˝ Analízis eloadások Vajda István Neumann János Informatika Kar Óbudai Egyetem
2013. február 10.
Vajda István (Óbudai Egyetem)
˝ Analízis eloadások
2013. február 10.
1 / 32
Integrálszámítás
Elemi függvények integrálása
Az elemi függvények csoportosítása
Elemi függvények
Algebrai függvények
Transzcendens függvények
Racionális függvények Irracionális függvények
Polinomok
Racionális törtfüggvények
Vajda István (Óbudai Egyetem)
˝ Analízis eloadások
2013. február 10.
2 / 32
Integrálszámítás
Elemi függvények integrálása
Polinomok integrálása Felhasználjuk az
Z x k dx =
x k +1 +C k +1
(k ∈ N)
alapintegrált, és a következo˝ szabályokat:
Z
Z cf = c
Z
R
2x 2 − 3x + 5 dx =
Vajda István (Óbudai Egyetem)
(c ∈ R),
Z f ±g =
Pl.:
f
Z f±
g
2x 3 3x 2 − + 5x + C 3 2
˝ Analízis eloadások
2013. február 10.
3 / 32
Integrálszámítás
Elemi függvények integrálása
Polinomok integrálása Felhasználjuk az
Z x k dx =
x k +1 +C k +1
(k ∈ N)
alapintegrált, és a következo˝ szabályokat:
Z
Z cf = c
Z
R
2x 2 − 3x + 5 dx =
Vajda István (Óbudai Egyetem)
(c ∈ R),
Z f ±g =
Pl.:
f
Z f±
g
2x 3 3x 2 − + 5x + C 3 2
˝ Analízis eloadások
2013. február 10.
3 / 32
Integrálszámítás
Elemi függvények integrálása
Elemi törtek integrálása ˝ elsofokú: ˝ Ha a törtfüggvény számlálója konstans, nevezoje
Z
A x −a
Felhasználtuk:
Z
dx = A ln |x − a | + C
1 dx = ln |x | + C x
Z f (ax + b ) dx = Példa:
Z
5 2x + 3
Vajda István (Óbudai Egyetem)
dx =
F (ax + b ) +C a
5 ln |2x + 3| +C 2
˝ Analízis eloadások
2013. február 10.
4 / 32
Integrálszámítás
Elemi függvények integrálása
Elemi törtek integrálása ˝ elsofokú: ˝ Ha a törtfüggvény számlálója konstans, nevezoje
Z
A x −a
Felhasználtuk:
Z
dx = A ln |x − a | + C
1 dx = ln |x | + C x
Z f (ax + b ) dx = Példa:
Z
5 2x + 3
Vajda István (Óbudai Egyetem)
dx =
F (ax + b ) +C a
5 ln |2x + 3| +C 2
˝ Analízis eloadások
2013. február 10.
4 / 32
Integrálszámítás
Elemi függvények integrálása
Elemi törtek integrálása ˝ elsofokú: ˝ Ha a törtfüggvény számlálója konstans, nevezoje
Z
A x −a
Felhasználtuk:
Z
dx = A ln |x − a | + C
1 dx = ln |x | + C x
Z f (ax + b ) dx = Példa:
Z
5 2x + 3
Vajda István (Óbudai Egyetem)
dx =
F (ax + b ) +C a
5 ln |2x + 3| +C 2
˝ Analízis eloadások
2013. február 10.
4 / 32
Integrálszámítás
Elemi függvények integrálása
Elemi törtek integrálása ˝ egy elsofokú ˝ Ha a törtfüggvény számlálója konstans, nevezoje kifejezés hatványa:
Z
A n
(x − a )
dx =
A
(1 − n) (x − a )n−1
(n ∈ N \ {0, 1})
Felhasználtuk: x k +1 +C k +1
Z x k dx =
Z f (ax + b ) dx = Példa:
Z
2 3
(3x − 1) Vajda István (Óbudai Egyetem)
k ∈ Z \ {−1}
F (ax + b ) +C a
dx = −
1 3 (3x − 1)2
˝ Analízis eloadások
+C 2013. február 10.
5 / 32
Integrálszámítás
Elemi függvények integrálása
Elemi törtek integrálása ˝ egy elsofokú ˝ Ha a törtfüggvény számlálója konstans, nevezoje kifejezés hatványa:
Z
A n
(x − a )
dx =
A
(1 − n) (x − a )n−1
(n ∈ N \ {0, 1})
Felhasználtuk: x k +1 +C k +1
Z x k dx =
Z f (ax + b ) dx = Példa:
Z
2 3
(3x − 1) Vajda István (Óbudai Egyetem)
k ∈ Z \ {−1}
F (ax + b ) +C a
dx = −
1 3 (3x − 1)2
˝ Analízis eloadások
+C 2013. február 10.
5 / 32
Integrálszámítás
Elemi függvények integrálása
Elemi törtek integrálása ˝ egy elsofokú ˝ Ha a törtfüggvény számlálója konstans, nevezoje kifejezés hatványa:
Z
A n
(x − a )
dx =
A
(1 − n) (x − a )n−1
(n ∈ N \ {0, 1})
Felhasználtuk: x k +1 +C k +1
Z x k dx =
Z f (ax + b ) dx = Példa:
Z
2 3
(3x − 1) Vajda István (Óbudai Egyetem)
k ∈ Z \ {−1}
F (ax + b ) +C a
dx = −
1 3 (3x − 1)2
˝ Analízis eloadások
+C 2013. február 10.
5 / 32
Integrálszámítás
Elemi függvények integrálása
Elemi törtek integrálása ˝ egy másodfokú Ha a törtfüggvény számlálója konstans, nevezoje kifejezés: Z A dx =? 2 x + px + q ˝ Ha x 2 + px + q felbontható két elsofokú tényezo˝ szorzatára, akkor ez ˝ o˝ esetek egyikére. az integrál visszavezetheto˝ az eloz Ha x 2 + px + q a valós számok halmazán nem bontható fel két ˝ elsofokú tényezo˝ szorzatára (ún. felbonthatatlan másodfokú polinom), akkor a fenti integrál az
Z
1 1 + t2
dt = arctg t + C
alapintegrálra vezetheto˝ vissza. Vajda István (Óbudai Egyetem)
˝ Analízis eloadások
2013. február 10.
6 / 32
Integrálszámítás
Elemi függvények integrálása
Elemi törtek integrálása ˝ egy másodfokú Ha a törtfüggvény számlálója konstans, nevezoje kifejezés: Z A dx =? 2 x + px + q ˝ Ha x 2 + px + q felbontható két elsofokú tényezo˝ szorzatára, akkor ez ˝ o˝ esetek egyikére. az integrál visszavezetheto˝ az eloz Ha x 2 + px + q a valós számok halmazán nem bontható fel két ˝ elsofokú tényezo˝ szorzatára (ún. felbonthatatlan másodfokú polinom), akkor a fenti integrál az
Z
1 1 + t2
dt = arctg t + C
alapintegrálra vezetheto˝ vissza. Vajda István (Óbudai Egyetem)
˝ Analízis eloadások
2013. február 10.
6 / 32
Integrálszámítás
Elemi függvények integrálása
Elemi törtek integrálása ˝ egy másodfokú Ha a törtfüggvény számlálója konstans, nevezoje kifejezés: Z A dx =? 2 x + px + q ˝ Ha x 2 + px + q felbontható két elsofokú tényezo˝ szorzatára, akkor ez ˝ o˝ esetek egyikére. az integrál visszavezetheto˝ az eloz Ha x 2 + px + q a valós számok halmazán nem bontható fel két ˝ elsofokú tényezo˝ szorzatára (ún. felbonthatatlan másodfokú polinom), akkor a fenti integrál az
Z
1 1 + t2
dt = arctg t + C
alapintegrálra vezetheto˝ vissza. Vajda István (Óbudai Egyetem)
˝ Analízis eloadások
2013. február 10.
6 / 32
Integrálszámítás
Elemi függvények integrálása
Elemi törtek integrálása ˝ egy másodfokú Ha a törtfüggvény számlálója konstans, nevezoje kifejezés: Z A dx =? 2 x + px + q Példa:
Z
Z
4 4 dx = dx = 2 (x − 2) (x − 1) x − 3x + 2 ! ! Z Z 4 4 1 1 − dx = 4 − dx = = x −2 x −1 x −2 x −1 x − 2 +C = 4 (ln |x − 2| − ln |x − 1|) + C = 4 ln x − 1
Vajda István (Óbudai Egyetem)
˝ Analízis eloadások
2013. február 10.
7 / 32
Integrálszámítás
Elemi függvények integrálása
Elemi törtek integrálása
˝ egy másodfokú Ha a törtfüggvény számlálója konstans, nevezoje kifejezés: Z A dx =? 2 x + px + q Példa:
Z
3 dx = 2 x − 2x + 5
Vajda István (Óbudai Egyetem)
Z
3
dx = (x − 1)2 + 4 Z 3 3 1 x −1 = 2 dx = 2 arctg 2 + C 4 x −1 1+ 2
˝ Analízis eloadások
2013. február 10.
8 / 32
Integrálszámítás
Elemi függvények integrálása
Elemi törtek integrálása
˝ ˝ egy másodfokú kifejezés: Ha a törtfüggvény számlálója elsofokú, nevezoje
Z
Ax + B A dx = 2 x 2 + px + q
Z
2x + p dx + x 2 + px + q
B−
Z
Ap 2
x 2 + px + q
dx
˝ Itt az egyenloség jobboldalán álló elso˝ integrandus az
Z
f 0 (x ) dx = ln f (x ) + C f (x )
szabály segítségével integrálható, a második pedig a már vizsgált esetek egyike.
Vajda István (Óbudai Egyetem)
˝ Analízis eloadások
2013. február 10.
9 / 32
Integrálszámítás
Elemi függvények integrálása
Elemi törtek integrálása ˝ ˝ egy másodfokú kifejezés: Ha a törtfüggvény számlálója elsofokú, nevezoje
Z
Ax + B A dx = 2 2 x + px + q
Z
2x + p dx + 2 x + px + q
Z
B−
Ap 2
x 2 + px + q
dx
Példa:
Z
4x + 6 dx = 2 2 x + 4x + 5
Z
Z
2x + 4 1 dx − 2 dx = 2 2 x + 4x + 5 x + 4x + 5 Z 1 = 2 ln x 2 + 4x + 5 − 2 dx = 1 + (x + 2)2
= 2 ln x 2 + 4x + 5 − 2 arctg (x + 2) + C
Vajda István (Óbudai Egyetem)
˝ Analízis eloadások
2013. február 10.
10 / 32
Integrálszámítás
Elemi függvények integrálása
Elemi törtek integrálása
˝ Ha a törtfüggvény számlálója konstans vagy elsofokú kifejezés, a nevezo˝ pedig egy felbonthatatlan másodfokú kifejezés hatványa:
Z
A
(x 2 illetve
Z
+ px + q)
n
dx ,
n
dx ,
Ax + B
(x 2
+ px + q)
˝ de ezzel nem foglalkozunk. akkor az integrálás ugyancsak elvégezheto,
Vajda István (Óbudai Egyetem)
˝ Analízis eloadások
2013. február 10.
11 / 32
Integrálszámítás
Elemi függvények integrálása
Racionális törtfüggvények integrálása
˝ (ún. Ha a törtfüggvény számlálója alacsonyabbfokú, mint a nevezoje valódi tört), akkor felbontható az eddigiekben vizsgált elemi törtek összegére, amelyek külön-külön integrálhatók. Az összeggé alakítást szokás résztörtekre bontásnak nevezni. ˝ Ha a törtfüggvény számlálójának fokszáma nem kisebb mint a nevezoé, ˝ akkor eloször szétbontjuk egy polinom és egy valódi tört összegére (pl. polinomosztással) és a két részt külön integráljuk.
Vajda István (Óbudai Egyetem)
˝ Analízis eloadások
2013. február 10.
12 / 32
Integrálszámítás
Elemi függvények integrálása
Racionális törtfüggvények integrálása
˝ (ún. Ha a törtfüggvény számlálója alacsonyabbfokú, mint a nevezoje valódi tört), akkor felbontható az eddigiekben vizsgált elemi törtek összegére, amelyek külön-külön integrálhatók. Az összeggé alakítást szokás résztörtekre bontásnak nevezni. ˝ Ha a törtfüggvény számlálójának fokszáma nem kisebb mint a nevezoé, ˝ akkor eloször szétbontjuk egy polinom és egy valódi tört összegére (pl. polinomosztással) és a két részt külön integráljuk.
Vajda István (Óbudai Egyetem)
˝ Analízis eloadások
2013. február 10.
12 / 32
Integrálszámítás
Elemi függvények integrálása
Racionális törtfüggvények integrálása résztörtekre bontással Z
6 dx = 2 x +x −2
Z
6
(x − 1) (x + 2) Z
=
2
(x − 1)
−
dx = ! 2
(x + 2)
dx =
x − 1 +C = 2 ln |x − 1| − 2 ln |x + 2| + C = 2 ln x + 2 Résztörtekre bontás: 6
A
B
= + x −1 x +2 (x − 1) (x + 2) 6 = A (x + 2) + B (x − 1) x = 1 ⇒ 6 = 3A ⇒ A = 2 Vajda István (Óbudai Egyetem)
x = −2 ⇒ 6 = −3B ⇒ B = −2
˝ Analízis eloadások
2013. február 10.
13 / 32
Integrálszámítás
Elemi függvények integrálása
Racionális törtfüggvények integrálása résztörtekre bontással Z
6 dx = 2 x +x −2
Z
6
(x − 1) (x + 2) Z
=
2
(x − 1)
−
dx = ! 2
(x + 2)
dx =
x − 1 +C = 2 ln |x − 1| − 2 ln |x + 2| + C = 2 ln x + 2 Résztörtekre bontás: 6
A
B
= + x −1 x +2 (x − 1) (x + 2) 6 = A (x + 2) + B (x − 1) x = 1 ⇒ 6 = 3A ⇒ A = 2 Vajda István (Óbudai Egyetem)
x = −2 ⇒ 6 = −3B ⇒ B = −2
˝ Analízis eloadások
2013. február 10.
13 / 32
Integrálszámítás
Elemi függvények integrálása
Racionális törtfüggvények integrálása résztörtekre bontással Z
5x 2 − 20x + 23 dx = (x − 3) (x − 2) (x + 1) ! Z 2 1 4 = − + dx = (x − 3) (x − 2) (x + 1)
= 2 ln |x − 3| − ln |x − 2| + 4 ln |x + 1| + C Résztörtekre bontás: 5x 2 − 20x + 23 A B D = + + x −3 x −2 x +1 (x − 3) (x − 2) (x + 1) 5x 2 − 20x + 23 = A (x − 2) (x + 1) + B (x − 3) (x + 1) + D (x − 3) (x − 2) x=3 8 = 4A A =2
Vajda István (Óbudai Egyetem)
x=2 3 = −3B B = −1
˝ Analízis eloadások
x = −1 48 = 12D D=4
2013. február 10.
14 / 32
Integrálszámítás
Elemi függvények integrálása
Racionális törtfüggvények integrálása résztörtekre bontással Z
5x 2 − 20x + 23 dx = (x − 3) (x − 2) (x + 1) ! Z 2 1 4 = − + dx = (x − 3) (x − 2) (x + 1)
= 2 ln |x − 3| − ln |x − 2| + 4 ln |x + 1| + C Résztörtekre bontás: 5x 2 − 20x + 23 A B D = + + x −3 x −2 x +1 (x − 3) (x − 2) (x + 1) 5x 2 − 20x + 23 = A (x − 2) (x + 1) + B (x − 3) (x + 1) + D (x − 3) (x − 2) x=3 8 = 4A A =2
Vajda István (Óbudai Egyetem)
x=2 3 = −3B B = −1
˝ Analízis eloadások
x = −1 48 = 12D D=4
2013. február 10.
14 / 32
Integrálszámítás
Elemi függvények integrálása
Racionális törtfüggvények integrálása résztörtekre bontással Z
7x 2 − 9x + 5 dx = (x − 2) (x 2 + 1) ! Z 3 1 4x = − dx = + (x − 2) (x 2 + 1) (x 2 + 1)
= 3 ln |x − 2| + 2 ln x 2 + 1 − arctg x + C Résztörtekre bontás: 7x 2 − 9x + 5 A Bx + D = + 2 x −2 x +1 (x − 2) (x 2 + 1)
7x 2 − 9x + 5 = A x 2 + 1 + Bx (x − 2) + D (x − 2) x=2 15 = 5A A =3 Vajda István (Óbudai Egyetem)
x=0 5 = A − 2D D = −1 ˝ Analízis eloadások
x2 7=A +B B=4 2013. február 10.
15 / 32
Integrálszámítás
Elemi függvények integrálása
Racionális törtfüggvények integrálása résztörtekre bontással Z
7x 2 − 9x + 5 dx = (x − 2) (x 2 + 1) ! Z 3 1 4x = − dx = + (x − 2) (x 2 + 1) (x 2 + 1)
= 3 ln |x − 2| + 2 ln x 2 + 1 − arctg x + C Résztörtekre bontás: 7x 2 − 9x + 5 A Bx + D = + 2 x −2 x +1 (x − 2) (x 2 + 1)
7x 2 − 9x + 5 = A x 2 + 1 + Bx (x − 2) + D (x − 2) x=2 15 = 5A A =3 Vajda István (Óbudai Egyetem)
x=0 5 = A − 2D D = −1 ˝ Analízis eloadások
x2 7=A +B B=4 2013. február 10.
15 / 32
Integrálszámítás
Elemi függvények integrálása
Racionális törtfüggvények integrálása résztörtekre bontással Z
−7x 2 + 13x − 12
dx = (x − 1)2 (x − 3) Z 2 = + (x − 1)
3
(x − 1)2
−
9
(x − 3)
= 2 ln |x − 1| −
dx = 3
x −1
− 9 ln |x − 3| + C
Résztörtekre bontás: −7x 2 + 13x − 12 2
(x − 1) (x − 3)
=
A B D + + 2 x −1 x −3 (x − 1)
−7x 2 + 13x − 12 = A (x − 1) (x − 3) + B (x − 3) + D (x − 1)2 x=1 −6 = −2B B=3 Vajda István (Óbudai Egyetem)
x=3 −36 = 4D D = −9 ˝ Analízis eloadások
x2 −7 = A + D A =2 2013. február 10.
16 / 32
Integrálszámítás
Elemi függvények integrálása
Racionális törtfüggvények integrálása résztörtekre bontással Z
−7x 2 + 13x − 12
dx = (x − 1)2 (x − 3) Z 2 = + (x − 1)
3
(x − 1)2
−
9
(x − 3)
= 2 ln |x − 1| −
dx = 3
x −1
− 9 ln |x − 3| + C
Résztörtekre bontás: −7x 2 + 13x − 12 2
(x − 1) (x − 3)
=
A B D + + 2 x −1 x −3 (x − 1)
−7x 2 + 13x − 12 = A (x − 1) (x − 3) + B (x − 3) + D (x − 1)2 x=1 −6 = −2B B=3 Vajda István (Óbudai Egyetem)
x=3 −36 = 4D D = −9 ˝ Analízis eloadások
x2 −7 = A + D A =2 2013. február 10.
16 / 32
Integrálszámítás
Elemi függvények integrálása
√
ax 2 + bx + c alakú függvények integrálása
Ezek az integrálok alkalmas helyettesítéssel a
p
p
1 − t2
1 + t2
p
t2 − 1
˝ vissza. függvények valamelyikének integrálására vezethetok Példa:
Z p
x2
+ 2x + 5 dx =
Z p
x 2 + 2x + 1 + 4 dx =
s !2 Z q Z x +1 2 (x + 1) + 4 dx = 2 dx = = 1+ 2 Z p Z p =2 1 + t 2 2 dt = 4 1 + t 2 dt ahol t =
x +1 2
⇒ x = 2t − 1 ⇒ dx = 2 dt
Vajda István (Óbudai Egyetem)
˝ Analízis eloadások
2013. február 10.
17 / 32
Integrálszámítás
Elemi függvények integrálása
√
ax 2 + bx + c alakú függvények integrálása
Ezek az integrálok alkalmas helyettesítéssel a
p
p
1 − t2
1 + t2
p
t2 − 1
˝ vissza. függvények valamelyikének integrálására vezethetok Példa:
Z p
x2
+ 2x + 5 dx =
Z p
x 2 + 2x + 1 + 4 dx =
s !2 Z q Z x +1 2 (x + 1) + 4 dx = 2 dx = = 1+ 2 Z p Z p =2 1 + t 2 2 dt = 4 1 + t 2 dt ahol t =
x +1 2
⇒ x = 2t − 1 ⇒ dx = 2 dt
Vajda István (Óbudai Egyetem)
˝ Analízis eloadások
2013. február 10.
17 / 32
Integrálszámítás
Elemi függvények integrálása
√
1 − t 2 függvény integrálása
Az
Mivel csak valósh értékiu˝ függvényekkel foglalkozunk, t ∈ [−1, 1]. Legyen t = sin(ϕ), ϕ ∈ − 2π , 2π .
√
Ekkor dt dϕ
q
1 − sin2 (ϕ) = cos(ϕ), ϕ = arcsin(t ) továbbá
1 − t2 =
= cos(ϕ) ⇒ dt = cos(ϕ) dϕ.
Z p
1 + cos(2ϕ) dϕ = dt = cos (ϕ) dϕ = 2 ! Z cos(2ϕ) sin(2ϕ) 1 1 = + dϕ = ϕ + +C = 2 2 2 4 √ sin(ϕ) cos(ϕ) 1 1 t 1 − t2 = ϕ+ + C = arcsin(t ) + +C
Z
1−
t2
Z
2
2
Vajda István (Óbudai Egyetem)
2
2
˝ Analízis eloadások
2
2013. február 10.
18 / 32
Integrálszámítás
Elemi függvények integrálása
√ Az
1 + t 2 függvény integrálása √
Legyen t = sh(u). Ekkor továbbá
Z p
dt du
1+
=
1 + sh2 (u) = ch(u), u = arsh(t )
= ch(u) ⇒ dt = ch(u) du. Z
1+
q t2
t2
Z
ch(2u) + 1 dt = ch (u) du = du = 2 ! Z ch(2u) sh(2u) 1 1 = du = + + u+C = 2 2 4 2 √ sh(u) ch(u) 1 t 1 + t2 1 + u+C = + arsh(t ) + C = 2
2
Vajda István (Óbudai Egyetem)
2
˝ Analízis eloadások
2
2
2013. február 10.
19 / 32
Integrálszámítás
Elemi függvények integrálása
√ Az
t 2 − 1 függvény integrálása √
Legyen t = ch(u). Ekkor továbbá
Z p
dt du
q t2
−1=
ch2 (u) − 1 = sh(u), u = arch(t )
= sh(u) ⇒ dt = sh(u) du. Z
t 2 − 1 dt =
Z =
Z
ch(2u) − 1 du = 2 ! sh(2u) 1 ch(2u) 1 du = − − u+C = 2 2 4 2 sh2 (u) du =
√
sh(u) ch(u) 1 t = − u+C = 2 2
Vajda István (Óbudai Egyetem)
˝ Analízis eloadások
t2 − 1 1 − arch(t ) + C 2 2
2013. február 10.
20 / 32
Integrálszámítás
1
√
ax 2 + bx + c
Elemi függvények integrálása
alakú függvények integrálása
Ezek az integrálok alkalmas helyettesítéssel a
√
1
1
√
1 − t2
√
t2
1+
1
t2 − 1
˝ vissza, ezek pedig függvények valamelyikének integrálására vezethetok alapintegrálok. Példa:
Z √
4x 2
1
− 4x + 10
Z
=
Vajda István (Óbudai Egyetem)
1
dx = q (2x − 1)2 + 9
dx = 1 3
Z
1
q 1+
1
dx = 2 arsh 2x −1 2
˝ Analízis eloadások
2x − 1 +C 3
3
2013. február 10.
21 / 32
Integrálszámítás
1
√
ax 2 + bx + c
Elemi függvények integrálása
alakú függvények integrálása
Ezek az integrálok alkalmas helyettesítéssel a
√
1
1
√
1 − t2
√
t2
1+
1
t2 − 1
˝ vissza, ezek pedig függvények valamelyikének integrálására vezethetok alapintegrálok. Példa:
Z √
4x 2
1
− 4x + 10
Z
=
Vajda István (Óbudai Egyetem)
1
dx = q (2x − 1)2 + 9
dx = 1 3
Z
1
q 1+
1
dx = 2 arsh 2x −1 2
˝ Analízis eloadások
2x − 1 +C 3
3
2013. február 10.
21 / 32
Integrálszámítás
Az R
Elemi függvények integrálása
√ m
x alakú függvények integrálása √
Ha R racionális törtfüggvény és g (x ) = m x, akkor az R ◦ g összetett függvényt x = t m helyettesítéssel oldhatjuk meg. Példa:
Z
x+
√
√
x +2
x +1
Z =
Z dx =
t2 + t + 2 2t dt = t +1
2t 3 + 2t 2 + 4t dt = t +1
Z 2
2t + 4 −
√
4 t +1
! dt =
√ √ 2t 3 2x x = + 4t − 4 ln |t + 1| + C = + 4 x − 4 ln x + 1 + C 3 3 A
√
x = t helyettesítést alkalmaztuk, x = t 2 ⇒
Vajda István (Óbudai Egyetem)
˝ Analízis eloadások
dx dt
= 2t ⇒ dx = 2t dt.
2013. február 10.
22 / 32
Integrálszámítás
Az R
Elemi függvények integrálása
√ m
x alakú függvények integrálása √
Ha R racionális törtfüggvény és g (x ) = m x, akkor az R ◦ g összetett függvényt x = t m helyettesítéssel oldhatjuk meg. Példa:
Z
x+
√
√
x +2
x +1
Z =
Z dx =
t2 + t + 2 2t dt = t +1
2t 3 + 2t 2 + 4t dt = t +1
Z 2
2t + 4 −
√
4 t +1
! dt =
√ √ 2t 3 2x x = + 4t − 4 ln |t + 1| + C = + 4 x − 4 ln x + 1 + C 3 3 A
√
x = t helyettesítést alkalmaztuk, x = t 2 ⇒
Vajda István (Óbudai Egyetem)
˝ Analízis eloadások
dx dt
= 2t ⇒ dx = 2t dt.
2013. február 10.
22 / 32
Integrálszámítás
Elemi függvények integrálása
sinn (x ) cos(x ), illetve cosn (x ) sin(x ) alakú függvények integrálása sinn+1 (x ) +C n+1 Z cosn+1 (x ) +C cosn (x ) sin(x ) dx = − n+1
Z
sinn (x ) cos(x ) dx =
Felhasználtuk:
Z
f α (x ) f 0 (x ) dx =
f α+1 (x ) +C α+1
Példa:
Z sin4 (x ) cos(x ) dx = Vajda István (Óbudai Egyetem)
˝ Analízis eloadások
α , −1
sin5 (x ) +C 5 2013. február 10.
23 / 32
Integrálszámítás
Elemi függvények integrálása
sinn (x ) cos(x ), illetve cosn (x ) sin(x ) alakú függvények integrálása sinn+1 (x ) +C n+1 Z cosn+1 (x ) +C cosn (x ) sin(x ) dx = − n+1
Z
sinn (x ) cos(x ) dx =
Felhasználtuk:
Z
f α (x ) f 0 (x ) dx =
f α+1 (x ) +C α+1
Példa:
Z sin4 (x ) cos(x ) dx = Vajda István (Óbudai Egyetem)
˝ Analízis eloadások
α , −1
sin5 (x ) +C 5 2013. február 10.
23 / 32
Integrálszámítás
Elemi függvények integrálása
sinn (x ) cos(x ), illetve cosn (x ) sin(x ) alakú függvények integrálása sinn+1 (x ) +C n+1 Z cosn+1 (x ) +C cosn (x ) sin(x ) dx = − n+1
Z
sinn (x ) cos(x ) dx =
Felhasználtuk:
Z
f α (x ) f 0 (x ) dx =
f α+1 (x ) +C α+1
Példa:
Z sin4 (x ) cos(x ) dx = Vajda István (Óbudai Egyetem)
˝ Analízis eloadások
α , −1
sin5 (x ) +C 5 2013. február 10.
23 / 32
Integrálszámítás
Elemi függvények integrálása
sin2n+1 (x ), illetve cos2n+1 (x ) alakú függvények integrálása Alkalmazzuk a következo˝ átalakítást:
n
sin2n+1 (x ) = sin2n (x ) sin(x ) = 1 − cos2 (x )
sin(x )
n
A 1 − cos2 (x ) kifejezés a cos(x ) egy polinomja. Az integrandus ˝ oleg ˝ tagonként integrálható az eloz ismertetett módszerrel. Példa: Z
Z
sin5 (x ) dx =
=
Z
sin4 (x ) sin(x ) dx =
Z 2 1 − cos2 (x ) sin(x ) dx =
1 − 2 cos2 (x ) + cos4 (x ) sin(x ) dx = − cos(x )+
2 cos3 (x ) cos5 (x ) − +C 3 5
Hasonló átalakítást alkalmazunk a másik integrandus esetén is. Vajda István (Óbudai Egyetem)
˝ Analízis eloadások
2013. február 10.
24 / 32
Integrálszámítás
Elemi függvények integrálása
sin2n+1 (x ), illetve cos2n+1 (x ) alakú függvények integrálása Alkalmazzuk a következo˝ átalakítást:
n
sin2n+1 (x ) = sin2n (x ) sin(x ) = 1 − cos2 (x )
sin(x )
n
A 1 − cos2 (x ) kifejezés a cos(x ) egy polinomja. Az integrandus ˝ oleg ˝ tagonként integrálható az eloz ismertetett módszerrel. Példa: Z
Z
sin5 (x ) dx =
=
Z
sin4 (x ) sin(x ) dx =
Z 2 1 − cos2 (x ) sin(x ) dx =
1 − 2 cos2 (x ) + cos4 (x ) sin(x ) dx = − cos(x )+
2 cos3 (x ) cos5 (x ) − +C 3 5
Hasonló átalakítást alkalmazunk a másik integrandus esetén is. Vajda István (Óbudai Egyetem)
˝ Analízis eloadások
2013. február 10.
24 / 32
Integrálszámítás
Elemi függvények integrálása
sin2n+1 (x ), illetve cos2n+1 (x ) alakú függvények integrálása Alkalmazzuk a következo˝ átalakítást:
n
sin2n+1 (x ) = sin2n (x ) sin(x ) = 1 − cos2 (x )
sin(x )
n
A 1 − cos2 (x ) kifejezés a cos(x ) egy polinomja. Az integrandus ˝ oleg ˝ tagonként integrálható az eloz ismertetett módszerrel. Példa: Z
Z
sin5 (x ) dx =
=
Z
sin4 (x ) sin(x ) dx =
Z 2 1 − cos2 (x ) sin(x ) dx =
1 − 2 cos2 (x ) + cos4 (x ) sin(x ) dx = − cos(x )+
2 cos3 (x ) cos5 (x ) − +C 3 5
Hasonló átalakítást alkalmazunk a másik integrandus esetén is. Vajda István (Óbudai Egyetem)
˝ Analízis eloadások
2013. február 10.
24 / 32
Integrálszámítás
Elemi függvények integrálása
sin2n (x ), illetve cos2n (x ) alakú függvények integrálása
Az integrandust az alábbi ún. linearizáló formulák segítségével olyan kifejezéssé alakíthatjuk, amelyben a trigonometrikus tagok fokszáma kisebb: cos2 (α) =
1 + cos(2α) 2
sin2 (α) =
1 − cos(2α) 2
A linearizáló formulák alkalmazását addig ismételjük, amíg minden tag integrálható lesz a korábban ismertetett módszerek valamelyikével.
Vajda István (Óbudai Egyetem)
˝ Analízis eloadások
2013. február 10.
25 / 32
Integrálszámítás
Elemi függvények integrálása
sin2n (x ), illetve cos2n (x ) alakú függvények integrálása
Példa:
Z
Z 4
cos (x ) dx =
= 1 = 4
Vajda István (Óbudai Egyetem)
1 4
Z
1 + cos(2x ) 2
Z
!2 dx =
1 + 2 cos(2x ) + cos2 (2x ) dx =
!
1 + cos(4x ) 1 + 2 cos(2x ) + dx = 2 3 1 1 = x + sin(2x ) + sin(4x ) + C 8 4 32
˝ Analízis eloadások
2013. február 10.
26 / 32
Integrálszámítás
Elemi függvények integrálása
sin2n (x ), illetve cos2n (x ) alakú függvények integrálása
Példa:
Z
Z 6
sin (x ) dx =
= 1 = 8
Z
1 8
Z
1 − cos(2x ) 2
!3 dx =
1 − 3 cos(2x ) + 3 cos2 (2x ) − cos3 (2x ) dx =
!
3 1 − 3 cos(2x ) + (1 + cos(4x )) − 1 − sin2 (2x ) cos(2x ) dx = 2 5 1 3 1 = x − sin(2x ) + sin(4x ) + sin3 (2x ) + C 16 4 64 48
Vajda István (Óbudai Egyetem)
˝ Analízis eloadások
2013. február 10.
27 / 32
Integrálszámítás
Elemi függvények integrálása
tgn (x ), illetve ctgn (x ) alakú függvények integrálása
˝ Eloször vizsgáljuk az n = 1 esetet:
Z
Z tg(x ) dx =
illetve
Z
sin(x ) dx = − ln cos(x ) + C , cos(x ) Z
ctg(x ) dx = Mindkét esetben a
Z
cos(x ) dx = ln sin(x ) + C sin(x )
f 0 (x ) dx = ln f (x ) + C f (x )
szabályt alkalmaztuk.
Vajda István (Óbudai Egyetem)
˝ Analízis eloadások
2013. február 10.
28 / 32
Integrálszámítás
Elemi függvények integrálása
tgn (x ) alakú függvények integrálása
Z
Z n
tg (x ) dx =
Z n −2
=
tg
Z tgn−2 (x ) ·
=
(x ) ·
Z n −2
tg
tgn−2 (x ) ·
2
(x ) tg (x ) dx =
1 − cos2 (x ) cos2 (x )
1 dx − cos2 (x )
Z dx =
tgn−2 (x )
Z tgn−2 (x ) dx =
sin2 (x )
dx = ! − 1 dx =
cos2 (x )
1 cos2 (x )
tgn−1 (x ) − n−1
Z tgn−2 (x ) dx
Példa:
Z
tg3 (x ) tg (x ) dx = − tg2 (x ) dx = 3 Z tg3 (x ) tg3 (x ) = − tg(x ) + 1 dx = − tg(x ) + x + C 3 3
Z
4
Vajda István (Óbudai Egyetem)
˝ Analízis eloadások
2013. február 10.
29 / 32
Integrálszámítás
Elemi függvények integrálása
tgn (x ) alakú függvények integrálása
Z
Z n
tg (x ) dx =
Z n −2
=
tg
Z tgn−2 (x ) ·
=
(x ) ·
Z n −2
tg
tgn−2 (x ) ·
2
(x ) tg (x ) dx =
1 − cos2 (x ) cos2 (x )
1 dx − cos2 (x )
Z dx =
tgn−2 (x )
Z tgn−2 (x ) dx =
sin2 (x )
dx = ! − 1 dx =
cos2 (x )
1 cos2 (x )
tgn−1 (x ) − n−1
Z tgn−2 (x ) dx
Példa:
Z
tg3 (x ) tg (x ) dx = − tg2 (x ) dx = 3 Z tg3 (x ) tg3 (x ) = − tg(x ) + 1 dx = − tg(x ) + x + C 3 3
Z
4
Vajda István (Óbudai Egyetem)
˝ Analízis eloadások
2013. február 10.
29 / 32
Integrálszámítás
Elemi függvények integrálása
ctgn (x ) alakú függvények integrálása Z
Z
Z n −2
=
ctg
Z n −2
=
ctg
Z ctgn−2 (x ) ctg2 (x ) dx =
ctgn (x ) dx =
(x ) ·
1 − sin2 (x ) sin2 (x )
ctgn−2 (x ) ·
Z dx =
n −2
ctg
(x )
cos2 (x ) sin2 (x )
dx =
!
1 sin2 (x )
− 1 dx =
Z Z ctgn−1 (x ) n −2 (x )· 2 dx − ctg (x ) dx = − − ctgn−2 (x ) dx n−1 sin (x ) 1
Példa:
Z
ctg2 (x ) ctg (x ) dx = − − 2 3
Z ctg(x ) dx =
=− Vajda István (Óbudai Egyetem)
˝ Analízis eloadások
ctg2 (x ) − ln sin(x ) + C 2 2013. február 10.
30 / 32
Integrálszámítás
Elemi függvények integrálása
ctgn (x ) alakú függvények integrálása Z
Z
Z n −2
=
ctg
Z n −2
=
ctg
Z ctgn−2 (x ) ctg2 (x ) dx =
ctgn (x ) dx =
(x ) ·
1 − sin2 (x ) sin2 (x )
ctgn−2 (x ) ·
Z dx =
n −2
ctg
(x )
cos2 (x ) sin2 (x )
dx =
!
1 sin2 (x )
− 1 dx =
Z Z ctgn−1 (x ) n −2 (x )· 2 dx − ctg (x ) dx = − − ctgn−2 (x ) dx n−1 sin (x ) 1
Példa:
Z
ctg2 (x ) ctg (x ) dx = − − 2 3
Z ctg(x ) dx =
=− Vajda István (Óbudai Egyetem)
˝ Analízis eloadások
ctg2 (x ) − ln sin(x ) + C 2 2013. február 10.
30 / 32
Integrálszámítás
Elemi függvények integrálása
Trigonometrikus kifejezések racionális függvényeinek integrálása t = tg
x 2
helyettesítéssel.
Ekkor x = 2 arctg(t ) ⇒ dx = sin(x ) =
2t 1+t
, cos(x ) = 2
2 1 + t2
dt.
1 − t2 . 1 + t2
Példa:
Z
1 dx = sin(x )
Z
1 2t 1+ t 2
·
2 1 + t2
dt = Z
=
Vajda István (Óbudai Egyetem)
x 1 +C dt = ln |t | + C = ln tg t 2
˝ Analízis eloadások
2013. február 10.
31 / 32
Integrálszámítás
Elemi függvények integrálása
Trigonometrikus kifejezések racionális függvényeinek integrálása t = tg
x 2
helyettesítéssel.
Ekkor x = 2 arctg(t ) ⇒ dx = sin(x ) =
2t 1+t
, cos(x ) = 2
2 1 + t2
dt.
1 − t2 . 1 + t2
Példa:
Z
1 dx = sin(x )
Z
1 2t 1+ t 2
·
2 1 + t2
dt = Z
=
Vajda István (Óbudai Egyetem)
x 1 +C dt = ln |t | + C = ln tg t 2
˝ Analízis eloadások
2013. február 10.
31 / 32
Integrálszámítás
Elemi függvények integrálása
Exponenciális kifejezések racionális függvényeinek integrálása t = e x helyettesítéssel. Ekkor x = ln(t ) ⇒ dx = Példa:
Z
2e x − 1 dx = e 2x + 1
1 dt. t
Z
2t − 1 1 · dt = 1 + t2 t ! Z 2 1 t = − + dt = t 1 + t2 1 + t2 1 = 2 arctg(t ) − ln |t | + ln 1 + t 2 + C = 2 1 = 2 arctg (e x ) − x + ln 1 + e 2x + C 2
Vajda István (Óbudai Egyetem)
˝ Analízis eloadások
2013. február 10.
32 / 32
Integrálszámítás
Elemi függvények integrálása
Exponenciális kifejezések racionális függvényeinek integrálása t = e x helyettesítéssel. Ekkor x = ln(t ) ⇒ dx = Példa:
Z
2e x − 1 dx = e 2x + 1
1 dt. t
Z
2t − 1 1 · dt = 1 + t2 t ! Z 2 1 t = − + dt = t 1 + t2 1 + t2 1 = 2 arctg(t ) − ln |t | + ln 1 + t 2 + C = 2 1 = 2 arctg (e x ) − x + ln 1 + e 2x + C 2
Vajda István (Óbudai Egyetem)
˝ Analízis eloadások
2013. február 10.
32 / 32