T¨ ort´ eneti bevezet´ es
N´eh´any t¨ort´enelmi m´erf¨oldk˝o. A k´et birodalom. Kapcsolat Mezopot´ami´aval a 4. ´evezred v´ege fel´e: az els˝ o ´ır´as, a hieroglifikus, kialakul´asa.
A K¨oz´epbirodalom kor´anak aritmetik´aja Egyiptomban.
Az els˝ o egyes´ıt´es I.e. 3100 k¨ or¨ ul, Narmer (Men´esz) f´ara´ o, a vezet˝ o szerep Fels˝ o-Egyiptom´e. A Narmer-k˝ ot´abla” (jellegzetes ´abr´azol´as). ” ´ Obirodalom kora: piramis´ep´ıt´esek, ´es m´as ´ep´ıt´eszeti, szobr´aszati eml´ekek (Abu Simbel, ´ırnok), irodalmi alkot´asok (Imhotep intelmei)
Klukovits Lajos TTIK Bolyai Int´ ezet
I.e. 2200-t´ ol az els˝ o ´atmeneti kor: a birodalom kett´ev´alik. 2014. febru´ar 18.
kb. I.e. 2040-ben II. Mentuhotep ism´et egyes´ıti a k´et kir´alys´agot. −→ ¨ ze ´pbirodalom kora. a Ko Fajjumi v´ızt´aroz´ o, Szinuhe t¨ ort´enete, matematikai papirusztekercsek (Rhind, Golenisev, stb.).
Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
Aritmetika - Sz´ amelm´ elet
2014. febru´ ar 18.
1 / 35
Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
T¨ ort´ eneti bevezet´ es
Aritmetika - Sz´ amelm´ elet
2014. febru´ ar 18.
2 / 35
T¨ ort´ eneti bevezet´ es
N´eh´any t¨ort´enelmi m´erf¨oldk˝o.
N´eh´any t¨ort´enelmi m´erf¨oldk˝o.
A k´et birodalom. I.e. 1750 k¨or¨ ul, k¨ uls˝o (hikszosz) t´amad´as, megbukik az egys´eges birodalom −→ a m´asodik ´atmeneti kor.
Az egyiptomi ´ır´asok megfejt´ese.
´ 1600-t´ol ism´et egys´eges birodalom: az Ujbirodalom .
1799, a Rozetta k˝ o megtal´al´asa.
I.e. 280: Manetho list´aja a 31 dinaszti´ar´ ol.
A I.e. II. sz´azad elej´er˝ ol sz´armazik, egyiptomi (hieroglifikus ´es d´emotikus) ´ır´assal, valamint
Az egyiptomi ´ır´asok.
g¨ or¨ og nyelven szerepel ugyanaz a sz¨ oveg:
A hieroglifikus ´ır´as I I I
Memphis f˝ opapja istenk´ent, istenek fiak´ent k¨ osz¨ onti V. Ptolemaioszt. 1820-t´ ol Champolion ´es T. Young
k´ep´ır´as, hasonl´ o a m´asutt, pl. Mezopot´ami´aban haszn´althoz, eredete nem vil´agos, ´ els˝ o v´altozata v´elhet˝ oen m´eg az Obirodalom el˝otti id˝ob˝ol sz´armazik.
I
2500 k¨or¨ ul egyszer˝ us¨od¨ott, kurz´ıvabb´a” v´alt Ez a hieratikus ´ır´as v´alt ” ´altal´anosan haszn´altt´a. ´ Az Ujbirodalom v´ege fel´e, kb. a I.e. VII. sz´azadban tov´abbi egyszer˝ us´ıt´es, kurziv´al´as: a d´ emotikus ´ır´as. Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
Aritmetika - Sz´ amelm´ elet
2014. febru´ ar 18.
3 / 35
I
el˝ obb a g¨ or¨ og ismeret´eben megfejtette a k´et egyiptomi ´ır´ast, majd interpol´aci´ oval megkapt´ak a hieratikus ´ır´as megfejt´es´et is.
Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
Aritmetika - Sz´ amelm´ elet
2014. febru´ ar 18.
4 / 35
Aritmetika
Aritmetika
Az egyiptomi aritmetika.
Az egyiptomi aritmetika.
Hieroglifikus sz´amok
Hieratikus ´es d´emotikus sz´amok
Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
Aritmetika - Sz´ amelm´ elet
2014. febru´ ar 18.
5 / 35
Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
Aritmetika
Aritmetika - Sz´ amelm´ elet
2014. febru´ ar 18.
6 / 35
2014. febru´ ar 18.
8 / 35
Aritmetika
Az egyiptomi aritmetika.
Az egyiptomi aritmetika.
Sz´am´ır´asuk.
Szorz´as kett˝oz´esekkel (hieroglifikusan): 12 · 12.
10-es alap´ u ´es nem helyi´ert´ekes, a 10 hatv´anyainak k¨ ul¨onb¨ oz˝ o jele volt. T¨orteket is haszn´altak, DE ...
Aritmetika: o¨sszead´as. Addit´ıv jelleg˝ u, ebben a rendszerben egyszer˝ u¨ osszeadni. Kezdetben minden m˝ uveletet a kett˝ oz´esre ´es az ¨ osszead´asra vezettek vissza, k´es˝obb t´ızszereztek ´es feleztek is.
Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
Aritmetika - Sz´ amelm´ elet
2014. febru´ ar 18.
7 / 35
Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
Aritmetika - Sz´ amelm´ elet
Aritmetika
Aritmetika
Az egyiptomi aritmetika.
Az egyiptomi aritmetika.
Szorz´as kett˝oz´esekkel (mai jel¨ol´esekkel). Szorz´as t´ızszerez´essel ´es felez´essel (hieroglifikusan): 16 · 16.
Ism´etelt ¨osszead´ask´ent v´egezt´ek: kett˝ oz´esek ut´an. A 12 · 13 kisz´am´ıt´asa (mai sz´am´ır´assal): 1
13
2
26
o4
52
o8
104
Az els˝o oszlopban a o-mal jelzett sorokban 4 + 8 = 12 ´all, ´ıgy a m´asodik oszlop alapj´an 12 · 13 = 52 + 104 = 156.
Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
Aritmetika - Sz´ amelm´ elet
2014. febru´ ar 18.
9 / 35
Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
Aritmetika
Aritmetika - Sz´ amelm´ elet
2014. febru´ ar 18.
10 / 35
2014. febru´ ar 18.
12 / 35
Aritmetika
Az egyiptomi aritmetika.
Az egyiptomi aritmetika. Szorz´as mindk´et u´ton (hieroglifikusan): 15 · 110
Szorz´as t´ızszerez´essel ´es felez´essel (mai jel¨ol´esekkel) A 17 · 13 kisz´am´ıt´asa t´ızszerez´essel ´es felez´esel: a 1
13
o 2
26
o10
130
o 5
65
sz´amol´as alapj´an a 17 · 13 szorzat, l´ev´en 17 = 2 + 10 + 5, nem m´as, mint 26 + 130 + 65, azaz 221.
Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
Aritmetika - Sz´ amelm´ elet
2014. febru´ ar 18.
11 / 35
Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
Aritmetika - Sz´ amelm´ elet
Aritmetika
Aritmetika
T¨ ortek
Az egyiptomi aritmetika.
Az egyiptomi aritmetika.
Oszt´as. Bonyolultabb azonban a helyzet akkor, ha a h´anyados nem eg´esz. Meg kell vizsg´alni: hogyan sz´amoltak t¨ ortekkel,
Oszt´as.
egy´altal´an milyen t¨ ortekkel tudtak sz´amolni.
Az el˝obbi szorz´as alapj´an az oszt´as is elv´egezhet˝ o akkor, ha a h´anyados eg´esz, mivel
T¨ortek.
addit´ıv aritmetik´ajukban az a : b ugyanis azt jelentette, hogy
A korabeli egyiptomiak sz´am´ara ´altal´aban nem l´eteztek az csak az n1 alak´ uak.
sz´amolj b-vel addig, am´ıg a-t kapsz.
m n
alak´ u t¨ ortek,
T¨ortek: jel¨ol´esek. Saj´at jele csak az fogja jel¨ olni.
Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
Aritmetika - Sz´ amelm´ elet
Aritmetika
2014. febru´ ar 18.
13 / 35
1 n
alak´ u t¨ orteknek, valamint a 23 -nak volt. Ezeket n ´es 3
Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
T¨ ortek
Aritmetika - Sz´ amelm´ elet
Aritmetika
Az egyiptomi aritmetika.
2014. febru´ ar 18.
14 / 35
2014. febru´ ar 18.
16 / 35
T¨ ortek
Az egyiptomi aritmetika.
Sz´amol´as t¨ortekkel. H´arom formula a Londoni b˝ ortekercsb˝ ol. 6+6=3
Sz´amol´as t¨ortekkel.
6+6+6=2 3+3=3
2+3=3+6 3+2=1+6
Sz´amol´as t¨ortekkel. Ezekb˝ol k¨onnyen kaphat´ok a Rhind-papiruszon gyakran alkalmazott
egyenl˝ os´egek.
3+6=2 2+3+6=1 3=2+6 Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
Aritmetika - Sz´ amelm´ elet
2014. febru´ ar 18.
15 / 35
Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
Aritmetika - Sz´ amelm´ elet
Aritmetika
T¨ ortek
Aritmetika
Az egyiptomi aritmetika. Az elemi t¨ortek k´eteszerez´ese. Az eg´eszek k´etszerez´ese (t´ızszerez´ese, felez´ese) egyszer˝ u, de a t¨ortek´e? Vil´agos, hogy a t¨obbsz¨ori k´etszerez´es igen hossz´ u sz´amalakokhoz vezet. Fontos f¨olfedez´es¨ uk: az n k´etszerez´ese ugyanazon sz´amhoz vezet, mintha a 2-t n-fel´e osztan´ank. A 2 : n sz´amol´asok eredm´eny´et az 5 ≤ n ≤ 101 ´ert´ekekre tartalmazza a Rhind papirusz elej´en tal´alhat´ o¨ ossze´all´ıt´as. Term´eszetesen csak a p´aros n-ekre. Ezen ¨ossze´all´ıt´asra Recto-k´ent is hivatkoznak olykor.
Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
Aritmetika - Sz´ amelm´ elet
Aritmetika
2014. febru´ ar 18.
17 / 35
I
Recto
A papiruszon ez olvashat´ o (mai jel¨ ol´esekkel):
1 12
P´eld´aul, ha n = 3k, akkor mindig a 2 = + ami megfelelne a 2 1 1 = + 3k 2k 6k azonoss´ag alkalmaz´as´anak, DE
1 1 1 1 + az 3 12 12
1 2
Vegy¨ uk ´eszre: 1 13 +
=
1 1 az . 4 68
17 12 .
1
f¨ olbont´ast haszn´alt´ak,
2014. febru´ ar 18.
1 12
1 1 az 3 51
A sz´amol´as
ez XX. sz´azadi ´es nem korabeli gondolat! Aritmetika - Sz´ amelm´ elet
18 / 35
1.p´elda: 2 : 17 = 12 + 51 + 68.
2-t el˝ o´all´ıtott´ak, egy egyn´el nagyobb sz´am ´es egy, kett˝ o vagy h´arom (elemi) t¨ort ¨osszegek´ent. Az els˝ o tag — mai terminol´ogi´aval — olyan t¨ort volt, amelynek sz´aml´al´ oja az aktu´alis n oszt´o. Az els˝ o tag megtal´al´as´aban nem voltak k¨ovetkezetesek.
Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
2014. febru´ ar 18.
A Rhind 2 : n t´abl´azata.
Nem egys´eges elveket alkalmaztak, de minden esetben u ´gy j´artak el, hogy a
I
Aritmetika - Sz´ amelm´ elet
Aritmetika
Hogyan sz´amolhatt´ak ki a szerepl˝o h´anyadosokat?
I
Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
Recto
2 : 53 = 30 + 318 + 795 2 : 55 = 30 + 330 2 : 59 = 36 + 236 + 531 2 : 61 = 40 + 244 + 488 + 610 2 : 65 = 39 + 195 2 : 67 = 40 + 335 + 536 2 : 71 = 40 + 586 + 710 2 : 73 = 60 + 219 + 292 + 365 2 : 77 = 44 + 308 2 : 79 = 60 + 237 + 316 + 790 2 : 83 = 60 + 332 + 415 + 498 2 : 85 = 51 + 255 2 : 89 = 60 + 356 + 534 + 890 2 : 92 = 70 + 130 2 : 95 = 60 + 380 + 570 2 : 97 = 56 + 679 + 776 2 : 101 = 101 + 202 + 303 + 606
Recto
A Rhind 2 : n t´abl´azata.
I
2:5=¯ 3 + 15 2:7=¯ 4 + 28 2 : 11 = ¯ 6 + 66 2 : 13 = ¯ 8 + 52 + 104 2 : 17 = 12 + 51 + 68 2 : 19 = 12 + 76 + 114 2 : 23 = 12 + 276 2 : 25 = 15 + 75 2 : 29 = 24 + 58 + 174 + 232 2 : 31 = 20 + 124 + 155 2 : 35 = 30 + 42 2 : 37 = 24 + 111 + 296 2 : 41 = 24 + 246 + 328 2 : 43 = 42 + 86 + 129 + 301 2 : 47 = 30 + 141 + 470 2 : 49 = 28 + 196 2 : 51 = 34 + 102
19 / 35
Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
2 3
17 11 13
1 3
5 32
1 6
2 12 +
1 3
1 o 12
1 14 +
1 6
Aritmetika - Sz´ amelm´ elet
2014. febru´ ar 18.
20 / 35
Aritmetika
Recto
Aritmetika
A Rhind 2 : n t´abl´azata.
Recto
A Rhind 2 : n t´abl´azata. 1.p´elda: 2 : 17 = 12 + 51 + 68. Ennek kisz´am´ıt´asa 1 2 o3 o4
1.p´elda: 2 : 17 = 12 + 51 + 68. A marad´ek (a hi´any) 31 + 14 , hiszen 1 41 + 16 + 13 + 14 = 2, azaz ennyi kell m´eg a 2-h¨ oz.
1 17 1 34 1 51 1 68
1 3 1 4
Megjegyz´ es. Vegy¨ uk ´eszre, hogy k¨ ozben f¨ olhaszn´alta az
Ezt m´eg el˝o kell ´all´ıtani 17-edekben. 1 1 1 1 + = + 3 12 4 6 egyenl˝ os´eget.
Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
Aritmetika - Sz´ amelm´ elet
Aritmetika
2014. febru´ ar 18.
21 / 35
Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
Aritmetika - Sz´ amelm´ elet
Recto
Aritmetika
A Rhind 2 : n t´abl´azata.
2014. febru´ ar 18.
22 / 35
Recto
A Rhind 2 : n t´abl´azata.
2.p´elda: 2 : 31 = 20 + 124 + 155 A kezd˝o sor:
Elemz´es
1 + 2 + 20 az 20,
4 az, 124
Az el˝ oz˝ o k´et esetben a 2 f¨ olbont´asa els˝ o tagja
5 az 155.
1 1 + 3 1 1 + 2
A sz´amol´as az el˝obbihez hasonl´ o 1 31 1 20 1 + 2 + 20 o4 124 4 o5 155 5
1 17 = 12 12 1 31 = , 20 20
azaz olyan t¨ ort, amelynek sz´aml´al´ oja ´epp a kett˝ ozend˝ o t¨ ort nevez˝ oje. Ut´ana el˝ obb ezt kieg´esz´ıtette 2-re,
A papiruszon az ´ırnok az els˝ o sort is megjel¨ olte, ami m´asol´asi hiba.
majd a kieg´esz´ıt´est el˝ o´all´ıtotta megfelel˝ o t¨ ortekk´ent.
A 2 f¨olbont´asa most
Hogyan j¨ ott r´a az ´ırnok??? 2=
Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
1 1 1 + 2 20
1 1 + + . 4 5
Aritmetika - Sz´ amelm´ elet
2014. febru´ ar 18.
23 / 35
Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
Aritmetika - Sz´ amelm´ elet
2014. febru´ ar 18.
24 / 35
Aritmetika
Recto
Aritmetika
A Rhind 2 : n t´abl´azata.
Az egyiptomi aritmetika. A Rhind 23. feladata.
3.p´elda: 2 : 35 = 30 + 42
Mi eg´esz´ıti ki a 3 + 15-¨ ot 1-re?
A sz´amol´as elt´er az eddigiekt˝ ol. Az els˝o sor 1 + 6 az 30 6 7
Az eredm´eny.
3 + 6 az 42 5
10 1 ¨ osszesen : 11 a marad´ek 4.
A sz´amol´as 1 o30 o42
A megold´as.
35 1+6 3+6
Sz´amolj 15-tel, m´ıg 4-et kapsz. 1 15 10 1 + 2 o5 3 o15 1
Mi a v¨or¨os sz´amok — kiseg´ıt˝ o sz´amoknak fogjuk nevezni — szerepe? A 7 ´es az 5 jelezheti az 1 16 -ban ´es 23 + 16 -ban a hatodok sz´am´at, amit a kezd˝o hatos is al´at´amaszt. A f¨olbont´as: 2 = 1 + 16 + 32 + 16 . Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
Kieg´ esz´ıt´ esek
Aritmetika - Sz´ amelm´ elet
Aritmetika
2014. febru´ ar 18.
25 / 35
A jelzett sorok jobb oldal´an 3 + 1 = 4 tal´alhat´ o, ´ıgy 5 + 15 az, amit hozz´a kell adni. Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
Aritmetika - Sz´ amelm´ elet
Kieg´ esz´ıt´ esek
Aritmetika
Az egyiptomi aritmetika.
2014. febru´ ar 18.
26 / 35
Kieg´ esz´ıt´ esek
Az egyiptomi aritmetika.
Elemz´es. 1
A feladat l´enyeg´eban egy
A Rhind 23. probl´em´aja. Eg´esz´ıts¨ uk ki
1 − (3 + 15)
4 + 8 + 10 + 30 + 45-¨ ot
kivon´as.
3-ra.
2
A v¨or¨os kiseg´ıt˝o sz´amok mutatj´ak, hogy 15-¨ okben kellsz´amolni: az 3 ´es 10 sz´aml´al´oi 15-¨od¨okben.
3
Maga a sz´am
11 ıgy 15 , ´
m´eg
4 15
hi´anyzik, ezt ´all´ıtja el˝ o a sz´amol´asa
A papirusz sz¨ovege. 4 + 8 + 10 + 30 + 45 11 + 4 5+2+8 4+2 1+2 1
Egy nehezebb feladat. A Rhind 23. probl´em´aja: Eg´esz´ıts¨ uk ki az
Az eredm´eny. Teh´at 9 + 40-et kell hozz´aadni, hogy 3-at kapjunk.
4 + 8 + 10 + 30 + 45 sz´amot 3-ra. Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
Aritmetika - Sz´ amelm´ elet
2014. febru´ ar 18.
27 / 35
Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
Aritmetika - Sz´ amelm´ elet
2014. febru´ ar 18.
28 / 35
Aritmetika
Kieg´ esz´ıt´ esek
Aritmetika
A Rhind 23. probl´em´aja.
Kieg´ esz´ıt´ esek
A Rhind 23. probl´em´aja. Rekonstrukci´o.
Folytat´as.
1
4+ 8+ 9+ 10+ 30+ 40+ 45+ 3 11 + 4 5 + 2 + 8 5 4 + 2 1 + 8 1 + 2 1 15
2
Az ¨osszeg 1.
3 4
A v¨ or¨ os kiseg´ıt˝ o sz´amok alapj´an az ´ırnok 45-¨ okben sz´amolt, ez a k¨ oz¨ os nevez˝ o. A v¨ or¨ osen szerepl˝ o sz´aml´al´ ok ¨ osszege 23 78 negyven¨ ot¨ od, ezt kell 30 kieg´esz´ıteni 3-ra, azaz 45 -re. A hi´anyz´ o” mennyis´eg 6 18 negyven¨ ot¨ od, azaz 5 + 1 18 negyven¨ ot¨ od. ” Ezt kell meghat´arozni,
Elemz´es. A tov´abbi r´eszletek hi´anyoznak a papiruszr´ ol, de megadhat´ o egy lehets´eges rekonstrukci´o.
Egy (r¨ovid´ıtett) sz´amol´as. 1 o9 4 o40
Hangs´ ulyozzuk, hogy ez csak egy lehets´eges elj´ar´as, semmi biztosat nem tudunk az eredeti gondolatmenetr˝ ol.
Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
Aritmetika - Sz´ amelm´ elet
2014. febru´ ar 18.
29 / 35
Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
Egy line´ aris egyenlet
45 5 11 + 4 1+8
Aritmetika - Sz´ amelm´ elet
2014. febru´ ar 18.
30 / 35
Egy line´ aris egyenlet
Az egyiptomi aritmetika.
Az egyiptomi aritmetika.
A Rhind 33. feladata. Egy mennyis´eghez hozz´aadva k´etharmad´at, fel´et ´es heted´et 37-et kapunk.
A sz´amol´as 2.
A sz´amol´as 1.
A kieg´esz´ıt´es a v¨ or¨ os kiseg´ıt˝ o sz´amokon alapul. 1 2 4 8 o16
1+3+2+7 4 + 3 + 4 + 28 (2 · 7 = 4 + 28) 9 + 6 + 14 (3 = 2 + 6) 18 + 3 + 7 36 + 3 + 4 + 28 28 10 + 2 1 + 2
A k¨ oz¨ os nevez˝ o azonban nem 28, hanem 42. Mi´ert? L´attuk: a sz´aml´al´ oknak nem kell eg´eszeknek lenni¨ uk, DE ¨ osszeg¨ uk m´ar mindig eg´esz. Ez 28-cal m´eg nem, de 42-vel m´ar teljes¨ ul.
A 36 + 3 + 4 + 28 m´ar nagyon k¨ ozel” van a 37-hez. ” Ami hi´anyzik, az 3 + 4 + 28 kieg´esz´ıt˝ oje 1-re. Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
Aritmetika - Sz´ amelm´ elet
2014. febru´ ar 18.
31 / 35
Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
Aritmetika - Sz´ amelm´ elet
2014. febru´ ar 18.
32 / 35
Egy line´ aris egyenlet
Egy line´ aris egyenlet
Az egyiptomi aritmetika.
Az egyiptomi aritmetika.
A v¨or¨os sz´amok eredete.
A sz´amol´as 3.
A sz¨oveg alapj´an: 1 o3 2 o4 o28
o1 o3 o2 o7 az ¨ osszeg
42 28 21 10 + 2 1+2
Azaz az oszt´ o 97 kiseg´ıt˝ o egys´eget tartalmaz, 97-ed r´esze egyenl˝ o 42-del.
A folytat´as: az ¨osszeg 40, a marad´ek 2. 40, a kiseg´ıt˝o sz´amok ¨osszege, de az egys´eg 42 kiseg´ıt˝ o egys´eget” ” tartalmaz, teh´at 2 m´eg hi´anyzik. E 2-t u ´gy kapjuk, hogy az oszt´ ot, 1 + 3 + 2 + 7-et, kiseg´ıt˝ o egys´egekben fejezz¨ uk ki. Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
Aritmetika - Sz´ amelm´ elet
2014. febru´ ar 18.
33 / 35
Az egyiptomi aritmetika.
A v´egeredm´eny. 37 : (1 + 3 + 2 + 7) = 16 + 56 + 679 + 776.
Aritmetika - Sz´ amelm´ elet
2014. febru´ ar 18.
M´ar csak egy k´etszerez´es kell, ami a papiruszon a k¨ ovetkez˝ o: 97 56 + 679 + 776
42 21
1 2
A k´etszerez´es a Rhind bevezet˝ o t´abl´azat´ab´ ol val´ o.
Egy line´ aris egyenlet
Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
42 28 7 6 97
35 / 35
Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
Aritmetika - Sz´ amelm´ elet
2014. febru´ ar 18.
34 / 35
