DODATEK B: FRESNELOVY INTEGRÁLY
133
Dodatek B: Fresnelovy integrály
B.1 B.2 B.3 B.4 B.5
Základní vlastnosti Fresnelových integrálů Mocninné řady Fresnelových integrálů Knochenhauerův rozvoj Fresnelových integrálů Cauchyův asymptotický rozvoj Fresnelových integrálů Cornuova spirála
Fresnelových integrálů se používá při výpočtu vlnové funkce charakterizující Fresnelovu difrakci rovinné, válcové nebo kulové vlny na stínítkách rozložitelných do obdélníků s konstantní propustností („šachovniceÿ, polorovina, vlákno, štěrbina, dvojštěrbina, obdélníkový otvor apod. (viz např. [6], str. 186–208)). K tomuto účelu je také Fresnel v r. 1818 zavedl a tabeloval (viz [1], str. 177). Mají tvar Z x Z x 2 sin (qt2 ) dt, (1) cos (qt ) dt, Sq (x) = Cq (x) = 0
0
kde q je reálné kladné číslo. V optice se nejčastěji používá q = π/2 a index π/2 u symbolů C a S se nepíše. Také my se přidržíme této zvyklosti (srov. B.1(1) a B.1(2) v dalším textu). V literatuře se však Fresnelovými integrály označují i výrazy odlišné od (1). Konkrétní příklady různých definic uvádíme v poznámce na konci příštího odstavce B.1. Jak známo (viz např. [2], str. 36), Fresnelovy integrály nelze vyjádřit konečným počtem elementárních funkcí. Uvedeme některé vlastnosti a rozvoje Fresnelových integrálů, které usnadňují jejich numerický výpočet.
B.1
Základní vlastnosti Fresnelových integrálů
Budeme vyšetřovat Fresnelovy integrály ve tvaru Z
C(x) S(x)
x
π t2 dt, 2 Z0 x π = sin t2 dt, 2 0
=
cos
(1) (2)
a také integrál Z
x
Ee(x) = C(x) + iS(x) = 0
π exp i t2 dt. 2
(3)
Reálná proměnná x může nabývat všech hodnot v intervalu x ∈ (−∞, ∞). (Symbolů C(x) a S(x) se používá k označení Fresnelových integrálů v literatuře téměr bez výjimky, symbol Ee(x) jsme zavedli pro účely tohoto dodatku.) Je zřejmé, že C(0) = S(0) = Ee(0) = 0 (4) a že všechny tyto tři funkce jsou spojité a liché C(x) = −C(−x), S(x) = −S(−x), Ee(x) = −Ee(−x).
(5)
Extrémy funkce C(x) jsou v bodech x0 , pro něž platí x20 = 2n + 1, n = 0, 1, 2, ..., extrémy funkce S(x) jsou v bodech x0 , pro něž platí x20 = 2n, kde n = 1, 2, .... Hodnoty Ee(∞) =
1 (1 + i), 2
(6)
1 . 2
(7)
tj. C(∞) = S(∞) =
134
DODATEK B: FRESNELOVY INTEGRÁLY
Obrázek 1: Graf funkce C(x). lze poměrně snadno vypočítat pomocí reziduové věty funkcí komplexní proměnné (viz např. [3], str. 259). V rámci integrálního počtu funkcí reálné proměnné je výpočet hodnot (7) poněkud komplikovaný. Tři různé způsoby jejich výpočtu uvádí G. M. Fichtěngol’c [2], str. 725, 733.
Obrázek 2: Graf funkce S(x). Poznámka k různým definicím Fresnelových integrálů: V literatuře se Fresnelovy integrály definují několika neekvivalentními způsoby. To je třeba mít na paměti při používání tabulek vzorců nebo numerických hodnot. Dosti často se Fresnelovými integrály rozumí výrazy (1) s q = 1, tj. x
Z
r
2
C1 (x) =
cos t dt = 0
Jindy se definují s koeficientem r
2q π
Z
2q π
r
r 2
! 2 x , π
Z
x 2
r
sin t dt =
S1 (x) = 0
π S 2
r
! 2 x . π
před integrálem
x
cos qt 0
q
π C 2
dt = C
! 2q x , π
r
2q π
Z
r
x
sin qt 0
2
dt = S
! 2q x π
B.2
Mocninné řady Fresnelových integrálů
135
viz např. [4], 8.250 s q = 1) zaváděným pravděpodobně proto, aby i takto definované Fresnelovy integrály nabývaly hodnoty 0,5 pro x → ∞. Ještě jindy se za Fresnelovy integrály považují výrazy r ! r ! Z x Z x 2x 1 2x 1 cos t sin t √ √ dt = C √ √ dt = S , π π t t 2π 0 2π 0 (viz např. [5], odst. 9.10) nebo dokonce 1 √ 2πx
B.2
Z 0
x
1 cos t √ dt = √ C x t
r
2x π
!
1 ,√ 2πx
Z
x
0
1 sin t √ dt = √ S x t
r
2x π
! ,
x ≥ 0.
Mocninné řady Fresnelových integrálů
Pro x ∈ (−∞, ∞) platí
Ee(x)
=
C(x)
=
S(x)
=
∞ X n=0 ∞ X n=0 ∞ X n=0
in
π n 1 x2n+1 , 2 n! 2n + 1 x4n+1 1 , (2n)! 4n + 1
(−1)n
π 2n
(−1)n
π 2n+1
2 2
1 x4n+3 . (2n + 1)! 4n + 3
(1) (2) (3)
Tyto řady lze odvodit rozvojem integrandů v Maclaurinovu řadu a záměnou pořadí sčítaní a integrace: Z xX ∞ π π n t2n 2 Ee(x) = exp i t dt = i dt = 2 2 n! 0 0 n=0 Z ∞ ∞ X X π n 1 x 2n π n 1 x2n+1 = t dt = , i i 2 n! 0 2 n! 2n + 1 n=0 n=0 Z
x
což je řada (1). Oddělením reálné a imaginární části řady (1) dostaneme řady (2) a (3). Toto oddělení provedeme tak, že sečteme zvlášť sudé a liché členy řady (1):
Ee(x)
= =
∞ X l=0 ∞ X l=0
i2l
π 2l 2
(−1)l
∞
π 2l+1 X 1 x4l+1 1 x4l+3 + i2l+1 = (2l)! 4l + 1 2 (2l + 1)! 4l + 3 l=0
π 2l 2
4l+1
∞
π 2l+1 X 1 x 1 x4l+3 +i (−1)l . (2l)! 4l + 1 2 (2l + 1)! 4l + 3 l=0
Odkud, vzhledem k B.1(3), se ihned dostanou vztahy (2) a (3). Poloměr konvergence řad (1) až (3) je ovšem nekonečný, neboť poloměr konvergence rozvojů integrandů je nekonečný. O nekonečnosti poloměru konvergence řad (1) až (3) se ovšem můžeme přesvědčit pomocí podílového kriteria. Např. pro řadu (1) platí an+1 2n + 1 1 π 2 an = 2n + 3 n + 1 2 x , takže an+1 =0 lim n→∞ an pro všechna x.
136
DODATEK B: FRESNELOVY INTEGRÁLY
B.3
Knochenhauerův rozvoj Fresnelových integrálů
Pro x ∈ (−∞, ∞) platí ∞ π X (−iπ)n exp i x2 x2n+1 , 2 (2n + 1)!! n=0 π π C(x) = M (x) cos x2 + N (x) sin x2 , 2 2 π π S(x) = M (x) sin x2 − N (x) cos x2 , 2 2
Ee(x)
=
(1) (2) (3)
kde
M (x)
=
∞ X (−1)n π 2n 4n+1 1 x = √ U 12 (πx2 , 0), (4n + 1)!! 2 n=0
(4)
N (x)
=
∞ X 1 (−1)n π 2n+1 4n+3 x = √ U 32 (πx2 , 0). (4n + 3)!! 2 n=0
(5)
Zde (2n + 1)!! = (2n + 1)(2n − 1) · · · 3 · 1 a Uν (u, v) značí Lommelovy funkce dvou proměnných u, v řádu ν (viz dodatek C). Výrazy (1) až (5) se získají integrací per partes: Z 0
x
π exp i t2 dt 2
Z x π π 2 = x exp i x − iπ t2 exp i t2 dt = 2 2 0 π iπ π (iπ)2 Z x π = x exp i x2 − x3 exp i x2 + t4 exp i t2 dt = 2 3 2 3 2 0 π 2 3 Z x (iπ) 5 (iπ) π iπ = exp i x2 x − x3 + x − t6 exp i t2 dt = 2 3 3.5 3.5 0 2 = ... = Z N π X π (−iπ)n (−iπ)N +1 x 2N = exp i x2 x2n+1 + t exp i t2 dt. 2 (2n + 1)!! (2N + 1)!! 0 2 n=0
Obrázek 3: Graf funkce M (x).
(6)
B.3
Knochenhauerův rozvoj Fresnelových integrálů
137
Obrázek 4: Graf funkce N (x). Je nyní třeba ukázat, že (−iπ)N +1 N →∞ (2N + 1)!!
Z
x
lim
0
π t2N exp i t2 dt = 0. 2
(7)
Za tím účelem odhadneme absolutní hodnotu Z Z |x| π N +1 (−iπ)N +1 x 2N π N +1 |x|2N +1 2 ≤ π t dt . t exp i t2N dt = (2N + 1)!! 2 (2N + 1)!! 0 (2N + 1)(2N + 1)!! 0
(8)
Pro N → ∞ jde limita výrazu (8) k nule. (Zvětšíme-li totiž N o jedničku, změní se výraz (8) faktorem πx2 (2N + 1)/(2N + 3)2 a pro každou hodnotu x existuje tak velké N , že tento faktor je menší než jedna.) Tím je tvrzení (7) dokázáno. Podílovým kritériem se nahlédne, že poloměr konvergence řady (1) je nekonečný 2 an+1 = lim πx = 0 lim (9) n→∞ n→∞ 2n + 3 an pro všechny hodnoty x. Z výrazu (6) pak plyne tvrzení (1). Vztahy (2) a (3) se dostanou z reálné a imaginární části výrazu (1): ∞ π X (−iπ)n x2n+1 exp i x2 2 (2n + 1)!! n=0
=
h
cos
π
π i x2 + i sin x2 × 2 2
# ∞ ∞ X X (−1)l π 2l (−1)l π 2l+1 4l+3 4l+1 × x −i x . (4l + 1)!! (4l + 3)!! "
l=0
l=0
Ve druhé hranaté závorce poznáváme výraz M (x) − iN (x). Je tedy
Ee(x)
= C(x) + iS(x) = π π π π 2 2 2 = M (x) cos x + N (x) sin x + i M (x) sin x − N (x) cos x2 . 2 2 2 2
Porovnáním reálné a imaginární části výrazů se dostávají tvrzení (2) a (3). (Rozvoje tohoto typu pocházejí od K. W. Knochenhauera [7], [8], str. 36, 37.) Je zřejmé, že řady M (x) a N (x) jsou liché funkce proměnné x. Derivováním lze ověřit, že mezi nimi platí vztahy
138
DODATEK B: FRESNELOVY INTEGRÁLY 1 d N (x), πx dx 1 d N (x) = 1− M (x) . πx dx M (x) =
B.4
(10) (11)
Cauchyův asymptotický rozvoj Fresnelových integrálů
Fresnelovy integrály mají tyto asymptotické řady pro x → ∞:
Ee(x)
=
C(x)
=
S(x)
=
∞ n −i 1 + i i exp i π2 x2 X , (2n − 1)!! − 2 πx πx2 n=0 π π 1 1 − −K(x) sin x2 + L(x) cos x2 , 2 πx 2 2 π π 1 1 − K(x) cos x2 + L(x) sin x2 , 2 πx 2 2
(1) (2) (3)
kde
K(x) L(x)
= =
∞ X n=0 ∞ X
(−1)n (4n − 1)!! (−1)n (4n + 1)!!
n=0
1 , (πx2 )2n 1 (πx2 )2n+1
(4) .
(5)
Obrázek 5: Graf funkce K(x). Poznámka: Ve výrazu (1) a (4) se v souvislosti s n = 0 objeví výraz (−1)!!. Klademe (−1)!! = 1, což odpovídá vztahu (viz [4], 8.339.2) 2n 1 (2n − 1)!! = √ Γ n + 2 π pro n = 0: 1 (−1)!! = √ Γ π
1 = 1. 2
Vztah (1) odvodíme úpravou Fresnelova integrálu a integrací per partes. Předpokládáme ovšem x > 0:
B.4
Cauchyův asymptotický rozvoj Fresnelových integrálů
139
Obrázek 6: Graf funkce L(x).
Z ∞ Z ∞ π π π exp i t2 dt = exp i t2 dt − exp i t2 dt = 2 2 2 0 0 x Z ∞ π 1+i − exp i t2 dt, 2 2 x
Z Ee(x)
= =
Z
∞
x
π exp i t2 dt 2
x
(6)
Z ∞ exp i π2 t2 t exp(i π2 t2 )t −i exp i π2 x2 −i dt = − + dt = = t π x π t3 x x 2 2 Z ∞ exp i π2 x2 exp(i π2 t2 )t −i exp i π2 x2 i −i = − − + 3 dt = π x π x3 π t5 x Z
∞
= ··· = 2 3 −i exp i π2 x2 −i −i −i 1 1 1 = − +3 + 3.5 + 1+ π x π x2 π x4 π x6 N N Z ∞ exp i π2 t2 −i 1 −i + · · · + (2N − 1)!! + (2N − 1)!! dt = π x2N π t2N x N n N Z ∞ i exp i π2 x2 X exp i π2 t2 −i −i = (2n − 1)!! + (2N − 1)!! dt. πx πx2 π t2N x n=0 Odtud, vzhledem ke vztahu (6), vyplývá rozvoj (1). Rozvoje (2) a (3) jsou reálnou a imaginární částí rozvoje (1). Sudé členy řady v (1) tvoří totiž řadu K(x), liché členy řadu −iL(x). Takže vztah (1) můžeme přepsat do tvaru π π 1 i 1 2 2 C(x) + iS(x) = + − i cos x − sin x K(x) − iL(x) , 2 2 πx 2 2 tj.
C(x) + iS(x)
=
což odpovídá rozvojům (2) a (3).
π π 1 1 − −K(x) sin x2 + L(x) cos x2 + 2 πx 2 2 π π i 1 1 h +i − K(x) cos x2 + L(x) sin x2 , 2 πx 2 2
140
DODATEK B: FRESNELOVY INTEGRÁLY
Obrázek 7: Aproximace funkce C(x) (plná čára) funkcí
1 2
+
1 πx
sin( π2 x2 ) (tečkovaně).
Obrázek 8: Aproximace funkce S(x) (plná čára) funkcí
1 2
−
1 πx
cos( π2 x2 ) (tečkovaně).
Derivováním se lze přesvědčit, že řady K(x) a L(x) spolu souvisejí vztahy 1 d L(x) , K(x) = 1 + π dx x 1 d K(x) L(x) = − . π dx x
(7) (8)
Až dosud jsme v tomto odstavci předpokládali, že x > 0. Vzhledem k tomu, že Fresnelovy integrály jsou liché funkce, můžeme napsat asymptotické rozvoje platné pro všechna x 6= 0 ve tvaru n # ∞ exp(i π2 x2 ) X 1+i −i Ee(x) = sgn x −i (2n − 1)!! , 2 π|x| πx2 n=0 π π 1 1 2 C(x) = sgn x − −K(x) sin x + L(x) cos x2 , 2 π|x| 2 2 π π 1 1 S(x) = sgn x − K(x) cos x2 + L(x) sin x2 . 2 π|x| 2 2 "
(9) (10) (11)
B.4
Cauchyův asymptotický rozvoj Fresnelových integrálů
141
Při tom jsme využili toho, že funkce K(x) a L(x) jsou sudé. Teorie asymptotických řad a jejich použití k výpočtům je poněkud složitá (viz např. [10], kap. VIII). Nebudeme se jí zabývat a uvedeme jen, že pro výpočty difrakčních jevů používáme aproximace Fresnelových integrálů prvními dvěma členy asymptotických rozvojů (9) až (11), tj. klademe K(x) = 1, L(x) = 0:
π 1 1+i − exp i x2 , 2 π|x| 2 1 1 π 2 C(x) ≈ sgn x , + sin x 2 π|x| 2 π 1 1 S(x) ≈ sgn x − cos x2 2 π|x| 2
Ee(x) ≈ sgn x
(12) (13)
(srov. obr. 7 a 8). Příklad: Aproximativní vyjádření rozložení intenzity a fáze při difrakci na nepropustné polorovině. V odstavci 5.2 jsme odvodili rozložení relativní intenzity I(x) a fáze φ(x) při difrakci na nepropustné polorovině ve tvaru
(
2 2 ) 1 1 + C(x) + + S(x) , 2 2
I(x)
=
1 2
φ(x)
=
Arctg
1 2 1 2
(14)
+ S(x) π − 4 + C(x)
(15)
(srov. 5.2(6), 5.2(7)). (Symbolem Arctg x značíme všechny větve funkce arkustangens. Hlavní větev značíme symbolem arctg x, takže platí Arctg x = arctg x + nπ, n = 0, ±1, ±2, . . ..) Hodnotě x = 0 odpovídá hranice geometrického stínu, hodnotám x > 0 osvětlená část roviny pozorování a hodnotám x < 0 zastíněná část. Dosazením přibližných výrazů (12) a (13) do (14) a (15) dostaneme sice jen přibližná rozložení intenzity a fáze, budou však vyjádřena elementárními funkcemi, a tím budou názorně vypovídat o chování intenzity a fáze mimo bezprostřední blízkost geometrického stínu. Z (12) a (13) je zřejmé, že
π 1 1 + C(x) ≈ 1 + sin x2 , 2 πx 2 π 1 1 + C(x) ≈ sin x2 , 2 πx 2
π 1 1 + S(x) ≈ 1 − cos x2 , 2 πx 2 π 1 1 + S(x) ≈ − cos x2 , 2 πx 2
x 1,
(16)
x −1.
(17)
V osvětlené části x 1 roviny pozorování tedy podle (14), (15) a (16) je
( ) π 2 π 2 1 1 2 2 I(x) ≈ 1+ sin x + 1− cos x = πx 2 πx 2 π i 2 h π 2 1 1 2 = 2+ sin x − cos x + ≈ 2 πx 2 2 (πx)2 √ 2 π 1 ≈ 1+ sin x2 − , x 1, πx 2 2 1 2
(18)
142
DODATEK B: FRESNELOVY INTEGRÁLY
1 1 − πx cos π2 x2 π − ≈ 1 4 1 + πx sin π2 x2 π 2 1 π 2 cos x + sin x arctg 1 − − arctg 1 = πx 2 2 ) ( √ 2 π 1 2 arctg 1 − cos x − − arctg 1 = πx 2 2 √ − πx2 cos π2 x2 − 12 √ arctg ≈ 2 − πx2 cos π2 x2 − 12 √ π 1 2 − cos x2 − , x 1. 2πx 2 2
φ(x) ≈ Arctg ≈ =
= ≈
(19)
Z výrazů (18) a (19) je zřejmé, že v osvětlené části rovniny pozorování intenzita osciluje kolem hodnoty jedna, fáze osciluje kolem nuly a že s rostoucí vzdáleností od geometrického stínu se tyto oscilace zhuštují a slábnou. V zastíněné části x −1 roviny pozorování je tomu jinak. Dosazením (17) do (14) a (15) dostáváme ( ) π 2 1 π 2 1 1 1 2 2 sin x cos x + − = , x −1, (20) I(x) ≈ 2 πx 2 πx 2 2(πx)2 h π i π − cos π2 x2 π π 1 2 2 φ(x) ≈ Arctg − = − Arctg cotg x = x + , − 4 2 4 2 2 sin π2 x2
x −1.
(21)
V zastíněné části roviny pozorování tedy s rostoucí vzdáleností od geometrického stínu intenzita asymptoticky klesá k nule (srov. (20)), zatímco fáze kvadraticky roste (srov. (21)). Porovnání výpočtu podle vztahů (14) a (15) a výpočtu podle přibližných vztahů (18) až (21) je na obr. 9 a 10. Poznámka: Numerické výpočty Fresnelových integrálů uvedenými rozvoji ukazují, že tyto integrály je vhodné do hodnoty |x| ' 2, 5 počítat buď mocninnými řadami pro n ' 20, anebo Knochenhauerovým rozvojem pro n ' 20. Pro |x| ≥ 2, 5 stačí vzít první dva členy asymptotických rozvojů Fresnelových integrálů. Existují tabulky Fresnelových integrálů, např. Tablicy intěgralov Frenela. Izdateľstvo akademii nauk SSSR, Moskva 1955.
B.5
Cornuova spirála
Ke stanovení rozložení amplitudy a fáze ve Fresnelových difrakčních jevech na stínítkách s rovnými okraji se používalo Cornuovy spirály [11]. Je to křivka, jejíž parametrické rovnice v kartézské soustavě souřadnic (0, x, y) jsou x = C(u), y = S(u). Měříme-li délku Cornuovy spirály od počátku 0 soustavy souřadnic, má Cornuova spirála tyto vlastnosti: a) Je symetrická podle počátku. b) Parametr u představuje délku křivky. c) Úhel α, který svírá tečna Cornuovy spirály v obecném bodě P (u) s osou C(u), je α=
π 2 u . 2
d) Křivost k Cornuovy spirály v obecném bodě P (u) je k = π|u|,
B.5
Cornuova spirála
143
1.4
1.2
1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
Obrázek 9: Aproximace rozložení intenzity ve Fresnelově difrakci na nepropustné polorovině (plná čára) funkcemi (18) a (20) (křížky).
3
2
1
1 -1
2
3
4
5
0
Obrázek 10: Aproximace rozložení fáze ve Fresnelově difrakci na nepropustné polorovině (plná čára) funkcemi (19) a (21) (křížky).
144
REFERENCE
Obrázek 11: Cornuova spirála. tj. je úměrná délce Cornuovy spirály. Z toho plyne, že poloměr křivosti ρ je nepřímo úměrný délce Cornuovy spirály a je roven 1 1 . ρ= = k π|u|
Důkaz: a) Vlastnost a) vyplývá z toho, že Fresnelovy integrály C(x) a S(x) jsou liché funkce. b) Element délky křivky s 2 2 p πu πu ds = (dx)2 + (dy)2 = cos2 + sin2 du = du. 2 2 Poněvadž s(0, 0) = 0 a rovněž u(0, 0) = 0, je s = u. c) π sin( π2 u2 ) dy = u2 , tg α = = tg dx cos( π2 u2 ) 2 takže α=
π 2 u . 2
d) dα k = = π|u|. du
Reference [1] Fresnel J. A.: Œuvres compl`etes d’Augustin Fresnel, Tome 1. (H. de Senarmont, É. Verdet, L. Fresnel, eds.) Imprimerie Impériale, Paris 1866. [2] Fichtěngoľc G.M.: Kurs differenciaľnogo i intěgraľnogo isčislenija, tom 2. Gosudarstvennoe izdatěľstvo fiziko-matěmatičeskoj literatury, Moskva 1959. [3] Fuks B. A., Šabat B.V.: Funkce komplexní proměnné. NČSAV, Praha 1961. [4] Gradshteyn I. S., Ryzhik I. M.: Table of Integrals, Series, and Products. Academic Press, New York and London 1965.
REFERENCE
145
[5] Bateman H., Erdélyi A.: Higher Transcendental Functions. Volume 2. McGraw–Hill Book Co., Inc., New York, Toronto, London 1953. [6] Komrska J.: Scalar Diffraction Theory in Electron Optics. In: Progress in Electronics and Electron Physics (L. Marton, ed.), Vol. 30. Academic Press, Inc., New York and London 1971, 139–234. ˝ [7] Knochenhauer K. W.: Uber die Oerter der Maxima und Minima des gebeugten Lichtes nach den Fresnel’schen Beobachtungen. Poggendorff ’s Annalen der Physik und Chemie (2) 41 (1837), 103– 110. [8] Knochenhauer K. W.: Die Undulationstheorie des Lichtes. G. Reimer, Berlin 1839. [9] Abramowitz M., Stegun I. A.: Handbook of Mathematical Functions. Dover Publications, Inc., New York 1972, 321. [10] Whittaker E. T., Watson G. N.: A Course of Modern Analysis. Cambridge University Press, Cambridge 1927. [11] Cornu M. A.: Méthode nouvelle pour la discussion des probl`emes de diffraction dans le cas d’une onde cylindrique. Journal de Physique Théorique et Appliqée 3 (1874), 5–15, 44–52.
