door: Bart Van den Bergh
Inhoud 1. Inleiding .............................................................................................5 1.1. Wat is GeoGebra? .......................................................................................... 5 1.2. Downloaden en installatie ............................................................................. 5
2. Basiscursus.......................................................................................7 2.1. Aan de slag ..................................................................................................... 7 2.1.1 Openen van het programma.................................................................................. 7 2.1.2 Lay-out .................................................................................................................. 7 2.1.3 Menu ‘Bestand’...................................................................................................... 8
2.2. Werkbalk ......................................................................................................... 9 2.2.1 Werking ................................................................................................................. 9 2.2.2 Overzicht van de functies per knop.......................................................................10
2.3. Beeld aanpassen .......................................................................................... 11 2.3.1 Tekenvenster........................................................................................................11 2.3.1.1. Assen .......................................................................................................................... 11 2.3.1.2. Rooster........................................................................................................................ 11
2.3.2 Algebravenster .....................................................................................................11 2.3.3 Andere opties .......................................................................................................13 2.3.3.1. Lettergrootte................................................................................................................ 13 2.3.3.2. Taal ............................................................................................................................. 13 2.3.3.3. Instellingen .................................................................................................................. 13
2.4. Punten en lijnen............................................................................................ 14 2.4.1 Willekeurige punten ..............................................................................................14 2.4.1.1. Plaatsen ...................................................................................................................... 14 2.4.1.2. Naam wijzigen............................................................................................................. 14 2.4.1.3. Verplaatsen / selecteren ............................................................................................. 15 2.4.1.4. Tonen en verbergen van object / label........................................................................ 15 2.4.1.5. Verwijderen ................................................................................................................. 15 2.4.1.6. Puntstijl........................................................................................................................ 16 2.4.1.7. Opmaak....................................................................................................................... 16 2.4.1.8. Bewerken .................................................................................................................... 17
2.4.2 Lijnen ...................................................................................................................18 2.4.2.1. Rechte ......................................................................................................................... 18 2.4.2.2. Halfrechte .................................................................................................................... 18 2.4.2.3. Lijnstuk ........................................................................................................................ 18 2.4.2.4. Afstand / lengte ........................................................................................................... 19
2.4.3 Speciale punten....................................................................................................19 2.4.3.1. Snijpunt van 2 objecten............................................................................................... 19 2.4.3.2. Midden of middelpunt.................................................................................................. 20
2.4.4 Constructies .........................................................................................................20 Cursus GeoGebra
1
2.4.4.1. Loodlijn ........................................................................................................................ 20 2.4.4.2. Middelloodlijn .............................................................................................................. 20 2.4.4.3. Evenwijdige rechte ...................................................................................................... 21 2.4.4.4. Relatie tussen 2 objecten............................................................................................ 21
2.4.5 Veelhoeken ..........................................................................................................21 2.4.5.1. Willekeurige veelhoek ................................................................................................. 21 2.4.5.2. Regelmatige veelhoek................................................................................................. 22 2.4.5.3. Oppervlakte................................................................................................................. 22
2.5. Krommen....................................................................................................... 23 2.5.1 Cirkel....................................................................................................................23 2.5.1.1. Cirkel ........................................................................................................................... 23 2.5.1.2. Raaklijn ....................................................................................................................... 24
2.5.2 Cirkelboog ............................................................................................................24 2.5.2.1. Halfcirkel ..................................................................................................................... 24 2.5.2.2. Willekeurige cirkelboog ............................................................................................... 24
2.5.3 Cirkelsector ..........................................................................................................25
2.6. Hoeken .......................................................................................................... 26 2.6.1 Hoek meten..........................................................................................................26 2.6.2 Hoek tekenen .......................................................................................................27 2.6.3 Bissectrice of deellijn ............................................................................................27 2.6.4 Helling ..................................................................................................................28
2.7. Transformaties ............................................................................................. 28 2.7.1 Spiegeling ............................................................................................................28 2.7.1.1. Lijnspiegeling .............................................................................................................. 28 2.7.1.2. Puntspiegeling............................................................................................................. 29
2.7.2 Draaiing................................................................................................................29 2.7.3 Verschuiving.........................................................................................................30 2.7.3.1. Vector / georiënteerd lijnstuk ...................................................................................... 30 2.7.3.2. Verschuiving volgens georiënteerd lijnstuk................................................................. 30
2.7.4 Homothetie...........................................................................................................31
2.8. Constructieoverzicht.................................................................................... 31 2.9. Macro’s.......................................................................................................... 33 2.9.1 Constructie maken ...............................................................................................33 2.9.2 Nieuwe macro aanmaken.....................................................................................33 2.9.3 Macro toepassen..................................................................................................34 2.9.4 Macro’s beheren...................................................................................................34
2.10. Invoerveld ................................................................................................... 35 2.11. Functies....................................................................................................... 37 2.11.1 Tekenvenster aanpassen ...................................................................................37 2.11.1.1. Assen ........................................................................................................................ 37 2.11.1.2. Rooster...................................................................................................................... 39
2.11.2 Objecten in een assenstelsel..............................................................................40 2.11.3 Grafische voorstelling van een functie ................................................................41 2
Bart Van den Bergh
2.11.3.1. Ingeven functievoorschrift ......................................................................................... 41 2.11.3.2. Meerdere functies op één assenstelsel .................................................................... 42 2.11.3.3. Snijpunt(en) van functies .......................................................................................... 43 2.11.3.4. Venster verplaatsen .................................................................................................. 44 2.11.3.5. In- en uitzoomen ....................................................................................................... 45
2.11.4 Vergelijking met één onbekende oplossen .........................................................46
2.12. Extra’s ......................................................................................................... 47 2.12.1 Rekenmachine ...................................................................................................47 2.12.2 Tekst invoegen ...................................................................................................47 2.12.3 Afbeelding invoegen ...........................................................................................48 2.12.4 Dynamisch werkblad maken...............................................................................48 2.12.4.1. Schuifknop ................................................................................................................ 48 2.12.4.2. Aanvinkvakje ............................................................................................................. 51 2.12.4.3. Voorwaardelijke weergave van een object ............................................................... 52 2.12.4.4. Eindresultaat ............................................................................................................. 53
2.12.5 Werkbalk aanpassen ..........................................................................................54 2.12.6 Help....................................................................................................................55
Cursus GeoGebra
3
4
Bart Van den Bergh
1. Inleiding 1.1. Wat is GeoGebra? GeoGebra is een handig computerprogramma waarmee je heel snel en nauwkeurig wiskundige tekeningen kan maken. Bovendien heeft GeoGebra een dynamisch karakter waardoor je heel eenvoudig objecten kan verslepen en zo telkens heel veel voorbeelden hebt in één constructie. Deze kwaliteit zal in de loop van cursus meermaals van pas komen. Een groot voordeel van GeoGebra t.o.v. Cabri - een ander gelijkaardig programma - is dat GeoGebra gratis te downloaden is op www.geogebra.org waardoor je ook thuis kan genieten van een volledige versie van dit schitterende programma.
1.2. Downloaden en installatie Je surft naar www.geogebra.org. Je klikt nu links op ‘Download’ (1) en vervolgens klik je op ‘Download GeoGebra’ (2).
1
2
Cursus GeoGebra
5
Afhankelijk van je besturingssysteem kies je het juiste bestand om te downloaden.
Wanneer het bestand dan naar je computer is gedownload, open je het bestand. De installatie begint. Je selecteert eerst de taal. (Nederlands)
Na het selecteren van de taal volg je de Nederlandstalige - deze taal heb je net geselecteerd - instructies tot de installatie voltooid is.
Na de installatie is het toch nog mogelijk dat het programma nog niet werkt. Je hebt namelijk nog een ander programma nodig: Java. Dit kan je gratis downloaden op www.java.com. Meestal heb je dit programma al wel op je computer staan aangezien het vaak al standaard met Windows wordt geïnstalleerd. Java wordt dan ook gebruikt om heel wat websites te kunnen weergeven, dus je kan het programma bijna niet missen op je computer.
6
Bart Van den Bergh
2. Basiscursus 2.1. Aan de slag 2.1.1 Openen van het programma Om het programma op te starten dubbelklik je op het icoontje van ‘GeoGebra’ op het bureaublad van je computer.
Er wordt automatisch een nieuw en leeg bestand voor je geopend. Je kan nu aan de slag gaan met het fantastische GeoGebra.
2.1.2 Lay-out Titelbalk Menubalk Werkbalk
Algebravenster Tekenvenster Invoerveld
Cursus GeoGebra
7
2.1.3 Menu ‘Bestand’ Dit is een standaardmenu dat je ook terugvindt in programma’s zoals ‘Word’, ‘Excel’,... In GeoGebra ga je op bijna exact dezelfde manier om met dit menu: Keuze in menu
Actie
Nieuw
Nieuw bestand openen in hetzelfde venster
Nieuw venster ...
Nieuw bestand openen in een nieuw venster waarbij het oude geopend blijft in het oude venster
Openen
Bestaand bestand openen
Opslaan
Bestand opslaan
Opslaan als ...
Bestand opslaan onder een andere naam
Afdrukvoorbeeld
Afdrukvoorbeeld van het tekenvenster of van de constructiestappen → Om af te drukken klik je hier op de knop ‘Afdrukken’
8
Exporteren
Exporteren als webpagina/afbeelding of het tekenvenster kopiëren
Sluiten
Huidige bestand sluiten zonder GeoGebra volledig te sluiten
Bart Van den Bergh
2.2. Werkbalk 2.2.1 Werking In deze cursus wordt regelmatig gesproken van ‘Knop ...’ in de werkbalk:
Knop 1
Knop 2 Knop 3
Knop 4
Knop 5
Knop 6
Knop 7
Knop 8
Knop 9
Knop 10
Deze knoppen gebruik je als volgt: Je moet bijvoorbeeld een cirkel tekenen met een bepaald middelpunt door een ander punt. - De functie ‘Cirkel met middelpunt door punt’ bevindt zich onder knop 5. Je klikt nu op het omgekeerde driehoekje links onderaan knop 5. Je krijgt het volgende te zien:
- Je klikt op de functie die je nodig hebt: ‘Cirkel met middelpunt door punt’. - Je zal zien dat de afbeelding die hoort bij deze functie op knop 5 komt te staan. (in dit geval: een cirkel) Wanneer je deze functie nu gaat gebruiken klik je eerst op knop 5 (de knop krijgt een donkerblauwe rand) en vervolgens kan je de cirkel tekenen. Rechts van de knoppen wordt nu uitgelegd hoe je een lijnstuk moet tekenen: Naam van de functie Korte uitleg over de werking van de functie
Je zal dus eerst op het middelpunt van de cirkel en dan op een willekeurig punt van de cirkel moeten klikken. Dit wordt verder in de cursus gedetailleerder uitgelegd.
Cursus GeoGebra
9
Hoe je de functies precies gaat toepassen in het tekenvenster kom je in de rest van de cursus te weten, maar je moet dus steeds eerst de juiste functie selecteren in de werkbalk. De geselecteerde functie wordt telkens aangeduid met een blauwe rand in de werkbalk. Rechts van de knoppen wordt de werking van de geselecteerde functie kort uitgelegd.
2.2.2 Overzicht van de functies per knop Knop 1:
Knop 2:
Knop 3:
Slepen
Punten
Lijnen
- Verplaatsen - Roteren
- Nieuw punt - Snijpunt(en) van 2 objecten - Midden of middelpunt
- Rechte door 2 punten - Lijnstuk tussen 2 punten - Lijnstuk met beginpunt en gegeven lengte - Halfrechte door 2 punten - Vector tussen 2 punten - Vector met beginpunt - Veelhoek - Regelmatige veelhoek
Knop 4:
Knop 5:
Knop 6:
Constructies
Krommen
Hoeken, afstanden,...
- Loodlijn - Evenwijdige rechte - Middelloodlijn - Bissectrices - Raaklijnen - Poollijn of middellijn
- Cirkel met middelpunt door punt - Cirkel met middelpunt en straal - Cirkel door 3 punten - Halfcirkel door 2 punten - Cirkelboog met middelpunt door 2 punten - Cirkelboog door 3 punten - Cirkelsector met middelpunt door 2 punten - Cirkelsector door 3 punten - Kegelsnede door 5 punten
- Hoek - Hoek met gegeven grootte - Afstand of lengte - Oppervlakte - Helling - Schuifknop - Aanvinkvakje om objecten te tonen of verbergen - Meetkundige plaats
Knop 7:
Knop 8:
Knop 9:
Transformaties
Extra’s
Lay-out
- Puntspiegeling - Lijnspiegeling - Rotatie met centrum over bepaalde hoek - Verschuiving volgens vector - Homothetie
- ABC Tekst invoegen - Afbeelding invoegen - Relatie tussen 2 objecten
- Verplaats tekenvenster - Inzoomen - Uitzoomen - Toon / Verberg object - Toon / Verberg label - Stijl kopiëren - Object verwijderen
Knop 10: Macro’s Deze knop bevat een lijst met de verschillende macro’s die je hebt aangemaakt.
10
Bart Van den Bergh
2.3. Beeld aanpassen 2.3.1 Tekenvenster 2.3.1.1. Assen Wanneer je de assen niet nodig hebt, ga je deze verbergen. Menubalk → Beeld → Assen
Bij o.a. het werken met functies zal je de assen wel nodig hebben. Dit wordt verder in de cursus uitgebreider besproken. 2.3.1.2. Rooster Net zoals bij de assen ga je het rooster verbergen wanneer je het niet nodig hebt. Menubalk → Beeld → Rooster
Het rooster heb je af en toe nodig o.a. bij het werken met functies. Verder in deze cursus staat hierover meer informatie.
2.3.2 Algebravenster Het algebravenster kan weergeven of verbergen wanneer je het wel of niet nodig hebt. Menubalk → Beeld → Algebravenster Het sluiten ervan gaat eveneens via het kruisje rechtsboven in het algebravenster. In het algebravenster wordt een overzicht gegeven van alle getekende objecten uit het tekenvenster. Er wordt een onderscheid gemaakt tussen 3 soorten objecten. De verschillen tussen deze 3 soorten objecten worden duidelijk aan de hand van het onderstaande voorbeeld: De punten A en B zijn eerst willekeurig getekend. Vervolgens is er gezocht naar een punt C dat even ver van A ligt dan van B. Hiervoor is er eerst het lijnstuk [AB] getekend. Vervolgens is er het midden van dit lijnstuk getekend dat dus even ver van A ligt dan van B.
Cursus GeoGebra
11
Aangezien A en B willekeurig ergens getekend zijn (en dus even goed ergens anders getekend zouden kunnen zijn) noemen we A en B ‘vrije objecten’. Het lijnstuk [AB] (a genoemd, lengte = 6,32) is afhankelijk van de ligging van A en B. Het punt C (midden van [AB]) is zo eveneens afhankelijk van de ligging van de punten A en B. Wanneer A of B namelijk ergens anders zouden liggen, zou het lijnstuk [AB] en dus ook het punt C ergens anders liggen. We noemen dit ‘afhankelijke objecten’. De laatste soort objecten - ‘Hulpobjecten’ - zijn objecten die enkel gebruikt worden om te helpen. We moesten het lijnstuk [AB] tekenen om C te kunnen tekenen, dus maken we van het lijnstuk een hulpobject. Dit doen we als volgt: RMK → Eigenschappen ... → Tabblad ‘Algebra’ → Hulpobject aanvinken Opmerking voor de hele cursus: RMK = Rechter MuisKnop
Wanneer er een heleboel objecten getekend staan in het tekenvenster en je wil het algebravenster overzichtelijk houden, is het enorm handig om van de objecten die enkel getekend worden om te helpen hulpobjecten te maken. Tot nu toe heeft het algebravenster altijd links van het tekenvenster gestaan. Wanneer je dit handiger vindt, kan je het ook onder het tekenvenster plaatsen. Menubalk → Beeld → Horizontaal splitsen
12
Bart Van den Bergh
Ten slotte kan je ook nog de grootte van het algebravenster aanpassen. Dit doe je door met de muis te slepen.
2.3.3 Andere opties 2.3.3.1. Lettergrootte Wanneer niet alles goed leesbaar is, kan je heel eenvoudig het lettertype in het volledige programma aanpassen. Het lettertype zal overal onmiddellijk aangepast worden. Menubalk → Opties → Lettergrootte 2.3.3.2. Taal Je kan eveneens de taal aanpassen. Wanneer bijvoorbeeld ‘Frans’ staat ingesteld, kan je dit terug veranderen naar ‘Nederlands’. Menubalk → Opties → Taal 2.3.3.3. Instellingen In het menu ‘Opties’ kan je allerlei dingen aanpassen. Om niet telkens opnieuw alles te moeten aanpassen, kan je de instellingen opslaan. Menubalk → Opties → Instellingen opslaan Het kan altijd gebeuren dat de vorige gebruiker van het programma allerlei instellingen heeft aangepast. Wanneer je terug wil gaan naar de standaardinstellingen, zonder hiervoor alles één voor één terug goed in te stellen, gaat dit in enkele klikken. Menubalk → Opties → Standaardinstellingen herstellen
Cursus GeoGebra
13
2.4. Punten en lijnen 2.4.1 Willekeurige punten 2.4.1.1. Plaatsen De meeste tekeningen start je met het plaatsen van één of meerdere punten. Je moet bijvoorbeeld een punt A tekenen. Werkbalk → Knop 2 → Nieuw punt Je klikt na het selecteren van de functie in de werkbalk in het tekenvenster op de plaats waar het punt A moet komen. Om het punt vervolgens een naam te geven, typ je onmiddellijk na het plaatsen van het punt de naam in van het punt. (zonder eerst ergens anders te klikken) Het volgende venster verschijnt.
Je kan nu de naam nog aanpassen wanneer je misschien per ongeluk B typte en daarna klik je op ‘OK’.
Opmerking: Eender welk object in GeoGebra (bv. een punt) benoem je door onmiddellijk na het tekenen ervan de naam op het toetsenbord in te typen.
2.4.1.2. Naam wijzigen Wat iedereen wel eens kan overkomen is dat je je vergist van naam voor een punt. Je wil het punt nu B noemen. Dit kan je heel eenvoudig oplossen door opnieuw het ‘Naam wijzigen’-venster te laten verschijnen. RMK → Naam wijzigen Je geeft het punt nu de naam B en klikt weer op ‘OK’.
14
Bart Van den Bergh
Opmerking: De naam van een bepaald object (bv. een punt) wordt in GeoGebra vaak een ‘Label’ genoemd. 2.4.1.3. Verplaatsen / selecteren Je wil het punt nu ook nog gaan verplaatsen. Werkbalk → Knop 1 → Verplaatsen Je klikt op het object dat je wil verplaatsen (in dit geval het punt B) en je versleept het dan naar een andere plaats. Tijdens het verplaatsen verandert de cursor in een handje.
Deze functie wordt gebruikt om alle objecten te verplaatsen en je gaat hierbij steeds op identieke wijze te werk. Bovendien kan je door het label te selecteren ook dit verplaatsen. Dit kan erg handig zijn wanneer er bijvoorbeeld een rechte is getekend door bijvoorbeeld het punt A en deze loopt dwars door het label. → Opmerking: Wanneer je een object wil selecteren doe je dit op de volgende manier. Werkbalk → Knop 1 → Verplaatsen → 1 keer klikken op object 2.4.1.4. Tonen en verbergen van object / label Je kan zowel het volledige object als enkel het label ervan tonen of verbergen. In het voorbeeld rechts van de tabel is het punt A weergegeven. RMK → ... Object tonen
+
Label tonen
+
Label verbergen
Object Verbergen
2.4.1.5. Verwijderen Je hebt het punt A getekend. Dit punt heb je echter niet meer nodig en je wil dit nu verwijderen. Er zijn hiervoor verschillende methodes. Je maakt zelf uit welke methode de eenvoudigste is. Methode 1: RMK → Verwijderen Methode 2: Object selecteren (Werkbalk → Knop 1 → Verplaatsen) → ‘Del’-toets Deze werkwijze geldt voor het verwijderen van alle soorten objecten in GeoGebra, waaronder dus ook punten. Cursus GeoGebra
15
Soms wil je ook meerdere objecten tegelijk verwijderen. Werkbalk → Knop 1 → Gebied selecteren (slepen) → ‘Del’-toets
2.4.1.6. Puntstijl Een punt wordt standaard weergegeven met een bolletje. Je wil nu elk punt weergeven met een X. Menubalk → Opties → Puntstijl → X
Na de aanpassing wordt elk punt met een kruis weergegeven. Zoals je kan zien heb je 3 mogelijkheden om punten weer te geven. 2.4.1.7. Opmaak Stel je hebt de volgende situatie: Een rechte door A en B en een rechte door C en D snijden elkaar in het punt S.
Om extra te benadrukken dat S het snijpunt is van de 2 rechten wil je het punt S in het rood zetten en iets groter weergeven. Methode 1: RMK → Eigenschappen ... Methode 2: Menubalk → Bewerken → Eigenschappen ...
16
Bart Van den Bergh
Het eigenschappenvenster van de objecten wordt geopend.
Links zie een lijst met de verschillende objecten in het tekenvenster waarbij het punt S is geselecteerd. Rechts zie je de eigenschappen van het punt S. Kleur aanpassen: Tabblad ‘Kleur’ → Klik op rood vierkantje Grootte aanpassen: Tabblad ‘Stijl’ → Verander de grootte van 3 naar bijvoorbeeld 5 Je klikt op sluiten en je krijgt het volgende resultaat.
2.4.1.8. Bewerken Stel nu dat je bijvoorbeeld een punt verplaatst hebt dat je niet wou verplaatsen. Je kan deze actie ongedaan maken op de volgende manier. Menubalk → Bewerken → Ongedaan maken Op deze manier kan je elke actie die niet de bedoeling was ongedaan maken. Het kan natuurlijk ook voorvallen dat je spijt krijgt van het ongedaan maken. Je wil het punt terug verplaatsen naar de plaats waar je het eerst had gezet. Menubalk → Bewerken → Opnieuw Het punt verplaatsen is niet langer ongedaan gemaakt en het punt staat nu opnieuw op de juiste plaats.
Cursus GeoGebra
17
2.4.2 Lijnen 2.4.2.1. Rechte Om een rechte te kunnen tekenen, heb je in GeoGebra 2 punten nodig. Wanneer de nodige punten nog niet getekend staan teken je deze eerst. Je benoemt deze gelijktijdig als bijvoorbeeld A en B. Vervolgens teken je de rechte door deze 2 punten. Werkbalk → Knop 3 → Rechte door 2 punten Je klikt één voor één op de 2 punten en de rechte wordt getekend. Net zoals halfrechten en lijnstukken benoem je een rechte door onmiddellijk na het tekenen de naam in te typen. Noem de rechte bijvoorbeeld a.
Je kan ook een rechte tekenen zonder dat je eerst al 2 punten hebt getekend. Werkbalk → Knop 3 → Rechte door 2 punten Je klikt op 2 plaatsen waar je een punt wil plaatsen en de rechte wordt getekend. Deze punten worden niet benoemd en kan je eventueel nadien nog benoemen. Na het plaatsen van het tweede punt benoem je wederom de rechte met een kleine letter. Hoe je de punten alsnog kan benoemen, staat eerder in deze cursus.
Je kan de rechte nog verplaatsen door de punten waar ze doorloopt te verslepen naar een ander plaats. Je kan ook gewoon de rechte zelf verslepen. 2.4.2.2. Halfrechte Je moet nu in plaats van de rechte door A en B, de halfrechte door A en B tekenen die gesloten is in A. Voor een halfrechte heb je eveneens steeds 2 punten nodig. Werkbalk → Knop 3 → Halfrechte door 2 punten Je klikt eerst op het punt A waar de halfrechte gesloten is en vervolgens op het punt B waar de halfrecht open is.
2.4.2.3. Lijnstuk Er zijn 2 punten A en B gegeven waartussen je een lijnstuk moet tekenen. Werkbalk → Knop 3 → Lijnstuk tussen 2 punten Je klikt achtereenvolgens op beide punten. Voor deze functie zijn steeds 2 punten nodig.
18
Bart Van den Bergh
Het kan ook gebeuren dat je maar één punt nodig hebt voor het tekenen van een lijnstuk. In dit geval is enkel het punt A gegeven en de lengte van het lijnstuk: 5. Werkbalk → Knop 3 → Lijnstuk met beginpunt en gegeven lengte Je klikt eerst op het beginpunt A en vervolgens geef je de afstand 5 in in het venster dat verschijnt. Je klikt op ‘OK’ en een lijnstuk met lengte 5 wordt horizontaal getekend. Het andere punt van het lijnstuk noem je nog B.
2.4.2.4. Afstand / lengte Je hebt net het lijnstuk [AB] getekend. Je wil controleren of de lengte van dit lijnstuk echt 5 is. Werkbalk → Knop 6 → Afstand of lengte Je klikt in dit geval gewoon op het lijnstuk en de afstand verschijnt. Wanneer er enkel de punten A en B gegeven waren, kon je achtereenvolgens op A en B klikken om de afstand tussen deze 2 punten te bepalen.
2.4.3 Speciale punten 2.4.3.1. Snijpunt van 2 objecten Je hebt 2 rechten a en b en je wil nu het snijpunt van deze 2 rechten gaan bepalen en dit S noemen. Werkbalk → Knop 2 → Snijpunt(en) van 2 objecten Om het snijpunt S te bepalen klik je achtereenvolgens op de rechte a en b en het snijpunt wordt getekend. Om het als S te benoemen, typ je onmiddellijk ‘S’ op je toetsenbord.
Je kan eveneens het snijpunt of de snijpunten bepalen van 2 verschillende objecten, zoals bijvoorbeeld van een rechte en een cirkel. Werkbalk → Knop 2 → Snijpunt(en) van 2 objecten Je selecteert achtereenvolgens de cirkel en de rechte. Er worden, indien deze er zijn, zelfs 2 snijpunten getekend. De benoeming van de snijpunten doe je nadien door met de RMK op de punten te klikken en ze een naam te geven. Je noemt ze bijvoorbeeld E en F.
Cursus GeoGebra
19
2.4.3.2. Midden of middelpunt Na het tekenen van een lijnstuk [AB] wil je het middelpunt van dit lijnstuk bepalen. Werkbalk → Knop 2 → Midden of middelpunt Je klikt op het lijnstuk en het middelpunt wordt geplaatst. Onmiddellijk na het plaatsen ervan geef je het de naam M.
Het kan ook gebeuren dat je al 2 punten (C en D) hebt getekend en dat je het midden tussen deze punten wil zoeken. Werkbalk → Knop 2 → Midden of middelpunt Je klikt nu achtereenvolgens op de punten C en D. Je noemt dit punt bijvoorbeeld N.
Wanneer je C of D verplaatst blijft N het midden van C en D.
2.4.4 Constructies 2.4.4.1. Loodlijn Je hebt een rechte a en een punt A getekend. Nu wil je een loodlijn tekenen door het punt A op de rechte a. Werkbalk → Knop 4 → Loodlijn Hierbij selecteer je achtereenvolgens het punt A (waardoor de loodlijn gaat lopen) en de rechte a (waarop de loodlijn loodrecht moet staan). Je noemt de loodlijn b.
Je gaat op identieke wijze te werk wanneer er een lijnstuk of een halfrechte gegeven is i.p.v. de rechte a. 2.4.4.2. Middelloodlijn Elk lijnstuk heeft een speciale loodlijn: de middelloodlijn. Dit is de loodlijn door het midden van dat lijnstuk. Het lijnstuk [AB] heb je al getekend en je moet nu de middelloodlijn tekenen. Werkbalk → Knop 4 → Middelloodlijn Je klikt op het lijnstuk en daar is de middelloodlijn. Je kan ze onmiddellijk a noemen.
20
Bart Van den Bergh
2.4.4.3. Evenwijdige rechte Je hebt al een punt A en een rechte a getekend. Nu wil je door het punt A een rechte b tekenen die evenwijdig is met de rechte a. Werkbalk → Knop 4 → Evenwijdige rechte Je klikt eerst op het punt A (waardoor de rechte b moet lopen) en vervolgens op de rechte a (waarmee de rechte b evenwijdig moet zijn). Je benoemt de evenwijdige rechte als b. Wanneer je nu de rechte a of het punt A verplaatst zal de rechte b evenwijdig blijven met de rechte a en door het punt A blijven gaan.
2.4.4.4. Relatie tussen 2 objecten Stel je hebt enkele rechten a, b, c en d getekend en je wil nagaan wat hun onderlinge relatie (evenwijdig, snijdend) is.
Werkbalk → Knop 8 → Relatie tussen 2 objecten Om de onderlinge relatie tussen 2 objecten te weten te komen, klik je achtereenvolgens op de 2 objecten waartussen je de relatie wil bepalen. Een nieuw venster toont je de onderlinge relatie. Relatie tussen a en b
Relatie tussen c en a
2.4.5 Veelhoeken 2.4.5.1. Willekeurige veelhoek Je wil nu bijvoorbeeld een willekeurige vijfhoek ABCDE tekenen. Werkbalk → Knop 3 → Veelhoek Je plaatst achtereenvolgens de 5 hoekpunten (A, B, C, D en E) van de vijfhoek. Telkens je een hoekpunt hebt geplaatst, benoem je dit onmiddellijk door de naam van het punt elke keer in te typen op het toetsenbord. Cursus GeoGebra
21
Na het plaatsen van het punt E, klik je terug op het punt A en de vijfhoek is getekend.
Je kan de veelhoek nog aanpassen door de hoekpunten te verplaatsen (knop 1). Wanneer je de volledige veelhoek wil verplaatsen, klik in de veelhoek en ga je dan slepen. 2.4.5.2. Regelmatige veelhoek Soms wil je een regelmatige veelhoek (alle zijden even lang en alle hoeken even groot) tekenen. Een vierkant (ABCD) is hier een voorbeeld van. Werkbalk → Knop 3 → Regelmatige veelhoek Om te beginnen teken je één zijde van het vierkant. Je benoemt de punten nog niet. Na het plaatsen van het tweede punt van de eerste zijde krijg je het volgende venster.
Je wil nu een regelmatige vierhoek tekenen, dus je typt ‘4’ en klikt op ‘OK’. Het vierkant wordt getekend en je kan de punten benoemen met de RMK.
Wanneer je de grootte van het vierkant nog wil aanpassen verplaats je de punten A en B van de als eerste getekende zijde. 2.4.5.3. Oppervlakte Na het tekenen van het vierkant hierboven wil je de oppervlakte ervan bepalen. Werkbalk → Knop 6 → Oppervlakte Je klikt op de figuur waarvan je de oppervlakte wil bepalen. In dit geval is dat het vierkant.
22
Bart Van den Bergh
2.5. Krommen 2.5.1 Cirkel 2.5.1.1. Cirkel Je wil een cirkel tekenen die de naam c heeft. Het middelpunt M van de cirkel en een punt A dat op de cirkel gelegen is, zijn al getekend. Werkbalk → Knop 5 → Cirkel met middelpunt door punt Je klikt eerst op het middelpunt M en vervolgens op het punt A (op de cirkel). Vervolgens noem je de cirkel c.
Je kan ook een cirkel tekenen zonder dat er al een middelpunt en een ander punt is getekend. Werkbalk → Knop 5 → Cirkel met middelpunt door punt Deze keer klik je achtereenvolgens op 2 plaatsen. Op de eerste plaats krijg je dan het middelpunt van de cirkel, bij de tweede plaats krijg je een punt op de cirkel. Na het benoemen van de cirkel kan je met de RMK nog het middelpunt en het andere punt benoemen en dan krijg je identiek hetzelfde als op de bovenstaande afbeelding. De cirkel kan je bovendien nog eenvoudig aanpassen door M en A te verslepen. Het zal ook wel eens gebeuren dat je enkel een middelpunt en de lengte van de straal gegeven hebt. Je tekent nu bijvoorbeeld een cirkel c met middelpunt M en een straal van 2. Werkbalk → Knop 5 → Cirkel met middelpunt en straal Nu klik je wederom eerst op het middelpunt M. Een venster verschijnt waarin je lengte 1 voor de straal invoert.
Uiteindelijk klik je op ‘OK’ en de cirkel verschijnt.
Cursus GeoGebra
23
Ten slotte kan je nog een cirkel tekenen wanneer er 3 punten getekend zijn die op de cirkel moeten liggen. De punten A, B en C zijn bijvoorbeeld gegeven. Werkbalk → Knop 5 → Cirkel door drie punten Wanneer je nu op de 3 punten A, B en C klikt, wordt de cirkel getekend en kan je de cirkel benoemen. Je noemt de cirkel dit keer d.
2.5.1.2. Raaklijn De cirkels c en d zijn getekend. Je wil nu de raaklijn(en) tekenen aan de cirkel c door het punt A (niet op cirkel c) en aan de cirkel d door het punt B (wel op cirkel d). Werkbalk → Knop 4 → Raaklijnen Je klikt telkens eerst op het punt (waardoor de raaklijn moet gaan) en vervolgens op de cirkel (waaraan de raaklijn moet raken).
2.5.2 Cirkelboog 2.5.2.1. Halfcirkel Het beginpunt A en het eindpunt B van de halfcirkel zijn al getekend. Je wil nu de halfcirkel tekenen. Werkbalk → Knop 5 → Halfcirkel door twee punten Je klikt eerst op het beginpunt A en dan op het eindpunt B van de halfcirkel.
2.5.2.2. Willekeurige cirkelboog Het middelpunt M van de cirkel (waar de cirkelboog deel van uitmaakt) is getekend. Het beginpunt A is eveneens getekend. Je tekent nu de cirkelboog. Noem het eindpunt B. Werkbalk → Knop 5 → Cirkelboog met middelpunt door twee punten Eerst klik je op het middelpunt M en vervolgens op het beginpunt A. Je kan nu zelf bepalen hoe lang de cirkelboog wordt. Het eindpunt noem je B met de RMK.
24
Bart Van den Bergh
Soms zullen er ook 3 punten van een cirkelboog getekend zijn. Neem nu bijvoorbeeld de punten A, B en C. Je tekent de cirkelboog waarop al deze 3 punten liggen. Werkbalk → Knop 5 → Cirkelboog door 3 punten Je klikt achtereenvolgens op de A, B en C en de cirkelboog wordt getekend.
2.5.3 Cirkelsector Bij het tekenen van cirkelsectoren ga je identiek te werk dan bij het tekenen van willekeurige cirkelbogen zoals hierboven. Het enige verschil is dat nu niet enkel de boog wordt getekend, maar de volledige sector. Getekend: middelpunt M en beginpunt A van cirkelboog van cirkelsector. Werkbalk → Knop 5 → Cirkelsector met middelpunt door twee punten
Getekend: 3 punten op de cirkelboog van de cirkelsector. Werkbalk → Knop 5 → Cirkelsector door 3 punten
Cursus GeoGebra
25
2.6. Hoeken 2.6.1 Hoek meten Je hebt een driehoek ABC getekend en je wil wel eens weten wat de som is van alle hoeken ) ) ) in een driehoek. Je gaat hiervoor de hoeken A , B en C moeten meten. Werkbalk → Knop 6 → Hoek ) Je begint bijvoorbeeld met de hoek A . Je klikt eerst op een punt op één van de benen van de hoek (B), vervolgens op het hoekpunt A en tenslotte op een punt op het andere been van de hoek die je wil meten (C). De hoekgrootte verschijnt in de hoek zelf. ) ) Voor de hoeken B en C ga je identiek te werk. ) Je klikt om B te meten in volgorde op: C, B, A. ) Je klikt om C te meten in volgorde op: A, C, B. Op het hoekpunt klik je dus altijd als tweede.
Opmerking: GeoGebra gaat een hoek steeds tegenwijzerszin meten. Het maakt dus wel degelijk verschil op welk punt je als 1ste en op welk punt je als 3de klikt. Hieronder zie je enkele voorbeelden. Er is telkens met een pijl aangeduid hoe GeoGebra de hoek heeft gemeten. - Hoek BÂC:
Volgorde:
Volgorde:
B, A, C
C, A, B
Volgorde:
Volgorde:
D,E,F
F,E,D
- Hoek DÊF:
Je kan een hoek eveneens meten wanneer ... 1) ... enkel de benen van de hoek en het hoekpunt getekend zijn. 2) ... er enkel 2 rechten getekend zijn.
Werkbalk → Knop 6 → Hoek
26
Bart Van den Bergh
1) Je klikt achtereenvolgens op beide benen. Let hierbij eveneens op tegenwijzerszin. 2) Je klikt achtereenvolgens op de 2 rechten.
2.6.2 Hoek tekenen Dit keer wil je een hoek tekenen, bijvoorbeeld een hoek BÂC met een grootte van 123°. Je tekent hiervoor eerst het been [BA. Nu moet je het andere been nog tekenen om zo het punt C te kunnen plaatsen. Werkbalk → Knop 6 → Hoek met gegeven grootte Je klikt zoals bij het meten van een hoek eerst op het punt op het been (A) en vervolgens op het hoekpunt B. Nu krijg je het volgende venster.
Je typt de gewenste grootte in en daarenboven kan je nog kiezen of je de hoek nu tegenwijzerszin of wijzerszin getekend wil zien. Vergeet bij het intypen van de hoekgrootte het °-teken niet. Dit teken kan je vinden op het to etsenbord of je kan het links van het invoerveld uit de lijst selecteren om in te voeren. Ten slotte klik je op ‘OK’ en de hoek wordt getekend naar jouw wensen. Je moet nu enkel nog het been zelf (halfrechte [BC) tekenen en het punt C benoemen. Wijzerszin
Tegenwijzerszin
2.6.3 Bissectrice of deellijn Als je de bissectrice of deellijn van de hoek BÂC wil tekenen, doe je dit op de volgende manier. Werkbalk → Knop 4 → Bissectrices Je klikt eerst op een punt op één van de benen van de hoek (B), vervolgens op het hoekpunt A en tenslotte op een punt op het andere been van de hoek (C). De bissectrice wordt getekend en je kan deze onmiddellijk benoemen als bijvoorbeeld de rechte d. Ook al pas je nu de hoek aan door de punten A, B of C te verplaatsen, d blijft de deellijn. De knop noemt trouwens ‘Bissectrices’ omdat d de deellijn is van zowel de binnen- als buitenhoek van BÂC. Cursus GeoGebra
27
2.6.4 Helling Met GeoGebra kan je eveneens de helling van bijvoorbeeld een recht bepalen. Je hebt bijvoorbeeld de rechte a. Werkbalk → Knop 6 → Helling Je klikt op de rechte a en je ziet dat ze een helling heeft van 0,2 of ook wel 20%. Dit zou in de ronde van Frankrijk voor de renners al een erg zware beklimming betekenen.
2.7. Transformaties 2.7.1 Spiegeling 2.7.1.1. Lijnspiegeling Je hebt een mooie afbeelding en je wil deze spiegelen. Je tekent de spiegelas (rechte s) en voegt de afbeelding in. Het maakt niet uit in welke volgorde je dit doet. Werkbalk → Knop 8 → Afbeelding invoegen Je klikt ergens in het tekenvenster en kiest de afbeelding die je wil invoegen. Vervolgens versleep je de afbeelding naar de gewenste plaats. Nu kan je overgaan op het spiegelen van de afbeelding met als spiegelas s. Werkbalk → Knop 7 → Lijnspiegeling Om een object te spiegelen klik je steeds eerst op het object dat je wil spiegelen en daarna op de spiegelas. Je klikt dus eerst op de afbeelding en dan op de rechte s.
28
Bart Van den Bergh
Om andere objecten te spiegelen dan een afbeelding (bijvoorbeeld een punt of een lijnstuk) ga je op dezelfde manier te werk. Opmerking: Wanneer je bij eender welke transformatie iets aan het object verandert waarop je de transformatie toepast, zal het beeld volgens de transformatie automatisch mee aangepast worden. Zo krijg je plots een heleboel voorbeelden met één constructie. 2.7.1.2. Puntspiegeling Je hebt niet alleen lijnspiegelingen, maar ook puntspiegelingen. Je wil nu het beeld tekenen van het lijnstuk [AB] volgens de puntspiegeling met als spiegelpunt S. Werkbalk → Knop 7 → Puntspiegeling Je klikt eerst op het lijnstuk [AB] (object dat je wil spiegelen) en vervolgens op het spiegelpunt S. Ten slotte benoem je de punten van het beeld van het lijnstuk [AB].
2.7.2 Draaiing Er staat al een afbeelding getekend die je wil draaien over een hoek van -157° met als centrum S. Werkbalk → Knop 7 → Rotatie met centrum over een bepaalde hoek Je klikt eerst op de afbeelding (object dat je wil draaien), vervolgens op het draaipunt S en dan moet je de draaihoek nog ingeven.
Aangezien je met een draaiing over een hoek van -157° te maken hebt, kies je voor een draaiing over een hoek van 157° in wijzerszin. Je k likt op ‘OK’. Het beeld wordt getekend.
Cursus GeoGebra
29
2.7.3 Verschuiving 2.7.3.1. Vector / georiënteerd lijnstuk Om een verschuiving uit te voeren volgens een bepaald georiënteerd lijnstuk moet je uiteraard eerst dat georiënteerd lijnstuk tekenen. In GeoGebra werkt men met vectoren, wat een verzamelnaam is voor gelijke georiënteerde lijnstukken. Wanneer je dus een georiënteerd lijnstuk wil tekenen, teken je een vector. Je tekent bijvoorbeeld het georiënteerd lijnstuk AB . De punten A en B zijn getekend. Werkbalk → Knop 3 → Vector tussen 2 punten Je klikt eerst op het punt A (beginpunt) en vervolgens op het punt B (eindpunt). Het georiënteerd lijnstuk wordt getekend.
Je kan ook voorhebben dat enkel het beginpunt van een georiënteerd lijnstuk gegeven is. Bijvoorbeeld heb je als beginpunt het punt C en je weet dat de verschuiving over het georiënteerd lijnstuk CD dezelfde is dan de verschuiving over het georiënteerd lijnstuk AB . Werkbalk → Knop 3 → Vector met beginpunt Je klikt eerst op het beginpunt C en vervolgens klik je op het georiënteerd lijnstuk AB . Het punt D moet nu nog benoemt worden met de RMK.
2.7.3.2. Verschuiving volgens georiënteerd lijnstuk De vijfhoek EFGHI is getekend, samen met de georiënteerde lijnstukken AB en CD . Je wil nu het beeld tekenen van de vijfhoek EFGHI van de verschuiving volgens het georiënteerd lijnstuk AB . Werkbalk → Knop 7 → Verschuiving volgens vector Je klikt eerst op de vijfhoek (object dat moet verschoven worden) en daarna op het georiënteerd lijnstuk AB . Enkel de punten van het beeld moeten nog benoemd worden. Met GeoGebra heb je nu heel snel een tekening gemaakt.
30
Bart Van den Bergh
Je kan bovendien de figuur nog gemakkelijk veranderen door de punten te verslepen. De vijfhoek E’F’G’H’I’ blijft het beeld van de vijfhoek EFGHI van de verschuiving volgens het georiënteerd lijnstuk AB , dus GeoGebra past deze vijfhoek automatisch aan bij het verplaatsen van de punten A,B,E,F,G,H of I.
2.7.4 Homothetie Je wil een homothetie uitvoeren op het punt A met als centrum C en als factor 3. Werkbalk → Knop 7 → Homothetie Nu klik je eerst op het punt A (object waarop je de homothetie wil uitvoeren). Vervolgens klik je op het punt C (centrum van de homothetie) en hierna moet je de factor ingeven. De factor die je ingeeft is ‘3’. De tekening wordt gemaakt en je noemt het beeld A’ met de RMK.
Dankzij het dynamische karakter van GeoGebra zal ook hier weer de positie van het punt A’ aangepast worden wanneer je A of C verplaatst. A’ blijft het beeld van de homothetie.
2.8. Constructieoverzicht Het gebeurt wel eens dat je een bepaalde constructie hebt gemaakt en dat je niet meer precies weet hoe die in zijn werk ging of dat je aan een vriend of vriendin wil laten zien hoe hij/zij dezelfde constructie moet aanpakken. Voorbeeld: Constructie van het zwaartepunt van een driehoek Je tekent eerst een driehoek ABC. Vervolgens teken je de middens D en E van de zijden [AB] en [BC]. Hierna wordt C verbonden met D en A verbonden met E. Ten slotte teken je het snijpunt van de halfrechten [CD en [AE (zwaartelijnen). Dit snijpunt is het zwaartepunt, dat je Z noemt.
Je gaat nu gebruik maken van een constructieoverzicht. Menubalk → Beeld → Navigatiebalk voor constructieoverzicht aanvinken Na het aanvinken zorg je er eveneens voor dat ‘Knop voor afspelen’ en ‘Knop voor het openen van constructieoverzicht’ aangevinkt zijn in het menu ‘Beeld’.
Cursus GeoGebra
31
De navigatiebalk verschijnt onderaan met alle knoppen.
Je gebruikt de navigatiebalk voor constructieoverzicht op de volgende manier. Stappen bij de constructie op eigen tempo handmatig overlopen Terug naar eerste stap
Terug naar laatste stap
Vorige stap
Volgende stap
Stap 4 van de 9 stappen in totaal Stappen bij de constructie op een ingesteld tempo automatisch overlopen Beginnen met afspelen
2 seconden per stap
Stappen bij de constructie bekijken in een lijst met een constructieoverzicht Het venster met de lijst met de constructiestappen wordt geopend.
Je kan vanuit het venster bovendien ook de verschillende stappen op eigen tempo handmatig overlopen met het navigatiegedeelte.
32
Bart Van den Bergh
2.9. Macro’s Wanneer je een bepaalde constructie hebt gemaakt waar veel tijd in kruipt, kan je jezelf enorm veel extra tijd besparen met behulp van ‘Macro’s’. Hieronder zie je hoe je een macro maakt om in enkele klikken de omgeschreven cirkel van een willekeurige driehoek te kunnen tekenen.
2.9.1 Constructie maken Je maakt de constructie. In dit geval teken je eerst de driehoek ABC. Vervolgens teken je de middelloodlijnen op de zijden en het snijpunt hiervan noem je M. Ten slotte teken je een cirkel c met als middelpunt M door het punt A. De cirkel c is de omgeschreven cirkel van de driehoek ABC.
2.9.2 Nieuwe macro aanmaken Menubalk → Macro’s → Nieuwe macro aanmaken ... Er wordt een venster geopend met 3 tabbladen: - Eindobjecten: Hierin selecteer je de eindobjecten; de cirkel.
- Beginobjecten: Hierin selecteer je de beginobjecten; de driehoek.
Cursus GeoGebra
33
- Naam en pictogram: Hierin geef je de macro een gepaste naam; omgeschreven cirkel. De naam van het commando wordt automatisch ingevuld op basis van de naam van de macro. Bij ‘Macro help’ typ je hoe je te werk gaat bij het gebruiken van de macro. In dit geval is dat de driehoek selecteren. Zo kunnen andere gebruikers ook heel eenvoudig van jouw macro genieten. ‘Tonen op werkbalk’ kan je best aanvinken aangezien het makkelijk is dat je gewoon de macro moet selecteren in de werkbalk. Ten slotte kan je de macro nog van een eigen pictogram voorzien wanneer je dit wil. Wanneer je nu op ‘Beëindigen’ klikt, zal GeoGebra je trots melden dat de macro met succes is aangemaakt.
2.9.3 Macro toepassen Knop 10 → Jouw Macro → Klik op het beginobject: de driehoek De omgeschreven cirkel staat er onmiddellijk zonder een uitgebreide constructie.
2.9.4 Macro’s beheren Wanneer je nog wijzigingen wil aanbrengen in de macro kan dit via de menublak. Menubalk → Macro’s → Macro’s beheren ... Je kan echter de begin- en eindobjecten niet meer aanpassen.
34
Bart Van den Bergh
2.10. Invoerveld Het invoerveld wordt gebruikt om een object te tekenen of om een variabele in te voeren. Dit is natuurlijk niet altijd nodig, dus kan je het invoerveld weergeven of verbergen. Menubalk → Beeld → Invoerveld Door op het vraagteken te klikken krijg je het volgende venster met een korte uitleg van de werking van het invoerveld.
Voorbeeld: Je wil een lijnstuk tekenen tussen de punten A en B. Je typt hiervoor in het invoerveld: ‘Lijnstuk[A,B]’.
Cursus GeoGebra
35
Andere voorbeelden: Invoer
Actie
a=2
Je geeft de variabele a de waarde 2. Dit kan handig zijn om bijvoorbeeld een lijnstuk te kunnen tekenen met een lengte van precies 2.
c=a^2+b^2
Je geeft de variabele c de waarde van a2 + b2. Dit zal van pas komen bij Pythagoras.
α=85°
De hoek α krijgt de waarde van 85°.
d=π*(r^2)
De variabele d krijgt de waarde van ‘π*(r^2)’. Dit zal van pas komen bij het berekenen van de oppervlakte van een cirkel.
f(x)=3*x+2
De functie f wordt getekend met als voorschrift: ‘f(x) = 3x + 2’. → Functies worden nog uitgebreid besproken in deze cursus in het aparte onderdeel ‘Functies’.
Wanneer je gebruik maakt van speciale tekens of je wil niet telkens het volledige commando typen, maak je gebruik van de menu’s naast het invoergebied. Menu
Gebruik Hier vindt je de speciale wiskundige tekens om in te voeren. =, °, π, 2, 3, 4, 5, 6, ^, ! Hier vindt je de Grieks letters voor bijvoorbeeld het invoeren van hoeken: α, β, γ, δ, ε, ζ, η, θ, ι, κ, λ, µ, ν, ξ, ο, π, ρ, ς, σ, τ, υ, φ, χ, ψ, ω, Γ, ∆, Θ, Λ, Ξ, Π, Σ, Φ, Ψ, Ω Hier vindt je een lijst met alle commando’s. Zo moet je dit niet telkens zelf gaan intypen.
De bovenstaande toepassingen worden in de loop van de cursus verder uitgewerkt. Meestal ga je echter geen gebruik maken van het invoerveld tijdens het werken met GeoGebra omdat dit vaak meer tijd in beslag neemt en omslachtiger is. Dit is dan vooral het geval bij meetkundige constructies.
36
Bart Van den Bergh
2.11. Functies 2.11.1 Tekenvenster aanpassen 2.11.1.1. Assen Wanneer je met functies werkt, heb je de assen in het tekenvenster nodig. Menublak → Beeld → Assen Met GeoGebra kan je de assen zelfs naar je eigen wensen aanpassen. Voorbeeld: Je wil de onderstaande lay-out voor de assen. Je werkt met x-waarden tussen -10 en 10 en y-waarden tussen -5 en 5. De assen zijn zwart, vet en van een pijl voorzien. De achtergrond blijft wit. De getallen staan op de assen aangeduid met streepjes. Bovendien zijn de namen van de assen weergegeven met de letters ‘x’ en ‘y’. Ten slotte wil je dezelfde afstand tussen de onderverdelingen op de x-as en de onderverdelingen op de y-as.
Je opent hiervoor eerst het venster met de eigenschappen van het tekenvenster. Menubalk → Opties → Tekenvenster... In het venster dat nu geopend wordt kan je nodige aanpassingen doen.
Cursus GeoGebra
37
Je doet de nodige aanpassingen op de volgende manier: (Nadien klik je op ‘sluiten’.) Achtergrondkleur: wit Tabblad ‘Assen’ Assen weergeven
Lijnsoort: vet met pijl
Kleur assen: zwart Tabblad ‘x-as’ x-as weergeven
Eenheid: geen
Streepjesonderverdeling
Naam x-as: ‘x’
Getallen weergeven
Laagste waarde: -10
Afstand per streepje: 1
Hoogste waarde: 10
Tabblad ‘y-as’ x-as weergeven
Eenheid: geen
Streepjesonderverdeling
Naam y-as: ‘y’
Getallen weergeven
Laagste waarde: -5,7...
Afstand per streepje: 1
Hoogste waarde: 6,0...
De minimum en maximum waarde van de y-as is uiteraard niet zelf ingegeven. We hebben ervoor gekozen om de afstand tussen de streepjes op de x-as gelijk te stellen aan de afstand tussen de streepjes op de y-as. Daarvoor kiezen we de verhouding ‘1:1’. Bij de verhouding ‘1:2’ is de afstand op de y-as dubbel zo groot tussen de streepjes dan op de x-as.
38
Bart Van den Bergh
2.11.1.2. Rooster Wanneer je het rooster wel nodig hebt vink je ‘Rooster’ dus aan en kan je het rooster volledig aanpassen naar je wensen. Voorbeeld: Je wil een witte achtergrond met een grijs rooster dat weergegeven is met een streepjeslijn. De afstand tussen de roosterlijnen is zowel horizontaal als verticaal 1.
Je opent hiervoor eerst het tekenvenster. Menubalk → Opties → Tekenvenster...
Cursus GeoGebra
39
Vervolgens verander je de instellingen op de volgende manier. Achtergrondkleur: wit Tabblad ‘Rooster’ Rooster weergeven
Afstanden zelf kiezen
Kleur roosterlijnen: grijs
Horizontale afstand: 1
Lijnsoort: streepjeslijn
Verticale afstand: 1
Wanneer je op sluiten klikt worden de instellingen toegepast.
Uiteraard kan je ook de assen en het rooster tegelijk weergeven door beide aan te vinken in het menu ‘Beeld’.
2.11.2 Objecten in een assenstelsel Dit onderdeel start met een erg belangrijke opmerking. Opmerking: In de voorgaande hoofdstukken is het maken van een heleboel constructies aan bod gekomen. Wanneer je er voor kiest om de assen en/of het rooster weer te geven gebeurt het maken van constructies nog steeds op exact dezelfde manier. Wanneer je werkt met de assen en het rooster wordt het algebravenster ook ineens erg handig. Bij het plaatsen van enkele punten worden de coördinaten hiervan weergegeven in het algebravenster. Bij een rechte is het dan weer het functievoorschrift dat wordt weergeven, net zoals bij een cirkel.
40
Bart Van den Bergh
2.11.3 Grafische voorstelling van een functie 2.11.3.1. Ingeven functievoorschrift Een bijzonder groot voordeel van GeoGebra t.o.v. Cabri is dat functies enorm snel en eenvoudig kunnen getekend worden. Je zorgt er eerst voor dat het invoerveld is weergegeven. Menubalk → Beeld → Invoerveld Vervolgens geef je het functievoorschrift in op de onderstaande manier. Naam van de functie(x) = Functievoorschrift Je tekent bijvoorbeeld de functie f met als voorschrift ‘f(x) = 2x - 1’.
De functie f wordt onmiddellijk getekend in het tekenvenster nadat je op ‘Enter’ hebt gedrukt op je toetsenbord.
Het label ‘f’ bij de functie wordt niet automatisch weergegeven. RMK → Toon label Natuurlijk kan je nog een heleboel andere functies tekenen met GeoGebra. Hieronder zie je nog enkele voorbeelden.
g( x ) =
1 3 x + 2 4
h(x) = sin(x)
Cursus GeoGebra
41
j( x ) =
i(x) = 3x2 - x - 2
1 5 x + x2 − 1 2
l( x ) =
k(x) = -2 (x + 3)2 + 2
x −1
Opmerking: Het vierkantswortelteken bestaat niet voor het invoerveld. Om bijvoorbeeld de functie f(x) = x + 3 te tekenen, geef je het volgende in.
2.11.3.2. Meerdere functies op één assenstelsel Natuurlijk kan je ook meerdere functies in één assenstelsel weergeven. Het kan dan handig zijn om de functies een verschillende kleur geven of verschillende lijndiktes te geven. Voorbeeld: Je hebt de volgende functies: ‘f(x) = x2’ en ‘g(x) = -x + 3’. De functie f ga je in het rood zetten en de functie g krijgt een dikkere zwarte lijn. Je gaat telkens op dezelfde manier te werk dan bij gewone lijnen eerder in de cursus. Rode kleur van de lijn van de functie f:
RMK → Eigenschappen ... → Tabblad ‘Kleur’ → Klik op het rode vierkantje Dikte van de lijn van de functie g:
RMK → Eigenschappen ... → Tabblad ‘Stijl’ → Verander de dikte van 2 naar bv. 5 42
Bart Van den Bergh
Je krijgt het onderstaande resultaat.
Dit is een pak overzichtelijker. Zeker wanneer je nog meer functies hebt getekend wordt het anders een chaos. 2.11.3.3. Snijpunt(en) van functies Je hebt bijvoorbeeld twee functies: ‘f(x) = x3 + x2 - x - 1’ en ‘g(x) = -1’. Het is handig als alle snijpunten automatisch benoemd worden met A,B,C,... Dit kan je op de volgende manier verkrijgen. Menubalk → Opties → Labels → Alle nieuwe objecten Nu kan je snijpunten van f en g tekenen. Werkbalk → Knop 2 → Snijpunt(en) van 2 objecten Je klikt achtereenvolgens op beide functies. Er zijn 3 snijpunten. De snijpunten worden getekend, benoemd en in het algebravenster krijg je een overzicht met de punten A, B en C. De coördinaten van de snijpunten zijn bovendien ook te zien in het algebravenster. GeoGebra tekent telkens alle snijpunten, ook al zijn dit er soms nog veel meer dan 3.
Cursus GeoGebra
43
2.11.3.4. Venster verplaatsen Wanneer je bijvoorbeeld de functie ‘f(x) = x² -14x + 46’ tekent, zie je slechts een klein deeltje van de functie wanneer je assen ingesteld zijn zoals hieronder. Het lijkt wel of de functie maar één snijpunt heeft met de x-as.
Je kan dit probleem oplossen door de instellingen van de assen te veranderen, maar dit soort problemen kan je nog veel eenvoudiger oplossen door de assen te verplaatsen. Werkbalk → Knop 9 → Tekenvenster verplaatsen Je gaat ergens in het tekenvenster staan (niet op de assen) en sleept tot je een goed zicht hebt op het verloop van de functie f. Deze methode kan je echter enkel gebruiken wanneer de schaal van de assen niet veranderd moet worden. Tijdens het slepen verandert de cursor in een plusteken met pijlen. Dit is hieronder nog te zien tijdens het verslepen.
Hierboven heb je alvast een veel beter overzicht van het verloop van de functie f.
44
Bart Van den Bergh
2.11.3.5. In- en uitzoomen Soms volstaat het verplaatsen van de assen echter niet en moet je de schaal ervan gaan aanpassen. Je doet dit het snelst via in- en uitzoomen. Je hebt bijvoorbeeld de functie ‘f(x) = x3 - x’ en je wil beter zien wat er gebeurt rond de oorsprong. Inzoomen op de oorsprong is de oplossing. Werkbalk → Knop 9 → Inzoomen Je klikt in het tekenvenster op de plaats waar je wil inzoomen (de oorsprong) en je doet dit meerdere keren indien dit nodig is. De cursor binnen het tekenvenster is inmiddels veranderd in een vergrootglas met een plusteken zoals je hieronder kan zien.
Inzoomen
→
Natuurlijk kan het ook wel eens voorvallen dat niet de volledige functie zichtbaar is omdat er te hard is ingezoomd. Je hebt bijvoorbeeld de functie ‘f(x) = 3.sin(x)’ waarvan het verloop met de huidige instellingen niet volledig zichtbaar is. In dergelijke situaties kan je uitzoomen. Werkbalk → Knop 9 → Uitzoomen Je klikt in het tekenvenster op de plaats waar je wil uitzoomen en je herhaald dit indien nodig. De cursor verandert hierbij in een vergrootglas met een minteken.
Uitzoomen
→
In plaats van in- en uit te zoomen kan je telkens ook gewoon de instellingen van de assen wijzigen, maar daar heb je heel wat meer werk mee. Cursus GeoGebra
45
2.11.4 Vergelijking met één onbekende oplossen In de wiskunde word je er maar al te vaak mee geconfronteerd: moeilijke vergelijkingen. Als je hiervan snel en eenvoudig de oplossingen wil vinden of gewoon de oplossingen van je berekening wil controleren kan je gebruik maken van GeoGebra. Voorbeeld:
1 4 1 x + 2 x ( x 2 − 1) − 3 x 2 = 3 4
x + 9 −3
Je gaat het linkerlid en het rechterlid ingeven in een functie en dan de x-waarden van de snijpunten bepalen om tot de oplossing(en) te komen. Je begint dus met het tekenen van de volgende functies: l(x) = linkerlid =
1 4 x + 2 x ( x 2 − 1) − 3 x 2 3
r(x) = rechterlid =
1 4
x + 9 −3
De functies worden getekend. In het algebravenster zie je overzichtelijk de functies met hun voorschriften. Je gaat dan ook het algebravenster gebruiken i.p.v. het tekenvenster.
Na het tekenen van beide functies bepaal je de snijpunten.
Werkbalk → Knop 2 → Snijpunt(en) van 2 objecten Je klikt achtereenvolgens op beide functies in het algebravenster. Dit kan ook in het tekenvenster, maar hier staan ze niet netjes onder elkaar zoals in het algebravenster. Een lijst met de snijpunten verschijnt bij afhankelijke objecten. De x-waarden van de snijpunten zijn de oplossingen.
De oplossingen van de vergelijking zijn dus: x1 = -7,12, x2 = -0,96, x3 = 0,74, x4 = 1,34. Als je ze liever afrondt op 3 decimalen kan je dit eenvoudig aanpassen.
Menubalk → Opties → Aantal decimalen Je selecteert nu 3 in de lijst met getallen van 0 tot 5. GeoGebra past alles onmiddellijk aan.
46
Bart Van den Bergh
2.12. Extra’s 2.12.1 Rekenmachine GeoGebra bevat geen rekenmachine, maar toch kan je ook berekeningen maken in het programma. Het is dan ook een wiskundig programma. De volgende opgave wil je oplossen. 73 −
2 +5 3
Je zorgt er eerst voor dat het algebravenster en het invoerveld zijn weergegeven. Om te kunnen rekenen in GeoGebra maak je gebruik van een variabele. Je kiest bijvoorbeeld a. In het invoerveld definieer je de variabele a als de oplossing van de bewerking. Je typt dus ‘a = 7^3 - ((2/3) + 5)^(1/2)” en drukt op ‘Enter’ op je toetsenbord.
In het algebravenster wordt nu de waarde van a weergegeven.
De oplossing is dus 340,62. Het aantal decimalen kan je wederom aanpassen via het menu ‘Opties’. Als je ten slotte het getal a in het tekenvenster wil weergeven, doe je dit door een tekst in t voeren. Dit wordt in het volgende onderdeel uitgelegd.
2.12.2 Tekst invoegen Het onderstaande voorbeeld illustreert hoe je een tekst in het tekenvenster invoert. Je hebt een lijnstuk [AB] getekend en het midden van dit lijnstuk is het punt M. Het lijnstuk [AM] is eveneens getekend. Wanneer je het algebravenster bekijkt, zie je dat het lijnstuk [AB] a is genoemd en dat de lengte ervan 2 is. Het lijnstuk [AM] heeft als naam b en de lengte ervan is 1. Het algebravenster mag je na het kijken naar de benamingen van de lijnstukken terug sluiten.
Je wil nu een tekst invoegen om het dubbel van de lengte van [AM] te vergelijken met de lengte van [AB].
Werkbalk → Knop 8 → Tekst invoegen
Cursus GeoGebra
47
Je klikt op de plaats waar je de tekst wil plaatsen. Het onderstaande venster verschijnt.
Je typt hierin tekst met aanhalingstekens en getallen (zoals lengtes) zonder aanhalingstekens. Je kan ook berekeningen met getallen invoeren (eveneens zonder aanhalingstekens). Wanneer je klaar bent met het intypen van je tekst klik je telkens op ‘OK’.
Als je nu de punten A en/of B gaat verslepen gaat de tekst ook automatisch aangepast worden.
Je ziet dus dat de lengte van een lijnstuk steeds gelijk is aan het dubbel van de afstand van het midden van dit lijnstuk tot één van de punten van het lijnstuk zelf.
2.12.3 Afbeelding invoegen Dit vind je gedetailleerd terug bij ‘2.7.1.1. Lijnspiegeling’. Werkbalk → Knop 8 → Afbeelding invoegen
2.12.4 Dynamisch werkblad maken Een applet is een GeoGebra-bestand waarmee je snel allerlei wiskundige onderzoeken kan doen. In het onderstaande voorbeeld wordt het verloop van eerstegraadsfuncties onderzocht. Het voordeel van een dynamisch werkblad in GeoGebra is dat je heel snel en eenvoudig dingen kan aanpassen om zo een heleboel voorbeelden te kunnen onderzoeken. Een applet bevat dus 1000’den voorbeelden van een bepaalde constructie in één bestand. 2.12.4.1. Schuifknop Een schuifknop is een object waarmee je een bepaalde vairabele kan laten variëren tussen bepaalde waarden. Bij bijvoorbeeld eerstegraadsfuncties kan een schuifknop erg handig zijn om te zien wat er gebeurt wanneer a en b veranderen bij de functie ‘f(x) = ax + b’. Je begint met ervoor te zorgen dat de assen zichtbaar zijn. Vervolgens pas je de assen aan via de eigenschappen van het tekenvenster. min. x-as = -9 48
max. x-as = 14
min. y-as = -7
max. y-as = 7
Bart Van den Bergh
Het is nu tijd om de schuifknoppen aan te maken. Werkbalk → Knop 6 → Schuifknop Je klikt in het tekenvenster op de plaats waar je een schuifknop wil en het onderstaande venster verschijnt.
Je maakt de schuifknop naar je eigen wensen op de volgende manier. Variabele Naam variabele = a Lijst met hoeknamen
De variabele is een getal en geen hoek in dit geval.
(Griekse letters)
Interval
Schuifknop Horizontaal schuiven Breedte = 100 pixels
Geen vaste positie in het tekenvenster (aangevinkt: wel)
1 cm = ongeveer 28 pixels
Wanneer je nu klikt op ‘OK’ wordt de schuifknop van de eerste variabele (a) geplaatst. Op dezelfde manier plaats je nu ook de andere schuifknop (b).
Na het plaatsen van de schuifknoppen kan je de functie ingeven in het invoerveld: f(x)=a*x+b De functie wordt getekend. Je kan de opmaak ervan eventueel nog veranderen. Je kiest bijvoorbeeld voor een iets dikkere lijn in een blauwe kleur. Cursus GeoGebra
49
Uiteraard zou het ook handig zijn dat het functievoorschrift van de getekende functie als een tekst wordt weergegeven. Je voert de volgende tekst in: “f(x) = “ + a + “x + “ + b Het functievoorschrift plaats je onder de schuifknoppen.
Wanneer je nu de variabelen a en b met de schuifknoppen aanpast, verandert het functievoorschrift en de grafische voorstelling van de functie automatisch mee. Je krijgt voorlopig het volgende resultaat.
50
Bart Van den Bergh
2.12.4.2. Aanvinkvakje Je wil duidelijk weergeven wat de betekenis is van a en b op de grafiek, maar dit moet niet permanent weergegeven worden. Hiervoor maak je gebruik van een aanvinkvakje waarbij je kan kiezen of je een groep objecten weergeeft of niet. Je maakt dus eerst de betekenis van a en b duidelijk in het tekenvenster aan de hand van tekst en aanduidingen op de grafiek. Nu voeg je een aanvinkvakje toe. Werkbalk → Knop 6 → Aanvinkvakje om objecten te tonen of verbergen Wanneer je klikt in het tekenvenster op de positie waar je het aanvinkvakje wil plaatsen, verschijnt het volgende venster.
Cursus GeoGebra
51
Je typt bovenaan de naam van het aanvinkvakje in en daaronder selecteer je uit de lijst de objecten die je aan het aanvinkvakje wil verbinden. Om een object terug te verwijderen uit de lijst met objecten, klik je op het object in de lijst en vervolgens op het kruisje rechts ervan. In dit geval zorg je er dus voor dat de 4 objecten, die je gebruikt hebt om de betekenis van de variabelen duidelijk te maken, in de lijst staan. Ten slotte plaats je het aanvinkvakje exact op de gewenste plaats door te verslepen.
Dit gebeurt er dus bij het aan- en uitvinken van het aanvinkvakje.
2.12.4.3. Voorwaardelijke weergave van een object Om het bestand nog vollediger te maken wil je dat wanneer de functie f(x) evenwijdig loopt met de x-as dit ook weergegeven wordt. Dit is dus wanneer de waarde van a nul is. Je begint met het plaatsen van een tekst die je slechts gaat weergeven wanneer a=0.
Wanneer je de tekst hebt geplaatst en versleept naar de goede positie, ga je een voorwaarde verbinden aan de weergave van dit object. RMK → Eigenschappen → Tabblad ‘Geavanceerd’ Je typt hier in het invoergedeelte de voorwaarde in voor het weergeven van het tekstobject. 52
Bart Van den Bergh
Voor het ‘=’-teken e.d. gebruik je de lijst naast het invoerveld. De voorwaarde is dat a gelijk moet zijn aan 0, dus geef je het volgende in.
Je klikt op ‘sluiten’. De voorwaardelijke weergave van de tekst is nu ingevoerd.
2.12.4.4. Eindresultaat
Wanneer je met de schuifknoppen de waarden van de variabelen a en b verandert, verandert het functievoorschrift en de grafiek automatisch mee. Je hebt dus heel veel voorbeelden van eerstegraadsfuncties in één constructie. Bovendien kan je de betekenis van de variabelen op en naast de grafiek met het aanvinkvakje eenvoudig weergeven of verbergen wanneer je dat wil. Wanneer je ten slotte een rechte hebt die evenwijdig met de x-as loopt (a = 0), zal dit eveneens getoond worden.
Cursus GeoGebra
53
2.12.5 Werkbalk aanpassen Aangezien je toch niet alle functies elke keer nodig hebt kan je de werkbalk aanpassen naar je eigen wensen. Je wil bijvoorbeeld de volgende aanpassingen doen: 1. Transformaties worden in het 1ste jaar nog niet gezien, dus deze knop wordt verwijderd. 2. Kegelsneden (knop 5) worden in het 1ste jaar eveneens niet gezien. Deze functie ga je bij knop 5 in werkbalk verwijderen. 3. Plots wil je broer/zus uit het 2de jaar ook eens gebruik maken van het programma en deze moet nog wel geen kegelsneden tekenen, maar is wel bezig rond transformaties. Dit moet dus opnieuw toegevoegd worden. Deze aanpassingen pas je toe op de volgende manier: 1. Om knop 7 te verwijderen selecteer je links knop 7 en klik je dan op verwijderen in het midden, zoals hieronder is getoond.
2. Wanneer je ‘Kegelsneden’ bij knop 5 wil verwijderen klik je in de lijst links van het venster eerst op de ‘+’ voor knop 5. Dan selecteer je ‘Kegelsnede door 5 punten’ en klik je tenslotte weer op de knop ‘verwijderen’ in het midden. 3. Om de verschillende transformaties terug in te voegen selecteer je aan de rechterkant de verschillende transformaties. Vervolgens ga je op de knop ‘invoegen’ klikken in het midden van het venster.
54
Bart Van den Bergh
Wanneer je de knoppen van plaats wil verwisselen selecteer je de knop die je wil verplaatsen en dan maak je gebruik van de volgende knoppen.
Ten slotte is het nog handig om te weten hoe je alles weer in zijn oorspronkelijke staat herstelt. Hiervoor klik je op de knop ‘Standaardwerkbalk herstellen’. Om de cursus te kunnen volgen, is het beter dat je de standaardwerkbalk behoudt.
2.12.6 Help Wanneer je problemen hebt kan je altijd beroep doen op het helpvenster. Menubalk → Help → Help In het menu vind ‘Help’ vindt je eveneens enkele interessante links naar het internet. Menublak → Help → ... ... www.geogebra.org: Dit is de officiële website van GeoGebra waar je een hele hoop informatie vindt over het programma. ... GeoGebra Forum: Als je speciale vragen hebt over GeoGebra kan je hiermee terecht op dit Nederlandstalige internetforum. ... GeoGebraWiki: Je komt terecht op het onderwerp GeoGebra op Wikipedia. Er staan enkele links naar websites waar je lesmateriaal vindt rond GeoGebra.
Cursus GeoGebra
55
