BAB III PORTFOLIO OPTIMAL Pada bab sebelumnya telah dibahas teori-teori yang berkaitan dengan penentuan portfolio optimal. Sebelum menentukan portfolio optimal tentunya terlebih dahulu harus dimodelkan suatu portfolio investasi. Model portfolio investasi yang akan berbentuk persamaan diferensial stokastik akan diselesaikan menggunakan metode yang telah dijelaskan yaitu menggunakan lemma Ito. Solusi dari persamaan diferensial stokastik tersebut akan digunakan pada simulasi. Namun sebelum bisa melakukan simulasi terlebih dahulu ditentukan proporsi optimal yang ditentukan menggunakan teori kontrol optimal stokasik yang merupakan inti tugas akhir ini. Dengan proporsi optimal ini diharapkan investor memperoleh hasil yang maksimal dalam berinvestasi di dua aset berbeda yaitu aset beresiko dan aset tidak beresiko. Pada penentuan portfolio optimal ini diasumsikan bahwa investor bersifat risk aversion yaitu investor tidak menyukai resiko sehingga digunakan fungsi utilitas yang berbentuk fungsi pangkat (power function) yang telah dijelaskan pada bab sebelumnya. 3.1 Model Portfolio Investasi
Misalkan seorang investor menanamkan modalnya pada dua jenis investasi yaitu pada aset tidak beresiko (risk free asset) dan investasi pada aset beresiko (risky asset). Contoh dari investasi tidak beresiko adalah menabung di bank dengan harapan memperoleh keuntungan dari bunga bank dan contoh dari investasi beresiko adalah membeli saham di bursa efek dengan harapan memperoleh keuntungan dari penjualan atau pembelian saham tersebut. Model untuk investasi pada asset tidak beresiko merupakan model pertumbuhan eksponensial dan dikatakan tidak beresiko karena tidak terdapat faktor acak (ketidakpastian). Contoh aset tidak beresiko adalah menabung di bank dan sebagaimana kita tahu bahwa setiap bulannya uang yang ditabung di bank
20
bertambah menurut pertumbuhan eksponensial. Model untuk investasi beresiko serupa dengan model untuk investasi tidak beresiko hanya saja ditambahkan faktor acak dalam hal ini berupa fluktuasi harga saham. Oleh karena itu disebut beresiko karena mengandung faktor ketidakpastian. Model kedua aset tersebut dimodelkan oleh Robert C. Merton. Secara matematika model investasi pada aset tidak beresiko dapat ditulis dalam bentuk
dSt0 = aSt0 dt , dimana St0 adalah jumlah uang yang didapat dari menabung di bank dan a dalam hal ini adalah bunga bank. Sementara untuk model investasi pada aset beresiko ditulis dalam bentuk
dSt1 = bSt1dt + βSt1dWt , dimana St1 adalah jumlah uang yang didapat dari berinvestasi di saham, b adalah rata-rata rate of return dari saham dan β adalah volatilitas harga saham. Karena investasi beresiko berpotensi lebih menguntungkan daripada investasi tidak beresiko maka wajar jika diasumsikan bahwa b>a. Misalkan seorang investor memiliki sejumlah kekayaan maka ia ingin membagi kekayaannya itu untuk diinvesatikan di investasi tidak beresiko dan juga investasi beresiko. Kekayaan investor tersebut dilambangkan dengan X t dan u melambangkan proporsi dari kekayaan investor yang akan digunakan untuk investasi pada aset beresiko dan sisanya 1 − u ia gunakan untuk berinvestasi pada aset tidak beresiko maka persamaan diferensial stokastik untuk kekayaan investor tersebut berbentuk
dX t = u[bX t dt + βX t dWt ] + (1 − u )[aX t dt ] .
(3.1)
Persamaan (3.1) disederhanakan menjadi
dX t = (a + (b − a)u ) X t dt + βuX t dWt .
(3.2)
Persamaan (3.2) adalah model portfolio investasi untuk dua aset berbeda yaitu aset beresiko dan tidak beresiko.
21
3.2 Solusi model portfolio investasi
Model portfolio investasi yang berbentuk persamaan diferensial stokastik akan diselesaikan dengan metode yang telah dijelaskan pada Bab II yaitu dengan menggunakan Lemma Ito. Solusi dari model portfolio investasi ini nantinya akan digunakan untuk simulasi dengan menggunakan Microsoft Excel untuk membandingkan antara jumlah kekayaan yang diperoleh dari model portfolio optimal dengan yang tidak mengikuti model portfolio optimal. Perhatikan model portfolio investasi tanpa tingkat konsumsi (persamaan (3.2)) berikut ini
dX t = ( a + (b − a )u ) X t dt + β uX t dWt . Persamaan tersebut dapat dituliskan menjadi bentuk integral sebagai berikut t
t
X t = X 0 + ∫ [(a + (b − a )u ) X s ] ds + ∫ β uX s dWs , s < t . 0
(3.3)
0
Misalkan X t = f (t , Wt ) untuk suatu fungsi mulus f (t , x) maka menurut Lemma Ito X t dapat ditulis menjadi t
X t = X 0 + ∫ [ f1 ( s, Ws ) + 0
t
1 f 22 ( s, Ws )] ds + ∫ f 2 ( s, Ws ) dWs , s < t . 2 0
(3.4)
dimana
f i (t , x) =
∂ f ( x1 , x2 ) ∂xi x =t , x 1
f ij (t , x) =
∂ ∂ f ( x1 , x2 ) ∂xi ∂x j
, i = 1,2, 2
=x
, i, j = 1,2. x1 = t , x 2 = x
Dengan menyamakan persamaan (3.3) dan (3.4) diperoleh (a + (b − a)u ) f (t , x) = f1 (t , x) +
1 f 22 (t , x) . 2
( β u ) f (t , x) = f 2 (t , x) .
(3.5) (3.6)
22
Dari persamaan (3.6) diperoleh
f 22 (t , x) = βu f 2 (t , x).
= βu ( βu f (t , x)) .
(3.7)
= ( βu ) f (t , x). 2
Dengan mensubtitusikan persamaan (3.7) ke persamaan (3.5) diperoleh 1 (a + (b − a)u ) f (t , x) = f1 (t , x) + [( β u ) 2 f (t , x)] . 2 1 (a + (b − a)u − ( β u ) 2 ) f (t , x) = f1 (t , x) . 2
(3.8)
Selanjutnya untuk mempermudah f (t , x) akan ditulis sebagai hasil kali dua buah fungs dengan variabel terpisah yaitu
f (t , x) = g (t ) ⋅ h( x) ,
(3.9)
f1 (t , x) = g ′(t ) h( x). f 2 (t , x) = g (t ) h′( x).
(3.10)
sehingga
Dengan persamaan (3.10) maka persamaan (3.6) dan (3.8) dapat ditulis menjadi 1 (a + (b − a)u − ( β u ) 2 ) g (t ) = g ′(t ) . 2 ( β u )h( x) = h′( x) .
(3.11) (3.12)
Persamaan (3.11) dan (3.12) dapat diselesaikan dengan metode separasi variabel, sehingga diperoleh 1 g (t ) = g (0) exp(a + (b − a)u − ( β u ) 2 )t . 2
(3.13)
h( x) = h(0) exp(β u ) x .
(3.14)
Dengan mensubstitusikan persamaan (3.13) dan (3.14) ke persamaan (3.9) diperoleh
f (t , x) = g (t ) ⋅ h( x). 1 = g (0) ⋅ h(0) exp[(a + (b − a )u − ( β u ) 2 )t + β ux]. 2
(3.15)
Dari syarat awal X 0 = f (0, W0 ) = f (0,0) = g (0) ⋅ h(0) , persamaan (3.15) menjadi
23
1 X t = X 0 exp[(a + (b − a)u − ( β u ) 2 )t + β uWt ] . 2
(3.16)
Persamaan (3.16) adalah solusi dari model portfolio investasi seperti pada persamaan (3.2). 3.3 Portfolio Optimal
Pada bagian 3.2 telah diperoleh solusi untuk model portfolio investasi yaitu persamaan (3.16). Persamaan (3.16) menggambarkan kekayaan yang diperoleh oleh investor tiap saat (t). Selanjutnya untuk persamaan (3.16) kita akan mencari proporsi kekayaan yang akan dialokasikan investor pada investasi beresiko (u) yang memaksimalkan keuntungan. Untuk memperoleh u yang diinginkan digunakanlah teori kontrol optimal stokastik yang telah dijelaskan pada Bab II. Persamaan diferensial stokastik untuk portfolio optimal seperti yang telah dibahas pada bab-bab sebelumnya adalah
dX t = (a + (b − a)u ) X t dt + βuX t dWt
.
(3.17)
Akan dimaksimalkan ekspektasi fungsi keuntungan yang berupa suatu fungsi utilitas dimana pada kasus ini digunakan fungsi pangkat (power function) yaitu
U ( x) = xγ , x > 0, 0 < γ < 1 ,
(3.18)
sehingga fungsi keuntungannya berbentuk
J (t , x) = E[U ( X T )] .
(3.19)
Nilai maksimum fungsi keuntungan tersebut dituliskan dengan V (t , x) , sehingga
V (t , x) = max[J (t , x)],
(3.20)
dimana V (t , x) harus memenuhi persamaan Hamilton-Jacobi-Bellman (HJB) berikut
max[LV (t , x)] = 0.
(3.21)
Dengan kondisi akhir harus memenuhi
V (T , x) = U ( x),
(3.22)
dan L merupakan operator linier orde dua, yaitu L=
∂ ∂ 1 ∂2 + (a + (b − a )u ) x + β 2u 2 x 2 2 , ∂t ∂x 2 ∂x
(3.23)
24
sehingga LV (t , x) =
∂V ∂V 1 2 2 2 ∂ 2V + (a + (b − a )u ) x + β u x . ∂t ∂x 2 ∂X 2
(3.24)
Untuk menyederhanakan persamaan (3.24), misalkan ∂V ∂V ∂ 2V = Vt , = Vx , 2 = Vxx ∂t ∂x ∂x
(3.25)
,
sehingga persamaan (3.24) menjadi LV (t , x) = Vt + (a + (b − a )u ) xV x +
1 2 2 2 β u x V xx . 2
Keadaan maksimal dari persamaan (3.26) dapat diperoleh pada saat ∂ [ LV (t , x)] = (b − a ) xVx + β 2ux 2Vxx = 0, ∂u sehingga dari persamaan (3.27) diperoleh u=−
(b − a )V x . β 2 xV xx
(3.26)
(3.27) (3.28)
Untuk memperoleh u yang diinginkan kita harus mengetahui bentuk V (t , x ) . Untuk memperolehnya kita substitusikan persamaan (3.28) ke persamaan (3.26) sebagai berikut 2
⎡ ⎛ (b − a)Vx ⎞⎤ 1 ⎛ (b − a)Vx ⎞ 2 ⎟⎟⎥ xVx + β 2 ⎜⎜ − 2 ⎟⎟ x Vxx = 0. LV (t , x) = Vt + ⎢a + (b − a)⎜⎜ − 2 xV xV 2 β β xx ⎠⎦ xx ⎠ ⎝ ⎝ ⎣ (b − a) 2Vx2 1 ⎛ (b − a) 2Vx2 ⎞ ⎟ = 0. + ⎜⎜ 2 ⎝ β 2Vxx ⎟⎠ β 2Vxx (b − a) 2Vx2 = Vt + axVx − = 0. 2β 2Vxx = Vt + axVx −
(3.29)
Diketahui kondisi akhir harus memenuhi persamaan (3.22) sehingga kita misalkan V (t , x) yang memenuhi persamaan (3.22) dan (3.29) berbentuk
V (t , x) = f (t ) x γ .
(3.30)
Substitusikan persamaan (3.30) ke persamaan (3.29) diperoleh
25
⎛ (b − a) 2 (γf (t ) x (γ −1) ) 2 ⎞ ⎟ = 0. LV (t , x) = f ′(t ) xγ + ax(γf (t ) x (γ −1) ) − ⎜⎜ 2 (γ −1) ⎟ )⎠ ⎝ 2β (γ (γ − 1) f (t ) x ⎛ (b − a) 2 γf (t ) xγ ⎞ ⎟⎟ = 0. = f ′(t ) xγ + aγf (t ) xγ − ⎜⎜ 2 ⎝ 2β (γ − 1) ⎠
(3.31)
⎛ (b − a) 2 γ ⎞ ⎟⎟ f (t ) xγ = 0. = f ′(t ) xγ + ⎜⎜ aγ + 2 2 β (1 − γ ) ⎠ ⎝ Untuk menyederhanakan persamaan (3.31), misalkan (b − a ) 2 γ , λ = aγ + 2 2 β (1 − γ )
sehingga persamaan (3.31) menjadi LV (t , x) = f ′(t ) xγ + λf (t ) xγ = 0. = f ′(t ) xγ = −λf (t ) xγ = 0.
(3.32)
Persamaan (3.32) diselesaikan dengan metode separasi variabel sebagai berikut f ′(t ) xγ = −λf (t ) xγ . f ′(t ) = −λf (t ). df (t ) = −λf (t ). dt df (t ) = −λdt. f (t ) df (t ) ∫ f (t ) = ∫ − λdt. ln f (t ) = −λt. f (t ) = exp(−λt ) .
(3.33)
Dengan mensubstitusikan persamaan (3.33) ke persaman (3.30) diperoleh
V (t , x) = exp(−λt ) xγ .
(3.34)
Substitusikan persaman (3.34) ke persamaan (3.28) diperoleh u=− =−
(b − a )γ exp(−λt ) x (γ −1) , β 2 x(γ (γ − 1) exp(−λt ) x (γ −2) ) (b − a )γ exp(−λt ) x (γ −1) , β 2 (γ (γ − 1) exp(−λt ) x (γ −1) )
26
(b − a ) , β 2 (γ − 1) (b − a ) = 2 , β (1 − γ )
=−
diperoleh proporsi untuk investasi tidak beresiko yang memberikan keuntungan (u) adalah u=
(b − a ) , 0 < u < 1, b > a, β 2 (1 − γ )
(3.35)
dimana b adalah rata-rata rate of return (RoR), a adalah bunga bank, β adalah volatilitas harga saham dan γ adalah risk premium. •
Rate of return (RoR) dari saham dihitung dengan cara yang dijelaskan pada halaman 11 lalu diambil rata-ratanya.
•
Bunga bank atau return dari aset tidak beresiko besarnya ditentukan oleh masing-masing bank dengan batasan dari pemerintah.
•
Volatilitas harga saham dapat diartikan sebagai ketidakpastian atau resiko kepemilikan suatu aset beresiko yang sering juga disebut sebagai standar deviasi dari perubahan harga aset beresiko tersebut dalam hal ini saham.
•
Risk premium merupakan selisih antara rata-rata return dari saham dan return dari menabung di bank.
Jadi portfolio optimalnya adalah berinvestasi di dua aset berbeda yaitu aset beresiko (risky asset) dan aset tidak beresiko (risk-free asset) dengan proporsi untuk investasi di aset beresiko u seperti pada persamaan (3.35). Dalam hal ini aset beresiko adalah saham dan aset tidak beresiko adalah menabung di bank.
27
