8.3 Inverse Linear Transformations
Definition •One to One Transformasi linear T:V→W dikatakan one-to-one jika T memetakan vektor-vektor berbeda pada V ke vektorvektor berbeda pada W.
Jika A adalah suatu matriks nxn dan TA :Rn→Rn adalah perkalian dengan A, maka TA adalah one-to-one jika dan hanya jika A adalah invertible matrix.
Equivalent Statements • Theorem 8.3.1 Jika T:V→W adalah suatu transformasi linear, maka: (a) T adalah one-to-one (b) Kernel dari T hanya terdiri dari vektor nol ker(T) = {0} (c) Nullity (T) = 0
Theorem 8.3.2 Jika V adalah ruang vektor berdimensi terhingga, dan T:V V adalah suatu operator linear, maka: (a)T adalah one to one (b) ker(T) = {0} (c)nullity(T) = 0 (d)The range of T is V;that is ,R(T) =V
Contoh Anggap T A:R
4
-> R
Tentukan apakah T
4
A
adalah perkalian dengan
adalah one to one.
Jawab : det(A)=0 not invertible TA is not one to one.
Jika A adalah suatu matriks nxn dan TA :Rn→Rn adalah perkalian dengan A, maka TA adalah one-to-one jika dan hanya jika A adalah invertible matrix.
Inverse Linear Transformations Jika T :V W adalah transformasi linear, maka daerah hasil dari T, R (T ) adalah sub ruang W yang terdiri dari semua bayangan di bawah T dari vektor-vektor pada V. Jika T adalah one to one maka setiap vektor v pada V memiliki bayangan unik w=T(v) pada R(T).
Keunikan vektor bayangan ini inverse of T T .yang memetakan w kembali ke v
–1
Contoh Anggap T :R
->R 3 adalah operator linear yang didefinisikan oleh rumus: T (x1,x2,x3)=(3x1+x2,-2x1-4x2+3x3,5x1+4 x2-2x3) Tentukan apakah T adalah one to one, jika demikian cari T-1 (x1,x2,x3) 3
Matriks standars T :
Cek, apakah [T] memiliki invers? Cek dulu apakah det T terdefinisi?
Jika A adalah suatu matriks nxn dan TA :Rn→Rn adalah perkalian dengan A, maka TA adalah one-to-one jika dan hanya jika A adalah invertible matrix.
Matriks standars T :
Invers dari Komposisi • Jika T1:U V and T2:VW adalah one to one linear transformation maka: (a)T2 o T1 is one to one (b) (T2 o T1)-1 = T1-1 0 T2-1
Contoh
8.4. Matriks-Matriks Transformasi Linier Umum
Matriks-Matriks Transformasi Linier
Jika; V : ruang vektor berdimensi n dengan basis B W : ruang vektor berdimensi m dengan basis B’ Maka untuk setiap x pada V, matriks koordinat [x]B akan menjadi suatu vektor pada Rn dan matriks koordinat [T(x)]B akan menjadi vektor pada Rm
Matriks A merupakan matriks untuk T berkenaan dengan basis B dan B’
A [x]B = [T(x)]B’
Matriks-Matriks Transformasi Linier Jika B = {u1, u2, …, un} adalah basis untuk ruang V berdimensi n dan B’ = {v1, v2,…., vn} adalah basis untuk ruang berdimensi m, maka kita mencari suatu matriks m x n :
Yang berlaku untuk semua vektor x dalam V. Matriks A akan berlaku untuk semua basis vektor u1, u2,…, un, jika: A [u1]B = [T(u1)]B’ , A [u2]B = [T(u2)]B’,……………..’ A [un]B = [T(un)]B’
A [un]B = [T(un)]B’
Matriks-Matriks Transformasi Linier A [u1]B = [T(u1)]B’ , A [u2]B = [T(u2)]B’,……………..’ A [un]B = [T(un)]B’
A [un]B = [T(un)]B’ Namun, jika
Matriks-Matriks Transformasi Linier Subsitusi hasil ke persamaan :
A[u1]B , A[u2]B ….. A[un]B
A [un]B = [T(un)]B’ Didapat:
Artinya berkenaan dengan basis B’, berturut-turut kolomkolom matriks A adalah matriks-matriks koordinat dari :
Matriks-Matriks Transformasi Linier
Matriks untuk T berkenaan dengan B dan B’ adalah
Atau ditulis : Matriks ini mempunyai sifat:
Matriks – Matriks Operator Linier Jika T : Rn Rm adalah transformasi linier dan jika B dan B’ adakah basis-basis standar untuk Rn dan Rm, maka
[T]
B’,B
=[T]
Matriks Operator Linier dapat menghitung bayangan vektor dengan menggunakan perkalian matriks. Jika T: V W adalah transformasi linier, maka matriks [T] B’,B bisa digunakan untuk menghitung T(x) dalam 3 langkah: 1. Hitung matriks koordinat [x]B 2. Kalikan [x]B dari kiri dengan [T] B’,B untuk menghasilkan [T] B’ 3. Susun ulang T(x) dari matriks koordinatnya [T] B’
Matriks – Matriks Komposisi dan Tranformasi Balikan Jika T1 : U V dan T2 : V W adalah transformasi linier dan jika B, B”, dan B’ masing-masing adalah basis-basis untuk U, V dan W, maka : Jika T: V V adalah suatu operator linier dan jika B adalah basis untuk V, maka pernyataan berikut ini ekuivalen: a. T satu satu b. [T]B dapat dibalik
Jika kesetaraan ini dipenuhi , maka :
