perpustakaan.uns.ac.id
digilib.uns.ac.id
BASIS RUANG VEKTOR EIGEN SUATU MATRIKS ATAS ALJABAR MAX-PLUS
oleh PUNDRA ANDRIYANTO M0109057
SKRIPSI ditulis dan diajukan untuk memenuhi sebagian persyaratan memperoleh gelar Sarjana Sains Matematika
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SEBELAS MARET SURAKARTA 2014 commit to user
i
perpustakaan.uns.ac.id
digilib.uns.ac.id
commit to user
ii
perpustakaan.uns.ac.id
digilib.uns.ac.id
MOTO
1. Sesungguhnya sesudah kesulitan itu ada kemudahan (Q.S. Al Insyirah: 6). 2. Dan janganlah kamu mengikuti apa yang kamu tidak mempunyai pengetahuan tentangnya. Sesungguhnya pendengaran, penglihatan dan hati, semuanya itu akan diminta pertanggungan jawabnya (Q.S. AlIsraa’:36). 3. Sesungguhnya setiap perbuatan bergantung pada niatnya. Sesungguhnya setiap orang (akan dibalas) berdasarkan apa yang dia niatkan. Barangsiapa hijrahnya karena (ingin mendapat keridhaan) Allah dan Rasul-Nya, maka hijrahnya kepada (keridhaan) Allah dan Rasul-Nya. Dan barangsiapa hijrahnya karena dunia yang dikehendakinya atau karena wanita yang ingin dinikahinya, maka hijrahnya kepada apa yang dia tuju (niatkan) (H.R.Bukhari-Muslim).
commit to user
iii
perpustakaan.uns.ac.id
digilib.uns.ac.id
PERSEMBAHAN
Tulisan ini kupersembahkan untuk Ibu, Bapak, Saudaraku, serta untuk teman-temanku, terimakasih atas bantuan yang telah diberikan.
commit to user
iv
perpustakaan.uns.ac.id
digilib.uns.ac.id
ABSTRAK
Pundra Andriyanto, 2013. BASIS RUANG VEKTOR EIGEN SUATU MATRIKS ATAS ALJABAR MAX-PLUS. Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Sebelas Maret. +
̅ yang
. Himpunan matriks berukuran
atas
Aljabar Max-Plus merupakan suatu himpunan dilengkapi dengan dua operasi
dan
Aljabar Max-Plus dinotasikan sebagai ̅
*
. Penelitian ini bertujuan untuk
mengkaji ulang nilai eigen dan vektor eigen serta basis ruang vektor eigen dalam ̅
Aljabar Max-Plus. Misalkan strongly connected. Jika matriks tunggal, tetapi jika matriks (
, matriks
disebut tak terreduksi jika
tak terreduksi maka
terreduksi maka
mempunyai nilai eigen
mempunyai nilai eigen sebanyak
). Untuk menentukan nilai eigen matriks terreduksi, matriks itu
perlu diubah ke dalam bentuk Frobenius Normal Form (FNF) sehingga elemenelemen pada diagonal utamanya merupakan submatriks persegi yang tak terreduksi. Selanjutnya menentukan vektor eigen dan himpunan peta matriks untuk nilai eigen yang bersesuaian. Kata kunci: tak terreduksi, nilai eigen, vektor eigen, Frobenius Normal Form (FNF), himpunan peta.
commit to user
v
perpustakaan.uns.ac.id
digilib.uns.ac.id
ABSTRACT
Pundra Andriyanto, 2013. BASES OF EIGENVECTOR SPACE FOR MATRICES OVER MAX-PLUS ALGEBRA. Faculty of Mathematics and Natural Sciences, Sebelas Maret University. *
Max-Plus Algebra is a set and
. The set of matrix
+
̅ equipped with two operation
over Max-Plus Algebra denoted as ̅
. The aim
of this research is to study eigenvalue, eigenvector and bases of eigenvector space in Max-Plus Algebra. Let
̅
strongly connected. If matrix
is irreducible then
if matrix
is reducible then
has
, matrix (
is called irreducible if
has a
has a unique eigenvalue, but ) eigenvalues. To determine
eigenvalue of reducible matrix, this matrix must be changed to Frobenius Normal Form (FNF) so that these elements in the principal diagonal are irreducible square submatrix. Furthermore eigenvector and image set of matrix
are determined by
theirs eigenvalues. Key words: irreducible, eigenvalue, eigenvector, Frobenius Normal Form (FNF), image set.
commit to user
vi
perpustakaan.uns.ac.id
digilib.uns.ac.id
KATA PENGANTAR
Bismillahirrahmanirrahim, Puji syukur kepada Allah SWT yang senantiasa memberikan rahmat dan hidayahNya, sehingga penulis dapat menyelesaikan skripsi ini. Selain itu, penulis juga mengucapkan terima kasih kepada semua pihak yang telah membantu dalam penyusunan skripsi ini, khususnya kepada 1. bapak Drs. Siswanto, M.Si. sebagai dosen pembimbing I dan ibu Dra. Etik Zukhronah, M.Si. sebagai dosen pembimbing II atas kesediaan dan kesabaran yang diberikan dalam membimbing penulis, 2. teman-temanku baik ditingkat jurusan, fakultas maupun universitas, 3. semua pihak yang membantu dalam penulisan skripsi ini yang tidak dapat penulis sebut satu per satu. Semoga skripsi ini dapat bermanfaat bagi semua pihak yang memerlukan.
Surakarta, Januari 2014
Penulis
commit to user
vii
perpustakaan.uns.ac.id
digilib.uns.ac.id
DAFTAR ISI
I
JUDUL ........................................................................................................
i
PENGESAHAN ..........................................................................................
ii
MOTO .........................................................................................................
iii
PERSEMBAHAN .......................................................................................
iv
ABSTRAK ..................................................................................................
v
ABSTRACT ..................................................................................................
vi
KATA PENGANTAR .................................................................................
vii
DAFTAR ISI ...............................................................................................
viii
DAFTAR GAMBAR ..................................................................................
x
DAFTAR TABEL .......................................................................................
xi
DAFTAR NOTASI .....................................................................................
xii
PENDAHULUAN .......................................................................................
1
1.1. Latar Belakang Masalah .................................................................
1
1.2. Perumusan Masalah ........................................................................
2
1.3. Batasan Masalah .............................................................................. 3 1.4. Tujuan .............................................................................................. 3 1.5. Manfaat ............................................................................................ 3 II
LANDASAN TEORI ...................................................................................
4
2.1. Tinjauan Pustaka .............................................................................
4
3.1.1. Nilai Eigen dalam Aljabar Biasa .........................................
4
3.1.2. Aljabar Max-Plus ................................................................. 4 3.1.3. Digraf ................................................................................... 5 3.2. Kerangka Pemikiran .......................................................................
9
III METODE PENELITIAN ............................................................................
10
IV PEMBAHASAN .........................................................................................
11
4.1. Nilai Eigen Utama ..........................................................................
11
4.2. Menentukan Semua Nilai Eigen ...................................................... 23 4.3. Menentukan Semua Vektor Eigen .................................................. commit to user 4.4. Himpunan Peta Suatu Matriks ........................................................
viii
28 30
perpustakaan.uns.ac.id
V
digilib.uns.ac.id
PENUTUP ...................................................................................................
37
5.1. Kesimpulan .....................................................................................
37
5.2. Saran ................................................................................................ 37 DAFTAR PUSTAKA
38
commit to user
ix
perpustakaan.uns.ac.id
digilib.uns.ac.id
DAFTAR GAMBAR
1
Contoh digraf ..............................................................................................
6
2
Digraf dengan path, cycle dan cycle elementer .........................................
7
3
Digraf untuk Contoh 4.1.1 ..........................................................................
16
4
Digraf untuk Contoh 4.1.2 ..........................................................................
17
5
Digraf untuk Contoh 4.1.3 ..........................................................................
22
6
Condensation digraph untuk matriks
26
7
Condensation digraph ................................................................................. 28
8
Condensation digraph untuk matriks pada Contoh 4.4.1 ...........................
......................................................
commit to user
x
36
perpustakaan.uns.ac.id
digilib.uns.ac.id
DAFTAR TABEL
1
Cycle elementer dari Gambar 4.1 .............................................................
16
2
Cycle elementer dari Gambar 4.2 .............................................................
17
3
Cycle elementer dari Gambar 4.3 .............................................................
22
commit to user
xi
perpustakaan.uns.ac.id
digilib.uns.ac.id
DAFTAR NOTASI
: ̅
himpunan bilangan real *
:
+
:
operasi maksimum
:
operasi penjumlahan
: ̅
̅
( )
(
) (
)
( (
)
)
:
0
:
himpunan matriks aljabar max-plus berukuran
:
himpunan bilangan asli
:
vektor yang semua elemennya
:
matriks yang semua elemennya
:
invers dari
:
himpunan peta dari
:
invers dari matriks
:
matriks permutasi
:
himpunan node
:
himpunan arc
:
entri matriks
:
digraf
:
weight digraph
:
path
:
bobot path dari node ke node
:
cycle
:
dapat dicapai dari
:
associated weighted digraph dari
( )
:
matriks metrik dari
( )
:
panjang dari cycle
(
)
:
bobot dari cycle
(
)
:
bobot rata-rata cycle to pada commit user
pada
xii
perpustakaan.uns.ac.id
( )
digilib.uns.ac.id
: nilai eigen matriks :
matriks pangkat aljabar max-plus
:
himpunan vektor eigen dari
( )
:
himpunan semua nilai eigen dari
( )
:
himpunan semua vektor eigen dari
(
)
yang bersesuaian dengan
yang bersesuaian
dengan (
)
:
himpunan vektor eigen berhingga dari
yang bersesuaian
dengan ( )
:
himpunan semua vektor eigen berhingga dari
yang
bersesuaian dengan ( )
:
himpunan eigen nodes atau critical nodes
( )
:
critical digraph dari
:
ekuivalen dengan
:
himpunan kosong
:
kelas ekuivalensi dari ( )
:
himpunan critical nodes yang non ekuivalen dari
, -
:
principal submatriks dari
, -
:
subvektor dari vektor
, -
:
induced subdigraph dari
:
submatriks persegi yang tak terreduksi dari
:
node untuk matriks
:
condensation digraph dari matriks
:
submatriks lain dari
| ( )|
:
kardinalitas dari himpunan semua nilai eigen matriks
( )
:
himpunan node yang merupakan kelas spectral dari matriks
( ( ) ( )
)
yang FNF
yang FNF dengan nilai eigen ( )
:
himpunan node yang merupakan kelas spectral dari matriks dengan nilai eigen
: :
ekuivalen akhir pembuktian commit to user
xiii
