Alapfogalmak 1. Matematika: bizonyos szerkezetu˝ kijelento˝ mondatok. (1) Kijelent˝ o mondatok Na´ıvan azt gondoln´ank, hogy minden kijelent˝o mondat vagy igaz, vagy hamis. (Azaz, ha k´erd˝o mondatt´a fogalmazzuk ´at, akkor - legal´abbis elvben - lehet r´a igennel vagy nemmel v´alaszolni.) DE ez a a feloszt´as nem j´o. ´ertelmetlen ←→ ´ertelmes ´ • Ertelmetlen (a) Szintaktikailag (formai) hib´as Nem nem Te hat ´ora, Te se magyar besz´elni kicsi. (b) Szemantikailag (tartalmilag) hib´as Pl. A p˝o, ha engem´ely kim´ar De mindegegy ha vildag´ar, Mert engem´ely minder bagul, Mint v´elgaban a b´egah´ ur. (Karinthy Frigyes: “Mint v´elgaban”)
Ez az eg´esz persze nem kijelent˝o mondat (honnan tudjuk ?!!, azt azonban tudjuk, hogy vers ´es a k¨olt˝o szomor´ u) ´es p´eld´aul a k¨ovetke˝o p´elda az u ´n. elhallgatott presuppositiora sem az: Rend˝ors´egi kihallgat´as: Igennel vagy nemmel v´alaszoljon! M´eg mindig veri a feles´eg´et? de a m´asik kedvencem az: A cosinus t´etelnek paprik´ascsirke illata van. Sokan ide sorolj´ak a h´ıres Hazug paradoxon-t is: ´ most hazudok. En Ugyanis ez nem lehet sem igaz, sem hamis. Meglep˝o m´odon - amint majd l´atni fogjuk - ezzel a k´erd´esk¨orrel kapcsolatos a k¨ovetkez˝o rejtv´enysorozat: Bomb´az´os rejtv´eny 1. ´ • Ertelmes Ezek val´aban lehetnek igazak ill. hamisak. Az igazi feladat teh´at ilyen mondatokat mondani, vagy u ´gy k´erdezni, hogy ilyen v´alasz adhat´o legyen. Vizsg´an l´enyeg´eben nem ´erdekel, ´rtelmes hogy a hallgat´o v´alasza j´o-e vagy rossz (igaz-e vagy hamis), igaz´an csak az e ´n m´ legyen. Ez pedig a szerkezete ulik. (2) Matematikai kijelent´ esek szerkezete Olyan mondatok, melyekben (el˝oz˝oekben m´ar defini´alt) matematikai objektumok, tulajdons´agok stb. (pl. sz´am, halmaz, f¨ uggv´eny, p´aros, kisebb, ¨osszeg, eleme, oszthat´o ´ stb.) ´es u ´n. logikai konnektıvumok (´es, vagy, ha ... akkor, stb.) szerepelnek. Ezeket persze sokszor szimb´olumaik seg´ıts´eg´evel szerepeltetj¨ uk (a matematik´aban szok´asos nyel-
1
vet, mely magyar sz¨oveg ´es szimb´olumok saj´atos elegye, “matematikai magyarnak” is nevezhetj¨ uk. Pl. kett˝o meg h´arom helyett persze 2+3-at ´ırunk stb. ) Ami u ´j, hogy a logikai konnekt´ıvumokra is szimb´olumokat vezet¨ unk be, mert ahogy a “(2 meg 3)-szor 5”-n´el ´attekinthet˝obb a “(2+3)·5”, ugyanez igaz a logikai konnekt´ıvumokra is. Ezek szimb´olumai: ¬, ∨ , ∧, =⇒, ⇐⇒ , ∀ , ∃ • P´ elda Teljes indukci´o (ω a term. sz´amok, ∈ az “eleme” rel´aci´o), HF: 6|n3 + 5n B´armely a term´eszetes sz´amokon ´ertelezett p tulajdons´ag eset´en p(0) ∧ (∀n ∈ ω)[p(n) ⇒ p(n + 1)] =⇒ (∀n ∈ ω)p(n)
2. Alapvet˝ o matematikai objektumok (1) HALMAZOK • Speci´ alis sz´ amhalmazok: ω (N), Z, Q, R, C • Halmazrel´ aci´ ok, -m˝ uveletek : ∅, ∈, =, ⊆, ∩, ∪, , \ . • Jel¨ ol´ es: Ha p(x) azt jel¨oli, hogy x p tulajdons´ag´ u (p´eld´aul p(x) azt jel¨olheti, hogy “x p´aros”, vagy “x kisebb, mint 2”), akkor a H halmaz p tulajdons´ag´ u elemeinek halmaz´at ´ıgy jel¨olj¨ uk: {x ∈ H : p(x)}. P´eld´aul a p´aros term´eszetes sz´amok halmaza (a|b annak szimb´olikus jel¨ol´ese, hogy b oszthat´o a-val): {x ∈ ω : 2|x}. • Jel¨ ol´ es: Adott A halmaz rendezett p´arjaib´ol (n-eseib˝ol) alkotott halmaz: 2 A $ {(a, b) : a, b ∈ A}, An $ {(a1 , a2 , . . . , an ) : ai ∈ A}, n ∈ ω • P´ eld´ ak
E = emberek halmaza, H´azasp´arok = H ⊆ E 2 , • S´ ık pontjainak halmaz´anak jellemz´ese koordin´ata-p´arokkal, F¨old fel¨ ulet´enek jellemz´ese sz´eless´egi-hossz´ us´agi koordin´atap´arokkal.
•
¨ ´ (2) FUGGV ENYEK (a) Defin´ıci´ o Szinon´ım´ak: hozz´arendel´es, lek´epez´es, megfeleletet´es, transzform´aci´o, oper´aci´o (ut´obbi kett˝ot ink´abb speci´alis esetekben haszn´aljuk, pl. a t¨ ukr¨oz´es geometriai transzform´aci´o). f(x)
f
B
H A
Rg f x
f*H
Do f
2
Jel¨ol´es: f : A −→ B. Do f = A, Rg f ⊆ B. F¨ uggv´enyekkel m´ar tal´alkoztunk, azok ´altal´aban sz´amhalmazok k¨oz¨ott m˝ uk¨odtek. De f¨ uggv´eny lehet ak´armit ak´armihez rendel˝o megfeleltet´es: • P´ eld´ ak: (nem val´os f¨ uggv´enyekre) emberek ←→ nevek
magyar szavak ←→ angol szavak
emberek ←→ telefonsz´amok
Sorozatok: (1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, . . .), a : ω −→ Q, m´egpedig an = 1/n tetsz. n ∈ ω. (1, 1, 2, 720, . . .), a : ω −→ ω, an =? Majd l´atni fogunk p´eld´aul f¨ uggv´enyeken ´ertelmezett f¨ uggv´enyeket is. • Szeml´ eltet´ es: Val´os esetben f¨ uggv´ eny gr´ afja: G(f ) = {(x, y) ∈ R2 : f (x) = y} = {(x, f (x)) : x ∈ Do(f )} 4
2
3
y
y
1
2
1
0
2
4
6
8
10
–4
12
–3
–2
–1
1
2
3
4
x
x –1
–1
–2
–2
–4
–3
• K´ erd´ es: Lehet-e k¨or egy f¨ uggv´eny gr´afja ? (Egy´ertelm˝ us´eg) (b) Halmaz f¨ uggv´ eny szerinti k´ epe f ∗ H $ {y ∈ B : (∃x ∈ H)f (x) = y} minden H ⊆ Do f -re • P´ eld´ ak Fenti f¨ uggv´enyek ´es ismert matematikai f¨ uggv´enyek eet´en. p Pl. ember-n´ev eset´en fi´ unevek, f (x) = sin x, H = [π/6, π/3] ; f ∗ H = [1/2, 3/2]. ¨ (c) Oszetett f¨ uggv´ eny, f¨ uggv´ eny kompoz´ıci´ o g : A −→ B, f : C −→ D, C ⊆ Rg f . (f ◦ g)(x) $ f (g(x)), x ∈ A • P´ eld´ ak •
Ha van magyar-angol ´es angol-szuha´eli sz´ot´aram, akkor van magyar-szuha´eli sz´ot´aram,
Egyszer˝ u f¨ uggv´enyekb˝ol nagyon egyszer˝ uen lehet rendel´esre mindenf´ele ˝or¨ ult f¨ uggv´enyeket csin´alni: •
f (x) = sin x, g(x) = 1/x, (f ◦ g)(x) = sin 1/x. 1
1
0.8
0.8
0.6
0.6
y
y 0.4
0.4
0.2
–0.4
–0.2
0.2
0.2 –0.2
0.4 x
0 –0.2
–0.4
–0.4
–0.6
–0.6
–0.8
–0.8
–1
–1
3
0.1
0.2
0.3 x
0.4
0.5
(d) Invert´ alhat´ os´ ag Egyik legalapvet˝obb tulajdons´ag, hogy fenn´all-e egy adott H ⊆ Do f halmazon, hogy (∀x, y ∈ H)(x 6= y =⇒ f (x) 6= f (y)) vagyis, hogy f H-n u ´n. k¨ olcs¨ on¨ osen egy´ ertelm˝ u f¨ uggv´eny-e. (El˝oz˝o ´abr´an legals´o ny´ıl nincs.) Ha igen, azt mondjuk, hogy f invert´ alhat´ o, azaz l´etezik az inverze. • Inverz f¨ uggv´ eny (Egy adott halmazon) (Megford´ıtott nyilak=visszafele f¨ uggv´eny) ∗ Ha f invert´alhat´o H ⊆ Do f -en, akkor f inverze H-n az a g : f H −→ H f¨ uggv´eny, melyre g(f (x)) = x minden x ∈ H. Ez a f¨ uggv´eny minden y-hoz azt az x-et rendeli, amelyikhez f az y-t rendelte. Jel¨ ol´ es: f −1 . • P´ eld´ aul: sz´ot´arak, telefonk¨onyvek, k´epletgy¨ ujtem´eny eset´en: m´asik sz´ot´ar, tudakoz´o, ?? −→ ez´ert kell a k´epleteket memoriz´alni !! f (x) = x + 2
;
;
y =x+2
x=y−2
;
f −1 (y) = y − 2
;
f −1 (x) = x − 2
Nem mindig “fejezhet˝o ki” ilyen egyszer˝oen. f (x) = x2 √ . Csak nem negat´ıvakra (vagy nem pozit´ıvakra egy-egy ´ertelm˝ u, itt defin´ıci´ oval: f −1 (x) = x. Inverz gr´afja. 4
3
2 3
y 1
y 2
0
1
2
3
4
x –1
1
–2
–3
–2
–1
0
1
2
3
x
–3
´ ıt´ All´ as f −1 (f (x)) = x (x ∈ H), f (f −1 (y)) = y (y ∈ f ∗ H), −1
(f −1 )
=f
(f ◦ g)−1 = g −1 ◦ f −1 ´ (3) RENDEZES
R¨ogz´ıtj¨ uk a m´ar j´ol ismert < ill. ≤ tulajdons´agait, melyeket haszn´alni fogunk ´es egy kicsit a´ltal´anos´ıtjuk is, hogy ne csak sz´amok k¨oz¨otti ¨osszehasonl´ıt´ast tudjunk v´egezni. (a) Defin´ıci´ o •
Az (A, <) rendezett halmaz (ill. < rendez´ es A-n) ha (i) a 6< a minden a ∈ A-ra (irreflex´ıv) (ii) a < b ∧ b < c =⇒ a < c minden a, b, c ∈ A-ra (tranzit´ıv)
•
a≤b$a
• P´ eld´ aul a nagys´agszerinti rendez´es ω-n vagy R-en, ω-n az oszthat´os´ag, a szigor´ u tartalmaz´as (A ⊂ B $ A ⊆ B ∧ A 6= B) a halmazok k¨oz¨ott. Egy rendez´es line´ aris (vagy trichotom) ha minden k´et elem ¨osszehasonl´ıthat´o (a halmazok tartalmaz´asa vagy ω-n az oszthat´os´ag nem ilyen): a < b ∨ a = b ∨ a > b (azaz a ≤ b ∨ b ≤ a) minden a, b ∈ A-ra. 4
´ ıt´ All´ as (i) < aszimmetrikus, azaz a < b ⇒ b 6< a
(ii) a < b
;
a 6= b
Bizony´ıt´ as. Indirekt: (i) Tranzitivit´assal a < b ∧ b < a ⇒ a < a, ami ellentmond az irreflexivit´asnak. (ii) a < b ∧ a = b ; a < a, ami ellentmond az irreflexivit´asnak. H´ azi feladat Bizony´ıtsuk be, hogy (i) ≤ reflex´ıv ´es antiszimmetrikus, azaz a ≤ a ´es a ≤ b ∧ b ≤ a =⇒ a = b (ii) line´aris rendez´es eset´en az a < b, a = b, b < a esetek k¨oz¨ ul pontosan az egyik ´all fenn. (b) Speci´ alis r´ eszhalmazok
• Intervallum: (A, <), rendezett a, b ∈ A, a < b eset´en: (a, b) $ {x ∈ A : a < x < b}, [a, b] $ {x ∈ A : a ≤ x ≤ b}, (∞, a] $ {x ∈ A : x ≤ a} . . . (f´ elig) ny´ılt, z´ art (fel¨ ulr´ ol, alulr´ ol) korl´ atos . . .
• Korl´atoss´ag (Fenti ´altal´anos´ıt´asa) Defin´ıci´ o Legyen (A, <) rendezett halmaz, H ⊆ A. H fel¨ ulr˝ ol (alulr´ ol) korl´ atos ha (∃K ∈ A)(∀x ∈ H)(x ≤ K) (x ≥ K) . • H korl´ atos ha fel¨ ulr˝ol ´es alulr´ol is az (R-en ez ekvivalens: (∃K ∈ R)(∀x ∈ H)(|x| ≤ K)) . • h H supr´ emuma (infimuma) (sup H, inf H) ha h legkisebb fels˝o (als´o) korl´at, azaz •
- h fels˝o (als´o) korl´at - K fels˝o (als´o) korl´at
;
h ≤ K(x ≥ K) .
Nyilv´an csak fel¨ ulr˝ol (alulr´ol) korl´atos halmaznak van supr´emuma (infimuma). P´ elda (6 eset: 2 helyre v´alaszthatunk: 1. helyre 4 f´el´et (∃K/x, ∀K/x), 2. helyre m´ar csak 2 f´el´et (K-hoz x kell ill. ford´ıtva) ´es a k´et ekvivalenset ki kell vonni: 4 · 2 − 2 = 6) Legyen H ⊆ R tetsz˝oleges. Mit tudunk H-r´ol, ha • • • • • •
(∃K > 0)(∃x ∈ H)(|x| ≤ K) : (∀K > 0)(∀x ∈ H)(|x| ≤ K) : (∃x ∈ H)(∀K > 0)(|x| ≤ K) : (∀K > 0)(∃x ∈ H)(|x| ≤ K) : (∃K > 0)(∀x ∈ H)(|x| ≤ K) : (∀x ∈ H)(∃K > 0)(|x| ≤ K) :
H 6= ∅ H ⊆ {0} 0∈H inf H = 0 H korl´atos H tetsz˝oleges
P´ elda Olyan fel¨ ulr˝ol korl´atos halmazra, melynek NINCS supr´emuma: A $ {x ∈ Q : x = ±1/n}, H $ {x ∈ Q : x = −1/n}. Ekkor G $ {x ∈ Q : x = 1/n} minden eleme fels˝o korl´atja H-nak, de ezek k¨oz¨ott nincsen legkisebb. (c) F¨ uggv´ enyek ´ es rendez´ es Defin´ıci´ o Legyen (A, <), (B, <) rendezett halmazok, D ⊆ A, f : D −→ B , H ⊆ D.
5
•
•
• •
f (szigor˝ uan ) (monoton) n¨ ov˝ o (cs¨ okken˝ o) H-n ha minden x, y ∈ H eset´en x ≤ y ; f (x) ≤ f (y), (f (x) ≥ f (y)) (f (x) < f (y), f (x) ≥ f (y)). f fel¨ ulr˝ ol (alulr´ ol) korl´ atos H-n ha f ∗ H az. (azaz (∃K ∈ B)(∀x ∈ H)(f (x) ≤ K) (f (x) ≥ K) . f korl´ atos H-n ha fel¨ ulr˝ol ´es alulr´ol is az. ∗ supx∈H f (x) $ sup f H, inf x∈H f (x) $ inf f ∗ H .
Ha van x ∈ H, hogy f (x) = supx∈H f (x) (f (x) = inf x∈H f (x)), akkor felveszi a supr´ emum´ at (infimum´ at) H-n, ez a maximuma (minimuma) H-n.
•
Nyilv´an csak adott halmazon fel¨ ulr˝ol (alulr´ol) korl´atos f¨ uggv´enynek van itt supr´emuma (infimuma). P´ elda Ide´alis esetben ceteris paribus (= ha az egyebek egyenl˝ok) a lak´as ´ar a lak´as alapter¨ ulet f¨ uggv´eny´eben n˝o, a l´egnyomas a tengerszint feletti magass´aggal cs¨okken. • Legyen R-en c < 0, f (x) $ x + c, g(x) $ c · x. Ekkor tudjuk, hogy f monoton n˝ o, g pedig monoton cs¨okken. •
P´ elda R-en: f (x) = 1/x 4
3
y
2
1
–4
–3
–2
–1
1
2
3
4
x –1
–2
–3
–4
• •
inf x∈(0,1) f (x) = inf x∈(0,1] f (x) = 1 el¨obbin nem, ut´obbin felveszi 6 ∃ supx∈(0,1) f (x), supx∈(0,1] f (x) mert fel¨ ulr˝ol nem korl´atos
•
6 ∃ inf x∈(−1,0) f (x), inf x∈[−1,0) f (x) mert alulr´ol nem korl´atos supx∈(−1,0) f (x) = supx∈[−1,0) f (x) = −1 el¨obbin nem, ut´obbin felveszi
•
inf x∈(1,2) f (x) = inf x∈[1,2] f (x) = 1/2 el¨obbin nem, ut´obbin felveszi
•
supx∈(1,2) f (x) = supx∈[1,2] f (x) = 1 el¨obbin nem, ut´obbin felveszi
•
inf x∈(1,∞) f (x) = inf x∈[1,∞] f (x) = 0 egyiken sem veszi fel
•
supx∈(1,∞) f (x) = supx∈[1,∞] f (x) = 1 el¨obbin nem, ut´obbin felveszi
•
´ ıt´ All´ as Ha f : A −→ B szigor´ uan monoton f¨ uggv´eny, A ´es B line´arisan rendezett halmazok, akkor invert´alhat´o ´es f inverze ugyanolyan ´ertelemben monoton. 6
´lis) 1. Bizony´ıt´as. (forma Legyen f : A −→ B szigor´ uan n¨ov˝o (a m´asik anal´og). Ekkor (i) x 6= y ; x < y ∨ y < x ; f (x) < f (y) ∨ f (y) < f (x)
;
f (x) 6= f (y).
(ii) Indirekt: a, b ∈ Rg f, a < b, f −1 (a) ≥ f −1 (b). Ekkor a = f (x), b = f (y) valamely x, y ∈ A, ´ıgy a
;
;
;
f (x) < f (y)
x = f −1 (a) ≥ f −1 (b) = f −1 (f (x)) = y
;
x≥y
;
f (x) ≥ f (y) ellentmondva f (x) < f (y)-nak.
´lis f¨ 2. Bizony´ıt´as. (informa uggv´eny-szeml´elt´es u ´n. ny´ıldiagrammal) Szigor´ uan n¨ov˝o iff a nyilak p´aronk´ent k¨oz¨os pont n´elk¨ uliek. Ekkor (mivel nincs k¨oz¨os pont a v´egpontokban sem) van inverz, melynek diagrammja egyszer˝ uen a nyilak megford´ıt´asa, szint´en ilyen: f(x)=y
B
f
A x y
B
f −1
A f
−1 (y)=x
Szigor´ uan cs¨okken˝o iff a nyilaknak p´aronk´ent van k¨oz¨os bels˝o pontjuk, inverz ugyanilyen: B
f(x) = y
f
A
x
B
y
f
A
−1
f−1(y)=x
7
