˝ Analízis eloadások Vajda István Neumann János Informatika Kar Óbudai Egyetem
2012. szeptember 24.
Vajda István (Óbudai Egyetem)
˝ Analízis eloadások
2012. szeptember 24.
1/8
Halmazok
Halmazok
A halmaz alapfogalom, tehát nem definiáljuk. Jelölés: A halmazokat általában nyomtatott nagybetuvel ˝ jelöljük Egy H halmazt akkor tekintünk adottnak, ha bármely pontosan meghatározott dologról el tudjuk dönteni, hogy eleme-e H-nak. ˝ ha ugyanazok az elemeik. Definíció: A H1 és H2 halmazok egyenlok, Jelölés: H1 = H2 Definíció: Ha a H1 halmaz minden eleme a H2 halmaznak is eleme, akkor a H1 halmazt H2 részhalmazának nevezzük. Jelölés: H1 ⊆ H2
Vajda István (Óbudai Egyetem)
˝ Analízis eloadások
2012. szeptember 24.
2/8
Halmazok
Halmazok
A halmaz alapfogalom, tehát nem definiáljuk. Jelölés: A halmazokat általában nyomtatott nagybetuvel ˝ jelöljük Egy H halmazt akkor tekintünk adottnak, ha bármely pontosan meghatározott dologról el tudjuk dönteni, hogy eleme-e H-nak. ˝ ha ugyanazok az elemeik. Definíció: A H1 és H2 halmazok egyenlok, Jelölés: H1 = H2 Definíció: Ha a H1 halmaz minden eleme a H2 halmaznak is eleme, akkor a H1 halmazt H2 részhalmazának nevezzük. Jelölés: H1 ⊆ H2
Vajda István (Óbudai Egyetem)
˝ Analízis eloadások
2012. szeptember 24.
2/8
Halmazok
Halmazok
A halmaz alapfogalom, tehát nem definiáljuk. Jelölés: A halmazokat általában nyomtatott nagybetuvel ˝ jelöljük Egy H halmazt akkor tekintünk adottnak, ha bármely pontosan meghatározott dologról el tudjuk dönteni, hogy eleme-e H-nak. ˝ ha ugyanazok az elemeik. Definíció: A H1 és H2 halmazok egyenlok, Jelölés: H1 = H2 Definíció: Ha a H1 halmaz minden eleme a H2 halmaznak is eleme, akkor a H1 halmazt H2 részhalmazának nevezzük. Jelölés: H1 ⊆ H2
Vajda István (Óbudai Egyetem)
˝ Analízis eloadások
2012. szeptember 24.
2/8
Halmazok
Halmazok
A halmaz alapfogalom, tehát nem definiáljuk. Jelölés: A halmazokat általában nyomtatott nagybetuvel ˝ jelöljük Egy H halmazt akkor tekintünk adottnak, ha bármely pontosan meghatározott dologról el tudjuk dönteni, hogy eleme-e H-nak. ˝ ha ugyanazok az elemeik. Definíció: A H1 és H2 halmazok egyenlok, Jelölés: H1 = H2 Definíció: Ha a H1 halmaz minden eleme a H2 halmaznak is eleme, akkor a H1 halmazt H2 részhalmazának nevezzük. Jelölés: H1 ⊆ H2
Vajda István (Óbudai Egyetem)
˝ Analízis eloadások
2012. szeptember 24.
2/8
Halmazok
Halmazok
A halmaz alapfogalom, tehát nem definiáljuk. Jelölés: A halmazokat általában nyomtatott nagybetuvel ˝ jelöljük Egy H halmazt akkor tekintünk adottnak, ha bármely pontosan meghatározott dologról el tudjuk dönteni, hogy eleme-e H-nak. ˝ ha ugyanazok az elemeik. Definíció: A H1 és H2 halmazok egyenlok, Jelölés: H1 = H2 Definíció: Ha a H1 halmaz minden eleme a H2 halmaznak is eleme, akkor a H1 halmazt H2 részhalmazának nevezzük. Jelölés: H1 ⊆ H2
Vajda István (Óbudai Egyetem)
˝ Analízis eloadások
2012. szeptember 24.
2/8
Halmazok
Halmazok Definíció: A H1 halmaz valódi részhalmaza a H2 halmaznak, ha H1 ⊆ H2 és H1 , H2 Jelölés: H1 ⊂ H2 Definíció: Azt a halmazt, amelynek egyetlen eleme sincs üres halmaznak nevezzük. Jelölés: ∅ vagy { } Megjegyzések: Csak egy üres halmaz van. Az üres halmaz minden halmaznak részhalmaza. Definíció: A H halmazt végesnek nevezzük, ha véges sok eleme van. Ellenkezo˝ esetben végtelen halmazról beszélünk.
Vajda István (Óbudai Egyetem)
˝ Analízis eloadások
2012. szeptember 24.
3/8
Halmazok
Halmazok Definíció: A H1 halmaz valódi részhalmaza a H2 halmaznak, ha H1 ⊆ H2 és H1 , H2 Jelölés: H1 ⊂ H2 Definíció: Azt a halmazt, amelynek egyetlen eleme sincs üres halmaznak nevezzük. Jelölés: ∅ vagy { } Megjegyzések: Csak egy üres halmaz van. Az üres halmaz minden halmaznak részhalmaza. Definíció: A H halmazt végesnek nevezzük, ha véges sok eleme van. Ellenkezo˝ esetben végtelen halmazról beszélünk.
Vajda István (Óbudai Egyetem)
˝ Analízis eloadások
2012. szeptember 24.
3/8
Halmazok
Halmazok Definíció: A H1 halmaz valódi részhalmaza a H2 halmaznak, ha H1 ⊆ H2 és H1 , H2 Jelölés: H1 ⊂ H2 Definíció: Azt a halmazt, amelynek egyetlen eleme sincs üres halmaznak nevezzük. Jelölés: ∅ vagy { } Megjegyzések: Csak egy üres halmaz van. Az üres halmaz minden halmaznak részhalmaza. Definíció: A H halmazt végesnek nevezzük, ha véges sok eleme van. Ellenkezo˝ esetben végtelen halmazról beszélünk.
Vajda István (Óbudai Egyetem)
˝ Analízis eloadások
2012. szeptember 24.
3/8
Halmazok
Halmazok Definíció: A H1 halmaz valódi részhalmaza a H2 halmaznak, ha H1 ⊆ H2 és H1 , H2 Jelölés: H1 ⊂ H2 Definíció: Azt a halmazt, amelynek egyetlen eleme sincs üres halmaznak nevezzük. Jelölés: ∅ vagy { } Megjegyzések: Csak egy üres halmaz van. Az üres halmaz minden halmaznak részhalmaza. Definíció: A H halmazt végesnek nevezzük, ha véges sok eleme van. Ellenkezo˝ esetben végtelen halmazról beszélünk.
Vajda István (Óbudai Egyetem)
˝ Analízis eloadások
2012. szeptember 24.
3/8
Halmazok
Halmazok Egy halmazt megadhatunk elemeinek felsorolásával pl. {Budapest, Róma, Párizs} az elemeit jellemzo˝ tulajdonságok leírásával pl. {n | n ∈ N, n > 3} ˝ Néhány gyakran eloforduló számhalmaz jelölésére külön szimbólumot vezettek be. Pl.: N, Z, Q, R A halmazokat gyakran zárt síkgörbe által határolt síkidomokkal szemléltetjük (Venn-diagram):
Vajda István (Óbudai Egyetem)
˝ Analízis eloadások
2012. szeptember 24.
4/8
Halmazok
Halmazok Egy halmazt megadhatunk elemeinek felsorolásával pl. {Budapest, Róma, Párizs} az elemeit jellemzo˝ tulajdonságok leírásával pl. {n | n ∈ N, n > 3} ˝ Néhány gyakran eloforduló számhalmaz jelölésére külön szimbólumot vezettek be. Pl.: N, Z, Q, R A halmazokat gyakran zárt síkgörbe által határolt síkidomokkal szemléltetjük (Venn-diagram):
Vajda István (Óbudai Egyetem)
˝ Analízis eloadások
2012. szeptember 24.
4/8
Halmazok
Halmazok Egy halmazt megadhatunk elemeinek felsorolásával pl. {Budapest, Róma, Párizs} az elemeit jellemzo˝ tulajdonságok leírásával pl. {n | n ∈ N, n > 3} ˝ Néhány gyakran eloforduló számhalmaz jelölésére külön szimbólumot vezettek be. Pl.: N, Z, Q, R A halmazokat gyakran zárt síkgörbe által határolt síkidomokkal szemléltetjük (Venn-diagram):
Vajda István (Óbudai Egyetem)
˝ Analízis eloadások
2012. szeptember 24.
4/8
Halmazok
Halmazok Egy halmazt megadhatunk elemeinek felsorolásával pl. {Budapest, Róma, Párizs} az elemeit jellemzo˝ tulajdonságok leírásával pl. {n | n ∈ N, n > 3} ˝ Néhány gyakran eloforduló számhalmaz jelölésére külön szimbólumot vezettek be. Pl.: N, Z, Q, R A halmazokat gyakran zárt síkgörbe által határolt síkidomokkal szemléltetjük (Venn-diagram):
Vajda István (Óbudai Egyetem)
˝ Analízis eloadások
2012. szeptember 24.
4/8
Halmazok
Halmazmuveletek ˝
Definíció: Az A és B halmazok egyesítésén (unióján) azt a halmazt értjük, amelyet azok és csak azok az elemek alkotnak, amelyek az A és B halmazok legalább egyikének elemei. Jelölés: A ∪ B
Vajda István (Óbudai Egyetem)
˝ Analízis eloadások
2012. szeptember 24.
5/8
Halmazok
Halmazmuveletek ˝
Definíció: Az A és B halmazok egyesítésén (unióján) azt a halmazt értjük, amelyet azok és csak azok az elemek alkotnak, amelyek az A és B halmazok legalább egyikének elemei. Jelölés: A ∪ B
A
Vajda István (Óbudai Egyetem)
B
˝ Analízis eloadások
2012. szeptember 24.
5/8
Halmazok
Halmazmuveletek ˝
Definíció: Az A és B halmazok egyesítésén (unióján) azt a halmazt értjük, amelyet azok és csak azok az elemek alkotnak, amelyek az A és B halmazok legalább egyikének elemei. Jelölés: A ∪ B
A ∪B
Vajda István (Óbudai Egyetem)
˝ Analízis eloadások
2012. szeptember 24.
5/8
Halmazok
Halmazmuveletek ˝
Definíció: Az A és B halmazok közös részén (metszetén) azt a halmazt értjük, amelyet azok és csak azok az elemek alkotnak, amelyek A -nak is és B-nek is elemei. Jelölés: A ∩ B
Vajda István (Óbudai Egyetem)
˝ Analízis eloadások
2012. szeptember 24.
6/8
Halmazok
Halmazmuveletek ˝
Definíció: Az A és B halmazok közös részén (metszetén) azt a halmazt értjük, amelyet azok és csak azok az elemek alkotnak, amelyek A -nak is és B-nek is elemei. Jelölés: A ∩ B
A
Vajda István (Óbudai Egyetem)
B
˝ Analízis eloadások
2012. szeptember 24.
6/8
Halmazok
Halmazmuveletek ˝
Definíció: Az A és B halmazok közös részén (metszetén) azt a halmazt értjük, amelyet azok és csak azok az elemek alkotnak, amelyek A -nak is és B-nek is elemei. Jelölés: A ∩ B
A ∩B
Vajda István (Óbudai Egyetem)
˝ Analízis eloadások
2012. szeptember 24.
6/8
Halmazok
Halmazmuveletek ˝
Definíció: Az A és B halmazok különbségén (differenciáján) azt a halmazt értjük, amely azokat és csak azokat az elemeket tartalmazza, amelyek A -nak elemei, de B-nek nem elemei. Jelölés: A \ B
Vajda István (Óbudai Egyetem)
˝ Analízis eloadások
2012. szeptember 24.
7/8
Halmazok
Halmazmuveletek ˝
Definíció: Az A és B halmazok különbségén (differenciáján) azt a halmazt értjük, amely azokat és csak azokat az elemeket tartalmazza, amelyek A -nak elemei, de B-nek nem elemei. Jelölés: A \ B
A
Vajda István (Óbudai Egyetem)
B
˝ Analízis eloadások
2012. szeptember 24.
7/8
Halmazok
Halmazmuveletek ˝
Definíció: Az A és B halmazok különbségén (differenciáján) azt a halmazt értjük, amely azokat és csak azokat az elemeket tartalmazza, amelyek A -nak elemei, de B-nek nem elemei. Jelölés: A \ B
A \B
Vajda István (Óbudai Egyetem)
˝ Analízis eloadások
2012. szeptember 24.
7/8
Halmazok
Halmazmuveletek ˝
Definíció: Az A és B Descartes szorzatán az A × B = (a , b ) | a ∈ A , b ∈ B
halmazt értjük, azaz a Descartes szorzat azokat és csak azokat a rendezett párokat tartalmazza, amelyek elso˝ eleme eleme A -nak, második eleme pedig eleme B-nek. Példa: Ha A = {a , b } és B = {1, 2, 3}, akkor A × B = (a , 1) , (a , 2) , (a , 3) , (b , 1) , (b , 2) , (b , 3)
Vajda István (Óbudai Egyetem)
˝ Analízis eloadások
2012. szeptember 24.
8/8
Halmazok
Halmazmuveletek ˝
Definíció: Az A és B Descartes szorzatán az A × B = (a , b ) | a ∈ A , b ∈ B
halmazt értjük, azaz a Descartes szorzat azokat és csak azokat a rendezett párokat tartalmazza, amelyek elso˝ eleme eleme A -nak, második eleme pedig eleme B-nek. Példa: Ha A = {a , b } és B = {1, 2, 3}, akkor A × B = (a , 1) , (a , 2) , (a , 3) , (b , 1) , (b , 2) , (b , 3)
Vajda István (Óbudai Egyetem)
˝ Analízis eloadások
2012. szeptember 24.
8/8
Valós számok
Valós számok A valós számok halmazán értelmezett két muvelet, ˝ az összeadás és a szorzás, a következo˝ tulajdonságokkal: Az összeadás Kommutatív
∀a , b ∈ R : a + b = b + a Asszociatív
∀a , b , c ∈ R : (a + b ) + c = a + (b + c ) A szorzás Kommutatív
∀a , b ∈ R : ab = ba Asszociatív
∀a , b , c ∈ R : (ab ) c = a (bc ) Vajda István (Óbudai Egyetem)
˝ Analízis eloadások
2012. szeptember 24.
9/8
Valós számok
Valós számok A valós számok halmazán értelmezett két muvelet, ˝ az összeadás és a szorzás, a következo˝ tulajdonságokkal: Az összeadás Kommutatív
∀a , b ∈ R : a + b = b + a Asszociatív
∀a , b , c ∈ R : (a + b ) + c = a + (b + c ) A szorzás Kommutatív
∀a , b ∈ R : ab = ba Asszociatív
∀a , b , c ∈ R : (ab ) c = a (bc ) Vajda István (Óbudai Egyetem)
˝ Analízis eloadások
2012. szeptember 24.
9/8
Valós számok
Valós számok A valós számok halmazán értelmezett két muvelet, ˝ az összeadás és a szorzás, a következo˝ tulajdonságokkal: Az összeadás Kommutatív
∀a , b ∈ R : a + b = b + a Asszociatív
∀a , b , c ∈ R : (a + b ) + c = a + (b + c ) A szorzás Kommutatív
∀a , b ∈ R : ab = ba Asszociatív
∀a , b , c ∈ R : (ab ) c = a (bc ) Vajda István (Óbudai Egyetem)
˝ Analízis eloadások
2012. szeptember 24.
9/8
Valós számok
Valós számok A valós számok halmazán értelmezett két muvelet, ˝ az összeadás és a szorzás, a következo˝ tulajdonságokkal: Az összeadás Kommutatív
∀a , b ∈ R : a + b = b + a Asszociatív
∀a , b , c ∈ R : (a + b ) + c = a + (b + c ) A szorzás Kommutatív
∀a , b ∈ R : ab = ba Asszociatív
∀a , b , c ∈ R : (ab ) c = a (bc ) Vajda István (Óbudai Egyetem)
˝ Analízis eloadások
2012. szeptember 24.
9/8
Valós számok
Valós számok A valós számok halmazán értelmezett két muvelet, ˝ az összeadás és a szorzás, a következo˝ tulajdonságokkal: Az összeadás Kommutatív
∀a , b ∈ R : a + b = b + a Asszociatív
∀a , b , c ∈ R : (a + b ) + c = a + (b + c ) A szorzás Kommutatív
∀a , b ∈ R : ab = ba Asszociatív
∀a , b , c ∈ R : (ab ) c = a (bc ) Vajda István (Óbudai Egyetem)
˝ Analízis eloadások
2012. szeptember 24.
9/8
Valós számok
Valós számok A valós számok halmazának van zéruseleme, azaz olyan 0 ∈ R szám, hogy
∀a ∈ R : a + 0 = a egységeleme, azaz olyan 1 ∈ R szám, hogy
∀a ∈ R : a · 1 = a A valós számok halmazában
∀a ∈ R esetén ∃a ∗ ∈ R szám, hogy a + a ∗ = 0, azaz minden valós számnak létezik ellentettje. Jelölés: −a
∀a ∈ R \ {0} esetén ∃a ∗∗ ∈ R szám, hogy a · a ∗∗ = 1, azaz minden nullától különbözo˝ valós számnak létezik reciproka. 1 Jelölés: a Vajda István (Óbudai Egyetem)
˝ Analízis eloadások
2012. szeptember 24.
10 / 8
Valós számok
Valós számok A valós számok halmazának van zéruseleme, azaz olyan 0 ∈ R szám, hogy
∀a ∈ R : a + 0 = a egységeleme, azaz olyan 1 ∈ R szám, hogy
∀a ∈ R : a · 1 = a A valós számok halmazában
∀a ∈ R esetén ∃a ∗ ∈ R szám, hogy a + a ∗ = 0, azaz minden valós számnak létezik ellentettje. Jelölés: −a
∀a ∈ R \ {0} esetén ∃a ∗∗ ∈ R szám, hogy a · a ∗∗ = 1, azaz minden nullától különbözo˝ valós számnak létezik reciproka. 1 Jelölés: a Vajda István (Óbudai Egyetem)
˝ Analízis eloadások
2012. szeptember 24.
10 / 8
Valós számok
Valós számok A valós számok halmazának van zéruseleme, azaz olyan 0 ∈ R szám, hogy
∀a ∈ R : a + 0 = a egységeleme, azaz olyan 1 ∈ R szám, hogy
∀a ∈ R : a · 1 = a A valós számok halmazában
∀a ∈ R esetén ∃a ∗ ∈ R szám, hogy a + a ∗ = 0, azaz minden valós számnak létezik ellentettje. Jelölés: −a
∀a ∈ R \ {0} esetén ∃a ∗∗ ∈ R szám, hogy a · a ∗∗ = 1, azaz minden nullától különbözo˝ valós számnak létezik reciproka. 1 Jelölés: a Vajda István (Óbudai Egyetem)
˝ Analízis eloadások
2012. szeptember 24.
10 / 8
Valós számok
Valós számok A valós számok halmazának van zéruseleme, azaz olyan 0 ∈ R szám, hogy
∀a ∈ R : a + 0 = a egységeleme, azaz olyan 1 ∈ R szám, hogy
∀a ∈ R : a · 1 = a A valós számok halmazában
∀a ∈ R esetén ∃a ∗ ∈ R szám, hogy a + a ∗ = 0, azaz minden valós számnak létezik ellentettje. Jelölés: −a
∀a ∈ R \ {0} esetén ∃a ∗∗ ∈ R szám, hogy a · a ∗∗ = 1, azaz minden nullától különbözo˝ valós számnak létezik reciproka. 1 Jelölés: a Vajda István (Óbudai Egyetem)
˝ Analízis eloadások
2012. szeptember 24.
10 / 8
Valós számok
Valós számok
A valós számok halmazában értelmezheto˝ a < szigorú rendezési reláció, amelyre teljesülnek a következo˝ tulajdonságok:
∀a , b ∈ R esetén az a < b, a = b, b < a relációk közül pontosan egy teljesül. (Trichotomia)
∀a , b , c ∈ R esetén, ha a < b és b < c teljesül, akkor a < c is igaz. (Tranzitív tulajdonság)
∀a , b , c ∈ R esetén, ha a < b, akkor a + c < b + c is teljesül. ∀a , b , c ∈ R esetén, ha a < b és 0 < c, akkor ac < bc is teljesül.
Vajda István (Óbudai Egyetem)
˝ Analízis eloadások
2012. szeptember 24.
11 / 8
Valós számok
Valós számok
A valós számok halmazában értelmezheto˝ a < szigorú rendezési reláció, amelyre teljesülnek a következo˝ tulajdonságok:
∀a , b ∈ R esetén az a < b, a = b, b < a relációk közül pontosan egy teljesül. (Trichotomia)
∀a , b , c ∈ R esetén, ha a < b és b < c teljesül, akkor a < c is igaz. (Tranzitív tulajdonság)
∀a , b , c ∈ R esetén, ha a < b, akkor a + c < b + c is teljesül. ∀a , b , c ∈ R esetén, ha a < b és 0 < c, akkor ac < bc is teljesül.
Vajda István (Óbudai Egyetem)
˝ Analízis eloadások
2012. szeptember 24.
11 / 8
Valós számok
Valós számok
A valós számok halmazában értelmezheto˝ a < szigorú rendezési reláció, amelyre teljesülnek a következo˝ tulajdonságok:
∀a , b ∈ R esetén az a < b, a = b, b < a relációk közül pontosan egy teljesül. (Trichotomia)
∀a , b , c ∈ R esetén, ha a < b és b < c teljesül, akkor a < c is igaz. (Tranzitív tulajdonság)
∀a , b , c ∈ R esetén, ha a < b, akkor a + c < b + c is teljesül. ∀a , b , c ∈ R esetén, ha a < b és 0 < c, akkor ac < bc is teljesül.
Vajda István (Óbudai Egyetem)
˝ Analízis eloadások
2012. szeptember 24.
11 / 8
Valós számok
Valós számok
A valós számok halmazában értelmezheto˝ a < szigorú rendezési reláció, amelyre teljesülnek a következo˝ tulajdonságok:
∀a , b ∈ R esetén az a < b, a = b, b < a relációk közül pontosan egy teljesül. (Trichotomia)
∀a , b , c ∈ R esetén, ha a < b és b < c teljesül, akkor a < c is igaz. (Tranzitív tulajdonság)
∀a , b , c ∈ R esetén, ha a < b, akkor a + c < b + c is teljesül. ∀a , b , c ∈ R esetén, ha a < b és 0 < c, akkor ac < bc is teljesül.
Vajda István (Óbudai Egyetem)
˝ Analízis eloadások
2012. szeptember 24.
11 / 8
Valós számok
Valós számok
A valós számok halmazában értelmezheto˝ a < szigorú rendezési reláció, amelyre teljesülnek a következo˝ tulajdonságok:
∀a , b ∈ R esetén az a < b, a = b, b < a relációk közül pontosan egy teljesül. (Trichotomia)
∀a , b , c ∈ R esetén, ha a < b és b < c teljesül, akkor a < c is igaz. (Tranzitív tulajdonság)
∀a , b , c ∈ R esetén, ha a < b, akkor a + c < b + c is teljesül. ∀a , b , c ∈ R esetén, ha a < b és 0 < c, akkor ac < bc is teljesül.
Vajda István (Óbudai Egyetem)
˝ Analízis eloadások
2012. szeptember 24.
11 / 8
Valós számok
Valós számok
Archimedesi axióma:
∀a ∈ R esetén ∃n ∈ N, amelyre a < n Következmények: 1 < ε. n ˝ Tetszoleges K és ε pozitív valós számokhoz létezik olyan n ∈ N, amelyre nε > K .
∀ε > 0 valós számhoz ∃n ∈ N, amelyre
Vajda István (Óbudai Egyetem)
˝ Analízis eloadások
2012. szeptember 24.
12 / 8
Valós számok
Valós számok
Archimedesi axióma:
∀a ∈ R esetén ∃n ∈ N, amelyre a < n Következmények: 1 < ε. n ˝ Tetszoleges K és ε pozitív valós számokhoz létezik olyan n ∈ N, amelyre nε > K .
∀ε > 0 valós számhoz ∃n ∈ N, amelyre
Vajda István (Óbudai Egyetem)
˝ Analízis eloadások
2012. szeptember 24.
12 / 8
Valós számok
Valós számok
Archimedesi axióma:
∀a ∈ R esetén ∃n ∈ N, amelyre a < n Következmények: 1 < ε. n ˝ Tetszoleges K és ε pozitív valós számokhoz létezik olyan n ∈ N, amelyre nε > K .
∀ε > 0 valós számhoz ∃n ∈ N, amelyre
Vajda István (Óbudai Egyetem)
˝ Analízis eloadások
2012. szeptember 24.
12 / 8
Valós számok
Valós számok ˝ korlátosnak nevezünk, ha Definíció: Egy A ⊆ R számhalmazt felülrol ∃K ∈ R, hogy ∀a ∈ A esetén a ≤ K . Megjegyzések: A K számot az A halmaz felso˝ korlátjának nevezzük. Ha K felso˝ korlátja A -nak, akkor minden K -nál nagyobb valós szám is felso˝ korlátja A -nak. (Ha A -nak létezik felso˝ korlátja, akkor végtelen sok felso˝ korlátja is létezik.) Definíció: Ha az L szám felso˝ korlátja az A ⊆ R halmaznak és ∀L 0 < L esetén ∃a ∈ A , amelyre L 0 < a, akkor L -t az A halmaz legkisebb felso˝ korlátjának (felso˝ határának, szupremumának) nevezzük. Jelölés: sup A
Vajda István (Óbudai Egyetem)
˝ Analízis eloadások
2012. szeptember 24.
13 / 8
Valós számok
Valós számok ˝ korlátosnak nevezünk, ha Definíció: Egy A ⊆ R számhalmazt felülrol ∃K ∈ R, hogy ∀a ∈ A esetén a ≤ K . Megjegyzések: A K számot az A halmaz felso˝ korlátjának nevezzük. Ha K felso˝ korlátja A -nak, akkor minden K -nál nagyobb valós szám is felso˝ korlátja A -nak. (Ha A -nak létezik felso˝ korlátja, akkor végtelen sok felso˝ korlátja is létezik.) Definíció: Ha az L szám felso˝ korlátja az A ⊆ R halmaznak és ∀L 0 < L esetén ∃a ∈ A , amelyre L 0 < a, akkor L -t az A halmaz legkisebb felso˝ korlátjának (felso˝ határának, szupremumának) nevezzük. Jelölés: sup A
Vajda István (Óbudai Egyetem)
˝ Analízis eloadások
2012. szeptember 24.
13 / 8
Valós számok
Valós számok ˝ korlátosnak nevezünk, ha Definíció: Egy A ⊆ R számhalmazt felülrol ∃K ∈ R, hogy ∀a ∈ A esetén a ≤ K . Megjegyzések: A K számot az A halmaz felso˝ korlátjának nevezzük. Ha K felso˝ korlátja A -nak, akkor minden K -nál nagyobb valós szám is felso˝ korlátja A -nak. (Ha A -nak létezik felso˝ korlátja, akkor végtelen sok felso˝ korlátja is létezik.) Definíció: Ha az L szám felso˝ korlátja az A ⊆ R halmaznak és ∀L 0 < L esetén ∃a ∈ A , amelyre L 0 < a, akkor L -t az A halmaz legkisebb felso˝ korlátjának (felso˝ határának, szupremumának) nevezzük. Jelölés: sup A
Vajda István (Óbudai Egyetem)
˝ Analízis eloadások
2012. szeptember 24.
13 / 8
Valós számok
Valós számok ˝ korlátosnak nevezünk, ha Definíció: Egy A ⊆ R számhalmazt felülrol ∃K ∈ R, hogy ∀a ∈ A esetén a ≤ K . Megjegyzések: A K számot az A halmaz felso˝ korlátjának nevezzük. Ha K felso˝ korlátja A -nak, akkor minden K -nál nagyobb valós szám is felso˝ korlátja A -nak. (Ha A -nak létezik felso˝ korlátja, akkor végtelen sok felso˝ korlátja is létezik.) Definíció: Ha az L szám felso˝ korlátja az A ⊆ R halmaznak és ∀L 0 < L esetén ∃a ∈ A , amelyre L 0 < a, akkor L -t az A halmaz legkisebb felso˝ korlátjának (felso˝ határának, szupremumának) nevezzük. Jelölés: sup A
Vajda István (Óbudai Egyetem)
˝ Analízis eloadások
2012. szeptember 24.
13 / 8
Valós számok
Valós számok Definíció: Egy A ⊆ R számhalmazt alulról korlátosnak nevezünk, ha ∃k ∈ R, hogy ∀a ∈ A esetén a ≥ k . Megjegyzések: A k számot az A halmaz alsó korlátjának nevezzük. Ha k alsó korlátja A -nak, akkor minden k -nál kisebb valós szám is felso˝ korlátja A -nak. (Ha A -nak létezik alsó korlátja, akkor végtelen sok alsó korlátja is létezik.) Definíció: Ha az l szám alsó korlátja az A ⊆ R halmaznak és ∀l 0 > l esetén ∃a ∈ A , amelyre l 0 > a, akkor l-t az A halmaz legnagyobb alsó korlátjának (alsó határának, infimumának) nevezzük. Jelölés: inf A
Vajda István (Óbudai Egyetem)
˝ Analízis eloadások
2012. szeptember 24.
14 / 8
Valós számok
Valós számok Definíció: Egy A ⊆ R számhalmazt alulról korlátosnak nevezünk, ha ∃k ∈ R, hogy ∀a ∈ A esetén a ≥ k . Megjegyzések: A k számot az A halmaz alsó korlátjának nevezzük. Ha k alsó korlátja A -nak, akkor minden k -nál kisebb valós szám is felso˝ korlátja A -nak. (Ha A -nak létezik alsó korlátja, akkor végtelen sok alsó korlátja is létezik.) Definíció: Ha az l szám alsó korlátja az A ⊆ R halmaznak és ∀l 0 > l esetén ∃a ∈ A , amelyre l 0 > a, akkor l-t az A halmaz legnagyobb alsó korlátjának (alsó határának, infimumának) nevezzük. Jelölés: inf A
Vajda István (Óbudai Egyetem)
˝ Analízis eloadások
2012. szeptember 24.
14 / 8
Valós számok
Valós számok Definíció: Egy A ⊆ R számhalmazt alulról korlátosnak nevezünk, ha ∃k ∈ R, hogy ∀a ∈ A esetén a ≥ k . Megjegyzések: A k számot az A halmaz alsó korlátjának nevezzük. Ha k alsó korlátja A -nak, akkor minden k -nál kisebb valós szám is felso˝ korlátja A -nak. (Ha A -nak létezik alsó korlátja, akkor végtelen sok alsó korlátja is létezik.) Definíció: Ha az l szám alsó korlátja az A ⊆ R halmaznak és ∀l 0 > l esetén ∃a ∈ A , amelyre l 0 > a, akkor l-t az A halmaz legnagyobb alsó korlátjának (alsó határának, infimumának) nevezzük. Jelölés: inf A
Vajda István (Óbudai Egyetem)
˝ Analízis eloadások
2012. szeptember 24.
14 / 8
Valós számok
Valós számok Definíció: Egy A ⊆ R számhalmazt alulról korlátosnak nevezünk, ha ∃k ∈ R, hogy ∀a ∈ A esetén a ≥ k . Megjegyzések: A k számot az A halmaz alsó korlátjának nevezzük. Ha k alsó korlátja A -nak, akkor minden k -nál kisebb valós szám is felso˝ korlátja A -nak. (Ha A -nak létezik alsó korlátja, akkor végtelen sok alsó korlátja is létezik.) Definíció: Ha az l szám alsó korlátja az A ⊆ R halmaznak és ∀l 0 > l esetén ∃a ∈ A , amelyre l 0 > a, akkor l-t az A halmaz legnagyobb alsó korlátjának (alsó határának, infimumának) nevezzük. Jelölés: inf A
Vajda István (Óbudai Egyetem)
˝ Analízis eloadások
2012. szeptember 24.
14 / 8
Valós számok
Valós számok
˝ Definíció: Az A ⊆ R halmazt korlátosnak nevezzük, ha alulról is és felülrol is korlátos.
Teljességi axióma: ˝ korlátos, akkor létezik legkisebb felso˝ korlátja, Ha az A ⊂ R halmaz felülrol ha alulról korlátos, akkor létezik legnagyobb alsó korlátja.
Vajda István (Óbudai Egyetem)
˝ Analízis eloadások
2012. szeptember 24.
15 / 8
Valós számok
Valós számok
˝ Definíció: Az A ⊆ R halmazt korlátosnak nevezzük, ha alulról is és felülrol is korlátos.
Teljességi axióma: ˝ korlátos, akkor létezik legkisebb felso˝ korlátja, Ha az A ⊂ R halmaz felülrol ha alulról korlátos, akkor létezik legnagyobb alsó korlátja.
Vajda István (Óbudai Egyetem)
˝ Analízis eloadások
2012. szeptember 24.
15 / 8
˝ Nevezetes egyenlotlenségek
˝ Bernoulli-egyenlotlenség Tétel: Ha a ≥ −1 valós szám és n ∈ N, akkor
(1 + a )n ≥ 1 + na Bizonyítás: (Teljes indukcióval:) par n = 0 esetén igaz (Mindkét oldal egyenlo˝ 1-gyel) Ha n = k esetén igaz, akkor n = k + 1 esetén is igaz:
(1 + a )k +1 = (1 + a )k (1 + a ) ≥ (1 + ka ) (1 + a ) = = 1 + ka + a + ka 2 ≥ 1 + (k + 1) a
Vajda István (Óbudai Egyetem)
˝ Analízis eloadások
2012. szeptember 24.
16 / 8
˝ Nevezetes egyenlotlenségek
˝ Bernoulli-egyenlotlenség Tétel: Ha a ≥ −1 valós szám és n ∈ N, akkor
(1 + a )n ≥ 1 + na Bizonyítás: (Teljes indukcióval:) par n = 0 esetén igaz (Mindkét oldal egyenlo˝ 1-gyel) Ha n = k esetén igaz, akkor n = k + 1 esetén is igaz:
(1 + a )k +1 = (1 + a )k (1 + a ) ≥ (1 + ka ) (1 + a ) = = 1 + ka + a + ka 2 ≥ 1 + (k + 1) a
Vajda István (Óbudai Egyetem)
˝ Analízis eloadások
2012. szeptember 24.
16 / 8
˝ Nevezetes egyenlotlenségek
˝ Bernoulli-egyenlotlenség Tétel: Ha a ≥ −1 valós szám és n ∈ N, akkor
(1 + a )n ≥ 1 + na Bizonyítás: (Teljes indukcióval:) par n = 0 esetén igaz (Mindkét oldal egyenlo˝ 1-gyel) Ha n = k esetén igaz, akkor n = k + 1 esetén is igaz:
(1 + a )k +1 = (1 + a )k (1 + a ) ≥ (1 + ka ) (1 + a ) = = 1 + ka + a + ka 2 ≥ 1 + (k + 1) a
Vajda István (Óbudai Egyetem)
˝ Analízis eloadások
2012. szeptember 24.
16 / 8
˝ Nevezetes egyenlotlenségek
˝ Az általánosított Bernoulli-egyenlotlenség Tétel: Ha ak ≥ −1 valós szám minden k ∈ {1, 2, . . . , n}, n ∈ N esetén, és ˝ uek, a1 , a2 , . . . , an azonos elojel ˝ akkor n Y
(1 + ak ) ≥ 1 +
k =1
n X
ak
k =1
Bizonyítás: (Teljes indukcióval:) par n = 0 esetén igaz (Mindkét oldal egyenlo˝ 1-gyel) Ha n = k esetén igaz, akkor n = k + 1 esetén is igaz: n +1 Y k =1
n n X Y (1 + ak ) = (1 + ak ) (1 + an+1 ) ≥ 1 + ak (1 + an+1 ) = k =1
k =1
1+
n X k =1
Vajda István (Óbudai Egyetem)
n n +1 X X ak an+1 ≥ 1 + ak ak + an+1 +
˝ Analízis eloadások
k =1
k =1
2012. szeptember 24.
17 / 8
˝ Nevezetes egyenlotlenségek
˝ Az általánosított Bernoulli-egyenlotlenség Tétel: Ha ak ≥ −1 valós szám minden k ∈ {1, 2, . . . , n}, n ∈ N esetén, és ˝ uek, a1 , a2 , . . . , an azonos elojel ˝ akkor n Y
(1 + ak ) ≥ 1 +
k =1
n X
ak
k =1
Bizonyítás: (Teljes indukcióval:) par n = 0 esetén igaz (Mindkét oldal egyenlo˝ 1-gyel) Ha n = k esetén igaz, akkor n = k + 1 esetén is igaz: n +1 Y k =1
n n X Y (1 + ak ) = (1 + ak ) (1 + an+1 ) ≥ 1 + ak (1 + an+1 ) = k =1
k =1
1+
n X k =1
Vajda István (Óbudai Egyetem)
n n +1 X X ak an+1 ≥ 1 + ak ak + an+1 +
˝ Analízis eloadások
k =1
k =1
2012. szeptember 24.
17 / 8
˝ Nevezetes egyenlotlenségek
˝ Az általánosított Bernoulli-egyenlotlenség Tétel: Ha ak ≥ −1 valós szám minden k ∈ {1, 2, . . . , n}, n ∈ N esetén, és ˝ uek, a1 , a2 , . . . , an azonos elojel ˝ akkor n Y
(1 + ak ) ≥ 1 +
k =1
n X
ak
k =1
Bizonyítás: (Teljes indukcióval:) par n = 0 esetén igaz (Mindkét oldal egyenlo˝ 1-gyel) Ha n = k esetén igaz, akkor n = k + 1 esetén is igaz: n +1 Y k =1
n n X Y (1 + ak ) = (1 + ak ) (1 + an+1 ) ≥ 1 + ak (1 + an+1 ) = k =1
k =1
1+
n X k =1
Vajda István (Óbudai Egyetem)
n n +1 X X ak an+1 ≥ 1 + ak ak + an+1 +
˝ Analízis eloadások
k =1
k =1
2012. szeptember 24.
17 / 8
˝ Nevezetes egyenlotlenségek
˝ A számtani és a mértani közép közötti egyenlotlenség
Tétel: Ha a1 , a2 , . . . , an pozitív valós számok, akkor
√ a1 + a2 + . . . + an ≥ n a1 a2 · . . . · an n ˝ ha a1 = a2 = . . . = an . és a két oldal csak akkor egyenlo,
Vajda István (Óbudai Egyetem)
˝ Analízis eloadások
2012. szeptember 24.
18 / 8
˝ Nevezetes egyenlotlenségek
˝ A mértani és a harmonikus közép közötti egyenlotlenség
Tétel: Ha a1 , a2 , . . . , an pozitív valós számok, akkor
√ n
a1 a2 · . . . · an ≥
n 1 a1
+
1 a2
+ ... +
1 an
˝ ha a1 = a2 = . . . = an . és a két oldal csak akkor egyenlo,
Vajda István (Óbudai Egyetem)
˝ Analízis eloadások
2012. szeptember 24.
19 / 8
Relációk, függvények
Relációk, függvények
Definíció: Legyen R ⊆ A × B. Ekkor az R halmazt az (A , B ) halmazpáron értelmezett kétváltozós (bináris) relációnak nevezzük. Jelölés: (A , B ; R ), illetve (ha nem okoz félreértést) röviden R. Példa: Ha A = {a , b } és B = {1, 2, 3}, akkor R = (a , 2) , (a , 3) , (b , 1) , (b , 2) bináris reláció az (A , B ) halmazpáron. Ha (a , b ) ∈ R ⊆ A × B, akkor a és b relációban van egymással. Ha (a , b ) < R ⊆ A × B, akkor a és b nincs relációban egymással.
/b. Jelölés: aRb, illetve aR
Vajda István (Óbudai Egyetem)
˝ Analízis eloadások
2012. szeptember 24.
20 / 8
Relációk, függvények
Relációk, függvények
Definíció: Legyen R ⊆ A × B. Ekkor az R halmazt az (A , B ) halmazpáron értelmezett kétváltozós (bináris) relációnak nevezzük. Jelölés: (A , B ; R ), illetve (ha nem okoz félreértést) röviden R. Példa: Ha A = {a , b } és B = {1, 2, 3}, akkor R = (a , 2) , (a , 3) , (b , 1) , (b , 2) bináris reláció az (A , B ) halmazpáron. Ha (a , b ) ∈ R ⊆ A × B, akkor a és b relációban van egymással. Ha (a , b ) < R ⊆ A × B, akkor a és b nincs relációban egymással. Jelölés: aRb, illetve aR /b.
Vajda István (Óbudai Egyetem)
˝ Analízis eloadások
2012. szeptember 24.
20 / 8
Relációk, függvények
Relációk, függvények
Definíció: Legyen R ⊆ A × B. Ekkor az R halmazt az (A , B ) halmazpáron értelmezett kétváltozós (bináris) relációnak nevezzük. Jelölés: (A , B ; R ), illetve (ha nem okoz félreértést) röviden R. Példa: Ha A = {a , b } és B = {1, 2, 3}, akkor R = (a , 2) , (a , 3) , (b , 1) , (b , 2) bináris reláció az (A , B ) halmazpáron. Ha (a , b ) ∈ R ⊆ A × B, akkor a és b relációban van egymással. Ha (a , b ) < R ⊆ A × B, akkor a és b nincs relációban egymással. Jelölés: aRb, illetve aR /b.
Vajda István (Óbudai Egyetem)
˝ Analízis eloadások
2012. szeptember 24.
20 / 8
Relációk, függvények
Relációk, függvények
Definíció: Legyen R ⊆ A × B. Ekkor az R halmazt az (A , B ) halmazpáron értelmezett kétváltozós (bináris) relációnak nevezzük. Jelölés: (A , B ; R ), illetve (ha nem okoz félreértést) röviden R. Példa: Ha A = {a , b } és B = {1, 2, 3}, akkor R = (a , 2) , (a , 3) , (b , 1) , (b , 2) bináris reláció az (A , B ) halmazpáron. Ha (a , b ) ∈ R ⊆ A × B, akkor a és b relációban van egymással. Ha (a , b ) < R ⊆ A × B, akkor a és b nincs relációban egymással. Jelölés: aRb, illetve aR /b.
Vajda István (Óbudai Egyetem)
˝ Analízis eloadások
2012. szeptember 24.
20 / 8
Relációk, függvények
Relációk, függvények
Definíció: Legyen R ⊆ A × B. Ekkor az R halmazt az (A , B ) halmazpáron értelmezett kétváltozós (bináris) relációnak nevezzük. Jelölés: (A , B ; R ), illetve (ha nem okoz félreértést) röviden R. Példa: Ha A = {a , b } és B = {1, 2, 3}, akkor R = (a , 2) , (a , 3) , (b , 1) , (b , 2) bináris reláció az (A , B ) halmazpáron. Ha (a , b ) ∈ R ⊆ A × B, akkor a és b relációban van egymással. Ha (a , b ) < R ⊆ A × B, akkor a és b nincs relációban egymással. Jelölés: aRb, illetve aR /b.
Vajda István (Óbudai Egyetem)
˝ Analízis eloadások
2012. szeptember 24.
20 / 8
Relációk, függvények
Relációk, függvények Definíció: Tekintsük az (A , B ; R ) relációt. Az A halmazt a reláció indulási, a B halmazt a reláció érkezési halmazának nevezzük. Definíció: Tekintsük az (A , B ; S ) relációt. A DS = {a | a ∈ A , ∃b ∈ B : aSb } halmazt a reláció értelmezési tartományának, az RS = {b | b ∈ B , ∃a ∈ A : aSb } halmazt a reláció értékkészletének nevezzük. Definíció: Az (A , B ; R ) bináris relációt parciális leképezésnek (parciális függvénynek) nevezzük, ha bármely a ∈ A -hoz legfeljebb egy olyan b ∈ B létezik, amelyre aRb. Definíció: Az (A , B ; R ) bináris relációt függvénynek nevezzük, ha bármely a ∈ A -hoz pontosan egy olyan b ∈ B létezik, amelyre aRb. Megjegyzés: Tehát a függvények indulási halmaza és értelmezési tartománya megegyezik. Vajda István (Óbudai Egyetem)
˝ Analízis eloadások
2012. szeptember 24.
21 / 8
Relációk, függvények
Relációk, függvények Definíció: Tekintsük az (A , B ; R ) relációt. Az A halmazt a reláció indulási, a B halmazt a reláció érkezési halmazának nevezzük. Definíció: Tekintsük az (A , B ; S ) relációt. A DS = {a | a ∈ A , ∃b ∈ B : aSb } halmazt a reláció értelmezési tartományának, az RS = {b | b ∈ B , ∃a ∈ A : aSb } halmazt a reláció értékkészletének nevezzük. Definíció: Az (A , B ; R ) bináris relációt parciális leképezésnek (parciális függvénynek) nevezzük, ha bármely a ∈ A -hoz legfeljebb egy olyan b ∈ B létezik, amelyre aRb. Definíció: Az (A , B ; R ) bináris relációt függvénynek nevezzük, ha bármely a ∈ A -hoz pontosan egy olyan b ∈ B létezik, amelyre aRb. Megjegyzés: Tehát a függvények indulási halmaza és értelmezési tartománya megegyezik. Vajda István (Óbudai Egyetem)
˝ Analízis eloadások
2012. szeptember 24.
21 / 8
Relációk, függvények
Relációk, függvények Definíció: Tekintsük az (A , B ; R ) relációt. Az A halmazt a reláció indulási, a B halmazt a reláció érkezési halmazának nevezzük. Definíció: Tekintsük az (A , B ; S ) relációt. A DS = {a | a ∈ A , ∃b ∈ B : aSb } halmazt a reláció értelmezési tartományának, az RS = {b | b ∈ B , ∃a ∈ A : aSb } halmazt a reláció értékkészletének nevezzük. Definíció: Az (A , B ; R ) bináris relációt parciális leképezésnek (parciális függvénynek) nevezzük, ha bármely a ∈ A -hoz legfeljebb egy olyan b ∈ B létezik, amelyre aRb. Definíció: Az (A , B ; R ) bináris relációt függvénynek nevezzük, ha bármely a ∈ A -hoz pontosan egy olyan b ∈ B létezik, amelyre aRb. Megjegyzés: Tehát a függvények indulási halmaza és értelmezési tartománya megegyezik. Vajda István (Óbudai Egyetem)
˝ Analízis eloadások
2012. szeptember 24.
21 / 8
Relációk, függvények
Relációk, függvények Definíció: Tekintsük az (A , B ; R ) relációt. Az A halmazt a reláció indulási, a B halmazt a reláció érkezési halmazának nevezzük. Definíció: Tekintsük az (A , B ; S ) relációt. A DS = {a | a ∈ A , ∃b ∈ B : aSb } halmazt a reláció értelmezési tartományának, az RS = {b | b ∈ B , ∃a ∈ A : aSb } halmazt a reláció értékkészletének nevezzük. Definíció: Az (A , B ; R ) bináris relációt parciális leképezésnek (parciális függvénynek) nevezzük, ha bármely a ∈ A -hoz legfeljebb egy olyan b ∈ B létezik, amelyre aRb. Definíció: Az (A , B ; R ) bináris relációt függvénynek nevezzük, ha bármely a ∈ A -hoz pontosan egy olyan b ∈ B létezik, amelyre aRb. Megjegyzés: Tehát a függvények indulási halmaza és értelmezési tartománya megegyezik. Vajda István (Óbudai Egyetem)
˝ Analízis eloadások
2012. szeptember 24.
21 / 8
Relációk, függvények
Relációk, függvények Definíció: Tekintsük az (A , B ; R ) relációt. Az A halmazt a reláció indulási, a B halmazt a reláció érkezési halmazának nevezzük. Definíció: Tekintsük az (A , B ; S ) relációt. A DS = {a | a ∈ A , ∃b ∈ B : aSb } halmazt a reláció értelmezési tartományának, az RS = {b | b ∈ B , ∃a ∈ A : aSb } halmazt a reláció értékkészletének nevezzük. Definíció: Az (A , B ; R ) bináris relációt parciális leképezésnek (parciális függvénynek) nevezzük, ha bármely a ∈ A -hoz legfeljebb egy olyan b ∈ B létezik, amelyre aRb. Definíció: Az (A , B ; R ) bináris relációt függvénynek nevezzük, ha bármely a ∈ A -hoz pontosan egy olyan b ∈ B létezik, amelyre aRb. Megjegyzés: Tehát a függvények indulási halmaza és értelmezési tartománya megegyezik. Vajda István (Óbudai Egyetem)
˝ Analízis eloadások
2012. szeptember 24.
21 / 8
