BAB II LANDASAN TEORI

8

BAB II

LANDASAN TEORI

2.1. Optimasi Produksi

Optimasi adalah tindakan untuk memperoleh hasil yang terbaik dengan keadaan yang diberikan.Dalam pelaksanaannya harus diambil keputusan manajerial dalam beberapa tahap.Tujuan akhir dari semua keputusan seperti itu adalah meminimalkan upaya yang diperlukan atau untuk memaksimalkan manfaat yang diinginkan.Usaha yang diperlukan atau manfaat uang yang diinginkan dalam prakteknya dapat dinyatakan sebagai fungsi dari variabel keputusan tertentu. Optimasi dapat didefinisikan sebagai proses untuk mendapatkan keadaan yang memberikan nilai maksimum atau minimum dari suatu fungsi.

Optimasi produksi adalah penggunaan faktor-faktor produksi yang terbatas seefisien mungkin. Faktor-faktor produksi tersebut adalah modal, mesin, bahan baku, bahan pembantu, tenaga kerja, dan lain sebagainya. Optimasi produksi diperlukan perusahaan dalam rangka mengoptimalkan sumber daya yang digunakan agar suatu produksi dapat menghasilkan produk. Optimasi merupakan pendekatan normatif dengan mengidentifikasi penyelesaian terbaik dari suatu permasalahan yang diarahkan pada titik maksimum atau minimum suatu fungsi tujuan dalam kuantitas dan kualitas yang diharapkan, sehingga perusahaan dapat mencapai tujuannya.

2.1.1 Perencanaan Produksi

Perencanaan produksi merupakan perencanaan tentang produk dan merencanakan jumlah produk yang akan diproduksi oleh perusahaan yang bersangkutan dalam satu periode di masa yang akan datang. Hasil dari perencanaan produksi adalah

Universitas Sumatera Utara

9

sebuah rencana produksi. Tanpa adanya rencana produksi yang baik, maka tujuan tidak akan dapat dicapai dengan efektif dan efisien, sehingga faktor-faktor produksi yang ada akan dipergunakan secara boros. Oleh karena itu, perencanaan produksi merupakan spesifikasi tujuan perusahaan yang ingin dicapai serta caracara yang akan ditempuh untuk mencapai tujuan tersebut.

Kegunaan atau pentingnya diadakan produksi adalah sebagai berikut : 1. Suatu

perencanaan

meliputi

usaha

untuk

menetapkan

tujuan

atau

memformulasikan tujuan yang dipilih untuk dicapai, maka dengan adanya perencanaan produksi, dapat membedakan arah bagi setiap kegiatan produksi yang jelas. 2. Dengan perencanaan yang memberikan formulasi tujuan yang hendak dicapai, maka akan memungkinkan untuk mengetahui apakah tujuan-tujuan tersebut telah tercapai atau tidak. 3. Memudahkan pelaksanaan kegiatan untuk mengidentifikasikan

hambatan-

hambatan yang mungkin timbul dalam usaha tujuan tersebut. Dengan memperhitungkan

hambatan-hambatan

tersebut,

persiapan

untuk

mengatasinya menjadi lebih terarah. 4. Menghindarkan pertumbuhan dan perkembangan yang tidak terkendali.

2.2 Peramalan

2.2.1 Metode Deret Waktu (Time-Series)

Metode deret waktu adalah peramalan yang didasarkan pada periode waktu mingguan, bulanan, triwulan, dan seterusnya. Metode deret waktu biasanya digunakan untuk menganalisis pola permintaan masa lalu dan untuk memproyeksikan masa depan. Asumsi dasar yang dipakai adalah bahwa pola permintaan dapat dibagi menjadi beberapa komponen, yaitu tingkat rata-rata, kecenderungan, musiman, siklus, dan kesalahan.


10

Ada empat komponen utama yang mempengaruhi analisis ini, yaitu : a. Pola Siklis (Cycle) Penjualan produk dapat memiliki siklus yang berulang secara periodik.Banyak produk dipengaruhi pola pergerakan aktivitas ekonomi yang terkadang memiliki kecenderungan periodik.Komponen siklis ini sangat berguna dalam peramalan jangka menengah. Pola data ini terjadi bila data memiliki kecenderungan untuk naik atau turun terus-menerus. Pola data bentuk ini digambarkan sebagai berikut :

Gambar 2.1 Pola Siklis

b. Pola Musiman (Season) Perkataan musim menggambarkan pola penjualan yang berulang setiap periode.Komponen musim dapat dijabarkan ke dalam vektor cuaca, libur, atau kecenderungan perdagangan.Pola musiman berguna meramalkan penjualan dalam jangka pendek.Pola data musiman dapat digambarkan sebagai berikut :

Gambar 2.2 Pola Musiman

c. Pola kecenderungan (trend) Pola data ini terjadi bila data memiliki kecenderungan untuk naik atau turun terus menerus. Pola data dalam bentuk ini dapat digambarkan sebagai berikut :

Gambar 2.3 Pola Kecenderungan


11

d. Pola Acak Pola data ini menggambarkan pola penjualan yang setiap periodenya memiliki kondisi yang beragam dan acak. Pola data dalam bentuk ini dapat digambarkan sebagai berikut :

Gambar 2.4 Pola Acak

Peramalan deret waktu (time-series) memiliki beberapa metode yang dapat digunakan untuk meramalkan kondisi pada periode yang akan datang, yaitu : a. Metode Penghalusan (Smoothing) Metode smoothing digunakan untuk mengurangi ketidak-teraturan musiman dari data yang lalu, dengan membuat rata-rata tertimbang dari sederetan data masa lalu. Ketetapan peramalan dengan metode ini akan terdapat pada peramalan jangka pendek, sedangkan untuk peramalan jangka panjang kurang akurat.

Metode smoothing terdiri dari beberapa jenis, antara lain : 1. Metode rata-rata bergerak (Moving Average) a. Single Moving Average Moving Average pada suatu periode merupakan peramalan untuk satu periode ke depan dari periode rata-rata tersebut. Persoalan yang timbul dalam penggunaan metode ini adalah dalam menentukan nilai t (periode perata-rata). Semakin besar nilai t maka peramalan yang dihasilkan akan semakin menjauhi pola data. Secara matematis, rumus fungsi peramalan metode ini adalah : 𝐹𝑡+1 =

𝑋𝑡−𝑁+𝑡 + ⋯ + 𝑋𝑡+1 + 𝑋𝑡 𝑁

Dimana : 𝑋1 = Data pengamatan periode ke-i N

= Jumlah deret waktu yang digunakan

𝐹𝑡+1 = Nilai peramalan periode t+1


12

b. Linear Moving average (LMA) Dasar dari metode ini adalah penggunaan Moving Average kedua untuk memperoleh penyesuaian bentuk pola trend. Prosedur Linear Moving Averageadalah : -

Penggunaan rata-rata bergerak tunggal pada waktu t (ditulis 𝑆𝑡 )

-

Penyesuaian yang merupakan perbedaan antara rata-rata bergerak tunggal dan ganda pada waktu t (ditulis 𝑆𝑡 ′ − 𝑆𝑡 ′′)

-

Penyesuaian untuk kecenderungan dari periode ke t+1 (atau ke periode t+m jika ingin meramalkan m periode ke muka) Secara umum persamaan prosedur rata-rata bergerak linier dapat diterangkan melalui persamaan sebagai berikut : 𝑥1 + 𝑥𝑡−1 + 𝑥𝑡−2 + ⋯ + 𝑥𝑡−𝑛−1 𝑛 𝑆1 + 𝑆𝑡−1 + 𝑆𝑡−2 + ⋯ + 𝑆𝑡−𝑛−1 𝑆𝑡′′ = 𝑛 𝑆𝑡′ =

𝑎𝑡 = 𝑆𝑡′ + (𝑆𝑡′ − 𝑆𝑡′′ ) = 2𝑆𝑡′ − 𝑆𝑡′′ 𝑏𝑡 =

2 (𝑆 ′ − 𝑆𝑡′′ ) 𝑛−1 𝑡

𝐹𝑡+2 = 𝑎𝑡 + 𝑏𝑡 ∙ 𝑚 Kesalahan negatif atau positif yang mungkin terjadi dapat dihilangkan atau dikeluarkan.Rata-rata dapat dilakukan terhadap seluruh angka konstanta dari data pengamatan. Sesuai dengan tujuan di atas, maka teknik ini dapat menghilangkan trend dan musiman (seasonality). Harga yang diramalkan dalam Single Moving Average dihitung berdasarkan rumus : 𝑥1 | 𝑥𝑡−1 |⋯ |𝑥𝑡−𝑛−1 𝑛 (𝑥𝑡 − 𝑥𝑡−𝑛 ) = 𝐹1 + 𝑛

𝐹𝑡+1 = 𝐹𝑡+1 Dimana :𝑥𝑡 = nilai data

𝐹𝑡 = nilai ramalan untuk waktu (t+1) N

= banyak data


13

c. Weigted Moving Average Pada meode rata-rata sederhana, jumlah data pada kelompok inisialisasi makin lama semakin bertambah dengan naiknya harga i. Tetapi pada metode rata-rata bergerak tunggal jumlah data kelompok inisialisasi adalah konstan, bilamana harga i bertambah satu, maka data baru yang akan menggeser/menggantikan data yang paling tua. Untuk waktu (t+1), (t+2), nilai ramalannya adalah : 𝐹𝑡+1 =

∑𝑖𝑖=1 𝑥𝑖 𝑡

𝐹𝑡+2 =

∑𝑡=1 𝑖=1 𝑥𝑖 𝑡+1

2. Metode Exponensial Smoothing, terdiri atas a. Pemulusan Eksponensial Tunggal (Single Exponensial Smoothing) Metode pemulusan eksponensial tunggal (single exponensial smoothing) menambahkan parameter α dalam modelnya untuk mengurangi faktor kerandoman. Nilai peramalan dapat dicari dengan menggunakan rumus berikut ini : 𝐹𝑡+1 = 𝛼 ∙ 𝑋𝑡 + (1 − 𝛼) ∙ 𝐹𝑡 Dimana : 𝑋𝑡

= data permintaan pada periode t

𝛼

= faktor/konstan pemulusan

𝐹𝑡+1

= peramalan untuk periode t

Berbeda

dengan

metode

rata-rata

bergerak

yang

hanya

menggunakan N data periode terakhir dalam melakukan peramalan, metode pemulusan eksponensial tunggal mengikutsertakan data dari semua periode.Setiap data pengamatan mempunyai kontribusi dalam penentuan

nilai

peramalan

periode

sesudahnya.Namun,

dalam

perhitungannya cukup diwakili oleh data pengamatan dan hasil peramalan periode terakhir, karena nilai peramalan periode sebelumnya sudah mengandung nilai-nilai pengamatan sebelumnya.


14

Istilah eksponensial dalam metode ini berasal dari pembobotan (faktor

pemulusan)

dari

periode

sebelumnya

yang

berbentuk

eksponensial, sebagaimana dijabarkan berikut ini : 𝐹𝑡+1 = 𝛼 ∙ 𝑋𝑡 + (1 − 𝛼) ∙ 𝐹𝑡 = 𝛼 ∙ 𝑋𝑡 + 𝛼(1 − 𝛼) ∙ 𝑋𝑡−1 + (1 − 𝛼)2 ∙ 𝐹𝑡−1 = 𝛼 ∙ 𝑋𝑡 + 𝛼(1 − 𝛼) ∙ 𝑋𝑡−1 + 𝛼(1 − 𝛼)2 ∙ 𝑋𝑡−2 + ⋯ 𝛼(1 − 𝛼)2 ∙ 𝑋𝑡−(𝑁−1)

+

Di sini terlihat bahwa koefisien X dari waktu ke waktu membentuk hubungan eksponensial. Misalnya, untuk α = 0,2 maka koefisien dari 𝑋𝑡 , 𝑋𝑡−1 , 𝑋𝑡−2 , ⋯ , 𝑋𝑡−𝑁+1 berturut-turut adalah 0,2; 0,2(0,8); 0,2(0,8)2; … ; 0,2(0,8)N+1.

b. Pemulusan Eksponensial Linier (Linear Exponential Smoothing/Double Exponential Smoothing) Metode pemulusan eksponensial tunggal hanya akan efektif apabila serial data yang diamati memiliki pola horizontal (stasioner). Jika metode itu digunakan untuk serial data yang memiliki unsur trend (kecenderungan) yang konsisten, nilai-nilai peramalannya akan selalu berada di belakang nilai aktualnya (terjadi lagging yang terus menerus). Metode yang tepat untuk melakukan peramalan serial data yang memiliki unsur trend adalah metode pemulusan eksponensial linier. Salah satu metode yang digunakan adalah

metode

pemulusan

eksponensial

linier

dari Holt,

yang

menggunakan persamaan sebagai berikut : 𝑆𝑡

= 𝛼 ∙ 𝑋𝑡 + (1 − 𝛼)(𝑆𝑡−1 + 𝑇𝑡−1 )

𝑇𝑡

= 𝛽 ∙ (𝑆𝑡 − 𝑆𝑡−1 ) + (1 − 𝛽) ∙ 𝑇𝑡−1

𝐹𝑡+𝑚 = 𝑆𝑡 + 𝑇𝑡 ∙ 𝑚 Pemulusan eksponensial linier dari Holt menambahkan persamaan 𝑇𝑡 untuk memperoleh pemulusan trend dan menggabungkan trend ini dengan persamaan pemulusan standar sehingga menghasilkan persamaan 𝐹𝑡 . Metode dari Holt ini menggunakan dua parameter, α dan β, yang masing-masing nilainya dapat dipilih dari setiap angka antara 0 sampai


15

dengan 1. Kedua parameter itu dapat mempunyai nilai yang sama atau berbeda besarnya.

Proses inisialisasi untuk pemulusan eksponensial linier dari Holt memerlukan dua taksiran, yaitu untuk nilai 𝑆1 dan 𝑇1 . Nilai 𝑆1 dapat disamakan dengan nilai aktual (pengamatan) atau rata-rata dari beberapa nilai pengamatan pada periode awal, sedangkan nilai 𝑇1 menggunakan taksiran kemiringan dari serial data tersebut (menggunakan persamaan regresi linier, akan dibahas kemudian) atau menggunakan rata-rata kenaikan dari beberapa periode, misalnya : 𝑇1 =

(𝑋2 − 𝑋1 ) + (𝑋3 − 𝑋2 ) + (𝑋4 − 𝑋3 ) 3

c. Pemulusan Eksponensial Musiman Sebagaimana halnya dengan persamaan pemulusan eksponensial linier yang dapat digunakan untuk meramalkan serial data yang memiliki pola trend, bentuk persamaan yang lebih tinggi dapat digunakan jika pola dasar serial datanya musiman. Salah satu metode peramalan yang khusus untuk data yang berpola musiman adalah metode pemulusan eksponensial linier dan musiman dari Winter. Metode ini didasarkan atas tiga persamaan, yaitu unsur stasioner, trend dan musiman, yang dirumuskan sebagai berikut : 𝑋𝑡 ) + (1 − 𝛼)(𝑆𝑡−1 + 𝑇𝑡−1 ) 𝐼𝑡−𝐿

𝑆𝑡

= 𝛼(

𝑇𝑡

= 𝛽(𝑆𝑡 + 𝑆𝑡−1 ) + (1 − 𝛽)𝑇𝑡−1

𝐼𝑡

𝑋𝑡 = 𝛾 ( ) + (1 − 𝛾)𝐼𝑡−𝐿 𝑆𝑡

𝐹𝑡+𝑚 = (𝑆𝑡 + 𝑇𝑡 ∙ 𝑚)𝐼𝑡−𝐿+𝑚 Dimana : L = jumlah periode dalam satu siklus musim I = faktor penyesuaian musiman (indeks musiman)


16

Sebagaimana dalam perhitungan pemulusan eksponensial tunggal, nilai inisial 𝑆𝑡 dapat disamakan dengan nilai aktualnya atau berupa ratarata dari beberapa nilai pada musim yang sama, sedangkan nilai inisial T dicari dengan menggunakan rumus sebagai berikut : (𝑋𝐿−𝐿 − 𝑋𝐿 ) 1 (𝑋𝐿+1 − 𝑋1 ) (𝑋𝐿+2 − 𝑋2 ) 𝑇𝐿 = { + + ⋯+ } 𝐿 𝐿 𝐿 𝐿

2.2.2 Ketelitian Peramalan Bila 𝑥𝑖 adalah data yang sebenarnya pada periode i dan 𝐹𝑖 adalah hasil peramalan pada periode yang sama maka penyimpangan yang terjadi dapat didefinisikan sebagai berikut : 𝑒𝑖 = 𝑥𝑖 − 𝐹𝑖 Sehingga bila terdapat n periode pengamatan, maka akan terdapat sejumlah n penyimpangan.Berikut ini akan diberikan beberapa rumus yang dapat digunakan untuk mengukur ketelitian peramalan : 1. Mean Error 𝑛

𝑀𝐸

=

∑ 𝑖=1

𝑒𝑖 𝑛

2. Mean Absolute Error 𝑛

𝑀𝐴𝐸 =

∑ 𝑖=1

|𝑒𝑖 | 𝑛

3. Sum of Squared Errors 𝑛

𝑆𝑆𝐸

=

∑ 𝑒𝑖2 𝑖=1

4. Mean Squared Error 𝑛

𝑀𝑆𝐸 =

𝑒𝑖2 ∑ 𝑛 𝑖=1

5. Standard Deviation Errors 𝑆𝐷𝐸 =

∑𝑛𝑖=1 𝑒𝑖2 𝑛−1


17

2.2.3 Pengujian Pola Peramalan

Setelah dipilih metode peramalan sesuai dengan pola data dan faktor-faktor lainnya, maka hasil ramalan yang diperoleh perlu diuji apakah penyimpangan yang terdapat dalam peramalan tersebut bersifat random atau tidak.Metode peramalan yang baik adalah bila penyimpangan yang terjadi bersifat random.

Metode yang digunakan untuk pengujian ini adalah metode Box-Pierce Test dengan rumus sebagai berikut : 𝑚

𝑄 = ∑ 𝑟𝑘 𝑖=1

𝑟𝑘 =

∑𝑛−𝑘 𝑖=1 [(𝑒𝑖 − 𝑒̅ )(𝑒𝑖+𝑘 − 𝑒̅ )] 2 ∑𝑛−𝑘 1 (𝑒𝑖 − 𝑒)

Dimana : 𝑟𝑘 = koefisien autokorelasi pada time lag ke-k 𝑒𝑖 = penyimpangan periode ke-i 𝑒̅ = rata-rata penyimpangan 𝑛 = banyaknya data Setelah harga Q diperoleh, kemudian dibandingkan dengan nilai 𝑥 2 . Jika 𝑄 < 𝑥 2 𝑡𝑎𝑏𝑒𝑙 berarti penyimpangan yang terjadi bersifat random.

2.3. Goal Programming

Goal Programming atau yang dikenal dengan Program Tujuan Ganda (PTG) merupakan modifikasi atau variasi khusus dari program linier.Goal Programming bertujuan untuk meminimumkan jarak antara atau deviasi terhadap tujuan, target atau sasaran yang telah ditetapkan dengan usaha yang dapat ditempuh untuk mencapai target atau tujuan tersebut secara memuaskan sesuai dengan batasan


18

yang ada yaitu sumber daya yang tersedia, teknologi yang ada, kendala tujuan, dan sebagainya. (Nasendi, 1985)

Goal Programming pertama kali diperkenalkan oleh Charnes dan Coopers (1961). Charnes dan coopers mencoba menyelesaikan persoalan program linier dengan banyak kendala dengan waktu yang bersamaan. Gagasan itu berawal dari adanya program linier yang tidak bisa diselesaikan karena memiliki tujuan ganda. Charnes dan coopers mengatakan bahwa jika di dalam persamaan linier tersebut terdapat slack variabel dan surplus variabel di dalam persamaan kendalanya, maka fungsi tujuan dari persamaan tersebut bisa dikendalikan yaitu dengan mengendalikan nilai ruas kiri dari persamaan tersebut agar sama dengan nilai ruas kanannya. Inilah yang menjadi dasar Charnes dan coopers mengembangkan metode Goal Programming.

2.3.1. Konsep Goal Programming

Goal Programming pada umumnya digunakan pada masalah-masalah linier dengan memasukkan berbagai tujuan dalam formulasi modelnya.Tujuan-tujuan yang ingin dicapai dinyatakan sebagai goal dan dipresentasikan secara numerik.Namun kenyataannya goal yang ingin dicapai tidak selalu dapat diselesaikan secara bersamaan karena terdapat penyimpangan-penyimpangan atau sering disebut dengan deviasi.Oleh Karena itu dalam Goal Programming, tujuan yang telah dinyatakan dalam goal tersebut harus ditetapkan terlebih dahulu.

Dalam memformulasikan Goal Programming hampir sama dengan program linier. Jika dalam program linier dapat meminimumkan atau untuk memaksimumkan sesuatu fungsi tujuan tertentu, maka dalam Goal Programming berusaha untuk meminimumkan deviasi diantara berbagai tujuan atau sasaran yang ditetapkan, yaitu meminimumkan jarak batas yang dapat dicapai oleh fungsi tujuan sebagaimana yang dikehendaki oleh berbagai fungsi kendala yang mengikat fungsi tujuan tersebut sebagai syaratnya.


19

Solusi yang ingin dicapai adalah meminimumkan penyimpangan tujuantujuan yang terdapat pada masing-masing goal.Fungsi tujuan dalam Goal Programming dinyatakan sebagai minimasi penyimpangan dari fungsi pencapaian goal.

Adapaun bentuk umum dari Goal Programming (tanpa faktor prioritas di dalam strukturnya) adalah sebagai berikut : 𝑚

𝑀𝑖𝑛𝑖𝑚𝑢𝑚𝑘𝑎𝑛

𝑍 = ∑(𝑊𝑖+ 𝑑𝑖+ + 𝑊𝑖− 𝑑𝑖− ) 𝑖=1 𝑛

𝐾𝑒𝑛𝑑𝑎𝑙𝑎

∑ 𝐴𝑖𝑗 𝑋𝑗 − 𝑑𝑖+ + 𝑑𝑖− = 𝑏𝑖 𝑗=1

𝑛

∑ 𝑔𝑘𝑗 𝑋𝑗 ≤ 𝑎𝑡𝑎𝑢 ≥ 𝐶𝐾 𝑗=1

𝑖 = 1, 2, 3, ⋯ , 𝑚 𝑗 = 1, 2, 3, ⋯ , 𝑛 𝑘 = 1, 2, 3, ⋯ , 𝑝 𝑋𝑗 , 𝑑𝑖+ , 𝑑𝑖− ≥ 0 Keterangan : 𝑊𝑖+ 𝑑𝑎𝑛 𝑊𝑖− = Bobot untuk masing-masing penyimpangan 𝑑𝑖+ dan 𝑑𝑖− 𝑑𝑖+

= Variabel deviasi yang mempresentasikan tingkat pencapaian diatas target (over achievement).

𝑑𝑖−

= Variabel deviasi yang mempresentasikan tingkat pencapaian dibawah target (under achievement).

𝐴𝑖𝑗

= Koefisien fungsi kendala tujuan

𝑋𝑗

= Variabel keputusan atau oeubah pengambilan keputusan

𝑏𝑖

= Tujuan atau target yang ingin dicapai

𝑔𝑘𝑗

= Koefisien fungsi kendala biasa

𝐶𝑘

= Jumlah sumber daya k yang tersedia

𝑚

= Macam batasan sumber atau fasilitas yang tersedia

𝑛

= Macam kegiatan yang menggunakan sumber atau fasilitas yang tersedia


20

Model tersebut hanya menyatakan persoalan pengoptimuman dari suatu permalahan yang hanya meminimumkan jumlah agregat dari semua deviasi positif dan negatif yang individual dari tujuan yang ditetapkan.

Namun pada kenyataannya seringkali pada proses pengambilan keputusan terdapat kendala pada kondisi dimana satu tujuan saling bertentangan dengan tujuan lainnya (multiple and conflicting goals). Maka untuk menyelesaikannya diperlukan penentuan prioritas atau tujuan mana yang terlebih dahulu diutamakan atau diprioritaskan.

Model untuk persoalan tujuan ganda dengan struktur pengutamaan (preemptive weights) adalah sebagai berikut : 𝑚

𝑀𝑖𝑛𝑖𝑚𝑢𝑚𝑘𝑎𝑛

+ + − − 𝑍 = ∑(𝑃𝑦 𝑊𝑖,𝑦 𝑑𝑖 + 𝑃𝑥 𝑊𝑖,𝑥 𝑑𝑖 ) 𝑖=1 𝑛

𝐾𝑒𝑛𝑑𝑎𝑙𝑎

∑ 𝐴𝑖𝑗 𝑋𝑗 − 𝑑𝑖+ + 𝑑𝑖− = 𝑏𝑖 𝑗=1

𝑛

∑ 𝑔𝑘𝑗 𝑋𝑗 ≤ 𝑎𝑡𝑎𝑢 ≥ 𝐶𝐾 𝑗=1

𝑖 = 1, 2, 3, ⋯ , 𝑚 𝑗 = 1, 2, 3, ⋯ , 𝑛 𝑘 = 1, 2, 3, ⋯ , 𝑝 𝑋𝑗 , 𝑑𝑖+ , 𝑑𝑖− ≥ 0 Keterangan

:

𝑃𝑦 , 𝑃𝑥

= Faktor-faktor prioritas

+ 𝑊𝑖,𝑦

= Bobot relatif dari 𝑑𝑖+ dalam urutan (rangking) ke-y

− 𝑊𝑖,𝑥

= Bobot relatif dari 𝑑𝑖− dalam urutan (rangking) ke-x


21

2.3.2. Terminologi Goal Programming

Adapun istilah-istilah yang digunakan dalam Goal Programming menurut budiman (2009) adalah : a. Variabel deviasi Variabel deviasi atau jarak antara merupakan perbedaan yang khusus membedakan antara program linier dengan Goal Programming. Andaikan d adalah variabel yang bertanda sembarang, maka dapat dinyatakan sebagai: 𝑑 = 𝑑+ + 𝑑−. Dengan: 𝑑+ = {

+𝑑, 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑑 ≥ 0 0, 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑑 < 0 0, 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑑 ≥ 0 𝑑− = { −𝑑, 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑑 < 0

Dengan 𝑑+ = komponen positif dari d 𝑑− = komponen negatif dari d

Variabel deviasi mempunyai fungsi sebagai penampung terhadap tujuantujuan yang dikehendaki yang dibedakan menjadi dua bagian yaitu : 1. Deviasi positif (𝑑+ ) Vaiabel deviasi positif berfungsi untuk menampung deviasi yang berada diatas tujuan yang dikehendaki. Notasi untuk deviasi positif adalah 𝑑 + dan 𝑑+ akan selalu berkoefisien -1 pada setiap kendala tujuan sehingga bentuk kendalanya adalah : 𝑛

∑ 𝐴𝑖𝑗 𝑋𝑗 − 𝑑+ = 𝑏𝑖 𝑗=1

Atau dapat ditulis juga dengan : 𝑛

∑ 𝐴𝑖𝑗 𝑋𝑗 = 𝑏𝑖 + 𝑑 + 𝑗=1

Dimana :𝑖 = 1, 2, 3, ⋯ , 𝑚 𝑗 = 1, 2, 3, ⋯ , 𝑛


22

2. Deviasi negatif (𝑑− ) Variabel deviasi negatif berfungsi untuk menampung deviasi yang berada dibawah tujuan yang dikehendaki. Notasi untuk deviasi negatif adalah 𝑑 − dan 𝑑− akan selalu berkoefisien +1 pada setiap kendalan tujuan sehingga bentuk kendalanya adalah : 𝑛

∑ 𝐴𝑖𝑗 𝑋𝑗 + 𝑑− = 𝑏𝑖 𝑗=1

Atau dapat ditulis juga dengan : 𝑛

∑ 𝐴𝑖𝑗 𝑋𝑗 = 𝑏𝑖 − 𝑑 − 𝑗=1

Dimana :𝑖 = 1, 2, 3, ⋯ , 𝑚 𝑗 = 1, 2, 3, ⋯ , 𝑛 Dengan demikian jelas bahwa kedua jenis variabel mendekati sebuah garis kendala dari dua arah yang berlawanan. Dapat ditulis secara matematika yaitu : 𝑛

∑ 𝐴𝑖𝑗 𝑋𝑗 − 𝑑 + + 𝑑 − = 𝑏𝑖 𝑗=1

Atau dapat ditulis : 𝑛

∑ 𝐴𝑖𝑗 𝑋𝑗 = 𝑏𝑖 + 𝑑 + − 𝑑 − 𝑗=1

Karena nilai minimum dari 𝑑+ dan 𝑑− adalah nol maka dari model umum dari kendala tujuan diatas dapat disimpulkan sebagai berikut ; i. 𝑑𝑖+ = 𝑑𝑖− = 0 , sehingga 𝑛

∑ 𝐴𝑖𝑗 𝑋𝑗 = 𝑏𝑖 𝑗=1

Artinya tujuan tercapai. ii. 𝑑𝑖+ > 0 dan 𝑑𝑖− = 0, sehingga 𝑛

∑ 𝐴𝑖𝑗 𝑋𝑗 = 𝑏𝑖 + 𝑑𝑖+ 𝑗=1

Artinya tujuan akan terlampaui karena


23

𝑛

∑ 𝐴𝑖𝑗 𝑋𝑗 > 𝑏𝑖 𝑗=1

iii.

𝑑𝑖+

= 0 dan

𝑑𝑖−

> 0 , sehingga 𝑛

∑ 𝐴𝑖𝑗 𝑋𝑗 = 𝑏𝑖 − 𝑑𝑖− 𝑗=1

Artinya tujuan tidak tercapai karena 𝑛

∑ 𝐴𝑖𝑗 𝑋𝑗 < 𝑏𝑖 𝑗=1

Jadi jelas bahwa kondisi dimana 𝑑𝑖+ > 0 dan 𝑑𝑖− > 0 pada sebuah kendala tujuan tidak akan mungkin terjadi.

b. Variabel keputusan Seperangkat variabel yang tidak diketahui (dalam model Goal Programming dilambangkan dengan 𝑋𝑗 , dimana j=1, 2, 3, …, n). Biasanya disebut juga decision variables.

c. Nilai ruas kanan Nilai-nilai

yang

biasanya

menunjukkan

ketersediaan

sumber

daya

(dilambangkan dengan 𝑏𝑖 , dimana i=1, 2, 3, …, n) yang akan ditentukan kekurangan atau kelebihan penggunaannya. Biasanya disebut juga Right Handside Values (RHS).

d. Goal Keinginan yang ingin dicapai yaitu meminimumkan angka penyimpangan dari suatu nilai RHS pada suatu kendala tujuan tertentu.

e. Kendala tujuan Sinonim dari istilah goal equation, yaitu suatu tujuan yang diekspresikan dalam

persamaan

matematik

dengan

memasukkan

variabel

simpangan.Biasanya disebut juga goal constraint.


24

f. Prioritas (preemptive priority factor) Pengambil keputusan menghadapi suatu persoalan dengan tujuan ganda, tapi satu tujuan saling bertentangan dengan tujuan yang lainnya (multiple and conflicting goals).Dalam memecahkan persoalan tersebut, maka pengambil keputusan harus menentukan mana dari antara berbagai tujuan tersebut yang diutamakan atau diprioritaskan.

Tujuan yang paling penting ditentukan sebagai prioritas ke-1, sementara tujuan yang kurang begitu penting ditentukan sebagai prioritas ke-2 demikian seterusnya.Pembagian prioritas tersebut dikatakan sebagai pengutamaan (preemptive), yaitu mendahulukan tercapainya tujuan yang telah diberikan prioritas utama sebelum menuju kepada tujuan-tujuan atau prioritas-prioritas berikutnya.Jadi, harus disusun dalam suatu urutan (ranking) menurut prioritasnya. Dalam perumusan model Goal Programming faktor prioritas tersebut dinyatakan sebagai 𝑃𝑥 , dimana x=1, 2, 3, …, m. Sistem urutan itu menempatkan tujuan-tujuan dalam susunan dengan hubungan seperti berikut : 𝑃1 > 𝑃2 > ⋯ > 𝑃𝑚 Dimana :𝑃1 merupakan tujuan paling penting 𝑃2 merupakan tujuan yang kurang penting dan seterusnya g. Bobot (Differential Weight) Prioritas sebagai ukuran dari variabel-variabel deviasi yang diminalkan sering mempunyai ukuran yang berbeda-beda.Untuk mengatasi hal itu maka dalam fungsi tujuan masing-masing variabel deviasi yang ada dalam satu prioritas diberi bobot.

Bobot adalah besaran numerik yang diberikan pada variabel-variabel yang diminimumkan pada fungsi tujuan Goal Programming (dilambangkan dengan 𝑊𝑖,𝑘 , dimana i=1, 2, …, n ; k=1, 2, …, m).


25

2.3.3. Komponen Goal Programming

Dalam metode Goal Programming terdapat beberapa komponen yang umum dijumpai dalam pemecahan masalah dengan Goal Programming, yaitu fungsi tujuan, kendala tujuan, kendala struktural, dan kendala non negatif. a. Fungsi Tujuan Berbeda dengan program linier yang fungsi tujuannya dapat memaksimumkan atau meminimumkan, tetapi fungsi tujuan dalam Goal Programming adalah meminimumkan deviasi.Hal ini merupakan konsekuensi logis dari kehadiran variabel deviasi dalam fungsi kendala tujuan. Dalam model Goal Programming hanya terdapat empat jenis fungsi tuuan jika dihubungkan dengan prioritas dan bobot, yaitu : 1. Menimimumkan 𝑍 = ∑𝑛𝑖=1 𝑑𝑖+ + 𝑑𝑖− Fungsi tujuan ini digunakan apabila variabel deviasi dalam suatu masalah tidak dibedakan menurut prioritas atau bobot. + − 2. Meminimumkan 𝑍 = ∑𝑚 𝑖=1 𝑃𝑘 (𝑑𝑖 + 𝑑𝑖 ) untuk k=1, 2, …, n

Fungsi tujuan ini digunakan apabila urutan atau prioritas dan setiap tujuan diperlukan. + − 3. Meminimumkan 𝑍 = ∑𝑚 𝑖=1 𝑊𝑥,𝑖 (𝑑𝑖 + 𝑑𝑖 ) untuk x=1, 2, …, n

Fungsi tujuan ini digunakan apabila tujuan-tujuan diurutkan dan variabel deviasi dibedakan dengan diberikan bobot yang berlainan. + − 4. Menimimumkan 𝑍 = ∑𝑚 𝑖=1 𝑃𝑘 𝑊𝑥.𝑖 (𝑑𝑖 + 𝑑𝑖 ) untuk k=1,2, …, n dan

x=1,2, …,n Fungsi tujuan ini digunakan apabila tujuan-tujuan diurutkan berdasar prioritas dan bobot.

b. Kendala tujuan Dalam model Goal Programming ditemukan sepasang variabel yang disebut variabel deviasi dan berfungsi untuk menampung penyimpangan atau jarak antara yang akan terjadi pada ruas kiri suatu persamaan kendala terhadap nilai ruas kanannya. Agar deviasi ini minimum, artinya ruas kiri suatu persamaan


26

kendala sedapat mungkin mendekati nilai ruas kanannya maka variabel deviasi ini harus diminimumkan dalam fungsi tujuan.

Kendala tujuan merupakan kendala-kendala yang dihadapi dalam mencapai tujuan.Charnes dan cooper telah memanipulasi program linier sehingga pada program linier kendala-kendala fungsional yang menjadi pembatas bagi usaha pemaksimuman atau peminimuman fungsi tujuan, maka di Goal Programming kendala-kendala merupakan sarana untuk mewujudkan tujuan yang hendak dicapai.

Bentuk persamaan kendala tujuan secara umum adalah : 𝐴𝑖𝑗 𝑋𝑗 (≤, =, ≥)𝑏𝑖 Dan secara umum dituliskan menjadi : 𝑛

∑ 𝐴𝑖𝑗 𝑋𝑗 − 𝑑+ + 𝑑 − = 𝑏𝑖 𝐽=1

c. Kendala struktural Kendala fungsional atau struktural adalah kendala-kendala lingkungan yang tidak

berhubungan

langsung

dengan

tujuan-tujuan

masalah

yang

dihadapi.Variabel deviasi tidak dimasukkan kedalam kendala struktural, karena hal ini tidak merupakan fungsi tujuan.

d. Kendala non-negatif Dalam program linier, variabel-variabel bernilai lebih besar atau sama dengan nol. Demikian halnya dengan Goal Programming yang terdiri dari variabel keputusan dan variabel deviasi. Keduanya bernilai lebih besar atau sama dengan nol. Pernyataan non negatif dilambangkan dengan :𝑋𝑗 , 𝑑𝑖+ , 𝑑𝑖− > 0.


27

2.3.4. Asumsi dalam Goal Programming

Dalam memodelkan suatu masalah tertentu ke dalam Goal Programming diperlukan sejumlah asumsi yang jika tidak dapat terpenuhi maka Goal Programming bukan merupakan model yang cocok untuk permasalah tersebut.Jadi asumsi model membatasi penggunaan metode Goal Programming. Asumsi-asumsi dalam Goal Programming : 1. Additivitas dan Linieritas Diasumsikan bahwa proporsi penggunaan 𝑏𝑖 yang ditentukan oleh 𝐴𝑖𝑗 harus tetap benar tanpa memperhatikan nilai solusi 𝑋𝑗 yang dihasilkan. Hal ini berarti bahwa ruas kiri dari kendala tujuan harus sama dengan nilai ruas kanan. 2. Divisibilitas Diasumsikan bahwa nilai-nilai 𝑋𝑗 , 𝑑 + , dan 𝑑 − yang dihasilkan dapat dipecah. Hal ini berarti jumlah pecahan nilai 𝑋𝑗 dapat diselesaikan dan digunakan dalam solusi. 3. Terbatas

2.3.5. Penyelesaian Metode Goal Programming

Terdapat beberapa metode yang dapat digunakan untuk menyelesaikan model Goal Programming, yaitu : 1. Metode Grafik Metode grafik digunakan untuk menyelesaikan masalah Goal Programming dengan dua variabel. Langkah-langkah penyelesaiannya adalah : a. Menggambarkan fungsi kendala pada bidang kerja sehingga diperoleh daerah yang memenuhi kendala b. Meminimumkan variabel deviasi agar sasaran-sasaran yang diinginkan tercapai dengan cara menggeser fungsi atau garis yang dibentuk oleh variabel deviasi terhadap daerah yang memenuhi kendala


28

2. Metode Algoritma Simpleks Algoritma

simpleks

digunakan

untuk

menyelesaikan

masalah

Goal

Programming dengan menggunakan variabel keputusan yang lebih dari dua. Langkah-langkah penyelesaian Goal Programming dengan metode algoritma simpleks adalah ; a. Membentuk tabel simpleks awal b. Pilih kolom kunci (kolom pivot) dimana 𝐶𝑗 − 𝑍𝑗 memiliki nilai negatif terbesar c. Pilih baris (baris pivot) yang berpedoman pada 𝑏𝑖 /𝑎𝑖𝑗 dengan rasio terkecil dimana 𝑏𝑖 adalah nilai sisi kanan dari setiap persamaan d. Mencari nilai elemen pivot yang bernilai 1 dan elemen lain bernilai nol dengan cara mengalikan baris pivot dengan -1 lalu menambahkannya dengan semua elemen di baris pertama. Dengan demikian diperoleh tabel simpleks iterasi I. e. Pemeriksaan optimalitas, yaitu melihat apakah solusi sudah layak atau tidak. Solusi dikatakan layak bila variabel adalah positif atau nol.

Berikut akan diberikan contoh kasus penggunaan Goal Programming. Sebuah Perusahaan memproduksi 2 jenis produk yang berbeda, yaitu A dan B. Produk tersebut dikerjakan melalui 2 proses pengerjaan yang berbeda, yaitu proses 1 dan proses 2. Proses 1 mampu menghasilkan 8 unit produk A dan 5 unit produk B sedangkan untuk proses 2 hanya mampu menghasilkan 2 unit produk A dan 3 unit produk B. Kapasitas maksimum proses 1 dan 2 masingmasing adalah 40 dan 20. Dalam hal ini perusahaan mendapatkan 4 macam sasaran yaitu : 1. Kapasitas yang tersedia pada proses 1 dimanfaatkan secara maksimum 2. Kapasitas yang tersedia pada proses 2 dimanfaatkan secara maksimum 3. Produk A paling sedikit 15 unit 4. Produk B paling sedikit 8 unit Penyelesaian : Yang menjadi variable keputusan adalah : A = Jumlah produk A yang akan diproduksi


29

B = Jumlah produk B yang akan diproduksi Yang menjadi fungsi kendala adalah : 8A + 5B ≤ 40 2A + 3B ≤ 20 A ≥ 15 B≥8

Sesuai dengan sasaran yang akan dicapai, maka model goal programming untuk permasalahan diatas adalah : 𝑀𝑖𝑛𝑖𝑚𝑢𝑚 𝑍 = 𝑃1 (𝑑1+ + 𝑑1− ) + 𝑃2 (𝑑2+ + 𝑑2− ) + 𝑃3 𝑑3− + 𝑃4 𝑑4− 𝐾𝑒𝑛𝑑𝑎𝑙𝑎

8𝐴 + 5𝐵 + 𝑑1− − 𝑑1+ = 40 2𝐴 + 3𝐵 + 𝑑2− − 𝑑2+ = 20 𝐴 + 𝑑3− − 𝑑3+ = 15 𝐵 + 𝑑4− − 𝑑4+ = 8

Penyelesaian model ini dimulai dengan membuat tabel simpleks awal seperti pada tabel 2.1 sebagai berikut : Tabel 2.1 Tabel Simpleks Awal Pk

Cj

P1 P2 P3 P4

1 1 1 1 Zj

Cj-Zj

Cj VB 𝑑1− 𝑑2− 𝑑3− 𝑑4− P1 P2 P3 P4 P1 P2 P3 P4

0 A 8 2 1 0 8 2 1 0 -8 -2 -1 0

0 B 5 3 0 1 5 3 0 1 -5 -3 0 -1

1 𝑑1+ -1 0 0 0 -1 0 0 0 2 1 1 1

1 𝑑1− 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 1

1 𝑑2+ 0 -1 0 0 0 -1 0 0 1 2 1 1

1 𝑑2− 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 1 1

0 𝑑3+ 0 0 -1 0 0 0 -1 0 0 0 1 0

1 𝑑3− 0 0 1 0 0 0 1 0 1 1 0 1

0 𝑑4+ 0 0 0 -1 0 0 0 -1 0 0 0 1

1 𝑑4− 0 0 0 1 0 0 0 1 1 1 1 0

Yang menjadi kolom kunci adalah kolom ke-1 dimana 𝐶𝑗 − 𝑍𝑗 memiliki nilai negative terbesar yaitu -7.Yang menjadi baris kunci adalah baris ke-1 karena


bi 40 20 15 8

30

memiliki nilai bi/aij terkecil yaitu 5.Pemilihan kolom kunci dapat dilihat pada tabel 2.2. Tabel 2.2 Tabel Simpleks Awal (Pemilihan Kolom Kunci) Pk

Cj

P1 P2 P3 P4

1 1 1 1 Zj

Cj-Zj

Cj VB 𝑑1− 𝑑2− 𝑑3− 𝑑4− P1 P2 P3 P4 P1 P2 P3 P4

0 A 8 2 1 0 7 2 1 0 -8 -2 -1 0

0 B 5 3 0 1 5 3 0 1 -5 -3 0 -1

1 𝑑1+ -1 0 0 0 -1 0 0 0 2 1 1 1

1 𝑑1− 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 1

1 𝑑2+ 0 -1 0 0 0 -1 0 0 1 2 1 1

1 𝑑2− 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 1 1

0 𝑑3+ 0 0 -1 0 0 0 -1 0 0 0 1 0

1 𝑑3− 0 0 1 0 0 0 1 0 1 1 0 1

0 𝑑4+ 0 0 0 -1 0 0 0 -1 0 0 0 1

1 𝑑4− 0 0 0 1 0 0 0 1 1 1 1 0

bi 40 20 15 8

Langkah selanjutnya adalah mencari sistem kanonikal yaitu sistem dimana nilai elemen pivot bernilai 1 dan elemen lain bernilai nol dengan cara mengalikan baris pivot dengan -1 lalu menambahkannya dengan semua elemen di baris lainnya. Tabel 2.3 Tabel Simpleks Iterasi I Pk

Cj

P2 P3 P4

0 1 1 1 Zj

Cj-Zj

Cj VB A 𝑑2− 𝑑3− 𝑑4− P2 P3 P4 P2 P3 P4

0 A 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 B 5/8 7/4 -5/8 1 7/4 -5/8 1 -7/4 5/8 -1

1 𝑑1+ -1/8 1/4 1/8 0 1/4 1/8 0 ¾ 7/8 1

1 𝑑1− 1/8 -1/4 -1/8 0 -1/4 -1/8 0 5/4 9/8 1

1 𝑑2+ 0 -1 0 0 -1 0 0 2 1 1

1 𝑑2− 0 1 0 0 1 0 0 0 1 1

0 𝑑3+ 0 0 -1 0 0 -1 0 0 1 0

1 𝑑2+ 5/14 -4/7

1 𝑑2− -5/14 4/7

1 𝑑3− 0 0 1 0 0 1 0 1 0 1

0 𝑑4+ 0 0 0 -1 0 0 -1 0 0 1

1 𝑑4− 0 0 0 1 0 0 1 1 1 0

bi 5 10 10 8

Tabel 2.4 Tabel Simpleks Iterasi II Pk

Cj 0 0

Cj VB A B

0 A 1 0

0 B 0 1

1 𝑑1+ -3/14 1/7

1 𝑑1− 3/14 -1/7

0 𝑑3+ 0 0

1 𝑑3− 0 0

0 𝑑4+ 0 0

1 𝑑4− 0 0


bi 10/7 40/7

31

P3 P4

1 1 Zj Cj-Zj

𝑑3− 𝑑4− P3 P4 P3 P4

0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0

3/14 -1/7 3/14 -1/7 11/4 8/7

-3/14 1/7 -3/14 1/7 17/14 6/7

-5/14 4/7 -5/14 4/7 19.14 3/7

5/14 -4/7 5/14 -4/7 9/14 11/7

-1 0 -1 0 1 0

1 0 1 0 0 1

0 -1 0 -1 0 1

0 1 0 1 1 0

Pada iterasi II diperoleh solusi optimal karena seluruh 𝐶𝑗 − 𝑍𝑗 ≥ 0. Dengan demikian, solusi optimal untuk produk yang diproduksi adalah A=1,43≈1 unit dan B=5,71≈6 unit dengan penyimpangan 𝑑3− =13,57≈14 dan 𝑑4− =2,28≈2. 3. Penyelesaian dengan bantuan software QM QM singkatan dari Quality Method adalah sebuah program yang dirancang untuk menyelesaikan persoalan-persoalan metode kuantitatif, manajemen sains atau operasi riset.Sebuah permasalahan harus diubah dahulu ke dalam sebuah model matematis pemrograman linier, kemudian diinput ke dalam software QM.

Program ini memiliki beberapa modul untuk menyelesaikan beragam persoalam matematika dan yang menjadi input adalah model matematika yang telah dirancang berdasarkan permasalahn yang ada. Dalam penelitian ini digunakan modul goal programming.Misalnya contoh diatas, bentuk inputnya adalah :

Gambar 2.5 Data Input di dalam Program


95/7 16/7

32

Setelah data diinput, segera perintahkan program untuk mengola data tersebut melalui fasilitas “solve”. Sesaat kemudian program akan menayangkan hasilnya dalam 3 bentuk yaitu : - Final Table Tabel ini menunjukkan hasil perhitungan pada iterasi terakhir metode simpleks.

Gambar 2.6 Hasil Akhir Pada Perhitungan Metode Simpleks - Summary Tabel ini menunjukkan rangkuman hasil-hasil akhir perhitungan.

Gambar 2.7 Rangkuman Hasil Perhitungan Solusi Optimal


33

- Graph Grafik yang menunjukkan solusi optimal atas model matematika dari suatu permasalahan.

Gambar 2.8 Grafik Solusi Optimal


BAB II LANDASAN TEORI

Recommend Documents