Analízis elo adások. Vajda István szeptember 10. Neumann János Informatika Kar Óbudai Egyetem. Vajda István (Óbudai Egyetem)

˝ Analízis eloadások Vajda István Neumann János Informatika Kar Óbudai Egyetem

2012. szeptember 10.

Vajda István (Óbudai Egyetem)

˝ Analízis eloadások


1 / 36

Komplex számok

Bevezetés

A komplex számok értelmezése Definíció: Tekintsük a valós számpárok R2 halmazát és értelmezzük ezen a halmazon a következo˝ két muveletet: ˝ A bevezeto˝ fejezetben a komplex számok közötti muveleteket ˝ más színnel jelöljük, mint az azonos nevu˝ valós számok közötti muveleteket. ˝

Összeadás:

(a , b )+(c , d ) := (a + c , b + d ) Szorzás:

(a , b )·(c , d ) := (ac − bd , ad + bc ) Az így kapott struktúra elemeit (a valós számpárokat) komplex számoknak nevezük, és az általuk alkotott halmazra bevezetjük a C jelölést. A számpár elso˝ elemét a komplex szám valós részének, a második elemét a komplex szám képzetes (imaginárius) részének nevezzük. Két komplex szám pontosan akkor egyezik meg egymással, ha a valós és a képzetes részük is megegyezik. Vajda István (Óbudai Egyetem)



2 / 36

Komplex számok

Bevezetés


Összeadás:





2 / 36

Komplex számok

Bevezetés


Összeadás:





2 / 36

Komplex számok

Bevezetés


Összeadás:





2 / 36

Komplex számok

Bevezetés

Muveleti ˝ tulajdonságok A komplex számok halmaza mindkét muveletre ˝ zárt, hiszen ha a , b , c , d valós számok, akkor a + c és b + d, illetve ac − bd és ad + bc is valós számok. A komplex számokon értelmezett összeadás kommutatív

(a , b )+(c , d ) = (a + c , b + d ) = (c + a , d + b ) = (c , d )+(a , b ) asszociatív

(a , b )+(c , d ) +(e , f ) = (a + c , b + d )+(e , f ) = = (a + c ) + e , (b + d ) + f = a + (c + e ), b + (d + f ) = = (a , b )+(c + e , d + f ) = (a , b )+ (c , d )+(e , f )




3 / 36

Komplex számok

Bevezetés

Muveleti ˝ tulajdonságok A komplex számok halmaza mindkét muveletre ˝ zárt, hiszen ha a , b , c , d valós számok, akkor a + c és b + d, illetve ac − bd és ad + bc is valós számok. A komplex számokon értelmezett összeadás kommutatív

(a , b )+(c , d ) = (a + c , b + d ) = (c + a , d + b ) = (c , d )+(a , b ) asszociatív

(a , b )+(c , d ) +(e , f ) = (a + c , b + d )+(e , f ) = = (a + c ) + e , (b + d ) + f = a + (c + e ), b + (d + f ) = = (a , b )+(c + e , d + f ) = (a , b )+ (c , d )+(e , f )




3 / 36

Komplex számok

Bevezetés

Muveleti ˝ tulajdonságok

A komplex számok összeadásának létezik neutrális eleme (zéruselem), mégpedig a (0, 0) komplex szám, hiszen ∀a , b ∈ R esetén:

(a , b )+(0, 0) = (a + 0, b + 0) = (a , b )

Minden komplex számnak létezik additív inverze, mert ∀a , b ∈ R esetén:

(a , b )+(−a , −b ) = a + (−a ), b + (−b ) = (0, 0)




4 / 36

Komplex számok

Bevezetés

Muveleti ˝ tulajdonságok

A komplex számok összeadásának létezik neutrális eleme (zéruselem), mégpedig a (0, 0) komplex szám, hiszen ∀a , b ∈ R esetén:

(a , b )+(0, 0) = (a + 0, b + 0) = (a , b )

Minden komplex számnak létezik additív inverze, mert ∀a , b ∈ R esetén:

(a , b )+(−a , −b ) = a + (−a ), b + (−b ) = (0, 0)




4 / 36

Komplex számok

Bevezetés

Muveleti ˝ tulajdonságok A komplex számokon értelmezett szorzás kommutatív

(a , b )·(c , d ) = (ac − bd , ad + bc ) = (ca − db , cb + da ) = (c , d )·(a , b ) asszociatív

(a , b )·(c , d ) ·(e , f ) = (ac − bd , ad + bc )·(e , f ) = = (ac − bd )e − (ad + bc )f , (ac − bd )f + (ad + bc )e = = (ace − bde − adf − bcf , acf − bdf + ade + bce ) = = (ace − adf − bcf − bde , acf + ade + bce − bdf ) = = a (ce − df ) − b (cf + de ), a (cf + de ) + b (ce − df ) = = (a , b )· ce − df , cf + de = (a , b )· (c , d )·(e , f )




5 / 36

Komplex számok

Bevezetés

Muveleti ˝ tulajdonságok A komplex számok szorzásának létezik neutrális eleme (egységelem), mégpedig az (1, 0) komplex szám, hiszen ∀a , b ∈ R esetén:

(a , b )·(1, 0) = (a · 1 − b · 0, a · 0 + b · 1) = (a , b ) Minden a (0, 0) számtól különbözo˝ komplex számnak létezik multiplikatív inverze, mert ∀a , b ∈ R esetén:

(a , b )·

a a2 + b2

,−

!

b

= (1, 0)

a2 + b2

Bizonyítás: (a , b )·

a a2 + b

=

,− 2

a2 + b2

a2 a2

!

b

+

b2

+


= a· b2

a2

+

b2

a a2 + b2

,−

−b · −

ab a2

+

b2

+

a2 + b2

!

ab a2

!

b

+


b2

,a · −

!

b a2 + b2

+b ·

a a2 + b2

! =

a 2 + b 2 −ab + ab , = (1, 0) a2 + b2 a2 + b2

!

=


6 / 36

Komplex számok

Bevezetés



(a , b )·

a a2 + b2

,−

!

b

= (1, 0)

a2 + b2


a a2 + b

=

,− 2

a2 + b2

a2 a2

!

b

+

b2

+


= a· b2

a2

+

b2

a a2 + b2

,−

−b · −

ab a2

+

b2

+

a2 + b2

!

ab a2

!

b

+


b2

,a · −

!

b a2 + b2

+b ·

a a2 + b2

! =

a 2 + b 2 −ab + ab , = (1, 0) a2 + b2 a2 + b2

!

=


6 / 36

Komplex számok

Bevezetés



(a , b )·

a a2 + b2

,−

!

b

= (1, 0)

a2 + b2


a a2 + b

=

,− 2

a2 + b2

a2 a2

!

b

+

b2

+


= a· b2

a2

+

b2

a a2 + b2

,−

−b · −

ab a2

+

b2

+

a2 + b2

!

ab a2

!

b

+


b2

,a · −

!

b a2 + b2

+b ·

a a2 + b2

! =

a 2 + b 2 −ab + ab , = (1, 0) a2 + b2 a2 + b2

!

=


6 / 36

Komplex számok

Bevezetés

Muveleti ˝ tulajdonságok A komplex számok szorzására és összeadására érvényes a következo˝ disztributív szabály:

(a , b )· (c , d )+(e , f ) = (a , b )·(c , d )+(a , b )·(e , f ) ˝ mert: Bizonyítás: A bal és jobboldal egyenlo,

(a , b )· (c , d )+(e , f ) = (a , b )·(c + e , d + f ) = = a (c +e )−b (d +f ), a (d +f )+b (c +e ) = (ac +ae −bd −bf , ad +af +bc +be ) és

(a , b )·(c , d )+(a , b )·(e , f ) = (ac − bd , ad + bc )+(ae − bf , af + be ) = = (ac − bd + ae − bf , ad + bc + af + be ) = = (ac + ae − bd − bf , ad + af + bc + be ) Vajda István (Óbudai Egyetem)



7 / 36

Komplex számok

Bevezetés

Ábrázolás

A valós számpároknak megfeleltethetjük a koordinátasík egy-egy pontját, illetve az ahhoz tartozó helyvektort. A komplex számot gyakran jelölik zvel. A komplex szám valós része egyenlo˝ az ábrázoló vektor, illetve pont elso˝ koordinátájával, képzetes része pedig azok második koordinátájával.



képzetes tengely képzetes rész

z = (a , b )

b

a

valós tengely

valós rész


8 / 36

Komplex számok

Bevezetés

Ábrázolás

A valós számpároknak megfeleltethetjük a koordinátasík egy-egy pontját, illetve az ahhoz tartozó helyvektort. A komplex számot gyakran jelölik zvel. A komplex szám valós része egyenlo˝ az ábrázoló vektor, illetve pont elso˝ koordinátájával, képzetes része pedig azok második koordinátájával.



képzetes tengely képzetes rész

z = (a , b )

b

a

valós tengely

valós rész


8 / 36

Komplex számok

Bevezetés

A komplex szám abszolút értéke és irányszöge A komplex számot ábrázoló vektor hosszát a komplex szám abszolút értékének nevezzük. A z = (a , b ) komplex szám abszolút értéke Pithagorasz tétele alapján:

|z | =

képzetes tengely z = (a , b )

b

ϕ

p

a2 + b2

valós tengely a

A valós tengely pozitív fele és a komplex számot ábrázoló vektor által meghatározott irányított szöget a komplex szám irányszögének, (argumentumának) nevezzük. A komplex szám irányszöge nem egyértelmu, ˝ a lehetséges irányszögek a teljesszög egész számú többszörösével térnek el egymástól.




9 / 36

Komplex számok

Bevezetés

A komplex szám abszolút értéke és irányszöge A komplex számot ábrázoló vektor hosszát a komplex szám abszolút értékének nevezzük. A z = (a , b ) komplex szám abszolút értéke Pithagorasz tétele alapján:

|z | =

képzetes tengely z = (a , b )

b

ϕ

p

a2 + b2

valós tengely a

A valós tengely pozitív fele és a komplex számot ábrázoló vektor által meghatározott irányított szöget a komplex szám irányszögének, (argumentumának) nevezzük. A komplex szám irányszöge nem egyértelmu, ˝ a lehetséges irányszögek a teljesszög egész számú többszörösével térnek el egymástól.




9 / 36

Komplex számok

A komplex számok algebrai alakja

Az algebrai alak bevezetése

Tekintsük a komplex számok halmazának S = {z |z ∈ C, Im(z ) = 0} részhalmazát! Ennek elemei (a , 0) alakúak, ahol a ∈ R. Mivel

(a , 0)+(b , 0) = (a + b , 0 + 0) = (a + b , 0) és

(a , 0)·(b , 0) = (ab − 0 · 0, a · 0 + 0 · b ) = (ab , 0), ezért a ϕ : S → R, (a , 0) 7→ a függvény egy muvelettartó, ˝ kölcsönösen egyértelmu˝ leképezés S és R között. A továbbiakban S elemeit (a , 0) helyett egyszeruen ˝ a-val jelöljük.




10 / 36

Komplex számok


Az algebrai alak bevezetése Jelölés: Vezessük be a j = (0, 1) jelölést! (Ezt a számot szokás képzetes (imaginárius) egységnek nevezni. ˝ ˝ hogy j 2 = −1. Valóban: Könnyen ellenorizhet o,

(0, 1)·(0, 1) = (0 · 0 − 1 · 1, 0 · 1 + 1 · 0) = (−1, 0) Tekintsük a komplex számok halmazának T = {z |z ∈ C, Re(z ) = 0} részhalmazát! Ennek elemei (0, b ) alakúak, ahol b ∈ R. Mivel

(b , 0)·(0, 1) = (b · 0 − 0 · 1, b · 1 + 0 · 0) = (0, b ), ezért (0, b ) helyett használhatjuk a bj jelölést. Figyeljük meg, hogy bj +dj = (0, b )+(0, d ) = (0, b + d ) = (b + d )j és a +bj = (a , 0)+(0, b ) = (a , b ) Vajda István (Óbudai Egyetem)



11 / 36

Komplex számok







11 / 36

Komplex számok







11 / 36

Komplex számok







11 / 36

Komplex számok


Az algebrai alak

Az (a , b ) komplex szám algebrai (kanonikus) alakján az

a + bj kifejezést értjük. Ebben a a komplex szám valós része, b a komplex szám képzetes része és j az imaginárius egység. ˝ Az algebrai alak elonye, hogy az algebrai kifejezéseknél megszokott ˝ szabályoknak megfeleloen számolhatunk vele.




12 / 36

Komplex számok


Összeadás algebrai alakban megadott komplex számokkal

(a + bj ) + (c + dj ) = (a + c ) + (b + d )j Azaz az összeadás során a valós és a képzetes részek is összeadódnak. képzetes tengely

A komplex számok összeadását ˝ szemléltethetjük az oket ábrázoló vektorok összeadásával.

z1 + z2

z2

Példa: z1

(3 + j ) + (−2 + 3j ) = 1 + 4j

valós tengely




13 / 36

Komplex számok





z1 + z2

z2

Példa: z1

(3 + j ) + (−2 + 3j ) = 1 + 4j

valós tengely




13 / 36

Komplex számok





z1 + z2

z2

Példa: z1

(3 + j ) + (−2 + 3j ) = 1 + 4j

valós tengely




13 / 36

Komplex számok


Kivonás algebrai alakban megadott komplex számokkal

(a + bj ) − (c + dj ) = (a − c ) + (b − d )j A komplex számok kivonását szem˝ léltethetjük az oket ábrázoló vektorok kivonásával.

képzetes tengely

z2 z2 − z1

Példa: z1

(−2 + 3j ) − (3 + j ) = −5 + 2j

valós tengely




14 / 36

Komplex számok




képzetes tengely

z2 z2 − z1

Példa: z1

(−2 + 3j ) − (3 + j ) = −5 + 2j

valós tengely




14 / 36

Komplex számok




képzetes tengely

z2 z2 − z1

Példa: z1

(−2 + 3j ) − (3 + j ) = −5 + 2j

valós tengely




14 / 36

Komplex számok


Szorzás algebrai alakban megadott komplex számokkal ac −bd

(a + bj )(c + dj ) = (ac − bd ) + (ad + bc )j bcj adj Példa:

(6 − 5j )(−1 + 3j ) = −6 + 15 + 18j + 5j = 9 + 23j Figyeljük meg, hogy:

√ |6 − 5j | · | − 1 + 3j | =

√

√

36 + 25 ·

1+9=

√ = Vajda István (Óbudai Egyetem)

81 + 529 =


√

61 ·

√

10 =

610 =

p

92 + 232 = |9 + 23j |


15 / 36

Komplex számok





√ |6 − 5j | · | − 1 + 3j | =

√

√

36 + 25 ·

1+9=


81 + 529 =


√

61 ·

√

10 =

610 =

p

92 + 232 = |9 + 23j |


15 / 36

Komplex számok





√ |6 − 5j | · | − 1 + 3j | =

√

√

36 + 25 ·

1+9=


81 + 529 =


√

61 ·

√

10 =

610 =

p

92 + 232 = |9 + 23j |


15 / 36

Komplex számok


Szorzás algebrai alakban megadott komplex számokkal A szorzás szemléltetése speciális esetekben: Ha az egyik tényezo˝ valós (képzetes része 0): a · (c + dj ) = ac + adj A szorzatot ábrázoló vektort a z = c + dj-t ábrázoló vektorból a arányú középpontos hasonlósági transzformációval nyerjük. kt

2z

2d z

d

−c c

−z


2c

vt

−d



16 / 36

Komplex számok


Szorzás algebrai alakban megadott komplex számokkal A szorzás szemléltetése speciális esetekben: Ha az egyik tényezo˝ valós (képzetes része 0): a · (c + dj ) = ac + adj A szorzatot ábrázoló vektort a z = c + dj-t ábrázoló vektorból a arányú középpontos hasonlósági transzformációval nyerjük. kt

2z

2d z

d

−c c

−z


2c

vt

−d



16 / 36

Komplex számok


Szorzás algebrai alakban megadott komplex számokkal A szorzás szemléltetése speciális esetekben: Ha az egyik tényezo˝ j: j · (c + dj ) = cj + dj 2 = −d + cj A szorzatot ábrázoló vektort a z = c + dj-t ábrázoló vektorból 90◦ -os forgatással nyerjük. kt c

jz

d

−d


z

c vt

Megjegyzés: Ha az egyik tényezo˝ bj alakú (b ∈ R), akkor a szorzás asszociatív tulajdonsága miatt (bj )z = b (jz ), tehát a szorzathoz tartozó vektort a z-t ábrázoló vektorból egy 90◦ -os elforgatás és egy b arányú középpontos hasonlóság egymásután alkalmazásával nyerjük.



17 / 36

Komplex számok



jz

d

−d


z

c vt




17 / 36

Komplex számok



jz

d

−d


z

c vt




17 / 36

Komplex számok


Szorzás algebrai alakban megadott komplex számokkal A szorzás szemléltetése:

(a + bj ) · z = az + bjz bjz

kt

(a + bj )z az

Az ábrán árnyalással jelzett két háromszög hasonló, mert mindegyiknek van egy derékszöge,

z

a + bj

α

a derékszögeket közrefogó oldalak aránya a két háromszögben megegyezik. A két háromszög hasonlósági aránya |z |.

β α vt




18 / 36

Komplex számok


Szorzás algebrai alakban megadott komplex számokkal A szorzás szemléltetése:

(a + bj ) · z = az + bjz bjz

kt

Ezzel azt mutattuk meg, hogy

(a + bj )z az

két komplex szám szorzatának abszolút értéke megegyezik az eredeti komplex számok abszolút értékeinek szorzatával, két komplex szám szorzatának irányszöge megegyezik az eredeti komplex számok irányszögeinek összegével.

z

a + bj

α

β α vt


Megjegyzés: Ha a szorzó irányszöge nem hegyesszög, akkor a bizonyítás menete kis mértékben módosul. ˝ Analízis eloadások


18 / 36

Komplex számok


Szorzás algebrai alakban megadott komplex számokkal

˝ Az elobbi eredmények a következo˝ algebrai formában is leírhatók:

∀z1 , z2 ∈ C :

|z1 z2 | = |z1 | · |z2 |,

illetve

∀z1 , z2 ∈ C :

arg(z1 z2 ) = arg(z1 ) + arg(z2 )

˝ eltekintve). (a teljesszög egész számú többszöröseitol




19 / 36

Komplex számok


Osztás algebrai alakban megadott komplex számokkal Osztás: Ha az osztó 0-tól külöbözo˝ valós szám, akkor az osztás tagonként ˝ elvégezheto: a b a + bj = + j c c c ˝ Ha az osztó képzetes része nem 0, akkor a törtet eloször alkalmas ˝ ˝ o˝ esetre: kifejezéssel bovítjük, így visszavezetjük az eloz a + bj a + bj c − dj ac − adj + bcj + bd = = · = c + dj c + dj c − dj c 2 − (dj )2 (ac + bd ) + (bc − ad )j ac + bd

=

c2

+

d2

=

c2

+

d2

+

bc − ad j c2 + d2

Példa: 4 + 3j 4 + 3j 2 − 5j 8 − 20j + 6j + 15 23 − 14j = · = = 2 2 + 5j 2 + 5j 2 − 5j 29 4 − (5j ) Vajda István (Óbudai Egyetem)



20 / 36

Komplex számok


Osztás algebrai alakban megadott komplex számokkal Osztás: Ha az osztó 0-tól külöbözo˝ valós szám, akkor az osztás tagonként ˝ elvégezheto: a b a + bj = + j c c c ˝ Ha az osztó képzetes része nem 0, akkor a törtet eloször alkalmas ˝ ˝ o˝ esetre: kifejezéssel bovítjük, így visszavezetjük az eloz a + bj a + bj c − dj ac − adj + bcj + bd = = · = c + dj c + dj c − dj c 2 − (dj )2 (ac + bd ) + (bc − ad )j ac + bd

=

c2

+

d2

=

c2

+

d2

+

bc − ad j c2 + d2

Példa: 4 + 3j 4 + 3j 2 − 5j 8 − 20j + 6j + 15 23 − 14j = · = = 2 2 + 5j 2 + 5j 2 − 5j 29 4 − (5j ) Vajda István (Óbudai Egyetem)



20 / 36

Komplex számok


A komplex konjugált Definíció: Az a − bj komplex számot a z = a + bj komplex szám konjugáltjának nevezzük és z¯-vel jelöljük. Megjegyzések: kt

z

b

ϕ −ϕ

−b

a vt

z¯


Az algebrai alakban megadott komplex szám konjugáltját tehát úgy kapjuk, hogy a képzetes részét az ellentettjére változtatjuk. A komplex szám konjugáltjának abszolút értéke megegyezik az eredeti szám abszolút értékével: |z | = |z¯|. A komplex szám konjugáltjának irányszöge az eredeti komplex szám irányszögének ellentettje (a teljesszög egész számú ˝ eltekintve). többszöröseitol ˝ Analízis eloadások


21 / 36

Komplex számok


A komplex konjugált Definíció: Az a − bj komplex számot a z = a + bj komplex szám konjugáltjának nevezzük és z¯-vel jelöljük. Megjegyzések: kt

z

b

ϕ −ϕ

−b

a vt

z¯


Az algebrai alakban megadott komplex szám konjugáltját tehát úgy kapjuk, hogy a képzetes részét az ellentettjére változtatjuk. A komplex szám konjugáltjának abszolút értéke megegyezik az eredeti szám abszolút értékével: |z | = |z¯|. A komplex szám konjugáltjának irányszöge az eredeti komplex szám irányszögének ellentettje (a teljesszög egész számú ˝ eltekintve). többszöröseitol ˝ Analízis eloadások


21 / 36

Komplex számok


Hatványozás Definíció: Ha n ∈ Z és n ≥ 1, akkor a z ∈ C szám n-edik hatványán a ˝ tartalmaz és z · z · . . . · z szorzatot értjük, amely pontosan n tényezot ˝ z-vel egyenlo. ˝ minden tényezoje Jelölés: Az így értelmezett hatványt z n -nel jelöljük. Definíció: z 0 := 1 A j szám hatványai: j 0 = 1, j 3 = j 2 · j = (−1) · j = −j, j 5 = j 4 · j = 1 · j = j,

j1 = j,

j 2 = −1

j 4 = j 2 · j 2 = (−1) · (−1) = 1

j 6 = j 4 · j 2 = 1 · (−1) = −1,

...

˝ Látható, hogy a j hatványai periodikusan ismétlodnek:

  1       j jn =    −1     −j Vajda István (Óbudai Egyetem)

ha ha ha ha

n n n n

osztható 4-gyel, 4-gyel osztva 1 maradékot ad, 4-gyel osztva 2 maradékot ad, 4-gyel osztva 3 maradékot ad. ˝ Analízis eloadások


22 / 36

Komplex számok



j1 = j,

j 2 = −1

j 4 = j 2 · j 2 = (−1) · (−1) = 1

j 6 = j 4 · j 2 = 1 · (−1) = −1,

...



ha ha ha ha

n n n n



22 / 36

Komplex számok



j1 = j,

j 2 = −1

j 4 = j 2 · j 2 = (−1) · (−1) = 1

j 6 = j 4 · j 2 = 1 · (−1) = −1,

...



ha ha ha ha

n n n n



22 / 36

Komplex számok


Hatványozás Tétel: Binomiális tétel

!

!

!

!

n n n n −1 n n −2 2 n n (a + b ) = a + a b+ a b + ... + b 0 1 2 n n

ahol

n k

-t binomiális együtthatónak nevezzük.

Jelentése: hány k -elemu˝ részhalmaza van egy n-elemu˝ halmaznak? Kiszámítása pl. az

!

n! n = k k !(n − k )! összefüggés segítségével történhet, ahol n! := 1 · 2 · 3 · . . . · n




23 / 36

Komplex számok


Hatványozás

Példák:

(2 + 3j )2 = 22 + 2 · 2 · 3j + (3j )2 = 4 + 12j − 9 = −5 + 12j (3 − 2j )3 = 33 − 3 · 32 · 2j + 3 · 3 · (2j )2 − (2j )3 = = 27 − 54j − 36 + 8j = −9 − 46j ! ! ! ! ! 10 10 10 2 10 3 10 10 10 (1 + j ) = + j+ j + j + ... + j = 0! 1! 2! !3 ! !10 10 10 10 10 10 10 = − + − + − + 0 2 ! 4 ! 6 ! 8 ! 10 !! 10 10 10 10 10 − + − + j = 32j 1


3

5


7

9


24 / 36

Komplex számok


Hatványozás

Példák:



3

5


7

9


24 / 36

Komplex számok


Hatványozás

Példák:



3

5


7

9


24 / 36

Komplex számok

A komplex számok trigonometrikus alakja

A trigonometrikus alak kt

A szögfüggvények definíciója alapján a z = a + bj komplex szám valós része a = r cos(ϕ), képzetes része pedig b = r sin(ϕ), ahol r = |z | a komplex szám abszolút értéke, ϕ pedig az irányszöge.

z = a + bj b r

ϕ a

vt

Tehát z = r cos(ϕ) + r sin(ϕ)j, azaz

z = r cos(ϕ) + j sin(ϕ)

Az utóbbit a z komplex szám trigonometrikus alakjának nevezzük. Megjegyzés: Figyeljük meg, hogy a trigonometrikus alak felírásához a komplex számot ábrázoló vektor polárkoordinátáira van szükség! Vajda István (Óbudai Egyetem)



25 / 36

Komplex számok




z = a + bj b r

ϕ a

vt






25 / 36

Komplex számok




z = a + bj b r

ϕ a

vt






25 / 36

Komplex számok


Átváltás a trigonometrikus és az algebrai alak között trigonometrikus → algebrai A trigonometrikus alakból az algebrai alakot megkapjuk, ha a szögfüggvények értékeit behelyettesítjük, majd a kifejezést egyszerubb ˝ alakra hozzuk. Példák:

2 cos(30◦ ) + j sin(30◦ ) = 2

√

3 2

√ + 12 j = 3 + j ≈ 1.73 + j

13 cos(213◦ ) + j sin(213◦ ) ≈ 13(−0.839 − 0.545j ) = −10.9 − 7.09j

7.5 cos

π 5

π

≈ 7.5(0.809 + 0.588) = 6.07 + 4.41j 2 cos(30) + j sin(30) ≈ 2(0.154 − 0.988j ) ≈ 0.308 − 1.98 + j sin

5




26 / 36

Komplex számok



2 cos(30◦ ) + j sin(30◦ ) = 2

√

3 2

√ + 12 j = 3 + j ≈ 1.73 + j

13 cos(213◦ ) + j sin(213◦ ) ≈ 13(−0.839 − 0.545j ) = −10.9 − 7.09j

7.5 cos

π 5

π

≈ 7.5(0.809 + 0.588) = 6.07 + 4.41j 2 cos(30) + j sin(30) ≈ 2(0.154 − 0.988j ) ≈ 0.308 − 1.98 + j sin

5




26 / 36

Komplex számok



2 cos(30◦ ) + j sin(30◦ ) = 2

√

3 2

√ + 12 j = 3 + j ≈ 1.73 + j

13 cos(213◦ ) + j sin(213◦ ) ≈ 13(−0.839 − 0.545j ) = −10.9 − 7.09j

7.5 cos

π 5

π

≈ 7.5(0.809 + 0.588) = 6.07 + 4.41j 2 cos(30) + j sin(30) ≈ 2(0.154 − 0.988j ) ≈ 0.308 − 1.98 + j sin

5




26 / 36

Komplex számok



2 cos(30◦ ) + j sin(30◦ ) = 2

√

3 2

√ + 12 j = 3 + j ≈ 1.73 + j

13 cos(213◦ ) + j sin(213◦ ) ≈ 13(−0.839 − 0.545j ) = −10.9 − 7.09j

7.5 cos

π 5

π

≈ 7.5(0.809 + 0.588) = 6.07 + 4.41j 2 cos(30) + j sin(30) ≈ 2(0.154 − 0.988j ) ≈ 0.308 − 1.98 + j sin

5




26 / 36

Komplex számok



2 cos(30◦ ) + j sin(30◦ ) = 2

√

3 2

√ + 12 j = 3 + j ≈ 1.73 + j

13 cos(213◦ ) + j sin(213◦ ) ≈ 13(−0.839 − 0.545j ) = −10.9 − 7.09j

7.5 cos

π 5

π

≈ 7.5(0.809 + 0.588) = 6.07 + 4.41j 2 cos(30) + j sin(30) ≈ 2(0.154 − 0.988j ) ≈ 0.308 − 1.98 + j sin

5




26 / 36

Komplex számok


Átváltás a trigonometrikus és az algebrai alak között algebrai → trigonometrikus Az algebrai alakból kiszámíthatjuk a komplex szám abszolút értékét és irányszögét, majd ezek segítségével felírhatjuk a trigonometrikus alakot. Példa: kt 4

z

ϕ vt

−1




27 / 36

Komplex számok



z

Legyen z = −1 + 4j Ekkor z abszolút értéke:

|z | =

ϕ

p

q a2 + b2 =

(−1)2 + 42 =

√

17 ≈ 4.12

vt

−1




27 / 36

Komplex számok


Átváltás a trigonometrikus és az algebrai alak között algebrai → trigonometrikus Az algebrai alakból kiszámíthatjuk a komplex szám abszolút értékét és irányszögét, majd ezek segítségével felírhatjuk a trigonometrikus alakot. Példa: Az irányszög:

kt 4

z

tg(ϕ) =

4

−1

= −4

Innen: ϕ vt

ϕ ≈ −76◦ + k · 180◦ ahol k ∈ Z

−1




27 / 36

Komplex számok


Átváltás a trigonometrikus és az algebrai alak között algebrai → trigonometrikus Az algebrai alakból kiszámíthatjuk a komplex szám abszolút értékét és irányszögét, majd ezek segítségével felírhatjuk a trigonometrikus alakot. Példa: Megjegyzés: A számológép a ≈ −76◦ alapmegoldást adja meg, de tudjuk, hogy végtelen sok megoldás van, hiszen a tangensfüggvény periodikus.

kt 4

z

ϕ vt

−1


A ≈ −76◦ nem lehet a komplex számnak irányszöge, hiszen a komplex számot ábrázoló vektor a II. síknegyedbe esik. A k helyébe 1-et írva azonban a kapott ≈ 104◦ már helyes. ˝ Analízis eloadások


27 / 36

Komplex számok



z

A trigonometrikus alak tehát:

z ≈ 4.12 cos(104◦ ) + j sin(104◦ )

ϕ vt

−1




27 / 36

Komplex számok


Összeadás és kivonás ˝ el. Két ilyen szám Trigonometrikus alakban nem végezhetok ˝ ˝ összeadásához (kivonásához) eloször át kell írni oket algebrai alakba: Példa:

z1 = 3 cos(40◦ ) + j sin(40◦ ) ,

z2 = 5 cos(154◦ ) + j sin(154◦ )

z1 = 3 cos(40◦ ) + j sin(40◦ ) ≈ 3 (0.766 + 0.643j ) = 2.3 + 1.93j

z2 = 5 cos(154◦ ) + j sin(154◦ ) ≈ 5 (−0.899 + 0.483j ) = −4.5 + 2.19j z1 + z2 = (2.3 + 1.93) + (−4.5 + 2.19)j = −2.2 + 4.12j z1 − z2 = (2.3 + 1.93) − (−4.5 + 2.19)j = 6.8 − 0.26j




28 / 36

Komplex számok



z1 = 3 cos(40◦ ) + j sin(40◦ ) ,

z2 = 5 cos(154◦ ) + j sin(154◦ )

z1 = 3 cos(40◦ ) + j sin(40◦ ) ≈ 3 (0.766 + 0.643j ) = 2.3 + 1.93j





28 / 36

Komplex számok



z1 = 3 cos(40◦ ) + j sin(40◦ ) ,

z2 = 5 cos(154◦ ) + j sin(154◦ )

z1 = 3 cos(40◦ ) + j sin(40◦ ) ≈ 3 (0.766 + 0.643j ) = 2.3 + 1.93j





28 / 36

Komplex számok



z1 = 3 cos(40◦ ) + j sin(40◦ ) ,

z2 = 5 cos(154◦ ) + j sin(154◦ )

z1 = 3 cos(40◦ ) + j sin(40◦ ) ≈ 3 (0.766 + 0.643j ) = 2.3 + 1.93j





28 / 36

Komplex számok



z1 = 3 cos(40◦ ) + j sin(40◦ ) ,

z2 = 5 cos(154◦ ) + j sin(154◦ )

z1 = 3 cos(40◦ ) + j sin(40◦ ) ≈ 3 (0.766 + 0.643j ) = 2.3 + 1.93j





28 / 36

Komplex számok



z1 = 3 cos(40◦ ) + j sin(40◦ ) ,

z2 = 5 cos(154◦ ) + j sin(154◦ )

z1 = 3 cos(40◦ ) + j sin(40◦ ) ≈ 3 (0.766 + 0.643j ) = 2.3 + 1.93j





28 / 36

Komplex számok


Szorzás

Ha z1 = r1 cos(ϕ1 ) + j sin(ϕ1 ) és z2 = r2 cos(ϕ2 ) + j sin(ϕ2 ) , akkor

z1 z2 = r1 r2 cos(ϕ1 + ϕ2 ) + j sin(ϕ1 + ϕ2 )

Bizonyítás: Korábban megmutattuk, hogy a szorzat abszolút értéke a ˝ abszolút értékeinek szorzata és a szorzat irányszöge a tényezok ˝ tényezok irányszögeinek összege. Példa:

4 cos(176◦ ) + j sin(176◦ ) · 6 cos(251◦ ) + j sin(251◦ =

= 24 cos(427◦ ) + j sin(427◦ ) = 24 cos(67◦ ) + j sin(67◦ )




29 / 36

Komplex számok


Szorzás




4 cos(176◦ ) + j sin(176◦ ) · 6 cos(251◦ ) + j sin(251◦ =

= 24 cos(427◦ ) + j sin(427◦ ) = 24 cos(67◦ ) + j sin(67◦ )




29 / 36

Komplex számok


Szorzás




4 cos(176◦ ) + j sin(176◦ ) · 6 cos(251◦ ) + j sin(251◦ =

= 24 cos(427◦ ) + j sin(427◦ ) = 24 cos(67◦ ) + j sin(67◦ )




29 / 36

Komplex számok


Osztás


z1 r1 = cos(ϕ1 − ϕ2 ) + j sin(ϕ1 + ϕ2 ) z2 r2 z1 Bizonyítás: Legyen = z = r cos(ϕ) + j sin(ϕ) . z2 Átrendezve: z1 = z2 z. A szorzásra vonatkozó szabály miatt r1 r1 = r2 r ⇒ r = és ϕ1 = ϕ2 + ϕ ⇒ ϕ = ϕ1 − ϕ2 . r2 Példa:

=

4 cos(176◦ ) + j sin(176◦ ) 6 cos(251◦ ) + j sin(251◦

=

2 2 · cos(−75◦ ) + j sin(−75◦ ) = cos(285◦ ) + j sin(285◦ ) 3 3




30 / 36

Komplex számok


Osztás


z1 r1 = cos(ϕ1 − ϕ2 ) + j sin(ϕ1 + ϕ2 ) z2 r2 z1 = z = r cos(ϕ) + j sin(ϕ) . Bizonyítás: Legyen z2 Átrendezve: z1 = z2 z. A szorzásra vonatkozó szabály miatt r1 r1 = r2 r ⇒ r = és ϕ1 = ϕ2 + ϕ ⇒ ϕ = ϕ1 − ϕ2 . r2 Példa:

=

4 cos(176◦ ) + j sin(176◦ ) 6 cos(251◦ ) + j sin(251◦

=

2 2 · cos(−75◦ ) + j sin(−75◦ ) = cos(285◦ ) + j sin(285◦ ) 3 3




30 / 36

Komplex számok


Osztás


z1 r1 = cos(ϕ1 − ϕ2 ) + j sin(ϕ1 + ϕ2 ) z2 r2 z1 = z = r cos(ϕ) + j sin(ϕ) . Bizonyítás: Legyen z2 Átrendezve: z1 = z2 z. A szorzásra vonatkozó szabály miatt r1 r1 = r2 r ⇒ r = és ϕ1 = ϕ2 + ϕ ⇒ ϕ = ϕ1 − ϕ2 . r2 Példa:

=

4 cos(176◦ ) + j sin(176◦ ) 6 cos(251◦ ) + j sin(251◦

=

2 2 · cos(−75◦ ) + j sin(−75◦ ) = cos(285◦ ) + j sin(285◦ ) 3 3




30 / 36

Komplex számok


Hatványozás

Ha z = r cos(ϕ) + j sin(ϕ) és n pozitív egész szám, akkor

z n = r n cos(nϕ) + j sin(nϕ)

Bizonyítás: (Teljes indukcióval) Ha n = 1, akkor az állítás nyilvánvalóan igaz.

Ha az állítás igaz n = k -ra, azaz z k = r k cos(k ϕ) + j sin(k ϕ) , akkor a szorzásra vonatkozó szabály alapján bizonyíthatjuk, hogy n = k + 1-re is igaz:

z k +1 = z k · z = r k cos(k ϕ) + j sin(k ϕ) · r cos(ϕ) + j sin(ϕ) =

= r k · r cos(k ϕ + ϕ) + j sin(k ϕ + ϕ) = = r k +1 cos((k + 1)ϕ) + j sin((k + 1)ϕ) Vajda István (Óbudai Egyetem)



31 / 36

Komplex számok


Hatványozás

Ha z = r cos(ϕ) + j sin(ϕ) és n pozitív egész szám, akkor

z n = r n cos(nϕ) + j sin(nϕ)

Bizonyítás: (Teljes indukcióval) Ha n = 1, akkor az állítás nyilvánvalóan igaz.

Ha az állítás igaz n = k -ra, azaz z k = r k cos(k ϕ) + j sin(k ϕ) , akkor a szorzásra vonatkozó szabály alapján bizonyíthatjuk, hogy n = k + 1-re is igaz:

z k +1 = z k · z = r k cos(k ϕ) + j sin(k ϕ) · r cos(ϕ) + j sin(ϕ) =

= r k · r cos(k ϕ + ϕ) + j sin(k ϕ + ϕ) = = r k +1 cos((k + 1)ϕ) + j sin((k + 1)ϕ) Vajda István (Óbudai Egyetem)



31 / 36

Komplex számok


Addíciós tételek Legyen u = cos(α) + j sin(α) és v = cos(β) + j sin(β). Számítsuk ki az uv szorzatot kétféleképpen: uv = cos(α + β) + j sin(α + β) és

uv = cos(α) + j sin(α) cos(β) + j sin(β) =

= cos(α) cos(β) − sin(α) sin(β) + sin(α) cos(β) + cos(α) sin(β) j Összehasonlítva a két eredményt kapjuk, hogy cos(α + β) = cos(α) cos(β) − sin(α) sin(β) és sin(α + β) = sin(α) cos(β) + cos(α) sin(β) Vajda István (Óbudai Egyetem)



32 / 36

Komplex számok







32 / 36

Komplex számok







32 / 36

Komplex számok


Gyökvonás

Legyen z = r cos(ϕ) + j sin(ϕ) és n pozitív egész.

√

Definíció: n z (a z komplex szám n-edik gyöke) jelentsen olyan komplex számot, amelynek n-edik hatványa z. Legyen

√ n

z = u = % cos(α) + j sin(α)

r cos(ϕ) + j sin(ϕ) = z = un = %n cos(nα) + j sin(nα) Innen r = %n ⇒ % =

√ n

r és

nα = ϕ + k · 360◦ ⇒ α =

ϕ + k · 360◦ n

, ahol k ∈ Z.

Megjegyzés: Bár k helyébe végtelen sok (egész) számot írhatunk, a kapott megoldások nem mind különböznek. Ha k két lehetséges értéke között a különbség n töbszöröse, akkor a megfelelo˝ α értékek 360◦ többszörösével térnek el egymástól, azaz ugyanannak a komplex számnak az irányszögei. Ezért elég k helyébe a 0, 1, 2, . . . , n − 1 értékeket helyettesíteni, így megkapjuk a z szám összes (n darab) n-edik gyökét. Vajda István (Óbudai Egyetem)



33 / 36

Komplex számok


Gyökvonás


√


√ n



√ n

r és

nα = ϕ + k · 360◦ ⇒ α =

ϕ + k · 360◦ n

, ahol k ∈ Z.




33 / 36

Komplex számok


Gyökvonás


√


√ n



√ n

r és

nα = ϕ + k · 360◦ ⇒ α =

ϕ + k · 360◦ n

, ahol k ∈ Z.




33 / 36

Komplex számok


Gyökvonás

Példa: A z = 32 cos(200◦ ) + j sin(200◦ ) komplex szám ötödik gyökei: uk =

√5

z = 2 cos(40◦ + k · 72◦ ) + j sin(40◦ + k · 72◦ )

k ∈ {0, 1, 2, 3, 4}

kt 2

1 40◦

−2

−1

vt 1

2

−1 −2




34 / 36

Komplex számok


Gyökvonás

Példa: A z = 32 cos(200◦ ) + j sin(200◦ ) komplex szám ötödik gyökei: uk =

√5

z = 2 cos(40◦ + k · 72◦ ) + j sin(40◦ + k · 72◦ )

k ∈ {0, 1, 2, 3, 4}

kt 2

1 40◦

−2

−1

vt 1

2

−1 −2




34 / 36

Komplex számok

A komplex számok exponenciális alakja

Az exponenciális alak

A z = r cos(ϕ) + j sin(ϕ) komplex számot z = re j ϕ exponenciális alakban is felírhatjuk. Megjegyzés: Az exponenciális alakban az irányszöget mindig ívmértékben (radiánban) fejezzük ki.

7π

Példa: 4 cos(70◦ ) + j sin(70◦ ) = 4e 18 j




35 / 36

Komplex számok




7π

Példa: 4 cos(70◦ ) + j sin(70◦ ) = 4e 18 j




35 / 36

Komplex számok




7π

Példa: 4 cos(70◦ ) + j sin(70◦ ) = 4e 18 j




35 / 36

Komplex számok


Muveletek ˝ exponenciális alakban ˝ el, mint Exponenciális alakban ugyanazok a muveletek ˝ végezhetok trigonometrikus alakban. A szokásos algebrai és hatványozási azonosságok használhatók. Példák: π

π

π

π

7π

2e 3 j · 3e 4 j = 6e ( 3 + 4 )j = 6e 12 j π

8e 12 j 6e

4π 3 j

3e

p 4

=

13π 11 j

81e

7

6π 5 j

4 ( π − 4π )j 4 5π 4 3π e 12 3 = e − 4 j = e 4 j 3 3 3

= 37 e =

√4

91π 11 j

81e


3

= 2187e 11 j

6π +2k π 5 j 4

3π

π

= 3e ( 10 +k · 2 )j


k ∈ {0, 1, 2, 3}


36 / 36

Komplex számok



π

π

π

7π

2e 3 j · 3e 4 j = 6e ( 3 + 4 )j = 6e 12 j π

8e 12 j 6e

4π 3 j

3e

p 4

=

13π 11 j

81e

7

6π 5 j

4 ( π − 4π )j 4 5π 4 3π e 12 3 = e − 4 j = e 4 j 3 3 3

= 37 e =

√4

91π 11 j

81e


3

= 2187e 11 j

6π +2k π 5 j 4

3π

π

= 3e ( 10 +k · 2 )j


k ∈ {0, 1, 2, 3}


36 / 36

Komplex számok



π

π

π

7π

2e 3 j · 3e 4 j = 6e ( 3 + 4 )j = 6e 12 j π

8e 12 j 6e

4π 3 j

3e

p 4

=

13π 11 j

81e

7

6π 5 j

4 ( π − 4π )j 4 5π 4 3π e 12 3 = e − 4 j = e 4 j 3 3 3

= 37 e =

√4

91π 11 j

81e


3

= 2187e 11 j

6π +2k π 5 j 4

3π

π

= 3e ( 10 +k · 2 )j


k ∈ {0, 1, 2, 3}


36 / 36

Komplex számok



π

π

π

7π

2e 3 j · 3e 4 j = 6e ( 3 + 4 )j = 6e 12 j π

8e 12 j 6e

4π 3 j

3e

p 4

=

13π 11 j

81e

7

6π 5 j

4 ( π − 4π )j 4 5π 4 3π e 12 3 = e − 4 j = e 4 j 3 3 3

= 37 e =

√4

91π 11 j

81e


3

= 2187e 11 j

6π +2k π 5 j 4

3π

π

= 3e ( 10 +k · 2 )j


k ∈ {0, 1, 2, 3}


36 / 36

Komplex számok



π

π

π

7π

2e 3 j · 3e 4 j = 6e ( 3 + 4 )j = 6e 12 j π

8e 12 j 6e

4π 3 j

3e

p 4

=

13π 11 j

81e

7

6π 5 j

4 ( π − 4π )j 4 5π 4 3π e 12 3 = e − 4 j = e 4 j 3 3 3

= 37 e =

√4

91π 11 j

81e


3

= 2187e 11 j

6π +2k π 5 j 4

3π

π

= 3e ( 10 +k · 2 )j


k ∈ {0, 1, 2, 3}


36 / 36

Analízis elo adások. Vajda István szeptember 10. Neumann János Informatika Kar Óbudai Egyetem. Vajda István (Óbudai Egyetem)

Recommend Documents