A. Semesta Pembicaraan yaitu himpunan semua objek yang dibicarakan Contoh : a. 1 + 1 = 2 Jika semesta pembicaraannya adalah himpunan bilangan bulat, himpunan bilangan cacah, himpunan bilangan asli. b. x2 – 1 = 0 HP = {1, -1} jika semesta pembicaraannya himpunan bilangan bulat. HP = {1} jika semesta pembicaraannya himpunan bilangan asli. HP = {} jika semesta pembicaraannya {2,4,6,8}. B. Proposisi (Pernyataan) yaitu kalimat yang mempunyai nilai salah atau benar tetapi tidak sekaligus keduanya
Contoh Pernyataan: 1. 7 adalah bilangan ganjil 2. 5 adalah bilangan prima 3. 3 faktor dari 10 4. 11 habis dibagi 2
Contoh Bukan Pernyataan: 1. Semoga anda berbahagia! 2. Tutuplah pintu itu! 3. Apakah kamu senang?
C. Konstanta dan Variabel a. Konstanta yaitu simbol yang menunjukkan anggota tertentu (yang sudah spesifik) dalam semesta pembicaraan Contoh : 1. “Afgan” adalah suatu peserta yang merupakan anggota tertentu dan semestanya yaitu himpunan penyanyi pop. 2. “Cindy” adalah satu anggota yang diambil dari semestanya yaitu kumpulan mahasiswa jurusan biologi semester 1 angkatan 2013. 3. “25” adalah konstan yang merupakan anggota tertentu dan semestanya yaitu himpunan bilangan asli. b. Variabel yaitu simbol yang menunjukkan suatu anggota yang belum spesifik dalam semesta pembicaraan. Contoh : 1. Setiap mahasiswa harus rajin belajar. 2. Para “petani” mengeluh karena harga pupuk melambung. 3. “x”, “y” dan “z” adalah lambang dari anggota himpunan bilangan asli.
Latihan 1. Manakah yang merupakan pernyataan a. Palembang adalah ibukota Sumatera Selatan b. y adalah bilangan prima c. 2 + 3 = 8 d. x + 5 = 7, x є B e. Kambing itu makan daging f. sin 300 = ½ 2. Buatlah contoh a. 5 pernyataan yang bernilai benar b. 5 pernyataan yang bernilai salah c. 5 kalimat yang bukan pernyataan
Proposisi Komposit Proposisi komposit yaitu beberapa pernyataan tunggal yang digabung menjadi suatu pernyataan baru dengan kata hubung logika atau proposisi yang memuat perangkai ,, , , dan ~ Misalkan p, q masing-masing proposisi elementer, maka proposisi berikut ini merupakan proposisi komposit. Proposisi
Dibaca
Disebut
pq
P dan q
Konjungsi
pq
P atau q
Disjungsi
pq
Jika p maka q
Implikasi
pq
P jika dan hanya jika q
Biimplikasi
~p
Ingkaran p
Negasi
Komposit
1. Negasi (Ingkaran)
Ingkaran suatu pernyataan adalah pernyataan yang bernilai benar, jika pernyataan semula salah, dan sebaliknya. Ingkaran pernyataan p ditulis “~ p” (tidaklah p / tidak benar bahwa p) Contoh : 1. Jika p : Jakarta ibu kota RI (B) maka ~ p : Tidak benar bahwa Jakarta ibu kota RI (S) atau ~ p : Jakarta bukan ibu kota RI (S). 2. Jika r : 2 + 3 > 6 (S) maka ~r : Tidak benar bahwa 2 + 3 > 6 (B) atau ~ r : 2 + 3 < 6 (B) Tabel Kebenaran untuk ingkaran p
B S
~p
S B
2. Konjungsi (dan) Suatu konjungsi dari dua pernyataan bernilai benar hanya dalam keadaan kedua komponennya bernilai benar. Contoh : 1. Jika r : Danu anak pandai, dan s : Danu anak rajin. maka r s : Danu anak pandai dan rajin Pernyataan r s bernilai benar jika Danu benar-benar anak pandai dan benar-benar anak rajin. 2. Jika p : 2 + 3 < 6 (B), dan q : Sang Saka bendera RI (B) maka p q : 2 + 3 < 6 dan Sang Saka bendera RI (B) antara p dan q tidak harus ada hubungan yang berarti Tabel kebenaran untuk konjungsi p
q
p q
B B S S
B S B S
B S S S
3. Disjungsi (Atau) Suatu disjungsi inklusif bernilai benar apabila paling sedikit satu komponennya bernilai benar . Contoh : Jika p : Aku tinggal di Indonesia q : Aku belajar Bahasa Inggris sejak SD maka p v q : Aku tinggal di Indonesia atau belajar Bahasa Inggris sejak SD Pernyataan p v q bernilai benar jika Aku benar-benar tinggal di Indonesia atau benar-benar belajar Bahasa Inggris sejak SD. Tabel kebenaran untuk disjungsi p
q
p v q
B B S S
B S B S
B B B S
4. Implikasi Implikasi p → q bernilai benar jika anteseden salah atau konsekuen benar. Contoh : 1. jika p : burung mempunyai sayap (B), dan q : 2 + 3 = 5 (B) maka p → q : jika burung mempunyai sayap maka 2 + 3 = 5 (B) 2. jika r : 2 bilangan cacah (B), dan s : 2 bilangan bulat negatif (S) maka r → s : jika 2 bilangan cacah maka 2 bilangan bulat negatif (S). Tabel kebenaran untuk Implikasi p disebut anteseden (hipotesis) q disebut konskuen (konklusi)
p
q
p → q
B B S S
B S B S
B S B B
Implikasi Material Yaitu implikasi yang p dan q nya tidak harus ada hubungan. Nilai kebenaran implikasi tergantung pada nilai kebenaran komponen-komponennya. Dalam bahasa sehari-hari biasanya terjadi antara p dan q ada hubungan, hubungan tersebut antara lain dalam hal butuh : janji : jika kamu dapat kuliah di IKIP PGRI Semarang maka saya akan membelikan mobil. Tanda : jika bendera dikibarkan setengah tiang maka ada pejabat tinggi yang wafat. Sebab akibat : jika makan sambal terlalu banyak maka perut akan sakit. Hukum alam : jika besi dipanasi maka akan memuai.
Implikasi dapat dibaca : 1. Jika p maka q 2. q jika p 3. p syarat cukup untuk q q syarat perlu untuk p Contoh : Jika ABCD jajar genjang maka AC dan BD berpotongan di tengah-tengah Syarat cukup : ABCD jajar genjang Syarat perlu : AC dan BD berpotongan di tengah-tengah. D
A
C
B
5. Biimplikasi Pernyataan biimplikasi bernilai benar hanya jika komponen-komponennya bernilai sama. Contoh : 1. Jika p : 2 bilangan genap (B) q : 3 bilangan ganjil (B) maka p ↔ q : 2 bilangan genap jhj 3 bilangan ganjil (B) 2. Jika a : Surabaya ada di jawa barat (S) b : 23 = 6 (S) maka a ↔ b : Surabaya ada di jawa barat jhj 23 = 6 (B) 3. Jika r : 5 + 2 10 (B) s : 4 + 4 < 8 (S) maka r ↔ s : 5 + 2 10 jhj 4 + 4 < 8 (S) Tabel kebenaran untuk Biimplikasi p
q
p↔q
B B S S
B S B S
B S S B
Tabel Nilai Kebenaran
p
q
pq
pq
p→q
p↔q
~p
B
B
B
B
B
B
S
B
S
S
B
S
S
S
S
B
S
B
B
S
B
S
S
S
S
B
B
B
Soal : Diketahui proposisi p : Ada hasil jumlah dua bilangan ganjil yang ganjil q : Semua hasil jumlah bilangan ganjil dan genap adalah ganjil r : Tidak ada bilangan prima yang genap Tentukan nilai kebenaran dari proposisi di bawah ini a. p, q, r g. ( p q ) r b. p q h. ~ p q c.
qr
d. p r e. q p f. p q
i. q ~ q r j. ~ p q k. p q r l. p q ~ q
Tabel Kebenaran Ada dua cara untuk membuat tabel kebenaran dari proposisi komposit. Contoh : 1. Buatlah tabel kebenaran proposisi dari p p q Penyelesaian : Cara 1 Cara 2 p
q
pq
B
B
B
B
B
S
S
S
S
B
S
B
S
S
S
B
p
→
(p
q)
B
B
B
B
B
B
S
B
S
S
S
B
S
S
B
S
B
S
S
S
1
3
1
2
1
p p q
2. Buatlah tabel kebenaran proposisi dari p q r Penyelesaian : Cara 1 Cara 2 p
q
r
pq
p q r
(P
q)
→
r
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
S
B
S
B
B
B
S
S
B
S
B
S
B
B
S
S
B
B
B
S
S
S
B
B
S
S
B
S
S
B
B
S
B
S
S
B
B
B
S
B
S
S
B
S
S
B
B
S
S
S
B
S
B
S
S
S
B
B
S
S
S
S
B
S
S
S
B
S
1
2
1
3
1
Latihan soal 1. Diketahui proposisi p : Semua sudut segitiga sama sisi sama q : Ada bilangan cacah x sehingga x + 2 = 5 r : Semua bilangan prima adalah ganjil tentukan nilai kebenaran dari : a. p, q, r d. p q r b. p → q e. p q r c. p q r f. ~ p q r 2. Selidiki nilai kebenaran proposisi sebagai berikut. a. p q p b. p ~ p q c. ~ ~ p q d. p q r
