BAB II PROGRAM LINEAR
A
RINGKASAN MATERI
1. Pengertian Program linear adalah suatu permasalahan dalam matematika dengan tujuan untuk mengoptimalkan fungsi obyektif yang berbentuk linear dengan kendala/batasan berupa pertidaksamaan linear. 2. Persamaan Garis Lurus persamaan garis bergradien m dan melalui titik (x1, y1) adalah : y – y1= m(x – x1) persamaan garis yang melalui titik-titik (x1, y1) dan (x2, y2) adalah : y – y1 =
y 2 y1 (x – x1) x 2 x1
persamaan garis yang melalui titik (b, 0) dan (0, a) adalah : ax + by = ab 3. Sistem Persamaan Linear dua Peubah Penyelesaian dari persamaan linear dua peubah dapat dilakukan dengan beberapa cara, diantaranya : Kombinasi elimenasi dan substitusi Determinan matriks 4. Pertidaksamaan Linear Daerah penyelesaian pertidaksamaan linear dua peubah ax + by c atau ax + by c dapat dicari dengan cara : Gambar garis ax + by = c, sehingga koordinat Cartesius terbagi menjadi dua bagian. Uji dengan sebuah titik diluar garis untuk memastikan daerah penyelesaian. Bila titik tersebut memenuhi pertidaksamaan yang diminta, maka disitulah daerah penyelesaian dan bila tidak, maka sebaliknya. 5. Program Linear Langkah-langkah menyelesaikan permasalahan dalam program linear Terjemahkan permasalahan ke dalam bahasa matematika (model matematika) a. Misalnya peubah dalam x dan y b. Tentukan fungsi obyektif dan kendala- kendalanya Menggambar daerah kendala pada bidang Cartesius Tentukan titik-titik sudut/pojok dari himpunan penyelesain dari kendala Substitusikan titik–titik pojok tersebut ke fungsi obyektif untuk mendapatkan nilai optimum yang diinginkan (maksimum atau minimum) B
SOAL DAN PEMBAHASAN
1. Tunjukanlah daerah himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan x 0, y 0, x + 2y 4 dan x + 2y 6. Penyelesaian: y Buat garis x + 2y = 4 untuk x = 0 maka 0 + 2y = 4 y = 2, sehingga diperoleh titik (0, 2) 6 untuk y = 0 maka x + 0 = 4 x = 4, sehingga diperoleh titik (4, 0) Buat garis 2x + y = 6 2 untuk x = 0 maka 0 + y = 6 x = 6, sehingga diperoleh titik (0, 6) untuk y = 0 maka 2x + 0 = 6 x = 3, sehingga diperoleh titik (3, 0) x Gambarkan garis yang diperoleh dalam bidang Cartesius 3 4 x + 2y = 4 Untuk garis x + 2y = 4 pilih titik P(0, 0) sebagai titik uji maka 2x + y = 6 diperoleh 0 +2(0) = 0 4 (benar), maka titik P terletak pada daerah himpunan penyelesaian dari x + 2y 4
1 Program Linear
Sukses Ujian Nasional Matematika
Untuk garis 2x + y = 6 pilih titik P(0,0) sebagai titik uji dan diperoleh 2(0)+ 0 = 0 6 (benar), maka titik P terletak pada daerah himpunan penyelesaian dari 2x + y 6 Jadi, daerah himpunan penyelesaiannya merupakan daerah yang diarsir. 2. Ebtanas 1997 Y Daerah yang diarsir pada gambar berikut merupakan 12 himpunan penyelesaian sistem pertidaksamaan … a. x 0, 6x + y 12, 5x + 4y 20 b. x 0, 6x + y 12, 5x + 4y 20 c. x 0, 6x + y 12, 4x + 5y 20 d. x 0, x + 6y 12, 4x + 5y 20 5 e. x 0, x + 6y 12, 5x + 4y 20 Jawaban: a X Penyelesaian: O 4 2 Pertidaksamaan yang sesuai dengan daerah yang diarsir adalah batas garis x = 0, karena daerah penyelesaian sebelah kanan maka pertidaksamaannya x 0 batas garis melalui titik (0, 12) dan (2, 0) adalah 12x + 2y = 24 atau 6x + y = 12, karena daerah penyelesaian sebelah kiri maka pertidaksamaannya 6x + y 12 batas garis melalui titik (0, 5) dan (4, 0) adalah 5x + 4y = 20, karena daerah penyelesaian sebelah kanan maka pertidaksamaannya 5x + 4y 20 Jadi, sistem pertidaksamaan dari daerah arsiran adalah x 0, 6x + y 12 dan 5x + 4y 20. 3. UAN 2002 Tentukan nilai minimum fungsi objektif x + 3y yang memenuhi pertidaksamaan 3x + 2y 12, x + 2y 8, x + y 8, x 0 adalah .... a. 8 b. 9 c. 11 d. 18 e. 24 Jawaban: a Penyelesaian: Y Gambarkan daerah himpunan penyelesaian pada koordinat Cartesius. Himpunan penyelesaian sistem pertidaksamaan 8 3x + 2y 12, x + 2y 8, x + y 8, x 0 ditunjukkan oleh daerah yang diarsir. 6 x+y=8 x +2y = 8 Tentukan titik-titik pojoknya. 3x + 2y = 12 4 x + 2y = 8 (2, 3) 2x = 4 X x=2 O 4 8 x = 2 x + 2y = 8 3x +12y =12 2 + 2y = 8 y =3 Koordinat titik potongnya (2, 3) Jadi, Koordinat titik pojoknya adalah (0, 8), (0, 6), (2, 3), dan (8, 0) Tentukan nilai fungsi objektifnya. (x, y) z = x + 3y (0, 8) 0 + 24 = 24 (0, 6) 0 + 18 = 18 (2, 3) 2 + 9 = 11 (8, 0) 8 + 3(0) = 8 Jadi, nilai minimumnya adalah 8 4. Tempat parkir seluas 600 m2 hanya mampu menampung 58 bus dan mobil. Tiap mobil membutuhkan 6 m2 dan bus 24 m2. Biaya parkir tiap mobil Rp. 500,- dan bus Rp. 750,-. Pendapatan maksimum dari tempat parkir tersebut adalah …. a. Rp. 32.000,00 b. Rp. 32.500,00 c. Rp. 33.500,00 d. Rp. 34.500,00 e. Rp. 35.500,00 Jawaban: b Penyelesaian: Misalnya parkir tersebut terdapat x mobil dan y bus, maka diperoleh model : Fungsi objektif : maksimum z = 500 x + 750 y Dengan kendala (batasan) : x + y 58 ; 6x + 24y 600 ; x 0 ; y 0
2 Program Linear
Sukses Ujian Nasional Matematika
Gambarkan daerah himpunan penyelesaian pada koordinat Cartesius. y 58
25
58
x 100 6x + 24y = 600 x + y = 58
Tentukan titik-titik pojoknya. x + y = 58 6 6x + 6y = 348 6x + 24y = 600 1 6x + 24y = 600 – –18y = –252 y = 14 y = 14 x + 14 = 58 x = 44 (44, 14) Koordinat titik pojoknya adalah titik-titik (0, 0), (58, 0), (0, 25), dan (44, 14) Tentukan nilai fungsi objektifnya. (x, y) z = 500 x + 750 y (0, 0) 500 (0) + 750 (0) = 0 (58, 0) 500 (58) + 750 (0) = 2.900 (44, 14) 500 (44) + 750 (4) = 32.500 (0, 25) 500 (0) + 750 (25) = 18.750 Jadi, pendapatan maksimum dari parkir tersebut adalah Rp. 32.500,00 dicapai saat 44 mobil dan 14 bus parkir. C
LATIHAN SOAL
1. Daerah yang memenuhi sistem pertidaksamaan 5x + 3y ≤ 15, y ≤ 1, x ≥ 2, dan y 0, berbentuk …. a. trapesium d. jajar genjang b. segitiga e. titik c. belah ketupat 2. Ebtanas 1998 y Daerah yang diarsir pada gambar merupakan grafik C(0, 4) himpunan penyelesaian sistem pertidaksamaan ….
B(3, 6)
x A(7, 0)
0
a. b. c. d. e.
3x + 2y 21, –2x + 3y 12, x 0, y 0 2x + 3y 21, –2x – 3y 12, x 0, y 0 –3x + 2y 21, –2x + 3y 12, x 0, y 0 –3x – 2y 21, 2x + 3y 12, x 0, y 0 3x – 2y 21, 2x – 3y 12, x 0, y 0
3. Ebtanas 2000 Himpunan penyelesaian sistem pertidaksamaan 5x + y ≥ 10, 2x + y ≤ 8, y ≥ 2 ditunjukkan oleh daerah …. a. I b. II c. III d. IV e. V
Y
10
8
I III
2
IV II V
0
2
4
X
3 Program Linear
Sukses Ujian Nasional Matematika
4. UN 2008 Daerah yang diarsir pada gambar merupakan himpunan penyelesaian suatu sistem pertidaksamaan linear. Nilai maksimum dari f(x, y) = 7x + 6y adalah …. Y a. 88 20 b. 94 8 15 c. 102 d. 106 e. 196 X 12 18 5. UAN 2003 Nilai maksimum dari bentuk objektif k = 3x + 4y yang memenuhi sistem pertidaksamaan x 0, y 0, 2x + y ≤ 11, x + 2y ≤ 10, dengan x, y R adalah .... a. 36 d. 27 b. 32 e. 24 c. 30 6. UAN 2002 Nilai maksimum fungsi obyektif 4x + 2y pada himpunan penyelesaian sistem pertidaksamaan x + y 4, x + y ≤ 9, –2x + 3y ≤ 12, 3x – 2y ≤ 12 adalah …. a. 16 d. 36 b. 24 e. 48 c. 30 7. Dalam himpunan penyelesaian pertidaksamaan x 1, y 2, x + y ≤ 6, 2x + 3y ≤ 15, nilai minimum dari 3x + 4y sama dengan .... a. 9 d. 12 b. 10 e. 13 c. 11 8. Ebtanas 1999 Pedagang teh mempunyai lemari yang hanya cukup ditempati untuk 40 boks teh. Teh A dibeli dengan harga Rp6.000,00 setiap boks dan teh B dibeli dengan harga 8.000,00 setiap boks. Jika pedagang tersebut mempunyai modal Rp300.000,00 untuk membeli x boks teh A dan y boks teh B,maka sistem pertidaksamaan dari masalah tersebut adalah …. a. 3x + 4y 150, x + y 40, x 0, y 0 b. 3x + 4y 150, x + y 40, x 0, y 0 c. 3x + 4y 150, x + y 40, x 0, y 0 d. 6x + 8y 300, x + y 40, x 0, y 0 e. 8x + 6y 300, x + y 40, x 0, y 0 9. Suatu perusahaan cat menyediakan campuran A dan B untuk dibuat satu jenis cat. Campuran A mengandung 400 gr bahan I dan 600 gram bahan II. Campuran B mengandung 800 gr bahan I dan 200 gr bahan II. Cat tersebut berkualitas baik bila mengandung minimal 4 kg bahan I dan 2 kg bahan II. Jika harga tiap kg campuran A Rp. 20.000,- dan B Rp. 10.000,- maka berapa banyaknya campuran A dan B agar biaya yang dikeluarkan minimum …. a. 4 kg campuran A dan 2 kg B b. 4 kg campuran A dan 12 kg B c. 2 kg campuran A dan 4 kg B d. 2 kg campuran A dan 2 kg B e. 2 kg campuran A dan 1 kg B
4 Program Linear
Sukses Ujian Nasional Matematika
10. UN 2006 Seorang tukang roti mempunyai bahan A, B, dan C masing-masing sebanyak 160 kg, 110 kg, dan 150 kg. Roti I memerlukan 2 kg bahan A, 1 kg bahan B, dan 1 kg bahan C. Roti II memerlukan 1 kg bahan A, 2 kg bahan B, dan 3 kg bahan C. Sebuah roti I dijual dengan harga Rp 30.000,00 dan sebuah roti II dijual dengan harga Rp 50.000,00. Pendapatan maksimum yang dapat diperoleh tukang roti tersebut adalah …. a. Rp 8.000.000,00 d. Rp 3.100.000,00 b. Rp 4.500.000,00 e. Rp 2.900.000,00 c. Rp 3.900.000,00 11. UN 2007 Luas daerah parkir 1.760 m2. Luas rata-rata untuk mobil kecil 4 m2 dan mobil besar 20 m2. Daya tampung maksimum hanya 200 kendaraan, biaya parker mobil kecil Rp 1.000,00/jam dan mobil besar Rp 2.000,00/jam. Jika dalam satu jam terisi penuh dan tidak ada kendaraan yang pergi dan datang, maka hasil maksimum tempat parkir itu adalah …. a. Rp 176.000,00 d. Rp 300.000,00 b. Rp 200.000,00 e. Rp 340.000,00 c. Rp 260.000,00 12. UN 2008 Seorang pembuat kue mempunyai 4 kg gula dan 9 kg tepung. Untuk membuat sebuah kue jenis A dibutuhkan 20 gram gula dan 60 gram tepung, sedangkan untuk membuat sebuah kue jenis B dibutuhkan 20 gram gula dan 40 gram tepung. Jika kue A dijual dengan harga Rp4.000,00/buah dan kue B dijual dengan harga Rp3.000,00/buah, maka pendapatan maksimum yang dapat diperoleh pembuat kue tersebut adalah …. a. Rp600.000,00 d. Rp750.000,00 b. Rp650.000,00 e. Rp800.000,00 c. Rp700.000,00 13. UN 2002 Untuk menambah penghasilan seorang ibu setiap harinya memproduksi dua jenis kue untuk dijual. Setiap kue jenis I modalnya Rp200,00 dengan keuntungan 40%, sedangkan setiap kue jenis II modalnya Rp300,00 dengan keuntungan 30%. Jika modal yang tersedia setiap harinya adalah Rp100.000,00 dan paling banyak hanya dapat memproduksi 400 kue, maka keuntungan terbesar yang dapat dicapai ibu tersebut dari modalnya adalah …. a. 30% d. 36% b. 32% e. 40 % c. 34%
5 Program Linear
Sukses Ujian Nasional Matematika
