BAB II LANDASAN TEORI 2.1
Definisi Antrian Teori antrian adalah teori yang menyangkut studi matematis
dari antrian-antrian atau baris-baris penungguan (Tjutju, et al., 2004). Antrian adalah suatu garis tunggu dari nasabah (satuan) yang memerlukan layanan dari satu atau lebih pelayan (fasilitas pelayanan). Studi matematikal dari kejadian atau gejala garis tunggu ini disebut teori antrian (Siagian, 1987). Proses yang terjadi pada model antrian dapat diperlihatkan pada Gambar 2.1 (Tjutju, et al., 2004). Kejadian garis tunggu timbul disebabkan oleh kebutuhan akan layanan melebihi kemampuan (kapasitas) pelayanan atau fasilitas layanan, sehingga nasabah yang ada tidak bisa segera mendapat layanan disebabkan kesibukan pelayanan. Dalam kehidupan sehari-hari, kejadian ini sering kita temukan misalnya seperti pada loket bioskop, loket kereta api, loket-loket pada bank, dermaga di pelabuhan, loket jalan tol, pelabuhan udara, telepon jarak jauh, tempat praktek dokter, tempat pembayaran rekening listrik atau telepon dan banyak lagi yang lainnya. Unit-unit yang membutuhkan pelayanan
Sumber Input
Mekanisme Pelayanan
Antrian (langganan) Sistem Antrian
Gambar 2.1 Sistem Antrian
Unit-unit yang telah dilayani
Dalam banyak hal, tambahan fasilitas pelayanan dapat diberikan untuk mengurangi antrian atau untuk mencegah terjadinya antrian. sering timbulnya antrian yang panjang akan mengakibatkan hilangnya langganan atau nasabah. Jadi masalah yang dihadapi oleh tiap manajer adalah bagaimana mengusahakan keseimbangan antara biaya tunggu (antrian), terhadap biaya mencegah antrian itu sendiri guna memperoleh untung yang maksimum. Suatu analisa dari sistem antrian ini akan dapat memberi jawaban yang memadai secara umum.
2.2
Konsep-Konsep Dasar Teori Antrian
2.2.1
Tujuan Tujuan
dasar
model-model
antrian
adalah
untuk
meminimumkan jumlah antrian yang terjadi dalam suatu perusahaan agar perusahaan tidak kehilangan pelanggan dikarenakan antrian yang panjang.
2.2.2
Sumber Masukan Karakteristik yang perlu diketahui dari sumber input ini
adalah ukurannya (jumlahnya), yaitu jumlah total unit yang memerlukan pelayanan dari waktu ke waktu atau disebut jumlah total langganan potensial. Ini bisa dianggap terbatas maupun tidak terbatas. Pola statistik dari penurunan unit-unit yang memerlukan pelayanan ini harus juga ditentukan. Dalam hal ini, asumsi yang biasa digunakan adalah unit-unit ini diturunkan dengan mengikuti proses Poisson, artinya sampai suatu waktu tertentu jumlah unit yang
diturunkan ini mempunyai distribusi Poisson. Ini adalah suatu kasus di mana kedatangan pada sistem antrian terjadi secara random, tetapi dengan tingkat rata-rata tertentu. Asumsi berikutnya adalah bahwa distribusi kemungkinan dari waktu antar kedatangan (inter-arrival time) adalah distribusi eksponensial. Asumsi lain yang juga harus dispesifikasikan mengenai kelakuan unit-unit (langganan) yang memerlukan pelayanan ini adalah balking, yaitu bahwa unit-unit yang memerlukan pelayanan itu akan menolak memasuki sistem antrian jika antrian itu terlalu panjang.
2.2.3
Sistem Antrian Sistem antrian adalah suatu proses kelahiran dan kematian
dengan suatu populasi yang terdiri dari para pelanggan yang sedang menunggu mendapatkan pelayanan atau yang sedang dilayani. Suatu kelahiran terjadi apabila tiba di suatu fasilitas pelayanan, sedangkan apabila pelanggannya meninggalkan fasilitas tersebut maka terjadi suatu kematian. Keadaan sistem adalah jumlah pelanggan dalam suatu fasilitas pelayanan. Sistem antrian pada dasarnya dicirikan oleh komponenkomponen berikut ini:
1. Pola kedatangan Pola kedatangan adalah cara dimana individu-individu dari populasi dimasuki sistem, yang biasanya dicirikan oleh waktu antar kedatangan yaitu waktu antara kedatangan dua pelanggan yang berurutan yang pada suatu fasilitas pelayanan.
Individu-individu mungkin datang dengan tingkat kedatangan yang konstan atau acak. Distribusi probabilitas poisson adalah salah satu pola kedatangan yang paling sering (umum) bila data kedatangan didistribusikan secara random. Hal ini terjadi karena distribusi poisson menggambarkan jumlah kedatangan per unit waktu bila sejumlah besar variabel-variabel random mempengaruhi tingkat kedatangan. Bila
pola
kedatangan
individu
mengikuti
suatu
distribusi poisson maka waktu antar kedatangan atau interrival time (yaitu waktu antar kedatangan setiap individu) adalah random dan mengikuti distribusi eksponensial.
2. Pola pelayanan Pola pelayanan biasanya dicirikan oleh waktu pelayanan (service time) yaitu waktu yang dibutuhkan seorang pelayan untuk melayani para pelanggan. Waktu pelayanan ini dapat bersifat diterministik (diketahui secara pasti) atau berupa suatu variabel acak yang distribusi probabilitasnya dianggap telah diketahui. Juga yang menarik adalah apakah seorang pelanggan hanya dilayani oleh satu pelayan saja, sementara pelanggan ini membutuhkan barisan pelayan. Bila tidak disebutkan secara khusus maka anggapan dasarnya adalah bahwa satu pelayanan saja dapat melayani secara tuntas urusan seorang pelanggan.
Waktu pelayan adalah waktu yang digunakan untuk melayani individu-individu dalam suatu sistem. Waktu ini mungkin konstan atau random. Bila waktu pelayanan mengikuti distribusi eksponensial atau distribusinya acak maka waktu pelayanan akan mengikuti distribusi poisson. Perbedaan distribusi-distribusi waktu pelayanan dapat diliputi oleh model-model antrian dengan lebih mudah dibandingkan perbedaan distribusi waktu kedatangan.
3. Disiplin antrian Disiplin antrian menunjukkan pedoman keputusan yang digunakan
untuk
menyeleksi
individu-individu
yang
memasuki antrian untuk dilayani terlebih dahulu. Aturanaturan ini didasar pada yang pertama masuk, pertama keluar, yang terakhir masuk, dan seterusnya. Untuk lebih jelasnya berikut ini adalah disebutkan beberapa bentuk disiplin antrian: a.
First Come First Served adalah disiplin antrian yang menerangkan bahwa pelanggan yang datang pertama akan dilayani terlebih dahulu.
b.
Last Come First Served adalah disiplin antrian yang menyebutkan bahwa pelanggan yang terakhir datang dalam antrian akan dilayani terlebih dahulu.
c.
Service In Random Order adalah pemberian pelayanan didasarkan pada pemilihan secara sembarang atau berdasarkan pada peluang secara acak, tidak penting siapa yang datang terlebih dahulu.
d.
Emergency First yaitu pelayanan yang diberikan kepada pelanggan yang menghadapi keadaan darurat yang perlu ditangani secepatnya. Dalam hal ini tentunya tidak melihat siapa yang datang terlebih dahulu atau yang datang belakangan.
4.
Kapasitas sistem Kapasitas sistem adalah jumlah maksimum pelanggan, mencakup yang sedang dilayani dan yang berada dalam antrian, yang ditampung oleh fasilitas pelayanan pada saat yang sama. Banyak sistem antrian yang dapat menampung jumlah individu-individu yang relatif besar, tetapi ada beberapa sistem yang mempunyai kapasitas yang terbatas. Bila kapasitas antrian menjadi faktor pembatas besarnya jumlah individu yang dapat dilayani dalam sistem secara nyata, berarti sistem mempunyai kepanjangan antrian yang terbatas.
2.2.4
Keluar (Exit) Sesudah seseorang selesai dilayani, dia keluar dari sistem.
Sesudah keluar dia mungkin bergabung dengan populasi asal dan mempunyai probabilitas yang sama untuk memasuki sistem kembali, atau dia mungkin bergabung dengan populasi lain yang mempunyai probabilitas lebih kecil dalam hal kebutuhan pelayanan tersebut kembali.
2.3
Struktur Antrian Dalam struktur antrian dikenal dua istilah yaitu Chanel
(Single atau Multiple) dan Phase (Single atau Multiple). Istilah chanel atau saluran menunjukkan jumlah fasilitas pelayanan. Sementara istilah phase adalah jumlah stasiun-stasiun pelayanan, dimana pelanggan harus melaluinya sebelum pelayanan dianggap lengkap. Terdapat empat model struktur antrian dasar yang umum terjadi dalam seluruh sistem antrian, yang selanjutnya akan dijelaskan dalam Gambar 2.2 – Gambar 2.5 (P. Siagian, 1987). 1.
Single Chanel – Single Phase
Gambar 2.2 Single Chanel – Single Phase
2. Sumber Pelanggan
Single Chanel – Multiple Phase Gambar 2.3 Single Chanel – Multiple Phase
3. Pelanggan Datang
Multiple chanel – Single Phase Pelayanan 1
Pelayanan 2
Pelanggan Pergi
Gambar 2.4 Multiple Chanel – Single Phase
4.
Multiple Chanel – Multiple Phase
Sumber Pelanggan Antrian 1 Pelayanan 1 Pelanggan Pergi Antrian 2 Pelayanan 2
Gambar 2.5 Multiple Chanel – Multiple Phase
5. Campuran Struktur campuran ini adalah merupakan campuran dua atau lebih struktur fasilitas service di atas. Struktur ini dipergunakan
misalnya
oleh
toko-toko
besar,
dimana
beberapa pelayanan toko yang melayani pembeli (Multiple Chanel), namun pembayaran hanya pada seorang kasir (Single Chanel). Ada pula yang mempergunakan struktur campuran yang lain, misalnya pelayan/service terhadap pengunjung rumah makan dan sebagainya.
2.4
Proses Kedatangan Konsumen Untuk dapat menguraikan proses kedatangan konsumen,
diambil asumsi-asumsi: 1.
Interval waktu antara dua kedatangan yang berurutan saling bebas dan juga merupakan variabel-variabel non negatif dengan distribusi yang identik.
2.
Didalam setiap interval waktu tersebut selalu ada peluang untuk datangnya nasabah (pelanggan).
3.
Didalam setiap waktu yang kecil, paling banyak ada satu kedatangan. Atau dengan kata lain sebagai berikut, jika banyaknya
kedatangan rata-rata konstan sebesar O, maka didalam selang waktu (0, t + h) akan berlaku:
1.
P ada tepat 1 kedatangan dalam interval (t, t + h) = O u h
2.
P ada 0 kedatangan dalam interval (t, t + h) = 1 - O u h
3.
P ada lebih dari 1 kedatangan dalam interval (t, t + h) = 0 Berdasarkan asumsi tersebut, maka akan dapat ditentukan
formulasi matematis untuk proses kedatangan, yaitu dengan terlebih dahulu mendefinisikan bahwa Pn (t) = P ada tepat n kedatangan dengan interval (0, t). Hal ini akan diperoleh bentuk-bentuk berikut: P0 (t, t + h)
= Kemungkinan ada 0 kedatangan dalam interval (0, t +
h) = P ada 0 kedatangan dalam (0, t + h) = P ada 0 kedatangan dalam interval (0, t) dikali dengan P ada 0 kemungkinan dalam interval (t, t + h) = P0 (t) u (1 - O u h)
P0 t P0 t h h
atau:
O P0 t
Jika diambil limit untuk h = 0, akan diperoleh:
dP0 t dt
O P0 t
Bila syarat batas P0 (0) = 1, artinya pada t = 0 tidak akan ada kedatangan, maka diperoleh: P0 (t) = e-O.t Dengan cara yang sama akan dapat ditentukan proses kedatangan n konsumen dalam interval waktu (0, t + h), yaitu: Pn (t, t + h)
= Kemungkinan ada n kedatangan dalam interval (0, t +
h) = P ada n kedatangan dalam interval (0, t) dikali dengan
P ada 0 kedatangan dalam interval (t, t + h) = P ada n (n – 1) kedatangan dalam interval (0, t) dikali dengan P ada 1 kedatangan dalam interval (t, t + h) = Pn (t) u (1 - Oh) + Pn-1 (t) u O u h
Pn t h Pn t h
atau:
O Pn t O Pn1 t
Pn (t)
t Gambar 2.6 Grafik Distribusi Poisson
Jika diambil limit h = 0 maka diperoleh:
d Pn t h
O Pn t O Pn1 t
Dimana nilai n = 0, 1, 2, 3, …, n Bila syarat batas P0 (0) = 1, artinya pada t = 0 akan ada kedatangan, maka Pn (t) dapat ditentukan mulai dari n = 0 sampai dengan n = 1.
O u t n eOt Pn t n!
atau P x
e O Ox x!
Bentuk persamaan di atas, menyatakan bahwa besarnya kemungkinan ada n kedatangan di dalam interval waktu (0, t) adalah merupakan distribusi kemungkinan poisson dengan nilai rata-rata (O.t). Grafik distribusi poisson dapat diperlihatkan dalam Gambar 2.6.
2.5
Proses Pelayanan Konsumen Yang dimaksud dengan waktu pelayanan adalah lamanya
waktu yang digunakan untuk melayani konsumen sampai selesai. Bila waktu pelayanan yang diberikan oleh suatu fasilitas pelayanan berdistribusi eksponensial dengan parameter P dimana grafik distribusi eksponensial diperlihatkan pada Gambar 2.7, maka bentuk distribusinya secara matematis adalah: F (t) = P e-Pt, untuk t t 0 F (t) = 0, untuk t < 0
F (t)
t Gambar 2.7 Grafik Distribusi Eksponensial
Maka:
F t
f
P t ³ f y dy 1 e , untuk t t 0
f
F t
f
P t ³ f y dy 1 e , untuk t < 0
f
Harga rata-rata dari distribusi eksponensial, E (t), diperoleh dari:
F t
f
f
f
0
³ t f t dt
³Pte
P t
dt
Jika persamaan integral ini diturunkan maka: f
f
0
0
E t t e P t ³ ³ e
P t ³ E t dx e
Apabila notasi Sn mempresentasikan waktu pelayanan yang diberikan kepada konsumen ke-n, maka kemungkinan waktu pelayanan untuk konsumen ke-n adalah: P(Sn) d t = t – e-P t, untuk t t 0 Dimana 1/P = rata-rata waktu pelayanan, e = konstanta (2.71828)
2.6
Notasi yang Digunakan dalam Model Antrian Untuk menggambarkan suatu model antrian, maka digunakan
notasi yang sesuai dengan notasi G. Kendall (1953) memperkenalkan notasi model antrian pelayanan banyak yang menyebutkan tiga karakteristik antrian, yaitu distribusi kedatangan, distribusi kepergian, dan jumlah saluran pelayanan. Kemudian A. Lee (1966) menambahkan dua karakteristik lainnya yaitu disiplin pelayanan dan jumlah maksimum dalam sistem. Pada akhirnya ditambah lagi dengan satu karakteristik sehingga lengkapnya menjadi:
(a / b / c) : (d / e / f) Dimana: a
= Distribusi kedatangan atau antar kedatangan
b
= Distribusi kepergian atau distribusi waktu pelayanan
c
= Jumlah stasiun pelayanan yang disusun secara paralel dan independen antara satu dengan yang lainnya.
d
= Disiplin pelayanan
e
= Jumlah maksimum konsumen yang diperbolehkan berada dalam sistem
f
= Sumber populasi konsumen Pada aplikasinya, persoalan notasi-notasi di atas sering
digantikan dengan simbol lain, yaitu: a = Dapat diganti dengan M, yaitu dengan menunjukkan distribusi kedatangan secara poisson atau distribusi antar kedatangan eksponensial. b = Dapat diganti dengan simbol M, menunjukkan waktu pelayanan berdistribusi eksponensial atau diganti dengan simbol D, menunjukkan waktu pelayanan secara deterministik. Atau notasi b ini dapat diganti pula dengan simbol Ek, artinya waktu pelayanan mempunyai parameter k (Erlang) atau berdistribusi Gamma. Atau juga diganti dengan simbol GI, yang artinya distribusi waktu pelayanan bersifat General Independent. c = Dapat diganti dengan bilangan-bilangan positif yang menunjukkan jumlah fasilitas pelayanan. d = Dapat diganti dengan simbol-simbol seperti FCFS, LCFS, SIRO, GD atau yang lain yang menunjukkan disiplin pelayanan.
e = Dapat diganti dengan N atau a yang menunjukkan jumlah maksimum pelanggan dalam sistem. f = Dapat diganti dengan N atau a tergantung dari sumber input atau populasi.
2.7
Parameter dan Variabel Sistem Antrian Untuk menganalisa model antrian digunakan beberapa
parameter dan variabel yaitu sebagai berikut: (Tjutju et al, 2004) N
= Jumlah konsumen
Pn(t)
= Probabilitas transien-state untuk jumlah n konsumen dalam sistem pada saat t.
Pn
= Probabilitas steady-state untuk jumlah n konsumen dalam sistem.
O
= Tingkat kedatangan konsumen rata-rata (jumlah rata-rata konsumen yang datang per satuan waktu).
P
= Tingkat pelayanan rata-rata (jumlah rata-rata konsumen yang dapat dilayani per satuan waktu).
S
= Jumlah fasilitas pelayanan
U
= Tingkat kegunaan/waktu sibuk pelayan.
Ws
= Waktu rata-rata konsumen dalam sistem.
Wq
= Waktu rata-rata konsumen menunggu dalam antrian.
Ls
= Jumlah rata-rata konsumen dalam sistem.
Lq
= Jumlah rata-rata konsumen dalam antrian.
2.8
Definisi Transien dan Steady State Dalam analisa masalah dengan memakai teori antrian ada
beberapa persyaratan yang harus diperhatikan agar hasil analisa yang dibuat benar, maka selain penggunaan karakteristik yang dikemukakan tadi sebagai modelnya, juga perlu diteliti status dari sistem yang akan dianalisa. Sistem antrian yang akan dianalisa harus berada dalam kondisi steady state/status mapan, artinya kondisi dari sistem yang akan dianalisa tidak tergantung dari waktu. Kondisi ini akan tercapai setelah sistem dioperasikan dalam jangka waktu yang cukup lama, selain itu kondisi pada status mapan dapat diketahui jika rata-rata jumlah kedatangan pada interval satuan waktu tertentu lebih kecil dari lamanya waktu pelayanan rata-rata yang diberikan. Kebalikan dari kondisi status mapan adalah kondisi transien, dimana sistem masih dalam kondisi yang transien atau kondisi peralihan menuju ke kondisi yang steady state. Suatu sistem antrian berada dalam kondisi yang transien jika karakteristik operasional (tingkah lakunya) dari sistem masih berubahubah sehingga sulit ditentukan arahnya, dan kondisi seperti ini tampak pada saat sistem mulai dioperasikan. Perlu diketahui bahwa setiap sistem antrian beroperasi sebagai fungsi dari waktu misalnya antrian dengan laju kedatangan O yang lebih tinggi dari pada laju keberangkatan P tidak akan pernah mencapai steady state tanpa bergantung pada waktu yang berlalu, karena ukuran antrian akan meningkat dengan waktu. Dengan keacakannya kondisi transien dan steady state akan bisa berulang-ulang beberapa kali. Untuk itu kita harus memutuskan dalam menganalisa sebuah sistem antrian, apakah akan menganalisa berdasarkan kondisi transien atau steady state. Jalan
lain untuk menganalisa sistem yang tidak memperhatikan kondisi transien dan steady state adalah dengan menggunakan simulasi komputer.
2.9
Model-Model Antrian Model antrian yang dipakai atau digunakan oleh perusahaan
harus sesuai dengan kondisi perusahaan yang bersangkutan, dengan maksud agar tidak terjadi kerancuan atau kesalahan dalam pemecahan persoalan perusahaan (Tjutju et al, 2004).
2.9.1
Model-Model Single Server (S=1) Seperti yang telah dijelaskan, model-model antrian dapat
mempunyai pelayan tunggal, dapat juga mempunyai jumlah pelayan yang banyak. Berikut ini adalah model-model antrian yang digunakan apabila pelayannya hanya ada satu (S=1) dengan disiplin pelayanan tertentu.
2.9.1.1
Input Poisson dan Waktu Pelayanan Eksponensial Model ini adalah kasus khusus dari proses kelahiran-kematian
yang mengkombinasikan proses kelahiran murni dengan proses kematian murni. Jadi
On
O
untuk n=0, 1, 2, … Dan
n=1, 2, …. Dari solusi steady state ( O
P0
§ 1 · ¨¨ ¸¸ © 1 O P ¹
untuk n > 0
P ) kita peroleh:
1
1 O P
Pn
P
untuk
Pn
§O· P0 ¨¨ ¸¸ ©P¹
Karena
Pn
U
n
O P , maka:
1 U U n
untuk n = 0, 1, 2, …
Dengan demikian, maka:
LS
2.9.1.2
U
O
1 U
P O
Lq
O2 P P O
WS
1 P 1 U
Wq
O P P O
1 P O
Input Poisson Dan Waktu Pelayanan Sembarang Asumsi: waktu pelayanan rata-rata 1
Maka jika
U
O P 1, didapat:
P0
1 U
Lq
O 2V 2 U 2 2 1 U
LS
U Lq
P
dengan varians
V 2.
Wq
WS 2.9.1.3
Lq
O Wq 1 P
Input Poisson dan Waktu Pelayanan Konstan Pada model ini, waktu pelayanan untuk setiap langganan
adalah konstan sehingga Karena itu:
V2
Lq
0
U2
2 1 U
Demikian juga untuk Ls, Wq, dan Ws. Perhatikan bahwa Lq dan Wq harganya adalah setengah kali harga Lq dan Wq untuk model waktu pelayanan eksponensial.
2.9.1.4
Input Poisson dan Waktu Pelayanan Erlang Fungsi probabilitas kepadatan untuk distribusi Erlang adalah:
F t
P K K t K 1e K P t K 1 !
untuk t t 0 dimana
P
dan K
adalah parameter-parameter distribusi yang berharga positif. Harga ratarata dan varians adalah 1
P
dan
1 K P 2 . Jadi K adalah parameter
yang menentukan dispersi dari distribusi. Model ini adalah kasus khusus dari model input poisson dan waktu pelayanan sembarangan, dimana
V2
1 K P 2 . Karena itu:
O2 Lq
2.9.1.5
1 2
U2
KP 2 1 U
Wq
O 1 K 2K P P O
WS
Wq 1 P
LS
OW
1 K O2 2K P P O
Input Poisson dan Waktu Pelayanan Eksponensial dengan Antrian Terbatas Pada model ini panjang garis (line length) tidak boleh
melebihi sejumlah tertentu (dinyatakan dengan M). Setiap langganan yang datang pada saat antrian sudah penuh, harus meninggalkan sistem tanpa mendapat pelayanan. Jadi, model ini adalah kasus khusus dari proses kelahiran-kematian, dimana:
On dan
O , ® ¯0,
Pn
jika n 0, 1, 2, ..., M 1 jika n t M
P
untuk n = 1, 2, ….
Steady State dicapai sebagai berikut:
P0
1 U 1 U M1
sehingga:
Pn
LS
§ 1 U · n ¸ ¨ ¨ 1 U M1 ¸ U ¹ ©
U 1 U
untuk n = 0, 1, 2, …, M
M 1 U M1 1 U M1 L S 1 P0
Dengan S = 1 maka L q Di sini tidak perlu
O P
Ekspektasi waktu menunggu adalah:
WS
LS
O
,
Wq
Lq
O
Dimana:
O
f
M1
n 0
n 0
¦ On Pn
¦ O Pn
O 1 PM
2.9.2
Model-Model Multiple Server (S>1)
2.9.2.1
Input Poisson dan Waktu Pelayanan Eksponensial Model ini mengasumsikan bahwa kedatangan terjadi menurut
input poisson dengan parameter
O , dan bahwa waktu pelayanan untuk
masing-masing unit mempunyai distribusi eksponensial dengan rata-rata
1 O .
Jadi, distribusi waktu pelayanan sama, tanpa memperhatikan
pelayanan mana dari sejumlah S pelayan yang melakukan pelayanan untuk unit. Tingkat pelayanan rata-rata untuk seluruh sistem antrian adalah tingkat rata-rata dimana unit yang sudah dilayani meninggalkan
sistem, dan bergantung pada state sistem E n . Tingkat pelayanan ratarata per pelayanan yang sibuk adalah keseluruhan adalah
Pn
pelayan sibuk sehingga
P , karena itu tingkat pelayanan
n P jika n d S . Jika n t S , berarti semua
Pn
S P . Jadi, model ini adalah kasus khusus
On
dari proses kelahiran-kematian dengan
O
(untuk n=0, 1, 2, …)
dan
n P , jika 0 d n d S ¯SP , jika n t S
Pn ® Jika
O SP
(tingkat kedatangan rata-rata lebih kecil dari
tingkat pelayanan rata-rata maksimum), maka hasil steady state-nya adalah:
P0
1 S 1
¦
n 0
P0
O P n O P S n!
S!
§ O · ¦ ¨¨ ¸¸ n S© S P ¹ f
nS
1 S 1
¦
n 0
O P
n
n!
O P S
1
S!
1 O S P
dan
Pn
O P n P0 ° ° n! ® n ° O P P ° S ! S n S 0 ¯
jika 0 d n d S jika n t S
Dengan
Lq Wq LS
U
O S P , maka
P0 O P S U S ! 1 U 2
Lq
Wq
WS
O §
O ¨¨ Wq ©
1· ¸ P ¸¹
Lq
1
P
O P
Untuk mendapatkan distribusi kemungkinan dari waktu menunggu, asumsikan bahwa disiplin pelayanannya FCFS. Notasi standar P(>t) digunakan untuk menyatakan probabilitas bahwa suatu kedatangan random harus menunggu dalam antrian (sebelum dilayani) adalah lebih besar dari t. Jelas bahwa penungguan dalam antrian ini terjadi jika ada S atau lebih unit di dalam sistem.
P ! 0
f
O P S
n S
S!
¦ Pn P0
P ! t e S P t 1 U
f
¦U
j
j 0
P0 O P S ! 1 U S
P(>0)
Jika variabel random WS adalah waktu menunggu termasuk pelayanan dari suatu kedatangan random, maka (untuk t t 0):
ª P O P S § 1 e P t S1O P ·º ¨ ¸» P WS ! t e Pt «1 0 ¨ ¸ «¬ S ! 1 U © S 1 O P ¹»¼ Jika Wq adalah variabel waktu menunggu dalam antrian (tidak termasuk waktu pelayanan) dari suatu kedatangan random, maka untuk
t t 0 didapat:
P Wq ! t
>1 P Wq
@
0 e S P t 1 U
Dimana:
P Wq
0
S 1
¦ Pn
n 0
Jika S 1 O
P
0 maka
1 e P
t S 1O P
S 1 O P
diganti
dengan P t .
2.9.2.2
Input Poisson dan Waktu Pelayanan Eksponensial dengan Antrian Terbatas Pada model ini panjang garis tidak boleh melebihi sejumlah
tertentu M. Jadi, merupakan kasus khusus dari proses kelahirankematian, dimana:
On Pn Jadi:
O , ® ¯0 ,
jika 0 n M jika n t M
n P , ® ¯S P ,
jika 0 d n d S jika n t S
Pn
O P n P0 , jika n d min ^S, M` ° n ! ° ° O P n ° P , jika S d n d M ® n S 0 °S ! S °0 , jika n ! M ° °¯
Dimana:
P0
1 min ^S ,M`
¦
O P
n
n!
n 0
O P S S!
Jika M d S , biasanya L q
§ O · ¦ ¨¨ ¸¸ n S 1 © SP ¹ M
0 dan L S
n S
M
¦ n Pn
n 0
Jika M ! S , maka
P0 O P U S
Lq
S ! 1 U
2
>1 U
M S
@
M S U MS 1 U
dan
LS
S 1
§ ©
S 1
· ¹
¦ n Pn L q S¨ 1 ¦ Pn ¸
n 0
n 0
WS dan Wq dicari dengan cara yang sama seperti pada model 2.9.1.5.
2.9.2.3
Model Sumber Terbatas Model ini merupakan kasus-kasus dari proses kelahiran-
kematian, dimana:
On
M n O , jika n d M ® , jika n t M ¯0
Pn
n P , ® ¯S P ,
jika 0 d n d S jika n t S
Maka:
Pn
M! n °P0 M n ! n ! O P ° M! ° O P n ®P0 n S ° M n ! S ! S °0 ° ¯
jika 0 d n d S jika S d n d M jika n ! M
Dimana:
P0
1
LS
M
¦
n
Lq
M! M! O P n ¦ O P n nS 0 M n ! n ! n S M n ! S ! S
S 1
M
¦ n S Pn
n S
S 1
§ ©
S 1
· ¹
¦ n Pn L q S¨ 1 ¦ Pn ¸
n 0
n 0
WS
O
L
O
Wq
;
LQ
O
dimana
O M L
2.9.2.4
Model dengan State dimana Tingkat Pelayanan dan atau Tingkat Kedatangan Bersifat Dependent Pada model single server, tingkat pelayanan rata-rata untuk
kasus ini diperoleh dengan mengalihkan tingkat pelayanan rata-rata “normal”, yaitu tanpa tekanan, dengan nc dimana n adalah langganan dalam sistem dan c adalah “koefisien tekanan”. Jika seluruh pelayan (sejumlah S) sedang sibuk sehingga bekerja dengan tekanan, maka tingkat pelayanan rata-ratanya harus dikalikan dengan (n/S)c karena n/S merupakan jumlah langganan dalam sistem per pelayan. Dengan demikian maka:
°n P1 °¯ n S c SP1
jika n d S
Pn ®
jika n t S
Jika kemudian diasumsikan bahwa sistem antrian mempunyai input Poisson dengan
On
O
pelayanan eksponensial dengan
(untuk n = 0, 1, 2, …) dan waktu
Pn
seperti di atas, maka modelnya akan
menjadi kasus khusus yang lain dari proses kelahiran-kematian. Hasil steady state-nya adalah:
Pn
O P1 n P0 ° n ! ° ® O P1 n ° ° S ! n ! S c S 1c nS P0 ¯
jika n d S jika n t S
Dimana:
P0
1 S 1
O P1 n
n 0
n!
¦
ªSS º « » ¬ S! ¼
1c
O P S ¦ f
1
1c n
n ! c
n S
Karena itu, maka:
Lq LS Wq
f
¦ n S Pn
n S
§ SS · P0 ¨¨ ¸¸ © S! ¹ § ©
S 1
1 c
O P S ¦ f
n S
1
1 c n
n ! c
· ¹
S 1
¦ n Pn L q S¨ 1 ¦ Pn ¸
n 0
Lq
O
,
n 0
WS
LS
O
Model ini dapat juga digeneralisasi untuk memungkinkan tingkat kedatangan rata-rata “melakukan reaksi” terhadap garis panjang antrian dengan cara yang sama dengan pada model single server, untuk itu ditetapkan:
Pn
°n P1 ® °¯ n S a S P1
jika n d S jika n t S
On
°O1 ® °¯ S n 1 b O1
jika n d S 1 jika n t S 1
Proses kelahiran-kematian dengan parameter-parameter ini menghasilkan Pn, Lq, dan Ls yang sama dengan di atas jika c = a + b. 2.10
Model Keputusan Analisa teori antrian bukanlah suatu teknis optimasi langsung
seperti programa linier atau sejenisnya. Analisa pada teori antrian dipakai untuk mendapatkan harga-harga dari sistem yang dianalisis, misalnya parameter rata-rata jumlah kedatangan pada suatu interval tertentu atau harga parameter rata-rata waktu pelayanan yang diberikan pada setiap konsumen yang membentuk barisan antrian, atau juga parameter waktu menunggu, parameter panjang antrian, dan parameter utilitas fasilitas pelayanan, kedua parameter ini dibandingkan akan menunjukkan kondisi dari sistem yang diambil. Salah satu pendekatan yang dipakai untuk meningkatkan performansi suatu sistem yaitu untuk mengoptimalkan hasil yang diinginkan, optimasi parameter sistem dapat dilakukan dengan dua cara, pertama model minimasi ongkos dan yang kedua model aspirasi. Model minimasi ongkos dapat dipakai jika ongkos waktu pelayanan dan ongkos waktu menunggu pelayanan ditentukan besarnya. Akan tetapi cara ini umumnya sulit untuk dilakukan karena ongkos waktu menunggu bagi setiap konsumen akan sangat berbeda besarnya, apalagi untuk sistem dengan input yang sangat beraneka ragam. Cara yang kedua dikenal dengan model level aspirasi. Model ini digunakan untuk menentukan nilai optimal sistem. Nilai optimal dalam metode ini didesain secara langsung dari harga-harga parameternya dengan anggapan bahwa
keputusan yang diambil adalah optimal jika memenuhi batas-batas aspirasi yang diharapkan oleh pengambil keputusan atau pertimbangan preferensi tertentu. 2.10.1
Model Ongkos Model-model biaya, seperti diperlihatkan dalam Gambar 2.8,
pada dasarnya menyeimbangkan kedua jenis biaya yang bertentangan berikut ini: 1.
Biaya menunggu Biaya menunggu mencakup biaya menganggurnya karyawan, kehilangan penjualan, tingkat persediaan yang berlebihan, kehilangan kontrak dan lain-lain. Biaya menunggu tidak selalu mudah ditentukan, bahkan sangat sulit. Dalam kasus-kasus tertentu seperti bila individu-individu yang menunggu berasal dari sistem interval (misal persediaan) biaya menunggu dapat langsung diukur.
2.
Biaya pelayanan Walaupun biaya menunggu dapat dikurangi dengan cara menambahkan fasilitas pelayanan, tetapi hal ini akan menaikkan biaya persediaan fasilitas pelayanan. Biaya pelayanan dapat mencakup investasi awal dalam peralatan atau fasilitas, biaya pemasangan fasilitas, latihan bagi karyawan dan biaya-biaya variabel seperti gaji karyawan dan pengeluaran tambahan untuk pemeliharaan.
Gambar 2.8 Model Keputusan Ongkos Total
Teori antrian dengan model ongkos dapat juga digunakan untuk menentukan kecepatan pelayanan dan jumlah fasilitas pelayanan yang optimal. Dalam menentukan kecepatan pelayanan dan jumlah fasilitas pelayanan yang optimum diperlukan dua jenis ongkos, yaitu: 1.
Ongkos pelayanan tiap pelanggan yang dikaitkan dengan penggunaan fasilitas pelayanan per satuan waktu (C1)
2.
Ongkos menunggu pelayanan per satuan waktu per konsumen (C2) Ada dua model optimum biaya yang digunakan dalam
menentukan biaya yang optimal, yaitu (Hamdy A. Taha,1996): 1.
Laju Pelayanan Optimum Menentukan nilai optimum dari tingkat pelayanan, dengan model matematikanya adalah:
TC P C 1 P C 2
O P O
P
O
C 2O C1
Keterangan: C1
= Biaya pelanggan yang menunggu per unit waktu
C2
= Biaya operasi sarana pelayanan per unit waktu
TC
= Biaya total
P
= Tingkat pelayanan rata-rata
O
= Tingkat kedatangan Sehingga jumlah ongkos menunggu dan melayani per
satuan waktu dengan diketahui bahwa laju pelayanan adalah P sehingga:
T^C P ` C 1 u P C 2 u L S C1 u P = ongkos pelayanan per satuan waktu C2 u LS = ongkos menunggu pelanggan
2.
Jumlah Pelayanan Optimum Model ongkos yang akan dikembangkan ialah menyangkut jumlah pelayanan optimal C. Dianggap bahwa O dan P adalah tetap, sehingga:
TC c c u C 1 C 2 u L S c Dan LS (c) berlaku untuk sistem dengan pelayanan ganda. Karena c adalah diskrit maka pendeferensialan tidak mungkin dilakukan. Meskipun demikian jumlah c optimum tetap dapat ditemukan dengan substitusi langsung harga-harga
C secara berturut-turut sampai harga T{(c)} minimum dapat ditentukan. Untuk membuat prosedur perhitungan lebih efisien, harus ditentukan syarat perlu untuk harga minimum fungsi yang diketahui. Syarat perlu itu adalah:
T^C c 1 ` t TC c dan T^C c 1 ` t TC c Dari syarat itu dapat diketahui bahwa:
C1 C d Ls c 1 Ls c dan 1 t Ls c Ls c 1 C2 C2 Dengan demikian hasil akhirnya adalah:
Ls c Ls c 1 d
C1 d Ls c 1 Ls c C2
Ls(c) = ekspektasi jumlah pelanggan dalam sistem Dimana harga
C1 memberikan petunjuk ke arah C2
mana pencarian harga c optimum. 2.10.2
Model Level Aspirasi Model
tingkat
aspirasi
menyadari
kesulitan
dalam
mengestimasi parameter biaya, dan karena itu model ini didasari oleh analisis yang lebih sederhana. Model ini secara langsung memanfaatkan karakteristik yang terdapat dalam sistem yang bersangkutan dalam memutuskan
nilai-nilai
“optimal”
dari
parameter
perancangan.
Optimalitas di sini dipandang dalam arti memenuhi tingkat aspirasi tertentu yang ditentukan oleh pengambil keputusan. Tingkat aspirasi
didefinisikan sebagai batas atas dari nilai-nilai ukuran yang saling bertentangan, yang ingin diseimbangkan oleh pengambil keputusan tersebut. Dalam
model
pelayan
berganda
dimana
kita
perlu
menentukan jumlah pelayan c yang optimum, dua ukuran yang bertentangan adalah: 1.
Waktu menunggu yang diperkirakan dalam sistem Ws.
2.
Persentase waktu menganggur para pelayan X.
Kedua ukuran ini mencerminkan aspirasi pelanggan dan pelayan. Anggaplah tingkat aspirasi (batas atas) untuk Ws dan X diketahui
D
dan
E . Maka metode tingkat aspirasi dapat diekspresikan
secara matematis sebagai berikut: Tentukan jumlah pelayan sedemikian rupa sehingga
Ws d D
dan
XdE
Ekspresi untuk Ws diketahui dari analisis model antrian. Ekspresi untuk X diketahui:
X
100 c ¦ c n Pn c n0
§ U· 100¨ 1 ¸ c¹ ©
Untuk membatasi dalam mengambil keputusan spesifik dalam kasus metode tingkat aspirasi, kita dapat menghitung kisaran parameter biaya C2 yang dihasilkan dari pemilihan c untuk tingkat aspirasi tertentu seperti diperlihatkan dalam Gambar 2.9. Kita secara spesifik memilih C2 dan bukan C1, karena biasanya lebih sulit untuk mengestimasi biaya menunggu dalam kebanyakan model-model antrian. Prosedur yang kami berikan di sini karena itu mengasumsikan bahwa C1, biaya tambahan
yang berkaitan dengan memperoleh satu pelayan baru, dapat diestimasi tanpa banyak kesulitan.
E
D
Gambar 2.9 Model Keputusan Tingkat Aspirasi
2.11
Pengujian Hasil Pengumpulan Data
2.11.1
Uji Keseragaman Data Selain pengujian kecukupan data, juga dilakukan pengujian
keseragaman data, yang tujuannya adalah untuk mengetahui apakah data-data yang diambil sudah seragam atau belum. Yang harus diperhatikan dalam pengujian keseragaman data ini adalah data yang berada di dalam batas-batas kontrol, sehingga dimasukkan dalam perhitungan. Sedangkan data-data yang berada di luar batas kontrol harus dibuang karena berasal dari sistem sebab yang berbeda. Pada perhitungan selanjutnya semua data dalam sub grup ini tidak ikut diperhitungkan. Adapun langkah-langkahnya adalah sebagai berikut (Ronald E. Walpole et al, 1995): 1.
Hitung rata-rata dari harga rata-rata sub grup
X
¦ Xi k
Dimana:
Xi = harga rata-rata sub grup ke-i k = banyak sub grup yang terbentuk
2.
Hitung
standar
deviasi
sebenarnya
dari
waktu
penyelesaian
V
¦ X i X 2 N 1
Dimana:
3.
Hitung standar deviasi harga rata-rata sub grup
VX
V n
Dimana: 4.
N = jumlah pengamatan pendahuluan
n = besarnya sub grup
Tentukan batas kontrol atas (BKA) dan batas kontrol bawah (BKB)
2.11.2
BKA
X 2V X
BKB
X 2V X
Uji Kecukupan Data Pengujian ini dilakukan untuk mengetahui apakah data yang
sudah terkumpul itu sudah mencukupi maka perlu dilakukan uji kecukupan data. Jika menurut hasil perhitungan pada pengamatan belum
mencukupi maka harus dilakukan pengambilan data kembali. Dalam pengujian ini dilakukan dengan membandingkan antara N’ (N hitung) dengan N (jumlah pengamatan) dengan menggunakan tingkat ketelitian ( D ) sebesar 5% dan tingkat keyakinan ( E ) 95% dengan rumus (Ronald E. Walpole et al, 1995):
ª Z D N X 2 X 2 ¦ i ¦ i N' « « ¦ Xi ¬
º » » ¼
2
Dimana: N’ = banyaknya pengukuran yang diperlukan untuk suatu tingkat ketelitian dan keyakinan tertentu. Tingkat ketelitian ( D ) sebesar 5% dan tingkat keyakinan (E
)
95%
pengukur
membolehkan
hasil
pengukurannya menyimpang 5% dari rata-rata sebenarnya dan kemungkinan berhasil mendapatkan 95%. N = jumlah pengamatan pendahuluan yang dilakukan. Xi = waktu penyelesaian teramati selama pengamatan pendahuluan yang telah dilakukan. Untuk menentukan nilai dari Z bisa dilakukan interpolasi dan untuk menentukan besarnya nilai dapat dilihat dari tabel statistik. Apabila N’ lebih kecil atau sama dengan N maka sampel yang diambil telah mencukupi, tetapi apabila N’ lebih besar atau sama dengan N maka sampel yang diambil belum mencukupi, sehingga harus
dilakukan pengumpulan data kembali sampai data benar-benar mencukupi.
2.11.3
Pengujian Bentuk Distribusi Dalam memecahkan masalah antrian menggunakan teori
antrian, salah satu syarat yang harus diketahui adalah bentuk distribusi kedatangan dan waktu pelayanan konsumen. Tujuannya adalah untuk menentukan model antrian yang digunakan, untuk menganalisa bentuk distribusi tes hipotesa “Goodness of Fit”. Sebelum dilakukan pengujian bentuk distribusi, sebaiknya perlu diketahui gambaran data hasil pengamatan dalam bentuk distribusi frekuensi. Untuk membuat daftar kelas frekuensi dengan panjang kelas yang sama dilakukan sebagai berikut (Ronald E Walpole et al, 1995): 1.
Tentukan rentang dengan cara mengurangi data terbesar dengan data terkecil.
2.
Tentukan banyak kelas interval yang diperlukan, banyak kelas sering biasanya diambil paling sedikit 5 kelas dan paling banyak 15 kelas, dipilih menurut keperluan. Cara lain untuk menentukan banyak kelas interval adalah dengan menggunakan aturan sturges, yaitu: Banyak kelas = 1 + (3.3) log n Dimana n = banyaknya data dan hasil akhir dijadikan bilangan bulat
3.
Tentukan panjang kelas interval (p):
Panjang kelas
ren tan g banyak kelas
4.
Menentukan titik tengah tiap interval kelas.
5.
Titik
tengah
kelas
interval
ditentukan
dengan
menjumlahkan batas kelas atas dan batas kelas bawah setiap interval kelas, kemudian dibagi dua atau batas kelas bawah ditambah lebar kelas interval dibagi dua, rumusnya adalah sebagai berikut:
BKB i BKA i 2
X ti
Dimana:
Xti
= nilai tengah kelas ke-i
BKBi = batas kelas bawah ke-i BKAi = batas kelas atas ke-i i
= 1, 2, 3, …, k
Untuk data yang telah disusun ke dalam daftar distribusi frekuensi maka rata-ratanya dihitung dengan rumus:
X
¦ fi ¦ Xt i ¦ fi
Dimana:
X = harga rata-rata Fi = frekuensi dari kelas ke-i Xti = nilai tengah kelas interval ke-i
2.11.4
Uji Kesesuaian (Goodness of Fit Test) Uji kesesuaian adalah suatu cara untuk memeriksa apakah
suatu himpunan data mentah tertentu sesuai dengan distribusi teoritis tertentu dengan cara membandingkan secara grafik distribusi empiris
kumulatif dengan fungsi kepadatan kumulatif yang bersesuaian dengan distribusi yang bersangkutan. Jika kedua fungsi tersebut tidak memperhatikan deviasi berlebihan maka terdapat kemungkinan yang cukup besar bahwa distribusi teoritis ini sesuai dengan data mentah tersebut.
Uji Chi-Kuadrat Uji chi-kuadrat berlaku untuk variabel acak diskrit kontinyu yang didasari oleh perbandingan fungsi kepadatan probabilitas, dari pada fungsi kepadatan kumulatif yang pengukuran jumlah deviasi antara fungsi kepadatan empiris dan teoritis. Langkah-langkah uji chi-kuadrat untuk uji kesesuaian sebagai berikut (Ronald E. Walpole et al, 1995): ¾
Menentukan hipotesa awal H0 melawan Hi Dimana untuk pengujian distribusi kedatangan: H0 = distribusi kedatangan pada interval waktu hasil pengamatan mengikuti distribusi poisson. Hi = distribusi kedatangan pada interval waktu hasil pengamatan tidak mengikuti distribusi poisson.
¾
Menentukan tingkat signifikasi/ketelitian tertentu ( D )
D
ini sebagai simbol dari tipe 1 dalam pengujian
hipotesis
artinya
adalah
menolak
hipotesis
yang
seharusnya diterima. Untuk taraf signifikasi ini biasanya digunakan ¾
D
= 0.05 atau
D
= 0.01.
Menentukan statistik uji yang dilakukan
F2
k
fi e i 2
i 1
ei
¦
Dimana: fi = frekuensi hasil pengamatan pada kelas interval ke-i ei = frekuensi ekspektasi (harapan) teoritis pada kelas interval ke-i k = jumlah kelas interval N = banyaknya data/jumlah data pengamatan ¾
Membandingkan F2hitung dengan F2tabel: Pengujian uji chi-kuadrat ini menggunakan derajat kebebasan v = k – m – 1, dimana: k = banyaknya kelas interval (sel)
Bila frekuensi amatan dekat dengan frekuensi harapan padanannya, maka nilai F2 akan kecil, menunjukkan kesesuaian yang baik. Bila frekuensi amatan cukup berbeda dengan frekuensi harapan maka nilai F2 akan besar dan kesesuaian jelek. Kesesuaian yang baik akan mendukung permintaan H0, sedangkan kesesuaian yang jelek mendukung penolakannya. Daerah kritis akan terjadi pada ujung kanan distribusi chi-kuadrat. Untuk taraf keberartian
F D2
dari tabel L.5 maka
F 2 ! F D2
D , ditemukan nilai kritis
menyatakan daerah kritis. Patokan
keputusan yang diuraikan di sini sebaiknya tidak dipakai kecuali bila tiap frekuensi harapan paling sedikit sebesar 5. Dalam hal kurang dari 5 maka mungkin diperlukan penggabungan sel yang berdampingan yang mengakibatkan pengurangan dalam besarnya derajat kebebasan.
