a home base to excellence Mata Kuliah Kode SKS
: Kalkulus : TSP – 102 : 3 SKS
Turunan Pertemuan - 3
a home base to excellence • TIU : Mahasiswa dapat memahami turunan fungsi dan aplikasinya
• TIK :
Mahasiswa mampu menjelaskan arti turunan fungsi Mahasiswa mampu mencari turunan fungsi Mahasiswa mampu menyelesaikan turunan fungsi trigonometri Mahasiswa mampu menggunakan aturan rantai
a home base to excellence • Sub Pokok Bahasan : Turunan Fungsi Aturan Mencari Turunan Turunan Fungsi Trigonometri Aturan Rantai
Garis Singgung y = f(x) (c+h, f(c+h))
f(c+h)
f(c+h) – f(c)
Definisi Garis singgung kurva y = f(x) pada titik P(c, f(c)) adalah garis yang melalui P dengan kemiringan mtan lim msec lim h 0
f(c)
Asalkan limit ini ada dan bukan ∞ atau −∞
(c, f(c)) c
h 0
f ( c h ) f (c ) h
c+h
Garis Singgung Contoh : 1. Carilah kemiringan garis singgung pada kurva y = f(x) = x2 di titik (2,4) 2. Carilah kemiringan garis singgung pada kurva y = f(x) = -x2 + 2x+2 pada titik-titik dengan koordinat x = -1, ½ , 2 dan 3. 3. Carilah persamaan garis singgung pada kurva y = 1/x di titik (2, ½)
y = 1/x y = x2 y = -x2 +2x + 2
Kecepatan Rata-Rata dan Kecepatan Sesaat
Apabila benda P bergerak sepanjang garis koordinat sehingga posisinya pada saat t diberikan oleh s = f(t). Pada saat c, benda berada di f(c); pada saat c+h benda berada di f(c+h), maka kecepatan rata-rata pada interval ini adalah : f (c h ) f (c ) vavg h Sedangkan kecepatan sesaatnya adalah : f (c h) f ( c ) v lim vavg lim h0 h0 h Asalkan limitnya ada dan bukan ∞ atau −∞
perubahan waktu c c+h f(c)
perubahan posisi f(c+h)
Kecepatan Rata-Rata dan Kecepatan Sesaat Contoh : 1. Hitunglah kecepatan sesaat suatu benda jatuh dari posisi diam pada t = 3,8 detik dan pada t = 5,4 detik, jika f(t) = 16t2 2. Berapakah waktu yang diperlukan oleh benda jatuh dalam contoh di atas untuk mencapai kecepatan sesaat sebesar 112 m/dt 3. Sebuah partikel bergerak sepanjang garis koordinat dan s (jarak berarah dalam cm yang diukur dari titik asal ke titik yang dicapai setelah t detik) ditentukan oleh fungsi s = f(t) = (5t + 1)½ . Hitunglah kecepatan sesaat partikel setelah 3 detik 4. Problem Set 2.1 No. 18 - 25
Konsep Turunan (Derivative) Kemiringan garis singgung, kecepatan sesaat, laju pertumbuhan organisme, keuntungan marjinal, kepadatan kawat adalah merupakan konsep matematika yang dikenal dengan istilah turunan atau derivative. Definisi Turunan suatu fungsi f adalah fungsi lain f/ yang nilainya pada sembarang bilangan x adalah f ( x h) f ( x ) f / ( x) lim h 0 h Asalkan limit ini ada dan bukan ∞ atau −∞ Jika limit ini memang ada, maka dikatakan bahwa f terdiferensiasikan di c. Pencarian turunan disebut diferensiasi, dan bagian kalkulus yang berhubungan dengan turunan disebut kalkulus diferensial
Konsep Turunan (Derivative) Contoh : 1. Andaikan f(x) = 13x – 6. Carilah f/(4) 2. Jika f(x) = x3 + 7x, carilah f/(x) 3. Jika f(x) = 1/x, carilah f/(x) 4. Carilah F/(x) jika F(x) = √x, x > 0
Problem Set 2.2 No. 1 - 22
Teorema (Keterdiferensiasi-an Mengimplikasikan Kekontinuan Fungsi) Jika f/(c) ada, maka f dikatakan kontinu di c Teorema di atas tidak berlaku kebalikannya. Sebagai contoh fungsi f(x) = │x│ Tugas : Tentukan di mana saja suatu fungsi menjadi tidak terdiferensiasi ? Penulisan bentuk lain untuk turunan diberikan oleh Gottfried Leibniz, yang sering dikenal dengan sebutan notasi Leibniz. dy y f x x f x lim lim f / x Dx f x dx x 0 x x 0 x
Aturan Mencari Turunan
1. f ( x) constant 2. f ( x ) x
f ' ( x) 0
f ' ( x) 1
Aturan F. Konstanta Aturan F. Identitas
3. f ( x) x n f ' ( x) n x n 1
Aturan Pangkat
4. Dx [k f ( x)] k Dx f ( x) k f ' ( x)
Aturan Kelipatan Konstanta
5. Dx [ f ( x) g ( x)] f ' ( x) g ' ( x)
Aturan Jumlah
6. Dx [ f ( x) g ( x)] f ' ( x) g ' ( x)
Aturan Selisih
7. Dx [ f ( x) g ( x)] f ( x) g ' ( x) g ( x) f ' ( x) Aturan Hasil Kali 8. Dx [ f ( x) / g ( x)]
g ( x) f ' ( x) f ( x) g ' ( x) Aturan Hasil Bagi 2 g ( x)
Aturan Mencari Turunan Contoh : 1. Tentukan derivatif dari 5x2 + 7x – 6 dan 4x6 – 3x5 – 10x2 + 5x + 16 2. Misalkan g(x) = x; h(x) = 1 + 2x; f(x) = g(x)∙h(x) = x(1 + 2x). Temukan f/(x), g/(x), dan h/(x). Tunjukkan bahwa f/(x)≠ g/(x)∙h/(x) 3. Temukan derivatif dari (3x2 – 5)(2x4 – x) 4. Temukan d 3x 5
dx x 2 7
2 3 x4 1 x
5.
Tentukan Dxy jika y
6. 7.
Tunjukkan bahwa Dx(x –n) = − nx –n–1 Problem Set 2.3 No. 1 – 44
Turunan Fungsi Trigonometri
1. f ( x) sin x f ' ( x) cos x 2. f ( x) cos x f ' ( x) sin x 3. f ( x) tan x f ' ( x) sec 2 x 4. f ( x) cot x f ' ( x) csc 2 x 5. f ( x) sec x f ' ( x) sec x tan x 6. f ( x) csc x f ' ( x) csc x cot x
Turunan Fungsi Trigonometri Contoh : 1.
Tentukan Dx(3sin x – 2cos x)
2.
Tentukan persamaan garis singgung dari fungsi y = 3 sin x di titik (p,0)
3.
Tentukan Dx(x2 sin x)
4.
Tentukan
5.
Tentukan Dx(xn tan x) untuk n > 1
6.
Problem Set 2.4 No. 1 – 22
d 1 sin x dx cos x
Aturan Rantai Teorema (Aturan Rantai) Misalkan y = f(u) dan u = g(x). Jika g terdiferensiasikan di x dan f terdiferensiasikan di u = g(x), maka fungsi komposit f◦g, didefinisikan oleh (f◦g)(x) = f(g(x)) terdiferensiasikan di x dan : (f ◦g)/(x) = f/(g(x))∙g/(x) Atau Dx(f(g(x))) = f/(g(x))∙g/(x) Atau Dxy = Duy∙Dxu Atau dy dy du dx du dx
Aturan Rantai Contoh : 1.
Jika y = (2x2 – 4x + 1)60, tentukan Dxy
2.
Jika y = 1/(2x5 – 7)3, tentukan dy/dx
3.
t 3 2t 1 Temukan Dt 4 t 3
4.
Jika y = sin 2x, tentukan dy/dx
5.
Tentukan F/(y) jika F(y) = y sin y2
13
6.
x 2 1 x 3 Tentukan Dx 1 x d 1 dx 2 x 13
7.
Tentukan
8.
Tentukan Dxsin3(4x)
9.
Tentukan Dx sin[cos(x2)]
Problem Set 2.5 No. 1 - 40
