Analízis elo adások. Vajda István október 3. Neumann János Informatika Kar Óbudai Egyetem. Vajda István (Óbudai Egyetem)

˝ Analízis eloadások Vajda István Neumann János Informatika Kar Óbudai Egyetem

2012. október 3.

Vajda István (Óbudai Egyetem)

˝ Analízis eloadások

2012. október 3.

1 / 40

Függvények

Fogalmak

A függvények értelmezése

Definíció: Az (A , B ; R ) bináris relációt függvénynek nevezzük, ha bármely a ∈ A -hoz pontosan egy olyan b ∈ B létezik, amelyre aRb. Definíció: Az A halmazt a függvény értelmezési tartományának nevezzük. Jelölések: A függvényeket általában a latin vagy görög ábécé betuivel ˝ jelöljük, pl. f , g, h, . . . ϕ, ψ, . . . Az értelmezési tartományt D-vel, Df -fel, . . . jelöljük. (Az index a függvény jele.)



2012. október 3.

2 / 40

Függvények

Fogalmak





2012. október 3.

2 / 40

Függvények

Fogalmak





2012. október 3.

2 / 40

Függvények

Fogalmak


Jelölés: A B halmazt a függvény (reláció) érkezési halmazának nevezzük. Definíció: Az y | y ∈ B , ∃x ∈ A : (x , y ) ∈ R halmazt a függvény értékkészletének nevezzük.

Megjegyzés: A függvény értékkészlete tehát az érkezési halmaz azon ˝ áll, amelyekhez található olyan elem az értelmezési elemeibol tartományból, amellyel relációban vannak. Jelölés: Az f függvény értékkészletét Rf -fel jelöljük.



2012. október 3.

3 / 40

Függvények

Fogalmak






2012. október 3.

3 / 40

Függvények

Fogalmak






2012. október 3.

3 / 40

Függvények

Fogalmak






2012. október 3.

3 / 40

Függvények

Fogalmak

A függvények értelmezése Az értelmezési tartomány és az értékkészlet szemléltetése koordinátarendszerben: y 4 f 3 2 1

Rf Df

−4

−3

−2

−1

1

2

x 3

4

−1 −2 −3 −4



2012. október 3.

4 / 40

Függvények

Fogalmak


Megjegyzés: A függvény definíciójában szereplo˝ rendezett párok elso˝ elemeit helynek nevezzük (ahol a függvény értelmezett), a második elemeket (helyettesítési) értéknek nevezzük (amit a függvény felvesz). Jelölések: A hely szokásos jelölései: x, x0 , x1 , . . . , a, b, . . . Az érték jelölései: y, y0 , y1 , . . . , f (x ), f (x0 ), g (x1 ), . . . , f (a ), ϕ (b ), ... ˝ Megjegyzés: A következokben az úgynevezett valós-valós függvényekkel foglalkozunk, vagyis olyan függvényekkel, amelyekre A ⊆ R és B ⊆ R.



2012. október 3.

5 / 40

Függvények

Fogalmak





2012. október 3.

5 / 40

Függvények

Fogalmak





2012. október 3.

5 / 40

Függvények

Fogalmak

A függvények megadása

képlettel explicit módon implicit módon paraméteresen

táblázattal grafikonnal A hozzárendelési szabály szöveges megfogalmazásával.



2012. október 3.

6 / 40

Függvények

Fogalmak






2012. október 3.

6 / 40

Függvények

Fogalmak






2012. október 3.

6 / 40

Függvények

Fogalmak






2012. október 3.

6 / 40

Függvények

Fogalmak






2012. október 3.

6 / 40

Függvények

Fogalmak






2012. október 3.

6 / 40

Függvények

Fogalmak






2012. október 3.

6 / 40

Függvények

Fogalmak

Példák függvény megadására

Grafikonnal: y

Képlettel: y =x −2

3

f (x ) = x 2 − 2 f : R → R,

2

f (x ) = x 2 − 2

1

x 7→ x 2 − 2 f : Df = R,

f (x ) = x 2 − 2

4

2

x

2

−2 −1

f (x ) = x − 2

1 −1

2

−2



2012. október 3.

7 / 40

Függvények

Fogalmak


Grafikonnal: y

Táblázattal: x f (x )

3

0 2

1 3

2 1

3 1.5

2 1 x 1



2

3

2012. október 3.

8 / 40

Függvények

Fogalmak


Implicit megadás: x 2 + xy + y 2 = 1



2012. október 3.

9 / 40

Függvények

Fogalmak


Implicit megadás: x 2 + xy + y 2 = 1 Grafikonnal: y 1 x

−1

1

−1



2012. október 3.

9 / 40

Függvények

Fogalmak


Implicit megadás: x 2 + xy + y 2 = 1 Grafikonnal: y 1 x

−1

1

−1



2012. október 3.

9 / 40

Függvények

Fogalmak

Példák függvény megadására Paraméteres megadás:

   x   y


= 1 + sin(2t ) ahol t ∈ [0, π] = 2 − cos(t )


2012. október 3.

10 / 40

Függvények

Fogalmak


   x   y

= 1 + sin(2t ) ahol t ∈ [0, π] = 2 − cos(t )

Grafikonnal: y 3 2 1 x 1


2


3

2012. október 3.

10 / 40

Függvények

Fogalmak


   x   y

= 1 + sin(2t ) ahol t ∈ [0, π] = 2 − cos(t )

Grafikonnal: y 3 2 1 x 1


2


3

2012. október 3.

10 / 40

Függvények

Fogalmak


A hozzárendelési szabály szöveges megfogalmazásával: A D : R → R függvény racionális helyeken 1-t, irracionális helyeken 0-t vesz fel. Megjegyzés: Ezt a függvényt Dirichlet-függvénynek nevezzük.



2012. október 3.

11 / 40

Függvények

Fogalmak


A hozzárendelési szabály szöveges megfogalmazásával: A D : R → R függvény racionális helyeken 1-t, irracionális helyeken 0-t vesz fel. Megjegyzés: Ezt a függvényt Dirichlet-függvénynek nevezzük.



2012. október 3.

11 / 40

Függvények

Függvények globális tulajdonságai

Korlátosság

˝ korlátosnak nevezzük, ha ∃K ∈ R, Definíció: Az f függvényt felülrol amelyre teljesül, hogy ∀x ∈ Df esetén f (x ) ≤ K . Megjegyzés: A definícióban szereplo˝ K számot az f függvény felso˝ korlátjának nevezzük. Definíció: Az f függvényt alulról korlátosnak nevezzük, ha ∃k ∈ R, amelyre teljesül, hogy ∀x ∈ Df esetén f (x ) ≥ k . Megjegyzés: A definícióban szereplo˝ k számot az f függvény alsó korlátjának nevezzük. ˝ is korlátos. Definíció: Az f függvény korlátos, ha alulról is és felülrol



2012. október 3.

12 / 40

Függvények


Korlátosság




2012. október 3.

12 / 40

Függvények


Korlátosság




2012. október 3.

12 / 40

Függvények


Korlátosság

y 6

Példa alulról korlátos függvényre:

5

2

f (x ) = x − 2x + 3

4 3

Legnagyobb alsó korlát a 2. Az alsó korlátok halmaza ]−∞, 2]. ˝ nem korlátos, így nem korláFelülrol tos függvény.

2 1 x

−1



0

1

2

3

2012. október 3.

13 / 40

Függvények


Korlátosság

y 5

˝ korlátos függvényre: Példa felülrol

4

f (x ) = 5 − x 2

3

Legkisebb felso˝ korlát az 5. A felso˝ korlátok halmaza [5, ∞[. Alulról nem korlátos, így nem korlátos függvény.

2 1 x

−2



−1

0

1

2

2012. október 3.

14 / 40

Függvények


Korlátosság

Példa korlátos függvényre:

y 1

f (x ) = sin(x ) Legkisebb felso˝ korlát az 1. Legnagyob alsó korlát az −1.

x

−π

− 2π

π 2

π

−1

A felso˝ korlátok halmaza [1, ∞[. Az alsó korlátok halmaza ]−∞, −1]. ˝ is korlátos. A függvény korlátos, mert alulról is és felülrol



2012. október 3.

15 / 40

Függvények


Korlátosság y 4 3 2

Példa olyan függvényre, ami sem ˝ nem korlátos: alulról sem felülrol f (x ) = x 3

1 x

−2

−1

1

2

−1 −2 −3 −4



2012. október 3.

16 / 40

Függvények


˝ Abszolút szélsoérték

Definíció: Az f : Df → R függvénynek az x0 ∈ Df hely abszolút maximumhelye, ha ∀x ∈ Df esetén f (x ) ≤ f (x0 ). Az x0 helyen felvett f (x0 ) függvényérték az f függvény abszolút maximum értéke. Definíció: Az f : Df → R függvénynek az x0 ∈ Df hely abszolút minimumhelye, ha ∀x ∈ Df esetén f (x ) ≥ f (x0 ). Az x0 helyen felvett f (x0 ) függvényérték az f függvény abszolút minimum értéke.



2012. október 3.

17 / 40

Függvények



Definíció: Az f : Df → R függvénynek az x0 ∈ Df hely abszolút maximumhelye, ha ∀x ∈ Df esetén f (x ) ≤ f (x0 ). Az x0 helyen felvett f (x0 ) függvényérték az f függvény abszolút maximum értéke. Definíció: Az f : Df → R függvénynek az x0 ∈ Df hely abszolút minimumhelye, ha ∀x ∈ Df esetén f (x ) ≥ f (x0 ). Az x0 helyen felvett f (x0 ) függvényérték az f függvény abszolút minimum értéke.



2012. október 3.

17 / 40

Függvények



Megjegyzések: Egy függvénynek több (abszolút) maximum-, illetve minimumhelye is lehet, de maximum- és minimum értékeinek száma legfeljebb egy. Egy függvénynek akkor és csak akkor van (abszolút) maximuma, ha ˝ korlátos és a legkisebb felso˝ korlátját felveszi felülrol függvényértékként. (Egy függvénynek akkor és csak akkor van (abszolút) minimuma, ha alulról korlátos és a legnagyobb alsó korlátját felveszi függvényértékként.)



2012. október 3.

18 / 40

Függvények



Megjegyzések: Egy függvénynek több (abszolút) maximum-, illetve minimumhelye is lehet, de maximum- és minimum értékeinek száma legfeljebb egy. Egy függvénynek akkor és csak akkor van (abszolút) maximuma, ha ˝ korlátos és a legkisebb felso˝ korlátját felveszi felülrol függvényértékként. (Egy függvénynek akkor és csak akkor van (abszolút) minimuma, ha alulról korlátos és a legnagyobb alsó korlátját felveszi függvényértékként.)



2012. október 3.

18 / 40

Függvények


˝ Abszolút szélsoérték Példa függvényre, amelynek van abszolút minimuma, de nincs abszolút maximuma: y

f (x ) = x 2 − 4x + 3

5 4 minimum hely 3 2 1 x 1

2

3

4

−1 minimum érték



2012. október 3.

19 / 40

Függvények



Példa függvényre, amelynek több abszolút minimumhelye, illetve maximumhelye is van: y

maximum hely

maximum érték 1

− 32π

−π

− 2π

π

π 2

3π 2

x f (x ) = sin(x )

−1 minimum hely


minimum érték


2012. október 3.

20 / 40

Függvények


Monotonitás

˝ Definíció: Az f : Df → R függvényt monoton növekedonek nevezzük, ha ∀x1 , x2 ∈ Df esetén, ha x1 < x2 , akkor f (x1 ) ≤ f (x2 ). ˝ Definíció: Az f : Df → R függvényt monoton csökkenonek nevezzük, ha ∀x1 , x2 ∈ Df esetén, ha x1 < x2 , akkor f (x1 ) ≥ f (x2 ). ˝ Definíció: Az f : Df → R függvényt szigorúan monoton növekedonek nevezzük, ha ∀x1 , x2 ∈ Df esetén, ha x1 < x2 , akkor f (x1 ) < f (x2 ). ˝ Definíció: Az f : Df → R függvényt szigorúan monoton csökkenonek nevezzük, ha ∀x1 , x2 ∈ Df esetén, ha x1 < x2 , akkor f (x1 ) > f (x2 ).



2012. október 3.

21 / 40

Függvények


Monotonitás




2012. október 3.

21 / 40

Függvények


Monotonitás




2012. október 3.

21 / 40

Függvények


Monotonitás




2012. október 3.

21 / 40

Függvények


Monotonitás ˝ (De nem Példa: Az f (x ) = |x + 2| − |x − 1| függvény monoton növekedo. ˝ szigorúan monoton növekedo!) y 3

1 x

−5

−2

1

3

−1

−3



2012. október 3.

22 / 40

Függvények


Monotonitás ˝ Példa: Az f (x ) = x 3 függvény szigorúan monoton növekedo. y 8

4

1 x

−4

−2

−1

2

4

−4

−8



2012. október 3.

23 / 40

Függvények


Monotonitás Példa: Az f (x ) = x 2 függvény nem monoton. y 9

4

1 x

−4


−2

2


4

2012. október 3.

24 / 40

Függvények


Monotonitás Példa: Az f (x ) =

1 függvény nem monoton. x y 4

2

x

−4

−2

2

4

−2

−4



2012. október 3.

25 / 40

Függvények


Konvexitás Definíció: Az [a , b ] intervallumon értelmezett f függvényt konvexnek nevezzük, ha minden a ≤ x1 < x < x2 ≤ b esetén, f (x ) ≤

f (x2 ) − f (x1 ) (x − x1 ) + f (x1 ) . x2 − x1

Definíció: Az [a , b ] intervallumon értelmezett f függvényt konkávnak nevezzük, ha minden a ≤ x1 < x < x2 ≤ b esetén, f (x ) ≥


f (x2 ) − f (x1 ) (x − x1 ) + f (x1 ) . x2 − x1


2012. október 3.

26 / 40

Függvények


Konvexitás Definíció: Az [a , b ] intervallumon értelmezett f függvényt konvexnek nevezzük, ha minden a ≤ x1 < x < x2 ≤ b esetén, f (x ) ≤

f (x2 ) − f (x1 ) (x − x1 ) + f (x1 ) . x2 − x1

Definíció: Az [a , b ] intervallumon értelmezett f függvényt konkávnak nevezzük, ha minden a ≤ x1 < x < x2 ≤ b esetén, f (x ) ≥


f (x2 ) − f (x1 ) (x − x1 ) + f (x1 ) . x2 − x1


2012. október 3.

26 / 40

Függvények


Konvexitás

Megjegyzések: ˝ Ha a fenti definíciók utolsó sorában az egyenloség nincs megengedve, akkor szigorúan konvex, illetve szigorúan konkáv ˝ beszélünk. függvényekrol A konvexitás szemléletes jelentése, hogy a függvény grafikonjának két pontját összekötve a függvénygörbe a két pont közötti részen nem megy az összeköto˝ szakasz fölé. (A függvény x1 és x2 között nem vesz fel nagyobb értékeket, mint az a lineáris függvény, amely x1 -ben és x2 -ben az eredeti függvénnyel azonos értékeket vesz fel.



2012. október 3.

27 / 40

Függvények


Konvexitás

Megjegyzések: ˝ Ha a fenti definíciók utolsó sorában az egyenloség nincs megengedve, akkor szigorúan konvex, illetve szigorúan konkáv ˝ beszélünk. függvényekrol A konvexitás szemléletes jelentése, hogy a függvény grafikonjának két pontját összekötve a függvénygörbe a két pont közötti részen nem megy az összeköto˝ szakasz fölé. (A függvény x1 és x2 között nem vesz fel nagyobb értékeket, mint az a lineáris függvény, amely x1 -ben és x2 -ben az eredeti függvénnyel azonos értékeket vesz fel.



2012. október 3.

27 / 40

Függvények


Konvexitás

Példa: Az f (x ) = |x | függvény konvex, de nem szigorúan konvex. y 4

2

x

−4


−2

2


4

2012. október 3.

28 / 40

Függvények


Konvexitás


2

x

−4


−2

2


4

2012. október 3.

28 / 40

Függvények


Konvexitás


2

x

−4


−2

2


4

2012. október 3.

28 / 40

Függvények


Konvexitás Példa: Az f (x ) = x 2 függvény szigorúan konvex. y 9

4

1 x

−4


−2

2


4

2012. október 3.

29 / 40

Függvények


Konvexitás Példa: Az f (x ) = x 3 − 3x függvény sem nem konvex, sem nem konkáv. y 4

2 x

−4

−2

2

4

−2

−4



2012. október 3.

30 / 40

Függvények


Inflexiós pont

Definíció: Az f függvénynek az x0 helyen inflexiós pontja van, ha van olyan a < x0 és b > x0 szám, hogy f értelmezett az ]a , b [ intervallumon és az ]a , x0 [, ]x0 , b [ intervallumok egyikében szigorúan konvex, a másikában szigorúan konkáv.



2012. október 3.

31 / 40

Függvények


Inflexiós pont Példa: Az f (x ) = x 3 − 3x függvénynek az x0 = 0 hely inflexiós pontja. y 4

2 x

−4

−2

2

4

inflexiós pont

−4



2012. október 3.

32 / 40

Függvények


Párosság, páratlanság

Definíció: Az f függvény páros, ha ∀x ∈ Df esetén −x ∈ Df és f (−x ) = f (x ). Definíció: Az f függvény páratlan, ha ∀x ∈ Df esetén −x ∈ Df és f (−x ) = −f (x ). Megjegyzés: A páros függvény grafikonja szimmetrikus az y-tengelyre, a páratlan függvény grafikonja középpontosan szimmetrikus az origóra.



2012. október 3.

33 / 40

Függvények






2012. október 3.

33 / 40

Függvények






2012. október 3.

33 / 40

Függvények


Párosság, páratlanság Példa: Az f (x ) = x 2 függvény páros. y 9

4

1 x

−4


−2

2


4

2012. október 3.

34 / 40

Függvények


Párosság, páratlanság Példa: Az f (x ) =

1 függvény páratlan. x y 4

2

x

−4

−2

2

4

−2

−4



2012. október 3.

35 / 40

Függvények



Példa: Az f (x ) =

√

x függvény nem páros, nem is páratlan. y

4

2

x 2


4


6

8

2012. október 3.

36 / 40

Függvények


Párosság, páratlanság Példa: Az f (x ) = x + |x | függvény nem páros, nem is páratlan. y

4

2

x

−4


−2

2


4

2012. október 3.

37 / 40

Függvények


Periodicitás

Definíció: Az f függvény periodikus, ha ∃p pozitív valós szám, amelyre ∀x ∈ Df esetén (x + kp ) ∈ Df , ha k ∈ Z és ∀x ∈ Df esetén f (x + p ) = f (x ). Megjegyzés: A definícióban szereplo˝ p számot az f függvény periódusának nevezzük.



2012. október 3.

38 / 40

Függvények


Periodicitás

Definíció: Az f függvény periodikus, ha ∃p pozitív valós szám, amelyre ∀x ∈ Df esetén (x + kp ) ∈ Df , ha k ∈ Z és ∀x ∈ Df esetén f (x + p ) = f (x ). Megjegyzés: A definícióban szereplo˝ p számot az f függvény periódusának nevezzük.



2012. október 3.

38 / 40

Függvények


Periodicitás

Példa: Az f (x ) = sin(x ) függvény periodikus, legkisebb pozitív periódusa 2π. y 1 x

−2π

π

−π

2π

−1



2012. október 3.

39 / 40

Függvények


Periodicitás

Példa: Az f (x ) = {x } függvény periodikus, legkisebb pozitív periódusa 1. y 1 x

−5

−3

−1

1

3

5

−1



2012. október 3.

40 / 40

Analízis elo adások. Vajda István október 3. Neumann János Informatika Kar Óbudai Egyetem. Vajda István (Óbudai Egyetem)

Recommend Documents