Rendszerelmélet II – Laboratóriumi gyakorlat -1
Diszkrét rendszerek A gyakorlat célja A mintavételes jelek és rendszerek gyakorlati tanulmányozása és az ehhez kapcsolódó MATLAB függvények megismerése. Bevezetjük a mintavételezett jel fogalmát, a diszkrét átviteli függvényt, a Z transzformáltat valamint a diszkrét rendszerek stabilitását.
Elméleti bevezető Folytonos jel mintavételezése: y d (t ) = ∫ y (n ⋅ Ts ) ⋅ δ (t − nTs ) = y (0 ) ⋅ δ (t ) + y (Ts ) ⋅ δ (t − Ts ) + y (2Ts ) ⋅ δ (t − 2Ts ) + K Laplace transzformáció után: yd (s ) = y (0 ) + y (Ts ) ⋅ e − s ⋅TS + y (2Ts ) ⋅ e −2 s ⋅TS + K z = e s⋅TS
⇒
∞
y d ( z ) = y (0 ) + y (Ts ) ⋅ z −1 + y (2Ts ) ⋅ z − 2 + K = ∑ y (kTs ) ⋅ z −k k =0
1. ábra. Folytonos jel mintavételezése. Folytonos jel visszaállítása
1
Rendszerelmélet II – Laboratóriumi gyakorlat -1
Mintavételezés tétele A mintavételezési tétel azt mondja, hogy egy jel megfelelően visszaállítható a mintáiból, ha az eredeti jel a spektrumának a W legmagasabb frekvenciakomponensénél legalább kétszerakkora frekvencián van mintavételezve. Ezt az alsó mintavételezési határt Nyquistfrekvenciának hívjuk.
Diszkrét átviteli függvény Legyen y[n ] egy diszkrét LTI rendszer kimenete, míg a bemenete u[n ] . Ha h[n ] a diszkrét rendszer súlyfüggvénye (a rendszer Dirac bemenő jelre adott válasza) akkor felírható y[n ] = h[n ] ∗ u[n ] Ha a Z - transzformációt alkalmazunk, akkor Y( z) = H( z ) ⋅ U( z ) összefüggést kapjuk, ahonnan H( z ) =
Y ( z) U( z )
és ezt diszkrét átviteli függvénynek nevezzük. Folytonos rendszerek digitális számítógéppel való irányítása vagy vezérlése megköveteli a diszkrét szabályozó kimeneti jel folytonossá alakítását, valamint az irányított rendszer kimenetének mintavételezését. A számítógépből nézve, egy folytonos átviteli függvény és egy zérórendű tartó a bemeneten leírható a diszkrét átviteli függvénnyel:
H ZOH (s ) =
1 − e − sT s
H (s ) H ( z ) = Z {H ZOH (s ) ⋅ H (s )} = 1 − z −1 Z s A legtöbb esetben a rendszerek válasza adott bemeneti jelre frekvenciatartományban analitikusan kiszámítható. Az időtartománybeli megfelelőjének kiszámítását szolgálja a kezdeti illetve végsőérték tétel.
(
Kezdeti érték tétel:
)
lim y (nT ) = lim y(z ) S
n→0
Végsőérték tétel:
z →∞
lim y(nT ) = lim (1 − z n →∞
S
z →1
−1
) ⋅ y(z )
2
Rendszerelmélet II – Laboratóriumi gyakorlat -1
Stabilitás Diszkrét rendszerek leírását szolgálja a H(z ) impulzus-átviteli függvény. Ezek pólusainak elrendezése az egységsugarú kör környezetében adja a diszkrét rendszer stabilitásának mértékét. Ha a diszkrét rendszer pólusai mind az egységsugarú körön belül vannak akkor a rendszer aszimptotikusan stabil. Ennek összefoglalóját láthatjuk a következő ábrákon a valós valamint a komplex pólusok esetében
2. ábra. Pólusok helyzete és a stabilitás viszonya Fentebb látható a valós pólusok viszonya az egységsugarú körhöz és a megfelelő kimenő jel egy diszkrét rendszer esetében. A következő ábrán látható a komplex pólusok viszonya az egységsugarú körhöz és a megfelelő kimenő jel egy diszkrét rendszer esetében.
3. ábra. A rendszer válasza és a pólusok helyének viszonya
3
Rendszerelmélet II – Laboratóriumi gyakorlat -1 Egy kauzális LTI rendszert leíró egyenlet zéró értéket vesz fel ha n < 0 . Kiszámítjuk a rendszer átviteli függvénynek megfelelő pólusokat. Ha egy pólus az egységnyi sugarú körön belül helyezkedik el ( d k < 1 ) akkor ez a pólus, mint egy exponenciális tag alapja, időben csökkenő tagokat szolgáltat a rendszer megoldásában (stabilitás). Ha a pólus az egységnyi körön kívül helyezkedik el ( d k > 1 ), akkor a megoldásban az ennek megfelelő exponenciális tag időben növekvő tagot szolgáltat s ez instabilitást jelent. Ha a pólus az egységnyi körön helyezkedik el akkor az egy oszcilláló taggal járul hozzá a homogén rendszer viselkedéséhez. Ha egy rendszer stabil és kauzális akkor minden pólusa az egységnyi sugarú körön belül helyezkedik el.
Feladatok 2z 2 − z ; Ts = 0.5; z 2 − z + 0.24 a) Számítsátok ki az inverz Z transzformáltját, tehát a súlyfüggvényt N = 10 mintavételre (dimpulse) b) Használjátok a z = tf (' z ' , Ts ) függvényt, és ezzel írjátok fel az átviteli függvényt. Használjátok az impulse függvényt a súlyfüggvény kiszámítására. c) A részlettörtre bontás módszerével számítsátok ki az inverz z transzformáltat. r r2 z Z y (t ) = e −a ⋅t ; y d (nTs ) = ⋅e − a⋅nTS → ; y d (nTs ) = z k 0 + 1 + − aTS z − p1 z − p 2 z−e 1. Adott a következő rendszer: H d ( z ) =
Használd a residue függvényt! y d (nTs ) = ⋅e a ⋅n⋅Ts + e b⋅n⋅Ts ; alak, ábrázoljátok! 1 + 5s ; T = 1; 2. Adott H (s ) = (1 + 10s )(1 + 8s )(1 + 4s )(1 + 2s ) s a. H ( z ) = ? Használd a c2d függvényt! b. Hozzátok zpk alakra a kapott diszkrét rendszert! c. Számítsátok ki a kezdeti, illetve a végső értéket a H ( z ) rendszer válaszának, z ha a bemenet egységugrás. z{1(t )} = ; Ellenőrzés: dcgain z −1 z 2 − 0,3 ⋅ z − 0,1 3. Adott H d ( z ) = 3 ; Ts = 1; z + 3 ⋅ z 2 + 2,5 ⋅ z + 1 a. Számítsátok ki a pólusokat, stabil? [z , P, k ] = zpkdata (H d , ' v') b. Használjátok a pzmap függvényt a stabilitás vizsgálatára. c. Ábrázoljátok a súlyfüggvényt és az átmeneti függvényt!
4
Rendszerelmélet II – Laboratóriumi gyakorlat -1 4.
Adott a következő súlyfüggvénnyel rendelkező rendszer:
Ahol : h=[0.0279 0.0288 -0.0037 -0.0368 -0.0161 0.0371 0.0313 -0.0543 -0.0916 0.0522 0.3079 0.4378 0.3079 0.0522 -0.0916 -0.0543 0.0313 0.0371 -0.0161 -0.0368 -0.0037 0.0288 0.0279];
Számítsátok ki a rendszer válaszát egy f1 majd f2 frekvenciájú szinuszos bemeneti jelre ha a mintavételezési periódus Ts (Ts=1000Hz, f1=20Hz, f2=100Hz).
Kérdések 1. 2. 3. 4.
Miért nem identikus az 1-es feladat a.) és b.) pontjában a válasz? Mit eredményez az átviteli függvény inverz Z - transzformáltja? Miért hasznos a zpk alakja az átviteli függvénynek? Mit mondhatunk el a 4-es feladatban leírt rendszerről? Minek a súlyfüggvénye lehet a megadott halmaz?
5
