5. előadás: Véges nagyságú idomok geodéziai ábrázolása
5. előadás: Véges nagyságú idomok geodéziai ábrázolása A geodéziai és a földrajzi ábrázolás különbözősége Eddig elemi nagyságú idomok torzulásait vizsgáltuk. A következőkben, a geodéziai gyakorlatban szokásos nagyságú idomok vetítése során figyelembe veendő torzulásokkal foglalkozunk. A geodéziai ábrázolás módja több tekintetben különbözik a földrajzi ábrázolás módjától. A földrajzi (geográfiai) ábrázolás a fokhálózat vetületi képéből, vagyis a méretaránytól függő sűrűségben felvett meridiánok és paralelkörök képei által alkotott vonalrendszerből indul ki. A terepvonalak képeit az előbbi vonalhálózaton belül lineáris interpolációval nyerik. Az ábrázolás kis méretarányából és a szerkesztés módjából következik, hogy a földrajzi térképek a vetületi torzulásokon kívül rajzilag is torzítottak, egyes térképi pontok nagy kiterjedésű területeket fednek le, és a térképről lemérhető térképelemek pontossága korlátozott. Ezzel szemben a geodéziai ábrázolás nem a fokhálózat vetületi képéből, hanem a vízszintes alapponthálózat (háromszögelés, sokszögelés) pontjaiból indul ki. Minthogy az alapponthálózat pontjainak helyzetét a vetületi koordináta-rendszerben általában nem grafikusan, hanem numerikusan határozzák meg, a geodéziai ábrázolás a vetületi irányokat, hosszakat és a velük meghatározott területi adatokat nagy pontossággal szolgáltatja.
1. ábra: A geodéziai ábrázolás Az alapfelületre vonatkozó mérési eredményekből a háromszögelési alappontok képfelületi koordinátáit úgy számítjuk ki, hogy számszerűen figyelembe vesszük a vetítésből adódó korrekciókat. A háromszögelési hálózat oldalai az alapfelületen geodéziai vonalak (ortodrómák) a vetületi síkon (képfelületen) pedig egyenesek. A térképen egyenesekkel kötjük össze a térképi idomok határvonalainak töréspontjait is. A gömbön, mint képfelületen a töréspontokat legnagyobb gombi körökkel kötjük össze. Az alapfelület legrövidebb vonalának valódi képe általában nem esik egybe a képfelületi legrövidebb
5-1
Óravázlat a Vetülettan előadásaihoz vonallal. Mivel a geodéziai ábrázolásnál nagy pontosságra törekszünk számításba kell vennünk a két vonal különbözősége által okozott irány-, hossz- és területi eltéréseket. Második irányredukció Az ábra bal oldali része mutatja az alapfelületen az A és B pontok közötti ortodróma ívét. A jobb oldali ábrarészen a szaggatott vonal az AB ortodróma pontonként vetített valódi képét mutatja a síkon. Ez a kép általában valamilyen görbe vonal. Az A’ és B2’ pontképeket a síkon a képfelületi legrövidebb vonallal (egyenes) kötjük össze.
2. ábra: Második irányredukció Azokat a szögeket, amelyeket az ortodróma valódi képéhez az A1’ és B’ pontokban húzott érintők a képfelületi legrövidebb vonallal zárnak be, második irányredukciónak nevezzük. Előjelét úgy értelmezzük, hogy az irányredukciót a valódi kép érintőjének irányértékével előjelhelyesen összevonva a képfelületi legrövidebb vonal irányértékét kapjuk. Vagyis a második irányredukció akkor pozitív, ha a valódi kép érintőjét az óramutató járásával megegyezően tudjuk a képfelületi legrövidebb vonal irányába beforgatni. Ellentétes értelmű forgatásnál az előjel negatív. Az irányredukció előjelhelyes számítására szolgáló összefüggés különböző vetületeken más és más alakú. A képletekbe mindig a szakasz két végpontjának síkkoordinátáit (y, x) kell behelyettesíteni. Az irányredukció előjelét szemlélet alapján úgy ellenőrizhetjük, hogy a pontokat koordinátáik (vagy közelítő koordinátáik) alapján a térképre felrakjuk, és a geodéziai vonal valódi képét a vetület fajtájától függően ábrázoljuk. Az előjel nem függ a képfelületi koordináta-rendszer tájékozásától. A második irányredukciót nem szabad összetéveszteni az első irányredukcióval. Az első irányredukció ugyanis az alapfelületi legrövidebb vonal és annak a képfelületre pontonként vetített, valódi képe között ad kapcsolatot. Ezzel szemben a második irányredukció a képfelületre pontonként vetített valódi kép és a képfelületi legrövidebb vonal közötti vonatkozást mutatja, vagyis tisztán képfelületi mennyiség. A második irányredukciót élesen meg kell különböztetni az iránymodulustól is. Míg az iránymodulus elemi hosszúságú vonaldarabra vonatkozik, addig a második irányredukció véges hosszúságú vonaldarabokhoz tartozik, és míg az iránymodulus az elemi kis vonaldarabnak az első vetületi főiránytól mért irányhajlását a valódi képnek az első főirány megfelelőjétől számított irányhajlásával hasonlítja össze (illetve tangensük viszonyát mutatja), addig a második irányredukció a véges hosszúságú vonaldarab valódi képe és a képfelületi legrövidebb vonal iránya közötti különbséget jelenti. Általános torzulású és területtartó vetületen, tehát minden vetületen, amely nem szögtartó, az irányokat, illetve a szögeket általában két redukcióval kell ellátni. Az egyik az 5-2
5. előadás: Véges nagyságú idomok geodéziai ábrázolása −
első irányredukció, vagyis a ∆ = ( ω ’ - ω ) különbség, amely abból adódik, hogy a vonalaknak pontonkénti valódi vetítésekor is áll elő szögtorzuás. A második pedig a második irányredukció, amely abból származik, hogy a képfelületen az idomok sarokpontjait nem pontonkénti vetítéssel kapott vonalakkal, hanem a képfelületi legrövidebb vonalakkal kötjük össze. Az előbbiekből magától értetődik, hogy szögtartó vetületeken a szögtartóság csupán a pontonként vetített valódi képekre vonatkozik. Mivel a szögtartó vetületeken az első irányredukció mindig zérus, ezeknél csak második irányredukcióval kell számolnunk. Egy szögérték két irányérték különbségeként adódik; ennek megfelelően a szögredukció is két irányredukció különbségeként számítható. Ha az Sz szög két szára I1 és I2 irány, vagyis Sz = I2 – I1, Akkor az első szögredukció: −
−
−
∆ sz = ∆ 2 - ∆ 1, ugyanúgy a második szögredukció a
∆ sz = ∆ 2 - ∆ 1 képletből adódik. A teljes szögtorzulás pedig −
∆ sz + ∆ sz; szögtartó vetületen −
∆ sz = 0. A továbbiakban, tekintve azt, hogy a geodéziai célokra alkalmazott vetületek szögtartók, ha röviden irányredukciót és szögredukciót említünk, mindig a második irányredukcióra, illetve a második szögredukcióra gondolunk. Az irányredukció egyszerű kapcsolatban van az ε gömbi, illetve ellipszoidi szögfelesleggel. A gömbháromszög belső szögeinek összege: 180o + ε gömb, a síkháromszögé 180o. Kell tehát, hogy a háromszög oldalainál levő összesen hat irányredukció a szögfelesleggel legyen egyenlő:
Σ I∆ I = ε
gömb.
Ellipszoidról síkra vetítve az előbbihez hasonlóan:
Σ I ∆ I = ε ellipszoid . A továbbiakban a szögfelesleg és az irányredukció közötti egyszerű összefüggést fogjuk felhasználni az egyes szögtartó vetületeknél az irányredukciók meghatározására. Vetületi meridiánkonvergencia Az alapfelületi meridián pontonként vetített képe általában görbe vonal. Valamely pontban értelmezett vetületi meridiánkonvergencián azt a hegyesszöget értjük, amelyet a meridián valódi képének a pontbeli érintője a vetületi kezdőmeridián egyenesként jelentkező képével (általában az x tengely) bezár A vetületi meridiánkonvergenciát µ –vel
5-3
Óravázlat a Vetülettan előadásaihoz jelöljük és akkor tekintjük pozitívnak, amikor a meridiánkép érintőjét az óramutató járásával egyezően tudjuk rövidebb úton a kezdőmeridián képével párhuzamos helyzetbe forgatni. Az ábrán µ a előjele pozitív.
3. ábra: Az azimut és az irányszög összefüggése A vetületi meridiánkonvergencia ismeretére például akkor van szükségünk, amikor az alapfelület két pontján átmenő legrövidebb vonal azimutjából ki akarjuk számítani a két pont képfelületi megfelelőjét összekötő egyenes irányszögét, vagy ha a fordított műveletet kívánjuk elvégezni. A µ számítására szolgáló összefüggések vetületi fajtánként különbözőek. A geodéziai vetületekre levezettek olyan összefüggéseket, amelyekbe a kérdéses pont alapfelületi (Φ vagy Λ , illetve ϕ vagy λ ) és olyanokat is, amelyekbe a pont vetületi (y, x) koordinátáit kell behelyettesíteni. Az előbbi képleteket akkor használjuk, amikor azimutból ( α ) akarunk irányszöget ( δ ) számítani, pl. giroteodolitos mérésnél. Az utóbbi képletekre akkor van szükségünk, amikor a síkkordinátákat ismerjük és az azokból számított irányszögből akarunk azimutot meghatározni (pl. parabolaantennák tájékozásakor). Az ábra alapján szögtartó vetítést feltételezve: =α
12
- µ 1 + ∆ 12,
α 12 = δ
12
+ µ 1 - ∆ 12,
δ
12
ahol ∆ 12 a második irányredukció a P1’ pontban. Ha a síkon a koordináta-rendszer x tengelyének pozitív ága dél felé mutat (délnyugati rendszer) akkor az előbbi egyenletek jobb oldalához 180o-ot hozzá kell adni. Mozdítsuk el meridiánján az A pontot elemi ds távolságra az A1 pontba. A képfelületen az A pont az x tengellyel párhuzamos egyenessel a vetületi meridiánkonvergenciát, vagyis a µ szöget bezáró pályán mozgott. Az A’ és az A1’ponthelyek síkkoordinátái közötti különbség, tekintettel arra, hogy csak a ϕ földrajzi koordináta változott:
dx =
5-4
∂x dϕ , ∂ϕ
dy =
∂y dϕ . ∂ϕ
5. előadás: Véges nagyságú idomok geodéziai ábrázolása Ezek szerint: ∂y dy ∂ϕ tan µ = − . =− ∂x dx ∂ϕ
Utóbbi képletben az előjelet azért kellett megváltoztatni, hogy a meridiánkonvergencia előjele megállapodásunk szerint alakuljon. Hossztorzulási tényező
Az alapfelület két pontjának a képfelületre vetített képét összekötő legrövidebb vonal t hosszának és a két pontot az alapfelületen összekötő legrövidebb vonal s hosszának viszonyát hossztorzulási tényezőnek nevezzük, és m-mel jelöljük):
t m= . s A hossztorzulási tényezőt élesen meg kell különböztetni a lineármodulustól. A lineármodulus elemi kis távolságra, a hossztorzulási tényező viszont véges távolságra vonatkozik, és míg a lineármodulus az elemi vonaldarab és annak valódi képe között állapít meg arányt, addig a hossztorzulási tényező két véges távolságú alapfelületi pont, illetve képfelületi megfelelőik között húzott legrövidebb vonalak hosszának arányát fejezi ki. A hossztorzulási tényező számítására szolgáló összefüggések a vetület fajtájától függően különbözőek. Általában a végpontok y, x síkkoordinátáit kell a képletekbe behelyettesíteni. A leggyakrabban előforduló geodéziai vetületekhez ezek az összefüggések rendelkezésre állnak. A Föld méreteihez viszonyítva egy néhány km-es távolságot elemi hossznak lehet tekinteni, ezért általában 5 km távolságig:
m ≈ lk , ahol lk a vonaldarab közepéhez tartozó lineármodulus. 15 km távolságig:
m≈
l1 + l2 , 2
ahol l1 és l2 a vonaldarab végpontjaihoz tartozó lineármodulusok. Nagyobb távolságokra pedig, mintegy 100 km-ig: m≈
1 (l1 + 4lk + l2 ) . 6
Területtorzulási tényező és területredukció
Valamely véges nagyságú alapfelületi idom (legrövidebb vonalak által határolt) képfelületi területének és alapfelületi felületének (területének) arányát területtorzulási tényezőnek, a kép területének és az eredeti felületnek a különbségét pedig
5-5
Óravázlat a Vetülettan előadásaihoz területredukciónak nevezzük. Ha az alapfelületi területet F-fel, a képi területet T-vel, a területtorzulási tényezőt f-fel, a területredukciót pedig ∆ T-vel jelöljük, akkor f =
T F
és ∆T = T − F .
A területtorzulási tényezőt két okból élesen meg kell különböztetni a területi modulustól. A területi modulus az alapfelületi elemi nagyságú terület és annak valódi képfelületi területe között létesít kapcsolatot, a területtorzulási tényező viszont az alapfelületi véges nagyságú idom területe és az annak megfelelő képfelületi legrövidebb vonalakkal határolt idom területének viszonyát fejezi ki. A geodéziai gyakorlatban legtöbbször előforduló kisebb idomokra nézve a területtorzulási tényező általában helyettesíthető a területi modulussal, mert kisebb környezetben:
f ≈τ . Így gyakorlatilag helyesen járunk el, ha a nagyobb területű idomot a pontossági követelményektől függően több részre osztjuk, és a területtorzulást idomrészenként számítjuk. Ha az egyes részek megfelelően kicsik, a területtorzulási tényezőt mindegyikre közel egyenlőnek vehetjük az ott érvényes területi modulussal. A területtorzulási tényező konkrét képlete mindegyik vetületen más és más alakú. Vetületi méretarány-tényező
A geodéziai ábrázolással kapcsolatban meg kell még említenünk az ún. vetületi méretarány-tényezőt is. Vetítéseinknél feltételként szabjuk, hogy a torzulások bizonyos megadott értéket ne lépjenek túl. Ez elsősorban a hossztorzulásokra vonatkozik, és erre különösen a geodéziai vetületeken meglehetősen szűk a határ. A hossztorzulásnak ez a megkötöttsége azt eredményezi, hogy az egyes geodéziai vetületi rendszerek felhasználási területe erősen korlátozódik, mert valamely vetületi rendszer a kezdőpontjától (vagy kezdővonalától) csak olyan távolságig használható, ameddig a lineármodulus nem nagyobb a megengedettnél. Minden vetületen van egy pont (kezdőpont), vagy egy vonal (kezdővonal), amelyen nincs hossztorzulás. A vetületi rendszer felhasználhatósági területét úgy növelhetjük, hogy a vetület y és x vetületi egyenletét megszorozzuk egy olyan m0 számmal (a vetületi méretaránytényezővel), amely az egységnél valamivel kisebb. Ez lényegileg azt jelenti, hogy a vetületi egyenletekkel meghatározott összes képfelületi koordinátát megszorozzuk m0-lal és így az ábrázolás méretarányát megváltoztatjuk, mégpedig a képfelületi hosszakat m0szorosukra rövidítjük. A méretarány megváltoztatásának következménye az, hogy azon a helyen, ahol eredetileg nem volt hossztorzulás (l = 1), a hosszak rövidülnek, és a hossztorzulástól mentes hely másik vonalon jelentkezik. Az m0 szám megválasztásánál arra kell vigyázni, nehogy a hossztorzulás most valahol ellenkező értelemben lépje túl a megengedett értéket. Szögtartó vetületeken, amelyeken az m0 tényező bevezetése nélkül a vetületi hosszak – a torzulásmentes helytől eltekintve – mindig nagyobbak, mint az alapfelületi hosszak, az m0 tényező bevezetésével hosszrövidülések is fellépnek, és így a hossztorzulás egyes helyeken hossznövekedésben, máshol pedig hosszrövidülésben jelentkezik. A hossztorzulások előjelének ez a változása az m0 tényező bevezetése szempontjából hátránynak tekinthető. Ez volt az oka annak, hogy a korábbi geodéziai vetületeinknél nem
5-6
5. előadás: Véges nagyságú idomok geodéziai ábrázolása éltek a használhatósági terület ilyenfajta növelésének lehetőségével. A legutóbb (1975) bevezetett egységes országos vetületi rendszerünknél (EOV) annak érdekében, hogy az ország területét egyetlen vetületi rendszerrel le lehessen fedni, m0 = 0,99993 vetületi méretarány-tényezőt alkalmazunk. A képfelületi szögjellegű mennyiségek (irányredukció, irányszög, vetületi meridiánkonvergencia) az m0 tényezővel való szorzás után nem változnak meg, mert a méretarány-változás nincs hatással a szögekre. Vetítési módok
Az alapfelületről a képfelületre vetítést háromféle módon hajthatjuk végre: 1. Az alapfelületen koordinátákkal meghatározott pontok képfelületi megfelelőinek koordinátáit kiszámítjuk a két felület között felállított vetületi egyenletek segítségével. Ezt az eljárást koordináta-módszernek nevezzük. A vetítésnek ez a módja jelentős számítási munkával jár, és éppen ezért korábban, amikor a vetületi számításokat logaritmussal vagy mechanikus számológépekkel végezték csak a felsőrendű háromszögelési pontok képfelületi koordinátáit számították így. Napjainkban számítógépekkel az alapfelületen koordinátákkal adott összes pont vetítését koordináta-módszerrel végezhetjük. 2. A másik mód az ún. redukciós módszer. A módszer alkalmazásának alapfeltétele az, hogy a képfelületen legyenek olyan pontjaink, amelyeknek a koordinátáit már korábban koordináta- vagy redukciós módszerrel kiszámították. A módszer lényege szerint az alapfelületen a pontokat legrövidebb vonalakkal összekötjük, és ezt a hálózatot úgy visszük át a képfelületre és illesztjük be a már korábban átszámított pontok közé, hogy a sarokpontok valódi képei a képfelületnek megfelelő legrövidebb vonalakkal legyenek összekötve. Az átvitelhez ki kell számítani az irányredukciókat (nem szögtartó vetületen mind az első, mind a második irányredukciókat) és – a gyakorlatban rendszerint ugyan nem minden hálózati oldalra – a hossztorzulási tényezőket, majd ezekkel az alapfelületi irányokat, illetve szögeket, valamint távolságokat meg kell változtatni. A módszer alkalmazásakor szem előtt kell tartani, hogy a képfelületen előállított hálózat nem valódi képe az alapfelületen levő hálózatnak, mert a két felületen húzott legrövidebb vonalak egymásnak általában nem vetületi megfelelői, csupán a képfelületen előállított hálózat sarokpontjai valódi képei az alapfelületi hálózat sarokpontjainak. Az az előbbi megjegyzésünk, hogy a hossztorzulási tényezőket a gyakorlatban nem minden távolsághoz kell kiszámítani, arra vonatkozik, hogy többnyire a háromszögelési hálózatokat vetítjük ilyen módon, és ezekben a síkon két pontból egy harmadik pontot legtöbbször nem a szögek és a távolságok, hanem csak a szögek segítségével határozzuk meg. Ha így haladunk pontról pontra, elméletileg elég egyetlen távolságnak a síkra való redukálása, vagyis egy távolság hossztorzulási tényezőjének a kiszámítása. Ezzel szemben az irányredukciókat minden irányhoz ki kell számítani. 3. A harmadik mód, hogy az alapfelületen egymást jól metsző görbeseregnek – például egyes kerek foktávolságú meridiánok és paralelkörök rendszerének – megfelelőit a vetületi egyenletek vagy részben a redukciós módszer segítségével, egyes esetekben rajzi szerkesztéssel a képfelületen előállítjuk, és ezek között interpoláljuk az egyes idomok képét. Ezt nevezzük a görbeseregek módszerének. Az első két módszer a geodéziai ábrázolás módszere, a harmadik főként a földrajzi térképek szerkesztésénél kerül alkalmazásra.
5-7
Óravázlat a Vetülettan előadásaihoz A vetületek csoportosítása fontosabb szempontok szerint
a) Megkülönböztetünk geometriai úton is előállítható vetületeket (amelyek természetesen matematikailag is megoldhatók) és csak matematikai úton előállítható vetületeket. b) A geometriailag is előállítható vetületeket megkülönböztetjük aszerint, hogy van-e vetítési központ vagy nincs. A vetítési központ lehet állandó (fix), de lehet mozgó is, amikor a központ meghatározott vonalon, meghatározott szabály szerint mozog. c) Az alapfelület lehet ellipszoid vagy gömb, a képfelület pedig gömb vagy sík, illetve síkba fejthető felület, nevezetesen kúp- vagy hengerfelület. A síkvetületeket három fő csoportba soroljuk: a kúpvetületek, az azimutális (tulajdonképpeni vagy közvetlen sík) vetületek és hengervetületek csoportjába. d) A kúp, a henger és a sík elhelyezése szerint a vetület lehet normális (poláris), ha a képfelületet adó idom tengelye a pólusokat összekötő egyenessel, tehát a Földet helyettesítő ellipszoid kistengelyével, illetve a gömb azon átmérőjével esik egybe, amely a Föld forgástengelyének megfelelője (4.10 ábra); lehet egyenlítői (transzverzális, ekvatoriális), ha az idom tengelye az egyenlítő síkjában fekszik, és átmegy az alapfelület középpontján (4.11 ábra), és lehet ferdetengelyű (horizontális), ha a tengely helyzete a két előbbi esettől eltérően tetszőleges (4.12 ábra). A sík tengelyén a vetületi kezdőpontban a síkra állított normálist értjük. A képfelület szerint tehát beszélhetünk gömbi vetületről vagy síkvetületről, az utóbbiba beleértve azt is, ha a vetítés síkba fejthető felületre történik. e) Megkülönböztetést ad az a körülmény is, hogy a képfelület érinti, vagy metszi az alapfelületet, vagy esetleg az alapfelülettel nem is érintkezik, hanem azon kívül helyezkedik el. A metsző elhelyezésű vetületekkel kapcsolatban meg kell jegyeznünk azt, hogy az alap- és képfelületek közös vonala (a metszési vonal) a síkba fejthető felület kiterítése után csak a perspektív vetületeknél marad a helyén, a nem perspektív vetületeken eredeti helyzetéhez viszonyítva általában önmagával párhuzamosan eltolódik. A metsző elhelyezésű vetület megnevezést ennek értelmében csak perspektív vetületekkel kapcsolatosan használhatnánk, a szakirodalomban viszont a nem perspektív vetületek süllyesztett változatát is metszőként említik. Megkülönböztetés végett az ilyen változatot redukált (süllyesztett) vetületnek fogjuk nevezni. f) A síkvetületek lehetnek ún. valódi, és lehetnek ún. képzetes (módosított, ál, konvencionális) vetületek. A valódi síkvetületeket az jellemzi, hogy normális elhelyezésben a meridiánok (más elhelyezésben a segédmeridiánok) képei egyenesek, és ezek egy pontba futnak össze (ez a pont a végtelenben is lehet), a paralelkörök (segédparalelkörök) képe pedig olyan koncentrikus körök vagy körívek, melyeknek középpontja az a pont, amelyben a meridiánok találkoznak. Ha ez a pont a végtelenben van, akkor a paralelkör képek, mint végtelen sugarú koncentrikus körök, párhuzamos egyenesekké válnak. Minden olyan síkvetület, amelyen a fokhálózat (segédfokhálózat) képe másképp alakul, a képzetes vetületek csoportjába tartozik. Ezek lehetnek képzetes kúp-, képzetes hengervetületek, vagy pedig ezekbe az osztályokba nem sorolható egyéb képzetes vetületek. g) További megkülönböztetése a vetületeknek, hogy a meridiánok és a paralelkörök hálózatának képe derékszögű, vagy ferdeszögű rendszert alkot-e. h) Végül megismételve a torzulások szerint lehetséges csoportosítást, vannak általános torzulású, szögtartó (konform) és területtartó (ekvivalens) vetületek.
5-8
