A középszintű érettségi vizsga témakörei MATEMATIKÁBÓL A középszintű szóbeli vizsga tételei a lenti listában szereplő elméleti anyagra épülnek. Minden tétel tartalmaz három egyszerű, az elméleti anyag elsajátítását számon kérő kérdést (definíció, illetve tétel kimondását, vagy ezek közvetlen alkalmazását megkívánó egyszerű feladatot), valamint 3 feladatot. Vizsgázónként megengedett segédeszközök: függvénytáblázat (egyidejűleg akár többféle is), szöveges adatok tárolására és megjelenítésére nem alkalmas zsebszámológép, körző, vonalzó, szögmérő, melyekről a vizsgázó gondoskodik. Ezeket az eszközöket a vizsgázók a vizsga során egymás között nem cserélhetik. I.
GONDOLKODÁSI MÓDSZEREK, HALMAZOK, LOGIKA, KOMBINATORIKA, GRÁFOK
Halmazok Halmazelméleti alapfogalmak. Halmazműveletek, műveleti tulajdonságok. A halmazfogalom és a halmazműveletek használata a matematika különböző területein (pl. számhalmazok, ponthalmazok). Logika A negáció, konjukció, diszjunkció, ekvivalencia ismerete, alkalmazása. A „minden”, „van olyan” logikai kvantorok ismerete, alkalmazása. Egyszerű matematikai szövegek értelmezése. A tárgyalt definíciók és tételek pontos megfogalmazása. A szükséges és elégséges feltételek helyes alkalmazása. Kombinatorika Egyszerű sorbarendezési, kiválasztási és egyéb kombinatorikai feladatok megoldása. Binomiális együtthatók kiszámolása. Gráfok A gráf szemléletes fogalma, egyszerű alkalmazása. II.
SZÁMELMÉLET, ALGEBRA
Számfogalom A valós számkör ismerete. A valós számok különböző alakjai. Alapműveletek, műveleti tulajdonságok ismerete, alkalmazása a valós számkörben. Az adatok és az eredmény pontossága, ábrázolása számegyenesen. Számrendszerek, a helyi értékes írásmód, normál alak ismerete. Egyenes és a fordított arányosság definíciója és grafikus ábrázolása, arányossági feladatok megoldása. Százalékszámítás, százalékszámítással kapcsolatos feladatok megoldása.
Számelmélet Az osztó, többszörös, prímszám, összetett szám fogalma. Oszthatósági szabályok ismerete. A számelmélet alaptételének alkalmazása, számok prímtényezőkre bontása, a legnagyobb közös osztó és a legkisebb közös többszörös meghatározása. Relatív prímek. Egyszerű oszthatósági feladatok megoldása. Algebrai kifejezések, műveletek Algebrai kifejezések; polinom fokszáma. Műveletek elvégzése egyszerű algebrai kifejezésekkel (összevonás, szorzás, osztás, szorzattá alakítás kiemeléssel, nevezetes azonosságok alkalmazása). Másod- és harmadfokú nevezetes azonosságok ismerete és alkalmazása. Hatvány, gyök, logaritmus Definíciók, műveletek, azonosságok (egész kitevőjű hatványok, racionális kitevőjű hatványok). Négyzetgyök és n-edik gyök fogalma, és azonosságaik alkalmazása. A logaritmus fogalma, a logaritmus azonosságainak alkalmazása. Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek Az alaphalmaz és a megoldáshalmaz fogalmának ismerete. Különböző megoldási módszerek (mérlegelv, grafikus megoldás, ekvivalens átalakítások, következményegyenletre vezető átalakítások, új ismeretlen bevezetése stb.) ismerete, alkalmazása. Elsőfokú egyenletek és egyenlőtlenségek megoldása. Másodfokú egyenletek és egyenlőtlenségek megoldása, megoldóképlet alkalmazása. Diszkrimináns és gyöktényezős alak fogalma és alkalmazása feladatmegoldásban. Teljes négyzetté alakítás módszerének ismerete és alkalmazása. Egyenletmegoldás alkalmazása szöveges feladatok megoldásában. Egyszerű négyzetgyökös, algebrai törtes és abszolútértékes egyenletek megoldása. A definíciókra és az azonosságok alkalmazására épülő exponenciális, logaritmusos és trigonometrikus egyenletek megoldása. Két pozitív szám számtani és mértani közepének viszonya. Egyszerű, másodfokúra visszavezethető magasabb fokú egyenletek megoldása. Kétismeretlenes lineáris és másodfokú egyenletrendszerek megoldása. Egyszerű egyenlőtlenségrendszer megoldása. III. FÜGGVÉNYEK, AZ ANALÍZIS ELEMEI Függvények, függvénygrafikonok, függvény-transzformációk A függvény matematikai fogalma, függvénytani alapfogalmak (értelmezési tartomány, hozzárendelés, képhalmaz, helyettesítési érték, értékkészlet), függvény megadásának módjai. Az alapfüggvények (lineáris, másodfokú, harmadfokú és négyzetgyök-függvények, abszolútérték függvény, fordított arányosság, exponenciális és logaritmusfüggvény, trigonometrikus függvények) ismerete és ábrázolása. Függvények ábrázolása függvénytranszformációk segítségével ( 𝑓(𝑥) + 𝑐; 𝑓(𝑥 + 𝑐); 𝑐 ∙ 𝑓(𝑥); 𝑓(𝑐 ∙ 𝑥) )
Függvények jellemzése Az alapfüggvények és egyszerű transzformáltjaik jellemzése grafikonjuk alapján értékkészlet, zérushely, növekedés, fogyás, szélsőérték, periodicitás és paritás szempontjából. Sorozatok Számsorozat fogalma és különböző megadási módjai. Számtani sorozat, mértani sorozat. Kamatos kamat számítása. IV. GEOMETRIA, KOORDINÁTAGEOMETRIA, TRIGONOMETRIA Alapfogalmak, ponthalmazok Térelemek távolsága, szöge (pont és egyenes, pont és sík, párhuzamos egyenesek, párhuzamos síkok távolsága; két egyenes, egyenes és sík, két sík hajlásszöge). Szögek nagyság szerinti osztályozása, nevezetes szögpárok ismerete. Nevezetes ponthalmazok (kör, gömb, szakaszfelező merőleges, szögfelező). Geometriai transzformációk Síkbeli egybevágósági transzformációk (eltolás, tengelyes tükrözés, középpontos tükrözés, pont körüli forgatás) leírása, tulajdonságaik ismerete és alkalmazásuk feladatmegoldásban. Háromszögek egybevágósági alapeseteinek ismerete és alkalmazása feladatmegoldásban. Alakzatok szimmetriái. Hasonlósági transzformáció definíciója, a középpontos nagyítás ill. kicsinyítés alkalmazása egyszerű gyakorlati feladatokban. Szakasz adott arányú felosztása. Hasonló alakzatok felismerése, alkalmazása, arány felírása. Síkgeometriai alakzatok Háromszögek: Oldalakra, szögekre, nevezetes pontokra, vonalakra vonatkozó tételek ismerete és alkalmazása bizonyítási és szerkesztési feladatokban (háromszögegyenlőtlenség; belső és külső szögek; oldalak és szemközti szögek; oldalfelező merőleges; szögfelező; magasságvonal; súlyvonal; középvonal; körülírt és beírt kör; Pitagorasz-tétel; magasság- és a befogótétel). Négyszögek: Nevezetes négyszögek (trapézok, deltoidok) és tulajdonságaik ismerete és alkalmazása feladatmegoldásban. Sokszögek: Konvex sokszögek átlóinak számára, illetve belső és külső szögösszegére vonatkozó tételek ismerete és alkalmazása. Szabályos sokszögek. Kör: A kör és részeinek ismerete. Tételek kimondása és alkalmazása feladatmegoldásban (kör és érintője; középponti és kerületi szögek; Thalész-tétel). Szög mérése fokban és radiánban. Térbeli alakzatok Forgáshenger, forgáskúp, gúla, hasáb, gömb, csonkagúla, csonkakúp ismerete, alkalmazása egyszerű feladatok megoldásában.
Kerület-, terület-, felszín- és térfogatszámítás Egyszerű síkidomok és részeik kerületének, területének számítása. Testek felszínének és térfogatának számítása. Hasonló síkidomok és testek különböző mérőszámai arányáról szóló tételek ismerete és alkalmazása feladatmegoldásban. Vektorok A vektor fogalma, abszolút értéke. Nullvektor, ellentett vektor; egységvektor. Vektorműveletek (összegvektor, különbségvektor, skalárral való szorzás, skaláris szorzat) és tulajdonságaik ismerete. Vektor koordinátái; a vektor 90°-os elforgatottjának koordinátái; vektorok összegének, különbségének, skalárral való szorzatának koordinátái; skalárszorzat kiszámítása koordinátákból. Vektorok alkalmazása feladatmegoldásban. Trigonometria Hegyesszögek szögfüggvényei derékszögű háromszögben. Szögfüggvények általános definíciója. Szögfüggvényekre vonatkozó alapvető összefüggések (pótszögek, kiegészítő szögek, negatív szög szögfüggvénye, pitagoraszi összefüggés) ismerete és alkalmazása feladatmegoldásban. Nevezetes szögek (30°, 45°, 60°) szögfüggvényeinek ismerete. Szinusztétel és koszinusztétel. Számolási feladatok elvégzése általános háromszögben. Koordináta-geometria Az ⃗⃗⃗⃗⃗ AB vektor koordinátái és abszolút értéke. Két pont távolságának, szakasz felezőpontjának és harmadoló pontjainak felírása, alkalmazása feladatok megoldásában. A háromszög súlypontja koordinátáinak felírása, alkalmazása feladatok megoldásában. Egyenes egyenletének felírása különböző adatokból. Egyenesek metszéspontjának számítása. Egyenesek párhuzamosságának és merőlegességének koordinátageometriai feltételei. Adott középpontú és sugarú kör egyenletének felírása. Kétismeretlenes másodfokú egyenletből a kör középpontjának és sugarának meghatározása. Kör és egyenes metszéspontjának meghatározása. A kör adott pontjában húzott érintő egyenletének felírása. Elemi geometriai feladatok megoldása koordinátageometriai eszközökkel (pl. háromszögek és négyszögek adatainak számítása). V.
VALÓSZÍNŐSÉG SZÁMÍTÁS, STATISZTIKA
Leíró statisztika Statisztikai adatok gyűjtése, rendszerezése, különböző ábrázolásai (kördiagram, oszlopdiagram). Osztályba sorolás, gyakorisági diagram, relatív gyakoriság. Statisztikai mutatók ismerete, megadása és használata: aritmetikai átlag (súlyozott számtani közép); medián (rendezett minta közepe); (leggyakoribb érték); terjedelem; átlagos abszolút eltérés; szórás.
Valószínűség-számítás Véges eseménytérben a relatív gyakoriság és a valószínűség kapcsolata. A klasszikus (Laplace)-modell ismerete. Valószínűségek kiszámítása visszatevéses mintavétel esetén, binomiális eloszlás.
