T¨ ort´ eneti m´ erf¨ oldk¨ ovek
T¨ort´eneti ´attekint´es. A folyammenti kult´ur´ak hanyatl´asa a II. ´evezred k¨ozep´et˝ol a nagy- ´es n¨ ovekv˝ o sz´am´ uu ´j papirusz ´es agyagt´abla nem jelentett min˝ os´egi fejl˝ od´est,
A g¨or¨og klaszikus kor. Logisztika (aritmetika) ´es sz´amelm´elet.
a bronzot f¨ olv´altotta a vas ⇒ az ennek birtok´aban lev˝ o n´epek gyors f¨ olemelked´ese, az I. ´evezred elej´en a fejl˝ od´es s´ ulypontja a F¨ oldk¨ ozi tenger medenc´ej´ebe (a partvid´ek ´es a szigetek) tev˝ od¨ ott ´at ⇒ a tengeri ” kor” kezdete.
Klukovits Lajos TTIK Bolyai Int´ ezet
´ Atmenet a kult´ura ter¨ulet´en: a MINOSZ-i kult´ura Kr´et´an.
2014. m´arcius 4.
I.e. 2500 - 1400-ig l´etezett, ´el´enk haj´ oforgalom, kereskedelem Kr´eta ´es Egyiptom k¨ oz¨ ott, Minosz palota, pusztul´asa I.e. 1400 k¨ or¨ ul, Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
Aritmetika - Sz´ amelm´ elet
2014. m´ arcius 4.
1 / 48
Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
T¨ ort´ eneti m´ erf¨ oldk¨ ovek
Aritmetika - Sz´ amelm´ elet
2014. m´ arcius 4.
2 / 48
T¨ ort´ eneti m´ erf¨ oldk¨ ovek
T¨ort´eneti ´attekint´es.
T¨ort´eneti ´attekint´es.
A g¨or¨og t¨orzsek bev´andorl´asa. A 3 bev´andorl´o t¨orzs el˝obb a kis´azsiai partvid´eket, ut´ana a szigetvil´agot (bele´ertve n´eh´any F¨ oldk¨ ozi tengeri szigetet, pl. Ciprust is), majd a Peloponeszoszi f´elszigetet foglalta el. I
I
I I
A ionok z¨ ommel szel´ıd” h´od´ıt´ok voltak, ´atvett´ek a kr´etai eredet˝ u ” kult´ ur´at, az ach´ajok m´ar szervezett birodalmat alak´ıtottak ki ´es megkezdt´ek a hatalom ´atv´etel´et, ezt a dorok befejeztek, kor´abbi helyett szinte egyeduralkod´ov´a tett´ek ˝osi indoeur´opai hitvil´agukat ¨ otv¨ ozve a kr´etaival.
A k´etf´ele — minoszi ´es indoeur´ opai — hitvil´agb´ ol alakult ki az ismert ¨ OG ¨ MITOLOGIA, amelyben egyar´ant tal´alhat´ GOR ok m¨ uk´enei- ´es indoeur´opai istenek.
A g¨or¨og kult´ura kezdetei. Az els˝ o jelent˝ os ´es hosszan l´etez˝ o g¨ or¨ og v´aros´allam a kis´azsiai MILETOSZ volt, amely eg´eszen I.e. 540-ig alapvet˝o szerepet j´atszott. Fontos keleti kapcsolatok: vita a matematika t¨ ort´en´eszek ´es a filol´ ogusok k¨ oz¨ ott, Platon: B´armit is vettek ´at a barb´arokt´ ol, azt mindig magasabb ” t¨ ok´elyre fejlesztett´ek.” Thal´esz, Pithagorasz, Demokritosz ´es Eudoxos utaz´asai. van der Waerden: ... a hell´enek nem lehettek olyan korl´atoltak, hogy ” ne vett´ek volna ´eszre ´es ne becs¨ ult´ek volna meg, ami az idegen kult´ ur´akban ´ert´ek.”
I.e. 1200 k¨or¨ ul Agamemnon vezet´es´evel sz¨ ovets´eg Troja ellen, a h´ıres Trojai h´abor´ u. Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
Aritmetika - Sz´ amelm´ elet
2014. m´ arcius 4.
3 / 48
Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
Aritmetika - Sz´ amelm´ elet
2014. m´ arcius 4.
4 / 48
A g¨ or¨ og matematika kezdetei
A g¨ or¨ og matematika kezdetei
Az els˝ o iskol´ ak
A Pitagoreusok Iskol´aja, kb. I.e 585-400
T¨ort´eneti ´attekint´es.
Pithagorasz 1
A Klasszikus G¨or¨og Kor: I.e. 550 - 350.
A szamoszi Pithagorasz ´elet´er˝ ol. 1
A g¨or¨og demokr´acia vir´agkora”. ” H´ıres matematikai ´es filoz´ofiai iskol´ak.
2 3
Ion Iskola, Pitagoreusok, Eleat´ak, Archytasz iskol´aja, Szofist´ak, Akad´emia, Lyceum, Eudoxos iskol´aja.
4 2
Az iskol´ar´ ol: 1
Az iskol´ak jellege.
2
Platon filoz´ofiai m˝ uvei, Arisztotelesz logik´aja. A matematika dedukt´ıv tudom´anny´a v´al´asa.
3
´sz, A k´et enciklop´edikus ¨osszegz˝ o matematikai munka: Euklide ´ pszeletek. Elemek, ´ es Apolloniusz, Ku 4
Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
Aritmetika - Sz´ amelm´ elet
A g¨ or¨ og matematika kezdetei
2014. m´ arcius 4.
5 / 48
Legenda szerint Thal´esz tan´ıtv´anya (is) volt. Utaz´asai: Egyiprom, Mezopot´amia, India (?), K´ına (???) Iskol´at alap´ıtott Crotonban (D´el-It´alia), Logisztika, aritmetika, geometria. A legend´ak szerint Pithagorasznak sok tan´ıtv´anya volt, DE a n´ev szerint ismert tagok: Philolaosz (V. sz.) ´es Archytasz (428-347) Proklosz (I.sz. V. sz.) szerint: ... Pithagorasz a matematik´at szabad el˝ oad´asokban ismertette, ... ˝ o volt (Pithagorasz), aki megteremtette a tiszta matematik´at”, s ezzel e tudom´anyt a szabad m˝ uv´eszetek” ” ” r´esz´ev´e tette. Ez azt (is) jelentette, hogy csak aritmetik´aval ´es geometri´aval foglalkoztak (a domin´ans az el˝ obbi).
Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
Az els˝ o iskol´ ak
Aritmetika - Sz´ amelm´ elet
A g¨ or¨ og matematika kezdetei
A Pitagoreusok Iskol´aja, kb. I.e 585-400.
2014. m´ arcius 4.
6 / 48
Az els˝ o iskol´ ak
A Pitagoreusok Iskol´aja, kb. I.e 585-400 Logisztika: figur´alis sz´amok. A h´aromsz¨ ogsz´amok. •
Nagy k´ erd´ es: val´oban ˝ok voltak-e a dedukt´ıv matematika megteremt˝oi, vagy csak — tiszteletre m´elt´ o — el˝ ofut´arai. •
Konkr´etabban: a sz´am absztrakt fogalma t˝ ol¨ uk ered-e? Kezdetben a sz´am fogalma m´eg n´aluk sem k¨ ul¨ on¨ ult el a fizikai val´os´agt´ol (pl. k¨ovek), erre utalnak a figur´alis sz´amokkal kapcsolatos eredm´enyek, DE ebben is benne van az absztrakci´ o cs´ır´aja. Proklosz ´es Eud´emosz
←→
•
• 1
• •
3
•
• •
•
6
Arisztotel´esz.
H´aromsz¨ogsz´amok. ´ aban: Altal´ hn = 1 + 2 + . . . + n = Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
Aritmetika - Sz´ amelm´ elet
2014. m´ arcius 4.
7 / 48
Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
Aritmetika - Sz´ amelm´ elet
n (n + 1) 2 2014. m´ arcius 4.
8 / 48
A g¨ or¨ og matematika kezdetei
Az els˝ o iskol´ ak
A g¨ or¨ og matematika kezdetei
A Pitagoreusok Iskol´aja, kb. I.e 585-400. Logisztika.
Az els˝ o iskol´ ak
A Pitagoreusok Iskol´aja, kb. I.e 585-400
N´egyzetsz´amok: •
•
•
•
Logisztika: n´egyzetsz´amok.
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
Tov´abbi ´eszrev´eteleik a n´egyzetsz´amokkal kapcsolatban: k 2 + (2k + 1) = (k + 1)2 , 1 + 3 + . . . + (2k + 1) = k 2 .
1
4
9
16
¨ Osszef¨ ugg´es a n´egyzetsz´amok ´es a h´aromsz¨ ogsz´amok k¨ oz¨ ott: nk = hk + hk+1 = Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
k k +1 (k + 1) + (k + 2) = (k + 1)2 2 2 Aritmetika - Sz´ amelm´ elet
A g¨ or¨ og matematika kezdetei
2014. m´ arcius 4.
9 / 48
Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
Az els˝ o iskol´ ak
Aritmetika - Sz´ amelm´ elet
A g¨ or¨ og matematika kezdetei
2014. m´ arcius 4.
Az els˝ o iskol´ ak
A Pitagoreusok Iskol´aja, kb. I.e 585-400. Logisztika.
A Pitagoreusok Iskol´aja, kb. I.e 585-400. Logisztika.
¨ ogsz´amok. Otsz¨
Hatsz¨ogsz´amok.
1, 5, 8, 11, . . . Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
Aritmetika - Sz´ amelm´ elet
10 / 48
1, 6, 10, 14, . . . 2014. m´ arcius 4.
11 / 48
Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
Aritmetika - Sz´ amelm´ elet
2014. m´ arcius 4.
12 / 48
A g¨ or¨ og matematika kezdetei
Az els˝ o iskol´ ak
A g¨ or¨ og matematika kezdetei
A Pitagoreusok Iskol´aja, kb. I.e 585-400. Aritmetika (sz´amelm´elet).
Az els˝ o iskol´ ak
Pitagoreus eredet˝u fogalmak.
´ Altaluk bevezetett fogalmak.
Euklidesz, Elemek VII.
A sz´am fogalma, p´aros- ´es p´aratlan sz´am,
VII.1.D Az egys´eg az, ami szerint minden l´etez˝ ot egynek mondunk.
pr´ımsz´am, ¨osszetett sz´am,
VII.2.D A sz´am az egys´egekb˝ ol ¨ osszetev˝ od˝ o sokas´ag.
oszt´o (r´esz), t¨ok´eletes sz´am, pl. 6, 28, 496, 8128. Nichomachos sejt´ese.
VII.3.D Egy kisebb sz´am egy nagyobbnak h´anyada (r´esze), ha osztja a nagyobbat.
A sz´amtani-, a m´ertani- ´es a harm´ onikus k¨ oz´ep fogalma.
VII.12.D Pr´ımsz´am, amelyik csak az egys´eggel oszthat´ o. (A8)
Zenei ar´any:
VII.13.D Sz´amok egym´ashoz relat´ıv pr´ımek, ha csak az egys´eg k¨ oz¨ os oszt´ ojuk. ¨ VII.14.D Osszetett az a sz´am, amelyiket valamely sz´am oszt.
p:
p+q 2pq = :q 2 p+q
¨ Osszem´ erhet˝os´eg: a ´es b (sz´amok, szakaszok) ¨ osszem´erhet˝ ok, ha van olyan c, hogy a = mc, b = nc valamely m, n sz´amra. Nem ¨osszem´erhet˝o = irracion´alis. Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
Aritmetika - Sz´ amelm´ elet
A g¨ or¨ og matematika kezdetei
2014. m´ arcius 4.
13 / 48
Az els˝ o iskol´ ak
Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
Aritmetika - Sz´ amelm´ elet
A g¨ or¨ og matematika kezdetei
Pitagoreus eredet˝u fogalmak.
2014. m´ arcius 4.
14 / 48
Az els˝ o iskol´ ak
A Pitagoreusok Iskol´aja, kb. I.e 585-400. Aritmetika (sz´amelm´elet). Nekik tulajdon´ıtott (Eudemosz ´es m´asok) ¨osszef¨ugg´es (t´etel). Ha m p´aratlan sz´am, akkor
Euklidesz, Elemek VII.
VII.17.D A k´et sz´am ¨osszeszorz´asakor keletkez˝ o sz´amot s´ıksz´amnak nevezz¨ uk, az ¨osszeszorzott sz´amokat pedig az oldalaknak. VII.23.D Egy sz´am t¨ok´eletes, ha egyenl˝ o oszt´ oi (r´eszei) ¨ osszeg´evel.
m,
m2 − 1 m2 + 1 , 2 2
u ´n. pitagoraszi sz´amh´armas, azaz az ilyen oldalhossz´ us´ag´ u h´aromsz¨ ogek der´eksz¨ og˝ uek. A p´arosr´ ol ´es a p´aratlanr´ ol sz´ ol´ o tan´ıt´as,” Euklid´esz, Elemek IX. ” 21-33. T´etel. Arisztotel´esz szerint: az, hogy a n´egyzet oldala ´es ´atl´ oja nem osszem´erhet˝ ¨ o az ˝ o f¨ olfedez´es¨ uk. √ Az, hogy 2 ¨ osszem´erhetetlen az 1 egys´eggel, el˝ osz¨or ˝ ok igazolt´ak, ´ ad elm´elete. m´ odszer¨ uk a reductio ad absurdum” volt. → Szab´o Arp´ ”
Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
Aritmetika - Sz´ amelm´ elet
2014. m´ arcius 4.
15 / 48
Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
Aritmetika - Sz´ amelm´ elet
2014. m´ arcius 4.
16 / 48
A g¨ or¨ og matematika kezdetei
Az els˝ o iskol´ ak
A g¨ or¨ og matematika kezdetei
Elemek IX. K¨onyv.
Az els˝ o iskol´ ak
A Pitagoreusok Iskol´aja, kb. I.e 585-400. Aritmetika.
A P´arosr´ol ´es a P´aratlanr´ol sz´ol´o tan´ıt´as. Nekik tulajdon´ıtott (Eudemosz ´es m´asok) eredm´eny (folytat´as).
IX.21. B´arh´any p´aros sz´amot adunk ¨ ossze, az ¨ osszeg p´aros. IX.23. Ha ¨osszeadunk valah´any p´aratlan sz´amot, amelyek p´aratlan sokan vannak, akkor az ¨osszeg is p´aratlan lesz.
Az ¨ osszem´erhetetlen ar´anyok → irracion´alis mennyis´egek (sz´amok) elm´elet´enek kezdete → Elemek X. k¨ onyve.
IX.25. Ha egy p´aros sz´amb´ ol p´aratlant vonunk ki, a marad´ek p´aratlan.
V´egtelen sok pr´ımsz´am van.
IX.30. Ha egy p´aratlan sz´am oszt egy p´arosat, akkor a fel´et is osztja.
K´et sz´am legnagyobb k¨ oz¨ os oszt´ oj´anak (k¨ oz¨ os r´esz´enek) l´etez´ese, kisz´am´ıt´asa.
Elegend˝ o f¨ olt´etel valamely p´aros sz´am t¨ ok´eletes sz´am volt´ara.
IX.31. Ha egy p´aratlan sz´am relat´ıv pr´ım valamely sz´amhoz, akkor a k´etszeres´ehez is relat´ıv pr´ım.
Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
Aritmetika - Sz´ amelm´ elet
A g¨ or¨ og matematika kezdetei
2014. m´ arcius 4.
17 / 48
Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
Aritmetika - Sz´ amelm´ elet
A g¨ or¨ og matematika kezdetei
K´ et m´ ely t´ etel ´ es ut´ o´ elet¨ uk.
A IX. K¨onyv (a harmadik aritmetikai: sz´amelm´elet).
2014. m´ arcius 4.
18 / 48
K´ et m´ ely t´ etel ´ es ut´ o´ elet¨ uk.
A IX. K¨onyv (a harmadik aritmetikai: sz´amelm´elet). A bizony´ıt´as folytat´asa.
T´etelek. IX.20. Pr´ımsz´amok b´armely adott sokas´ag´an´al van t¨ obb.
Ne legyen most d pr´ım. Ekkor osztja valamely pr´ımsz´am (VII. 31. T´etel). Ossza a g pr´ım.
Bizony´ıt´ as. (az eredeti) Legyenek az adott pr´ımsz´amok a, b ´es c. Azt ´all´ıtom, hogy t¨obb pr´ımsz´am van, mint a, b ´es c.
Azt ´all´ıtom, hogy g az a, b ´es c egyik´evel sem azonos.
Vegy¨ uk ugyanis a, b ´es c legkisebb k¨ oz¨ os t¨ obbsz¨ or¨ os´et, ami — a VII. 36. T´etel szerint — abc ´es tekints¨ uk az d = abc + 1 = e + 1 sz´amot.
Tegy¨ uk f¨ ol ugyanis, hogy az a, b ´es c osztj´ak e-t, teh´at g is osztja e-t (ugyanis a, b ´es c az ¨ osszes pr´ım).
Ez vagy pr´ımsz´am, vagy ¨osszetett sz´am.
Viszont g d-t is osztja, teh´at a marad´ek egys´eget is osztja g , ami ellentmond´as, hiszen g sz´am.
Legyen el˝osz¨or pr´ım. Tal´altunk teh´at az a, b, c sz´amokn´al t¨ obb pr´ımet, ezeket ´es m´eg d-t.
g teh´at nem azonos az a, b, c sz´amok egyik´evel sem.
Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
Aritmetika - Sz´ amelm´ elet
2014. m´ arcius 4.
A felt´etel szerint pr´ım, teh´at tal´altunk az adott a, b, c pr´ımekn´el t¨ obb ´ pr´ımet, a-t, b-t, c-t ´es g -t. Eppen ezt kellett megmutatni.
19 / 48
Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
Aritmetika - Sz´ amelm´ elet
2014. m´ arcius 4.
20 / 48
A g¨ or¨ og matematika kezdetei
K´ et m´ ely t´ etel ´ es ut´ o´ elet¨ uk.
A g¨ or¨ og matematika kezdetei
A IX. K¨onyv (a harmadik aritmetikai: sz´amelm´elet).
K´ et m´ ely t´ etel ´ es ut´ o´ elet¨ uk.
Egy m´eg meglep˝obb t´etel. A IX. k¨onyv utols´o t´etele.
A bizony´ıt´as folytat´asa. 1. Megjegyz´ es. Az oszthat´ os´ag egy elemi tulajdons´ag´at haszn´alja, amelyet — k´et m´asikkal egyetemben — sohasem fogalmaz meg, de ismertnek t´etelez f¨ol: ha z = u + v , t|z, t|u akkor t|v . 2. Megjegyz´ es. Az im´enti bizony´ıt´as l´enyeg´eben megegyezik azzal, amelyet az elemi sz´amelm´eleti tanulm´anyainkban megismert¨ unk, csak ott a f¨olt´etelben szerepl˝o ¨ osszes” pr´ımsz´am a p1 , p2 , . . . , pk . ” Euklidesz bizony´ıt´asa l´enyeg´eben csak azt haszn´alja ki, hogy abb´ ol a f¨olt´etelb˝ol, hogy csak v´eges sok pr´ımsz´am l´etezik, sz¨ uks´egk´epp ellentmond´asra jutunk. Teh´at tulajdonk´eppen azt igazolja, hogy v´egtelen sok pr´ımsz´am van, de ezt ´ıgy nem fogalmazza meg, hiszen az ˝o vil´aga v´eges.
IX.36. Ha az egys´egt˝ ol indulva k´etszeres ar´anyban m´ertani sorozatot alkotunk addig, am´ıg az ¨osszeg pr´ımsz´am nem lesz, ´es ezt megszorozzuk az utols´ o taggal, akkor t¨ ok´eletes sz´amot kapunk.
Mai terminol´ogi´aval, szimbolik´aval A (1 + 2 + 4 + . . . + 2k−1 )2k−1 sz´am t¨ ok´eletes, ha az els˝ o t´enyez˝ o, azaz 1 + 2 + 4 + . . . + 2k−1 = 2k − 1 pr´ımsz´am. Ekkor k is pr´ım.
Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
Aritmetika - Sz´ amelm´ elet
A g¨ or¨ og matematika kezdetei
2014. m´ arcius 4.
21 / 48
Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
K´ et m´ ely t´ etel ´ es ut´ o´ elet¨ uk.
Aritmetika - Sz´ amelm´ elet
A g¨ or¨ og matematika kezdetei
Megjegyz´esek.
2014. m´ arcius 4.
22 / 48
K´ et m´ ely t´ etel ´ es ut´ o´ elet¨ uk.
T¨ok´eletes sz´amok: a mai helyzet. I.sz. 100 k¨or¨ul Nichomachosz
1
A XVIII. sz´azadban L. Euler igazolta e t´etel megford´ıt´as´at, azaz azt, hogy minden p´aros t¨ok´eletes sz´am ilyen alak´ u.
2
Ebb˝ol k¨ovetkez˝oen, a p´aros t¨ ok´eletes sz´amok keres´ese Mk = alak´ u, u ´n Mersenne-pr´ımek keres´es´ere reduk´al´ odik.
3
Vil´agos, hogy Mk csak akkor pr´ım, ha k pr´ım. Term´eszetes k´erd´esek:
4
1
2
2k
−1
Az els˝ o 4 t¨ ok´eletes sz´am: 6, 28, 496, 8128. K´et sejt´est fogalmazott meg e sz´amokkal kapcsolatban: 1 2
Az n-edik t¨ ok´eletes sz´am n jegy˝ u, A p´aros t¨ ok´eletes sz´amok f¨ olv´altva 6-ra ´es 8-ra v´egz˝ odnek.
Mindk´et sejt´es hamis, DE...
Kora k¨oz´epkori komment´arok.
l´etezik-e v´egtelen sok Mersenne-pr´ım, azaz v´egtelen sok p´aros t¨ok´eletes sz´am. l´etezik-e p´aratlan t¨ ok´eletes sz´am.
St. Augustinus (VI.sz.): b´ar Isten a Vil´agot egyszerre is megteremthette volna, de jobbnak l´atta ezt hat napig tart´ onak nyilv´an´ıtani, mert a m˝ u t¨ ok´eletess´eg´et a hat t¨ ok´eletes sz´am is szimboliz´alja. Az Univerzum t¨ ok´eletess´eg´et az is szimboliz´alja, hogy egy holdh´ onap (az az id˝ o, amely alatt a Hold megker¨ uli a F¨ oldet) 28 napos, vagyis egy t¨ ok´eletes sz´ammal adhat´ o meg.
Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
Aritmetika - Sz´ amelm´ elet
2014. m´ arcius 4.
23 / 48
Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
Aritmetika - Sz´ amelm´ elet
2014. m´ arcius 4.
24 / 48
A g¨ or¨ og matematika kezdetei
K´ et m´ ely t´ etel ´ es ut´ o´ elet¨ uk.
A g¨ or¨ og matematika kezdetei
T¨ok´eletes sz´amok: a mai helyzet.
K´ et m´ ely t´ etel ´ es ut´ o´ elet¨ uk.
T¨ok´eletes sz´amok: a mai helyzet.
Kora k¨oz´epkori komment´arok. yorki Alcuin (VIII.sz.): ... a mai emberis´eg a No´e b´ark´aj´aban utaz´ o nyolc l´elek lesz´armazottja, s ez a m´asodik teremt´es m´ar kev´esb´e t¨ok´eletes, mint az eredeti, l´ev´en a nyolc nem t¨ ok´eletes sz´am.
Marin Mersenne 1644 A Mk = 2k − 1 sz´amokat vizsg´alta a k ≤ 257 pr´ımekre. ´ ıt´asa: Mk pr´ım, valah´anyszor All´ k = 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 67, 127 ´es 257.
Tov´abbi t¨ok´eletes sz´amok. Hidalricus Regius (a XV. sz´azad):
211
− 1 = 2047 = 23 · 89.
V´elhet˝ oen csak a k < 31 eseteket tesztelte explicite.
XV. sz´azadi n´evtelen k´ezirat: az ¨ ot¨ odik t¨ ok´eletes sz´am
Euler meg´allap´ıtotta, hogy M31 pr´ım, megkapta a nyolcadik (p´aros) t¨ ok´eletes sz´amot:
P5 = 212 (213 − 1) = 33.550.336,
P8 = 230 (231 − 1) = 2.305.843.008.139.952.128
Nichomachos 1. sejt´ese? Ugyn˝o, a hatodik t¨ok´eletes sz´am: P6 = 216 (217 − 1) = 8.589.869.056. A m´asodik sejt´es is hamis. Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
Aritmetika - Sz´ amelm´ elet
A g¨ or¨ og matematika kezdetei
2014. m´ arcius 4.
25 / 48
K´ et m´ ely t´ etel ´ es ut´ o´ elet¨ uk.
Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
Aritmetika - Sz´ amelm´ elet
A g¨ or¨ og matematika kezdetei
2014. m´ arcius 4.
26 / 48
K´ et m´ ely t´ etel ´ es ut´ o´ elet¨ uk.
T¨ok´eletes sz´amok: a mai helyzet.
T¨ok´eletes sz´amok: a mai helyzet.
Marin Mersenne 1644
M´ara az ¨ osszes Mn , n < 257 teljes faktoriz´aci´ oja ismert. Ezek k¨ oz¨ ul tal´an a legnehezebb (a leghosszadalmasabb) az M251 faktoriz´aci´ oja volt, amelyet el˝ osz¨ or 1984-ben tudtak elv´egezni, s 32 ´ ora CPU id˝ ot ig´enyelt egy szupersz´am´ıt´ og´epen.
A lista ¨ot hib´at tartalmaz: 1 2
M67 ´es M257 nem pr´ımek, a list´an nem szerepl˝ o M61 , M89 , M107 pr´ımek.
M127 pr´ım volt´at csak a XIX. sz´azad v´eg´en igazolta E. Lucas.
A tov´abbl´ep´es. Lucas t´etele. K´epezz¨ uk a k¨ ovetkez˝ o (rekurz´ıv) sorozatot: 2 − 2. Egy 4k + 3 alak´ r1 = 3, rm+1 = rm u p pr´ımre Mp pontosan akkor pr´ım, ha Mp |rp−1 . Lehmer ´altal´anos´ıt´asa a XX. sz´azad 20-as ´eveib˝ ol: M´ odos´ıtsuk az el˝oz˝o t´etelben szerepl˝o sorozatot annyiban, hogy az els˝ o tag 4 (´es nem 3). Tetsz˝oleges p pr´ımre Mp pontosan akkor pr´ım, ha Mp |rp−1 .
Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
Aritmetika - Sz´ amelm´ elet
2014. m´ arcius 4.
27 / 48
Jelenleg (2014. febru´ar) 48 Mersenne pr´ım (p´aros t¨ ok´eletes sz´am) ismert, a legnagyobb a p = 57.885.161 kitev˝ oh¨ oz tartozik, decim´alis jegyei sz´ama 17.425.170, tesztel´ese 39 napot vett ig´enybe egy sz´am´ıt´ og´epen. A 47. Mersenne pr´ım 12.978.189 jegy˝ u. Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
Aritmetika - Sz´ amelm´ elet
2014. m´ arcius 4.
28 / 48
A g¨ or¨ og matematika kezdetei
K´ et m´ ely t´ etel ´ es ut´ o´ elet¨ uk.
Elemek.
T¨ok´eletes sz´amok: a mai helyzet.
Euklidesz.
K´et nyitott k´erd´es 1
L´etezik-e v´egtelen sok p´aros t¨ ok´eletes sz´am?
2
L´etezik-e p´aratlan t¨ok´eletes sz´am?
1
Euklidesz az Akad´emi´an tanulhatott, de Alexandri´aban dolgozott I.e. 300 k¨ or¨ ul.
2
A klasszikus kor ut´an ´elt, de annak szellem´eben ´ırta k¨ onyveit (Elemek, K´ upszeletek, Optika, stb.).
3
Az Elemek a klasszikus kor matematik´aja egy r´esz´enek enciklop´edikus osszefoglal´asa, mai sz´ ¨ ohaszn´alattal nem form´alis axi´ omatikus elm´eletk´ent. Sok szerz˝ o m˝ uv´eb˝ ol ´all´ıtotta ¨ ossze.
4
1 2
Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
Aritmetika - Sz´ amelm´ elet
2014. m´ arcius 4.
29 / 48
khioszi Hippoktatesz, a platonista Leon k¨ onyvei, Eudoxos ´es Theaitetosz sz´amos eredm´eny´et ´ep´ıtette be.
Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
Elemek.
30 / 48
Az Elemek szerkezete.
Milyen form´aban maradt f¨onn? 1 2
3
4
5 2
2014. m´ arcius 4.
Elemek.
Euklidesz.
1
Aritmetika - Sz´ amelm´ elet
A meg´ır´as kor´ab´ ol nincs f¨onnmaradt k´ezirat. K´es˝ obbi g¨ or¨ og komment´arok: az alexandriai Heron, Pappos (I.sz. 3. sz.), az alexandriai Theon ´es a neoplatonista Proklosz (mindkett˝o I.sz. 4. sz.) a legjelent˝ osebbek. A t˝ ol¨ uk sz´armaz´ o g¨ or¨ og nyelv˝ u t¨ored´ekek ´es a k´es˝obbi arab ford´ıt´asok az autentikus forr´asok. A legr´egebbi teljes k´ezirat 10. sz´azadi ´es a Vatik´ani K¨onyvt´arban ˝ orzik. G¨or¨ og nyelv˝ u v´altozat a Theon el˝otti id˝okb˝ol. Bath-i Adelard latin ford´ıt´asa 1142.
Euklidesz t¨obbi k¨onyve jelenleg ismeretlen, a K´ upszeletek Apolloniusz k¨onyv´enek elej´en r´eszben olvashat´ o.
Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
Aritmetika - Sz´ amelm´ elet
2014. m´ arcius 4.
31 / 48
13 k¨ onyvb˝ ol” ´all. ” Kev´es kiv´etellel mindegyik defin´ıci´ okkal kezd˝ odik. Ezeket v´altoz´ o sz´am´ u t´etel ´es azok szigor´ u bizony´ıt´asa k¨ oveti. Az els˝ o k¨ onyv m´as: a defin´ıci´ ok ut´an 5 posztul´atum (mai terminol´ ogi´aval axi´ oma) majd 9 axi´ oma (ma axi´ oma s´ema) k¨ ovetkezik a t´etelek el˝ ott. Megjegyz´ es. Az axi´ om´ak sz´ama kiad´asr´ ol-kiad´asra v´altozhat, olykor a posztul´atumokhoz csatolj´ak.
Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
Aritmetika - Sz´ amelm´ elet
2014. m´ arcius 4.
32 / 48
Elemek.
Elemek.
A II. K¨onyv (a geometriai algebra”). ”
A II. K¨onyv (a geometriai algebra”). ” T´etelek eredeti sz¨oveggel.
T´etelek eredeti sz¨oveggel. II.1. Ha van k´et szakasz, ´es az egyik¨ uket valah´any r´eszre osztjuk, akkor a k´et szakasz ´altal k¨ ozrefogott t´eglalap egyenl˝ o a f¨ olosztatlan szakasz ´es az egyes r´eszek ´altal k¨ ozrefogott t´eglalapok ¨ osszeg´evel.
II.4. Ha egy egyenesszakaszt tetsz˝ olegesen kett´eosztunk, akkor a teljes szakaszra emelt n´egyzet egyenl˝ o az egyes r´eszekkel szerkesztett n´egyzeteknek meg a k´et r´esz ´altal k¨ ozrefogott t´eglalap k´etszeres´enek osszeg´evel. ¨
Bizony´ıt´ as.
Bizony´ıt´ as.
Formaliz´alva: a(b + c + d + . . .) = ab + ac + ad + . . . Formaliz´ alva: (a + b)2 = a2 + 2ab + b 2 Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
Aritmetika - Sz´ amelm´ elet
2014. m´ arcius 4.
33 / 48
Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
Aritmetika - Sz´ amelm´ elet
Elemek.
2014. m´ arcius 4.
34 / 48
Elemek.
Az V. K¨onyv (Eudoxos: Mennyis´egek elm´elete).
Az V. K¨onyv (Eudoxos: Mennyis´egek elm´elete).
Defin´ıci´ok (csak mai terminol´ogi´aval).
T´etelek (csak mai terminol´ogi´aval). Legyenek a, b, . . . tetsz˝ oleges mennyis´egek, m, n, . . . eg´esz sz´amok.
V.5.D Legyenek a, b, c, d mennyis´egek. Ezekre f¨ on´all, hogy
V.1. ma + mb + mc + . . . = m(a + b + c + . . .)
a c = . b d
V.4. Ha
Ha a, c-t tetsz˝oleges eg´esz sz´ammal, mondjuk m-mel, m´ıg b, d-t tetsz˝oleges eg´esz sz´ammal, mondjuk n-nel megszorozzuk, akkor m, n b´armely v´alaszt´as´an´al
a b
V.12. Ha
= dc , akkor a b
=
c d
ma mc = . nb nd
= fe , akkor a a+c +e = . b b+d +f
Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
ma < nb
⇒ mc < nd,
ma = nb
⇒ mc = nd,
ma > nb
⇒ mc > nd.
Aritmetika - Sz´ amelm´ elet
V.17-18. Ha
a b
= dc , akkor a∓b c ∓d = . b d
2014. m´ arcius 4.
35 / 48
Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
Aritmetika - Sz´ amelm´ elet
2014. m´ arcius 4.
36 / 48
Elemek.
Elemek.
A VII. K¨onyv (az els˝o aritmetikai).
A VII. K¨onyv (az els˝o aritmetikai). T´etelek.
Defin´ıci´ok. VII.1.D Az egys´eg az, ami szerint minden l´etez˝ ot egynek mondunk. VII.2.D A sz´am az egys´egekb˝ ol ¨ osszetev˝ od˝ o sokas´ag. VII.3.D Egy kisebb sz´am egy nagyobbnak h´anyada (r´esze), ha osztja a nagyobbat. VII.12.D Pr´ımsz´am, amelyik csak az egys´eggel oszthat´ o. VII.13.D Sz´amok egym´ashoz relat´ıv pr´ımek, ha csak az egys´eg k¨ oz¨ os oszt´ojuk. ¨ VII.14.D Osszetett az a sz´am, amelyiket valamely sz´am oszt. VII.17.D A k´et sz´am ¨osszeszorz´asakor keletkez˝ o sz´amot s´ıksz´amnak nevezz¨ uk, az ¨osszeszorzott sz´amokat pedig az oldalaknak. VII.23.D Egy sz´am t¨ok´eletes, ha egyenl˝ o oszt´ oi (r´eszei) ¨ osszeg´evel.
VII.1. Ha van k´et nem egyenl˝ o sz´amunk, a kisebbet v´altakozva mindig kivonjuk a nagyobb´ ol, ´es a marad´ek sohasem osztja a megel˝ oz˝ o sz´amot, m´ıg csak nem az egys´eg a marad´ek, akkor az eredeti sz´amok relat´ıv pr´ımek. VII.2. Keress¨ uk meg k´et adott nem relat´ıv pr´ım sz´am legnagyobb k¨ oz¨ os oszt´ oj´at. VII.16. A k´et sz´am ¨ osszeszorz´asakor keletkez˝ o sz´amok egyenl˝ ok egym´assal [f¨ uggetlen¨ ul a sorrendt˝ ol]. VII.18. Ha egy sz´amot megszorzunk k´et sz´ammal, akkor a keletkezett sz´amok ar´anya ugyanaz, mint a szorz´ ok´e. VII.22. Az ugyanazon ar´any´ u sz´amok k¨ oz¨ ul a legkisebbek relat´ıv pr´ımek. VII.31. B´armely sz´am pr´ım, vagy osztja egy pr´ımsz´am.
Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
Aritmetika - Sz´ amelm´ elet
2014. m´ arcius 4.
37 / 48
Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
Elemek.
38 / 48
A IX. K¨onyv (a harmadik aritmetikai: sz´amelm´elet).
T´etelek. VIII.1. Ha egy tetsz˝oleges sok tag´ u m´ertani sorozat sz´els˝ o tagjai relat´ıv pr´ımek, akkor a sorozat tagjai legkisebbek azon sz´amok k¨ oz¨ ott, amelyeknek ugyanaz az ar´anya, mint nekik. VIII.6. Ha egy tetsz˝oleges sok tag´ u m´ertani sorozat els˝ o tagja nem osztja a m´asodikat, akkor egyetlen tag sem oszt semmilyen m´asikat. VIII.14. Ha egy n´egyzetsz´am oszt egy m´asikat, akkor az oldala is osztja a m´asiknak az oldal´at; s ha az egyiknek az oldala osztja a m´asiknak az oldal´at, akkor az egyik n´egyzetsz´am is osztja a m´asik n´egyzetsz´amot.
2014. m´ arcius 4.
T´etelek. IX.2. Ha k´et sz´am ¨ osszeszorz´asakor n´egyzetsz´am keletkezik, akkor a sz´amok hasonl´ o s´ıksz´amok. IX.11. Ha az egys´eggel kezd˝ od˝ oen valah´any sz´am m´ertani sorozatot alkot, akkor egy kisebb tag egy nagyobban valamely, a sorozatban el˝ ofordul´ o sz´am szerint van meg. IX.14. Pr´ımsz´amok legkisebb k¨ oz¨ os t¨ obbsz¨ or¨ os´et egyetlen m´as pr´ımsz´am sem osztja, csak amelyek eredetileg is osztj´ak.
VIII.22. Ha egy h´aromtag´ u m´ertani sorozat els˝ o tagja n´egyzetsz´am, akkor a harmadik is n´egyzetsz´am.
Aritmetika - Sz´ amelm´ elet
2014. m´ arcius 4.
Elemek.
A VIII. K¨onyv (a m´asodik aritmetikai: sorozatok).
Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
Aritmetika - Sz´ amelm´ elet
39 / 48
A k¨ onyv tov´abbi t´eteleir˝ ol m´ar sz´ oltunk.
Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
Aritmetika - Sz´ amelm´ elet
2014. m´ arcius 4.
40 / 48
Elemek.
Irracion´ alisok
Elemek.
A X. K¨onyv (az irracion´alisok o´kori elm´elete).
Irracion´ alisok
A X.1. T´etel bizony´ıt´asa 1. Legyen a k´et nem egyenl˝ o mennyis´eg a, c ´es a > c.
X.1.D Mennyis´egeket ¨osszem´erhet˝ oknek mondunk, ha ugyanazon m´ert´ekkel m´erhet˝ok, ¨osszem´erhetetleneknek pedig, ha nem tal´alhat´ o hozz´ajuk k¨oz¨os m´ert´ek. ´ nevezz¨ X.4.D Es uk az adott szakasz n´egyzet´et racion´alisnak, ´es az azzal ¨osszem´erhet˝o fel¨ uleteket racion´alisnak, az azzal ¨osszem´erhetetleneket pedig irracion´alisoknak, az o˝ket el˝ o´all´ıt´ o szakaszokat — ti. ha a fel¨ uletek n´egyzetek, magukat az oldalakat, ha pedig valamely m´as soksz¨ ogek, a vel¨ uk egyenl˝ o n´egyzeteket f¨ olrajzol´ o szakaszokat — irracion´alisoknak. X.1. T´ etel. Ha adva van k´et nem egyenl˝ o mennyis´eg ´es a nagyobbikb´ol levonunk a fel´en´el t¨ obbet, ´es a marad´ekb´ ol ism´et a fel´en´el t¨obbet, ´es ´ıgy tov´abb, akkor egy olyan mennyis´eg fog megmaradni, amely kisebb az adott mennyis´egek kisebbik´en´el.
Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
Aritmetika - Sz´ amelm´ elet
Elemek.
2014. m´ arcius 4.
Az V.4. Defin´ıci´ o — mennyis´egek egym´ashoz viszony´ıtott ar´any´ar´ ol akkor besz´el¨ unk, ha az egyik t¨ obbsz¨ or¨ ose meghaladja a m´asikat — ´ertelm´eben c-nek van olyan t¨ obbsz¨ or¨ ose, amely meghaladja a-t. Legyen ez dc > a. Megjegyz´ es. Euklidesz eredeti bizony´ıt´as´aban d = 3, amit u ´gy haszn´al, hogy az nem szor´ıtja meg az ´altal´anoss´agot. Adjuk meg a k¨ ovetkez˝ o e1 , . . . , ed−1 mennyis´egeket: a a − e1 a − (e1 + e2 ) e1 > , e2 > , e3 > ,..., 2 2 2 a − (e1 + . . . + ed−2 ) ed−1 > 2
41 / 48
Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
Irracion´ alisok
Aritmetika - Sz´ amelm´ elet
Elemek.
A X.1. T´etel bizony´ıt´asa 2.
2014. m´ arcius 4.
42 / 48
Irracion´ alisok
A X.1. T´etel bizony´ıt´asa 3. Mivel dc > a,
Az a mennyis´egb˝ol ezut´an levonjuk e1 -et, majd az a − e1 mennyis´egb˝ol az e2 -t, az a − (e1 + e2 )-b˝ ol az e3 -at ´es ´ıgy tov´abb, ¨osszesen d − 1 sz´am´ u l´ep´est tesz¨ unk.
dc − c = (d − 1)c > a − e1
L´athat´o: az e1 , . . . , ed−1 mennyis´egeket u ´gy hat´arozzuk meg, hogy a levon´asok mindig elv´egezhet˝ ok legyenek, azaz pozit´ıv mennyis´eg maradjon minden egyes l´ep´es ut´an. Tekints¨ uk most a dc mennyis´egeket, ´es abb´ ol is vonjunk le d − 1 sz´am´ u l´ep´esben mindig c-t. Ez esetben mindig az adott (kapott) mennyis´eg fel´en´el kevesebbet vonunk le.
(d − 1)c − c = d − 2c > a − (e1 + e2 ) .. . (d − (d − 2))c − c = c > a − (e1 + . . . + ed−1 ). Az utols´ o egyenl˝ otlens´eg ´eppen a bizony´ıtand´ o, hiszen
Hasonl´ıtsuk most ¨ossze a k´et elj´ar´asunkat.
(d − (d − 2))c − c = c > a − (e1 + . . . + ed−1 ) = (. . . ((a − e1 ) − e2 ) − . . . − ed−2 ) − ed−1 .
Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
Aritmetika - Sz´ amelm´ elet
2014. m´ arcius 4.
43 / 48
Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
Aritmetika - Sz´ amelm´ elet
2014. m´ arcius 4.
44 / 48
Elemek.
Irracion´ alisok
Elemek.
A X.1. T´etel bizony´ıt´asa 4.
Irracion´ alisok
A X.1. T´etel bizony´ıt´asa 5.
Megjegyz´esek. 1
Euklideszn´el a f¨onti bizony´ıt´asban d = 3, de gondolatmenete megegyezik az ´altalunk le´ırt ´altal´anos esetn´el alkalmazottal.
2
Euklidesz megjegyzi: hasonl´ o a bizony´ıt´as, ha a fele r´eszeket vonjuk ” le”.
3
Vegy¨ uk ´ eszre: Euklidesz azt haszn´alta — hivatkozva az V. k¨ onyv 4. defin´ıci´ oj´ara —, hogy ... ha k´et nem egyenl˝o mennyis´eg k¨ oz¨ ul a kisebbiket v´eges sz´am´ u l´ep´esben ¨onmag´ahoz adjuk, akkor a nagyobbikn´al nagyobb mennyis´eget kapunk.
4
DE az id´ezett defin´ıci´o erre nem jogos´ıt, az csak ar´anyuk l´etez´es´er˝ ol sz´ol.
Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
Aritmetika - Sz´ amelm´ elet
Elemek.
2014. m´ arcius 4.
45 / 48
Archimedesz megjegyz´ese. Archim´ed´esz r´amutatott, hogy ezt posztul´alni kellettt volna, amit Eudoxos meg is tett. Archm´ed´esz ugyancsak posztul´atumk´ent haszn´alta, az´ ota nevezik Archim´ed´esz - Eudoxos axi´ om´anak.
Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
Irracion´ alisok
Aritmetika - Sz´ amelm´ elet
Elemek.
A X.1. T´etel bizony´ıt´asa 6.
2014. m´ arcius 4.
46 / 48
Irracion´ alisok
A X. K¨onyv befejez´ese.
Komment´arok. 1
A kutat´asok szerint a X. k¨onyv legnagyobb r´esze Eudoxost´ ol ´es Theaitetoszt´ol ered, ´ıgy lehet, hogy Euklidesz egyszer˝ ubbre val´ o ” t¨orekv´es´evel” tal´alkozunk itt.
2
A. de Morgan r¨ ovid summ´azata:
Euklidesz e k¨ onyvben ¨ osszegzi az ” o¨sszes olyan szakaszra vonatkoz´ o ismeretet, amelyek (modern terminol´ogi´aval) megadhat´ ok, mint q √ √ a ± b,
Egy r´egen v´art t´etel. A 115. T´etel (az utols´ o) ut´an k¨ ovetkezik a X.27. F¨ uggel´ek. Mutassuk meg, hogy a n´egyzetekben az ´atl´ o line´arisan ¨ osszem´erhetetlen az oldallal.
ahol a, b ¨osszem´erhet˝o szakaszok.” 3
Vil´agos, hogy nem az ¨osszes irracion´alis reprezent´alhat´ o ´ılym´ odon, Euklidesz e r´eszben a geometriai algebr´aj´aval (a II. k¨ onyv tartalma) kezelhet˝o esetekre szor´ıtkozott.
Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
Aritmetika - Sz´ amelm´ elet
2014. m´ arcius 4.
47 / 48
Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
Aritmetika - Sz´ amelm´ elet
2014. m´ arcius 4.
48 / 48
