2. VEKTORTÉR A lineáris algebrában központi szerepet betöltı vektortér fogalmát értelmezzük most, s megvizsgáljuk e struktúra legfontosabb egyszerő tulajdonságait. Legyen K egy test és V egy nem üres halmaz, amelyben értelmezett egy V×V→V, (a,b)→a+b összeadásnak, továbbá egy K×V→V, (k,a)→ka skalárral való szorzásnak nevezett mővelet. A V halmazt e rajta értelmezett mőveletekkel K test feletti vektortérnek nevezzük, ha eleget tesz az alábbi axiómáknak: Az összeadás axiómái: (A.1) Az összeadás kommutatív: minden a,b∈V elempárra teljesül a+b=b+a. (A.2) Az összeadás asszociatív: minden a,b,c∈V elemhármasra fennáll (a+b)+c=a+(b+c). (A.3) Létezik olyan n∈V elem, amelyre minden a∈V esetén n+a=a+n=a. (A.4) Minden a∈V elemhez létezik olyan a'∈V elem, hogy érvényes a+a'=a'+a=n. A skalárral való szorzás axiómái: (M.1) Minden k,l∈K skalárpárra és minden a∈V elemre teljesül (k+l)a=ka+la. (M.2) Minden k∈K skalárra és minden a,b∈V elempárra érvényes k(a+b)=ka+kb. (M.3) Minden k,l∈K skalárpárra és minden a∈V elemre fennáll (kl)a=k(la). (M.4) Az 1∈K egységelemre és minden a∈V elemre fennáll 1a=a. A csoport fogalmának felhasználásával az összeadás axiómái helyettesíthetık azzal a kijelentéssel, hogy a (V,+) struktúra egy Abel csoport. A V halmaz elemeit vektoroknak nevezzük, s ha ki akarjuk hangsúlyozni, hogy V a K test feletti vektortér, akkor a (K,V) jelölést alkalmazzuk. Megjegyezzük, hogy a vektortér helyett gyakran használják a lineáris tér elnevezést is. A matematika nagyon sok területén találkozhatunk vektorterekkel. Néhány ilyen példát mutatunk be a következıkben.
17
2.1. Példa: Az euklideszi sík (tér) geometriai vektorai a szokásos vektorösszeadás és a valós számmal való szorzással a valós számok ℝ teste feletti vektorteret alkotnak, amelyet G2 (G3) jelöl a továbbiakban. 2.2. Példa: Legyen K egy test és Kn a test rendezett elem n-eseinek halmaza. Ha (a1,...,an), (b1,...,bn)∈Kn, akkor az összeadást az (a1,...,an)+(b1,...,bn)≔ ≔(a1+b1,...,an+bn), a k∈K skalárral való szorzást a k(a1,...,an)≔(ka1,...,kan) módon értelmezve egy K test feletti vektortérhez jutunk. 2.3. Példa: Legyen K egy test, s jelölje K[x] a K feletti 1-határozatlanú polinomok halmazát. A K[x] a szokásos polinomösszeadás és polinomnak K-beli elemmel való szorzásával egy K test feletti vektorteret alkot. 2.4. Példa: Ha F jelöli az [a,b]⊂ℝ intervallumon értelmezett valós értékő függvények halmazát, s az összeadást, illetve a valós számmal való szorzást az (f+g)(x)≔f(x)+g(x) és (cf)(x)≔c·f(x) módon definiáljuk (c∈ℝ, f,g∈F), akkor F az ℝ test felett vektorteret alkot. 2.5. Példa: A komplex számok ℂ halmaza a komplex számok közötti szokásos összeadás és komplex számnak valós számmal való szorzásával a valós számok ℝ teste feletti vektorteret alkot. A fenti példák részletes kidolgozását az olvasóra bízzuk. További példákat a fejezet végén levı feladatok között találhatunk. Ezután a (K,V) vektorteret értelmezı axiómákból levezethetı egyszerő tulajdonságokkal foglalkozunk. Az (A.2), illetve az (A.1) axiómákból az általános asszociativitás tétele, illetve az általános kommutativitás tétele alapján könnyen adódik a 2.6. Tulajdonság: A V vektortérben tetszıleges véges számú vektoron végrehajtott összeadás eredménye független a zárójelek elhelyezésétıl és a vektorok sorrendjétıl is.
18
Most az (A.3) axiómában szereplı n∈V vektorral foglalkozunk. 2.7. Tulajdonság: Egyetlen olyan n∈V vektor létezik, amelyre minden a∈V mellett n+a=a+n=a teljesül. Bizonyítás: Ha n'∈V olyan vektor, amelyre minden a∈V esetén n'+a=a+n'=a teljesül, akkor az a=n helyettesítéssel n'+n=n+n'=n, az (A.3) axiómából pedig az a=n' helyettesítéssel n+n'=n'+n=n' adódik, ami az elızıvel összevetve éppen az n=n' eredményt szolgáltatja. Az (A.3) axiómának eleget tevı, s a 2.7. tulajdonság szerint egyértelmően meghatározott elemet zérusvektornak, vagy nullvektornak nevezzük és a 0 szimbólummal jelöljük. 2.8. Tulajdonság: Minden a∈V vektorhoz egyetlen olyan a'∈V vektor létezik, amelyre a+a'=a'+a=0 teljesül. Bizonyítás: Ha a'*∈V olyan vektor, hogy valamely a∈V vektorral a+a'*=a'*+a=0, akkor az (A.2) és az (A.4) axiómák alapján a'=0+a'=(a'*+a)+a'=a'*+(a+a')= =a'*+0=a'* adódik. Az (A.4) axiómában szereplı, továbbá a 2.8. tulajdonság szerint minden a∈V vektorhoz egyértelmően meghatározott vektort az a∈V ellentett vektorának nevezzük és a (-a) szimbólummal jelöljük. Most már értelmezhetjük a vektorok kivonását a következıképpen: ha a,b∈V, akkor az a vektorból a b vektor kivonását az a-b≔a+(-b) összefüggéssel definiáljuk. 2.9. Tulajdonság: Minden a∈V vektorra -(-a)=a, továbbá minden a,b∈V vektorpárra -(a+b)= =-a-b teljesül. Bizonyítás: Az (A.2) axióma, valamint a 2.7. és a 2.8. tulajdonságok szerint -(-a)=0+ +[-(-a)]=[a+(-a)]+[-(-a)]=a+[(-a)+(-(-a))]=a+0=a adódik. Az (A.1), (A.2) axiómák, illetve a 2.7. és 2.8. tulajdonságok felhasználásával (a+b)+ 19
+(-b-a)=a+[b+(-b)]+(-a)=a+0+(-a)=a+(-a)=0, s az ellentett vektor egyértelmősége miatt ebbıl azonnal következik állításunk helyessége. A vektorok összeadására is teljesül az egyszerősítési szabály. 2.10. Tulajdonság: Minden a,b,c∈V vektorhármasra a+b=a+c maga után vonja b=c teljesülését. Bizonyítás: Az (A.2) axióma és a 2.8. tulajdonság alapján b=0+b=[(-a)+a]+b= =(-a)+(a+b)=(-a)+(a+c)=[(-a)+a]+c=0+c=c adódik. 2.11. Tulajdonság: Legyen V egy K test feletti vektortér, ha k∈K és a∈V, akkor ka=0 akkor és csakis akkor áll fenn, ha k=0 vagy a=0. Bizonyítás: Ha k=0, akkor az (M.1) axióma felhasználásával 0a=(0+0)a=0a+0a, amibıl a 2.10. tulajdonság szerint 0=0a, ha pedig a=0, akkor az (M.2) axióma miatt k0=k(0+0)=k0+k0, ahonnan a 2.10. tulajdonság alapján 0=k0 következik. Megfordítva, legyen ka=0. Ha k=0, akkor készen vagyunk, ha pedig k≠0, akkor az 1.4. tulajdonság szerint létezik és egyértelmően meghatározott a k-1∈K, amelynek felhasználásával 0=k-10=k-1(ka)=(k-1k)a=1a=a következik az (M.3) és az (M.4) axiómák figyelembevételével. 2.12. Tulajdonság: Legyen V egy K test feletti vektortér, ekkor minden k∈K és a∈V esetén (-k)a=k(-a)=-(ka). Bizonyítás: Az (M.1) axióma, az 1.4. és a 2.11. tulajdonságok szerint ka+(-k)a= =[k+(-k)]a=0a=0, amibıl az ellentett vektor egyértelmősége miatt (-k)a=-(ka) következik. Az (M.2) axióma, a 2.8. és a 2.11. tulajdonságok felhasználásával ka+ +k(-a)=k[a+(-a)]=k0=0, ebbıl szintén az ellentett vektor egyértelmősége szerint k(-a)=-(ka) következik. 2.13. Tulajdonság: Ha V egy K test feletti vektortér, akkor minden k,l∈K és a,b∈V esetén fennáll k(a-b)=ka-kb és (k-l)a=ka-la. 20
Bizonyítás: Az (M.2) axióma és a 2.12. tulajdonság szerint k(a-b)=k[a+(-b)]=ka+ +k(-b)=ka+[-(kb)]=ka-kb, az (M.1) axióma és a 2.12. tulajdonság alapján pedig (k-l)a=[k+(-l)]a=ka+(-l)a=ka+[-(la)]=ka-la következik. 2.14. Tulajdonság: Ha V egy K test feletti vektortér, akkor minden k1,k2,...,kn∈K és minden a∈V esetén érvényes a (k1+k2+...+kn)a=k1a+k2a+...+kna összefüggés. Bizonyítás: Az (M.1) axióma szerint n=2 esetén igaz az állítás. Tegyük most fel, hogy állításunk minden k≤n-1 esetén igaz. Ekkor az (M.1) axióma és az indukciós feltevés alapján (k1+k2+...+kn)a=[(k1+k2+...+kn-1)+kn]a=(k1+...+kn-1)a+kna= =(k1a+...+kn-1a)+kna=k1a+...+kna adódik. 2.15. Tulajdonság: Ha V egy K test feletti vektortér, akkor minden k∈K és minden a1,a2,...,am∈V esetén igaz a k(a1+a2+...+am)=ka1+ka2+...+kam összefüggés. Bizonyítás: Az (M.2) axióma szerint m=2 esetén igaz az állítás. Tegyük fel, hogy állításunk minden l≤m-1 esetén igaz. Ekkor az (M.2) axióma, s az indukciós feltétel alapján k(a1+a2+...+am)=k[(a1+...+am-1)+am]=k(a1+...+am-1)+kam= =(ka1+...+kam-1)+kam=ka1+...+kam következik. 2.16. Tulajdonság: Ha V egy K test feletti vektortér, akkor minden k1,k2,...,kn∈K és minden a1,a2,...,am∈V esetén érvényes a (k1+...+kn)(a1+...+am)=k1a1+...+k1am+...+ +kna1+...+knam. Bizonyítás: A 2.14. és a 2.15. tulajdonságok felhasználásával (k1+...+kn)·(a1+...+am)= =k1(a1+...+am)+...+kn(a1+...+am)=(k1a1+...+k1am)+...+(kna1+...+knam)=k1a1+...+ +knam. Ez utóbbi tulajdonság úgy fogalmazható meg, hogy skalárok többtagú összegét vektorok többtagú összegével úgy szorozzuk meg, hogy minden skalárt minden vektorral megszorzunk, majd az így kapott vektorokat összegezzük. 21
A vektorok összeadása és az elsı fejezetben vizsgált skalárok összeadása azért rendelkezik azonos mőveleti tulajdonságokkal, mert a (V,+) és a (K,+) egyaránt Abel csoport, ahogyan azt a vektortér értelmezésével kapcsolatban már korábban is említettük. Feladatok: 1. Mutassuk meg, hogy minden K test egy önmaga, azaz K feletti vektorteret alkot, ha az összeadás azonos a K-beli összeadással, A k∈K skalárnak az a∈K vektorral való szorzata pedig a K-beli szorzással elıálló ka∈K vektorral egyenlı. 2. Bizonyítsuk be, hogy a valós számok ℝ halmaza a racionális számok ℚ teste felett vektorteret alkot, amelyben az összeadást a valós számok közötti összeadás, a racionális számmal, mint skalárral való szorzást a valós számok közötti szokásos szorzás jelenti. 3. Igazoljuk, hogy a K test feletti legfeljebb n-ed fokú polinomok Kn[x] halmaza a polinomok szokásos összeadásával és polinomnak K-beli skalárral való szorzásával a K test felett vektorteret alkot. 4. Legyen K egy tetszıleges test, H egy tetszıleges halmaz és HK≔{f|f:H→K} a H halmaznak a K halmazba való összes leképezései. Ha f,g∈HK és c∈K, akkor az f+g∈HK, és a c·f∈HK leképezéseket minden x∈H esetén az (f+g)(x)≔f(x)+g(x) és a (c·f)(x)≔c·f(x) összefüggésekkel értelmezzük. Bizonyítsuk be, hogy HK egy K test feletti vektortér. 5. Legyen K egy test és {x} egy tetszıleges, egy elemő halmaz. Ha az összeadást az x+x≔x, a skalárral való szorzást pedig a kx≔x értelmezi minden k∈K esetén, akkor bizonyítsuk be, hogy {x} a fenti mőveletekkel egy K feletti vektortér. 6. Bizonyítsuk be, hogy ha V egy K test feletti vektortér, akkor minden k∈K és a∈V esetén érvényes a (-k)(-a)=ka összefüggés.
22
