AUTOŘI

NÁZEV SKRIPT

AUTOR/AUTOŘI

Text byl vytvořen v rámci realizace projektu Matematika pro inženýry 21. století (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/07.0332), na kterém se společně podílela Vysoká škola báňská – Technická univerzita Ostrava a Západočeská univerzita v Plzni

Autor Název

c Autor, rok

ISBN

Předmluva Tento materiál by měl sloužit jako stručná informace o možnostech, které nabízí šablony připravené pro tvorbu skript v rámci projektu Matematika pro inženýry 21. století. Texty ve formátu PDF bude existovat ve dvou verzích — první, černobílá, je určena pro tisk, druhá, která je barevná, je určena pro prohlížení na monitoru. Kromě toho budou existovat varianty s ikonami (především pro kombinované studium) a bez ikon. Tento materiál se týká variant určených pro tisk. Později budou připraveny i varianty určené pro prohlížení na monitoru. Text byl vysázen pomocí sázecího systému TEX ve formátu pdf LATEX.

V Brně 16. 9. 2009

Jaromír Kuben

iii

Orientace v textu Každá kapitola má svou pevnou strukturu, která by vám měla pomoci k rychlejší orientaci v textu. Při psaná můžete využít následující „stavební kameny“:

Průvodce studiem Prostřednictvím průvodce studiem vás chceme seznámit s tím, co vás v dané kapitole čeká, které části by měly být pro vás opakováním, na co je třeba se obzvláště zaměřit atd.

Cíle V části cíle se dozvíte, co všechno zvládnete a budete umět po prostudování dané kapitoly.

Příklad Touto ikonou jsou označeny všechny řešené příklady. Konec řešených příkladů je označen plným trojúhelníčkem (N).

Pojmy k zapamatování Pojmy zde uvedené jsou většinou nové a zcela zásadní. To znamená tyto pojmy nejen pochopit a umět ilustrovat na příkladech, ale také umět vyslovit jejich přesné definice.

Kontrolní otázky Odpovězením na tyto otázky si ověříte, zda jste daným pojmům porozuměli, zda si uvědomujete rozdíly mezi zdánlivě podobnými pojmy, zda dovedete uvést příklad ilustrující danou situaci atd.

Příklady k procvičení Tyto příklady slouží k tomu, abyste si důkladně procvičili probranou látku. Výsledky uvedených příkladů jsou zařazeny na konci každé kapitoly.

Klíč k příkladům k procvičení Na konci každé kapitoly je uveden klíč ke cvičením, který obsahuje výsledky příkladů k procvičení.

iv

Autotest Pomocí autotestu si otestujete své znalosti a početní dovednosti z celého objemu učiva.

Pro zájemce Tato část, jak již bylo uvedeno výše, obsahuje rozšíření výsledků na funkce tří a zejména obecně n proměnných. Je od ostatního textu odlišena menším typem písma.

Literatura Jedná se o literaturu použitou autory při vytváření tohoto studijního materiálu, nikoliv jen o literaturu doporučenou k dalšímu studiu. Pokud některou z uvedených publikací doporučujeme zájemcům, pak je to v textu spolu s odkazem na daný titul jasně uvedeno.

Rejstřík Rejstřík, uvedený na konci skript, poslouží ke snadné orientaci v textu.

Definice a věty jsou uvedeny v rámečku (v tiskové verzi) resp. barevným písmem s barevným pozadím (v obrazovkové verzi). Konce důkazů jsou vyznačeny prázdným čtverečkem ( ), konce řešení příkladů plným trojúhelníčkem (N).

v

Obsah Předmluva

iii

1 Úvodní 1.1 Přehled doporučení a upozornění na některé možnosti formátu 1.2 Ukázky matematického textu . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3 Ukázky okolí pro texty určené pro kombinované studium . . . Příklady k procvičení . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Klíč k příkladům k procvičení . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4 Okolí pro výčty . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5 Rejstřík a další informace, závěrečné úpravy . . . . . . . . . . 1.5.1 Kódování češtiny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5.2 Různé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5.3 Úpravy finální verze . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1 1 4 5 8 9 9 12 12 13 13

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

Literatura

15

Rejstřík

16

vi

1

Kapitola 1 Úvodní 1.1

Přehled doporučení a upozornění na některé možnosti formátu

1. Uvozovky u „slova“ by se měly psát v babelu s novým českým/slovenským definičním souborem takto: "‘slova"’. Je to lepší než příkaz \uv. 2. Jednoduché uvozovky u ‚slova‘ lze napsat takto: \clq slova\crq. 3. Francouzské uvozovky u «slova» lze napsat takto: "<slova">. 4. Měl by se rozlišovat spojovník -, krátká pomlčka –, dlouhá pomlčka — a matematické mínus −. Např. by se mělo psát Cauchyova-Bolzanova věta, strana 7–12. V textu — třeba tady — se používá dlouhá nebo střední pomlčka, ale mělo by to být jednotné. Při zlomu řádku by tato pomlčka měla zůstat na konci řádku — to lze docílit přivázáním řádku~---. 5. Je nadefinován příkaz \az, který se používá pro číselné rozsahy. Např. 1980 až 2000. Při zlomu řádku se nahradí pomlčka „–“ slovem „až“, což je správně podle typografických pravidel. Jinak (nedojde-li ke zlomu) dostanete 1980–2000. 6. Podobný příkaz \azz je nadefinován pro seznamy v matematice. Třeba x1 , x2 až xn , zatímco bez zlomení dostanete x1 , x2 , . . . , xn . 7. Pro standardní číselné množiny slouží příkazy \R apod. Tedy R, N, Q, Z, C. 8. V matematickém režimu je písmeno e vysázeno stojatě a má význam Eulerovy konstanty (individuální konstanty tak mají být sázeny). Pokud chceme skloněné e (což aspoň v analýze většinou není), použijeme příkaz \ecko. Tedy $e,\ecko$ dá e, e. Pokud vám toto předefinování nevyhovuje, tj. pokud většinou potřebujete kurzivní e a jen výjimečně stojaté e mající význam Eulerova čísla (např. v algebře pro značení vektorů apod.), zrušte si příslušné definice. V souboru tisk_bez_ik.tex zaprocentujte řádky \mathcode‘\e="0065 \mathchardef\ecko="7165

2

9.

10.

11.

12. 13. 14.

15.

16.

Úvodní

a naopak si nadefinujte \newcommand\ecko{\mathrm{e}}; příkazem \ecko pak můžete sázet Eulerovu konstantu. (Podobně by tomu mělo být s Ludolfovým číslem π, ale fonty Computer Modern bohužel nemají stojatý řez řez malé řecké abecedy. Buď se musí použít kombinace s jiným fontem, nebo použít pro sazbu matematiky např. Math Timesy, které takový řez mají.) V textovém režimu by se měly používat pro změnu tučnosti, sklonu apod. příkazy \textbf, \textit, \textsf, \texttt, \textsl, \textsc, \textup, \textmd, \emph. Text, který chceme změnit, se dá do složených závorek. Např. \textsc{Slovo}, \textbf{slovo} dá: Slovo, slovo. Druhou variantou jsou příkazy např. \bfseries, \itshape, \upshape, \scshape, \slshape, které musí být uvnitř složených závorek, které omezují měněný text. Např. {\bfseries tučný text} dá tučný text. Příkazy \bf, \it, \sf, \tt, \em, které pochází ze starého LATEXu 2.09, není vhodné používat, mohou mít postranní efekty. Pro změnu typu písma v matematickém režimu jsou určeny zcela jiné příkazy, konstrukce typu $a-\mbox{\textbf{b}}$ jsou naprosto nevhodné. Správné příkazy jsou: \mathbf, \mathrm, \mathscr, \mathsf, \mathit, \mathtt. Např. $a+\mathbf{a}+\mathsf{a}+\mathtt{a}$ dá a + a + a + a. Dále jsou v matematice k dispozici příkazy \mathcal a \mathscr (jen pro velká písmena). Např. $\mathcal{A}+\mathscr{A}$ dá A+A . Asi by se nemělo používat obojí. Příkaz $\mathbb{A}$ dá A. Příkaz $\mathfrak{A}$ dá A. Univerzální příkaz pro „tučnost“ v matematice je \bm. Např. $\alpha,\bm{\alpha },\Omega,\bm{\Omega }$ dá α, α, Ω, Ω. Všimněte si rozdílu $a+\mathbf{a}+\bm{a}$: a + a + a! Také lze $\mathsf{A}-\bm{\mathsf{A}}$: A − A. Nebo: $\bm{f\colon A\to B}$: f : A → B (tučná je i šipka, srovnejte →). Také lze \bm{\mathcal{A}}: A (tučný font \mathscr není). V matematice v odstavcovém režimu je nadefinováno automatické opakování binárních operací a relací (jak by to podle českých typografických pravidel mělo být). Konkrétně je to pro: +,-,=,\neq,<,>,\leq,\geq,\cup,\cap,\times,\subset,\supset, \subseteq,\supseteq. Takže když napíšete například takovýhle součet: A + A + A + A + A + A + A + + A + A + A + A, nemusíte se starat o zalomení. V display režimu (uvnitř \[\], okolí equation apod.) se samozřejmě opakování symbolů musí udělat ručně podle zalomení. Vše, co je v matematice uvnitř „zbytečných“ složených závorek první úrovně (ne tedy vnořených uvnitř jiných složených závorek), se nazlomí! Je to mnohem lepší než konstrukce s \mbox{}. Tedy např. ${a+b}$, nebo taky ${+\infty }$,

1.1 Přehled doporučení a upozornění na některé možnosti formátu

17.

18.

19.

20.

3

když dojde k nežádoucímu zopakování + u symbolu ∞ při zalomení konce řádku. Nepoužívejte \mbox{$a+b$} apod. Příkazy \leq,\le resp. \geq,\ge dávají stejný výsledek 5, 5 resp. =, =. Všimněte si, že rovnítka jsou dvojitá — taková se v české typografii používají. Standardně je v LATEXu používáno ≤, ≥. Některá malá řecká písmena mají dvě varianty: $\varepsilon,\epsilon$: ε,  $\varphi,\phi$: ϕ, φ $\vartheta,\theta$: ϑ, θ $\varrho,\rho$: %, ρ U všech velkých řeckých písmen existuje skloněná verze: $\Gamma, \varGamma$: Γ, Γ . Jsou předdefinovány správné české verze goniometrických a cyklometrických funkcí: $\tg,\cotg,\arctg,\arccotg$: tg, cotg, arctg, arccotg. Podobně lze doplnit české názvy např. hyperbolických a hyperbolometrických funkcí. Symbol diferenciálu by měl být stojatý. Je předdefinované samostatné d příkazem \dif a dále např. \dx,\dy,\dz,\dt a jiné. Další se snadno doplní. Vyjde: d, dx, dy, dz, dt. Obdobně se snadno dá nadefinovat \dxy apod. pro vícenásobné integrály. Integrál by se měl sázet s malou R b mezerou před diferenciálem: $\int_a^b f(x)\,\dx$ dá a f (x) RR dx nebo $\iint_M f(x,y)\,\dx\dy$ dá f (x, y) dxdy. M

21. Příkazy \lim,\min,\max,\inf,\sup,\liminf,\limsup,\sum,\iint,\iiint jsou předefinovány tak, aby se psalo pořád pod ně (jak v odstavcovém tak display režimu). Tedy: $\lim_{x\to1} f(x)=A$ dá vždy lim f (x) = A. x→1

Komu se to nelíbí, může si předefinování zrušit (standardně je v display režimu použito lim , ale v odstavcovém režimu je limx→1 ; to sice méně rozháže řádkový x→1

rejstřík, ale mně se to nelíbí). V jednotlivém případě se chování dá změnit příkazy \limits a \nolimits, např. RR $\iint\nolimits_M f(x,y)\,\dx\dy$ dá M f (x, y) dxdy. 22. Načtený balíček vlna.sty způsobí, že všechny jednopísmenné předložky a spojky jsou automaticky přivázány. Nemusíte tedy používat tildu a psát např. a~další. Předpokládá to ovšem, že váš TEXový motor (kterým překládáte) umí rozšíření enctex a má ho zapnuté. Pokud máte novou instalaci s úpravami, které jsem připravil, funguje to. Jinak musíte příkaz \usapackage{vlna} vyřadit. Doporučuji si zvyknout psát např. množina~$A$, funkce~$f$ apod. Není hezké, když je to jedno písmeno zalomeno na další řádek a je otravné dopisovat dodatečně tildu tam, kde došlo ke zlomení. Navíc při jakékoli úpravě může dojít

4

Úvodní

k jinému nevhodnému zlomení. 23. Znak mínus, tj. -, je v novém českém babelu (balík, který byl podstatně vylepšen a měl by se používat se standardním LATEXem pro psaní českého textu místo csLATEXu) tzv. aktivní a může dělat problémy. Všude, kde je používán s nějakými rozměry, se musí použít místo něho příkaz \minus. Tedy např. \hspace{\minus2mm}, \\[\minus5mm] apod. Není samozřejmě problém se symbolem odčítání v matematice. Funkci tohoto znaku lze vypnout, ale ochudíte se o některé věci. 24. Pro množinový rozdíl lze kromě standardního \setminus použít menší symbol \smallsetminus (nebo jeho alias \ssm). Srovnejte: $A\setminus B, A\ssm B$ dá A \ B, A r B.

1.2

Ukázky matematického textu

Definice 1.1. Nechť A ⊂ R2 . Pak zobrazení f : A → R, které dvojici reálných čísel (x, y) ∈ A přiřazuje reálné číslo z = f (x, y), se nazývá reálná funkce dvou reálných proměnných. Množinu A nazýváme definičním oborem a značíme D(f ). Poznámka 1.2. Někdy je vhodné pro lepší představu o grafu určit nejen vrstevnice, tj. průměty řezů rovinami z = c, ale také řezy grafu rovinami x = c resp. y = c. Jejich rovnice jsou z = f (c, y) resp. y = f (x, c), c ∈ R. Příklad 1.3. Určete vrstevnice funkce f : z = x2 + y 2 a nakreslete podle nich graf funkce f . Řešení. Protože není zadán definiční obor, budeme uvažovat maximální možný, tj. D(f ) = R2 . Rovnice vrstevnic jsou vc : x2 + y 2 = c. a) Pro c < 0 je vc = ∅, protože x2 + y 2 = 0. b) Pro c = 0 je v0 = {(0, 0)}, protože pokud x 6= 0 nebo y 6= 0, je x2 + y 2 > 0. √ c) Pro c > 0 je vc kružnicí se středem v počátku a poloměrem c. Čím je c větší, tím větší je poloměr a rovina z = c leží výše. Graf je znázorněn atd. N Lemma 1.4. Předpokládejme, že funkci f (x, y) lze v polárních souřadnicích se středem v bodě (x0 , y0 ) vyjádřit ve tvaru f (x, y) = L + g(ρ)h(ρ, ϕ), L ∈ R, kde i) lim g(ρ) = 0, ρ→0

ii) h(ρ, ϕ) je ohraničená na obdélníku (0, ρ0 i × h0, 2πi, kde ρ0 > 0. Pak platí:

lim (x,y)→(x0 ,y0 )

f (x, y) = L.

1.3 Ukázky okolí pro texty určené pro kombinované studium

5

Důkaz. Nechť je h ohraničena na zmíněném obdélníku konstantou K ∈ R+ , tj. |h(ρ, ϕ)| 5 K. Zvolme libovolné ε > 0. Z definice limity vyplývá, že existuje 0 < < δ < ρ0 takové, že pro 0 < ρ < δ je |g(ρ)| < ε/K. Tedy pro (x, y) ∈ O((x0 , y0 ), δ), (x0 , y0 ) 6= (0, 0), je |f (x, y) − L| = |g(ρ)| · |h(ρ, ϕ)| <

ε · K = ε, K

z čehož plyne tvrzení. Věta 1.5 (Lagrange). Předpokládejme, že funkce f : z = f (x, y) má parciální derivace fx a fy v libovolném bodě množiny M , kde M ⊂ R2 je obdélník, jehož strany jsou rovnoběžné se souřadnicovými osami. Nechť (x0 , y0 ), (x1 , y1 ) ∈ M . Pak existují čísla ξ, η ∈ R, ξ ležící mezi x0 a x1 a η ležící mezi y0 a y1 , taková, že f (x1 , y1 ) − f (x0 , y0 ) = fx (ξ, y0 )(x1 − x0 ) + fy (x1 , η)(y1 − y0 ). Důkaz. Platí: f (x1 , y1 ) − f (x0 , y0 ) = f (x1 , y0 ) − f (x0 , y0 ) + f (x1 , y1 ) − f (x1 , y0 ) = = fx (ξ, y0 )(x1 − x0 ) + fy (x1 , η)(y1 − y0 ). Přitom v posledním kroku jsme použili dvakrát Lagrangeovu větu pro funkci jedné proměnné — nejprve na funkci jedné proměnné ϕ(x) = f (x, y0 ) na intervalu s koncovými body x0 a x1 a pak na funkci jedné proměnné ψ(y) = f (x1 , y) na intervalu s koncovými body y0 a y1 . Nechť A, B jsou množiny. Říkáme, že množiny A, B jsou si rovny a píšeme A = B, jestliže každý prvek množiny A je zároveň prvkem množiny B a každý prvek množiny B je zároveň prvkem množiny A.

1.3

Ukázky okolí pro texty určené pro kombinované studium

Průvodce studiem V prvním semestru jsme se seznámili s reálnými funkcemi jedné reálné proměnné, např. y = sin x, u = t ln t apod. Jde o zobrazení, které jednomu reálnému číslu (hodnotě nezávisle proměnné x, t apod.) přiřazuje jedno reálné číslo (hodnotu závisle proměnné y, u apod.). Tedy jedna veličina (hodnota závisle proměnné) závisí na jedné veličině (hodnotě nezávisle proměnné). V matematice se ovšem setkáváme i se složitějšími případy,

6

Úvodní

kdy jedna veličina závisí na více veličinách. Např. vzorec pro výpočet obsahu obdélníku je S = ab, tedy veličina S závisí na dvou veličinách a a b. Podobně vzorec pro výpočet objemu kvádru je V = abc, tudíž objem V závisí na třech veličinách a, b a c. Z fyziky známe vzorec pro výpočet dráhy rovnoměrně zrychleného přímočarého pohybu s = 1/2 at2 (s závisí na dvou veličinách), vzorec pro výpočet hmotnosti homogenního kvádru m = ρabc (m závisí na čtyřech veličinách) atd. To nás vede k zavedení funkcí více proměnných.

Cíle Po prostudování této kapitoly budete schopni: • • • • • • • •

definovat funkce dvou a více proměnných a určit jejich definiční obory, určit, zda množina bodů v R3 je či není grafem funkce dvou proměnných, nakreslit vrstevnice funkce dvou proměnných, určit, zda je bod vzhledem k dané množině v R2 jejím vnitřním, vnějším, hraničním, hromadným resp. izolovaným bodem, rozhodnout, zda je daná množina v R2 uzavřená nebo otevřená, definovat limitu funkcí dvou proměnných, vypočítat limity některých funkcí dvou proměnných resp. rozhodnout o její neexistenci, vysvětlit vztah mezi spojitostí funkce a limitou funkce dvou proměnných v daném bodě.

Pro zájemce: Zcela analogicky zavedeme reálnou funkci tří reálných proměnných. Prvku množiny A ⊂ R3 přiřadíme číslo. Tudíž trojici čísel (x, y, z), kterou lze geometricky chápat jako kartézské souřadnice bodu v prostoru, je přiřazeno číslo u. Tedy f : u = f (x, y, z). Podobně postupujeme pro reálné funkce n reálných proměnných, kde n = 4, 5, 6, . . . . Formálně je taková funkce zobrazení f : A → R, kde A ⊂ Rn , n ∈ N. Označení je f : z = = f (x1 , . . . , xn ) resp. stručně f : z = f (x), kde x = (x1 , . . . , xn ). Zde už máme problémy s geometrickou představou. Pokud bychom chtěli postupovat jako u n = 2 a n = 3, museli bychom pracovat ve čtyř a vícerozměrných prostorech, což není v elementárním kurzu běžné. Příklady takových funkcí jsou s x − 2y + 3z u=3 , h = x2 yu+(2z+u−x) sin xy, z = x21 +x22 +· · ·+x2n apod. ln(x2 − y 3 + |z|)

Pojmy k zapamatování — funkce dvou (resp. více) proměnných

1.3 Ukázky okolí pro texty určené pro kombinované studium

— — — — — — — — —

7

graf funkce dvou proměnných definiční obor funkce dvou proměnných vrstevnice (hladina) funkce dvou proměnných okolí bodu vnitřní, vnější, hraniční bod hromadný a izolovaný bod uzavřená a otevřená množina limita funkce dvou proměnných spojitost funkce dvou proměnných

Kontrolní otázky 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12.

Co rozumíme pojmem funkce dvou proměnných? Jak poznáme, že je množina bodů v R2 grafem funkce dvou proměnných? K čemu slouží vrstevnice? Definujte epsilonové okolí bodu v R2 . Porovnejte definici okolí bodu v případě funkce jedné proměnné a funkce dvou proměnných. Proveďte klasifikaci bodů v rovině. Definujte otevřenou resp. uzavřenou množinu v R2 . Existuje množina, která není ani uzavřená ani otevřená? Jak počítáme limitu funkce dvou proměnných? ∞ Dá se při výpočtu limit funkcí dvou proměnných tvaru podílu 00 resp. ∞ použít l’Hospitalovo pravidlo? Co musí být splněno, aby funkce dvou proměnných byla spojitá v nějakém bodě? Může být funkce nespojitá v nějakém izolovaném bodě definičního oboru?

8

Úvodní

Příklady k procvičení 1. Určete a nakreslete definiční obor funkce dvou proměnných: a)

f: z =

1 x

+

1 y−1

,

1 25−x2 −y 2

b)

c)

f: z =

e)

f: z = √

g)

f: z =

i)

f : z = ln(|x| + y) +

k)

f: z =

m)

f: z =

1 x+|y|

,

d) 1 x−|y|

−√

,

f)

1 sin π(x+y)

f: z =

1 y 2 −x2

,

√

3x − √2y , p f : z = (1 − x2 )(1 − y 2 ) , f: z =

j)

f : z = arcsin(x + y) , p f : z = x2 + y 2 − 1 + ln(2 − x2 − y 2 ) ,

l)

f : z = arcsin yx2 + arcsin(1 − y) ,

n)

o)

ln x + ln y , p f : z = πx x2 − y 2 ,

p)

f : z = ln(sin x + sin y − 3) + (xy)2 , p f : z = xy 9 − x2 − y 2 ,

q)

f: z =

x+y 2x−3y

,

r)

f: z =

3x − y ,

t)

√2 xy

h) √1 y−x

,

,

√

√

s)

f: z =

u)

f : z = ln(y 2 − 4x + 8) , p √ f : z = 4 − x2 + y 2 − 1 ,

w)

v) x)

x2 −2y y 2 −2x

, √ f: z = x+ 1−y, f : z = arcsin(x − y) , p f : z = (9 − x2 − y 2 )(x2 + y 2 − 4) .

2. Určete a nakreslete definiční obor funkce dvou proměnných: f : z = ln(x + y) ,

b)

f: z =

c)

f : z = ln[x ln(y − x)] , q 2 2 f : z = 1 − xa2 − yb2 ,

d)

f: z

f)

f: z

h)

f: z

j)

f: z

e) g) i)

f : z = tg π(x − y) , q 2 −y 2 f : z = 9−x , x2 +y 2 −4

a, b > 0,

√

p 1 − x2 + 1 − y 2 , p = x sin y , √ 4x−y 2 = ln(1−x2 −y2 ) , √ = xy , q = xy .

a)

9

1.4 Okolí pro výčty

Klíč k příkladům k procvičení 1. a) c) e) f) g) i) k) l) m) o) q) s) u) w)

D(f ) = {x 6= 0 ∧ y 6= 1}, b) D(f ) = {y 6= ±x}, D(f ) = {x2 + y 2 6= 25}, d) D(f ) = {x = 0 ∧ y > 0}, D(f ) = {x > 0 ∧ −x < y < x}, D(f ) = {(|x| 5 1 ∧ |y| 5 1) ∨ (|x| = 1 ∧ |y| = 1)}, D(f ) = {y 6= −x + k, k ∈ Z}, h) D(f ) = {−x − 1 5 y 5 −x + 1}, D(f ) = {y > x}, j) D(f ) = {1 5 x2 + y 2 < 2}, D(f ) = {(x > 0 ∧ y > 0) ∨ (x < 0 ∧ y < 0)}, D(f ) = {−y 2 5 x 5 y 2 ∧ 0 < y 5 2}, D(f ) = {x > 0 ∧ y > 0 ∧ xy = 1}, n) D(f ) = ∅, D(f ) = {|x| = |y|}, p) D(f ) = {x2 + y 2 5 9}, D(f ) = {y 6= 23 x}, r) D(f ) = {y 2 6= 2x}, D(f ) = {y 5 3x}, t) D(f ) = {y 5 1}, 2 D(f ) = {y > 4(x − 2)}, v) D(f ) = {−1 5 x − y 5 1}, D(f ) = {|x| 5 2 ∧ |y| = 1}, x) D(f ) = {4 5 x2 + y 2 5 9}.

2. a) c) d)

D(f ) = {x + y > 0}, b) D(f ) = {|x| 5 1 ∧ |y| 5 1}, D(f ) =  {(x > 0 ∧ y > x + 1) ∨ (x < 0 ∧
x < y < x + 1)}, D(f ) = x = 0 ∧ 2kπ 5 y 5 (2k + 1)π ∨
∨ x 5 0 ∧ (2k + 1)π 5 y 5 (2k + 2)π , k ∈ Z ,  2 2 D(f ) = xa2 + yb2 5 1 , D(f ) = {y 2 5 4x ∧ x2 + y 2 < 1 ∧ x2 + y 2 6= 0}, D(f ) = {y 6= x − k − 1/2, k ∈ Z}, D(f ) = {(x = 0 ∧ y = 0) ∨ (x 5 0 ∧ y 5 0)}, D(f ) = {4 < x2 + y 2 5 9}, D(f ) = {(x = 0 ∧ y > 0) ∨ (x 5 0 ∧ y < 0)}.

e) f) g) h) i) j)

1.4

Okolí pro výčty

LATEX standardně obsahuje okolí enumerate, itemize a description pro psaní číslovaných resp. nečíslovaných výčtů. Jejich použití ale někdy není v dané situaci ideální (mezery, odsazení). Předkládaná šablona obsahuje definici velmi obecného nástroje pro tvorbu takových okolí, která mohou být vnořena až do čtyř úrovní, mohou být různě „číslována“, na toto číslování se dá odkazovat pomocí dvojic \label, \ref atd. Pomocí tohoto nástroje je nadefinováno několik okolí, která nyní předvedeme. Další (s jiným mezerováním, číslováním apod.) lze snadno definovat. aokz aokzz aokt rokz

číslování číslování číslování číslování

arabskými číslicemi, vpravo závorka Např. 3) arabskými číslicemi, kolem závorky Např. (3) arabskými číslicemi, vpravo tečka Např. 3. římskými číslicemi, vpravo závorka Např. iii)

Každé toto okolí má jeden povinný parametr (ve složených závorkách), který udává nejširší výraz použitý na číslování (včetně tečky, závorek apod.; zadáte-li ho

10

Úvodní

širší, docílíte odsazení zleva), a jeden nepovinný parametr (v kulatých závorkách), který umožňuje změnit arabské resp. římské číslice na malá resp. velká písmena. Nepovinný parametr může být: arabic, roman, Roman, alph a Alph. A nyní ukázky (ve zdrojovém kódu zjistíte podrobnosti, jak se zadává): \begin{aokz}{1)} 1) Nějaký ukázkový text, dlouhý. 2) Nějaký ukázkový text, dlouhý. 3) Nějaký ukázkový text, dlouhý. 4) Nějaký ukázkový text, dlouhý. \begin{aokzz}{(1)}

který se pořád dokola a dokola opakuje, aby byl dost

(1) Nějaký ukázkový text, dlouhý. (2) Nějaký ukázkový text, dlouhý. (3) Nějaký ukázkový text, dlouhý. (4) Nějaký ukázkový text, dlouhý. \begin{aokt}{1.}

který se pořád dokola a dokola opakuje, aby byl dost

1. Nějaký ukázkový text, dlouhý. 2. Nějaký ukázkový text, dlouhý. 3. Nějaký ukázkový text, dlouhý. 4. Nějaký ukázkový text, dlouhý. \begin{rokz}{iii)}

který se pořád dokola a dokola opakuje, aby byl dost

který se pořád dokola a dokola opakuje, aby byl dost který se pořád dokola a dokola opakuje, aby byl dost který se pořád dokola a dokola opakuje, aby byl dost

který se pořád dokola a dokola opakuje, aby byl dost který se pořád dokola a dokola opakuje, aby byl dost který se pořád dokola a dokola opakuje, aby byl dost

který se pořád dokola a dokola opakuje, aby byl dost který se pořád dokola a dokola opakuje, aby byl dost který se pořád dokola a dokola opakuje, aby byl dost

i) Nějaký ukázkový text, který se pořád dokola a dokola opakuje, aby byl dost dlouhý. ii) Nějaký ukázkový text, který se pořád dokola a dokola opakuje, aby byl dost dlouhý. iii) Nějaký ukázkový text, který se pořád dokola a dokola opakuje, aby byl dost dlouhý.

1.4 Okolí pro výčty

11

iv) Nějaký ukázkový text, který se pořád dokola a dokola opakuje, aby byl dost dlouhý. \begin{rokz}{\qquad iii)} i) Nějaký ukázkový text, který se pořád dokola a dokola opakuje, aby byl dost dlouhý. ii) Nějaký ukázkový text, který se pořád dokola a dokola opakuje, aby byl dost dlouhý. iii) Nějaký ukázkový text, který se pořád dokola a dokola opakuje, aby byl dost dlouhý. iv) Nějaký ukázkový text, který se pořád dokola a dokola opakuje, aby byl dost dlouhý. \begin{aokzz}[alph]{(d)} (a) Nějaký dlouhý. (b) Nějaký dlouhý. (c) Nějaký dlouhý. (d) Nějaký dlouhý.

ukázkový text, který se pořád dokola a dokola opakuje, aby byl dost ukázkový text, který se pořád dokola a dokola opakuje, aby byl dost ukázkový text, který se pořád dokola a dokola opakuje, aby byl dost ukázkový text, který se pořád dokola a dokola opakuje, aby byl dost

Okolí mohou být vnořená: (A) Nějaký ukázkový text, který se pořád dokola a dokola opakuje, aby byl dost dlouhý. (B) Nějaký ukázkový text, který se pořád dokola a dokola opakuje, aby byl dost dlouhý. I. Nějaký ukázkový text, který se pořád dokola a dokola opakuje, aby byl dost dlouhý. II. Nějaký ukázkový text, který se pořád dokola a dokola opakuje, aby byl dost dlouhý. III. Nějaký ukázkový text, který se pořád dokola a dokola opakuje, aby byl dost dlouhý. (C) Nějaký ukázkový text, který se pořád dokola a dokola opakuje, aby byl dost dlouhý. (D) Nějaký ukázkový text, který se pořád dokola a dokola opakuje, aby byl dost dlouhý. Je rozumné si nadefinovat podle svých potřeb několik málo vlastních okolí (zejména mezery mezi položkami a nad a pod okolím a typ číslování) a ty pak systematicky používat, aby byl text jednotný. A nezapomenout, že všeho moc škodí.

12

Úvodní

Je nadefinováno také jedno nečíslované okolí: punt. Má jeden nepovinný parametr, kterým lze docílit odsazení od okraje. \begin{punt} • Nějaký ukázkový text, který se pořád dokola a dokola opakuje, aby byl dost dlouhý. • Nějaký ukázkový text, který se pořád dokola a dokola opakuje, aby byl dost dlouhý. • Nějaký ukázkový text, který se pořád dokola a dokola opakuje, aby byl dost dlouhý. \begin{punt}[\qquad] • Nějaký ukázkový text, který se pořád dokola a dokola opakuje, aby byl dost dlouhý. • Nějaký ukázkový text, který se pořád dokola a dokola opakuje, aby byl dost dlouhý. • Nějaký ukázkový text, který se pořád dokola a dokola opakuje, aby byl dost dlouhý. Případným zájemcům poradím, jak definice modifikovat nebo jak udělat nové.

1.5

Rejstřík a další informace, závěrečné úpravy

LATEX umožňuje snadno vytvořit až tříúrovňový rejstřík. K tomu slouží příkaz \index{}. Např. funkce\index{funkce}, spojitá funkce\index{funkce!spojitá} a rostoucí spojitá funkce\index{funkce!spojitá!rostoucí}. Např. funkce, spojitá funkce a rostoucí spojitá funkce. Pozor na nadbytečné mezery uvnitř argumentu příkazu \index. Např. příkazy \index{funkce}, \index{␣funkce} a \index{funkce␣} zadané na různých místech textu nejsou stejné, řetězce jsou různé a heslo se vám v rejstříku objeví třikrát (obecně s různými stranami — pokud náhodou nepadnou na stejnou stranu). Správně by mělo být heslo jen jednou, ale se třemi různými stranami (pokud náhodou nepadnou na stejnou stranu). Hesla se ukládají do souboru s příponou idx. Rejstřík se vytvoří pomocí programu csindex (máte-li novou instalaci, je dostupný z wineditu). Další triky lze nalézt v dokumentaci (různé druhy číslování, změna řazení aj.).

1.5.1

Kódování češtiny

Ve zdrojovém kódu hlavního souboru (toho, který překládáte) musí zůstat první řádek, který vypadá takto:

1.5 Rejstřík a další informace, závěrečné úpravy

13

%& -translate-file=cp227.tcx Nesmíte ho tedy smazat a musí to být opravdu první řádek a na začátku nesmí být žádná mezera! Tento řádek spolu s dalším příkazem pro načítání, který má ve Windows tvar \input csenc-wt.tex, je zodpovědný za správné překódování češtiny. Načtení souboru csenc-wt.tex musí proběhnout ještě před načtením souboru tisk_bez_ik.tex, který obsahuje příkaz \documentclass, načítání stylových balíčků a další definice. Výše popsané překódování používá rozšíření TEXu zvané enctex (již bylo zmíněno v souvislosti se stylem vlna.sty). Pokud váš překladač toto rozšíření neumí nebo ho nemá aktivované (překlad zhavaruje), musíte použít tzv. tcx tabulky. Do prvního řádku dáte (ve Windows) těsně od levého okraje %& -translate-file=cp1250t1.tcx a zrušíte načtení souboru pro enctex, tj. zaprocentujete nebo smažete příkaz csenc-w.tex.

1.5.2

Různé

Místo příkazu \ref můžete použít nadefinovaný příkaz \upref, který způsobí, že odkaz bude vždy stojatým písmem (hlavně číslice, je to obvykle hezčí). Pro odkaz na číslované rovnice, které jsou v kulatých závorkách, se používá příkaz \eqref. Šablona obsahuje příkazy pro odkazy na obrázky, obrázky začleněné pomocí stylu subfigure a obtékané obrázky. Pro obtékání lze použít styl wrapfig, který šablona volá. Navigační záložky, které vidíte v Acrobatu, musejí být kódovány v unicodu, aby měly správnou češtinu. Jsou generovány automaticky a uloženy v souboru s příponou out. Finální verze musí být obvykle ručně editována. Detaily kolem těchto věcí bych případným zájemcům příležitostně vysvětlil.

1.5.3

Úpravy finální verze

Řádek \overfullrule=6pt, který je na začátku, způsobí, že po pravé straně máte černými obdélníčky vyznačeno přetečení (TEX nenašel vhodné zlomení). Úpravou textu je nutné problémy vyřešit. Nepatrné přetečení můžete nechat. Před finální verzí se řádek zaprocentuje, aby černé obdélníčky zmizely. V tomto textu byly přesahy neošetřeny a úmyslně ponechány. Výsledný PDF soubor, který bude určen pro eventuelní (černobílý) tisk, by neměl obsahovat barevné odkazy (vytisknou se šedě a jsou špatně čitelné). Naopak při práci na textu jsou barevné odkazy výhodné, protože vidíte, co jsou hypertextové odkazy a můžete průběžně kontrolovat jejich správnost a funkčnost. V závěrečné verzi

14

Úvodní

určené pro tisk byste tedy měli „vypnout barvy odkazů“. Soubor tisk_bez_ik.tex obsahuje téměř na konci následujcící řádky: \hypersetup{colorlinks,hyperindex,plainpages=false,urlcolor=cyan, pdfstartview={FitH 714 },pdftitle={Název skript},pdfsubject={Skripta}, pdfauthor={Autor skript} %,linkcolor=black,citecolor=black,urlcolor=black,pagecolor=black } Zde byste měli odprocentovat předposlední řádek, čímž se všechny barvy odkazů změní na černou. Současně byste měli uvést v položce pdftitle skutečný název vašich skript a v položce pdfauthor jména autorů. Tyto údaje se vám pak při prohlížení PDF souboru v Acrobat Readeru ukážou při zobrazení vlastností dokumentu (obvykle v roletovém menu Soubor). Pokud budete používat barevnou grafiku ve verzi určené pro černobílý tisk, měli byste si tisk na černobílé tiskárně vyzkoušet, abyste viděli, jak vaše obrázky po převodu do stupňů šedi dopadnou a zda je výsledek vůbec použitelný.

15

Literatura [1] Hošková, Š. – Kuben, J. Integrální počet funkcí jedné proměnné. 1. vydání. Brno: Vojenská akademie v Brně, 2004. 205 s. Skriptum. ISBN 80-85960-75-3. [2] Hošková, Š. – Kuben, J. – Račková, P. Integrální počet funkcí více proměnných. 1. vydání. Brno: Vojenská akademie v Brně, 2005. 6+140 s. Skriptum. ISBN 80-7231-031-3. [3] Schwabik, Š. – Šarmanová, P. Malý průvodce historií integrálu. Přírodovědecká fakulta Masarykovy univerzity v Brně, Dějiny matematiky, sv. 6. 1. vydání. Praha: Prometheus, 1996. 96 s. ISBN 80-7196-038-1. [4] Sikorski, R. Diferenciální a integrální počet. Funkce více proměnných. Druhé, změněné a doplněné vydání. Vydání překladu 1. Praha: Academia, 1973. 496 s.

16

Rejstřík D definiční obor, 4 F funkce, 12 spojitá, 12 rostoucí, 12 funkce reálná dvou reálných proměnných, 4 n reálných proměnných, 6 tří reálných proměnných, 6 V věta Lagrangeova, 5