4.1 Kmitání mechanického oscilátoru 4.1 Komorní „a“ má frekvenci 440 Hz. Určete periodu tohoto kmitání. 4.2 Časový signál v rozhlase je tvořen čtyřmi zvukovými značkami o frekvenci 1 000 Hz, z nichž první tři mají trvání po 100 ms a čtvrtá 500 ms. Kolik kmitů při každé značce proběhne? 4.3 Na obr. 4-3 [4-1] je časový diagram kmitání. Určete jeho frekvenci a periodu.
Obr. 4-3 4.4 Záznam kmitavého děje je pořizován zapisovačem, v němž se registrační papír pohybuje rovnoměrně rychlostí o velikosti 2 cm s1. Jedna perioda kmitavého děje má na záznamu délku 8 mm. Určete frekvenci kmitavého děje. 4.5 Registrační papír v elektrokardiografu se pohybuje rovnoměrně rychlostí o velikosti 20 mm s1. Jakou délku bude mít záznam jedné periody činnosti srdce, které vykoná 72 tepů na minutu? 4.6 Hmotný bod kmitá harmonicky. Které veličiny charakterizující jeho pohyb (okamžitá výchylka, amplituda výchylky, perioda, frekvence, fáze, rychlost, zrychlení) jsou při pohybu konstantní a které se mění? 4.7 Čím se navzájem liší kmitání, jejichž časové diagramy jsou na obr. 4-7 [4-2]? Napište rovnice pro okamžitou výchylku zobrazených harmonických kmitání.
Obr. 4-7 4.8 Hmotný bod kmitá harmonicky s amplitudou výchylky 0,2 m. Určete okamžité výchylky hmotného bodu v časech T/4, T/3, T/2. Počáteční fáze kmitání 0 = 0. 4.9 Číselná hodnota okamžité výchylky harmonického kmitání je dána vztahem {y} = 0,2sin 5/2{t}. V tomto vztahu číselné hodnoty odpovídají hodnotám fyzikálních veličin vyjádřených v nenásobných jednotkách SI. Určete amplitudu výchylky, periodu a frekvenci kmitání. 4.10 Napište rovnici harmonického kmitání, které má amplitudu výchylky 5 cm, periodu 0,5 s a nulovou počáteční fázi. 4.11 Určete počáteční fáze pro harmonické pohyby, jejichž časové diagramy jsou na obr. 4-11 [4-3]. Napište rovnice pro okamžitou výchylku.
Obr. 4-11 4.12 Hmotný bod kmitá harmonicky a za 1 min vykoná 150 kmitů s amplitudou výchylky 5 cm. Počáteční fáze kmitání je 45. Napište rovnici harmonického kmitání a nakreslete jeho časový diagram. 4.13 Hmotný bod kmitá harmonicky podle rovnice
Určete okamžité výchylky v časech t = 0, T/4, T/3, T/2. Nakreslete časový diagram kmitavého pohybu. 4.14 Hmotný bod kmitá harmonicky s frekvencí 400 Hz a s amplitudou výchylky 2 mm. Počáteční fáze kmitání je 30°. Napište rovnici pro okamžitou výchylku hmotného bodu. Určete a) okamžitou výchylku hmotného bodu v počátečním okamžiku, b) dobu, za kterou hmotný bod dospěje do rovnovážné polohy, c) rychlost hmotného bodu v rovnovážné poloze. 4.15 Hmotný bod M1 kmitá s okamžitou výchylkou {y1} = {ym1}sin (2{t} + /4), kde ym1 = 2 cm, a hmotný bod M2 kmitá s okamžitou výchylkou {y2} = {ym2}sin(4{t} – /2), kde ym2 = 1 cm. Určete a) okamžitou výchylku kmitání obou bodů v počátečním okamžiku, b) okamžitou výchylku bodu M1 v okamžiku, kdy bod M2 poprvé prošel rovnovážnou polohou (y2 = 0), c) dobu, za kterou budou mít oba hmotné body poprvé současně nulovou okamžitou výchylku. 4.16 Hmotný bod vykoná 150 kmitů za minutu. Určete počáteční fázi kmitání, jestliže hmotný bod dosáhl kladné amplitudy výchylky za dobu 0,3 s od počátečního okamžiku. 4.17 Určete amplitudu výchylky hmotného bodu, který kmitá s počáteční fází –/3, je-li jeho okamžitá výchylka v počátečním okamžiku 2,6 cm.
4.18 Hmotný bod kmitá harmonicky s amplitudou výchylky 50 mm, s periodou 4 s a s počáteční fází /4. Určete okamžitou výchylku při t1 = 0 a t2 = 1,5 s. 4.19 Hmotný bod kmitá s amplitudou výchylky 4 cm. Určete okamžitou výchylku odpovídající hodnotě t = /3, je-li počáteční fáze kmitání /2. 4.20 Hmotný bod kmitá harmonicky s amplitudou výchylky 1,2 cm a s periodou 0,25 s. Určete amplitudu rychlosti a amplitudu zrychlení. 4.21 Oscilátor kmitá harmonicky, přičemž okamžitá výchylka závisí na čase vztahem
kde ym = 0,02 m. Určete periodu kmitání, amplitudu rychlosti a amplitudu zrychlení.
4.22 Rovnice harmonického kmitání má tvar v nichž dosahují rychlost a zrychlení maximálních hodnot.
. Určete časové okamžiky,
4.23 Hmotný bod kmitá harmonicky s amplitudou výchylky 5 cm a s periodou 2 s. Počáteční fáze kmitání je nulová. Určete velikost rychlosti hmotného bodu v okamžiku, kdy okamžitá výchylka je 2,5 cm. 4.24 Dvě izochronní harmonická kmitání téhož směru o frekvenci 4 Hz mají stejnou amplitudu výchylky 2 cm a rozdíl fází kmitání je /2. Napište rovnici výsledného kmitání, jestliže jedno kmitání má nulovou počáteční fázi. 4.25 Napište rovnici výsledného kmitání, které vzniká superpozicí izochronních kmitání o amplitudách výchylky 3 cm a 5 cm, jestliže složky mají a) stejnou fázi (1 = 2), b) opačnou fázi (2 = 1 + ). 4.26 Napište rovnici výsledného kmitání, které vzniká superpozicí dvou izochronních kmitání o frekvenci 8 Hz a o stejné amplitudě výchylky 2 cm. Fázový rozdíl kmitání je /4 a počáteční fáze jedné složky je nulová. 4.27 Superpozicí izochronních kmitání, která mají stejné amplitudy výchylky, vzniká výsledné kmitání popsané rovnicí
. Určete amplitudu výchylky složek, jejich frekvenci a fázový rozdíl, jestliže počáteční fáze jedné složky je nulová. 4.28 Určete amplitudu a počáteční fázi harmonického kmitání, které vzniklo superpozicí kmitání, pro jejichž okamžité výchylky platí rovnice
a
. 4.29 Mechanický oscilátor je tvořen pružinou o tuhosti 10 N m–1 a tělesem o hmotnosti 100 g. Určete periodu kmitání oscilátoru. 4.30 Mechanický oscilátor tvořený pružinou a tělesem o hmotnosti 5 kg vykoná 45 kmitů za minutu. Určete tuhost pružiny. 4.31 Určete hmotnost tělesa, které na pružině o tuhosti 250 N m–1 kmitá tak, že za 16 s vykoná 20 kmitů. 4.32 Těleso zavěsíme na pružné gumové vlákno a vytvoříme tak oscilátor, který kmitá s periodou T. Pak odstřihneme 0,75 délky vlákna a oscilátor vytvoříme z kratší části vlákna stejného tělesa. Jak se změní perioda kmitání? Ověřte experimentálně. 4.33 Pružina se po zavěšení tělesa prodlouží o 2,5 cm. Určete frekvenci vlastního kmitání takto vzniklého oscilátoru. 4.34 Těleso zavěšené na pružině kmitá s periodou 0,5 s. O kolik se pružina zkrátí, jestliže těleso z pružiny sejmeme? 4.35 Mechanický oscilátor je tvořen pružinou, na níž je zavěšena miska se závažím. Perioda oscilátoru je 0,50 s. Přidáním dalšího závaží se perioda oscilátoru zvětší na 0,60 s. Určete, o kolik cm se pružina přidáním závaží prodloužila. 4.36 Na dvou pružinách jsou zavěšena tělesa o hmotnostech m1 a m2, přičemž m1 > m2. Po zavěšení těles se obě pružiny prodloužily o stejnou délku. Které těleso bude po vychýlení z rovnovážné polohy kmitat s větší periodou? Které těleso bude mít při kmitavém pohybu se stejnou amplitudou výchylky větší energii? Hmotnost pružiny můžeme zanedbat. 4.37 Těleso o hmotnosti 0,1 kg je zavěšeno na pružině o tuhosti 160 N m–1 pomocí niti AB (obr. 4-37 [4-5]). Jaká musí být amplituda výchylky závaží, aby jeho kmitání bylo harmonické?
Obr. 4-37 4.38 Určete úhlové frekvence vlastního kmitání oscilátorů na obr. 4-38 [4-6]. Hmotnost tělesa je m a tuhost pružin je k1 a k2. Hmotnosti pružin jsou zanedbatelně malé.
Obr. 4-38 4.39 Lehká pružná tyčinka, na jejímž konci je kulička o hmotnosti m (obr. 4-39a [4-7a]), je vetknuta do stěny a kmitá harmonicky s frekvencí f1. Stejná kulička na konci pružiny o tuhosti k2 (obr. 4-39b [4-7b]) kmitá harmonicky s frekvencí f2. S jakou frekvencí bude kmitat soustava tvořená tyčinkou, na jejímž konci je připevněna pružina s kuličkou (obr. 4-39c [47c])?
Obr. 4-39 4.40 Skleněná trubice tvaru U je naplněna rtutí tak, že celková délka sloupce rtuti je 20 cm (obr. 4-40 [4-8]). Nakloněním trubice a jejím vrácením do původní polohy se sloupec rtuti rozkmitá. Určete periodu kmitání rtuti.
Obr. 4-40 4.41 Hranol z dubového dřeva o rozměrech 10 cm 20 cm 20 cm plove na hladině vody (obr. 4-41 [4-9]). Hranol poněkud zatlačíme do vody a pustíme. Jaká by byla perioda kmitání hranolu, kdybychom odpor prostředí mohli zanedbat? Hustota dubového dřeva je 900 kg m– 3 . Výška hladiny je stálá.
Obr. 4-41
4.42 Jak se změní perioda kmitání dětské houpačky, jestliže a) místo jednoho dítěte se budou současně houpat dvě děti, b) dítě na houpačce bude nejdříve sedět a pak se postaví? 4.43 Kyvadlo je tvořeno nádobou s pískem zavěšenou na pevném vlákně. Jak se bude měnit perioda kmitání, když se písek z nádoby postupně vysypává? Změnu polohy těžiště při sypání písku neuvažujte. 4.44 Dříve se k měření času používaly kyvadlové hodiny, jejichž periodu určovalo kyvadlo ve tvaru tyče se závažím na konci. Proč nebylo závaží s tyčí spojeno pevně, ale mohlo se posunovat nahoru a dolů? Jaký vliv to mělo na chod hodin? Jak ovlivňovala chod hodin teplota v místnosti? 4.45 Jak by se změnil chod kyvadlových hodin při jejich přemístění a) na vysokou horu, b) z rovníku na pól? 4.46 Za jakou dobu by vykonala jeden oběh minutová ručička kyvadlových hodin, kdybychom je umístili na povrch Měsíce? Velikost tíhového zrychlení na Měsíci je 1,6 m s– 2 . 4.47 Kolikrát se změní perioda kmitání kyvadla přeneseného ze Země na Měsíc, jestliže hmotnost Měsíce je 81krát menší než hmotnost Země a poloměr Země je 3,7krát větší než poloměr Měsíce? 4.48 Periody dvou kyvadel tvořených pevnými vlákny, na nichž jsou zavěšeny kuličky, jsou v poměru 3 : 2. Kolikrát je první kyvadlo delší než druhé? 4.49 Kyvadlo je tvořeno pevným vláknem, na jehož konci je zavěšena kulička. Jak musíme změnit délku niti, aby frekvence kyvadla vzrostla na dvojnásobek? Ověřte experimentálně. 4.50 Kyvadlo délky 150 cm vykonalo 125 kmitů za 300 s. Určete velikost tíhového zrychlení. 4.51 Za tutéž dobu vykoná jedno kyvadlo 50 kmitů a druhé 30 kmitů. Určete délku kyvadel, jestliže rozdíl jejich délek je 32 cm. 4.52 Kyvadlo na Zemi kmitá s periodou 1,0 s. Jak se změní perioda kyvadla na palubě rakety, která se pohybuje svisle vzhůru se zrychlením o velikosti 3,0 m s–2 ? 4.53 V kabině výtahu visí kyvadlo, které kmitá s periodou 1 s. Když se kabina pohybuje se stálým zrychlením, kyvadlo kmitá s periodou 1,2 s. Určete velikost a směr zrychlení výtahu. 4.54 Kabina výtahu se pohybuje vzhůru nejprve po dobu t1 rovnoměrně zrychleně se zrychlením a1 a potom po dobu t2 rovnoměrně zpomaleně se zrychlením a2 = –a1. Určete, kolik kmitů vykoná kyvadlo délky l zavěšené v kabině výtahu za dobu jeho pohybu. Řešte pro a1 = a2 = 0,5g, t1 = t2 = 10 s, l = 0,50 m. 4.55 Raketa startuje svisle vzhůru se zrychlením o velikosti 3g (g je velikost tíhového zrychlení). Kolik celých kmitů vykoná kyvadlo délky 1,0 m umístěné v raketě za dobu, za kterou raketa dosáhne výšky 1 480 m? Změnu tíhového zrychlení při pohybu rakety neuvažujte. 4.56 Určete poměr potenciální energie harmonického kmitání hmotného bodu a jeho kinetické energie jako funkci fáze kmitání.
4.57 Určete poměr potenciální energie a kinetické energie při harmonickém kmitání hmotného bodu s nulovou počáteční fází v časových okamžicích a) T/12 , b) T/8, c) T/6. 4.58 Určete poměr kinetické energie a potenciální energie při harmonickém kmitání hmotného bodu v okamžicích, kdy okamžitá výchylka je a) ym/4, b) ym/2, c) ym . 4.59 Pro okamžitou výchylku kmitání hmotného bodu platí rovnice y = ym sin ( 2{t} + /6). Určete, v kterém okamžiku je poprvé potenciální energie hmotného bodu rovna jeho kinetické energii. 4.60
Pro okamžitou výchylku hmotného bodu o hmotnosti 32 g platí rovnice
{y} = 0,02sin ({t}/4 + /4). Sestrojte časový diagram (pro jednu periodu) kinetické, potenciální a celkové energie hmotného bodu. 4.61 Celková energie harmonického oscilátoru je 3 10–5 J a maximální velikost síly, která na něj působí, je 1,5 10–3 N. Napište rovnici okamžité výchylky oscilátoru, jestliže oscilátor kmitá s periodou 2 s a jeho počáteční fáze je 60. 4.62 Mechanický oscilátor kmitá s amplitudou výchylky 2 cm a jeho celková energie je 3 10–7 J. Určete okamžitou výchylku oscilátoru, při níž na oscilátor působí síla o velikosti 2,25 10–5 N. 4.63 Těžké závaží zavěšené na niti můžeme rozkmitat foukáním. Navrhněte a vysvětlete postup a experimentálně ho ověřte. 4.64 Někdy vznikají na povrchu vozovky pravidelně rozmístěné nerovnosti, které mohou vyvolat rezonanční rozkmitání automobilu. Jak se budou lišit rychlosti prázdného a naloženého automobilu, při nichž nastane rezonance? 4.65 Na obr. 4-65 [4-10] je rezonanční křivka nosníku, na kterém je připevněn elektromotor. Při jaké frekvenci otáčení elektromotoru se nosník silně rozkmitá?
Obr. 4-65
4.66 Voda v nádobě, kterou nese chlapec, má periodu vlastního kmitání 0,8 s. Při jaké velikosti rychlosti pohybu chlapce se voda značně rozkmitá, je-li délka chlapcova kroku 60 cm? 4.67 Při jaké velikosti rychlosti vlaku se vagony velmi silně rozkmitají vlivem nárazů kol na spoje mezi kolejnicemi? Délka kolejnic je l, péra vagonu jsou zatížena tíhou o velikosti G a při zatížení silou o velikosti F se stlačí o vzdálenost h. 4.68 Perioda vlastního kmitání železničního vagonu je 1,25 s. Při jaké velikosti rychlosti dosáhne kmitání způsobené nárazy kol na spoje mezi kolejnicemi maxima, jestliže délka kolejnic je 25 m? 4.69 Kapky vody padají volným pádem v pravidelných intervalech na destičku připevněnou na pružině. Úhlová frekvence vlastního kmitání pružiny je 0. Určete vzdálenost mezi právě odkapávající kapkou a nejbližší k ní padající kapkou v případě, že kmitání destičky má největší amplitudu výchylky.
4.1 Kmitání mechanického oscilátoru R4.1 f = 440 Hz = 4,4 102 Hz; T = ?
R4.2 f = 103 Hz, t1 = 0,1 s, t2 = 0,5 s; n1 = ?, n2 = ?
R4.3 f = ?, T = ? f = 5 Hz, T = 0,2 s R4.4 v = 2 cm s1 = 2 102 m s1, l = 8 mm = 8 103 m; f = ?
R4.5 v = 20 mm s1 = 2 10–2 m s–1, f = 72 min–1 = 1,2 Hz; l = ?
R4.6 Konstantní jsou amplituda výchylky, perioda a frekvence, ostatní se mění. R4.7 Kmitání na obr. 4-7a, b [4-2a, b] se liší periodou, kmitání na obr. b, c se liší amplitudou, kmitání na obr. a, c se liší periodou a amplitudou.
R4.8 ym = 0,2 m
R4.9 Rovnici
porovnáme s rovnicí pro okamžitou výchylku harmonického kmitání y = ym sin (ωt + 0). Porovnáním určíme ym = 0,2 m, = 5/2 s1, 0 = 0. Protože = 2/T, platí
R4.10 ym = 5 cm = 5 10–2 m, T = 0,5 s, 0 = 0
R4.11 a) 01 = 0, b) 02 = /2, c) 03 = , d) 04 = –/2 a) y1 = 5 sin 2t b) y2 = 5 sin (2t + /2) c) y3 = 5 sin (2t ) d) y4 = 5 sin (2t – /2) R4.12 t = 1 min = 60 s, n = 150, ym = 5 cm = 5 10–2 m, 0 = 45 = /4; y = ?
Obr. R4-12 [V4-1] R4.13 t = 0, T/4, T/3, T/2; y =?
Obr. R4-13 [V4-2] R4.14 f = 400 Hz, ym = 2 mm = 2 10–3 m, 0 = 30 = /6; y = ?, t = ?, v = ? Pro kmitání platí rovnice {y} = 2 10–3 sin (800{t} + /6):
y = 10–3 m = 1 mm
b) Počáteční fáze odpovídá 1/12 periody kmitání. To znamená, že hmotný bod byl v rovnovážné poloze v čase –t0 = –T/12 = –1/12f a v rovnovážné poloze se bude nacházet opět v čase:
R4.15 a) V počátečním okamžiku t = 0, a proto
b) Bod M2 má okamžitou výchylku nulovou, když
a tedy pro čas první nulové výchylky platí
Odtud
Pro okamžitou výchylku bodu M1 pak vychází
c) Hmotný bod M1 má nulovou okamžitou výchylku, když
a tedy
takže t1 = – 1/8 s. Poněvadž hmotný bod prochází rovnovážnou polohou v každé půlperiodě, platí t1 = – 1/8 s + k1T1/2, kde k1 = 0, 1, 2, ... Podobně platí pro bod M2 (viz b) t2 = 1/8 s + k2T2/2. Z rovnic pro okamžitou výchylku vyplývá, že bod M1 kmitá s periodou T1 = 1 s a bod M2 kmitá s periodou T2 = 0,5 s. Oba body budou mít současně nulovou výchylku v čase t = t1 = t2, tzn. když
Odtud po dosazení za T1 a T2 vychází podmínka 2k1 = k2 + 1, čili při všech lichých hodnotách k2. Poprvé od počátečního okamžiku projdou oba hmotné body rovnovážnou polohou při k1 = 1 a k2 = 1, čili za dobu
R4.16 f = 150 min–1 = 2,5 s–1, t = 0,3 s, y = ym; 0 = ?
Kmitání hmotného bodu vyjadřuje rovnice y = ym sin ( t + 0). Poněvadž y = ym, platí
R4.17 y = 2,6 cm = 2,6 10–2 m, 0 = –/3, t = 0; ym = ? y = ym sin ( t + 0) Pro t = 0:
R4.18 ym = 50 mm = 5 10–2 m, T = 4 s, 0 = /4, t1 = 0, t2 = 1,5 s; y1 = ?, y2 = ?
R4.19 ym = 4 cm = 4 10–2 m, t = /3, 0 = /2; y = ?
R4.20 ym = 1,2 cm = 1,2 10–2 m, T = 0,25 s; vm = ?, am = ?
R4.21 ym = 0,02 m = 2,0 10–2 m; T = ?, vm = ?, am = ?
srovnáme s rovnicí
a dostaneme:
R4.22 t = ? pro vm a am maximální
v = vm pro cos /6 {t} = k, kde k = 0, 1, 2, ... . Odtud t = 0, 6 s, 12 s, ... . a = am, když sin /6 {t} = 1, tj. když t = (2k + 1) 3 s. Odtud t = 3 s, 9 s, 15 s, ... R4.23 ym = 5 cm = 5 10–2 m, T = 2 s, 0 = 0, y = 2,5 cm; v = ?
R4.24 f1 = f2 = 4 Hz, ym1 = ym2 = ym = 2,0 cm, 01 = 0, = /2; y12 = ? Složky výsledného kmitání můžeme symbolicky znázornit fázory y1 a y2 (obr. R4-24a [4-4a]).
Obr. R4-24a Z fázorového diagramu je zřejmé, že amplituda výchylky výsledného kmitání je Počáteční fáze výsledného kmitání 012 = /2 = /4. Protože 01 = 0, je rovnice výsledného kmitání
Řešením je i případ, kdy 012 = –/4. Časové diagramy obou řešení jsou na obr. R4-24b [4-4b].
Obr. R4-24b R4.25 ym1 = 3 cm = 3 10–2 m, ym2 = 5 cm = 5 10–2 m; y12 = ?
R4.26 f = 8 Hz, ym1 = ym2 = ym = 2 cm = 2 10–2 m, = 01 – 02 = /4
Použijeme vztah
a dostaneme:
R4.27 {y12} = 0,14 sin(10π{t} + π/4); ym1 = ym2 = ym = ?, f = ?, 0 = ? Pro součet dvou izochronních kmitání o stejné amplitudě platí vztah (viz úlohu 4.26)
. Jestliže bude 01 = 0, pak 02 = 0 + 01 = 0. Poněvadž . Z obecně vyjádřené rovnice dále vyplývá:
R4.28 ym12 = ?, 012 = ? Z rovnic najdeme:
R4.29 k = 10 N m–1, m = 100 g = 0,1 kg; T = ?
R4.30 m = 5 kg, f = 45 min–1 = 0,75 Hz; k = ?
R4.31 k = 250 N m–1, t = 16 s, n = 20; m = ?
R4.32 T1 = T, l = 0,75l1; T2 = ? Tuhost k pružného vlákna je nepřímo úměrná jeho délce, tedy
R4.33 l = 2,5 cm = 2,5 10–2 m; f = ?
R4.34 T = 0,5 s; l = ?
R4.35 T1 = 0,50 s, T2 = 0,60 s; l = ? Před přidáním závaží oscilátor kmital s periodou
a po zvětšení hmotnosti závaží o m bude perioda oscilátoru
Pro druhé mocniny period platí vztahy
a pro jejich rozdíl dostaneme
Tuhost pružiny
kde F je velikost síly, která způsobila prodloužení pružiny o l. Dosazením do vztahu pro rozdíl druhých mocnin period dostaneme
a odtud
Přidáním závaží se pružina prodloužila o 2,7 cm. R4.36 a) Poněvadž při stejném prodloužení l pružin
takže při ym1 = ym2 a 1 = 2 je vzhledem k m1 > m2, Ec1 > Ec2. R4.37 m = 1 kg, k = 160 N m–1; ym = ? Kmitání bude harmonické jen v případě, že se vzdálenost AB nebude měnit, tzn. že nit bude stále napjatá. Tak tomu bude v případě, že amplituda zrychlení kmitavého pohybu am g, čili když platí
Poněvadž
R4.38 0 = ? a) Výchylka x obou oscilátorů je stejná, takže platí:
b) Oba oscilátory jsou napínány stejnou silou, takže platí:
R4.39 f = ? Příčinou harmonického kmitání tyčinky je síla pružnosti o velikosti Fp = k1 y1, kde k1 je konstanta závislá na vlastnostech tyčinky. Kmitání tyčinky odpovídá kmitání pružiny o tuhosti k1, takže pro frekvenci tyčinky platí
. Ve druhém případě platí při stejné hmotnosti kuličky Fp = k2y2, a tedy
. Soustavu na obr. 4-39c [4-7c] lze považovat za dvě navzájem spojené pružiny o tuhostech k1a k2. Poněvadž výchylka y kuličky je rovna součtu výchylek konce tyčinky (y1) a konce pružiny (y2), platí
, kde k je celková tuhost soustavy. Po úpravě dostaneme
a pro frekvenci f vlastního kmitání soustavy dostaneme
Vyjádříme-li k1 a k2 pomocí vztahů pro frekvence f1 a f2, dostaneme
R4.40 l = 20 cm = 0,2 m; T = ? Síla působící na sloupec rtuti F = gV = 2gSy, kde S je obsah plochy průřezu trubice. Tuhost soustavy je dána vztahem k = F/y = 2gS a její hmotnost m = Sl. Odtud
R4.41 V = (10 20 20) cm, = 900 kg m–3; T = ? Vztlaková síla F = 0gSx, kde 0 je hustota vody a x je dodatečné ponoření hranolu. Hranol o výšce h kmitá s periodou
. R4.42 a) Nezmění se (uvažujeme, že těžiště těl obou dětí je ve stejné poloze), poněvadž perioda kyvadla je jen funkcí jeho délky a nezávisí na hmotnosti. b) Zkrátí se, poněvadž změna polohy těžiště odpovídá zmenšení délky kyvadla. R4.43 Nezmění se, poněvadž perioda kyvadla na jeho hmotnosti nezávisí. R4.44 Při posunutí závaží nahoru se perioda chodu zkrátila a naopak, poněvadž perioda kyvadla závisí na délce kyvadla. Při vyšší teplotě se perioda chodu hodin prodloužila (hodiny se opožďovaly), poněvadž délka kyvadla se zvětšila. R4.45 a) Zpomalil by se, b) zrychlil by se. Příčinou je změna tíhového zrychlení, které je na vysoké hoře menší a na pólu větší. R4.46 gM = 1,6 m s–2; tM = ? Budeme-li předpokládat, že pro periodu kyvadla hodin platí na Zemi vztah
a minutová ručička vykoná jeden oběh za dobu t = nT = 1 h, kde n je počet period kyvadla, pak na Měsíci vykoná ručička jeden oběh za stejný počet period a potřebuje k tomu čas
R4.47 MM = MZ/81, RM = RZ/3,7; TM = ?
R4.48 T1 : T2 = 3 : 2; l1/l2 = ?
R4.49 f2 = 2f1; l2 = ?
R4.50 l = 150 cm = 1,5 m, t = 300 s, n = 125; g = ?
R4.51 50T1 = 30T2, l = 32 cm = 0,32 m; l = ?
l1 = l = 18 cm, l2 = l + l = 50 cm R4.52 T0 = 1,0 s, a = 3,0 m s–2; T = ? Na kyvadlo v raketě působí kromě tíhové síly o velikosti FG = mg ještě setrvačná síla, která má stejný směr a velikost Fs = ma, takže celková síla má velikost F = mg + ma = m(g + a) a pro periodu kyvadla platí vztah
Jestliže
pak
R4.53 T1 = 1 s, T2 = 1,2 s; a = ? Poněvadž T1 < T2 , je výsledné zrychlení kabiny menší než g, takže platí:
Výtah se pohybuje ve směru tíhového zrychlení, tzn. směrem dolů. R4.54 a1 = a2 = a = 0,5g, t1 = t2 = 10 s, l = 0,50 m; n = ?
R4.55 a = 3g, l = 1,0 m, h = 1 480 m; n = ? Raketa se pohybuje vzhůru rovnoměrně zrychleným pohybem po dobu t se zrychlením 3g a pro výšku h platí vztah
Za dobu t vykoná kyvadlo v raketě n kmitů:
R4.56 Ep/Ek = ?
R4.57 =0, t = T/12, T/8, T/6; Ep/Ek = ? Využijeme výsledek úlohy 56:
R4.58 y = ym/4, ym/2, ym
R4.59 y = ym sin ( 2{t} + /6), Ep/Ek = 1; t = ?
R4.60 Obr. R4-60 [V4-3]
Obr. R4-60 R4.61 E = 3.10–5 J, Fm = 1,5 10–3 N, T = 2 s, = /3; y = ? Největší síla Fm působí na oscilátor v okamžiku, kdy oscilátor dosahuje amplitudy výchylky. Pro velikost síly Fm platí Fm = kym. V tomto okamžiku má oscilátor také největší potenciální energii, která je rovna energii celkové:
Poněvadž k = Fm/ym, je E = Fmym/2 a odtud ym = 2E/Fm = 4 10–2 m. Úhlová frekvence oscilátoru = 2/T = s–1 a pro okamžitou výchylku platí rovnice:
R4.62 ym = 2 cm = 2 10–2 m, E = 3 10–7 J, F = 2,25 10–5 N; y = ?
R4.63 Závaží se rozkmitá periodickým kmitáním s periodou vlastního kmitání závaží. Při rezonanci lze soustavu oscilátoru rozkmitat i malými silovými impulzy. Periodické působení musí trvat dostatečně dlouhou dobu. R4.64 Prázdný automobil se rozkmitá při větší rychlosti než plný, poněvadž jeho rezonanční frekvence je větší. R4.65 frez = 4,5 Hz = 4,5 60 ot/min = 270 ot/min R4.66 T0 = 0,8 s, l = 60 cm = 0,6 m; v = ?
R4.67
R4.68 T0 = 1,25 s, l = 25 m; v = ?
kde n = 1, 2, 3, … . R4.69 h = ? Destička kmitá s maximální amplitudou, jestliže kapky na ni dopadají s periodou T0 vlastního kmitání oscilátoru, pro kterou platí T0 = 2/.
4.2 Mechanické vlnění R4.70 v2 = ?
R4.71 Tv = 2,0 ms = 2,0 10–3 s, v = 2,9 m; vv = ?
R4.72 f = 200 Hz, vv =1,45 103 m s–1; v = ?
R4.73 f = 10 MHz, vAl = 5,1 103 m s–1; = ?
R4.74 x = 4 cm, t = T/6, y = ym/2; = ?
R4.75 {y} = 0,03 sin 20{t}; v = 200 m s–1, x = 5,0 m, t = 0,10 s; T = ?, y = ?
R4.76 f = 450 Hz, v = 360 m s–1, x = 20 cm = 0,2 m; = ?
R4.77 T = 0,010 s, v = 340 m s–1, xa = 3,4 m, xb = 1,7 m, xc = 0,85 m; = ?
R4.78 f = 100 Hz, v = 5 103 m s–1; = ?
R4.79 T = 1,0 ms, x1 = 12,0 m, x2 = 14,7 m, = 3/2; v = ?
R4.80 T = 0,04 s, vx = 300 m s–1, A(10 m, 3 m, 0), B(16 m, 0, 0); = ?
R4.81 f = 725 Hz, v = 1 450 m s–1, = ; x = ?
R4.82 x = 0,025 m, = /6; = ? Kmity bodů můžeme popsat rovnicemi
kde v je velikost fázové rychlosti vlnění, = x/v je fázový rozdíl obou vlnění. Platí tedy:
R4.83 a) = 0, b) = R4.84 T = 1,2 s, ym = 0,2 m, v = 15 m s–1, x = 45 m, t = 4,0 s; y = ?
R4.85 T = 0,25 s, v = 68 m s–1, t = 10 s, x1 = 43 m, y1 = 3,0 cm = 0,03 m, x2 = 45 m; y2 = ?, = ?
R4.86 t = 0,50T, x = /3, y = 5,0 cm = 5,0 10–2 m; ym = ?
R4.87 v = 300 m s–1, x = 60 cm = 0,6 m, t = 0,01 s; y = ? Z rovnice {y} = 0,05sin 500{t} najdeme:
R4.88 f = 3,0 Hz, v = 2,4 m s–1, x = 20 cm = 0,2 m; = ?
R4.89 y1 = y2 = y0 sint
R4.90 T = 2,1 10–3 s, x = 1,5 m; v = ?
R4.91 T = 0,1 s, v = 1 000 m s–1; x = ?
R4.92 f = 475 Hz, /2 = 1,5 m; v = ?
R4.93 x = 4 103 m, t = 12,0 s; v = ?
R4.94 v = 5,2 103 m s–1, t = t2 t1 = 1,0 10–5 s; s = ?
R4.95 v = 10 m s–1, t = 0,15 s, = 26 C; t' = ?
R4.96 v = 18 km h–1 = 5 m s–1, vz = 1 400 m s–1, t = 50 ms = 5 10–2 s, t = 5 s
Ponorka nenarazí, doba plavby je větší, než je doba potřebná ke změně směru. R4.97 u = 36 km h–1 = 10 m s–1, = 90; v = ? Z rozboru situace znázorněné na obr. 4-97 [4-12] vyplývá, že úhel , který svírají vlnoplochy, závisí na poměru rychlostí u, v vztahem
Odtud hledaná rychlost:
4.2 Mechanické vlnění 4.70 Vlnění má v daném prostředí vlnovou délku 1 a rychlost o velikosti v1. Po průchodu do jiného prostředí se jeho vlnová délka změní na 2. Vyjádřete velikost rychlosti v2 vlnění v tomto prostředí. 4.71 Ze zdroje zvuku se ve vodě šíří vlnění s periodou 2,0 ms a s vlnovou délkou 2,9 m. Jak velká je rychlost zvuku ve vodě? 4.72 Zvuk o frekvenci 200 Hz se šíří ve vodě rychlostí o velikosti 1 450 m s–1. Určete vlnovou délku zvukových vln. 4.73 Určete vlnovou délku ultrazvukových vln o frekvenci 10 MHz v hliníku. Velikost rychlosti zvuku v hliníku je 5 100 m s–1. 4.74 Vlnění s periodou T postupuje podél osy x. Bod o souřadnici x = 4 cm má v čase T/6 okamžitou výchylku rovnou polovině amplitudy. Určete vlnovou délku vlnění. [Řešte pro y(t = 0; x = 0) = 0; > x.]
4.75 Pro okamžitou výchylku kmitajícího zdroje vlnění platí vztah {y} = 0,03 sin 20{t} za předpokladu, že délku vyjadřujeme v metrech a čas v sekundách. Velikost fázové rychlosti vlnění je 200 m s–1. Určete a) periodu kmitů, b) okamžitou výchylku bodu, který leží ve vzdálenosti 5,0 m od zdroje, v čase 0,10 s od začátku kmitání zdroje. 4.76 Vlnění o frekvenci 450 Hz se šíří fázovou rychlostí o velikosti 360 m s–1 ve směru přímky p. Jaký je fázový rozdíl kmitavých pohybů dvou bodů, které leží na přímce p a mají vzájemnou vzdálenost 20 cm? 4.77 Vlnění s periodou 0,010 s se šíří fázovou rychlostí o velikosti 340 m s–1ve směru přímky. Určete fázový rozdíl kmitavých pohybů takových dvou bodů přímky, které mají vzájemnou vzdálenost a) 3,4 m, b) 1,7 m, c) 0,85 m. 4.78 Vlnění o frekvenci 100 Hz se šíří ve směru přímky fázovou rychlostí o velikosti 5 000 m s–1. Jakou nejmenší vzájemnou vzdálenost mohou mít dva body, které kmitají se stejnými fázemi? 4.79 Ze zdroje vlnění, který kmitá s periodou 1,0 ms, se šíří vlnění ve směru přímky. Dva body této přímky, vzdálené od zdroje 12,0 m a 14,7 m, kmitají s fázovým rozdílem 3/2. Určete velikost fázové rychlosti vlnění. 4.80 Rovinné vlnoplochy vlnění o periodě 0,04 s postupují v pravoúhlé souřadnicové soustavě Oxyz ve směru osy x rychlostí o velikosti 300 m s–1. S jakým fázovým rozdílem kmitají dva body, které mají souřadnice (10 m, 3 m, 0), (16 m, 0, 0)? 4.81 Vlnění o frekvenci 725 Hz se šíří ve vodě fázovou rychlostí o velikosti 1 450 m s–1. Jaká je nejmenší vzájemná vzdálenost (měřená ve směru šíření vlnění) dvou bodů, které kmitají s opačnými fázemi? 4.82 Dva body ležící na přímce, podél níž se šíří vlnění, jsou ve vzájemné vzdálenosti 25 mm a kmitají s fázovým rozdílem /6. Určete vlnovou délku vlnění. 4.83 Jaký je rozdíl fází kmitavých pohybů bodů, které při stojatém vlnění kmitají a) mezi dvěma sousedními uzly, b) na navzájem opačných stranách uzlu, ve vzdálenosti menší než polovina vlnové délky od uzlu? 4.84 Spodní koncový bod pružného lana, zavěšeného na balkoně výškové budovy, rozkmitáme rukou. Měřením jsme zjistili hodnoty 1,2 s pro periodu, 20 cm pro amplitudu a 15 m s–1 pro velikost rychlosti příčného vlnění. Určete velikost okamžité výchylky bodu lana ve výšce 45 m v čase 4,0 s. 4.85 Podél přímky postupuje vlnění s periodou 0,25 s rychlostí o velikosti 68 m s–1. V čase 10 s od začátku kmitání zdroje vlnění má bod ležící ve vzdálenosti 43 m od zdroje okamžitou výchylku 3,0 cm. Jaká je v tomto čase okamžitá výchylka bodu, který je ve vzdálenosti 45 m od zdroje? Jaký je fázový rozdíl kmitavých pohybů obou bodů?
4.86 Vlnění o periodě T a vlnové délce se šíří ze zdroje podél přímky. V čase 0,50T má bod, který leží na přímce ve vzdálenosti /3 od zdroje, okamžitou výchylku 5,0 cm. Určete amplitudu vlnění. 4.87 Zdroj vlnění koná netlumené kmity, které lze popsat rovnicí {y} = 0,05sin 500{t}, jestliže délku vyjadřujeme v metrech a čas v sekundách. Vlnění se šíří ze zdroje ve směru přímky rychlostí o velikosti 300 m s–1. Jakou okamžitou výchylku má bod vzdálený 60 cm od zdroje v čase 0,01 s od začátku kmitání zdroje? 4.88 Podél pružného lana se šíří příčné vlnění o frekvenci 3,0 Hz fázovou rychlostí o velikosti 2,4 m s–1. S jakým fázovým rozdílem kmitají dva body lana, které jsou ve vzájemné vzdálenosti 20 cm? 4.89 V bodech S1, S2, jejichž vzájemná vzdálenost je d, jsou zdroje vlnění, které kmitají synchronně, každý podle rovnice y1 = y2 = y0 sint. Napište rovnici popisující kmity bodu, který leží na přímce S1S2 za bodem S2 ve vzdálenosti x od něho. 4.90 Interferencí dvou vlnění o periodách 2,1 10–3 s vzniká stojaté vlnění. Vzájemná vzdálenost sousedních uzlů je 1,5 m. Jak velkou rychlostí se šíří postupné vlnění? 4.91 Dva zdroje příčných vlnění kmitají s periodami 0,1 s a se stejnými fázemi. Ze zdrojů se šíří vlnění rychlostmi o velikosti 1 000 m s–1 ve směru téže přímky a interferují spolu. Určete dráhový rozdíl obou vlnění v bodech, v nichž má nastat a) interferenční maximum, b) interferenční minimum. 4.92 Interferencí dvou postupných, opačnými směry postupujících vlnění o stejných frekvencích 475 Hz a stejných amplitudách vzniká stojaté vlnění. Vzájemná vzdálenost sousedních uzlů je 1,5 m. Určete velikost rychlosti postupného vlnění v daném prostředí. 4.93 Pozorovatel, který stojí ve vzdálenosti 4 000 m od střelce, zjistí, že mezi zábleskem a zvukovým vjemem při výstřelu uplyne doba 12,0 s. Určete velikost rychlosti zvuku ve vzduchu. 4.94 Velikost rychlosti ultrazvuku v ocelovém válečku je 5 200 m s–1. Kvalita válečku se zkoumá ultrazvukovým defektoskopem. Ultrazvuk ze sondy defektoskopu přiložené na podstavu P1 válečku postupuje ve směru jeho osy a odráží se jednak na trhlině (defektu) T, jednak na druhé podstavě P2 válečku. Po odrazu se opět vrací na sondu. Na obrazovce defektoskopu se na časové ose zobrazí dvě maxima, odpovídající dobám mezi vysláním signálu sondou a jeho přijetím po odrazu. Určete vzdálenost trhliny od podstavy P 2, jestliže t2 – t1 = 1,0 10–5 s (obr. 4-94 [4-11]).
Obr. 4-94
4.95 Netopýr se pohybuje směrem k překážce stálou rychlostí o velikosti 10,0 m s–1. Zvukový signál, který vyslal směrem dopředu, se po odrazu vrátil k netopýrovi za dobu 0,15 s od vyslání. Teplota vzduchu je 26 C. Kolik času zbylo netopýrovi, aby se překážce vyhnul? 4.96 Ponorka se pohybuje pod hladinou moře stálou rychlostí o velikosti 18 km h–1. Zvukový signál, který vyslala směrem dopředu, se ve vodě šíří rychlostí o velikosti 1 400 m s–1 a po odrazu od překážky se vrací k ponorce. Od vyslání signálu do jeho přijetí po odrazu uplyne doba 50 ms. Na změnu směru ponorky je potřebná doba 5,0 s. Narazí ponorka na překážku? 4.97 Velikost konstantní rychlosti motorového člunu je 36 km h–1. Člun za sebou zanechává stopu (brázdu) ve tvaru písmene V, jehož vrchol leží na přední části člunu (obr. 497 [4-12]) a jehož ramena tvoří vlnoplochy vlnění šířícího se po vodní hladině. Vlnoplochy spolu svírají úhel 90. Určete velikost rychlosti, kterou se vlnoplochy šíří po povrchu vody.
Obr. 4-97
