[email protected]
http://www.smk2pekalongan.sch.id
Elips A.
Pengertian Elips Elips adalah tempat kedudukan titik-titik pada geometri dimensi 2 yang memiliki jumlah jarak yang tetap terhadap dua titik tertentu. Selanjutnya dua titik tertentu tersebut dinamakan fokus.
D
A1
F1 E
B2
P A1P = PA2 B1P = PB2 F1P = PF2 A1A2 B1B2 F1 dan F2 A1 dan A2 B1 dan B2 DE
Q(x1, y1)
P
F2
A2
B1
titik pusat elips a b p sumbu mayor/sumbu panjang = 2a sumbu minor/sumbu pendek = 2b titik fokus titik puncak atau titik ujung sumbu mayor titik ujung sumbu minor Latus Rectum
Untuk sembarang titik Q pada elips berlaku hubungan : QF1 + QF2 = 2a
Hubungan antara a, b, dan p Lihat F1B1P F1B12 = F1P2 + PB22 = p2 + b2 ....(i)
: = = = : : : : : :
B2
B2 F1
P
Karena titik B2 terletak pada elips, berlaku hubungan B1F1 + B1F2 = 2a, sedangankan B1F1 = B1F2 sehingga B1F1 = a .... (ii) Dari persamaan (i) dan (ii) diperoleh a2 = p2 + b2 D
Menentukan panjang Latus Rectum (LR) Lihat DF1F1 DF22 = DF12 + F1F22
F1
A1
F1
P
F2
A2
B1
F2
Karena titik D terletak pada elips, berlaku hubungan DF1 + DF2 = 2a, jika kedua ruas dikuadratkan : DF2 = 2a — DF1 DF12 + F1F22 = 4a2 — 4a.DF1 + DF12 4p2 = 4a2 — 4a.DF1 a.DF1 = a2 — p2 DF1 =
b2 a
maka panjang Latus Rectum (LR) = DE = 2.DF1 =
Latus Rectum (LR) = Irisan Kerucut |Elips
2b 2 a
2b 2 a 1
[email protected]
B.
http://www.smk2pekalongan.sch.id
Persamaan Elips 1.
Jika pusat elips O(0, 0) dan sumbu mayor berimpit sumbu x Dari gambar di samping :
y B2
QF1 = F1R 2 QR2 =
p x12 y12 2
QF2 = F2R QR =
Q(x1, y1)
x
R F1
A1
2
x1 p2 y12
O(0, 0)
F2
A2
B1
Karena titik Q(x1, y1) terletak pada elips, maka berlaku hubungan QF1 + QF2 = 2a
p x12 y12
+
x1 p2 y12
= 2a
x1 p2 y12
= 2a —
p x12 y12
kedua ruas dikuadratkan x12 — 2px1 + p2 + y12 = 4a2 — 4a
p x12 y12
—4px1 = 4a2 — 4a
p x12 y12
a2 + px1 = a kedua ruas dikuadratkan a4 + 2a2px1 + p2x12 a4 — a2p2 2 2 a (a — p2) a2b2 2 2 b x1 + a2y12
+ p2 + 2px1 + x12 + y12
p x12 y12
= a2p2 + 2a2px1 + a2x12 + a2y12 = a2x12 — p2x12 + a2y12 = (a2 — p2)x12 + a2y12 = b2x12 + a2y12 = a2b2
kedua ruas dibagi a2b2
x12 a2
y12 b2
=1
x1 dan y1 dijalankan menjadi
x2 a2
y2 b2
=1
dengan analogi, 2.
Jika pusat elips O(0, 0) dan sumbu mayor berimpit sumbu y
x2 b2 3.
y2 a2
=1
Jika pusat elips O(, ) dan sumbu mayor sejajar sumbu x
x 2 a
Irisan Kerucut |Elips
2
y 2 b2
=1
2
[email protected]
4.
http://www.smk2pekalongan.sch.id
Jika pusat elips O(, ) dan sumbu mayor sejajar sumbu y
x 2 b2
y 2 a2
=1
Hubungan , , a, dan b pada elips yang memiliki pusat P(, ) a.
Jika sumbu mayor sejajar sumbu x
x 2
y 2
=1 a2 b2 b2(x2 — 2x + 2) + a2(y2 — 2y + 2) = a2b2 2 2 2 2 b x + a y — 2b2x — 2a2y + b22 + a22 — a2b2 = 0 dinyatakan dalam bentuk Ax2 + By2 + Cx + Dy + E = 0 A B C D E b.
= b2 = a2 = —2b2 = —2a2 = b22 + a22 — a2b2
Jika sumbu mayor sejajar sumbu y
x 2
y 2
=1 b2 a2 a2(x2 — 2x + 2) + b2(y2 — 2y + 2) = a2b2 2 2 2 2 a x + b y — 2a2x — 2b2y + a22 + b22 — a2b2 = 0 dinyatakan dalam bentuk Ax2 + By2 + Cx + Dy + E = 0 A B C D E
= a2 = b2 = —2a2 = —2b2 = a22 + b22 — a2b2
Apollonius (262 SM – 190 SM) Apollonius of Perga was known as 'The Great Geometer'. Little is known of his life but his works have had a very great influence on the development of mathematics, in particular his famous book Conics introduced terms which are familiar to us today such as parabola, ellipse and hyperbola. http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/Biographies/Apollonius.html
Irisan Kerucut |Elips
3
[email protected]
http://www.smk2pekalongan.sch.id
Latihan #1 1. Tentukan persamaan elip jika diketahui : a. koordinat titik puncak (10, 0) dan (10, 0); koordinat fokus (8, 0) dan (8, 0) b. koordinat titik puncak (17, 0) dan (17, 0); koordinat fokus (15, 0) dan (15, 0) c. koordinat titik puncak (8, 0) dan (8, 0); koordinat fokus (3, 0) dan (3, 0) d. koordinat titik puncak (0, 13) dan (0, 13); koordinat fokus (0, 5) dan (0, 5) e. koordinat titik puncak (0, 25) dan (0, 25); koordinat fokus (0, 7) dan (0, 7) f. koordinat titik puncak (0, 9) dan (0, 9); koordinat fokus (0, 4) dan (0, 4) 2. Tentukanlah : koordinat titik puncak, titik fokus, panjang lactus rectum, panjang sumbu mayor, dan panjang sumbu minor dari persamaan elip berikut ini : a.
x2 y2 1 100 36
e.
x2 y2 1 64 289
b.
x2 y2 1 169 144
f.
x2 y2 1 400 256
c.
x2 y2 1 81 49
g.
x2 y2 1 64 121
d.
x2 y2 1 16 9
h.
x2 y2 1 25 81
3. Tentukanlah : koordinat titik puncak, titik fokus, panjang lactus rectum, panjang sumbu mayor, dan panjang sumbu minor dari persamaan elip berikut ini : a. 25x2 + 169y2 = 4225 b. 81x2 + 1681y2 = 136161 c. 4x2 + 9y2 = 36 d. 8x2 + 12y2 = 96 e. 9x2 + 15y2 = 135 f. 25x2 + 9y2 = 225 g. 676x2 + 576y2 = 389376 h. 64x2 + 49y2 = 3136 i. 15x2 + 10y2 = 150 j. 13x2 + 5y2 = 65 4. Tentukan persamaan elip jika diketahui titik pusat O(0, 0) dan : a. panjang sumbu mayor = 12 berimpit sumbu x; panjang sumbu minor = 8 b. panjang sumbu mayor = 16 berimpit sumbu y; panjang sumbu minor = 10 c. panjang sumbu mayor = 10; titik fokus (3, 0) dan (3, 0) d. panjang sumbu mayor = 20; titik fokus (0, 8) dan (0, 8) e. salah satu titik puncak (9, 0); salah satu titik ujung sumbu minor (0, 4) f. salah satu titik puncak (12, 0); salah satu titik ujung sumbu minor (0, 3) g. salah satu titik puncak (0, 7); salah satu titik ujung sumbu minor (2, 0) h. salah satu titik puncak (0, 6); salah satu titik ujung sumbu minor (5, 0) i. salah satu titik puncak (15, 0); salah satu titik fokus (10, 0) j. salah satu titik puncak (6, 0); salah satu titik fokus (4, 0) k. salah satu titik puncak (0, 16); salah satu titik fokus (0, 12) l. salah satu titik puncak (0, 12); salah satu titik fokus (0, 8)
Irisan Kerucut |Elips
4
[email protected]
http://www.smk2pekalongan.sch.id
Latihan #2 1. Tentukan persamaan elip jika diketahui : a. koordinat titik puncak (4, 2) dan (6, 2); koordinat titik fokus (3, 2) dan (5, 2) b. koordinat titik puncak (11, 5) dan (15, 5); koordinat titik fokus (10, 5) dan (14, 5) c. koordinat titik puncak (4, 1) dan (16, 1); koordinat titik fokus (0, 1) dan (12, 1) d. koordinat titik puncak (4, 4) dan (22, 4); koordinat titik fokus (4, 4) dan (14, 4) e. koordinat titik puncak (3, 4) dan (3, 12); koordinat titik fokus (3, 2) dan (3, 10) f. koordinat titik puncak (1, 6) dan (1, 18); koordinat titik fokus (1, 1) dan (1, 11) g. koordinat titik puncak (7, 15) dan (7, 9); koordinat titik fokus (7, 12) dan (7, 6) h. koordinat titik puncak (5, 20) dan (5, 10); koordinat titik fokus (5, 13) dan (5, 3) 2. Tentukanlah : koordinat titik puncak, titik fokus, panjang lactus rectum, panjang sumbu mayor, dan panjang sumbu minor dari persamaan elip berikut ini : a. b. c. d. e.
x 6 2 169
x 92 625
x 22 841
x 12 676
y 7 2 25
y 4 2 49
y 7 2 400
y 52 576
x 4 2 y 32 1369
144
x 92
f.
1
g.
x 32 y 12 2
1
1
h.
x 10 2 y 6 2
1
1
i.
x 82 y 4 2
1
1
j.
x 12 y 7 2
1
9 256
900
121
100
y 22
1
1
25 400
1156
3721
225
3. Tentukanlah : koordinat titik puncak, titik fokus, panjang lactus rectum, panjang sumbu mayor, dan panjang sumbu minor dari persamaan elip berikut ini : a. 16x2 + 25y2 + 64x 250y + 289 = 0 b. 144x2 + 169y2 + 2016x 1014y 15759 = 0 c. 576x2 + 625y2 + 2304x + 6250y 342071 = 0 d. 100x2 + 676y2 + 1600x + 1352y 60524 = 0 e. 225x2 + 289y2 3150x 54000 = 0 f. 144x2 + 225y2 + 2250y 26775 = 0 g. 400x2 + 144y2 + 4800x 864y 41904 = 0 h. 625x2 + 576y2 + 1250x 9216y 322511 = 0 i. 676x2 + 576y2 + 5408x + 3456y 373376 = 0 j. 1156x2 + 256y2 + 4624x + 3584y 278768 = 0 k. 100x2 + 36y2 + 600x 2700 = 0 l. 900x2 + 576y2 2304y 516096 = 0 4. Tentukan persamaan elip jika diketahui : a. pusat (3, 2); panjang sumbu mayor = 10 sejajar sumbu x; panjang sumbu minor = 6 b. pusat (4, 1); panjang sumbu mayor = 14 sejajar sumbu y; panjang sumbu minor = 12 c. pusat (5, 7); panjang sumbu mayor = 20; titik fokus (1, 7) dan (11, 7) d. pusat (6, 8); panjang sumbu mayor = 26; titik fokus (6, 13) dan (6, 3) e. salah satu titik puncak (7, 4); salah satu titik ujung sumbu minor (1, 6) f. salah satu titik puncak (3, 2); salah satu titik ujung sumbu minor (1, 4) g. titik puncak (6, 7) dan (14, 7); salah satu titik fokus (10, 7) h. salah satu titik puncak (3, 12); titik fokus (3, 13) dan (3, 11) Irisan Kerucut |Elips
5
[email protected]
C.
http://www.smk2pekalongan.sch.id
Persamaan garis singgung pada elips, jika diketahui titik singgungnya Q(x1, y1) 1.
Jika pusat elips O(0, 0) dan sumbu mayor berimpit sumbu x Persamaan garis melalui titik Q(x1, y1) y y — y1 = m(x — x1) y = mx — mx1 + y1
Q(x1, y1)
x O
Persamaan elips
x2
y2
a 2 b2 b2x2 + a2y2 — a2b2 2 2 2 b x + a (mx — mx1 + y1)2 — a2b2 2 2 2 2 2 2 2 2 b x + a (m x + m x1 + y1 — 2m2x1x + 2my1x — 2mx1y1) — a2b2 2 2 2 2 2 b x + a m x + a2m2x12 + a2y12 — 2a2m2x1x + 2a2my1x — 2 a2mx1y1 — a2b2 (b2 + a2m2)x2 + 2a2my1x — 2a2m2x1x + a2m2x12 + a2y12 — 2 a2mx1y1 — a2b2 (b2 + a2m2)x2 + (2a2my1 — 2a2m2x1)x + a2m2x12 + a2y12 — 2 a2mx1y1 — a2b2 Syarat menyinggung jika diskriminan (D) (2a2my1 — 2a2m2x1)2 — 4(b2 + a2m2)(a2m2x12 + a2y12 — 2a2my1x1 — a2b2) 4a4m2y12 — 8a4m3x1y1 + 4a4m4x12 — 4a2b2m2x12 — 4a2b2y12 + 8a2b2mx1y1 + 4a2b4 — 4 2 2 — 4a m y1 + 8a4m3y1x1 + 4a4b2m2 —m2x12 — y12 + 2mx1y1 + b2 + a2m2 a2m2 — x2m2 + 2x1y1m — y12 + b2 (a2 —x12)m2 + 2x1y1m — y12 + b2
m1, 2 =
2x1y1
l =1 =0 =0 =0 =0 =0 =0 =0 =0 4a4m4x12 =0 =0 =0 =0
2x1y12 4a2 x12 b2 y12
2 a 2 x12
x2 y 2 2 x1y1 4 x12 y12 4a 2 1 12 .b2 1 12 a b = 2 x 2a 2 1 12 a
=
=
=
x1y1 4 x12 y12 4a 2 a2
y 12 b
2
.b2
x 12 a2
y 12 2 b
x1 4 x12 y12 4 x12 y12 a2.
y1
b2
b2 .x1 a 2 .y1
disubstitusikan terhadap persamaan y — y1 = m(x — x1) y — y1 = m(x — x1) y — y1 =
b2 .x1 a 2 .y1
x x1
a 2 y1y y1 = b2 x1x x1 Irisan Kerucut |Elips
6
[email protected]
http://www.smk2pekalongan.sch.id
a2y1y — a2y12 = —b2x1x + b2x12 b2x1x + a2y1y = b2x12 + a2y12 ; karena titik Q(x1, y1) terletak pada elips, maka b2x1x + a2y1y = a2b2 kedua ruas dikuadratkan menjadi x1x y1y 2 =1 a2 b dengan analogi, 2.
Jika pusat elips O(0, 0) dan sumbu mayor berimpit sumbu y
x1x b 3.
2
yy 12 a
=1
Jika pusat elips P(, ) dan sumbu mayor sejajar sumbu x
x1 x y1 y a2
4.
b2
=1
Jika pusat elips P(, ) dan sumbu mayor sejajar sumbu y
x1 x y1 y b2
Irisan Kerucut |Elips
a2
=1
7
[email protected]
http://www.smk2pekalongan.sch.id
Latihan #3 1. Tentukan persamaan garis singgung pada elips dengan titik singgung Q, jika diketahui : a.
x2 y2 1 ; Q(3, 5) 54 30
g.
x2 y2 1 ; Q(12, 2) 152 76
b.
x2 y2 1 ; Q(6, 2) 48 16
h.
x2 y2 1 ; Q(4, 7) 72 63
c.
x2 y2 1 ; Q(8, 2) 128 8
i.
x2 y2 1 ; Q(7, 6) 490 40
d.
x2 y2 1 ; Q(4, 3) 64 12
j.
x2 y2 1 ; Q(2, 6) 243 54
e.
x2 y2 1 ; Q(3, 4) 27 24
k.
x2 y2 1; Q(9, 6) 108 36
f.
x2 y2 1 ; Q(3, 8) 81 72
l.
x2 y2 1 ; Q(5, 5) 150 30
2. Tentukan persamaan garis singgung pada elips dengan titik singgung Q, jika diketahui : a.
x2 y2 1 ; Q(3, 9) 36 108
g.
x2 y2 1 ; Q(5, 12) 125 180
b.
x2 y2 1 ; Q(2, 3) 6 27
h.
x2 y2 1 ; Q(2, 7) 8 98
c.
x2 y2 1 ; Q(5, 3) 30 54
i.
x2 y2 1 ; Q(8, 3) 72 81
d.
x2 y2 1 ; Q(2, 4) 12 24
j.
x2 y2 1; Q(4, 5) 20 125
e.
x2 y2 1 ; Q(3, 6) 15 90
k.
x2 y2 1; Q(3, 8) 12 256
x2 y2 x2 y2 1 ; Q(4, 8) 1 ; Q(2, 6) l. 32 128 16 48 3. Tentukan persamaan garis singgung pada elips dengan titik singgung Q, jika diketahui : a. 12x2 + 400y2 48x 4752 = 0; Q(8, 3) b. 32x2 + 50y2 400y 800 = 0; Q(5, 0) c. 27x2 + 54y2 216x 432y 162 = 0; Q(10, 1) d. 5x2 + 125y2 + 30x 1000y + 1420 = 0; Q(8, 2) e. 32x2 + 128y2 192x 512y 3296 = 0; Q(11, 2) f.
4. Tentukan persamaan garis singgung pada elips dengan titik singgung Q, jika diketahui : a. 81x2 + 72y2 162x 5751 = 0; Q(9, 3) b. 243x2 + 54y2 540y 11772 = 0; Q(6, 14) c. 200x2 + 8y2 + 800x 16y 792 = 0; Q(4, 9) d. 108x2 + 36y2 648x 144y 2772 = 0; Q(6, 7) e. 48x2 + 36y2 384x + 72y 924 = 0; Q(1, 5) Irisan Kerucut |Elips
8
[email protected]
D.
http://www.smk2pekalongan.sch.id
Persamaan garis singgung pada elips, jika diketahui gradien garis singgung 1.
Jika pusat elips O(0, 0) dan sumbu mayor berimpit sumbu x Persamaan garis l dengan gradien m y = mx + k Persamaan elips
b2x2 + a2y2 2 2 b x + a2(mx + k)2 2 2 2 2 2 b x + a m x + 2a2kmx + a2k2 2 2 2 2 (b + a m )x + 2a2kmx + a2k2 — a2b2
y
x
= a2b2 = a2b2 = a2b2 =0
O
l; y = mx + k
Syarat menyinggung jika Diskriminan (D) = 0 (2a2km)2 — 4(b2 + a2m2)(a2k2 — a2b2) 4 2 2 4a m k — 4a2b2k2 + 4a2b4 — 4a4m2k2 + 4a4m2k2 k2 — b2 — a2m2 k2
=0 =0 =0 = b2 + a2m2
k1,2 = b 2 a 2m2 disubsitusikan terhadap garis y = mx + k y = mx b 2 a 2m2 dengan analogi, 2.
Jika pusat elips O(0, 0) dan sumbu mayor berimpit sumbu y y = mx a 2 b 2m2
3.
Jika pusat elips P(, ) dan sumbu mayor berimpit sumbu x y — = m(x — ) b 2 a 2m2
4.
Jika pusat elips P(, ) dan sumbu mayor berimpit sumbu y y — = m(x — ) a 2 b 2m2
Irisan Kerucut |Elips
9
[email protected]
http://www.smk2pekalongan.sch.id
Latihan #4 1.
Tentukan persamaan garis singgung pada elips dengan gradien m jika diketahui : a.
x2 y2 1; m = 4 16 9
f.
b.
x2 y2 1 ; m = 5 25 20
g.
c.
x2 y2 1; m = 7 36 27
h.
x2 y2 1; m = 4 20 49
d.
x2 y2 1; m = 45 18
i.
x2 y2 1; m = 36 81
e.
x2 y2 1; m = 16 9
j.
x2 y2 1 ; m = 52 40 64
3 5 1 4
x2 y2 1; m = 2 4 12 x2 y2 1 ; m = 3 7 15
2 7
2. Tentukan persamaan garis singgung pada elips dengan gradien m jika diketahui : a. 16x2 + 25y2 32x 385 = 0; m = 5 b. 4x2 + 49y2 392y + 588 = 0; m = 3 c. 36x2 + 64y2 + 144x 896y + 976 = 0; m = 2 d. 9x2 + 36y2 108x + 72y + 36 = 0; m = 3 e. x2 + 100y2 14x 600y + 849 = 0; m = 21 f.
81x2 + 144y2 + 648x + 1440y 6768 = 0; m = 73
g. 49x2 + 81y2 588x + 486y 1476 = 0; m = 6 h. 25x2 + 64y2 + 250x + 512y + 49 = 0; m = 8 i. 100x2 + 121y2 800x + 968y 8564 = 0; m = 2 23 j.
9x2 + 16y2 90x 288y + 1377 = 0; m = 1 65
3. Tentukan persamaan garis singgung pada elips dengan gradien m jika diketahui : a. 81x2 + 9y2 972x + 2187 = 0; m = 7 b. 64x2 + 36y2 + 216y 1980 = 0; m = 5 c. 49x2 + 16y2 98x 160y 335 = 0; m = 3 d. 9x2 + 4y2 36x 56y + 196 = 0; m = 4 e. 81x2 + 9y2 + 810x 72y + 1440 = 0; m = 2 f. 36x2 + 25y2 216x + 350y + 649 = 0; m = 8 g. 121x2 + 4y2 484x + 8y + 4 = 0; m = 45 h. 100x2 + 49y2 + 1600x + 588y + 3264 = 0; m = 52 i.
81x2 + y2 + 486x 2y + 649 = 0; m = 3 53
j.
25x2 + 16y2 + 200x + 256y + 1024 = 0; m = 5 23
Irisan Kerucut |Elips
10
