má indukčnost L = 1 H, kondenzátor má kapacitu C = 1 μF. Určete induktanci cívky XL a kapacitanci kondenzátoru XC při frekvencích a) f1 = 50 Hz

44


VŠCHT Praha 2009

b) f2 = 5000 Hz [ a) XL = 314,16 Ω

XC = 3183 Ω

b) XL = 31 416 Ω

XC = 31, 83 Ω]

12/5 Střídavý obvod je tvořen rezistorem o odporu R = 40 Ω, který je zapojen v sérií s cívkou o vlastní indukčnosti L = 0,40 H (odpor vinutí zanedbatelný) a kondenzátorem o kapacitě C = 16 μF. Obvod je připojen ke zdroji o napětí U = 12 V a frekvenci f = 50 Hz. Určete a) Napětí na cívce UL a na kondenzátoru UC při frekvenci f = 50 Hz. b) Fázorový diagram. c) Fázové posunutí φ mezi napětím a proudem.

Řešení: a) Napětí na cívce o vlastní indukčnosti L a zanedbatelném odporu vinutí

UL = ωL I Proud I z Ohmova zákona

I=

U = Z

U R2 + ( X L − X C )2

U

=

R 2 + (ω L −

U

I=

1

2

40 + (2π ⋅ 50 ⋅ 0,4 −

2π ⋅ 50 ⋅ 16.10 −6

1 2 ) ωC

U

=

R 2 + (2π f L −

1 )2 2π f C

= 0,14 A )

2

U L = ω L I = 2π ⋅ 50 ⋅ 0,4 ⋅ 0,14 = 18 V Napětí na kondenzátoru UC 1 1 1 UC = I= I= 0,14 = 28 V ωC 2π f C 2π ⋅ 50 ⋅ 16.10 −6 b) Fázorový diagram obvodu Napětí na odporu UR je ve fázi s proudem, napětí na cívce UL předchází proud o π/2, napětí na kondenzátoru UC se za proudem zpožďuje o π/2. Napětí UC je zde větší než napětí UL, proto celkové napětí U se za proudem zpožďuje o úhel φ. Na obrázku jsou písmeny označeny velikosti fázorů napětí a proudu. c) Fázové posunutí φ určíme pomocí fázorového diagramu:

UL

φ

UC -UL UL

U

UC

45

UR

I


tgϕ =

UC −U L UR

VŠCHT Praha 2009

1 1 −ωL − 2π f L ωC 2πf C = = = 1,8 R R

ϕ = 61o Napětí se v tomto obvodu zpožďuje za proudem o fázové posunutí φ = 61º. 12/6 Střídavý obvod je tvořen sériovým zapojením cívky o odporu vinutí R = 1500 Ω a vlastní indukčnosti L = 5,5 H a kondenzátorem o kapacitě C. Obvod je napájen ze střídavého zdroje o napětí U = 10 V při frekvenci f = 50 Hz. Určete a) Kapacitu kondenzátoru C tak, aby při frekvenci f = 50 Hz byl obvod v rezonanci. b) Proud I, který teče obvodem ve stavu rezonance. c) Napětí na kondenzátoru UC ve stavu rezonance. [ a) C = 1,8 μF b) I = 6,7 mA c) UC = 11,8 V ]

12.3 Výkon střídavého proudu 12/7 Po zapojení spotřebiče na střídavé napětí U = 230 V odebírá spotřebič proud I = 6 A při účiníku cos φ = 0,75. Určete a) Činný příkon P spotřebiče. b) Jalový příkon Pj spotřebiče. c) Energii W odebranou spotřebičem za dobu t = 2 h.

Řešení: a) Ve střídavých obvodech se vzhledem k možnému fázovému posunutí mezi napětím a proudem zavádí činný, jalový a zdánlivý výkon (příkon). Činný příkon P souvisí s odebíranou elektrickou energií spotřebičem, kterou lze přeměnit na jiné formy energie. Je definován vztahem P = U I cosϕ = 230.6.0,75 = 1035 W

b) Jalový příkon Pj je definován Pj = U I sinϕ = 230.6. 1 − 0,75 2 = 913 var

c) W = Pt = 1035 ⋅ 2 = 2,07 kWh

12/8 Elektrický motor při napětí U = 230 V a proudu I = 2,8 A odebral z elektrické sítě za dobu t = 1,5 h energii W = 0,75 kWh. Určete a) Činný příkon P spotřebiče. b) Účiník cos φ. c) Jalový příkon Pj spotřebiče. [ a) P = 500 W b) cos φ = 0,78 c) Pj = 403 var ]

46


VŠCHT Praha 2009

13. Fotoelektrický jev a rentgenové záření Probrané pojmy Foton, energie fotonu, fotoelektrický jev, výstupní práce, rentgenové záření Příklady k semináři a samostudiu

13.1 Fotony 13/1 Foton má energii E = 100 MeV. Určete a) Energii fotonu E v joulech. b) Příslušný kmitočet f. c) Vlnovou délku λ ve vakuu.

Řešení: a) 1 eV = 1,6.10-19 J , e – elementární náboj E = 100 MeV = 100.106 eV = 100.106.1,6.10-19 J = 1,6.10-11 J

b) Energie fotonu E = hf , h = 6,63.10-34 J s je Planckova konstanta 1,6.10 −11 E = 2,4.10 22 Hz f = = − 34 h 6,63.10 c) Vlnová délka ve vakuu c 3.108 λ= = = 1,25.10 −14 m 22 f 2,4.10 c je rychlost světla ve vakuu 13/2 Vypočtěte energii E fotonu o vlnové délce λ = 700 nm ve vakuu. [ E = 2,8.10-19 J ]

13.2. Fotoelektrický jev 13/3 Při osvětlení povrchu platiny ve vakuu zářením o vlnové délce λ = 150 nm získaly elektrony maximální rychlost v = 827 km s-1. Určete a) Výstupní práci W elektronu v platině. b) Brzdné napětí U, potřebné pro zastavení elektronu o udané rychlosti. c) Mezní vlnovou délku λm záření.

Řešení: a) Bilance energií při fotoelektrického jevu h

c

λ

=W +

1 mv 2 2

Odtud výstupní práce elektronu

47


VŠCHT Praha 2009

8 1 2 1 −34 3.10 W = h − mv = 6,63.10 − 9,1.10 −31 ⋅ (827.10 3 ) 2 = 1,01.10 −18 J 9 − λ 2 2 150.10 0

c

b) Brzdné napětí vypočteme ze vztahu pro energie 1 eU = m v 2 2 U =

m v 2 9,1.10 −31 ⋅ (827 .10 3 ) 2 = 1,94 V = 2e 2 ⋅ 1,6.10 −19

c) Mezní vlnová délka záření souvisí s energií potřebnou pouze na uvolnění elektronu z povrchu platiny h

c

=W

λm

λm =

hc 6,63.10 −34 ⋅ 3.10 8 = = 197 nm W 1,01.10 −18

13/4 Určete mezní vlnovou délku λm záření pro vyvolání fotoelektrického jevu u stříbra, je-li výstupní práce elektronu W = 4,74 eV. [ λm = 262 nm ] 13/5 Mezní vlnová délka pro fotoelektrický jev u wolframu je λm = 230 nm. Určete a) Energii E fotonu, která odpovídá mezní vlnové délce. b) Výstupní práci W elektronu. c) Vlnovou délku záření λ, které uvolní elektrony s kinetickou energií Ek = 1,5 eV [ a) E = 8,65.10-19 J b) W = E c) λ = 180 nm ]

13.3 Rentgenové záření 13/6 Rentgenová lampa produkuje paprsky s vlnovou délkou ve vakuu λ = 0,01 nm. Určete a) Energii E fotonu. b) Použité urychlovací napětí U.

Řešení: a) Energie fotonu c E = h = 6,63.10 −34

λ

3.108 0,01.10

−9

= 1,99.10 −14 J

b) Urychlovací napětí získáme z rovnice pro ideální přeměnu energií eU = E U=

E 1,99.10 −14 = = 124 kV e 1,6.10 −19

48


VŠCHT Praha 2009

Některé fyzikální konstanty Konstanta

Značka

Název jednotky

Hodnota

elementární náboj

e

coulomb

e = 1,602 ⋅ 10 −19 C

permitivita vakua

ε0

farad na metr

ε 0 = 8,854 ⋅ 10 −12 F m-1

permeabilita vakua rychlost šíření elektromagnetického vlnění ve vakuu

μ0

henry na metr

μ 0 = 4 π ⋅ 10 −7 H m-1

c

metr za sekundu

c = 2,999 ⋅ 10 8 m s-1

Stefanova-Boltzmannova konstanta

σ

Boltzmannova konstanta

k

watt na čtverečný metr a kelvin na čtvrtou joule na kelvin

Planckova konstanta

h

joulesekunda

redukovaná Planckova konstanta

h

joulesekunda

Rydbergova konstanta klidová hmotnost elektronu klidová hmotnost protonu klidová hmotnost neutronu atomová hmotnostní jednotka Bohrův poloměr Avogadrova konstanta

RH

Molární plynová konstanta

R

me mp mn u a0 NA

reciproký metr kilogram kilogram kilogram kilogram metr reciproký mol Joule na mol a kelvin

σ = 5,670 ⋅ 10 −8 W m-2 K-4 k = 1,381 ⋅ 10 −23 J K-1

h = 6,626 ⋅ 10 −34 J s h = 1,055 ⋅ 10 −34 J s h= 2π RH = 1,097 ⋅ 10 7 m-1 me = 9,110 ⋅ 10 −31 kg mp = 1,673 ⋅ 10 −27 kg mn = 1,675 ⋅ 10 −27 kg u = 1,661 ⋅ 10 −27 kg a0 = 5,292 ⋅ 10 −11 m NA = 6,022 . 1023 mol-1 R = 8,314· J mol-1 K-1

Literatura 1. 2. 3. 4.

Hofmann J., Urbanová M.: Fyzika I. VŠCHT Praha, 2003 Urbanová M., Hofmann J.: Fyzika II. VŠCHT Praha, 2000 Hofmann J., Šobra K.: Sbírka příkladů z fyziky. VŠCHT Praha, 1998 Halliday D., Resnick R., Walker J.: Fyzika. VUT v Brně-Nakladatelství VUTIUM a PROMETHEUS Praha, 2000. 5. Lepil O. a kol.: Sbírka úloh pro střední školy. Prometheus, 1995 6. Hofmann J., Urbanová M.: Fyzika I. Verze 1.0. Vysoká škola chemicko-technologická v Praze, Praha 2005.

49


VŠCHT Praha 2009

Obsah 1. Kinematika hmotného bodu ................................................................................................... 2 1.1 Přímočarý rovnoměrně zrychlený pohyb ......................................................................... 2 2. Dynamika hmotného bodu ..................................................................................................... 3 2.1 Pohyb v homogenním tíhovém poli ................................................................................. 3 2.2 Pohyb po vodorovné rovině ............................................................................................. 5 2.3 Pohyb po nakloněné rovině .............................................................................................. 6 2.4 Rovnoměrný pohyb po kružnici....................................................................................... 7 2.5 Práce a výkon ................................................................................................................... 9 2.6 Kinetická energie, věta o kinetické energii .................................................................... 10 2.7 Potenciální energie, mechanická energie, zákon zachování mechanické energie.......... 11 3. Mechanika tuhého tělesa ...................................................................................................... 12 3.1 Úhlová rychlost, úhlové zrychlení ................................................................................. 12 3.2 Moment setrvačnosti ...................................................................................................... 13 3.3 Moment síly, rovinná rotace tuhého tělesa..................................................................... 15 3.4 Práce, výkon při rotaci tuhého tělesa, věta o kinetické energii ...................................... 16 3.5 Valení těles po vodorovné a nakloněné rovině .............................................................. 17 4. Hydromechanika .................................................................................................................. 18 4.1 Archimedův zákon ......................................................................................................... 18 4.2 Hydrostatický tlak .......................................................................................................... 19 4.3 Proudění ideální kapaliny............................................................................................... 19 5. Kmity.................................................................................................................................... 21 5.1 Netlumené kmity harmonického oscilátoru ................................................................... 21 5.2 Skládání stejnosměrných kmitů o stejné frekvenci ........................................................ 23 6. Vlnění ................................................................................................................................... 24 6.1 Popis vlnění, rychlost šíření vlnění ................................................................................ 24 6.2 Interference vlnění.......................................................................................................... 25 7. Vlnová optika ....................................................................................................................... 25 7.1 Zákon lomu světla, disperze světla ................................................................................ 26 7.2 Optická mřížka ............................................................................................................... 27 7.3 Ohyb na štěrbině............................................................................................................. 29 8. Elektrostatické pole .............................................................................................................. 29 8.1 Coulombův zákon .......................................................................................................... 30 8.2 Intenzita elektrostatického pole bodových nábojů ......................................................... 30 8.3 Práce, potenciál, napětí v elektrostatickém poli............................................................. 32 8.4 Kondenzátory, kapacita kondenzátoru, energie el. pole................................................. 33 8.5 Pohyb nabité částice v homogenním elektrickém poli................................................... 34 9. Stejnosměrné proudy............................................................................................................ 35 9.1 Ohmův zákon, elektrický odpor, teplotní závislost el. odporu....................................... 35 9.2 Elektromotorické napětí, jednoduchý stejnosměrný obvod ........................................... 36 9.3 Výkon stejnosměrného proudu. Jouleův zákon.............................................................. 37 10. Magnetické pole ................................................................................................................. 37 10.1 Silové účinky magnetického pole ................................................................................ 38 10.2 Magnetické pole přímého proudovodiče...................................................................... 39 11. Elektromagnetické pole...................................................................................................... 41 11.1 Elektromagnetická indukce .......................................................................................... 41 50


VŠCHT Praha 2009

11.2 Vlastní indukčnost cívky.............................................................................................. 42 12. Obvody střídavého proudu ................................................................................................. 42 12.1 Okamžitá a efektivní hodnota střídavého proudu a napětí........................................... 42 12.2 Obvod RLC, rezonance ................................................................................................ 43 12.3 Výkon střídavého proudu ............................................................................................. 46 13. Fotoelektrický jev a rentgenové záření .............................................................................. 47 13.1 Fotony........................................................................................................................... 47 13.2. Fotoelektrický jev........................................................................................................ 47 13.3 Rentgenové záření ........................................................................................................ 48 Literatura .................................................................................................................................. 49

51

SBÍRKA PŘÍKLADŮ ZE ZÁKLADŮ FYZIKY

Recommend Documents