Az egyszeresen aláfeszített gerendáról Több előző dolgozatban – ld.: ~ Az egyszeresen alulfeszített gerendatartóról: ( ED - 1) ~ A szimmetrikus, külpontosan aláfeszített gerendatartóról: ( ED - 2 ) – is foglalkoztunk az aláfeszített / alulfeszített gerendatartóval, melyről úgy tűnik, nem tudtunk még mindent elmondani. Most folytatjuk a téma felfedezését. Annál is inkább, mert úgy látjuk, mintha reneszánszát élné. Egy eléggé érdekes olvasmány lehet az alábbi is: http://elib.uni-stuttgart.de/opus/volltexte/1999/240/pdf/240.pdf . Innen vettük az 1. ábrát, ahol egy fatartó és az alulfeszítő acélrúd nem is annyira egyszerű kapcsolódását mutatják be.
1. ábra Ez is szemlélteti, hogy a téma ma is időszerű, hiszen segítségével viszonylag kis anyag felhasználással viszonylag nagy fesztávok hidalhatók át úgy, hogy nincsenek útban lévő közbenső támasztószerkezetek. Érdemes megemlíteni, hogy az újabb időkben még kar csúbb szerkezetek építése vált lehetővé a stabilitásvesztéssel foglalkozó szakirodalom nagy választéka, azaz a tervezéshez szükséges tudnivalók könnyebb fellelhetősége, to vábbá a nehezebb számítások számítógépes támogatása miatt. Ez azt jelenti, hogy a szerkezet elméletileg és kísérletileg is megalapozottabban kihasználható, a tönkremenetel veszélyének korlátozása mellett. Az alábbiakban megkíséreljük bemutatni e szerkezet - fajta azon érdekes sajátosságát, hogy rendes működése mennyire függ a szerkezet „gyári” geometriai adataitól. Ez azért is lényeges, mert egyszerűbb esetekben a szóban forgó ( ács - )szerkezet akár helyszíni készítésű is lehet.
2 Számítás az elsőrendű elmélet szerint [ 1 ] szerint az elsőrendű elmélet alapján járunk el akkor, ha az alakváltozásoknak az erőjátékra történő visszahatásától eltekintünk, annak igen kicsiny volta miatt. Ekkor az igénybevételeket a tartó eredeti helyzetének és alakjának figyelembe vételével állapítjuk meg. Úgy is mondhatjuk, hogy az erőjáték meghatározása közben a szilárd testet merev nek tekintjük. Most tekintsük az 2. ábrát!
2. ábra Itt a szimmetrikus tartókialakítás és a feszítőrudak bekötése a lényeges információ. Először gondoljuk meg, hogyan működik e szerkezet, ha rá nem hat külső terhelés. Ekkor az előfeszítés képezheti a vizsgálat tárgyát: az igénybevételek és feszültségek alakulása a tartó hossza mentén és valamely keresztmetszet bármely pontjában. Ehhez az elemi Szilárdságtan eszközeit használjuk fel – [ 2 ]. Az előfeszítés rendszerint csavaros megoldású. A feszítőcsavar kerülhet az AC , ill. BC rudak végére vagy közébe, de kerülhet a CD oszlopra is. A csavar(- ok ) megfeszítésével azt érjük el, hogy az AC és BC rudakban S1 és S2 húzóerő ébred, melyek egyenlő nagy ságúak: S1 = S2 = S . Most tekintsük a 3. ábrát!
3. ábra Az S feszítőerőt felbontjuk egy X és egy Y összetevőre, melyek nagysága:
X Y S sin sin X tg . cos X S cos ,
(1)
3 Az egyelőre súlytalannak gondolt tartó támaszain az előfeszítésből nem ébred reakció erő, mert az előfeszítő erők önmagukban kiegyensúlyozódnak. A 3. ábrán egy fordított kéttámaszú tartót fedezhetünk fel, melynek közepén ható 2Y nagyságú koncentrált terhét az A és B pontokban támadó Y nagyságú reakcióerői egyensúlyozzák ki. Ezzel már el is kezdhetjük az igénybevételi függvények felírását, ill. az igénybevételi ábrák vázolását – 4. ábra.
4. ábra Az ábra tetején az Mh hajlítónyomaték, a V nyíróerő és az N normálerő pozitív értelmét megadó előjelszabályt tüntettük fel, a gerenda egy kiválasztott keresztmetszetében. Alatta a 3. ábra szerinti terhelésekre megrajzolt igénybevételi jelleg - ábrák láthatók.
4 Az igénybevételi függvények kifejezései a [ 0 , l ] szakaszon az alábbiak. M h (x) X ef Y x X e f X tg x X e f tg x , ahol ef : a felső bekötési pont excentricitásának nagysága. tehát:
M h (x) X ef tg x ;
(2)
V(x) Y X tg ; N(x) X .
(3) (4) Látjuk, hogy X ismeretében a gerenda igénybevételei is ismertek. Ennek meghatáro zásával előző dolgozatainkban is foglalkoztunk. A fél gerenda meggörbült tengelyvonalának erősen felnagyított jellegzetes képe az 5. ábrán szemlélhető. v(x) ( cm ) 0.02
0.018
0.016
0.014
0.012
0.01
0.008
0.006
0.004
0.002
x ( cm ) -10
10
20
30
40
50
60
70
f(x)=-(1.157*10^(-7))*x*(18*(200-x)-0.1763*(30000-x*x))
5. ábra Az erős nagyítás / torzítás oka: a görbületi viszonyok szemléltetése.
80
90
100
5 Látható, hogy a hajlítónyomaték pozitív értékeinek megfelelő, ( 2 ) - ből számítható
x0
ef tg
(5)
hosszúságú szakaszon belül a görbület pozitív, a szakaszhatárokon zérus, beljebb pedig negatív. A gerendaközépen az előfeszítés okozta felhajlás az elsőrendű elmélettel adódó, szokásos járulék - képletekkel – [ 2 ] – számítható; itt a normálerő hajlító hatását nem vesszük figyelembe. Részletezve:
f X f M0 f 2 Y; 2 M0 2 l M 0 l 2 X ef l f M0 ; 8 E I 2 E I 2 E I 3 2 Y 2 l Y l3 X tg l3 f 2 Y . 48 E I 3 E I 3 E I
(6)
2
(7) (8)
Most ( 6 ), ( 7 ), ( 8 ) - cal:
X ef l2 X tg l3 ef X l3 fX 2 tg 3 . 2 E I 3 E I 6 E I l
(9)
A ( 9 ) képlet szerint akkor lesz túlemelés, ha fX > 0 , azaz:
2 tg 3
ef l
0,
tehát:
3 e tg f . 2 l
( 10 )
Látjuk, hogy az itteni egyszerű számítással is egy szerkesztési feltétel – ( 10 ) – adódott. A fenti számítás nem vette figyelembe a rudak megnyúlását, ill. összenyomódását sem. Érdekessége miatt nézzük meg ( ED - 1 ) 2. ábrájának az esetét – 6. ábra! Itt:
6. ábra
6
tg 2
ef
3 e f , l 2 l
vagyis ennél még megoldható a csavarfeszítéses túlemelés. A szakirodalomból a túlemelés mértéke – [ 3 ] – :
fX 1 , 2 l m m 150...200.
( 11 )
Most ( 9 ) - ből:
3 ef fX X l2 tg 2 l 6 E I 2 l
;
( 12 )
majd ( 11 ) és ( 12 ) - vel:
3 ef X l2 tg 6 E I 2 l
1 , m
innen:
Xe
6 E I 3 ef l2 m tg 2 l
;
( 13 )
az ehhez tartozó húzóerő a feszítőrudakban, ( 1 ) és ( 13 )- ból:
Se
Xe cos
6 E I 3 ef l2 m cos tg 2 l
.
( 14 )
A megfelelő közbenső támaszerő ( 1 ) és ( 13 ) - mal – 2. ábra – :
R D,e 2 Ye
12 E I tg 3 ef 2 l m tg 2 l
.
( 15 )
Végül a „fél” igénybevételi függvények az előfeszítésre, ( 2 ), ( 3 ), ( 4 ) és ( 13 ) - mal:
6 E I ef tg x M h,e (x) ; 3 e f l2 m tg 2 l
( 16 )
7
Ve (x)
6 E I tg 3 e f l 2 m tg 2 l
;
6 E I 3 ef 2 l m tg 2 l
.
N e (x)
( 17 )
( 18 )
Ezzel az előfeszítési igénybevételi függvényeket közelítőleg meghatároztuk. Most foglakozzunk a σ - feszültségek alakulásával! A 4. ábra szerinti koordináta - rend szer és előjelszabályok alkalmazásával az előfeszítési σ - feszültség kifejezése – [ 2 ] – :
e M h,e N e ,
( 19 )
ahol:
e M h
M h,e (x)
Iz N (x) e N e . A
y ,
( 20 ) ( 21 )
Most ( 19 ), ( 20 ), ( 21 ) - gyel:
e
M h,e (x) Iz
y
N e (x) . A
( 22 )
Majd ( 16 ), ( 18 ), ( 22 ) - vel, valamint I = Iz - vel:
e
6 E ef tg x 6 E y 3 ef 3 ef l2 m tg l2 m tg 2 l 2 l
Iz A
I e f tg x y z , A 3 e f l 2 m tg 2 l 6 E
tehát:
e (x, y)
I ef tg x y z . A 3 ef l 2 m tg 2 l 6 E
( 23 )
8 Egy másik alakban:
e Iz x y f e (x, y) tg . 2 l l l A l 3 e f m tg 2 l 6 E
Téglalap keresztmetszet – 6. ábra – esetére alkalmazva, ha h e f , 2 h y , 2 b h 3 Iz , 12 A b h ,
( 23 / 1 )
( 24 )
a ( 23 / 1 ) és ( 24 ) képletekkel: h 6 E x h h2 e (x) tg 2 2 l 3 h l 2 l 12 l m tg 4 l h2 6 E h2 x h 2 tg 4 l 12 l 2 3 h l 2 l m tg 4 l h2 6 E x h 6 E h 2 x tg 2 tg 2 1 3 3 h 6 l 3 h 6 l l 2 l h m tg m tg 4 l 4 l h2 E x tg 2 1 3 , 3 h l h m tg 4 l
tehát:
h2 e (x) 2 l
x tg 3 1 . 3 h h m tg 4 l E
( 25 )
9 A 6. ábra külpontos bekötési esetére:
tg
h , l
( 26 )
így ( 25 ) és ( 26 ) szerint:
h E x e (x) 4 3 1 . l m l
( 27 )
A legnagyobb nyomófeszültséget adó
x 1 l
( 28 )
esetben ( 27 ) és ( 28 ) - cal:
h h E e x l, y 8 . 2 l m
Becslésként az életszerű h 1 , l 10 N 1000000 E cm 2 5000 N m 200 cm 2
( 29 )
,
( 30 )
értékekkel, ( 29 ) és ( 30 ) - cal:
e x l, y
h N N 4000 , 8 0,1 5000 2 2 cm cm 2
( 31 )
ami faanyagra és csak az előfeszítésre túl nagy nyomófeszültségnek tűnik. Ezek alapján a 6. ábra szerinti megoldás általában nem ajánlható. A szakirodalom szerint – [ 4 ] – :
tg
1 ; 6
( 32 )
ez azonban még túl tág fogalmazás. Nézzük, mennyire érzékeny a nyomófeszültség maximumának nagysága a feszítőrudak meredekségére! ( 25 ) és ( 28 ) - cal: 2 h h e 2 e x l, y 2 l
l tg 3 1 3 h h m tg 4 l E
l tg h h 1 3 tg 3 tg 2 h E h E l h l h E l 2 2 ; h l m tg 3 h l m h tg 3 h l m 1 4 tg 3 4l 4 l 4 l 2
3
10 innen:
h h E l . e 4 l m 4 tg 3 h l 3 tg
( 33 )
Most ábrázoljuk ezt az összefüggést, ha tgα a független változó – 7. ábra! y 2500
2000
1500
1000
500
x -1.6
-1.4
-1.2
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
-500
-1000
7. ábra Majd ( 30 ) és ( 33 ) - mal, ügyelve a ( 10 ) - ből és ( 24 ) - ből adódó
3 h tg 4 l korlátozásra is, a grafikon a 8. ábrán szemlélhető.
(k)
11 y 4000
3500
3000 f(x)=2000*(3*x-0.1)/(4*x-0.3)
2500
2000
1500
1000
500
x -0.2
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
2.2
2.4
2.6
2.8
3
3.2
3.4
3.6
-500
8. ábra A 8. ábráról leolvasható, hogy a gyakorlatilag használható
3 h tg 0, 075 4,3 4 l értéktől kb. a
tg 1 45 hajlásszög - értékig a hiperbola - függvény értékei viszonylag gyorsan csökkennek, majd lassan – aszimptotikusan – tartanak az 1500 N / cm2 értékhez. Ha a túlemeléshez m = 300 - zal dolgozunk, akkor az új grafikon a 9. ábra szerinti. Ez esetben az aszimptota az 1000 N / cm2 érték. Faanyagra ez talán megfelelőbb lehet. A 9. ábráról leolvasható a grafikon használata is. A grafikonok a Graph programmal készültek. Látjuk, hogy a szerkezetre kiszámított, az előfeszítési terheléssel meghatározott nyomó feszültség nagyságának maximuma egy tartományban drasztikusan változik a feszítő rudak hajlásszögét változtatva. Emiatt is mondható, hogy a szerkezet alakját és az ezzel összefüggő működését / használatát előzetesen jól át kell gondolni, a kellemetlen megle petések elkerülése érdekében. Egyszerűen fogalmazva: ezt ne a helyszínen fabrikáljuk!
12 y ( N / cm2 ) 4000
3500
3000
f(x)=2/3*2000*(3*x-0.1)/(4*x-0.3) f(x)=1080 r(t)=0.6/cos(t)
2500
2000
1500
1000
y1 = 1080 ( N / cm2 ) → x1 = 0,6 → α = arctg 0,6 = 31°.
500
x -0.4
-0.2
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
2.2
2.4
2.6
2.8
3
3.2
9. ábra
Megjegyzések: M1. A 7. ábráról leolvasható, hogy példánkban a 0 < tgα < 0,2 intervallumon a hiperbola függvényértékeiben ugrás áll be. Ez zavart okozhat a számításos megoldásnál, ezért javasolható az áttekinthetőbb grafikus megoldás. M2. Bár távol állunk a pontos számítástól, látható, hogy eléggé kellemetlen a szerkezet egyszerűsített számítása is. Talán ez is az oka, hogy a szakirodalomban ezzel alig lehet találkozni.
d 2 v(x) M h (x) M3. Az 5. ábra görbéjét a Szilárdságtanból ismert képlet – [ 2 ] – és dx 2 EI ( 16 ) alapján állítottuk elő, ahol v : az y tengely irányú elmozdulás. M4. A [ 4 ] irodalmi forrás szerint alulfeszített tartókra m = 200 ~ 300 ; ez némiképpen eltér a [ 3 ] munkában találhatótól – ld. a ( 11 ) képletnél!
13 Irodalom: [ 1 ] – Korányi Imre: Stabilitási kérdések a mérnöki gyakorlatban Kihajlás a síkban Akadémiai Kiadó, Budapest, 1965. [ 2 ] – Muttnyánszky Ádám: Szilárdságtan Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1981. [ 3 ] – Hilvert Elek: Faszerkezetek Tankönyvkiadó, Budapest, 1956. [ 4 ] – Rónai Ferenc ~ Somfalvi György: Fa tartószerkezetek Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1982.
Összeállította: Galgóczi Gyula mérnöktanár Sződliget, 2011. május 9.
